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- Überlege dir, wo die Winkel auf dem Einheitskreis liegen. - Nutze die Periodizität von Sinus und Kosinus, um die Winkel in das Intervall \([0; 2\pi)\) zu verschieben. - Was weißt du über die Symmetrie der Funktionen bei negativen Winkeln? - An welchen Stellen schneiden die Graphen von Sinus und Kosinus die x-Achse?

1. Für \(\sin(-\pi)\): Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin(-\pi) = \sin(-\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0\). 2. Für \(\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right)\): Reduktion durch die Periode \(2\pi = \frac{4\pi}{2}\) ergibt \(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\). 3. Für \(\sin\left(\frac{11\pi}{2}\right)\): Reduktion durch \(2 \cdot 2\pi = \frac{8\pi}{2}\) ergibt \(\frac{11\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}\). Es gilt \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\). 4. Für \(\cos(-4\pi)\): Da \(-4\pi\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) ist, entspricht der Wert \(\cos(0) = 1\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Erinnere dich an die Periode der Kosinusfunktion. Wie oft wiederholen sich die Werte? - Was passiert mit dem Kosinuswert, wenn du \(2\pi\) zum Argument addierst oder davon subtrahierst? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Vielfachen von \(\pi\). - Wo auf dem Einheitskreis liegen die Punkte für die jeweiligen Winkel?

1. Nutzung der Periodizität der Kosinusfunktion mit der Periode \(2\pi\), sodass \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) für alle \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Gruppe 1: Die Werte \(7\pi\), \(-3\pi\) und \(15\pi\) lassen sich alle auf die Form \((2k+1)\pi\) bringen. Da \(\cos(\pi) = -1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(-1\). 3. Gruppe 2: Die Werte \(8\pi\), \(-2\pi\) und \(20\pi\) sind alle ganzzahlige Vielfache von \(2\pi\). Da \(\cos(0) = 1\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(1\). 4. Gruppe 3: Die Werte \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\) und \(12{,}5\pi\) lassen sich durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(2\pi\) auf \(0{,}5\pi\) oder \(1{,}5\pi\) reduzieren. Da \(\cos(0{,}5\pi) = 0\) und \(\cos(1{,}5\pi) = 0\), ist ihr gemeinsamer Kosinuswert \(0\).

Gruppe 1 (Wert \(-1\)): \(7\pi\), \(-3\pi\), \(15\pi\) Gruppe 2 (Wert \(1\)): \(8\pi\), \(-2\pi\), \(20\pi\) Gruppe 3 (Wert \(0\)): \(4{,}5\pi\), \(-1{,}5\pi\), \(12{,}5\pi\)

- Was passiert mit den Werten von Sinus und Kosinus, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert oder subtrahiert? - Kannst du den negativen Winkel so verändern, dass er positiv wird, ohne den Funktionswert zu ändern? - Erinnere dich an die markanten Punkte am Einheitskreis. - Wie hängen Winkel im zweiten Quadranten mit den Winkeln im ersten Quadranten zusammen?

1. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right)\) durch Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(\frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Reduktion des Arguments von \(\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes unter Nutzung der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) oder des Einheitskreises: \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\frac{1}{2}\)

- Wie oft passt eine volle Umdrehung in den gegebenen Winkel hinein? - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Welche Vorzeichen haben die Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Reduktion des Winkels \(\frac{14\pi}{3}\) durch Subtraktion des größten Vielfachen von \(2\pi\), das kleiner als der Winkel ist: \(\frac{14\pi}{3} - 4\pi = \frac{14\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\). 2. Bestimmung des Funktionswertes im zweiten Quadranten: \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\). 3. Reduktion des Winkels \(-\frac{3\pi}{2}\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2}\). 4. Bestimmung des Funktionswertes auf der \(y\)-Achse: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\).

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(0\)

- Wie viele Grad entsprechen einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis? - Was passiert mit der Position eines Punktes, wenn du eine oder mehrere volle Umdrehungen addierst oder subtrahierst? - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass man beliebig oft eine ganze Umdrehung zum Startwinkel hinzufügen kann?

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die gesuchten Winkel haben die Form \(\alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Berechnung eines Winkels größer als \(720^\circ\): Für \(k = 2\) ergibt sich \(150^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 870^\circ\). 3. Berechnung eines negativen Winkels: Für \(k = -1\) ergibt sich \(150^\circ - 360^\circ = -210^\circ\). 4. Bestimmung weiterer Winkel: Für \(k = 1\) ergibt sich \(150^\circ + 360^\circ = 510^\circ\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(150^\circ - 2 \cdot 360^\circ = -570^\circ\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(510^\circ\), \(870^\circ\), \(-210^\circ\) und \(-570^\circ\).

- Wie viele volle Drehungen stecken in dem gegebenen Winkel? - Wenn ein Winkel negativ ist, wie kannst du ihn durch Addieren von vollen Kreisen positiv machen? - Was bleibt übrig, wenn du alle „überflüssigen“ \(360^\circ\)-Schritte entfernst?

1. Bei (1) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) subtrahiert: \(480^\circ - 360^\circ = 120^\circ\). 2. Bei (2) wird ein Vielfaches von \(360^\circ\) addiert, um in den positiven Bereich zu gelangen: \(-210^\circ + 360^\circ = 150^\circ\). 3. Bei (3) wird die Anzahl der vollen Umdrehungen bestimmt: \(1111^\circ : 360^\circ \approx 3{,}086\). Subtraktion von drei Umdrehungen: \(1111^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1111^\circ - 1080^\circ = 31^\circ\). 4. Bei (4) wird die Anzahl der benötigten positiven Umdrehungen bestimmt: \(-1000^\circ : 360^\circ \approx -2{,}77\). Addition von drei Umdrehungen: \(-1000^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -1000^\circ + 1080^\circ = 80^\circ\).

(1) \(\alpha^* = 120^\circ\) (2) \(\alpha^* = 150^\circ\) (3) \(\alpha^* = 31^\circ\) (4) \(\alpha^* = 80^\circ\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, in welchem Quadranten der Winkel liegt, um das Vorzeichen der Ergebnisse zu prüfen. - Winkel, die sich um Vielfache von \(360^\circ\) unterscheiden, haben dieselben Sinus- und Kosinuswerte.

1. Berechnung für \(485^\circ\): \(\sin(485^\circ) \approx 0{,}8192\) und \(\cos(485^\circ) \approx -0{,}5736\). 2. Berechnung für \(-210^\circ\): \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5000\) und \(\cos(-210^\circ) \approx -0{,}8660\). 3. Berechnung für \(1500^\circ\): \(\sin(1500^\circ) \approx 0{,}8660\) und \(\cos(1500^\circ) = 0{,}5000\).

a) \(\sin(485^\circ) \approx 0{,}8192\); \(\cos(485^\circ) \approx -0{,}5736\) b) \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5000\); \(\cos(-210^\circ) \approx -0{,}8660\) c) \(\sin(1500^\circ) \approx 0{,}8660\); \(\cos(1500^\circ) = 0{,}5000\)

- Welche gemeinsame Periode besitzen Sinus und Kosinus? - Entferne bei jedem Winkel zunächst passende ganze Vielfache von \(2\pi\), bevor du den Taschenrechner benutzt. - Bei einem negativen Winkel kannst du \(2\pi\) addieren, um einen äquivalenten positiven Winkel zu erhalten. - Runde erst den vollständigen Funktionswert, nicht die einzelnen Sinus- und Kosinuswerte.

