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- Lies Radius und senkrechte Höhe aus der Abbildung ab. - Welche Volumenformel gehört zum Zylinder? - Achte darauf, dass ein Volumen in Kubikeinheiten angegeben wird.

1. Für einen Zylinder gilt \(V=\pi r^2h\). 2. Mit \(r=2\,\text{cm}\) und \(h=5\,\text{cm}\) ergibt sich \(V=\pi\cdot 2^2\cdot 5=20\pi\,\text{cm}^3\).

\(20\pi\,\text{cm}^3\)

- Stelle dir den abgewickelten Mantel des Prismas als Rechteck vor. - Welche beiden Längen bestimmen dieses Rechteck? - Gesucht ist nur die Mantelfläche, nicht die gesamte Oberfläche.

1. Beim geraden Prisma gilt für die Mantelfläche \(M=uh\). 2. Daher ist \(M=14\cdot 6=84\,\text{cm}^2\).

\(84\,\text{cm}^2\)

- Wie berechnet man den Radius, wenn der Durchmesser gegeben ist? - Welche Formel wird zur Berechnung des Volumens eines Zylinders benötigt? - Überlege dir, welche Werte die Füllhöhe in der Realität annehmen kann (von leer bis voll). - Wie hängen der kleinste und größte mögliche Funktionswert mit der Höhe des Gefäßes zusammen?

1. Berechnung des Radius: Da der Durchmesser \(d = 12\,\text{cm}\) beträgt, ist der Radius \(r = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Das Volumen eines Zylinders berechnet sich durch \(V = G \cdot h\). Somit gilt \(V(h) = 36\pi h\). 4. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Füllhöhe \(h\) kann Werte von \(0\,\text{cm}\) (leer) bis zur Gesamthöhe von \(30\,\text{cm}\) (voll) annehmen. Somit ist \(D = [0; 30]\,\text{cm}\). 5. Bestimmung der Wertemenge: Das minimale Volumen ist \(V(0) = 0\,\text{cm}^3\). Das maximale Volumen ist \(V(30) = 36 \cdot \pi \cdot 30 = 1080\pi \approx 3392{,}92\,\text{cm}^3\). Somit ist \(W = [0; 3392{,}92]\,\text{cm}^3\).

a) \(V(h) = 36\pi h\) (oder näherungsweise \(V(h) \approx 113{,}10h\)) b) \(D = [0; 30]\,\text{cm}\); \(W = [0; 3392{,}92]\,\text{cm}^3\)

- Stell dir den Deich als ein Prisma vor, dessen Grundfläche der dargestellte Querschnitt ist. - Welche beiden parallelen Seiten und welche Höhe kannst du am Trapez ablesen? - Welche Länge des Prismas zeigt die Abbildung?

1. Aus der Abbildung liest man für das Trapez die parallelen Seiten \(18\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\) sowie die Höhe \(5\,\text{m}\) ab. Damit ist die Querschnittsfläche \(G=\frac{18+4}{2}\cdot 5\,\text{m}^2=55\,\text{m}^2\). 2. Die Länge des Deichabschnitts beträgt laut Abbildung \(100\,\text{m}\). Daher gilt \(V=G\cdot l=55\,\text{m}^2\cdot 100\,\text{m}=5500\,\text{m}^3\).

Für diesen Deichabschnitt wurden \(5500\,\text{m}^3\) Erde benötigt.

- Welche beiden Maße des Zylinders kannst du der Abbildung entnehmen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Außenhaut eines Zylinders zusammen? - Wie hängen der Umfang der Grundfläche und die Höhe mit der Mantelfläche zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\) ab. 2. Die gesamte Oberfläche besteht aus zwei Kreisflächen und der Mantelfläche: \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 3. Einsetzen ergibt \(O=2\pi\cdot 4^2+2\pi\cdot 4\cdot 10\,\text{cm}^2=112\pi\,\text{cm}^2\approx 351{,}858\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet ist \(O\approx 351{,}9\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt ca. \(351{,}9\,\text{cm}^2\).

- Welche Maße kannst du an der abgebildeten Grundfläche und an der Prismenlänge ablesen? - Für die Mantelfläche benötigst du die Längen aller drei Seiten der Grundfläche. - Welcher Satz hilft dir bei der fehlenden Seite des rechtwinkligen Dreiecks?

1. Aus der Abbildung liest man für die Katheten \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) sowie für die Prismenlänge \(12\,\text{cm}\) ab. 2. Die dritte Seite der rechtwinkligen Grundfläche ist \(c=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Damit beträgt der Umfang der Grundfläche \(U_G=(6+8+10)\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=U_G\cdot l=24\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\).

Die Mantelfläche des Briefbeschwerers beträgt \(288\,\text{cm}^2\).

