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- Für den Kosinus ist die horizontale Koordinate des Einheitskreispunkts entscheidend. - Verfolge den Punkt von \(0\) über eine Viertel- bis zu einer halben Umdrehung. - Übertrage jeweils nur die horizontale Koordinate als Funktionswert.

1. Die horizontalen Koordinaten der Einheitskreispunkte bei \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) und \(\pi\) sind \(1,0,-1\). 2. Diese Werte werden beim jeweiligen Winkel als \(y\)-Werte des Kosinusgraphen eingetragen. 3. Es entstehen die Punkte \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\) und \((\pi\mid-1)\).

\((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\), \((\pi\mid-1)\)

- Überlege dir, an welcher Achse der Einheitskreis gespiegelt wird, wenn der Kosinuswert gleich bleiben soll. - Nutze die Periodizität (\(\pm 360^\circ\)) oder die Symmetrie zur x-Achse (\(\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)\)). - Prüfe am Ende, ob dein gefundener Winkel im geforderten Bereich liegt.

1. Für den Kosinus gilt die Symmetrie \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\). 2. Zu a): \(\beta = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ\). Da \(230^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(130^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 3. Zu b): \(\beta = 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ\). Da \(50^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(310^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 4. Zu c): Zunächst ist \(\cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ)\). Da \(45^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(-45^\circ\) ist, ist \(\beta_1 = 45^\circ\) eine Lösung. Ebenso gilt \(\cos(-45^\circ) = \cos(315^\circ)\). Da \(-45^\circ\) nicht im Intervall liegt, sind hier sogar beide Werte (\(45^\circ\) und \(315^\circ\)) als Antwort für \(\beta\) möglich.

a) \(\beta = 230^\circ\) b) \(\beta = 50^\circ\) c) \(\beta = 45^\circ\) (oder \(\beta = 315^\circ\))

- Welche horizontale Koordinate hat ein Punkt auf dem Einheitskreis, wenn der Kosinus \(\frac{\sqrt2}{2}\) beträgt? - Suche zuerst den bekannten Winkel im ersten Quadranten. - Welcher zweite Punkt des Einheitskreises hat dieselbe horizontale Koordinate und ist an der \(x\)-Achse gespiegelt? - Prüfe, dass beide Winkel im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Der Standardwinkel im ersten Quadranten mit \(\cos(x)=\frac{\sqrt2}{2}\) ist \(x_1=\frac{\pi}{4}\). 2. Auf dem Einheitskreis haben die an der \(x\)-Achse gespiegelten Punkte dieselbe horizontale Koordinate. Daher liefert \(2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}\) die zweite Lösung.

\(x_1=\frac{\pi}{4}\) und \(x_2=\frac{7\pi}{4}\)

- Welche Werte liefert die Kosinusfunktion am Einheitskreis für die x-Koordinate? - Erinnere dich an den Verlauf des Graphen der Kosinusfunktion. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen den höchsten und tiefsten Punkten des Graphen und dem Wertebereich? - Wie oft erreicht die Funktion innerhalb einer vollen Periode ihren tiefsten Punkt?

1. Bestimmung der Extrema: Der größte Funktionswert (Maximum) der Kosinusfunktion ist \(1\), der kleinste Funktionswert (Minimum) ist \(-1\). 2. Angabe des Wertebereichs: Da die Funktion stetig zwischen diesen Werten schwankt, umfasst der Wertebereich alle reellen Zahlen von \(-1\) bis \(1\), also \(\mathbb{W} = [-1; 1]\). 3. Berechnung der Minimalstellen im Intervall \([0; 2\pi]\): Die Gleichung \(\cos(x) = -1\) wird im vorgegebenen Intervall nur für \(x = \pi\) gelöst.

a) Das Maximum ist \(1\), das Minimum ist \(-1\). b) \(\mathbb{W} = [-1; 1]\) c) \(x = \pi\)

- Wie oft wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion innerhalb einer vollen Periode? - In welchem regelmäßigen Abstand liegen alle Nullstellen der Funktion \(f(x) = \cos(x)\) auf der x-Achse? - Wenn du eine Stelle kennst, wie kannst du durch Addition oder Subtraktion eines bestimmten Wertes weitere Stellen finden?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) wiederholen sich periodisch im Abstand von \(\pi\). 2. Berechnung der drei größeren Stellen durch Addition von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\). 3. Berechnung der drei kleineren Stellen durch Subtraktion von Vielfachen von \(\pi\): \(\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) und \(\frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}\).

