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- Fasse zuerst alle Beobachtungen zu einer Gesamtsumme zusammen. - Achte darauf, durch die Anzahl der Beobachtungen zu teilen. - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und größten Wert liegt.

1. Summe der Besucherzahlen: \(994\). 2. Anzahl der Vormittage: \(7\). 3. Arithmetisches Mittel: \(994:7=142\).

Die durchschnittliche Besucherzahl beträgt \(142\) pro Vormittag.

- Wie berechnet man den Durchschnitt von zwei Werten? - Stell dir die Zahlen auf einer Geraden vor. Wo muss der Punkt liegen, der von beiden gleich weit entfernt ist? - Achte bei den Rechnungen besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung für a): \(\frac{12{,}4 + 18{,}6}{2} = \frac{31}{2} = 15{,}5\). 2. Berechnung für b): \(\frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). 3. Berechnung für c): \(\frac{-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{2}{4}}{2} = \frac{1}{4}\) (oder \(0{,}25\)). 4. Berechnung für d): \(\frac{-2{,}5 + (-7{,}5)}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).

a) \(15{,}5\) b) \(-1\) c) \(\frac{1}{4}\) (oder \(0{,}25\)) d) \(-5\)

- Was ist der erste Schritt, um den Durchschnitt von Termwerten zu finden? - Wie berechnet man den Wert eines Terms für ein bestimmtes \(x\)? - Hast du alle berechneten Werte addiert? - Durch welche Zahl musst du am Ende teilen?

1. Berechnung der einzelnen Termwerte: \(T(1) = 1^2 + 5 = 6\), \(T(2) = 2^2 + 5 = 9\), \(T(3) = 3^2 + 5 = 14\), \(T(4) = 4^2 + 5 = 21\), \(T(5) = 5^2 + 5 = 30\). 2. Addition der fünf Termwerte: \(6 + 9 + 14 + 21 + 30 = 80\). 3. Division der Summe durch die Anzahl der Werte (\(5\)): \(80 : 5 = 16\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(16\).

- Lies für jeden Wochentag genau einen Temperaturwert aus dem Diagramm ab. - Welche zwei Schritte gehören zur Berechnung des arithmetischen Mittels mehrerer Werte? - Prüfe, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und dem größten Tageswert liegt.

1. Aus dem Diagramm liest man \(15\,^\circ\text{C}\), \(18\,^\circ\text{C}\), \(20\,^\circ\text{C}\), \(17\,^\circ\text{C}\), \(14\,^\circ\text{C}\), \(13\,^\circ\text{C}\) und \(15\,^\circ\text{C}\) ab. 2. Die Summe beträgt \(15+18+20+17+14+13+15=112\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(112:7=16\,^\circ\text{C}\).

Das arithmetische Mittel beträgt \(16\,^\circ\text{C}\).

- Lies für jede mögliche Fahrradanzahl ab, wie viele Haushalte dazu gehören. - Wie erhältst du aus einem Wert und seiner Häufigkeit den Beitrag zur Gesamtzahl aller Fahrräder? - Teile am Ende die Gesamtzahl der Fahrräder durch die Zahl der Haushalte.

1. Aus dem Diagramm liest man die Häufigkeiten \(4,8,12,10,4,2\) für \(0,1,2,3,4,5\) Fahrräder ab. 2. Die Gesamtzahl der Fahrräder ist \(0\cdot4+1\cdot8+2\cdot12+3\cdot10+4\cdot4+5\cdot2=88\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(88:40=2{,}2\) Fahrräder pro Haushalt.

Das arithmetische Mittel beträgt \(2{,}2\) Fahrräder pro Haushalt.

- Zähle für a) alle Punkte beziehungsweise Häufigkeiten zusammen. - Welche möglichen Geschwisterzahlen gehören zu „mehr als ein Geschwister“? - Für den Durchschnitt brauchst du zuerst die Gesamtzahl aller Geschwister in der Klasse.

1. Die Gesamtzahl der Kinder ist \(2+5+8+6+4=25\). 2. Mehr als ein Geschwister haben die Kinder mit \(2,3\) oder \(4\) Geschwistern: \(8+6+4=18\). 3. Die Gesamtzahl aller Geschwister ist \(0\cdot2+1\cdot5+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4=55\). 4. Das arithmetische Mittel beträgt \(55:25=2{,}2\) Geschwister pro Kind.

a) \(25\) Kinder b) \(18\) Kinder c) \(2{,}2\) Geschwister pro Kind

- Addiere die Häufigkeiten, um die Zahl der befragten Jugendlichen zu erhalten. - Wie kannst du aus jeder Einheitenzahl und ihrer Häufigkeit die Gesamtsumme aller zusätzlichen Einheiten bestimmen? - Vergleiche für c) die möglichen ganzzahligen Einheitenzahlen mit deinem berechneten Mittelwert.

