Gegeben ist \(p(x)=7-3x^2-\frac{1}{2}x^5\). a) Welchen Grad hat \(p\)? b) Wie lautet der Leitkoeffizient? c) Welcher Summand entscheidet über das Globalverhalten?

Welche der folgenden Terme beschreiben ganzrationale Funktionen? Begründe jeweils kurz über die Exponenten von \(x\). a) \(4x^3-2x+7\) b) \(x^2+\sqrt{x}\) c) \(5-3x^6\) d) \(x^4+\frac{2}{x}\)

Fülle die Tabelle zum Globalverhalten aus. Bestimme die Einträge nur aus Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten. <table> <tr><td>Funktion</td><td>Grad</td><td>für \(x\to-\infty\)</td><td>für \(x\to\infty\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)=x^4\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>\(g(x)=-2x^6\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr> </table>

Übersetze die Beschreibungen in Grenzwertschreibweise. a) Der Graph von \(f\) verläuft für sehr große negative \(x\)-Werte immer weiter nach unten und für sehr große positive \(x\)-Werte immer weiter nach oben. Ergänze: \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=\square\) \(\lim_{x\to\infty} f(x)=\square\) b) Der Graph von \(g\) verläuft an beiden Enden immer weiter nach oben. Ergänze: \(\lim_{x\to-\infty} g(x)=\square\) \(\lim_{x\to\infty} g(x)=\square\)

Gib jeweils einen möglichen Funktionsterm an. Nutze den angegebenen Grad und begründe deine Wahl mit dem führenden Term. a) \(f\) hat Grad \(4\), \(f(0)=2\), und für \(x\to-\infty\) sowie \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). b) \(g\) hat Grad \(3\), \(g(0)=-1\), und für \(x\to-\infty\) gilt \(g(x)\to-\infty\), für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)\to\infty\).

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen. Bei welchen dieser Funktionen ist das Globalverhalten für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) identisch (das heißt, die Funktionswerte streben in beiden Fällen entweder gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\))? \(f(x) = -3x^4 + 2x^2 - 5\) \(g(x) = 0{,}2x^5 - x^3\) \(h(x) = x^6 + 4x^4 - 1\) \(k(x) = -x^7 + 10x^2\) Begründe deine Auswahl, indem du den Grad der Funktion und den Leitkoeffizienten betrachtest.

Eine ganzrationale Funktion \(p\) soll für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte (also für \(x \to \pm \infty\)) stets gegen \(-\infty\) streben. Welche der folgenden Funktionsgleichungen erfüllen diese Bedingung? 1) \(p_1(x) = -x^2 \cdot (x^2 - 4)\) 2) \(p_2(x) = -(x - 2)^3\) 3) \(p_3(x) = -5x^6 + 100x^5\) 4) \(p_4(x) = (1 - x^2) \cdot x^2\) 5) \(p_5(x) = -x^4 - x^5\) Erläutere kurz, welche Bedingungen der Grad \(n\) und der Leitkoeffizient \(a_n\) erfüllen müssen, damit dieses Verhalten auftritt.

Untersuche die folgenden Funktionen darauf, ob sie ganzrational sind. Bestimme für die ganzrationalen Funktionen jeweils den Grad \(n\), den Leitkoeffizienten \(a_n\) und das Globalverhalten für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). a) \(f(x)=-4x^6+2x^3+5\) b) \(g(x)=\frac{1}{3}(x^3-9x)\) c) \(h(x)=x^2-3\sqrt{x}+1\)

Untersuche das Globalverhalten der folgenden ganzrationalen Funktionen. Beschreibe dazu das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\). a) \(f(x) = 4x^3 - x^4\) b) \(g(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 9)\) c) \(h(x) = -(x-2)^2 \cdot x\)

Gib für die folgenden Funktionen das Verhalten für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) an. a) \(p(x)=0{,}2x^6-100x^3\) b) \(q(x)=(1-x^2)(x^2+1)\) c) \(r(x)=x^3-x^5+2\)

In der Nähe eines Damms wird die Höhe durch \(H(x)=-0{,}1x^4+5x-1\) modelliert. Dabei beschreibt \(x\) die waagrechte Position und \(H(x)\) die Höhe relativ zu einer Bezugslinie. a) Bestimme das mathematische Globalverhalten von \(H\) für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\). b) Was würde die Formel für sehr große Beträge von \(x\) über die Höhe aussagen? c) Erkläre, warum man dieses Modell trotzdem nicht für beliebig große \(|x|\) verwenden sollte.

