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- Überlege dir, wie sich eine Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) verhält, wenn die Basis \(a\) größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Exponent positiv, negativ oder null ist? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten. - Welchen Wert hat jede Potenz mit dem Exponenten 0?

1. Für \(1{,}05^{12}\) ist die Basis \(a = 1{,}05 > 1\). Da der Exponent \(12 > 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 2. Für \(0{,}92^{5}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}92 < 1\). Da der Exponent \(5 > 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 3. Für \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}5 < 1\). Da der Exponent \(-3 < 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 4. Für \(\left(\frac{5}{4}\right)^{-0{,}2}\) ist die Basis \(a = 1{,}25 > 1\). Da der Exponent \(-0{,}2 < 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 5. Jede von Null verschiedene Basis mit dem Exponenten 0 ergibt den Wert 1. Da \(\sqrt{2}-1 \neq 0\), ist der Wert gleich 1.

a) Größer als 1 b) Kleiner als 1 c) Größer als 1 d) Kleiner als 1 e) Gleich 1

- Wie hängen die Basen \(5\) und \(0{,}2\) mathematisch zusammen? - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn man das Vorzeichen von \(x\) umkehrt? - Überlege dir, ob die Funktionswerte immer größer oder immer kleiner werden, wenn du größere Zahlen einsetzt.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x)\) ergeben sich \(f(-1) = 0{,}2\), \(f(0) = 1\) und \(f(1) = 5\). Für \(g(x)\) ergeben sich \(g(-1) = 5\), \(g(0) = 1\) und \(g(1) = 0{,}2\). 2. Nachweis der Identität: Da \(0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}\) ist, gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervorgeht. 3. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben die Werte von \(f(x) = 5^x\) gegen unendlich (\(f(x) \to \infty\)), während die Werte von \(g(x) = 0{,}2^x\) gegen Null streben (\(g(x) \to 0\)), da die Basis kleiner als 1 ist.

a) \(f(-1)=0{,}2\), \(f(0)=1\), \(f(1)=5\); \(g(-1)=5\), \(g(0)=1\), \(g(1)=0{,}2\). b) Es gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse. c) Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) (exponentielles Wachstum) und \(g(x) \to 0\) (exponentieller Zerfall).

- Setze für den Schnitt mit der \(y\)-Achse \(x=0\) und für den Schnitt mit der \(x\)-Achse den Funktionswert \(0\). - Betrachte für die Asymptote, was mit dem reinen Potenzterm für sehr negative \(x\) geschieht. - Lies die horizontale und vertikale Verschiebung direkt aus dem Funktionsterm im Vergleich zu \(2^x\) ab.

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(f(0)=2^{-2}-4=0{,}25-4=-3{,}75\). Damit ist \(S_y(0\mid-3{,}75)\). 2. Für die \(x\)-Achse gilt \(2^{x-2}-4=0\), also \(2^{x-2}=4=2^2\). Daher ist \(x=4\) und \(N(4\mid0)\). 3. Für \(x\to-\infty\) nähert sich \(2^{x-2}\) dem Wert \(0\). Damit nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\) von oben; die Asymptote ist \(y=-4\). 4. Aus \(2^x\) entsteht der Graph durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach unten.

a) \(S_y(0\mid-3{,}75)\) und \(N(4\mid0)\). b) Asymptote \(y=-4\); für \(x\to-\infty\) nähert sich der Graph ihr von oben. c) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach unten.

- Was passiert mit dem Wert einer Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Schau dir die Basis der Potenz an: Ist sie größer oder kleiner als 1? - Können Exponentialfunktionen der Form \(y = ab^x\) (mit \(a > 0\)) jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Überlege dir, was mit dem Graphen passiert, wenn man auf der \(x\)-Achse ganz weit nach links geht.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 3^0 = 1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 1{,}5)\). 2. Bestimmung der Monotonie: Da die Basis \(b = 3\) größer als \(1\) ist und der Vorfaktor \(a = 1{,}5\) positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend. 3. Ermittlung des Wertebereichs: Da \(3^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv ist und \(1{,}5 > 0\) gilt, nimmt die Funktion nur positive Werte an. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\) bzw. \(\mathbb{R}^+\). 4. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Da die Basis \(b > 1\) ist, nähert sich \(3^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte der Null an. Somit nähern sich auch die Funktionswerte \(1{,}5 \cdot 3^x\) der \(0\) an. Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist die waagerechte Asymptote.

a) \(S_y(0 \mid 1{,}5)\) b) Streng monoton steigend, da die Basis \(3 > 1\) ist. c) \(W = \mathbb{R}^+\) (alle reellen Zahlen größer als \(0\)). d) Die Funktionswerte nähern sich der \(0\) an (die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote).

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Überlege zuerst, welchen Wert die Funktion an der Stelle \(x = 0\) annimmt. Wo schneidet der Graph die senkrechte Achse? - Schau dir die Basis \(b\) an: Ist sie größer oder kleiner als 1? Was bedeutet das für den Verlauf des Graphen? - Vergleiche Graphen mit demselben Startwert. Welcher steigt oder fällt schneller?

1. Bestimmung der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) ergeben die Gleichungen (a) und (b) den Wert \(y = 3\), während (c) und (d) den Wert \(y = 1{,}5\) ergeben. Die Graphen (1) und (2) schneiden die \(y\)-Achse bei \(3\), die Graphen (3) und (4) bei \(1{,}5\). 2. Analyse des Wachstumsverhaltens: Basen \(b > 1\) stehen für Wachstum (steigender Graph), Basen \(0 < b < 1\) für Zerfall (fallender Graph). 3. Zuordnung: - (a) hat \(a = 3\) und \(b = 1{,}4 > 1\) (Wachstum) \(\rightarrow\) Graph (1) - (b) hat \(a = 3\) und \(b = 0{,}6 < 1\) (Zerfall) \(\rightarrow\) Graph (2) - (c) hat \(a = 1{,}5\) und \(b = 1{,}4 > 1\) (Wachstum) \(\rightarrow\) Graph (3) - (d) hat \(a = 1{,}5\) und \(b = 0{,}6 < 1\) (Zerfall) \(\rightarrow\) Graph (4)

Die Zuordnung lautet: (a) – (1), (b) – (2), (c) – (3), (d) – (4).

