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- Fasse die beiden Halbkugeln zunächst zu einem bekannten Körper zusammen. - Überlege anschließend, ob dieser Körper zum Zylinder hinzugefügt oder von ihm entfernt wird. - Gesucht ist nur das Volumenmodell, nicht ein Zahlenwert.

1. Die zwei Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel. 2. Diese Kugel und der Zylinder bilden den Körper ohne Überlappung. 3. Daher ist A richtig: \(V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kugel}}\).

A: \(V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kugel}}\)

- Welcher der beiden Zylinder beschreibt den ursprünglichen massiven Körper? - Was geschieht mit dem Material des inneren Zylinders? - Gesucht ist nur die passende Rechenoperation.

1. Der innere Zylinder beschreibt das entfernte Material. 2. Deshalb wird sein Volumen vom Volumen des äußeren Zylinders abgezogen. 3. Richtig ist B: \(V=V_{\text{außen}}-V_{\text{innen}}\).

B: \(V=V_{\text{außen}}-V_{\text{innen}}\)

- Welche Formel benötigst du, um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu berechnen? - Bestimme zuerst die Flächeninhalte der beiden rechteckigen Flächen. - Achte darauf, alle gegebenen Größen in die Formel einzusetzen. - Was ergibt die Wurzel aus dem Produkt der beiden Grundflächen?

1. Berechnung der Flächeninhalte von Grund- und Deckfläche: \(G_1 = a_1 \cdot b_1 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 8{,}0\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\) und \(G_2 = a_2 \cdot b_2 = 5{,}0\,\text{cm} \cdot 3{,}2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 2. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 3. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{9{,}0}{3} \cdot (100 + \sqrt{100 \cdot 16} + 16) = 3 \cdot (100 + 40 + 16) = 3 \cdot 156 = 468\). Das Volumen beträgt \(468\,\text{cm}^3\).

\(V = 468\,\text{cm}^3\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines nach oben offenen Gefäßes zusammen? - Welche Radien sind für die Mantelfläche und welche für den Boden relevant? - Achte darauf, welche Formel für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes gilt.

1. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\): \(M = \pi \cdot (15\,\text{cm} + 9\,\text{cm}) \cdot 10\,\text{cm} = 240 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Bodenfläche \(G\) (kleinerer Kreis): \(G = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 = 81 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 254{,}47\,\text{cm}^2\). 3. Addition beider Teilflächen zur Gesamtfläche \(A\): \(A = 240 \cdot \pi + 81 \cdot \pi = 321 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 1008{,}45\,\text{cm}^2\).

Die Außenfläche des Übertopfes beträgt ca. \(1008{,}45\,\text{cm}^2\).

- Welche Maße gehören im Axialschnitt zum zylindrischen Unterbau und welche zum Dach? - Welche Grundkreisgröße teilen sich beide Teilkörper? - Berechne die beiden Teilvolumina getrennt und addiere sie erst danach. - Runde erst das Gesamtvolumen.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=3\,\text{m}\), \(h_{\text{Zylinder}}=10\,\text{m}\) und \(h_{\text{Kegel}}=4\,\text{m}\) ab. 2. Das Zylindervolumen ist \(V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot3^2\cdot10\,\text{m}^3=90\pi\,\text{m}^3\). 3. Das Kegelvolumen ist \(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot4\,\text{m}^3=12\pi\,\text{m}^3\). 4. Insgesamt gilt \(V=102\pi\,\text{m}^3\approx320{,}4\,\text{m}^3\).

Das Gesamtvolumen des Turms beträgt ungefähr \(320{,}4\,\text{m}^3\).

- Lies Länge, Breite und Dicke der ungebohrten Platte aus Bild a) ab. - Welche Beziehung besteht zwischen dem gegebenen Bohrungsdurchmesser und dem benötigten Zylinderradius? - Das verbleibende Volumen ist die Differenz aus Plattenvolumen und Bohrungsvolumen.

1. Aus Bild a) liest man \(15\,\text{cm}\times15\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V_{\text{Platte}}=15\cdot15\cdot4\,\text{cm}^3=900\,\text{cm}^3\). 2. Aus dem Bohrungsdurchmesser folgt \(r=3\,\text{cm}\). Die Bohrung hat die Höhe \(4\,\text{cm}\), also \(V_{\text{Bohrung}}=\pi\cdot3^2\cdot4\,\text{cm}^3=36\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Restvolumen ist \(V_{\text{Rest}}=900\,\text{cm}^3-36\pi\,\text{cm}^3\approx786{,}90\,\text{cm}^3\).

Das verbleibende Metallvolumen beträgt ungefähr \(786{,}90\,\text{cm}^3\).

- Frage bei jedem Körper zuerst, ob Material hinzugefügt wurde oder fehlt. - Prüfe, ob sich Teilkörper überschneiden oder nur an einer Fläche berühren. - Bei einem Prisma kann es einfacher sein, zuerst die Stirnfläche zu modellieren und erst danach die Länge einzubeziehen.

1. Beim Metallblock fehlt Material. Eine zweckmäßige Modellierung ist daher „großer Quader minus Öffnung“: \(V_a=10\cdot6\cdot4-3\cdot2\cdot4\,\text{cm}^3\). 2. Beim Turm liegen zwei Teilkörper ohne Volumenüberschneidung aufeinander. Man addiert: \(V_b=\pi\cdot3^2\cdot8+\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot2\,\text{m}^3\). 3. Beim Prisma ist es günstig, zuerst den Flächeninhalt des L-förmigen Profils als Rechteck minus Ausschnitt zu beschreiben und danach zu extrudieren: \(V_c=(7\cdot5-3\cdot2)\cdot12\,\text{cm}^3\).

a) Subtraktion: \(V_a=10\cdot6\cdot4-3\cdot2\cdot4\,\text{cm}^3\) b) Addition: \(V_b=\pi\cdot3^2\cdot8+\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot2\,\text{m}^3\) c) Profil zuerst modellieren: \(V_c=(7\cdot5-3\cdot2)\cdot12\,\text{cm}^3\)

- Welche zwei Volumenkörper bilden den Spielstein? - Welcher Anteil einer ganzen Kugel ist die obere Kappe? - Prüfe, ob die gemeinsame Kreisfläche beim Addieren ein zusätzliches Volumen erzeugt.

