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- Schreibe \(125\) als Potenz zur Basis \(5\). - Bei gleicher Basis müssen die Exponenten übereinstimmen.

Da \(125=5^3\), folgt aus \(5^x=5^3\) direkt \(x=3\).

\(x=3\)

- Die gesuchte Lösung ist die waagerechte Koordinate des Schnittpunkts. - Suche die Stelle, an der der Exponentialgraph den Wert \(9\) erreicht.

Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=2\). Daher ist \(x=2\) die Lösung von \(3^x=9\).

\(x=2\)

- Wie bekommt man eine Unbekannte aus dem Exponenten „nach unten“? - Welcher Logarithmus bietet sich an, wenn die Basis der Potenz 2 ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Logarithmen von Brüchen.

1. Anwendung des Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten der Gleichung: \(\log_2(2^{6x}) = \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 2. Vereinfachung der linken Seite: \(6x = \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{1}{6} \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 4. Anwendung der Logarithmusregel \(\log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a(b)\): \(x = \frac{1}{6} (-\log_2(3)) = -\frac{1}{6} \log_2 3\)

d) \(x = -\frac{1}{6} \cdot \log_2 3\)

- Kannst du die Zahlen auf beiden Seiten als Potenzen mit derselben Basis schreiben? - Versuche zuerst, den Term mit der Unbekannten im Exponenten zu isolieren. - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, müssen auch die Exponenten übereinstimmen. - Überlege, welche Hochzahl nötig ist, um von der Basis zum Ergebnis zu kommen.

1. Teilaufgabe a): Da \(125 = 5^3\), lässt sich die Gleichung als \(5^{x-3} = 5^3\) schreiben. Durch Exponentenvergleich ergibt sich \(x-3 = 3\), woraus \(x = 6\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird die Gleichung zu \(4 \cdot 10^x = 40\,000\) umgeformt. Division durch 4 führt zu \(10^x = 10\,000\). Da \(10\,000 = 10^4\), folgt \(x = 4\). 3. Teilaufgabe c): Da \(128 = 2^7\), gilt \(2^{3x+1} = 2^7\). Der Vergleich der Exponenten liefert \(3x+1 = 7\). Subtraktion von 1 ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\).

a) \(x = 6\) b) \(x = 4\) c) \(x = 2\)

- Kannst du eine der Basen so umschreiben, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht? - Was passiert, wenn du die Gleichung schrittweise wie eine normale lineare Gleichung umformst, um die Potenz zu isolieren? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, besonders für den Fall „Potenz einer Potenz“. - Manchmal hilft es, erst alle Faktoren vor der Potenz zu beseitigen.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation beider Seiten mit 2 ergibt \(3^{x+1} = 27\). Da \(27 = 3^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(x+1 = 3\), also \(x = 2\). 2. Teilaufgabe b): Die Basis 9 wird als \(3^2\) geschrieben, sodass die Gleichung \((3^2)^{x-1} = 3^{x+2}\) lautet. Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(3^{2x-2} = 3^{x+2}\). Der Vergleich der Exponenten führt zu \(2x - 2 = x + 2\), woraus durch Umformen \(x = 4\) resultiert. 3. Teilaufgabe c): Die Gleichung wird durch Addition von 15 zu \(10 \cdot 2^x = 20\) umgeformt. Division durch 10 ergibt \(2^x = 2\). Da \(2 = 2^1\), folgt \(x = 1\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 4\) c) \(x = 1\)

- Überlege bei Exponentialgleichungen, ob du beide Seiten auf dieselbe Basis bringen kannst. - Denke bei Brüchen an Potenzen mit negativen Exponenten. - Isoliere den Ausdruck mit der Unbekannten zuerst, bevor du rechnest.

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von 50 ergibt \(2 \cdot 10^x = 200\). Division durch 2 führt zu \(10^x = 100\). Da \(10^2 = 100\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 2. Teilaufgabe b): Da \(49 = 7^2\), kann die rechte Seite als \(7^{-2}\) geschrieben werden. Die Gleichung lautet \(7^{x - 2} = 7^{-2}\). Der Exponentenvergleich ergibt \(x - 2 = -2\), woraus \(x = 0\) folgt.

a) \(x = 2\) b) \(x = 0\)

- Kannst du eine Zahl wie 32 als Potenz einer kleineren Primzahl schreiben? - Was weißt du über den Exponenten, wenn das Ergebnis einer Potenz 1 ist? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht. - Verwende Potenzgesetze wie \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\), um Ausdrücke zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Division durch 4 ergibt \(5^{x - 1} = 125\). Da \(125 = 5^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(x - 1 = 3\). Addition von 1 ergibt \(x = 4\). 2. Teilaufgabe b): Beide Seiten lassen sich als Potenzen zur Basis 2 ausdrücken: \((2^2)^{x + 1} = 2^5\). Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(2^{2x + 2} = 2^5\). Der Exponentenvergleich führt zu \(2x + 2 = 5\), also \(2x = 3\) und somit \(x = 1{,}5\). 3. Teilaufgabe c): Da die Basis \(6\) positiv und ungleich \(1\) ist, gilt \(6^y = 1\) genau für \(y = 0\). Somit muss der Exponent \(2x = 0\) sein. Daraus folgt \(x = 0\).

a) \(x = 4\) b) \(x = 1{,}5\) c) \(x = 0\)

- Versuche, beide Seiten der Gleichung als Potenz mit derselben Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen als Brüche darstellt, die Potenzen von 2, 5 oder 10 sind. - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, kannst du die Exponenten direkt miteinander vergleichen. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden?

