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- Welche Zahl steht in der Potenzgleichung als Exponent? - Der Logarithmus gibt genau den Exponenten an, mit dem die Basis potenziert werden muss.

Die Hochzahl in \(4^3=64\) ist \(3\). Daher gilt \(\log_4 64=3\).

\(3\)

- Lies am markierten Punkt ab, welcher Exponent zu welchem Potenzwert gehört. - Formuliere den Zusammenhang anschließend als „Der Logarithmus zur Basis ... von ... ist ...“.

Der Punkt \(A(3\mid 8)\) bedeutet \(2^3=8\). In Logarithmusschreibweise lautet derselbe Zusammenhang \(\log_2 8=3\).

\(\log_2 8=3\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Was bedeutet der Logarithmus zur Basis \(b\) anschaulich? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten \(0\). - Gehe schrittweise vor, indem du zuerst den Logarithmus auflöst und dann die verbleibende lineare Gleichung nach \(x\) umstellst.

a) Anwendung der Definition des Logarithmus auf die Gleichung \(\log_2(x) = 6\) ergibt \(x = 2^6\), woraus \(x = 64\) folgt. b) Umformung der zweiten Gleichung in die Potenzform \(2x + 15 = 5^3 = 125\). Durch Subtraktion von \(15\) erhält man \(2x = 110\), was nach Division durch \(2\) zu \(x = 55\) führt. c) Da \(3^0 = 1\) ist, folgt aus \(\log_3(x - 4) = 0\) die lineare Gleichung \(x - 4 = 1\), also \(x = 5\). d) Die Gleichung \(\log_{10}(0{,}1x) = 2\) wird zu \(0{,}1x = 10^2 = 100\) umgeformt. Multiplikation mit \(10\) ergibt \(x = 1000\).

a) \(x = 64\) b) \(x = 55\) c) \(x = 5\) d) \(x = 1000\)

- Was gibt der Logarithmuswert über die Beziehung zwischen Basis und Ergebnis einer Potenz an? - Wie hängen Basis, Exponent und Potenzwert zusammen? - Kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}001\) als Zehnerpotenz schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert eines Bruchs?

1. Umwandlung von Potenz- in Logarithmusform mittels der Definition \(b^c = a \Leftrightarrow \log_b a = c\): a) \(7^3 = 343 \Rightarrow \log_7 343 = 3\) b) \(2^{-4} = \frac{1}{16} \Rightarrow \log_2 \left(\frac{1}{16}\right) = -4\) 2. Umwandlung von Logarithmus- in Potenzform: c) \(\log_3 243 = 5 \Rightarrow 3^5 = 243\) 3. Bestimmung von \(x\) durch Anwendung der Definition und Potenzgesetze: d) \(10^x = 0{,}001\) entspricht \(\log_{10} 0{,}001 = x\). Da \(0{,}001 = 10^{-3}\), folgt \(x = -3\). e) \(\log_2 x = -3\) entspricht \(2^{-3} = x\). Da \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), folgt \(x = 0{,}125\).

a) \(\log_7 343 = 3\) b) \(\log_2 \frac{1}{16} = -4\) c) \(3^5 = 243\) d) \(x = -3\) e) \(x = 0{,}125\) (oder \(x = \frac{1}{8}\))

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandelt. - Welche Zahl hoch drei ergibt 125? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung einer Potenz? - Kannst du die Zahl 9 als eine Potenz der Basis 3 schreiben? - Beachte, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

Die Definition \(\log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a\) wird auf jede Teilaufgabe angewendet: 1. Für a): \(x^3 = 125\). Da \(5^3 = 125\), ist \(x = 5\). 2. Für b): \(2^{-4} = x\). Dies entspricht \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für c): \(9^x = 3\). Da \(9 = 3^2\), gilt \((3^2)^x = 3^1\), also \(3^{2x} = 3^1\). Daraus folgt \(2x = 1\), also \(x = 0{,}5\). 4. Für d): \(x^{-2} = \frac{1}{16}\). Dies bedeutet \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}\), woraus \(x^2 = 16\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ist \(x = 4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 0{,}0625\) c) \(x = 0{,}5\) d) \(x = 4\)

- Übersetze jede Logarithmusgleichung zunächst in die entsprechende Potenzschreibweise. - Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Prüfe mögliche algebraische Lösungen noch einmal an diesen Basisbedingungen.

1. a) Aus \(\log_a(4)=-2\) folgt \(a^{-2}=4\). Damit gilt \(a^2=\frac{1}{4}\). Algebraisch sind zunächst \(a=\frac{1}{2}\) und \(a=-\frac{1}{2}\) möglich. Eine Logarithmusbasis muss positiv und ungleich \(1\) sein, daher bleibt \(a=\frac{1}{2}\). Somit gilt \(0<a<1\). 2. b) Aus \(\log_x(625)=4\) folgt \(x^4=625\). Algebraisch erhält man \(x=5\) oder \(x=-5\). Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) ist nur \(x=5\) als Logarithmusbasis zulässig.

a) \(a=\frac{1}{2}\), also \(0<a<1\). b) \(x=5\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus verschwindet? - Achte darauf, welche Zahl die Basis und welche das Ergebnis der Potenz ist. - Bei Wurzeln als Basis hilft es, diese als Potenz mit gebrochenem Exponenten zu schreiben.

1. Anwendung der Definition \(\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a\). 2. Für \(\log_4 x = -2\): Berechnung von \(x = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für \(\log_x 64 = 3\): Aufstellen der Potenzgleichung \(x^3 = 64\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 4\). 4. Für \(\log_{\sqrt{5}} x = 4\): Berechnung von \(x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25\). 5. Für \(\log_{\frac{1}{3}} 27 = x\): Aufstellen der Gleichung \((\frac{1}{3})^x = 27\). Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), folgt \(3^{-x} = 3^3\), also \(x = -3\).

1) \(x=\frac{1}{16}=0{,}0625\) 2) \(x=4\) 3) \(x=25\) 4) \(x=-3\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet die Basis eines Logarithmus anschaulich? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_x(b) = c \Leftrightarrow x^c = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^3 = 125\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Für b): Gleichung \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel ergibt \(x = \sqrt[5]{32} = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(x^2 = 100\) folgt. Da die Basis positiv sein muss, ergibt sich \(x = 10\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\)

- Überlege dir, wie der Logarithmus als Umkehroperation zur Potenzierung definiert ist. - Was bedeutet die Schreibweise \(\log_a b = c\) als Potenz ausgedrückt? - Achte bei der Suche nach der Basis darauf, welche Werte für die Basis eines Logarithmus laut Definition erlaubt sind. - Kannst du Dezimalzahlen als Brüche oder Zehnerpotenzen schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Anwendung der Definition \(a^c = b\): \(x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Aufstellen der Potenzgleichung: \(x^4 = 81\). Da die Basis \(x\) eines Logarithmus positiv sein muss, folgt \(x = \sqrt[4]{81} = 3\). 3. Umschreiben zur Basis 10: \(0{,}1^x = 100 \Rightarrow (10^{-1})^x = 10^2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2\). 4. Berechnung des Numerus: \(x = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} = 0{,}03125\).