1. Das Zylindervolumen ist \(V_Z=\pi\cdot3^2\cdot8\,\text{cm}^3=72\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das Volumen der Halbkugel ist die Hälfte des Kugelvolumens: \(V_H=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot3^3\,\text{cm}^3=18\pi\,\text{cm}^3\). 3. Die beiden Teilkörper überlappen sich nur an ihrer gemeinsamen Kreisfläche, die kein Volumen besitzt. Daher ist \(V=72\pi\,\text{cm}^3+18\pi\,\text{cm}^3=90\pi\,\text{cm}^3\approx282{,}7\,\text{cm}^3\).

\(V=90\pi\,\text{cm}^3\approx282{,}7\,\text{cm}^3\)

- Bestimme aus Durchmesser und Wandstärke zuerst Außen- und Innenradius. - Welcher Teil der äußeren Kugel ist tatsächlich Material? - Führe die Subtraktion möglichst lange exakt durch und runde erst am Ende.

1. Aus dem Außendurchmesser folgt der Außenradius \(R=5\,\text{cm}\). Wegen der Wandstärke \(1\,\text{cm}\) ist der Innenradius \(r=4\,\text{cm}\). 2. Das Metallvolumen ist die Differenz aus äußerem und innerem Kugelvolumen: \(V=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3\). 3. Damit ist \(V=\frac{4}{3}\pi(5^3-4^3)\,\text{cm}^3=\frac{244}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx255{,}5\,\text{cm}^3\).

\(V=\frac{244}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx255{,}5\,\text{cm}^3\)

- Welche Formel für das Volumen eines Körpers mit zwei parallelen Flächen kennst du? - Achte darauf, zuerst die Flächeninhalte der beiden Rechtecke zu bestimmen. - Überlege dir, wie man von Kubikzentimetern in Liter umrechnet. - Was bedeutet der Begriff „vertikale Höhe“ in Bezug auf die Formel?

1. Berechnung der Flächeninhalte der beiden rechteckigen Grundflächen: \(G_1 = a_1 \cdot b_1 = 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\) und \(G_2 = a_2 \cdot b_2 = 60\,\text{cm} \cdot 45\,\text{cm} = 2700\,\text{cm}^2\). 2. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 3. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{50}{3} \cdot (1200 + \sqrt{1200 \cdot 2700} + 2700)\). 4. Berechnung des Terms unter der Wurzel: \(\sqrt{3\,240\,000} = 1800\). 5. Berechnung des Klammerausdrucks: \(1200 + 1800 + 2700 = 5700\). 6. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = \frac{50}{3} \cdot 5700 = 50 \cdot 1900 = 95\,000\,\text{cm}^3\). 7. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\), ergibt sich ein Volumen von \(95\,\text{l}\).

In den Pflanzkübel passen \(95\,\text{l}\) Erde.

- Welche geometrische Strecke beschreibt die angegebene Stumpfhöhe nach dem Ergänzen zur ganzen Pyramide? - Übertrage den Längenmaßstab der ähnlichen Grund- und Deckrechtecke auf die Pyramidenhöhen. - Formuliere die Stumpfhöhe als Differenz der beiden Pyramidenhöhen.

1. Die Stumpfhöhe \(4{,}5\,\text{cm}\) ist nicht die Höhe der ergänzten großen Pyramide, sondern die Differenz aus großer und kleiner Pyramidenhöhe. 2. Die Deckfläche ist in jeder Länge halb so groß wie die Grundfläche. Die ähnlichen Pyramiden haben daher das Höhenverhältnis \(1{:}2\). 3. Sei \(x\) die Höhe der kleinen Pyramide. Dann hat die große Pyramide die Höhe \(2x\), und \(2x-x=4{,}5\,\text{cm}\). Somit ist \(x=4{,}5\,\text{cm}\) und die große Höhe \(9\,\text{cm}\). 4. Die Grundflächeninhalte sind \(48\,\text{cm}^2\) und \(12\,\text{cm}^2\). 5. Daher ist \(V=\frac{1}{3}\cdot48\cdot9-\frac{1}{3}\cdot12\cdot4{,}5\,\text{cm}^3=126\,\text{cm}^3\).

Der Fehler besteht darin, die Stumpfhöhe mit der Höhe der großen Pyramide gleichzusetzen. Das richtige Volumen beträgt \(126\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche die beiden quadratischen Kantenlängen und bestimme daraus den Ähnlichkeitsfaktor. - Wie hängen die Höhen der kleinen und der ergänzten großen Pyramide zusammen? - Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina.

1. Die obere Kante ist halb so lang wie die untere. Die abgeschnittene kleine Pyramide ist daher zur ergänzten großen Pyramide im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. 2. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so hat die große die Höhe \(2x\). Die Stumpfhöhe ist damit \(h=2x-x=x\). 3. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der Pyramidenvolumina: \(700=\frac{1}{3}\cdot 10^2\cdot 2h-\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot h\). 4. Daraus folgt \(700=\frac{175}{3}h\) und somit \(h=12\,\text{cm}\).

Die Höhe des Pyramidenstumpfes beträgt \(12\,\text{cm}\).

- Welchen Anteil der ursprünglichen Höhe hat die abgeschnittene kleine Pyramide? - Bei ähnlichen Pyramiden ändern sich entsprechende Kantenlängen im gleichen Verhältnis wie die Höhen. - Berechne die beiden Pyramidenvolumina getrennt und bilde anschließend die Differenz.

1. Der Schnitt liegt in halber Körperhöhe. Die abgeschnittene kleine Pyramide hat daher die Höhe \(9\,\text{cm}\) und wegen der Ähnlichkeit die Grundkante \(6\,\text{cm}\). 2. Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot 12^2\cdot 18\,\text{cm}^3=864\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen der kleinen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 9\,\text{cm}^3=108\,\text{cm}^3\). 4. Das Restvolumen beträgt \(V=864\,\text{cm}^3-108\,\text{cm}^3=756\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des verbleibenden Pyramidenstumpfes beträgt \(756\,\text{cm}^3\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden Rechtecke in Quadratmetern. - Setze die berechneten Flächen und die Höhe in die Volumenformel für den Stumpf ein. - Gehe beim Rechnen mit Dezimalzahlen sorgfältig vor, besonders beim Ziehen der Wurzel.