- Entscheide zuerst für jeden Graphen, ob er steigt oder fällt. - Lies anschließend den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab; er zeigt den Vorfaktor. - Nutze bei Bedarf einen zweiten gut ablesbaren Punkt, um zwischen verschiedenen Basen zu unterscheiden.

1. Graph A ist streng monoton steigend und verläuft durch \((0\mid1)\). Der Punkt \((1\mid2)\) zeigt, dass Term (1) \(2^x\) passt. 2. Graph B ist streng monoton fallend und verläuft durch \((0\mid1)\). Der Punkt \((1\mid0{,}5)\) zeigt, dass Term (2) \(0{,}5^x\) passt. 3. Graph C ist ebenfalls fallend, schneidet die \(y\)-Achse aber bei \((0\mid2)\). Daher gehört Term (4) \(2\cdot0{,}5^x\) zu C. 4. Term (3) \(3^x\) wäre steiler als Graph A und hätte bei \(x=1\) den Wert \(3\). Er passt zu keinem dargestellten Graphen.

Graph A: (1) Graph B: (2) Graph C: (4) Nicht verwendet: (3)

- Berechne für jede Funktion den Wert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu bestimmen. - Vergleiche die waagerechten Asymptoten der drei Funktionen. - Prüfe zusätzlich, ob der jeweilige Graph steigt oder fällt.

1. Für A gilt \(f(0) = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). Das entspricht Graph c). 2. Für B gilt \(g(0) = -1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = -2\). Das entspricht Graph a). 3. Für C gilt \(h(0) = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). Wegen des Minuszeichens vor dem Potenzterm ist der Graph steigend. Das entspricht Graph b). 4. Damit lautet die Zuordnung A–c), B–a), C–b).

A gehört zu Graph c), B zu Graph a), C zu Graph b).

- Welcher markierte Punkt liefert dir direkt den Anfangswert einer Funktion der Form \(b\cdot a^x\)? - Vergleiche zwei markierte Punkte, deren \(x\)-Werte sich genau um \(1\) unterscheiden. - Entscheide anhand des Faktors, ob die Funktion wächst oder fällt.

1. Am Punkt mit \(x=0\) liest man \(f(0)=3\) ab. Daher ist \(b=3\). 2. Von \(x=0\) zu \(x=1\) steigt der Funktionswert von \(3\) auf \(6\). Der Faktor ist also \(a=\frac{6}{3}=2\). 3. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=3\cdot2^x\). Weil \(a=2>1\) ist, wächst der Graph.

\(b=3\), \(a=2\), also \(f(x)=3\cdot2^x\). Der Graph wächst.

- Unterscheide zwischen einer Änderung außerhalb des Potenzterms und einer Änderung im Argument des Potenzterms. - Bestimme die Nullstelle von \(g\), indem du den Potenzterm isolierst. - Überlege für c), ob eine reine Verschiebung nach links oder rechts neue \(y\)-Werte erzeugt.

1. Die Subtraktion von \(9\) verschiebt den Graphen von \(f\) um \(9\) Einheiten nach unten. Daher hat \(g\) die waagerechte Asymptote \(y=-9\). 2. Für die Nullstelle gilt \(3^x-9=0\), also \(3^x=9=3^2\). Daher ist \(x=2\) und der Schnittpunkt lautet \(N(2\mid0)\). 3. Der Term \(x+1\) im Exponenten verschiebt den Graphen von \(f\) um eine Einheit nach links. 4. Eine horizontale Verschiebung ändert die Wertemenge nicht. Für \(f\) und \(h\) gilt daher \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\).

a) Asymptote \(y=-9\); Schnittpunkt \(N(2\mid0)\). b) Verschiebung um eine Einheit nach links. c) Die Wertemenge bleibt \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\).

- Vergleiche für die Symmetrie die Terme \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Für den höchsten Punkt kannst du zunächst untersuchen, wann der Exponent \(-x^2+1\) am größten ist. - Betrachte für das Grenzverhalten zuerst, was mit dem Exponenten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte geschieht.

1. Es gilt \(g(-x)=2^{-(-x)^2+1}=2^{-x^2+1}=g(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Da die Basis \(2>1\) ist, wird \(g(x)\) genau dann maximal, wenn der Exponent \(-x^2+1\) maximal ist. Das ist bei \(x=0\) der Fall. Mit \(g(0)=2\) ist der höchste Punkt \(H(0\mid2)\). 3. Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(-x^2+1\to-\infty\). Daher gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to0\). 4. Somit ist die \(x\)-Achse, also \(y=0\), eine waagerechte Asymptote des Graphen für \(x\to\pm\infty\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(H(0\mid2)\) c) Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to0\); die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

- Welchen Einfluss hat die Größe der Basis auf den Verlauf des Graphen? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit 0 potenziert? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. Wie hängen \(1{,}25\) und \(0{,}8\) als Brüche zusammen?

