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- Wie groß ist \(\frac{\pi}{2}\) als Anteil einer vollen Umdrehung? - Welche Koordinate eines Einheitskreispunkts entspricht dem Kosinus, welche dem Sinus? - Lies die Lage des markierten Punktes an den Achsen ab.

1. Der Winkel \(\frac{\pi}{2}\) führt vom Punkt \((1\mid0)\) um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn nach oben. 2. Daher ist \(P=(0\mid1)\). 3. Am Einheitskreis ist die erste Koordinate der Kosinus und die zweite Koordinate der Sinus. Somit gilt \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) und \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\).

\(P=(0\mid1)\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)

- Erinnere dich daran, welche Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - Wie hängen die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse \(1\) zusammen? - Nutze die Sinus- und Kosinus-Tasten deines Taschenrechners und achte darauf, dass er auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Ablesen am Einheitskreis: Der Punkt bei \(70^\circ\) hat näherungsweise die Koordinaten \((0{,}34\mid0{,}94)\). Daher gilt \(\cos(70^\circ)\approx0{,}34\) und \(\sin(70^\circ)\approx0{,}94\). 2. Mit dem Taschenrechner: \(\sin(70^\circ)\approx0{,}940\) und \(\cos(70^\circ)\approx0{,}342\). 3. Mit diesen auf drei Dezimalstellen gerundeten Werten ergibt sich \(0{,}940^2+0{,}342^2=0{,}883600+0{,}116964=1{,}000564\approx1{,}001\). 4. Mit den ungerundeten exakten Funktionswerten gilt nach dem trigonometrischen Pythagoras für jeden Winkel \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\). Die kleine Abweichung in Teil c) entsteht nur durch das Runden.

a) \(\sin(70^\circ)\approx0{,}94\); \(\cos(70^\circ)\approx0{,}34\) b) \(\sin(70^\circ)\approx0{,}940\); \(\cos(70^\circ)\approx0{,}342\) c) Mit den Werten aus b): \(1{,}000564\approx1{,}001\). Theoretisch ist die Summe mit ungerundeten Werten genau \(1\).

- Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert? - Welche Koordinate entspricht der vertikalen Auslenkung, welche der horizontalen? - Achte beim Zeichnen darauf, dass \(1\,\text{LE}\) (Längeneinheit) genau \(10\,\text{cm}\) entspricht, sodass ein Millimeter in der Zeichnung einem Hundertstel einer Längeneinheit entspricht.

1. Zeichnen des Einheitskreises mit Radius \(10\,\text{cm}\) und Abtragen des Winkels \(35^\circ\) im Gegenuhrzeigersinn ab der positiven \(x\)-Achse. 2. Ablesen der Koordinaten am Koordinatensystem: Die \(x\)-Koordinate (Abstand zur \(y\)-Achse) liegt bei etwa \(0{,}82\), die \(y\)-Koordinate (Abstand zur \(x\)-Achse) bei etwa \(0{,}57\). 3. Berechnung mit dem Taschenrechner: \(\cos(35^\circ) \approx 0{,}819\) und \(\sin(35^\circ) \approx 0{,}574\). 4. Zusammenhang: Im Einheitskreis entspricht die \(x\)-Koordinate eines Punktes dem Kosinus des Winkels (\(x = \cos(\alpha)\)) und die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels (\(y = \sin(\alpha)\)).

a) Die abgelesenen Koordinaten sollten etwa \(P(0{,}82 \mid 0{,}57)\) betragen. b) Die Taschenrechnerwerte sind \(\cos(35^\circ) \approx 0{,}819\) und \(\sin(35^\circ) \approx 0{,}574\). Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Kosinuswert und die \(y\)-Koordinate dem Sinuswert.

- Überlege dir, welche Koordinate (\(x\) oder \(y\)) am Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus zugeordnet ist. - Stelle dir vor, wie sich ein Punkt auf dem Kreisbogen von \(0^\circ\) in Richtung \(90^\circ\) bewegt. Wird sein Abstand zur \(x\)-Achse oder zur \(y\)-Achse dabei größer? - Was passiert genau bei \(45^\circ\)? Zeichne dir zur Not eine Skizze.

1. Im ersten Quadranten (\(0^\circ\) bis \(90^\circ\)) entspricht der Sinuswert der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Da die \(y\)-Koordinate bei steigendem Winkel zunimmt, gilt: Wegen \(25^\circ < 55^\circ\) ist \(\sin(25^\circ) < \sin(55^\circ)\). 2. Der Kosinuswert entspricht der \(x\)-Koordinate. Diese nimmt bei steigendem Winkel im ersten Quadranten ab. Wegen \(25^\circ < 55^\circ\) ist \(\cos(25^\circ) > \cos(55^\circ)\). 3. Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich groß (\(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\)). Für Winkel kleiner als \(45^\circ\) ist die \(x\)-Koordinate (Kosinus) größer als die \(y\)-Koordinate (Sinus). Da \(10^\circ < 45^\circ\), ist \(\cos(10^\circ) > \sin(10^\circ)\).

a) \(\sin(55^\circ)\) ist größer. b) \(\cos(25^\circ)\) ist größer. c) \(\cos(10^\circ)\) ist größer.

- Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis allgemein in Abhängigkeit vom Winkel? - Wie verändern sich die Koordinaten, wenn man einen Punkt an der \(y\)-Achse spiegelt? - In welchem Quadranten liegt ein Punkt mit negativer x-Koordinate und positiver y-Koordinate?

1. Die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis sind durch \((\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))\) gegeben. Für \(\alpha = 60^\circ\) gilt: \(x = \cos(60^\circ) = 0{,}5\) und \(y = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Somit ist \(P(0{,}5 \mid \frac{\sqrt{3}}{2})\). 2. Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((-0{,}5 \mid \frac{\sqrt{3}}{2})\). Da der \(x\)-Wert negativ und der \(y\)-Wert positiv ist, liegt der Punkt im zweiten Quadranten. Durch Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt sich der Winkel \(\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Aus den Koordinaten von \(Q\) folgen direkt die trigonometrischen Werte: \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\) und \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

a) \(P(0{,}5 \mid \frac{\sqrt{3}}{2})\) b) \(\beta = 120^\circ\) c) \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\)

- Stell dir den Einheitskreis vor: Welche Koordinate entspricht dem Sinus, welche dem Kosinus? - Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert positiv oder negativ ist. - Wie hängen die Winkel in den verschiedenen Quadranten zusammen, wenn sie denselben Betrag beim Sinuswert haben? - Wo schneidet der Einheitskreis die Koordinatenachsen?

1. Für \(\sin(\alpha) = 0{,}5\) suchen wir die Punkte auf dem Einheitskreis mit der \(y\)-Koordinate \(0{,}5\). Dies ist im 1. Quadranten bei \(30^\circ\) und im 2. Quadranten bei \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) der Fall. 2. Für \(\cos(\alpha) = 0\) suchen wir die Punkte auf dem Einheitskreis mit der \(x\)-Koordinate \(0\). Dies sind die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = -1\) suchen wir den Punkt auf dem Einheitskreis mit der \(y\)-Koordinate \(-1\). Dies ist der tiefste Punkt des Kreises bei \(270^\circ\).

a) \(\alpha = 30^\circ\) oder \(\alpha = 150^\circ\) b) \(\alpha = 90^\circ\) oder \(\alpha = 270^\circ\) c) \(\alpha = 270^\circ\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinus bzw. Kosinus das gleiche Vorzeichen hat. - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der Achsen. - Wie hängen Winkel im ersten und zweiten Quadranten zusammen, wenn sie denselben Sinuswert haben? - Wie hängen Winkel im ersten und vierten Quadranten zusammen, wenn sie denselben Kosinuswert haben?

1. Für \(\sin(\alpha) = \sin(80^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 80^\circ\). Da der Sinus im ersten und zweiten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\). 2. Für \(\cos(\alpha) = \cos(10^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 10^\circ\). Da der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 10^\circ = 350^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = \sin(200^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 200^\circ\). Der Sinus ist im dritten und vierten Quadranten negativ. Der Referenzwinkel zur \(x\)-Achse ist \(200^\circ - 180^\circ = 20^\circ\). Der Winkel im vierten Quadranten ist \(\alpha_2 = 360^\circ - 20^\circ = 340^\circ\). 4. Für \(\cos(\alpha) = \cos(300^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 300^\circ\). Da der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).

a) \(80^\circ, 100^\circ\) b) \(10^\circ, 350^\circ\) c) \(200^\circ, 340^\circ\) d) \(60^\circ, 300^\circ\)

- Überlege dir, an welcher Achse der Einheitskreis gespiegelt wird, wenn der Kosinuswert gleich bleiben soll. - Nutze die Periodizität (\(\pm 360^\circ\)) oder die Symmetrie zur x-Achse (\(\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)\)). - Prüfe am Ende, ob dein gefundener Winkel im geforderten Bereich liegt.

1. Für den Kosinus gilt die Symmetrie \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\). 2. Zu a): \(\beta = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ\). Da \(230^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(130^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 3. Zu b): \(\beta = 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ\). Da \(50^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(310^\circ\) ist, ist dies die Lösung. 4. Zu c): Zunächst ist \(\cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ)\). Da \(45^\circ\) im Intervall liegt und ungleich \(-45^\circ\) ist, ist \(\beta_1 = 45^\circ\) eine Lösung. Ebenso gilt \(\cos(-45^\circ) = \cos(315^\circ)\). Da \(-45^\circ\) nicht im Intervall liegt, sind hier sogar beide Werte (\(45^\circ\) und \(315^\circ\)) als Antwort für \(\beta\) möglich.

a) \(\beta = 230^\circ\) b) \(\beta = 50^\circ\) c) \(\beta = 45^\circ\) (oder \(\beta = 315^\circ\))

- Forme die Gleichung zuerst so um, dass die Sinusfunktion alleine auf einer Seite steht. - Überlege dir, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinuswert negativ ist. - Nutze die Symmetrie der Sinusfunktion am Einheitskreis, um aus einem bekannten Wert die zweite Lösung im Intervall zu finden.

1. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(6\sin(x) = -3\). 2. Division durch 6 ergibt die elementare Sinusgleichung \(\sin(x) = -0{,}5\). 3. Unter Berücksichtigung des Einheitskreises und des Intervalls \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{7\pi}{6}\); \(x_2 = \frac{11\pi}{6}\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, in welchen Winkelbereichen die vier Quadranten liegen (z. B. I. Quadrant: \(0^\circ\) bis \(90^\circ\)). - Wie hängen die Vorzeichen von Sinus und Kosinus mit der Lage im Einheitskreis zusammen?

1. Berechnung von \(\sin(142{,}5^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}6088\). Da \(90^\circ < 142{,}5^\circ < 180^\circ\), liegt der Winkel im II. Quadranten. 2. Berechnung von \(\cos(195^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9659\). Da \(180^\circ < 195^\circ < 270^\circ\), liegt der Winkel im III. Quadranten. 3. Berechnung von \(\sin(280{,}4^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9836\). Da \(270^\circ < 280{,}4^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten. 4. Berechnung von \(\cos(340^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}9397\). Da \(270^\circ < 340^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten.

a) \(\sin(142{,}5^\circ) \approx 0{,}6088\); II. Quadrant b) \(\cos(195^\circ) \approx -0{,}9659\); III. Quadrant c) \(\sin(280{,}4^\circ) \approx -0{,}9836\); IV. Quadrant d) \(\cos(340^\circ) \approx 0{,}9397\); IV. Quadrant

- Überlege zuerst, in welchem Quadranten der gegebene Winkel liegt. - Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den jeweiligen Quadranten? - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der horizontalen oder vertikalen Achse. - Wie weit ist der Winkel von der \(x\)-Achse (\(180^\circ\) oder \(360^\circ\)) entfernt?

