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- Beide Logarithmen haben dieselbe Basis. - Welches Logarithmengesetz verbindet eine Summe mit einem Produkt der Argumente?

Nach dem Produktgesetz gilt \(\log_7 2+\log_7 5=\log_7(2\cdot5)=\log_7 10\).

\(\log_7 10\)

- Achte auf den Exponenten des Logarithmusarguments. - Beim Potenzgesetz wird dieser Exponent als Faktor vor den Logarithmus geschrieben.

Nach dem Potenzgesetz gilt \(\log_3(x^4)=4\log_3 x\).

\(4\log_3 x\)

- Kannst du die Zahlen als Produkte oder Quotienten mit der Zahl 3 und Zehnerpotenzen schreiben? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz ausdrücken? - Welche Regel hilft dir, wenn im Logarithmus ein Exponent steht? - Denk daran, dass \(\lg 10^n = n\) gilt.

1. Anwendung des Logarithmus eines Produkts: \(\lg 300 = \lg(3 \cdot 100) = \lg 3 + \lg 10^2 = \lg 3 + 2 \approx 0{,}4771 + 2 = 2{,}4771\). 2. Anwendung des Logarithmus eines Quotienten: \(\lg 0{,}003 = \lg\left(\frac{3}{1000}\right) = \lg 3 - \lg 10^3 = \lg 3 - 3 \approx 0{,}4771 - 3 = -2{,}5229\). 3. Anwendung des Logarithmus einer Potenz: \(\lg 81 = \lg(3^4) = 4 \cdot \lg 3 \approx 4 \cdot 0{,}4771 = 1{,}9084\). 4. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz und Anwendung des Potenzgesetzes: \(\lg \sqrt{3} = \lg(3^{0{,}5}) = 0{,}5 \cdot \lg 3 \approx 0{,}5 \cdot 0{,}4771 = 0{,}23855\). Gerundet ergibt dies \(0{,}2386\).

1) \(\lg 300 \approx 2{,}4771\) 2) \(\lg 0{,}003 \approx -2{,}5229\) 3) \(\lg 81 \approx 1{,}9084\) 4) \(\lg \sqrt{3} \approx 0{,}2386\)

- Wie kannst du die Zahlen als Produkt aus \(5\) und einer Zehnerpotenz schreiben? - Welches Logarithmusgesetz hilft dir, wenn du den Logarithmus eines Produkts berechnen möchtest? - Was ist der Zehnerlogarithmus von \(10^k\)?

1. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Produkte \(\log_{10}(a \cdot 10^k) = \log_{10}(a) + k\). 2. Berechnung für a): \(\log_{10}(5 \cdot 10^3) = \log_{10}(5) + 3 \approx 0{,}6990 + 3 = 3{,}6990\). 3. Berechnung für b): \(\log_{10}(5 \cdot 10^{-1}) = \log_{10}(5) - 1 \approx 0{,}6990 - 1 = -0{,}3010\). 4. Berechnung für c): \(\log_{10}(5 \cdot 10^{-3}) = \log_{10}(5) - 3 \approx 0{,}6990 - 3 = -2{,}3010\).

a) \(\log_{10}(5000) \approx 3{,}6990\) b) \(\log_{10}(0{,}5) \approx -0{,}3010\) c) \(\log_{10}(0{,}005) \approx -2{,}3010\)

- Wie kannst du einen Faktor vor einem Logarithmus als Exponenten in das Argument schreiben? - Welches Gesetz verbindet eine Summe von Logarithmen mit einem Produkt? - Welches Gesetz verbindet eine Differenz von Logarithmen mit einem Quotienten?

1) Mit dem Potenz- und Produktgesetz gilt \(\lg x=\lg(a^2)+\lg(b^3)=\lg(a^2b^3)\). Daher ist \(x=a^2b^3\). 2) Mit dem Potenz- und Quotientengesetz gilt \(\lg x=\lg(\sqrt{a})-\lg b=\lg\left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)\). Daher ist \(x=\frac{\sqrt{a}}{b}\).

1) \(x=a^2b^3\) 2) \(x=\frac{\sqrt{a}}{b}\)

- Überlege, wie du die Zahlen \(12\) und \(1{,}5\) als Produkte oder Quotienten der Zahlen 2 und 3 darstellen kannst. - Welche Formel hilft dir, wenn du einen Logarithmus zu einer Basis (wie 2 oder 3) berechnen sollst, aber nur Werte für die Basis 10 gegeben hast? - Erinnere dich an die Regel für den Logarithmus einer Potenz.

1. Berechnung von \(\lg 12\): Zerlegung in Faktoren ergibt \(\lg(2^2 \cdot 3) = 2 \cdot \lg 2 + \lg 3 \approx 2 \cdot 0{,}3010 + 0{,}4771 = 1{,}0791\). Gerundet: \(1{,}079\). 2. Berechnung von \(\log_2 3\): Anwendung der Basiswechselformel ergibt \(\frac{\lg 3}{\lg 2} \approx \frac{0{,}4771}{0{,}3010} \approx 1{,}58505\). Gerundet: \(1{,}585\). 3. Berechnung von \(\log_3 1{,}5\): Anwendung der Gesetze für Division und Basiswechsel ergibt \(\log_3 \left(\frac{3}{2}\right) = \log_3 3 - \log_3 2 = 1 - \frac{\lg 2}{\lg 3} \approx 1 - \frac{0{,}3010}{0{,}4771} \approx 1 - 0{,}63089 = 0{,}36911\). Gerundet: \(0{,}369\).

a) \(\lg 12 \approx 1{,}079\) b) \(\log_2 3 \approx 1{,}585\) c) \(\log_3 1{,}5 \approx 0{,}369\)

- Welche Rechenoperation ist im Argument außen zuerst zu erkennen? - Wie kannst du die vierte Potenz und die dritte Wurzel mithilfe des Potenzgesetzes vor den Logarithmus ziehen? - Welchen der entstehenden Zehnerlogarithmen kannst du direkt auswerten?

1. Mit dem Quotientengesetz gilt \(x=\lg(100a^4)-\lg\left(\sqrt[3]{b}\right)\). 2. Mit Produkt- und Potenzgesetz folgt \(x=\lg 100+4\lg a-\frac{1}{3}\lg b\). 3. Wegen \(\lg 100=2\) ergibt sich \(x=2+4\lg a-\frac{1}{3}\lg b\).

\(x=2+4\lg a-\frac{1}{3}\lg b\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Was bedeutet der Logarithmus \(\log_b a\) als Exponent geschrieben? - Welche Logarithmus-Tasten findest du auf deinem Taschenrechner? - Kannst du den Logarithmus zu einer beliebigen Basis in einen Quotienten aus Logarithmen mit einer Standardbasis umwandeln? - Zwischen welchen beiden ganzen Zahlen muss das Ergebnis liegen, wenn \(6^2 = 36\) und \(6^3 = 216\) gilt?

