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- Welche Gleichung mit \(f(-x)\) kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Löse die Klammern bei den Antwortmöglichkeiten nur so weit auf, dass die vorkommenden Potenzen von \(x\) sichtbar werden. - Prüfe die Symmetrie als allgemeine algebraische Eigenschaft und nicht nur an einzelnen Zahlenwerten.

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(f(-x)=-f(x)\) gelten. 2. Bei a) ist \(f(x)=4x-x^3\). Es kommen nur ungerade Potenzen vor, also gilt \(f(-x)=-f(x)\). 3. Bei b) ist \(f(x)=4x-x^2\); gerade und ungerade Potenzen sind gemischt. 4. Bei c) ist \(f(x)=16-x^2\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Bei d) ist \(f(x)=16x-8x^2+x^3\); auch hier sind gerade und ungerade Potenzen gemischt.

a) \(y=x(4-x^2)\).

- Vergleiche Punkte des Graphen mit entgegengesetzten \(x\)-Koordinaten. - Setze für den Beweis überall \(-x\) anstelle von \(x\) ein und vereinfache. - Welche Potenzen verändern ihr Vorzeichen beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\), welche nicht?

1. Die linke und die rechte Graphhälfte erscheinen als Spiegelbilder an der \(y\)-Achse. Daher liegt die Vermutung einer Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse nahe. 2. Es ist \(h(-x)=0{,}1(-x)^4-1{,}6(-x)^2=0{,}1x^4-1{,}6x^2=h(x)\). Damit ist die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bewiesen. 3. Im Term kommen nur gerade Potenzen von \(x\) vor. Beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) bleiben diese Potenzen unverändert; deshalb gilt allgemein \(h(-x)=h(x)\).

a) Vermutung: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(h(-x)=h(x)\), also ist die Symmetrie bewiesen. c) Der Funktionsterm enthält nur gerade Potenzen von \(x\).

- Überlege dir, welche Arten von Exponenten (gerade oder ungerade) für die jeweilige Symmetrieform bei ganzrationalen Funktionen erlaubt sind. - Was bedeutet eine Konstante \(c\) für die Symmetrie? Man kann sie sich als \(c \cdot x^0\) vorstellen. - Prüfe, ob bei der Punktsymmetrie zum Ursprung eine Verschiebung in \(y\)-Richtung erlaubt ist.

1. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse müssen alle Exponenten der Funktionsvariable \(x\) gerade sein. Die Konstante \(c\) entspricht dem Term \(c \cdot x^0\) und gilt daher als gerader Exponent. Mögliche Beispiele sind \(n=2, m=4, c=3\) oder \(n=6, m=2, c=0\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung müssen alle Exponenten der Funktionsvariable \(x\) ungerade sein. Zudem darf kein konstanter Term vorhanden sein, es muss also \(c=0\) gelten. Mögliche Beispiele sind \(n=1, m=3, c=0\) oder \(n=5, m=1, c=0\).

Mögliche Beispiele: a) \(n=2, m=4, c=1\) und \(n=4, m=6, c=0\). (Allgemein: \(n, m \in \{2, 4, 6\}\) und \(c \in \mathbb{R}\)) b) \(n=1, m=3, c=0\) und \(n=3, m=5, c=0\). (Allgemein: \(n, m \in \{1, 3, 5\}\) und \(c=0\))

- Überlege dir, welche Art von Exponenten bei ganzrationalen Funktionen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sorgen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei einer Funktion? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von \(a\) auf den Graphen, wenn der Exponent gerade ist?

1. Damit der Graph einer Potenzfunktion der Form \(f(x) = ax^n + c\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, muss der Exponent \(n\) eine gerade natürliche Zahl ungleich Null sein (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0)\). Es gilt \(f(0) = a \cdot 0^n + c = c\). Da der Schnittpunkt bei \(y = 4\) liegen soll, folgt \(c = 4\). 3. Für das Grenzverhalten \(f(x) \to -\infty\) bei \(x \to \infty\) ist das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidend. Da \(n\) eine positive gerade Zahl ist, strebt \(x^n\) gegen \(+\infty\). Damit das Produkt \(ax^n\) gegen \(-\infty\) strebt, muss \(a < 0\) gelten.

\(n\) muss eine gerade natürliche Zahl (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)) sein, \(c = 4\) und \(a < 0\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Setze systematisch \(-x\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Term. - Vergleiche dein Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion \(f(x)\).

1. Zur Überprüfung der Symmetrie wird \(f(-x)\) gebildet und mit \(f(x)\) verglichen. 2. Einsetzen von \(-x\) in den Funktionsterm: \(f(-x) = 3(-x)^6 - 4(-x)^2 + 7\). 3. Da die Exponenten \(6\) und \(2\) gerade sind, gilt \((-x)^6 = x^6\) und \((-x)^2 = x^2\). Die Konstante \(7\) (entspricht \(7x^0\)) bleibt unverändert. 4. Vereinfachung ergibt: \(f(-x) = 3x^6 - 4x^2 + 7\). 5. Vergleich: Da \(f(-x) = f(x)\) erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da die Bedingung \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\) erfüllt ist.