1. Der Winkel \(138^\circ\) liegt im II. Quadranten. Es gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(180^\circ - 138^\circ = 42^\circ\) ergibt sich \(\sin 138^\circ = \sin 42^\circ\). 2. Der Winkel \(222^\circ\) liegt im III. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(222^\circ - 180^\circ = 42^\circ\) ergibt sich \(\cos 222^\circ = -\cos 42^\circ\). 3. Der Winkel \(305^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Es gilt \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(360^\circ - 305^\circ = 55^\circ\) ergibt sich \(\sin 305^\circ = -\sin 55^\circ\).

1. \(\sin 42^\circ\) 2. \(-\cos 42^\circ\) 3. \(-\sin 55^\circ\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der gesuchte Winkel liegt. - Wie hängen die \(y\)-Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis zusammen, wenn man sie an der \(y\)-Achse oder am Ursprung spiegelt? - Welchen Bezugswinkel im ersten Quadranten kannst du für die Berechnungen nutzen? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Sinuswerte in den vier Quadranten.

1. Der Winkel \(165^\circ\) liegt im II. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 165^\circ = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ \approx 0{,}2588\). 2. Der Winkel \(195^\circ\) liegt im III. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 195^\circ = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ \approx -0{,}2588\). 3. Der Winkel \(345^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 345^\circ = \sin(360^\circ - 15^\circ) = -\sin 15^\circ \approx -0{,}2588\).

1. \(\sin 165^\circ \approx 0{,}2588\) 2. \(\sin 195^\circ \approx -0{,}2588\) 3. \(\sin 345^\circ \approx -0{,}2588\)

- Überprüfe vor der Rechnung, ob auf dem Display deines Taschenrechners „RAD“ oder ein kleines „R“ zu sehen ist. - Achte beim Runden auf die fünfte Nachkommastelle: Ist diese 5 oder größer, musst du aufrunden. - Negative Vorzeichen müssen beim Argument der Funktion mit eingegeben werden.

1. Einstellung des Taschenrechners auf den Modus RAD (Bogenmaß). 2. Eingabe der Werte und Rundung auf vier Dezimalstellen: a) \(\sin(0{,}85) \approx 0{,}7513\) b) \(\cos(2{,}12) \approx -0{,}5220\) c) \(\sin(-0{,}5) \approx -0{,}4794\) d) \(\cos(7{,}5) \approx 0{,}3466\)

a) \(0{,}7513\) b) \(-0{,}5220\) c) \(-0{,}4794\) d) \(0{,}3466\)

- In welchem Quadranten des Einheitskreises liegt der jeweilige Winkel? - Wie groß ist der spitze Winkel zur \(x\)-Achse (der Bezugswinkel)? - Welche Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten? - Erinnerst du dich an die Werte für die Winkel \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\) und \(\frac{\pi}{3}\)?

1. Für \(x = \frac{5}{6}\pi\) (II. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{6}\). Da der Sinus im II. Quadranten positiv und der Kosinus negativ ist, ergibt sich \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}\) und \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Für \(x = \frac{4}{3}\pi\) (III. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{3}\). Im III. Quadranten sind sowohl Sinus als auch Kosinus negativ. Es folgt \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}\). 3. Für \(x = \frac{7}{4}\pi\) (IV. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{4}\). Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Somit gilt \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

a) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}\); \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}\) c) \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- Überprüfe vor dem Rechnen die Einstellung deines Taschenrechners. Suchst du Gradmaß oder Bogenmaß? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „am nächsten bei 0“ liegt? - Achte beim Runden genau auf die fünfte Nachkommastelle.

1. Berechnung der einzelnen Funktionswerte im Bogenmaß: \(\sin(4{,}5) \approx -0{,}9775\) \(\cos(-2{,}1) \approx -0{,}5048\) \(\sin(-0{,}75) \approx -0{,}6816\) \(\cos(10{,}2) \approx -0{,}7143\) 2. Vergleich der Beträge der Ergebnisse, um die Nähe zu \(0\) zu bestimmen: \(|-0{,}5048| < |-0{,}6816| < |-0{,}7143| < |-0{,}9775|\) Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt mit \(-0{,}5048\) am nächsten bei \(0\).

a) \(-0{,}9775\) b) \(-0{,}5048\) c) \(-0{,}6816\) d) \(-0{,}7143\) Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt am nächsten bei \(0\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Sinus eines Winkels und dem Kosinus seines Komplementärwinkels? - Wie viele Stellen im Einheitskreis haben denselben \(x\)-Wert? - Skizziere einen Einheitskreis und markiere die Positionen, an denen der Kosinus positiv ist.

1. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis über komplementäre Winkel: \(\sin 68^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 68^{\circ}) = \cos 22^{\circ}\). 2. Identifikation der ersten Lösung im ersten Quadranten: \(\alpha_1 = 22^{\circ}\). 3. Bestimmung der zweiten Lösung unter Ausnutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion an der \(x\)-Achse im Einheitskreis: \(\alpha_2 = 360^{\circ} - 22^{\circ} = 338^{\circ}\).

\(\alpha_1 = 22^{\circ}\) und \(\alpha_2 = 338^{\circ}\)

- Der Abstand jedes Punktes auf dem Kreis zum Ursprung ist genau 1. Wie berechnet man diesen Abstand mit \(x\) und \(y\)? - Erinnere dich an die Formel für den Einheitskreis aus dem Unterricht. - Setze den gegebenen x-Wert in deine gewählte Formel ein und stelle nach \(y\) um.

1. Bestimmung der Kreisgleichung: Da es sich um den Einheitskreis mit Radius \(r=1\) und Mittelpunkt im Ursprung handelt, lautet die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras \(x^2 + y^2 = r^2\), also \(x^2 + y^2 = 1\). Antwort (B) ist korrekt. 2. Berechnung der y-Koordinate: Setze \(x = 0{,}6\) in die Gleichung ein: \((0{,}6)^2 + y^2 = 1\). 3. Auflösen nach \(y\): \(0{,}36 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). 4. Wurzel ziehen: \(y = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) (da der Punkt im ersten Quadranten liegt, ist \(y > 0\)).

a) Die richtige Gleichung ist (B) \(x^2 + y^2 = 1\). b) Die y-Koordinate des Punktes ist \(0{,}8\).

- Ein Punkt liegt auf einer Kurve, wenn seine Koordinaten deren Gleichung erfüllen. - Setze für jeden Punkt die beiden Koordinaten in \(x^2+y^2\) ein. - Vergleiche die erhaltene Summe mit dem Radiusquadrat des Einheitskreises.

1. Für \(P\) gilt \((0{,}8)^2+(0{,}6)^2=0{,}64+0{,}36=1\). Damit erfüllt \(P\) die Kreisgleichung und liegt auf dem Einheitskreis. 2. Für \(Q\) gilt \(1^2+1^2=2\). Da \(2\neq1\), liegt \(Q\) nicht auf dem Einheitskreis.

Nur \(P(0{,}8\mid0{,}6)\) liegt auf der Kreislinie.

- Ordne jeden Winkel zuerst einem Quadranten und einem bekannten Bezugswinkel zu. - Die horizontale Koordinate des Einheitskreispunkts ist der Kosinuswert. - Die vertikale Koordinate ist der Sinuswert. - Bestimme die Vorzeichen aus dem Quadranten, bevor du die exakten Beträge einsetzt.

1. Für \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\) liegt der Punkt im ersten Quadranten. Daher ist \(A\left(\frac{\sqrt3}{2}\mid\frac12\right)\), also \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\) und \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\). 2. Für \(\frac{3\pi}{4}=135^\circ\) liegt der Punkt im zweiten Quadranten. Daher ist \(B\left(-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac{\sqrt2}{2}\right)\), also \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\). 3. Für \(\frac{5\pi}{3}=300^\circ\) liegt der Punkt im vierten Quadranten. Daher ist \(C\left(\frac12\mid-\frac{\sqrt3}{2}\right)\), also \(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12\) und \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\).

A) \(A\left(\frac{\sqrt3}{2}\mid\frac12\right)\), \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\) B) \(B\left(-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac{\sqrt2}{2}\right)\), \(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\) C) \(C\left(\frac12\mid-\frac{\sqrt3}{2}\right)\), \(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12\), \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\)

- Stelle dir vor, wie ein Punkt auf dem Kreis wandert, wenn der Winkel größer wird. - Was passiert mit der Höhe des Punktes, wenn der Winkel von \(0^\circ\) auf \(90^\circ\) ansteigt? - Was passiert mit dem Abstand zur \(y\)-Achse? - Wann liegt ein Punkt genau in der Mitte zwischen der waagerechten und der senkrechten Achse?

1. Zu a): Der Sinus entspricht der \(y\)-Koordinate. Im ersten Quadranten (\(0^\circ\) bis \(90^\circ\)) nimmt die \(y\)-Koordinate mit steigendem Winkel zu. Da \(75^\circ > 20^\circ\), ist \(\sin(75^\circ) > \sin(20^\circ)\). 2. Zu b): Der Kosinus entspricht der \(x\)-Koordinate. Im ersten Quadranten nimmt die \(x\)-Koordinate mit steigendem Winkel ab (der Punkt wandert nach links). Da \(10^\circ < 80^\circ\), ist \(\cos(10^\circ) > \cos(80^\circ)\). 3. Zu c): Sinus und Kosinus sind gleich groß, wenn die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis identisch sind. Dies ist auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten der Fall, also bei \(\alpha = 45^\circ\).

a) \(\sin(75^\circ)\) ist größer, da die \(y\)-Koordinate im 1. Quadranten bei größerem Winkel höher liegt. b) \(\cos(10^\circ)\) ist größer, da die \(x\)-Koordinate im 1. Quadranten bei kleinerem Winkel weiter rechts liegt. c) Bei \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\).

- Welche trigonometrische Funktion (Sinus oder Kosinus) ist im Einheitskreis direkt mit der \(y\)-Koordinate verknüpft? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Radius \(r=1\) zusammen? - Gibt es eine Formel, die Sinus und Kosinus desselben Winkels verbindet?

1. Im Einheitskreis entspricht die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels \(\alpha\). Es gilt also \(\sin \alpha = 0{,}45\). Daraus folgt \(\alpha = \arcsin(0{,}45) \approx 26{,}74^\circ\). 2. Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Kosinus des Winkels: \(x = \cos(26{,}7436\dots^\circ) \approx 0{,}89\). Alternativ kann der Satz des Pythagoras im Einheitskreis verwendet werden: \(x^2 + y^2 = 1^2 \implies x = \sqrt{1 - 0{,}45^2} = \sqrt{1 - 0{,}2025} = \sqrt{0{,}7975} \approx 0{,}89\).

1. \(\alpha \approx 26{,}74^\circ\) 2. \(x \approx 0{,}89\)

- Nutze deinen Taschenrechner, um die Werte für den Sinus und Kosinus von \(45^\circ\) zu addieren. - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem vor, dessen Hypotenuse die Länge \(1\) hat. - Welche Seitenlängen haben die Katheten dieses Dreiecks ausgedrückt durch Sinus und Kosinus? - Welcher Satz gilt für die Seiten in diesem rechtwinkligen Dreieck?

1. Überprüfung für \(45^\circ\): \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) und \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). Die Summe ist \(\approx 1{,}414\), was ungleich \(1\) ist. Die Vermutung ist widerlegt. 2. Herleitung im Einheitskreis: Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \(x = \cos(\alpha)\) und \(y = \sin(\alpha)\). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse \(r = 1\) und den Katheten \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) gilt \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). 4. Für einen spitzen Winkel sind \(\sin(\alpha)>0\) und \(\cos(\alpha)>0\). Daher gilt \((\sin(\alpha)+\cos(\alpha))^2=1+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)>1\), also \(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)>1\). Damit kann die behauptete Gleichheit für spitze Winkel nicht gelten.

a) Für \(\alpha = 45^\circ\) ergibt sich \(\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) \approx 0{,}707 + 0{,}707 = 1{,}414 \neq 1\). Die Vermutung ist also falsch. b) Im Einheitskreis gilt nach dem Satz des Pythagoras \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Für spitze Winkel sind Sinus und Kosinus positiv, daher ist \(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)>1\); die behauptete Gleichheit kann also nicht gelten.

