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- Lies den Radius aus der Abbildung ab. - Welche Formel gehört zur Oberfläche einer Kugel? - Achte auf Quadrateinheiten.

1. Für die Kugeloberfläche gilt \(O=4\pi r^2\). 2. Mit \(r=3\,\text{cm}\) ergibt sich \(O=4\pi\cdot 3^2=36\pi\,\text{cm}^2\).

\(36\pi\,\text{cm}^2\)

- Ein Volumen muss von einer Längengröße in dritter Potenz abhängen. - Unterscheide Volumen- und Oberflächenformel der Kugel.

1. Die Kugelvolumenformel enthält die dritte Potenz des Radius. 2. Daher ist B richtig: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).

B: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

- Was bleibt gleich, wenn man mehrere Knetkugeln zu einer großen Kugel zusammenfügt? - Wie berechnet man das Volumen einer Kugel aus ihrem Radius? - Wenn du die Volumina addierst, kannst du konstante Faktoren vor der Klammer ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Gesamtvolumens der drei kleinen Kugeln: \(V_{ges} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 + \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (1 + 216 + 512)\). 2. Vereinfachung der Summe in der Klammer: \(1 + 216 + 512 = 729\). 3. Gleichsetzen mit dem Volumen der neuen großen Kugel: \(\frac{4}{3}\pi \cdot R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729\). 4. Auflösen nach \(R\): \(R^3 = 729 \implies R = \sqrt[3]{729}\). 5. Berechnung der Kubikwurzel: \(R = 9\).

\(9\,\text{cm}\)

- Welche Größe musst du zuerst isolieren, um den Radius zu finden? - Wie gehst du vor, wenn eine Variable in der dritten Potenz steht? - Achte darauf, welche Einheiten für Volumen und Fläche gefragt sind. - Welche Formel verknüpft den Radius direkt mit der gesuchten Oberfläche?

1. Umstellung der Volumenformel nach dem Radius: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen von \(V = 14{,}5\,\text{m}^3\): \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 14{,}5}{4 \cdot \pi}} \approx \sqrt[3]{3{,}4616} \approx 1{,}51\,\text{m}\). 2. Berechnung der Oberfläche mit \(r = 1{,}51\,\text{m}\): \(O = 4 \cdot \pi \cdot 1{,}51^2 \approx 4 \cdot \pi \cdot 2{,}2801 \approx 28{,}65\,\text{m}^2\).

1. Der Radius beträgt ca. \(1{,}51\,\text{m}\). 2. Die Oberfläche beträgt ca. \(28{,}65\,\text{m}^2\).

- Überlege zuerst, wie der Radius einer Kugel mit ihrem Durchmesser zusammenhängt. - Welche Formeln benötigst du für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel? - Achte beim Eintippen in den Taschenrechner auf die korrekte Verwendung der Hochzahlen.

1. Berechnung des Radius: \(r = d : 2 = 12{,}4\,\text{cm} : 2 = 6{,}2\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^3 \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (6{,}2\,\text{cm})^2 \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\).

\(V \approx 998{,}3\,\text{cm}^3\) und \(O \approx 483{,}1\,\text{cm}^2\)

- Welche Maßangabe zeigt die Abbildung bei der Kugel? - Welche Formel verknüpft den Radius mit dem Kugelvolumen? - Halte \(\pi\) zunächst symbolisch und runde erst am Ende.

1. Aus der Abbildung liest man den Radius \(r=6\,\text{cm}\) ab. 2. Das Kugelvolumen ist \(V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3\,\text{cm}^3=288\pi\,\text{cm}^3\). 3. Numerisch ist \(V\approx904{,}779\,\text{cm}^3\), also gerundet \(904{,}8\,\text{cm}^3\).

Exakt: \(288\pi\,\text{cm}^3\) Gerundet: \(904{,}8\,\text{cm}^3\)

- Welche Länge zeigt die Maßangabe an der Kugel: Radius oder Durchmesser? - Welche Beziehung besteht zwischen Durchmesser und Radius? - Runde erst nach dem Einsetzen in die Oberflächenformel.

1. Aus der Abbildung liest man den Durchmesser \(d=9\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(r=\frac{d}{2}=4{,}5\,\text{cm}\). 2. Für die Kugeloberfläche gilt \(O=4\pi r^2=4\pi\cdot(4{,}5)^2\,\text{cm}^2=81\pi\,\text{cm}^2\). 3. Numerisch ist \(O\approx254{,}469\,\text{cm}^2\), also gerundet \(254{,}5\,\text{cm}^2\).

Exakt: \(81\pi\,\text{cm}^2\) Gerundet: \(254{,}5\,\text{cm}^2\)

- Welche Fläche erhältst du, wenn du nur die gekrümmte Oberfläche einer ganzen Kugel halbierst? - Welche neue ebene Fläche entsteht durch das Halbieren der Kugel? - Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob diese Schnittfläche zur gesuchten Oberfläche gehört.