1. Umrechnung aller Einheiten in Meter: \(a_2 = 0{,}80\,\text{m}\) und \(b_2 = 0{,}50\,\text{m}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(G_1 = 2{,}40\,\text{m} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 3{,}6\,\text{m}^2\) und \(G_2 = 0{,}80\,\text{m} \cdot 0{,}50\,\text{m} = 0{,}4\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens mit der Formel \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 4. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{1{,}80}{3} \cdot (3{,}6 + \sqrt{3{,}6 \cdot 0{,}4} + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot (3{,}6 + \sqrt{1{,}44} + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot (3{,}6 + 1{,}2 + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot 5{,}2 = 3{,}12\). Das Volumen beträgt \(3{,}12\,\text{m}^3\).

\(V = 3{,}12\,\text{m}^3\)

- Welche rechtwinklige Figur entsteht im Axialschnitt aus Körperhöhe und Radiusdifferenz? - Verlängere die Mantellinien des Stumpfes bis zu einer gemeinsamen Spitze. - Nutze bei den ähnlichen Kegeln das Verhältnis entsprechender Radien und Mantellinien. - Welche Differenz zweier bekannter Mantelflächen ergibt den Lampenschirm?

1. Im Axialschnitt entsteht für die Mantellinie \(s\) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(21\,\text{cm}\) und \(35\,\text{cm}-15\,\text{cm}=20\,\text{cm}\). Daher ist \(s=\sqrt{21^2+20^2}\,\text{cm}=29\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+29}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\). Daraus folgt \(7x=3x+87\) und somit \(x=21{,}75\,\text{cm}\). Die Mantellinie des großen Kegels beträgt \(50{,}75\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche des Stumpfes ist die Differenz der beiden Kegelmantelflächen: \(M=\pi\cdot35\cdot50{,}75\,\text{cm}^2-\pi\cdot15\cdot21{,}75\,\text{cm}^2=1450\pi\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(M\approx4555{,}31\,\text{cm}^2\).

Für den Lampenschirm werden ungefähr \(4555{,}31\,\text{cm}^2\) Mantelmaterial benötigt.

- Notiere dir zuerst die Maße der beiden rechteckigen Flächen. - Welche Volumenformel passt zu einem Pyramidenstumpf mit ähnlichen Grund- und Deckflächen? - Achte beim geometrischen Mittel der beiden Flächeninhalte auf die Einheiten. - Überprüfe den Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern zu Kubikmetern sorgfältig.

1. Die Flächeninhalte der rechteckigen Grund- und Deckfläche sind \(G_1=120\,\text{cm}\cdot80\,\text{cm}=9600\,\text{cm}^2\) und \(G_2=60\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=2400\,\text{cm}^2\). 2. Das geometrische Mittel der Flächeninhalte ist \(\sqrt{G_1G_2}=\sqrt{9600\cdot2400}\,\text{cm}^2=4800\,\text{cm}^2\). 3. Mit der Stumpfformel folgt \(V=\frac{h}{3}(G_1+\sqrt{G_1G_2}+G_2)=\frac{50}{3}(9600+4800+2400)\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist \(V=280\,000\,\text{cm}^3\). 5. Wegen \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\) gilt \(V=0{,}28\,\text{m}^3\).

Das Volumen des benötigten Betons beträgt \(0{,}28\,\text{m}^3\).

- Wandle die beiden Durchmesser zunächst in Radien um. - Welche zwei ähnlichen Kegel erhältst du durch Verlängern der Seitenlinien? - Setze das Verhältnis der Radien mit dem Verhältnis der zugehörigen Kegelhöhen in Beziehung. - Vergiss nach der Volumendifferenz die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter nicht.

1. Die Radien sind \(16\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+28}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\). Daraus folgt \(x=84\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(112\,\text{cm}\) hoch. 3. Das Volumen des Stumpfes ist die Differenz der Kegelvolumina: \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot16^2\cdot112\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot12^2\cdot84\,\text{cm}^3=\frac{16576}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 4. Numerisch ist \(V\approx17358{,}35\,\text{cm}^3=17{,}35835\,\text{l}\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet beträgt das Fassungsvermögen \(17{,}4\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen beträgt ungefähr \(17{,}4\,\text{l}\).

- Zerlege das Silo zunächst in Zylinder und Trichter. - Wandle die beiden Durchmesser des Trichters in Radien um und verlängere seine Seiten bis zu einer Spitze. - Nutze das Radiusverhältnis, um die Höhen der beiden ähnlichen Kegel zu bestimmen. - Addiere anschließend Zylindervolumen und die Differenz der beiden Kegelvolumina.

1. Der zylindrische Teil hat den Radius \(2{,}00\,\text{m}\). Sein Volumen ist \(V_{\text{Zyl}}=\pi\cdot2^2\cdot5{,}5\,\text{m}^3=22\pi\,\text{m}^3\). 2. Beim Trichter sind die Radien \(2{,}00\,\text{m}\) und \(0{,}30\,\text{m}\). Verlängert man ihn bis zur Spitze, verhalten sich die Höhen des kleinen und großen Kegels wie \(0{,}30{:}2=3{:}20\). 3. Ist \(H\) die Höhe des großen Kegels, so gilt \(H-\frac{3}{20}H=1{,}80\,\text{m}\). Damit ist \(H=\frac{36}{17}\,\text{m}\) und die kleine Kegelhöhe \(\frac{5{,}4}{17}\,\text{m}\). 4. Das Trichtervolumen ist \(V_{\text{Tr}}=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot\frac{36}{17}\,\text{m}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot0{,}3^2\cdot\frac{5{,}4}{17}\,\text{m}^3=2{,}814\pi\,\text{m}^3\). 5. Insgesamt gilt \(V_{\text{ges}}=(22+2{,}814)\pi\,\text{m}^3=24{,}814\pi\,\text{m}^3\approx77{,}96\,\text{m}^3\).

Das gesamte Fassungsvermögen des Silos beträgt ungefähr \(77{,}96\,\text{m}^3\).

- Überlege dir, wie die Volumenformel für einen Kegelstumpf lautet und welche Unbekannte darin vorkommt. - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Skizziere dir den Querschnitt des Kegelstumpfes. Welches geometrische Gebilde hilft dir, die schräge Seite zu berechnen? - Achte beim Oberflächeninhalt darauf, alle Teilflächen (Boden, Deckel und Seite) zu berücksichtigen.