- Welche quadratische Ergänzung macht aus \(x^2+6x\) ein vollständiges Quadrat? - Welche Information über den Graphen lässt sich direkt aus \((x+d)^2+e\) ablesen? - Für die rechnerische Bestätigung vergleichst du Funktionswerte mit gleichem Abstand links und rechts der Achse.

1. Quadratische Ergänzung liefert \(f(x)=x^2+6x+9-4=(x+3)^2-4\). 2. Aus der Scheitelpunktform folgt der Scheitelpunkt \(S(-3\mid-4)\) und damit die Symmetrieachse \(x=-3\). 3. Es ist \(f(-3+h)=h^2-4\) und \(f(-3-h)=(-h)^2-4=h^2-4\). 4. Somit gilt \(f(-3+h)=f(-3-h)\) für alle \(h\), was die Achsensymmetrie bestätigt.

a) \(f(x)=(x+3)^2-4\). b) Symmetrieachse: \(x=-3\). c) \(f(-3+h)=f(-3-h)=h^2-4\).

- Setze für jedes \(x\) im Funktionsterm \((-x)\) ein und achte auf die Klammern. - Vereinfache die Terme Schritt für Schritt. - Vergleiche dein Ergebnis für \(f(-x)\) direkt mit dem ursprünglichen Term \(f(x)\). - Wenn das Ergebnis nicht \(f(x)\) ist, versuche ein Minuszeichen vor den gesamten Term zu setzen (auszuklammern), um auf Punktsymmetrie zu prüfen.

1. Nachweis für \( p(x) \): Es wird \( p(-x) \) gebildet: \( p(-x) = 3(-x)^5 - 2(-x)^3 + (-x) = -3x^5 + 2x^3 - x \). Ausklammern von \(-1\) ergibt \( -(3x^5 - 2x^3 + x) \), was exakt \( -p(x) \) entspricht. Somit ist \( p \) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nachweis für \( q(x) \): Es wird \( q(-x) \) gebildet: \( q(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = x^4 - 2x^2 + 5 \). Dies entspricht exakt \( q(x) \). Somit ist \( q \) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktion \( p \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \( p(-x) = -p(x) \). Die Funktion \( q \) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( q(-x) = q(x) \).

- Schau dir die Exponenten der Funktionen genau an. Was verraten sie über die Symmetrie? - Überlege, wie sich die Vorzeichen der Funktionswerte ändern, wenn man das Vorzeichen von \(x\) umkehrt. - Welche Eigenschaft hat eine Funktion, bei der \(f(x) = f(-x)\) gilt? - Welche Eigenschaft hat eine Funktion, bei der \(f(-x) = -f(x)\) gilt?

1. Da \(f(x) = x^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt \(f(-x) = f(x)\). Somit ist \(f(-0{,}8) = f(0{,}8) = 0{,}4096\) und \(f(-1{,}5) = f(1{,}5) = 5{,}0625\). 2. Da \(g(x) = x^7\) einen ungeraden Exponenten besitzt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt \(g(-x) = -g(x)\). 3. Aus \(g(x) = -0{,}0279936\) folgt wegen der Punktsymmetrie \(x = -0{,}6\). 4. Aus \(g(x) = -3{,}5831808\) folgt wegen der Punktsymmetrie \(x = -1{,}2\).

a) Die fehlenden Werte sind \(0{,}4096\) und \(5{,}0625\). b) Die fehlenden \(x\)-Werte sind \(-0{,}6\) und \(-1{,}2\).

- Erinnere dich daran, welche Exponenten im Funktionsterm auf eine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse hindeuten. - Wann ist ein Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung? Schau dir die Exponenten genau an. - Prüfe, ob ein Graph bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse oder am Ursprung wieder auf sich selbst abgebildet wird.

1. Graph \(A\) gehört zu \(f(x)\). Der Funktionsterm enthält nur gerade Exponenten (\(4\), \(2\) und \(0\) beim konstanten Glied), weshalb der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. 2. Graph \(B\) gehört zu \(g(x)\). Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)), weshalb der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. 3. Graph \(C\) gehört zu \(h(x)\). Der Funktionsterm enthält sowohl gerade (\(2\), \(0\)) als auch ungerade (\(3\)) Exponenten, weshalb keine der beiden einfachen Symmetrien vorliegt.

Graph \(A\) gehört zu \(f(x)\), Graph \(B\) gehört zu \(g(x)\) und Graph \(C\) gehört zu \(h(x)\).