1) \(x=\frac{1}{8}=0{,}125\) 2) \(x=3\) 3) \(x=-2\) 4) \(x=\frac{1}{32}=0{,}03125\)

- Versuche, die Basis des Logarithmus als Basis einer Potenz zu verwenden. - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf den Wert einer Potenz aus? - Weißt du noch, wie man Brüche als Exponenten in Wurzeln umwandelt? - Welchen Wert hat jede Basis (außer Null), wenn sie mit Null potenziert wird?

1. Nutzung der Definition \(\log_a b = c \iff b = a^c\) zur Bestimmung des Numerus. 2. Für a): Berechnung von \(b = 0{,}5^3\). Mit \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ergibt sich \((\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\), Ergebnis \(b = 0{,}125\). 3. Für b): Berechnung von \(b = 2^{-5}\). Umformung zu \(\frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}\), Ergebnis \(b = 0{,}03125\). 4. Für c): Anwendung der Regel für rationale Exponenten \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\). Berechnung von \(b = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}\), Ergebnis \(b = 2\). 5. Für d): Anwendung des Potenzgesetzes für den Exponenten Null. Berechnung von \(b = 11^0\), Ergebnis \(b = 1\).

a) \(b = 0{,}125\) b) \(b = \frac{1}{32}\) (oder \(0{,}03125\)) c) \(b = 2\) d) \(b = 1\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für das Ergebnis? - Was ergibt jede Basis (außer 0), wenn man sie mit 0 potenziert? - Kannst du einen Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b x = y \iff b^y = x\): \(x = 10^4 = 10\,000\) 2. Potenzrechnung mit negativem Exponenten: \(x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) 3. Potenzgesetze für den Exponenten Null: \(x = 7^0 = 1\) 4. Umrechnung des rationalen Exponenten in eine Wurzel: \(x = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)

a) \(x = 10\,000\) b) \(x = 0{,}125\) c) \(x = 1\) d) \(x = 5\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Numerus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus laut Definition immer positiv und ungleich 1 sein muss. - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Umwandlung der Logarithmusgleichungen in die Exponentialform \(b^z = y\). 2. Für a): \(b^2 = 144 \Rightarrow b = \sqrt{144} = 12\). 3. Für b): \(b^{-3} = \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{1}{b^3} = \frac{1}{27} \Rightarrow b^3 = 27 \Rightarrow b = 3\). 4. Für c): \(b^3 = 216 \Rightarrow b = \sqrt[3]{216} = 6\). 5. Für d): \(b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}\). Da \(\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\), folgt durch Vergleich der Exponenten \(b = 5\).

a) \(b = 12\) b) \(b = 3\) c) \(b = 6\) d) \(b = 5\)

- Überlege dir, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um den Wert im Logarithmus zu erhalten. - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen oder negativen Exponenten umschreiben? - Welche Zahl ergibt sich, wenn du die Identität \(\log_b(b^x)\) betrachtest?

1. Anwendung der grundlegenden Logarithmus-Identität \(\log_b(b^x) = x\). 2. Umformung der Ausdrücke in Potenzschreibweise: Bei b) gilt \(\frac{1}{3^k} = 3^{-k}\). Bei c) entspricht die Wurzel dem Exponenten \(\frac{1}{m}\), also \(2^{\frac{1}{m}}\). Bei d) wird der Bruch und die Wurzel kombiniert zu \(a^{-\frac{3}{4}}\). 3. Auslesen der Exponenten als Endergebnisse: a) \(n\), b) \(-k\), c) \(\frac{1}{m}\), d) \(-\frac{3}{4}\).

a) \(n\) b) \(-k\) c) \(\frac{1}{m}\) d) \(-\frac{3}{4}\)

- Wie lautet die grundlegende Definition des Logarithmus als Umkehrung einer Potenz? - Kannst du die Gleichung \(\log_a x = y\) in eine Potenzgleichung der Form \(a^y = x\) umschreiben? - Denke daran, dass \(x^{0{,}5}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt{x}\). - Wie kannst du eine Gleichung mit einem negativen Exponenten so umformen, dass der Exponent positiv wird?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\). 2. Zu a): \(a^3 = 216\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{216} = 6\). 3. Zu b): \(a^{0{,}5} = 5\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt durch Quadrieren \(\sqrt{a} = 5 \Rightarrow a = 5^2 = 25\). 4. Zu c): \(a^{-5} = \frac{1}{32}\). Umformen zu \(\frac{1}{a^5} = \frac{1}{2^5}\) ergibt durch Vergleich der Basen \(a = 2\). 5. Zu d): \(a^{0{,}5} = \sqrt{11}\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt \(\sqrt{a} = \sqrt{11}\) und somit \(a = 11\).

a) \(a = 6\) b) \(a = 25\) c) \(a = 2\) d) \(a = 11\)

- Was bedeutet der Logarithmus \(\log_a b\) eigentlich als Exponent zur Basis \(a\)? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zum Logarithmieren ist. - Gibt es eine allgemeine Regel für Terme der Form \(a^{\log_a x}\)?

Die Lösung basiert auf der Identität \(a^{\log_a b} = b\), die direkt aus der Definition des Logarithmus folgt. 1. Anwendung der Identität auf \(12^{\log_{12} 8}\) ergibt \(8\). 2. Anwendung auf \(10^{\lg(5a)}\) ergibt \(5a\), da \(\lg\) der Logarithmus zur Basis \(10\) ist. 3. Anwendung auf \(2^{\log_2 \sqrt{11}}\) ergibt \(\sqrt{11}\). 4. Anwendung auf \(x^{\log_x 25}\) ergibt \(25\).

a) \(8\) b) \(5a\) c) \(\sqrt{11}\) d) \(25\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis der Potenzierung ist. - Die Basis des Logarithmus entspricht immer der Basis der Potenz. - Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: „Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um das Ergebnis zu erhalten?“ - Die \(b\)-te Wurzel aus dem Potenzwert liefert bei positiver Basis wieder die Basis \(a\).

Unter den im Aufgabentext genannten Bedingungen erfolgt die Umrechnung durch Identifikation von Basis \(a\), Exponent \(b\) und Potenzwert \(c\) gemäß \(a^b = c \iff \sqrt[b]{c} = a \iff \log_a(c) = b\). 1. Für \(7^3 = 343\) ist \(a=7\), \(b=3\), \(c=343\). Wurzelform: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmusform: \(\log_7(343) = 3\). 2. Für \(\log_2(64) = 6\) ist \(a=2\), \(c=64\), \(b=6\). Potenzform: \(2^6 = 64\); Wurzelform: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 3. Für \(\sqrt[4]{625} = 5\) ist \(b=4\), \(c=625\), \(a=5\). Potenzform: \(5^4 = 625\); Logarithmusform: \(\log_5(625) = 4\). 4. Für \((\frac{1}{2})^4 = 0{,}0625\) ist \(a=\frac{1}{2}\), \(b=4\), \(c=0{,}0625\). Wurzelform: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmusform: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\).

a) Wurzel: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmus: \(\log_7(343) = 3\) b) Potenz: \(2^6 = 64\); Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\) c) Potenz: \(5^4 = 625\); Logarithmus: \(\log_5(625) = 4\) d) Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmus: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\)

- Welche Basis ist bei der Schreibweise \(\lg\) gemeint? - Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kann, um die Potenz einfacher zu berechnen. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten einer Potenz?

