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- Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Exponenten bei negativen Basen. - Schau dir die höchste Potenz von \(x\) in jeder Gleichung genau an. - Spielt das Vorzeichen der Zahl vor der höchsten Potenz eine Rolle für die Symmetrie des Globalverhaltens?

1. Bestimmung des Grades \(n\) (höchste Potenz von \(x\)) und des Leitkoeffizienten \(a_n\) (Koeffizient vor \(x^n\)) für jede Funktion. 2. Anwendung der Regel: Das Globalverhalten ist für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) genau dann gleich, wenn der Grad \(n\) der Funktion eine gerade Zahl ist. 3. Untersuchung von \(f(x)\): Der Grad ist \(n = 4\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -3\). Da der Grad gerade ist, ist das Verhalten identisch (\(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\)). 4. Untersuchung von \(g(x)\): Der Grad ist \(n = 5\) (ungerade). Das Verhalten ist unterschiedlich. 5. Untersuchung von \(h(x)\): Der Grad ist \(n = 6\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_6 = 1\). Da der Grad gerade ist, ist das Verhalten identisch (\(h(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\)). 6. Untersuchung von \(k(x)\): Der Grad ist \(n = 7\) (ungerade). Das Verhalten ist unterschiedlich.

Die Funktionen \(f\) und \(h\) haben für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) das gleiche Globalverhalten. Begründung: Eine ganzrationale Funktion zeigt an beiden Rändern des Definitionsbereichs dasselbe Verhalten, wenn ihr Grad \(n\) eine gerade Zahl ist. Bei \(f\) ist der Grad \(4\) und bei \(h\) ist der Grad \(6\). Die Funktionen \(g\) und \(k\) haben hingegen ungerade Grade (\(5\) bzw. \(7\)).

- Woran erkennt man am Funktionsterm, ob eine Funktion ganzrational ist? - Welcher Teil des Funktionsterms dominiert das Verhalten der Funktionswerte, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Wie beeinflussen das Vorzeichen der Zahl vor der höchsten Potenz und die Art des Exponenten (gerade oder ungerade) die Richtung des Graphen?

1. Funktion \(f\): Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion mit dem Grad \(n = 6\) (höchste Potenz) und dem Leitkoeffizienten \(a_6 = -4\). Da der Grad gerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Funktion \(g\): Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x\). Dies ist eine ganzrationale Funktion mit \(n = 3\) und \(a_3 = \frac{1}{3}\). Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt: \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Funktion \(h\): Dies ist keine ganzrationale Funktion, da die Variable \(x\) unter einer Wurzel steht (\(x^{0{,}5}\)), was keinem natürlichen Exponenten entspricht.

a) Ganzrational; \(n = 6\); \(a_6 = -4\); \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\). b) Ganzrational; \(n = 3\); \(a_3 = \frac{1}{3}\); \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). c) Nicht ganzrational (wegen \(\sqrt{x}\)).

- Achte darauf, dass die Terme nicht immer nach der Größe ihrer Exponenten sortiert sind. - Nutze Rechenregeln wie die binomischen Formeln, um den Leitterm schneller zu finden. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine sehr große negative Zahl in eine Potenz mit geradem Exponenten einsetzt? Und bei einem ungeraden Exponenten?

1. Bei \(p(x)\) ist die höchste Potenz \(x^6\) mit dem positiven Leitkoeffizienten \(0{,}2\). Da der Grad \(6\) gerade ist, streben die Funktionswerte in beide Richtungen gegen Unendlich: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 2. Die Funktion \(q(x)\) lässt sich mit der dritten binomischen Formel zu \(1 - x^4\) vereinfachen. Der Grad \(4\) ist gerade, der Leitkoeffizient \(-1\) ist negativ. Somit gilt für \(x \to \pm \infty\), dass \(q(x) \to -\infty\). 3. Bei \(r(x)\) ist der Term mit der höchsten Potenz \(-x^5\). Der Grad \(5\) ist ungerade und der Leitkoeffizient \(-1\) negativ. Daher gilt für \(x \to \infty\), dass \(r(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\), dass \(r(x) \to \infty\).

a) \(p(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\) b) \(q(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) c) \(r(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(r(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen der Leitkoeffizient bei einem ungeraden Grad haben muss, damit der Graph für sehr große \(x\)-Werte gegen Unendlich strebt. - Was sagt der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über das Absolutglied (die Zahl ohne \(x\)) in der Funktionsgleichung aus? - Du kannst versuchen, eine möglichst einfache Funktionsgleichung aufzustellen, indem du zum Beispiel nur die \(x\)-Potenz mit dem höchsten Grad und die konstante Zahl verwendest. - Nutze die Punktprobe mit dem gegebenen Punkt, um den fehlenden Koeffizienten zu berechnen.

1. Da die Funktion den Grad 3 hat und das Globalverhalten \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) sowie \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) aufweist, muss der Leitkoeffizient \(a\) positiv sein (\(a > 0\)). 2. Aus der Bedingung \(f(0) = -3\) folgt für den Funktionsterm \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), dass das Absolutglied \(d = -3\) ist. 3. Für den einfachsten Fall setzen wir \(b = 0\) und \(c = 0\) an, woraus sich \(f(x) = ax^3 - 3\) ergibt. 4. Einsetzen des Punktes \(P(1|0)\) liefert die Gleichung \(a \cdot 1^3 - 3 = 0\), woraus \(a = 3\) folgt. 5. Da \(a = 3 > 0\) ist, sind alle Bedingungen erfüllt. Die Funktion lautet \(f(x) = 3x^3 - 3\).

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = 3x^3 - 3\).

- Welcher Teil des Funktionsterms ist bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten am wichtigsten? - Wie beeinflusst ein gerader oder ungerader Exponent das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn man eine negative Zahl einsetzt? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor der höchsten Potenz?

1. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz von \(x\) (der Summand mit dem höchsten Grad) das Globalverhalten. 2. Für \(f(x) = -0{,}1x^4 + 5x - 1\): Der Grad ist \(n = 4\) (gerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -0{,}1\) (negativ). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt ebenfalls \(f(x) \to -\infty\). 3. Für \(g(x) = \frac{2}{3}x^5 - 10x^2\): Der Grad ist \(n = 5\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_5 = \frac{2}{3}\) (positiv). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\).

a) \(x \to \infty: f(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty: f(x) \to -\infty\) b) \(x \to \infty: g(x) \to \infty\); \(x \to -\infty: g(x) \to -\infty\)

- Erinnere dich daran, dass bei ganzrationalen Funktionen nur die höchste Potenz für das Verhalten im Unendlichen wichtig ist. - Wie verhalten sich die Graphen der Grundfunktionen \(x^2, -x^2, x^3\) und \(-x^3\) an den Rändern des Koordinatensystems? - Überlege dir beim Ausmultiplizieren von Klammern, welches das Glied mit der höchsten Potenz sein wird.

1. Analyse von \(p(x) = -x^3\): Ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient. Resultat: \(x \to \infty: p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty: p(x) \to \infty\). 2. Analyse von \(g(x)\): Durch Ausmultiplizieren der x-Terme \((-x) \cdot x^2\) ergibt sich das Leitglied \(-x^3\). Da das Leitglied identisch mit \(p(x)\) ist, stimmt das Globalverhalten überein. 3. Analyse von \(h(x)\): Das Leitglied ist \(-3x^4\). Der Grad \(n=4\) ist gerade und der Leitkoeffizient \(a_4 = -3\) ist negativ. Für gerade Grade mit negativem Leitkoeffizienten gilt: \(x \to \pm \infty: h(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verhalten von \(-x^2\).

a) Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). b) Ja, da das Leitglied von \(g(x)\) ebenfalls \(-x^3\) ist. c) Das Globalverhalten von \(h\) entspricht dem von \(-x^2\), da der Grad gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-3\)) ist.

- Welcher Summand im Funktionsterm dominiert die Werte der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie beeinflusst eine ungerade Hochzahl das Vorzeichen bei negativen \(x\)-Werten? - Was bewirkt ein negativer Faktor vor der höchsten Potenz für das Gesamtergebnis?

1. Bestimmung des Terms mit der höchsten Potenz: \(-2x^5\). 2. Identifikation des Grades: \(n = 5\) (ungerade Zahl). 3. Identifikation des Leitkoeffizienten: \(a_5 = -2\) (negativ). 4. Analyse für \(x \to \infty\): Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt \(f(x) \to -\infty\). 5. Analyse für \(x \to -\infty\): Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt \(f(x) \to \infty\).

Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). Begründung: Der Grad \(n = 5\) ist ungerade und der Leitkoeffizient \(a_5 = -2\) ist negativ.

