- Der Anfangswert ist der Funktionswert an der Stelle \(x=0\). - Vergleiche die beiden abgelesenen Funktionswerte an aufeinanderfolgenden ganzzahligen Stellen. - Was sagt ein Wachstumsfaktor größer als \(1\) über den Verlauf des Graphen aus?

1. Am Punkt mit \(x=0\) liest man \(f(0)=2\) ab. Daher ist \(b=2\). 2. Bei \(x=1\) liest man \(f(1)=3\) ab. Somit ist \(a=\frac{f(1)}{f(0)}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 3. Weil \(a=1{,}5>1\) ist, nimmt der Graph streng monoton zu.

a) \(f(0)=2\), also \(b=2\) b) \(f(1)=3\), also \(a=1{,}5\) c) streng monoton zunehmend

- Ordne jedem Wertepaar aus der Tabelle den passenden Punkt \((x\mid f(x))\) zu. - Nutze den bereits markierten Punkt bei \(x=0\) als Orientierung für die übrigen Punkte. - Prüfe nach dem Zeichnen, ob der Verlauf zwischen den Punkten gekrümmt bleibt und die \(x\)-Achse nicht schneidet.

1. Zu den Tabellenwerten gehören die Punkte \((-2\mid\frac{1}{4})\), \((-1\mid\frac{1}{2})\), \((0\mid1)\), \((1\mid2)\), \((2\mid4)\) und \((3\mid8)\). 2. Der Graph verläuft glatt durch diese Punkte, bleibt oberhalb der \(x\)-Achse und steigt von links nach rechts.

Der gezeichnete Graph verläuft glatt durch die sechs Tabellenpunkte, ist steigend und bleibt oberhalb der \(x\)-Achse.

- Betrachte zuerst nur, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Bei einer Funktion der Form \(a^x\) ist der Funktionswert an der Stelle \(x=1\) besonders aussagekräftig. - Für die Reihenfolge in c) genügt der Verlauf des Graphen; die drei Werte müssen nicht vollständig berechnet werden.

1. Der Graph fällt von links nach rechts. Bei \(f(x)=a^x\) entspricht das einem Wachstumsfaktor zwischen \(0\) und \(1\). Also gilt \(0<a<1\). 2. Aus der Abbildung liest man \(f(1)=0{,}5\) ab. Wegen \(f(1)=a\) folgt \(a=0{,}5\). 3. Der Graph ist streng monoton abnehmend. Daher gilt \(f(-2)>f(0)>f(2)>0\). Für große positive \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=0\) von oben.

a) \(0<a<1\), weil der Graph streng monoton abnimmt. b) \(f(1)=0{,}5\), also \(a=0{,}5\). c) \(f(-2)>f(0)>f(2)>0\); waagrechte Asymptote: \(y=0\).

- Suche zuerst nur die Stelle, an der sich die beiden Kurven \(f\) und \(g\) schneiden. - Nutze für b) die waagerechten Gitternetzlinien als Vergleichswerte. - Vergleiche für c) die vertikale Lage von \(f\) und \(g\) links und rechts vom Schnittpunkt.

1. Der Schnittpunkt liegt zwischen \(20\) und \(25\) Jahren. 2. Seine Höhe liegt nur wenig über \(50\,000\) und deutlich unter \(60\,000\); sie liegt daher näher bei \(50\,000\). 3. Vor dem Schnittpunkt liegt \(g\), also das Modell für Sonnenried, höher. Nach dem Schnittpunkt liegt \(f\), also das Modell für Eichenfurt, höher.

a) Zwischen \(20\) und \(25\) Jahren. b) Näher bei \(50\,000\) Einwohnern. c) Vorher Sonnenried, danach Eichenfurt.

- Welcher Funktionswert entsteht bei \(x=0\)? - Trenne bei der Monotonie die Rollen von Wachstumsfaktor \(a\) und Vorfaktor \(b\). - Welche Vorzeichen können die Faktoren \(b\) und \(a^x\) hier annehmen? - Überlege, was mit \(3^x\) geschieht, wenn \(x\) immer kleiner wird.

