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- Beide Personen sind bis zum Treffen gleich lange unterwegs. - Drücke die beiden Teilstrecken mit Geschwindigkeit und derselben Zeitvariablen aus. - Beim Treffen ergeben die beiden Teilstrecken zusammen die Anfangsentfernung.

1. Nach \(t\) Stunden hat Nora \(4t\) Kilometer und Elias \(5t\) Kilometer zurückgelegt. 2. Beim Treffen ergänzen sich beide Strecken zu \(18\,\text{km}\). Daher gilt \(4t+5t=18\). 3. Zusammenfassen ergibt \(9t=18\), also \(t=2\,\text{h}\).

Die Gleichung lautet \(4t+5t=18\). Sie treffen sich nach \(2\,\text{h}\).

- Welche Gesamtstrecke müssen beide zusammen bis zum Treffen zurückgelegt haben? - Welche Strecke legt jede Person in den gegebenen zwei Stunden zurück? - Ordne der Variablen diejenige Bewegungsgröße zu, die noch unbekannt ist.

1. Aus der Skizze liest man die Gesamtstrecke \(18\,\text{km}\) ab. Deshalb lautet die Gleichung \(4\cdot2+2x=18\). 2. Die Variable \(x\) bezeichnet Mareks Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 3. Vereinfachen ergibt \(8+2x=18\), also \(2x=10\) und \(x=5\).

\(4\cdot2+2x=18\). \(x\) ist Mareks Geschwindigkeit; \(x=5\,\text{km/h}\).

- Was bedeutet es, zu prüfen, ob ein vorgeschlagener Wert eine Lösung einer Gleichung ist? - Setze den vorgeschlagenen Zeitwert auf beiden Streckentermen ein. - Vergleiche die gemeinsam zurückgelegte Strecke mit der Entfernung der Startorte.

1. Für \(t=2\) beträgt die linke Seite \(2\cdot2+4\cdot2=4+8=12\). 2. Damit ist die Gleichung erfüllt. Die beiden zurückgelegten Strecken ergeben zusammen genau die Entfernung zwischen den Startorten. 3. Leos Behauptung ist richtig.

Einsetzen von \(t=2\) ergibt \(2\cdot2+4\cdot2=4+8=12\). Die Gleichung ist erfüllt; Leos Behauptung ist richtig.

- Bestimme zuerst für jede Woche die gesamte Fahrzeit. - Verwende für jede unbekannte Durchschnittsgeschwindigkeit eine eigene Variable. - Vergleiche die beiden Geschwindigkeiten erst nach dem Lösen der Gleichungen.

1. In Woche 1 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(4\cdot8=32\,\text{h}\). Daher gilt \(32v_1=960\). 2. Daraus folgt \(v_1=30\,\text{km/h}\). 3. In Woche 2 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(5\cdot6=30\,\text{h}\). Daher gilt \(30v_2=990\). 4. Daraus folgt \(v_2=33\,\text{km/h}\). 5. Somit war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit in Woche 2 höher.

Woche 1: \(32v_1=960\), also \(v_1=30\,\text{km/h}\). Woche 2: \(30v_2=990\), also \(v_2=33\,\text{km/h}\). In Woche 2 war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit höher.

- Verwende für jede unbekannte Strecke eine eigene Variable. - Wie hängen Strecke, Fahrzeit und Geschwindigkeit zusammen? - Vergleiche die beiden Strecken erst, nachdem du beide Gleichungen gelöst hast.

1. Für Mia gilt \(s_M:3=12\), also \(s_M=36\,\text{km}\). 2. Für Jonas gilt \(s_J:4=8\), also \(s_J=32\,\text{km}\). 3. Mia fährt \(36-32=4\,\text{km}\) weiter.

Mia: \(s_M:3=12\), also \(s_M=36\,\text{km}\). Jonas: \(s_J:4=8\), also \(s_J=32\,\text{km}\). Mia fährt \(4\,\text{km}\) weiter.

- Bestimme die beiden Strecken nach derselben Fahrzeit. - Welche der beiden Strecken ist größer? - Schreibe die größere Strecke als kleinere Strecke plus Abstand.

1. Das Auto legt in 4 Stunden \(85\cdot4=340\,\text{km}\) zurück, das Motorrad \(92\cdot4=368\,\text{km}\). 2. Die Strecke des Motorrads ist die Autostrecke plus Abstand: \(340+d=368\). 3. Daraus folgt \(d=28\,\text{km}\).

Gleichung: \(340+d=368\). Nach 4 Stunden beträgt der Abstand \(28\,\text{km}\).

- Lies nur die beschriftete Gesamtentfernung aus der Skizze ab; die gezeichnete Länge selbst ist nicht maßstäblich auszuwerten. - Wenn Leo \(t\) Stunden unterwegs ist, wie lange geht Mina wegen ihres früheren Starts? - Beim Treffen ergänzen sich beide Teilstrecken zur in der Skizze angegebenen Gesamtentfernung.

1. Leo ist \(t\) Stunden unterwegs; Mina wegen des früheren Starts \(t+0{,}5\) Stunden. 2. Die Skizze gibt die Gesamtentfernung mit \(17\,\text{km}\) an. 3. Beim Treffen gilt daher \(4(t+0{,}5)+6t=17\). 4. Aus \(4t+2+6t=17\) folgt \(10t=15\) und \(t=1{,}5\,\text{h}\). 5. Mina ist insgesamt \(2\,\text{h}\) unterwegs und legt \(4\cdot2=8\,\text{km}\) zurück.

Gleichung: \(4(t+0{,}5)+6t=17\). Leo ist \(1{,}5\,\text{h}\) unterwegs. Der Treffpunkt liegt \(8\,\text{km}\) von A entfernt.

- Welche zusätzliche Strecke hat Theo zu Beginn bereits zurückgelegt? - Schreibe für beide Personen die Entfernung vom Punkt A nach \(t\) Sekunden auf. - Welche Beziehung gilt zwischen diesen beiden Entfernungen genau im Moment des Einholens?

