- Welcher Parameter steht direkt vor der Sinusfunktion? - Für die Amplitude ist der Betrag dieses Parameters entscheidend.

1. Bei \(f(x)=a\sin(x)\) ist die Amplitude der Betrag des Vorfaktors. 2. Daher ist \(A=|-2|=2\).

\(A=2\)

- Welche Zahl wird unabhängig von \(x\) zum Sinuswert addiert? - Diese Zahl gibt die Höhe der Mittellinie an.

1. In \(g(x)=\sin(x)+d\) bestimmt \(d\) die vertikale Lage der Mittellinie. 2. Hier ist \(d=-3\), also lautet die Mittellinie \(y=-3\).

\(y=-3\)

- Überlege zuerst, wie sich die Streckung und die Spiegelung auf den Koeffizienten vor dem Kosinus auswirken. - Wie beeinflusst eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Erinnere dich daran, dass die Amplitude immer ein positiver Wert ist, der die maximale Auslenkung von der Mittellinie beschreibt. - Für den Wertebereich kannst du den kleinstmöglichen und den größtmöglichen Wert der Funktion bestimmen.

1. Anwendung der Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\): \(2{,}5\cos(x)\) 2. Berücksichtigung der Spiegelung an der \(x\)-Achse durch ein negatives Vorzeichen: \(-2{,}5\cos(x)\) 3. Durchführung der vertikalen Verschiebung um \(1{,}5\) nach unten: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) 4. Die Amplitude \(A\) ist der Betrag des Streckfaktors: \(A = |-2{,}5| = 2{,}5\) 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der Mittellinie \(d = -1{,}5\) und der Amplitude: \([-1{,}5 - 2{,}5; -1{,}5 + 2{,}5]\), woraus \(\mathbb{W} = [-4; 1]\) folgt.

Funktionsterm: \(g(x) = -2{,}5\cos(x) - 1{,}5\) Amplitude: \(A = 2{,}5\) Wertebereich: \(\mathbb{W} = [-4; 1]\)

- Vergleiche zuerst das Argument des Sinus mit \(\sin(x)\). - Welche Wirkung hat der Summand außerhalb des Sinus auf alle \(y\)-Werte? - Prüfe anschließend, ob sich die Höhe der Ausschläge verändert hat.

1. Der Ausdruck \(x-\pi\) verschiebt den Sinusgraphen um \(\pi\) nach rechts. 2. Der Summand \(+4\) verschiebt den Graphen um \(4\) nach oben. 3. Vor dem Sinus steht der Faktor \(1\). Deshalb ist die Amplitude \(A=1\). 4. Durch die Verschiebung nach oben liegt die Mittellinie bei \(y=4\).

a) Verschiebung um \(\pi\) nach rechts und um \(4\) nach oben b) \(A=1\); Mittellinie: \(y=4\)

- Wie wirkt sich ein Faktor vor dem Sinus auf die Auslenkung in \(y\)-Richtung aus? - Welches Vorzeichen muss im Argument stehen, wenn der Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Was passiert mit dem Funktionsterm bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - An welcher Stelle im Funktionsterm wird eine Verschiebung nach oben oder unten berücksichtigt?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Funktionsgleichung mit dem Streckungsfaktor multipliziert und die Verschiebung addiert: \(g(x)=5\sin(x)+2\). 2. In Teilaufgabe b) bewirkt die Verschiebung nach rechts eine Ersetzung von \(x\) durch \(x-\frac{\pi}{2}\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einem negativen Vorzeichen vor dem Sinus: \(g(x)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Stauchungsfaktor \(0{,}4\) vor den Sinus gesetzt. Die Verschiebung um \(3\) nach links bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(x+3\). Die Verschiebung um \(1\) nach unten wird durch \(-1\) berücksichtigt: \(g(x)=0{,}4\sin(x+3)-1\).

a) \(g(x)=5\sin(x)+2\) b) \(g(x)=-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) c) \(g(x)=0{,}4\sin(x+3)-1\)

- Überlege, welcher Parameter die Auslenkung in \(y\)-Richtung und welcher die vertikale Lage des Graphen bestimmt. - Was bedeutet eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung für das Vorzeichen im Argument? - Wie wird eine Spiegelung an der \(x\)-Achse im Funktionsterm sichtbar? - Wie hängt die Amplitude mit dem Betrag des Faktors vor der Kosinusfunktion zusammen?

1. In Teilaufgabe a) entspricht die neue Amplitude dem Faktor \(a=2{,}5\). Die Verschiebung nach unten wird durch \(d=-4\) ausgedrückt: \(g(x)=2{,}5\cos(x)-4\). 2. Für b) führt die Spiegelung zu einem Faktor \(-1\). Die Verschiebung um \(\pi\) nach links erfordert das Argument \(x+\pi\). Die Verschiebung nach oben addiert \(0{,}5\): \(g(x)=-\cos(x+\pi)+0{,}5\). 3. In Teilaufgabe c) ist der Stauchungsfaktor \(a=\frac{1}{3}\). Eine Verschiebung in positive \(x\)-Richtung bedeutet \(x-2\) im Argument. Die Mittellinie \(y=-1\) entspricht einer vertikalen Verschiebung um \(-1\): \(g(x)=\frac{1}{3}\cos(x-2)-1\).

a) \(g(x)=2{,}5\cos(x)-4\) b) \(g(x)=-\cos(x+\pi)+0{,}5\) c) \(g(x)=\frac{1}{3}\cos(x-2)-1\)

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Funktionswert auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert direkt beim Argument \(x\) multipliziert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion am Ende des Funktionsterms auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt. - Welche geometrische Operation bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term?

1. Bei \(f_1(x) = \sin(4x)\) bewirkt der Faktor \(b = 4\) eine Stauchung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Die Periode verkürzt sich von \(2\pi\) auf \(\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(f_2(x) = 0{,}2\sin(x) - 5\) bewirkt der Faktor \(a = 0{,}2\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung (die Amplitude ist nun \(0{,}2\)). Der Summand \(d = -5\) verschiebt den Graphen um \(5\) Einheiten nach unten. 3. Bei \(f_3(x) = -3\sin(x)\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Faktor \(3\) führt zu einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (die Amplitude ist \(3\)).

a) Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\) (Periode \(\frac{\pi}{2}\)). b) Stauchung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(0{,}2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung auf die Amplitude \(3\).