1. Monotonieverhalten: Da die Basis von \(f\) mit \(a = 1{,}25 > 1\) größer als 1 ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Da die Basis von \(g\) mit \(a = 0{,}8 < 1\) zwischen 0 und 1 liegt, ist die Funktion streng monoton fallend. 2. Gemeinsame Punkte und Asymptote: Jede Exponentialfunktion der Form \(y = a^x\) verläuft durch den Punkt \((0 \mid 1)\), da \(a^0 = 1\) für alle \(a \neq 0\) gilt. Die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) ist die waagerechte Asymptote für beide Funktionen, da sich die Funktionswerte für \(x \to -\infty\) (bei \(f\)) bzw. \(x \to \infty\) (bei \(g\)) beliebig nah an 0 annähern. 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\). Es gilt \(f(-x) = 1{,}25^{-x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-x} = \left(\frac{4}{5}\right)^x = 0{,}8^x\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, geht \(g\) durch Spiegelung von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f\) ist streng monoton steigend (\(a > 1\)); \(g\) ist streng monoton fallend (\(0 < a < 1\)). b) Gemeinsamer Schnittpunkt: \(S(0 \mid 1)\); Asymptote: \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). c) Da \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) und \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) Kehrwerte sind, gilt \(1{,}25^{-x} = (1{,}25^{-1})^x = 0{,}8^x\).

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man den Exponenten verändert? Nutze die Potenzgesetze. - Was passiert, wenn du die Zahl 1 immer wieder mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten (Brüchen). Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\)? - Überlege, für welche Arten von Zahlen Wurzeln aus negativen Werten gezogen werden können.

1. Bestimmung der Basis: Nach der Grundeigenschaft gilt \(f(x+s) = f(x) \cdot a^s\). Hier ist \(s = 2\) und der Faktor \(a^s = 4\). Aus \(a^2 = 4\) folgt wegen \(a > 0\) die Basis \(a = 2\). 2. Sonderfall \(a = 1\): Für \(a = 1\) gilt \(f(x) = 1^x = 1\) für alle \(x\). Dies ist eine konstante Funktion. Der Graph ist eine Parallele zur \(x\)-Achse durch den Punkt \((0 \mid 1)\). Es findet kein Wachstum und kein Zerfall statt. 3. Negative Basis: Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) definiert. Für \(x = 0{,}5\) müsste man jedoch \((-2)^{0{,}5} = \sqrt{-2}\) berechnen. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Daher ist \(a = -2\) keine zulässige Basis für eine reellwertige Exponentialfunktion mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\).

a) Die Basis ist \(a = 2\). b) Bei \(a = 1\) ist \(f(x) = 1\) konstant; der Graph ist eine waagerechte Gerade. Es liegt kein exponentielles Wachstum oder Zerfall vor. c) Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) definiert, für \(x = 0{,}5\) ist \(\sqrt{-2}\) in \(\mathbb{R}\) jedoch nicht definiert. Somit entsteht keine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\).

- Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Was passiert mit dem Wert von \(b^x\), wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt? - Welchen Einfluss hat die Basis \(b\) auf das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion? - Ändert ein positiver Faktor vor dem Potenzterm die grundsätzliche Richtung des Graphen?

1. Berechnung der \(y\)-Achsenabschnitte durch Einsetzen von \(x = 0\): Für \(f(0) = 2{,}5 \cdot 1{,}4^0 = 2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5\), also \(S_y(0 \mid 2{,}5)\). Für \(g(0) = 0{,}4 \cdot 1{,}4^0 = 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}4\), also \(S_y(0 \mid 0{,}4)\). 2. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Term \(1{,}4^x\) dem Wert \(0\) an. Da die Multiplikation einer Zahl, die gegen Null geht, mit einem konstanten Faktor (\(2{,}5\) bzw. \(0{,}4\)) ebenfalls gegen Null strebt, besitzen beide Graphen die \(x\)-Achse als waagerechte Asymptote. Die Gleichung lautet \(y = 0\). 3. Beide Funktionen haben die gleiche Basis \(b = 1{,}4\). Da \(b > 1\) ist und beide Streckfaktoren positiv sind (\(2{,}5 > 0\) und \(0{,}4 > 0\)), sind sowohl \(f\) als auch \(g\) über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

1. \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2{,}5)\), \(g\) schneidet sie bei \((0 \mid 0{,}4)\). 2. Da \(1{,}4^x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) geht, gehen auch \(f(x)\) und \(g(x)\) gegen \(0\). Die Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Beide Funktionen sind streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}4\) größer als \(1\) ist und die Vorfaktoren positiv sind.

- Setze beispielhaft verschiedene Werte für \(a\) ein (z. B. \(a=1\) und \(a=2\)) und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Funktion mit einer positiven Zahl multiplizierst. Ändert sich das Vorzeichen oder die Richtung? - Erinnere dich an die Definition des Wertebereichs. Welche Werte kann der Ausdruck \(0{,}8^x\) annehmen?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich aus \(f_a(0) = a \cdot 0{,}8^0 = a\). Der Punkt \((0 \mid a)\) ist direkt vom Parameter \(a\) abhängig. 2. Die waagerechte Asymptote wird durch das Verhalten für \(x \to \infty\) bestimmt. Da \(0 < 0{,}8 < 1\) ist, geht \(0{,}8^x\) gegen \(0\). Damit strebt \(a \cdot 0{,}8^x\) unabhängig von \(a\) gegen \(0\). Die Asymptote ist immer \(y = 0\). 3. Da die Basis \(0{,}8\) kleiner als \(1\) ist und der Streckfaktor \(a\) als positiv vorausgesetzt wurde, sind alle Funktionen der Schar streng monoton fallend. Die Eigenschaft ist unabhängig von \(a\). 4. Da \(0{,}8^x\) immer positive Werte liefert und \(a > 0\) ist, ist das Produkt \(a \cdot 0{,}8^x\) stets positiv. Der Wertebereich ist somit für alle \(a\) immer \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\).

Abhängig von \(a\): - Die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse (dieser liegt bei \((0 \mid a)\)). Unabhängig von \(a\): - Die waagerechte Asymptote (\(y = 0\)). - Das Monotonieverhalten (alle sind streng monoton fallend, da \(0{,}8 < 1\) und \(a > 0\)). - Der Wertebereich (für alle gilt \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\)).

