Ein Stapel quadratischer Karten ist \(22\,\text{cm}\) hoch. Jede Karte hat die Seitenlänge \(8\,\text{cm}\). Die Karten werden seitlich gegeneinander verschoben, ohne Lücken zwischen benachbarten Karten zu erzeugen. Bestimme das Volumen des entstandenen schiefen Stapels.

Eine gebogene Säule ist \(10\,\text{cm}\) hoch. Jeder waagerechte Querschnitt hat den Flächeninhalt \(18\,\text{cm}^2\), auch wenn seine Form und Lage wechseln. Bestimme das Volumen der Säule.

Welche der folgenden Bedingungen garantiert nach dem Cavalieri-Prinzip gleiche Volumina? A: Die Körper haben gleiche Höhe und gleich große Grundflächen. B: Die Körper haben gleiche Höhe und in jeder entsprechenden Höhe gleich große Querschnitte. C: Die Körper haben gleiche Höhe und gleich große Oberflächen. D: Die Körper haben in einigen ausgewählten Höhen gleich große Querschnitte.

Ein Bauteil mit dem Volumen \(2{,}4\,\text{m}^3\) wird neu gestaltet. Bei gleicher Gesamthöhe hat jede neue waagerechte Schicht genau denselben Flächeninhalt wie die entsprechende alte Schicht, aber eine andere Form. Bestimme das neue Volumen und die prozentuale Volumenänderung.

Drei Pyramiden haben unterschiedlich geformte Grundflächen. Bei allen beträgt der Grundflächeninhalt \(48\,\text{cm}^2\) und die Körperhöhe \(9\,\text{cm}\). a) Begründe ausschließlich mit dem Cavalieri-Prinzip, warum ihre Volumina gleich sind. Die Pyramidenvolumenformel darf für diese Begründung nicht verwendet werden. Betrachte dazu Schnitte parallel zur Grundfläche im gleichen Abstand \(x\) von der Spitze. b) Berechne anschließend das gemeinsame Volumen.

Die Spitze eines Kegels liegt nicht über dem Mittelpunkt seiner kreisförmigen Grundfläche. Der Grundkreis hat den Radius \(4{,}5\,\text{cm}\), die Körperhöhe beträgt \(12\,\text{cm}\). Berechne das Volumen des schiefen Kegels auf zwei Dezimalstellen.

Zwei Körper \(A\) und \(B\) sind gleich hoch. In jeder Höhe ist der Querschnitt von \(B\) genau \(1{,}25\)-mal so groß wie der entsprechende Querschnitt von \(A\). Für \(A\) gilt \(V_A=320\,\text{cm}^3\). Bestimme \(V_B\).

Ein schiefes Prisma und ein gerader Zylinder haben jeweils die Körperhöhe \(10\,\text{cm}\). Der Zylinder besitzt den Radius \(3\,\text{cm}\). Wie groß muss der Grundflächeninhalt \(G\) des Prismas sein, damit das Cavalieri-Prinzip unmittelbar gleiche Volumina der beiden Körper liefert? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Ein Prisma mit \(G=50\,\text{cm}^2\) und \(h=12\,\text{cm}\) hat dasselbe Volumen wie eine ungewöhnlich geformte Säule. Bei der Säule hat jeder waagerechte Querschnitt den Flächeninhalt \(40\,\text{cm}^2\). Bestimme die Höhe der Säule.

Lea behauptet: „Zwei beliebige Körper mit gleicher Höhe und gleich großem Grundflächeninhalt haben immer dasselbe Volumen.“ Beurteile die Aussage und formuliere die fehlende Bedingung.

Die Körper \(K\) und \(L\) sind jeweils \(8\,\text{cm}\) hoch. Für die Höhe \(z\) über der Grundebene gilt bei beiden Körpern \(A_K(z)=(20-2z)\,\text{cm}^2\) und \(A_L(z)=(20-2z)\,\text{cm}^2\) für \(0\le z\le8\). Die Formen der Querschnitte sind verschieden. Entscheide, ob die Volumina gleich sind, und begründe.