1. Anwendung der Basiswechselformel für Logarithmen: \(\log_{6} 45 = \frac{\lg(45)}{\lg(6)}\). 2. Berechnung der Werte des Zehnerlogarithmus mit dem Taschenrechner: \(\lg(45) \approx 1{,}653213\) und \(\lg(6) \approx 0{,}778151\). 3. Division der berechneten Werte: \(1{,}653213 {:} 0{,}778151 \approx 2{,}124539\). 4. Rundung auf vier Dezimalstellen ergibt den Näherungswert \(2{,}1245\).

\(2{,}1245\)

- Wie kannst du einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis so umschreiben, dass du ihn mit den Tasten deines Taschenrechners berechnen kannst? - Denke an die Definition des Logarithmus: Zwischen welchen Potenzen der Basis 5 liegt die Zahl 12? - Welche Logarithmusgesetze kennst du für den Wechsel der Basis?

1. Anwendung der Basiswechselformel unter Verwendung des Zehnerlogarithmus (\(\lg\)) oder des natürlichen Logarithmus (\(\ln\)): \(\log_5 12 = \frac{\lg 12}{\lg 5}\) oder \(\log_5 12 = \frac{\ln 12}{\ln 5}\). 2. Berechnung des Quotienten: \(\frac{\ln 12}{\ln 5} \approx 1{,}543959...\). 3. Rundung auf drei Dezimalstellen ergibt \(1{,}544\). 4. Bestimmung der Schranken durch Vergleich mit Potenzen der Basis 5: Wegen \(5^1 = 5\) und \(5^2 = 25\) gilt \(5^1 < 12 < 5^2\). 5. Daraus folgt für den Logarithmus: \(1 < \log_5 12 < 2\). Die gesuchten ganzen Zahlen sind 1 und 2.

Der Näherungswert ist \(1{,}544\). Der Wert liegt zwischen den ganzen Zahlen 1 und 2.

- Kannst du die Zahlen \(16\), \(4\) und \(\sqrt{2}\) als Potenzen zur Basis \(2\) schreiben? - Welches Gesetz hilft dir, wenn im Logarithmus ein Bruch steht? - Was passiert mit dem Exponenten, wenn du den Logarithmus einer Potenz bildest? - Überlege, welchen Wert der Logarithmus von \(1\) zu einer beliebigen Basis hat.

1. Anwendung des Quotientengesetzes auf den ersten Summanden: \(\log_2\left(\frac{1}{16}\right) = \log_2(1) - \log_2(16)\). Da \(\log_2(1) = 0\) und \(\log_2(16) = 4\) ist, ergibt sich \(-4\). 2. Zerlegung des zweiten Summanden mittels Produktgesetz: \(\log_2(4 \cdot \sqrt{2}) = \log_2(4) + \log_2(\sqrt{2})\). 3. Berechnung der Teilwerte: \(\log_2(4) = 2\) und \(\log_2(2^{0{,}5}) = 0{,}5\). Die Summe für diesen Teil beträgt \(2{,}5\). 4. Zusammenführung beider Teilergebnisse: \(T = -4 + 2{,}5 = -1{,}5\).

\(T = -1{,}5\)

- Überlege, wie du die Zahlen als Produkt aus 6 und einer Zehnerpotenz schreiben kannst. - Welches Logarithmengesetz erlaubt es dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was ist der Zehnerlogarithmus von \(10\), \(1000\) oder \(0{,}01\)?

1. Anwendung des Gesetzes für den Logarithmus eines Produkts: \(\lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b)\). 2. Berechnung von \(\lg(60) = \lg(6 \cdot 10^1) = \lg(6) + 1 \approx 1{,}778\). 3. Berechnung von \(\lg(6000) = \lg(6 \cdot 10^3) = \lg(6) + 3 \approx 3{,}778\). 4. Berechnung von \(\lg(0{,}06) = \lg(6 \cdot 10^{-2}) = \lg(6) - 2 \approx -1{,}222\). 5. Allgemeine Regel: Die Multiplikation mit \(10^k\) addiert den Wert \(k\) zum Logarithmus, da \(\lg(x \cdot 10^k) = \lg(x) + \lg(10^k) = \lg(x) + k\).

a) \(\lg(60) \approx 1{,}778\); \(\lg(6000) \approx 3{,}778\); \(\lg(0{,}06) \approx -1{,}222\). b) Der Wert des Logarithmus erhöht sich um \(k\), da \(\lg(x \cdot 10^k) = \lg(x) + k\).

- Überlege dir, wie du die Zahl im Logarithmus durch die Basis 5 und die gegebene Zahl 2 ausdrücken kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Produkte, Quotienten und Potenzen bei Logarithmen. - Welchen Wert hat ein Logarithmus, wenn die Zahl im Logarithmus mit der Basis übereinstimmt? - Manchmal hilft es, Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben.

1. \(\log_5 4=2\log_5 2\approx0{,}86\). 2. \(\log_5 10=\log_5(2\cdot5)=\log_5 2+1\approx1{,}43\). 3. \(\log_5 0{,}4=\log_5\left(\frac{2}{5}\right)=\log_5 2-1\approx-0{,}57\). 4. \(\log_5\sqrt{2}=\frac{1}{2}\log_5 2\approx0{,}215\approx0{,}22\). 5. \(\log_5 2{,}5=\log_5\left(\frac{5}{2}\right)=1-\log_5 2\approx0{,}57\).

a) \(\approx0{,}86\) b) \(\approx1{,}43\) c) \(\approx-0{,}57\) d) \(\approx0{,}22\) e) \(\approx0{,}57\)

- Wie kannst du die Zahl 15 mithilfe der Zahlen 3 und 5 ausdrücken? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man den Logarithmus eines Produkts zerlegen kann? - Wenn du zwei Werte addierst, die jeweils in einem bestimmten Bereich liegen, wie verändern sich dann die Grenzen des Bereichs für die Summe?

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Produkte: \(\lg 15 = \lg(3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5\). 2. Addition der unteren Schranken: \(0{,}4771 + 0{,}6989 = 1{,}1760\). 3. Addition der oberen Schranken: \(0{,}4772 + 0{,}6990 = 1{,}1762\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse zur Intervallangabe: \(1{,}1760 < \lg 15 < 1{,}1762\).

Es gilt \(1{,}1760 < \lg 15 < 1{,}1762\).

- Identifiziere jeweils den Exponenten des gesamten positiven Arguments. - Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie kannst du einen Kehrwert als Potenz mit negativem Exponenten schreiben?

a) \(\log_b(x^9)=9\log_b(x)\). b) \(\log_b(y^{-4})=-4\log_b(y)\). c) \(\sqrt[3]{z}=z^{\frac{1}{3}}\), also \(\log_b(\sqrt[3]{z})=\frac{1}{3}\log_b(z)\). d) \(\frac{1}{a^5}=a^{-5}\), also \(\log_b\left(\frac{1}{a^5}\right)=-5\log_b(a)\). e) \(\log_b(w^{0{,}75})=0{,}75\log_b(w)\).

a) \(9\log_b(x)\) b) \(-4\log_b(y)\) c) \(\frac{1}{3}\log_b(z)\) d) \(-5\log_b(a)\) e) \(0{,}75\log_b(w)\)

- Welche Potenzen entstehen aus den Faktoren vor den Logarithmen? - Welche beiden Terme werden beim Zusammenfassen zu Faktoren im Zähler? - Was bewirkt der subtrahierte Logarithmusterm im zusammengefassten Argument?