1. Sinus und Kosinus haben beide die Periode \(2\pi\). Daher gilt auch \(f(x+2\pi k)=f(x)\) für jedes \(k\in\mathbb Z\). 2. Für \(x_1=1{,}4+2\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_1'=1{,}4\). Damit gilt \(f(x_1)=f(1{,}4)=\sin(1{,}4)+\cos(1{,}4)\approx1{,}155\). 3. Für \(x_2=3{,}5+4\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_2'=3{,}5\). Damit gilt \(f(x_2)=f(3{,}5)=\sin(3{,}5)+\cos(3{,}5)\approx-1{,}287\). 4. Für \(x_3=-2{,}1\) erhält man durch Addition von \(2\pi\) den äquivalenten Winkel \(x_3'=2\pi-2{,}1\). Damit gilt \(f(x_3)=f(2\pi-2{,}1)=\sin(-2{,}1)+\cos(-2{,}1)\approx-1{,}368\).

a) \(x_1'=1{,}4\), \(f(x_1)\approx1{,}155\) b) \(x_2'=3{,}5\), \(f(x_2)\approx-1{,}287\) c) \(x_3'=2\pi-2{,}1\), \(f(x_3)\approx-1{,}368\)

- Eine volle Umdrehung entspricht im Bogenmaß \(2\pi\). - Bei negativen Winkeln kannst du so oft \(2\pi\) addieren, bis der Winkel im gewünschten Intervall liegt. - Berechne in c) zuerst den Winkel \(z=x+y\), bevor du ihn reduzierst. - Begründe d) geometrisch mit dem Endpunkt einer Winkelumdrehung auf dem Einheitskreis.

1. Für \(y=-2{,}8\) ergibt die Addition einer vollen Umdrehung \(y'=2\pi-2{,}8\). Dieser Winkel liegt in \([0;2\pi)\). 2. Wegen der Periode \(2\pi\) gilt \(\sin(y)=\sin(y')\approx-0{,}3350\) und \(\cos(y)=\cos(y')\approx-0{,}9422\). 3. Es ist \(z=x+y=1{,}5-2{,}8=-1{,}3\). Daher ist \(z'=2\pi-1{,}3\) ein äquivalenter Winkel in \([0;2\pi)\). 4. Somit gilt \(\sin(z)=\sin(z')\approx-0{,}9636\). 5. Das Addieren oder Subtrahieren eines ganzzahligen Vielfachen von \(2\pi\) führt auf denselben Punkt des Einheitskreises. Deshalb bleiben Sinus und Kosinus unverändert.

a) \(y'=2\pi-2{,}8\) b) \(\sin(y)\approx-0{,}3350\), \(\cos(y)\approx-0{,}9422\) c) \(z=-1{,}3\), \(z'=2\pi-1{,}3\), \(\sin(z)\approx-0{,}9636\) d) Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) und haben daher dieselben Sinus- und Kosinuswerte.

- Überlege dir, wie viele volle Umdrehungen im Einheitskreis in dem gegebenen Winkel stecken. - Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn du \(360^\circ\) zum Winkel addierst oder davon abziehst? - Bei negativen Winkeln kannst du so lange \(360^\circ\) addieren, bis du eine positive Zahl erhältst.

1. Da die Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch mit einer Periodenlänge von \(360^\circ\) sind, wird das Vielfache von \(360^\circ\) so addiert oder subtrahiert, dass das Ergebnis im gewünschten Intervall liegt. 2. Für a): \(410^\circ - 1 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Somit ist \(\sin 410^\circ = \sin 50^\circ\). 3. Für b): \(800^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 800^\circ - 720^\circ = 80^\circ\). Somit ist \(\cos 800^\circ = \cos 80^\circ\). 4. Für c): \(-50^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 310^\circ\). Somit ist \(\sin(-50^\circ) = \sin 310^\circ\).

a) \(\sin 50^\circ\) b) \(\cos 80^\circ\) c) \(\sin 310^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinus- oder Kosinuswert, wenn man eine volle Umdrehung zum Winkel addiert? - Wie kannst du einen negativen Winkel in den positiven Bereich verschieben, ohne den Punkt auf dem Einheitskreis zu verändern? - Stell dir die Drehung am Einheitskreis vor: Wo landest du, wenn du in die negative Richtung drehst?

1. Anwendung der Periodizität von Sinus und Kosinus: \(f(\alpha) = f(\alpha + k \cdot 360^\circ)\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Berechnung der äquivalenten Winkel im Intervall \([0^\circ; 360^\circ]\) durch Addition von \(360^\circ\). 3. Ergebnisse: a) \(-55^\circ + 360^\circ = 305^\circ \Rightarrow \sin(305^\circ)\) b) \(-130^\circ + 360^\circ = 230^\circ \Rightarrow \cos(230^\circ)\) c) \(-250^\circ + 360^\circ = 110^\circ \Rightarrow \sin(110^\circ)\) d) \(-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ \Rightarrow \cos(45^\circ)\)

a) \(\sin(305^\circ)\) b) \(\cos(230^\circ)\) c) \(\sin(110^\circ)\) d) \(\cos(45^\circ)\)

- Was weißt du über die Periodizität von Sinus und Kosinus? Nach welcher Drehung wiederholen sich die Werte? - Wie kannst du einen negativen Winkel in einen positiven Winkel umwandeln, der denselben Punkt auf dem Einheitskreis beschreibt? - Versuche, Vielfache von \(2\pi\) (also \(\frac{2\pi}{1}, \frac{4\pi}{2}, \frac{12\pi}{6}\) usw.) zu addieren oder zu subtrahieren. - Liegt dein Ergebnis am Ende wirklich zwischen \(0\) und \(2\pi\)?

Um einen Winkel \(x\) im Intervall \([0; 2\pi]\) zu finden, nutzen wir die Periodizität von Sinus und Kosinus mit der Periodenlänge \(2\pi\). Wir addieren oder subtrahieren Vielfache von \(2\pi\), bis das Ergebnis im gewünschten Bereich liegt. 1. Für \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right)\): Da \(\frac{17}{4}\pi = 4\frac{1}{4}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2 \cdot 2\pi = 4\pi\). Es ergibt sich \(\frac{17}{4}\pi - \frac{16}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi\). Somit ist \(\sin\left(\frac{17}{4}\pi\right) = \sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\). 2. Für \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\): Da der Winkel negativ ist, addieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{2}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi\). Somit ist \(\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right) = \cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\). 3. Für \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right)\): Wir addieren \(2\pi\). Es ergibt sich \(-\frac{7}{6}\pi + \frac{12}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi\). Somit ist \(\sin\left(-\frac{7}{6}\pi\right) = \sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\). 4. Für \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right)\): Da \(\frac{19}{6}\pi = 3\frac{1}{6}\pi\) ist, subtrahieren wir \(2\pi\). Es ergibt sich \(\frac{19}{6}\pi - \frac{12}{6}\pi = \frac{7}{6}\pi\). Somit ist \(\cos\left(\frac{19}{6}\pi\right) = \cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\).

a) \(\sin\left(\frac{1}{4}\pi\right)\) b) \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)\) c) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\) d) \(\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Winkel, die größer als \(360^\circ\) sind, lassen sich durch Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\) auf den Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) zurückführen. - Wie verhalten sich Sinus und Kosinus bei negativen Winkeln? Erinnere dich an die Symmetrie am Einheitskreis.

1. Berechnung von \(\sin(510^\circ)\): Durch Abzug einer vollen Umdrehung ergibt sich \(\sin(510^\circ - 360^\circ) = \sin(150^\circ)\). Der Wert ist \(0{,}500\). 2. Berechnung von \(\cos(-130{,}4^\circ)\): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(-130{,}4^\circ) = \cos(130{,}4^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}648\). 3. Berechnung von \(\sin(1000^\circ)\): Reduktion auf das Grundintervall durch \(\sin(1000^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \sin(280^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}985\). 4. Berechnung von \(\cos(825^\circ)\): Reduktion auf das Grundintervall durch \(\cos(825^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cos(105^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}259\).

a) \(0{,}500\) b) \(-0{,}648\) c) \(-0{,}985\) d) \(-0{,}259\)

- Skizziere einen Einheitskreis und trage den Winkel \(35^\circ\) ein. - Überlege, wie die anderen Winkel mit \(35^\circ\) zusammenhängen (z. B. \(180^\circ - 35^\circ\)). - Welche Koordinaten am Einheitskreis entsprechen dem Kosinuswert? - Erinnere dich an die Regel für die Periodizität von Sinus und Kosinus.