- Schau dir den Grad (den höchsten Exponenten) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten des jeweiligen Funktionsterms an. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr große positive oder sehr kleine negative Werte annimmt? - Achte auf die Symmetrie: Welche Exponenten kommen im Funktionsterm vor? Gibt es nur gerade oder nur ungerade Exponenten? - Überprüfe markante Punkte, wie zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (den Funktionswert bei \(x = 0\)).

1. **Analyse von Term (I):** Der Funktionsterm \(p(x) = -0{,}5 x^3 + 1{,}5 x\) hat den ungeraden Grad \(3\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(-0{,}5\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \infty\), strebt \(p(x) \to -\infty\). - Wenn \(x \to -\infty\), strebt \(p(x) \to \infty\). - Der Graph verläuft also vom II. Quadranten in den IV. Quadranten. Dies trifft nur auf den **Graphen A** (rot) zu. - Zudem enthält der Term nur ungerade Exponenten, was die Punktsymmetrie zum Ursprung bestätigt. 2. **Analyse von Term (II):** Der Funktionsterm \(q(x) = 0{,}25 x^4 - 2 x^2 + 1\) hat den geraden Grad \(4\) und einen positiven Leitkoeffizienten \(0{,}25\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \pm\infty\), strebt \(q(x) \to \infty\). - Der Graph ist nach oben geöffnet. Dies trifft nur auf den **Graphen B** (blau) zu. - Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse mit dem y-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 1)\). 3. **Analyse von Term (III):** Der Funktionsterm \(r(x) = -0{,}1 x^4 + 0{,}8 x^2\) hat den geraden Grad \(4\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(-0{,}1\). - Für das Globalverhalten gilt: - Wenn \(x \to \pm\infty\), strebt \(r(x) \to -\infty\). - Der Graph ist nach unten geöffnet. Dies trifft nur auf den **Graphen C** (grün) zu. - Der Graph ist ebenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\).

(I) gehört zu Graph A, (II) zu Graph B und (III) zu Graph C.

- Schaue dir den Verlauf des Graphen ganz links (für sehr kleine \(x\)-Werte) und ganz rechts (für sehr große \(x\)-Werte) an. - Welche mathematische Schreibweise kennst du, um das Verhalten einer Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte zu beschreiben? - Überlege, wie sich Potenzfunktionen mit geradem im Vergleich zu ungeradem Grad am Rand des Koordinatensystems verhalten. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\) auf die Richtung, in die der Graph am rechten Rand verläuft?

1. Bestimmung des Globalverhaltens über den dominanten Term \(-0{,}1x^3\): Für \(x \to -\infty\) gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\). 2. Begründung des Grads: Da die Grenzwerte für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) unterschiedliche Vorzeichen aufweisen (der Graph verläuft von links oben nach rechts unten), muss der Grad der Funktion ungerade sein. Bei einem geraden Grad würden beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen besitzen. 3. Bestimmung des Leitkoeffizienten: Da der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient negativ sein. Ein positiver Leitkoeffizient würde bei ungeradem Grad zu einem Grenzwert von \(\infty\) für \(x \to \infty\) führen.

a) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) b) 1. Da die Grenzwerte für \(x \to -\infty\) und \(x \to \infty\) unterschiedliche Vorzeichen haben, muss der Grad der Funktion ungerade sein. b) 2. Da \(f(x)\) für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient negativ sein.

- Vergleiche bei jeder Funktion die beiden ausdrücklich angegebenen Grenzrichtungen. - Gleiche Grenzrichtungen gehören zu einem geraden Grad, verschiedene zu einem ungeraden Grad. - Das Verhalten für \(x\to\infty\) entscheidet anschließend über das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

1. Bei \(p\) sind die beiden Grenzrichtungen verschieden. Daher ist der Grad ungerade. Weil \(p(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\), ist der Leitkoeffizient positiv. 2. Bei \(q\) gehen beide Grenzrichtungen gegen \(-\infty\). Daher ist der Grad gerade und der Leitkoeffizient negativ. 3. Die dargestellten Ausschnitte sind mit diesen algebraisch gegebenen Globalverhalten vereinbar: \(p\) verläuft im Fenster von links unten nach rechts oben, während bei \(q\) beide sichtbaren Seiten nach unten weisen.

\(p\): ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient. \(q\): gerader Grad, negativer Leitkoeffizient.

- Vergleiche die beiden angegebenen Grenzrichtungen: gleich oder verschieden? - Welche Gradparität gehört zu gleichen Grenzrichtungen? - Welches Vorzeichen des Leitkoeffizienten passt bei geradem Grad zu \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\)?

1. Beide ausdrücklich gegebenen Grenzwerte zeigen in dieselbe Richtung. Daher ist der Grad von \(f\) gerade. 2. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Bei geradem Grad bedeutet dies, dass der Leitkoeffizient negativ ist. 3. Im dargestellten endlichen Ausschnitt weisen die sichtbaren linken und rechten Bereiche nach unten. Das ist mit dem angegebenen Globalverhalten vereinbar, dient aber nicht als Beweis für die Grenzwerte.

Der Grad ist gerade und der Leitkoeffizient negativ. Der gezeigte Graphausschnitt ist mit dem ausdrücklich angegebenen Globalverhalten vereinbar.

- Nutze den angegebenen Leitterm und nicht den Rand des Bildes. - Welche Rolle spielen Gradparität und Vorzeichen des Leitkoeffizienten für die beiden Grenzrichtungen? - Verwende die Abbildung anschließend nur zur Plausibilitätskontrolle.

1. Der Leitterm \(0{,}4x^3\) hat ungeraden Grad und einen positiven Leitkoeffizienten. 2. Daher gilt \(h(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Der Grad ist ungerade. 4. Im dargestellten endlichen Ausschnitt liegt der sichtbare rechte Teil höher und der sichtbare linke Teil tiefer. Das ist mit dem algebraisch bestimmten Globalverhalten vereinbar.

a) \(h(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). b) Der Grad ist ungerade. c) Der sichtbare Verlauf ist damit vereinbar, beweist die Grenzwerte aber nicht.

- Welcher Koeffizient bestimmt maßgeblich das Verhalten der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Welchen Einfluss hat ein gerader oder ungerader Exponent bei der höchsten Potenz auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Wie verändert ein negativer Leitkoeffizient die Richtung des Graphen im Unendlichen? - Erinnere dich an die Grundverläufe von Potenzfunktionen wie \(x^2, -x^2, x^3\) und \(-x^3\).

1. Aufstellen der Funktionsterme: Für \(g\) ergibt sich \(g(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1\). Für \(h\) ergibt sich \(h(x) = 4x^3 - 2x\). 2. Analyse von \(g\): Der höchste Grad ist \(n=4\) (gerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -2\) (negativ). Daraus folgt für das Globalverhalten: \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Analyse von \(h\): Der höchste Grad ist \(n=3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(a_3 = 4\) (positiv). Daraus folgt für das Globalverhalten: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\).

a) \(g(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1\). Globalverhalten: \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). b) \(h(x) = 4x^3 - 2x\). Globalverhalten: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\).

- Was muss mit dem Vorzeichen passieren, wenn du eine sehr große negative Zahl für \(x\) einsetzt und das Ergebnis negativ sein soll? - Multipliziere die Klammern im Kopf oder auf Papier aus, um die höchste Potenz von \(x\) zu finden. - Achte darauf, dass nicht immer die erste Zahl im Term auch die zum höchsten Grad gehörende Zahl ist. - Welche Kombination aus Grad (gerade/ungerade) und Leitkoeffizient (positiv/negativ) führt dazu, dass der Graph an beiden Seiten nach unten verläuft?

1. Analyse der Bedingung: Damit \(\lim_{x \to \pm \infty} p(x) = -\infty\) gilt, muss die Funktion einen geraden Grad \(n\) und einen negativen Leitkoeffizienten \(a_n\) besitzen. 2. Prüfung von \(p_1(x)\): Ausmultipliziert ergibt sich \(-x^4 + 4x^2\). Grad \(n=4\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) (negativ). Bedingung erfüllt. 3. Prüfung von \(p_2(x)\): Höchste Potenz nach dem Ausmultiplizieren ist \(-x^3\). Grad \(n=3\) (ungerade). Bedingung nicht erfüllt. 4. Prüfung von \(p_3(x)\): Höchste Potenz ist \(-5x^6\). Grad \(n=6\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_6 = -5\) (negativ). Bedingung erfüllt. 5. Prüfung von \(p_4(x)\): Ausmultipliziert ergibt sich \(x^2 - x^4\). Höchste Potenz ist \(-x^4\). Grad \(n=4\) (gerade), Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) (negativ). Bedingung erfüllt. 6. Prüfung von \(p_5(x)\): Der Term mit der höchsten Potenz ist \(-x^5\). Grad \(n=5\) (ungerade). Bedingung nicht erfüllt.