- Vergleiche die Basen und die Vorfaktoren der beiden Funktionen. - Überlege dir, welcher Punkt auf der \(y\)-Achse jeweils erreicht wird. - Setze die Funktionsterme in einen Bruch und schaue, ob du den Ausdruck kürzen kannst. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Funktionswert immer das Vielfache eines anderen ist?

1. Gemeinsamkeiten: Beide Funktionen haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\) und sind beide streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}2 > 1\) ist. 2. Der Faktor \(c\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung. Da \(5 > 2\), verläuft der Graph von \(g\) für alle \(x\) oberhalb des Graphen von \(h\) und schneidet die \(y\)-Achse bei einem höheren Wert (\(5\) statt \(2\)). 3. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{5 \cdot 1{,}2^x}{2 \cdot 1{,}2^x} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Das Verhältnis ist für alle \(x\) konstant.

a) Beide Graphen sind streng monoton steigend und haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote. b) Der Faktor bestimmt den \(y\)-Achsenabschnitt und die Streckung in \(y\)-Richtung; \(g(x)\) liegt für alle \(x\) oberhalb von \(h(x)\). c) \(\frac{g(x)}{h(x)} = 2{,}5\). Das Verhältnis der Funktionswerte ist an jeder Stelle \(x\) gleich.

- Setze den gegebenen \(x\)-Wert einfach in die Funktionsgleichung ein und achte auf die Potenzgesetze. - Welchen Einfluss hat eine Basis zwischen 0 und 1 auf den Verlauf des Graphen? - Was ist eine Asymptote und welcher Linie nähert sich der Graph für sehr große \(x\)-Werte an? - Betrachte den Faktor vor der Potenz. Wie verändert dieser die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse?

1. Berechnung des Funktionswertes für \(x = 3\): \(h(3) = 4 \cdot 0{,}5^3 = 4 \cdot 0{,}125 = 0{,}5\). 2. Analyse der Monotonie: Die Basis ist \(b = 0{,}5\). Da \(0 < 0{,}5 < 1\) gilt, ist die Funktion streng monoton fallend. 3. Bestimmung der Asymptote: Für sehr große \(x\)-Werte nähert sich \(0{,}5^x\) der Null an. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet daher \(y = 0\). 4. Vergleich der Graphen: Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(g\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Jeder Funktionswert wird vervierfacht; der Graph von \(h\) liegt daher für alle \(x\) oberhalb des Graphen von \(g\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(4\) statt bei \(1\).

a) \(h(3) = 0{,}5\) b) Streng monoton fallend, da die Basis \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt. c) \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). d) Der Graph von \(h\) ist gegenüber dem Graphen von \(g\) mit dem Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt; der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ändert sich von \((0 \mid 1)\) zu \((0 \mid 4)\).

- Überlege, wie man die Zahl 8 als Potenz zur Basis 2 ausdrücken kann. - Welches Potenzgesetz hilft dir, ein Produkt von Potenzen mit gleicher Basis zusammenzufassen? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion direkt am \(x\)-Wert im Funktionsterm auf den Graphen auswirkt. - Was bedeutet eine Verschiebung nach rechts mathematisch für das Argument \(x\) in der Funktion?

1. Der Streckfaktor in \(y\)-Richtung lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung \(g(x) = a \cdot 2^x\) ablesen; hier ist \(a = 8\). 2. Unter Verwendung des Potenzgesetzes \(b^n \cdot b^m = b^{n+m}\) wird \(8\) als \(2^3\) geschrieben: \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). 3. Ein Term der Form \(f(x+c)\) bewirkt eine Verschiebung um \(c\) Einheiten nach links (für \(c > 0\)). Da \(g(x) = 2^{x+3}\), ist der Graph von \(g\) gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach links verschoben. 4. Eine Verschiebung um \(s\) nach rechts führt zur Funktionsgleichung \(y = b^{x-s}\). Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Der Skalierungsfaktor lautet somit \(b^{-s}\) bzw. \(\frac{1}{b^s}\). Für Faktoren größer als \(1\) liegt eine Streckung, für Faktoren zwischen \(0\) und \(1\) eine Stauchung vor.

a) Der Streckfaktor ist \(8\). b) \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. c) Der Skalierungsfaktor lautet \(b^{-s}\) (oder \(\frac{1}{b^s}\)). Je nach Wert ist dies eine Streckung oder eine Stauchung.

- Setze die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Kann eine Potenz mit positiver Basis jemals den Wert Null oder einen negativen Wert annehmen? - Welche Gerade wird vom Graphen nie erreicht, aber immer weiter angenähert? - Wie hängen Spiegelungen an Achsen mit den Vorzeichen der Koordinaten zusammen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 9)\) in \(y = b^x\) ergibt \(9 = b^2\). Da \(b > 0\) sein muss, folgt \(b = 3\). Da \(3 > 1\) gilt, beschreibt die Funktion einen Wachstumsprozess. 2. Da \(3^x\) für alle reellen \(x\) stets positiv ist, ist der Wertebereich \(W = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(y > 0\)). Der Graph nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse an, daher ist die Asymptote die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) erreicht. Die Gleichung lautet somit \(g(x) = 3^{-x}\). Unter Verwendung der Definition negativer Exponenten ergibt sich \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

1. \(b = 3\); es ist ein Wachstumsprozess. 2. Wertebereich \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\); Asymptote \(y = 0\). 3. \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

- Was passiert mit dem \(x\)-Wert eines Punktes, wenn du ihn an der \(y\)-Achse spiegelst? - Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. - Welche Bedingung muss die Basis einer Exponentialfunktion erfüllen, damit der Graph fällt?

