- Was steht vor der Variablen, wenn kein Vorzeichen oder keine Zahl zu sehen ist? - Erinnere dich daran, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen wie eine Multiplikation mit einer bestimmten Zahl wirkt. - Wie kann man einen Bruchstrich als Multiplikation umschreiben? - Überlege, welche Zahl beim Multiplizieren den Wert der Variablen nicht verändert.

1. Ein Koeffizient ist der Zahlfaktor vor der Variablen. 2. Bei \(-x\) steht implizit eine \(-1\), also ist der Koeffizient \(-1\). 3. Bei \(1{,}2y\) ist der Koeffizient direkt als \(1{,}2\) ablesbar. 4. Der Term \(\frac{z}{10}\) lässt sich als \(\frac{1}{10}z\) schreiben, der Koeffizient ist \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)). 5. Bei \(-\frac{4}{5}a\) ist der Koeffizient \(-\frac{4}{5}\) (oder \(-0{,}8\)). 6. Der Term \(b\) entspricht \(1 \cdot b\), der Koeffizient ist somit \(1\).

a) \(-1\) b) \(1{,}2\) c) \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)) d) \(-\frac{4}{5}\) (oder \(-0{,}8\)) e) \(1\)

- Eine Subtraktion kannst du als Addition einer negativen Zahl oder eines negativen Glieds schreiben. - Das Vorzeichen gehört jeweils zum folgenden Glied. - Prüfe nach dem Umschreiben, ob sich am Wert des Terms etwas geändert hat.

1. \(7x-4y=(7x)+(-4y)\). 2. \(-a^2+5a-9=(-a^2)+(5a)+(-9)\). 3. \(3u^2-uv+2v^2=(3u^2)+(-uv)+(2v^2)\).

1) \((7x)+(-4y)\) 2) \((-a^2)+(5a)+(-9)\) 3) \((3u^2)+(-uv)+(2v^2)\)

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Was geschieht mit dem Ergebnis der Klammer anschließend?

1. Zuerst wird die Summe \(x+3\) innerhalb der Klammer gebildet. 2. Danach wird diese Summe durch \(2\) geteilt. 3. Die letzte Operation ist daher die Division.

Division durch \(2\)

- Welche Rechenoperation verbindet die Zahl vor der Klammer mit der Klammer? - Betrachte die Klammer zunächst als einen einzigen Baustein.

1. Der gesamte Term ist ein Produkt. 2. Der erste Faktor ist \(5\). 3. Der zweite Faktor ist der vollständige Klammerterm \(x-2\).

Die Hauptfaktoren sind \(5\) und \(x-2\).

- Beginne bei der tieferen Verzweigung des Baums und bestimme dort die Rechenoperation. - Welcher Teilterm entsteht aus den beiden Blättern auf der linken Seite? - Welche Operation verbindet diesen gesamten Teilterm anschließend mit \(5\)?

1. Im linken Teil des Rechenbaums werden zuerst \(2\) und \(x\) multipliziert; dort entsteht \(2x\). 2. An der obersten Verzweigung wird anschließend \(5\) addiert. 3. Der dargestellte Term ist daher \(2x+5\). 4. Somit ist B richtig.

B) \(2x+5\)

- Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Welche Operation wird im gesamten Term zuletzt ausgeführt? - Suche den Baum, in dem die Addition vollständig unterhalb der Multiplikation liegt.

1. Im Term \(2(x+5)\) wird zuerst \(x+5\) gebildet. 2. Dieses Ergebnis wird anschließend mit \(2\) multipliziert. Die letzte Rechenoperation ist also eine Multiplikation. 3. Genau diese Struktur zeigt Rechenbaum A.

Rechenbaum A. Zuerst wird \(x+5\) gebildet; die letzte Rechenoperation ist anschließend die Multiplikation dieses Ergebnisses mit \(2\).

- Bestimme zuerst für jeden Term die Zahl, mit der die Variable multipliziert wird. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können. - Achte besonders auf die negativen Zahlen beim Ordnen.

1. Identifikation der Koeffizienten: \(A \rightarrow 0{,}4\) \(B \rightarrow \frac{1}{5} = 0{,}2\) \(C \rightarrow -2\) \(D \rightarrow \frac{3}{4} = 0{,}75\) \(E \rightarrow -1\) 2. Vergleich der Zahlenwerte: \(-2 < -1 < 0{,}2 < 0{,}4 < 0{,}75\). 3. Zuordnung der Terme zur sortierten Liste: \(C, E, B, A, D\).

Die Koeffizienten sind: \(A: 0{,}4\); \(B: 0{,}2\); \(C: -2\); \(D: 0{,}75\); \(E: -1\). Die richtige Reihenfolge lautet: \(C, E, B, A, D\).