Die Funktionsgleichungen 1), 3) und 4) erfüllen die Bedingung. Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss ihr Grad \(n\) eine gerade Zahl sein und ihr Leitkoeffizient \(a_n\) (der Koeffizient vor der höchsten Potenz) negativ sein (\(a_n < 0\)).

- Überlege dir, wie sich Potenzen wie \(x^2, x^3, x^4\) verhalten, wenn man sehr große positive oder negative Zahlen einsetzt. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Potenz, wenn man es mit einer negativen Zahl multipliziert? - Erinnere dich an die vier Grundtypen des Globalverhaltens bei ganzrationalen Funktionen.

1. Damit eine Funktion unterschiedliches Verhalten an den Rändern zeigt (\(\infty\) und \(-\infty\)), muss der Grad \(n\) ungerade sein. Damit die Werte für positive \(x\) gegen \(-\infty\) laufen, muss der Leitkoeffizient \(a_n\) negativ sein. 2. Überprüfung der Funktionen: - \(p(x) = -0{,}5x^3 + 2x^2\): Der Grad ist \(3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(-0{,}5\) (negativ). Das Verhalten passt zur Beschreibung. - \(q(x) = x^4 - 10x^3\): Der Grad ist \(4\) (gerade). Bei geradem Grad streben die Werte für \(x \to \pm\infty\) in dieselbe Richtung. Das Verhalten passt nicht. - \(r(x) = (2-x) \cdot x^2 = -x^3 + 2x^2\): Der Grad ist \(3\) (ungerade) und der Leitkoeffizient ist \(-1\) (negativ). Das Verhalten passt zur Beschreibung.

1. Der Grad \(n\) muss ungerade sein und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss negativ sein (\(a_n < 0\)). 2. Die Funktionen \(p(x)\) und \(r(x)\) zeigen dieses Verhalten, da beide einen ungeraden Grad (\(n=3\)) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}5\) bzw. \(-1\)) besitzen.

- Welcher Term in der Funktionsgleichung dominiert das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Bestimme den Grad der Funktion (den höchsten Exponenten) und das Vorzeichen des Koeffizienten vor dieser Potenz. - Überlege dir, wie sich Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten bei negativen Basen verhalten. - Falls die Funktion in Produktschreibweise vorliegt, überlege dir, welche Potenz von \(x\) beim Ausmultiplizieren entstehen würde.

1. Bei \(f(x) = 4x^3 - x^4\) ist der Summand mit der höchsten Potenz \(-x^4\). Der Grad \(n=4\) ist gerade und der Leitkoeffizient \(a_4 = -1\) ist negativ. Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 2. Die Funktion \(g(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4{,}5x\) hat den Grad \(n=3\) (ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_3 = 0{,}5\) (positiv). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Durch Ausmultiplizieren von \(h(x) = -(x^2 - 4x + 4)x = -x^3 + 4x^2 - 4x\) erkennt man den Grad \(n=3\) (ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_3 = -1\) (negativ). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\).

a) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) b) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) c) \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\)

- Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für die vorkommenden Exponenten einer ganzrationalen Funktion? - Welches Vorzeichen muss der Leitkoeffizient bei einer Funktion mit geradem Grad haben, damit beide Arme des Graphen nach unten verlaufen? - Welchen Wert hat die Variable \(x\) an der Stelle, an der der Graph die \(y\)-Achse schneidet? - Stelle eine Gleichung auf, indem du die Nullstelle in deinen Ansatz einsetzt, und bestimme so die noch unbekannten Werte.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse treten im Funktionsterm nur gerade Exponenten auf: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Bedingung \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\) bei Grad 4 erfordert einen negativen Leitkoeffizienten (\(a < 0\)). 3. Aus \(f(0) = 2\) folgt direkt \(c = 2\). 4. Die Bedingung \(f(2) = 0\) führt zur Gleichung \(a \cdot 2^4 + b \cdot 2^2 + 2 = 0\), also \(16a + 4b + 2 = 0\). 5. Wählt man beispielsweise \(a = -1\) (da \(a < 0\) sein muss), ergibt sich \(-16 + 4b + 2 = 0\), woraus \(4b = 14\) und somit \(b = 3{,}5\) folgt. 6. Die resultierende Funktion \(f(x) = -x^4 + 3{,}5x^2 + 2\) erfüllt alle Bedingungen.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = -x^4 + 3{,}5x^2 + 2\).

- Welcher Teil eines Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Was muss für den Grad einer Funktion gelten, damit sie auf beiden Seiten in die gleiche Richtung verläuft? - Wie beeinflusst das Vorzeichen des Leitkoeffizienten die Richtung des Graphen? - Untersuche separat, was passiert, wenn der Exponent n größer, gleich oder kleiner als 6 ist.

1. Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, muss der Summand mit dem höchsten Exponenten (das Leitglied) einen geraden Grad und einen positiven Koeffizienten besitzen. 2. Fallunterscheidung nach dem Exponenten \(n\): - Falls \(n < 6\): Das Leitglied ist \(-10x^6\). Der Koeffizient \(-10\) ist negativ, daher gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). Dies erfüllt die Bedingung nicht. - Falls \(n = 6\): Die Funktion lautet \(f(x) = (b - 10)x^6\). Damit der Koeffizient positiv ist, muss \(b - 10 > 0\) gelten, also \(b > 10\). Da der Grad 6 gerade ist, ist die Bedingung für \(b > 10\) erfüllt. - Falls \(n > 6\): Das Leitglied ist \(bx^n\). Damit der Koeffizient positiv ist, muss \(b > 0\) gelten. Damit der Graph auf beiden Seiten gegen \(+\infty\) verläuft, muss \(n\) eine gerade Zahl sein. 3. Ergebnis: Die Bedingungen sind erfüllt, wenn entweder \(n = 6\) und \(b > 10\) gilt oder wenn \(n > 6\) eine gerade Zahl ist und \(b > 0\) gilt.

Die Bedingungen sind erfüllt für: 1. \(n = 6\) und \(b > 10\) 2. \(n \in \{8, 10, 12, \dots\}\) (alle geraden Zahlen größer als 6) und \(b > 0\).

- Fasse die Terme von f und g zusammen, indem du x-Potenzen mit gleichem Exponenten ausklammerst. - Was passiert mit dem Term vierten Grades, wenn k den Wert -4 annimmt? Welcher Term bestimmt dann das Verhalten? - Überlege, welches Vorzeichen der Koeffizient vor der höchsten x-Potenz haben muss, damit der Graph nach unten geöffnet ist. - Welche Rolle spielt es, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist?

1. Aufstellen der Summenfunktion: \(h(x) = (4 + k)x^4 + x^3 - 2x^2\). 2. Zu Teilaufgabe a): Setze \(k = -4\). Es ergibt sich \(h(x) = (4 - 4)x^4 + x^3 - 2x^2 = x^3 - 2x^2\). Da der Grad \(n = 3\) ungerade und der Leitkoeffizient \(a_3 = 1\) positiv ist, gilt: Für \(x \to \infty\) folgt \(h(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) folgt \(h(x) \to -\infty\). 3. Zu Teilaufgabe b): Damit \(h(x)\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss das Leitglied einen geraden Grad und einen negativen Koeffizienten haben. 4. Der Grad der Funktion \(h\) ist 4 (gerade), sofern der Koeffizient \(4 + k\) nicht null ist. Damit das Globalverhalten gegen \(-\infty\) gerichtet ist, muss \(4 + k < 0\) gelten. 5. Lösen der Ungleichung: \(k < -4\).

a) Für \(k = -4\) gilt: \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). b) Für \(k < -4\) gilt \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), da der Leitkoeffizient \((4+k)\) dann negativ und der Grad 4 gerade ist.

- Schau dir für jede Funktion nur den Summanden mit der höchsten Potenz an. - Überlege dir: Ist der höchste Exponent gerade oder ungerade? - Ist die Zahl vor der höchsten Potenz (der Leitkoeffizient) positiv oder negativ? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine sehr große positive oder eine sehr kleine negative Zahl einsetzt?