1. Nutzung der Definition des Logarithmus: Die Basis hoch das Ergebnis ist gleich dem Numerus. 2. Für a): Da \(\lg\) der Zehnerlogarithmus ist, gilt \(x = 10^5 = 100\,000\). 3. Für b): Mit der Basis \(0{,}1\) ergibt sich \(x = 0{,}1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = 10^3 = 1000\). 4. Für c): Umwandlung der Dezimalzahl im Exponenten: \(x = 4^{1{,}5} = 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8\).

a) \(x = 100\,000\) b) \(x = 1000\) c) \(x = 8\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege dir, welche Zahl hoch die rechte Seite die Zahl im Logarithmus ergibt. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den gesuchten Wert?

1. Umformung der Logarithmengleichung \(\log_x b = c\) in die Potenzform \(x^c = b\). 2. Teilaufgabe a): \(x^4 = 625 \implies x = \sqrt[4]{625} = 5\). 3. Teilaufgabe b): \(x^{-5} = \frac{1}{32} \implies \frac{1}{x^5} = \frac{1}{32} \implies x^5 = 32 \implies x = 2\). 4. Teilaufgabe c): \(x^{-4} = 0{,}0001 \implies \frac{1}{x^4} = \frac{1}{10000} \implies x^4 = 10\,000 \implies x = 10\). 5. Teilaufgabe d): \(x^1 = 6 \implies x = 6\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen, Potenzen und Wurzeln. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^n = a\) nach \(b\) auflösen? - Was bewirkt ein Bruch als Exponent? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus: \(\log_b y = x \iff b^x = y\). 2. Teilaufgabe a): \(b^3 = 343 \implies b = \sqrt[3]{343} = 7\). 3. Teilaufgabe b): \(b^{-2} = \frac{1}{9} \implies \frac{1}{b^2} = \frac{1}{9} \implies b^2 = 9 \implies b = 3\) (da die Basis \(b > 0\) sein muss). 4. Teilaufgabe c): \(b^{\frac{1}{3}} = 2 \implies \sqrt[3]{b} = 2 \implies b = 2^3 = 8\). 5. Teilaufgabe d): \(b^{-1} = 0{,}125 \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{8} \implies b = 8\).

a) \(b = 7\) b) \(b = 3\) c) \(b = 8\) d) \(b = 8\)

- Kannst du die Terme mit Logarithmen im Exponenten vereinfachen, bevor du die Gleichung löst? - Was bedeutet die Schreibweise \(\lg\) für die Basis des Logarithmus? - Ersetze die komplizierten Ausdrücke durch ihre berechneten Werte und löse dann die entstandene einfache Gleichung.

1. Vereinfachung der Potenzen mit Logarithmen im Exponenten unter Nutzung der Eigenschaft \(b^{\log_b y} = y\): \(5^{\log_5 4} = 4\), \(10^{\lg 31} = 31\) und \(2^{\log_2 9} = 9\). 2. Einsetzen der vereinfachten Werte in die Ausgangsgleichung: \(a \cdot 4 = 31 + 9\). 3. Berechnung der Summe auf der rechten Seite: \(31 + 9 = 40\). 4. Auflösen nach \(a\) durch Division: \(a = 40 {:} 4 = 10\).

\(a = 10\)

- Was geschieht mit den Rollen von \( x \) und \( y \), wenn man eine Funktion umkehrt? - Wie hängen die Definitionsmenge einer Funktion und die Wertemenge ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Wenn ein Punkt \( (a|b) \) auf einem Funktionsgraphen liegt, welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen der Umkehrfunktion?

1. Bei einer Umkehrfunktion werden Definitions- und Wertebereich der Ausgangsfunktion vertauscht. Somit gilt für die Logarithmusfunktion \( g \): \( D_g = W_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \) (alle positiven reellen Zahlen) und \( W_g = D_f = \mathbb{R} \) (alle reellen Zahlen). 2. Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, werden die Koordinaten der Punkte vertauscht. Aus \( P(0|1) \) auf dem Graphen von \( f \) folgt der Punkt \( P'(1|0) \) auf dem Graphen von \( g \). Dieser Punkt \( P' \) zeigt, dass die Logarithmusfunktion \( g(x) = \log_5(x) \) ihre Nullstelle bei \( x = 1 \) hat.

1. \( D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \); \( W_g = \mathbb{R} \). 2. Der Punkt ist \( P'(1|0) \). Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion die Nullstelle \( x = 1 \) besitzt.

- Forme die Logarithmusgleichungen in Potenzgleichungen um. - Welche Zahl hoch \(3\) ergibt \(216\)? - Was bedeutet der Exponent \(-3\) für eine Potenz? - Bei Exponent \(1\) kannst du die Basis unmittelbar ablesen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^3=216\), also \(b=6\). 3. b) \(b^{-3}=0{,}125=\frac18\). Damit ist \(b^3=8\) und \(b=2\). 4. c) \(b^1=5\), also \(b=5\).

a) \(b=6\) b) \(b=2\) c) \(b=5\)

- Übersetze jede Logarithmusgleichung in die zugehörige Potenzgleichung. - Wie lässt sich ein Exponent von \(0{,}5\) als Wurzel deuten? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}04\) gegebenenfalls als Bruch. - Beachte bei geraden Potenzen die Bedingung \(b>0\) für Logarithmusbasen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^{0{,}5}=10\), also \(\sqrt b=10\) und damit \(b=100\). 3. b) \(b^{-4}=\frac1{81}\), also \(b^4=81\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=3\). 4. c) \(b^{-2}=0{,}04=\frac1{25}\), also \(b^2=25\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=5\).

a) \(b=100\) b) \(b=3\) c) \(b=5\)

- Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichungen in die Form \(b^c = a\) umzuschreiben. - Wenn die Basis gesucht ist, kannst du die entsprechende Wurzel ziehen. - Wenn der Exponent gesucht ist, versuche beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Dezimalzahlen wie \(0{,}5\) können oft einfacher als Brüche wie \(\frac{1}{2}\) betrachtet werden, um Wurzelbeziehungen zu erkennen.

1. Anwendung der Definition \(2^5 = x\): Berechnung ergibt \(x = 32\). 2. Umformung in die Potenzform \(x^4 = 81\): Da die Basis positiv sein muss, folgt aus \(3^4 = 81\), dass \(x = 3\). 3. Bestimmung des Exponenten für \(4^y = \frac{1}{64}\): Wegen \(64 = 4^3\) ist \(\frac{1}{64} = 4^{-3}\), also \(y = -3\). 4. Lösung von \(9^x = 3\): Da \(3 = \sqrt{9} = 9^{0{,}5}\), ist \(x = 0{,}5\) bzw. \(x = \frac{1}{2}\). 5. Umformung des Terms: \(\sqrt{1000} = \sqrt{10^3} = (10^3)^{0{,}5} = 10^{1{,}5}\). Der Logarithmus zur Basis 10 ergibt \(y = 1{,}5\) bzw. \(y = \frac{3}{2}\).

a) \(x = 32\) b) \(x = 3\) c) \(y = -3\) d) \(x = 0{,}5\) e) \(y = 1{,}5\)

- Welche Potenzgleichung gehört zu \(\log_a(32)=5\)? - Welche positive Zahl ergibt in der fünften Potenz \(32\)? - Verwende die gefundene Basis anschließend für den zweiten Logarithmus.