1. Die Gesamtzahl ist \(1+4+7+5+4+2+2=25\). 2. Insgesamt wurden \(0\cdot1+1\cdot4+2\cdot7+3\cdot5+4\cdot4+5\cdot2+6\cdot2=71\) zusätzliche Einheiten angegeben. 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(71:25=2{,}84\) Einheiten pro Woche. 4. Über \(2{,}84\) liegen die Werte \(3,4,5,6\). Die zugehörigen Häufigkeiten ergeben \(5+4+2+2=13\) Jugendliche.

a) \(25\) Jugendliche b) \(2{,}84\) Trainingseinheiten pro Woche c) \(13\) Jugendliche

- Der bisherige Durchschnitt gehört zu vier Ergebnissen. - Bestimme zuerst die bisherige Gesamtsumme. - Nach dem neuen Lauf ändert sich auch die Anzahl der Ergebnisse.

1. Bisherige Gesamtpunktzahl: \(30{,}5\cdot 4=122\). 2. Neue Gesamtpunktzahl: \(122+38=160\). 3. Neuer Durchschnitt: \(160:5=32\).

Der neue Punktedurchschnitt beträgt \(32\) Punkte.

- Lies für jede der sechs Stationen den Säulenwert ab und notiere alle sechs Werte. - Für den Durchschnitt brauchst du die Summe aller kontrollierten fehlerfreien Teile. - Teile diese Summe durch die Anzahl der Stationen.

1. Aus dem Diagramm liest man die Werte \(14;18;13;17;17;11\) ab. 2. Die Summe ist \(14+18+13+17+17+11=90\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(90:6=15\).

Im Durchschnitt sind es \(15\) fehlerfreie Teile pro Station.

- Beachte die Vorzeichen beim Addieren der Abweichungen. - Positive und negative Abweichungen können sich teilweise ausgleichen. - Teile die Summe anschließend durch die Anzahl der Messwerte.

1. Die Summe der Abweichungen ist \(-3-1+2+4-2+0+7=7\). 2. Es gibt \(7\) Messwerte. 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(7:7=1\). Die mittlere Abweichung beträgt also \(1\,^\circ\text{C}\).

Die mittlere Abweichung beträgt \(1\,^\circ\text{C}\).

- Achte beim Addieren auf das Dezimalkomma. - Runde erst nach der Division. - Kontrolliere, zwischen welchen Messwerten das Ergebnis liegen muss.

1. Summe der Zeiten: \(72{,}6\) Minuten. 2. Mittelwert: \(72{,}6:6=12{,}1\) Minuten. 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet: \(12{,}1\) Minuten.

Die durchschnittliche Aufbauzeit beträgt gerundet \(12{,}1\,\text{min}\).

- Stelle dir vor, alle Kanister kämen zuerst in einen gemeinsamen Vorrat. - Welche Rechnung beschreibt anschließend eine gleichmäßige Verteilung auf fünf Teams? - Überlege, welcher Mittelwert genau die Bedeutung „gleicher Anteil nach Umverteilung“ hat.

1. Insgesamt gibt es \(2+5+7+10+16=40\) Kanister. 2. Bei gleichmäßiger Verteilung erhält jedes der fünf Teams \(40:5=8\) Kanister. 3. Diese Ausgleichszahl ist das arithmetische Mittel. Der Median der ursprünglichen Daten ist dagegen \(7\) und beschreibt die Umverteilung nicht.

a) \(8\) Kanister b) Das arithmetische Mittel.

- Welche Gesamtzahl von Äpfeln bleibt beim Umverteilen unverändert? - Was bedeutet „gleichmäßig auf vier Körbe verteilt“ für die Anzahl pro Korb? - Vergleiche danach jeden Ausgangswert mit der gemeinsamen Zielzahl und trenne fehlende von überschüssigen Äpfeln.

1. Insgesamt liegen \(6+8+11+15=40\) Äpfel in den vier Körben. 2. Bei gleichmäßiger Verteilung erhält jeder Korb \(40:4=10\) Äpfel. Dieser Wert ist zugleich das arithmetische Mittel \(\bar{x}=10\). 3. Gegenüber \(10\) fehlen in den ersten beiden Körben \(4\) und \(2\) Äpfel, zusammen \(6\). In den beiden anderen Körben liegen \(1\) und \(5\) Äpfel mehr, ebenfalls zusammen \(6\). 4. Die positiven und negativen Abweichungen vom Mittelwert gleichen sich daher aus; ihre Summe ist \(0\).

a) In jedem Korb liegen nach der Umverteilung \(10\) Äpfel. b) Die Abweichungen von \(10\) sind \(-4,-2,+1,+5\). Die fehlenden \(6\) Äpfel entsprechen genau den überschüssigen \(6\) Äpfeln, daher ist die Summe der Abweichungen \(0\).