- Überlege dir, welche Auswirkung ein Faktor vor dem Sinus oder Kosinus auf die Höhe der Wellen hat. - Was passiert mit dem Graphen, wenn du direkt beim \(x\)-Wert eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor direkt vor dem \(x\) die Breite einer Periode beeinflusst. - Ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion bewirkt eine Umkehrung der Werte an der \(x\)-Achse.

1. Für \(f(x) = 2{,}5\sin(x + 4)\): Der Graph der Sinusfunktion wird mit dem Faktor \(2{,}5\) in \(y\)-Richtung gestreckt (Amplitude ist \(2{,}5\)) und um \(4\) Einheiten nach links verschoben. 2. Für \(g(x) = \cos(0{,}5x) - 1\): Der Graph der Kosinusfunktion wird in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt (da \(b = 0{,}5\), ist die neue Periode \(4\pi\)) und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 3. Für \(h(x) = - \sin(3x)\): Der Graph der Sinusfunktion wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) gestaucht (die Periode verkürzt sich auf \(\frac{2}{3}\pi\)).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Verschiebung um \(4\) nach links. b) Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(1\) nach unten. c) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{3}\).

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt durch und überlege, welcher Parameter in der Form \(a\cos(b(x+c))+d\) jeweils betroffen ist. - Welches Vorzeichen muss \(c\) bei einer Verschiebung nach rechts haben? - Wie wird eine Spiegelung an der \(x\)-Achse im Faktor vor dem Kosinus sichtbar?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) führen zum Koeffizienten \(a=-2\): \(-2\cos(x)\). 2. Die Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(x-\frac{\pi}{2}\) im Argument realisiert: \(-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\). 3. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben entspricht einer Addition von \(3\) zum gesamten Term. 4. Der fertige Funktionsterm lautet \(k(x)=-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\).

\(k(x)=-2\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\)

- Überlege, welcher Parameter für die Streckung und Spiegelung in \(y\)-Richtung verantwortlich ist. - Wie wird eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse mathematisch in der Funktionsgleichung ausgedrückt? - Welchen Einfluss hat eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse in Kombination mit der Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(2{,}5\) legt den Parameter \(a\) fest: \(a = -2{,}5\). 2. Die Verschiebung um \(4\) Einheiten nach unten entspricht einer Addition des Wertes \(-4\) zum Funktionsterm, woraus \(d = -4\) folgt. 3. Die resultierende Funktionsgleichung lautet somit \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\).

\(a = -2{,}5\); \(d = -4\); \(h(x) = -2{,}5\sin(x) - 4\)

- Gehe die Parameter in der Funktionsgleichung nacheinander von links nach rechts durch. - Überlege, wie sich ein Faktor innerhalb des Arguments der Kosinusfunktion auf die Periodenlänge und damit auf die Form in \(x\)-Richtung auswirkt. - Unterscheide zwischen Transformationen, die die \(y\)-Werte verändern, und solchen, die die \(x\)-Werte beeinflussen.

1. Der Faktor \(3\) vor dem Kosinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\). 2. Der Faktor \(2\) innerhalb des Kosinus-Arguments führt zu einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 3. Der Summand \(+1\) am Ende der Gleichung bewirkt eine Verschiebung des gesamten Graphen um \(1\) Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung.

Der Graph wird mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

- Überlege, wie der Faktor vor der Sinusfunktion die Streckung in y-Richtung beeinflusst. - Welche Werte nimmt die einfache Sinusfunktion maximal und minimal an? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Nutze den Einheitskreis oder eine Tabelle für spezielle Sinuswerte, um den Wert an der gegebenen Stelle zu bestimmen.

1. Der Wertebereich einer Funktion \(f(x) = a \cdot \sin x\) wird durch das Intervall \([-|a|; |a|]\) bestimmt. Aus der Bedingung \([-2{,}5; 2{,}5]\) folgt \(|a| = 2{,}5\). Da zusätzlich \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 2{,}5\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) im Fall b) werden die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(3\sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\). 3. Der Wert des Sinus an der Stelle \(\frac{3\pi}{4}\) (entspricht \(135^\circ\)) ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Einsetzen und Auflösen nach \(a\): \(3\sqrt{2} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Durch Division durch \(\sqrt{2}\) erhält man \(3 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 6\) folgt.

a) \(a = 2{,}5\) b) \(a = 6\)

- Wie hängen die Amplitude und der gesamte Schwankungsbereich (Differenz von Maximum und Minimum) zusammen? - Denke daran, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse den Wertebereich nicht ändert. - Wie kannst du den Kosinuswert eines Winkels bestimmen, der größer als \(\pi\) (\(180^\circ\)) ist? - Setze den gegebenen x-Wert und den Funktionswert in die Gleichung ein und löse die lineare Gleichung.

1. Der Abstand zwischen dem Minimum \(-|k|\) und dem Maximum \(|k|\) einer Funktion \(k \cdot \cos x\) entspricht \(2 \cdot |k|\). Aus \(2 \cdot |k| = 24\) folgt \(|k| = 12\). Somit sind \(k = 12\) und \(k = -12\) die möglichen Lösungen. 2. Für den Fall b) wird die Gleichung \(g\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\) aufgestellt: \(k \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\). 3. Der Winkel \(\frac{4\pi}{3}\) liegt im dritten Quadranten (\(240^\circ\)). Der Kosinuswert ist dort negativ: \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0{,}5\). 4. Einsetzen in die Gleichung: \(k \cdot (-0{,}5) = 2\). 5. Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{2}{-0{,}5} = -4\).

a) \(k = 12\) oder \(k = -12\) b) \(k = -4\)

- Beobachte, welcher Teil des Funktionsterms den gesamten Kosinuswert multipliziert. - Welche Grapheneigenschaften werden dadurch vertikal verändert, welche horizontale Eigenschaft bleibt gleich? - Bearbeite die Punktkoordinaten erst nach dieser Parameterinterpretation.

1. Der Faktor \(4\) streckt den Kosinusgraphen in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\). Daher ist die Amplitude \(A=4\) und der Wertebereich \([-4;4]\). Die Periodenlänge bleibt unverändert. 2. \(y_1=4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=4\cdot0{,}5=2\). 3. Aus \(-2=4\cos(x_2)\) folgt \(\cos(x_2)=-0{,}5\). Im Intervall \([0;\pi]\) gilt daher \(x_2=\frac{2\pi}{3}\).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\); \(A=4\), Wertebereich \([-4;4]\). b) \(y_1=2\) c) \(x_2=\frac{2\pi}{3}\)

- Ein Faktor vor der gesamten Sinusfunktion verändert die \(y\)-Werte, nicht die \(x\)-Werte. - Überlege deshalb getrennt, was mit maximaler Auslenkung und mit Nullstellen geschieht. - Nutze danach die gegebene Gleichung für die beiden Punktkoordinaten.