1. Für \(x=0\) ist \(f(0)=1{,}5\cdot3^0=1{,}5\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0\mid1{,}5)\); der Vorfaktor ist \(b=1{,}5\). 2. Der Wachstumsfaktor ist \(a=3>1\), und der Vorfaktor ist positiv. Deshalb ist \(f\) streng monoton steigend. 3. Weil \(3^x>0\) und \(b=1{,}5>0\) für alle reellen \(x\) gelten, nimmt \(f\) nur positive Werte an. Der Wertebereich ist \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\). 4. Für immer kleinere \(x\)-Werte nähert sich \(3^x\) der \(0\). Daher nähert sich auch \(f(x)\) der \(0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\).

a) \((0\mid1{,}5)\) b) Streng monoton steigend, weil \(a=3>1\) und \(b>0\) gilt. c) \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\) d) Die Funktionswerte nähern sich der \(0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\).

- Setze für Teil a) den gegebenen \(x\)-Wert in den Term ein. - Welche Aussage über die Monotonie folgt aus einem Wachstumsfaktor zwischen \(0\) und \(1\), solange der Vorfaktor positiv ist? - Vergleiche für Teil d) die Funktionswerte beider Funktionen bei demselben \(x\), insbesondere bei \(x=0\).

1. Es gilt \(h(3)=4\cdot0{,}5^3=0{,}5\). 2. Der Wachstumsfaktor ist \(a=0{,}5\). Wegen \(0<a<1\) und des positiven Vorfaktors \(b=4\) ist \(h\) streng monoton fallend. 3. Für sehr große positive \(x\)-Werte nähert sich \(0{,}5^x\) der \(0\). Daher ist \(y=0\) die waagerechte Asymptote. 4. Der Vorfaktor \(b=4\) vervierfacht gegenüber \(g\) jeden Funktionswert. Der Graph von \(h\) ist somit in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt; sein \(y\)-Achsenabschnitt ist \(4\) statt \(1\).

a) \(h(3)=0{,}5\) b) Streng monoton fallend, weil \(0<a=0{,}5<1\) gilt und der Vorfaktor positiv ist. c) \(y=0\) d) Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(g\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt; der \(y\)-Achsenabschnitt ändert sich von \(1\) auf \(4\).

- Trenne zunächst steigende und fallende Graphen. - Alle vier Graphen gehen durch denselben Punkt bei \(x=0\); verwende deshalb zusätzlich einen weiteren gut ablesbaren Wert. - Vergleiche bei den fallenden Graphen, welcher Wachstumsfaktor zwischen \(0\) und \(1\) die stärkere Abnahme erzeugt.

1. Die Graphen p und q sind streng monoton steigend und gehören daher zu den Wachstumsfaktoren \(3\) und \(1{,}5\). Die Graphen r und s sind streng monoton fallend und gehören zu \(0{,}5\) und \(0{,}2\). 2. Bei \(x=1\) gilt \(3^1=3\) und \(1{,}5^1=1{,}5\). Daher gehört Graph p zu \(A\) und Graph q zu \(B\). 3. Bei \(x=-1\) gilt \(0{,}5^{-1}=2\) und \(0{,}2^{-1}=5\). Damit gehört Graph r zu \(C\) und Graph s zu \(D\).

Graph p: \(A(x)=3^x\); Graph q: \(B(x)=1{,}5^x\); Graph r: \(C(x)=0{,}5^x\); Graph s: \(D(x)=0{,}2^x\)

- Beginne mit den \(y\)-Achsenabschnitten; sie unterscheiden zwei Graphen sofort von den übrigen. - Vergleiche anschließend nur noch die Graphen mit demselben Vorfaktor. - Welcher Wachstumsfaktor größer als \(1\) erzeugt für positive \(x\) den steileren Verlauf?

1. Bei \(x=0\) entspricht der Funktionswert dem Vorfaktor \(b\). Graph p hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(2\) und gehört daher zu (e); Graph q hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(0{,}5\) und gehört zu (d). 2. Die Graphen r, s und u haben den Vorfaktor \(b=1\). Sie werden deshalb über ihren Wachstumsfaktor \(a\) unterschieden. 3. Für positive \(x\) wächst ein Graph mit größerem \(a>1\) stärker. Daher gehört der steilste Graph r zu (c) mit \(a=3{,}5\), Graph s zu (b) mit \(a=2{,}2\) und Graph u zu (a) mit \(a=1{,}4\).

p → (e), q → (d), r → (c), s → (b), u → (a)

- Ordne zuerst nach dem \(y\)-Achsenabschnitt, also nach dem Vorfaktor \(b\). - Entscheide innerhalb jedes Paares anhand des Wachstumsfaktors \(a\), welcher Graph steigt und welcher fällt. - Kontrolliere die Zuordnung mit einem weiteren gut ablesbaren Punkt.