1. Aus der Skizze liest man einen Vorsprung von \(300\,\text{m}\) ab. 2. Nach \(t\) Sekunden ist Yara \(5t\) Meter vom Punkt A entfernt. 3. Theo startet \(300\,\text{m}\) vor A und läuft zusätzlich \(3t\) Meter. Seine Entfernung von A ist daher \(300+3t\). 4. Beim Einholen sind beide Entfernungen gleich. Deshalb gilt \(5t=300+3t\). 5. Aus \(2t=300\) folgt \(t=150\,\text{s}\).

Aus der Skizze: Vorsprung \(300\,\text{m}\). Nach \(t\) Sekunden ist Yara \(5t\) Meter von A entfernt, Theo \(300+3t\) Meter. Beim Einholen sind diese Entfernungen gleich, daher gilt \(5t=300+3t\). Daraus folgt \(t=150\,\text{s}\).

- Was bedeutet „genau einmal überrundet“ für den Unterschied der beiden zurückgelegten Strecken? - Schreibe für jede Läuferin einen Streckenterm in Abhängigkeit von \(t\). - Nutze für die Rundenzahl Maries Strecke und die Länge einer Runde.

1. Bei einer vollständigen Überrundung hat Sophie genau eine Rundenlänge mehr zurückgelegt als Marie. Daher gilt \(3{,}8t=3t+400\). 2. Aus \(0{,}8t=400\) folgt \(t=500\,\text{s}\). 3. Sophie ist dann \(3{,}8\,\text{m/s}\cdot500\,\text{s}=1900\,\text{m}\) gelaufen. 4. Marie ist \(3\,\text{m/s}\cdot500\,\text{s}=1500\,\text{m}\) gelaufen. Das sind drei volle Runden und weitere \(300\,\text{m}\), also befindet sie sich in der 4. Runde. 5. Nur bei konstanten Geschwindigkeiten lassen sich die Strecken durch die linearen Terme \(3t\) und \(3{,}8t\) darstellen.

a) Gleichung: \(3{,}8t=3t+400\). Daraus folgt \(t=500\,\text{s}\). b) Sophie hat \(1900\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Marie befindet sich in der 4. Runde. Die konstante Geschwindigkeit ist nötig, damit die Strecken durch \(s=vt\) als lineare Terme in \(t\) beschrieben werden können.

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (hier Stunden) umzurechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Wenn Julia später losfährt, ist sie kürzer unterwegs als Lukas. Wie drückst du ihre Fahrzeit aus, wenn \(t\) die Zeit von Lukas ist? - Was bedeutet „einholen“ mathematisch für die zurückgelegten Strecken der beiden? - Wie berechnet man die Ankunftszeit, wenn man die Entfernung und die Geschwindigkeit kennt?

1. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(10\,\text{min} = \frac{1}{6}\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Lukas legt in der Zeit \(t\) die Strecke \(12t\) zurück. Julia startet \(\frac{1}{6}\,\text{h}\) später, ihr Weg ist \(18(t - \frac{1}{6})\). Gleichung: \(12t = 18(t - \frac{1}{6})\). 3. Lösen der Gleichung: \(12t = 18t - 3 \Rightarrow 6t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\,\text{h}\). 4. Berechnung der Zeit und Strecke: \(0{,}5\,\text{h}\) entsprechen \(30\,\text{min}\). Einholzeit: 15:30 Uhr. Entfernung: \(12\,\text{km/h} \cdot 0{,}5\,\text{h} = 6\,\text{km}\). 5. Überprüfung der Ankunft: Lukas benötigt für \(12\,\text{km}\) genau \(1\,\text{h}\) (\(12 : 12\)), Ankunft 16:00 Uhr. Julia benötigt \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\,\text{h} = 40\,\text{min}\). Start 15:10 Uhr + \(40\,\text{min}\) = 15:50 Uhr. Beide sind spätestens um 16:00 Uhr am Ziel.

a) \(12t = 18(t - \frac{1}{6})\) b) Um 15:30 Uhr nach \(6\,\text{km}\). c) Ja, beide erreichen den See rechtzeitig (Julia um 15:50 Uhr und Lukas um 16:00 Uhr).

- Unterscheide zwischen der Geschwindigkeit auf einem Teilweg und der Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke. - Für die gesamte Wanderung müssen Gesamtstrecke und Gesamtdauer zusammenpassen. - In Teil c bleibt nur die Rückwegzeit veränderlich; überlege, wie sie in der Gesamtdauer erscheint.

1. Für den Hinweg gilt \(v_1=6:1{,}5=4\,\text{km/h}\). 2. Für den Rückweg gilt \(t_2=9:4{,}5=2\,\text{h}\). 3. Die gesamte Wanderung umfasst \(15\,\text{km}\) in \(1{,}5+2=3{,}5\,\text{h}\). Daher ist \(v_g=15:3{,}5\approx4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Für eine variable Rückwegzeit \(t_2\) beträgt die Gesamtdauer \(1{,}5+t_2\). Somit gilt \(v_g(t_2)=\frac{15}{1{,}5+t_2}\).

a) \(v_1=4\,\text{km/h}\) b) \(t_2=2\,\text{h}\); \(v_g\approx4{,}29\,\text{km/h}\) c) \(v_g(t_2)=\frac{15}{1{,}5+t_2}\)

- Die Durchschnittsgeschwindigkeit bezieht sich auf Gesamtstrecke und gesamte Fahrzeit, nicht auf den Mittelwert der beiden Einzelgeschwindigkeiten. - Schreibe die gesamte Fahrzeit als Summe aus Hinfahrzeit und \(t_2\). - Prüfe in c), ob die aus der Gleichung erhaltene Zeit für einen nicht leeren Rückweg möglich ist.

1. Die Hinfahrt dauert \(0{,}5\,\text{h}\), daher ist \(v_1=20:0{,}5=40\,\text{km/h}\). 2. Für insgesamt \(40\,\text{km}\) bei \(50\,\text{km/h}\) gilt \(50(0{,}5+t_2)=40\). 3. Daraus folgt \(25+50t_2=40\), also \(t_2=0{,}3\,\text{h}\). 4. Damit ist \(v_2=20:0{,}3=66\frac{2}{3}\,\text{km/h}\approx66{,}67\,\text{km/h}\). 5. Für \(80\,\text{km/h}\) müsste \(80(0{,}5+t_2)=40\) gelten. Das ergibt \(t_2=0\). 6. Für einen \(20\,\text{km}\) langen Rückweg ist eine positive Fahrzeit nötig, also ist das Ziel nicht erreichbar.

a) \(v_1=40\,\text{km/h}\) b) Gleichung: \(50(0{,}5+t_2)=40\). Daraus \(t_2=0{,}3\,\text{h}\) und \(v_2=66\frac{2}{3}\,\text{km/h}\approx66{,}67\,\text{km/h}\). c) Gleichung: \(80(0{,}5+t_2)=40\). Sie liefert \(t_2=0\); daher ist das Ziel für einen tatsächlich zu fahrenden Rückweg nicht möglich.