- Wie groß muss die Gesamtsumme aller Werte sein, wenn du den gewünschten Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennst? - Vergleiche die benötigte Gesamtsumme für sechs Tage mit der Summe der ersten fünf Tage.

1. Berechnung des Durchschnitts für a): Summe der Werte \(14 + 17 + 13 + 16 + 15 = 75\). Division durch die Anzahl der Tage: \(75 : 5 = 15\). Der Durchschnitt beträgt \(15\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung für b): Damit der Durchschnitt von sechs Tagen \(16\,^\circ\text{C}\) beträgt, muss die Summe der sechs Temperaturwerte \(6 \cdot 16 = 96\) betragen. 3. Bestimmung des fehlenden Wertes: Die Summe der bisherigen fünf Temperaturwerte ist \(75\). Die Differenz ist \(96 - 75 = 21\). Am sechsten Tag müssen \(21\,^\circ\text{C}\) gemessen werden.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) \(21\,^\circ\text{C}\)

- Wenn du den Durchschnitt kennst, wie kommst du auf die Gesamtsumme aller Werte? - Überlege dir für Teil c), wie viel „Überschuss“ die Spielerin durch das gute fünfte Spiel im Vergleich zum alten Durchschnitt angesammelt hat. - Was passiert mit dem Durchschnitt, wenn ein neuer Wert genau dem aktuellen Durchschnitt entspricht? Was, wenn er kleiner ist?

1. Berechnung für a): Da der Durchschnitt \(18\) Punkte bei \(4\) Spielen beträgt, ist die Gesamtsumme \(4 \cdot 18 = 72\) Punkte. 2. Berechnung für b): Neue Gesamtsumme nach dem 5. Spiel: \(72 + 28 = 100\). Neuer Durchschnitt: \(100 : 5 = 20\) Punkte. 3. Lösung für c): Wenn der Durchschnitt von \(5\) Spielen bei \(20\) liegt und nach dem 6. Spiel wieder \(18\) betragen soll, muss der Wert des 6. Spiels so gewählt werden, dass er den Durchschnitt „nach unten zieht“. 4. Logische Begründung: Um den Durchschnitt von \(18\) zu halten, müsste sie im 5. Spiel \(18\) Punkte erzielt haben. Da sie aber \(10\) Punkte mehr erzielt hat (\(28\) statt \(18\)), muss sie im 6. Spiel \(10\) Punkte weniger als den Zieldurchschnitt erzielen, also \(18 - 10 = 8\) Punkte. (Rechnerische Prüfung: Gesamtsumme für Schnitt \(18\) bei \(6\) Spielen ist \(6 \cdot 18 = 108\). Aktuelle Summe ist \(100\). Differenz: \(108 - 100 = 8\).)

a) \(72\) Punkte b) \(20\) Punkte c) \(8\) Punkte. Begründung: Im 5. Spiel hat sie \(10\) Punkte mehr als den gewünschten Durchschnitt von \(18\) erzielt. Um dies auszugleichen, muss sie im 6. Spiel \(10\) Punkte weniger als \(18\) erzielen.

- Überlege zuerst, wie viele einzelne Beobachtungen hinter der Häufigkeitstabelle stehen. - Wie kannst du aus einem Wert und seiner Häufigkeit den Beitrag dieses Werts zur Gesamtsumme bestimmen? - Prüfe bei der vorgeschlagenen Rechnung in b), ob jede Person gleich stark in den Durchschnitt eingeht.

1. Insgesamt haben \(3+7+8+5+2=25\) Jugendliche teilgenommen. 2. Die Gesamtzahl der Körbe ist \(4\cdot3+6\cdot7+10\cdot8+12\cdot5+15\cdot2=224\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(224:25=8{,}96\) Körbe pro Person. 4. Die fünf Korbzahlen treten unterschiedlich oft auf. Deshalb müssen sie entsprechend ihren Häufigkeiten berücksichtigt werden; der Ausdruck mit nur fünf Summanden würde jede Korbzahl fälschlich gleich stark gewichten.

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(8{,}96\) Körbe pro Person. b) Die Korbzahlen kommen unterschiedlich häufig vor. Deshalb müssen die Häufigkeiten beim Mittelwert mitberücksichtigt werden.

- Kannst du die Symmetrie des Terms \(x^2\) nutzen, um Rechenzeit zu sparen? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Quadrieren negativer Zahlen. - Wie viele Werte fließen in die Berechnung des Mittels ein?