1. Bei \(x=0\) ist der Funktionswert gleich dem Vorfaktor \(b\). Die Graphen p und q schneiden die \(y\)-Achse bei \(3\), die Graphen r und s bei \(1{,}5\). 2. Der Wachstumsfaktor \(a=1{,}4>1\) führt bei positivem Vorfaktor zu einer exponentiellen Zunahme, während \(a=0{,}6\) mit \(0<a<1\) zu einer exponentiellen Abnahme führt. 3. Damit gehört (a) mit \(b=3\) und \(a=1{,}4\) zu Graph p, (b) mit \(b=3\) und \(a=0{,}6\) zu Graph q, (c) mit \(b=1{,}5\) und \(a=1{,}4\) zu Graph r und (d) mit \(b=1{,}5\) und \(a=0{,}6\) zu Graph s.

(a) → p, (b) → q, (c) → r, (d) → s

- Entscheide zuerst für jedes Teilbild, ob der Graph steigt oder fällt. - Lies anschließend den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab; er zeigt den Vorfaktor. - Nutze bei Bedarf einen zweiten gut ablesbaren Punkt, um zwischen verschiedenen Wachstumsfaktoren zu unterscheiden.

1. Teilbild a) zeigt einen streng monoton steigenden Graphen durch \((0;1)\). Der Punkt \((1;2)\) zeigt, dass Term (1) \(2^x\) passt. 2. Teilbild b) zeigt einen streng monoton fallenden Graphen durch \((0;1)\). Der Punkt \((1;0{,}5)\) zeigt, dass Term (2) \(0{,}5^x\) passt. 3. Teilbild c) zeigt ebenfalls einen fallenden Graphen, der die \(y\)-Achse aber bei \((0;2)\) schneidet. Daher gehört Term (4) \(2\cdot0{,}5^x\) zu c). 4. Term (3) \(3^x\) wäre steiler als der Graph in a) und hätte bei \(x=1\) den Wert \(3\). Er passt zu keinem dargestellten Graphen.

Teilbild a): (1) Teilbild b): (2) Teilbild c): (4) Nicht verwendet: (3)

- Vereinfache zuerst den Term mit dem negativen Exponenten. - Was sagt die Basis über steigendes oder fallendes Verhalten aus? - Berechne die Werte bei \(x=0\) und \(x=1\) und vergleiche sie mit den vier Bildern.

1. Es gilt \(f(x) = 0{,}25^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-x} = 4^x\). 2. Da die Basis \(4>1\) ist, ist der Graph streng monoton steigend. 3. Außerdem gilt \(f(0)=1\) und \(f(1)=4\). 4. Nur Graph a) ist steigend und verläuft durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid 4)\).

Der Graph in Abbildung a) gehört zur Funktion \(f(x) = 0{,}25^{-x}\).

- Welcher markierte Punkt liefert dir direkt den Anfangswert einer Funktion der Form \(b\cdot a^x\)? - Vergleiche zwei markierte Punkte, deren \(x\)-Werte sich genau um \(1\) unterscheiden. - Entscheide anhand des Faktors, ob die Funktion wächst oder fällt.

1. Am Punkt mit \(x=0\) liest man \(f(0)=3\) ab. Daher ist \(b=3\). 2. Von \(x=0\) zu \(x=1\) steigt der Funktionswert von \(3\) auf \(6\). Der Faktor ist also \(a=\frac{6}{3}=2\). 3. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=3\cdot2^x\). Weil \(a=2>1\) ist, wächst der Graph.

\(b=3\), \(a=2\), also \(f(x)=3\cdot2^x\). Der Graph wächst.

- Vergleiche die dargestellte Verbindung der Punkte mit der typischen Form eines Exponentialgraphen. - Achte besonders darauf, was die Skizze an und unterhalb der \(x\)-Achse macht. - Für c) reichen wenige einfache ganzzahlige \(x\)-Werte.