- Bestimme zuerst Julias Geschwindigkeit aus der Prozentangabe. - Schreibe für beide Personen einen Streckenterm mit derselben Zeit \(t\). - Beim Treffen ergeben beide Teilstrecken zusammen die gesamte Entfernung.

1. Julia läuft mit \(4\,\text{km/h}\cdot1{,}5=6\,\text{km/h}\). 2. Beim Treffen ergänzen sich die Teilstrecken zu \(18\,\text{km}\): \(4t+6t=18\). 3. Daraus folgt \(10t=18\) und \(t=1{,}8\,\text{h}\). 4. Max legt \(7{,}2\,\text{km}\), Julia \(10{,}8\,\text{km}\) zurück. 5. Julia läuft damit \(3{,}6\,\text{km}\) weiter als Max.

Gleichung: \(4t+6t=18\), also \(t=1{,}8\,\text{h}\). Julia legt die größere Strecke zurück. Der Unterschied beträgt \(3{,}6\,\text{km}\).

- Welche Beziehung verbindet Strecke, Geschwindigkeit und Fahrzeit? - Nutze für Hin- und Rückfahrt jeweils die volle Strecke von \(24\,\text{km}\). - Bestimme die Rückfahrgeschwindigkeit erst, nachdem du \(v\) gefunden hast.

1. Für die Hinfahrt gilt \(2v=24\), also \(v=12\,\text{km/h}\). 2. Auf dem Rückweg beträgt die Geschwindigkeit \(12-4=8\,\text{km/h}\). 3. Für die Rückfahrt gilt \(8t=24\), also \(t=3\,\text{h}\). 4. Die Rückfahrt dauert \(3\,\text{h}-2\,\text{h}=1\,\text{h}=60\,\text{min}\) länger.

a) Gleichung: \(2v=24\). Daher \(v=12\,\text{km/h}\). b) Gleichung: \(8t=24\). Daher \(t=3\,\text{h}\). c) Die Rückfahrt dauert \(60\,\text{min}\) länger.

- Wie weit fährt der Laster im ersten Abschnitt? - Welcher Streckenterm beschreibt 2 Stunden mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Die beiden Abschnittsstrecken ergeben zusammen die Gesamtstrecke.

1. In der ersten Stunde legt der Laster \(70\,\text{km}\) zurück. 2. Im zweiten Abschnitt legt er in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Beide Abschnitte ergeben zusammen \(180\,\text{km}\): \(70+2v=180\). 4. Daraus folgt \(2v=110\) und \(v=55\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(70+2v=180\). Im zweiten Abschnitt beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit \(55\,\text{km/h}\).

- Bestimme zuerst die Strecke des Lastwagens. - Welcher Streckenterm beschreibt die zweistündige Zugfahrt mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Beide Abschnittsstrecken ergeben zusammen \(600\,\text{km}\).

1. Der Lastwagen legt \(6\cdot60=360\,\text{km}\) zurück. 2. Der Zug legt in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Daher gilt \(360+2v=600\). 4. Aus \(2v=240\) folgt \(v=120\,\text{km/h}\). 5. Der Unterschied zur Lastwagengeschwindigkeit beträgt \(120-60=60\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(360+2v=600\). Der Zug fährt durchschnittlich \(120\,\text{km/h}\) und damit \(60\,\text{km/h}\) schneller als der Lastwagen.

- Beschreibe die längere Strecke mithilfe der kürzeren. - In a) müssen sich beide Weglängen zur bekannten Gesamtlänge ergänzen. - In b) hat jede Gruppe eine eigene Zeitvariable und eine eigene Beziehung \(s=vt\).

1. Gruppe B läuft \(x+4\) Kilometer. Daher gilt \(x+(x+4)=46\). 2. Aus \(2x+4=46\) folgt \(x=21\). Gruppe B läuft also \(25\,\text{km}\). 3. Für Gruppe A gilt \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\). 4. Für Gruppe B gilt \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

a) Gleichung: \(x+(x+4)=46\). Gruppe A läuft \(21\,\text{km}\), Gruppe B \(25\,\text{km}\). b) \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\); \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

- Anton benötigt eine Gleichung für die gesamte Strecke. - Boris' zwei Abschnitte brauchen zwei verschiedene Zeitvariablen. - Addiere Boris' Teilzeiten erst, nachdem du beide Gleichungen gelöst hast.

1. Für Anton gilt \(12t_A=48\), also \(t_A=4\,\text{h}\). Er kommt um 18:00 Uhr an. 2. Für Boris' ersten Abschnitt gilt \(16t_1=24\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\). 3. Für den zweiten Abschnitt gilt \(8t_2=24\), also \(t_2=3\,\text{h}\). 4. Boris fährt insgesamt \(4{,}5\,\text{h}\) und kommt um 18:30 Uhr an.

Anton: \(12t_A=48\), also \(t_A=4\,\text{h}\); Ankunft 18:00 Uhr. Boris: \(16t_1=24\) und \(8t_2=24\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\), \(t_2=3\,\text{h}\); Ankunft 18:30 Uhr.

- Für jede unbekannte Fahrzeit brauchst du eine eigene Gleichung. - Route B besteht aus zwei Abschnitten mit gleicher Länge, aber verschiedenen Geschwindigkeiten. - Addiere die beiden Teilzeiten von Route B vor der Bestimmung der Uhrzeit.