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Transformation \(x \to -x\) beschrieben. Es folgt \(g(x) = f(-x) = 5^{-x}\). Dies lässt sich umschreiben zu \(g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x\) oder \(g(x) = 0{,}2^x\). 2. Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse wird durch die Transformation \(y \to -y\) bzw. \(h(x) = -f(x)\) beschrieben. Es ergibt sich \(h(x) = -5^x\). 3. Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn die Basis \(a\) der Funktion \(y = a^x\) im Intervall \(0 < a < 1\) liegt und die Funktionswerte positiv sind. Dies trifft auf die Funktion \(g\) zu. Der Wachstumsfaktor ist \(a = 0{,}2\) (bzw. \(\frac{1}{5}\)).

1. \(g(x) = 0{,}2^x\) (oder \(g(x) = 5^{-x}\)) 2. \(h(x) = -5^x\) 3. Die Funktion \(g\) beschreibt einen Zerfallsprozess; der Abnahmefaktor ist \(a = 0{,}2\).

- Überlege dir, wie man einen negativen Exponenten in einen positiven umwandeln kann. - Was geschieht mit den Koordinaten eines Punktes bei einer Achsenspiegelung? - Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen der Funktionswerte aus?

1. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit ist \(q(x) = p(-x) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-x}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(q(x) = \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \right)^x = 4^x\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). Aus \(A(1 \mid 0{,}25)\) wird somit \(A'(-1 \mid 0{,}25)\). 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). Aus \(q(x) = 4^x\) folgt somit \(r(x) = -4^x\).

1. \(q(x) = 4^x\) 2. \(A'(-1 \mid 0{,}25)\) 3. \(r(x) = -4^x\)

- Was passiert mit einem Funktionswert, wenn du die gesamte Funktion mit einer Zahl multiplizierst? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Denke an die Wirkung von Faktoren vor einem Funktionsterm auf die Form des Graphen. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für die Lage der Punkte im Koordinatensystem?

1. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 2)\) in die Funktionsgleichung: \(2 = a \cdot 2^3\). Auflösen der Gleichung nach \(a\): \(2 = 8 \cdot a \implies a = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 2. Der Parameter \(a\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Für \(|a| > 1\) wird der Graph gestreckt, für \(0 < |a| < 1\) wird er gestaucht. Ein negatives Vorzeichen von \(a\) bedeutet zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Speziell für \(a = -1\) findet lediglich eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse statt.

1. \(a = 0{,}25\) 2. \(a\) ist der Streckfaktor in \(y\)-Richtung. Für \(|a| > 1\) liegt eine Streckung vor, für \(0 < |a| < 1\) eine Stauchung. Ist \(a < 0\), wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. Bei \(a = -1\) handelt es sich um eine reine Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Wie findet man den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Welche Rolle spielt das Vorzeichen und der Betrag des Faktors vor der Potenz? - Überlege dir, wie sich die \(y\)-Werte verändern, wenn \(x\) größer wird, und wie das Minuszeichen diese Änderung beeinflusst. - Erinnere dich an den Verlauf von Exponentialfunktionen mit einer Basis zwischen 0 und 1.

1. Berechnung der \(y\)-Achsenabschnitte durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 0{,}5^0 = 1\), also \(S_y(f)(0 \mid 1)\). Für \(h\) gilt \(h(0) = -3 \cdot 0{,}5^0 = -3 \cdot 1 = -3\), also \(S_y(h)(0 \mid -3)\). 2. Der Graph von \(f\) wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt (oder direkt mit dem Faktor \(-3\) in \(y\)-Richtung gestreckt). 3. Die Grundfunktion \(f(x) = 0{,}5^x\) ist streng monoton fallend, da die Basis im Intervall \(0 < b < 1\) liegt. Durch die Multiplikation mit dem negativen Faktor \(-3\) werden alle Funktionswerte an der \(x\)-Achse gespiegelt. Dadurch kehrt sich das Monotonieverhalten um: Aus fallenden Werten werden weniger negative Funktionswerte, also steigende Funktionswerte.

1. \(S_y(f)(0 \mid 1)\) und \(S_y(h)(0 \mid -3)\) 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. 3. \(f\) ist streng monoton fallend (\(0{,}5 < 1\)). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse durch den negativen Faktor \(-3\) kehrt die Monotonie um, sodass \(h\) streng monoton steigt.

- Lies zuerst die waagerechte Gerade ab, der sich der Graph annähert. - Vergleiche die Monotonie und Lage des Graphen mit dem Grundgraphen \(2^x\). - Prüfe einen gefundenen Term an markanten Punkten wie \(x=0\) und \(x=1\).

1. Die gestrichelte waagerechte Linie liegt bei \(y=3\). Daher ist \(y=3\) die waagerechte Asymptote. 2. Im Vergleich zu \(2^x\) ist der Graph zunächst an der \(x\)-Achse gespiegelt. Dadurch entsteht \(-2^x\). 3. Anschließend wird dieser Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Somit gilt \(g(x)=3-2^x\). 4. Zur Kontrolle ist \(g(0)=2\), \(g(1)=1\) und \(g(2)=-1\); diese Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

a) \(y=3\). b) \(g(x)=3-2^x\). Spiegelung an der \(x\)-Achse, danach Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

- Woran erkennst du an der Basis \(b\), ob eine Exponentialfunktion \(y = b^x\) wächst oder fällt? - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse ist für alle diese Funktionen gemeinsam? - Setze doch einmal \(x = 1\) oder \(x = -1\) in die Funktionsterme ein. Welche Funktionswerte erhältst du? - Vergleiche die beiden steigenden Graphen: Welcher wächst schneller und welcher Funktionsterm gehört somit zu welchem Graphen? - Betrachte die fallenden Graphen: Wie wirkt sich eine kleinere Basis zwischen \(0\) und \(1\) auf den Verlauf des Graphen aus?