1. Zur Berechnung der Höhe \(h\) wird die Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\) nach \(h\) umgestellt: \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)}\). Einsetzen der Werte ergibt \(h = \frac{3 \cdot 65 \cdot \pi}{\pi \cdot (25 + 10 + 4)} = \frac{195}{39} = 5\,\text{cm}\). 2. Die Mantellinie \(s\) wird mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Trapez berechnet: \(s = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{5^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\text{cm}\). 3. Der Oberflächeninhalt \(O\) setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen: \(O = \pi \cdot r_1^2 + \pi \cdot r_2^2 + \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\). Mit den berechneten Werten ergibt sich \(O = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 4 + \pi \cdot 7 \cdot \sqrt{34} = \pi \cdot (29 + 7 \cdot \sqrt{34}) \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\).

a) \(h = 5\,\text{cm}\) b) \(s \approx 5{,}83\,\text{cm}\) c) \(O \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\)

- Lies im Axialschnitt ab, welche Maße Zylinder und Kegel gemeinsam haben und welche Höhen verschieden sind. - Berechne die beiden Volumina getrennt und addiere sie. - Für die Dachfläche benötigst du zusätzlich die Mantellinie des Kegels. - Berücksichtige beim Streichen nur die außen sichtbaren Mantelflächen.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=3\,\text{m}\), \(h_{\text{Zylinder}}=8\,\text{m}\) und \(h_{\text{Kegel}}=4\,\text{m}\) ab. 2. Das Zylindervolumen ist \(V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot3^2\cdot8\,\text{m}^3=72\pi\,\text{m}^3\). 3. Das Kegelvolumen ist \(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot4\,\text{m}^3=12\pi\,\text{m}^3\). 4. Insgesamt ist \(V=84\pi\,\text{m}^3\approx263{,}89\,\text{m}^3\). 5. Der Zylindermantel ist \(M_{\text{Zylinder}}=2\pi\cdot3\cdot8\,\text{m}^2=48\pi\,\text{m}^2\). 6. Für das Kegeldach ist die Mantellinie \(s=\sqrt{3^2+4^2}\,\text{m}=5\,\text{m}\). Daher ist \(M_{\text{Kegel}}=\pi\cdot3\cdot5\,\text{m}^2=15\pi\,\text{m}^2\). 7. Zu streichen sind \(63\pi\,\text{m}^2\approx197{,}92\,\text{m}^2\).

a) \(V\approx263{,}89\,\text{m}^3\) b) \(A\approx197{,}92\,\text{m}^2\)

- Welche Maße der beiden Rechtecke und welche Körperhöhe zeigt die Abbildung? - Vergleiche entsprechende Seitenlängen, um den Ähnlichkeitsfaktor der ergänzten Pyramiden zu bestimmen. - Das Sockelvolumen ist die Differenz zweier Pyramidenvolumina. - Rechne das Endergebnis anschließend in Liter um.

1. Aus der Abbildung liest man unten \(80\,\text{cm}\times 60\,\text{cm}\), oben \(40\,\text{cm}\times 30\,\text{cm}\) und für den Stumpf die Höhe \(50\,\text{cm}\) ab. 2. Die oberen Seitenlängen sind jeweils halb so groß wie die unteren. Die kleine abgeschnittene und die große ergänzte Pyramide sind daher im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. 3. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so ist die große \(2x\) hoch. Wegen \(2x-x=50\,\text{cm}\) gilt \(x=50\,\text{cm}\); die große Höhe beträgt \(100\,\text{cm}\). 4. Die Flächeninhalte sind \(G_{\text{groß}}=80\cdot 60\,\text{cm}^2=4800\,\text{cm}^2\) und \(G_{\text{klein}}=40\cdot 30\,\text{cm}^2=1200\,\text{cm}^2\). 5. Das Sockelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 4800\cdot 100-\frac{1}{3}\cdot 1200\cdot 50\,\text{cm}^3=140\,000\,\text{cm}^3=140\,\text{l}\).

Das Volumen des Betonsockels beträgt \(140\,\text{l}\).

- Welche drei Teilkörper erkennst du im Axialschnitt? - Die Stirnflächen des Quaders sind quadratisch. Welche dritte Quaderkante zeigt der Axialschnitt? - Berechne die Volumina der Bauteile getrennt und beachte, dass zwei gleiche Pyramiden vorhanden sind. - Wandle das Gesamtvolumen mithilfe der Dichte in eine Masse um.

1. Aus dem Axialschnitt liest man für den Quader eine Länge von \(2\,\text{cm}\) und eine Kantenlänge der quadratischen Stirnflächen von \(4\,\text{cm}\) ab. Jede Pyramide hat damit die Grundkante \(4\,\text{cm}\) und die Höhe \(3\,\text{cm}\). 2. Das Quadervolumen ist \(V_Q=4\cdot4\cdot2\,\text{cm}^3=32\,\text{cm}^3\). 3. Eine Pyramide hat das Volumen \(V_P=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot3\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^3\). 4. Insgesamt ist \(V_{\text{ges}}=32\,\text{cm}^3+2\cdot16\,\text{cm}^3=64\,\text{cm}^3\). 5. Die Masse beträgt \(m=64\,\text{cm}^3\cdot8{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=537{,}6\,\text{g}\).

Die Masse des Briefbeschwerers beträgt \(537{,}6\,\text{g}\).

- Lies zuerst die Maße des umschließenden Rechtecks, der Abschrägung und der Nut aus der Abbildung ab. - Welche Teilflächen müssen vom großen Rechteck abgezogen werden? - Multipliziere die verbleibende Querschnittsfläche mit der Körperlänge.

1. Aus der Abbildung liest man für das umschließende Rechteck \(10\,\text{mm}\times8\,\text{mm}\), für die Abschrägung eine Breite von \(3\,\text{mm}\) und eine Höhendifferenz von \(3\,\text{mm}\), für die Nut \(2\,\text{mm}\times2\,\text{mm}\) sowie die Körperlänge \(20\,\text{mm}\) ab. 2. Der Querschnitt hat den Flächeninhalt \(G=10\cdot8\,\text{mm}^2-\frac{1}{2}\cdot3\cdot3\,\text{mm}^2-2\cdot2\,\text{mm}^2=71{,}5\,\text{mm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=71{,}5\,\text{mm}^2\cdot20\,\text{mm}=1430\,\text{mm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(1430\,\text{mm}^3\).

