- Vergleiche einen gut erkennbaren Hochpunkt der beiden Graphen. - In welche Richtung musst du den Hochpunkt von \(f\) verschieben, damit er auf dem Hochpunkt von \(g\) liegt? - Beachte die vorgegebene Form \(x+c\).

1. Der Hochpunkt von \(f\) liegt bei \(x=\frac{\pi}{2}\), der entsprechende Hochpunkt von \(g\) bei \(x=0\). 2. Der Graph wurde daher um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschoben. 3. In der Form \(\sin(x+c)\) entspricht eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links dem Parameter \(c=\frac{\pi}{2}\).

Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links; \(c=\frac{\pi}{2}\).

- Vergleiche den gegebenen Klammerausdruck direkt mit \(x+c\). - Welches Vorzeichen muss \(c\) haben, damit aus \(x+c\) der Ausdruck \(x-\frac{\pi}{3}\) wird? - Prüfe die Verschieberichtung an der Stelle, an der der innere Ausdruck \(0\) wird.

1. Es gilt \(x-\frac{\pi}{3}=x+\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). Daher ist \(c=-\frac{\pi}{3}\). 2. Ein negatives \(c\) in \(x+c\) verschiebt den Graphen um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts.

\(c=-\frac{\pi}{3}\); Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts.

- Vergleiche die Nulldurchgänge mit positiver Steigung der beiden Kurven. - Achte darauf, wie die Richtung der Verschiebung mit dem Vorzeichen von \(c\) in \(x+c\) zusammenhängt. - Übertrage anschließend die gleiche Verschiebung auf den ersten Hochpunkt der Grundfunktion.

1. Der Graph von \(g\) besitzt seinen Nulldurchgang mit positiver Steigung bei \(x=\frac{\pi}{2}\). Gegenüber \(f\) ist er also um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts verschoben. 2. In der Form \(x+c\) entspricht eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts dem Parameter \(c=-\frac{\pi}{2}\). Daher ist \(g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\). 3. Der erste Hochpunkt von \(f\) liegt bei \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\). Nach der Verschiebung liegt er bei \(H(\pi\mid1)\).

a) \(c=-\frac{\pi}{2}\); \(g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) b) \(H(\pi\mid1)\)

- Der Parameter \(c\) steht innerhalb einer Klammer, die noch mit \(2\) multipliziert wird. - Klammere deshalb zuerst den Faktor vor \(x\) aus dem gesamten Argument aus. - Vergleiche erst danach mit der Form \(2(x+c)\).

1. Der Faktor \(2\) muss aus dem gesamten Argument ausgeklammert werden: \(2x+\frac{\pi}{3}=2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\). 2. Daher ist \(c=\frac{\pi}{6}\). 3. Der Graph ist gegenüber \(y=\sin(2x)\) um \(\frac{\pi}{6}\) nach links verschoben.

\(f(x)=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)\); \(c=\frac{\pi}{6}\); Verschiebung um \(\frac{\pi}{6}\) nach links.

- Verfolge in allen vier Fällen denselben charakteristischen Punkttyp. - Welche Gleichung muss im Inneren des Sinus am ansteigenden Nulldurchgang gelten? - Vergleiche die neue \(x\)-Koordinate mit \(0\).

1. Für \(c=-\frac{\pi}{2}\) gilt \(x+c=0\) bei \(x=\frac{\pi}{2}\). Dort liegt der nächstgelegene ansteigende Nulldurchgang. 2. Für \(c=0\) liegt er bei \(x=0\). 3. Für \(c=\frac{\pi}{3}\) liegt er bei \(x=-\frac{\pi}{3}\). 4. In \(\sin(x+c)\) verschiebt \(c>0\) den Graphen um \(c\) nach links; \(c<0\) verschiebt ihn um \(|c|\) nach rechts. 5. Für \(c=\frac{\pi}{4}\) liegt ein ansteigender Nulldurchgang bei \(x=-\frac{\pi}{4}\).

a) Für \(c=-\frac{\pi}{2}\): \(x=\frac{\pi}{2}\); für \(c=0\): \(x=0\); für \(c=\frac{\pi}{3}\): \(x=-\frac{\pi}{3}\). b) \(c>0\) verschiebt den Graphen um \(c\) nach links; \(c<0\) verschiebt ihn um \(|c|\) nach rechts. c) Für \(c=\frac{\pi}{4}\) liegt ein ansteigender Nulldurchgang bei \(x=-\frac{\pi}{4}\).