1. Gleichung \(10^x = 0{,}01\): Da \(0{,}01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = -2\). 2. Gleichung \(\left(\frac{2}{5}\right)^x = 6{,}25\): Da \(6{,}25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Gleichung \(0{,}5^x = 32\): Da \(0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\) und \(32 = 2^5\), lautet die Gleichung \((2^{-1})^x = 2^5\), also \(2^{-x} = 2^5\). Somit ist \(x = -5\). 4. Gleichung \(27 \cdot 3^x = \frac{1}{3}\): Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), gilt \(3^3 \cdot 3^x = 3^{-1}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(3^{3+x} = 3^{-1}\). Daraus ergibt sich \(3+x = -1\), also \(x = -4\).

a) \(x = -2\) b) \(x = -2\) c) \(x = -5\) d) \(x = -4\)

- Wie kannst du eine Gleichung, bei der die Variable im Exponenten steht, nach dieser Variablen auflösen? - Erinnere dich an die Formel, mit der man Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen kann. - Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Überlege, was passiert, wenn man eine Zahl kleiner als 1 mit sich selbst multipliziert. - Kannst du das Ergebnis durch Probieren mit dem Taschenrechner grob eingrenzen?

1. Überführung der Exponentialgleichung in die Logarithmusform: \(x = \log_{0{,}8} 0{,}2\). 2. Anwendung der Basiswechselformel zur Vorbereitung der Berechnung: \(x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)}\). 3. Bestimmung der natürlichen Logarithmen: \(\ln(0{,}2) \approx -1{,}609438\) und \(\ln(0{,}8) \approx -0{,}223144\). 4. Division der negativen Werte führt zu einem positiven Ergebnis: \(x \approx 7{,}212567\). 5. Rundung auf drei Nachkommastellen liefert das Endergebnis \(x \approx 7{,}213\).

\(x \approx 7{,}213\)

- Versuche, alle Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) zu schreiben. - Welche Zahl bietet sich als gemeinsame Basis für 5, 25 und 125 an? - Nutze die Potenzgesetze, um die Terme auf beiden Seiten zu vereinfachen, bis dort jeweils nur noch eine Potenz steht. - Wenn die Basen links und rechts gleich sind, kannst du einfach die Ausdrücke in den Exponenten gleichsetzen.

1. Transformation auf die gemeinsame Basis \(5\): Es gilt \(25 = 5^2\) und \(125 = 5^3\). Die Gleichung lautet damit \((5^2)^{x+1} = 5^1 \cdot (5^3)^x\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) und \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)): Auf der linken Seite ergibt sich \(5^{2(x+1)} = 5^{2x+2}\) und auf der rechten Seite \(5^1 \cdot 5^{3x} = 5^{3x+1}\). 3. Exponentenvergleich: Da die Basen gleich sind, müssen die Exponenten übereinstimmen: \(2x + 2 = 3x + 1\). 4. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(2x\) und \(1\) auf beiden Seiten führt zu \(x = 1\).

\(x = 1\)

- Überlege dir, wie man den neuen Funktionswert \(f(x+5)\) mithilfe von Potenzgesetzen umschreiben kann. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „um den Faktor \(n\) größer“ wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen wie \(\frac{1}{9}\) und Potenzen mit negativen Exponenten. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Basis auf beiden Seiten gleich ist?

1. Für die Erhöhung um 5 betrachtet man das Verhältnis \(\frac{f(x+5)}{f(x)} = \frac{3^{x+5}}{3^x}\). 2. Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(3^{x+5-x} = 3^5\). 3. Die Berechnung von \(3^5\) ergibt \(243\). Der Funktionswert vergrößert sich also um den Faktor 243. 4. Für die Verringerung auf ein Neuntel setzt man den Ansatz \(\frac{f(x-k)}{f(x)} = \frac{1}{9}\) an. 5. Dies führt auf die Gleichung \(3^{-k} = 3^{-2}\), woraus direkt \(k = 2\) folgt. Das Argument \(x\) muss also um 2 verringert werden.

a) Der Funktionswert vergrößert sich um den Faktor 243. b) Das Argument \(x\) muss um 2 verringert werden.

- Versuche zuerst, den Term mit der Basis \(0{,}5\) zu isolieren. - Wenn du \(0{,}5^y = 0{,}25\) hast, welchen Wert muss \(y\) dann haben? - Achte darauf, dass im Exponenten nicht nur \(x\), sondern ein ganzer Ausdruck steht. Wie gehst du im letzten Schritt damit um?

1. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(12 \cdot 0{,}5^{x-2} = 3\) 2. Division durch \(12\): \(0{,}5^{x-2} = 0{,}25\) 3. Logarithmieren beider Seiten: \(\log_{0{,}5}(0{,}5^{x-2}) = \log_{0{,}5}(0{,}25)\) 4. Bestimmung des Exponenten: \(x - 2 = 2\) (da \(0{,}5^2 = 0{,}25\)) 5. Auflösen nach \(x\) durch Addition von \(2\): \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle, an der sich zwei Graphen schneiden? - Kannst du beide Seiten der Gleichung so umformen, dass sie dieselbe Basis haben? - Welche Rechenregeln für Potenzen helfen dir, die Terme zusammenzufassen? - Wie kannst du den fehlenden \(y\)-Wert bestimmen, wenn du \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(2 \cdot 9^x = 54 \cdot 3^x\) 2. Division durch \(2\): \(9^x = 27 \cdot 3^x\) 3. Ausdrücken aller Terme zur Basis \(3\): \((3^2)^x = 3^3 \cdot 3^x\) 4. Anwendung der Potenzgesetze: \(3^{2x} = 3^{x+3}\) 5. Exponentenvergleich (Logarithmieren zur Basis 3): \(2x = x + 3\) 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x = 3\) 7. Berechnung des \(y\)-Werts durch Einsetzen: \(f(3) = 2 \cdot 9^3 = 2 \cdot 729 = 1458\) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(3 | 1458)\).

\(S(3 | 1458)\)

- Kannst du die Zahlen als Potenzen mit einer gemeinsamen Basis schreiben? - Welche Rolle spielen negative Exponenten bei Brüchen oder Dezimalzahlen? - Wenn die Basen auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind, was muss dann für die Exponenten gelten? - Kannst du die linke Seite mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen?

1. Teilaufgabe a): Umformung der rechten Seite zur Basis 3 ergibt \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(2x+5 = -3\). Subtraktion von 5 führt zu \(2x = -8\), Division durch 2 ergibt \(x = -4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4\}\). 2. Teilaufgabe b): Umformung beider Seiten zur Basis 2 ergibt \((2^2)^{x-1} = 2^{2x-2}\) und \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Der Exponentenvergleich liefert \(2x-2 = -3\). Addition von 2 ergibt \(2x = -1\), woraus \(x = -0{,}5\) folgt. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\).

a) \(x = -4\) b) \(x = -0{,}5\)

- Wie isoliert man den Exponenten \(x\), wenn die Basis und das Ergebnis der Potenz bekannt sind? - Nutze den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen. - Verwende die Basiswechselformel, um den Logarithmus mit dem Taschenrechner auswertbar zu machen. - Überprüfe dein Ergebnis kurz durch eine Überschlagsrechnung (z. B. \(2^5 = 32\) und \(2^6 = 64\)).

Die Gleichungen der Form \(b^x = a\) werden durch \(x = \log_b a\) gelöst. Die numerische Berechnung erfolgt über \(x = \frac{\lg a}{\lg b}\). 1. Für a): \(x = \log_2 50 = \frac{\lg 50}{\lg 2} \approx \frac{1{,}69897}{0{,}30103} \approx 5{,}64\). 2. Für b): \(x = \log_{1{,}04} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 1{,}04} \approx \frac{0{,}47712}{0{,}01703} \approx 28{,}01\). 3. Für c): \(x = \log_{0{,}9} 0{,}5 = \frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}9} \approx \frac{-0{,}30103}{-0{,}04576} \approx 6{,}58\).

a) \(x \approx 5{,}64\) b) \(x \approx 28{,}01\) c) \(x \approx 6{,}58\)

- Überlege dir zuerst, wo das \(x\) steht: Ist es die Basis, die mit sich selbst multipliziert wird, oder gibt es an, wie oft eine feste Zahl multipliziert wird? - Achte bei geraden Exponenten darauf, ob es mehr als eine Zahl gibt, die beim Potenzieren dasselbe Ergebnis liefert. - Denk an den Graphen einer Exponentialfunktion – verläuft dieser jemals unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Berechnung der Lösungen: (1) \(x^4 = 16 \implies x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2\) (zwei reelle Lösungen). (2) \(2^x = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4\) (eine eindeutige Lösung). (3) \(x^{-1} = 0{,}2 \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \implies x = 5\). (4) \(5^x = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \implies x = \frac{2}{3}\). 2. Struktureller Unterschied: In (1) und (3) handelt es sich um Potenzgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) in der Basis steht. In (2) und (4) handelt es sich um Exponentialgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) im Exponenten steht. 3. Begründung der Lösbarkeit: Die Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)) nimmt nur positive Werte an, weshalb \(10^x = -10\) unmöglich ist. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (wie \(x^3\)) bilden hingegen den gesamten reellen Zahlenbereich ab, weshalb negative Zielwerte erreicht werden können (\(x = -10\)).

a) (1) \(x_1 = 2, x_2 = -2\); (2) \(x = 4\); (3) \(x = 5\); (4) \(x = \frac{2}{3}\) b) Bei (1) und (3) ist \(x\) die Basis (Potenzgleichung), bei (2) und (4) ist \(x\) der Exponent (Exponentialgleichung). c) \(10^x\) ist für alle reellen \(x\) immer positiv, daher kann das Ergebnis niemals \(-10\) sein. \(x^3\) kann dagegen negative Werte annehmen (hier \(x = -10\)).