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen. Ordne jeder Funktion das passende Globalverhalten zu. Funktionen: 1. \(a(x) = 5x^3 - x\) 2. \(b(x) = -x^4 + 8x^2\) 3. \(c(x) = -2x^5 + 1\) 4. \(d(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) Mögliches Globalverhalten: I. Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(y \to \infty\). II. Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(y \to -\infty\). III. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to -\infty\). IV. Für \(x \to \infty\) gilt \(y \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(y \to \infty\).

Untersuche das Globalverhalten der folgenden ganzrationalen Funktionen für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Ordne jeder Funktion die Potenzfunktion mit demselben Globalverhalten zu: \(f_1(x)=x^2\), \(f_2(x)=-x^2\), \(f_3(x)=x^3\) oder \(f_4(x)=-x^3\). a) \(a(x)=-x^4+2x^2+5\) b) \(b(x)=(x+1)(x-2)(x+3)\) c) \(c(x)=4x^2-x^5\) d) \(d(x)=\frac{1}{2}x^6+10x\)

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird durch ihren führenden Term bestimmt. a) Beschreibe das Globalverhalten von \(p(x)=-x^3\). b) Prüfe, ob \(g(x)=(2-x)(x^2+4)\) dasselbe Globalverhalten wie \(p\) besitzt. c) Welche der vier Funktionen \(x^2\), \(-x^2\), \(x^3\) oder \(-x^3\) hat dasselbe Globalverhalten wie \(h(x)=-3x^4+100x^3\)? Begründe über Grad und Leitkoeffizient.

Untersuche das Globalverhalten der ganzrationalen Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = -2x^5 + 10x^3 - 4\). Bestimme dazu das Verhalten der Funktionswerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) und begründe dein Ergebnis mithilfe des Grades und des Leitkoeffizienten.

Gegeben sind \(g(x)=-x^4+3x^2\) und \(h(x)=-0{,}5x^6+10x^5\). Untersuche, ob beide Funktionen für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) dasselbe Globalverhalten zeigen. Begründe durch einen Vergleich der Grade und Leitkoeffizienten.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f(x)=-0{,}1x^3+1{,}2x-1\). a) Bestimme das Globalverhalten von \(f\) für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Notiere deine Antwort in Limes-Schreibweise. b) Begründe anhand des Globalverhaltens, 1. warum der Grad von \(f\) ungerade ist, 2. welches Vorzeichen der Leitkoeffizient besitzt.

Untersuche die Graphen der ganzrationalen Funktionen \(p\) und \(q\). Zusätzlich ist bekannt: Für \(p\) gilt \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(p(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Für \(q\) gilt \(q(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Entscheide für jede Funktion, ob ihr Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen ihr Leitkoeffizient hat. Erkläre außerdem, wie die dargestellten Graphen zu diesen Angaben passen.

Betrachte den abgebildeten Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\). Für die Funktion ist außerdem bekannt: \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). Entscheide begründet, ob der Grad der Funktion gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat. Erläutere anschließend, inwiefern der dargestellte Graphausschnitt mit diesen Angaben vereinbar ist.

Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion \(h\). Von ihrem Funktionsterm ist bekannt, dass der führende Term \(0{,}4x^3\) lautet. a) Gib das Globalverhalten von \(h\) an. b) Entscheide, ob der Grad der Funktion gerade oder ungerade ist. c) Erkläre, inwiefern der dargestellte Graphausschnitt mit deinen algebraisch bestimmten Aussagen vereinbar ist. Verwende den Bildrand nicht als Beweis für Grenzwerte.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f(x)=3x^6-5x^2-3x^6+2x^4-1\). a) Vereinfache den Funktionsterm. b) Bestimme anschließend Grad, Leitkoeffizient und Globalverhalten.