1. Berechnung der Termwerte für die sechs gegebenen Stellen: \(T(-2) = 1{,}5 \cdot (-2)^2 - 4{,}5 = 6 - 4{,}5 = 1{,}5\) \(T(-1{,}5) = 1{,}5 \cdot (-1{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 2{,}25 - 4{,}5 = 3{,}375 - 4{,}5 = -1{,}125\) \(T(-0{,}5) = 1{,}5 \cdot (-0{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 0{,}25 - 4{,}5 = 0{,}375 - 4{,}5 = -4{,}125\) \(T(0{,}5) = -4{,}125\) (wegen Symmetrie von \(x^2\)) \(T(1{,}5) = -1{,}125\) \(T(2) = 1{,}5\) 2. Summe der Termwerte bilden: \(1{,}5 + (-1{,}125) + (-4{,}125) + (-4{,}125) + (-1{,}125) + 1{,}5 = -7{,}5\). 3. Arithmetisches Mittel berechnen: \(-7{,}5 : 6 = -1{,}25\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(-1{,}25\).

- Wie berechnet man die Summe aller Werte, wenn man den Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennt? - Überlege, wie man den Gesamtdurchschnitt aus einer Gesamtsumme und einer Gesamtanzahl bildet. - Was passiert im Bruch, wenn du im Zähler eine Variable ausklammern kannst, die auch im Nenner steht?

1. Berechnung der Gesamtpunkte von Gruppe A: Das Produkt aus der Anzahl der Personen \(n\) und dem Durchschnitt \(a\) ergibt \(na\). 2. Berechnung der Gesamtpunkte von Gruppe B: Das Produkt aus der Anzahl der Personen \(m\) und dem Durchschnitt \(b\) ergibt \(mb\). 3. Gesamtsumme der Punkte: Addition der Teilergebnisse führt zu \(na + mb\). 4. Gesamtzahl der Teilnehmer: Addition der Personenanzahl beider Gruppen ergibt \(n + m\). 5. Gesamtdurchschnitt: Division der Gesamtpunkte durch die Gesamtanzahl der Teilnehmer ergibt den Term \(\frac{na + mb}{n + m}\). 6. Spezialfall \(n = m\): Einsetzen von \(n\) für \(m\) ergibt \(\frac{na + nb}{n + n} = \frac{n(a + b)}{2n}\). Durch Kürzen von \(n\) erhält man \(\frac{a + b}{2}\), was dem arithmetischen Mittel der beiden Gruppendurchschnitte entspricht.

a) \(na + mb\) b) \(\frac{na + mb}{n + m}\) c) \(\frac{a+b}{2}\) (arithmetisches Mittel)

- Lies aus dem Punktdiagramm ab, wie oft jeder Taschengeldbetrag vorkommt. - Überlege, wie du aus den Beträgen und ihren Häufigkeiten die Gesamtsumme aller Taschengeldzahlungen erhältst. - Muss ein Durchschnitt immer einer der ursprünglichen Einzelwerte sein?

1. Aus dem Diagramm ergeben sich \(3+5+6+4+2=20\) Jugendliche. 2. Die Summe aller Taschengeldbeträge ist \(3\cdot10\,\text{€}+5\cdot15\,\text{€}+6\cdot20\,\text{€}+4\cdot25\,\text{€}+2\cdot30\,\text{€}=385\,\text{€}\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(385\,\text{€}:20=19{,}25\,\text{€}\). 4. Ein arithmetisches Mittel beschreibt einen rechnerischen Ausgleichswert. Es muss nicht selbst als beobachteter Einzelwert vorkommen.

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(19{,}25\,\text{€}\). b) Ein arithmetisches Mittel muss kein tatsächlich beobachteter Wert sein; es ist der rechnerische Ausgleichswert der Daten.

- Wie berechnet man das arithmetische Mittel einer Reihe von Werten? - Lies die Säulenhöhen sorgfältig an der Skala ab und achte besonders auf die Vorzeichen. - Durch welche Anzahl musst du die Summe aller Tageswerte teilen?

1. Addiere die sieben Abweichungen aus dem Diagramm: \(12+8+(-4)+(-10)+(-15)+(-3)+5=-7\,\text{cm}\). 2. Teile die Summe durch die Anzahl der Tage: \((-7):7=-1\,\text{cm}\). 3. Das arithmetische Mittel der Abweichungen beträgt \(-1\,\text{cm}\).

Das arithmetische Mittel der Abweichungen beträgt \(-1\,\text{cm}\).