- Kannst du die rechte Seite als Potenz mit der gleichen Basis wie die linke Seite schreiben? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für Brüche und negative Exponenten. - Welche Zahl muss im Exponenten stehen, damit eine Zehnerpotenz den Wert \(10\,000\) hat? - Denke bei quadratischen Ausdrücken im Exponenten daran, dass es mehr als eine Lösung geben kann.

1. Für a): Die rechte Seite wird als \(125 = 5^3\) dargestellt. Durch Gleichsetzen der Exponenten ergibt sich \(3x - 2 = 3\). Addition von 2 führt zu \(3x = 5\), woraus \(x = \frac{5}{3}\) folgt. 2. Für b): Die rechte Seite wird als \(\frac{1}{32} = 2^{-5}\) geschrieben. Der Exponentenvergleich liefert \(x + 4 = -5\). Subtraktion von 4 ergibt \(x = -9\). 3. Für c): Da \(10\,000 = 10^4\) ist, lautet die Gleichung der Exponenten \(x^2 - 5 = 4\). Addition von 5 ergibt \(x^2 = 9\). Die Wurzelziehung liefert die beiden Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x = \frac{5}{3}\) b) \(x = -9\) c) \(x \in \{-3; 3\}\)

- Welcher Exponent bewirkt bei jeder positiven Basis ungleich \(1\) das Ergebnis \(1\)? - Wenn die Basen nicht identisch sind, wie zum Beispiel 4 und 2, kannst du eine Basis als Potenz der anderen ausdrücken? - Verwende die Potenzgesetze, um Klammern im Exponenten korrekt aufzulösen. - Bei einer quadratischen Gleichung wie in Teil d) hilft oft das Umstellen auf die Form „gleich Null“.

1. Für a): Da \(1 = 7^0\), folgt aus dem Exponentenvergleich \(4x + 2 = 0\). Subtraktion von 2 und Division durch 4 ergibt \(x = -0{,}5\). 2. Für b): Mit \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\) ergibt der Vergleich der Exponenten \(2x = -3\). Division durch 2 führt zu \(x = -1{,}5\). 3. Für c): Die Basis 4 wird als \(2^2\) geschrieben, sodass \((2^2)^{x-3} = 2^{2x-6}\) entsteht. Der Vergleich mit der rechten Seite \(2^{x+1}\) liefert \(2x - 6 = x + 1\). Durch Umstellen erhält man \(x = 7\). 4. Für d): Der direkte Vergleich der Exponenten führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 + x = 2\), also \(x^2 + x - 2 = 0\). Die Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) ergibt die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\).

a) \(L = \{-0{,}5\}\) b) \(L = \{-1{,}5\}\) c) \(L = \{7\}\) d) \(L = \{-2; 1\}\)

- Was musst du zuerst tun, um die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite stehen zu haben? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten „nach unten“ zu holen? - Achte darauf, die Rechenschritte nacheinander auszuführen und erst am Ende zu runden.

1. Division der Gleichung durch \(2\), um die Potenz zu isolieren: \(1{,}8^{x+4} = 5{,}5\). 2. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(1{,}8^{x+4}) = \ln(5{,}5)\). 3. Anwendung der Logarithmusregel für Potenzen: \((x+4) \cdot \ln(1{,}8) = \ln(5{,}5)\). 4. Division durch \(\ln(1{,}8)\): \(x + 4 = \frac{\ln(5{,}5)}{\ln(1{,}8)}\). 5. Berechnung des Quotienten: \(\frac{\ln(5{,}5)}{\ln(1{,}8)} \approx 2{,}9003\). 6. Subtraktion von \(4\) zur Bestimmung von \(x\): \(x \approx 2{,}9003 - 4 = -1{,}0997\). 7. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(x \approx -1{,}10\).

\(x \approx -1{,}10\)

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Zuwachs \(k\) auf, indem du \(h(x+k) = 100 \cdot h(x)\) setzt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a^k = b\) nach \(k\) auflösen? - Beachte bei Teil b) die Beziehung zwischen den Basen 6 und 36. Wie lässt sich 36 als Potenz von 6 schreiben? - Nutze die Potenzgesetze für Potenzen von Potenzen, um die neue Gleichung mit der alten zu vergleichen.

1. Ansatz für Teilaufgabe a): \(6^{x+k} = 100 \cdot 6^x\). Durch Division durch \(6^x\) erhält man die Exponentialgleichung \(6^k = 100\). 2. Anwendung des Logarithmus führt zu \(k = \log_6(100) = \frac{\lg(100)}{\lg(6)}\). 3. Numerische Berechnung: \(k \approx \frac{2}{0{,}77815} \approx 2{,}570\). 4. Ansatz für Teilaufgabe b): \(36^k = 100\). Da \(36 = 6^2\), lässt sich die Gleichung als \((6^2)^k = 100\) bzw. \(6^{2k} = 100\) schreiben. 5. Vergleich mit der Gleichung aus a) zeigt: \(2k_{neu} = k_{alt}\). Der benötigte Zuwachs \(k\) halbiert sich somit auf \(k \approx 1{,}285\).

a) Das Argument \(x\) muss um etwa \(2{,}570\) erhöht werden. b) Der Wert halbiert sich auf etwa \(1{,}285\), da \(36^k = (6^2)^k = 6^{2k}\) gilt und somit der Exponent doppelt so schnell wächst.