1. Mit dem Potenzgesetz gilt \(5\log_b p=\log_b(p^5)\), \(\frac{1}{3}\log_b q=\log_b(\sqrt[3]{q})\) und \(2\log_b r=\log_b(r^2)\). 2. Produkt- und Quotientengesetz ergeben \(\log_b\left(\frac{p^5\sqrt[3]{q}}{r^2}\right)\).

\(\log_b\left(\frac{p^5\sqrt[3]{q}}{r^2}\right)\)

- Kannst du die Logarithmen mit der gleichen Basis zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Überlege, welche Rechenregel bei der Addition von Logarithmen angewendet wird. - Was geschieht mit den Werten innerhalb der Logarithmen, wenn diese voneinander subtrahiert werden? - Versuche, das Ergebnis als Potenz der Basis 10 zu schreiben.

1. Anwendung der Logarithmengesetze für Summen: \(\lg 120 + \lg 25 = \lg(120 \cdot 25) = \lg 3000\) 2. Anwendung der Logarithmengesetze für Differenzen: \(\lg 3000 - \lg 3 = \lg\left(\frac{3000}{3}\right) = \lg 1000\) 3. Bestimmung des Logarithmus zur Basis 10: Da \(10^3 = 1000\), ist \(\lg 1000 = 3\).

\(3\)

- Welchen Wert hat die dritte Wurzel aus \(64\), und als welche Zweierpotenz lässt sich dieser Wert schreiben? - Welche Zweierpotenz ist \(64\)? - Ersetze in der allgemeinen Formel die Wurzel durch eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{n}\).

1. Die linke Seite ist \(\log_2(\sqrt[3]{64})=\log_2(4)=2\). 2. Die rechte Seite ist \(\frac{1}{3}\log_2(64)=\frac{1}{3}\cdot6=2\). Beide Seiten stimmen überein. 3. Allgemein gilt \(\log_a(\sqrt[n]{u})=\log_a\left(u^{\frac{1}{n}}\right)\). Mit dem Potenzgesetz folgt daraus \(\frac{1}{n}\log_a(u)\).

Im Beispiel haben beide Seiten den Wert \(2\). Allgemein folgt \(\log_a(\sqrt[n]{u})=\log_a\left(u^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}\log_a(u)\) aus dem Potenzgesetz.

- Musst du \(x\) oder \(b\) wirklich kennen, um die Aufgaben zu lösen? - Gibt es ein Gesetz, das beschreibt, wie man einen Exponenten innerhalb eines Logarithmus als Faktor vor den Logarithmus ziehen kann? - Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen? Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem bestimmten Exponenten schreiben?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen \(\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)\). Mit \(k = 3\) und dem gegebenen Wert \(1{,}2\) ergibt sich: \(3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Logarithmengesetzes für Wurzeln \(\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x)\). Mit \(n = 5\) und dem gegebenen Wert \(1{,}2\) ergibt sich: \(\frac{1}{5} \cdot 1{,}2 = 1{,}2 {:} 5 = 0{,}24\).

a) \(3{,}6\) b) \(0{,}24\)

- Überlege, wie du einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis mit der Zehnerlogarithmus-Taste deines Taschenrechners berechnen kannst. - Erinnere dich an die Formel für den Basiswechsel. - Achte beim Runden genau auf die vierte Nachkommastelle. - Überprüfe bei Teilaufgabe c), ob du das Ergebnis auch ohne Taschenrechner hättest finden können.

1. Anwendung der Basisumrechnungsformel \(\log_b a = \frac{\lg a}{\lg b}\). 2. Berechnung von \(\log_7 100 = \frac{\lg 100}{\lg 7} \approx \frac{2}{0{,}8451} \approx 2{,}367\). 3. Berechnung von \(\log_{0{,}5} 10 = \frac{\lg 10}{\lg 0{,}5} \approx \frac{1}{-0{,}3010} \approx -3{,}322\). 4. Berechnung von \(\log_{12} 144 = \frac{\lg 144}{\lg 12} = 2\) (da \(12^2 = 144\)).

a) \(\log_7 100 \approx 2{,}367\) b) \(\log_{0{,}5} 10 \approx -3{,}322\) c) \(\log_{12} 144 = 2\)

- Können Logarithmen mit der gleichen Basis zusammengefasst werden? - Wie lässt sich eine Zahl ohne Logarithmus in eine Logarithmusform mit einer bestimmten Basis umwandeln? - Was besagt die Definition des Logarithmus über den Zusammenhang zwischen Basis, Exponent und Numerus? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Logarithmengesetzes für Summen ergibt \(\log_3(4x) = \log_3(12)\). Durch Numerivergleich folgt \(4x = 12\), also \(x = 3\). Da \(3 > 0\), ist \(L = \{3\}\). 2. Teilaufgabe b): Umformen der Gleichung zu \(\lg(x) = \lg(2) + 1\). Ersetzen der \(1\) durch \(\lg(10)\) liefert \(\lg(x) = \lg(2) + \lg(10)\). Anwendung des Summengesetzes ergibt \(\lg(x) = \lg(2 \cdot 10) = \lg(20)\). Somit ist \(x = 20\). Wegen \(20 > 0\) ist \(L = \{20\}\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Definition des Logarithmus ergibt \(2x - 4 = 5^2\). Auflösen der linearen Gleichung: \(2x - 4 = 25 \implies 2x = 29 \implies x = 14{,}5\). Prüfung des Arguments: \(2 \cdot 14{,}5 - 4 = 25 > 0\). Somit ist \(L = \{14{,}5\}\).

a) \(L = \{3\}\) b) \(L = \{20\}\) c) \(L = \{14{,}5\}\)

- Wie kannst du einen Logarithmus mit einer beliebigen Basis in einen Logarithmus zur Basis 10 umwandeln? - Welche Taste an deinem Taschenrechner steht für den Zehnerlogarithmus? - Achte beim Eintippen in den Taschenrechner auf die richtige Reihenfolge von Numerus und Basis. - Überlege dir bei den exakten Ergebnissen, ob du sie auch ohne Taschenrechner durch Potenzieren hättest finden können.