- Was bedeutet eine Zahl, die direkt vor einer Variablen steht? - Wie kannst du eine Multiplikation wie \(3 \cdot 5\) nur mit Pluszeichen schreiben? - Überlege dir, wie oft die Variable oder der Klammerausdruck in der Summe vorkommen muss. - Behandle Potenzen wie \(a^2\) einfach als ein festes Paket, das mehrfach vorhanden ist.

1. Multiplikation als wiederholte Addition interpretieren: \(5x\) bedeutet, dass \(x\) fünfmal addiert wird: \(x + x + x + x + x\). 2. Die einzelnen Teile des Terms getrennt betrachten: \(3a^2\) sind drei \(a^2\)-Glieder, \(2b\) sind zwei \(b\)-Glieder. Zusammen ergibt das: \(a^2 + a^2 + a^2 + b + b\). 3. Subtraktion als wiederholte Subtraktion darstellen: \(4m\) sind vier \(m\)-Glieder, davon werden drei \(n\)-Glieder abgezogen: \(m + m + m + m - n - n - n\). 4. Den Klammerausdruck als Ganzes betrachten: Der Faktor \(2\) bedeutet, dass die gesamte Klammer zweimal als Summand auftritt: \((p + q) + (p + q)\).

a) \(x + x + x + x + x\) b) \(a^2 + a^2 + a^2 + b + b\) c) \(m + m + m + m - n - n - n\) d) \((p + q) + (p + q)\)

- Welche Rechenregel (z. B. Klammern zuerst, Punkt vor Strich) musst du hier anwenden? - Stell dir vor, du setzt Zahlen für die Variablen ein. Welche Rechnung würdest du ganz zum Schluss eintippen? - Der Name des Terms richtet sich immer nach der Rechenoperation, die als Letztes ausgeführt wird.

1. Bei \(x \cdot (y + 5)\) wird zuerst die Klammer berechnet (Addition), zuletzt die Multiplikation; der Term ist ein Produkt. 2. Bei \(a^2 - 10\) wird zuerst das Potenzieren durchgeführt, zuletzt die Subtraktion; der Term ist eine Differenz. 3. Bei \((p - q) : 4\) wird zuerst die Klammer berechnet (Subtraktion), zuletzt die Division; der Term ist ein Quotient. 4. Bei \(7 + 3 \cdot n\) gilt „Punkt-vor-Strich-Rechnung“, also wird zuerst multipliziert und zuletzt addiert; der Term ist eine Summe. 5. Bei \((m + 1)^2\) wird zuerst die Klammer berechnet (Addition), zuletzt das Potenzieren; der Term ist eine Potenz.

1) Multiplikation; Produkt 2) Subtraktion; Differenz 3) Division; Quotient 4) Addition; Summe 5) Potenzieren; Potenz

- Überlege, wie eine Subtraktion als Addition einer Gegenzahl geschrieben werden kann. - Umgekehrt kann eine Addition als Subtraktion der Gegenzahl dargestellt werden. - Prüfe jede Umformung, indem du auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder achtest.

1. Subtraktionen können als Addition der Gegenzahl geschrieben werden: \(p - q - r - 10 = p + (-q) + (-r) + (-10)\). 2. Eine Addition kann entsprechend als Subtraktion der Gegenzahl geschrieben werden: \(15 + a + b = 15 - (-a) - (-b)\). 3. Im dritten Term gilt zunächst \(x - (-y) = x + y\); die verbleibende Subtraktion von \(z\) wird zur Addition von \(-z\). Damit entsteht \(x + y + (-z)\).

a) \(p + (-q) + (-r) + (-10)\) b) \(15 - (-a) - (-b)\) c) \(x + y + (-z)\)

- Schreibe jede Subtraktion als Addition eines negativen Glieds. - Bei \(x\) ist ein Zahlenfaktor mitgedacht, obwohl er nicht sichtbar geschrieben wird. - Unterscheide Variablenglieder von einem Glied ohne Variable.

1. Als algebraische Summe lautet der Term \((-5x^2)+(+x)+(-0{,}8)\). 2. Das Glied \(-5x^2\) hat den Koeffizienten \(-5\). 3. Das Glied \(x\) hat den Koeffizienten \(1\). 4. Das konstante Glied ist \(-0{,}8\).

a) \((-5x^2)+(+x)+(-0{,}8)\) b) Koeffizienten: \(-5\) und \(1\); konstantes Glied: \(-0{,}8\). Der Koeffizient von \(x\) ist \(1\).