- Wie hängen die Winkel \(70^\circ\) und \(290^\circ\) zusammen, wenn du eine volle Umdrehung betrachtest? - Überlege dir, welche Symmetrie vorliegt (Spiegelung an einer Achse?). - Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Sinus, welche dem Kosinus?

1. Der Winkel \(290^\circ\) kann als \(360^\circ - 70^\circ\) dargestellt werden. 2. Im Einheitskreis entspricht der Kosinus der \(x\)-Koordinate. Da \(290^\circ\) durch Spiegelung von \(70^\circ\) an der \(x\)-Achse entsteht, bleibt die \(x\)-Koordinate identisch. Daher \(\cos(70^\circ) = \cos(290^\circ)\). 3. Der Sinus entspricht der \(y\)-Koordinate. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt sich das Vorzeichen der \(y\)-Koordinate um. 4. Es gilt daher \(\sin(290^\circ) = -\sin(70^\circ)\). Das Verhältnis ist \(-1\). 5. In der Skizze liegen die Punkte symmetrisch zur horizontalen Achse (erster und vierter Quadrant).

a) Da \(290^\circ = 360^\circ - 70^\circ\), liegen die Punkte auf dem Einheitskreis symmetrisch zur \(x\)-Achse. Die \(x\)-Koordinaten (Kosinuswerte) sind daher gleich. b) Es gilt \(\sin(290^\circ) = -\sin(70^\circ)\), also \(\frac{\sin(290^\circ)}{\sin(70^\circ)} = -1\). c) Die Skizze zeigt zwei Punkte: einer im 1. Quadranten (\(70^\circ\)) und einer im 4. Quadranten (\(290^\circ\)), die vertikal genau übereinander liegen.

- Forme die Gleichungen zuerst so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht. - Bei Teilaufgabe c) hilft dir die Überlegung, dass Winkel mit dem gleichen Sinuswert die gleiche y-Koordinate am Einheitskreis haben.

1. Gleichung \(2\cos(\alpha) = 1{,}5\) nach \(\cos(\alpha)\) auflösen: \(\cos(\alpha) = 0{,}75\). Erster Winkel \(\alpha_1 = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}41^\circ\). Zweiter Winkel \(\alpha_2 = 360^\circ - 41{,}41^\circ = 318{,}59^\circ\). 2. Gleichung \(3\sin(\alpha) = -1{,}2\) nach \(\sin(\alpha)\) auflösen: \(\sin(\alpha) = -0{,}4\). Referenzwinkel \(\arcsin(0{,}4) \approx 23{,}58^\circ\). Winkel in Quadrant 3 und 4: \(\alpha_1 = 180^\circ + 23{,}58^\circ = 203{,}58^\circ\) und \(\alpha_2 = 360^\circ - 23{,}58^\circ = 336{,}42^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = \sin(40^\circ)\) ist der erste Winkel direkt \(40^\circ\). Der zweite Winkel mit gleichem Sinuswert ergibt sich aus der Supplementärbeziehung: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 41{,}41^\circ\); \(\alpha_2 \approx 318{,}59^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 203{,}58^\circ\); \(\alpha_2 \approx 336{,}42^\circ\) c) \(\alpha_1 = 40^\circ\); \(\alpha_2 = 140^\circ\)

- Welche fundamentale Gleichung verbindet Sinus und Kosinus desselben Winkels? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse oder der \(x\)-Achse? - Überlege, in welchem Quadranten der Winkel \(360^\circ - \alpha\) liegt, wenn \(\alpha\) spitz ist.

1. Berechnung von \(\cos(\alpha)\): Mit \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) folgt \(\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}28^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216\). Da \(\alpha\) ein spitzer Winkel ist, gilt \(\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96\). 2. Bestimmung von \(\sin(180^\circ - \alpha)\): Da der Sinus im I. und II. Quadranten für symmetrische Winkel gleich ist, gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) = 0{,}28\). 3. Bestimmung von \(\cos(360^\circ - \alpha)\): Da der Kosinus im I. und IV. Quadranten für symmetrische Winkel gleich ist (Spiegelung an der \(x\)-Achse), gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) = 0{,}96\).

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}96\). b) \(\sin(180^\circ - \alpha) = 0{,}28\) und \(\cos(360^\circ - \alpha) = 0{,}96\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern gleich Null? - Denke beim Lösen von Quadraten (\(x^2 = a\)) immer an beide möglichen Vorzeichen der Wurzel. - Wie viele Lösungen erwartest du im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\)?

1. Gleichung a) nutzt den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. 2. Erster Faktor: \(\sin(\alpha) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(\alpha) = 1\). Dies ist für \(\alpha = 90^\circ\) erfüllt. 3. Zweiter Faktor: \(\cos(\alpha) + 0{,}5 = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) = -0{,}5\). Dies ist für \(\alpha = 120^\circ\) und \(\alpha = 240^\circ\) erfüllt. 4. Zusammenführung für a): \(L = \{90^\circ; 120^\circ; 240^\circ\}\). 5. Gleichung b): \(\cos^2(\alpha) = 0{,}25\) durch Wurzelziehen lösen: \(\cos(\alpha) = 0{,}5\) oder \(\cos(\alpha) = -0{,}5\). 6. Für \(\cos(\alpha) = 0{,}5\): \(\alpha = 60^\circ\) und \(\alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\). 7. Für \(\cos(\alpha) = -0{,}5\): \(\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) und \(\alpha = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 8. Zusammenführung für b): \(L = \{60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ\}\).

a) \(L = \{90^\circ; 120^\circ; 240^\circ\}\) b) \(L = \{60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ\}\)

- Wie hängen die Winkel \(140^\circ\), \(220^\circ\) und \(320^\circ\) mit dem Winkel \(40^\circ\) zusammen? - Denke an die Spiegelungen am Einheitskreis (an der \(y\)-Achse, der \(x\)-Achse oder am Ursprung). - Ändert sich bei der jeweiligen Spiegelung das Vorzeichen des Sinuswertes (der \(y\)-Koordinate)?

1. Für \(\sin(140^\circ)\): Der Winkel \(140^\circ\) entspricht \(180^\circ - 40^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(140^\circ) = \sin(40^\circ) \approx 0{,}643\). 2. Für \(\sin(220^\circ)\): Der Winkel \(220^\circ\) entspricht \(180^\circ + 40^\circ\). Dies ist eine Punktspiegelung am Ursprung. Es gilt \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(220^\circ) = -0{,}643\). 3. Für \(\sin(320^\circ)\): Der Winkel \(320^\circ\) entspricht \(360^\circ - 40^\circ\). Dies ist eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Es gilt \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(320^\circ) = -0{,}643\).

a) \(\sin(140^\circ) \approx 0{,}643\) b) \(\sin(220^\circ) \approx -0{,}643\) c) \(\sin(320^\circ) \approx -0{,}643\)

- Welches Vorzeichen haben \(x\) und \(y\) in den verschiedenen Quadranten? - Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis durch die Koordinaten eines Punktes definiert? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Zusammenhang mit dem Einheitskreis. - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn man ihn an der \(y\)-Achse spiegelt?

1. Da die \(x\)-Koordinate negativ und die \(y\)-Koordinate positiv ist, liegt der Punkt im 2. Quadranten. 2. Am Einheitskreis gilt \(x = \cos(\alpha)\) und \(y = \sin(\alpha)\). Daher ist \(\cos(\alpha) = -0{,}8\) und \(\sin(\alpha) = 0{,}6\). 3. Berechnung: \(0{,}6^2 + (-0{,}8)^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\). Dies bestätigt den trigonometrischen Pythagoras. 4. Der Winkel \(180^\circ - \alpha\) entsteht durch Spiegelung des Punktes \(P\) an der \(y\)-Achse. Dabei bleibt der \(y\)-Wert gleich, und der \(x\)-Wert ändert sein Vorzeichen. Die Koordinaten von \(Q\) sind somit \((0{,}8 \mid 0{,}6)\).

a) 2. Quadrant b) \(\cos(\alpha) = -0{,}8\); \(\sin(\alpha) = 0{,}6\) c) \(1\); trigonometrischer Pythagoras d) \(Q(0{,}8 \mid 0{,}6)\)

- Nutze die Beziehung \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). - Erinnere dich an die Tabelle der Standardwerte für \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\). - Spiegle den Punkt für \(120^\circ\) an der x-Achse, um einen Winkel im 3. Quadranten mit gleichem x-Wert zu finden. - Wann sind in einem Koordinatensystem die x- und y-Werte eines Punktes gleich groß?

1. Es gilt \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). Zudem ist bekannt, dass \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Die Summe ergibt \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). 2. Der Kosinuswert von \(\alpha = 120^\circ\) ist \(\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0{,}5\). Gesucht ist ein Winkel \(\beta\) im 3. Quadranten mit \(\cos(\beta) = -0{,}5\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse oder durch die Beziehung \(\cos(180^\circ + \gamma) = -\cos(\gamma)\) ergibt sich mit \(\gamma = 60^\circ\): \(\beta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 3. Am Einheitskreis gilt \(\sin(\alpha) = y\) und \(\cos(\alpha) = x\). Die Bedingung \(x = y\) wird im ersten Quadranten nur von Punkten auf der Winkelhalbierenden erfüllt. Diese teilt den rechten Winkel (\(90^\circ\)) exakt in der Mitte, woraus \(\alpha = 45^\circ\) folgt.

a) \(x = 1\) b) \(\beta = 240^\circ\) c) Da \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) die Koordinaten \(y\) und \(x\) am Einheitskreis sind, müssen diese für Gleichheit auf der Geraden \(y = x\) liegen. Im ersten Quadranten ist dies nur bei \(45^\circ\) der Fall.

- Was weißt du über die Werte von Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - In welchem Bereich liegen die Werte der Sinusfunktion generell? - Wie berechnet man einen Winkel im dritten Quadranten, wenn man den Basiswinkel aus dem ersten Quadranten kennt?

1. Da \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) \approx 0{,}707\), suchen wir Winkel mit \(\sin(\alpha) = \sin(45^\circ)\). Dies sind \(\alpha_1 = 45^\circ\) und \(\alpha_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 2. Der Kosinuswert \(-0{,}5\) gehört zu einem Referenzwinkel von \(60^\circ\), da \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\). Im dritten Quadranten wird der Winkel von der negativen \(x\)-Achse aus gemessen: \(\alpha = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 3. Der Sinuswert entspricht der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Da der Radius des Einheitskreises \(1\) beträgt, liegen alle \(y\)-Koordinaten im Bereich \([-1; 1]\). Ein Wert von \(1{,}2\) ist daher unmöglich.

a) \(45^\circ, 135^\circ\) b) \(240^\circ\) c) Der Sinuswert liegt immer im Intervall \([-1; 1]\), da die Punkte auf dem Einheitskreis liegen.

- Skizziere einen Einheitskreis und trage den Winkel \(35^\circ\) ein. - Überlege, wie die anderen Winkel mit \(35^\circ\) zusammenhängen (z. B. \(180^\circ - 35^\circ\)). - Welche Koordinaten am Einheitskreis entsprechen dem Kosinuswert? - Erinnere dich an die Regel für die Periodizität von Sinus und Kosinus.

1. Zu a): Der Winkel \(325^\circ\) entspricht \(360^\circ - 35^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\), also \(\cos(325^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 2. Zu b): Der Winkel \(145^\circ\) entspricht \(180^\circ - 35^\circ\). Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\), also \(\cos(145^\circ) = -\cos(35^\circ) \approx -0{,}819\). 3. Zu c): Aufgrund der Geradheit der Kosinusfunktion gilt \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(-35^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 4. Zu d): Da die Kosinusfunktion eine Periode von \(360^\circ\) hat, gilt \(\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(395^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\).

a) \(0{,}819\) b) \(-0{,}819\) c) \(0{,}819\) d) \(0{,}819\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der Winkel liegt. Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus dort? - Skizziere im Kopf den Einheitskreis. Ist die Projektion auf die Achsen eher lang (nahe 1 oder -1) oder kurz (nahe 0)? - Erinnere dich daran, dass der Sinuswert der \(y\)-Koordinate und der Kosinuswert der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht.