- Berechne für beide Beispielterme jeweils den vollständigen Ausdruck bei \(-x\). - Vergleiche diesen Ausdruck einmal mit \(f(x)\) und einmal mit \(-f(x)\). - Formuliere die Symmetrieregel anschließend als Gleichung, die für alle \(x\) gelten muss.

1. Für \(p\) gilt \(p(-x)=x^4-x\). Das ist im Allgemeinen weder \(p(x)=x^4+x\) noch \(-p(x)=-x^4-x\). Obwohl \(p\) geraden Grad hat, ist ihr Graph nicht automatisch achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für \(q\) gilt \(q(-x)=-x^3+x^2\). Das ist im Allgemeinen weder \(q(x)=x^3+x^2\) noch \(-q(x)=-x^3-x^2\). Obwohl \(q\) ungeraden Grad hat, ist ihr Graph nicht automatisch punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Korrekt ist: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse liegt genau dann vor, wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle \(x\) gilt. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt genau dann vor, wenn \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\) gilt.

Beide Behauptungen sind falsch. Entscheidend ist nicht die Parität des Grades allein, sondern die allgemeinen Bedingungen \(f(-x)=f(x)\) bzw. \(f(-x)=-f(x)\).

- Was weißt du über die Exponenten einer ganzrationalen Funktion, deren Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Welcher Teil des Funktionsterms muss verschwinden, damit diese Bedingung erfüllt ist? - Wie kannst du den Term \(f(-x)\) vereinfachen, wenn du negative Werte in gerade Potenzen einsetzt?

1. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürfen bei ganzrationalen Funktionen nur gerade Exponenten auftreten. Der Koeffizient des Terms mit ungeradem Exponenten (\(x^3\)) muss daher null sein: \(a + 3 = 0 \implies a = -3\). 2. Einsetzen von \(a = -3\) ergibt \(f(x) = 2x^4 - 5x^2\). 3. Rechnerische Überprüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\): \(f(-x) = 2(-x)^4 - 5(-x)^2 = 2x^4 - 5x^2\). 4. Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Graph für \(a = -3\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

\(a = -3\)

- Welche Bedingung muss für \(g(-x)\) gelten, damit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt? - Was passiert mit dem Vorzeichen der einzelnen Glieder, wenn du \(-x\) für \(x\) einsetzt? - Hat die additive Konstante \(5\) Auswirkungen darauf, ob \(h(-x)\) das exakte Negative von \(h(x)\) ist?

1. Nachweis der Punktsymmetrie für \(g\): \(g(-x) = \frac{1}{2}(-x)^5 - 4(-x)^3 + (-x) = -\frac{1}{2}x^5 + 4x^3 - x\). Durch Ausklammern von \(-1\) erhält man \(-(\frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x) = -g(x)\). Die Bedingung \(g(-x) = -g(x)\) ist erfüllt. 2. Untersuchung von \(h(x) = \frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x + 5\): Es gilt \(h(-x) = -g(x) + 5\). 3. Vergleich mit \(-h(x)\): \(-h(x) = -(\frac{1}{2}x^5 - 4x^3 + x + 5) = -g(x) - 5\). 4. Da \(h(-x) \neq -h(x)\) (und auch \(h(-x) \neq h(x)\)), ist die Punktsymmetrie durch das Hinzufügen der Konstanten \(5\) (entspricht \(5x^0\), einem geraden Exponenten) verloren gegangen.

1. Ja, \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). 2. Nein, \(h\) ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(h(-x) = -g(x) + 5 \neq -h(x)\).

- Erinnere dich an die Regel für die Exponenten bei Punktsymmetrie zum Ursprung. - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Du kannst ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten durch das Einsetzungs- oder Additionsverfahren lösen.

1. Punktsymmetrie zum Ursprung liegt bei ganzrationalen Funktionen genau dann vor, wenn nur ungerade Exponenten von \(x\) vorkommen. In der Gleichung \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx^1 + dx^0\) sind die Exponenten \(2\) und \(0\) gerade. Daher müssen deren Koeffizienten Null sein: \(b = 0\) und \(d = 0\). 2. Die verbleibende Funktionsgleichung lautet \(f(x) = ax^3 + cx\). Durch Einsetzen der Punkte \(P(1|5)\) und \(Q(2|22)\) entsteht ein lineares Gleichungssystem: I) \(a \cdot 1^3 + c \cdot 1 = 5 \implies a + c = 5\) II) \(a \cdot 2^3 + c \cdot 2 = 22 \implies 8a + 2c = 22\) 3. Division von Gleichung II durch 2 ergibt \(4a + c = 11\). 4. Subtraktion von Gleichung I von der vereinfachten Gleichung II: \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \implies 3a = 6 \implies a = 2\). 5. Einsetzen von \(a = 2\) in Gleichung I: \(2 + c = 5 \implies c = 3\).

a) \(b = 0\) und \(d = 0\), da für Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten auftreten dürfen. b) \(a = 2\) und \(c = 3\).