1. Die eingezeichnete Skizze verbindet die Punkte mit geraden Strecken. Der Graph einer Exponentialfunktion verläuft dagegen als glatte gekrümmte Kurve. 2. Außerdem trifft die Skizze bei \(x=2\) die \(x\)-Achse und verläuft danach sogar unterhalb der Achse. Das ist unmöglich, denn \(4\cdot0{,}5^x>0\) für jedes reelle \(x\). 3. Rechts von \(x=1\) muss der korrekte Graph weiter streng monoton abnehmen, dabei flacher werden und sich der Geraden \(y=0\) von oben annähern, ohne sie zu schneiden. 4. Sicher auf dem Graphen liegen zum Beispiel \((-1;8)\), \((0;4)\) und \((1;2)\).

a) Zwei Fehler: Die Skizze besteht aus geraden Teilstrecken; außerdem schneidet sie die \(x\)-Achse und wird negativ. b) Der korrekte Graph bleibt positiv, fällt weiter und nähert sich \(y=0\) von oben an. c) Zum Beispiel \((-1;8)\), \((0;4)\), \((1;2)\).

- Was geschieht bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse mit jedem \(y\)-Wert? - Setze für den Achsenschnittpunkt \(x=0\). - Überlege, wie sich eine zunehmende Folge von \(y\)-Werten verändert, wenn alle Vorzeichen umgekehrt werden.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse werden alle Funktionswerte mit \(-1\) multipliziert. Daher ist \(h(x)=-2\cdot1{,}5^x\). 2. Es gilt \(h(0)=-2\cdot1{,}5^0=-2\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0;-2)\). 3. Der Graph von \(g\) ist streng monoton zunehmend. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird die Reihenfolge der Funktionswerte umgekehrt; daher ist \(h\) streng monoton abnehmend.

a) \(h(x)=-2\cdot1{,}5^x\) b) \((0;-2)\) c) streng monoton abnehmend

- Trage zuerst die noch fehlenden Tabellenpunkte ein. - Überlege für die Fortsetzung, wie sich die Funktionswerte beim nächsten Schritt verändern würden. - Prüfe, ob wiederholtes Halbieren das Vorzeichen der Werte ändern kann.

1. Zu den Tabellenwerten gehören die Punkte \((0\mid4)\), \((1\mid2)\), \((2\mid1)\), \((3\mid0{,}5)\) und \((4\mid0{,}25)\). 2. Der Graph verläuft glatt durch die Punkte und fällt von links nach rechts. 3. Auch für größere \(x\) bleiben die Funktionswerte positiv und werden bei jedem Schritt halbiert. Der Graph nähert sich deshalb der \(x\)-Achse an, ohne sie zu schneiden.

a) Der Graph verläuft glatt durch die fünf Tabellenpunkte und ist fallend. b) Rechts von \(x=4\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse von oben an, ohne sie zu schneiden.

- Was geschieht mit dem Funktionswert, wenn \(x\) jeweils um \(1\) wächst? - Nutze den markierten Punkt links von der \(y\)-Achse als Kontrolle: Passt dein gezeichneter Verlauf zu ihm? - Welcher Tabellenwert gehört zu \(x=0\), und was bedeutet diese Stelle im Koordinatensystem?

1. Es gilt \(h(1)=3\cdot1{,}5=4{,}5\), \(h(2)=3\cdot1{,}5^2=6{,}75\) und \(h(3)=3\cdot1{,}5^3=10{,}125\). 2. Außerdem ist \(h(-1)=3\cdot1{,}5^{-1}=2\), passend zum markierten Kontrollpunkt. 3. Der Graph verläuft glatt durch \((-1\mid2)\), \((0\mid3)\), \((1\mid4{,}5)\), \((2\mid6{,}75)\) und \((3\mid10{,}125)\) und steigt. 4. Bei \(x=0\) ist \(h(0)=3\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist also \((0\mid3)\). Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}5\).

a) \(3; 4{,}5; 6{,}75; 10{,}125\) b) Der Graph verläuft glatt durch die vier Tabellenpunkte und den Kontrollpunkt \((-1\mid2)\) und ist steigend. c) \((0\mid3)\); Wachstumsfaktor \(1{,}5\)

- Entscheide in a) zuerst, ob eine Exponentialfunktion mit Basis zwischen \(0\) und \(1\) steigt oder fällt. - Vergleiche in b) die Reihenfolge der Exponenten mit der Reihenfolge der Funktionswerte. - Suche in c) zwei leicht berechenbare Zweierpotenzen, zwischen denen \(0{,}2\) liegt.