1. Der Faktor \(1{,}2\) streckt den Graphen in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}2\). Die Amplitude ist \(A=1{,}2\). Weil nur die Funktionswerte multipliziert werden, bleiben die Nullstellen an denselben \(x\)-Stellen wie bei \(y=\sin(x)\). 2. Für \(x=-\frac{\pi}{6}\) gilt \(y_1=1{,}2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=1{,}2\cdot(-0{,}5)=-0{,}6\). 3. Aus \(0{,}6=1{,}2\sin(x_2)\) folgt \(\sin(x_2)=0{,}5\). Im angegebenen Intervall ist \(x_2=\frac{\pi}{6}\).

a) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}2\); \(A=1{,}2\); die Nullstellen bleiben unverändert. b) \(y_1=-0{,}6\) c) \(x_2=\frac{\pi}{6}\)

- Welcher Bestandteil der Form \(a\sin(x+c)+d\) steuert die Auslenkung in \(y\)-Richtung? - Welches Vorzeichen hat \(c\), wenn der Graph nach links verschoben wird? - Wie wird eine Verschiebung nach unten im Funktionsterm sichtbar?

1. Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a=0{,}75\) führt zum Term \(0{,}75\sin(x)\). 2. In der Form \(a\sin(x+c)+d\) entspricht die Verschiebung um \(\frac{\pi}{6}\) nach links dem Parameter \(c=\frac{\pi}{6}\). Dadurch entsteht \(0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\). 3. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten wird durch \(-2\) berücksichtigt. 4. Somit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\).

\(g(x)=0{,}75\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\)

- Welcher Teil eines Terms der Form \(a\cos(bx)\) steuert die vertikale Skalierung? - Eine horizontale Skalierung mit einem Faktor kleiner als \(1\) macht den Graphen schmaler. Wie muss sich dafür das Argument ändern? - Prüfe, ob der Faktor vor \(x\) zum Kehrwert der horizontalen Skalierung passt.

1. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\) ergibt den Vorfaktor \(a=2{,}5\). 2. Bei einer horizontalen Skalierung mit dem Faktor \(0{,}8\) wird das Argument zu \(\frac{x}{0{,}8}=1{,}25x\). 3. Damit lautet die resultierende Funktion \(g(x)=2{,}5\cos(1{,}25x)\).

\(g(x)=2{,}5\cos(1{,}25x)\)

- Vergleiche die gegebene Funktion mit der allgemeinen Form \(a\sin(bx)\). - Welcher der Werte beeinflusst die Höhe (Amplitude) des Graphen und welcher die Breite (Periode)? - Erinnere dich daran, dass der Faktor im Inneren der Sinusfunktion indirekt proportional zum Streckfaktor auf der \(x\)-Achse ist.

1. Der Faktor \(a = 5\) vor dem Sinusterm gibt direkt den Streckfaktor in \(y\)-Richtung an. 2. Der Faktor \(b = 0{,}4\) im Argument der Sinusfunktion steht im Zusammenhang mit der Streckung in \(x\)-Richtung. 3. Der Streckfaktor \(k\) in \(x\)-Richtung ist der Kehrwert des Parameters \(b\). 4. Berechnung des Streckfaktors in \(x\)-Richtung: \(k = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5\).

Streckfaktor in \(y\)-Richtung: \(5\); Streckfaktor in \(x\)-Richtung: \(2{,}5\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wie weit die Welle nach oben oder unten ausschlägt? - Wie hängt der Faktor vor dem \(x\) mit der Länge einer vollständigen Schwingung zusammen? - Überlege dir, was der kleinste und der größte Wert ist, den der Sinus- oder Kosinusteil annehmen kann. - Schau dir im Graphen an, wo die Mittellinie der Schwingung liegt.

1. Analyse der Funktion \(f(x) = 2\sin(3x) - 1\): - Die Amplitude \(a\) entspricht dem Betrag des Vorfaktors: \(a = 2\). - Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b=3\) vor dem \(x\): \(T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09\). - Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung \(d = -1\) und der Amplitude: \(W = [-1 - 2; -1 + 2] = [-3; 1]\). 2. Analyse der Funktion \(g(x) = 0{,}5\cos(0{,}5x) + 2\): - Die Amplitude ist \(a = 0{,}5\). - Die Periode \(T\) berechnet sich mit \(b=0{,}5\): \(T = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \approx 12{,}57\). - Der Wertebereich ist \(W = [2 - 0{,}5; 2 + 0{,}5] = [1{,}5; 2{,}5]\).

Für \(f\): Amplitude \(2\), Periode \(\frac{2\pi}{3}\), Wertebereich \([-3; 1]\). Für \(g\): Amplitude \(0{,}5\), Periode \(4\pi\), Wertebereich \([1{,}5; 2{,}5]\).

- Welchen Funktionswert hat die reine Kosinusfunktion an der Stelle \(x = 0\)? - Wie verändert ein Faktor vor dem Funktionsterm den Graphen? - Schau dir die höchsten Punkte der Graphen an der Stelle \(x = 0\) an.

1. Grundfunktion erkennen: Die Graphen zeigen den typischen Verlauf einer Kosinusfunktion mit einem Extremwert bei \(x = 0\). 2. Parameter \(a\) interpretieren: Der Parameter \(a\) entspricht der Amplitude (dem maximalen Ausschlag) der Funktion. 3. Werte ablesen: An der Stelle \(x = 0\) lassen sich die Funktionswerte direkt von der \(y\)-Achse ablesen. Diese sind \(0{,}5\), \(1\), \(2\) und \(3\). 4. Ergebnis: Die Funktionenschar lautet \(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\).

\(g_a(x) = a\cos(x)\) mit \(a \in \{0{,}5; 1; 2; 3\}\)

- Ordne die Transformationen den Bestandteilen der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) zu. - Welcher Faktor bestimmt die Amplitude? - Welches Vorzeichen hat \(c\), wenn der Graph nach rechts verschoben wird?