1. Aus \(\log_a(32)=5\) folgt \(a^5=32\). 2. Da \(2^5=32\), ist \(a=2\). 3. Damit ist \(\log_a(8)=\log_2(8)=3\), denn \(2^3=8\).

Die Basis ist \(a=2\), und \(\log_a(8)=3\).

- Übersetze eine Logarithmusaussage zuerst in die passende Potenzgleichung. - Setze die in Teil 1 gefundene Basis in Teil 2 ein. - Welche Potenz von \(\frac{1}{10}\) ergibt \(100\)?

1. Aus \(\log_b(10)=1\) folgt nach der Definition des Logarithmus \(b^1=10\). Daher ist \(b=10\). 2. Damit lautet die zweite Basis \(\frac{1}{10}\). Gesucht ist \(\log_{\frac{1}{10}}(100)\). Da \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-2}=100\), gilt \(\log_{\frac{1}{10}}(100)=-2\).

1. \(b=10\). 2. \(\log_{\frac{1}{10}}(100)=-2\).

- Welche Koordinate eines Punktes ist immer Null, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Setze die entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung ein. - Isoliere den Logarithmus-Ausdruck in der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Basis. - Welcher Exponent führt dazu, dass das Ergebnis der Potenz genau der Basis entspricht?

1. Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Da der Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(x = 0\). Der Punkt ist somit \(S(0 \mid -1)\). 2. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung: \(-1 = \log_b(0 + 5) - 2\) 3. Vereinfachen und Isolieren des Logarithmus: \(\log_b(5) = 1\) 4. Umwandlung in die Potenzform: \(b^1 = 5\) 5. Bestimmung der Basis: \(b = 5\)

Die Basis ist \(b = 5\).

- Wie lautet die Definition des Logarithmus als Exponentialgleichung? - Kannst du die Dezimalzahlen oder Brüche als Potenzen einer Zahl schreiben? - Welche Rechenoperation macht ein Potenzieren mit \(3\) oder ein Radizieren (Wurzelziehen) rückgängig? - Denk daran, dass die Basis \(b\) immer positiv sein muss.

Die Lösung erfolgt durch Umwandlung der Logarithmusgleichung in die entsprechende Potenzform \(b^c = a\). 1. Zu a): Aus \(\log_b 125 = 3\) folgt \(b^3 = 125\). Durch Ziehen der dritten Wurzel ergibt sich \(b = \sqrt[3]{125} = 5\). 2. Zu b): Aus \(\log_b 0{,}01 = -2\) folgt \(b^{-2} = 0{,}01\). Dies entspricht \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(b^2 = 100\) folgt. Da \(b > 0\) sein muss, ist \(b = 10\). 3. Zu c): Aus \(\log_b \frac{1}{8} = -3\) folgt \(b^{-3} = \frac{1}{8}\). Dies entspricht \(\frac{1}{b^3} = \frac{1}{8}\), woraus \(b^3 = 8\) folgt. Somit ist \(b = 2\). 4. Zu d): Aus \(\log_b 7 = 0{,}5\) folgt \(b^{0{,}5} = 7\), also \(\sqrt{b} = 7\). Durch Quadrieren erhält man \(b = 7^2 = 49\).

a) \(b = 5\) b) \(b = 10\) c) \(b = 2\) d) \(b = 49\)

- Stelle den Logarithmus in jeder Gleichung möglichst zuerst allein. - Welche Potenzgleichung gehört anschließend zur Logarithmusgleichung? - Prüfe, ob die gefundenen Werte als Logarithmusargumente positiv sind.

1. Aus \(\log_5(x)=2\) folgt \(x=5^2=25\). 2. In b) ergibt die Division durch \(3\) zunächst \(\log_2(x)=4\). Daher ist \(x=2^4=16\).

a) \(x=25\) b) \(x=16\)

- Forme jede Logarithmusgleichung zunächst in die entsprechende Potenzgleichung um. - Achte darauf, ob die gesuchte Größe im Argument, im Exponenten oder in der Basis steckt. - Welche zusätzlichen Bedingungen muss eine Logarithmusbasis erfüllen? - Prüfe bei der Gleichung mit variabler Basis, welche Lösungen der Potenzgleichung als Logarithmusbasis zulässig sind.

1. Aus \(\log_2(x+10)=6\) folgt \(x+10=2^6=64\), also \(x=54\). 2. Logarithmieren zur Basis \(10\) und Potenzieren mit der Basis \(10\) sind Umkehroperationen. Daher gilt \(x+5=8\) und somit \(x=3\). 3. Aus \(\log_4(x)=-2\) folgt \(x=4^{-2}=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 4. Aus \(\log_x(81)=4\) folgt \(x^4=81\). Algebraisch erfüllen \(x=3\) und \(x=-3\) diese Potenzgleichung. Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) bleibt \(x=3\).

a) \(x=54\) b) \(x=3\) c) \(x=0{,}0625\) oder \(x=\frac{1}{16}\) d) \(x=3\)

- Wenn die Basis \(x\) gesucht ist, hilft das Wurzelziehen nach dem Umstellen. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz? - Nutze die Eigenschaft, dass Logarithmus und Potenzieren mit derselben Basis zueinander umgekehrt sind. - Ein Exponent von \(1{,}5\) kann als \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden – das hilft beim Rechnen ohne Taschenrechner.

1. Die Gleichung \(\log_x(81) = 4\) wird als Potenz \(x^4 = 81\) geschrieben. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich durch Ziehen der vierten Wurzel \(x = 3\). 2. Anwendung der Definition ergibt \(x = 4^{-1}\). Dies entspricht dem Kehrwert, also \(x = 0{,}25\). 3. Unter Verwendung der Identität \(\log_b(b^a) = a\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(3x - 1 = 8\). Addition von \(1\) und Division durch \(3\) liefert \(x = 3\). 4. Umformung in die Potenzform ergibt \(3x = 9^{1{,}5}\). Da \(9^{1{,}5} = 9^1 \cdot 9^{0{,}5} = 9 \cdot \sqrt{9} = 27\) ist, folgt \(3x = 27\) und somit \(x = 9\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 0{,}25\) c) \(x = 3\) d) \(x = 9\)

- Wie kann man eine Wurzel als Potenz schreiben? - Überlege dir, welche Frage man stellt, wenn man einen Logarithmus berechnet. - Was passiert, wenn du eine positive Zahl (wie die 2) immer wieder mit sich selbst multiplizierst oder teilst? Kann das Ergebnis negativ werden? - Erinnere dich an die Definition: \(b^x = a\). Was weißt du über das Vorzeichen von \(a\), wenn \(b\) positiv ist?