1. Unterscheidung nach Wachstum und Zerfall: Bei einer Exponentialfunktion der Form \(y = b^x\) bestimmt die Basis \(b\) das Wachstumsverhalten. Für \(b > 1\) wächst die Funktion von links nach rechts (Graphen (1) und (2)), was auf \(A(x) = 3^x\) und \(B(x) = 1{,}5^x\) zutrifft. Für \(0 < b < 1\) fällt die Funktion (Graphen (3) und (4)), was auf \(C(x) = 0{,}5^x\) und \(D(x) = 0{,}2^x\) zutrifft. 2. Zuordnung der steigenden Graphen (1) und (2): Da \(3 > 1{,}5\), wächst \(A(x) = 3^x\) für positive \(x\) schneller als \(B(x) = 1{,}5^x\). Zudem gilt für \(x = 1\) der Funktionswert \(A(1) = 3\), was zu Graph (1) passt, und \(B(1) = 1{,}5\), was zu Graph (2) passt. Somit gehört Graph (1) zu \(A(x)\) und Graph (2) zu \(B(x)\). 3. Zuordnung der fallenden Graphen (3) und (4): Je kleiner die Basis \(b\) bei Zerfallsprozessen, desto schneller fällt der Graph für positive \(x\)-Werte. Da \(0{,}2 < 0{,}5\), fällt \(D(x) = 0{,}2^x\) steiler ab als \(C(x) = 0{,}5^x\). Durch Einsetzen von \(x = -1\) erhält man \(C(-1) = 2\) für Graph (3) und \(D(-1) = 5\) für Graph (4). Somit gehört Graph (3) zu \(C(x)\) und Graph (4) zu \(D(x)\).

Graph (1) gehört zu \(A(x) = 3^x\), Graph (2) zu \(B(x) = 1{,}5^x\), Graph (3) zu \(C(x) = 0{,}5^x\) und Graph (4) zu \(D(x) = 0{,}2^x\).

- Alle dargestellten Standardgraphen gehen durch \((0\mid1)\); unterscheide sie daher zusätzlich über einen weiteren gut ablesbaren Punkt. - Entscheide zuerst, welche Graphen steigen und welche fallen. - Prüfe, ob zwei unterschiedlich geschriebene Terme durch Potenzgesetze dieselbe Funktion beschreiben.

1. Graph A verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid3)\). Daher gehört Term 1) \(3^x\) zu A. 2. Graph B verläuft durch \((0\mid1)\) und bei \(x=1\) durch \((1\mid1{,}5)\). Daher gehört Term 2) \(1{,}5^x\) zu B. 3. Graph C ist fallend, verläuft durch \((0\mid1)\) und \((-1\mid2)\). Daher passt 3) \(0{,}5^x\). Außerdem gilt \(2^{-x}=(2^{-1})^x=0{,}5^x\), also passt auch 5). 4. Graph D ist steigend, verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid2)\). Daher gehört Term 4) \(2^x\) zu D. 5. Term 6) beschreibt eine stärker fallende Funktion mit Basis \(\frac{1}{3}\) und passt zu keinem der vier dargestellten Graphen.

A: 1) B: 2) C: 3) und 5) D: 4)

- Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um, um den Zusammenhang leichter zu erkennen. - Erinnere dich an die Regel für negative Exponenten: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn du ihn an der \(y\)-Achse spiegelst? Wie ändern sich seine Koordinaten?

1. Rechnerischer Nachweis: Es ist \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Somit gilt \(g(x) = (\frac{2}{5})^x\). Da \(2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}\) ist, gilt \(f(x) = (\frac{5}{2})^x\). Es folgt \(f(-x) = (\frac{5}{2})^{-x} = (\frac{2}{5})^x = g(x)\). 2. Geometrische Bedeutung: Die Bedingung \(g(x) = f(-x)\) bedeutet, dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse entsteht. 3. Schnittpunkt: Gleichsetzen \(2{,}5^x = 0{,}4^x\). Da beide Basen positiv und ungleich sind, ist dies nur für den Exponenten \(x = 0\) möglich (\(1 = 1\)). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 1)\).

a) \(g(x) = 0{,}4^x = (\frac{2}{5})^x = (\frac{5}{2})^{-x} = 2{,}5^{-x} = f(-x)\). b) Der Graph von \(g\) ist das Spiegelbild des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse. c) Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid 1)\).

- Nutze für Aufgabenteil c) das Potenzgesetz \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Produkt immer den Wert 1 ergibt?

1. Für \(x\geq0\) steigt \(f(x)\), während \(g(x)\) fällt. Beide Graphen verlaufen durch \((0\mid1)\). Als vollständige Funktionsgraphen sind sie Spiegelbilder an der \(y\)-Achse, denn \(g(x)=f(-x)\). 2. Für \(x=3\) ist \(f(3)=2^3=8\) und \(g(3)=0{,}5^3=0{,}125\). Das Verhältnis ist \(\frac{8}{0{,}125}=64\). 3. \(f(x)\cdot g(x)=2^x\cdot0{,}5^x=(2\cdot0{,}5)^x=1^x=1\). Das Produkt ist für alle \(x\) konstant \(1\).

a) Für \(x\geq0\) steigt \(f\), während \(g\) fällt. Beide Graphen gehen durch \((0\mid1)\); als vollständige Funktionsgraphen sind sie Spiegelbilder an der \(y\)-Achse. b) Das Verhältnis beträgt \(64\). c) \(f(x)\cdot g(x)=1\) für alle \(x\).

- Schau dir zuerst an, wo die Graphen die \(y\)-Achse schneiden. Welcher Wert in der Funktionsgleichung gibt diesen Punkt an? - Wenn mehrere Graphen durch denselben Punkt auf der \(y\)-Achse gehen, vergleiche ihre Steilheit. - Überlege dir für einen festen Wert von \(x\) (zum Beispiel \(x=1\)), welcher Funktionswert bei welcher Basis am größten sein muss.