1. Route A: \(60t_A=120\), also \(t_A=2\,\text{h}\). Ankunft ist um 10:00 Uhr. 2. Route B, erster Abschnitt: \(40t_1=60\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\). 3. Route B, zweiter Abschnitt: \(80t_2=60\), also \(t_2=0{,}75\,\text{h}\). 4. Route B dauert insgesamt \(2{,}25\,\text{h}=2\,\text{h}\,15\,\text{min}\). Ankunft ist um 10:15 Uhr.

Route A: \(60t_A=120\), also \(t_A=2\,\text{h}\); Ankunft 10:00 Uhr. Route B: \(40t_1=60\) und \(80t_2=60\), also insgesamt \(2\,\text{h}\,15\,\text{min}\); Ankunft 10:15 Uhr.

- Berechne die beiden bereits gefahrenen Teilstrecken getrennt. - Wie groß ist ein Viertel der bisher gefahrenen Strecke? - Drücke die Reststrecke auch als Gesamtlänge minus bereits gefahrene Strecke aus.

1. Im ersten Abschnitt fährt der Zug \(6\cdot80=480\,\text{km}\), im zweiten \(4\cdot50=200\,\text{km}\). 2. Bisher sind damit \(680\,\text{km}\) gefahren. 3. Die Reststrecke ist ein Viertel davon, also \(170\,\text{km}\). 4. Mit der Gesamtlänge \(x\) gilt \(x-680=170\). 5. Daraus folgt \(x=850\,\text{km}\).

Bereits gefahren: \(680\,\text{km}\). Gleichung: \(x-680=170\). Die gesamte Strecke ist \(850\,\text{km}\) lang.

- Wandle die 45 Minuten in Stunden um. - Wie lautet die Geschwindigkeit des Radfahrers in Abhängigkeit von \(v\)? - Übersetze „5 km mehr“ in eine Gleichung zwischen den beiden Streckentermen.

1. Der Radfahrer fährt mit \(2v\,\text{km/h}\); 45 Minuten entsprechen \(0{,}75\,\text{h}\). 2. Der Jogger legt \(2v\) Kilometer zurück, der Radfahrer \(0{,}75\cdot2v=1{,}5v\) Kilometer. 3. Da der Jogger \(5\,\text{km}\) weiter läuft, gilt \(2v=1{,}5v+5\). 4. Daraus folgt \(0{,}5v=5\), also \(v=10\,\text{km/h}\). 5. Der Radfahrer fährt damit \(20\,\text{km/h}\).

Streckenterme: Jogger \(2v\), Radfahrer \(1{,}5v\). Gleichung: \(2v=1{,}5v+5\). Jogger: \(10\,\text{km/h}\); Radfahrer: \(20\,\text{km/h}\).

- Stelle für beide Personen einen Ausdruck für die zurückgelegte Strecke auf (Geschwindigkeit mal Zeit). - Verwende für Sarahs Geschwindigkeit das \(1{,}5\)-Fache von Lukas’ Geschwindigkeit \(v\). - Die Differenz der beiden Streckenausdrücke muss genau \(3\,\text{km}\) ergeben. - Für den letzten Teil setzt du Sarahs berechnete Geschwindigkeit in eine neue Zeitrechnung ein.

1. Zu Teil a): Lukas legt \(4v\) Kilometer zurück. Sarahs Geschwindigkeit beträgt \(1{,}5v\), ihre Strecke also \(2 \cdot 1{,}5v = 3v\). Da Lukas \(3\,\text{km}\) mehr zurücklegt, lautet die Gleichung \(4v = 3v + 3\). 2. Zu Teil b): Aus \(4v - 3v = 3\) folgt \(v = 3\). Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\,\text{km/h}\). 3. Zu Teil c): In \(4\,\text{Stunden}\) würde Sarah \(4 \cdot 4{,}5 = 18\,\text{km}\) zurücklegen.

a) \(4v = 3v + 3\). b) Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(4{,}5\,\text{km/h}\). c) Sarah wäre \(18\,\text{km}\) weit gekommen.

- Wie viel Zeit verbringt die Gruppe tatsächlich mit Wandern, wenn man die Pause abzieht? - Stelle für den Hinweg und den Rückweg jeweils einen Ausdruck für die benötigte Zeit auf. - Welche Größe bleibt bei beiden Wegen gleich? Nutze diese als Unbekannte. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen?

1. Bestimmung der reinen Gehzeit: Von der Gesamtzeit von \(6\) Stunden wird die Pausenzeit abgezogen: \(6\,\text{h} - 2\,\text{h} = 4\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Sei \(s\) die Entfernung zur Hütte in Kilometern. Die Zeit für den Aufstieg ist \(t_{auf} = \frac{s}{3}\) und für den Abstieg \(t_{ab} = \frac{s}{5}\). Die Summe beider Zeiten muss der reinen Gehzeit entsprechen: \(\frac{s}{3} + \frac{s}{5} = 4\). 3. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) ergibt \(5s + 3s = 60\). Dies führt zu \(8s = 60\). Durch Division ergibt sich \(s = 7{,}5\).

Die einfache Wegstrecke zur Hütte beträgt \(7{,}5\,\text{km}\).

- Kannst du die benötigte Zeit für den Hinweg und den Rückweg mithilfe einer Unbekannten ausdrücken? - Achte darauf, dass alle Zeitangaben in derselben Einheit (Stunden) stehen, bevor du sie in eine Gleichung einsetzt. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du den Rückweg in zwei separate Teilstrecken zerlegen?

1. Variable \(x\) für die gesuchte Strecke in \(\text{km}\) festlegen. 2. Zeit für den Hinweg als Term formulieren: \(t_1 = \frac{x}{15}\). 3. Zeit für den Rückweg aus zwei Teilen zusammensetzen: \(t_2 = \frac{0{,}5x}{15} + \frac{0{,}5x}{10}\). 4. Zeitdifferenz in Stunden umrechnen: \(12\,\text{min} = \frac{12}{60}\,\text{h} = 0{,}2\,\text{h}\). 5. Gleichung gemäß der Differenz aufstellen: \(t_2 - t_1 = 0{,}2\). 6. Gleichung vereinfachen: \(\frac{x}{30} + \frac{x}{20} - \frac{x}{15} = 0{,}2\). 7. Auf den Hauptnenner \(60\) bringen: \(\frac{2x + 3x - 4x}{60} = 0{,}2 \implies \frac{x}{60} = 0{,}2\). 8. Nach \(x\) auflösen: \(x = 0{,}2 \cdot 60 = 12\). Die Strecke beträgt \(12\,\text{km}\).

