- Vergleiche den schiefen Körper mit einem geraden Prisma gleicher Grundfläche und Körperhöhe. - Welche Querschnittsflächen entstehen in jeweils gleicher Höhe? - Prüfe, welche Länge tatsächlich senkrecht zwischen den Grundflächen gemessen wird.

1. In jeder Höhe haben beide Prismen gleich große Querschnitte. Daher besitzen sie dasselbe Volumen. 2. Es gilt \(V=Gh=36\,\text{cm}^2\cdot14\,\text{cm}=504\,\text{cm}^3\). Die Länge der Seitenkanten wird nicht benötigt.

Das Volumen beträgt \(504\,\text{cm}^3\). Die Seitenkantenlänge \(17\,\text{cm}\) ist nicht erforderlich.

- Welche Größe ist als Flächeninhalt der Stirnfläche gegeben? - Welche Länge ist die Körperhöhe des Prismas? - Prüfe die Einheit des Fassungsvermögens.

1. Für das Prisma gilt \(V=Gh\). Entscheidend ist die Körperhöhe, also der senkrechte Abstand der parallelen Stirnflächen. 2. Damit ist \(V=1{,}8\,\text{m}^2\cdot6\,\text{m}=10{,}8\,\text{m}^3\).

Das Fassungsvermögen beträgt \(10{,}8\,\text{m}^3\).

- Lies Radius und senkrechte Höhe aus der Abbildung ab. - Welche Volumenformel gehört zum Zylinder? - Achte darauf, dass ein Volumen in Kubikeinheiten angegeben wird.

1. Für einen Zylinder gilt \(V=\pi r^2h\). 2. Mit \(r=2\,\text{cm}\) und \(h=5\,\text{cm}\) ergibt sich \(V=\pi\cdot 2^2\cdot 5=20\pi\,\text{cm}^3\).

\(20\pi\,\text{cm}^3\)

- Stelle dir den abgewickelten Mantel des Prismas als Rechteck vor. - Welche beiden Längen bestimmen dieses Rechteck? - Gesucht ist nur die Mantelfläche, nicht die gesamte Oberfläche.

1. Beim geraden Prisma gilt für die Mantelfläche \(M=U_Gh\). 2. Daher ist \(M=14\cdot 6=84\,\text{cm}^2\).

\(84\,\text{cm}^2\)

- Welche Maßangabe steht senkrecht auf der jeweiligen Grundfläche? - Welche ebene Figur bildet beim Prisma die Grundfläche? - Welche Kreisgröße ist beim Zylinder angegeben?

1. Bei beiden Körpern ist die senkrechte Ausdehnung von \(8\,\text{cm}\) die Körperhöhe \(h\). 2. Beim Prisma ist die Grundfläche ein Rechteck mit \(5\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). Daher ist \(G=5\cdot3=15\,\text{cm}^2\). 3. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis mit \(r=2\,\text{cm}\). Daher ist \(G=\pi r^2=4\pi\,\text{cm}^2\).

a) Bei beiden Körpern ist \(h=8\,\text{cm}\). b) Prisma: Rechteck, \(G=15\,\text{cm}^2\). Zylinder: Kreis, \(G=4\pi\,\text{cm}^2\).

- Welche Seite bleibt bei der Drehung fest? - Welche Länge beschreibt den Abstand von der Drehachse? - Welche bekannte Körperform entsteht durch die vollständige Drehung eines Rechtecks um eine Seite?

1. Beim Drehen eines Rechtecks um eine seiner Seiten entsteht ein gerader Kreiszylinder. 2. Die Drehachse \(AD\) wird zur Körperhöhe, also \(h=7\,\text{cm}\). 3. Der Abstand der gegenüberliegenden Seite von der Achse ist \(AB=3\,\text{cm}\). Daher ist \(r=3\,\text{cm}\).

a) Ein gerader Kreiszylinder. b) \(r=3\,\text{cm}\), \(h=7\,\text{cm}\)

- Welche geometrische Größe des Prismas bleibt beim Füllen immer gleich? - Was kommt bei jedem zusätzlichen Zentimeter Füllhöhe dazu? - Nutze denselben Zusammenhang für alle Tabellenwerte.