1. \(\sin(110^\circ)\): Der Winkel liegt im 2. Quadranten, der Sinuswert ist positiv. Da \(110^\circ\) nah an \(90^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(1\) sein. Ergebnis: \(0{,}94\). 2. \(\cos(200^\circ)\): Der Winkel liegt im 3. Quadranten, der Kosinuswert ist negativ. Da \(200^\circ\) nah an \(180^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(-1\) sein. Ergebnis: \(-0{,}94\). 3. \(\sin(340^\circ)\): Der Winkel liegt im 4. Quadranten, der Sinuswert ist negativ. Da \(340^\circ\) nah an \(360^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(0\) sein. Ergebnis: \(-0{,}34\). 4. \(\cos(70^\circ)\): Der Winkel liegt im 1. Quadranten, der Kosinuswert ist positiv. Da \(70^\circ\) nah an \(90^\circ\) liegt, muss der Wert klein sein. Ergebnis: \(0{,}34\).

a) \(0{,}94\) b) \(-0{,}94\) c) \(-0{,}34\) d) \(0{,}34\)

- Beachte die Vorzeichenregeln: Sinus ist oben positiv, Kosinus ist rechts positiv. - Können Sinus- oder Kosinuswerte jemals größer als \(1\) oder kleiner als \(-1\) sein? - Wie verhalten sich die Werte in der Nähe der Achsen (bei \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\))?

1. \(\sin(10^\circ)\): 1. Quadrant, \(y\)-Wert positiv und sehr klein (nahe \(0^\circ\)). Ergebnis: \(0{,}17\). 2. \(\cos(100^\circ)\): 2. Quadrant, \(x\)-Wert negativ und klein (nahe \(90^\circ\)). Ergebnis: \(-0{,}17\). 3. \(\sin(260^\circ)\): 3. Quadrant, \(y\)-Wert negativ und groß (nahe \(270^\circ\)). Ergebnis: \(-0{,}98\). 4. \(\cos(350^\circ)\): 4. Quadrant, \(x\)-Wert positiv und groß (nahe \(360^\circ\)). Da Kosinuswerte nie größer als \(1\) sein können, entfällt \(1{,}05\). Ergebnis: \(0{,}98\).

a) \(0{,}17\) b) \(-0{,}17\) c) \(-0{,}98\) d) \(0{,}98\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Unterteile den Einheitskreis in vier Quadranten (jeweils \(90^\circ\)). Wo landet man bei \(310^\circ\)? - Bei negativen Winkeln drehst du dich im Uhrzeigersinn. Wo liegt der Winkel \(-215^\circ\)?

1. Berechnung der Werte für \(\gamma\): \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}766\) und \(\cos(310^\circ) \approx 0{,}643\). 2. Begründung der Vorzeichen: Der Winkel \(310^\circ\) liegt im IV. Quadranten (\(270^\circ < 310^\circ < 360^\circ\)). Dort sind die \(x\)-Werte (Kosinus) positiv und die \(y\)-Werte (Sinus) negativ. 3. Berechnung der Werte für \(\delta\): \(\sin(-215^\circ) \approx 0{,}574\) und \(\cos(-215^\circ) \approx -0{,}819\).

a) \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}766\); \(\cos(310^\circ) \approx 0{,}643\). Begründung: Der Winkel liegt im IV. Quadranten, daher ist der Kosinuswert positiv und der Sinuswert negativ. b) \(\sin(-215^\circ) \approx 0{,}574\); \(\cos(-215^\circ) \approx -0{,}819\).

- Wie viele Lösungen erwartest du im Bereich einer vollen Umdrehung am Einheitskreis? - Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert positiv bzw. negativ ist. - Wenn dein Taschenrechner einen negativen Winkel ausgibt, wie kannst du diesen in den Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) verschieben? - Nutze die Symmetrieeigenschaft \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\), um den zweiten Winkel zu finden.

1. Berechnung für \(\sin(\alpha) = 0{,}35\): Der Taschenrechner liefert den ersten Winkel \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}35) \approx 20{,}5^\circ\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis (\(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\)) ergibt sich der zweite Winkel im zweiten Quadranten zu \(\alpha_2 = 180^\circ - 20{,}487\ldots^\circ \approx 159{,}5^\circ\). 2. Berechnung für \(\sin(\alpha) = -0{,}82\): Der Referenzwinkel ist \(\arcsin(0{,}82) \approx 55{,}1^\circ\). Da der Sinuswert negativ ist, liegen die Lösungen im dritten und vierten Quadranten. Damit gilt \(\alpha_1 = 180^\circ + 55{,}08\ldots^\circ \approx 235{,}1^\circ\) und \(\alpha_2 = 360^\circ - 55{,}08\ldots^\circ \approx 304{,}9^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 20{,}5^\circ\); \(\alpha_2 \approx 159{,}5^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 235{,}1^\circ\); \(\alpha_2 \approx 304{,}9^\circ\)

- Erinnere dich an die Definition des Kosinus als x-Koordinate am Einheitskreis. - Bei welchen Winkeln haben Punkte auf dem Einheitskreis dieselbe x-Koordinate? - Gibt es besondere Winkel wie \(30^\circ\), \(45^\circ\) oder \(60^\circ\), deren Werte du auswendig kennst? - Verwende die Beziehung \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) für den zweiten Winkel.

1. Lösung für \(\cos(\alpha) = -0{,}4\): Mit der Umkehrfunktion ergibt sich \(\alpha_1 = \arccos(-0{,}4) \approx 113{,}6^\circ\). Da die Kosinuswerte symmetrisch zur x-Achse sind (\(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\)), liegt der zweite Winkel im dritten Quadranten bei \(\alpha_2 = 360^\circ - 113{,}57\ldots^\circ \approx 246{,}4^\circ\). 2. Lösung für \(\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\): Dies ist ein Standardwert am Einheitskreis. Der erste Winkel im ersten Quadranten ist \(\alpha_1 = 30^\circ\). Der zweite Winkel mit demselben Kosinuswert liegt im vierten Quadranten und berechnet sich durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 113{,}6^\circ\); \(\alpha_2 \approx 246{,}4^\circ\) b) \(\alpha_1 = 30^\circ\); \(\alpha_2 = 330^\circ\)

- Überlege dir, an welcher Stelle (x-Koordinate oder y-Koordinate) man den Kosinuswert am Einheitskreis abliest. - Skizziere die Lage der Winkel im Einheitskreis. In welchen Quadranten ist der Kosinus negativ, in welchen positiv? - Erinnere dich an markante Werte wie \(0\), \(1\) und \(-1\). - Je weiter links ein Punkt auf dem Einheitskreis liegt, desto kleiner ist sein Kosinuswert.

1. Berechnung oder Bestimmung der Kosinuswerte für die gegebenen Winkel im Einheitskreis: \(\cos(180^\circ) = -1\) \(\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\) \(\cos(270^\circ) = 0\) \(\cos(300^\circ) = 0{,}5\) \(\cos(20^\circ) \approx 0{,}940\) 2. Sortieren der Werte in aufsteigender Folge: \(-1 < -0{,}866 < -0{,}5 < 0 < 0{,}5 < 0{,}940\). 3. Zuordnung der Buchstaben: \(180^\circ\) (P), \(210^\circ\) (R), \(120^\circ\) (I), \(270^\circ\) (S), \(300^\circ\) (M), \(20^\circ\) (A).

Das Lösungswort lautet PRISMA.

- Nutze die Symmetrien am Einheitskreis (z. B. \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) oder \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)\)). - In welchem Quadranten ist der Kosinuswert positiv, in welchem negativ? - Vergleiche die Abstände der Winkel zu den Achsen oder zu den Werten \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\). - Ein Winkel, der näher an der x-Achse liegt (\(0^\circ\) oder \(180^\circ\)), hat einen größeren Betrag des Kosinuswerts.

1. Analyse der Quadranten: \(40^\circ\) liegt im I. Quadranten (\(\cos > 0\)), \(130^\circ\) im II. Quadranten (\(\cos < 0\)), \(220^\circ\) im III. Quadranten (\(\cos < 0\)) und \(310^\circ\) im IV. Quadranten (\(\cos > 0\)). 2. Vergleich der Beträge: \(40^\circ\) und \(220^\circ\) (da \(220^\circ = 180^\circ + 40^\circ\)) haben denselben Betrag des Kosinus, nämlich \(|\cos(40^\circ)| = |\cos(220^\circ)|\). Da \(\cos(40^\circ) > 0\) und \(\cos(220^\circ) < 0\), folgt \(\cos(40^\circ) = 0{,}77\) und \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\). 3. Entsprechend für \(130^\circ\) und \(310^\circ\): Es gilt \(130^\circ = 180^\circ - 50^\circ\) und \(310^\circ = 360^\circ - 50^\circ\). Beide haben den Betrag \(|\cos(50^\circ)|\). Da \(\cos(310^\circ) > 0\) und \(\cos(130^\circ) < 0\), folgt \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\) und \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\).

\(\cos(40^\circ) = 0{,}77\); \(\cos(130^\circ) = -0{,}64\); \(\cos(220^\circ) = -0{,}77\); \(\cos(310^\circ) = 0{,}64\)

- Überlege dir am Einheitskreis, in welchem Quadranten der Winkel liegt und ob sich die Sinus- oder Kosinuswerte bei Verschiebungen um \(90^\circ\), \(180^\circ\) oder \(270^\circ\) vertauschen. - Achte besonders auf das Vorzeichen im jeweiligen Quadranten. - Es kann helfen, für \(\alpha\) einen kleinen Beispielwinkel wie \(10^\circ\) einzusetzen, um die Werte zu vergleichen.

1. Untersuchung der Terme mithilfe der Reduktionsformeln am Einheitskreis: - \(A: \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\) - \(B: \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(C: \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) - \(D: \cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(E: \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(F: \cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) 2. Gruppierung der wertgleichen Terme: - Gruppe 1 (Wert \(\sin(\alpha)\)): Kärtchen B, D und E. - Gruppe 2 (Wert \(-\sin(\alpha)\)): Kärtchen A, C und F.

Gruppe 1: B, D, E (alle entsprechen \(\sin(\alpha)\)) Gruppe 2: A, C, F (alle entsprechen \(-\sin(\alpha)\))

- Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (Achsen- und Punktsymmetrie). - Überlege, wie sich Sinus und Kosinus bei einer Verschiebung um \(90^\circ\) oder \(270^\circ\) zueinander verhalten. - Teste im Zweifelsfall einen Winkel wie \(\alpha = 0^\circ\) oder \(\alpha = 30^\circ\), um eine Aussage schnell zu widerlegen.

1. \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\) und \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 2. \(\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\) und \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 3. \(\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\) und \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 4. \(\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\) und \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 5. \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). Da \(\cos(\alpha) = -\cos(\alpha)\) nicht für alle \(\alpha\) gilt, ist die Aussage falsch.

Wahr sind die Gleichungen 1, 2, 3 und 4. Gleichung 5 ist falsch.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis und den Werten von Sinus und Kosinus? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck am Einheitskreis. - Überlege dir, welches Vorzeichen der Kosinuswert im zweiten Quadranten (zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)) haben muss.

1. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \((0{,}6)^2 + \cos^2(\alpha) = 1\), woraus \(0{,}36 + \cos^2(\alpha) = 1\) folgt. 3. Isolieren von \(\cos^2(\alpha)\): \(\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). 4. Bestimmung der möglichen Werte für den Kosinus: \(\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) oder \(\cos(\alpha) = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8\). 5. Berücksichtigung des Quadranten: Da \(\alpha\) ein stumpfer Winkel im zweiten Quadranten ist (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), muss der Kosinuswert negativ sein. Somit gilt \(\cos(\alpha) = -0{,}8\).