Die einfache Strecke ist \(12\,\text{km}\) lang.

- Wie viel Zeit verbringt das Schiff tatsächlich mit Fahren? - Überlege dir, wie schnell das Schiff auf dem Hinweg (mit der Strömung) und auf dem Rückweg (gegen die Strömung) ist. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Entfernung, der Geschwindigkeit und der benötigten Zeit?

1. Berechnung der reinen Fahrzeit durch Abzug der Pausenzeit von der Gesamtzeit: \(4\,\text{h} - 1\,\text{h} = 3\,\text{h}\). 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: flussabwärts \(15\,\text{km/h} + 3\,\text{km/h} = 18\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \(15\,\text{km/h} - 3\,\text{km/h} = 12\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Entfernung \(d\): \(\frac{d}{18} + \frac{d}{12} = 3\). 4. Erweitern auf den Hauptnenner \(36\): \(\frac{2d}{36} + \frac{3d}{36} = 3\). 5. Lösen der Gleichung: \(\frac{5d}{36} = 3 \implies 5d = 108 \implies d = 21{,}6\).

Die Sehenswürdigkeit befindet sich in einer Entfernung von \(21{,}6\,\text{km}\).

- Bestimme zuerst für jedes Fahrzeug die Fahrzeit in Abhängigkeit von derselben Strecke. - Der Zeitvorsprung ist die Differenz der beiden Fahrzeiten. - Prüfe nach dem Vereinfachen, ob der Term die Form „konstanter Faktor mal \(s\)“ besitzt. - Bringe für Teil c die Zeitangabe auf Stunden.

1. Die Fahrzeiten sind \(t_L(s)=\frac{s}{60}\) und \(t_M(s)=\frac{s}{80}\). Daher gilt \(\Delta t(s)=\frac{s}{60}-\frac{s}{80}=\frac{s}{240}\). 2. Der Term hat die Form \(\Delta t(s)=k s\) mit dem konstanten Faktor \(k=\frac{1}{240}\). Damit ist \(\Delta t\) direkt proportional zu \(s\). Bei doppelter Strecke verdoppelt sich der Zeitvorsprung. 3. \(15\,\text{min}=0{,}25\,\text{h}\). Aus \(\frac{s}{240}=0{,}25\) folgt \(s=60\,\text{km}\).

a) \(\Delta t(s)=\frac{s}{240}\,\text{h}\) b) Direkte Proportionalität; bei doppelter Strecke verdoppelt sich \(\Delta t\). c) \(60\,\text{km}\)

- Wandle die 12 Minuten in Stunden um. - Beim Einholen haben beide vom selben Startpunkt aus dieselbe Strecke zurückgelegt, aber unterschiedliche Laufzeiten. - Für b) bestimmt Tims Zeit bis Kilometer 6, wie viel Zeit Jan nach seinem späteren Start noch hat.

1. Die Startverzögerung beträgt \(12:60=0{,}2\,\text{h}\). 2. In a) gilt beim Einholen \(12t=10(t+0{,}2)\). 3. Daraus folgt \(12t=10t+2\), also \(t=1\,\text{h}\). 4. Bis Kilometer 6 benötigt Tim \(6:10=0{,}6\,\text{h}\). Jan hat daher \(0{,}6-0{,}2=0{,}4\,\text{h}\) Laufzeit. 5. Für Jan gilt \(0{,}4v=6\), also \(v=15\,\text{km/h}\).

a) Gleichung: \(12t=10(t+0{,}2)\). Jan holt Tim nach \(1\,\text{h}\) eigener Laufzeit ein. b) Jan hat \(0{,}4\,\text{h}\) Zeit. Gleichung: \(0{,}4v=6\). Daher braucht er \(v=15\,\text{km/h}\).

- Bestimme den zeitlichen Vorsprung von Gruppe A in Stunden. - Wenn Gruppe B \(t\) Stunden wandert, wie lange ist Gruppe A dann unterwegs? - Vergleiche für c) die berechnete Treffpunktentfernung direkt mit der Hüttenentfernung.

1. Gruppe A hat einen Vorsprung von \(1{,}5\,\text{h}\). 2. Beim Einholen gilt \(3(t+1{,}5)=5t\). 3. Daraus folgt \(3t+4{,}5=5t\), also \(t=2{,}25\,\text{h}\). 4. Das sind 2 Stunden 15 Minuten nach 10:00 Uhr, also 12:15 Uhr. 5. Der Treffpunkt liegt bei \(5\cdot2{,}25=11{,}25\,\text{km}\). 6. Da \(11{,}25<12\), findet das Einholen vor der Hütte statt.

a) Gleichung: \(3(t+1{,}5)=5t\). Treffen um 12:15 Uhr. b) Entfernung: \(11{,}25\,\text{km}\). c) Ja. Es gilt \(11{,}25\,\text{km}<12\,\text{km}\).

- Drücke die Pkw-Geschwindigkeit mithilfe von \(v\) aus. - Welche Strecke legt jedes Fahrzeug in 3 Stunden zurück? - Beim Treffen ergänzen sich beide Teilstrecken zur gesamten Autobahnstrecke.

1. Der Pkw fährt mit \(v+30\,\text{km/h}\). 2. In 3 Stunden legt der Lkw \(3v\) Kilometer, der Pkw \(3(v+30)\) Kilometer zurück. 3. Daher gilt \(3v+3(v+30)=450\). 4. Aus \(6v+90=450\) folgt \(v=60\,\text{km/h}\). 5. Der Pkw fährt \(90\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(3v+3(v+30)=450\). Lkw: \(60\,\text{km/h}\); Pkw: \(90\,\text{km/h}\).

- Berücksichtige beim Streckenterm für Jan seinen zeitlichen Vorsprung. - Beim Einholen haben beide vom gemeinsamen Startpunkt aus dieselbe Strecke zurückgelegt. - Sammle beim Umstellen alle Terme mit der gesuchten Zeit auf einer Seite. - Prüfe, warum der Nenner der Endformel unter der gegebenen Geschwindigkeitsbedingung positiv ist.

