- Suche zuerst die einzige Fläche, die kein Dreieck ist. - Wie viele Kanten hat diese Grundfläche? - Zu jeder Grundkante gehört eine Seitenfläche.

1. Im Netz liegt genau eine rechteckige Fläche vor. Sie ist die Grundfläche der Pyramide. 2. Außerdem sind vier Dreiecke vorhanden. Diese vier Dreiecke bilden die Seitenflächen.

Eine rechteckige Grundfläche und vier dreieckige Seitenflächen.

- Welche der beiden Netzflächen wird beim Falten zur gekrümmten Seitenfläche? - Verfolge gedanklich eine Strecke von der Kegelspitze bis zum Rand des Grundkreises. - Diese Strecke bleibt beim Abwickeln gleich lang.

1. Der Kreis im Netz ist die Grundfläche des Kegels. 2. Der Kreissektor bildet den Mantel. 3. Der Radius dieses Kreissektors ist die Mantellinie \(s\) des räumlichen Kegels.

Der Kreissektor bildet den Mantel; sein Radius entspricht der Mantellinie \(s\).

- Welche Körperkanten werden im Netz zu den drei Seiten eines Seitendreiecks? - Wie findest du mit dem Zirkel einen Punkt, der von beiden Endpunkten einer Strecke gleich weit entfernt ist? - Auf welcher Seite der Quadratkante muss die Dreiecksspitze liegen, damit das Netz außen am Quadrat entsteht?

1. Das Netz besteht aus einem Quadrat mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\) und vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken mit Grundseite \(6\,\text{cm}\) und Seitenlängen \(5\,\text{cm}\). 2. Für ein Seitendreieck zeichnest du von beiden Endpunkten einer Quadratseite Kreisbögen mit Radius \(5\,\text{cm}\). Wähle den Schnittpunkt außerhalb des Quadrats als Dreiecksspitze und verbinde ihn mit den beiden Endpunkten der Quadratseite. 3. Diese Konstruktion wird an allen vier Seiten des Quadrats ausgeführt.

a) Ein Quadrat mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\) und vier Dreiecke mit Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\) b) Von beiden Endpunkten einer Quadratseite Kreisbögen mit Radius \(5\,\text{cm}\) schlagen; den Schnittpunkt außerhalb des Quadrats mit den Endpunkten verbinden. c) Viermal, einmal an jeder Quadratseite.

- Betrachte den Mantelsektor als Teil eines ganzen Kreises mit Radius \(s\). - Welche Randlänge des Grundkreises wird vom Mantel umschlossen? - Woran würdest du beim Zusammenrollen eine Lücke oder einen Überstand erkennen?

1. Die Bogenlänge des Halbkreissektors beträgt \(\frac{180^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6\,\text{cm}=6\pi\,\text{cm}\). 2. Der Umfang des Grundkreises ist \(2\pi\cdot3\,\text{cm}=6\pi\,\text{cm}\). 3. Beim Zusammenrollen liegt der Kreisbogen des Mantelsektors am Rand des Grundkreises. Da beide Längen \(6\pi\,\text{cm}\) betragen, passen die Teile ohne Lücke oder Überstand zusammen.

a) \(6\pi\,\text{cm}\) b) \(6\pi\,\text{cm}\) c) Ja. Beide Längen sind gleich; deshalb passt der Mantelsektor genau an den Grundkreis.

- Zerlege das Netz in die quadratische Grundfläche und vier Seitendreiecke. - Welche beiden Maße eines Seitendreiecks sind direkt beschriftet? - Addiere erst nach der Flächenberechnung alle fünf Netzteile.

1. Aus dem Netz liest man die Grundkante \(a=16\,\text{cm}\) und die Höhe der Seitendreiecke \(h_s=10\,\text{cm}\) ab. 2. Die Grundfläche hat den Inhalt \(G=16^2\,\text{cm}^2=256\,\text{cm}^2\). 3. Ein Seitendreieck hat den Flächeninhalt \(\frac12\cdot16\cdot10\,\text{cm}^2=80\,\text{cm}^2\). Vier Dreiecke ergeben \(320\,\text{cm}^2\). 4. Somit ist \(O=256\,\text{cm}^2+320\,\text{cm}^2=576\,\text{cm}^2\).