- Welche Wirkung hat ein Minuszeichen innerhalb des Arguments auf die Verschiebungsrichtung? - Werte den inneren Winkel an den fünf vorgegebenen Stellen aus.

1. Der Term \(x-\frac{\pi}{2}\) verschiebt den Sinusgraphen um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts. 2. Die Werte sind der Reihe nach \(-1,0,1,0,-1\). 3. Die Punkte sind \((0\mid-1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid0\right)\) und \((2\pi\mid-1)\). 4. Zeichne eine glatte verschobene Sinuskurve durch diese Punkte.

a) Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts b) \((0\mid-1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid0\right)\), \((2\pi\mid-1)\) c) Der Graph muss diese Punkte als glatte verschobene Sinuskurve verbinden.

- Wie verändert eine Verschiebung nach links das Argument der Kosinusfunktion? - Teile die Periode vom angegebenen Hochpunkt aus in vier gleich lange Abschnitte. - Prüfe am Ende, ob der letzte Punkt eine volle Periode später wieder ein Hochpunkt ist.

1. Eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) nach links ergibt \(g(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\). 2. Die Periode beginnt beim Hochpunkt \(\left(-\frac{\pi}{4}\mid1\right)\). Danach folgen in Abständen von \(\frac{\pi}{2}\) die Punkte \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{5\pi}{4}\mid0\right)\) und \(\left(\frac{7\pi}{4}\mid1\right)\). 3. Zeichne eine glatte Kosinuskurve durch diese fünf Punkte.

a) \(g(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) b) \(\left(-\frac{\pi}{4}\mid1\right)\), \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{5\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{7\pi}{4}\mid1\right)\) c) Der Graph muss diese fünf Punkte als glatte verschobene Kosinuskurve verbinden.

- Bringe bei b) zuerst den Ausdruck in der Klammer in eine Form, in der eine ganze Periode sichtbar wird. - Vergleiche Sinus und Kosinus bei einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\). - Entscheidend ist eine Umformung, die für alle \(x\) gilt, nicht die Übereinstimmung an einzelnen Stellen.

1. Für b) gilt \(\sin(2(x+\pi))=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)\), weil die Sinusfunktion die Periode \(2\pi\) besitzt. 2. Für c) gilt \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(2x)\). 3. Für d) gilt \(\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(2x)\). 4. Damit sind a), b) und c) äquivalent. Term d) beschreibt wegen des zusätzlichen Minuszeichens eine andere Funktion.

b) \(\sin(2(x+\pi))=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)\) c) \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(2x)\) d) \(\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(2x)\) Nicht äquivalent ist d).

- Beim Wechsel zwischen Sinus und Kosinus bleiben vertikale Skalierung und vertikale Verschiebung unverändert. - Nutze die bekannte Verschiebungsbeziehung zwischen Kosinus und Sinus für den gesamten Klammerausdruck. - Vergleiche anschließend das erhaltene Argument mit der Zielstruktur \(x+c\).

1. Die vertikale Skalierung und Verschiebung bleiben beim Wechsel von Kosinus zu Sinus erhalten. Daher sind \(a=2{,}5\) und \(d=-1\). 2. Mit \(\cos(\alpha)=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\) und \(\alpha=x-\frac{\pi}{4}\) folgt \(f(x)=2{,}5\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)-1\). 3. Im Argument gilt \(x-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=x+\frac{\pi}{4}\). Damit ist \(c=\frac{\pi}{4}\).