1. Wenn Tim seit \(t\) Sekunden läuft, ist Jan bereits \(t+100\) Sekunden unterwegs. Daher gilt \(s_J=v_J(t+100)\). 2. Für Tim gilt \(s_T=v_Tt\). 3. Beim Einholen sind die Strecken gleich: \(v_J(t+100)=v_Tt\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(v_Jt+100v_J=v_Tt\). 5. Umstellen liefert \(100v_J=v_Tt-v_Jt=t(v_T-v_J)\). 6. Da \(v_T>v_J\), ist \(v_T-v_J>0\). Division durch diese Differenz ergibt \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\).

a) \(s_J=v_J(t+100)\) b) \(s_T=v_Tt\) c) \(t=\frac{100v_J}{v_T-v_J}\)

- Bringe Geschwindigkeit und Vorsprung zuerst in zueinander passenden Einheiten. - Welche Entfernung vom Start hat Ben nach \(t\) Minuten einschließlich seines Vorsprungs? - Vergleiche in b) die Steigungen der beiden Streckenterme.

1. Anna läuft \(12\,000:60=200\,\text{m/min}\), Ben \(9000:60=150\,\text{m/min}\). 2. Beim Einholen gilt \(200t=150t+400\). 3. Daraus folgt \(50t=400\), also \(t=8\,\text{min}\). 4. Bei \(13\,\text{km/h}\) wäre Ben schneller als Anna. Sein Streckenterm hätte dann eine größere Steigung als Annas Streckenterm und zusätzlich den Vorsprung; die beiden Entfernungen könnten daher für \(t\ge0\) nicht gleich werden.

a) Anna: \(200\,\text{m/min}\), Ben: \(150\,\text{m/min}\). Gleichung: \(200t=150t+400\). Daraus \(t=8\,\text{min}\). b) Bei \(13\,\text{km/h}>12\,\text{km/h}\) wächst Bens Entfernung vom Start pro Zeiteinheit stärker als Annas und beginnt zusätzlich mit Vorsprung; ein Gleichstand der Strecken ist daher nicht möglich.

- Die Entfernung zwischen den beiden Anlegestellen bleibt in beide Richtungen gleich. - Wie kannst du die Entfernung mithilfe der Zeit und der (unbekannten) Gesamtgeschwindigkeit ausdrücken? - Setze ein Symbol für die Geschwindigkeit der Strömung ein. - Erstelle eine Gleichung, in der du die Ausdrücke für die Hin- und Rückfahrt gleichsetzt.

1. Definition der Unbekannten \(x\) als Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Terme für die Geschwindigkeit: flussabwärts \((20 + x)\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \((20 - x)\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die konstante Strecke \(s = v \cdot t\): \(3(20 + x) = 5(20 - x)\). 4. Lösen der Gleichung durch Ausmultiplizieren: \(60 + 3x = 100 - 5x\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(8x = 40\). 6. Division ergibt die Strömungsgeschwindigkeit: \(x = 5\).

Die Geschwindigkeit der Strömung beträgt \(5\,\text{km/h}\).

- Drücke die langsamere Geschwindigkeit mithilfe von \(v\) aus. - Multipliziere jede Geschwindigkeit mit derselben Fahrzeit. - Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt die Summe der beiden Strecken ihre Entfernung voneinander.

1. Der langsamere Zug fährt mit \(\frac{2}{3}v\,\text{km/h}\). 2. Die Strecken nach \(1{,}5\,\text{h}\) sind \(1{,}5v\) und \(1{,}5\cdot\frac{2}{3}v=v\). 3. Da die Züge in entgegengesetzte Richtungen fahren, addieren sich die Strecken: \(1{,}5v+v=225\). 4. Aus \(2{,}5v=225\) folgt \(v=90\,\text{km/h}\). 5. Der langsamere Zug fährt \(60\,\text{km/h}\).

Streckenterme: \(1{,}5v\) und \(v\). Gleichung: \(1{,}5v+v=225\). Schnellerer Zug: \(90\,\text{km/h}\); langsamerer Zug: \(60\,\text{km/h}\).

- Bestimme zuerst die Geschwindigkeit des Personenzugs. - Wenn der Personenzug \(t\) Stunden fährt, wie lange fährt der früher gestartete Güterzug? - Beim Treffen ergänzen sich beide Teilstrecken zur gesamten Entfernung zwischen A und B.

1. Der Personenzug fährt \(90\,\text{km/h}\). Der Güterzug ist bis zum Treffen \(t+0{,}5\) Stunden unterwegs. 2. Daher gilt \(60(t+0{,}5)+90t=180\). 3. Aus \(60t+30+90t=180\) folgt \(150t=150\) und \(t=1\,\text{h}\). 4. Das sind \(60\,\text{min}\) nach der Abfahrt des Personenzugs.

Gleichung: \(60(t+0{,}5)+90t=180\). Der Personenzug begegnet dem Güterzug \(60\,\text{min}\) nach seiner Abfahrt.

- Beim gleichzeitigen Start haben beide dieselbe Zeitvariable. - In b) ist Gruppe A um 0,75 Stunden länger unterwegs als Gruppe B. - Für c) genügt es, den Abstand zum Startzeitpunkt von Gruppe B mit dem ursprünglichen Abstand zu vergleichen.

1. Bei gleichzeitigem Start gilt \(4t+5t=18\), also \(9t=18\) und \(t=2\,\text{h}\). 2. Die Verzögerung beträgt \(45\,\text{min}=0{,}75\,\text{h}\). 3. In b) ist Gruppe A \(u+0{,}75\) Stunden unterwegs. Daher gilt \(4(u+0{,}75)+5u=18\). 4. Aus \(4u+3+5u=18\) folgt \(9u=15\), also \(u=\frac{5}{3}\,\text{h}=100\,\text{min}\). 5. Beim Start von Gruppe B hat Gruppe A bereits einen Teil des Abstands abgebaut. Gruppe B muss deshalb bis zum Treffen weniger lange gleichzeitig mit A unterwegs sein.

a) Gleichung: \(4t+5t=18\). Daraus \(t=2\,\text{h}\). b) Gleichung: \(4(u+0{,}75)+5u=18\). Daraus \(u=100\,\text{min}\). c) Beim späteren Start von B ist der Abstand bereits kleiner, weil A schon auf B zugegangen ist; deshalb ist Bs eigene Wanderzeit bis zum Treffen kürzer.