\(-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\)

- Zähle die Kästchen auf der \(x\)-Achse ab, um die \(x\)-Koordinate zu finden. Denke daran, dass jedes Kästchen für \(\frac{\pi}{6}\) steht. - Setze den gefundenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung \(f(x) = \cos(x)\) ein. - Überlege dir, welche markanten Werte der Kosinusfunktion du bereits kennst (z. B. für \(0\), \(\frac{\pi}{3}\) oder \(\frac{\pi}{2}\)).

1. Bestimmung der \(x\)-Werte durch Abzählen der Gittereinheiten, wobei eine Einheit \(\frac{\pi}{6}\) entspricht: - Punkt \(A\) liegt 3 Einheiten links vom Ursprung: \(x_A = -3 \cdot \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}\). - Punkt \(B\) liegt auf der \(y\)-Achse: \(x_B = 0\). - Punkt \(C\) liegt 2 Einheiten rechts vom Ursprung: \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). - Punkt \(D\) liegt 6 Einheiten rechts vom Ursprung: \(x_D = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi\). 2. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte mit \(f(x) = \cos(x)\): - \(y_A = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \implies A(-\frac{\pi}{2} \mid 0)\) - \(y_B = \cos(0) = 1 \implies B(0 \mid 1)\) - \(y_C = \cos(\frac{\pi}{3}) = 0{,}5 \implies C(\frac{\pi}{3} \mid 0{,}5)\) - \(y_D = \cos(\pi) = -1 \implies D(\pi \mid -1)\)

Die Koordinaten der Punkte sind \(A(-\frac{\pi}{2} \mid 0)\), \(B(0 \mid 1)\), \(C(\frac{\pi}{3} \mid 0{,}5)\) und \(D(\pi \mid -1)\).

- Bestimme zuerst die x-Koordinaten durch Abzählen der Kästchen. Eine Einheit ist hier \(\frac{\pi}{2}\). - Berechne dann den Funktionswert, indem du den x-Wert in die Formel einsetzt. Achte auf die Verschiebung um \(-1\) in y-Richtung. - Kontrolliere, ob deine Ergebnisse zum Verlauf des Graphen im Koordinatensystem passen.

1. Bestimmung der x-Werte anhand der Gittereinheiten (Schrittweite \(\frac{\pi}{2}\)): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_C = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\) - \(x_D = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi\) 2. Berechnung der y-Werte mit \(f(x) = \cos(x) - 1\): - \(y_A = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = \cos(\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1 \implies B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\) - \(y_C = \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 = -2 \implies C(\pi \mid -2)\) - \(y_D = \cos(2\pi) - 1 = 1 - 1 = 0 \implies D(2\pi \mid 0)\)

\(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{2} \mid -1)\), \(C(\pi \mid -2)\) und \(D(2\pi \mid 0)\).

- Beginne beim Kosinus mit der horizontalen Koordinate des Einheitskreispunkts bei \(x=0\). - Vergleiche die Lage von Hochpunkten und Nullstellen des gesuchten Kosinusgraphen mit denen des gezeigten Sinusgraphen. - Vergleiche mögliche Verschiebungen und wähle diejenige mit dem kleinsten Betrag.

1. Die Kosinuswerte an den fünf Stellen sind \(1,0,-1,0,1\). Damit lauten die charakteristischen Punkte \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\), \((\pi\mid-1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid0\right)\) und \((2\pi\mid1)\). 2. Der Kosinusgraph hat dieselbe Form und Periode wie der Sinusgraph. Die Verschiebung mit kleinstmöglichem Betrag ist \(\frac{\pi}{2}\) nach links. 3. Daher gilt \(\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\).

a) \((0\mid1)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid0\right)\), \((\pi\mid-1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid0\right)\), \((2\pi\mid1)\) b) Kleinstmöglicher Verschiebungsbetrag: \(\frac{\pi}{2}\) nach links; \(\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)

- Überlege dir, an welcher Stelle (x-Koordinate oder y-Koordinate) man den Kosinuswert am Einheitskreis abliest. - Skizziere die Lage der Winkel im Einheitskreis. In welchen Quadranten ist der Kosinus negativ, in welchen positiv? - Erinnere dich an markante Werte wie \(0\), \(1\) und \(-1\). - Je weiter links ein Punkt auf dem Einheitskreis liegt, desto kleiner ist sein Kosinuswert.