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten des Graphen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Vergleiche den Grad der Funktion \(g\) mit den möglichen Graden der Funktion \(f\). Was passiert, wenn \(n\) größer als 3 ist? - Überlege dir, wie man die Terme zusammenfassen kann, wenn \(n\) genau 3 ist.

1. Damit der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dürfen in der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten auftreten. Da der Exponent \(3\) bereits ungerade ist, muss auch \(n\) eine ungerade natürliche Zahl sein (\(n \in \{1, 3, 5, \dots\}\)). 2. Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Glied mit der höchsten Potenz bestimmt. Da das Leitglied von \(f\) gleich \(-4x^3\) sein soll, muss auch der dominierende Term von \(f\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(-4\) besitzen. 3. Fall \(n = 1\): Die Funktion lautet \(f(x) = cx^3 + 2x\). Der Term \(cx^3\) dominiert das Globalverhalten. Damit dieser sich wie \(-4x^3\) verhält, muss \(c = -4\) gelten. 4. Fall \(n = 3\): Die Funktion lautet \(f(x) = 2x^3 + cx^3 = (2+c)x^3\). Damit dies identisch zu \(-4x^3\) ist, muss \(2+c = -4\) gelten, woraus \(c = -6\) folgt. 5. Fall \(n > 3\): Für ungerade \(n \ge 5\) würde der Term \(2x^n\) das Globalverhalten dominieren. Da der Grad \(n\) größer als \(3\) ist, kann sich die Funktion nicht wie \(-4x^3\) verhalten. 6. Mögliche Wertepaare sind somit \(n = 1, c = -4\) und \(n = 3, c = -6\).

Mögliche Kombinationen sind \(n = 1\) mit \(c = -4\) sowie \(n = 3\) mit \(c = -6\).

- Erinnere dich an die Regel für die Exponenten bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. - Welches Glied der Summe „gewinnt“ den Vergleich für extrem große \(x\)-Werte? - Unterscheide verschiedene Fälle für den Exponenten \(m\): Was passiert, wenn \(m\) kleiner als, gleich oder größer als 4 ist? - Beachte, dass auch \(0\) eine gerade Zahl ist und als Exponent vorkommen kann (Konstante).

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürfen nur gerade Exponenten in der Funktionsgleichung vorkommen. Da \(4\) gerade ist, muss auch \(m\) eine gerade nichtnegative ganze Zahl sein (\(m \in \{0, 2, 4, 6, \dots\}\)). 2. Das Leitglied von \(h\) soll \(5x^4\) sein. 3. Fall \(m < 4\): Die Terme mit kleinerem Exponenten (\(m=0\) oder \(m=2\)) beeinflussen das Leitglied nicht. Der dominierende Term ist \(ax^4\). Damit das Leitglied \(5x^4\) ist, muss \(a = 5\) sein. 4. Fall \(m = 4\): Die Funktion lautet \(h(x) = ax^4 + 5x^4 = (a+5)x^4\). Für das gewünschte Leitglied muss der Koeffizient \(a+5 = 5\) sein, woraus \(a = 0\) folgt. 5. Fall \(m > 4\): Für gerade \(m \ge 6\) würde der Term \(5x^m\) das Globalverhalten dominieren. Da der Grad \(m\) größer als \(4\) ist, ist das Leitglied nicht \(5x^4\). 6. Die möglichen Lösungen sind: \(a = 5\) mit \(m = 0\); \(a = 5\) mit \(m = 2\); \(a = 0\) mit \(m = 4\).

Die möglichen Lösungen sind: 1. \(a = 5\) und \(m = 0\) 2. \(a = 5\) und \(m = 2\) 3. \(a = 0\) und \(m = 4\)

- Berechne für a) den vollständigen Ausdruck \(p(-x)\) und vergleiche ihn mit \(-p(x)\). - Bei b) liegt das vermutete Symmetriezentrum nicht im Ursprung; vergleiche deshalb die Funktionswerte relativ zur Höhe \(y=3\). - Formuliere die Bedingung so, dass die Abstände der Werte \(q(x)\) und \(q(-x)\) von \(3\) entgegengesetzt sind.

1. Es gilt \(p(-x)=\frac{1}{4}(-x)^5-2(-x)^3=-\frac{1}{4}x^5+2x^3=-p(x)\). Damit ist der Graph von \(p\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für die verschobene Funktion gilt \(q(x)-3=p(x)\). 3. Außerdem ist \(q(-x)-3=p(-x)=-p(x)=-(q(x)-3)\). 4. Damit liegen die Funktionswerte bei \(x\) und \(-x\) jeweils gleich weit oberhalb beziehungsweise unterhalb von \(y=3\). Der Graph von \(q\) ist daher punktsymmetrisch zu \(P(0\mid3)\).

a) \(p(-x)=-p(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(q(-x)-3=-(q(x)-3)\); der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(0\mid3)\).

- Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung mathematisch für den Funktionswert von \(-x\)? - Setze \(-x\) in die neuen Funktionsgleichungen ein und vereinfache den Term so weit wie möglich. - Vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktionsgleichung der jeweiligen Funktion. - Welche Rechenregel gilt für das Quadrat einer negativen Zahl oder eines negativen Terms?

Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(f(-x) = -f(x)\). 1. Für \(g(x)\): \(g(-x) = (-x) \cdot f(-x) = (-x) \cdot (-f(x)) = x \cdot f(x) = g(x)\). Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für \(h(x)\): \(h(-x) = (f(-x))^2 = (-f(x))^2 = (f(x))^2 = h(x)\). Der Graph von \(h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Für \(k(x)\): \(k(-x) = \frac{1}{2} \cdot f(-x) = \frac{1}{2} \cdot (-f(x)) = -(\frac{1}{2} \cdot f(x)) = -k(x)\). Der Graph von \(k\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Punktsymmetrie zum Ursprung

- Nutze die Definitionen \(f(-x) = f(x)\) für Achsensymmetrie und \(f(-x) = -f(x)\) für Punktsymmetrie. - Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und vereinfache den Term. - Überlege bei konstanten Funktionen, ob sich der Funktionswert ändert, wenn du das Vorzeichen des Eingabewerts wechselst. - Untersuche bei der Zahl Null, ob sie sich von ihrem negativen Wert unterscheidet.

1. Für \(g(x) = x \cdot f(x)\) wird die Bedingung für Punktsymmetrie geprüft: \(g(-x) = (-x) \cdot f(-x)\). Da \(f\) achsensymmetrisch ist, gilt \(f(-x) = f(x)\). Einsetzen ergibt \(g(-x) = -x \cdot f(x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für die konstante Funktion \(h(x) = 5\) gilt \(h(-x) = 5\). Da \(h(-x) = h(x)\), ist \(h\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wegen \(h(-x) = 5 \neq -5 = -h(x)\) liegt keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. 3. Für die Nullfunktion \(k(x) = 0\) gilt \(k(-x) = 0\). Da \(k(-x) = k(x)\) erfüllt ist (\(0 = 0\)), ist \(k\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da auch \(k(-x) = -k(x)\) erfüllt ist (\(0 = -0\)), ist \(k\) zusätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Der Graph von \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Die Funktion \(h(x) = 5\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, aber nicht punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion \(k(x) = 0\) ist sowohl achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse als auch punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Verwende die algebraischen Bedingungen für Symmetrie und setze \(-x\) in die Funktionen ein. - Klammere bei der Untersuchung der Summe ein Minuszeichen aus, um die ursprüngliche Struktur zu erkennen. - Beachte, wie sich eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Funktionsgleichung auswirkt. - Vergleiche am Ende das Ergebnis von \(h(-x)\) direkt mit dem Term von \(-h(x)\).

1. Da \(p\) und \(q\) punktsymmetrisch sind, gilt \(p(-x) = -p(x)\) und \(q(-x) = -q(x)\). Für die Summenfunktion gilt: \(s(-x) = p(-x) + q(-x) = -p(x) + (-q(x)) = -(p(x) + q(x)) = -s(x)\). Damit ist \(s\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Die verschobene Funktion lautet \(h(x) = x^3 - 4x + 3\). 3. Prüfung auf Punktsymmetrie: \(h(-x) = (-x)^3 - 4(-x) + 3 = -x^3 + 4x + 3\). 4. Vergleich mit \(-h(x) = -(x^3 - 4x + 3) = -x^3 + 4x - 3\). 5. Da \(h(-x) \neq -h(x)\) (wegen \(3 \neq -3\)), ist der Graph von \(h\) nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Durch Nachweis von \(s(-x) = -s(x)\) folgt, dass die Summe zweier punktsymmetrischer Funktionen wieder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. b) Nein, die Punktsymmetrie zum Ursprung bleibt nicht erhalten, da \(h(-x) = -x^3 + 4x + 3\) ungleich \(-h(x) = -x^3 + 4x - 3\) ist.

- Prüfe, ob der kubische Term als dritte Potenz eines Binoms geschrieben werden kann. - Vergleiche anschließend Funktionswerte in gleichem horizontalem Abstand vom Punkt mit \(x\)-Koordinate \(2\). - Für Punktsymmetrie müssen diese beiden Funktionswerte entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.

1. Der Funktionsterm lässt sich als \(g(x)=(x-2)^3\) schreiben. 2. Es gilt \(g(2+h)=h^3\). 3. Außerdem ist \(g(2-h)=(-h)^3=-h^3\). 4. Daher gilt \(g(2+h)=-g(2-h)\) für alle \(h\). Der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(2\mid0)\).

a) \(g(x)=(x-2)^3\). b) \(g(2+h)=h^3=-g(2-h)\); der Graph ist punktsymmetrisch zu \(P(2\mid0)\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm gar nicht verändert oder ob sich alle Vorzeichen umkehren, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Was bedeutet es für die Symmetrie, wenn in einem Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen? - Denk daran, dass eine konstante Zahl wie \(+3\) als \(3 \cdot x^0\) betrachtet werden kann. Ist \(0\) eine gerade oder ungerade Zahl?