1. \(a(x) = 5x^3 - x\): Grad 3 (ungerade), Leitkoeffizient 5 (positiv). Verhalten wie \(x^3\): \(x \to \infty \implies y \to \infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to -\infty\). Zuordnung: III. 2. \(b(x) = -x^4 + 8x^2\): Grad 4 (gerade), Leitkoeffizient -1 (negativ). Verhalten wie \(-x^4\): \(x \to \pm \infty \implies y \to -\infty\). Zuordnung: II. 3. \(c(x) = -2x^5 + 1\): Grad 5 (ungerade), Leitkoeffizient -2 (negativ). Verhalten wie \(-x^5\): \(x \to \infty \implies y \to -\infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to \infty\). Zuordnung: IV. 4. \(d(x) = 0{,}5x^2 + 3x\): Grad 2 (gerade), Leitkoeffizient \(0{,}5\) (positiv). Verhalten wie \(x^2\): \(x \to \pm \infty \implies y \to \infty\). Zuordnung: I.

1 \(\to\) III, 2 \(\to\) II, 3 \(\to\) IV, 4 \(\to\) I

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einsetzt? - Wie bestimmt man den Grad einer Funktion, die in der Produktform (Nullstellenform) gegeben ist? - Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für das Verhalten der Kurve weit weg vom Ursprung? - Vergleiche die Vorzeichen der Zahlen, die vor der höchsten Potenz von \(x\) stehen.

1. Einsetzen des Punktes \(P(0|12)\) in die Funktionsgleichung: \(f(0) = a \cdot (0 + 2)(0 - 1)(0 - 3) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus \(6a = 12\) folgt \(a = 2\). 3. Analyse des Globalverhaltens von \(f\): Da \(a = 2\) positiv ist und der Grad der Funktion \(3\) beträgt (\(x \cdot x \cdot x\)), ist das Leitglied \(2x^3\). 4. Vergleich mit \(g(x) = 5x^3\): Da beide Funktionen den Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten haben, streben beide für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\). 5. Ergebnis: Ja, für \(a = 2\) sind beide Bedingungen erfüllt.

Ja, es gibt eine solche Zahl \(a\). Durch Einsetzen des Punktes \(P(0|12)\) ergibt sich \(a = 2\). Da sowohl \(f\) als auch \(g\) den Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten besitzen, ist ihr Globalverhalten identisch.

- Berechne zuerst den Wert von \(k\), indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt. - Überlege dir, welchen Grad die Funktion insgesamt hat, wenn man die Klammern ausmultiplizieren würde. - Welches Vorzeichen müsste der Leitkoeffizient haben, damit der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte nach unten verläuft? - Passt das berechnete \(k\) zu der geforderten Richtung des Graphen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2|24)\) zur Bestimmung von \(k\): \(f(2) = k \cdot (2^2 + 2)(2 - 4)^2 = k \cdot (4 + 2)(-2)^2 = k \cdot 6 \cdot 4 = 24k\). 2. Berechnung von \(k\): Aus \(24k = 24\) folgt \(k = 1\). 3. Analyse des Globalverhaltens für \(k = 1\): Der Grad der Funktion ist \(4\) (\(x^2 \cdot x^2\)). Mit \(k = 1\) (positiv) ergibt sich als Leitglied \(x^4\). 4. Prüfung der Bedingung: Eine ganzrationale Funktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten strebt für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\). 5. Schlussfolgerung: Da die Bedingung \(f(x) \to -\infty\) einen negativen Leitkoeffizienten (\(k < 0\)) erfordern würde, aber die Punktprobe \(k = 1\) ergibt, existiert keine solche Zahl \(k\).

Nein, eine solche Zahl \(k\) existiert nicht. Die Punktprobe ergibt \(k = 1\). Da der Grad der Funktion \(4\) ist (gerade), würde der Graph für \(k = 1\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) streben, nicht gegen \(-\infty\).

- Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Bei Produkten von Klammern hilft es, nur die x-Glieder miteinander zu multiplizieren, um die höchste Potenz zu finden.

1. Bestimmung des Leitglieds für jede Funktion: a) Leitglied \(-x^4\): Grad 4 (gerade), Leitkoeffizient \(-1\) (negativ). Verhalten: \(x \to \infty: a(x) \to -\infty\) und \(x \to -\infty: a(x) \to -\infty\). Dies entspricht \(f_2(x) = -x^2\). b) Leitglied \(x \cdot x \cdot x = x^3\): Grad 3 (ungerade), Leitkoeffizient \(1\) (positiv). Verhalten: \(x \to \infty: b(x) \to \infty\) und \(x \to -\infty: b(x) \to -\infty\). Dies entspricht \(f_3(x) = x^3\). c) Leitglied \(-x^5\): Grad 5 (ungerade), Leitkoeffizient \(-1\) (negativ). Verhalten: \(x \to \infty: c(x) \to -\infty\) und \(x \to -\infty: c(x) \to \infty\). Dies entspricht \(f_4(x) = -x^3\). d) Leitglied \(\frac{1}{2}x^6\): Grad 6 (gerade), Leitkoeffizient \(0{,}5\) (positiv). Verhalten: \(x \to \infty: d(x) \to \infty\) und \(x \to -\infty: d(x) \to \infty\). Dies entspricht \(f_1(x) = x^2\).

a) \(f_2(x) = -x^2\) b) \(f_3(x) = x^3\) c) \(f_4(x) = -x^3\) d) \(f_1(x) = x^2\)

- Betrachte bei beiden Funktionen jeweils nur das Glied mit der höchsten Potenz. - Welche Gemeinsamkeit haben die Exponenten 4 und 6 in Bezug auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Spielen die hinteren Summanden der Funktion eine Rolle für das Verhalten im Unendlichen?

1. Untersuchung von \(g(x)\): Der höchste Grad ist \(n = 4\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_4 = -1\) (negativ). Daraus folgt: für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 2. Untersuchung von \(h(x)\): Der höchste Grad ist \(n = 6\) (gerade), der Leitkoeffizient ist \(a_6 = -0{,}5\) (negativ). Daraus folgt: für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\). 3. Vergleich: Da beide Funktionen einen geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten besitzen, ist ihr Globalverhalten identisch.

Ja, beide Funktionen zeigen das gleiche Globalverhalten. Für beide Funktionen gilt: \(x \to \infty \implies \text{Funktionswert} \to -\infty\) und \(x \to -\infty \implies \text{Funktionswert} \to -\infty\). Begründung: Beide Funktionen haben einen geraden Grad (\(4\) bzw. \(6\)) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-1\) bzw. \(-0{,}5\)).

- Welcher Term entsteht, wenn du für die höchste Potenz aus jeder Klammer nur den \(x\)-Anteil betrachtest? - Welche Rolle spielen die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten für die beiden Enden des Graphen? - Nutze das vollständige Ausmultiplizieren erst als Kontrolle deiner vorherigen Überlegung.

1. Für den führenden Term werden aus den drei Klammern jeweils die \(x\)-Terme miteinander multipliziert. Dadurch entsteht \(3x^3\). Also hat \(f\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(3\). 2. Der führende Term hat ungeraden Grad und einen positiven Leitkoeffizienten. Daher gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Es gilt \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) und damit \((x^2+x-2)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8\). Somit ist \(f(x)=3x^3-9x^2-18x+24\). Der Leitkoeffizient ist tatsächlich \(3\).

1. Grad \(3\), Leitkoeffizient \(3\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). 3. \(f(x)=3x^3-9x^2-18x+24\)

- Für das Leitglied musst du nicht den ganzen Term ausmultiplizieren; betrachte nur die höchsten Potenzen in den Faktoren. - Was bedeutet ein ungerader Grad zusammen mit einem negativen Leitkoeffizienten für die beiden Enden des Graphen? - Das vollständige Ausmultiplizieren kann anschließend als rechnerische Kontrolle dienen.

1. Der führende Anteil des Produkts ist \(-2\cdot x^2\cdot x=-2x^3\). Also hat \(p\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(-2\). 2. Das Leitglied \(-2x^3\) hat ungeraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. Daher gilt \(p(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Aus \((x+1)^2=x^2+2x+1\) folgt \((x^2+2x+1)(x-3)=x^3-x^2-5x-3\). Somit ist \(p(x)=-2x^3+2x^2+10x+6\). Das Absolutglied ist \(6\), und der Leitkoeffizient \(-2\) stimmt mit Teil 1 überein.

1. Grad \(3\), Leitkoeffizient \(-2\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(p(x)\to\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(p(x)\to-\infty\). 3. \(p(x)=-2x^3+2x^2+10x+6\); Absolutglied \(6\)

- Betrachte bei jedem Funktionsterm das Glied mit der höchsten Potenz von \(x\). Dieses Glied bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Überlege, wie sich ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen des Funktionswerts auswirkt, wenn du sehr große positive oder sehr kleine negative Zahlen einsetzt. - Achte auf das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz. Welchen Einfluss hat er auf die Richtung des Graphen an den Rändern? - Vergleiche deine Überlegungen mit dem Verlauf der Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems.