1. Bei einem geraden Prisma bleibt die Grundfläche beim Füllen gleich groß. Das Wasservolumen ist daher Grundflächeninhalt mal Füllhöhe. 2. Für \(h=2\,\text{cm}\) erhält man \(480\,\text{cm}^3\), für \(h=5\,\text{cm}\) \(1200\,\text{cm}^3\) und für \(h=8\,\text{cm}\) \(1920\,\text{cm}^3\). 3. Eine zusätzliche \(1\,\text{cm}\) hohe Schicht hat das Volumen \(240\,\text{cm}^3\).

a) \(480\,\text{cm}^3\), \(1200\,\text{cm}^3\), \(1920\,\text{cm}^3\) b) Das Volumen nimmt um \(240\,\text{cm}^3\) zu.

- Bestimme zuerst den Radius und den Flächeninhalt des Kreisgrundes. - Wie hängt bei einem Zylinder das Volumen von der Füllhöhe ab? - Welche Füllhöhen sind zwischen leerem und vollem Gefäß möglich?

1. Der Radius beträgt \(r=6\,\text{cm}\). 2. Die Grundfläche ist \(G=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\). 3. Bei der Füllhöhe \(h\) gilt deshalb \(V(h)=Gh=36\pi h\). 4. Die Füllhöhe kann von \(0\,\text{cm}\) bis \(30\,\text{cm}\) reichen. 5. Das kleinste Volumen ist \(V(0)=0\,\text{cm}^3\). Das größte Volumen ist \(V(30)=1080\pi\,\text{cm}^3\approx3392{,}92\,\text{cm}^3\).

a) \(V(h)=36\pi h\) b) \(0\le h\le30\); kleinstes Volumen: \(0\,\text{cm}^3\); größtes Volumen: \(1080\pi\,\text{cm}^3\approx3392{,}92\,\text{cm}^3\)

- Welcher bekannte Flächeninhalt passt zum dargestellten Querschnitt? - Welche drei Maße aus der Abbildung brauchst du für die Querschnittsfläche? - Wie hängt das Volumen eines Prismas von Querschnittsfläche und Körperhöhe ab?

1. Für den trapezförmigen Querschnitt gilt \(G=\frac{18+4}{2}\cdot 5\,\text{m}^2=55\,\text{m}^2\). 2. Der Deichabschnitt ist ein Prisma mit der Körperhöhe \(h=100\,\text{m}\). Daher gilt \(V=G\cdot h=55\,\text{m}^2\cdot 100\,\text{m}=5500\,\text{m}^3\).

Für den Deichabschnitt werden \(5500\,\text{m}^3\) Erde benötigt.

- Welche beiden Maße des Zylinders kannst du der Abbildung entnehmen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Außenhaut eines Zylinders zusammen? - Wie hängen der Umfang der Grundfläche und die Höhe mit der Mantelfläche zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\) ab. 2. Die gesamte Oberfläche besteht aus zwei Kreisflächen und der Mantelfläche: \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 3. Einsetzen ergibt \(O=2\pi\cdot 4^2+2\pi\cdot 4\cdot 10\,\text{cm}^2=112\pi\,\text{cm}^2\approx 351{,}858\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet ist \(O\approx 351{,}9\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt ca. \(351{,}9\,\text{cm}^2\).

- Welche Seitenlängen der Dreiecksgrundfläche kennst du schon, und welche fehlt noch? - Für die Mantelfläche brauchst du den gesamten Umfang der Grundfläche. - Wie kannst du die fehlende Seite des rechtwinkligen Dreiecks aus den beiden Katheten bestimmen?

1. Aus der Abbildung liest man die Kathetenlängen \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) ab. 2. Die dritte Seite der rechtwinkligen Grundfläche ist \(c=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Damit beträgt der Umfang der Grundfläche \(U_G=(6+8+10)\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=U_G\cdot h=24\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\).