- Nutze im Axialschnitt die vollständige Pyramide und die parallele Schnittlinie. - Bestimme zuerst die Höhe der abgeschnittenen kleinen Pyramide. - Welche Seitenlänge hat die kleine Pyramide aufgrund der Ähnlichkeit? - Der Stumpf ist der Restkörper nach dem Abschneiden.

1. Die kleine obere Pyramide hat die Höhe \(30\,\text{cm}-12\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 2. Wegen der Ähnlichkeit gilt für ihre Grundkante \(a_{\text{klein}}=15\cdot\frac{18}{30}\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 3. Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot30\,\text{cm}^3=2250\,\text{cm}^3\). 4. Das Volumen der kleinen oberen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot9^2\cdot18\,\text{cm}^3=486\,\text{cm}^3\). 5. Damit ist \(V_{\text{Stumpf}}=2250\,\text{cm}^3-486\,\text{cm}^3=1764\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt \(1764\,\text{cm}^3\).

- Lies die drei benötigten Maße aus der Abbildung ab. - Verlängere den Stumpf gedanklich zu einer großen Pyramide mit einer kleineren ähnlichen Pyramide an der Spitze. - Setze die unbekannte Höhe der kleinen Pyramide mit dem Verhältnis der entsprechenden Kanten in Beziehung. - Das gesuchte Volumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina.

1. Aus der Abbildung liest man die Grundkante \(5\,\text{cm}\), die Deckkante \(3\,\text{cm}\) und die Stumpfhöhe \(4{,}5\,\text{cm}\) ab. 2. Sei \(x\) die Höhe der kleinen Pyramide über der Deckfläche. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+4{,}5}=\frac{3}{5}\). Daraus folgt \(5x=3x+13{,}5\) und damit \(x=6{,}75\,\text{cm}\). 3. Die große Pyramide hat somit die Höhe \(11{,}25\,\text{cm}\). Ihr Volumen ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 11{,}25\,\text{cm}^3=93{,}75\,\text{cm}^3\). 4. Das Volumen der kleinen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 6{,}75\,\text{cm}^3=20{,}25\,\text{cm}^3\). 5. Der Glaskörper hat das Volumen \(93{,}75\,\text{cm}^3-20{,}25\,\text{cm}^3=73{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Glaskörpers beträgt \(73{,}5\,\text{cm}^3\).

- Lies die Abmessungen beider Quader aus der zusammengesetzten Darstellung ab. - Für Volumen und Masse kannst du die beiden Körper zunächst getrennt behandeln. - Bei der Oberfläche zählt die Kontaktfläche zwischen den Quadern nicht als sichtbar. - Unterscheide Mantelflächen, sichtbare obere Flächen und die ausgeschlossene Standfläche.

1. Aus der Abbildung liest man für den unteren Quader \(10\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\) und für den oberen \(6\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\times8\,\text{cm}\) ab. 2. Die Volumina sind \(V_1=400\,\text{cm}^3\) und \(V_2=288\,\text{cm}^3\). Daher ist \(V=688\,\text{cm}^3\). 3. Die Masse ist \(m=688\,\text{cm}^3\cdot2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1857{,}6\,\text{g}\). 4. Der Mantel des unteren Quaders hat \(4\cdot10\cdot4\,\text{cm}^2=160\,\text{cm}^2\). 5. Von seiner Oberseite sind \(10^2-6^2\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\) sichtbar. 6. Der Mantel des oberen Quaders hat \(4\cdot6\cdot8\,\text{cm}^2=192\,\text{cm}^2\), seine Oberseite \(36\,\text{cm}^2\). 7. Insgesamt ist \(A=160+64+192+36\,\text{cm}^2=452\,\text{cm}^2\).

a) \(V=688\,\text{cm}^3\) b) \(m=1857{,}6\,\text{g}\) c) \(A=452\,\text{cm}^2\)

- Suche Teilkörper, die sich gegenseitig nicht überdecken. - Welche Maße sind für jede waagerechte Schicht gleich, welche ändern sich? - Kontrolliere nach deiner Zerlegung, ob jeder Bereich des Bildkörpers genau einmal erfasst wird.

1. Eine mögliche Zerlegung verwendet die drei waagerechten Schichten als Quader. Sie überlappen sich nicht und füllen den Körper vollständig aus. 2. Die untere Schicht hat das Volumen \(V_1=8\cdot6\cdot2\,\text{cm}^3=96\,\text{cm}^3\). 3. Für die mittlere Schicht gilt \(V_2=5\cdot6\cdot2\,\text{cm}^3=60\,\text{cm}^3\). 4. Die obere Schicht hat das Volumen \(V_3=2\cdot6\cdot2\,\text{cm}^3=24\,\text{cm}^3\). 5. Damit ist \(V=96+60+24\,\text{cm}^3=180\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(180\,\text{cm}^3\). Eine mögliche Modellierung ist die Summe der drei waagerechten Quader-Schichten.

- Überlege zuerst, wie die Einkerbung innerhalb eines vollständigen äußeren Rechtecks beschrieben werden kann. - Suche für die zweite Strategie Rechtecke, die die sichtbare Stirnfläche lückenlos und ohne Überlappung zerlegen. - Die Prismenlänge ist bei beiden Strategien derselbe Faktor.

1. Bei der Subtraktionsstrategie hat der umschließende Quader das Volumen \(8\cdot6\cdot5\,\text{cm}^3=240\,\text{cm}^3\). Die fehlende Einkerbung entspricht einem Quader mit \(2\cdot3\cdot5\,\text{cm}^3=30\,\text{cm}^3\). 2. Daher ist \(V=240\,\text{cm}^3-30\,\text{cm}^3=210\,\text{cm}^3\). 3. Alternativ zerlegt man die Stirnfläche in einen unteren Streifen \(8\,\text{cm}\times3\,\text{cm}\) und zwei obere Seitenrechtecke \(3\,\text{cm}\times3\,\text{cm}\). 4. Ihr gesamter Flächeninhalt ist \(G=8\cdot3+2\cdot3\cdot3\,\text{cm}^2=42\,\text{cm}^2\). 5. Damit folgt \(V=G\cdot5\,\text{cm}=42\cdot5\,\text{cm}^3=210\,\text{cm}^3\). Beide Modelle stimmen überein.