Tim behauptet: „Bei ungeradem Grad zeigen beide Enden eines Polynomgraphen in dieselbe Richtung.“ Prüfe die Aussage an den Funktionen \(p(x)=x^3\) und \(q(x)=-2x^5\). Gib für beide Funktionen das Globalverhalten für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\) an. Formuliere danach die richtige Regel für Polynome ungeraden Grades.

Für die Funktion \(m(x)=0{,}1x^4-2x^2\) wurden einige Werte berechnet: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(m(x)\)</td><td>\(-6{,}4\)</td><td>\(-1{,}9\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-1{,}9\)</td><td>\(-6{,}4\)</td></tr> </table> Lea sagt: „Die Tabelle zeigt, dass die Funktionswerte an beiden Seiten immer weiter fallen. Also gilt \(m(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\).“ a) Erkläre, warum die Tabelle diese Aussage nicht beweist. b) Bestimme das tatsächliche Globalverhalten aus dem Funktionsterm.

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion \(f\) wird durch die folgende Beschreibung charakterisiert: „Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(-\infty\) und für \(x \to -\infty\) streben die Funktionswerte gegen \(\infty\).“ 1. Welche Bedingungen müssen für den Grad \(n\) (gerade oder ungerade) und den Leitkoeffizienten \(a_n\) (positiv oder negativ) der Funktion erfüllt sein? 2. Welche der folgenden Funktionen zeigen dieses Verhalten? Begründe kurz. - \(p(x) = -0{,}5x^3 + 2x^2\) - \(q(x) = x^4 - 10x^3\) - \(r(x) = (2-x) \cdot x^2\)

Gegeben sind \(f(x)=4x^4-2x^2\) und \(g(x)=kx^4+x^3\) mit \(k\in\mathbb{R}\). Die Summenfunktion ist \(h(x)=f(x)+g(x)\). a) Bestimme das Globalverhalten von \(h\) für \(k=-4\). b) Für welche Werte von \(k\) gilt \(h(x)\to-\infty\) sowohl für \(x\to\infty\) als auch für \(x\to-\infty\)? Begründe mithilfe von Grad und Leitkoeffizient.

Untersuche, ob es einen Wert \(a\in\mathbb{R}\) gibt, sodass der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\) durch den Punkt \(P(0\mid12)\) verläuft und dasselbe Globalverhalten wie \(g(x)=5x^3\) aufweist.

Beurteile, ob eine Zahl \(k\) existiert, sodass der Graph der Funktion \(f(x)=k(x^2+2)(x-4)^2\) durch den Punkt \(P(2\mid24)\) geht und für \(x\to\pm\infty\) gegen \(-\infty\) strebt.

Gegeben ist \(f(x)=3(x-1)(x+2)(x-4)\). 1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient direkt aus der Produktform und begründe deine Entscheidung. 2. Bestimme daraus das Globalverhalten für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\). 3. Multipliziere den Term anschließend aus und überprüfe damit den Leitkoeffizienten.

Betrachte \(p(x)=-2(x+1)^2(x-3)\). 1. Bestimme Grad und Leitkoeffizient direkt aus der Produktform. 2. Gib das Globalverhalten von \(p\) für \(x\to-\infty\) und \(x\to\infty\) an und begründe es mit dem führenden Term. 3. Multipliziere den Term aus. Gib zusätzlich das Absolutglied an und überprüfe den Leitkoeffizienten.

Gegeben sind vier ganzrationale Funktionen: 1. \(f(x)=0{,}2x^3-0{,}8x\) 2. \(g(x)=-0{,}25x^4+2x^2\) 3. \(h(x)=0{,}15x^4-1{,}5x^2+2\) 4. \(k(x)=-0{,}3x^3+1{,}5x\) Bestimme für jeden Term das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. Ordne anschließend den Graphen A, B und C jeweils den passenden Funktionsterm zu und begründe jede Zuordnung mit deinem algebraisch bestimmten Globalverhalten. Welcher Funktionsterm bleibt übrig?