1. Zu a): Der Winkel \(325^\circ\) entspricht \(360^\circ - 35^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\), also \(\cos(325^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 2. Zu b): Der Winkel \(145^\circ\) entspricht \(180^\circ - 35^\circ\). Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\), also \(\cos(145^\circ) = -\cos(35^\circ) \approx -0{,}819\). 3. Zu c): Aufgrund der Geradheit der Kosinusfunktion gilt \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(-35^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 4. Zu d): Da die Kosinusfunktion eine Periode von \(360^\circ\) hat, gilt \(\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(395^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\).

a) \(0{,}819\) b) \(-0{,}819\) c) \(0{,}819\) d) \(0{,}819\)

- Wie oft passt eine volle Drehung in den gegebenen Winkel? - Überlege dir am Einheitskreis, welche x-Koordinate der Punkt auf dem Kreis bei dem jeweiligen Winkel hat. - Gibt es einen anderen Punkt auf dem Einheitskreis, der dieselbe x-Koordinate besitzt? - Nutze die Symmetrieeigenschaft \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\).

1. Für \(\alpha_1 = 480^\circ\): Division durch \(360^\circ\) ergibt \(480^\circ = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_1' = 120^\circ\). 2. Wegen der Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis gilt \(\cos(\alpha') = \cos(360^\circ - \alpha')\). Für \(\alpha_1' = 120^\circ\) ergibt sich \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\). 3. Für \(\alpha_2 = -150^\circ\): Addition von \(360^\circ\) ergibt \(-150^\circ = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\), also \(\alpha_2' = 210^\circ\). 4. Für \(\alpha_2' = 210^\circ\) ergibt sich durch Symmetrie \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\).

a) \(\alpha_1 = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ\); \(\alpha_2 = 210^\circ + (-1) \cdot 360^\circ\) b) Für \(\alpha_1\): \(240^\circ\); für \(\alpha_2\): \(150^\circ\)

- Was passiert mit dem Sinuswert, wenn man \(360^\circ\) addiert oder subtrahiert? - Erinnere dich an die Symmetrie \(\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)\). - Wie kannst du von einem bekannten Winkel aus weitere Winkel finden, die außerhalb des Bereichs von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) liegen?

1. Reduktion auf das Grundintervall: \(620^\circ - 360^\circ = 260^\circ\), also \(\alpha' = 260^\circ\). 2. Bestimmung eines negativen Winkels \(\beta_1\): Durch Periodizität ergibt sich \(260^\circ - 360^\circ = -100^\circ\). Alternativ über die Symmetrie \(\sin(180^\circ - \alpha)\): \(180^\circ - 260^\circ = -80^\circ\). 3. Bestimmung eines Winkels \(\beta_2 > 720^\circ\): Durch Periodizität ausgehend von \(\alpha'\) ergibt sich \(260^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 980^\circ\). Alternativ ausgehend von der Symmetrie \(\sin(-80^\circ)\): \(-80^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 1000^\circ\).

a) \(\alpha' = 260^\circ\) b) Mögliche Werte sind \(\beta_1 = -100^\circ\) (oder \(-80^\circ\)) und \(\beta_2 = 980^\circ\) (oder \(1000^\circ\)).

- Bestimme zuerst, welcher Winkel im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) denselben Kosinuswert hat wie \(\alpha\). - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis oder am Graphen der Kosinusfunktion. - Es werden alle Winkel im Intervall gesucht, also achte darauf, keinen zu vergessen.

1. Reduktion auf das Grundintervall mittels Periodizität: \(\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)\). 2. Zu a): \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ\). Somit ist \(x_1 = 140^\circ\) die erste Lösung im Intervall. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Symmetrie \(\cos(x) = \cos(360^\circ - x)\) zu \(x_2 = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). 3. Zu b): \(-70^\circ + 360^\circ = 290^\circ\). Somit ist \(x_1 = 290^\circ\) eine Lösung im Intervall. Wegen \(\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)\) ist \(x_2 = 70^\circ\) die zweite Lösung im Intervall.

a) \(x \in \{140^\circ; 220^\circ\}\) b) \(x \in \{70^\circ; 290^\circ\}\)

- Große Vielfache von \(\pi\) lassen sich oft einfach auf \(0\) oder \(\pi\) zurückführen. Ist die Zahl vor dem \(\pi\) gerade oder ungerade? - Du kannst bei jedem Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Funktionswert ändert. - Berechne bei zusammengesetzten Termen zuerst jeden Funktionswert einzeln. - Erinnere dich an die Besonderheiten von Sinus und Kosinus bei Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\).

1. Teilaufgabe a): \(\sin\left(-\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(-6{,}5\pi\right)\). Durch Addition von \(3 \cdot 2\pi = 6\pi\) erhält man \(\sin(-0{,}5\pi) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). 2. Teilaufgabe b): Da \(2025\pi = 1012 \cdot 2\pi + \pi\), ist der Wert identisch mit \(\cos(\pi) = -1\). 3. Teilaufgabe c): \(\sin(4\pi) = \sin(0) = 0\). Für den zweiten Term gilt \(\cos(-3\pi) = \cos(-3\pi + 4\pi) = \cos(\pi) = -1\). Die Summe ist \(0 + (-1) = -1\). 4. Teilaufgabe d): \(\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(-4{,}5\pi\right) = \cos\left(-0{,}5\pi\right) = 0\). Weiterhin ist \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1\). Die Differenz ergibt \(0 - (-1) = 1\).

a) \(-1\) b) \(-1\) c) \(-1\) d) \(1\)

- Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, wie oft die Periode \(2\pi\) in den Winkel passt, um einen äquivalenten Winkel zwischen \(0\) und \(2\pi\) zu finden. - Was weißt du über die Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion bei negativen Vorzeichen?

1. Für \(\sin(2{,}8\pi)\): Durch Subtraktion von \(2\pi\) ergibt sich \(\sin(0{,}8\pi)\). Der berechnete Wert ist \(\approx 0{,}587785\), gerundet \(0{,}588\). 2. Für \(\cos(10)\): Durch Subtraktion von \(2\pi\) ergibt sich \(10 - 2\pi \approx 3{,}717\). Der Wert ist \(\approx -0{,}83907\), gerundet \(-0{,}839\). 3. Für \(\sin(-4{,}5)\): Das Argument liegt im Intervall \([-2\pi; 0]\). Der Wert ist \(\approx 0{,}97753\), gerundet \(0{,}978\). 4. Für \(\cos(-\frac{13\pi}{6})\): Durch Addition von \(2\pi\) erhält man \(\cos(-\frac{\pi}{6})\), was aufgrund der Symmetrie gleich \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ist. Der Wert ist \(\approx 0{,}866025\), gerundet \(0{,}866\).

a) \(0{,}588\) b) \(-0{,}839\) c) \(0{,}978\) d) \(0{,}866\)

- Zur Bestimmung des Quadranten hilft ein Vergleich mit Vielfachen von \(\frac{\pi}{2}\) (ca. \(1{,}57\)), \(\pi\) (ca. \(3{,}14\)) und \(\frac{3\pi}{2}\) (ca. \(4{,}71\)). - Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen. - Winkel, die größer als \(2\pi\) sind, können durch Abziehen von Vielfachen von \(2\pi\) auf das Standardintervall zurückgeführt werden.

1. Für \(\cos(3{,}5)\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(1{,}5\pi \approx 4{,}71\), liegt \(3{,}5\) im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}936\). 2. Für \(\sin(-2)\): Der Winkel mit dem Bogenmaß \(-2\) erfüllt \(-\pi < -2 < -\frac{\pi}{2}\) und liegt daher im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}909\). 3. Für \(\cos(7{,}2\pi)\): Reduktion um \(3 \cdot 2\pi\) ergibt \(1{,}2\pi\). Da \(\pi < 1{,}2\pi < 1{,}5\pi\), liegt der Punkt im III. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}809\). 4. Für \(\sin(-\frac{4\pi}{9})\): Das Argument \(-\frac{4\pi}{9} \approx -0{,}44\pi\) liegt zwischen \(0\) und \(-\frac{\pi}{2}\), somit im IV. Quadranten. Wert: \(\approx -0{,}985\).

a) \(-0{,}936\); III. Quadrant b) \(-0{,}909\); III. Quadrant c) \(-0{,}809\); III. Quadrant d) \(-0{,}985\); IV. Quadrant

- Überprüfe, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Nutze die Periodizität von \(2\pi\), um große Winkel auf das Intervall zwischen \(0\) und \(2\pi\) zu bringen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. - Überlege dir bei jedem Winkel, in welchem Quadranten er liegt, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu prüfen.