- Was musst du zuerst tun, um die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite stehen zu haben? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Gibt es ein bestimmtes Rechengesetz für Logarithmen, das hier nützlich ist? - Kannst du das Ergebnis durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüfen?

1. Division durch \(12\) ergibt \(1{,}5^x=5{,}0625\). 2. Logarithmiere beide Seiten mit dem dekadischen Logarithmus: \(\lg(1{,}5^x)=\lg(5{,}0625)\). 3. Mit dem Potenzgesetz folgt \(x\lg1{,}5=\lg5{,}0625\). 4. Daher ist \(x=\frac{\lg5{,}0625}{\lg1{,}5}=4\). 5. Probe: \(12\cdot1{,}5^4=12\cdot5{,}0625=60{,}75\).

\(x = 4\)

- Versuche zuerst, den Teil mit der Potenz allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Exponenzieren? - Erinnerst du dich an die Logarithmengesetze, mit denen man Exponenten „nach vorne“ ziehen kann? - Achte darauf, bei Aufgaben mit \(x+1\) oder \(2x\) im Exponenten am Ende noch den letzten Schritt zur Isolation von \(x\) zu gehen.

1. Teilaufgabe a): Division durch \(8\) ergibt \(1{,}4^x = 2{,}5\). Anwendung des Logarithmus liefert \(x \cdot \lg(1{,}4) = \lg(2{,}5)\), woraus \(x = \frac{\lg(2{,}5)}{\lg(1{,}4)} \approx 2{,}72\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Division durch \(2\) ergibt \(3^{x+1} = 7{,}5\). Logarithmieren führt zu \((x+1) \cdot \lg(3) = \lg(7{,}5)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(7{,}5)}{\lg(3)} - 1 \approx 0{,}83\). 3. Teilaufgabe c): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(4^{2x} = 20\). Durch Logarithmieren erhält man \(2x \cdot \lg(4) = \lg(20)\). Isolation von \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(20)}{2 \cdot \lg(4)} \approx 1{,}08\).

a) \(x \approx 2{,}72\) b) \(x \approx 0{,}83\) c) \(x \approx 1{,}08\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz mit der Basis \(2{,}5\) alleine auf einer Seite steht? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu „holen“? - Überlege, wie du den Logarithmus einsetzen kannst, nachdem du die Gleichung vereinfacht hast.

1. Isolation des Exponentialterms durch Addition von \(18{,}5\): \(3 \cdot 2{,}5^x = 46{,}875\) 2. Division beider Seiten durch \(3\): \(2{,}5^x = 15{,}625\) 3. Anwendung des Logarithmus zur Basis \(2{,}5\) oder des dekadischen Logarithmus auf beide Seiten: \(x = \log_{2{,}5}(15{,}625)\) bzw. \(x = \frac{\lg(15{,}625)}{\lg(2{,}5)}\) 4. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 3\)

\(x = 3\)

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen und die Zahlen auf die andere. - Welches Potenzgesetz erlaubt es dir, zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu einer einzigen Potenz zusammenzufassen? - Wenn die Basen unterschiedlich sind und nicht einfach angeglichen werden können, welches mathematische Werkzeug hilft dir dann, den Exponenten zu isolieren? - Denke daran, am Ende sowohl den \(x\)-Wert als auch den zugehörigen \(y\)-Wert anzugeben.

1. Gleichsetzen der Funktionen: \(10 \cdot 1{,}2^x = 25 \cdot 0{,}8^x\) 2. Umstellen der Gleichung nach den Exponentialtermen: \(\frac{1{,}2^x}{0{,}8^x} = \frac{25}{10}\) 3. Zusammenfassen der Potenzen: \((\frac{1{,}2}{0{,}8})^x = 2{,}5\), was vereinfacht \(1{,}5^x = 2{,}5\) ergibt. 4. Anwendung des Logarithmus zur Bestimmung von \(x\): \(x = \frac{\lg(2{,}5)}{\lg(1{,}5)} \approx 2{,}26\) 5. Berechnung des \(y\)-Werts durch Einsetzen des ungerundeten \(x\)-Werts in \(f\): \(y = 10 \cdot 1{,}2^{2{,}259851\ldots} \approx 15{,}10\) Der Schnittpunkt ist \(S(2{,}26 | 15{,}10)\).

\(S(2{,}26 | 15{,}10)\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite steht? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Ist es möglich, verschiedene Basen auf eine gemeinsame Basis (wie zum Beispiel \(2\)) zurückzuführen? - Überlege, ob du Potenzgesetze anwenden kannst, um Terme mit gleicher Basis zusammenzufassen.