Körper \(A\) ist \(9\,\text{cm}\) hoch und hat in jeder Höhe einen zusammenhängenden Querschnitt von \(35\,\text{cm}^2\). Beim gleich hohen Körper \(B\) besteht jeder entsprechende Querschnitt aus zwei getrennten Teilflächen von \(12\,\text{cm}^2\) und \(23\,\text{cm}^2\). Vergleiche die Volumina und berechne sie.

Ein hohler Turm ist \(20\,\text{m}\) hoch. Jeder waagerechte Außenquerschnitt hat den Flächeninhalt \(64\,\text{m}^2\); ein durchgehender Schacht nimmt in jeder Höhe \(16\,\text{m}^2\) ein. Zeige den Vergleich mit einem Vollprisma und berechne das Materialvolumen.

Eine Designskulptur ist \(20\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe hat ihr waagerechter Querschnitt denselben Flächeninhalt wie ein Kreis mit Radius \(6\,\text{cm}\), obwohl die Schnittformen wechseln. Berechne das Volumen in Kubikdezimetern auf zwei Dezimalstellen.

Ein seitlich versetzter Lüftungskanal ist \(2{,}5\,\text{m}\) hoch. Jeder waagerechte Querschnitt hat den Flächeninhalt \(0{,}08\,\text{m}^2\). Berechne sein Innenvolumen in Kubikdezimetern.

Eine vasenförmige Skulptur ist \(15\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe besitzt sie denselben Querschnittsflächeninhalt wie ein Kegel mit Grundkreisradius \(6\,\text{cm}\) und derselben Höhe. Berechne das Volumen der Skulptur auf zwei Dezimalstellen.

Zwei gleich hohe Körper \(A\) und \(B\) erfüllen in jeder Höhe \(A_B(z)=\frac{x}{5}A_A(z)\). Außerdem gilt \(V_B=1{,}4V_A\). Bestimme \(x\).

Die Abbildung zeigt die Form und die Maße jedes waagerechten Querschnitts der Körper \(K\) und \(L\). Beide Körper sind \(15\,\text{cm}\) hoch. Begründe mit dem Cavalieri-Prinzip, ob die Volumina gleich sind, und berechne sie.

Die Abbildung zeigt in a) und b) die Form jedes waagerechten Querschnitts zweier \(16\,\text{cm}\) hoher Körper. Begründe ohne Zerlegen der Körper, warum die Volumina gleich sind, und berechne sie.

Drei Körper sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. Die Abbildung zeigt in a) bis c) ihre in jeder Höhe gleichbleibenden Querschnitte. Welche Körper sind volumengleich? Berechne alle drei Volumina.

Jeder waagerechte Querschnitt von Körper \(A\) ist die Fläche in a), jeder entsprechende Querschnitt von Körper \(B\) besteht aus den beiden getrennten Flächen in b). Beide Körper sind \(10\,\text{cm}\) hoch. Vergleiche die Volumina.

Eine ungewöhnlich geformte, \(18\,\text{cm}\) hohe Säule hat in jeder Höhe denselben Querschnittsflächeninhalt. Ihr Volumen beträgt \(936\,\text{cm}^3\). Bestimme den Flächeninhalt jedes Querschnitts.

Für eine Halbkugel und einen gleich hohen Vergleichskörper sind bereits folgende Aussagen nachgewiesen: \(A_H(z)=\pi(r^2-z^2)\) und \(A_V(z)=\pi(r^2-z^2)\) für jedes \(z\) mit \(0\le z\le r\). Drei Lernende beurteilen, was daraus folgt. Karim sagt: „Weil die Querschnittsflächen bei \(z=\frac{r}{2}\) gleich sind, haben die Körper nach Cavalieri dasselbe Volumen.“ Elisa sagt: „Weil \(A_H(z)=A_V(z)\) für jedes \(z\) zwischen \(0\) und \(r\) gilt und beide Körper die Höhe \(r\) haben, folgt nach Cavalieri, dass ihre Volumina gleich sind.“ Milan sagt: „Wenn zwei Körper dasselbe Volumen und dieselbe Höhe haben, müssen ihre Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich sein.“ a) Beurteile jede der drei Aussagen und begründe deine Entscheidung mit den Voraussetzungen beziehungsweise der Aussage des Cavalieri-Prinzips. b) Formuliere in einem Satz, welche Information über Querschnitte ausreicht, um mit Cavalieri auf gleiches Volumen zu schließen.