\(\cos(\alpha) = -0{,}8\)

- Wie hängen die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit \(1\) zusammen? - Wenn der Kosinuswert feststeht, wie viele Punkte auf dem Einheitskreis erfüllen diese Bedingung im Bereich einer vollen Umdrehung? - Achte darauf, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen entstehen können.

1. Verwendung der Identität \(\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1\). 2. Einsetzen des Kosinuswertes: \(\sin^2(\beta) + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1\). 3. Quadrieren des Bruchs: \(\sin^2(\beta) + \frac{144}{169} = 1\). 4. Subtraktion zur Isolierung von \(\sin^2(\beta)\): \(\sin^2(\beta) = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\). 5. Ziehen der Wurzel für beide möglichen Vorzeichen: \(\sin(\beta) = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}\). 6. Da im Intervall von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) für einen negativen Kosinuswert zwei Punkte auf dem Einheitskreis existieren (einer im zweiten und einer im dritten Quadranten), sind beide Vorzeichen für den Sinus möglich: \(\sin(\beta) = \frac{5}{13}\) oder \(\sin(\beta) = -\frac{5}{13}\).

\(\sin(\beta) = \frac{5}{13}\) oder \(\sin(\beta) = -\frac{5}{13}\)

- Stelle dir den Graphen der Funktion vor und zeichne eine horizontale Linie beim gesuchten Wert ein. Wo schneiden sie sich? - Beachte, dass bei Extremwerten wie \(1\) oder \(-1\) innerhalb eines Intervalls von \(2\pi\) oft nur eine Lösung existiert. - Nutze die Periodizität und Symmetrieeigenschaften (\(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) und \(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um weitere Lösungen zu finden. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „Bogenmaß“ (RAD) eingestellt ist.

1. Für \(\cos(x) = -0{,}5\): Der Arkuskosinus liefert \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\). Die zweite Lösung im Intervall liegt symmetrisch zu \(2\pi\), also \(x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\). 2. Für \(\sin(x) = 1\): Im Intervall \([0; 2\pi)\) erreicht die Sinusfunktion ihren Maximalwert nur an einer Stelle, nämlich bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\). 3. Für \(\cos(x) = 0{,}25\): Der Taschenrechner liefert \(x_1 = \arccos(0{,}25) \approx 1{,}318\). Die zweite Lösung ergibt sich durch \(x_2 = 2\pi - 1{,}318 \approx 4{,}965\).

a) \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\); \(x_2 = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\) b) \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\) c) \(x_1 \approx 1{,}318\); \(x_2 \approx 4{,}965\)

- Welche Bedeutung haben die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis für den Sinus und Kosinus? - Überlege dir, wie man Punkte am Einheitskreis an den Achsen spiegeln kann, um gleiche Koordinatenwerte zu erhalten. - In welchen Quadranten ist der Sinuswert positiv, in welchen der Kosinuswert negativ? - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Abstand zur \(x\)- bzw. \(y\)-Achse haben?

1. Da die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis durch \((\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))\) gegeben sind, berechnet man \(\cos(115^{\circ}) \approx -0{,}42\) und \(\sin(115^{\circ}) \approx 0{,}91\). Somit ist \(P(-0{,}42 \mid 0{,}91)\). 2. Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(\sin(\alpha) = \sin(180^{\circ} - \alpha)\). Für \(\beta\) ergibt sich \(180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(\alpha) = \cos(360^{\circ} - \alpha)\). Für \(\gamma\) ergibt sich \(360^{\circ} - 115^{\circ} = 245^{\circ}\).

a) \(P(-0{,}42 \mid 0{,}91)\) b) \(\beta = 65^{\circ}\) c) \(\gamma = 245^{\circ}\)

- Ordne jeden Winkel zunächst einer Position auf dem Einheitskreis zu. - Der Kosinus ist die horizontale Koordinate des zugehörigen Punktes. - Vergleiche die exakten Werte, bevor du die Buchstaben abliest. - Achte darauf, dass aufsteigend vom kleinsten zum größten Kosinuswert bedeutet.

1. Am Einheitskreis gelten \(\cos(\pi)=-1\), \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12\), \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\cos(0)=1\). 2. Damit ist \(-1<-\frac{\sqrt3}{2}<-\frac12<\frac{\sqrt2}{2}<1\). 3. Die zugehörigen Buchstaben lauten S, T, E, R, N und ergeben „STERN“.

Aufsteigend: \(\cos(\pi)=-1<\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}<\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12<\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}<\cos(0)=1\). Lösungswort: STERN

- Wie hängen der Vollkreis in Grad (\(360^\circ\)) und im Bogenmaß (\(2\pi\)) zusammen? - Überlege dir, mit welchem Faktor man vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnet. - Erinnere dich an die Sinuswerte besonderer Winkel am Einheitskreis. - Achte beim Taschenrechner darauf, ob er auf „DEG“ (Grad) oder „RAD“ (Bogenmaß) eingestellt ist.

1. Berechnung für \(\alpha = 60^\circ\): Das Bogenmaß ist \(x = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\). Der Sinuswert ist \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\). 2. Berechnung für \(x = \frac{3}{4}\pi\): Das Gradmaß ist \(\alpha = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ\). Der Sinuswert ist \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\). 3. Berechnung für \(\sin(x) = -1\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) tritt dieser Wert bei \(x = \frac{3}{2}\pi \approx 4{,}71\) auf. Das entspricht einem Gradmaß von \(\alpha = 270^\circ\). 4. Berechnung für \(\alpha = 310^\circ\): Das Bogenmaß ist \(x = \frac{310 \cdot \pi}{180} = \frac{31}{18}\pi \approx 5{,}41\). Der Sinuswert ist \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}77\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td>\(\alpha\)</td> <td>\(x\)</td> <td>\(\sin(x)\)</td> </tr> <tr> <td>\(60^\circ\)</td> <td>\(\frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\)</td> <td>\(\approx 0{,}87\)</td> </tr> <tr> <td>\(135^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{4}\pi \approx 2{,}36\)</td> <td>\(\approx 0{,}71\)</td> </tr> <tr> <td>\(270^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{2}\pi \approx 4{,}71\)</td> <td>\(-1\)</td> </tr> <tr> <td>\(310^\circ\)</td> <td>\(\frac{31}{18}\pi \approx 5{,}41\)</td> <td>\(\approx -0{,}77\)</td> </tr> </table>

- Überlege dir, welche Koordinate (x oder y) am Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - Wie hängen die Winkel \(200^\circ\) und \(160^\circ\) zusammen? Kannst du eine Spiegelachse finden? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn du ihn an der x-Achse, der y-Achse oder am Ursprung spiegelst? - Skizziere die Winkel grob im Einheitskreis, um die Symmetrie zu sehen.

1. Zu a): Die Winkel \(200^\circ\) und \(160^\circ\) liegen symmetrisch zur x-Achse, da \(360^\circ - 200^\circ = 160^\circ\) (oder alternativ \(180^\circ + 20^\circ\) und \(180^\circ - 20^\circ\)). Bei einer Spiegelung an der x-Achse bleibt die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis unverändert. Da der Kosinus der x-Koordinate entspricht, gilt \(\cos(200^\circ) = \cos(160^\circ)\). 2. Zu b): Der Winkel \(200^\circ\) kann als \(180^\circ + 20^\circ\) dargestellt werden. Der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis entsteht also durch eine Punktspiegelung des Punktes zum Winkel \(20^\circ\) am Ursprung. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung kehren sich die Vorzeichen beider Koordinaten um. Da der Sinus der y-Koordinate entspricht, folgt \(\sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ)\).

a) Die Winkel sind symmetrisch zur x-Achse (\(180^\circ \pm 20^\circ\)), wodurch die x-Koordinate (Kosinus) gleich bleibt. b) Der Punkt zu \(200^\circ\) ist punktsymmetrisch zum Punkt zu \(20^\circ\) bezüglich des Ursprungs, wodurch die y-Koordinate (Sinus) das Vorzeichen wechselt.

- Denk daran, dass es innerhalb einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\)) meist zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinus- oder Kosinuswert gibt. - Skizziere dir den Einheitskreis, um zu sehen, in welchen Quadranten die gesuchten Winkel liegen müssen. - Wenn du einen Winkel mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du mithilfe der Symmetrie den zweiten Winkel berechnen? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die berechneten Winkel wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Lösung für \(\sin(\alpha) = 0{,}42\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arcsin(0{,}42) \approx 24{,}8^\circ\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis (Sinuswerte sind im I. und II. Quadranten positiv) liegt die zweite Lösung bei \(180^\circ - 24{,}8^\circ = 155{,}2^\circ\). 2. Lösung für \(\cos(\alpha) = -0{,}75\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arccos(-0{,}75) \approx 138{,}6^\circ\). Da der Kosinuswert im II. und III. Quadranten negativ ist und Punkte mit gleicher x-Koordinate am Einheitskreis an der x-Achse gespiegelt liegen, liegt die zweite Lösung bei \(360^\circ - 138{,}6^\circ = 221{,}4^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 24{,}8^\circ\); \(\alpha_2 \approx 155{,}2^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 138{,}6^\circ\); \(\alpha_2 \approx 221{,}4^\circ\)

- Erinnere dich daran, dass der Kosinuswert dem \(x\)-Wert und der Sinuswert dem \(y\)-Wert eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht. - In welchen Quadranten sind die Koordinaten positiv, in welchen negativ? - Prüfe, ob die Beziehung zum nächstgelegenen Vielfachen von \(180^\circ\) korrekt berechnet wurde.

1. \(160^\circ\) liegt im II. Quadranten. Dort ist der Kosinus negativ. Da \(\cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ\), ist die Aussage falsch. Korrektur: \(\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ\). 2. \(215^\circ\) liegt im III. Quadranten. Dort ist der Sinus negativ. Da \(\sin(180^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ\), ist die Aussage richtig. 3. \(290^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Dort ist der Kosinus positiv. Da \(\cos(360^\circ - 70^\circ) = \cos 70^\circ\), ist die Aussage richtig.

1. Falsch; Korrektur: \(\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ\) 2. Richtig 3. Richtig

- Wo genau schneidet der Kreis mit Radius 1 die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? Notiere die Koordinaten dieser Punkte. - Erinnere dich daran, dass die \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis dem Kosinus und die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels entspricht. - Was weißt du über den Radius des Einheitskreises und wie hängen die Koordinaten \(x\) und \(y\) damit zusammen? - Kann ein Punkt auf dem Kreis gleichzeitig den maximalen \(x\)-Wert und den maximalen \(y\)-Wert annehmen?

1. Die zugehörigen Winkel sind \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) und \(360^\circ\). 2. Zuordnung der Koordinaten \((x \mid y) = (\cos \alpha \mid \sin \alpha)\): - \(0^\circ\) und \(360^\circ\): Punkt \((1 \mid 0) \implies \cos \alpha = 1, \sin \alpha = 0\) - \(90^\circ\): Punkt \((0 \mid 1) \implies \cos \alpha = 0, \sin \alpha = 1\) - \(180^\circ\): Punkt \((-1 \mid 0) \implies \cos \alpha = -1, \sin \alpha = 0\) - \(270^\circ\): Punkt \((0 \mid -1) \implies \cos \alpha = 0, \sin \alpha = -1\) 3. Begründung: Jeder Punkt \(P(\cos \alpha \mid \sin \alpha)\) auf dem Einheitskreis muss die Gleichung \(x^2 + y^2 = 1\) erfüllen. Für \(\sin \alpha = 1\) und \(\cos \alpha = 1\) ergäbe sich \(1^2 + 1^2 = 2\). Da \(2 \neq 1\), liegt dieser Punkt nicht auf dem Kreis. Zudem ist der maximale Abstand eines Punktes auf dem Einheitskreis vom Ursprung \(1\), der Punkt \((1 \mid 1)\) hat jedoch den Abstand \(\sqrt{2}\).

a) Die Winkel sind \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) und \(360^\circ\). b) Wertepaare \((\sin \alpha \mid \cos \alpha)\): \(0^\circ: (0 \mid 1)\); \(90^\circ: (1 \mid 0)\); \(180^\circ: (0 \mid -1)\); \(270^\circ: (-1 \mid 0)\); \(360^\circ: (0 \mid 1)\). c) Da alle Punkte auf dem Einheitskreis die Bedingung \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) erfüllen müssen, ist \(\sin \alpha = 1\) und \(\cos \alpha = 1\) unmöglich, da \(1^2 + 1^2 = 2 \neq 1\).