\(O=576\,\text{cm}^2\)

- Reicht die richtige Anzahl von Flächen allein für ein Netz aus? - Prüfe, welche Teile tatsächlich eine gemeinsame Kante besitzen. - Suche die Grundkante, an der noch keine Seitenfläche befestigt ist.

1. Für ein Netz müssen die Flächen nicht nur vollständig vorhanden, sondern entlang geeigneter Kanten zusammenhängend verbunden sein. 2. In der Abbildung liegen drei Dreiecke an drei Grundkanten des Quadrats. Das vierte Dreieck ist getrennt gezeichnet. 3. Man verschiebt dieses einzelne Dreieck so, dass seine Grundkante an der noch freien vierten Kante des Quadrats liegt. Dann sind alle fünf Flächen zu einem zusammenhängenden Netz verbunden.

Die fünf Flächen sind zwar vorhanden, aber das einzelne Dreieck ist nicht mit dem übrigen Netz verbunden. Es muss an die noch freie vierte Kante des Quadrats angefügt werden.

- Welche Länge des Grundkreises wird zur Bogenlänge des Mantelsektors? - Wie hängt der Sektoranteil vom Verhältnis \(r:s\) ab? - Runde den Winkel erst am Ende.

1. Aus dem Netz liest man \(r=8\,\text{cm}\) und \(s=17\,\text{cm}\) ab. 2. Für den Mantelsektor gilt \(\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{r}{s}=\frac{8}{17}\). 3. Damit ist \(\alpha=360^\circ\cdot\frac{8}{17}\approx169{,}4^\circ\).

\(\alpha\approx169{,}4^\circ\)

- Welche Länge des Mantelsektors entspricht der Mantellinie des Kegels? - Wie hängt der Mittelpunktswinkel vom Verhältnis \(r:s\) ab? - Berechne beide Winkel mit derselben Beziehung und vergleiche erst danach.

1. In beiden Netzen ist die Mantellinie \(s=13\,\text{cm}\). 2. In a) ist \(r=5\,\text{cm}\). Daher ist \(\alpha_a=360^\circ\cdot\frac{5}{13}\approx138{,}5^\circ\). 3. In b) ist \(r=12\,\text{cm}\). Daher ist \(\alpha_b=360^\circ\cdot\frac{12}{13}\approx332{,}3^\circ\). 4. Somit besitzt b) den größeren Mittelpunktswinkel.

a) \(\alpha_a\approx138{,}5^\circ\) b) \(\alpha_b\approx332{,}3^\circ\); der Winkel in b) ist größer.

- Welche Fläche bleibt beim Aufklappen als Grundfläche erhalten? - Wie viele Kanten jeder Länge besitzt das Grundrechteck? - Vergleiche die Lage der Körperhöhe mit der Lage einer Seitenhöhe.

1. Die Grundfläche bleibt beim Abwickeln unverändert. Im Netz liegt daher ein Rechteck \(8\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) vor. 2. Zu den beiden \(8\,\text{cm}\) langen Grundkanten gehören zwei Seitendreiecke mit Grundseite \(8\,\text{cm}\). Zu den beiden \(6\,\text{cm}\) langen Grundkanten gehören zwei Seitendreiecke mit Grundseite \(6\,\text{cm}\). 3. Die Körperhöhe steht senkrecht auf der Grundfläche und liegt im Inneren der Pyramide. Die Höhe eines Seitendreiecks liegt dagegen in einer Seitenfläche. Daher sind diese Längen nicht identisch.

a) Rechteck \(8\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) b) Zwei Dreiecke mit Grundseite \(8\,\text{cm}\) und zwei mit Grundseite \(6\,\text{cm}\) c) Nein. Die Körperhöhe liegt im Inneren des Körpers; eine Dreieckshöhe liegt in einer Seitenfläche.

- Welche Strecke in der Grundfläche verbindet ihren Mittelpunkt mit einer Ecke? - Betrachte einen Schnitt durch Spitze, Grundflächenmittelpunkt und eine Grundecke: Welche Strecken siehst du dort? - Welche Länge müssen die beiden gleichen Seiten eines Seitendreiecks im Netz haben?