Ein schiefes Prisma hat den konstanten Grundflächeninhalt \(G=24\,\text{cm}^2\). Die Abbildung zeigt eine Seitenansicht mit Körperhöhe und Seitenkante. a) Welche der beiden eingezeichneten Längen ist für \(V=Gh\) zu verwenden? b) Berechne das Volumen des Prismas. c) Begründe kurz mit dem Cavalieri-Prinzip, warum die Schrägstellung das Volumen nicht verändert.

Entscheide für jedes gleich hohe Körperpaar, ob sich die Volumengleichheit direkt mit dem Cavalieri-Prinzip begründen lässt. Begründe jede Entscheidung über die Querschnittsflächen parallel zur Grundfläche. a) Ein gerades Prisma hat Grundflächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\), ein schiefes Prisma \(24\,\text{cm}^2\). b) Ein gerades Prisma hat Grundflächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\). Beim zweiten, unregelmäßig geformten Körper hat jeder Schnitt parallel zur Grundfläche den Flächeninhalt \(30\,\text{cm}^2\). c) Zwei gerade Kegel haben dieselbe Körperhöhe, aber Grundkreisradien \(4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). d) Ein Zylinder hat Radius \(3\,\text{cm}\). Beim zweiten, unregelmäßig geformten Körper hat jeder Schnitt parallel zur Grundfläche den Flächeninhalt \(9\pi\,\text{cm}^2\).

Drei Körper \(K\), \(L\) und \(M\) sind jeweils \(10\,\text{cm}\) hoch. Für \(0\le z\le10\) gelten \(A_K(z)=(z+12)\,\text{cm}^2\), \(A_L(z)=(12+z)\,\text{cm}^2\) und \(A_M(z)=(z+13)\,\text{cm}^2\). Vergleiche die Volumina und bestimme, um wie viel das größte Volumen die anderen übertrifft.

Zwei Pyramiden haben jeweils den Grundflächeninhalt \(80\,\text{cm}^2\) und die Körperhöhe \(9\,\text{cm}\). Bei der ersten liegt die Spitze senkrecht über der Grundfläche, bei der zweiten ist sie seitlich versetzt. a) Zeige ohne Verwendung der Pyramidenvolumenformel mit dem Cavalieri-Prinzip, dass die Volumina gleich sind. Verwende dazu den Abstand \(z\) eines Schnitts von der Grundfläche. b) Berechne danach das gemeinsame Volumen.

Nora sagt: „Eine Pyramide und ein Prisma mit gleichem Grundflächeninhalt \(54\,\text{cm}^2\) und gleicher Körperhöhe \(10\,\text{cm}\) haben nach Cavalieri dasselbe Volumen.“ a) Formuliere die Cavalieri-Bedingung, die Nora zusätzlich prüfen müsste. b) Untersuche einen Schnitt parallel zur Grundfläche in halber Körperhöhe und zeige damit, dass diese Bedingung hier nicht erfüllt ist. c) Berechne anschließend die beiden Volumina.

Die Körper \(A\) und \(B\) sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. In jeder Höhe ist die Querschnittsfläche von \(A\) genau \(7\,\text{cm}^2\) größer als die von \(B\). Das Volumen von \(B\) beträgt \(420\,\text{cm}^3\). Bestimme \(V_A\).

Bei zwei \(9\,\text{cm}\) hohen Körpern ist jeder waagerechte Querschnitt wie in a) bzw. b) geformt. Entscheide mit dem Cavalieri-Prinzip, ob die Körper volumengleich sind, und berechne die Volumina.

Die Abbildung zeigt die konstanten Materialquerschnitte zweier \(20\,\text{cm}\) hoher Bauteile: Jeder Schnitt parallel zur Grundfläche sieht über die gesamte Höhe jeweils so aus wie in a) beziehungsweise b). In a) ist das innere, vollständig umrandete Rechteck ein durchgehender Hohlraum; Material liegt zwischen innerem und äußerem Rechteck. a) Prüfe anhand der Querschnittsflächen ausdrücklich, ob das Cavalieri-Prinzip die Gleichheit der Materialvolumina liefert. b) Berechne das gemeinsame Materialvolumen.