1. Die vertikale Streckung mit dem Faktor \(2{,}5\) ergibt \(2{,}5\sin(x)\). 2. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben ergibt \(2{,}5\sin(x)+1\). 3. In der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) entspricht eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts dem Parameter \(c=-\pi\). Daher ist \(g(x)=2{,}5\sin(x-\pi)+1\). 4. Die Amplitude ist der Betrag des Faktors vor dem Sinus: \(A=2{,}5\).

Funktionsterm: \(g(x)=2{,}5\sin(x-\pi)+1\) Amplitude: \(2{,}5\)

- Vergleiche zuerst die beiden positiven Werte von \(a\). - Was ändert sich, wenn nur das Vorzeichen von \(a\) wechselt? - Prüfe bei deinem eigenen Wert dieselben drei Merkmale wie zuvor.

1. Für \(a=0{,}5\) liegen die Funktionswerte zwischen \(-0{,}5\) und \(0{,}5\). Der Graph durchläuft den Ursprung steigend. 2. Für \(a=2\) liegen die Funktionswerte zwischen \(-2\) und \(2\). Der Graph durchläuft den Ursprung steigend. 3. Für \(a=-2\) liegen die Funktionswerte ebenfalls zwischen \(-2\) und \(2\). Wegen des negativen Vorfaktors ist der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und durchläuft den Ursprung fallend. 4. Allgemein ist die Amplitude \(A=|a|\). Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt, ob der Graph gegenüber \(\sin(x)\) an der \(x\)-Achse gespiegelt ist. 5. In d) sind verschiedene Werte möglich. Zum Beispiel gilt für \(a=-0{,}7\): Maximum \(0{,}7\), Minimum \(-0{,}7\), Ursprung fallend.

a) \(a=0{,}5\): Maximum \(0{,}5\), Minimum \(-0{,}5\); \(a=2\): Maximum \(2\), Minimum \(-2\); \(a=-2\): Maximum \(2\), Minimum \(-2\). b) Für \(a=0{,}5\) und \(a=2\) ist der Durchgang steigend; für \(a=-2\) ist er fallend. c) \(A=|a|\); bei \(a<0\) ist der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt. d) Beispiel: Für \(a=-0{,}7\) sind Maximum \(0{,}7\), Minimum \(-0{,}7\) und der Durchgang durch den Ursprung fallend.

- Vergleiche bei allen Funktionen dieselben drei Höhen. - Welche Abstände zwischen Mittellinie und Extrempunkten bleiben gleich? - Prüfe bei \(d=-3\), ob deine Regel zu allen drei Höhen passt.

1. Für \(d=-1{,}5\) ist die Mittellinie \(y=-1{,}5\), das Maximum \(-0{,}5\) und das Minimum \(-2{,}5\). 2. Für \(d=0\) ist die Mittellinie \(y=0\), das Maximum \(1\) und das Minimum \(-1\). 3. Für \(d=2\) ist die Mittellinie \(y=2\), das Maximum \(3\) und das Minimum \(1\). 4. Mittellinie, Maximum und Minimum verschieben sich jeweils um denselben Betrag. Amplitude \(1\) und Periodenlänge \(2\pi\) bleiben unverändert. 5. Für \(d=-3\) folgt: Mittellinie \(y=-3\), Maximum \(-2\), Minimum \(-4\).

a) \(d=-1{,}5\): Mittellinie \(y=-1{,}5\), Maximum \(-0{,}5\), Minimum \(-2{,}5\); \(d=0\): Mittellinie \(y=0\), Maximum \(1\), Minimum \(-1\); \(d=2\): Mittellinie \(y=2\), Maximum \(3\), Minimum \(1\). b) Mittellinie, Maximum und Minimum verschieben sich mit \(d\); Amplitude \(1\) und Periodenlänge \(2\pi\) bleiben unverändert. c) Für \(d=-3\): Mittellinie \(y=-3\), Maximum \(-2\), Minimum \(-4\).

- Beginne mit den bekannten Sinuswerten an den fünf charakteristischen Stellen. - Verändere danach die \(y\)-Werte entsprechend dem Vorfaktor und der vertikalen Verschiebung. - Zeichne keine Streckenzüge, sondern einen glatten sinusförmigen Verlauf.

1. Die Sinuswerte an den fünf Stellen sind \(0,1,0,-1,0\). 2. Durch Multiplikation mit \(2\) und anschließendes Addieren von \(1\) entstehen die Funktionswerte \(1,3,1,-1,1\). 3. Die fünf Punkte sind \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid1)\). 4. Zeichne eine glatte Sinuskurve durch diese Punkte. Die Mittellinie ist \(y=1\), der Hochpunkt liegt bei \(y=3\), der Tiefpunkt bei \(y=-1\).

a) \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\), \((2\pi\mid1)\) b) Der gezeichnete Graph muss diese Punkte als glatte Sinuskurve mit Mittellinie \(y=1\) verbinden.

- Bestimme zuerst die Länge einer Periode. - Teile diese Periode in vier gleich lange Abschnitte. - Nutze die typische Folge der Kosinuswerte über eine Periode und zeichne anschließend glatt.

1. Für \(b=2\) ist die Periodenlänge \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). 2. Eine Viertelperiode hat die Länge \(\frac{\pi}{4}\). Die \(x\)-Werte sind \(0\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3\pi}{4}\) und \(\pi\). 3. Die zugehörigen Kosinuswerte sind \(1,0,-1,0,1\). 4. Die Punkte sind \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid0\right)\) und \((\pi\mid1)\). 5. Zeichne eine glatte Kosinuskurve durch diese Punkte.

a) \(T=\pi\) b) \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{4}\mid0\right)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\), \(\left(\frac{3\pi}{4}\mid0\right)\), \((\pi\mid1)\) c) Der gezeichnete Graph muss diese Punkte als glatte Kosinuskurve verbinden.

- Welche Wirkung hat der konstante Summand auf alle \(y\)-Werte? - Übertrage die fünf charakteristischen Punkte entsprechend der Veränderung der \(y\)-Werte.

1. Der Summand \(+2\) verschiebt den gesamten Sinusgraphen um \(2\) nach oben. 2. Die Mittellinie ist \(y=2\), das Maximum \(3\), das Minimum \(1\). 3. Die charakteristischen Punkte sind \((0\mid2)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid2)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid1\right)\) und \((2\pi\mid2)\). 4. Zeichne eine glatte Sinuskurve durch diese Punkte.

a) Der Grundgraph wird um \(2\) nach oben verschoben. b) Mittellinie \(y=2\), Maximum \(3\), Minimum \(1\) c) Der gezeichnete Graph muss glatt durch \((0\mid2)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid3\right)\), \((\pi\mid2)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid1\right)\) und \((2\pi\mid2)\) verlaufen.