Gegeben sind die vier ganzrationalen Funktionen \(p(x)=x^3-3x\), \(q(x)=-x^3+x\), \(r(x)=-x^4+2x^2\) und \(s(x)=x^4-2x^2\). a) Bestimme für alle vier Terme das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient und gib ihre Symmetrie an. b) Ordne Graph 1 und Graph 2 den passenden Funktionen zu. Begründe jede Zuordnung mit den algebraisch bestimmten Eigenschaften.

Ordne den vier ganzrationalen Funktionen den passenden Graphen A, B, C oder D zu. Begründe jede Zuordnung kurz mit Globalverhalten, Symmetrie oder einem Achsenschnittpunkt. <table> <tr> <th style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">Funktion</th> <th style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">Passender Graph</th> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_1(x)=x^3-3x^2+2\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(\square\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_2(x)=0{,}2x^3-0{,}6x\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(\square\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_3(x)=0{,}2x^4-x^2-1\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(\square\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(g_4(x)=-0{,}25x^4+2x^2\)</td> <td style="padding: 10px; border: 1px solid #ccc;">\(\square\)</td> </tr> </table>

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(f(x)=-x^4+2x^2\). In den beiden Abbildungen sind die Graphen zweier anderer Funktionen dargestellt. a) Bestimme das Globalverhalten von \(f\) aus dem Funktionsterm. b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum weder Graph A noch Graph B der Graph von \(f\) sein kann. c) Bestimme rechnerisch alle Nullstellen von \(f\).

Gegeben sind die drei ganzrationalen Funktionen \(p(x)=-0{,}5x^3+2x\), \(q(x)=0{,}25x^4-2x^2+1\) und \(r(x)=(x-1)^3-1\). a) Bestimme für jede Funktion das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne jeder Funktion den passenden Graphen A, B oder C zu und begründe die Zuordnung mit dem Globalverhalten. Nutze Symmetrie oder Achsenschnittpunkte zusätzlich zur Kontrolle.

Gegeben sind die Graphen A und B sowie vier Funktionsterme: 1) \(f(x)=0{,}25x^3-x\) 2) \(g(x)=-0{,}2x^4+1{,}2x^2\) 3) \(h(x)=-0{,}25x^3+x\) 4) \(k(x)=0{,}2x^4-1{,}2x^2\) a) Bestimme für alle vier Terme das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne Graph A und Graph B jeweils dem passenden Term zu. Begründe jede Zuordnung mit dem Globalverhalten und nutze die Nullstellen als zusätzliche Kontrolle.

Gegeben sind die vier Funktionen 1) \(p_1(x)=x^3-3x\), 2) \(p_2(x)=-x^3+3x^2\), 3) \(p_3(x)=-0{,}25x^4+2x^2-2\), 4) \(p_4(x)=0{,}5(x+1)^2(x-2)\). a) Bestimme für jeden Term das Globalverhalten. b) Ordne jedem Term den passenden Graphen A, B, C oder D zu. Begründe die Zuordnung mit Globalverhalten und, wo nötig, zusätzlich mit Symmetrie, Achsenschnittpunkten oder dem Verhalten an Nullstellen.

Gegeben sind die vier ganzrationalen Funktionen (1) \(f_1(x)=x^3-3x\), (2) \(f_2(x)=-x^3+3x\), (3) \(f_3(x)=x^4-3x^2\), (4) \(f_4(x)=-x^4+3x^2\). a) Bestimme für alle vier Funktionen das Globalverhalten und die Symmetrie. b) Ordne den Graphen A, B und C jeweils den passenden Funktionsterm zu. Begründe jede Zuordnung mit Globalverhalten und Symmetrie. Ein Term bleibt übrig.