1. Berechnung oder Bestimmung der Kosinuswerte für die gegebenen Winkel im Einheitskreis: \(\cos(180^\circ) = -1\) \(\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\) \(\cos(270^\circ) = 0\) \(\cos(300^\circ) = 0{,}5\) \(\cos(20^\circ) \approx 0{,}940\) 2. Sortieren der Werte in aufsteigender Folge: \(-1 < -0{,}866 < -0{,}5 < 0 < 0{,}5 < 0{,}940\). 3. Zuordnung der Buchstaben: \(180^\circ\) (P), \(210^\circ\) (R), \(120^\circ\) (I), \(270^\circ\) (S), \(300^\circ\) (M), \(20^\circ\) (A).

Das Lösungswort lautet PRISMA.

- Nutze die Symmetrien am Einheitskreis (z. B. \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) oder \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)\)). - In welchem Quadranten ist der Kosinuswert positiv, in welchem negativ? - Vergleiche die Abstände der Winkel zu den Achsen oder zu den Werten \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\). - Ein Winkel, der näher an der x-Achse liegt (\(0^\circ\) oder \(180^\circ\)), hat einen größeren Betrag des Kosinuswerts.

1. Analyse der Quadranten: \(40^\circ\) liegt im I. Quadranten (\(\cos > 0\)), \(130^\circ\) im II. Quadranten (\(\cos < 0\)), \(220^\circ\) im III. Quadranten (\(\cos < 0\)) und \(310^\circ\) im IV. Quadranten (\(\cos > 0\)). 2. Vergleich der Beträge: \(40^\circ\) und \(220^\circ\) (da \(220^\circ = 180^\circ + 40^\circ\)) haben denselben Betrag des Kosinus, nämlich \(|\cos(40^\circ)| = |\cos(220^\circ)|\). Da \(\cos(40^\circ) > 0\) und \(\cos(220^\circ) < 0\), folgt \(\cos(40^\circ) = 0{,}77\) und \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\). 3. Entsprechend für \(130^\circ\) und \(310^\circ\): Es gilt \(130^\circ = 180^\circ - 50^\circ\) und \(310^\circ = 360^\circ - 50^\circ\). Beide haben den Betrag \(|\cos(50^\circ)|\). Da \(\cos(310^\circ) > 0\) und \(\cos(130^\circ) < 0\), folgt \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\) und \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\).

\(\cos(40^\circ) = 0{,}77\); \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\); \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\); \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\)

- Bestimme zuerst, welcher Winkel im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) denselben Kosinuswert hat wie \(\alpha\). - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis oder am Graphen der Kosinusfunktion. - Es werden alle Winkel im Intervall gesucht, also achte darauf, keinen zu vergessen.

1. Reduktion auf das Grundintervall mittels Periodizität: \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)\). 2. Zu a): \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ\). Somit ist \(x_1 = 140^\circ\) die erste Lösung im Intervall. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Symmetrie \(\cos(x) = \cos(360^\circ - x)\) zu \(x_2 = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). 3. Zu b): \(-70^\circ + 360^\circ = 290^\circ\). Somit ist \(x_1 = 290^\circ\) eine Lösung im Intervall. Wegen \(\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)\) ist \(x_2 = 70^\circ\) die zweite Lösung im Intervall.

a) \(x \in \{140^\circ; 220^\circ\}\) b) \(x \in \{70^\circ; 290^\circ\}\)