1. Berechnung der Logarithmen: \(\log_2 64 = 6\), da \(2^6 = 64\). \(\log_{10} \sqrt{10} = \log_{10} (10^{0{,}5}) = 0{,}5\), da \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}\). 2. Analyse des allgemeinen Ausdrucks: \(\log_b (b^5) = 5\). Die Definition fragt nach dem Exponenten, mit dem man \(b\) potenzieren muss, um \(b^5\) zu erhalten. Dieser Exponent ist offensichtlich 5. 3. Untersuchung der Existenz: Die Gleichung \(\log_2 (-8) = x\) ist äquivalent zu \(2^x = -8\). Da eine Potenz mit einer positiven Basis (\(2 > 0\)) für jeden reellen Exponenten \(x\) immer ein positives Ergebnis liefert (\(2^x > 0\)), kann das Ergebnis niemals \(-8\) sein. Daher ist der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert.

a) \(\log_2 64 = 6\) und \(\log_{10} \sqrt{10} = 0{,}5\) b) \(\log_b (b^5) = 5\), da \(b^5\) die Potenz zur Basis \(b\) mit dem Exponenten 5 ist. c) Die Gleichung \(2^x = -8\) hat keine Lösung, da Potenzen mit positiver Basis stets positiv sind.

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: \(y = \log_a(x)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Funktionswerts, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert? - Überlege dir den Verlauf des Graphen für eine Basis größer als 1. Wo liegt die Nullstelle?

1. Definitionsbereich: Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, gilt für beide Funktionen \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x) = \log_2(x)\): \(f(0{,}25) = -2\); \(f(1) = 0\); \(f(2) = 1\); \(f(4) = 2\). Für \(g(x) = \log_{0{,}5}(x)\): \(g(0{,}25) = 2\); \(g(1) = 0\); \(g(2) = -1\); \(g(4) = -2\). 3. Nachweis der Spiegelung: Mit der gegebenen Identität folgt \(g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) = -\log_2(x) = -f(x)\). Ein negativer Vorfaktor der gesamten Funktionsgleichung entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Vorzeichen von \(f(0{,}75)\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Wegen \(f(1) = 0\) und \(0{,}75 < 1\) muss \(f(0{,}75) < 0\) gelten. Der Wert ist also negativ.

a) \(D = \mathbb{R}^+\) bzw. \(x > 0\). b) \(f\): \(-2; 0; 1; 2\). \(g\): \(2; 0; -1; -2\). c) Wegen \(g(x) = -f(x)\) liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. d) Negativ, da \(f\) wegen der Basis \(2 > 1\) streng monoton steigt und \(0{,}75\) kleiner als die Nullstelle \(1\) ist.

- Wie muss die Basis eines Logarithmus beschaffen sein, und welchen Wert darf sie nicht annehmen? Gibt es Einschränkungen für das Ergebnis einer Potenz? - Versuche, Terme in Klammern zunächst als eine Einheit zu betrachten. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter als Brüche verarbeiten. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung?

1. Für \(\log_2 (x - 4) = 5\): Umwandlung in \(x - 4 = 2^5\). Da \(2^5 = 32\), folgt \(x - 4 = 32\), also \(x = 36\). 2. Für \(\log_{x+2} 49 = 2\): Umwandlung in \((x + 2)^2 = 49\). Die Gleichung hat die Lösungen \(x + 2 = 7\) oder \(x + 2 = -7\). Für die Basis müssen \(x + 2 > 0\) und \(x + 2 \neq 1\) gelten. Daher ist nur \(x + 2 = 7\) zulässig, woraus \(x = 5\) folgt; dieser Wert erfüllt beide Basisbedingungen. 3. Für \(\log_{0{,}2} x = -3\): Umwandlung in \(x = 0{,}2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125\). 4. Für \(\log_x \frac{1}{100} = -2\): Umwandlung in \(x^{-2} = \frac{1}{100}\). Dies entspricht \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), also \(x^2 = 100\). Da die Basis \(x\) positiv und ungleich \(1\) sein muss, folgt \(x = 10\); der Wert ist zulässig.

1) \(x = 36\); 2) \(x = 5\); 3) \(x = 125\); 4) \(x = 10\).

- Wie lassen sich Brüche oder Wurzeln als Potenzen schreiben? - Könnte es helfen, beide Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sie denselben Exponenten haben? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenzierst? - Überlege, welche Rechenregeln für Potenzen dir hier weiterhelfen könnten.

1. Anwendung der Definition \(\log_x(b) = a \Leftrightarrow x^a = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^{-7} = \frac{1}{128}\). Umformung zu \(\frac{1}{x^7} = \frac{1}{128}\), also \(x^7 = 128\). Ziehen der siebten Wurzel ergibt \(x = 2\). 3. Für b): Gleichung \(x^{1{,}5} = 2\sqrt{2}\). Da \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) und \(2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\), folgt direkt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{\frac{3}{2}} = 27\). Umformung durch Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\): \(x = 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 2\) c) \(x = 9\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für eine Basis, die selbst ein Bruch ist? - Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten ausdrücken? - Vergleiche am Ende deine drei Ergebnisse sorgfältig.

1. Berechnung für (1): Die Gleichung \(\log_x 8 = 1{,}5\) ist äquivalent zu \(x^{1{,}5} = 8\). Mit \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) ergibt sich \(x^{\frac{3}{2}} = 2^3\). Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\) liefert \(x = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\). 2. Berechnung für (2): Die Gleichung \(\log_{0{,}5} x = -3\) ist äquivalent zu \(x = 0{,}5^{-3}\). Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist, gilt \(x = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8\). 3. Berechnung für (3): Die Gleichung \(\log_{10} \sqrt{10} = x\) ist äquivalent zu \(10^x = \sqrt{10}\). Da \(\sqrt{10} = 10^{0{,}5}\) ist, folgt durch Exponentenvergleich \(x = 0{,}5\). 4. Vergleich: Die berechneten Werte sind \(4\), \(8\) und \(0{,}5\). Der kleinste Wert ist \(0{,}5\).

In (1) ist \(x = 4\), in (2) ist \(x = 8\) und in (3) ist \(x = 0{,}5\). Der kleinste Wert ist \(0{,}5\).

- Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Prüfe bei einer Gleichung mit \(x^2\), ob mehrere algebraische Lösungen entstehen und ob ihre Logarithmusargumente zulässig sind. - Frage bei Teil 3, ob die Gleichung \(1^y=1\) einen eindeutig bestimmten Exponenten besitzt. - Erinnere dich: Eine zulässige Logarithmusbasis ist positiv und ungleich \(1\).

1. Umwandlung in die Potenzform: \(x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), folgt \(x^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\). Potenzieren mit 6 ergibt \(x = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8\). 2. Anwendung der Definition: \(x^2 + 2 = 3^3 \Rightarrow x^2 + 2 = 27\). Umformen ergibt \(x^2 = 25\), woraus die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\) folgen. Da der Numerus \(x^2+2\) für beide Werte positiv ist (\(27 > 0\)), sind beide Lösungen gültig. 3. Laut Definition muss die Basis \(a\) eines Logarithmus \(\log_a b\) positiv und ungleich 1 sein (\(a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\)). Wäre die Basis 1, so wäre die Gleichung \(1^y = 1\) für jedes beliebige \(y\) erfüllt. Damit wäre der Logarithmus nicht eindeutig bestimmt, weshalb die Basis 1 ausgeschlossen wird.