Subtraktion: \(V=8\cdot6\cdot5-2\cdot3\cdot5=210\,\text{cm}^3\). Zerlegung: \(V=(8\cdot3+2\cdot3\cdot3)\cdot5=210\,\text{cm}^3\).

- Wie kannst du den Stumpf durch Verlängern der Seitenkanten als Differenz zweier ähnlicher Pyramiden auffassen? - Welches Längenverhältnis folgt aus den beiden quadratischen Kantenlängen? - Für die zu streichende Fläche brauchst du die Höhe einer trapezförmigen Seitenfläche. - Prüfe vor dem Rechnen, ob alle Volumeneinheiten zu den Längeneinheiten passen.

1. Das Volumen beträgt \(28\,\text{dm}^3=28\,000\,\text{cm}^3\). 2. Die Deckkante ist halb so lang wie die Grundkante. Beim Ergänzen zur Spitze ist deshalb die kleine obere Pyramide zur großen Pyramide im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so hat die große die Höhe \(2x\); die Stumpfhöhe ist daher ebenfalls \(h=x\). 3. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina: \(28\,000=\frac{1}{3}\cdot40^2\cdot2h-\frac{1}{3}\cdot20^2\cdot h\). 4. Damit gilt \(28\,000=\frac{2800}{3}h\), also \(h=30\,\text{cm}\). 5. Die Höhe einer trapezförmigen Seitenfläche ist \(h_s=\sqrt{30^2+\left(\frac{40-20}{2}\right)^2}\,\text{cm}=\sqrt{1000}\,\text{cm}\approx31{,}623\,\text{cm}\). 6. Die vier Trapeze haben zusammen die Fläche \(M=4\cdot\frac{40+20}{2}\cdot h_s\approx3794{,}733\,\text{cm}^2\). 7. Gerundet beträgt die zu streichende Fläche \(3794{,}7\,\text{cm}^2\).

a) Die Körperhöhe des Sockels beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Die zu streichende Fläche beträgt ca. \(3794{,}7\,\text{cm}^2\).

- Welche Ähnlichkeit ergibt sich aus den Seitenlängen \(1\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\)? - Ergänze den Stumpf gedanklich bis zur gemeinsamen Spitze und bestimme die beiden Pyramidenhöhen. - Berechne anschließend die Volumendifferenz und nutze erst danach die Dichte. - Runde bei den Wurzeltermen nicht zu früh.

1. Die obere Kante ist ein Drittel der unteren. Die kleine abgeschnittene und die große ergänzte Pyramide sind daher im Längenverhältnis \(1{:}3\) ähnlich. 2. Ist die Höhe der kleinen Pyramide \(x\), so ist die Höhe der großen \(3x\). Aus \(3x-x=4\,\text{cm}\) folgt \(x=2\,\text{cm}\); die große Höhe beträgt \(6\,\text{cm}\). 3. Für ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge \(a\) gilt \(G=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Damit sind \(G_{\text{groß}}=13{,}5\sqrt{3}\,\text{cm}^2\) und \(G_{\text{klein}}=1{,}5\sqrt{3}\,\text{cm}^2\). 4. Das Stumpfvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 13{,}5\sqrt{3}\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot 1{,}5\sqrt{3}\cdot 2\,\text{cm}^3=26\sqrt{3}\,\text{cm}^3\approx 45{,}033\,\text{cm}^3\). 5. Die Masse ist \(m=V\rho=26\sqrt{3}\cdot 2{,}5\,\text{g}\approx 112{,}583\,\text{g}\), also gerundet \(112{,}6\,\text{g}\).

Die Masse des Briefbeschwerers beträgt etwa \(112{,}6\,\text{g}\).

- Wandle Durchmesser in Radien und Liter in Kubikzentimeter um. - Bezeichne die unbekannte Stumpfhöhe und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Welche Beziehung liefert die Ähnlichkeit der beiden Kegel zwischen diesen Höhen und den Radien? - Drücke das Zielvolumen als Differenz zweier Kegelvolumina aus.

1. Die Radien betragen \(11\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\), das Zielvolumen ist \(1500\,\text{cm}^3\). 2. Sei \(h\) die gesuchte Stumpfhöhe und \(x\) die Höhe des kleineren ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+h}=\frac{7}{11}\). Damit ist \(11x=7x+7h\), also \(x=\frac{7}{4}h\) und \(x+h=\frac{11}{4}h\). 3. Die Volumendifferenz der beiden Kegel ist \(1500=\frac{1}{3}\pi\cdot11^2\cdot\frac{11}{4}h-\frac{1}{3}\pi\cdot7^2\cdot\frac{7}{4}h\). 4. Daraus wird \(1500=\frac{247}{3}\pi h\), also \(h=\frac{4500}{247\pi}\,\text{cm}\approx5{,}799\,\text{cm}\). 5. Gerundet ist die Schale \(5{,}8\,\text{cm}\) tief.

Die Schale muss ungefähr \(5{,}8\,\text{cm}\) tief sein.

- Bestimme zuerst den Radius der Wasseroberfläche in halber Vasenhöhe. - Verlängere den gefüllten Teil gedanklich bis zur Spitze eines Kegels. - Welche Höhenbeziehung folgt aus dem Verhältnis von unterem und oberem Radius des Wasserkörpers? - Rechne die Volumendifferenz am Ende von Kubikzentimetern in Liter um.

1. Die Radien betragen unten \(6\,\text{cm}\) und oben \(10\,\text{cm}\). In halber Höhe ändert sich der Radius linear auf \(r_f=6\,\text{cm}+\frac{10-6}{30}\cdot15\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 2. Der Wasserkörper ist also ein Kegelstumpf mit den Radien \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) sowie der Höhe \(15\,\text{cm}\). Verlängert man ihn nach unten bis zur Spitze, gilt für die Kegelhöhen \(\frac{x}{x+15}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\). Daraus folgt \(x=45\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(60\,\text{cm}\) hoch. 3. Das Wasservolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot8^2\cdot60\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot45\,\text{cm}^3=740\pi\,\text{cm}^3\approx2324{,}78\,\text{cm}^3\). 4. Damit befinden sich ungefähr \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser in der Vase.

In der Vase befinden sich ungefähr \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser.