1. Vom Grundflächenmittelpunkt zu einer Grundecke ist es die Hälfte der Quadratdiagonale: \(3\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Mit Körperhöhe und Seitenkante entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Daher ist \(s=\sqrt{4^2+(3\sqrt{2})^2}\,\text{cm}=\sqrt{34}\,\text{cm}\approx5{,}83\,\text{cm}\). 3. Das Netz besteht aus einem Quadrat mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\) und vier kongruenten Dreiecken mit den Seitenlängen \(6\,\text{cm}\), \(\sqrt{34}\,\text{cm}\), \(\sqrt{34}\,\text{cm}\). 4. Für jede Dreiecksspitze werden von den Endpunkten der zugehörigen Quadratseite Kreisbögen mit Radius \(\sqrt{34}\,\text{cm}\) geschlagen. Der Schnittpunkt außerhalb des Quadrats ist die Dreiecksspitze. Dieser Radius ist nötig, weil die beiden gleichen Seiten jedes Seitendreiecks den Seitenkanten der Pyramide entsprechen.

a) \(s=\sqrt{34}\,\text{cm}\approx5{,}83\,\text{cm}\) b) Grundfläche: Quadrat mit \(6\,\text{cm}\) Seitenlänge; vier Seitendreiecke mit Seiten \(6\,\text{cm}\), \(\sqrt{34}\,\text{cm}\), \(\sqrt{34}\,\text{cm}\) c) Zirkelradius \(\sqrt{34}\,\text{cm}\approx5{,}83\,\text{cm}\), weil die beiden gleichen Seiten jedes Seitendreiecks Seitenkanten der Pyramide sind.

- Welche drei Längen bilden im Axialschnitt des Kegels ein rechtwinkliges Dreieck? - Welche Länge des Kegels wird im Netz zum Radius des Mantelsektors? - Welche Randlängen müssen beim Zusammenrollen des Netzes genau aufeinanderpassen?

1. Im Axialschnitt gilt \(s=\sqrt{3^2+4^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 2. Der Kreisbogen des Mantelsektors muss so lang sein wie der Umfang des Grundkreises. Daher gilt \(\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot5=2\pi\cdot3\). 3. Daraus folgt \(\alpha=216^\circ\). 4. Für das Netz braucht man einen Grundkreis mit Radius \(3\,\text{cm}\) und einen Kreissektor mit Radius \(5\,\text{cm}\) und Mittelpunktswinkel \(216^\circ\).

a) \(s=5\,\text{cm}\) b) \(\alpha=216^\circ\) c) Grundkreis: Radius \(3\,\text{cm}\); Mantelsektor: Radius \(5\,\text{cm}\), Mittelpunktswinkel \(216^\circ\)

- Welche drei Strecken bilden das Stützdreieck aus Körperhöhe, halber Grundkante und Seitenhöhe? - Wie viele Seitenflächen hat eine quadratische Pyramide? - An welcher Kante muss jede dreieckige Seitenfläche im Netz mit der Grundfläche verbunden sein?

1. Aus der Abbildung liest man \(a=10\,\text{cm}\) und \(h=12\,\text{cm}\) ab. 2. Für die Seitenhöhe gilt \(h_s=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{12^2+5^2}\,\text{cm}=13\,\text{cm}\). 3. Ein vollständiges Netz benötigt die quadratische Grundfläche und vier Seitendreiecke. Jedes Seitendreieck liegt mit seiner \(10\,\text{cm}\) langen Grundseite an einer der vier Grundkanten. Daher ist A richtig.

a) \(h_s=13\,\text{cm}\) b) A

- Welche drei Längen bilden im Axialschnitt ein rechtwinkliges Dreieck? - Welche Länge des Grundkreises wird beim Abwickeln zur Bogenlänge des Mantelsektors? - Wie groß ist der Anteil des Mantelsektors an einem Vollkreis mit Radius \(s\)?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=7\,\text{cm}\) und \(h=24\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=25\,\text{cm}\). 3. Die Bogenlänge des Mantelsektors ist der Umfang des Grundkreises: \(b=2\pi r=14\pi\,\text{cm}\). 4. Für den Sektor gilt \(\alpha=360^\circ\cdot\frac{r}{s}=360^\circ\cdot\frac{7}{25}=100{,}8^\circ\). 5. Das Netz besteht aus einem Grundkreis mit Radius \(7\,\text{cm}\) und einem Kreissektor mit Radius \(25\,\text{cm}\) und Mittelpunktswinkel \(100{,}8^\circ\).

a) \(s=25\,\text{cm}\), \(b=14\pi\,\text{cm}\), \(\alpha=100{,}8^\circ\) b) Ein Kreis mit \(r=7\,\text{cm}\) und ein Kreissektor mit Radius \(25\,\text{cm}\) und Mittelpunktswinkel \(100{,}8^\circ\).