1. Für das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion ist der Summand mit der höchsten Potenz entscheidend. 2. Untersuchung von \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(0{,}5x^3\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}5\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph B**. 3. Untersuchung von \(g(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(-0{,}25x^4\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}25\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph A**. 4. Untersuchung von \(h(x) = 0{,}15x^4 - 1{,}5x^2 + 2\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(0{,}15x^4\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}15\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Dies entspricht dem Verlauf von **Graph C**. 5. Untersuchung von \(k(x) = -0{,}3x^3 + 1{,}5x\): Der Summand mit der höchsten Potenz ist \(-0{,}3x^3\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}3\)). Daraus folgt: Für \(x \to \infty\) gilt \(k(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(k(x) \to \infty\). Es gibt keinen passenden Graphen für dieses Verhalten. Somit bleibt der Funktionsterm \(k(x)\) übrig.

Graph A gehört zu \(g(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\), Graph B zu \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\) und Graph C zu \(h(x) = 0{,}15x^4 - 1{,}5x^2 + 2\); übrig bleibt \(k(x) = -0{,}3x^3 + 1{,}5x\).

- Woran erkennst du am Funktionsterm, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie beeinflusst das Vorzeichen des Koeffizienten mit der höchsten Potenz das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Betrachte das Verhalten der Graphen an den Rändern des Koordinatensystems (für \(x \to \pm\infty\)). Welche Funktionsterme passen dazu?

1. **Zuordnung von Graph 1**: - Das Globalverhalten von Graph 1 zeigt, dass der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) strebt und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten. - Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, was bedeutet, dass im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. Dies trifft auf \(p(x)\) und \(q(x)\) zu. - Da der Leitkoeffizient von \(p(x)\) positiv ist (\(1\)) und der von \(q(x)\) negativ (\(-1\)), gehört Graph 1 zur Funktion \(p(x) = x^3 - 3x\). 2. **Zuordnung von Graph 2**: - Das Globalverhalten von Graph 2 zeigt, dass der Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) strebt. Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten. - Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Dies trifft auf \(r(x)\) und \(s(x)\) zu. - Da der Leitkoeffizient von \(r(x)\) negativ ist (\(-1\)) und der von \(s(x)\) positiv (\(1\)), gehört Graph 2 zur Funktion \(r(x) = -x^4 + 2x^2\).

a) Graph 1 gehört zur Funktion \(p(x) = x^3 - 3x\). Graph 2 gehört zur Funktion \(r(x) = -x^4 + 2x^2\). b) Graph 1 verläuft von links unten nach rechts oben (\(x \to \infty \implies y \to \infty\) und \(x \to -\infty \implies y \to -\infty\)) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies passt nur zur ungeraden Funktion \(p(x)\) mit positivem Leitkoeffizienten. Graph 2 verläuft für \(x \to \pm\infty\) nach unten gegen \(-\infty\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Dies passt nur zur geraden Funktion \(r(x)\) mit negativem Leitkoeffizienten.

- Betrachte zuerst den höchsten Exponenten (den Grad der Funktion) und das Vorzeichen des Koeffizienten davor. Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte? - Welche Graphen verlaufen für sehr große x-Werte nach oben (gegen \(+\infty\)) und welche nach unten (gegen \(-\infty\))? - Achte auf die Symmetrie der Funktionen: Welche Funktionen haben nur gerade Exponenten (achsensymmetrisch zur y-Achse) und welche nur ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung)? - Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem du \(x = 0\) in die Funktionsgleichungen einsetzt. Welcher Graph schneidet die y-Achse an welcher Stelle?

1. **Globalverhalten bestimmen**: - Die Funktionen \(g_1(x)\) und \(g_2(x)\) haben den ungeraden Grad 3 mit einem positiven Leitkoeffizienten. Für beide Funktionen gilt: \(g_i(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g_i(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\), \(i \in \{1; 2\}\). Dies trifft auf Graph A und Graph C zu. - Die Funktion \(g_3(x)\) hat den geraden Grad 4 mit positivem Leitkoeffizienten (\(0{,}2\)). Es gilt: \(g_3(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). Dies trifft auf Graph D zu. Somit gehört \(g_3(x)\) zu Graph D. - Die Funktion \(g_4(x)\) hat den geraden Grad 4 mit negativem Leitkoeffizienten (\(-0{,}25\)). Es gilt: \(g_4(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\). Dies trifft auf Graph B zu. Somit gehört \(g_4(x)\) zu Graph B. 2. **Unterscheidung von Graph A und Graph C**: - Wir berechnen den y-Achsenabschnitt durch Einsetzen von \(x = 0\): - Für \(g_1(0) = 2\). Der Graph schneidet die y-Achse bei \((0 \mid 2)\). Dies ist bei Graph C der Fall. - Für \(g_2(0) = 0\). Der Graph schneidet die y-Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\). Zudem enthält \(g_2(x)\) nur ungerade Exponenten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Graph A.

Die richtige Zuordnung lautet: - \(g_1(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) gehört zu **Graph C** - \(g_2(x) = 0{,}5x^3 - 2x\) gehört zu **Graph A** - \(g_3(x) = 0{,}2x^4 - x^2 - 1\) gehört zu **Graph D** - \(g_4(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2\) gehört zu **Graph B**

- Welcher Summand bestimmt bei sehr großen Beträgen von \(x\) das Verhalten von \(f\)? - Vergleiche bei Graph A zuerst den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse mit \(f(0)\). - Für Graph B reicht ein gut ablesbarer ganzzahliger \(x\)-Wert, um einen exakten Widerspruch zu finden. - Welche gemeinsame Potenz von \(x\) kannst du bei der Nullstellengleichung ausklammern?

1. Der Leitterm ist \(-x^4\). Wegen des geraden Grades und des negativen Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Es ist \(f(0)=0\). Graph A schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid2)\) und kann daher nicht zu \(f\) gehören. 3. Außerdem ist \(f(1)=1\). Bei Graph B ist im Koordinatensystem für \(x=1\) der Wert \(-1\) ablesbar. Deshalb kann auch Graph B nicht zu \(f\) gehören. 4. Für die Nullstellen gilt \(-x^4+2x^2=0\). Ausklammern liefert \(-x^2(x^2-2)=0\). 5. Daraus folgen \(x=0\) sowie \(x=\pm\sqrt{2}\).

a) \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). b) Graph A scheidet wegen des falschen \(y\)-Achsenabschnitts aus. Graph B scheidet aus, weil bei \(x=1\) der Wert \(-1\) statt \(f(1)=1\) dargestellt ist. c) \(x_1=0\), \(x_2=-\sqrt{2}\), \(x_3=\sqrt{2}\).

- Vergleiche zuerst Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten der drei Funktionen. - Welche der Funktionen ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? - Berechne zusätzlich die \(y\)-Achsenabschnitte und vergleiche sie mit der Abbildung.

1. Bei \(p\) ist der Grad \(3\) und der Leitkoeffizient negativ. Daher gilt \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) und \(p(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\). Außerdem ist \(p(0)=0\). Das passt zu Graph A. 2. Bei \(q\) ist der Grad \(4\) und der Leitkoeffizient positiv. Daher gilt \(q(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Wegen \(q(-x)=q(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; außerdem ist \(q(0)=1\). Das passt zu Graph B. 3. Bei \(r\) ist der Grad \(3\) und der Leitkoeffizient positiv. Daher gilt \(r(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(r(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Zudem ist \(r(0)=-2\). Das passt zu Graph C.

\(p(x)\) gehört zu Graph A, \(q(x)\) zu Graph B und \(r(x)\) zu Graph C.

- Betrachte zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und sehr kleine negative x-Werte (das Globalverhalten). - Überlege, wie sich der Grad der Funktion (gerade oder ungerade) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten auf das Globalverhalten auswirken. - Nutze markante Punkte wie Nullstellen (Schnitt- oder Berührpunkte mit der x-Achse) oder den y-Achsenabschnitt zur Überprüfung deiner Vermutung.

1. Analyse von Graph A (blau): - Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to -\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten. - Vergleich mit den Termen: Nur Term 1) \(f(x) = 0{,}25 x^3 - x\) erfüllt diese Bedingung (ungerader Grad 3, positiver Leitkoeffizient \(0{,}25 > 0\)). Term 3) hat einen negativen Leitkoeffizienten. - Bestätigung: Die Nullstellen von \(f(x)\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\), was exakt mit den Schnittpunkten von Graph A mit der x-Achse übereinstimmt. 2. Analyse von Graph B (rot): - Globalverhalten: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(y \to -\infty\). Dies ist typisch für ganzrationale Funktionen geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten. - Vergleich mit den Termen: Nur Term 2) \(g(x) = -0{,}2 x^4 + 1{,}2 x^2\) erfüllt diese Bedingung (gerader Grad 4, negativer Leitkoeffizient \(-0{,}2 < 0\)). Term 4) hat einen positiven Leitkoeffizienten. - Bestätigung: Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung \((0 \mid 0)\) als doppelte Nullstelle und verläuft für \(x \neq 0\) nahe \(0\) oberhalb der x-Achse.