- Welche Maße des Zylinders kannst du aus der Abbildung ablesen? - Berechne zuerst das Gesamtvolumen des Glases. - Wie bestimmst du anschließend \(80\,\%\) dieses Volumens?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=15\,\text{cm}\) ab. 2. Das Gesamtvolumen des Glases ist \(V_{\text{ges}}=\pi r^2h=\pi\cdot 5^2\cdot 15\,\text{cm}^3=375\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Mehl nimmt \(80\,\%\) davon ein: \(V_{\text{Mehl}}=0{,}80\cdot 375\pi\,\text{cm}^3=300\pi\,\text{cm}^3\approx 942{,}478\,\text{cm}^3\). 4. Gerundet ergibt sich \(V_{\text{Mehl}}\approx 942{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Mehl nimmt ein Volumen von \(942{,}5\,\text{cm}^3\) ein.

- Welche Punkte des Rechtecks bleiben beim Drehen um \(AD\) an ihrem Ort? - Wodurch wird der Abstand eines Punktes von der Drehachse bestimmt? - Welche ebene Bahn entsteht, wenn ein Punkt mit konstantem Abstand einmal vollständig um eine Gerade rotiert?

1. Beim Drehen um \(AD\) entsteht ein gerader Kreiszylinder. 2. Die Drehachse \(AD\) bleibt fest und bestimmt die Zylinderhöhe, also \(h=8\,\text{cm}\). Der senkrechte Abstand eines Punktes der gegenüberliegenden Seite zur Achse ist \(AB=5\,\text{cm}\); daher ist \(r=5\,\text{cm}\). 3. Der Punkt \(B\) bleibt stets \(5\,\text{cm}\) von der Achse entfernt und durchläuft deshalb einen Kreis mit Radius \(5\,\text{cm}\) um \(A\).

a) Es entsteht ein gerader Kreiszylinder. b) \(h=8\,\text{cm}\) und \(r=5\,\text{cm}\). c) \(B\) durchläuft einen Kreis mit Radius \(5\,\text{cm}\) um \(A\).

- Erinnere dich an die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck. - Achte beim Rechnen auf die Einheiten: Wie viel \(\text{cm}^3\) entsprechen einem Liter? - Was bedeutet es für den Graphen oder die Formel einer Funktion, wenn sie „linear“ ist? - Überlege dir, ob sich die Querschnittsfläche des Wasserspiegels ändert, wenn das Wasser steigt.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt \(G = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Für ein Prisma gilt \(V = G \cdot h\). Mit der Füllhöhe \(x\) ergibt sich \(f(x) = 24x\). 3. Umrechnung des Volumens: \(0{,}36\,\text{l} = 0{,}36\,\text{dm}^3 = 360\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Füllhöhe: Setze \(f(x) = 360\) und löse nach \(x\) auf: \(24x = 360 \implies x = \frac{360}{24} = 15\). Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). 5. Begründung der Linearität: Da die Grundfläche \(G\) über die gesamte Höhe des Prismas konstant bleibt, ist das Volumen direkt proportional zur Füllhöhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = mx\) mit der konstanten Steigung \(m = G\).

a) \(f(x) = 24x\) b) Die Füllhöhe beträgt \(15\,\text{cm}\). c) Da die Querschnittsfläche (Grundfläche) über die gesamte Höhe konstant bleibt, wächst das Volumen proportional zur Höhe. Die Funktionsgleichung hat die Form \(f(x) = mx\).

- Wie hängen die Kanten eines Quaders mit seiner Raumdiagonale zusammen? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die gesuchte Kantenlänge die einzige Unbekannte ist? - Welche Grundformel wird zur Volumenberechnung eines Quaders benötigt?

1. Zur Berechnung der Kantenlänge \(c\) wird der Satz des Pythagoras im Raum verwendet: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}\). 2. Einsetzen der Werte: \(c = \sqrt{17^2 - 12^2 - 9^2} = \sqrt{289 - 144 - 81} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Das Volumen berechnet sich über die Formel \(V = abc\). 4. Einsetzen der Werte: \(V = 12\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 864\,\text{cm}^3\).

a) \(c = 8\,\text{cm}\) b) \(V = 864\,\text{cm}^3\)

- Berechne zuerst, wie viel Raum der Quader einnimmt. - Wenn du das Volumen eines Würfels kennst, wie kommst du dann auf seine Seitenlänge? - Erinnere dich an die Formel für die Raumdiagonale eines Quaders und wie sie sich für einen Würfel vereinfacht. - Achte beim Vergleichen der Längen auf die geforderte Rundung am Ende.