- Ordne zuerst jedem Faktor die zugehörige Geschwindigkeit und Fahrzeit zu. - Der Zeitvorsprung muss in Stunden zur Variablen \(t\) passen. - Löse erst die Gleichung nach \(t\) und berechne danach mit einem der Streckenterme die Entfernung.

1. Ivan fährt \(t\) Stunden, daher beschreibt \(18t\) seine Strecke. Sara ist wegen ihres Vorsprungs \(t+\frac{1}{3}\) Stunden unterwegs, daher beschreibt \(12(t+\frac{1}{3})\) ihre Strecke. 2. Beim Einholen sind beide Strecken gleich, daher ist die gegebene Gleichung passend. 3. Aus \(12t+4=18t\) folgt \(4=6t\) und damit \(t=\frac{2}{3}\,\text{h}\). 4. \(\frac{2}{3}\,\text{h}\) entsprechen \(40\,\text{min}\). 5. Ivan legt bis zum Einholen \(18\cdot\frac{2}{3}=12\,\text{km}\) zurück.

a) \(12(t+\frac{1}{3})\) ist Saras Strecke und \(18t\) Ivans Strecke bis zum Einholen. b) Ivan fährt \(40\,\text{min}\) bis zum Einholen; der Treffpunkt liegt \(12\,\text{km}\) vom Start entfernt.

- Wenn Herr Schmidt \(t\) Stunden unterwegs ist, wie lange läuft Frau Weber wegen ihres späteren Starts? - Drücke beide zurückgelegten Strecken mit \(t\) aus. - Beim Treffen müssen sich beide Teilstrecken genau zur Gesamtlänge des Weges ergänzen.

1. Herr Schmidt ist \(t\) Stunden unterwegs, Frau Weber wegen des späteren Starts \(t-0{,}5\) Stunden. 2. Die beiden Teilstrecken ergänzen sich zu \(17\,\text{km}\): \(4t+6(t-0{,}5)=17\). 3. Daraus folgt \(4t+6t-3=17\), also \(10t=20\) und \(t=2\). 4. Zwei Stunden nach 14:00 Uhr ist es 16:00 Uhr. 5. Herr Schmidt legt bis dahin \(4\,\text{km/h}\cdot2\,\text{h}=8\,\text{km}\) zurück.

a) Gleichung: \(4t+6(t-0{,}5)=17\). Sie treffen sich um 16:00 Uhr. b) Der Treffpunkt liegt \(8\,\text{km}\) von Herrn Schmidts Startpunkt entfernt.

- Drücke zuerst die Zeit jedes Teilwegs mithilfe von Weg und Geschwindigkeit aus. - Nutze die Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten, bevor du die Teilzeiten addierst. - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit brauchst du Gesamtweg und Gesamtdauer. - In Teil c ist die hergeleitete Beziehung zwischen \(v_g\) und \(v_1\) die passende Ausgangsgleichung.

1. Die Teilzeiten sind \(t_1=\frac{12}{v_1}\) und \(t_2=\frac{12}{1{,}5v_1}=\frac{8}{v_1}\). 2. Damit ist \(t_{ges}=\frac{12}{v_1}+\frac{8}{v_1}=\frac{20}{v_1}\). 3. Für die Gesamtstrecke von \(24\,\text{km}\) gilt \(v_g=\frac{24}{20/v_1}=\frac{24v_1}{20}=1{,}2v_1\). 4. Aus \(54=1{,}2v_1\) folgt \(v_1=45\,\text{km/h}\).

a) \(t_{ges}=\frac{20}{v_1}\) b) \(v_g=1{,}2v_1\) c) \(v_1=45\,\text{km/h}\)

- Rechne die 42 Minuten in Stunden um. - Wenn der Traktor \(t\) Stunden unterwegs ist, wie lange fährt dann der später gestartete Lkw? - Beim Einholen haben beide vom selben Startpunkt aus dieselbe Strecke zurückgelegt.

1. Die Startverzögerung beträgt \(42:60=0{,}7\,\text{h}\). 2. Der Traktor fährt \(t\) Stunden, der Lkw \(t-0{,}7\) Stunden. 3. Beim Einholen sind die vom Hof aus zurückgelegten Strecken gleich: \(25t=60(t-0{,}7)\). 4. Daraus folgt \(25t=60t-42\), also \(35t=42\) und \(t=1{,}2\,\text{h}\). 5. Das sind 1 Stunde 12 Minuten nach 07:00 Uhr, also 08:12 Uhr. 6. Die Entfernung ist \(25\,\text{km/h}\cdot1{,}2\,\text{h}=30\,\text{km}\).

Gleichung: \(25t=60(t-0{,}7)\). Der Lkw holt den Traktor um 08:12 Uhr in \(30\,\text{km}\) Entfernung vom Hof ein.

- Bestimme zunächst die Wege beider Personen in 50 Sekunden. - Skizziere gedanklich Sarahs Hin- und Rückweg bis zur Begegnung. - Warum entspricht die Summe beider gelaufenen Strecken zweimal der einfachen Entfernung?

1. Tom legt in 50 Sekunden \(3\,\text{m/s}\cdot50\,\text{s}=150\,\text{m}\) zurück. 2. Sarah legt in derselben Zeit \(4\,\text{m/s}\cdot50\,\text{s}=200\,\text{m}\) zurück. 3. Da Sarah bereits umgekehrt ist, ergeben beide insgesamt zurückgelegten Strecken zusammen zweimal die einfache Entfernung: \(2x=150+200\). 4. Daraus folgt \(2x=350\) und \(x=175\,\text{m}\).

a) Tom ist \(150\,\text{m}\) gelaufen. b) Gleichung: \(2x=150+200\). Der Springbrunnen ist \(175\,\text{m}\) vom Schultor entfernt.

- Wie viel Prozent der Strecke werden mit der reduzierten Geschwindigkeit gefahren? - Wandle die Verspätung von Minuten in Stunden um, damit sie zu den Geschwindigkeitsangaben in km/h passt. - Stelle einen Term für die normale Fahrzeit und einen Term für die Fahrzeit mit Baustelle auf. - Was bedeutet „Verspätung“ mathematisch für den Vergleich der beiden Zeiten?