1. Die gekrümmte Oberfläche einer Halbkugel ist die Hälfte der Kugeloberfläche: \(O_{\text{gekrümmt}}=\frac{1}{2}\cdot4\pi r^2=2\pi r^2\). 2. Für \(r=6\,\text{cm}\) ist \(O_{\text{gekrümmt}}=72\pi\,\text{cm}^2\approx226{,}2\,\text{cm}^2\). 3. Bei einer massiven Halbkugel gehört zusätzlich die kreisförmige Schnittfläche mit \(G=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\) zur Oberfläche. 4. Daher ist \(O_{\text{gesamt}}=72\pi\,\text{cm}^2+36\pi\,\text{cm}^2=108\pi\,\text{cm}^2\approx339{,}3\,\text{cm}^2\). 5. Die Formel \(2\pi r^2\) beschreibt nur die gekrümmte Halbkugeloberfläche; für die gesamte Oberfläche muss die Schnittfläche addiert werden.

a) \(72\pi\,\text{cm}^2\approx226{,}2\,\text{cm}^2\) b) \(108\pi\,\text{cm}^2\approx339{,}3\,\text{cm}^2\) c) \(2\pi r^2\) erfasst nur die gekrümmte Fläche. Bei der massiven Halbkugel kommt die Kreisfläche \(\pi r^2\) hinzu.

- Welche Strecke des Halbkreises bleibt beim Drehen unverändert? - Wie groß ist der maximale Abstand eines Halbkreispunktes von dieser Achse? - Denke bei Teil c) zunächst an die Bahn eines einzigen Punktes mit festem Achsabstand.

1. Der Durchmesser bleibt als Drehachse fest. Beim Drehen erzeugt der Halbkreisbogen die gesamte Kugeloberfläche, während die Punkte der Halbkreisfläche das Kugelinnere ausfüllen. 2. Der größte Abstand eines Halbkreispunktes von der Drehachse ist der Halbkreisradius. Daher hat die Kugel \(r=4\,\text{cm}\) und den Durchmesser \(d=8\,\text{cm}\). 3. Ein Punkt im Abstand \(x\) von der Achse durchläuft einen Kreis mit Radius \(x\), dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt. Die Gesamtheit solcher Kreisbahnen beschreibt die rotationssymmetrische Kugel.

a) Die Rotation der Halbkreisfläche um ihren Durchmesser erzeugt eine Kugel. b) \(r=4\,\text{cm}\), \(d=8\,\text{cm}\). c) Ein Punkt im Achsabstand \(x\) durchläuft einen Kreis mit Radius \(x\) um die Drehachse.

- Stelle sicher, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest. - Wie hängen Masse, Dichte und Volumen zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kommst du schrittweise zum Durchmesser? - Was ist die Beziehung zwischen Radius und Durchmesser?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 450\,\text{kg} = 450\,000\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{450000}{8{,}7} \approx 51\,724{,}14\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Radius aus dem Volumen: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 51724{,}14}{4 \cdot \pi}} \approx \sqrt[3]{12\,348{,}09} \approx 23{,}11\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Durchmessers: \(d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 23{,}11 = 46{,}22\,\text{cm}\).

Der Durchmesser der Bronzekugel beträgt ca. \(46{,}2\,\text{cm}\).

- Wie lautet die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel? Kannst du sie nach dem Radius umstellen? - Wenn du den Radius gefunden hast, kannst du ihn direkt in die Volumenformel einsetzen. - Achte darauf, wie in der Aufgabe verlangt zu runden.

1. Berechnung des Radius durch Umstellen der Oberflächenformel: \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{O}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte ergibt \(r = \sqrt{\frac{800\,\text{cm}^2}{4 \cdot \pi}} \approx 7{,}9788\ldots\,\text{cm}\). Gerundet auf zwei Stellen: \(r \approx 7{,}98\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens mit dem gerundeten Radius: \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (7{,}98\,\text{cm})^3 \approx 2128{,}62\,\text{cm}^3\).

\(r \approx 7{,}98\,\text{cm}\) und \(V \approx 2128{,}62\,\text{cm}^3\)

- Überlege zuerst, wie viele Kubikzentimeter einem Liter entsprechen. - Wie hängt das Volumen einer Halbkugel mit dem einer ganzen Kugel zusammen? - Wenn du das Volumen kennst, wie kannst du die Formel so umformen, dass du den Radius berechnen kannst? - Achte am Ende darauf, ob nach dem Radius oder dem Durchmesser gefragt ist.

1. Umrechnung des Volumens in Kubikzentimeter: \(V = 4\,\text{l} = 4000\,\text{cm}^3\). 2. Aufstellen der Formel für das Volumen einer Halbkugel: \(V = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 3. Umstellen der Formel nach dem Radius \(r\): \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{2 \cdot \pi}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4000\,\text{cm}^3}{2 \cdot \pi}} \approx 12{,}407\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Durchmessers \(d\): \(d = 2 \cdot r \approx 24{,}814\,\text{cm}\). 6. Endergebnis gerundet: \(d \approx 24{,}8\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser des Gefäßes beträgt etwa \(24{,}8\,\text{cm}\).