Zur Berechnung wird die Basiswechselformel \(\log_b a = \frac{\lg a}{\lg b}\) verwendet: 1. Für a): \(\frac{\lg 32}{\lg 8} = \frac{1{,}5051...}{0{,}9030...} = 1{,}667\) (oder exakt \(\frac{5}{3}\)). 2. Für b): \(\frac{\lg 15}{\lg 6} = \frac{1{,}1760...}{0{,}7781...} \approx 1{,}511\). 3. Für c): \(\frac{\lg 4}{\lg 0{,}5} = \frac{0{,}6020...}{-0{,}3010...} = -2\). 4. Für d): \(\frac{\lg 100}{\lg 12} = \frac{2}{1{,}0791...} \approx 1{,}853\).

a) \(1{,}667\) b) \(1{,}511\) c) \(-2\) d) \(1{,}853\)

- Berechne zunächst beide Seiten unabhängig voneinander. - Vergleiche anschließend die beiden Zahlenwerte. - Welche Rolle spielt der Exponent in der Potenzregel, die du aus Exponentialgleichungen kennst?

1. Links gilt \(\log_2(8^2)=\log_2 64=6\). 2. Rechts gilt \((\log_2 8)^2=3^2=9\). 3. Die beiden Seiten sind also nicht gleich. 4. Richtig ist die Potenzregel \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\) für \(b>0\), \(b\neq1\) und \(u>0\). Der Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus geschrieben; der Logarithmuswert wird nicht potenziert.

Links ergibt sich \(6\), rechts \(9\). Die Behauptung ist falsch. Richtig ist \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\).

- Überlege, wie Faktoren vor einem Logarithmus als Exponenten des Arguments geschrieben werden können. - Welche Gesetze verbinden eine Summe beziehungsweise Differenz von Logarithmen mit Produkt beziehungsweise Quotient der Argumente? - Forme die rechte Seite jeweils zu einem einzigen Logarithmus derselben Basis um.

1. In a) gilt nach dem Potenzgesetz \(2\lg a=\lg(a^2)\) und \(3\lg b=\lg(b^3)\). Damit ist \(\lg x=\lg(a^2)+\lg(b^3)-\lg c\). 2. Produkt- und Quotientengesetz liefern \(\lg x=\lg\left(\frac{a^2b^3}{c}\right)\). Daher ist \(x=\frac{a^2b^3}{c}\). 3. In b) gilt \(\frac{1}{2}\lg u=\lg(u^{\frac{1}{2}})=\lg\sqrt{u}\). 4. Mit dem Produktgesetz folgt \(\lg x=\lg\left(\sqrt{u}(u+v)\right)\). Daher ist \(x=(u+v)\sqrt{u}\).

a) \(x=\frac{a^2b^3}{c}\) b) \(x=(u+v)\sqrt{u}\)

- Fasse zuerst die Logarithmen innerhalb der Klammern zusammen. - Überlege, wie ein Faktor vor einem Logarithmus als Exponent des Arguments erscheint. - Verwandle gebrochene Exponenten erst am Ende in Wurzelschreibweise.

1. In a) gilt \(2\lg p-\lg q=\lg\left(\frac{p^2}{q}\right)\). Daher ist \(\lg x=\frac{1}{3}\lg\left(\frac{p^2}{q}\right)\). 2. Mit dem Potenzgesetz folgt \(\lg x=\lg\left(\left(\frac{p^2}{q}\right)^{\frac{1}{3}}\right)\). Somit ist \(x=\sqrt[3]{\frac{p^2}{q}}\). 3. In b) wird zunächst \(\lg b+2\lg c=\lg(bc^2)\) zusammengefasst. 4. Damit ist \(\frac{3}{4}\lg(bc^2)=\lg\left((bc^2)^{\frac{3}{4}}\right)=\lg\sqrt[4]{b^3c^6}\). 5. Das Quotientengesetz liefert \(\lg x=\lg\left(\frac{a}{\sqrt[4]{b^3c^6}}\right)\). Daher ist \(x=\frac{a}{\sqrt[4]{b^3c^6}}\).

a) \(x=\sqrt[3]{\frac{p^2}{q}}\) b) \(x=\frac{a}{\sqrt[4]{b^3c^6}}\)

- Wie lässt sich die Zahl 1 als Zehnerlogarithmus ausdrücken? - Kannst du die Koeffizienten vor den Logarithmen mit Hilfe der Potenzregel beseitigen? - Überlege, wie du Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus verschmelzen kannst.

1. Umwandlung des Faktors in einen Exponenten: \(2 \lg 6 = \lg 6^2 = \lg 36\). 2. Darstellung der Zahl \(1\) als Logarithmus zur Basis 10: \(1 = \lg 10\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für die Differenz: \(\lg 36 - \lg 9 = \lg\left(\frac{36}{9}\right) = \lg 4\). 4. Anwendung des Logarithmengesetzes für die Summe: \(\lg 4 + \lg 10 = \lg(4 \cdot 10) = \lg 40\). 5. Durch Entlogarithmieren (Basis 10) folgt \(x = 40\).

\(x = 40\)

- Kannst du die Faktoren vor den Logarithmen mithilfe der Potenzregel in den Logarithmus ziehen? - Wie lassen sich addierte oder subtrahierte Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Was passiert mit dem Gesamtwert eines Bruchs, wenn der Zähler mit einem Quadrat wächst und der Nenner linear? - Versuche, die neuen Werte für die Variablen direkt in deine gefundene Formel einzusetzen und den Ausdruck zu vereinfachen.

1. Anwendung der Logarithmengesetze für Potenzen auf die Summanden: \(2 \lg a = \lg(a^2)\) und \(\frac{1}{2} \lg b = \lg(\sqrt{b})\). 2. Zusammenfassen der Logarithmen mit den Gesetzen für Produkte und Quotienten: \(\lg(a^2) + \lg(\sqrt{b}) - \lg c = \lg\left(\frac{a^2 \cdot \sqrt{b}}{c}\right)\). 3. Durch Entlogarithmieren (Numerus-Vergleich) ergibt sich der Term für \(x\): \(x = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\). 4. Untersuchung der Änderung: Ersetzen von \(a\) durch \(2a\) und \(c\) durch \(4c\) im Term für \(x\): \(x_{\text{neu}} = \frac{(2a)^2 \sqrt{b}}{4c} = \frac{4a^2 \sqrt{b}}{4c} = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\). 5. Vergleich der Terme: Da \(x_{\text{neu}} = x\), bleibt der Wert von \(x\) unverändert.

a) \(x = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\) b) Der Wert von \(x\) bleibt unverändert, da sich der Faktor \(4\) im Zähler (\(2^2\)) und der Faktor \(4\) im Nenner gegenseitig aufheben.

- Wie kannst du die Zahl 1 als Logarithmus zur Basis 10 darstellen? - Achte besonders auf die Klammern: Es ist oft hilfreich, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen. - Ein Bruch als Exponent lässt sich als Wurzel schreiben. Weißt du noch, welche Wurzel zu \(\frac{1}{3}\) gehört? - Gehe Schritt für Schritt vor und kombiniere am Ende alle Teile zu einem einzigen Logarithmus auf der rechten Seite.

1. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer: \(2 \lg(u - v) = \lg((u - v)^2)\), somit \(\lg(u + v) + \lg((u - v)^2) = \lg((u + v)(u - v)^2)\). 2. Anwendung des Faktors \(\frac{1}{3}\) als Exponent: \(\frac{1}{3} \lg((u + v)(u - v)^2) = \lg\left(\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}\right)\). 3. Umschreiben der Konstanten \(1\) als Logarithmus: \(1 = \lg 10\). 4. Subtraktion der Logarithmen unter Verwendung der Quotientenregel: \(\lg 10 - \lg\left(\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}\right) = \lg\left(\frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\right)\). 5. Durch Numerus-Vergleich folgt: \(x = \frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\).

\(x = \frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\)

- Fasse zuerst die Differenz der beiden Logarithmen zu einem Quotienten zusammen. - Prüfe, ob sich der dabei entstehende algebraische Ausdruck vereinfachen lässt. - Überlege, wie die Zahl \(1\) als dekadischer Logarithmus geschrieben werden kann. - Bestimme die Definitionsbedingungen aus den ursprünglichen Logarithmusargumenten.

1. Zusammenfassen der Logarithmen auf der rechten Seite unter Verwendung des Subtraktionsgesetzes: \(\lg\left(\frac{a^2 - 9}{a + 3}\right) + 1\). 2. Vereinfachung des Bruchs durch Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(\frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} = a - 3\). Die Gleichung lautet nun \(\lg x = \lg(a - 3) + 1\). 3. Umwandlung der Zahl \(1\) in einen Logarithmus zur Basis 10: \(1 = \lg 10\). 4. Anwendung des Additionsgesetzes für Logarithmen: \(\lg(a - 3) + \lg 10 = \lg(10 \cdot (a - 3))\). 5. Durch Entlogarithmieren (Vergleich der Argumente) erhält man \(x = 10(a - 3)\). 6. Ausmultiplizieren ergibt \(x = 10a - 30\). 7. Die ursprünglichen Logarithmen sind nur für \(a > 3\) definiert.

\(x = 10a - 30\) für \(a > 3\)

- Was bewirkt der Faktor \(\frac{1}{2}\) vor einem Logarithmus im Argument? - Wie kannst du die beiden positiven Logarithmusterms zusammenfassen und anschließend den letzten Term berücksichtigen? - Setze für Teil b) erst \(b=3a\) in deinen Term aus Teil a) ein und nutze die gegebene Positivität von \(a\).

a) Mit dem Potenz-, Produkt- und Quotientengesetz gilt \(\lg x=\lg\left(\frac{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}{c}\right)=\lg\left(\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\right)\). Daher ist \(x=\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\). b) Für \(b=3a\) wird \(x=\frac{\sqrt{a(a+3a)}}{c}=\frac{\sqrt{4a^2}}{c}\). Wegen \(a>0\) gilt \(\sqrt{4a^2}=2a\), also \(x=\frac{2a}{c}\).

a) \(x=\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\) b) Für \(b=3a\) gilt \(x=\frac{2a}{c}\).

- Kannst du die gesuchte Zahl durch Multiplikation oder Division aus den gegebenen Werten (2, 3 und der Basis 10) zusammensetzen? - Gibt es einen Weg, die Zahl 5 mithilfe der Zahlen 10 und 2 auszudrücken? - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn du zwei Zahlen multiplizierst oder dividierst? - Wie gehst du vor, wenn eine Zahl ein Vielfaches einer Quadratzahl ist?

1. Zerlegung in Faktoren: \(\lg 6 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 2 + \lg 3 \approx 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781\). 2. Darstellung als Quotient: \(\lg 1{,}5 = \lg\left(\frac{3}{2}\right) = \lg 3 - \lg 2 \approx 0{,}4771 - 0{,}3010 = 0{,}1761\). 3. Anwendung der Beziehung zum Basiswert 10: \(\lg 5 = \lg\left(\frac{10}{2}\right) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2 \approx 1 - 0{,}3010 = 0{,}6990\). 4. Zerlegung unter Nutzung von Potenzen: \(\lg 18 = \lg(2 \cdot 9) = \lg(2 \cdot 3^2) = \lg 2 + 2 \cdot \lg 3 \approx 0{,}3010 + 2 \cdot 0{,}4771 = 0{,}3010 + 0{,}9542 = 1{,}2552\).

1) \(\lg 6 \approx 0{,}7781\) 2) \(\lg 1{,}5 \approx 0{,}1761\) 3) \(\lg 5 \approx 0{,}6990\) 4) \(\lg 18 \approx 1{,}2552\)

- Welche binomische Formel passt zum Produkt \((a+b)(a-b)\)? - Wie lässt sich die Zahl \(1\) als Zehnerlogarithmus schreiben? - Fasse in Teil 2) zuerst den Klammerausdruck zu einem Logarithmus zusammen.

1) Mit Produkt- und Potenzgesetz gilt \(\lg x=\frac{1}{2}\lg((a+b)(a-b))=\lg\left(\sqrt{a^2-b^2}\right)\). Daher ist \(x=\sqrt{a^2-b^2}\). 2) Es ist \(1=\lg 10\) und \(2\lg a+\lg b=\lg(a^2b)\). Daher gilt \(\lg x=\lg 10-\lg\left(\sqrt[3]{a^2b}\right)=\lg\left(\frac{10}{\sqrt[3]{a^2b}}\right)\). Somit ist \(x=\frac{10}{\sqrt[3]{a^2b}}\).

1) \(x=\sqrt{a^2-b^2}\) 2) \(x=\frac{10}{\sqrt[3]{a^2b}}\)

- Kannst du den Ausdruck in einzelne Logarithmen für \(b\) und \(x\) aufteilen? - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln und Brüche als Potenzen schreibt. - Welchen Wert hat der Logarithmus einer Basis zu sich selbst, also \(\log_b(b)\)? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du den Kehrwert im Logarithmus bildest?

1. Anwendung der Logarithmengesetze für Produkte und Potenzen auf den ersten Term: \(\log_b(b \cdot \sqrt{x}) = \log_b(b) + \log_b(x^{\frac{1}{2}}) = 1 + \frac{1}{2}\log_b(x)\). 2. Anwendung des Gesetzes für Quotienten auf den zweiten Term: \(\log_b\left(\frac{b^2}{x}\right) = \log_b(b^2) - \log_b(x) = 2 - \log_b(x)\). 3. Umformung des dritten Terms mit dem Potenzgesetz oder Reziprokengesetz: \(-\frac{1}{2}\log_b\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2}\log_b(x^{-1}) = \frac{1}{2}\log_b(x)\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(1 + \frac{1}{2}\log_b(x) + 2 - \log_b(x) + \frac{1}{2}\log_b(x)\). 5. Zusammenfassen der konstanten Werte und der Terme mit \(\log_b(x)\): \(3 + (\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2})\log_b(x) = 3 + 0 = 3\).