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x)=2{,}5\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\). Die Parameter sind \(a=2{,}5\), \(c=\frac{\pi}{4}\) und \(d=-1\).

- Wende die angegebene Sinus-Kosinus-Beziehung auf den gesamten Ausdruck \(x+c\) an. - Für identische Darstellungen müssen die beiden Sinusargumente passend übereinstimmen. - Achte beim Zahlenbeispiel auf das Vorzeichen des Parameters \(c\).

1. Mit \(\alpha=x+c\) gilt \(\cos(x+c)=\sin\left(x+c+\frac{\pi}{2}\right)\). Für identische Funktionen kann daher \(x+c_2=x+c+\frac{\pi}{2}\) gewählt werden. Somit ist \(c_2=c+\frac{\pi}{2}\). 2. Für \(c=-\frac{3\pi}{4}\) ergibt sich \(c_2=-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{4}\).

1. \(c_2=c+\frac{\pi}{2}\) 2. Für \(c=-\frac{3\pi}{4}\) gilt \(c_2=-\frac{\pi}{4}\).

- Vergleiche die Argumente \(x\) und \(x+\frac{\pi}{3}\), bevor du Gleichungen löst. - Bestimme die Nullstellen der unverschobenen Funktion zuerst. - Übertrage anschließend deren \(x\)-Koordinaten um genau dieselbe horizontale Verschiebung auf \(f\).

1. In \(f(x)\) steht \(x+\frac{\pi}{3}\). Daher ist der Graph gegenüber \(h\) um \(\frac{\pi}{3}\) nach links verschoben. 2. Aus \(h(x)=0\) folgt \(\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Im Intervall \([0;2\pi)\) sind die Nullstellen \(x=\frac{5\pi}{4}\) und \(x=\frac{7\pi}{4}\). 3. Durch die Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach links werden beide \(x\)-Koordinaten um \(\frac{\pi}{3}\) kleiner. 4. Damit erhält man für \(f\) die Nullstellen \(\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{12}\) und \(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{17\pi}{12}\).

a) Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach links. b) Nullstellen von \(h\): \(\frac{5\pi}{4}\) und \(\frac{7\pi}{4}\). c) Nullstellen von \(f\): \(\frac{11\pi}{12}\) und \(\frac{17\pi}{12}\).

- Überlege, wie man eine Kosinusfunktion durch eine Verschiebung in eine Sinusfunktion umwandeln kann. - Achte darauf, dass in der Zielform der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist. - Wie hängen die Graphen von Sinus und Kosinus zusammen?

1. Verwendung der Beziehung \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 2\) innerhalb des Sinusarguments: \(y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\). 3. Identifikation der Parameter: \(a = 1\), \(b = 2\) und \(c = \frac{\pi}{8}\).

\(y = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)\)

- Du kannst den Vorfaktor \(a\) negativ lassen, um die Umformung zu vereinfachen. - Erinnere dich an die Verschiebung auf der \(x\)-Achse, die nötig ist, um aus einer Kosinus- eine Sinuskurve zu machen. - Vergiss nicht, den Faktor \(b\) im Argument richtig auszuklammern.

1. Anwendung der Identität \(\cos(u) = \sin\left(u + \frac{\pi}{2}\right)\): \(y = -2\sin\left(0{,}5x + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -2\sin\left(0{,}5x + \frac{3\pi}{2}\right)\). 2. Ausklammern des Faktors \(b = 0{,}5\) aus dem Argument: \(y = -2\sin(0{,}5(x + 3\pi))\). 3. (Optional) Nutzung der Periodizität (\(2\pi\) im Argument des Sinus entspricht einer Verschiebung um \(4\pi\) bei \(b=0{,}5\)): Eine alternative Darstellung wäre \(y = -2\sin(0{,}5(x - \pi))\).