- Welchen Wert liefert die Umkehrfunktion des Kosinus für eine negative Zahl? - Skizziere den Kosinusgraphen oder den Einheitskreis. Wo liegt der zweite Winkel mit derselben \(x\)-Koordinate? - Nutze die Periodizität oder die Achsensymmetrie zur \(x\)-Achse im Einheitskreis, um den zweiten Wert zu berechnen. - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Bestimmung des ersten Wertes mit der Arkuskosinus-Funktion: \(x_1 = \arccos(-0{,}65) \approx 2{,}2783807635\). 2. Wegen \(\cos(x)=\cos(2\pi-x)\) ist die zweite Lösung im Intervall \([0;2\pi)\): \(x_2 = 2\pi-x_1 \approx 4{,}0048045437\). 3. Auf zwei Dezimalstellen gerundet erhält man \(x_1 \approx 2{,}28\) und \(x_2 \approx 4{,}00\).

\(x_1 \approx 2{,}28\); \(x_2 \approx 4{,}00\)

- Stelle dir den Graphen der Funktion vor und zeichne eine horizontale Linie beim gesuchten Wert ein. Wo schneiden sie sich? - Beachte, dass bei Extremwerten wie \(1\) oder \(-1\) innerhalb eines Intervalls von \(2\pi\) oft nur eine Lösung existiert. - Nutze die Periodizität und Symmetrieeigenschaften (\(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) und \(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um weitere Lösungen zu finden. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „Bogenmaß“ (RAD) eingestellt ist.

1. Für \(\cos(x) = -0{,}5\): Der Arkuskosinus liefert \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\). Die zweite Lösung im Intervall liegt symmetrisch zu \(2\pi\), also \(x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\). 2. Für \(\sin(x) = 1\): Im Intervall \([0; 2\pi)\) erreicht die Sinusfunktion ihren Maximalwert nur an einer Stelle, nämlich bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\). 3. Für \(\cos(x) = 0{,}25\): Der Taschenrechner liefert \(x_1 = \arccos(0{,}25) \approx 1{,}318\). Die zweite Lösung ergibt sich durch \(x_2 = 2\pi - 1{,}318 \approx 4{,}965\).

a) \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\); \(x_2 = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\) b) \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\) c) \(x_1 \approx 1{,}318\); \(x_2 \approx 4{,}965\)

- Erinnere dich an die Definition von geraden Funktionen. Was bedeutet das für die Spiegelung an der \(y\)-Achse? - Wo erreicht die Kosinusfunktion ihre Extremwerte? Jede dieser Stellen markiert eine Symmetrieachse. - Suche die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet, um die Symmetriezentren zu finden. - Beachte die Grenzen der angegebenen Intervalle genau.

1. Nachweis der Achsensymmetrie: Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet \(g(-x) = g(x)\). Für die Kosinusfunktion gilt die Identität \(\cos(-x) = \cos(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), womit die Symmetrie zur Geraden \(x = 0\) (der \(y\)-Achse) nachgewiesen ist. 2. Bestimmung der Symmetrieachsen: Die Kosinusfunktion besitzt Symmetrieachsen an allen Stellen, an denen ein Maximum oder Minimum vorliegt. Dies ist bei \(x = k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\) der Fall. Im Intervall \([0; 3\pi]\) sind dies die Geraden \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = 2\pi\) und \(x = 3\pi\). 3. Bestimmung der Symmetriezentren: Die Symmetriezentren der Kosinusfunktion liegen in ihren Nullstellen auf der \(x\)-Achse, also bei \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Punkte \((\frac{\pi}{2}\mid 0)\) (für \(k=0\)) und \((\frac{3\pi}{2}\mid 0)\) (für \(k=1\)).

a) Es gilt \(g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x)\), daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = 2\pi\) und \(x = 3\pi\). c) \(S_1(\frac{\pi}{2}\mid 0)\) und \(S_2(\frac{3\pi}{2}\mid 0)\).

- Erinnere dich an die Standardwerte für Sinus und Kosinus (z. B. für \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)). - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Skizziere dir den Einheitskreis, um die Lage der Winkel zu veranschaulichen.

1. Bestimmung des Grundwertes im zweiten Quadranten: Da \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ist, folgt aus der Symmetrie \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)\) die erste Lösung \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4}\pi\). 2. Nutzung der Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der x-Achse (\(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um die zweite Lösung im Intervall zu finden: \(x_2 = 2\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi\).