Die Mantelfläche des Briefbeschwerers beträgt \(288\,\text{cm}^2\).

- Welche Maße des Zylinders kannst du aus der Abbildung ablesen? - Berechne zuerst das Gesamtvolumen des Glases. - Wie bestimmst du anschließend \(80\,\%\) dieses Volumens?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=15\,\text{cm}\) ab. 2. Das Gesamtvolumen des Glases ist \(V_{\text{ges}}=\pi r^2h=\pi\cdot 5^2\cdot 15\,\text{cm}^3=375\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Mehl nimmt \(80\,\%\) davon ein: \(V_{\text{Mehl}}=0{,}80\cdot 375\pi\,\text{cm}^3=300\pi\,\text{cm}^3\approx 942{,}478\,\text{cm}^3\). 4. Gerundet ergibt sich \(V_{\text{Mehl}}\approx 942{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Mehl nimmt ein Volumen von \(942{,}5\,\text{cm}^3\) ein.

- Suche einen geraden Vergleichskörper mit denselben Querschnitten. - Achte darauf, aus dem Durchmesser zuerst den Radius zu bestimmen. - Welche der beiden Längen, Körperhöhe oder Mantellinie, ist für das Volumen maßgeblich? - Kontrolliere am Ende die Umrechnung der Volumeneinheit.

1. Der schiefe Zylinder hat in jeder Höhe dieselbe Kreisfläche wie ein gerader Zylinder mit \(r=6\,\text{cm}\) und \(h=15\,\text{cm}\). 2. Daher ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot(6\,\text{cm})^2\cdot15\,\text{cm}=540\pi\,\text{cm}^3=0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

Das Volumen beträgt \(0{,}54\pi\,\text{dm}^3\approx1{,}70\,\text{dm}^3\).

- Welche Punkte des Rechtecks bleiben beim Drehen um \(AD\) an ihrem Ort? - Welche Länge liegt auf der Drehachse, und welche Länge steht von ihr ab? - Welche ebene Bahn entsteht, wenn ein Punkt mit konstantem Abstand einmal vollständig um eine Gerade rotiert?

1. Beim Drehen um \(AD\) entsteht ein gerader Kreiszylinder. 2. Die Drehachse \(AD\) bleibt fest und bestimmt die Körperhöhe, also \(h=8\,\text{cm}\). Der Abstand der gegenüberliegenden Seite von der Achse ist \(AB=5\,\text{cm}\); daher ist \(r=5\,\text{cm}\). 3. Der Punkt \(B\) bleibt stets \(5\,\text{cm}\) von der Achse entfernt und durchläuft deshalb einen Kreis mit Radius \(5\,\text{cm}\) um \(A\).

a) Es entsteht ein gerader Kreiszylinder. b) \(h=8\,\text{cm}\) und \(r=5\,\text{cm}\). c) \(B\) durchläuft einen Kreis mit Radius \(5\,\text{cm}\) um \(A\).

- Drücke zuerst den Grundflächeninhalt in Abhängigkeit von \(x\) aus. - Welche Volumenformel gilt für ein gerades Prisma? - Prüfe, ob deine gefundene Länge zusammen mit der Körperhöhe tatsächlich das angegebene Volumen ergibt.

1. Der Grundflächeninhalt ist \(G=6x\,\text{cm}^2\). 2. Mit \(V=Gh\) gilt \(420=6x\cdot10\). 3. Daraus folgt \(60x=420\) und damit \(x=7\,\text{cm}\).

\(x=7\,\text{cm}\)

- Welche Seite bleibt bei jeder Drehung als Achse fest? - Die Achsenlänge wird zur Körperhöhe; der Abstand der gegenüberliegenden Seite von der Achse wird zum Radius. - Vergleiche die beiden Volumina erst, nachdem du Radius und Körperhöhe für beide Drehachsen neu zugeordnet hast.