1. Reduktion des Winkels \(\frac{9\pi}{4}\) mithilfe der Periodizität: \(\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}\). Da die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) hat, gilt \(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). 2. Berechnung von \(\cos(-1{,}2)\): Da die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(\cos(-1{,}2) = \cos(1{,}2)\). Der Taschenrechner (im Bogenmaß-Modus, RAD) liefert \(\cos(1{,}2) \approx 0{,}362\). 3. Berechnung von \(\sin(3)\): Der Winkel \(3\) liegt im zweiten Quadranten (da \(\frac{\pi}{2} < 3 < \pi\)). Der Taschenrechner liefert \(\sin(3) \approx 0{,}141\).

\(\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) \approx 0{,}707\) \(\cos(-1{,}2) \approx 0{,}362\) \(\sin(3) \approx 0{,}141\)

- Achte darauf, dass Winkelangaben ohne Gradzeichen als Bogenmaß zu interpretieren sind. - Wie oft passt die volle Umdrehung \(2\pi\) in den gegebenen Winkel hinein? - Bei negativen Winkeln kannst du dir die Drehung im Uhrzeigersinn vorstellen oder \(2\pi\) addieren, um einen positiven Ersatzwinkel zu finden. - Welche besonderen Werte für Sinus und Kosinus kennst du auswendig?

1. Anwendung der Periodizität auf \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right)\): Es gilt \(\frac{13\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}\). Aufgrund der Periode \(2\pi\) ist \(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}500\). 2. Berechnung von \(\sin(-4)\): Der Winkel \(-4\) liegt im zweiten Quadranten (da \(-\frac{3\pi}{2} < -4 < -\pi\)). Der Taschenrechner liefert \(\sin(-4) \approx 0{,}757\). 3. Reduktion von \(\cos(10)\): Da \(10 \approx 3{,}18\pi\), kann man \(2\pi\) abziehen: \(10 - 2\pi \approx 3{,}717\). Dieser Winkel liegt im dritten Quadranten. Der Taschenrechner liefert \(\cos(10) \approx -0{,}839\).

\(\cos\left(\frac{13\pi}{3}\right) = 0{,}500\) \(\sin(-4) \approx 0{,}757\) \(\cos(10) \approx -0{,}839\)

- Nutze den Einheitskreis, um zu sehen, welche Winkel dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Sinusfunktion bezüglich der Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\)? - Wie hängen \(\sin(x)\) und \(\sin(-x)\) zusammen? - Addiere oder subtrahiere \(2\pi\) (\(360^\circ\)), um Winkel in das Standardintervall \([0; 2\pi)\) zu bringen.

1. Anwendung der Periodizität \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\) und der Symmetrie \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) sowie \(\sin(-x) = -\sin(x)\). 2. Analyse der ersten Gruppe: \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Symmetrie an der y-Achse gilt \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = 0{,}5\) und \(\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \sin(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = 0{,}5\). 3. Analyse der zweiten Gruppe: \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Periodizität gilt \(\sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(\frac{11\pi}{6} - 2\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -0{,}5\). Durch Punkt- oder Achsensymmetrie folgt \(\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -0{,}5\) und \(\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -0{,}5\).

Gruppe 1 (Wert \(0{,}5\)): \(\sin(\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{5\pi}{6})\), \(\sin(\frac{13\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{7\pi}{6})\) Gruppe 2 (Wert \(-0{,}5\)): \(\sin(-\frac{\pi}{6})\), \(\sin(\frac{7\pi}{6})\), \(\sin(\frac{11\pi}{6})\), \(\sin(-\frac{5\pi}{6})\)

- Versuche, jeden Winkel in den Bereich zwischen \(0^{\circ}\) und \(360^{\circ}\) zu bringen, indem du Vielfache von \(360^{\circ}\) addierst oder subtrahierst. - Skizziere dir im Kopf, in welchem Quadranten der Zeiger für den jeweiligen Winkel steht. - Achte besonders auf die Vorzeichen (plus oder minus) je nach Quadrant. - Überlege bei sehr großen Winkeln, wie viele volle Umdrehungen enthalten sind.

1. Für \(\alpha = 220^{\circ}\) liegt der Punkt im dritten Quadranten. Die Werte sind \(\sin(220^{\circ}) \approx -0{,}64\) und \(\cos(220^{\circ}) \approx -0{,}77\). 2. Der Winkel \(\alpha = -30^{\circ}\) entspricht einer Drehung im Uhrzeigersinn und liegt im vierten Quadranten (identisch mit \(330^{\circ}\)). Es gilt \(\sin(-30^{\circ}) = -0{,}50\) und \(\cos(-30^{\circ}) \approx 0{,}87\). 3. Für \(\alpha = 400^{\circ}\) zieht man eine volle Umdrehung ab: \(400^{\circ} - 360^{\circ} = 40^{\circ}\). Die Werte sind \(\sin(40^{\circ}) \approx 0{,}64\) und \(\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}77\). 4. Für \(\alpha = 900^{\circ}\) zieht man zwei volle Umdrehungen ab: \(900^{\circ} - 720^{\circ} = 180^{\circ}\). Der Punkt liegt auf der negativen \(x\)-Achse, woraus \(\sin(180^{\circ}) = 0{,}00\) und \(\cos(180^{\circ}) = -1{,}00\) folgt.

a) \(\sin(220^{\circ}) \approx -0{,}64\); \(\cos(220^{\circ}) \approx -0{,}77\) b) \(\sin(-30^{\circ}) = -0{,}50\); \(\cos(-30^{\circ}) \approx 0{,}87\) c) \(\sin(400^{\circ}) \approx 0{,}64\); \(\cos(400^{\circ}) \approx 0{,}77\) d) \(\sin(900^{\circ}) = 0{,}00\); \(\cos(900^{\circ}) = -1{,}00\)

- Achte bei den Teilaufgaben (3) und (4) darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) oder Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Woran erkennst du in der Aufgabenstellung, ob ein Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben ist? - Erinnere dich an die Werte von \(\pi\), \(2\pi\) usw., um die Lage im Einheitskreis abzuschätzen. - Welche Vorzeichen haben die x- und y-Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Berechnung der Funktionswerte (bei (3) und (4) im Bogenmaß): (1) \(\cos(110^\circ) \approx -0{,}342\) (2) \(\sin(260^\circ) \approx -0{,}985\) (3) \(\cos(4) \approx -0{,}654\) (4) \(\sin(-0{,}8) \approx -0{,}717\) 2. Bestimmung des Quadranten für \(\alpha = 4\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) gilt, liegt die Zahl \(4\) im Intervall \((\pi; 1{,}5\pi)\). Dieser Bereich entspricht dem 3. Quadranten des Einheitskreises.

a) (1) \(-0{,}342\); (2) \(-0{,}985\); (3) \(-0{,}654\); (4) \(-0{,}717\) b) Der Punkt liegt im 3. Quadranten, da \(\pi < 4 < 1{,}5\pi\) gilt.

- Welchem Wert in Grad entspricht eine volle Umdrehung im Bogenmaß? - Wie addiert oder subtrahiert man Vielfache von \(2\pi\) zu einem Bruch mit \(\pi\)? - Welche Bedingung muss ein Winkel erfüllen, um im Intervall \([-2\pi; 0)\) zu liegen?