- Lies zuerst die Werte für jeden der fünf Tage sorgfältig aus dem Diagramm ab. - Wie berechnet man im Allgemeinen den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen? - Wenn du den Durchschnitt für sechs Tage kennst, wie kannst du daraus die Gesamtsumme der Stunden für diese sechs Tage bestimmen? - Wie hilft dir der Vergleich der Gesamtsumme für fünf Tage und der Gesamtsumme für sechs Tage, den Wert für den Samstag zu finden?

1. Lies die Werte für die fünf Tage aus dem Diagramm ab: Montag: \(6\,\text{h}\), Dienstag: \(8\,\text{h}\), Mittwoch: \(4\,\text{h}\), Donnerstag: \(9\,\text{h}\), Freitag: \(3\,\text{h}\). 2. Berechne die Summe der Sonnenscheinstunden von Montag bis Freitag: \(6 + 8 + 4 + 9 + 3 = 30\) Stunden. 3. Berechne das arithmetische Mittel für diese 5 Tage: \(\frac{30}{5} = 6\) Stunden pro Tag. 4. Berechne die benötigte Gesamtsumme der Stunden für 6 Tage, um einen Durchschnitt von \(6{,}5\) Stunden zu erreichen: \(6 \cdot 6{,}5 = 39\) Stunden. 5. Ziehe die Summe der ersten 5 Tage von der Gesamtsumme für 6 Tage ab, um die Stunden für Samstag zu erhalten: \(39 - 30 = 9\) Stunden.

a) Die durchschnittliche Sonnenscheindauer beträgt \(6\) Stunden. b) Am Samstag schien die Sonne \(9\) Stunden.

- Wie liest man die einzelnen Werte aus einem Säulendiagramm ab? - Erinnere dich daran, wie man den Durchschnitt (das arithmetische Mittel) einer Gruppe von Zahlen berechnet. Welche Rechenschritte sind dafür nötig? - Wenn sich ein Wert verringert und ein anderer um denselben Betrag erhöht, was passiert dann mit der Gesamtsumme der Werte?

1. Zuerst liest man die Taschengeldbeträge der sechs Freunde aus dem Diagramm ab: - Anna: \(8\,\text{€}\) - Ben: \(12\,\text{€}\) - Clara: \(15\,\text{€}\) - David: \(6\,\text{€}\) - Emily: \(10\,\text{€}\) - Felix: \(9\,\text{€}\) Die Summe dieser Beträge ist: \(8 + 12 + 15 + 6 + 10 + 9 = 60\,\text{€}\). Da es sich um 6 Personen handelt, wird die Summe durch 6 geteilt, um das arithmetische Mittel zu berechnen: \(60\,\text{€} {:} 6 = 10\,\text{€}\). Das arithmetische Mittel beträgt somit \(10\,\text{€}\). 2. Wenn Clara \(3\,\text{€}\) weniger und David \(3\,\text{€}\) mehr bekäme, ändert sich die Gesamtsumme nicht, da sich die Verringerung und die Erhöhung gegenseitig ausgleichen (\(-3\,\text{€} + 3\,\text{€} = 0\,\text{€}\)). Da die Summe weiterhin \(60\,\text{€}\) beträgt und die Anzahl der Personen gleich bleibt, bleibt auch das arithmetische Mittel unverändert bei \(10\,\text{€}\). Felix hat also unrecht.

a) Das arithmetische Mittel des wöchentlichen Taschengelds beträgt \(10\,\text{€}\). b) Nein, Felix hat nicht recht. Da sich die Verringerung bei Clara und die Erhöhung bei David gegenseitig ausgleichen, bleibt die Gesamtsumme (\(60\,\text{€}\)) und damit auch das arithmetische Mittel (\(10\,\text{€}\)) unverändert.

- Lies die fünf Säulenwerte sorgfältig an der vertikalen Skala ab. - Für das arithmetische Mittel brauchst du die Summe aller betrachteten Erntemengen und deren Anzahl. - Überlege für b), welche Größe sich durch das sechste Jahr sowohl bei der Summe als auch bei der Anzahl der Werte ändert.

1. Aus dem Diagramm liest man \(45\,\text{kg}\), \(60\,\text{kg}\), \(40\,\text{kg}\), \(80\,\text{kg}\) und \(50\,\text{kg}\) ab. 2. Die Summe der ersten fünf Erntemengen beträgt \(45+60+40+80+50=275\,\text{kg}\). 3. Das arithmetische Mittel für fünf Jahre ist \(275\,\text{kg}:5=55\,\text{kg}\). 4. Mit dem sechsten Jahr beträgt die Gesamtsumme \(275\,\text{kg}+85\,\text{kg}=360\,\text{kg}\). 5. Das neue arithmetische Mittel ist \(360\,\text{kg}:6=60\,\text{kg}\).

a) Jahr 1: \(45\,\text{kg}\), Jahr 2: \(60\,\text{kg}\), Jahr 3: \(40\,\text{kg}\), Jahr 4: \(80\,\text{kg}\), Jahr 5: \(50\,\text{kg}\); arithmetisches Mittel: \(55\,\text{kg}\). b) Das neue arithmetische Mittel beträgt \(60\,\text{kg}\).