- Der Kosinuswert entspricht der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. - Prüfe für jeden Winkel, wie er sich durch \(180^\circ\) oder \(360^\circ\) und den gegebenen Winkel \(76^\circ\) ausdrücken lässt. - In welchen Quadranten ist der Kosinus positiv und in welchen negativ? - Nutze die Spiegelung an der \(y\)-Achse oder der \(x\)-Achse, um die Werte zu vergleichen.

1. Der Winkel \(104^\circ\) ist der supplementäre Winkel zu \(76^\circ\) im II. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). Somit ist \(\cos 104^\circ = \cos(180^\circ - 76^\circ) = -\cos 76^\circ \approx -0{,}2419\). 2. Der Winkel \(256^\circ\) liegt im III. Quadranten und lässt sich als \(180^\circ + 76^\circ\) darstellen. Es gilt \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\). Somit ist \(\cos 256^\circ = -\cos 76^\circ \approx -0{,}2419\). 3. Der Winkel \(284^\circ\) liegt im IV. Quadranten und entspricht \(360^\circ - 76^\circ\). Es gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha\). Somit ist \(\cos 284^\circ = \cos 76^\circ \approx 0{,}2419\).

1. \(\cos 104^\circ \approx -0{,}2419\) 2. \(\cos 256^\circ \approx -0{,}2419\) 3. \(\cos 284^\circ \approx 0{,}2419\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Quadranten der gegebene Winkel liegt. - Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten? - Wie weit ist der Winkel von der \(x\)-Achse (also von \(180^\circ\) oder \(360^\circ\)) entfernt?

1. Für Winkel im II. Quadranten (\(90^\circ < \phi < 180^\circ\)) gilt \(\sin \phi = \sin(180^\circ - \phi)\) und \(\cos \phi = -\cos(180^\circ - \phi)\). Somit ist \(\sin 105^\circ = \sin 75^\circ\) und \(\cos 167^\circ = -\cos 13^\circ\). 2. Für Winkel im III. Quadranten (\(180^\circ < \phi < 270^\circ\)) gilt \(\sin \phi = -\sin(\phi - 180^\circ)\) und \(\cos \phi = -\cos(\phi - 180^\circ)\). Somit ist \(\sin 212^\circ = -\sin 32^\circ\) und \(\cos 195^\circ = -\cos 15^\circ\). 3. Für Winkel im IV. Quadranten (\(270^\circ < \phi < 360^\circ\)) gilt \(\sin \phi = -\sin(360^\circ - \phi)\) und \(\cos \phi = \cos(360^\circ - \phi)\). Somit ist \(\sin 290^\circ = -\sin 70^\circ\) und \(\cos 348^\circ = \cos 12^\circ\).

a) \(\sin 75^\circ\); \(-\cos 13^\circ\) b) \(-\sin 32^\circ\); \(-\cos 15^\circ\) c) \(-\sin 70^\circ\); \(\cos 12^\circ\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Sinus- und Kosinuswerte an der \(x\)- und \(y\)-Achse im Einheitskreis. - Skizziere die Winkel grob im Einheitskreis, um die Lage und die Vorzeichen zu prüfen. - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Abstand zur \(180^\circ\)-Markierung haben?

1. Quadrantenbestimmung: \(175^\circ\) liegt im II. Quadranten (\(\sin\) ist positiv), \(185^\circ\) liegt im III. Quadranten (\(\sin\) ist negativ). 2. Rückführung Sinus: \(\sin 175^\circ = \sin(180^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ\). \(\sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ\). 3. Rückführung Kosinus: \(\cos 175^\circ = \cos(180^\circ - 5^\circ) = -\cos 5^\circ\). \(\cos 185^\circ = \cos(180^\circ + 5^\circ) = -\cos 5^\circ\). Da beide Terme \(-\cos 5^\circ\) ergeben, sind die Werte gleich.

a) \(\alpha\): II. Quadrant, positiv; \(\beta\): III. Quadrant, negativ. b) \(\sin 175^\circ = \sin 5^\circ\); \(\sin 185^\circ = -\sin 5^\circ\). c) \(\cos 175^\circ = -\cos 5^\circ\) und \(\cos 185^\circ = -\cos 5^\circ\), daher \(\cos 175^\circ = \cos 185^\circ\).

- Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen, wenn man die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck betrachtet? - Wenn du den Sinus eines Winkels kennst, wie groß ist dann der Kosinus des „Restwinkels“ im Dreieck?

1. Teil a): Einsetzen in den trigonometrischen Pythagoras: \((0{,}8)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies 0{,}64 + \cos^2 \alpha = 1\). 2. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\). 3. Wurzel ziehen (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Kosinus positiv): \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\). 4. Teil b): Da \(\cos \beta = \sin \alpha\) gefordert ist und wir wissen, dass \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt, muss \(\beta = 90^\circ - \alpha\) sein. 5. Berechnung von \(\alpha\): \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung von \(\beta\): \(\beta = 90^\circ - 53{,}13^\circ = 36{,}87^\circ\). 7. Überprüfung: \(\cos 36{,}87^\circ \approx 0{,}8\). Die Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\).

a) \(\cos \alpha = 0{,}6\) b) \(\beta \approx 36{,}87^\circ\). Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind komplementär.

- Welche Koordinaten auf dem Einheitskreis entsprechen dem Sinus und welche dem Kosinus? - In welchem Quadranten sind welche Koordinaten positiv oder negativ? - Wie hängen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks am Einheitskreis mit dem Abstand zum Ursprung zusammen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Im Einheitskreis entspricht die \(y\)-Koordinate dem Sinuswert und die \(x\)-Koordinate dem Kosinuswert. Es gilt die Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 1\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \(x^2 + (-0{,}28)^2 = 1\). 3. Berechnung des Quadrats: \(x^2 + 0{,}0784 = 1\). 4. Umstellen nach \(x^2\): \(x^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216\). 5. Da der Punkt im 4. Quadranten liegt, muss die \(x\)-Koordinate (der Kosinus) positiv sein: \(x = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96\). Somit ist \(\cos \alpha = 0{,}96\). 6. Überprüfung der Identität: \((-0{,}28)^2 + 0{,}96^2 = 0{,}0784 + 0{,}9216 = 1\). Die Gleichung ist erfüllt.

1. \(\cos \alpha = 0{,}96\) 2. \((-0{,}28)^2 + 0{,}96^2 = 0{,}0784 + 0{,}9216 = 1\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Welche Rolle spielt der Radius des Einheitskreises in der Pythagoras-Formel? - Was geschieht mathematisch mit einem negativen Vorzeichen, wenn man den Wert quadriert? - Überlege, wie man die Längen der Dreiecksseiten ausdrückt, wenn die Koordinaten negativ sind.

1. Ein Punkt \(P(x\mid y)\) auf dem Einheitskreis hat den Abstand \(r = 1\) vom Ursprung. 2. Im 2. Quadranten bilden die Koordinatenabschnitte mit den Längen \(|x|\) und \(|y|\) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Radius \(r = 1\) ist. 3. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(|x|^2 + |y|^2 = 1^2\). 4. Da \(x = \cos \alpha\) und \(y = \sin \alpha\), können wir substituieren: \(|\cos \alpha|^2 + |\sin \alpha|^2 = 1\). 5. Da das Quadrat einer reellen Zahl (egal ob positiv oder negativ) immer dem Quadrat ihres Betrages entspricht (\(a^2 = |a|^2\)), folgt: \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\). Das negative Vorzeichen von \(\cos \alpha\) im 2. Quadranten hat somit keinen Einfluss auf die Summe der Quadrate.

Die Begründung erfolgt über den Satz von Pythagoras am Einheitskreis: Da die Koordinaten \(x = \cos \alpha\) und \(y = \sin \alpha\) die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (als Beträge \(|x|\) und \(|y|\)) mit der Hypotenuse \(1\) darstellen, gilt \(x^2 + y^2 = 1^2\). Da \((-a)^2 = a^2\) gilt, fällt das negative Vorzeichen des Kosinus im 2. Quadranten beim Quadrieren weg, sodass stets \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\) erfüllt bleibt.

- Überlege dir, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis zusammenhängen. - Erinnere dich an die Formel für Komplementärwinkel: Welche Beziehung besteht zwischen \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(90^{\circ} - \alpha)\)? - Nutze Symmetrieeigenschaften wie \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\) oder \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha)\), um Winkel in den Bereich zwischen \(0^{\circ}\) und \(90^{\circ}\) zu bringen. - Es gibt oft mehrere korrekte Möglichkeiten, einen Wert auszudrücken.

1. Unter Verwendung von \(\sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha)\) ergibt sich für a): \(\sin 18^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 18^{\circ}) = \cos 72^{\circ}\). 2. Für b) nutzt man \(\sin \alpha = \sin (180^{\circ} - \alpha)\), also \(\sin 155^{\circ} = \sin 25^{\circ}\). Mit der Komplementärbeziehung folgt \(\cos (90^{\circ} - 25^{\circ}) = \cos 65^{\circ}\). 3. Für c) führt die direkte Anwendung der Formel \(\cos (90^{\circ} - (-40^{\circ}))\) zu \(\cos 130^{\circ}\). Alternativ gilt \(\sin (-40^{\circ}) = -\sin 40^{\circ} = -\cos 50^{\circ}\). 4. Für d) gilt \(\sin 245^{\circ} = \sin (180^{\circ} + 65^{\circ}) = -\sin 65^{\circ}\). Dies entspricht \(-\cos 25^{\circ}\) oder auch \(\cos (90^{\circ} - 245^{\circ}) = \cos (-155^{\circ})\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(\cos 72^{\circ}\) b) \(\cos 65^{\circ}\) c) \(\cos 130^{\circ}\) oder \(-\cos 50^{\circ}\) d) \(\cos (-155^{\circ})\) oder \(-\cos 25^{\circ}\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zusammen? - Welche Rolle spielt die Verschiebung um \(90^{\circ}\) zwischen den Graphen von Sinus und Kosinus? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei Winkeln, die in verschiedenen Quadranten liegen. - Überprüfe, ob du Symmetrien wie \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\) nutzen kannst, um den Term zu vereinfachen.

1. Anwendung von \(\cos \alpha = \sin (90^{\circ} - \alpha)\) für a): \(\cos 77^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 77^{\circ}) = \sin 13^{\circ}\). 2. Für b) ergibt \(\sin (90^{\circ} - 112^{\circ})\) den Wert \(\sin (-22^{\circ})\). Da \(\cos 112^{\circ} = -\cos 68^{\circ}\), ist auch \(-\sin 22^{\circ}\) korrekt. 3. Da \(\cos (-\alpha) = \cos \alpha\), gilt für c): \(\cos (-15^{\circ}) = \cos 15^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}\). 4. Für d) nutzt man \(\cos 195^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 15^{\circ}) = -\cos 15^{\circ}\). Dies ist gleich \(-\sin 75^{\circ}\). Direkt angewendet: \(\sin (90^{\circ} - 195^{\circ}) = \sin (-105^{\circ})\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(\sin 13^{\circ}\) b) \(\sin (-22^{\circ})\) oder \(-\sin 22^{\circ}\) c) \(\sin 75^{\circ}\) d) \(\sin (-105^{\circ})\) oder \(-\sin 75^{\circ}\)

- Überlege dir, wie du einen Kosinuswert in einen Sinuswert umrechnen kannst. - Erinnere dich an die Symmetrie der Sinusfunktion: Welche zwei Winkel im Bereich bis \(180^{\circ}\) haben denselben Sinuswert? - In welchen Quadranten ist der Sinuswert positiv?