Die Zuordnung erfolgt über den \(y\)-Achsenabschnitt und das Wachstumsverhalten (Steilheit): 1. Der \(y\)-Achsenabschnitt entspricht dem Faktor \(a\) in \(y = ab^x\). 2. Graph (1) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\), was zu Gleichung (e) passt. 3. Graph (2) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 0{,}5\), was zu Gleichung (d) passt. 4. Die Graphen (3), (4) und (5) schneiden die \(y\)-Achse alle bei \(y = 1\). Hier entscheidet die Basis \(b\). 5. Je größer die Basis \(b\) ist, desto steiler verläuft der Graph für \(x > 0\). 6. Graph (3) ist am steilsten \(\rightarrow\) (c) \(y = 3{,}5^x\). 7. Graph (4) liegt in der Mitte \(\rightarrow\) (b) \(y = 2{,}2^x\). 8. Graph (5) verläuft am flachsten \(\rightarrow\) (a) \(y = 1{,}4^x\).

Die richtige Zuordnung ist: (1) \(\rightarrow\) (e), (2) \(\rightarrow\) (d), (3) \(\rightarrow\) (c), (4) \(\rightarrow\) (b), (5) \(\rightarrow\) (a).

- Der Parameter \(a\) entspricht immer dem Funktionswert an der Stelle \(x = 0\). - Wähle für den zweiten Parameter einen Punkt auf dem Graphen aus, dessen Koordinaten du genau ablesen kannst (zum Beispiel bei \(x = 1\) oder \(x = -1\)). - Setze die Koordinaten dieses Punktes in den Ansatz \(y = ab^x\) ein, um \(b\) zu berechnen.

1. Graph \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 5)\), also ist \(a = 5\). Ein weiterer gut lesbarer Punkt ist \((1 \mid 6)\). Einsetzen in \(y = 5b^x\) ergibt \(6 = 5 \cdot b^1\), woraus \(b = \frac{6}{5} = 1{,}2\) folgt. Die Gleichung lautet \(f(x) = 5 \cdot 1{,}2^x\). 2. Graph \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 2)\), also ist \(a = 2\). Ein weiterer Punkt ist \((1 \mid 1)\) oder \((-1 \mid 4)\). Aus \(1 = 2 \cdot b^1\) folgt \(b = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(g(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\).

Die Funktionsgleichungen lauten \(f(x) = 5 \cdot 1{,}2^x\) und \(g(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\).

- Bestimme zunächst, welcher waagerechten Geraden sich der Graph annähert. - Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse ändert das Vorzeichen des gesamten Potenzterms. - Kontrolliere den gefundenen Term am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=3\). Gegenüber der Grundfunktion wurde daher um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Die vorgegebene Spiegelung an der \(x\)-Achse führt zunächst auf \(-\left(\frac{1}{2}\right)^x\). 3. Zusammen ergibt sich \(g(x)=-\left(\frac{1}{2}\right)^x+3\). 4. Zur Kontrolle ist \(g(0)=2\) und \(g(-2)=-1\); beide Punkte stimmen mit dem Graphen überein.

\(g(x)=-\left(\frac{1}{2}\right)^x+3\).

- Lies zuerst die markierte waagerechte Asymptote ab; sie bestimmt den additiven Parameter. - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt des Graphen, etwa den \(y\)-Achsenabschnitt. - Prüfe deinen Term an einem zweiten sichtbaren Punkt.

1. Die im Diagramm markierte waagerechte Asymptote ist \(y=-6\). Daher gilt \(d=-6\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(P(0\mid-3)\). Einsetzen in \(h(x)=a\cdot2^x-6\) ergibt \(a-6=-3\), also \(a=3\). 3. Damit ist \(h(x)=3\cdot2^x-6\). Zur Kontrolle gilt \(h(1)=0\), passend zur sichtbaren Nullstelle.

\(h(x)=3\cdot2^x-6\).

- Die markierte Asymptote verrät den additiven Parameter \(d\). - Setze danach den \(y\)-Achsenabschnitt in den Ansatz ein. - Kontrolliere Vorzeichen und Parameter mit einem zweiten Punkt des Graphen.

1. Die im Diagramm markierte waagerechte Asymptote ist \(y=8\). Daher gilt \(d=8\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid6)\). Einsetzen liefert \(a+8=6\), also \(a=-2\). 3. Damit ist \(k(x)=-2\left(\frac{1}{2}\right)^x+8\). Zur Kontrolle ergibt \(k(-2)=0\), passend zur sichtbaren Nullstelle.

\(a=-2\), \(d=8\), also \(k(x)=-2\left(\frac{1}{2}\right)^x+8\).

- Wo liegt die waagerechte Asymptote bei den verschobenen Graphen? Das verrät dir die Verschiebung in \(y\)-Richtung. - Verfolge den Punkt \((0 \mid 1)\) des Basisgraphen \(f\). Wo befindet sich dieser Referenzpunkt bei den anderen Graphen?

1. Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zum Punkt \((3 \mid 2)\) bei \(g\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Somit gilt \(g(x) = 2^{x-3} + 1\). 2. Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(f\) nur vertikal verschoben. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zu \((0 \mid -2)\). Somit gilt \(h(x) = 2^x - 3\).

\(g(x) = 2^{x-3} + 1\), \(h(x) = 2^x - 3\)

- Vergleiche bei jedem Bild die Höhe der Exponentialkurve mit der Höhe der Geraden an einfachen Stellen. - Suche bei a) zunächst nach einem direkt berechenbaren Schnittpunkt und danach nach einem Wechsel „oberhalb/unterhalb“. - Nutze bei b), dass eine Funktion wächst und die andere fällt. - Überlege bei c), wie oft eine streng wachsende Funktion eine waagrechte Gerade schneiden kann.