1) \(x=8\) 2) \(x\in\{-5;5\}\) 3) Die Basis \(1\) ist ausgeschlossen, weil \(1^y=1\) für jedes \(y\) gilt und der Logarithmuswert dadurch nicht eindeutig wäre.

- Denke an die Bedingungen für die Basis \(x\) und das Argument \(a\) eines Logarithmus. - Welche Werte darf eine Basis niemals annehmen? - Kann man den Logarithmus von jeder beliebigen Zahl bilden? - Stelle die Gleichung in die Form \(x = \dots\) um, indem du die entsprechende Wurzel ziehst oder potenzierst.

Die allgemeine Form \(\log_x(a) = a\) entspricht \(x^a = a\) mit den Bedingungen für die Basis \(x > 0\), \(x \neq 1\) und das Argument \(a > 0\). 1. Für \(a = 3\): \(x^3 = 3 \implies x = \sqrt[3]{3}\). Da \(\sqrt[3]{3} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a = 1\): \(x^1 = 1 \implies x = 1\). Da die Basis eines Logarithmus laut Definition ungleich \(1\) sein muss, gibt es hier keine gültige Lösung. 3. Für \(a = \frac{1}{4}\): \(x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \implies x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}\). Da \(\frac{1}{256} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 4. Für \(a = -1\): Das Argument des Logarithmus muss stets positiv sein (\(a > 0\)). Daher ist \(\log_x(-1)\) nicht definiert und es existiert keine Lösung.

a) \(x = \sqrt[3]{3}\) b) Keine Lösung, da die Basis \(x \neq 1\) sein muss. c) \(x = \frac{1}{256}\) d) Keine Lösung, da das Argument \(a > 0\) sein muss.

- Erinnere dich an die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz. - Welche Basis ist bei der Abkürzung \(\lg\) gemeint? - Wie kannst du eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was passiert mit der Basis, wenn der Exponent negativ ist?

1. Umformung in die Potenzschreibweise: \(x = 3^4 = 81\) 2. Berechnung mit negativem Exponenten: \(x = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04\) 3. Umwandlung des Dezimalbruchs im Exponenten: \(x = 9^{2{,}5} = 9^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 243\) 4. Bestimmung der Basis bei der Schreibweise \(\lg\) (Basis 10): \(x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1\)

a) \(x = 81\) b) \(x = 0{,}04\) c) \(x = 243\) d) \(x = 0{,}1\)

- Schreibe jede Logarithmusgleichung als Potenzgleichung. - Wie wirken sich ein negativer Exponent und der Exponent \(0{,}5\) auf die Potenz aus? - Prüfe bei jeder gefundenen Basis die Bedingungen \(a>0\) und \(a\neq1\).

1. Verwende jeweils die Definition \(\log_a(x)=y\iff a^y=x\). 2. a) \(a^4=16\), also \(a=2\). 3. b) \(a^{-2}=0{,}01=\frac{1}{100}\), also \(a^2=100\) und wegen \(a>0\) gilt \(a=10\). 4. c) \(a^{0{,}5}=3\), also \(\sqrt a=3\) und damit \(a=9\). 5. d) \(a^{-1}=2\), also \(\frac1a=2\) und damit \(a=0{,}5\).

a) \(a=2\) b) \(a=10\) c) \(a=9\) d) \(a=0{,}5\)

- Versuche zuerst, den Ausdruck innerhalb der Klammer mithilfe der Potenzgesetze zu einer einzigen Potenz zu vereinfachen. - Wie schreibst du eine Quadratwurzel oder eine 5. Wurzel als Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst oder dividierst?

1. Zusammenfassen der Argumente im Logarithmus mithilfe der Potenzgesetze für Produkte (\(x^r \cdot x^s = x^{r+s}\)) und Quotienten (\(\frac{x^r}{x^s} = x^{r-s}\)). 2. Umwandlung von Wurzeln in rationale Exponenten: \(\sqrt{b} = b^{0{,}5}\), \(\sqrt[3]{c^2} = c^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt[5]{d} = d^{0{,}2}\). 3. Berechnung der resultierenden Exponenten: a) \(2 + 5 = 7\) b) \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) c) Direkte Umwandlung ergibt \(\frac{2}{3}\) d) \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\) (oder \(\frac{4}{5}\)).

a) \(7\) b) \(-2{,}5\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(0{,}8\)

- Schreibe die Logarithmen zuerst in die entsprechende Potenzform um. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis der Potenz? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Basis leichter zu erkennen? - Erinnere dich daran, dass ein rationaler Exponent wie \(1{,}5\) als Bruch \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Logarithmengleichungen in die Potenzschreibweise \(a^c = b\). 2. Zu a): \(a^{-3} = 0{,}001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(a = 10\). 3. Zu b): \(a^{1{,}5} = 8\). Umformen zu \(a^{\frac{3}{2}} = 8\), dann Quadrieren und Ziehen der dritten Wurzel: \(a = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\). 4. Zu c): \(a^{-1} = \frac{1}{7} = 7^{-1}\). Es folgt direkt \(a = 7\). 5. Zu d): \(a^{\frac{1}{3}} = 2\). Potenzieren beider Seiten mit \(3\) ergibt \(a = 2^3 = 8\).

a) \(a = 10\) b) \(a = 4\) c) \(a = 7\) d) \(a = 8\)

- Versuche zuerst, den Teil des Terms zu vereinfachen, der den Logarithmus im Exponenten enthält. - Erinnere dich an die Definition: \(a^{\log_a b}\) ist die Zahl, die man erhält, wenn man \(a\) mit dem Logarithmus von \(b\) zur Basis \(a\) potenziert. - Wende nach der Vereinfachung des Logarithmus-Terms die ganz normalen Vorrangregeln der Arithmetik (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) an.

1. Für Teilaufgabe a) wird zunächst \(3^{\log_3 4} = 4\) berechnet. Dann folgt \(5 \cdot 4 - 7 = 20 - 7 = 13\). 2. In Teilaufgabe b) nutzt man \(10^{\lg 8} = 8\) und \(10^{\lg 12} = 12\). Die Summe ergibt \(8 + 12 = 20\). 3. Bei Teilaufgabe c) ergibt der Zähler \(6^{\log_6 18} = 18\). Die Division durch \(3\) liefert \(18 {:} 3 = 6\). 4. Für Teilaufgabe d) vereinfacht sich die Basis in der Klammer zu \(4^{\log_4 5} = 5\). Das Quadrat davon ist \(5^2 = 25\).

a) \(13\) b) \(20\) c) \(6\) d) \(25\)

- Überlege, was passiert, wenn man eine Zahl erst logarithmiert und das Ergebnis dann als Exponenten zur selben Basis verwendet. - Gibt es eine Kurzschreibweise für Terme der Form \(b^{\log_b y}\)? - Beachte, wie sich das Quadrieren und die Quadratwurzel gegenseitig beeinflussen. - Versuche, die beiden Summanden nacheinander zu vereinfachen.