1. Die Funktion \(x\mapsto0{,}6^x\) ist streng monoton fallend. Aus \(0{,}6^m<0{,}6^n\) folgt deshalb \(m>n\). 2. Weil \(5<7\), aber \(a^5>a^7\) gilt, muss \(x\mapsto a^x\) streng monoton fallend sein. Daher gilt \(0<a<1\). 3. Es ist \(2^{-3}=0{,}125\) und \(2^{-2}=0{,}25\). Wegen \(0{,}125<0{,}2<0{,}25\) und der strengen Monotonie von \(2^x\) folgt \(-3<k<-2\).

a) \(m>n\). b) \(0<a<1\). c) \(-3<k<-2\).

- Wie hängen die beiden Basen \(5\) und \(0{,}2\) als Kehrwerte zusammen? - Welche geometrische Veränderung am Graphen entspricht dem Ersetzen von \(x\) durch \(-x\)? - Vergleiche für Teil c) die Wirkung einer Basis größer als \(1\) mit der einer Basis zwischen \(0\) und \(1\).

1. Es gilt \(f(-1)=0{,}2\), \(f(0)=1\) und \(f(1)=5\). Außerdem gilt \(g(-1)=5\), \(g(0)=1\) und \(g(1)=0{,}2\). 2. Wegen \(0{,}2=\frac{1}{5}=5^{-1}\) ist \(g(x)=\left(5^{-1}\right)^x=5^{-x}=f(-x)\) für alle reellen \(x\). Daher entsteht der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse. 3. Für sehr große positive \(x\) werden die Werte von \(f(x)=5^x\) beliebig groß, während sich die Werte von \(g(x)=0{,}2^x\) der \(0\) annähern. \(f\) beschreibt damit eine exponentielle Zunahme und \(g\) eine exponentielle Abnahme.

a) \(f(-1)=0{,}2\), \(f(0)=1\), \(f(1)=5\); \(g(-1)=5\), \(g(0)=1\), \(g(1)=0{,}2\) b) \(g(x)=f(-x)\); die Graphen sind bezüglich der \(y\)-Achse spiegelbildlich. c) Für sehr große positive \(x\) werden die Werte von \(f\) beliebig groß, während sich die Werte von \(g\) der \(0\) annähern.

- Welchen Einfluss hat die Größe der Basis auf den Verlauf des Graphen? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit 0 potenziert? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. Wie hängen \(1{,}25\) und \(0{,}8\) als Brüche zusammen?

1. Monotonieverhalten: Da die Basis von \(f\) mit \(a = 1{,}25 > 1\) größer als 1 ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Da die Basis von \(g\) mit \(a = 0{,}8 < 1\) zwischen 0 und 1 liegt, ist die Funktion streng monoton fallend. 2. Gemeinsame Punkte und Asymptote: Jede Exponentialfunktion der Form \(y = a^x\) verläuft durch den Punkt \((0 \mid 1)\), da \(a^0 = 1\) für alle \(a \neq 0\) gilt. Die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) ist die waagerechte Asymptote für beide Funktionen, da sich die Funktionswerte für \(x \to -\infty\) (bei \(f\)) bzw. \(x \to \infty\) (bei \(g\)) beliebig nah an 0 annähern. 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\). Es gilt \(f(-x) = 1{,}25^{-x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-x} = \left(\frac{4}{5}\right)^x = 0{,}8^x\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, geht \(g\) durch Spiegelung von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f\) ist streng monoton steigend (\(a > 1\)); \(g\) ist streng monoton fallend (\(0 < a < 1\)). b) Gemeinsamer Schnittpunkt: \(S(0 \mid 1)\); Asymptote: \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). c) Da \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) und \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) Kehrwerte sind, gilt \(1{,}25^{-x} = (1{,}25^{-1})^x = 0{,}8^x\).

- Welcher Exponent entsteht am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Untersuche, wie sich der gemeinsame Potenzterm \(1{,}4^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte verhält. - Welche Rolle spielt der Wachstumsfaktor für die Monotonie, solange der Vorfaktor positiv ist?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=2{,}5\) und \(g(0)=0{,}4\). Die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse sind daher \((0\mid2{,}5)\) und \((0\mid0{,}4)\). 2. Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich \(1{,}4^x\) der \(0\). Die positiven Vorfaktoren \(b=2{,}5\) beziehungsweise \(b=0{,}4\) ändern daran nichts. Beide Graphen besitzen daher die waagerechte Asymptote \(y=0\). 3. Beide Funktionen besitzen denselben Wachstumsfaktor \(a=1{,}4>1\) und einen positiven Vorfaktor. Deshalb sind beide Funktionen streng monoton steigend.