1. Variable \(d\) für die Gesamtlänge in \(\text{km}\) festlegen. 2. Planmäßige Fahrzeit: \(t_{\text{plan}} = \frac{d}{120}\). 3. Tatsächliche Fahrzeit mit Baustelle: \(t_{\text{ist}} = \frac{0{,}6d}{120} + \frac{0{,}4d}{80}\). 4. Verspätung in Stunden umrechnen: \(15\,\text{min} = 0{,}25\,\text{h}\). 5. Lineare Gleichung aufstellen: \(t_{\text{ist}} - t_{\text{plan}} = 0{,}25\). 6. Terme zusammenfassen: \(\frac{0{,}6d - d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25 \implies \frac{-0{,}4d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25\). 7. Auf gemeinsamen Nenner \(240\) bringen: \(\frac{-0{,}8d + 1{,}2d}{240} = 0{,}25 \implies \frac{0{,}4d}{240} = 0{,}25\). 8. Nach \(d\) auflösen: \(0{,}4d = 60 \implies d = 150\). Die Strecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

Die Bahnstrecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

- Stelle für beide Personen eine Formel für die Zeit bis zum Treffpunkt auf. - Beachte, dass eine Person eine Pause macht und eine zusätzliche Teilstrecke zurücklegt. - Wandle alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) um, damit sie zur Geschwindigkeit in km/h passen. - Welche Strecke hat die langsamere Person zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt, wenn sie noch nicht am Ziel angekommen ist?

1. Sei \(s\) die gesuchte Entfernung in \(\text{km}\). 2. Berechnung der Zeit, die Anton bis zum Treffpunkt benötigt: Für den Hinweg braucht er \(\frac{s}{6}\,\text{h}\), dazu kommen \(10\,\text{Minuten} = \frac{1}{6}\,\text{h}\) Pause und für die \(2\,\text{km}\) Rückweg \(\frac{2}{6}\,\text{h}\). Gesamtzeit: \(t_A = \frac{s}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{s+3}{6}\,\text{h}\). 3. Berechnung der Zeit für Bernd bis zum Treffpunkt: Da er \(2\,\text{km}\) vor dem See ist, hat er \(s - 2\,\text{km}\) zurückgelegt. Zeit: \(t_B = \frac{s-2}{4}\,\text{h}\). 4. Da beide zur gleichen Zeit starten und sich treffen, gilt \(t_A = t_B\): \(\frac{s+3}{6} = \frac{s-2}{4}\). 5. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(4 \cdot (s+3) = 6 \cdot (s-2) \Rightarrow 4s + 12 = 6s - 12 \Rightarrow 24 = 2s \Rightarrow s = 12\). 6. Die Entfernung zwischen Dorf und See beträgt \(12\,\text{km}\).

Die Entfernung vom Dorf zum See beträgt \(12\,\text{km}\).

- Wenn der Läufer für die ganze Strecke genau 1 Stunde braucht, wie hängt seine Geschwindigkeit von \(s\) ab? - Welche Strecke hat der Läufer beim Treffen noch vor sich? - Drücke 40 Minuten als Bruchteil einer Stunde aus und verknüpfe damit seine bis zum Treffen gelaufene Strecke.

1. Weil der Läufer für \(s\) Kilometer genau 1 Stunde braucht, beträgt seine Geschwindigkeit \(s\,\text{km/h}\). 2. Nach 40 Minuten, also \(\frac{2}{3}\,\text{h}\), ist der Läufer \(s-2\) Kilometer weit gekommen. 3. Daher gilt \(s-2=\frac{2}{3}s\). 4. Aus \(\frac{1}{3}s=2\) folgt \(s=6\,\text{km}\). Der Läufer fährt damit \(6\,\text{km/h}\). 5. Der Radfahrer hat bis zum Treffen den Hinweg \(6\,\text{km}\) und \(2\,\text{km}\) Rückweg zurückgelegt, also \(8\,\text{km}\) in \(\frac{2}{3}\,\text{h}\). 6. Seine Geschwindigkeit beträgt \(8:\frac{2}{3}=12\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(s-2=\frac{2}{3}s\). \(PQ=6\,\text{km}\). Der Läufer bewegt sich mit \(6\,\text{km/h}\), der Radfahrer mit \(12\,\text{km/h}\).

- Überlege dir zuerst, wie viel länger ein Schritt von Anton im Vergleich zu einem Schritt von Bernd ist. - Kannst du ausdrücken, wie weit Anton in der Zeit kommt, in der Bernd genau 5 seiner Schritte macht? - Stelle ein Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten der beiden Läufer auf. - Wenn Anton Bernd einholt, hat er seinen Vorsprung von \(100\,\text{m}\) durch seine höhere Geschwindigkeit wettgemacht.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Schrittlängen: Da 3 Schritte von Anton (\(s_A\)) so lang sind wie 4 Schritte von Bernd (\(s_B\)), gilt \(3s_A = 4s_B\), also \(s_A = \frac{4}{3}s_B\). 2. Vergleich der Geschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit ist proportional zum Produkt aus Schrittfrequenz und Schrittlänge. In einem festen Zeitraum gilt \(v_A : v_B = (4s_A) : (5s_B)\). 3. Einsetzen des Schrittlängenverhältnisses: \(v_A : v_B = (4\frac{4}{3}s_B) : (5s_B) = \frac{16}{3} : 5 = 16 : 15\). Somit ist \(v_A = \frac{16}{15}v_B\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Strecke \(x\), die Bernd noch zurücklegt: Da die Zeit bis zum Einholen für beide gleich ist, gilt \(\frac{100 + x}{v_A} = \frac{x}{v_B}\). 5. Einsetzen des Geschwindigkeitsverhältnisses und Lösen: \(\frac{100 + x}{\frac{16}{15}v_B} = \frac{x}{v_B} \implies 100 + x = \frac{16}{15}x \implies 100 = \frac{1}{15}x \implies x = 1500\).

Bernd muss noch \(1500\,\text{m}\), also \(1{,}5\,\text{km}\), laufen.