1. Anwendung der Identität \(b^{\log_b y} = y\) auf den Ausdruck in der Klammer: \(10^{\lg \sqrt{x}} = \sqrt{x}\). 2. Quadrieren des Ergebnisses: \((\sqrt{x})^2 = x\). 3. Anwendung derselben Identität auf den zweiten Summanden: \(8^{\log_8(3x)} = 3x\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(x + 3x = 4x\).

\(4x\)

- Stelle dir vor, wie sich der Verlauf eines Graphen ändert, wenn man ihn an der Geraden \( y = x \) spiegelt. - Was passiert mit einer waagerechten Linie, wenn man alle ihre \( x \)- und \( y \)-Koordinaten vertauscht? - Wenn eine Funktion für sehr kleine Eingabewerte gegen Null geht, was bedeutet das für die Umkehrfunktion und deren Eingabewerte nahe Null?

1. Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion an der Geraden \( y = x \). Da diese Spiegelung die Anordnung der Punkte entlang der Kurve erhält (größere \( x \)-Werte der Exponentialfunktion führen zu größeren \( y \)-Werten und umgekehrt), bleibt das Steigungsverhalten erhalten. Wenn \( f \) streng monoton steigt, muss auch die gespiegelte Funktion \( g \) für steigende \( x \)-Werte steigende \( y \)-Werte aufweisen. 2. Durch die Spiegelung an \( y = x \) werden waagerechte Linien zu senkrechten Linien. Die waagerechte Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion wird somit zur senkrechten Asymptote \( x = 0 \) (die \( y \)-Achse) der Logarithmusfunktion. Da sich \( f(x) \) für \( x \to -\infty \) der \( 0 \) nähert, nähert sich \( g(x) \) für \( x \to 0 \) (von rechts) dem Wert \( -\infty \) an.

1. Da die Spiegelung an \( y = x \) die Ordnung der Funktionswerte erhält, folgt aus dem streng monoton steigenden Verhalten von \( f(x) = a^x \) direkt, dass auch \( g(x) = \log_a(x) \) streng monoton steigend ist. 2. Die Asymptote von \( g(x) \) ist die \( y \)-Achse mit der Gleichung \( x = 0 \). Sie ergibt sich durch Spiegelung der waagerechten Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden.

- Was passiert mit dem Logarithmus, wenn du für \( x \) den Wert \( 1 \) einsetzt? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: Wie kannst du eine Gleichung der Form \( \log_b(x) = y \) als Potenz schreiben? - Überlege dir die grundlegende Eigenschaft einer Funktion bezüglich der Zuordnung von \( x \)- und \( y \)-Werten.

1. Einsetzen von \( A(1 \mid 5) \) in die Funktionsgleichung: \( 5 = \log_b(1) + c \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) gilt, folgt direkt \( c = 5 \). 2. Einsetzen von \( B(16 \mid 9) \) und \( c = 5 \): \( 9 = \log_b(16) + 5 \), woraus \( \log_b(16) = 4 \) folgt. 3. Umstellen der Logarithmusgleichung in die Potenzform: \( b^4 = 16 \). Da die Basis \( b \) positiv sein muss, ergibt sich \( b = \sqrt[4]{16} = 2 \). Die Funktionsgleichung lautet \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). 4. Da \( \log_b(1) \) immer \( 0 \) ergibt, fällt der Term mit der Basis \( b \) bei \( x = 1 \) weg, wodurch \( c \) allein durch den \( y \)-Wert an dieser Stelle bestimmt wird. 5. Für die Punkte \( P \) und \( Q \) müsste gelten: \( f(2) = 3 \) und \( f(2) = 4 \). Da einer \( x \)-Koordinate in einer Funktion jedoch nur genau ein \( y \)-Wert zugeordnet werden darf, existiert keine solche Funktion.

a) \( c = 5 \) und \( b = 2 \). Die Funktion ist \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). b) Da \( \log_b(1) = 0 \) für jede Basis gilt, bleibt in der Gleichung nur \( y = c \) übrig. c) Nein, da einer \( x \)-Koordinate (\( x = 2 \)) zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet werden müssten, was der Definition einer Funktion widerspricht.

- Wie hängen der Logarithmus und die Potenzrechnung zusammen? Kannst du die Gleichung umschreiben? - Welche besonderen Regeln kennst du für Potenzen mit dem Exponenten 0 oder 1? - Überlege dir, welche Werte für die Basis eines Logarithmus überhaupt erlaubt sind. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz?

1. Umformung der Gleichungen in die Potenzform \(a^y = x\). 2. Zu a): \(a^3 = 64\). Da \(4^3 = 64\), ist die Basis \(a = 4\). 3. Zu b): \(a^1 = 11\). Da \(a^1 = a\), folgt direkt \(a = 11\). 4. Zu c): \(a^0 = 5\). Da für jede zulässige Basis \(a^0 = 1\) gilt, ist die Gleichung \(1 = 5\) ein Widerspruch. Es existiert keine Basis \(a\). 5. Zu d): \(a^{-2} = \frac{1}{25}\). Dies entspricht \(\frac{1}{a^2} = \frac{1}{25}\), also \(a^2 = 25\). Wegen der Bedingung \(a > 0\) ist die Basis \(a = 5\).

a) \(a = 4\) b) \(a = 11\) c) Keine Lösung, da \(a^0 = 1 \neq 5\) d) \(a = 5\)

- Schreibe jede Teilaufgabe zuerst als Potenzgleichung auf. - Wenn im Exponenten ein Bruch steht, wie kannst du diesen „umkehren“? - Was passiert, wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst? Gibt es hier eine eindeutige Lösung? - Erinnere dich daran, dass die Basis \(b\) immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition \(\log_b x = y \iff b^y = x\). 2. Zu a): \(b^3 = 1000\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(b = \sqrt[3]{1000} = 10\). 3. Zu b): \(b^{\frac{1}{3}} = 2\). Umformen durch Potenzieren mit 3 ergibt \(b = 2^3 = 8\). 4. Zu c): \(b^{-1} = 0{,}1\). Dies entspricht \(\frac{1}{b} = \frac{1}{10}\), woraus \(b = 10\) folgt. 5. Zu d): \(b^0 = 1\). Da \(b^0 = 1\) für jede positive Basis \(b \neq 1\) erfüllt ist, sind alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\) Lösungen.

a) \(b = 10\) b) \(b = 8\) c) \(b = 10\) d) Alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\)

- Welche Potenzgleichung gehört jeweils zur gegebenen Logarithmusgleichung? - Bei b) führt die Umformung auf eine quadratische Gleichung; denke an beide möglichen Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Werte positive Logarithmusargumente ergeben.

1. Aus \(\log_3(4x-5)=2\) folgt \(4x-5=3^2=9\). Damit ist \(4x=14\) und \(x=3{,}5\). Wegen \(4\cdot3{,}5-5=9>0\) ist der Wert zulässig. 2. Aus \(\lg(x^2+19)=2\) folgt \(x^2+19=10^2=100\), also \(x^2=81\). Damit sind \(x=9\) und \(x=-9\) möglich. Für beide Werte ist das Logarithmusargument gleich \(100>0\), also sind beide zulässig.

a) \(L=\{3{,}5\}\) b) \(L=\{-9;9\}\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Welche Zahl hoch 3 ergibt 125? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens.