- Lies aus dem Punktdiagramm ab, wie oft jede Toranzahl vorkommt. - Wie kannst du daraus die Gesamtzahl aller Tore in den \(20\) Spielen bestimmen? - Welche ganzzahligen Toranzahlen liegen höchstens \(0{,}5\) vom berechneten Mittelwert entfernt?

1. Aus dem Diagramm liest man die Häufigkeiten \(4,7,5,3,1\) für \(0,1,2,3,4\) Tore ab. 2. Die Gesamtzahl der Tore ist \(0\cdot4+1\cdot7+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot1=30\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(30:20=1{,}5\) Tore pro Spiel. 4. Eine Abweichung von höchstens \(0{,}5\) bedeutet hier eine Toranzahl von \(1\) oder \(2\). Dafür gibt es \(7+5=12\) Spiele.

a) \(1{,}5\) Tore pro Spiel b) \(12\) Spiele

- Lies ab, wie oft jede Wurfweite vorkommt, und addiere diese Häufigkeiten. - Für den Durchschnitt muss jede Wurfweite so oft berücksichtigt werden, wie sie im Diagramm vorkommt. - Überlege für c), was mit jedem einzelnen Summanden passiert, wenn alle Werte um denselben Betrag steigen.

1. Insgesamt sind es \(2+6+9+5+3=25\) Schülerinnen und Schüler. 2. Die Summe aller Wurfweiten beträgt \(10\cdot2+15\cdot6+20\cdot9+25\cdot5+30\cdot3=505\,\text{m}\). 3. Das arithmetische Mittel ist \(505\,\text{m}:25=20{,}2\,\text{m}\). 4. Wenn jeder Einzelwert um \(3\,\text{m}\) steigt, steigt auch die Summe pro Person um denselben Betrag. Daher erhöht sich das arithmetische Mittel um \(3\,\text{m}\) auf \(23{,}2\,\text{m}\).

a) \(25\) Schülerinnen und Schüler b) \(20{,}2\,\text{m}\) c) Das arithmetische Mittel steigt um \(3\,\text{m}\) auf \(23{,}2\,\text{m}\).

- Lies die Höhe jedes Intervalls an der Achse der relativen Häufigkeit ab. - Wie wandelst du einen relativen Anteil in eine Personenzahl um, wenn die Gesamtzahl bekannt ist? - Für die Schätzung in c) ersetzt du alle unbekannten Einzelwerte eines Intervalls durch einen gemeinsamen repräsentativen Wert. Welcher bietet sich an?

1. Die relativen Häufigkeiten sind der Reihe nach \(20\,\%\), \(35\,\%\), \(25\,\%\), \(15\,\%\) und \(5\,\%\). 2. Im Intervall von \(10\) bis unter \(20\,\text{min}\) liegen \(35\,\%\) von \(200\), also \(0{,}35\cdot200=70\) Personen. 3. Die Intervallmitten sind \(5\,\text{min}\), \(15\,\text{min}\), \(25\,\text{min}\), \(35\,\text{min}\) und \(45\,\text{min}\). 4. Die Schätzung des Mittels ist \(5\cdot0{,}20+15\cdot0{,}35+25\cdot0{,}25+35\cdot0{,}15+45\cdot0{,}05=20\,\text{min}\).

a) \(20\,\%\), \(35\,\%\), \(25\,\%\), \(15\,\%\), \(5\,\%\) b) \(70\) Schülerinnen und Schüler c) Die geschätzte durchschnittliche Fahrzeit beträgt \(20\,\text{min}\).

- Addiere die Häufigkeiten, um die Gesamtzahl der Teilnehmenden zu erhalten. - Für b) suchst du den Wert mit der größten Häufigkeit im Punktdiagramm. - Für das arithmetische Mittel muss jede Nutzungsdauer so oft in die Gesamtsumme eingehen, wie sie vorkommt.

1. Insgesamt haben \(4+7+10+6+3=30\) Personen teilgenommen. 2. Die größte Häufigkeit gehört zu \(90\,\text{min}\); dieser Wert kommt \(10\)-mal vor. 3. Die Summe aller Nutzungszeiten ist \(30\cdot4+60\cdot7+90\cdot10+120\cdot6+150\cdot3=2610\,\text{min}\). 4. Das arithmetische Mittel beträgt \(2610\,\text{min}:30=87\,\text{min}\).

a) \(30\) Schülerinnen und Schüler b) \(90\,\text{min}\) c) \(87\,\text{min}\)

- Lies die Punktzahlen für jedes der fünf Mitglieder aus beiden Diagrammen ab. - Erinnere dich, wie man das arithmetische Mittel berechnet: Addiere alle Werte einer Gruppe und teile das Ergebnis durch die Anzahl der Werte. - Vergleiche die beiden berechneten Mittelwerte miteinander.

1. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe A: Die Werte sind \(2\), \(4\), \(5\), \(5\) und \(9\). Die Summe beträgt \(2 + 4 + 5 + 5 + 9 = 25\). Das arithmetische Mittel ist \(25 {:} 5 = 5\). 2. Berechnung des Durchschnitts für Gruppe B: Die Werte sind \(3\), \(4\), \(6\), \(7\) und \(10\). Die Summe beträgt \(3 + 4 + 6 + 7 + 10 = 30\). Das arithmetische Mittel ist \(30 {:} 5 = 6\). 3. Vergleich: Da \(6 > 5\), ist der Punktedurchschnitt in Gruppe B höher.

Der Punktedurchschnitt ist in Gruppe B höher. (Gruppe A: \(5\) Punkte im Durchschnitt; Gruppe B: \(6\) Punkte im Durchschnitt).

- Beachte, dass manche Werte mehrfach vorkommen. - Du kannst gleiche Werte zusammenfassen, statt sie einzeln aufzuschreiben. - Kontrolliere zuerst die Gesamtzahl der Messungen.

1. Anzahl der Messungen: \(20\). 2. Gewichtete Summe: \(18\cdot 3+20\cdot 5+22\cdot 6+24\cdot 4+26\cdot 2=434\). 3. Mittelwert: \(434:20=21{,}7\) Schläge pro Minute.

Das arithmetische Mittel beträgt \(21{,}7\) Schläge pro Minute.

- Überlege, welche Gesamtsumme zum angegebenen Durchschnitt gehört. - Trenne bekannte und fehlende Anteile. - Setze deinen gefundenen Wert gedanklich wieder in die Reihe ein.

1. Erforderliche Gesamtdauer: \(7{,}8\cdot 6=46{,}8\) Minuten. 2. Summe der fünf bekannten Beiträge: \(38{,}5\) Minuten. 3. Fehlende Länge: \(46{,}8-38{,}5=8{,}3\) Minuten.

Der sechste Beitrag muss \(8{,}3\,\text{min}\) lang sein.

- Nutze den bekannten Durchschnitt, um die bisherige Summe zu erhalten. - Nur ein einzelner Summand muss berichtigt werden. - Die Anzahl der Messungen bleibt unverändert.

1. Falsche Gesamtsumme: \(46\cdot 6=276\) Minuten. 2. Korrektur der Summe: \(276-52+46=270\) Minuten. 3. Korrigierter Mittelwert: \(270:6=45\) Minuten.

Der korrigierte Mittelwert beträgt \(45\,\text{min}\).

- Die beiden Gruppen sind unterschiedlich groß. - Bestimme zunächst die jeweilige Gesamtmenge. - Teile am Ende durch die Gesamtzahl aller Personen.

1. Erste Gruppe: \(12\cdot 6{,}5=78\) Kilogramm. 2. Zweite Gruppe: \(18\cdot 8=144\) Kilogramm. 3. Zusammen: \(222\) Kilogramm bei \(30\) Personen. 4. Gemeinsamer Mittelwert: \(222:30=7{,}4\) Kilogramm.

Gemeinsam beträgt der Durchschnitt \(7{,}4\,\text{kg}\) pro Person.

- Lies alle acht markierten Werte anhand der Gitternetzlinien ab. - Für den Mittelwert müssen alle acht Messungen gleich stark eingehen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis zwischen dem kleinsten und dem größten Pegelstand liegt.

1. Die abgelesenen Werte sind \(3{,}2\,\text{m}; 3{,}6\,\text{m}; 3{,}4\,\text{m}; 3{,}9\,\text{m}; 3{,}7\,\text{m}; 3{,}5\,\text{m}; 3{,}8\,\text{m}; 3{,}7\,\text{m}\). 2. Ihre Summe beträgt \(28{,}8\,\text{m}\). 3. Der Mittelwert ist \(28{,}8\,\text{m}:8=3{,}6\,\text{m}\).

Der mittlere Pegelstand beträgt \(3{,}6\,\text{m}\).

- Lies für jede Punktzahl ab, wie oft sie vorkommt. - Wie kannst du Punktzahl und Häufigkeit zu ihrem Beitrag zur gesamten Punktesumme verbinden? - Durch welche Zahl musst du die Gesamtpunktzahl teilen?