1. Bei der Drehung um \(AD\) ist \(AD\) die Körperhöhe und \(AB\) der Radius: \(h_1=9\,\text{cm}\), \(r_1=4\,\text{cm}\). Daher ist \(V_1=\pi r_1^2h_1=144\pi\,\text{cm}^3\). 2. Bei der Drehung um \(AB\) ist \(h_2=4\,\text{cm}\) und \(r_2=9\,\text{cm}\). Daher ist \(V_2=324\pi\,\text{cm}^3\). 3. Es gilt \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{324}{144}=\frac94=2{,}25\). Der zweite Zylinder hat das größere Volumen.

a) \(r_1=4\,\text{cm}\), \(h_1=9\,\text{cm}\), \(V_1=144\pi\,\text{cm}^3\) b) \(r_2=9\,\text{cm}\), \(h_2=4\,\text{cm}\), \(V_2=324\pi\,\text{cm}^3\) c) Der zweite Zylinder; Faktor \(\frac94=2{,}25\).

- Welche Fläche hat das Wasser bei jeder Füllhöhe als waagerechten Querschnitt? - Wie kannst du diese feste Fläche aus dem Radius bestimmen? - Welcher Teil deines Terms ändert sich mit \(h\), welcher bleibt gleich?

1. Die Kreisgrundfläche ist \(G=\pi r^2=25\pi\,\text{cm}^2\). 2. Damit ist \(V(2)=50\pi\,\text{cm}^3\), \(V(4)=100\pi\,\text{cm}^3\) und \(V(8)=200\pi\,\text{cm}^3\). 3. Jede Füllhöhe wird mit demselben Faktor \(25\pi\) multipliziert. Daher gilt allgemein \(V(h)=25\pi h\).

a) \(V(2)=50\pi\,\text{cm}^3\), \(V(4)=100\pi\,\text{cm}^3\), \(V(8)=200\pi\,\text{cm}^3\) b) \(V(h)=25\pi h\)

- Erinnere dich an die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck. - Achte beim Rechnen auf die Einheiten: Wie viel \(\text{cm}^3\) entsprechen einem Liter? - Was bedeutet es für den Graphen oder die Formel einer Funktion, wenn sie „linear“ ist? - Überlege dir, ob sich die Querschnittsfläche des Wasserspiegels ändert, wenn das Wasser steigt.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Für ein Prisma gilt \(V = G \cdot h\). Mit der Füllhöhe \(x\) ergibt sich \(f(x) = 24x\). 3. Umrechnung des Volumens: \(0{,}36\,\text{l} = 0{,}36\,\text{dm}^3 = 360\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Füllhöhe: Setze \(f(x) = 360\) und löse nach \(x\) auf: \(24x = 360 \implies x = \frac{360}{24} = 15\). Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). 5. Begründung der Linearität: Da die Grundfläche \(G\) über die gesamte Höhe des Prismas konstant bleibt, ist das Volumen direkt proportional zur Füllhöhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = mx\) mit der konstanten Steigung \(m = G\).

a) \(f(x) = 24x\) b) Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). c) Da die Querschnittsfläche (Grundfläche) über die gesamte Höhe konstant bleibt, wächst das Volumen proportional zur Höhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = mx\).

- Welche Größe fehlt dir, um die Oberfläche direkt berechnen zu können? - Kannst du die Volumenformel nach der unbekannten Größe umstellen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Achte darauf, Zwischenergebnisse nicht zu stark zu runden.