1. Umwandlung des Kosinuswerts in einen Sinuswert mittels der Beziehung für Komplementärwinkel: \(\cos 25^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \sin 65^{\circ}\). 2. Bestimmung des ersten Winkels im ersten Quadranten: \(\alpha_1 = 65^{\circ}\). 3. Ermittlung des zweiten Winkels durch die Symmetrie der Sinuswerte bezüglich der \(y\)-Achse (Eigenschaft \(\sin \alpha = \sin(180^{\circ} - \alpha)\)): \(\alpha_2 = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\).

\(\alpha_1 = 65^{\circ}\) und \(\alpha_2 = 115^{\circ}\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Welche Zusammenhänge gibt es zwischen Sinus und Kosinus bei Winkeln, die sich zu \(90^{\circ}\) oder \(180^{\circ}\) ergänzen? - Erinnere dich an die Symmetrie der Funktionsgraphen oder die Spiegelungen am Einheitskreis. - Wie verhalten sich die Vorzeichen der Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Für \(\sin 146^{\circ}\) nutzt man die Supplementbeziehung \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(\alpha = 34^{\circ}\) folgt \(\sin 146^{\circ} = \sin 34^{\circ} \approx 0{,}56\). 2. Für \(\cos 159^{\circ}\) nutzt man \(\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(\alpha = 21^{\circ}\) ergibt sich \(\cos 159^{\circ} = -\cos 21^{\circ} \approx -0{,}93\). 3. Für \(\sin 69^{\circ}\) nutzt man den Zusammenhang zwischen Komplementärwinkeln \(\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha\). Mit \(\alpha = 21^{\circ}\) gilt \(\sin 69^{\circ} = \cos 21^{\circ} \approx 0{,}93\). 4. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist beziehungsweise am Einheitskreis die Spiegelung an der \(x\)-Achse den \(x\)-Wert erhält, gilt \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\). Somit ist \(\cos(-21^{\circ}) = \cos 21^{\circ} \approx 0{,}93\).

a) \(\sin 146^{\circ} \approx 0{,}56\) b) \(\cos 159^{\circ} \approx -0{,}93\) c) \(\sin 69^{\circ} \approx 0{,}93\) d) \(\cos (-21^{\circ}) \approx 0{,}93\)

- Kannst du den gegebenen Winkel als Summe oder Differenz mit \(90^{\circ}\), \(180^{\circ}\) oder \(360^{\circ}\) darstellen? - Skizziere dir den Einheitskreis und markiere die Winkel, um zu sehen, welche Koordinaten (x für Kosinus, y für Sinus) gleich oder entgegengesetzt sind. - Achte besonders auf das Vorzeichen im jeweiligen Quadranten.

1. Der Winkel \(192^{\circ}\) liegt im dritten Quadranten. Es gilt \(\sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 12^{\circ}\) folgt \(\sin 192^{\circ} = -\sin 12^{\circ} \approx -0{,}21\). 2. Über die Komplementärbeziehung \(\cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\) folgt mit \(\alpha = 12^{\circ}\), dass \(\cos 78^{\circ} = \sin 12^{\circ} \approx 0{,}21\). 3. Analog gilt für \(\sin 37^{\circ}\) die Beziehung \(\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha\). Mit \(\alpha = 53^{\circ}\) ergibt sich \(\sin 37^{\circ} = \cos 53^{\circ} \approx 0{,}60\). 4. Der Winkel \(233^{\circ}\) lässt sich als \(180^{\circ} + 53^{\circ}\) schreiben. Mit \(\cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha\) folgt \(\cos 233^{\circ} = -\cos 53^{\circ} \approx -0{,}60\).

a) \(\sin 192^{\circ} \approx -0{,}21\) b) \(\cos 78^{\circ} \approx 0{,}21\) c) \(\sin 37^{\circ} \approx 0{,}60\) d) \(\cos 233^{\circ} \approx -0{,}60\)

- Was weißt du über den Abstand eines Punktes auf dem Einheitskreis zum Ursprung? - Welcher mathematische Satz hilft dir, die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 1 in Beziehung zu setzen? - Wie hängen die Koordinaten \(x\) und \(y\) eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Radius zusammen? - Was muss für die Summe der Quadrate gelten, damit ein Punkt exakt auf dem Kreisrand liegt?

1. Da der Punkt auf dem Einheitskreis liegt, gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Mit \(y = 0{,}44\) folgt \(x^2 + 0{,}44^2 = 1\), also \(x^2 + 0{,}1936 = 1\). Daraus ergibt sich \(x^2 = 0{,}8064\). Da der Punkt im ersten Quadranten liegt (\(x > 0\)), ist \(x = \sqrt{0{,}8064} \approx 0{,}898\). 2. Mit \(x = \frac{3}{5}\) gilt \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 + y^2 = 1\). Das führt zu \(\frac{9}{25} + y^2 = 1\), also \(y^2 = \frac{16}{25}\). Da der Punkt im ersten Quadranten liegt, ist \(y = \frac{4}{5}\). 3. Für einen Punkt auf dem Einheitskreis muss die Summe der Quadrate der Koordinaten \(1\) ergeben. Es wird geprüft: \(0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85\). Da \(0{,}85 \neq 1\), kann der Punkt \(Q\) nicht auf dem Einheitskreis liegen.

1. \(x \approx 0{,}898\) 2. \(y = \frac{4}{5}\) 3. Nein, da \(0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}85 \neq 1\).

- Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a^2 + b^2 = c^2\) nach einer der Variablen auflösen? - Denke daran, dass \(\sin^2 \alpha\) eine abkürzende Schreibweise für \((\sin \alpha)^2\) ist. - Wenn ein Ergebnis als Wurzel verlangt ist, versuche den Wert unter der Wurzel als Bruch zu schreiben und teilweise die Wurzel zu ziehen. - Achte bei Dezimalzahlen beim Quadrieren auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Die Gleichung \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) wird nach \(\cos^2 \alpha\) umgestellt: \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\). Durch Ziehen der Wurzel (unter Berücksichtigung des positiven Werts) erhält man \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\). 2. Einsetzen von \(\sin \alpha = 0{,}96\): \(\cos \alpha = \sqrt{1 - 0{,}96^2} = \sqrt{1 - 0{,}9216} = \sqrt{0{,}0784} = 0{,}28\). 3. Einsetzen von \(\cos \alpha = 0{,}5 = \frac{1}{2}\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (0{,}5)^2} = \sqrt{1 - 0{,}25} = \sqrt{0{,}75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 4. Einsetzen von \(\sin 20^{\circ} \approx 0{,}342\): \(\cos 20^{\circ} = \sqrt{1 - 0{,}342^2} = \sqrt{1 - 0{,}116964} = \sqrt{0{,}883036} \approx 0{,}940\).

1. \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\) 2. \(\cos \alpha = 0{,}28\) 3. \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 4. \(\cos 20^{\circ} \approx 0{,}940\)

- Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Nutze die Symmetrie der Funktionen am Einheitskreis: Beim Kosinus liegt der zweite Wert bei \(2\pi - x_1\), beim Sinus bei \(\pi - x_1\). - Prüfe am Ende, ob alle deine berechneten Werte im Bereich zwischen \(0\) und \(2\pi\) (ca. \(6{,}28\)) liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes für a) im Bogenmaß: \(x_1 = \arccos(-0{,}55) \approx 2{,}15\). 2. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 2{,}153\ldots \approx 4{,}13\). 3. Berechnung des ersten Wertes für b) im Bogenmaß: \(x_1 = \arcsin(0{,}15) \approx 0{,}15\). 4. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = \pi - 0{,}150\ldots \approx 2{,}99\).

a) \(L = \{2{,}15; 4{,}13\}\) b) \(L = \{0{,}15; 2{,}99\}\)

- Lies die Koordinaten der vier Achsenschnittpunkte des Einheitskreises in Umlaufrichtung ab. - Welche der beiden Koordinaten entspricht jeweils Sinus und Kosinus? - Vergleiche den Punkt nach einer vollen Umdrehung mit dem Startpunkt.

1. Die zugehörigen Einheitskreispunkte sind der Reihe nach \((1\mid0)\), \((0\mid1)\), \((-1\mid0)\), \((0\mid-1)\) und wieder \((1\mid0)\). 2. Daher lauten die Kosinuswerte \(1,0,-1,0,1\) und die Sinuswerte \(0,1,0,-1,0\). 3. Der Sinus ist die zweite, also vertikale Koordinate; der Kosinus ist die erste, also horizontale Koordinate. 4. Bei \(2\pi\) ist eine volle Umdrehung beendet und derselbe Punkt wie bei \(0\) erreicht. Deshalb beginnt dieselbe Koordinatenfolge erneut.

a) Für \(\alpha=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi\): \(\cos(\alpha): 1,0,-1,0,1\) \(\sin(\alpha): 0,1,0,-1,0\) b) Sinus: zweite/vertikale Koordinate; Kosinus: erste/horizontale Koordinate. c) Bei \(2\pi\) liegt wieder derselbe Einheitskreispunkt wie bei \(0\) vor; danach wiederholt sich die Koordinatenfolge.

- Stell dir vor, du zeichnest einen Winkel von der positiven \(x\)-Achse aus nach oben (gegen den Uhrzeigersinn) und den anderen Winkel „rückwärts“ von \(360^\circ\) aus. - Welche Symmetrieachse liegt genau zwischen diesen beiden Positionen? - Wie verhalten sich die \(x\)- und \(y\)-Werte von Punkten, die an der \(x\)-Achse gespiegelt wurden?

1. Ein Punkt \(P_\alpha\) auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \((\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))\). 2. Der Winkel \(360^\circ - \alpha\) entspricht einer Spiegelung des Punktes \(P_\alpha\) an der \(x\)-Achse. 3. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. 4. Daraus folgt für die \(x\)-Koordinate: \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). 5. Daraus folgt für die \(y\)-Koordinate: \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\).

a) \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) b) \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\) c) Der Punkt \(P_\gamma\) entsteht durch Spiegelung von \(P_\alpha\) an der \(x\)-Achse. Dabei bleibt die \(x\)-Koordinate (Kosinus) unverändert, während die \(y\)-Koordinate (Sinus) ihr Vorzeichen wechselt.

- Welche Gleichung beschreibt alle Punkte auf dem Einheitskreis? - Wenn die x-Koordinate negativ ist, auf welcher Seite der y-Achse liegt der Punkt? - Erinnerst du dich an die besonderen Werte für Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - Wie berechnet man Winkel in anderen Quadranten ausgehend von einem Basiswinkel im ersten Quadranten?

1. Es gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Einsetzen von \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \((-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1 \implies \frac{2}{4} + y^2 = 1 \implies \frac{1}{2} + y^2 = 1\). 2. Daraus folgt \(y^2 = \frac{1}{2}\), also \(y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Fall 1: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Dies entspricht dem 2. Quadranten. Der Winkel ist \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 4. Fall 2: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Dies entspricht dem 3. Quadranten. Der Winkel ist \(180^\circ + 45^\circ = 225^\circ\). 5. Der Punkt befindet sich im zweiten oder dritten Quadranten.

1. Die möglichen \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(y_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. Die zugehörigen Winkel sind \(\alpha_1 = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 225^\circ\). 3. Der Punkt befindet sich im 2. oder 3. Quadranten.

- Was bedeutet die Gleichung für die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis? - In welchen Quadranten haben Sinus und Kosinus unterschiedliche Vorzeichen? - Für welchen bekannten Winkel sind die Beträge von Sinus und Kosinus identisch? - Kannst du die Gerade \(y = -x\) in den Einheitskreis einzeichnen?