- Berechne zunächst die Volumina beider Körper einzeln. - Wie verändert sich das Volumen eines Körpers allgemein, wenn man seine Maße verdoppelt? - Du kannst das Problem lösen, indem du die konkreten Werte einsetzt oder indem du mit den Formeln und dem Faktor 2 arbeitest. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse durch Division.

1. Berechnung des Volumens der ursprünglichen Kugel mit \(r_1 = 1{,}5\,\text{cm}\): \(V_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1{,}5^3 = 4{,}5 \cdot \pi \approx 14{,}14\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens der neuen Halbkugel mit \(r_2 = 3\,\text{cm}\): \(V_2 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 18 \cdot \pi \approx 56{,}55\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Volumina durch Division: \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{18 \cdot \pi}{4{,}5 \cdot \pi} = 4\). 4. Alternativer Weg über Skalierungsfaktoren: Verdopplung des Radius führt bei einer ganzen Kugel zum 8-fachen Volumen (\(2^3\)). Da es sich nur um eine Halbkugel handelt, halbiert sich dieser Faktor wieder (\(8 : 2 = 4\)).

Das Volumen der neuen Halbkugel ist genau 4-mal so groß wie das Volumen der ursprünglichen Kugel.

- Wie hängen Liter und Kubikdezimeter zusammen? - Du musst die Volumenformel der Kugel nach dem Radius \(r\) umstellen. Welche Rechenoperation ist die Umkehrung der dritten Potenz? - Nutze den berechneten Radius, um in einem zweiten Schritt die Oberfläche zu ermitteln. - Verwende für Zwischenergebnisse möglichst ungerundete Werte auf deinem Taschenrechner, um die Genauigkeit zu erhöhen.

1. Umrechnung und Ansatz für den Radius: Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), gilt \(V = 12\,\text{dm}^3\). Die Formel für das Volumen lautet \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\). 2. Berechnung des Radius: Umstellen der Formel ergibt \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi}}\). Einsetzen der Werte liefert \(r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 12\,\text{dm}^3}{4 \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{36}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{9}{\pi}} \approx 1{,}42\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: Mit der Formel \(O = 4 \cdot \pi \cdot r^2\) und dem ungerundeten Radius ergibt sich \(O = 4 \cdot \pi \cdot (1{,}420248...\,\text{dm})^2 \approx 25{,}35\,\text{dm}^2\).

a) Der Radius beträgt ca. \(1{,}42\,\text{dm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(25{,}35\,\text{dm}^2\).

- Bestimme aus dem Durchmesser zuerst den Kugelradius. - Berechne die Volumina von Kugel und Würfel getrennt. - Für den prozentualen Anteil vergleichst du Teilvolumen und Gesamtvolumen durch einen Quotienten.

1. Der Kugelradius ist \(r=\frac{12\,\text{cm}}{2}=6\,\text{cm}\). Daher ist \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3\,\text{cm}^3=288\pi\,\text{cm}^3\approx904{,}78\,\text{cm}^3\). 2. Das Würfelvolumen ist \(V_{\text{Würfel}}=12^3\,\text{cm}^3=1728\,\text{cm}^3\). 3. Der prozentuale Anteil ist \(p=\frac{288\pi}{1728}\cdot100\,\%=\frac{\pi}{6}\cdot100\,\%\approx52{,}4\,\%\).

Das Kugelvolumen beträgt ungefähr \(904{,}8\,\text{cm}^3\). Es entspricht ungefähr \(52{,}4\,\%\) des Würfelvolumens.

- Schreibe die Formeln für beide Volumina auf und setze sie ins Verhältnis. - Welche Teile der Formel bleiben gleich und können gekürzt werden? - Wenn sich das Volumen versechsfacht, wie wirkt sich das auf die Seitenlänge oder den Radius aus? - Überlege, ob sich das Verhältnis der Radien vom Verhältnis der Durchmesser unterscheidet.

1. Aufstellen des Volumenverhältnisses: \(V_B = 6 \cdot V_A\). 2. Einsetzen der Formel \(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\): \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_B^3 = 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_A^3\). 3. Kürzen der Konstanten \(\frac{4}{3} \cdot \pi\): \(r_B^3 = 6 \cdot r_A^3\). 4. Ziehen der Kubikwurzel: \(r_B = \sqrt[3]{6} \cdot r_A\). 5. Da der Durchmesser \(d = 2 \cdot r\) proportional zum Radius ist, gilt für den Faktor \(k\): \(k = \frac{d_B}{d_A} = \frac{r_B}{r_A} = \sqrt[3]{6}\). 6. Numerische Berechnung: \(k = \sqrt[3]{6} \approx 1{,}817\).

Der Durchmesser von Kugel B ist um den Faktor \(k = \sqrt[3]{6} \approx 1{,}82\) größer als der von Kugel A.