1. Berechnung des Quadervolumens: \(V_Q = 16\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 512\,\text{cm}^3\). 2. Da der Würfel dasselbe Volumen hat (\(V_W = s^3\)), gilt \(s = \sqrt[3]{512\,\text{cm}^3} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Raumdiagonale des Quaders: \(d_Q = \sqrt{16^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 64 + 16} = \sqrt{336} \approx 18{,}33\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Raumdiagonale des Würfels: \(d_W = \sqrt{8^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{192} \approx 13{,}86\,\text{cm}\). 5. Differenz der Längen: \(\Delta d = \sqrt{336} - \sqrt{192} \approx 18{,}3303 - 13{,}8564 \approx 4{,}47\,\text{cm}\).

a) \(s = 8\,\text{cm}\) b) Raumdiagonale Quader: \(d_Q \approx 18{,}33\,\text{cm}\); Raumdiagonale Würfel: \(d_W \approx 13{,}86\,\text{cm}\). Die Diagonale des Quaders ist um ca. \(4{,}47\,\text{cm}\) länger.

- Welche Größe fehlt dir, um die Oberfläche direkt berechnen zu können? - Kannst du die Volumenformel nach der unbekannten Größe umstellen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Achte darauf, Zwischenergebnisse nicht zu stark zu runden.

1. Mit \(V=\pi r^2h\) gilt für die Höhe \(h=\frac{800}{\pi\cdot 4{,}5^2}\,\text{cm}\approx 12{,}575\,\text{cm}\). Für die weitere Rechnung wird der ungerundete Wert verwendet. 2. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 3. Einsetzen mit dem ungerundeten Höhenwert ergibt \(O=2\pi\cdot 4{,}5^2+2\pi\cdot 4{,}5\cdot\frac{800}{\pi\cdot 4{,}5^2}\,\text{cm}^2\approx 127{,}2345\,\text{cm}^2+355{,}5556\,\text{cm}^2\approx 482{,}7901\,\text{cm}^2\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist \(O\approx 482{,}79\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Dose beträgt ca. \(482{,}79\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst den Radius des Zylinders aus den Angaben im Text. - Wie hängen Kubikmeter und Liter zusammen? Erinnere dich an die Umrechnung über Dezimeter. - Welche Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders kennst du? - Überlege, welche Flächen zur „gesamten Außenfläche“ gehören.

1. Bestimmung der Maße: Die Höhe ist \(h = 1{,}50\,\text{m}\). Der Durchmesser ist \(d = \frac{2}{3} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 1{,}00\,\text{m}\), woraus der Radius \(r = 0{,}50\,\text{m}\) folgt. 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (0{,}50\,\text{m})^2 \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 1{,}1781\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) ist, ergibt sich \(V \approx 1178{,}10\,\text{l}\). 4. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2\pi r(r + h) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot (0{,}50\,\text{m} + 1{,}50\,\text{m}) = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot 2{,}00\,\text{m} = 2\pi\,\text{m}^2 \approx 6{,}283\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(1178{,}10\,\text{l}\). b) Die gesamte Außenfläche beträgt ca. \(6{,}28\,\text{m}^2\).

- Wie hängen das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines Zylinders zusammen? - Welche Formel verbindet den Radius mit dem Flächeninhalt eines Kreises? - Aus welchen Bestimmungsstücken (Radius, Höhe, Umfang) setzt sich die Mantelfläche zusammen? - Achte darauf, für Folgerechnungen nicht mit den gerundeten Werten, sondern mit den genauen Werten aus dem Taschenrechner weiterzuarbeiten.

1. Berechnung der Grundfläche über das Volumen: \(G = \frac{V}{h} = \frac{850}{12{,}5} = 68\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Radius aus der Grundfläche: \(r = \sqrt{\frac{G}{\pi}} = \sqrt{\frac{68}{\pi}} \approx 4{,}6524... \approx 4{,}7\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche mit dem exakten Radius: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{68}{\pi}} \cdot 12{,}5 \approx 365{,}40... \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\).

\(G = 68{,}0\,\text{cm}^2\); \(r \approx 4{,}7\,\text{cm}\); \(M \approx 365{,}4\,\text{cm}^2\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Zylinders zusammen? - Welche dieser Teilflächen kannst du direkt berechnen, wenn der Radius bekannt ist? - Wenn du die Mantelfläche kennst, wie kommst du dann zur Höhe? - Welche Größen benötigst du, um das Volumen zu berechnen?

1. Berechnung der Grundfläche: \(G = \pi r^2 = \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 55{,}4177\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Mantelfläche aus der Oberfläche: \(M = O - 2G = 540 - 2 \cdot \pi \cdot 4{,}2^2 \approx 429{,}1646\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Höhe aus der Mantelfläche: \(h = \frac{M}{2\pi r} = \frac{429{,}1646...}{2 \cdot \pi \cdot 4{,}2} \approx 16{,}2628... \approx 16{,}3\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = Gh = \pi \cdot 4{,}2^2 \cdot 16{,}2628... \approx 901{,}2457... \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\).

\(h \approx 16{,}3\,\text{cm}\); \(V \approx 901{,}2\,\text{cm}^3\)