- Welche Länge im Netz wird im Körper zur Seitenhöhe eines Seitendreiecks? - Vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zum Mittelpunkt einer Grundkante ist es die halbe Grundkante. - Welche drei Strecken bilden damit ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Aus dem Netz liest man \(a=10\,\text{cm}\) und \(h_s=13\,\text{cm}\) ab. 2. Im räumlichen Körper bilden \(h\), \(\frac{a}{2}=5\,\text{cm}\) und \(h_s=13\,\text{cm}\) ein rechtwinkliges Dreieck. 3. Daher ist \(h=\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

\(h=12\,\text{cm}\)

- Bestimme zuerst die Bogenlänge des gegebenen Kreissektors. - Welche Länge am räumlichen Kegel entsteht aus diesem Bogen? - Nutze anschließend die Beziehung zwischen Mantellinie, Radius und Körperhöhe.

1. Die Bogenlänge des Sektors beträgt \(b=\frac{216}{360}\cdot2\pi\cdot10\,\text{cm}=12\pi\,\text{cm}\). 2. Diese Bogenlänge wird zum Grundkreisumfang. Aus \(2\pi r=12\pi\) folgt \(r=6\,\text{cm}\). 3. Der Sektorradius ist die Mantellinie \(s=10\,\text{cm}\). Damit ist \(h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

\(r=6\,\text{cm}\) \(h=8\,\text{cm}\)

- Welche Kante jedes Seitendreiecks gehört im Körper direkt zur quadratischen Grundfläche? - Vergleiche die Rolle der markierten Kante \(g\) mit der Kante, an der sie in der Zeichnung befestigt ist. - Welche Quadratseite hat noch keine Seitenfläche?

1. Bei jeder Seitenfläche muss die \(4\,\text{cm}\) lange Grundkante im gefalteten Körper an einer Kante der quadratischen Grundfläche liegen. 2. Die markierte Kante \(g\) ist die Grundkante des rechts oben angesetzten Dreiecks. In der Zeichnung liegt sie jedoch auf einer Schenkelkante des oberen Dreiecks. 3. Diese Schenkelkante müsste nach den Angaben \(5\,\text{cm}\) lang sein, während \(g\) als Grundkante \(4\,\text{cm}\) lang sein muss. Dieselbe gemeinsame Kante kann nicht beide Längen haben. Die Zeichnung ist deshalb trotz ihres Zusammenhangs kein Netz der beschriebenen Pyramide. 4. Man löst das rechts oben angesetzte Dreieck an \(g\) und setzt seine Grundkante \(g\) an die noch freie rechte Kante des Quadrats. Dann liegen alle vier Dreiecksgrundkanten an den vier Quadratseiten.

Nein. Die markierte \(4\,\text{cm}\)-Grundkante \(g\) ist an eine \(5\,\text{cm}\)-Schenkelkante eines anderen Dreiecks gesetzt. Das Dreieck muss dort gelöst und mit \(g\) an die freie rechte Quadratseite gesetzt werden.

- Ein Halbkreis halbiert zunächst nur Bogenlänge und Vollkreisumfang des Sektorkreises. - Welche Größe des Kegels wird aus dieser Bogenlänge bestimmt? - Die Körperhöhe liegt nicht im abgewickelten Mantel; welche rechtwinklige Beziehung verbindet sie mit \(r\) und \(s\)?

1. Die Bogenlänge des Halbkreissektors ist \(b=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot13\,\text{cm}=13\pi\,\text{cm}\). 2. Aus \(2\pi r=13\pi\) folgt \(r=6{,}5\,\text{cm}\). Die erste Aussage ist richtig. 3. Die Mantellinie ist \(s=13\,\text{cm}\). Für die Körperhöhe gilt \(h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{13^2-6{,}5^2}\,\text{cm}=\frac{13\sqrt3}{2}\,\text{cm}\approx11{,}26\,\text{cm}\). 4. Die Höhe ist also nicht halb so groß wie die Mantellinie.

\(r=6{,}5\,\text{cm}\) ist richtig. Die Behauptung \(h=6{,}5\,\text{cm}\) ist falsch; richtig ist \(h=\frac{13\sqrt3}{2}\,\text{cm}\approx11{,}26\,\text{cm}\).