1. \(f\): \((0\mid2{,}5)\); \(g\): \((0\mid0{,}4)\) 2. Gemeinsame waagerechte Asymptote: \(y=0\) 3. Beide Funktionen sind streng monoton steigend, weil \(a=1{,}4>1\) gilt und die Vorfaktoren positiv sind.

- Setze für die Untersuchung des \(y\)-Achsenabschnitts \(x=0\). - Frage bei jeder Eigenschaft getrennt, ob eine Multiplikation aller Funktionswerte mit einem positiven Wert sie ändern kann. - Unterscheide die Rolle des festen Wachstumsfaktors \(0{,}8\) von der Rolle des veränderlichen Vorfaktors \(b\).

1. Für \(x=0\) gilt \(f_b(0)=b\cdot0{,}8^0=b\). Der Schnittpunkt \((0\mid b)\) hängt daher vom Vorfaktor \(b\) ab. 2. Weil \(0<0{,}8<1\) gilt, nähert sich \(0{,}8^x\) für sehr große positive \(x\) der \(0\). Die Multiplikation mit einem festen positiven \(b\) ändert diese waagerechte Asymptote nicht. Sie lautet für alle Funktionen \(y=0\). 3. Der Wachstumsfaktor \(a=0{,}8\) liegt zwischen \(0\) und \(1\). Da außerdem \(b>0\) gilt, sind alle Funktionen der Schar streng monoton fallend. Dieses Verhalten ist unabhängig von \(b\). 4. Sowohl \(0{,}8^x\) als auch \(b\) sind stets positiv. Daher gilt für alle Funktionen der Wertebereich \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\), ebenfalls unabhängig von \(b\).

Abhängig von \(b\): der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, nämlich \((0\mid b)\). Unabhängig von \(b\): die Asymptote \(y=0\), streng monoton fallendes Verhalten und der Wertebereich \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\).

- Vergleiche zunächst Wachstumsfaktor und Vorfaktor der beiden Funktionen getrennt. - Welchen Funktionswert erhältst du jeweils bei \(x=0\)? - Beim Quotienten beider Funktionsterme tritt derselbe Potenzfaktor im Zähler und Nenner auf.

1. Beide Funktionen besitzen den Wachstumsfaktor \(a=1{,}2>1\). Daher sind beide streng monoton steigend. Für sehr kleine \(x\)-Werte nähern sich beide Graphen außerdem der waagerechten Asymptote \(y=0\). 2. Der Vorfaktor \(b\) bestimmt den \(y\)-Achsenabschnitt und skaliert alle Funktionswerte. Weil \(5>2\) gilt, liegt der Graph von \(g\) für jedes \(x\) oberhalb des Graphen von \(h\); die \(y\)-Achsenabschnitte sind \(5\) beziehungsweise \(2\). 3. Es gilt \(\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{5\cdot1{,}2^x}{2\cdot1{,}2^x}=\frac{5}{2}=2{,}5\). Das Verhältnis der Funktionswerte ist für alle \(x\) konstant.

a) Beide Graphen sind streng monoton steigend und besitzen die waagerechte Asymptote \(y=0\). b) Der Vorfaktor bestimmt den \(y\)-Achsenabschnitt und die Skalierung in \(y\)-Richtung; \(g(x)\) liegt für alle \(x\) oberhalb von \(h(x)\). c) \(\frac{g(x)}{h(x)}=2{,}5\); das Verhältnis ist unabhängig von \(x\).

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Welche Werte kann eine Potenz mit positiver Basis annehmen, und welcher Achse kann sich ihr Graph annähern? - Wie verändert sich der Funktionsterm bei einer Spiegelung des Graphen an der \(y\)-Achse?

1. Einsetzen von \(P(2\mid9)\) in \(y=a^x\) ergibt \(9=a^2\). Wegen \(a>0\) folgt \(a=3\). Da \(a>1\) gilt, liegt eine exponentielle Zunahme vor. 2. Weil \(3^x\) für alle reellen \(x\) positiv ist, lautet der Wertebereich \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\). Für immer kleinere \(x\)-Werte nähert sich der Graph der \(x\)-Achse; die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). 3. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Daher ist \(g(x)=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^x\).

1. \(a=3\); exponentielle Zunahme 2. \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\); Asymptote \(y=0\) 3. \(g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)

- Welche Änderung am Argument beschreibt eine Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Welche Änderung an den Funktionswerten beschreibt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Bringe den Term der gespiegelten Funktion so in eine Form mit positivem Exponenten und vergleiche den Wachstumsfaktor mit \(1\).