- Wie hängen die Amplitude und eine mögliche Spiegelung mit dem Faktor vor dem Sinus zusammen? - Es gibt eine Formel, die den Streckfaktor im Inneren der Sinusfunktion mit der Periodenlänge verknüpft. - Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage (nach oben oder unten) verantwortlich? - Setze die gefundenen Werte in die allgemeine Form \(a\sin(bx) + d\) ein.

1. Die Amplitude von \(2{,}5\) und die Spiegelung an der \(x\)-Achse bestimmen den Parameter \(a\). Es gilt \(a = -2{,}5\). 2. Die Periode \(p = 4\) bestimmt den Faktor \(b\) im Argument des Sinus. Aus der Formel \(p = \frac{2\pi}{b}\) folgt \(b = \frac{2\pi}{4} = 0{,}5\pi\). 3. Die Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben entspricht dem Parameter \(d = +1\). 4. Zusammensetzen der Parameter in die Form \(h(x) = a\sin(bx) + d\) ergibt \(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\).

\(h(x) = -2{,}5\sin(0{,}5\pi x) + 1\) (oder \(h(x) = -2{,}5\sin(\frac{\pi}{2}x) + 1\))

- Achte beim Ablesen der Verschiebung in \(x\)-Richtung darauf, ob der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert wurde. - Bestimme für den Wertebereich jeweils den kleinsten und größten Funktionswert. - Überlege dir am Einheitskreis oder am Graphen, was passiert, wenn man eine Sinuskurve um eine halbe Periode verschiebt.

1. Verschiebung bestimmen: Um die Verschiebung in \(x\)-Richtung abzulesen, muss die Funktionsgleichung in die Form \(f(x) = \sin(b(x - c))\) gebracht werden. Ausklammern ergibt \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). Die Verschiebung beträgt somit 3 Einheiten nach rechts. Aussage falsch. 2. Wertebereiche vergleichen: Bei \(h(x) = \sin(x) + 2\) wird der Standard-Wertebereich \([-1; 1]\) um 2 Einheiten nach oben verschoben, woraus \(W_h = [1; 3]\) folgt. Bei \(k(x) = 2\sin(x)\) wird der Wertebereich durch die Amplitude 2 auf \(W_k = [-2; 2]\) gestreckt. Die Wertebereiche sind nicht identisch. Aussage falsch. 3. Identität prüfen: Eine Verschiebung der Sinuskurve um \(\pi\) (eine halbe Periode) nach rechts führt dazu, dass alle Funktionswerte ihr Vorzeichen wechseln. Mathematisch gilt \(\sin(x - \pi) = -\sin(x)\). Somit sind die Graphen identisch. Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: Der Graph ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben, da \(f(x) = \sin(2(x - 3))\). b) Falsch. Korrektur: Der Wertebereich von \(h\) ist \([1; 3]\), der von \(k\) ist \([-2; 2]\). c) Wahr.

- Wann nimmt eine einfache Sinusfunktion ihren ersten maximalen Wert an? - Setze den gesamten Ausdruck in der Klammer gleich dem Wert, an dem der Sinus sein Maximum hat. - Löse die entstandenen Gleichungen nach \(x\) auf. - Vergleiche die beiden Ergebnisse, um zu sehen, welcher Wert kleiner ist.

1. Ein Hochpunkt der Sinusfunktion liegt vor, wenn das Argument des Sinus den Wert \(\frac{\pi}{2}\) (oder \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)) annimmt. 2. Für \(f(x)\): \(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x_f = \frac{3\pi}{2} = 1{,}5\pi\). 3. Für \(g(x)\): \(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow x_g = \frac{5\pi}{4} = 1{,}25\pi\). 4. Da \(1{,}25\pi < 1{,}5\pi\) ist, erreicht der Graph von \(g\) seinen ersten Hochpunkt im positiven Bereich früher.

Der Graph von \(g\) erreicht seinen ersten Hochpunkt früher. Die \(x\)-Koordinate des ersten Hochpunkts von \(f\) liegt bei \(x = 1{,}5\pi\), die von \(g\) liegt bei \(x = 1{,}25\pi\).

- Trenne die Wirkung des Faktors vor der Sinusfunktion von der Wirkung des Faktors vor \(x\). - Welche Beziehung verbindet \(b\) mit der Periodenlänge? - Nutze für die Punkt- und Gleichungsfragen erst danach die gegebene Funktionsgleichung.

1. Der Faktor \(4\) vor dem Sinus ergibt die Amplitude \(A=4\) und eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\). 2. Für \(b=0{,}5\) ist \(T=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\). Gegenüber der Grundfunktion ist der Graph in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\) gestreckt. 3. Für \(x=\frac{\pi}{3}\) gilt \(y_1=4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\). 4. Aus \(4\sin(0{,}5x)=2\) folgt \(\sin(0{,}5x)=0{,}5\). Im Intervall \(0\le0{,}5x\le2\pi\) erhält man \(0{,}5x=\frac{\pi}{6}\) oder \(\frac{5\pi}{6}\). 5. Daher sind \(x=\frac{\pi}{3}\) und \(x=\frac{5\pi}{3}\).

a) \(A=4\), \(T=4\pi\); Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\), in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2\). b) \(y_1=2\) c) \(x\in\left\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right\}\)

- Klammere den Faktor vor \(x\) im Argument aus, bevor du die Verschiebung in \(x\)-Richtung abliest. - Ordne die sichtbaren Bestandteile der Form \(a\sin(b(x+c))+d\) den verschiedenen Transformationen zu. - Wie hängt der Parameter \(b\) mit der Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung zusammen?

1. Um die horizontale Verschiebung korrekt abzulesen, wird der Faktor \(2\) im Argument der Sinusfunktion ausgeklammert: \(f(x) = 0{,}5\sin(2(x + \frac{\pi}{4})) - 1\). 2. Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Der Faktor \(b = 2\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\). Die Periodenlänge halbiert sich somit auf \(\pi\). 4. Der Term \((x + \frac{\pi}{4})\) entspricht einer Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. 5. Die Konstante \(d = -1\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

Der Graph von \(f\) entsteht aus dem Graphen von \(y = \sin(x)\) durch: - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (die Periodenlänge beträgt nun \(\pi\)). - Verschiebung um \(\frac{\pi}{4}\) Einheiten nach links. - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Wie hängen der Parameter \(b\) und die Periodenlänge \(T\) zusammen? - Welche Wirkung haben Spiegelung und Streckung in \(y\)-Richtung auf den Parameter \(a\)? - Welches Vorzeichen hat \(c\) in der Form \(b(x+c)\), wenn der Graph nach links verschoben wird?

1. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse und die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) ergeben \(a=-3\). 2. Die Grundperiode der Kosinusfunktion ist \(2\pi\). Nach der Verdopplung gilt \(T=4\pi\). Aus \(b=\frac{2\pi}{T}\) folgt \(b=\frac{1}{2}\). 3. In der Form \(b(x+c)\) entspricht die Verschiebung um \(\pi\) nach links dem Parameter \(c=\pi\). 4. Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten ergibt \(d=-2\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=-3\cos\left(\frac{1}{2}(x+\pi)\right)-2\).

\(g(x)=-3\cos\left(\frac{1}{2}(x+\pi)\right)-2\)

- Wie ändert sich das Argument der Funktion, wenn man den Graphen in \(x\)-Richtung streckt? - Was bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse für das Vorzeichen der Funktionswerte? - Führe die Transformationen Schritt für Schritt nacheinander am Funktionsterm durch. - Setze für die Punktprobe die \(x\)-Koordinate in deine gefundene Gleichung ein und rechne den Wert aus.

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k = 4\) bedeutet eine Ersetzung von \(x\) durch \(\frac{1}{k}x\), also \(\cos(\frac{1}{4}x)\) bzw. \(\cos(0{,}25x)\). 2. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des Terms mit \(-1\), was zu \(-\cos(0{,}25x)\) führt. 3. Die Verschiebung um \(\pi\) nach rechts wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - \pi)\) im aktuellen Argument erreicht: \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\). 4. Punktprobe für \(P(5\pi \mid 1)\): \(h(5\pi) = -\cos(0{,}25 \cdot (5\pi - \pi)) = -\cos(0{,}25 \cdot 4\pi) = -\cos(\pi)\). 5. Da \(\cos(\pi) = -1\), ergibt sich \(h(5\pi) = -(-1) = 1\). Der Punkt \(P\) liegt auf dem Graphen.

a) \(h(x) = -\cos(0{,}25(x - \pi))\) oder \(h(x) = -\cos(\frac{1}{4}(x - \pi))\) b) Ja, der Punkt \(P(5\pi \mid 1)\) liegt auf dem Graphen, da \(h(5\pi) = 1\) gilt.

- Klammere den Faktor vor \(x\) vollständig aus, bevor du den Phasenparameter abliest. - Trenne die Wirkung von \(b\) auf die Periodenlänge von der Wirkung von \(c\) auf die horizontale Lage. - Löse die Gleichung erst, nachdem du diese beiden Parameterwirkungen festgehalten hast.

1. Aus \(\sin\left(2(x-30^\circ)\right)\) liest man \(b=2\) und \(c=-30^\circ\) ab. 2. Daher beträgt die Periodenlänge \(T=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ\). Der Graph ist gegenüber \(y=\sin(x)\) um \(30^\circ\) nach rechts verschoben. 3. Für \(f(x)=0{,}5\) gilt \(2x-60^\circ=30^\circ+k\cdot360^\circ\) oder \(2x-60^\circ=150^\circ+k\cdot360^\circ\). 4. Daraus folgen \(x=45^\circ+k\cdot180^\circ\) bzw. \(x=105^\circ+k\cdot180^\circ\). 5. Im angegebenen Intervall erhält man \(45^\circ,105^\circ,225^\circ,285^\circ\).

a) \(b=2\), \(c=-30^\circ\); \(T=180^\circ\); Verschiebung um \(30^\circ\) nach rechts. b) \(x\in\{45^\circ;105^\circ;225^\circ;285^\circ\}\)

- Lies für jeden Graphen zuerst Mittellinie und Amplitude ab. - Vergleiche anschließend die Perioden mit den Faktoren im Argument. - Der Funktionswert bei \(x=0\) hilft dabei, Sinus- und Kosinusverläufe zu unterscheiden. - Nutze Symmetrie nur dann als Begründung, wenn du die passende Symmetrieart genau benennen kannst.

1. Graph I schwankt zwischen \(0\) und \(-2\); seine Mittellinie ist \(y=-1\), seine Amplitude \(1\) und seine Periode \(T=2\). Bei \(x=0\) durchläuft er die Mittellinie ansteigend. Das passt zu \(C(x)=\sin(\pi x)-1\). 2. Graph II hat die Mittellinie \(y=0\), die Amplitude \(1{,}5\) und die Periode \(T=4\). Er verläuft durch den Ursprung und ist dort ansteigend; außerdem ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Das passt zu \(B(x)=1{,}5\sin(0{,}5\pi x)\). 3. Graph III hat bei \(x=0\) ein Maximum \(1{,}5\) und bei \(x=2\) ein Minimum \(-0{,}5\). Seine Mittellinie ist \(y=0{,}5\), die Amplitude \(1\) und die Periode \(T=4\). Das passt zu \(A(x)=\cos(0{,}5\pi x)+0{,}5\).

Graph I: \(C\) Graph II: \(B\) Graph III: \(A\)

- Schau dir den höchsten Punkt des Graphen an, um die Amplitude zu finden. - Die Periodenlänge ist der Abstand auf der x-Achse, nach dem sich das Muster des Graphen genau wiederholt. - Überlege, wie die Periodenlänge \(p\) mit dem Faktor \(b\) in der Formel \(\frac{2\pi}{p}\) zusammenhängt. - Vergleiche die Weite und die Höhe der beiden Wellen direkt miteinander.

1. Amplitude \(a\) von \(g\): Der maximale Ausschlag (der höchste Punkt des Graphen) liegt bei \(y = 2\), daher ist \(a = 2\). 2. Periodenlängen: Der Graph von \(f\) (gestrichelt) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 6\) ab, also ist \(p_f = 6\). Der Graph von \(g\) (durchgezogen) schließt eine vollständige Schwingung zwischen \(x = 0\) und \(x = 12\) ab, also ist \(p_g = 12\). 3. Parameter \(b\): Es gilt die Formel \(b = \frac{2\pi}{p}\). Für \(f\): \(b_f = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Für \(g\): \(b_g = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\). 4. Transformationen: Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Amplitude verdoppelt wurde) und eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) (da die Periodenlänge verdoppelt wurde).