1. Punkte auf dem Einheitskreis wiederholen sich im Bogenmaß nach einer vollen Umdrehung von \(2\pi\). Alle äquivalenten Winkel haben die Form \(x + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\). 2. Bestimmung des Winkels im Intervall \([-2\pi; 0)\): Mit \(k = -1\) berechnet man \(\frac{3}{4}\pi - 2\pi = \frac{3}{4}\pi - \frac{8}{4}\pi = -\frac{5}{4}\pi\). 3. Bestimmung zweier weiterer Winkel: Mit \(k = 1\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{8}{4}\pi = \frac{11}{4}\pi\). Mit \(k = 2\) ergibt sich \(\frac{3}{4}\pi + 4\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{16}{4}\pi = \frac{19}{4}\pi\).

Mögliche Winkel sind zum Beispiel: \(-\frac{5}{4}\pi\), \(\frac{11}{4}\pi\) und \(\frac{19}{4}\pi\).

- Wie viele volle Umdrehungen (zu je \(360^\circ\)) stecken in dem gegebenen Winkel? - Überlege, in welchem Quadranten der reduzierte Winkel liegt, um das Vorzeichen zu bestimmen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Winkel und den bekannten Werten für \(30^\circ\), \(45^\circ\) oder \(60^\circ\)?

1. Reduktion von \(480^\circ\): Da die Funktionen eine Periode von \(360^\circ\) haben, berechnet man \(480^\circ - 360^\circ = 120^\circ\). Damit gilt \(\sin(480^\circ) = \sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\) und \(\cos(480^\circ) = \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0{,}5\). 2. Reduktion von \(1125^\circ\): Man bestimmt die Anzahl der vollen Umdrehungen durch \(1125 : 360 = 3\) Rest \(45\), also \(1125^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 45^\circ\). Damit gilt \(\sin(1125^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) und \(\cos(1125^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\).

a) \(\sin(480^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\); \(\cos(480^\circ) = -0{,}5\) b) \(\sin(1125^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\); \(\cos(1125^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)

- Was passiert mit dem Winkel am Einheitskreis, wenn du \(360^\circ\) addierst? - Erinnere dich an die Symmetrie: Was weißt du über \(\sin(-\alpha)\) und \(\cos(-\alpha)\) im Vergleich zu \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\)? - Ein negativer Winkel bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn. Wo landest du dann im Koordinatensystem?

1. Für \(-210^\circ\): Durch Addition von \(360^\circ\) erhält man den äquivalenten Winkel \(150^\circ\). Es gilt \(\sin(-210^\circ) = \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 0{,}5\). Für den Kosinus gilt \(\cos(-210^\circ) = \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\). 2. Für \(-420^\circ\): Durch zweimalige Addition von \(360^\circ\) (oder Addition von \(720^\circ\)) erhält man \(-420^\circ + 720^\circ = 300^\circ\). Alternativ nutzt man \(\sin(-420^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) und \(\cos(-420^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = 0{,}5\).

a) \(\sin(-210^\circ) = 0{,}5\); \(\cos(-210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\) b) \(\sin(-420^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}866\); \(\cos(-420^\circ) = 0{,}5\)

- Wie oft muss man den Einheitskreis umrunden, um wieder an derselben Stelle anzukommen? - Gibt es eine Formel, mit der man alle Winkel berechnen kann, die an der gleichen Stelle liegen? - Überprüfe systematisch positive und negative Vielfache einer vollen Umdrehung. - Achte darauf, dass deine Ergebnisse innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen.

1. Die Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis wiederholt sich alle \(360^\circ\). Die allgemeine Formel für alle Winkel mit gleicher Lage ist \(\beta = \alpha + k \cdot 360^\circ\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Für \(k = 1\): \(\beta = 225^\circ + 360^\circ = 585^\circ\). 3. Für \(k = 2\): \(\beta = 225^\circ + 720^\circ = 945^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). 4. Für \(k = -1\): \(\beta = 225^\circ - 360^\circ = -135^\circ\). 5. Für \(k = -2\): \(\beta = 225^\circ - 720^\circ = -495^\circ\). 6. Für \(k = -3\): \(\beta = 225^\circ - 1080^\circ = -855^\circ\). 7. Für \(k = -4\): \(\beta = 225^\circ - 1440^\circ = -1215^\circ\) (liegt außerhalb des Intervalls). Die gesuchten Winkel sind \(-855^\circ\), \(-495^\circ\), \(-135^\circ\) und \(585^\circ\).

\(\beta \in \{-855^\circ; -495^\circ; -135^\circ; 585^\circ\}\)

- Wann landen zwei verschiedene Drehwinkel an der exakt gleichen Stelle auf dem Kreis? - Versuche, jeden Winkel so umzurechnen, dass er zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Rest nach vollen Umdrehungen zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei den negativen Winkeln.

Jeder Winkel wird durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\) auf das Intervall \([0^\circ; 360^\circ)\) normiert und anschließend mit \(\beta = 210^\circ\) verglichen. 1. \(\alpha_1\): \(570^\circ - 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 2. \(\alpha_2\): \(-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\). 3. \(\alpha_3\): \(910^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 910^\circ - 720^\circ = 190^\circ\). Dies entspricht nicht \(\beta\). Der normierte Wert ist \(190^\circ\). 4. \(\alpha_4\): \(-510^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -510^\circ + 720^\circ = 210^\circ\). Dies entspricht der Lage von \(\beta\).

a) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). b) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)). c) Beschreibt eine andere Lage; der entsprechende Winkel ist \(190^\circ\). d) Beschreibt dieselbe Lage (\(210^\circ\)).

- Winkel wiederholen sich alle \(360^\circ\). Addiere oder subtrahiere Vielfache von \(360^\circ\), um in den Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) zu gelangen. - Prüfe nach der Umrechnung des Winkels mit dem Taschenrechner, ob der Sinus- oder Kosinuswert des neuen Winkels tatsächlich mit dem ursprünglichen Wert übereinstimmt. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Winkel für die Drehrichtung am Einheitskreis?

1. Berechnung des reduzierten Winkels: \(980^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(260^\circ) \approx -0{,}1736\). 2. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-440^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 280^\circ\). Der Wert ist \(\sin(280^\circ) \approx -0{,}9848\). 3. Berechnung des reduzierten Winkels: \(-1234^\circ + 4 \cdot 360^\circ = 206^\circ\). Der Wert ist \(\cos(206^\circ) \approx -0{,}8988\). 4. Berechnung des reduzierten Winkels: \(1850^\circ - 5 \cdot 360^\circ = 50^\circ\). Der Wert ist \(\sin(50^\circ) \approx 0{,}7660\).

1. \(\approx -0{,}1736\); reduzierter Winkel: \(260^\circ\) 2. \(\approx -0{,}9848\); reduzierter Winkel: \(280^\circ\) 3. \(\approx -0{,}8988\); reduzierter Winkel: \(206^\circ\) 4. \(\approx 0{,}7660\); reduzierter Winkel: \(50^\circ\)

- Um einen Winkel in das Standardintervall zu bringen, kannst du Vielfache von \(360^\circ\) addieren oder subtrahieren. - Wie oft passt der Vollwinkel \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel hinein? - Der Kosinuswert eines Winkels ist identisch mit dem Kosinuswert seines entsprechenden Winkels im Standardintervall.

1. Für \(930^\circ\): \(930^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 210^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 210^\circ\). Der Wert ist \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\). 2. Für \(-100^\circ\): \(-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 260^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\). 3. Für \(-750^\circ\): \(-750^\circ + 3 \cdot 360^\circ = 330^\circ\). Somit ist \(\beta_0 = 330^\circ\). Der Wert ist \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\).

a) \(\beta_0 = 210^\circ\); \(\cos(930^\circ) \approx -0{,}8660\) b) \(\beta_0 = 260^\circ\); \(\cos(-100^\circ) \approx -0{,}1736\) c) \(\beta_0 = 330^\circ\); \(\cos(-750^\circ) \approx 0{,}8660\)

- Wie viel Grad entspricht einer vollen Umdrehung im Einheitskreis? - Wie oft passt eine volle Umdrehung in die größeren Winkel hinein? - Was passiert mit der Position eines Zeigers, wenn man ihn um genau \(360^\circ\) weiterdreht? - Kannst du die Winkel so verändern, dass sie alle in einem Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegen?