\(A = 3\)

- Prüfe zuerst beide angegebenen Logarithmen über die zugehörigen Potenzgleichungen. - Für die Basis \(6\) kannst du die Basiswechselformel mit dem Zehnerlogarithmus verwenden. - Vergleiche „Basis verdoppeln“ mit „Basis quadrieren“ und untersuche, was jeweils im Nenner der Basiswechselformel geschieht.

1. Es gilt \(\log_2(16)=4\) und \(\log_4(16)=2\). In diesem Beispiel halbiert sich der Wert. 2. Als Gegenbeispiel gilt \(\log_3(9)=2\). Wäre beim Verdoppeln der Basis der Logarithmuswert immer halb so groß, müsste \(\log_6(9)=1\) gelten. Das ist falsch, denn \(6^1\neq9\). 3. Allgemein halbiert sich der Logarithmuswert beim Quadrieren der Basis: \(\log_{b^2}(a)=\frac{\lg a}{\lg(b^2)}=\frac{\lg a}{2\lg b}=\frac{1}{2}\log_b(a)\).

Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. \(\log_2(16)=4\) und \(\log_4(16)=2\), aber aus \(\log_3(9)=2\) würde die Behauptung fälschlich \(\log_6(9)=1\) folgern; \(6^1\neq9\). Allgemein halbiert sich der Logarithmuswert beim Quadrieren der Basis.

- Kannst du die Terme innerhalb der Logarithmen als Potenzen zur Basis \(a\) schreiben? - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn die Basis und die Basis der Potenz im Argument gleich sind? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. - Schreibe Dezimalzahlen als Brüche, um die Division zu vereinfachen.

1. Vereinfachung des Zählers: \(a^2 \cdot \sqrt{a} = a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2{,}5}\). Damit ist \(\log_a(a^{2{,}5}) = 2{,}5\). 2. Vereinfachung des Nenners: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\). Damit ist \(\log_a(a^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}\). 3. Einsetzen der Werte in den Bruch: \(x = \frac{2{,}5}{\frac{2}{3}}\). 4. Berechnung des Bruchs: \(2{,}5 {:} \frac{2}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{4} = 3{,}75\).

\(x = 3{,}75\)

- Nutze die Basiswechselformel, um beide Werte auf eine gemeinsame Basis (wie 10 oder \(e\)) zu bringen. - Runde erst am Ende deiner Rechnung, um die geforderte Genauigkeit sicherzustellen. - Kannst du vorab eine Schätzung abgeben, indem du die Zahlen als Potenzen betrachtest?

1. Berechnung von \(\log_2 10\) mittels Basiswechselformel: \(\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}321928...\). Gerundet auf drei Dezimalstellen: \(3{,}322\). 2. Berechnung von \(\log_3 30\) mittels Basiswechselformel: \(\log_3 30 = \frac{\ln 30}{\ln 3} \approx 3{,}095903...\). Gerundet auf drei Dezimalstellen: \(3{,}096\). 3. Vergleich der berechneten Werte: Da \(3{,}322 > 3{,}096\), ist der erste Wert größer.

Es gilt \(\log_2 10 \approx 3{,}322\) und \(\log_3 30 \approx 3{,}096\). Somit ist \(\log_2 10\) der größere Wert.

- Beginne damit, den großen Bruch mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen aufzulösen. - Wie kannst du eine Wurzel als Potenz umschreiben? - Gibt es einen Teil des Terms, der sich direkt zu einer Zahl vereinfachen lässt, weil Basis und Numerus gleich sind? - Achte darauf, dass am Ende nur noch \(x\), \(y\) und Zahlen in deinem Ausdruck vorkommen.

1. Anwendung des Quotientengesetzes zur Trennung des Zählers vom Nenner: \(\log_a(u^2 \cdot \sqrt{v}) - \log_a(a)\). 2. Vereinfachung des Terms \(\log_a(a) = 1\). 3. Anwendung des Produktgesetzes auf den verbleibenden Logarithmus: \(\log_a(u^2) + \log_a(\sqrt{v}) - 1\). 4. Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise (\(\sqrt{v} = v^{0{,}5}\)) und Anwendung des Potenzgesetzes: \(2 \cdot \log_a(u) + 0{,}5 \cdot \log_a(v) - 1\). 5. Substitution der gegebenen Variablen \(x\) und \(y\): \(2x + 0{,}5y - 1\).

\(L = 2x + 0{,}5y - 1\)

- Wie oft musst du die Zahl \(a\) mit 10 multiplizieren, um \(b\) zu erhalten? - Nutze das Gesetz \(\lg(u \cdot v) = \lg(u) + \lg(v)\). - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sich das Komma einer Zahl verschiebt?

1. Berechnung der Logarithmen: \(\lg(2{,}5) \approx 0{,}398\) und \(\lg(250) \approx 2{,}398\). 2. Bestimmung der Differenz: \(2{,}398 - 0{,}398 = 2\). 3. Darstellung von \(b\) durch \(a\): \(250 = 2{,}5 \cdot 100 = 2{,}5 \cdot 10^2\). 4. Anwendung des Logarithmengesetzes: \(\lg(b) = \lg(a \cdot 10^2) = \lg(a) + \lg(10^2) = \lg(a) + 2\). 5. Daraus folgt direkt \(\lg(b) - \lg(a) = 2\).

a) \(\lg(2{,}5) \approx 0{,}398\); \(\lg(250) \approx 2{,}398\). b) Die Differenz beträgt \(2\). c) Da \(b = a \cdot 10^2\), gilt nach den Logarithmengesetzen \(\lg(b) = \lg(a) + \lg(10^2) = \lg(a) + 2\). Die Differenz ist also genau der Exponent der Zehnerpotenz.

- Wie hängen Logarithmen von Produkten mit den Logarithmen der einzelnen Faktoren zusammen? - Welche Rechenoperation entspricht der Division beim Logarithmieren? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz umschreiben, um ein Logarithmengesetz anzuwenden? - Kannst du die Zahl 820 so zerlegen, dass der gegebene Wert \(\lg 8{,}2\) und eine Zehnerpotenz vorkommen?

1. \(\lg(3{,}6\cdot8{,}2)=\lg3{,}6+\lg8{,}2\approx0{,}5563+0{,}9138=1{,}4701\). 2. \(\lg(8{,}2{:}3{,}6)=\lg8{,}2-\lg3{,}6\approx0{,}9138-0{,}5563=0{,}3575\). 3. \(\lg\sqrt[4]{3{,}6}=\frac{1}{4}\lg3{,}6\approx0{,}139075\approx0{,}1391\). 4. \(\lg820=\lg(8{,}2\cdot100)=\lg8{,}2+2\approx2{,}9138\).

a) \(\approx1{,}4701\) b) \(\approx0{,}3575\) c) \(\approx0{,}1391\) d) \(\approx2{,}9138\)

- Wie lässt sich die Dezimalzahl \(1{,}5\) als Bruch mit den Zahlen 2 und 3 schreiben? - Welches Logarithmengesetz gilt für die Division? - Überlege genau: Wann wird eine Differenz \(A - B\) am kleinsten und wann am größten, wenn für \(A\) und \(B\) jeweils ein Bereich gegeben ist?