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Daher ist \(g(x)=f(-x)=5^{-x}=\left(\frac{1}{5}\right)^x=0{,}2^x\). 2. Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse ändert das Vorzeichen aller Funktionswerte. Somit ist \(h(x)=-f(x)=-5^x\). 3. Eine exponentielle Abnahme mit positiven Funktionswerten liegt bei einem Wachstumsfaktor zwischen \(0\) und \(1\) vor. Das trifft auf \(g(x)=0{,}2^x\) zu; hier ist \(a=0{,}2\).

1. \(g(x)=0{,}2^x\), äquivalent \(g(x)=5^{-x}\) 2. \(h(x)=-5^x\) 3. \(g\) beschreibt eine exponentielle Abnahme; \(a=0{,}2\).

- Überlege dir, wie man einen negativen Exponenten in einen positiven umwandeln kann. - Was geschieht mit den Koordinaten eines Punktes bei einer Achsenspiegelung? - Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen der Funktionswerte aus?

1. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit ist \(q(x) = p(-x) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-x}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(q(x) = \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \right)^x = 4^x\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). Aus \(A(1 \mid 0{,}25)\) wird somit \(A'(-1 \mid 0{,}25)\). 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). Aus \(q(x) = 4^x\) folgt somit \(r(x) = -4^x\).

1. \(q(x) = 4^x\) 2. \(A'(-1 \mid 0{,}25)\) 3. \(r(x) = -4^x\)

- Nutze den gegebenen Punkt, indem du seine Koordinaten in den Funktionsterm einsetzt. - Betrachte Betrag und Vorzeichen des Vorfaktors getrennt. - Wie verändert eine Multiplikation aller \(y\)-Werte mit einem negativen Wert die Lage des Graphen?

1. Mit dem Punkt \(P(3\mid2)\) gilt \(2=b\cdot2^3=8b\). Daher ist \(b=2:8=0{,}25\). 2. Der Betrag des Vorfaktors skaliert die Funktionswerte in \(y\)-Richtung. Für \(|b|>1\) liegt eine Streckung vor, für \(0<|b|<1\) eine Stauchung. Bei \(b<0\) kommt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hinzu. Für \(b=-1\) erfolgt nur die Spiegelung an der \(x\)-Achse.

1. \(b=0{,}25\) 2. \(|b|>1\): Streckung; \(0<|b|<1\): Stauchung; \(b<0\): zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse; \(b=-1\): reine Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Welcher Funktionswert entsteht jeweils bei \(x=0\)? - Zerlege die Wirkung des Vorfaktors \(-3\) in Betrag und Vorzeichen. - Überlege, wie eine Spiegelung an der \(x\)-Achse die Reihenfolge zweier \(y\)-Werte verändert.

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=1\) und \(h(0)=-3\). Die \(y\)-Achsenabschnitte sind daher \((0\mid1)\) und \((0\mid-3)\). 2. Der Graph von \(f\) wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt. Beides zusammen entspricht der Multiplikation mit dem Vorfaktor \(b=-3\). 3. Wegen \(0<a=0{,}5<1\) ist die Grundfunktion \(f\) streng monoton fallend. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt die Reihenfolge der Funktionswerte um. Deshalb ist \(h\) streng monoton steigend.

1. \(f\): \((0\mid1)\); \(h\): \((0\mid-3)\) 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt das streng fallende Verhalten von \(f\) in streng steigendes Verhalten von \(h\) um.

- Alle dargestellten Standardgraphen gehen durch \((0\mid1)\); unterscheide sie daher zusätzlich über einen weiteren gut ablesbaren Punkt. - Entscheide zuerst, welche Graphen steigen und welche fallen. - Prüfe, ob zwei unterschiedlich geschriebene Terme durch Potenzgesetze dieselbe Funktion beschreiben.