\(y = -2\sin(0{,}5(x + 3\pi))\) oder \(y = -2\sin(0{,}5(x - \pi))\)

- Vergleiche markante Punkte wie Nullstellen und Hochpunkte beider Kurven. - Bestimme zuerst die Periode, um äquivalente Verschiebungen zu erkennen. - In der Form \(x+c\) bedeutet ein positives \(c\) eine Verschiebung nach links. - Für die allgemeine Begründung reicht die im Text angegebene Sinus-Kosinus-Beziehung; eine weitergehende Formel ist nicht nötig.

1. Markante Punkte zeigen: \(g\) entsteht aus \(f\) durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links. Da die Periode \(4\) beträgt, ist dies zugleich äquivalent zu einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. 2. In der Form \(\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+c)\right)\) beschreibt \(c=1\) genau die Verschiebung um \(1\) nach links. Somit ist \(g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+1)\right)\). 3. Es gilt \(g(0)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1=k(0)\) und \(g(1)=\sin(\pi)=0=k(1)\). 4. Allgemein ist \(g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=k(x)\).

a) \(1\) Einheit nach links oder äquivalent \(3\) Einheiten nach rechts b) \(c=1\), also \(g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}(x+1)\right)\) c) Bei \(x=0\) ist jeweils der Wert \(1\), bei \(x=1\) jeweils der Wert \(0\). Allgemein folgt die Gleichheit aus \(\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(u)\).

- Wie sieht eine Funktion aus, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? Wo muss sie die \(y\)-Achse schneiden? - Vergleiche den abgebildeten Graphen mit dem Verlauf der Standardsinusfunktion. Siehst du eine Spiegelung oder Verschiebung? - Erinnere dich an die Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus: Um welchen Wert muss man die Kosinuswelle verschieben, damit sie wie eine Sinuswelle aussieht? - Ordne die Lage des ersten Minimums einem bekannten Vielfachen von \(\pi\) zu.

1. Die Kosinusfunktion \(\cos(x)\) ist ursprünglich achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Damit sie punktsymmetrisch zum Ursprung wird, muss sie horizontal so verschoben werden, dass sie die Form einer eventuell gespiegelten Sinusfunktion annimmt. 2. Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f(0) = 0\) gilt und die Funktion für kleine positive \(x\) fällt. Es handelt sich also um den Graphen der Funktion \(y = -\sin(x)\). 3. Es gilt die Identität \(\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)\). 4. Überprüfung am Minimum: Das erste Minimum der Funktion \(-\sin(x)\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), wo die Funktion den Wert \(-1\) annimmt. Dies entspricht der Abbildung. 5. Der gesuchte Parameter ist somit \(c = \frac{\pi}{2}\).

\(c = \frac{\pi}{2}\)

- Welche der beiden Grundfunktionen Sinus oder Kosinus ist von sich aus zur \(y\)-Achse symmetrisch? - Lies am Graphen ab, ob bei \(x=0\) ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt liegt. - Nutze die bekannte Phasenbeziehung zwischen Sinus und Kosinus. - Für die allgemeine Aussage darf sich die nötige Viertelperiodenverschiebung um ganze halbe Perioden unterscheiden.

1. Eine zur \(y\)-Achse symmetrische Sinuskurve muss durch eine passende Phasenverschiebung mit einem Kosinusgraphen oder dessen Spiegelung übereinstimmen. Im Bild liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt, also gilt hier \(f(x)=\cos(2x)\). 2. Mit der Phasenbeziehung \(\sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(u)\) folgt \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)\). 3. Daher muss für den kleinsten positiven Wert \(2c=\frac{\pi}{2}\) gelten. Somit ist \(c=\frac{\pi}{4}\). 4. Allgemein ist \(\sin(b(x+c))=\sin(bx+bc)\). Der Graph ist genau dann eine verschobene Kosinuskurve oder deren Spiegelung, wenn \(bc\) einem ungeraden Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\) entspricht. 5. Damit gilt \(bc=\frac{\pi}{2}+k\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\), also \(c=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{b}\).

a) \(c=\frac{\pi}{4}\) b) \(bc=\frac{\pi}{2}+k\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\), also \(c=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{b}\).