1. Berechnung von \( f(-x) \): \( f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2 + 3 = 4x^6 - x^2 + 3 \). Da \( f(-x) = f(x) \) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung von \( g(-x) \): \( g(-x) = -2(-x)^3 - 5(-x) = 2x^3 + 5x \). Da \( g(-x) = -g(x) \) gilt (\( -g(x) = -(-2x^3 - 5x) = 2x^3 + 5x \)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Berechnung von \( h(-x) \): \( h(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 - x \). Es gilt weder \( h(-x) = h(x) \) noch \( h(-x) = -h(x) \), da \( -h(x) = -x^4 - x \). Somit liegt keine der untersuchten Symmetrien vor.

1. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \( f(-x) = f(x) \). 2. Punktsymmetrisch zum Ursprung, da \( g(-x) = -g(x) \). 3. Keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

- Welche Bedingung muss für die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllt sein, damit Achsensymmetrie vorliegt? - Was bedeutet das konkret für die Koeffizienten der Terme mit ungeraden Exponenten? - Untersuche, ob ein Parameterwert beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen kann. - Spielt der Koeffizient einer geraden Potenz eine Rolle für diese Symmetrieart?

1. Bei ganzrationalen Funktionen liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse genau dann vor, wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen. 2. Die Koeffizienten der ungeraden Potenzen \(x^3\) und \(x^1\) müssen daher den Wert Null annehmen. 3. Aus der Bedingung für \(x^3\) folgt: \(k - 5 = 0 \Rightarrow k = 5\). 4. Einsetzen von \(k = 5\) in den Koeffizienten von \(x^1\) ergibt: \(2 \cdot 5 - 10 = 0\). Die Bedingung ist somit für \(k = 5\) für beide Terme erfüllt. 5. Der Parameter \(m\) ist der Koeffizient von \(x^2\). Da \(x^2\) eine gerade Potenz ist, darf \(m\) jeden beliebigen reellen Wert annehmen, ohne die Symmetrie zu verletzen.

Damit der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, muss \(k = 5\) gelten. Der Parameter \(m\) kann eine beliebige reelle Zahl sein (\(m \in \mathbb{R}\)).

- Multipliziere die Klammern zuerst vollständig aus, um die einzelnen Potenzen von \(x\) zu sehen. - Welche Exponenten sind bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt? - Wie lautet die allgemeine mathematische Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung, die du für den Nachweis nutzen kannst? - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du \(-x\) in die Funktion einsetzt?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = x \cdot (x^2 - 6x + ax - 6a) = x^3 + (a-6)x^2 - 6ax\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen bei ganzrationalen Funktionen nur ungerade Exponenten auftreten. 3. Der Koeffizient des quadratischen Terms \(x^2\) muss daher Null sein: \(a - 6 = 0\), woraus \(a = 6\) folgt. 4. Ein konstanter Term tritt nicht auf; der lineare Term \(-6ax\) wird zu \(-36x\) und ist bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt. 5. Rechnerischer Nachweis für \(a = 6\): Die Funktion lautet \(g(x) = x^3 - 36x\). 6. Prüfung der Bedingung \(g(-x) = -g(x)\): \(g(-x) = (-x)^3 - 36(-x) = -x^3 + 36x\). 7. Ausklammern des Minuszeichens: \(-(x^3 - 36x) = -g(x)\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Parameter muss den Wert \(a = 6\) annehmen. b) Für \(a = 6\) gilt \(g(x) = x^3 - 36x\). Der Nachweis erfolgt über \(g(-x) = (-x)^3 - 36(-x) = -x^3 + 36x = -(x^3 - 36x) = -g(x)\).

- Welche Bedingung müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion erfüllen, damit ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Erinnere dich daran, dass „genau eine“ bedeutet, dass es weder null noch zwei oder mehr Nullstellen geben darf. - Kannst du eine Funktion finden, die durch Ausklammern von \(x\) leicht in Faktoren zerlegt werden kann? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben?

1. Ansatz einer punktsymmetrischen Funktion mit ungeraden Exponenten: \(f(x) = x^3 - x\). 2. Überprüfung der Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten (\(3\) und \(1\)) vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Berechnung der Nullstellen durch Ausklammern: \(x \cdot (x^2 - 1) = 0\). 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt \(x_1 = 0\) und \(x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 5. Da die Funktion drei Nullstellen besitzt, ist die Behauptung, es gäbe genau eine, widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 - x\). Nullstellenberechnung: \(x(x^2 - 1) = 0\) führt zu den drei Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Da die Funktion mehr als eine Nullstelle hat, ist die Behauptung widerlegt.