Die Abbildung zeigt die konstanten Materialquerschnitte zweier \(11\,\text{cm}\) hoher Körper: Jeder Schnitt parallel zur Grundfläche sieht über die gesamte Höhe jeweils so aus wie in a) beziehungsweise b). In a) ist der innere, vollständig umrandete Kreis ein durchgehender Hohlraum; Material liegt zwischen innerem und äußerem Kreis. a) Prüfe anhand der Querschnittsflächen ausdrücklich, ob das Cavalieri-Prinzip die Gleichheit der Materialvolumina liefert. b) Gib das gemeinsame Materialvolumen exakt sowie auf zwei Dezimalstellen an.

Zwei \(13\,\text{cm}\) hohe Körper sind volumengleich. Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt in a) und b) ihre in jeder Höhe gleichbleibenden Querschnitte. Bestimme \(x\) und das gemeinsame Volumen. Begründe mit dem Cavalieri-Prinzip.

Zwei \(15\,\text{cm}\) hohe Säulen haben gleiches Materialvolumen und über ihre gesamte Höhe jeweils einen konstanten Materialquerschnitt. Die schematische Abbildung ist nicht maßstabsgetreu. In a) ist das innere, vollständig umrandete Quadrat ein durchgehender Hohlraum mit Seitenlänge \(x\); Material liegt zwischen dem inneren und dem äußeren Quadrat. In b) besteht der gesamte umrandete Quadratquerschnitt aus Material. a) Begründe, warum in diesem Sonderfall die beiden konstanten Materialquerschnittsflächen gleich groß sein müssen. Erkläre auch, warum daraus keine allgemeine Umkehrung des Cavalieri-Prinzips folgt. b) Bestimme \(x\). c) Berechne das gemeinsame Materialvolumen.

Die Abbildung zeigt die konstanten Querschnitte zweier jeweils \(8\,\text{cm}\) hoher Körper. Bestimme das Verhältnis \(V_A{:}V_B\) und beide Volumina.

Drei Körper sind jeweils \(7\,\text{cm}\) hoch und besitzen in jeder Höhe den in der Abbildung gezeigten Querschnitt. Ben behauptet: „Körper c) hat nur das halbe Volumen von b), weil sein Querschnitt ein Dreieck ist.“ Prüfe die Behauptung und berechne alle Volumina.

Der Referenzkörper \(R\) und die Kandidaten a), b), c) sind jeweils \(9\,\text{cm}\) hoch. Die Abbildung zeigt ihre konstanten Querschnitte. Welche Kandidaten sind nach dem Cavalieri-Prinzip volumengleich zu \(R\)? Berechne außerdem alle Volumina.

Körper \(A\) ist \(10\,\text{cm}\) hoch. Körper \(B\) hat die unbekannte Höhe \(h\). Die Abbildung zeigt die in jeder Höhe konstanten Querschnitte. Beide Körper sollen dasselbe Volumen haben. Bestimme \(h\) und begründe dein Vorgehen mit dem Cavalieri-Prinzip.

Zwei Körper \(K\) und \(L\) sind jeweils \(12\,\text{cm}\) hoch. Für jede Höhe \(z\) gilt \(A_K(z)=A_L(12-z)\). Begründe, warum beide Körper trotzdem dasselbe Volumen haben.

Zwei Körper \(A\) und \(B\) sind jeweils \(9\,\text{cm}\) hoch. Für \(0\le z\le9\) gelten \(A_A(z)=(10+2z)\,\text{cm}^2\) und \(A_B(z)=(28-2z)\,\text{cm}^2\). Bestimme das Gesamtvolumen \(V_A+V_B\), ohne die Einzelvolumina zu berechnen.

Behauptung: „Haben zwei Körper gleiche Höhe und gleiches Volumen, dann sind ihre Querschnittsflächen in jeder entsprechenden Höhe gleich groß.“ Prüfe die Umkehrung anhand eines Prismas mit \(G=30\,\text{cm}^2\), \(h=10\,\text{cm}\) und einer Pyramide mit \(G=90\,\text{cm}^2\), \(h=10\,\text{cm}\).