- Beim Bruch entspricht der Zähler dem Dividenden und der Nenner dem Divisor. - Wenn eine Summe oder Differenz vollständig geteilt wird, muss ihre Zusammengehörigkeit in der Divisionsschreibweise erhalten bleiben. - Prüfe nach dem Umschreiben, ob wirklich derselbe gesamte Ausdruck geteilt wird wie vorher.

1. Bei \((4z+1):6\) steht der Dividend im Zähler und der Divisor im Nenner: \(\frac{4z+1}{6}\). 2. Der Bruch \(\frac{x+y}{9}\) bedeutet, dass die ganze Summe \(x+y\) durch \(9\) geteilt wird: \((x+y):9\). 3. Aus \(15:4\) wird \(\frac{15}{4}\). 4. Der Bruch \(\frac{7a-2b}{5}\) wird als \((7a-2b):5\) geschrieben, damit die ganze Differenz der Dividend bleibt.

1) \(\frac{4z+1}{6}\) 2) \((x+y):9\) 3) \(\frac{15}{4}\) 4) \((7a-2b):5\)

- Lies den Rechenbaum von den unteren Eingaben zum obersten Ergebnis. - Achte beim Term darauf, welches Zwischenergebnis als Ganzes durch \(5\) geteilt wird. - Beim Rückwärtsrechnen gehst du die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge zurück.

1. Zuerst wird \(R\) mit \(4\) multipliziert. Danach werden \(200\) abgezogen. Zuletzt wird durch \(5\) geteilt. 2. Der Term lautet \((R\cdot4-200):5\). 3. Für \(R=100\) ergibt sich \(40\), für \(R=250\) ergibt sich \(160\), und für \(R=75\) ergibt sich \(20\). 4. Rückwärts gilt \(120\cdot5=600\), \(600+200=800\) und \(800:4=200\). Daher ist \(R=200\).

a) Mit \(4\) multiplizieren, \(200\) abziehen, durch \(5\) teilen. b) \((R\cdot4-200):5\) c) \(40\), \(160\), \(20\) d) Rückwärts: \(120\cdot5=600\), \(600+200=800\), \(800:4=200\). Also ist \(R=200\).

- Beginne bei der tieferen Verzweigung des Baums. - Welcher Teilterm entsteht dort? - Was geschieht mit diesem gesamten Teilterm an der obersten Verzweigung?

1. Im rechten Teil des Baums werden \(x\) und \(4\) zuerst addiert; dort entsteht \(x+4\). 2. Dieses Ergebnis wird anschließend mit \(3\) multipliziert. 3. Der Term lautet daher \(3(x+4)\), und die letzte Operation ist die Multiplikation.

Term: \(3(x+4)\) Letzte Operation: Multiplikation

- Beginne bei der zuerst beschriebenen inneren Summe. - Welche gesamte Größe wird anschließend mit \(3\) multipliziert? - Die letzte Operation bestimmt die beiden obersten Teile des Terms.

1. Die innere Summe ist \(x+1\). 2. Vor der letzten Division entsteht daraus \(3(x+1)\). 3. Der vollständige Term lautet \(3(x+1):2\). 4. Linker Teil der letzten Division ist \(3(x+1)\), rechter Teil ist \(2\).

a) \(3(x+1):2\) b) Links: \(3(x+1)\); rechts: \(2\).

- Was verändert die Klammer an der Reihenfolge der Rechnungen? - Überlege dir für jedes Paar, welcher Fachbegriff (Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz) die gesamte Struktur am besten beschreibt. - Achte darauf, welche Operation ohne Klammern Vorrang hätte.

1. Vergleich von \(a^2 + b^2\) und \((a + b)^2\): Im ersten Term werden zuerst die Potenzen berechnet und dann addiert (letzte Operation: Addition), es handelt sich um eine Summe (Summe von Quadraten). Im zweiten Term wird durch die Klammer zuerst addiert und dann das Ergebnis potenziert (letzte Operation: Potenzieren), es handelt sich um eine Potenz (Quadrat einer Summe). 2. Vergleich von \(x \cdot y - z\) und \(x \cdot (y - z)\): Im ersten Term gilt „Punkt vor Strich“, es wird zuerst multipliziert und dann subtrahiert (letzte Operation: Subtraktion), es handelt sich um eine Differenz. Im zweiten Term erzwingt die Klammer zuerst die Subtraktion, danach wird multipliziert (letzte Operation: Multiplikation), es handelt sich um ein Produkt.

a) \(a^2 + b^2\) ist eine Summe; \((a + b)^2\) ist eine Potenz. b) \(x \cdot y - z\) ist eine Differenz; \(x \cdot (y - z)\) ist ein Produkt.