\(x_1 = \frac{3}{4}\pi\); \(x_2 = \frac{5}{4}\pi\)

- Ordne jeden Winkel zunächst einer Position auf dem Einheitskreis zu. - Der Kosinus ist die horizontale Koordinate des zugehörigen Punktes. - Vergleiche die exakten Werte, bevor du die Buchstaben abliest. - Achte darauf, dass aufsteigend vom kleinsten zum größten Kosinuswert bedeutet.

1. Am Einheitskreis gelten \(\cos(\pi)=-1\), \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12\), \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\cos(0)=1\). 2. Damit ist \(-1<-\frac{\sqrt3}{2}<-\frac12<\frac{\sqrt2}{2}<1\). 3. Die zugehörigen Buchstaben lauten S, T, E, R, N und ergeben „STERN“.

Aufsteigend: \(\cos(\pi)=-1<\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}<\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12<\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}<\cos(0)=1\). Lösungswort: STERN

- Versuche zuerst, die Gleichung so umzustellen, dass \(\cos(x)\) alleine auf einer Seite steht. - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Bestimme zuerst den Winkel im ersten Quadranten, dessen Kosinus \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, und spiegele diesen dann in die entsprechenden Quadranten. - Überlege dir, wie man von einem Winkel im ersten Quadranten auf die zugehörigen Winkel im zweiten und dritten Quadranten schließt.

1. Isolieren des Kosinus-Ausdrucks durch Subtraktion von \(\sqrt{3}\) und Division durch \(2\): \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Bestimmung des Referenzwinkels \(\alpha\) im ersten Quadranten für den Betrag \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\alpha = \frac{\pi}{6}\). 3. Da der Kosinuswert negativ ist, müssen die Lösungen im zweiten und dritten Quadranten liegen. 4. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\)

- Erinnere dich an den Verlauf der Kosinuskurve. Wo liegen die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse in der Nähe des Ursprungs? - Was passiert mit dem gesamten Graphen, wenn man vom Funktionsterm eine konstante Zahl subtrahiert? - Wie ändern sich die höchste und die tiefste Stelle des Graphen durch eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion \(\cos(x)\) liegen im Intervall \([-\pi; \pi]\) dort, wo die Kurve die \(x\)-Achse schneidet. Dies ist bei \(x_1 = -\frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) der Fall. 2. Der Wertebereich der Funktion \(g(x) = \cos(x)\) ist \([-1; 1]\). Die Funktion \(h(x) = \cos(x) - 1\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach unten. Die neuen Grenzen des Wertebereichs berechnen sich aus \(-1 - 1 = -2\) für das Minimum und \(1 - 1 = 0\) für das Maximum. Der Wertebereich ist somit \(W = [-2; 0]\).

a) \(x_1 = -\frac{\pi}{2}\); \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) b) \(W = [-2; 0]\)

- Wann ist am Einheitskreis die x-Koordinate gleich Null? - In welchen Abständen wiederholen sich die Nullstellen bei einer Kosinusfunktion? - Überprüfe systematisch, welche Werte der Form \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) in das gesuchte Intervall fallen. - Achte darauf, sowohl positive als auch negative Vielfache der Periodizität zu betrachten.

1. Identifikation der Basisnullstellen: Im Intervall \([0; 2\pi]\) schneidet der Graph der Kosinusfunktion die x-Achse bei \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\). 2. Anwendung der Periodizität: Weitere Nullstellen ergeben sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen der Periodenlänge \(2\pi\) oder durch das Wissen, dass Nullstellen alle \(\pi\) auftreten (\(x_k = \frac{\pi}{2} + k\pi\)). 3. Prüfung des Intervalls \([-2\pi; 3\pi]\): Für \(k = -2\): \(x = -1{,}5\pi = -\frac{3\pi}{2}\) Für \(k = -1\): \(x = -0{,}5\pi = -\frac{\pi}{2}\) Für \(k = 0\): \(x = 0{,}5\pi = \frac{\pi}{2}\) Für \(k = 1\): \(x = 1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}\) Für \(k = 2\): \(x = 2{,}5\pi = \frac{5\pi}{2}\) 4. Zählung: Es liegen insgesamt \(5\) Nullstellen in diesem Intervall.

a) \(x = \frac{\pi}{2}\) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) b) \(x \in \{-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) c) Es sind \(5\) Nullstellen.