1. Graph p verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid3)\). Daher gehört Term 1) \(3^x\) zu p. 2. Graph q verläuft durch \((0\mid1)\) und bei \(x=1\) durch \((1\mid1{,}5)\). Daher gehört Term 2) \(1{,}5^x\) zu q. 3. Graph r ist fallend, verläuft durch \((0\mid1)\) und \((-1\mid2)\). Daher passt 3) \(0{,}5^x\). Außerdem gilt \(2^{-x}=(2^{-1})^x=0{,}5^x\), also passt auch 5). 4. Graph s ist steigend, verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid2)\). Daher gehört Term 4) \(2^x\) zu s. 5. Term 6) beschreibt eine stärker fallende Funktion mit Basis \(\frac{1}{3}\) und passt zu keinem der vier dargestellten Graphen.

p: 1) q: 2) r: 3) und 5) s: 4)

- Vergleiche die beiden Graphen nicht nur im biologisch relevanten Bereich, sondern auch links von der \(y\)-Achse. - Berechne für Teil b) zunächst beide Funktionswerte am vorgegebenen Zeitpunkt. - Fasse in Teil c) das Produkt der beiden Potenzen mithilfe eines Potenzgesetzes zusammen.

1. Für \(x\geq0\) steigt \(f(x)\), während \(g(x)\) fällt. Beide Graphen verlaufen durch \((0\mid1)\). Als vollständige Funktionsgraphen sind sie Spiegelbilder an der \(y\)-Achse, denn \(g(x)=f(-x)\). 2. Für \(x=3\) ist \(f(3)=2^3=8\) und \(g(3)=0{,}5^3=0{,}125\). Daher ist \(\frac{f(3)}{g(3)}=8:0{,}125=64\). 3. Allgemein gilt \(f(x)\cdot g(x)=2^x\cdot0{,}5^x=(2\cdot0{,}5)^x=1^x=1\). Das Produkt ist für alle \(x\) konstant \(1\).

a) Für \(x\geq0\) steigt \(f\), während \(g\) fällt. Als vollständige Funktionsgraphen sind sie bezüglich der \(y\)-Achse spiegelbildlich. b) \(64\) c) \(f(x)\cdot g(x)=1\) für alle \(x\)

- Beginne jeweils mit dem Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse. - Wähle anschließend einen weiteren Punkt mit möglichst einfach ablesbaren Koordinaten. - Setze diesen zweiten Punkt zusammen mit dem bereits bestimmten Vorfaktor in \(y=b\cdot a^x\) ein.

1. Beim Graphen \(f\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0\mid5)\). Daher ist der Vorfaktor \(b=5\). Mit dem weiteren Punkt \((1\mid6)\) gilt \(6=5\cdot a\), also \(a=\frac{6}{5}=1{,}2\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=5\cdot1{,}2^x\). 2. Beim Graphen \(g\) liegt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0\mid2)\). Daher ist \(b=2\). Mit dem Punkt \((1\mid1)\) gilt \(1=2\cdot a\), also \(a=0{,}5\). Somit lautet die Funktion \(g(x)=2\cdot0{,}5^x\).

\(f(x)=5\cdot1{,}2^x\) und \(g(x)=2\cdot0{,}5^x\)

- Vergleiche in jedem Teilbild die Höhe der Exponentialkurve mit der Höhe der Geraden an einfachen Stellen. - Suche in a) zunächst nach einem direkt berechenbaren Schnittpunkt und danach nach einem Wechsel „oberhalb/unterhalb“. - Nutze in b), dass eine Funktion wächst und die andere fällt. - Überlege in c), wie oft eine streng wachsende Funktion eine waagrechte Gerade schneiden kann.

1. In Teilbild a) gilt für \(x=2\): \(f(2)=4\) und \(g(2)=4\). Dort liegt ein Schnittpunkt. 2. Außerdem gilt in a) für \(x=-2\): \(f(-2)=0{,}25>0=g(-2)\), während für \(x=0\) gilt: \(f(0)=1<2=g(0)\). Zwischen \(x=-2\) und \(x=0\) wechselt also die Lage der beiden Graphen; die Abbildung zeigt dort einen weiteren Schnittpunkt. Teilbild a) besitzt damit mehr als einen Schnittpunkt. 3. In Teilbild b) ist \(g\) streng fallend, während \(f(x)=2^x\) streng wächst. Außerdem gilt \(f(0)=g(0)=1\). Daher können sich diese beiden Graphen nur in diesem einen Punkt schneiden. 4. In Teilbild c) ist \(g(x)=0{,}5\) konstant. Da \(f\) streng wächst und \(f(-1)=0{,}5\) gilt, gibt es auch hier genau einen Schnittpunkt. 5. Somit ist Teilbild a) gesucht.

Teilbild a) zeigt mehr als einen Schnittpunkt der Graphen von \(f\) und \(g\).