- Wandle die Durchmesser zunächst in Radien um und ergänze den Stumpf zu zwei ähnlichen Kegeln. - Nutze das Radiusverhältnis, um die beiden Kegelhöhen zu bestimmen. - Für die Zylindernäherung wird der Mittelwert der Durchmesser verwendet. - Beziehe die prozentuale Abweichung auf das exakte Volumen aus Teil a).

1. Die Radien sind oben \(9\,\text{cm}\) und unten \(6\,\text{cm}\). Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{x}{x+32}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) folgt \(x=64\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(96\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Vasenvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot9^2\cdot96\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot64\,\text{cm}^3=1824\pi\,\text{cm}^3\approx5730{,}27\,\text{cm}^3\). 3. Das entspricht \(5{,}73027\,\text{l}\), also gerundet \(5{,}73\,\text{l}\). 4. Der mittlere Durchmesser ist \(15\,\text{cm}\), also ist der Zylinderradius \(7{,}5\,\text{cm}\). Damit ist \(V_{\text{Zyl}}=\pi\cdot(7{,}5\,\text{cm})^2\cdot32\,\text{cm}=1800\pi\,\text{cm}^3\approx5654{,}87\,\text{cm}^3\). 5. Die relative Abweichung beträgt \(\frac{1824\pi-1800\pi}{1824\pi}\cdot100\,\%\approx1{,}32\,\%\). Die Zylindernäherung ist zu klein.

a) \(V=1824\pi\,\text{cm}^3\approx5730{,}27\,\text{cm}^3\) b) \(5{,}73\,\text{l}\) c) \(V_{\text{Zyl}}\approx5654{,}87\,\text{cm}^3\); die Näherung ist ungefähr \(1{,}32\,\%\) kleiner als das exakte Volumen.

- Wandle die Maße passend zur gegebenen Dichte um und bestimme die Radien aus den Umfängen. - Verlängere den Kegelstumpf zu zwei ähnlichen Kegeln und nutze das Radiusverhältnis für ihre Höhen. - Verwende für die Masse das möglichst ungerundete Volumen. - Vergleiche bei der Näherung den Mittelwert der beiden Endflächen mit dem exakt bestimmten Volumen.

1. In Dezimetern gilt \(h=12\,\text{dm}\), \(r_1=\frac{20}{2\pi}\,\text{dm}=\frac{10}{\pi}\,\text{dm}\) und \(r_2=\frac{14}{2\pi}\,\text{dm}=\frac{7}{\pi}\,\text{dm}\). 2. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+12}=\frac{7}{10}\). Daraus folgt \(x=28\,\text{dm}\); der große Kegel ist \(40\,\text{dm}\) hoch. 3. Das Pfeilervolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{10}{\pi}\right)^2\cdot40\,\text{dm}^3-\frac{1}{3}\pi\left(\frac{7}{\pi}\right)^2\cdot28\,\text{dm}^3=\frac{876}{\pi}\,\text{dm}^3\approx278{,}84\,\text{dm}^3\). 4. Damit ist \(V\approx0{,}279\,\text{m}^3\). 5. Die Masse ist \(m=\frac{876}{\pi}\,\text{dm}^3\cdot2{,}4\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\approx669{,}21\,\text{kg}\). 6. Die Endflächen sind \(G_1=\frac{100}{\pi}\,\text{dm}^2\) und \(G_2=\frac{49}{\pi}\,\text{dm}^2\). Daher ist \(V_{\text{Näherung}}=\frac{G_1+G_2}{2}\cdot12\,\text{dm}=\frac{894}{\pi}\,\text{dm}^3\approx284{,}57\,\text{dm}^3=0{,}285\,\text{m}^3\). 7. Die Näherung ist um \(\frac{18}{\pi}\,\text{dm}^3\approx5{,}73\,\text{dm}^3\) beziehungsweise ungefähr \(2{,}05\,\%\) größer als der exakte Wert.

a) \(V\approx0{,}279\,\text{m}^3\) b) \(m\approx669{,}21\,\text{kg}\) c) \(V_{\text{Näherung}}\approx0{,}285\,\text{m}^3\); die Näherung ist ungefähr \(2{,}05\,\%\) größer.

- Wandle das Zielvolumen zuerst in Kubikzentimeter um. - Ergänze den Stumpf zu einer kleineren und einer größeren ähnlichen Pyramide. - Wie hängen deren Höhen aufgrund des Kantenverhältnisses \(30{:}45\) zusammen? - Setze die Differenz der Pyramidenvolumina gleich dem gewünschten Fassungsvermögen.

1. Es gilt \(40\,\text{l}=40\,000\,\text{cm}^3\). 2. Sei \(h\) die gesuchte Stumpfhöhe und \(x\) die Höhe der kleineren ergänzten Pyramide bis zur Bodenfläche. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+h}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\). Daher ist \(x=2h\), die große Pyramide hat die Höhe \(3h\). 3. Das Stumpfvolumen ist \(40\,000=\frac{1}{3}\cdot45^2\cdot3h-\frac{1}{3}\cdot30^2\cdot2h\). 4. Damit gilt \(40\,000=1425h\) und somit \(h=\frac{40000}{1425}\,\text{cm}\approx28{,}07\,\text{cm}\).

Der Pflanzkübel muss innen ungefähr \(28{,}07\,\text{cm}\) hoch sein.

- Ziehe zuerst das Volumen des Zylinders vom Gesamtvolumen ab. - Ergänze den verbleibenden Kegelstumpf zu zwei ähnlichen Kegeln. - Das Verhältnis ihrer Radien bestimmt auch das Verhältnis ihrer Höhen. - Stelle die Volumendifferenz anschließend nach der unbekannten Stumpfhöhe um.

1. Das Gesamtvolumen ist \(70\,000\,\text{cm}^3\). Der Zylinder hat den Radius \(20\,\text{cm}\) und das Volumen \(V_Z=\pi\cdot20^2\cdot10\,\text{cm}^3=4000\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für den Kegelstumpf bleiben \(V_K=70\,000\,\text{cm}^3-4000\pi\,\text{cm}^3\). 3. Sei \(h\) die Stumpfhöhe und \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels über der oberen Kreisfläche. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+h}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\). Daher ist \(x=2h\), die Höhe des großen Kegels ist \(3h\). 4. Somit ist \(V_K=\frac{1}{3}\pi\cdot30^2\cdot3h-\frac{1}{3}\pi\cdot20^2\cdot2h=\frac{1900}{3}\pi h\). 5. Daraus folgt \(h=\frac{3(70000-4000\pi)}{1900\pi}\,\text{cm}\approx28{,}87\,\text{cm}\).