1. Bei Graph a) gilt für \(x=2\): \(f(2)=4\) und \(g_a(2)=4\). Dort liegt ein Schnittpunkt. 2. Außerdem gilt bei Graph a) für \(x=-2\): \(f(-2)=0{,}25>0=g_a(-2)\), während für \(x=0\) gilt: \(f(0)=1<2=g_a(0)\). Zwischen \(x=-2\) und \(x=0\) wechselt also die Lage der beiden Graphen; die Abbildung zeigt dort einen weiteren Schnittpunkt. Graph a) besitzt damit mehr als einen Schnittpunkt. 3. Bei Graph b) ist die Gerade streng fallend, während \(f(x)=2^x\) streng wächst. Außerdem gilt \(f(0)=g_b(0)=1\). Daher können sich diese beiden Graphen nur in diesem einen Punkt schneiden. 4. Bei Graph c) ist \(g_c(x)=0{,}5\) konstant. Da \(f\) streng wächst und \(f(-1)=0{,}5\) gilt, gibt es auch hier genau einen Schnittpunkt. 5. Somit ist nur Graph a) gesucht.

Der Graph a) schneidet den Graphen von \(f(x)=2^x\) in mehr als einem Punkt.

- Vereinfache zuerst den Term mit dem negativen Exponenten. - Was sagt die Basis über steigendes oder fallendes Verhalten aus? - Berechne die Werte bei \(x=0\) und \(x=1\) und vergleiche sie mit den vier Bildern.

1. Es gilt \(f(x) = 0{,}25^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-x} = 4^x\). 2. Da die Basis \(4>1\) ist, ist der Graph streng monoton steigend. 3. Außerdem gilt \(f(0)=1\) und \(f(1)=4\). 4. Nur Graph a) ist steigend und verläuft durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid 4)\).

Der Graph in Abbildung a) gehört zur Funktion \(f(x) = 0{,}25^{-x}\).

- Entscheide in a) zuerst, ob eine Exponentialfunktion mit Basis zwischen \(0\) und \(1\) steigt oder fällt. - Vergleiche in b) die Reihenfolge der Exponenten mit der Reihenfolge der Funktionswerte. - Suche in c) zwei leicht berechenbare Zweierpotenzen, zwischen denen \(0{,}2\) liegt.

1. Die Funktion \(x\mapsto0{,}6^x\) ist streng monoton fallend. Aus \(0{,}6^m<0{,}6^n\) folgt deshalb \(m>n\). 2. Weil \(5<7\), aber \(a^5>a^7\) gilt, muss \(x\mapsto a^x\) streng monoton fallend sein. Daher gilt \(0<a<1\). 3. Es ist \(2^{-3}=0{,}125\) und \(2^{-2}=0{,}25\). Wegen \(0{,}125<0{,}2<0{,}25\) und der strengen Monotonie von \(2^x\) folgt \(-3<k<-2\).

a) \(m>n\). b) \(0<a<1\). c) \(-3<k<-2\).

- Kannst du den Term \(10^{x+1}\) mithilfe von Potenzgesetzen in ein Produkt zerlegen? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}01\) als Potenz zur Basis 10. - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Potenz \(b^k\) mit positiver Basis \(b\) immer hat. - Kann eine Verschiebung eines Graphen, der nur oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, dazu führen, dass er plötzlich unterhalb der Achse liegt?

1. Durch Anwendung der Potenzgesetze gilt \(h(x) = 10^{x+1} = 10^1 \cdot 10^x = 10 \cdot 10^x\). Dies entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(10\). 2. Die Zahl \(0{,}01\) wird als Zehnerpotenz geschrieben: \(0{,}01 = 10^{-2}\). Damit ist \(k(x) = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 3. Eine Verschiebung um \(s\) Einheiten nach rechts führt auf \(b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Der zugehörige Faktor \(b^{-s}\) ist stets positiv. Umgekehrt kann bei \(b > 0\) und \(b \neq 1\) jeder positive Faktor durch eine passende Verschiebung dargestellt werden. Für \(a = 0\) oder \(a < 0\) ist dies nicht möglich. Die Aussage ist daher falsch.

a) Wegen \(10^{x+1} = 10 \cdot 10^x\) liegt eine Streckung mit dem Faktor \(10\) vor. b) Wegen \(0{,}01 \cdot 10^x = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\) entsteht der Graph durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. c) Die Aussage ist falsch. Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung erzeugt nur positive Faktoren. Die Faktoren \(a = 0\) und \(a < 0\) können dadurch nicht entstehen.

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven von \(f\) und \(j\) kreuzen. - Überprüfe, welche Funktionsterme zu den Graphen gehören, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verlaufen. - Eine Nullstelle bedeutet, dass der Funktionswert an dieser Stelle null ist. - Wie kannst du aus zwei Funktionen, die jeweils eine der gewünschten Nullstellen haben, eine einzige Funktion kombinieren?

1. Die Gleichung \(f(x) = j(x)\) wird durch die Schnittpunkte des exponentiellen Graphen \(G_f\) und der Parabel \(G_j\) gelöst. Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\) ab. 2. Die Punkte \(A\) und \(B\) sind die Schnittpunkte der Geraden \(g\) und der Parabel \(j\). Durch Gleichsetzen der Funktionsterme erhält man die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). 3. Die Stelle \(x = 2\) ist eine Nullstelle von \(f\), \(g\) und \(j\). Die Stelle \(x = -1\) ist eine Nullstelle von \(h\). Eine Funktion mit beiden Nullstellen lässt sich als Produkt bilden: \(m(x) = g(x) \cdot h(x) = (-x + 2)(x + 1)\). Alternativ ist auch \(m(x) = f(x) \cdot h(x) = (2^x - 4)(x + 1)\) möglich.

a) Näherungsweise gilt \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\). b) Zu lösen ist die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(m(x) = (-x + 2)(x + 1)\).