- Wie lautet die erste positive Nullstelle der Kosinusfunktion? - Wie weit liegen benachbarte Nullstellen auseinander? - Nutze die Periodizität oder die allgemeine Bildungsforschrift für die Nullstellen. - Was muss gelten, damit ein Wert in der Form \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) geschrieben werden kann?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion sind gegeben durch \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Um Nullstellen größer als \(2\pi\) (entspricht \(\frac{4}{2}\pi\)) zu finden, wählt man z. B. \(k = 2, 3, 4, 5, 6\). Dies ergibt: \(\frac{5}{2}\pi, \frac{7}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi, \frac{11}{2}\pi, \frac{13}{2}\pi\). 3. Zur Prüfung von \(x = -\frac{7}{2}\pi\) setzt man den Wert in die allgemeine Form ein: \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi + k\pi\). Subtraktion von \(\frac{1}{2}\pi\) führt zu \(-4\pi = k\pi\), also \(k = -4\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl ist, ist \(x = -\frac{7}{2}\pi\) eine Nullstelle. Alternativ zeigt die Periodizität: \(\cos(-3{,}5\pi) = \cos(-3{,}5\pi + 4\pi) = \cos(0{,}5\pi) = 0\).

a) z. B. \(\frac{5}{2}\pi; \frac{7}{2}\pi; \frac{9}{2}\pi; \frac{11}{2}\pi; \frac{13}{2}\pi\) b) Ja, es ist eine Nullstelle, da \(-\frac{7}{2}\pi = \frac{\pi}{2} - 4\pi\) gilt.

- In welchem Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) werden die \(x\)-Koordinaten auf dem Einheitskreis kleiner, wenn der Winkel größer wird? - Überlege, bei welchen Winkeln der Kosinus seinen maximalen und seinen minimalen Wert annimmt. - Was bedeutet „streng monoton fallend“ für den Vergleich von zwei Werten? - In welches der in a) gefundenen Intervalle fallen die Werte \(110^\circ\) und \(160^\circ\)?

1. Analyse des Verlaufs der Kosinusfunktion: Im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\) startet die Funktion bei \(1\) (\(x = 0^\circ\)), sinkt bis auf \(-1\) (\(x = 180^\circ\)) und steigt danach wieder auf \(1\) (\(x = 360^\circ\)). Somit ist sie in \([0^\circ; 180^\circ]\) streng monoton fallend und in \([180^\circ; 360^\circ]\) streng monoton steigend. 2. Anwendung auf den Vergleich: Die Winkel \(110^\circ\) und \(160^\circ\) liegen beide im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\). Da die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend ist, führt ein größerer Eingabewert zu einem kleineren Funktionswert. Wegen \(110^\circ < 160^\circ\) folgt daraus \(\cos(110^\circ) > \cos(160^\circ)\). Die Aussage ist wahr.

a) Streng monoton fallend im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\); streng monoton steigend im Intervall \([180^\circ; 360^\circ]\). b) Die Aussage ist wahr. Da beide Winkel im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\) liegen, in dem die Kosinusfunktion streng monoton fällt, gilt für \(110^\circ < 160^\circ\), dass \(\cos(110^\circ) > \cos(160^\circ)\).

- Bestimme zuerst die beiden Lösungen innerhalb einer vollständigen Umdrehung. - Auf dem Einheitskreis haben an der \(x\)-Achse gespiegelte Punkte denselben Kosinuswert. - Nutze anschließend die Periodenlänge \(360^\circ\), um passende coterminale Winkel im Zielintervall zu finden. - Prüfe die Intervallgrenzen, damit keine weitere Verschiebung übersehen wird.