Der Kegelstumpf ist ungefähr \(28{,}87\,\text{cm}\) hoch.

- Beginne mit den Radien und ergänze den Stumpf zu zwei ähnlichen Kegeln. - Nutze das Radiusverhältnis, um die Höhen der ergänzten Kegel zu bestimmen. - Für die Mantellinie des Stumpfes hilft der Axialschnitt mit der Radiusdifferenz. - Übertrage dasselbe Ähnlichkeitsverhältnis auf die Mantellinien, bevor du ihre Mantelflächen subtrahierst.

1. Die Radien sind oben \(14\,\text{cm}\) und unten \(10\,\text{cm}\). Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{x}{x+24}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(x=60\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(84\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Eimervolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot14^2\cdot84\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot10^2\cdot60\,\text{cm}^3=3488\pi\,\text{cm}^3\approx10\,957{,}88\,\text{cm}^3\). 3. Das entspricht ungefähr \(10{,}9579\,\text{l}\), also gerundet \(11{,}0\,\text{l}\). 4. Die Mantellinie des Stumpfes ist \(s=\sqrt{24^2+(14-10)^2}\,\text{cm}=\sqrt{592}\,\text{cm}\approx24{,}33\,\text{cm}\). 5. Sei \(y\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{y}{y+s}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(y=\frac{5}{2}s\) und für den großen Kegel \(y+s=\frac{7}{2}s\). 6. Die Mantelfläche des Eimers ist \(M=\pi\cdot14\cdot\frac{7}{2}s-\pi\cdot10\cdot\frac{5}{2}s=24\pi s\approx1834{,}52\,\text{cm}^2\). 7. Mit der Bodenfläche \(100\pi\,\text{cm}^2\) ergibt sich \(A=24\pi\sqrt{592}\,\text{cm}^2+100\pi\,\text{cm}^2\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx11{,}0\,\text{l}\) b) \(A\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\)

- Bezeichne den unbekannten Radius und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Nutze die Ähnlichkeit, um beide Kegelhöhen in Abhängigkeit vom unbekannten Radius auszudrücken. - Setze anschließend die Differenz der beiden Kegelvolumina gleich dem gegebenen Volumen. - Prüfe am Ende, welche algebraische Lösung im geometrischen Kontext möglich ist.

1. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+6}=\frac{4}{r}\). Damit ist \(x=\frac{24}{r-4}\) und \(x+6=\frac{6r}{r-4}\). 2. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Kegelvolumina: \(703{,}7=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot\frac{6r}{r-4}-\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot\frac{24}{r-4}\). 3. Wegen \(r^3-4^3=(r-4)(r^2+4r+16)\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(703{,}7=2\pi(r^2+4r+16)\). 4. Damit gilt \(r^2+4r+16=\frac{703{,}7}{2\pi}\). Die positive Lösung der entstehenden quadratischen Gleichung ist \(r\approx7{,}9999\,\text{cm}\); die negative Lösung ist als Radius unzulässig. 5. Auf eine Dezimale gerundet ist \(r=8{,}0\,\text{cm}\).

Der Radius der größeren Kreisfläche beträgt ungefähr \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Nutze die Koordinaten, um die Begrenzung des Querschnitts systematisch nachzuzeichnen. - Zerlege die Fläche in Rechtecke und ein Dreieck und identifiziere die Aussparung. - Multipliziere erst nach der vollständigen Flächenberechnung mit der konstanten Fundamentlänge.

1. Das untere Rechteck von \(x=0\) bis \(x=12\) und \(y=0\) bis \(y=4\) hat den Flächeninhalt \(A_1=12\cdot4\,\text{m}^2=48\,\text{m}^2\). 2. Das obere linke Rechteck von \(x=0\) bis \(x=8\) und \(y=4\) bis \(y=8\) hat \(A_2=8\cdot4\,\text{m}^2=32\,\text{m}^2\). 3. Das Dreieck rechts oben hat \(A_3=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\,\text{m}^2=8\,\text{m}^2\). 4. Die obere Aussparung hat \(A_{\text{Nut}}=2\cdot2\,\text{m}^2=4\,\text{m}^2\). 5. Damit ist \(G=48+32+8-4\,\text{m}^2=84\,\text{m}^2\). 6. Das Fundament hat das Volumen \(V=84\,\text{m}^2\cdot25\,\text{m}=2100\,\text{m}^3\).

Das Fundament hat ein Volumen von \(2100\,\text{m}^3\).

- Wie setzt sich die Gesamtlänge aus dem zylindrischen Mittelteil und den beiden Rundungen zusammen? - Welche Flächen der Teilkörper sind nach dem Zusammenfügen außen sichtbar und welche liegen im Inneren? - Setze die Längenbeziehung zunächst in den Oberflächenterm ein, bevor du Zahlen für \(r\) suchst. - Berechne das Volumen erst, wenn Radius und Zylinderlänge feststehen.

1. Die beiden Halbkugeln verlängern die Kapsel zusammen um einen Durchmesser. Daher gilt \(h+2r=16\,\text{cm}\), also \(h=16-2r\). 2. Außen sichtbar sind der Zylindermantel und zusammen die Oberfläche einer ganzen Kugel. Daher ist \(O=2\pi rh+4\pi r^2\). 3. Einsetzen von \(h=16-2r\) ergibt \(96\pi=2\pi r(16-2r)+4\pi r^2=32\pi r\). 4. Daraus folgt \(r=3\,\text{cm}\) und anschließend \(h=16\,\text{cm}-2\cdot3\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 5. Das Kapselvolumen ist die Summe aus Zylindervolumen und dem Volumen der beiden Halbkugeln, also einer ganzen Kugel: \(V=\pi\cdot3^2\cdot10\,\text{cm}^3+\frac{4}{3}\pi\cdot3^3\,\text{cm}^3=126\pi\,\text{cm}^3\approx395{,}8\,\text{cm}^3\).

\(r=3\,\text{cm}\), \(h=10\,\text{cm}\), \(V=126\pi\,\text{cm}^3\approx395{,}8\,\text{cm}^3\)