1. \(a = 2\) 2. \(p_f = 6\); \(p_g = 12\) 3. \(b_f = \frac{\pi}{3}\); \(b_g = \frac{\pi}{6}\) 4. \(g\) ist gegenüber \(f\) in \(y\)-Richtung und in \(x\)-Richtung jeweils um den Faktor \(2\) gestreckt.

- Vergleiche die maximalen und minimalen Funktionswerte (Ausschlag) der Graphen mit den Funktionsgleichungen. - Achte darauf, nach welcher Wegstrecke auf der \(x\)-Achse sich das Muster der Welle wiederholt (Periode). - Prüfe, ob der Graph im Vergleich zur Grundform nach oben oder unten verschoben ist. - Überlege, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde, also ob er bei \(x > 0\) zuerst steigt oder fällt.

Die Zuordnung erfolgt durch den Vergleich der charakteristischen Parameter Amplitude, Periode und Verschiebung mit dem Referenzgraphen \(p(x) = \sin(0{,}5\pi x)\), der eine Amplitude von \(1\) und eine Periode von \(T = \frac{2\pi}{0{,}5\pi} = 4\) besitzt. 1. \(f(x) = 2\sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph B. Er geht durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) aus \(p(x)\) hervor (die Amplitude verdoppelt sich). 2. \(g(x) = \sin(0{,}5\pi x) - 1\) gehört zu Graph A. Er entsteht durch eine Verschiebung von \(p(x)\) um eine Einheit nach unten. 3. \(h(x) = \sin(\pi x)\) gehört zu Graph D. Da \(b = \pi\), ist die Periode \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Der Graph ist im Vergleich zu \(p(x)\) in \(x\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\) gestaucht. 4. \(i(x) = - \sin(0{,}5\pi x)\) gehört zu Graph C. Er geht durch eine Spiegelung von \(p(x)\) an der \(x\)-Achse hervor.

1-B: Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\); 2-A: Verschiebung um \(1\) nach unten; 3-D: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\); 4-C: Spiegelung an der \(x\)-Achse.

- Wie verändert sich der Faktor vor dem Sinus bei einer Stauchung in \(y\)-Richtung? - Was passiert mit dem Faktor vor \(x\), wenn die Kurve in \(x\)-Richtung gestreckt wird? - Vergleiche bei den drei Graphen Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge.

1. Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) ergibt den Vorfaktor \(0{,}5\). 2. Die Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) ersetzt \(x\) durch \(\frac{1}{4}x\). Die Verschiebung nach oben ergibt den Summanden \(1\). Somit ist \(g(x)=0{,}5\sin\left(\frac{1}{4}x\right)+1\). 3. Graph \(v\) hat die Amplitude \(2\) und passt daher nicht. Graph \(w\) hat zwar die Amplitude \(0{,}5\) und die Mittellinie \(y=1\), aber die Periode \(2\pi\). Graph \(u\) hat die Mittellinie \(y=1\), die Amplitude \(0{,}5\) und die Periode \(8\pi\). Daher ist Graph \(u\) richtig.

\(g(x)=0{,}5\sin\left(\frac{1}{4}x\right)+1\); Graph \(u\) passt zur Beschreibung.

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse erreichst du durch ein Minuszeichen vor der gesamten Funktion. - Wenn eine Kurve in \(x\)-Richtung gestaucht wird, wird sie „schneller“. Wie wirkt sich das auf den Wert von \(b\) aus? - Setze deinen berechneten Term für \(x = \frac{\pi}{4}\) ein und achte darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (Radiant) eingestellt ist. - Schau im Graphen nach, welcher \(y\)-Wert an der Stelle \(x \approx 0{,}8\) vorliegt.

1. Funktionsterm aufstellen: - Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(a = -1\). - Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\): Der Parameter \(b\) ist der Kehrwert des Streckfaktors, also \(b = \frac{1}{0{,}5} = 2\). - Verschiebung nach unten: \(d = -2\). Der Term lautet: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\). 2. Funktionswert berechnen: \(g(\frac{\pi}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = -\cos(\frac{\pi}{2}) - 2\). Da \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) ist, folgt: \(g(\frac{\pi}{4}) = 0 - 2 = -2\). 3. Überprüfung am Graphen: Bei \(x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\) zeigt der Graph den \(y\)-Wert \(-2\).

Funktionsterm: \(g(x) = -\cos(2x) - 2\) Funktionswert: \(g(\frac{\pi}{4}) = -2\)

- Welche Variable in der allgemeinen Form steht für die Amplitude? - Erinnere dich an die Formel, die die Periode mit dem Faktor \(b\) verknüpft. - Wie beeinflusst die vertikale Verschiebung die Lage der Mittellinie? - Der Wertebereich umfasst alle y-Werte vom tiefsten bis zum höchsten Punkt des Graphen.

1. Bestimmung der Parameter: - Die Amplitude ist \(a = 1{,}5\). - Aus \(T = \pi\) folgt \(b = \frac{2\pi}{T} = 2\). - Die vertikale Verschiebung ist \(d = 0{,}5\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\). 2. Bestimmung des Wertebereichs: Der minimale Wert ist \(d-a = 0{,}5-1{,}5=-1\), der maximale Wert ist \(d+a = 0{,}5+1{,}5=2\). Somit ist \(W=[-1;2]\). 3. Überprüfung am Graphen: Der Graph schwingt um die Mittellinie \(y=0{,}5\) zwischen \(-1\) und \(2\). Zwei gleichgerichtete Durchgänge durch die Mittellinie liegen um \(\pi\) auseinander. Damit bestätigt der Graph Amplitude, Verschiebung und Periode der Gleichung.

1. \(h(x) = 1{,}5\sin(2x) + 0{,}5\) 2. \(W = [-1; 2]\) 3. Der Graph bestätigt die Mittellinie \(y=0{,}5\), die Extremwerte \(-1\) und \(2\) sowie die Periode \(\pi\).

- Achte auf den höchsten und niedrigsten Punkt der Graphen, um die Amplitude zu bestimmen. - Überprüfe, wo die Mittellinie der Kurve liegt, um eine vertikale Verschiebung zu erkennen. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten, um die Periode abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Faktor vor dem \( x \) auf die Schnelligkeit der Schwingung auswirkt.