1. Gleichung a: Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten ergibt \(x\lg(6) = \lg(45)\). Umformen nach \(x\) führt zu \(x = \frac{\lg(45)}{\lg(6)}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 2{,}12\). 2. Gleichung b: Zuerst Division durch \(2\) ergibt \(5^{x+1} = 35\). Logarithmieren liefert \((x+1)\lg(5) = \lg(35)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(35)}{\lg(5)} - 1\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}21\). 3. Gleichung c: Umwandlung der Basen auf die Basis \(2\) ergibt \((2^2)^{2x} = 3 \cdot (2^3)^x\), also \(2^{4x} = 3 \cdot 2^{3x}\). Division durch \(2^{3x}\) führt zu \(2^x = 3\). Somit ist \(x = \frac{\lg(3)}{\lg(2)}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}58\).

a) \(x = \frac{\lg(45)}{\lg(6)} \approx 2{,}12\) b) \(x = \frac{\lg(35)}{\lg(5)} - 1 \approx 1{,}21\) c) \(x = \frac{\lg(3)}{\lg(2)} \approx 1{,}58\)

- Welches Potenzgesetz hilft dir, einen Ausdruck der Form \((b^m)^n\) zu vereinfachen? - Erkennst du im Exponenten eine binomische Formel? - Was passiert, wenn nach dem Gleichsetzen der Exponenten eine quadratische Gleichung entsteht? Welche Lösungsverfahren kennst du dafür? - Überlege, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung maximal haben kann.

1. Teilaufgabe a): Da die Basen identisch sind, können die Exponenten gleichgesetzt werden: \(x^2 - 3x = x - 3\). Durch Umformung entsteht die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Potenzgesetze für Potenzen von Potenzen ergibt \(b^{(x+1)(x-1)} = b^3\). Mit der dritten binomischen Formel folgt \(b^{x^2-1} = b^3\). Der Exponentenvergleich führt auf \(x^2 - 1 = 3\), also \(x^2 = 4\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x_1 = 1; x_2 = 3\) b) \(x_1 = 2; x_2 = -2\)

- Kannst du beide Seiten der Gleichung als Potenzen mit der gleichen Basis schreiben? - Überlege, wie man einen Bruch als Potenz mit negativem Exponenten ausdrücken kann. - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein.

Zunächst werden beide Seiten der Gleichung auf die gemeinsame Basis 3 gebracht. Die linke Seite ergibt nach den Potenzgesetzen \( 3^{x(x+4)} = 3^{x^2+4x} \), während die rechte Seite als \( (3^{-1})^{x+6} = 3^{-x-6} \) geschrieben werden kann. Durch den Exponentenvergleich erhält man die quadratische Gleichung \( x^2 + 4x = -x - 6 \). Diese wird in die Normalform \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) überführt. Durch Anwendung der p-q-Formel oder durch Faktorisierung zu \( (x+2)(x+3) = 0 \) ergeben sich die Lösungen \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = -3 \).

\( L = \{-3; -2\} \)

- Versuche zuerst, den Term mit der Potenz allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Achte darauf, Rechenschritte wie Division oder Subtraktion zuerst auszuführen, bevor du den Logarithmus anwendest. - Wenn im Exponenten ein Produkt oder eine Summe steht, klammere diesen Ausdruck beim Logarithmieren ein.

1. Gleichung a: Division durch \(3\) ergibt \(4^{x-2} = 5\). Logarithmieren führt zu \((x-2) \cdot \ln(4) = \ln(5)\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\ln(5)}{\ln(4)} + 2 \approx 3{,}16\). 2. Gleichung b: Subtraktion von \(5\) ergibt \(2 \cdot 3^x = 16\). Division durch \(2\) liefert \(3^x = 8\). Logarithmieren ergibt \(x \cdot \ln(3) = \ln(8)\), woraus \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \approx 1{,}89\) folgt. 3. Gleichung c: Multiplikation mit \(2\) ergibt \(1{,}2^{2x} = 8\). Logarithmieren führt zu \(2x \cdot \ln(1{,}2) = \ln(8)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\ln(8)}{2 \cdot \ln(1{,}2)} \approx 5{,}70\).

a) \(x \approx 3{,}16\) b) \(x \approx 1{,}89\) c) \(x \approx 5{,}70\)

- Wende den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an. - Wie kannst du Exponenten vor den Logarithmus ziehen? - Vergiss nicht, beim Auflösen nach \(x\) alle Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen und \(x\) auszuklammern.

1. Logarithmieren beider Seiten der Gleichung führt zu \(\lg(6^{x - 1}) = \lg(5^x)\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen ergibt \((x - 1) \cdot \lg(6) = x \cdot \lg(5)\). 3. Durch Ausmultiplizieren der Klammer erhält man \(x \cdot \lg(6) - \lg(6) = x \cdot \lg(5)\). 4. Ordnen der Terme nach \(x\) führt zu \(x \cdot (\lg(6) - \lg(5)) = \lg(6)\). 5. Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(6)}{\lg(6) - \lg(5)} = \frac{\lg(6)}{\lg(1{,}2)}\). 6. Das berechnete Ergebnis ist \(x \approx 9{,}83\).

\(x = \frac{\lg(6)}{\lg(6) - \lg(5)} \approx 9{,}83\)

- Kannst du die Basis 9 durch eine Potenz der Basis 3 ersetzen? - Wie lässt sich \(3^{x+1}\) in ein Produkt zerlegen? - Versuche die Gleichung so umzuformen, dass nur noch eine Potenz mit der Unbekannten \(x\) im Exponenten vorkommt.