Gegeben sind \(f(x)=\frac{1}{4}x^3-x\), \(g(x)=-\frac{1}{8}x^4+x^2-1\) und \(h(x)=\frac{1}{8}x^4-x^2+2\). a) Bestimme für jede Funktion das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne den Graphen A, B und C die passenden Funktionsterme zu. Begründe jede Zuordnung mit dem Globalverhalten. Nutze Symmetrie oder den \(y\)-Achsenabschnitt als zusätzliche Kontrolle.

Gegeben sind die vier Funktionsterme \(f(x)=0{,}5x^4-2\), \(g(x)=-x^4+2\), \(h(x)=-x^5+x\) und \(i(x)=x^5-x\). a) Bestimme für alle vier Funktionen das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. b) Ordne den Graphen 1 und 2 jeweils einen passenden Funktionsterm zu. Begründe jede Zuordnung mit dem Globalverhalten und bestimme für die beiden zugeordneten Funktionen zusätzlich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Die Funktion \(f\) hat die Gleichung \(f(x)=-x^3+x^2+2x\). a) Bestimme die Nullstellen und das Globalverhalten von \(f\) aus dem Funktionsterm. b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum weder Graph A noch Graph B die Funktion \(f\) darstellen kann. c) Beschreibe den daraus folgenden groben Verlauf des Graphen von \(f\).

Betrachte die Funktion \(f(x)=0{,}5x^4-2x^2\). a) Bestimme Symmetrie, Nullstellen mit Vielfachheiten und Globalverhalten von \(f\). b) Begründe mit exakten, im Koordinatensystem ablesbaren Eigenschaften, warum keiner der Graphen A oder B der Graph von \(f\) sein kann. c) Beschreibe den groben Verlauf des Graphen von \(f\).

In der Abbildung sind die Graphen dreier ganzrationaler Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) dargestellt. Gegeben sind 1. \(p_1(x)=0{,}2x^4-2x^2+2\), 2. \(p_2(x)=-0{,}5x^3+3x\), 3. \(p_3(x)=0{,}2x^5-2x^3\). Bestimme für jeden Term das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient. Ordne danach jeden Term einem Graphen zu und begründe die Zuordnung mit dem Globalverhalten.

Gegeben sind die Terme (1) \(0{,}5x^3-2x\), (2) \(-x^2+4\), (3) \(x^4-4x^2\), (4) \(-0{,}5x^3+2x\). a) Bestimme für jeden Term das Globalverhalten. b) Ordne die Terme den Graphen A, B und C zu. Begründe die Zuordnung jeweils mit dem Globalverhalten und nutze die Nullstellen als zusätzliche Kontrolle. Ein Term bleibt übrig.

Gegeben sind die Graphen \(a\), \(b\) und \(c\) von drei ganzrationalen Funktionen dritten Grades sowie die Terme 1. \(f(x)=x^3-3x+2\), 2. \(g(x)=-x^3+3x+2\), 3. \(h(x)=0{,}5x^3-1{,}5x+1\). Bestimme das Globalverhalten der drei Funktionen. Ordne die Graphen den Termen zu und begründe die Zuordnung mit dem Globalverhalten. Nutze bei Bedarf den \(y\)-Achsenabschnitt zur Unterscheidung.

Noah betrachtet \(f(x)=-0{,}02x^5+300x^4-7\) und behauptet: „Für das Globalverhalten ist \(300x^4\) wichtiger als \(-0{,}02x^5\), weil \(300\) viel größer als \(0{,}02\) ist.“ Beurteile die Aussage und bestimme das Globalverhalten von \(f\).

Im dargestellten Fenster sieht der Graph von \(f(x)=0{,}01x^6-x^4\) an beiden Rändern so aus, als würde er weiter nach unten verlaufen. Lina folgert daraus: „Also gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\).“ Beurteile diese Schlussfolgerung. Bestimme das tatsächliche Globalverhalten aus dem Funktionsterm und erkläre die Rolle des dargestellten Fensters.