1. Mit \(V=\pi r^2h\) gilt für die Höhe \(h=\frac{800}{\pi\cdot 4{,}5^2}\,\text{cm}\approx 12{,}575\,\text{cm}\). Für die weitere Rechnung wird der ungerundete Wert verwendet. 2. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 3. Einsetzen mit dem ungerundeten Höhenwert ergibt \(O=2\pi\cdot 4{,}5^2+2\pi\cdot 4{,}5\cdot\frac{800}{\pi\cdot 4{,}5^2}\,\text{cm}^2\approx 127{,}2345\,\text{cm}^2+355{,}5556\,\text{cm}^2\approx 482{,}7901\,\text{cm}^2\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist \(O\approx 482{,}79\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Dose beträgt ca. \(482{,}79\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst den Radius des Zylinders aus den Angaben im Text. - Wie hängen Kubikmeter und Liter zusammen? Erinnere dich an die Umrechnung über Dezimeter. - Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Flächen zur „gesamten Außenfläche“ gehören.

1. Bestimmung der Maße: Die Höhe ist \(h = 1{,}50\,\text{m}\). Der Durchmesser ist \(d = \frac{2}{3} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 1{,}00\,\text{m}\), woraus der Radius \(r = 0{,}50\,\text{m}\) folgt. 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (0{,}50\,\text{m})^2 \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 1{,}1781\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) ist, ergibt sich \(V \approx 1178{,}10\,\text{l}\). 4. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2\pi r(r + h) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot (0{,}50\,\text{m} + 1{,}50\,\text{m}) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot 2{,}00\,\text{m} = 2\pi\,\text{m}^2 \approx 6{,}283\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(1178{,}10\,\text{l}\). b) Die gesamte Außenfläche beträgt ca. \(6{,}28\,\text{m}^2\).

- Wie hängen das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines Zylinders zusammen? - Welche Formel verbindet den Radius mit dem Flächeninhalt eines Kreises? - Aus welchen Bestimmungsstücken (Radius, Höhe, Umfang) setzt sich die Mantelfläche zusammen? - Achte darauf, für Folgerechnungen nicht mit den gerundeten Werten, sondern mit den genauen Werten aus dem Taschenrechner weiterzuarbeiten.

1. Berechnung der Grundfläche über das Volumen: \(G = \frac{V}{h} = \frac{850}{12{,}5} = 68\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Radius aus der Grundfläche: \(r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{68}{\pi}} \approx 4{,}6524\dots \approx 4{,}7\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche mit dem exakten Radius: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{68}{\pi}} \cdot 12{,}5 \approx 365{,}40\dots \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\).

\(G = 68{,}0\,\text{cm}^2\); \(r \approx 4{,}7\,\text{cm}\); \(M \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Welche dieser Teilflächen kannst du direkt berechnen, wenn der Radius bekannt ist? - Wenn du die Mantelfläche kennst, wie kommst du dann zur Höhe? - Welche Größen benötigst du, um das Volumen zu berechnen?

1. Berechnung der Grundfläche: \(G = \pi r^2 = \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 55{,}4177\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Mantelfläche aus der Oberfläche: \(M = O - 2G = 540 - 2 \cdot \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 429{,}1646\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Höhe aus der Mantelfläche: \(h = \frac{M}{2\pi r} = \frac{429{,}1646\dots}{2 \cdot \pi \cdot 4{,}2} \approx 16{,}2628\dots \approx 16{,}3\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = Gh = \pi \cdot 4{,}2^2 \cdot 16{,}2628\dots \approx 901{,}2457\dots \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\).

\(h \approx 16{,}3\,\text{cm}\); \(V \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\)

- Welche der beiden Längen beschreibt den senkrechten Abstand der Grundflächen? - Welche Länge bleibt beim Vergleich mit einem geraden Zylinder für das Volumen maßgeblich? - Berechne die Abweichung erst, nachdem du das richtige Volumen bestimmt hast.

1. Tim verwendet die schräge Mantellinie statt der Körperhöhe. Der passende gerade Vergleichszylinder hat \(h=12\,\text{cm}\). 2. Richtig ist \(V=\pi\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). 3. Tims Ergebnis ist \(325\pi\,\text{cm}^3\). Die Abweichung beträgt \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\).

Das richtige Volumen beträgt \(300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). Tims Ergebnis ist um \(25\pi\,\text{cm}^3\approx78{,}54\,\text{cm}^3\) zu groß.