1. Anwendung der Potenzgesetze: \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\) und \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x\). 2. Einsetzen in die Gleichung ergibt \(3^{2x} = 2 \cdot 3 \cdot 3^x\), also \(3^{2x} = 6 \cdot 3^x\). 3. Division durch \(3^x\) (da \(3^x > 0\)) vereinfacht die Gleichung zu \(3^x = 6\). 4. Anwendung des Logarithmus zur Basis 3 oder des Zehnerlogarithmus führt zu \(x = \log_3(6) = \frac{\lg(6)}{\lg(3)}\). 5. Der exakte Wert ist \(x = \log_3(6)\), was gerundet \(x \approx 1{,}631\) ergibt.

\(x = \log_3(6) \approx 1{,}631\)

- Kannst du eine der Potenzen so umschreiben, dass sie die gleiche Basis wie die andere hat? - Fällt dir eine Struktur auf, die an eine quadratische Gleichung erinnert? - Versuche, einen Teil des Ausdrucks durch eine neue Variable zu ersetzen. - Vergiss am Ende nicht, den Wert der neuen Variable wieder auf die ursprüngliche Unbekannte zurückzuführen.

1. Umschreiben des ersten Terms unter Verwendung der Potenzgesetze: \(4^{x+1} = 4^1 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2\). 2. Einsetzen in die Gleichung ergibt eine quadratische Form: \(4 \cdot (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 4 = 0\). 3. Substitution von \(u = 2^x\) führt zur quadratischen Gleichung \(4u^2 - 17u + 4 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel oder p-q-Formel: Die Diskriminante ist \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2\). Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4\) und \(u_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Rücksubstitution für \(u_1\): \(2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2\). 6. Rücksubstitution für \(u_2\): \(2^x = 0{,}25 \implies 2^x = 2^{-2} \implies x_2 = -2\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 2\}\).

\(L = \{-2; 2\}\)

- Versuche, auf jeder Seite der Gleichung einen gemeinsamen Faktor auszuklammern. - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(x\) im Exponenten auf einer Seite stehen? - Gibt es ein Potenzgesetz, das dir hilft, Brüche von Potenzen mit gleicher Basis zusammenzufassen? - Wann haben zwei Potenzen mit unterschiedlichen Basen (wie 3 und 4) denselben Wert?

1. Ausklammern der jeweils kleinsten Potenz auf beiden Seiten der Gleichung: \(4^{x-1} \cdot (2 \cdot 4^1 + 1) = 3^x \cdot (3^1 + 1)\). 2. Berechnen der Klammerwerte: \(4^{x-1} \cdot (8 + 1) = 3^x \cdot 4\), also \(9 \cdot 4^{x-1} = 4 \cdot 3^x\). 3. Umformen der Gleichung durch Division, um die Potenzen zu isolieren: \(\frac{4^{x-1}}{4} = \frac{3^x}{9}\). 4. Vereinfachen unter Anwendung der Potenzgesetze (\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)): \(4^{x-2} = 3^{x-2}\). 5. Division durch \(3^{x-2}\) (da dieser Ausdruck für alle reellen \(x\) positiv ist): \(\frac{4^{x-2}}{3^{x-2}} = 1\), was gleichbedeutend ist mit \((\frac{4}{3})^{x-2} = 1\). 6. Da die Basis \(\frac{4}{3}\) positiv und ungleich \(1\) ist, gilt \(\left(\frac{4}{3}\right)^y = 1\) genau für \(y = 0\). Daher folgt \(x - 2 = 0\). 7. Daraus ergibt sich die Lösung \(x = 2\).

\(x = 2\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus auf beide Seiten angewendet werden kann? - Denke an die Rechenregeln für Logarithmen, insbesondere für Produkte und Potenzen. - Wenn \(x\) in mehreren Termen vorkommt, wie kannst du diese Terme zusammenfassen? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen und \(x\) dann auszuklammern.

1. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(5^{x-1}) = \ln(2 \cdot 3^{x+1})\). 2. Anwendung der Logarithmusregeln für Produkte und Potenzen: \((x-1) \cdot \ln(5) = \ln(2) + (x+1) \cdot \ln(3)\). 3. Auflösen der Klammern: \(x \cdot \ln(5) - \ln(5) = \ln(2) + x \cdot \ln(3) + \ln(3)\). 4. Alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite und alle Konstanten auf die rechte Seite bringen: \(x \cdot \ln(5) - x \cdot \ln(3) = \ln(2) + \ln(3) + \ln(5)\). 5. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (\ln(5) - \ln(3)) = \ln(2 \cdot 3 \cdot 5)\). 6. Division zur Isolation von \(x\): \(x = \frac{\ln(30)}{\ln(\frac{5}{3})}\). 7. Numerische Berechnung: \(x \approx \frac{3{,}4012}{0{,}5108} \approx 6{,}6582\). 8. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(x \approx 6{,}66\).