Graph A gehört zu Term 1) \(f(x) = 0{,}25 x^3 - x\), und Graph B gehört zu Term 2) \(g(x) = -0{,}2 x^4 + 1{,}2 x^2\).

- Schau dir zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte an (das sogenannte Globalverhalten). Wie unterscheidet sich dieses Verhalten bei Funktionen mit geradem und ungeradem Grad? - Achte auf die Symmetrie der Graphen. Welche Funktionen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und welche sind punktsymmetrisch zum Ursprung? - Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Funktion, indem du \(x = 0\) einsetzt, und vergleiche ihn mit den Schnittpunkten der Graphen auf der \(y\)-Achse. - Untersuche die Nullstellen und ihre Vielfachheit. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine doppelte Nullstelle hin, während ein einfacher Schnittpunkt auf eine einfache Nullstelle hinweist.

1. **Graph C** zeigt ein Globalverhalten von \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Dies passt nur zur Funktion mit geradem Grad und negativem Leitkoeffizienten: \(p_3(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2 - 2\). 2. **Graph B** verläuft von links oben nach rechts unten (\(f(x) \to +\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to +\infty\)), was auf einen ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten hinweist. Dies entspricht \(p_2(x) = -x^3 + 3x^2\), was auch durch die doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und die einfache Nullstelle bei \(x = 3\) bestätigt wird. 3. **Graph A** und **Graph D** zeigen das Globalverhalten \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to +\infty\), was zu einem ungeraden Grad mit positivem Leitkoeffizienten passt. 4. **Graph A** ist punktsymmetrisch zum Ursprung mit Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{3} \approx \pm1{,}73\), was eindeutig zu \(p_1(x) = x^3 - 3x\) gehört. 5. **Graph D** hat einen \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid -1)\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) (Berührpunkt), was genau zu \(p_4(x) = 0{,}5(x + 1)^2(x - 2)\) gehört.

\(p_1(x) = x^3 - 3x\) gehört zu Graph A (blau), \(p_2(x) = -x^3 + 3x^2\) zu Graph B (orange), \(p_3(x) = -0{,}25x^4 + 2x^2 - 2\) zu Graph C (grün) und \(p_4(x) = 0{,}5(x + 1)^2(x - 2)\) zu Graph D (violett).

- Betrachte zuerst das Verhalten der Graphen für sehr große positive und negative \(x\)-Werte (Globalverhalten). - Welche Graphen verlaufen für \(x \to \pm\infty\) in dieselbe Richtung und welche in entgegengesetzte Richtungen? Was sagt das über den Grad der Funktion aus? - Achte auf die Symmetrie der Graphen: Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (nur gerade Exponenten) oder punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten)? - Überprüfe das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz (Leitkoeffizient), um zu entscheiden, ob der Graph nach oben oder unten verläuft.

1. **Zuordnung für Graph A**: Der Graph verläuft für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) (Globalverhalten eines ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Term (1) \(f_1(x) = x^3 - 3x\). 2. **Zuordnung für Graph B**: Der Graph verläuft für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\) (Globalverhalten eines geraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten) und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies entspricht Term (4) \(f_4(x) = -x^4 + 3x^2\). 3. **Zuordnung für Graph C**: Der Graph verläuft für \(x \to -\infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) (Globalverhalten eines ungeraden Grades mit negativem Leitkoeffizienten) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies entspricht Term (2) \(f_2(x) = -x^3 + 3x\). 4. **Übriggebliebener Term**: Term (3) \(f_3(x) = x^4 - 3x^2\) bleibt übrig, da sein Graph für \(x \to \pm\infty\) gegen \(\infty\) streben müsste (nach oben geöffnete W-Form), was auf keinen der gezeigten Graphen zutrifft.

a) Graph A gehört zu Term (1), Graph B zu Term (4), Graph C zu Term (2), und Term (3) bleibt übrig. b) Graph A ist punktsymmetrisch und verläuft von links unten nach rechts oben, passend zu einem ungeraden Grad mit positivem Leitkoeffizienten; Graph B ist achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\), passend zu einem geraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten; Graph C ist punktsymmetrisch und verläuft von links oben nach rechts unten, passend zu einem ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten; Term (3) bleibt übrig, da sein Graph für \(x \to \pm\infty\) nach oben verlaufen müsste.

- Welche Symmetrie folgt direkt aus den Exponenten im Term von \(f\)? - Welche Vielfachheit hat die Nullstelle \(x=0\), wenn du \(x^2\) ausklammerst? - Suche zusätzlich einen kleinen ganzzahligen \(x\)-Wert, dessen Funktionswert sich exakt berechnen und im Graphen eindeutig vergleichen lässt.

1. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der abgebildete Graph ist dagegen punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit kann er nicht zu \(f\) gehören. 2. Aus \(f(x)=x^2(2-0{,}5x^2)\) folgt, dass \(x=0\) eine doppelte Nullstelle ist. Der Graph von \(f\) berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Der abgebildete Graph schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung mit Vorzeichenwechsel. 3. Es ist \(f(1)=-0{,}5+2=1{,}5\). Im abgebildeten Graphen ist der Funktionswert bei \(x=1\) negativ. Auch dieser exakte Wertvergleich widerspricht \(f\).

Drei mögliche exakte Widersprüche sind: falsche Symmetrie, falsches Verhalten an der Nullstelle \(x=0\) und ein falscher Funktionswert bei \(x=1\).

- Was sagt dir der höchste Exponent (Grad der Funktion) über den Verlauf des Graphen für sehr große positive und negative x-Werte? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen vor der höchsten Potenz (der Leitkoeffizient) auf das Verhalten im Unendlichen? - Wie kannst du den Schnittpunkt eines Graphen mit der y-Achse bestimmen und wie hilft dir das beim Zuordnen? - Welche Symmetrieeigenschaften weisen die Funktionsterme auf und wie spiegeln sich diese in den Graphen wider?

1. Bestimmung des Graphen von \(f\): Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x\) hat den ungeraden Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten (\(\frac{1}{4} > 0\)). Daher gilt für das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Dies ist nur bei Graph **B** der Fall. Zudem ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft durch den Punkt \((0 \mid 0)\). Somit gehört Graph **B** zur Funktion \(f\). 2. Bestimmung des Graphen von \(g\): Die Funktion \(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 1\) hat den geraden Grad \(4\) und einen negativen Leitkoeffizienten (\(-\frac{1}{8} < 0\)). Für das Globalverhalten gilt somit: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). Der Graph ist nach unten geöffnet, was nur auf Graph **A** zutrifft. Zudem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(g(0) = -1\). Somit gehört Graph **A** zur Funktion \(g\). 3. Bestimmung des Graphen von \(h\): Die Funktion \(h(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2 + 2\) hat den geraden Grad \(4\) und einen positiven Leitkoeffizienten (\(\frac{1}{8} > 0\)). Für das Globalverhalten gilt somit: Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). Der Graph ist nach oben geöffnet, was auf Graph **C** zutrifft. Zudem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(h(0) = 2\) und der Graph berührt die x-Achse in den doppelten Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Somit gehört Graph **C** zur Funktion \(h\).

Graph A gehört zu \(g(x) = -\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 1\), Graph B zu \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x\) und Graph C zu \(h(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2 + 2\).

- Wo schneidet der Graph die y-Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Terme ein. - Welche Symmetrie weist der Graph auf? Achte auf die Exponenten der Variablen. - Überprüfe das Verhalten des Graphen an den Rändern des Koordinatensystems.

1. Graph 1: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet (\(y \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)). Dies passt zu einer Funktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten. Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\). Aus \(0{,}5x^4 - 2 = 0\) folgen die Schnittpunkte \((-\sqrt{2} \mid 0)\) und \((\sqrt{2} \mid 0)\) mit der x-Achse. Der Term \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2\) erfüllt alle diese Kriterien. 2. Graph 2: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\). Dies passt zu einem ungeraden Grad mit negativem Leitkoeffizienten. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei \((-1 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 0)\); der Ursprung ist zugleich der Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Term \(h(x) = -x^5 + x\) erfüllt dies, denn \(h(x) = -x(x^4 - 1) = -x(x^2 - 1)(x^2 + 1)\). 3. Ergebnis: Graph 1 gehört zu \(f(x)\), Graph 2 gehört zu \(h(x)\).