1. Aus dem Diagramm liest man \(3\) Bewertungen mit \(1\), \(7\) mit \(2\), \(6\) mit \(3\) und \(4\) mit \(4\) Punkten ab. 2. Die Punktesumme ist \(3\cdot1+7\cdot2+6\cdot3+4\cdot4=51\). 3. Das arithmetische Mittel beträgt \(51:20=2{,}55\) Punkte.

Die durchschnittliche Bewertung beträgt \(2{,}55\) Punkte.

- Die obere Zeile enthält Werte, die untere ihre Häufigkeiten. - Bestimme sowohl die Gesamtzahl der Personen als auch die Gesamtzahl der Runden. - Ein nicht-ganzzahliger Durchschnitt ist möglich.

1. Insgesamt liefen \(20\) Jugendliche mit. 2. Gesamtrundenzahl: \(2\cdot 4+3\cdot 7+4\cdot 5+5\cdot 3+6\cdot 1=70\). 3. Durchschnitt: \(70:20=3{,}5\) Runden.

Die durchschnittliche Rundenzahl beträgt \(3{,}5\) Runden.

- Überlege, welche Bedeutung die zweite Tabellenzeile hat. - Prüfe, ob Maras Rechnung wirklich jede Person erfasst. - Schreibe gleiche Werte gedanklich so oft auf, wie sie vorkommen.

1. Maras Rechnung berücksichtigt jede Besuchszahl nur einmal und ignoriert die Häufigkeiten. 2. Gesamtzahl der Jugendlichen: \(20\). 3. Gesamtzahl der Besuche: \(40\). 4. Richtiger Durchschnitt: \(40:20=2\).

Mara hat die Häufigkeiten nicht berücksichtigt. Der richtige Durchschnitt beträgt \(2\) Besuche.

- Vergleiche die Gesamtsummen vor und nach der neunten Runde. - Der neue Durchschnitt gehört zu einer größeren Anzahl von Runden. - Die Differenz der beiden Gesamtsummen ist das neue Einzelergebnis.

1. Treffer nach acht Runden: \(15\cdot 8=120\). 2. Treffer nach neun Runden: \(16\cdot 9=144\). 3. Treffer in Runde neun: \(144-120=24\).

In der neunten Runde erzielt sie \(24\) Treffer.

- Wie groß muss die Summe der fünf Zahlen sein, damit ihr Durchschnitt \(20\) beträgt? - An welcher Position steht der Median, wenn die fünf Zahlen der Größe nach geordnet sind? - Lege zuerst den Median fest und wähle dann die übrigen Zahlen so, dass die Gesamtsumme stimmt. - Ordne die Zahlen zur Kontrolle und prüfe, ob alle fünf Werte verschieden sind.

1. Festlegung der Struktur: Bei fünf sortierten Werten \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5\) ist der Median der mittlere Wert \(x_3 = 10\). 2. Bedingung für das Mittel: Die Summe der fünf Zahlen muss \(5 \cdot 20 = 100\) ergeben. 3. Wahl der Werte: Wir wählen zwei verschiedene Zahlen kleiner als \(10\), zum Beispiel \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). Die bisherige Summe ist \(1 + 2 + 10 = 13\). 4. Bestimmung der restlichen Werte: Die Summe von \(x_4\) und \(x_5\) muss \(100 - 13 = 87\) sein, wobei \(10 < x_4 < x_5\). Wir können zum Beispiel \(x_4 = 11\) wählen, woraus \(x_5 = 87 - 11 = 76\) folgt. 5. Überprüfung: Die Reihe lautet \(1, 2, 10, 11, 76\). Der Median ist \(10\). Das Mittel ist \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle Zahlen sind verschieden und natürliche Zahlen.

Eine mögliche Datenreihe ist: \(1, 2, 10, 11, 76\). Rechnung: Median: Der mittlere Wert ist \(10\). Mittel: \((1 + 2 + 10 + 11 + 76) : 5 = 100 : 5 = 20\). Alle fünf Werte sind natürliche Zahlen und paarweise verschieden.

- Bestimme zuerst, welche Summe alle sieben Werte haben müssen. - Für zwei fehlende Werte ist nicht nur eine Lösung möglich. - Beachte alle Zusatzbedingungen.

1. Erforderliche Gesamtsumme: \(10\cdot 7=70\). 2. Summe der bekannten Werte: \(48\). 3. Die beiden fehlenden Werte müssen zusammen \(70-48=22\) ergeben. 4. Möglich sind zum Beispiel \(10\) und \(12\).

Mögliche fehlende Wertungen sind \(10\) und \(12\). Allgemein sind zwei verschiedene ganze Zahlen zwischen \(5\) und \(15\) mit der Summe \(22\) möglich.