1. Aus \(\log_a(125)=3\) folgt nach der Definition des Logarithmus \(a^3=125\). Daher ist \(a=5\). 2. Es gilt \(\frac{1}{25}=5^{-2}\). Daher ist \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\). 3. Aus \(\log_5(x)=5\) folgt \(x=5^5=3125\).

a) \(a=5\) b) \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\) c) \(x=3125\)

- Was gibt der Logarithmus zur Basis 10 über die Zehnerpotenzen an? - Wie lässt sich eine Zahl mit negativem Exponenten als Dezimalzahl schreiben? - Welches Logarithmusgesetz hilft dir, wenn im Argument ein Produkt steht? - Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(10x\) ersetzt.

1. Wegen \(10^1=10\), \(10^2=100\) und \(10^6=1\,000\,000\) gilt \(\lg10=1\), \(\lg100=2\) und \(\lg1\,000\,000=6\). 2. Aus \(\lg x=-4\) folgt \(x=10^{-4}=0{,}0001\). 3. Für \(x>0\) gilt mit dem Produktgesetz \(\lg(10x)=\lg10+\lg x=1+\lg x\). Daher erhöht eine Verzehnfachung des Arguments den Logarithmuswert um \(1\).

a) \(\lg10=1\), \(\lg100=2\), \(\lg1\,000\,000=6\) b) \(x=0{,}0001\) c) \(\lg(10x)=1+\lg x\) für \(x>0\); der Logarithmuswert steigt also um \(1\).

- Forme die erste Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung um. - Was bedeutet der negative Exponent \(-2\)? - Welche Bedingung muss die Logarithmusbasis zusätzlich zur Potenzgleichung erfüllen? - Prüfe b) wieder mithilfe der entsprechenden Potenzaussage.

1. Aus \(\log_b\left(\frac1{9}\right)=-2\) folgt \(b^{-2}=\frac1{9}\). 2. Damit gilt \(\frac1{b^2}=\frac1{9}\), also \(b^2=9\). Wegen \(b>0\) ist \(b=3\). 3. Für b) prüft man \(\log_3(27)=3\). Da \(3^3=27\), ist die Aussage wahr.

a) \(b=3\) b) Ja, \(\log_3(27)=3\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Kannst du die Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus alleine auf einer Seite steht? - Wie lautet die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz? - Hilft es dir, die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch zu schreiben? - Kannst du die Zahl 32 als Potenz einer kleineren Basis ausdrücken?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(32 \mid 7{,}5)\) in die Funktionsgleichung: \(7{,}5 = 3 \cdot \log_b(32)\) 2. Isolation des Logarithmus durch Division durch 3: \(\log_b(32) = 2{,}5\) 3. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Umwandlung in eine Potenzgleichung: \(b^{2{,}5} = 32\) 4. Umschreiben des Exponenten als Bruch: \(b^{\frac{5}{2}} = 32\) 5. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 32^{\frac{2}{5}}\) 6. Berechnung des Wertes unter Verwendung von \(32 = 2^5\): \(b = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4\)

Die Basis ist \(b = 4\).

- Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf denselben Exponenten zu bringen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben Kehrwert des Exponenten potenzierst?

Die Gleichungen werden unter Verwendung der Definition \(\log_b a = c \iff b^c = a\) gelöst. 1. Zu a): \(b^{-3} = \frac{27}{8}\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\left(\frac{1}{b}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Daraus folgt \(\frac{1}{b} = \frac{3}{2}\), also \(b = \frac{2}{3}\). 2. Zu b): \(b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}\). Da \(49 = 7^2\), gilt \(b^{\frac{2}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}\). Da \(b > 0\) gilt, folgt \(b = 7\). 3. Zu c): \(b^{-2} = 0{,}0625\). Da \(0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}\), gilt \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{16}\). Daraus folgt \(b^2 = 16\), und wegen \(b > 0\) ist \(b = 4\).

a) \(b = \frac{2}{3}\) b) \(b = 7\) c) \(b = 4\)

- Schau dir an, wo die Graphen die \(x\)-Achse schneiden (Nullstellen). - Überprüfe den Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) oder \(x = 4\). - Achte darauf, ob ein Graph gegenüber der Grundform verschoben, gespiegelt oder gestreckt ist. - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition innerhalb des Logarithmus (\(x+c\)) auf die Lage des Graphen auswirkt.

Um die Graphen zuzuordnen, betrachten wir die Nullstellen und Funktionswerte an bestimmten Stellen: 1. Der Graph \(f\) (blau) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 2)\). Dies entspricht der Basisfunktion \(y = \log_{2}(x)\) (Term 1). 2. Der Graph \(g\) (grün) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 2)\) und \((4 \mid 4)\). Da die \(y\)-Werte gegenüber \(f\) verdoppelt sind, gehört er zu \(y = 2 \cdot \log_{2}(x)\) (Term 2). 3. Der Graph \(h\) (orange) hat seine Nullstelle bei \(x = -2\), da \(\log_{2}(-2 + 3) = \log_{2}(1) = 0\). Er ist um 3 Einheiten nach links verschoben. Dies passt zu \(y = \log_{2}(x + 3)\) (Term 3). 4. Der Graph \(k\) (rot) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid -1)\) und \((4 \mid -2)\). Die \(y\)-Werte sind im Vergleich zu \(f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt. Das entspricht \(y = -\log_{2}(x)\) (Term 4).

Die Zuordnung lautet: \(f \rightarrow 1.\, y = \log_{2}(x)\), \(g \rightarrow 2.\, y = 2 \cdot \log_{2}(x)\), \(h \rightarrow 3.\, y = \log_{2}(x + 3)\), \(k \rightarrow 4.\, y = -\log_{2}(x)\); Term 5, \(y = \log_{2}(x) - 3\), bleibt übrig.

- Welcher Punkt auf dem Graphen verrät dir etwas über den Wert von \(a\), wenn du den \(x\)-Wert \(-1\) oder \(1\) betrachtest? - Wie nennt man die Umkehroperation zum Potenzieren mit einer festen Basis? - Versuche, die Zahl \(8\) und die Basis \(0{,}5\) als Potenzen der gleichen Grundzahl (zum Beispiel \(2\)) zu schreiben.

1. Am Graphen lässt sich der Punkt \(P(-1 \mid 2)\) ablesen. Einsetzen in den Funktionsterm ergibt \(f(-1) = a^{-1} = 2\). Daraus folgt \(\frac{1}{a} = 2\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}5^x\). 2. Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion zur Basis \(a\) ist die Logarithmusfunktion zur selben Basis. Somit gilt \(f^{-1}(x) = \log_{0{,}5}(x)\). 3. Zur Berechnung von \(f^{-1}(8)\) lösen wir die Gleichung \(0{,}5^y = 8\). Mit \(0{,}5 = 2^{-1}\) und \(8 = 2^3\) folgt \((2^{-1})^y = 2^3 \Rightarrow 2^{-y} = 2^3\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(-y = 3\), also \(y = -3\). Es gilt \(f^{-1}(8) = -3\).

a) \(a = 0{,}5\) b) \(f^{-1}(x) = \log_{0{,}5}(x)\) c) \(f^{-1}(8) = -3\)