1. Im Standardintervall \([0^\circ;360^\circ]\) ist eine Lösung \(\alpha_1=\arccos(-0{,}75)\approx138{,}59^\circ\). 2. Der zweite zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis ist die Spiegelung an der \(x\)-Achse und hat dieselbe horizontale Koordinate. Daher ist \(\alpha_2=360^\circ-138{,}59^\circ\approx221{,}41^\circ\). 3. Verschiebe beide Basislösungen um ganzzahlige Vielfache von \(360^\circ\). Für \(138{,}59^\circ\) liegt nur \(138{,}59^\circ+720^\circ\approx858{,}59^\circ\) im Zielintervall. 4. Für \(221{,}41^\circ\) liegt nur \(221{,}41^\circ+360^\circ\approx581{,}41^\circ\) im Zielintervall.

\(\alpha\approx581{,}41^\circ\) oder \(\alpha\approx858{,}59^\circ\)

- Welchen Wertebereich hat die Kosinusfunktion? - Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion zwischen \(0\) und \(2\pi\). Wo liegen die Höchst- und Tiefpunkte? - Denke an die Symmetrie des Graphen innerhalb einer Periode. - Achte darauf, dass das Intervall \([0; 2\pi]\) beide Endpunkte einschließt.

1. Analyse des Wertebereichs der Kosinusfunktion: Da \(-1 \le \cos(x) \le 1\), gibt es für \(|k| > 1\) keine Lösungen (Anzahl 0). 2. Untersuchung des Minimums: Der Wert \(-1\) wird im Intervall \([0; 2\pi]\) nur an der Stelle \(x = \pi\) erreicht (Anzahl 1). 3. Untersuchung der Zwischenwerte: Für alle \(k \in (-1; 1)\) gibt es aufgrund der Achsensymmetrie zur Geraden \(x = \pi\) innerhalb einer Periode genau zwei Stellen mit demselben Kosinuswert (Anzahl 2). 4. Untersuchung des Maximums: Der Wert \(1\) wird an den Intervallgrenzen \(x = 0\) und \(x = 2\pi\) erreicht (Anzahl 2).

1. Anzahl: 0 2. Anzahl: 1; Lösung: \(x = \pi\) 3. Anzahl: 2 4. Anzahl: 2; Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\pi\)

- Isoliere zuerst den Kosinusausdruck auf einer Seite der Gleichung. - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Wie hängen die Lösungen im positiven Bereich mit denen im negativen Bereich aufgrund der Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zusammen? - Stelle sicher, dass alle deine gefundenen Werte innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Division der Gleichung durch \(2\) ergibt \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}\). 2. Bestimmung der Basislösungen im Standardintervall \([0; 2\pi]\): Da \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist, liegen die Lösungen für den negativen Wert im zweiten und dritten Quadranten: \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) und \(x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\). 3. Bestimmung der Lösungen im negativen Teil des Intervalls \([-2\pi; 0]\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_3 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}\) und \(x_4 = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\). 4. Die Lösungsmenge umfasst alle vier gefundenen Werte im Bereich \([-2\pi; 2\pi]\).

\(L = \{ -\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} \}\)

- Überprüfe den y-Wert an der Stelle \(x = 0\), um zu entscheiden, ob es sich um eine Sinus- oder Kosinusform handelt. - Bestimme den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten für die Periode. - Setze die abgelesenen Werte in die allgemeine Form der Kosinusfunktion ein.

1. Amplitude \(a\) bestimmen: Der Graph hat seine Maxima bei \(0{,}5\) und Minima bei \(-0{,}5\). Daher ist \(a = 0{,}5\). 2. Periode \(T\) bestimmen: Der Graph beginnt bei einem Maximum (bei \(x=0\)) und erreicht das nächste Maximum bei \(x = \pi\). Daher gilt \(T = \pi\). 3. Parameter \(b\) berechnen: Mit der Formel \(b = \frac{2\pi}{T}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{\pi} = 2\). 4. Funktionsgleichung: Die gesuchte Gleichung lautet \(g(x) = 0{,}5\cos(2x)\).

\(g(x) = 0{,}5\cos(2x)\)

- Was passiert mit der Periodenlänge, wenn der Winkel mit einem Faktor kleiner als 1 multipliziert wird? - Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis oder am Graphen. - Es hilft oft, zuerst die Lösungen für einen einfachen Platzhalter (z. B. \(x\)) zu finden und erst danach nach \(\alpha\) aufzulösen. - Prüfe am Ende systematisch, welche der berechneten Werte noch innerhalb der Grenzen \(-360^\circ\) und \(720^\circ\) liegen.