1. Der Graph der Funktion \( f(x) = 2\sin(x) \) entspricht der Kurve \( a \). Die Amplitude ist \( 2 \), was man am maximalen Ausschlag von \( 2 \) Einheiten nach oben und unten (Wertebereich \( [-2; 2] \)) erkennt. 2. Der Graph der Funktion \( g(x) = \sin(x) - 1{,}5 \) entspricht der Kurve \( b \). Hier ist die Sinuskurve um \( 1{,}5 \) Einheiten nach unten verschoben, sodass die Mittellinie bei \( y = -1{,}5 \) liegt. 3. Der Graph der Funktion \( h(x) = \sin(2x) \) entspricht der Kurve \( c \). Die Periode ist hier \( p = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3{,}14 \). Man erkennt, dass die Kurve nach etwa \( 3{,}1 \) Einheiten auf der \( x \)-Achse eine vollständige Schwingung abgeschlossen hat.

Gleichung 1 gehört zu Graph \(a\), Gleichung 2 zu Graph \(b\) und Gleichung 3 zu Graph \(c\).

- Schau dir nacheinander die verschiedenen Parameter im Funktionsterm an: den Faktor vor der Funktion, den Faktor vor dem \(x\), den Wert in der Klammer und den Summanden am Ende. - Überlege dir für jeden Parameter einzeln, ob er eine Streckung, eine Verschiebung oder eine Spiegelung bewirkt. - Wie hängen die Amplitude und die Periode mit den Parametern im Funktionsterm zusammen? - Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer bei der Verschiebung in x-Richtung.

1. Der Faktor \(a = 2\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). Die Amplitude beträgt daher \(2\). 2. Der Faktor \(b = \frac{\pi}{2}\) im Argument verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{b} = 4\). Gegenüber der Standard-Sinusfunktion entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{b} = \frac{2}{\pi}\). 3. Der Ausdruck \((x - 1)\) bewirkt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts. 4. Der Summand \(+1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben.

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{2}{\pi}\), eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben.

- Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche die maximale Auslenkung (Amplitude) des ursprünglichen Graphen mit der des transformierten Graphen. - Schau dir an, wie oft sich das Muster des Graphen auf einem bestimmten Abschnitt wiederholt, um die Änderung der Periode zu verstehen. - Wo liegt die Mittellinie des neuen Graphen im Vergleich zur ursprünglichen x-Achse?

1. Der Faktor \(a = -0{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). Die neue Amplitude beträgt \(0{,}5\). 2. Der Faktor \(b = \pi\) verändert die Periode zu \(T = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). Gegenüber \(f(x)=\cos(x)\) entspricht dies einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\). 3. Der Summand \(-2\) verschiebt den Graphen um \(2\) Einheiten nach unten.

Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\pi}\) und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

- Trenne zuerst Amplitude, Periodenlänge und vertikale Verschiebung. - Teile eine Periode in vier gleich lange Abschnitte. - Nutze das Vorzeichen vor dem Sinus, um die Bewegungsrichtung am ersten Mittellinienschnitt zu prüfen.

1. Die Amplitude ist \(A=2\), die Mittellinie ist \(y=3\). 2. Mit \(b=\frac{\pi}{2}\) gilt \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\). Eine Viertelperiode hat die Länge \(1\). 3. Für \(x=-1,0,1,2,3\) nimmt der innere Winkel die Werte \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\) an. 4. Daraus folgen die Funktionswerte \(3,1,3,5,3\). Die Punkte sind \((-1\mid3)\), \((0\mid1)\), \((1\mid3)\), \((2\mid5)\) und \((3\mid3)\). 5. Wegen des negativen Vorfaktors bewegt sich der Graph direkt nach \(x=-1\) nach unten. Er schneidet die Mittellinie dort fallend. Zeichne eine glatte Sinuskurve durch die fünf Punkte.

a) \(A=2\), Mittellinie \(y=3\), \(T=4\) b) \((-1\mid3)\), \((0\mid1)\), \((1\mid3)\), \((2\mid5)\), \((3\mid3)\) c) Der Graph verbindet die fünf Punkte glatt und schneidet bei \(x=-1\) die Mittellinie fallend.

- Beginne am angegebenen ansteigenden Schnitt mit der Mittellinie. - Teile die Periodenlänge in vier gleich lange Abschnitte. - Nutze Amplitude und Mittellinie, um Hoch- und Tiefpunkt zu bestimmen.

1. Die Periode beginnt beim ansteigenden Mittellinienschnitt \((1\mid-1)\). Eine Viertelperiode hat die Länge \(1\). 2. Mit Amplitude \(2\) und Mittellinie \(y=-1\) folgen die fünf Punkte \((1\mid-1)\), \((2\mid1)\), \((3\mid-1)\), \((4\mid-3)\) und \((5\mid-1)\). 3. Aus \(T=4\) folgt \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Der ansteigende Mittellinienschnitt liegt bei \(x=1\). Daher passt \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)-1\).

a) Der Graph muss die fünf charakteristischen Punkte aus b) als glatte Sinuskurve von \(x=1\) bis \(x=5\) verbinden. b) \((1\mid-1)\), \((2\mid1)\), \((3\mid-1)\), \((4\mid-3)\), \((5\mid-1)\) c) Ein passender Term ist \(f(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)-1\).

- Überlege, wie man die Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion \(a\sin(b(x - c))\) interpretiert. - Achte darauf, ob der Faktor \(b\) bereits ausgeklammert wurde oder nicht. - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Periode zusammen? - Beachte, dass Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, denselben Graphen liefern.

1. Da beide Funktionen den Faktor \(a=1{,}5\) vor dem Sinus haben, beträgt die Amplitude jeweils \(1{,}5\). Da der Parameter \(b=3\) ist, beträgt die Periode \(T=\frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h(x)\) wird das Argument zu \(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\) umgeformt. Daher ist eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts möglich. Bei \(k(x)\) ist eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts direkt ablesbar. 3. Die beiden Verschiebungen unterscheiden sich um \(\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\). Dieser Unterschied ist genau eine Periode der beiden Funktionen. Deshalb beschreiben beide Terme denselben Graphen: \(k(x)=1{,}5\sin(3x-3\pi)=1{,}5\sin(3x-\pi-2\pi)=h(x)\). Tatsächlich ist also keiner der beiden Graphen weiter nach rechts verschoben.

1. Amplitude: \(1{,}5\); Periode: \(\frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(h\) ist eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts möglich; für \(k\) ist eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts direkt ablesbar. 3. Die Graphen sind identisch. Die beiden angegebenen Verschiebungen unterscheiden sich um \(\frac{2\pi}{3}\), also genau um eine Periode.