Graph 1 gehört zu \(f(x) = 0{,}5x^4 - 2\); seine Achsenschnittpunkte sind \((0 \mid -2)\), \((-\sqrt{2} \mid 0)\) und \((\sqrt{2} \mid 0)\). Graph 2 gehört zu \(h(x) = -x^5 + x\); seine Achsenschnittpunkte sind \((-1 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 0)\).

- Klammere zunächst einen gemeinsamen Faktor aus, um die Nullstellen sichtbar zu machen. - Welche Aussage liefert der Leitterm über beide Grenzrichtungen? - Vergleiche Graph A mit den berechneten Nullstellen. - Für Graph B kannst du einen kleinen ganzzahligen \(x\)-Wert exakt vergleichen.

1. Es gilt \(f(x)=-x(x^2-x-2)=-x(x-2)(x+1)\). Daher liegen die Nullstellen bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Der Leitterm ist \(-x^3\). Daher gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Graph A hat die Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(1\). Diese stimmen nicht mit den Nullstellen von \(f\) überein. 4. Für \(x=1\) gilt \(f(1)=2\). Graph B zeigt bei \(x=1\) den Wert \(-1\). Daher kann auch Graph B nicht zu \(f\) gehören. 5. Der Graph von \(f\) kommt im Globalverhalten von links oben und verläuft nach rechts unten. Er schneidet die \(x\)-Achse an den drei einfachen Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(2\).

a) Nullstellen: \(x=-1\), \(0\), \(2\). Globalverhalten: \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). b) Graph A hat falsche Nullstellen; Graph B hat bei \(x=1\) den falschen Funktionswert. c) Der Graph verläuft im Globalverhalten von links oben nach rechts unten und schneidet die \(x\)-Achse bei \(-1\), \(0\) und \(2\).

- Welche Symmetrie folgt aus den Exponenten im Funktionsterm? - Faktorisiere so weit, dass Nullstellen und Vielfachheiten direkt erkennbar sind. - Leite das Globalverhalten aus dem Leitterm ab, nicht aus dem Rand des Bildes. - Suche für den zweiten dargestellten Graphen einen exakt vergleichbaren Funktionswert.

1. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Es gilt \(f(x)=0{,}5x^2(x-2)(x+2)\). Damit ist \(x=0\) eine doppelte Nullstelle und \(x=\pm2\) sind einfache Nullstellen. 3. Der Leitterm \(0{,}5x^4\) liefert \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 4. Graph A besitzt keine Nullstelle bei \(x=0\) und hat zusätzlich Nullstellen bei \(x=\pm1\). Damit scheidet Graph A aus. 5. Für \(x=1\) gilt \(f(1)=-1{,}5\). Graph B zeigt bei \(x=1\) den Wert \(0{,}6\). Damit scheidet auch Graph B aus. 6. Der gesuchte Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, berührt die \(x\)-Achse bei \(x=0\), schneidet sie bei \(x=\pm2\) und besitzt für beide Grenzrichtungen Funktionswerte gegen \(\infty\).

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; doppelte Nullstelle \(x=0\), einfache Nullstellen \(x=\pm2\); \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). b) Graph A hat falsche Nullstellen; Graph B hat bei \(x=1\) einen falschen Funktionswert. c) Berührung bei \(x=0\), Schnitte bei \(x=\pm2\), beide Enden gehen im Globalverhalten nach oben.

- Schau dir an, wohin die „Arme“ der Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems zeigen. - Überlege, welchen Einfluss der höchste Exponent (der Grad der Funktion) auf das Verhalten bei sehr großen oder sehr kleinen \(x\)-Werten hat. - Welchen Unterschied macht es, ob die Zahl vor der höchsten Potenz positiv oder negativ ist?

1. Der Graph \(f\) gehört zu \(p_1(x)\). Der Grad ist gerade (\(4\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}2\)). Somit gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm \infty\), was dem Verlauf von \(f\) entspricht. 2. Der Graph \(g\) gehört zu \(p_2(x)\). Der Grad ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-0{,}5\)). Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to \infty\). 3. Der Graph \(h\) gehört zu \(p_3(x)\). Der Grad ist ungerade (\(5\)) und der Leitkoeffizient positiv (\(0{,}2\)). Der Graph verläuft für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

Graph \(f\) gehört zu \(p_1(x)\), Graph \(g\) gehört zu \(p_2(x)\) und Graph \(h\) gehört zu \(p_3(x)\).

- Schau dir an, wie sich die Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems verhalten. - Überprüfe die Anzahl und die Art der Nullstellen (Schneiden oder Berühren der x-Achse). - Setze einfache x-Werte in die Terme ein und vergleiche das Ergebnis mit den y-Werten in den Graphen. - Überlege, welcher Grad (Exponent) zu welcher Grundform des Graphen passt.

1. Graph A zeigt den Verlauf einer Funktion 3. Grades, die für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) und für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) strebt (positiver Leitkoeffizient). Die Nullstellen liegen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Dies entspricht Term (1), da \(0{,}5x^3 - 2x = 0{,}5x(x^2 - 4) = 0{,}5x(x - 2)(x + 2)\). 2. Graph B stellt eine nach unten geöffnete Parabel (2. Grad) mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 4)\) und Nullstellen bei \(\pm 2\) dar. Dies entspricht Term (2): \(f(x) = -x^2 + 4\). 3. Graph C zeigt eine Funktion 4. Grades mit W-Form (positiver Leitkoeffizient). Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und einfache Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Dies passt zu Term (3): \(x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)\). 4. Term (4) bleibt übrig. Er beschreibt eine Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten, die von links oben nach rechts unten verlaufen müsste.

Graph A gehört zu Term (1), Graph B zu Term (2), Graph C zu Term (3), und Term (4) bleibt übrig.

- Beginne mit dem Funktionswert bei \(x=0\). - Ein zweiter kleiner ganzzahliger \(x\)-Wert liefert einen weiteren exakten Vergleich. - Um die Anzahl der reellen Nullstellen von \(h\) zu prüfen, kannst du die biquadratische Struktur nutzen.

1. Es gilt \(h(0)=-1\). Der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse dagegen bei \(2\). Damit besteht bereits ein Widerspruch. 2. Außerdem ist \(h(1)=-0{,}5+2-1=0{,}5\). Im dargestellten Graphen beträgt der Wert bei \(x=1\) \(1{,}2\). Auch das passt nicht. 3. Für die Nullstellen führt \(u=x^2\) auf \(u^2-4u+2=0\). Daraus folgt \(u=2\pm\sqrt{2}\); beide Werte sind positiv. Somit besitzt \(h\) vier reelle Nullstellen \(x=\pm\sqrt{2-\sqrt{2}}\) und \(x=\pm\sqrt{2+\sqrt{2}}\). Der abgebildete Graph besitzt im dargestellten Bereich keine Nullstelle.

Der Graph kann nicht zu \(h\) gehören: Er hat den falschen \(y\)-Achsenabschnitt, den falschen Wert bei \(x=1\) und nicht die vier reellen Nullstellen von \(h\).

- Überprüfe, ob der Funktionsterm auf eine bestimmte Symmetrie hinweist. - Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse und vergleiche ihn mit dem Graphen. - Untersuche die Anzahl und die Art der Nullstellen (Schnittpunkt oder Berührpunkt). - Achte auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

Um zu zeigen, dass der Graph nicht zur Funktion \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) passt, können folgende Eigenschaften verglichen werden: 1. Symmetrie: \(f\) enthält nur gerade Exponenten und ist daher achsensymmetrisch zur y-Achse. Der abgebildete Graph ist nicht achsensymmetrisch. 2. Anzahl der Nullstellen: \(f(x) = (x^2 - 1)^2\) hat nur die beiden verschiedenen Nullstellen \(x = -1\) und \(x = 1\). Der abgebildete Graph besitzt zusätzlich Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 3. Art der Nullstellen: Bei \(f\) sind \(x = -1\) und \(x = 1\) doppelte Nullstellen, an denen der Graph die x-Achse berührt. Der abgebildete Graph schneidet die Achse an diesen Stellen.

Der abgebildete Graph kann nicht zu \(f\) gehören, weil \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, der Graph aber nicht; weil \(f\) nur die Nullstellen \(x = \pm 1\) hat, der Graph zusätzlich \(x = -2\) und \(x = 3\); und weil die Nullstellen \(x = \pm 1\) bei \(f\) Berührpunkte, im dargestellten Graphen aber Schnittpunkte sind.