\(x \approx 6{,}66\)

- Wenn \(x\) auf beiden Seiten im Exponenten steht, hilft es oft, die Potenzen mithilfe von Rechenregeln aufzuteilen (z. B. \(a^{b+c} = a^b \cdot a^c\)). - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Potenzen mit dem gleichen Exponenten wie \(a^x\) und \(b^x\) lassen sich zu \(\left(\frac{a}{b}\right)^x\) zusammenfassen. - Überlege, ob du Basen wie \(6^{2x}\) zu \((6^2)^x\) umschreiben kannst, um die Exponenten anzugleichen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(5 \cdot 2^x = 3^x \cdot 3^2\), also \(5 \cdot 2^x = 9 \cdot 3^x\). Sortieren der Terme führt zu \(\frac{2^x}{3^x} = \frac{9}{5}\), was \(\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1{,}8\) entspricht. Logarithmieren ergibt \(x = \frac{\lg(1{,}8)}{\lg\left(\frac{2}{3}\right)} \approx -1{,}45\). 2. Teilaufgabe b): Umformen der linken Seite ergibt \(\frac{6^{2x}}{6} = 12 \cdot 4^x\), also \(36^x = 72 \cdot 4^x\). Division durch \(4^x\) führt zu \(\frac{36^x}{4^x} = 72\), vereinfacht \(9^x = 72\). Die Anwendung des Logarithmus ergibt \(x = \frac{\lg(72)}{\lg(9)} \approx 1{,}95\).

a) \(x \approx -1{,}45\) b) \(x \approx 1{,}95\)

- Wenn die Unbekannte in mehreren Exponenten mit unterschiedlichen Basen vorkommt, hilft oft das Logarithmieren der gesamten Gleichung. - Verwende die Logarithmengesetze, um Produkte und Potenzen innerhalb des Logarithmus aufzuteilen. - Kannst du Terme wie \(2^x \cdot 5^x\) durch geschicktes Anwenden der Potenzgesetze vereinfachen? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.

1. Gleichung a: Logarithmieren beider Seiten ergibt \(x\lg(3) = \lg(2) + (x-1)\lg(5)\). Ausmultiplizieren und Sortieren nach \(x\) führt zu \(x(\lg(3) - \lg(5)) = \lg(2) - \lg(5)\). Division ergibt \(x = \frac{\lg(2) - \lg(5)}{\lg(3) - \lg(5)} = \frac{\lg(0{,}4)}{\lg(0{,}6)}\). Näherungswert: \(x \approx 1{,}79\). 2. Gleichung b: Division durch \(5\) und durch \(2^x\) führt auf die Form \(\frac{7}{5} = \frac{3^x}{2^x}\), also \(1{,}4 = 1{,}5^x\). Logarithmieren liefert \(x = \frac{\lg(1{,}4)}{\lg(1{,}5)}\). Näherungswert: \(x \approx 0{,}83\). 3. Gleichung c: Anwendung der Potenzgesetze links ergibt \(2 \cdot 2^x \cdot 5^x = 2 \cdot (2 \cdot 5)^x = 2 \cdot 10^x\). Die Gleichung lautet nun \(2 \cdot 10^x = 0{,}8 \cdot 10^{2x}\). Division durch \(0{,}8 \cdot 10^x\) ergibt \(2{,}5 = 10^x\). Somit ist \(x = \lg(2{,}5)\). Näherungswert: \(x \approx 0{,}40\).

a) \(x = \frac{\lg(0{,}4)}{\lg(0{,}6)} \approx 1{,}79\) b) \(x = \frac{\lg(1{,}4)}{\lg(1{,}5)} \approx 0{,}83\) c) \(x = \lg(2{,}5) \approx 0{,}40\)

- Wenn \(x\) auf beiden Seiten im Exponenten steht, kannst du durch Logarithmieren und anschließendes Ausmultiplizieren der Klammern alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen. - Erinnere dich daran, wie du mit einem Bruch im Exponenten rechnest. - Potenzgesetze wie \(a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\) können helfen, die Gleichung zu vereinfachen, bevor du den Logarithmus anwendest. - Überlege, ob du Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen kannst, indem du die Basis dividierst.

1. Gleichung a: Anwendung der Logarithmengesetze ergibt \(\ln(5) + x \cdot \ln(2) = (x+1) \cdot \ln(3)\). Ausmultiplizieren und Sortieren nach \(x\): \(x \cdot (\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(5)\). Es folgt \(x = \frac{\ln(3) - \ln(5)}{\ln(2) - \ln(3)} = \frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} \approx 1{,}26\). 2. Gleichung b: Logarithmieren ergibt \(\frac{1}{x} \cdot \ln(8) = \ln(2{,}4)\). Umstellen nach \(x\) liefert \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(2{,}4)} \approx 2{,}38\). 3. Gleichung c: Umformen zu \(2 \cdot 4^x = \frac{3}{5} \cdot 5^x\) und Division durch \(4^x\) sowie \(\frac{3}{5}\) ergibt \(\frac{10}{3} = (\frac{5}{4})^x\). Logarithmieren führt zu \(x = \frac{\ln\left(\frac{10}{3}\right)}{\ln(1{,}25)} \approx 5{,}40\).

a) \(x \approx 1{,}26\) b) \(x \approx 2{,}38\) c) \(x \approx 5{,}40\)