1. Darstellung von \(1{,}5\) als Quotient der gegebenen Basiszahlen: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Quotienten: \(\lg 1{,}5 = \lg\left(\frac{3}{2}\right) = \lg 3 - \lg 2\). 3. Berechnung der unteren Schranke durch Subtraktion der maximalen oberen Schranke von der minimalen unteren Schranke: \(0{,}4771 - 0{,}3011 = 0{,}1760\). 4. Berechnung der oberen Schranke durch Subtraktion der minimalen unteren Schranke von der maximalen oberen Schranke: \(0{,}4772 - 0{,}3010 = 0{,}1762\). 5. Ergebnis: \(0{,}1760 < \lg 1{,}5 < 0{,}1762\).

Für \(\lg 1{,}5\) gilt das Intervall \(0{,}1760 < \lg 1{,}5 < 0{,}1762\).

- Zerlege zuerst das äußerste Produkt oder den äußersten Quotienten. - Achte bei einem Produkt im Nenner darauf, dass beim Auflösen beide Logarithmen subtrahiert werden. - Welcher spezielle Logarithmuswert entsteht, wenn Argument und Basis gleich sind?

a) \(\log_k(kmn)=\log_k k+\log_k m+\log_k n=1+\log_k m+\log_k n\). b) \(\log_k\left(\frac{5}{kx}\right)=\log_k5-\log_k(kx)=\log_k5-\log_k k-\log_k x=\log_k5-1-\log_k x\). c) \(\log_k\left(\frac{ab}{c}\right)=\log_k a+\log_k b-\log_k c\).

a) \(1+\log_k m+\log_k n\) b) \(\log_k5-1-\log_k x\) c) \(\log_k a+\log_k b-\log_k c\)

- Welche Logarithmengesetze kannst du rückwärts auf Summen und Differenzen anwenden? - Rechne reine Zahlenquotienten aus, bevor du den endgültigen Logarithmus notierst. - Eine Summe innerhalb eines einzelnen Logarithmusarguments darfst du nicht mit dem Produktgesetz zerlegen.

a) \(\log_y a+\log_y b-\log_y c=\log_y\left(\frac{ab}{c}\right)\). b) \(\log_y15-\log_y3-\log_y z=\log_y5-\log_y z=\log_y\left(\frac{5}{z}\right)\). c) \(\log_y(x+1)-\log_y x=\log_y\left(\frac{x+1}{x}\right)\).

a) \(\log_y\left(\frac{ab}{c}\right)\) b) \(\log_y\left(\frac{5}{z}\right)\) c) \(\log_y\left(\frac{x+1}{x}\right)\)

- Schreibe zunächst jedes vollständige Argument als eine Potenz einer positiven Zahl. - Welche Exponenten entsprechen Wurzeln und Kehrwerten? - Erst nachdem das Argument als eine Potenz geschrieben ist, kannst du den Exponenten vor den Logarithmus ziehen.

a) \(\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}\), also \(\log_k(\sqrt[5]{x^2})=\frac{2}{5}\log_k(x)\). b) \(\frac{1}{\sqrt{y}}=y^{-\frac{1}{2}}\), also ist der Ausdruck \(-\frac{1}{2}\log_k(y)\). c) \(\frac{1}{z^{-3}}=z^3\), also ist der Ausdruck \(3\log_k(z)\). d) \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\), also ist der Ausdruck \(\frac{m}{n}\log_k(a)\).

a) \(\frac{2}{5}\log_k(x)\) b) \(-\frac{1}{2}\log_k(y)\) c) \(3\log_k(z)\) d) \(\frac{m}{n}\log_k(a)\)

- Wie kannst du die beiden Faktoren vor den Logarithmen als Exponenten verwenden? - Welche Potenz der Basis \(a\) besitzt den Logarithmuswert \(3\)? - Fasse erst die positiven Logarithmusterms als Produkt und anschließend den subtrahierten Term als Quotient zusammen.

1. Mit dem Potenzgesetz gilt \(\frac{1}{2}\log_a(x^2+y^2)=\log_a\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\) und \(2\log_a x=\log_a(x^2)\). 2. Da \(\log_a(a^3)=3\), kann die Konstante als \(-\log_a(a^3)\) geschrieben werden. 3. Produkt- und Quotientengesetz liefern \(\log_a\left(\frac{x^2\sqrt{x^2+y^2}}{a^3}\right)\).

\(\log_a\left(\frac{x^2\sqrt{x^2+y^2}}{a^3}\right)\)

- Was passiert mit den Brüchen im Inneren der Logarithmen, wenn du die Logarithmen addierst? - Kannst du den entstehenden Ausdruck durch Kürzen vereinfachen? - Welche Potenz von 2 ergibt den Wert, den du im Numerus erhalten hast?

1. Zusammenfassen der Logarithmen mit der Summenregel: \(\log_2\left(\frac{14}{5} \cdot \frac{10}{7} \cdot 8\right)\) 2. Vereinfachen des Produkts im Numerus: \(\frac{14}{7} = 2\) und \(\frac{10}{5} = 2\), woraus folgt \(2 \cdot 2 \cdot 8 = 32\) 3. Berechnung des Logarithmus zur Basis 2: Da \(2^5 = 32\), ist \(\log_2 32 = 5\).

\(5\)

- Wie kannst du Logarithmen mit unterschiedlichen Basen auf eine gemeinsame Basis (z. B. den Zehnerlogarithmus) bringen? - Schau dir die Brüche nach dem Einsetzen der Formel genau an – lässt sich etwas vereinfachen? - Kannst du das Ergebnis aus Teil a) direkt auf die Zahlen in Teil b) übertragen? - Welche Zahl erhält man, wenn man 3 quadriert?

1. Ersetzen der Logarithmen in der Gleichung \(\log_a(b) \cdot \log_b(c)\) durch die Basiswechselformel: \(\frac{\lg(b)}{\lg(a)} \cdot \frac{\lg(c)}{\lg(b)}\). 2. Kürzen des Terms \(\lg(b)\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{\lg(c)}{\lg(a)}\). 3. Rückführung des Quotienten auf einen Logarithmus ergibt \(\log_a(c)\), womit die Identität bewiesen ist. 4. Anwendung der bewiesenen Regel auf Teilaufgabe b): \(\log_3(5) \cdot \log_5(9) = \log_3(9)\). 5. Da \(3^2 = 9\) ist, folgt \(\log_3(9) = 2\).

a) Der Beweis erfolgt durch Einsetzen: \(\frac{\lg b}{\lg a} \cdot \frac{\lg c}{\lg b} = \frac{\lg c}{\lg a} = \log_a c\). b) \(2\)

- Welche allgemeine Formel kennst du, um die Basis eines Logarithmus zu wechseln? - Ersetze in der allgemeinen Formel die Platzhalter durch die in der Aufgabe genannten Basen. - Was bedeutet Logarithmus eigentlich? Welche Potenz von 3 ergibt 81? - Hängt der Wert eines Logarithmus davon ab, welchen „Umweg“ über eine andere Basis man beim Rechnen wählt?