- Schau dir an, wohin die Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte verlaufen. - Wo schneiden die Graphen die senkrechte Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Überprüfe markante Punkte wie Nullstellen. - Vergleiche die Steilheit der Graphen, die ein ähnliches Globalverhalten zeigen.

1. Bestimmung des Globalverhaltens: Die Terme \(f(x)\) und \(h(x)\) haben einen positiven Leitkoeffizienten (\(1\) bzw. \(0{,}5\)), daher gilt für \(x \to \infty\), dass \(y \to \infty\). Dies trifft auf die Graphen \(a\) und \(c\) zu. Der Term \(g(x)\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(-1\)), also gilt für \(x \to \infty\), dass \(y \to -\infty\). Somit gehört Graph \(b\) zur Funktion \(g\). 2. Vergleich der y-Achsenabschnitte: Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei \(f(0) = 2\) und \(h(0) = 1\). Da Graph \(a\) die y-Achse bei \(2\) schneidet und Graph \(c\) bei \(1\), folgt: Graph \(a\) gehört zu \(f\) und Graph \(c\) gehört zu \(h\). 3. Zusätzliche Überprüfung: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\), was mit der Nullstelle von Graph \(a\) bei \(x = 1\) übereinstimmt. Ebenso ist \(h(1) = 0{,}5 - 1{,}5 + 1 = 0\), was zur Nullstelle von Graph \(c\) passt.

Graph \(a\) gehört zu \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), Graph \(b\) zu \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\) und Graph \(c\) zu \(h(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\).

- Vergleiche nicht nur die Koeffizienten, sondern auch die Exponenten der beiden höchsten Terme. - Klammere eine gemeinsame hohe Potenz von \(x\) aus, um zu sehen, welcher Term für große Beträge von \(x\) wächst. - Behandle positive und negative große \(x\)-Werte getrennt.

1. Für das Globalverhalten entscheidet bei einer ganzrationalen Funktion der Summand mit dem höchsten Exponenten, nicht der betragsmäßig größte einzelne Koeffizient. 2. Man kann die beiden höchsten Terme als \(x^4(-0{,}02x+300)\) schreiben. Für große positive \(x\) wird der Klammerterm negativ und sein Betrag wächst; wegen \(x^4>0\) folgt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Für große negative \(x\) wird \(-0{,}02x+300\) positiv und groß. Daher gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\). 4. Noahs Begründung ist deshalb falsch; der Leitterm \(-0{,}02x^5\) bestimmt das Globalverhalten.

Noahs Aussage ist falsch. Es gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\).

- Welche Information kann ein endliches Koordinatenfenster grundsätzlich nicht vollständig zeigen? - Bestimme den Leitterm der Funktion unabhängig vom Bild. - Vergleiche Grad und Vorzeichen dieses Leitterms mit den vier Grundfällen des Globalverhaltens.

1. Aus einem endlichen Graphfenster kann das Verhalten für \(x\to\pm\infty\) nicht sicher abgelesen werden. 2. Der Leitterm von \(f\) ist \(0{,}01x^6\). Er hat geraden Grad und einen positiven Leitkoeffizienten. 3. Daher gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und auch \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\). 4. Das Diagramm zeigt nur einen begrenzten Bereich, in dem der negative Term \(-x^4\) den sichtbaren Verlauf noch stark beeinflusst. Für hinreichend große Beträge von \(x\) setzt sich der höhergradige positive Term durch.

Linas Schlussfolgerung ist nicht zulässig. Tatsächlich gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Das endliche Graphfenster kann dieses Globalverhalten vorübergehend verdecken.

- Welcher Summand hat den höchsten Exponenten? - Ordne diesen Leitterm nach Gradparität und Vorzeichen des Koeffizienten ein. - Übersetze anschließend nur die Vorzeichen von \(s\) und \(K(s)\) mithilfe der im Text festgelegten Richtungen. - Überlege zuletzt, ob ein reales Steuersignal betragsmäßig unbegrenzt groß werden kann.

1. Der Leitterm ist \(-0{,}03s^3\). Er hat ungeraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. 2. Daher gilt \(K(s)\to-\infty\) für \(s\to\infty\). 3. Für \(s\to-\infty\) gilt entsprechend \(K(s)\to\infty\). 4. Bei sehr großer positiver Abweichung nach rechts wird das Steuersignal stark negativ und wirkt damit nach links. Bei sehr großer negativer Abweichung nach links wird das Steuersignal stark positiv und wirkt nach rechts. Die Richtung ist also jeweils korrigierend. 5. Zugleich wächst der Betrag von \(K(s)\) im Modell unbegrenzt. Ein reales Steuersystem besitzt jedoch begrenzte Stellgrößen; deshalb ist die Formel nur als vereinfachtes Modell für einen begrenzten Bereich sinnvoll. 6. Der lineare Term \(2s\) wächst für große Beträge von \(s\) langsamer als der kubische Term und verändert deshalb diese Aussagen zum Globalverhalten nicht.

a) \(K(s)\to-\infty\) für \(s\to\infty\) und \(K(s)\to\infty\) für \(s\to-\infty\). b) Große positive Abweichungen werden nach links, große negative Abweichungen nach rechts korrigiert. c) Der Betrag des Steuersignals wächst unbegrenzt; reale Stellgrößen sind begrenzt. Das Modell kann daher nicht für beliebig große \(|s|\) gelten.

- Stelle dir den Verlauf des Graphen einer Funktion mit ungeradem Grad (wie \(x^3\) oder \(x^5\)) vor. Wo kommt er her, wo geht er hin? - Wenn ein Graph von weit unterhalb der \(x\)-Achse nach weit oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, was muss dazwischen passieren? - Wie berechnet man den Gesamtgrad eines Produkts von Termen? - Wann wird ein Produkt null? Untersuche jeden Faktor einzeln. - Was sagt der Exponent über einem Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus?

1. Bei Funktionen ungeraden Grades streben die Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gegen unterschiedliche Vorzeichen (einer gegen \(+\infty\), der andere gegen \(-\infty\)). 2. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion eine durchgehende (stetige) Kurve ist, muss er beim Wechsel von sehr kleinen zu sehr großen Werten die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. 3. Bestimmung des Grades von \(g\): Die Summe der Grade der Faktoren \(x^2 + 4\), \((x - 5)^2\) und \((x + 1)\) ist \(2 + 2 + 1 = 5\). Der Grad ist 5. 4. Nullstellenbestimmung: Der Faktor \((x^2 + 4)\) wird für keine reelle Zahl null. 5. Aus \((x - 5)^2 = 0\) folgt die Nullstelle \(x_1 = 5\) mit der Vielfachheit 2. 6. Aus \((x + 1) = 0\) folgt die Nullstelle \(x_2 = -1\) mit der Vielfachheit 1.

a) Da die Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) entgegengesetzte Vorzeichen haben, muss der Graph aufgrund der Stetigkeit die \(x\)-Achse mindestens einmal schneiden. b) Grad: 5; Nullstellen: \(x = 5\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -1\) (einfach bzw. Vielfachheit 1). Der Faktor \((x^2 + 4)\) besitzt keine reellen Nullstellen.

- Wie verhalten sich die Graphen von Funktionen wie \(x^3\) oder \(x^5\) an den Rändern des Koordinatensystems? - Stell dir vor, du zeichnest den Graphen einer solchen Funktion ohne abzusetzen. Wenn der Graph von ganz weit unten nach ganz weit oben verlaufen muss, was muss dann zwischendurch passieren? - Spielt es für die Existenz eines Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse eine Rolle, ob der Leitkoeffizient positiv oder negativ ist?

1. Für eine Funktion mit ungeradem Grad \(n\) und positivem Leitkoeffizienten \(a_n > 0\) gilt: Wenn \(x \to \infty\), dann geht \(g(x) \to \infty\). Wenn \(x \to -\infty\), dann geht \(g(x) \to -\infty\). 2. Da die Funktionswerte für sehr kleine \(x\) im negativen Bereich liegen und für sehr große \(x\) im positiven Bereich (oder umgekehrt, falls \(a_n < 0\)), muss die Funktion aufgrund ihres kontinuierlichen Verlaufs (Stetigkeit) ohne Sprünge von den negativen zu den positiven Werten gelangen. 3. Dabei muss der Graph der Funktion die \(x\)-Achse an mindestens einer Stelle schneiden. Dieser Schnittpunkt entspricht einer reellen Nullstelle.

a) Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). b) Da die Funktionswerte für \(x \to \pm \infty\) unterschiedliche Vorzeichen haben und der Graph einer ganzrationalen Funktion eine durchgehende Kurve ohne Sprünge ist, muss es mindestens einen Punkt geben, an dem der Funktionswert Null ist (Vorzeichenwechsel).