In einem vereinfachten Modell beschreibt \(K(s)=-0{,}03s^3+2s\) ein Lenksignal. Positive Werte von \(s\) bedeuten eine Abweichung nach rechts, negative Werte eine Abweichung nach links. Ein positives Lenksignal steuert nach rechts, ein negatives nach links. a) Bestimme das Globalverhalten von \(K\) für \(s\to\infty\) und \(s\to-\infty\). b) Deute die Vorzeichen: In welche Richtung wirkt die Korrektur bei sehr großen positiven beziehungsweise negativen Abweichungen? c) Erkläre, warum das Modell für beliebig große Beträge von \(s\) trotzdem nicht realistisch sein kann.

Für eine ganzrationale Funktion \(g\) gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(g(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Außerdem ist \(g(0)=-2\). a) Welche Bedingungen müssen Grad und Leitkoeffizient erfüllen? b) Gib zwei mögliche Funktionsterme unterschiedlichen Grades an, die alle Bedingungen erfüllen. c) Erkläre, warum die Angaben den Funktionsterm nicht eindeutig festlegen.

Die Funktion lautet \(f(x)=(x+2)(x-1)^2\). a) Bestimme die Nullstellen und ihre Vielfachheiten. b) Bestimme das Globalverhalten aus dem führenden Term. c) Gib das Vorzeichen von \(f(x)\) in den Intervallen \((-\infty;-2)\), \((-2;1)\) und \((1;\infty)\) an. d) Beschreibe damit den Verlauf des Graphen an den Nullstellen und an beiden Enden so, dass daraus eine Skizze gezeichnet werden könnte.

Die Funktion lautet \(f(x)=-0{,}5(x+2)^2(x-1)\). Drei Graphen A, B und C sind abgebildet. a) Bei welcher Nullstelle muss der Graph die \(x\)-Achse berühren, bei welcher muss er sie schneiden? b) Welchen Graphen kannst du damit sofort ausschließen? Begründe. c) Bestimme das Globalverhalten von \(f\). Welchen weiteren Graphen schließt das aus? d) Welcher Graph passt zu \(f\)? Prüfe deine Wahl zusätzlich mit \(f(0)\).

Bestimme eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades, für die folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y=-3\). 3. Der Punkt \(P(1\mid0)\) liegt auf dem Graphen.

Gib eine mögliche ganzrationale Funktion \(f\) vierten Grades mit folgenden Eigenschaften an: 1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für das Globalverhalten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Es gilt \(f(0)=2\). 4. Bei \(x=2\) liegt eine Nullstelle.

Für welche Werte von \(b\in\mathbb{R}\) und \(n\in\mathbb{N}\) gilt für \(f(x)=bx^n-10x^6\): \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und auch für \(x\to-\infty\)? Begründe deine Entscheidung.

Gegeben ist \(f(x)=0{,}001x^6-0{,}05x^4+1\). Derselbe Funktionsterm ist in zwei verschiedenen Fenstern eines Funktionenplotters dargestellt. a) Bestimme das Globalverhalten ausschließlich aus dem Funktionsterm. b) In Fenster A verläuft der Graph zu beiden äußeren Bildrändern nach unten. Beurteile die Aussage: „Also gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\).“ c) Erkläre, welche zusätzliche Einsicht Fenster B liefert und warum auch dieses größere Fenster kein Beweis für das Globalverhalten ist.

Gegeben ist die ganzrationale Funktion \(q(x)=-x^6+5x^4-4x^2\). a) Bestimme den führenden Term und daraus das Globalverhalten. b) Untersuche die Symmetrie rechnerisch. c) Bestimme alle Nullstellen und ihre Vielfachheiten. d) Erstelle ein Skizzenprotokoll mit den Vorzeichen von \(q\) in den sechs Intervallen, die durch \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) und \(2\) entstehen. Beschreibe daraus den Verlauf von links nach rechts. e) Welche Plotterdarstellung A, B oder C stimmt mit deinem vollständigen Skizzenprotokoll überein? Begründe mit mindestens drei Merkmalen. Du kannst dein fertiges Protokoll zusätzlich auf Papier skizzieren; bewertet wird das Protokoll.