1. Bestimmung der Basislösungen für das Argument \(x = 0{,}5\alpha\): \(\cos(x) = -0{,}5\) ergibt \(x_1 = 120^\circ\) und \(x_2 = 240^\circ\) (oder \(x_2 = -120^\circ\)). 2. Berechnung der entsprechenden Winkel für \(\alpha\): \(\alpha_1 = 2 \cdot 120^\circ = 240^\circ\) und \(\alpha_2 = 2 \cdot 240^\circ = 480^\circ\). 3. Bestimmung der kleinsten Periode der Funktion \(f(\alpha) = \cos(0{,}5\alpha)\): \(p = \frac{360^\circ}{0{,}5} = 720^\circ\). 4. Überprüfung weiterer Lösungen durch Addition/Subtraktion der Periode \(720^\circ\): \(\alpha_1 - 720^\circ = -480^\circ\) (außerhalb), \(\alpha_2 - 720^\circ = -240^\circ\) (innerhalb). \(\alpha_1 + 720^\circ = 960^\circ\) (außerhalb). 5. Zusammenfassung der Lösungen im Intervall \([-360^\circ; 720^\circ]\): \(-240^\circ\), \(240^\circ\) und \(480^\circ\).

\(\alpha \in \{-240^\circ; 240^\circ; 480^\circ\}\)

- Isoliere zuerst den Kosinus-Ausdruck auf einer Seite der Gleichung. - Wie hängen zwei Lösungen der Kosinusfunktion innerhalb einer Periode zusammen? - Wie groß ist die Periode der Kosinusfunktion? - Überlege dir, wie viele Perioden in das Intervall von \(-2\pi\) bis \(4\pi\) passen.

1. Umformen der Gleichung zu \(\cos(x) = 0{,}6\). 2. Berechnung des ersten Wertes: \(x_1 = \arccos(0{,}6) \approx 0{,}93\). 3. Bestimmung des zweiten Wertes in der ersten Periode durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 0{,}9273 \approx 5{,}36\). Damit ist Teil a) gelöst. 4. Erweiterung auf das Intervall \([-2\pi; 4\pi]\) durch Addition/Subtraktion von \(2\pi \approx 6{,}28\). 5. Für \(k = -1\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}36\) und \(x_2 - 2\pi \approx -0{,}93\). 6. Für \(k = 1\): \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}21\) und \(x_2 + 2\pi \approx 11{,}64\). 7. Alle berechneten Werte (\(-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\)) liegen im Intervall \([-6{,}28; 12{,}57]\).

a) \(L = \{0{,}93; 5{,}36\}\) b) \(L = \{-5{,}36; -0{,}93; 0{,}93; 5{,}36; 7{,}21; 11{,}64\}\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion an der \(y\)-Achse. Was bedeutet das für das Vorzeichen deiner Lösungen? - Wie groß ist die Periodenlänge der Kosinusfunktion? - Es hilft, sich den Graphen der Funktion grob zu skizzieren, um die Anzahl der erwarteten Schnittpunkte im Intervall zu sehen. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert): \(x_1 = \arccos(-0{,}2) \approx 1{,}772\). 2. Nutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion (\(\cos(x) = \cos(-x)\)): \(x_2 = -x_1 \approx -1{,}772\). 3. Bestimmung weiterer Lösungen durch Periodizität (\(\pm 2\pi\)): - \(x_1 - 2\pi \approx 1{,}772 - 6{,}283 = -4{,}511\) - \(x_2 + 2\pi \approx -1{,}772 + 6{,}283 = 4{,}511\) 4. Prüfung der Intervallgrenzen (\(-2\pi \approx -6{,}283\) bis \(2\pi \approx 6{,}283\)): Alle vier gefundenen Werte liegen im Bereich. Weitere Vielfache von \(2\pi\) führen aus dem Intervall heraus.

\(x \in \{-4{,}511; -1{,}772; 1{,}772; 4{,}511\}\)