1. Umrechnung in Gradmaß mittels \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\): \(x_1 = \frac{1}{3} \cdot 180^\circ = 60^\circ\); \(x_2 = \frac{7}{3} \cdot 180^\circ = 420^\circ\); \(x_3 = -\frac{5}{3} \cdot 180^\circ = -300^\circ\); \(x_4 = \frac{4}{3} \cdot 180^\circ = 240^\circ\). 2. Prüfung auf dieselbe Endlage durch Addition/Subtraktion von Vielfachen einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\) oder \(2\pi\)): \(420^\circ - 360^\circ = 60^\circ\); \(-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\). 3. Ergebnis: \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da sie sich nur um ganze Umdrehungen unterscheiden. \(x_4\) beschreibt eine andere Position (\(240^\circ\)).

a) \(x_1 = 60^\circ\), \(x_2 = 420^\circ\), \(x_3 = -300^\circ\), \(x_4 = 240^\circ\). b) \(x_1, x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da \(420^\circ = 60^\circ + 1 \cdot 360^\circ\) und \(-300^\circ = 60^\circ - 1 \cdot 360^\circ\) gilt.

- Überlege, wie oft der volle Kreis von \(360^\circ\) in den gegebenen Winkel passt. - Erinnere dich an die Symmetrie: Ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? - Nutze die bekannten Werte für \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\) als Referenz. - Ein Vorzeichenwechsel kann auftreten, wenn der Winkel in einen anderen Quadranten fällt.

1. Reduktion durch Periodizität (\(k \cdot 360^\circ\)) oder Anwendung der Symmetrie: a) \(\sin(420^\circ) = \sin(420^\circ - 360^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\cos(750^\circ) = \cos(750^\circ - 720^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(\sin(-150^\circ) = \sin(-150^\circ + 360^\circ) = \sin(210^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}\) d) \(\cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(\sin(540^\circ) = \sin(540^\circ - 360^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\)

a) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(-\frac{1}{2}\) d) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) e) \(0\)

- Suche zuerst den entsprechenden Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\), indem du Vielfache von \(360^\circ\) addierst oder subtrahierst. - Bestimme, in welchem Quadranten der Winkel \(\beta\) liegt, um das Vorzeichen des Funktionswertes festzulegen. - Überlege, welcher „spitze“ Referenzwinkel (\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)) dir beim Berechnen des exakten Wertes helfen kann.

1. Bestimmung von \(\beta \in [0^\circ; 360^\circ)\) durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\): a) \(\beta = 405^\circ - 360^\circ = 45^\circ\); \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = -300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\); \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\) c) \(\beta = 1020^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 300^\circ\); \(\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ\); \(\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}\)

a) \(\beta = 45^\circ\); Wert: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) b) \(\beta = 60^\circ\); Wert: \(\frac{1}{2}\) c) \(\beta = 300^\circ\); Wert: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) d) \(\beta = 240^\circ\); Wert: \(-\frac{1}{2}\)

- Überlege dir, nach welcher Drehung ein Punkt auf dem Kreis wieder an der exakt gleichen Stelle landet. - Wie oft passt eine volle Umdrehung in das angegebene Intervall? - Denke daran, sowohl positive als auch negative Vielfache einer vollen Umdrehung zu addieren. - Prüfe am Ende, ob alle deine Ergebnisse wirklich zwischen den Grenzen des Intervalls liegen.

1. Identifikation der Periodizität: Ein Punkt auf dem Einheitskreis wird durch Winkel der Form \(x_k = x_0 + k \cdot 2\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) beschrieben. Hier ist \(x_0 = \frac{2}{3}\pi\). 2. Berechnung für verschiedene Werte von \(k\): - Für \(k = 0\): \(x_0 = \frac{2}{3}\pi \approx 0{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 1\): \(\frac{2}{3}\pi + 2\pi = \frac{8}{3}\pi \approx 2{,}67\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = 2\): \(\frac{2}{3}\pi + 4\pi = \frac{14}{3}\pi \approx 4{,}67\pi\) (außerhalb). - Für \(k = -1\): \(\frac{2}{3}\pi - 2\pi = -\frac{4}{3}\pi \approx -1{,}33\pi\) (liegt im Intervall). - Für \(k = -2\): \(\frac{2}{3}\pi - 4\pi = -\frac{10}{3}\pi \approx -3{,}33\pi\) (außerhalb). 3. Zusammenfassung der gültigen Werte: \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

Die gesuchten Winkel sind \(-\frac{4}{3}\pi\), \(\frac{2}{3}\pi\) und \(\frac{8}{3}\pi\).

- Ein Punkt wiederholt sich alle \(2\pi\). Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Da das Intervall bei \(0\) beginnt, musst du so viele volle Umdrehungen addieren, bis du in den positiven Bereich kommst. - Achte darauf, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Aufstellen der allgemeinen Formel für deckungsgleiche Punkte: \(x = -\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Bestimmung der relevanten \(k\)-Werte durch Einsetzen und Abgleich mit dem Intervall \([0; 6\pi]\): - \(k = 0\): \(-\frac{\pi}{6}\) (zu klein, da \(< 0\)). - \(k = 1\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi \approx 1{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 2\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{23}{6}\pi \approx 3{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 3\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{36\pi}{6} = \frac{35}{6}\pi \approx 5{,}83\pi\) (liegt im Intervall). - \(k = 4\): \(-\frac{\pi}{6} + \frac{48\pi}{6} = \frac{47}{6}\pi \approx 7{,}83\pi\) (zu groß, da \(> 6\pi\)). 3. Liste der Lösungen: \(\frac{11}{6}\pi, \frac{23}{6}\pi, \frac{35}{6}\pi\).

Die Winkel sind \(\frac{11}{6}\pi\), \(\frac{23}{6}\pi\) und \(\frac{35}{6}\pi\).

- Stell dir den Einheitskreis vor. Was passiert, wenn du dich um \(2\pi\) weiterdrehst? - Wie oft passt \(2\pi\) in deinen gegebenen Winkel hinein? - Bei negativen Winkeln drehst du im Uhrzeigersinn. Wie viele volle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn musst du hinzufügen, um im positiven Bereich zu landen? - Kannst du den Bruch als gemischte Zahl schreiben, um die Anzahl der vollen Umdrehungen leichter zu sehen?

Zur Bestimmung von \(\alpha_0\) nutzen wir die Eigenschaft, dass eine volle Umdrehung von \(2\pi\) die Position auf dem Einheitskreis nicht verändert. Wir berechnen \(\alpha_0 = \alpha + k \cdot 2\pi\), wobei \(k\) eine ganze Zahl ist, sodass \(0 \le \alpha_0 < 2\pi\). 1. Für \(\alpha = -\frac{9}{2}\pi = -4{,}5\pi\): Wir müssen ein Vielfaches von \(2\pi\) addieren. Mit \(k=3\) erhalten wir \(-4{,}5\pi + 6\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\). 2. Für \(\alpha = \frac{25}{4}\pi = 6{,}25\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-3\) erhalten wir \(6{,}25\pi - 6\pi = 0{,}25\pi = \frac{1}{4}\pi\). 3. Für \(\alpha = -\frac{13}{3}\pi \approx -4{,}33\pi\): Wir addieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=3\) erhalten wir \(-\frac{13}{3}\pi + \frac{18}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi\). 4. Für \(\alpha = \frac{11}{2}\pi = 5{,}5\pi\): Wir subtrahieren Vielfache von \(2\pi\). Mit \(k=-2\) erhalten wir \(5{,}5\pi - 4\pi = 1{,}5\pi = \frac{3}{2}\pi\).

a) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\) b) \(\alpha_0 = \frac{1}{4}\pi\) c) \(\alpha_0 = \frac{5}{3}\pi\) d) \(\alpha_0 = \frac{3}{2}\pi\)

- Überlege zuerst, wie die Periode der Funktion durch den Faktor vor dem Winkel verändert wird. - Suche zunächst die Lösungen in einem Standardintervall (zum Beispiel von \(0^\circ\) bis zur Periodenlänge). - Wie kannst du von einer bekannten Lösung weitere Lösungen finden, ohne die gesamte Gleichung neu zu lösen? - Achte darauf, dass du wirklich alle Lösungen im negativen und positiven Bereich des vorgegebenen Intervalls findest.