1. Die Bedingung \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\) bedeutet am Einheitskreis, dass die \(y\)-Koordinate gleich dem Negativen der \(x\)-Koordinate sein muss (\(y = -x\)). 2. Dies tritt nur in Quadranten auf, in denen Sinus und Kosinus unterschiedliche Vorzeichen haben, also im 2. Quadranten (\(x < 0, y > 0\)) und im 4. Quadranten (\(x > 0, y < 0\)). 3. Da der Betrag von Sinus und Kosinus gleich sein muss, betrachten wir die Winkel, deren Sinus- und Kosinuswerte den gleichen Betrag haben. Das ist bei einem Referenzwinkel von \(45^\circ\) der Fall (\(|\sin(45^\circ)| = |\cos(45^\circ)| = \frac{\sqrt{2}}{2}\)). 4. Im 2. Quadranten entspricht dies \(\alpha_1 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Hier ist \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Im 4. Quadranten entspricht dies \(\alpha_2 = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ\). Hier ist \(\sin(315^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(315^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\alpha_1 = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 315^\circ\)

- Was bedeutet es geometrisch am Einheitskreis, wenn zwei Koordinaten gleich groß sind? - Könnte man die Gleichung durch Dividieren umformen, um eine andere Winkelfunktion zu erhalten? - Kannst du einen gemeinsamen Term in der zweiten Gleichung ausklammern?

1. Zu a): Die Bedingung \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\) bedeutet am Einheitskreis, dass die x- und y-Koordinaten identisch sind. Dies ist auf der Geraden \(y = x\) der Fall. 2. Schnittpunkte mit dem Einheitskreis liegen bei \(45^\circ\) (1. Quadrant, beide positiv) und \(225^\circ\) (3. Quadrant, beide negativ). Alternativ: \(\tan(\alpha) = 1\) für \(\cos(\alpha) \neq 0\). 3. Zu b): Ausklammern von \(\cos(\alpha)\) ergibt \(\cos(\alpha) \cdot (\cos(\alpha) + 1) = 0\). 4. Fall 1: \(\cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ\) oder \(\alpha = 270^\circ\). 5. Fall 2: \(\cos(\alpha) + 1 = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ\). 6. Die Lösungen sind somit \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\).

a) \(\alpha \in \{45^\circ; 225^\circ\}\) b) \(\alpha \in \{90^\circ; 180^\circ; 270^\circ\}\)

- Stelle dir am Einheitskreis vor, wie sich die beiden Koordinaten im ersten Quadranten verändern. - Vergleiche für b) die Lage der Winkel \(20^\circ\) und \(160^\circ\) am Einheitskreis und achte auf Vorzeichen und Beträge der Koordinaten. - Erinnere dich für c) an die exakten Werte der besonderen Winkel und prüfe die behauptete Verdopplung direkt. - Ordne bei b) zuerst nach dem Vorzeichen und vergleiche anschließend die positiven Werte.

1. Im ersten Quadranten startet \(\cos(0^\circ) = 1\) und \(\sin(0^\circ) = 0\). Bei \(45^\circ\) sind beide gleich (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)). Da der Kosinus in diesem Quadranten streng monoton fällt und der Sinus streng monoton steigt, gilt \(\cos(\alpha) > \sin(\alpha)\) für \(0^\circ \le \alpha < 45^\circ\). 2. Analyse der Werte: \(\cos(160^\circ)\) ist negativ. \(\sin(20^\circ)\) und \(\sin(160^\circ)\) sind gleich groß, während \(\cos(20^\circ)\) positiv und größer als \(\sin(20^\circ)\) ist. Daher gilt \(\cos(160^\circ) < \sin(20^\circ) = \sin(160^\circ) < \cos(20^\circ)\). 3. Die exakten Werte sind \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\) und \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Das Doppelte von \(\sin(30^\circ)\) ist \(1\). Da \(\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1\), ist die Behauptung falsch. Der Sinus wächst nicht proportional zum Winkel.

a) Für \(0^\circ \le \alpha < 45^\circ\). b) \(\cos(160^\circ) < \sin(20^\circ) = \sin(160^\circ) < \cos(20^\circ)\). c) \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\); das Doppelte ist \(1\). Aber \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Daher ist die Aussage widerlegt.

- Nutze die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus bei Winkeln, die sich zu \(90^\circ\) ergänzen. - Überlege, wie sich der Sinuswert verhält, wenn du einen Winkel von \(180^\circ\) abziehst oder zu \(180^\circ\) addierst. - Kannst du den Ausdruck \(\cos(90^\circ - \gamma)\) vereinfachen?

1. Komplementärwinkel: Da \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), ist \(\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ \approx 0{,}1736\). 2. Symmetrie zur y-Achse: \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), daher \(\sin 170^\circ = \sin 10^\circ \approx 0{,}1736\). 3. Symmetrie zum Ursprung: \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha\), daher \(\sin 190^\circ = -0{,}1736\). 4. Umformung der Gleichung in Teil c: \(\cos(90^\circ - \gamma) = \sin \gamma\). Gesucht ist also \(\sin \gamma = -0{,}1736\). 5. Bestimmung der Winkel für negativen Sinus: \(\gamma_1 = 180^\circ + 10^\circ = 190^\circ\) und \(\gamma_2 = 360^\circ - 10^\circ = 350^\circ\).

a) \(\cos 80^\circ \approx 0{,}1736\) b) \(\sin 170^\circ \approx 0{,}1736\); \(\sin 190^\circ \approx -0{,}1736\) c) \(\gamma_1 = 190^\circ\) und \(\gamma_2 = 350^\circ\)

- Benutze deinen Taschenrechner für den ersten Teil und vergleiche die Ergebnisse. - Stelle dir die beiden Winkel im Einheitskreis vor. Wie liegen die zugehörigen Punkte zueinander? - Welche Koordinate am Einheitskreis (x oder y) gehört zu welcher trigonometrischen Funktion? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes \((x\mid y)\), wenn man ihn an der \(y\)-Achse spiegelt?

1. Berechnung der Werte: \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\) und \(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\). Feststellung: Die Werte sind identisch. 2. Geometrische Begründung: Der Punkt zum Winkel \(180^\circ - \alpha\) entsteht durch Spiegelung des Punktes zum Winkel \(\alpha\) an der \(y\)-Achse. Da der Sinuswert der y-Koordinate entspricht und sich diese bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse nicht ändert, gilt \(\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)\). 3. Untersuchung des Kosinus: Der Kosinuswert entspricht der x-Koordinate. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse kehrt sich das Vorzeichen der x-Koordinate um. Somit gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). 4. Beispielprüfung: \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\), während \(\cos 110^\circ \approx -0{,}3420\) ist. Die Beziehung ist also im Allgemeinen nicht korrekt (außer für \(\cos \alpha = 0\)).

a) Es gilt \(\sin 70^\circ = \sin 110^\circ \approx 0{,}9397\). Die Werte sind gleich. b) Die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ - \alpha\) liegen symmetrisch zur \(y\)-Achse. Da der Sinus die y-Koordinate darstellt, haben beide Winkel denselben Sinuswert. c) Nein, die Beziehung gilt nicht. Der Kosinus entspricht der x-Koordinate, die bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. Es gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\).

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes \((x \mid y)\) zu den Koordinatenachsen? - Was bedeutet „gleich weit entfernt“ für die Beträge der Koordinaten? - Überlege dir, welche Geraden alle Punkte enthalten, die von beiden Achsen den gleichen Abstand haben. - Wie viele Schnittpunkte haben diese Geraden mit dem Einheitskreis?

1. Mathematische Modellierung der Abstände: Der Abstand zur \(x\)-Achse entspricht dem Betrag der \(y\)-Koordinate, also \(|\sin(\alpha)|\). Der Abstand zur \(y\)-Achse entspricht dem Betrag der \(x\)-Koordinate, also \(|\cos(\alpha)|\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(|\sin(\alpha)| = |\cos(\alpha)|\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\). 3. Fallunterscheidung: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\) oder \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\). 4. Lösung für \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\): Dies führt zu \(\tan(\alpha) = 1\), woraus sich \(\alpha_1 = 45^\circ\) (I. Quadrant) und \(\alpha_2 = 225^\circ\) (III. Quadrant) ergeben. 5. Lösung für \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\): Dies führt zu \(\tan(\alpha) = -1\), woraus sich \(\alpha_3 = 135^\circ\) (II. Quadrant) und \(\alpha_4 = 315^\circ\) (IV. Quadrant) ergeben. 6. Geometrische Begründung: Die Punkte liegen auf den Winkelhalbierenden der Quadranten, die jeweils einen Abstand von \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) zu beiden Achsen haben.

\(\alpha \in \{45^\circ; 135^\circ; 225^\circ; 315^\circ\}\)

- Wie viel Grad entsprechen ungefähr dem Bogenmaß \(1\)? - Skizziere die Sinus- oder Kosinusfunktion, um das Monotonieverhalten oder Symmetrien zu erkennen. - Überlege dir bei Teilaufgabe c), in welchen Quadranten der Sinuswert negativ ist. - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis, um von einem bekannten Winkel im ersten Quadranten auf andere Quadranten zu schließen.

1. Umrechnung von \(\alpha = 225^\circ\): \(x = \frac{225}{180}\pi = \frac{5}{4}\pi\). 2. Vergleich von \(\cos(1)\) und \(\cos(1^\circ)\): Der Wert \(1\) im Bogenmaß entspricht etwa \(57{,}3^\circ\). Da die Kosinusfunktion im Intervall \([0^\circ; 90^\circ]\) streng monoton fallend ist, gilt \(\cos(1^\circ) > \cos(57{,}3^\circ)\), woraus folgt: \(\cos(1^\circ) > \cos(1)\). 3. Lösung der Gleichung \(\sin(x) = -0{,}5\): Der Referenzwinkel im ersten Quadranten für \(\sin(x_0) = 0{,}5\) ist \(x_0 = \frac{\pi}{6}\). Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) (3. und 4. Quadrant) liegen die Lösungen bei \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6}\pi\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi\).

a) \(x = \frac{5}{4}\pi\) b) \(\cos(1^\circ)\) ist größer, da \(1^\circ\) wesentlich näher an \(0\) liegt als einem Winkel mit dem Bogenmaß \(1\), also etwa \(57{,}3^\circ\) und die Kosinusfunktion nahe \(0\) ihren maximalen Wert hat. c) \(x_1 = \frac{7}{6}\pi\) und \(x_2 = \frac{11}{6}\pi\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die gemeinsamen Stellen zu finden. - Überlege am Einheitskreis, welche Gerade Punkte beschreibt, deren \(y\)-Koordinate das Negative der \(x\)-Koordinate ist. - Wie viele Lösungen erwartest du in einem vollen Kreisumlauf (\(360^\circ\))? - Achte darauf, dass das gesuchte Intervall zwei volle Umdrehungen umfasst.

1. Ansatz der Gleichung: \(\sin \alpha = -\cos \alpha\). 2. Am Einheitskreis bedeutet dies für den Punkt \((\cos \alpha \mid \sin \alpha)\), dass die \(y\)-Koordinate das Negative der \(x\)-Koordinate ist. Der Punkt liegt also auf der Geraden \(y = -x\). 3. Im ersten Umlauf \([0^\circ; 360^\circ]\) schneidet diese Gerade den Einheitskreis im zweiten und vierten Quadranten. Der Referenzwinkel beträgt jeweils \(45^\circ\), also erhält man \(\alpha_1 = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 315^\circ\). 4. Wegen der Periode \(360^\circ\) wiederholen sich die Lösungen im zweiten Umlauf: \(\alpha_3 = 135^\circ + 360^\circ = 495^\circ\) und \(\alpha_4 = 315^\circ + 360^\circ = 675^\circ\). 5. Die Randwerte \(0^\circ\) und \(720^\circ\) erfüllen die Gleichung nicht.

\(\alpha \in \{135^\circ; 315^\circ; 495^\circ; 675^\circ\}\)