- Nutze einen Tabellenwert mit einer einfachen Basis, um den Exponenten eindeutig zu bestimmen. - Gleiche Werte bei \(x\) und \(-x\) können eine Vermutung zur Symmetrie liefern, sind aber noch kein allgemeiner Beweis. - Setze für den Beweis \(-x\) in den nun bekannten Funktionsterm ein. - Erst danach kannst du die Symmetrie sicher zum Ergänzen der Tabelle nutzen.

1. Aus dem Tabellenwert \(h(2)=1024\) folgt \(2^n=1024\). Da \(1024=2^{10}\), ist \(n=10\). 2. Die gleichen Tabellenwerte bei \(x=0{,}5\) und \(x=-0{,}5\) legen Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse nahe. 3. Der Beweis erfolgt allgemein: \(h(-x)=(-x)^{10}=x^{10}=h(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Aus der Symmetrie folgt \(h(-2)=h(2)=1024\). 5. Da in der freien \(x\)-Zelle ein positiver Wert verlangt ist und \(3^{10}=59\,049\) gilt, muss dort \(3\) stehen. 6. Schließlich ist \(h(-3)=h(3)=59\,049\).

a) \(n=10\). b) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, denn \(h(-x)=h(x)\) für alle \(x\). c) Fehlende Einträge von oben nach unten: \(1024\), \(3\), \(59\,049\).

- Welche Bedingungen stellt Punktsymmetrie zum Ursprung an den konstanten Term und die Parität des Exponenten? - Welches Vorzeichen muss der Leitkoeffizient haben, damit die Funktionswerte für große positive \(x\) negativ werden? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem du die Form des Terms durch die Symmetrie eingeschränkt hast.

1. Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt \(c=0\) und ein ungerader Exponent \(n\). 2. Aus \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) folgt bei ungeradem \(n\), dass \(a<0\) sein muss. 3. Wegen \(P(1\mid-2)\) gilt \(a\cdot1^n=-2\), also \(a=-2\). 4. Die kleinstmögliche ungerade natürliche Zahl ist \(n=1\). 5. Damit gilt \(a=-2\), \(n=1\) und \(c=0\), also \(f(x)=-2x\).

\(a=-2\), \(n=1\), \(c=0\).

- Nutze das Ausklammern von Potenzen von \(x\), um die Nullstellen leichter zu finden. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer ganzrationalen Funktion und der Symmetrie des Graphen. - Eine Nullstelle ist doppelt, wenn der zugehörige Faktor im Quadrat vorkommt.

1. Nullstellenberechnung: Ausklammern führt auf \(g_n(x) = \frac{1}{10}x^{n-2}(x^2 - 16) = \frac{1}{10}x^{n-2}(x - 4)(x + 4)\). 2. Für \(n = 3\): Nullstellen bei \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_{2,3} = \pm 4\) (einfach). Da alle Exponenten ungerade sind (\(x^3\), \(x\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(n = 4\): Nullstelle bei \(x_1 = 0\) (doppelt), \(x_{2,3} = \pm 4\) (einfach). Da alle Exponenten gerade sind (\(x^4\), \(x^2\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. 4. Für \(n = 5\): \(g_5(x) = \frac{1}{10}(x^5 - 16x^3)\). Da nur ungerade Exponenten auftreten, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(g_3\) hat einfache Nullstellen bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 4\); \(g_4\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) und einfache Nullstellen bei \(x = -4\) und \(x = 4\). b) Der Graph von \(g_3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung; der Graph von \(g_4\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. c) Da in \(g_5(x) = \frac{1}{10}(x^5 - 16x^3)\) nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Prüfe die Symmetrie von \(g\) algebraisch über \(g(-x)\). - Ein Vergleich bei \(x=0\) liefert einen exakt bestimmbaren Achsenschnittpunkt. - Suche als dritten Widerspruch einen weiteren kleinen ganzzahligen \(x\)-Wert, bei dem sich \(g(x)\) leicht berechnen lässt.

1. Die Funktion \(g\) enthält nur gerade Exponenten und erfüllt \(g(-x)=g(x)\). Ihr Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der abgebildete Graph besitzt diese Symmetrie nicht. 2. Es gilt \(g(0)=3\). Der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\). 3. Außerdem ist \(g(1)=1-4+3=0\). Der Graph von \(g\) müsste also durch \((1\mid0)\) verlaufen; der abgebildete Graph liegt dort oberhalb der \(x\)-Achse.

Der dargestellte Graph hat die falsche Symmetrie, den falschen \(y\)-Achsenabschnitt und bei \(x=1\) den falschen Funktionswert.