1. Umformen der Gleichung zu \(\sin(2\alpha) = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Basislösungen für das Argument \(x = 2\alpha\): \(x_1 = 30^\circ\) und \(x_2 = 150^\circ\). 3. Berechnung der zugehörigen Werte für \(\alpha\): \(\alpha_1 = 15^\circ\) und \(\alpha_2 = 75^\circ\). 4. Bestimmung der kleinsten Periode \(p = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ\). 5. Ermittlung aller Lösungen durch Addition und Subtraktion von Vielfachen der Periode (\(k \cdot 180^\circ\)) im Intervall \([-360^\circ; 720^\circ]\): Für \(\alpha_1 = 15^\circ\): \(-345^\circ; -165^\circ; 15^\circ; 195^\circ; 375^\circ; 555^\circ\). Für \(\alpha_2 = 75^\circ\): \(-285^\circ; -105^\circ; 75^\circ; 255^\circ; 435^\circ; 615^\circ\).

\(\alpha \in \{-345^\circ; -285^\circ; -165^\circ; -105^\circ; 15^\circ; 75^\circ; 195^\circ; 255^\circ; 375^\circ; 435^\circ; 555^\circ; 615^\circ\}\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises die Lösungen liegen müssen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis, um aus einer Lösung weitere zu finden. - Beachte die Periodizität der Funktionen: Wenn du eine Lösung hast, kannst du durch Addieren oder Subtrahieren von \(2\pi\) weitere Lösungen finden. - Achte darauf, dass deine berechneten Werte im jeweils geforderten Intervall liegen.

1. Für a): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\) mittels Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}65) \approx 0{,}86\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) durch Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 2\pi - 0{,}8633\ldots \approx 5{,}42\). 2. Für b): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; 0]\) mittels Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}3) \approx -0{,}30\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) durch Symmetrie: \(x_2 = -\pi - (-0{,}3046\ldots) \approx -2{,}84\). 3. Durch Addition der Periode \(2\pi\) ergeben sich die weiteren Lösungen im positiven Bereich: \(x_3 = -0{,}3046\ldots + 2\pi \approx 5{,}98\) und \(x_4 = -2{,}8369\ldots + 2\pi \approx 3{,}45\).

a) \(x_1 \approx 0{,}86\); \(x_2 \approx 5{,}42\) b) \(x_1 \approx -2{,}84\); \(x_2 \approx -0{,}30\); \(x_3 \approx 3{,}45\); \(x_4 \approx 5{,}98\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Einheitskreis negative Sinuswerte liefert. - Wenn du einen Wert mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du die Symmetrie der Sinuskurve nutzen, um den zweiten Wert innerhalb einer Periode zu finden? - Denke daran, dass sich die Funktionswerte alle \(360^\circ\) wiederholen.

1. Berechnung des ersten Winkels mit dem Taschenrechner: \(\alpha_1 = \arcsin(-0{,}42) \approx -24{,}83^\circ\). Dieser Wert liegt im gesuchten Intervall \([-360^\circ; 0^\circ]\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion (\(\sin(\alpha) = \sin(-180^\circ - \alpha)\) für den Bereich um \(-180^\circ\)): \(\alpha_2 = -180^\circ - (-24{,}83^\circ) = -155{,}17^\circ\). Auch dieser Wert liegt im Intervall. 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(360^\circ\): \(-24{,}83^\circ - 360^\circ = -384{,}83^\circ\) (außerhalb) und \(-155{,}17^\circ - 360^\circ = -515{,}17^\circ\) (außerhalb). Die gesuchten Winkel sind \(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\).

\(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\); \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\)

- Bestimme zuerst die beiden Lösungen innerhalb einer vollständigen Umdrehung. - Auf dem Einheitskreis haben an der \(x\)-Achse gespiegelte Punkte denselben Kosinuswert. - Nutze anschließend die Periodenlänge \(360^\circ\), um passende coterminale Winkel im Zielintervall zu finden. - Prüfe die Intervallgrenzen, damit keine weitere Verschiebung übersehen wird.

1. Im Standardintervall \([0^\circ;360^\circ]\) ist eine Lösung \(\alpha_1=\arccos(-0{,}75)\approx138{,}59^\circ\). 2. Der zweite zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis ist die Spiegelung an der \(x\)-Achse und hat dieselbe horizontale Koordinate. Daher ist \(\alpha_2=360^\circ-138{,}59^\circ\approx221{,}41^\circ\). 3. Verschiebe beide Basislösungen um ganzzahlige Vielfache von \(360^\circ\). Für \(138{,}59^\circ\) liegt nur \(138{,}59^\circ+720^\circ\approx858{,}59^\circ\) im Zielintervall. 4. Für \(221{,}41^\circ\) liegt nur \(221{,}41^\circ+360^\circ\approx581{,}41^\circ\) im Zielintervall.

\(\alpha\approx581{,}41^\circ\) oder \(\alpha\approx858{,}59^\circ\)

- Welche Auswirkung hat der Faktor im Argument der Sinusfunktion auf die Periode und damit auf die Anzahl der Lösungen? - Überlege zuerst, für welche Werte der Sinus allgemein den Wert \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) annimmt. - Wie verändert sich das betrachtete Intervall, wenn du eine Hilfsvariable für den Klammerausdruck einsetzt? - Nutze die Symmetrie und die Periodizität der Sinusfunktion, um alle Stellen im gesuchten Bereich zu finden.

1. Einführung einer Hilfsvariablen \(u = 2x\), wobei das Intervall für \(u\) nun \(0 \le u \le 4\pi\) beträgt. 2. Bestimmung der Basislösungen für \(\sin(u) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\) im ersten Umlauf: \(u_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(u_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\). 3. Ermittlung der weiteren Lösungen im Intervall bis \(4\pi\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(u_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\) und \(u_4 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\). 4. Rücksubstitution durch \(x = \frac{u}{2}\) führt zu den Werten \(x_1 = \frac{\pi}{8}\), \(x_2 = \frac{3\pi}{8}\), \(x_3 = \frac{9\pi}{8}\) und \(x_4 = \frac{11\pi}{8}\).

\(L = \{ \frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{8}; \frac{9\pi}{8}; \frac{11\pi}{8} \}\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinus bzw. der Kosinus den gesuchten Wert annimmt. - Nutze die Taschenrechnerfunktion für den ersten Wert und bestimme den zweiten Wert mithilfe der Symmetrieeigenschaften (\(180^\circ - \alpha\) beim Sinus, \(-\alpha\) bzw. \(360^\circ - \alpha\) beim Kosinus). - Prüfe durch Addition oder Subtraktion von \(360^\circ\), ob weitere Lösungen im vorgegebenen Bereich liegen. - Achte genau auf die Intervallgrenzen, besonders im negativen Bereich.

1. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe a) mit dem Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}65) \approx -40{,}5^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 180^\circ - (-40{,}54^\circ) \approx 220{,}5^\circ\). 3. Anwendung der Periodizität (\(\pm 360^\circ\)), um alle Lösungen im Intervall \([-180^\circ; 360^\circ]\) zu finden: \(x_3 = -40{,}54^\circ + 360^\circ \approx 319{,}5^\circ\) und \(x_4 = 220{,}54^\circ - 360^\circ \approx -139{,}5^\circ\). 4. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe b) mit dem Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}22) \approx 77{,}3^\circ\). 5. Bestimmung des zweiten Winkels durch die Symmetrie zur x-Achse: \(x_2 = -77{,}29^\circ \approx -77{,}3^\circ\). 6. Anwendung der Periodizität für das Intervall: \(x_3 = -77{,}29^\circ + 360^\circ \approx 282{,}7^\circ\).

a) \(L = \{-139{,}5^\circ; -40{,}5^\circ; 220{,}5^\circ; 319{,}5^\circ\}\) b) \(L = \{-77{,}3^\circ; 77{,}3^\circ; 282{,}7^\circ\}\)

- Überlege dir zuerst, für welche Winkel der Kosinuswert genau \(-0{,}5\) beträgt. - Beachte, dass durch den Faktor \(2\) im Argument die Funktion „schneller“ schwingt. Wie wirkt sich das auf die Anzahl der Lösungen im Intervall aus? - Es kann helfen, eine Hilfsvariable für den Ausdruck in der Klammer einzuführen. - Denk daran, dass die Kosinusfunktion periodisch ist und sich Werte alle \(2\pi\) wiederholen.

1. Substitution \(u = 2x\). Da \(0 \le x \le 2\pi\), ergibt sich für \(u\) das Intervall \(0 \le u \le 4\pi\). 2. Lösen der Gleichung \(\cos(u) = -0{,}5\) im Grundintervall \([0; 2\pi]\). Dies liefert \(u_1 = \frac{2\pi}{3}\) und \(u_2 = \frac{4\pi}{3}\). 3. Bestimmung weiterer Lösungen im Intervall \([0; 4\pi]\) durch Addition der Periode \(2\pi\): \(u_3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}\) und \(u_4 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}\). 4. Rücksubstitution \(x = \frac{u}{2}\) führt zu den Lösungen: \(x_1 = \frac{\pi}{3}\), \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\), \(x_3 = \frac{4\pi}{3}\) und \(x_4 = \frac{5\pi}{3}\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\).

\(L = \{ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\)

- Was passiert mit dem Argument der Sinusfunktion, bevor du den Sinus anwendest? - Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer vollen Periode der Sinusfunktion? - Denke daran, dass die Sinusfunktion periodisch ist. Wie verändert der Faktor vor der Variablen die Periodenlänge? - Hast du geprüft, ob alle deine berechneten Werte im vorgegebenen Bereich liegen? - Überlege dir, wie du das Argument der Funktion isolieren kannst, bevor du die Umkehrfunktion nutzt.

1. Substitution von \(u = 2x - 60^\circ\). Die Grundlösungen für \(\sin(u) = 0{,}5\) sind \(u_1 = 30^\circ\) und \(u_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). 2. Berücksichtigung der Periodizität: \(u = 30^\circ + k \cdot 360^\circ\) oder \(u = 150^\circ + k \cdot 360^\circ\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Rücksubstitution für den ersten Fall: \(2x - 60^\circ = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \implies 2x = 90^\circ + k \cdot 360^\circ \implies x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\). Im Intervall liegen \(45^\circ\) (für \(k=0\)) und \(225^\circ\) (für \(k=1\)). 4. Rücksubstitution für den zweiten Fall: \(2x - 60^\circ = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \implies 2x = 210^\circ + k \cdot 360^\circ \implies x = 105^\circ + k \cdot 180^\circ\). Im Intervall liegen \(105^\circ\) (für \(k=0\)) und \(285^\circ\) (für \(k=1\)). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{45^\circ; 105^\circ; 225^\circ; 285^\circ\}\).

\(x \in \{45^\circ; 105^\circ; 225^\circ; 285^\circ\}\)

- Wie oft wiederholen sich die Werte einer Kosinusfunktion normalerweise in einem Kreis? - Was bewirkt die Zahl im Inneren der Kosinusfunktion für die Anzahl der Lösungen? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Wertes auf der rechten Seite der Gleichung. In welchen Quadranten liegt der Winkel? - Vergiss nicht, auch negative Werte für die Perioden-Variable \(k\) einzusetzen, da das Intervall negative Winkel einschließt.

1. Bestimmung des Winkels \(u = 3\beta\), für den \(\cos(u) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\) gilt. Die Lösungen im Einheitskreis sind \(u_1 = 135^\circ\) und \(u_2 = -135^\circ\) (bzw. \(225^\circ\)). 2. Aufstellen der allgemeinen Lösung unter Berücksichtigung der Periodizität: \(3\beta = \pm 135^\circ + k \cdot 360^\circ\) für \(k \in \mathbb{Z}\). 3. Division durch 3 ergibt \(\beta = \pm 45^\circ + k \cdot 120^\circ\). 4. Bestimmung der Werte im Intervall \([-180^\circ; 180^\circ]\): Für \(\beta = 45^\circ + k \cdot 120^\circ\): \(-75^\circ\) (\(k=-1\)), \(45^\circ\) (\(k=0\)), \(165^\circ\) (\(k=1\)). Für \(\beta = -45^\circ + k \cdot 120^\circ\): \(-165^\circ\) (\(k=-1\)), \(-45^\circ\) (\(k=0\)), \(75^\circ\) (\(k=1\)). 5. Zusammenfassung der Lösungen: \(\beta \in \{-165^\circ; -75^\circ; -45^\circ; 45^\circ; 75^\circ; 165^\circ\}\).

\(\beta \in \{-165^\circ; -75^\circ; -45^\circ; 45^\circ; 75^\circ; 165^\circ\}\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion am Einheitskreis oder am Graphen. - Wie verändert der Faktor \(2\) vor dem \(x\) die Periode der Funktion? - Denk daran, dass im Intervall \([-\pi; \pi]\) aufgrund der Periodizität und der Streckung mehrere Lösungen existieren können. - Überprüfe am Ende, ob alle deine gefundenen \(x\)-Werte tatsächlich im Intervall \([-\pi; \pi]\) liegen.

1. Einsetzen von \(x_2 = \frac{\pi}{4}\) in \(g(x)\): \(y_2 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2})\). 2. Bestimmung des Kosinuswertes: \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), also \(y_2 = 0\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b): \(\cos(2x) = -0{,}5\). 4. Substitution \(u = 2x\). Für \(x \in [-\pi; \pi]\) liegt \(u\) im Bereich \([-2\pi; 2\pi]\). 5. Lösungen für \(\cos(u) = -0{,}5\) im Einheitskreis finden: \(u \in \{ \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3} \}\). 6. Rücksubstitution durch Division durch 2: \(x \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3} \}\). Alle Werte liegen im vorgegebenen Intervall \([-\pi; \pi]\).

a) \(y_2 = 0\) b) \(x \in \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3} \}\)

- Wenn ein Quadrat in der Gleichung steht, denke daran, dass beim Wurzelziehen sowohl ein positives als auch ein negatives Ergebnis möglich ist. - Wie viele Lösungen erwartest du am Einheitskreis, wenn der Sinuswert betragsmäßig feststeht? - Prüfe sorgfältig, welche der gefundenen Werte tatsächlich im vorgegebenen Intervall von \(-\pi\) bis \(2\pi\) liegen. - Skizziere dir eventuell den Graphen der Sinusfunktion, um die Lage der Lösungen zu kontrollieren.

1. Auflösen nach \(\sin x\) durch Ziehen der Quadratwurzel ergibt zwei Fälle: \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) oder \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Lösungen für \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_2 = \frac{2\pi}{3}\). Im negativen Bereich \([-\pi; 0]\) gibt es keine Lösung für diesen positiven Wert. 3. Lösungen für \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) im Intervall \([-\pi; 2\pi]\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) sind dies \(x_3 = \frac{4\pi}{3}\) und \(x_4 = \frac{5\pi}{3}\). Im Bereich \([-\pi; 0]\) ergeben sich durch Subtraktion von \(2\pi\) von den positiven Standardwerten (oder Betrachtung am Einheitskreis) \(x_5 = -\frac{\pi}{3}\) und \(x_6 = -\frac{2\pi}{3}\). 4. Zusammenfassen aller gültigen Werte zur Lösungsmenge: \(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\).

\(L = \{ -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \}\)