- Überprüfe, ob die Funktion nur gerade oder nur ungerade Exponenten hat. Was sagt das über die Symmetrie aus? - Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\). - Unterscheide zwischen Funktionen 2., 3. und 4. Grades anhand ihrer Form sowie der möglichen Anzahl an Extremstellen und Nullstellen.

1. Symmetrieanalyse: - \(g_1\) und \(g_4\) enthalten nur gerade Exponenten, sind also achsensymmetrisch zur y-Achse. - \(g_2\) und \(g_3\) enthalten nur ungerade Exponenten, sind also punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Globalverhalten und Grad: - \(g_1\) ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch. Dies entspricht Graph \(A\). - \(g_4\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Dies entspricht Graph \(D\). - \(g_2\) hat einen positiven Leitkoeffizienten (\(x \to \infty \implies y \to \infty\)). Dies entspricht Graph \(C\). - \(g_3\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(x \to \infty \implies y \to -\infty\)). Dies entspricht Graph \(B\).

Graph A gehört zu \(g_1(x)\), Graph B zu \(g_3(x)\), Graph C zu \(g_2(x)\) und Graph D zu \(g_4(x)\).

- Welche Gleichung muss für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für alle \(x\) gelten? - Setze \(-x\) in den vollständigen Funktionsterm ein, ohne einzelne Zahlenwerte auszuwählen. - Überlege anschließend, warum gerade die getesteten Werte \(1\) und \(2\) besonders sind.

1. Gleiche Funktionswerte an endlich vielen Wertepaaren beweisen keine Symmetrie für alle reellen \(x\). 2. Für die allgemeine Prüfung gilt \(f(-x)=x^2-x(x^2-1)(x^2-4)\). 3. Dieser Term ist im Allgemeinen nicht gleich \(f(x)=x^2+x(x^2-1)(x^2-4)\). Daher ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Die von Mina getesteten Werte sind Sonderfälle, weil bei \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\) der zusätzliche Faktor \((x^2-1)(x^2-4)\) null wird.

Minas Prüfung an vier Punkten ist kein allgemeiner Beweis. Da \(f(-x)\neq f(x)\) im Allgemeinen gilt, ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Exponenten in der Gleichung sind gerade, welche sind ungerade? - Schau dir die Koeffizienten vor den Potenzen an. Welche davon kannst du durch die Wahl von \(a, b\) oder \(c\) beeinflussen und welche sind fest vorgegeben? - Damit eine Symmetrieform vorliegt, müssen die „falschen“ Exponenten verschwinden. Wie erreichst du, dass ein Term verschwindet?

1. Für Punktsymmetrie zum Ursprung dürfen nur ungerade Exponenten mit Koeffizienten ungleich Null auftreten. Die Koeffizienten der geraden Exponenten (\(x^4, x^2, x^0\)) müssen also Null sein. 2. Daraus ergeben sich die Bedingungen: \(a-1 = 0 \Rightarrow a=1\); \(b+3 = 0 \Rightarrow b=-3\); \(c = 0\). Die resultierende Funktion lautet \(g(x) = 2x^3\). 3. Für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse dürften nur gerade Exponenten auftreten. In der Funktionsgleichung kommt jedoch der Term \(2x^3\) vor. 4. Da der Koeffizient von \(x^3\) fest auf \(2\) eingestellt ist und nicht durch einen Parameter verändert werden kann, bleibt immer ein ungerader Exponent mit einem Koeffizienten ungleich Null bestehen. Somit ist Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für keine Parameterwahl möglich.

a) \(a=1\), \(b=-3\) und \(c=0\). b) Der Term \(2x^3\) hat einen ungeraden Exponenten. Da sein Koeffizient \(2\) fest vorgegeben ist, kann dieser Term nicht verschwinden. Eine Funktion mit einem ungeraden Exponenten (dessen Koeffizient nicht Null ist) kann nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.

- Nutze in a) und b) konsequent die gegebene Beziehung \(f(-x)=f(x)\). - Bei einer verschobenen Symmetrieachse hilft es, Punkte mit gleichem Abstand links und rechts von der vermuteten Achse zu vergleichen. - Formuliere Teil c) mit einer Hilfsvariablen \(t\), die diesen Abstand von der Symmetrieachse beschreibt.

1. Für \(p\) gilt \(p(-x)=(-x)f(-x)=-x f(x)=-p(x)\). Daher ist der Graph von \(p\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Für \(q\) gilt \(q(-x)=f(-x)+(-x)^2=f(x)+x^2=q(x)\). Daher ist der Graph von \(q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Für \(r\) wird die Symmetrie zur Geraden \(x=-1\) geprüft. Für jedes \(t\) gilt \(r(-1+t)=f(t)\) und \(r(-1-t)=f(-t)=f(t)\). 4. Somit gilt \(r(-1+t)=r(-1-t)\) für alle \(t\). Der Graph von \(r\) ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=-1\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Achsensymmetrisch zur Geraden \(x=-1\).