1. Anwendung der Basiswechselformel \(\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\) mit \(b=3\) und \(k=e\) liefert \(\log_3(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)}\). 2. Berechnung für \(x=10\): \(\frac{\ln(10)}{\ln(3)} \approx \frac{2{,}302585}{1{,}098612} \approx 2{,}0959\). 3. Berechnung für \(x=81\): \(\frac{\ln(81)}{\ln(3)} = \frac{\ln(3^4)}{\ln(3)} = \frac{4 \cdot \ln(3)}{\ln(3)} = 4\). 4. Begründung für c): Die Basiswechselformel besagt, dass \(\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\) für jede beliebige Basis \(k\) gilt. Daher führen sowohl die Basis \(k=e\) (\(\ln\)) als auch die Basis \(k=10\) (\(\lg\)) auf denselben Wert für \(\log_3(10)\).

a) \(\log_3(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)}\) b) \(\log_3(10) \approx 2{,}0959\); \(\log_3(81) = 4\) c) Beide Quotienten entsprechen nach der Basiswechselformel dem Wert \(\log_3(10)\), da die Wahl der Hilfsbasis (\(e\) oder \(10\)) das Endergebnis nicht beeinflusst.

- Was passiert, wenn die Basis eines Logarithmus mit dem Argument des nächsten Logarithmus in einem Produkt übereinstimmt? - Gibt es eine Regel, mit der man Logarithmen auf eine neue Basis umrechnen kann? - Kannst du das Produkt schrittweise von links nach rechts vereinfachen? - Überlege, welche Potenz von 3 die Zahl 81 ergibt.

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_3 10\cdot\log_{10}12=\frac{\lg10}{\lg3}\cdot\frac{\lg12}{\lg10}=\frac{\lg12}{\lg3}=\log_3 12\). 2. Damit wird das Produkt zu \(\log_3 12\cdot\log_{12}81\). 3. Noch einmal mit der Basiswechselformel folgt \(\log_3 12\cdot\log_{12}81=\log_3 81\). 4. Da \(3^4=81\), ist \(\log_3 81=4\).

\(4\)

- Versuche, die Zahlen 8 und 125 als Potenzen mit demselben Exponenten darzustellen. - Kennst du eine Regel, wie man mit Exponenten in der Basis eines Logarithmus umgeht? - Was ergibt das Produkt zweier Logarithmen, bei denen Basis und Argument vertauscht sind? - Kannst du den ersten Faktor so umformen, dass er die Basis 2 oder das Argument 5 erhält?

1. Schreibe \(8=2^3\) und \(125=5^3\). Dann ist \(\log_8 125=\log_{2^3}(5^3)\). 2. Mit der Basiswechselformel folgt \(\log_{2^3}(5^3)=\frac{\lg(5^3)}{\lg(2^3)}=\frac{3\lg5}{3\lg2}=\log_2 5\). 3. Der Ausdruck wird damit zu \(\log_2 5\cdot\log_5 2\). 4. Wegen \(\log_5 2=\frac{1}{\log_2 5}\) ist das Produkt gleich \(1\).

\(1\)

- Nutze die Formel für den Basiswechsel, um alle Werte auf die Basis 10 zurückzuführen. - Notiere dir die Ergebnisse übersichtlich, um sie besser vergleichen zu können. - Was passiert mit dem Exponenten, wenn die Basis größer wird, das Ergebnis der Potenz (\(20\)) aber gleich bleiben soll?

1. Berechnung von \(\log_2 20\) mittels Basiswechsel: \(\frac{\lg 20}{\lg 2} \approx 4{,}32\). 2. Berechnung von \(\log_5 20\) mittels Basiswechsel: \(\frac{\lg 20}{\lg 5} \approx 1{,}86\). 3. Berechnung von \(\log_{10} 20\) (direkt über die \(\lg\)-Taste): \(\lg 20 \approx 1{,}30\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4{,}32 > 1{,}86 > 1{,}30\) gilt, bestätigt sich die Vermutung für diese Beispiele. Mit steigender Basis \(2 < 5 < 10\) sinkt der Wert des Logarithmus.

\(\log_2 20 \approx 4{,}32\) \(\log_5 20 \approx 1{,}86\) \(\log_{10} 20 \approx 1{,}30\) Die Aussage ist für diese Werte korrekt, da die Logarithmuswerte bei steigender Basis kleiner werden.

- Ziehe die Zahlen vor den Logarithmen zunächst als Exponenten in die Argumente. - Welche Terme werden beim Addieren zu Faktoren eines Produkts? - Achte in Teil b) auf das Minuszeichen vor der Klammer, bevor du zum Quotienten zusammenfasst.

a) Mit dem Potenzgesetz wird der Ausdruck zu \(\log_a(x^3)+\log_a(y^2)-\log_a(z^4)\). Produkt- und Quotientengesetz ergeben \(\log_a\left(\frac{x^3y^2}{z^4}\right)\). b) Zuerst ist \(\log_k v+2\log_k w=\log_k(vw^2)\). Außerdem gilt \(5\log_k u=\log_k(u^5)\). Daher ergibt sich \(\log_k\left(\frac{u^5}{vw^2}\right)\).

a) \(\log_a\left(\frac{x^3y^2}{z^4}\right)\) b) \(\log_k\left(\frac{u^5}{vw^2}\right)\)

- Überlege zuerst, wie du Brüche oder Faktoren vor dem Logarithmus in das Innere verschieben kannst. - Erinnerst du dich, wie man Potenzen mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) auch schreiben kann? - Fasse alle Teile zu einem einzigen Bruch innerhalb des Logarithmus zusammen. - Schau dir das Ergebnis im Logarithmus genau an – lässt sich dort noch etwas kürzen?

1. Teilaufgabe a): Der Faktor \(\frac{1}{2}\) wird als Exponent in den Logarithmus gezogen: \(\log_b((100p^2)^{\frac{1}{2}}) - \log_b(2p)\). Da \(\sqrt{100p^2} = 10p\) ist, ergibt sich \(\log_b(10p) - \log_b(2p)\). Durch Anwendung des Quotientengesetzes erhält man \(\log_b\left(\frac{10p}{2p}\right)\). Nach Kürzen des Bruchs bleibt \(\log_b(5)\). 2. Teilaufgabe b): Die Faktoren vor den Logarithmen werden als Exponenten verwendet: \(\log_x((4a)^2) + \log_x(b^3) - \log_x(8a^2b^3) = \log_x(16a^2) + \log_x(b^3) - \log_x(8a^2b^3)\). Zusammenfassen durch Multiplikation der Argumente bei Addition und Division bei Subtraktion: \(\log_x\left(\frac{16a^2b^3}{8a^2b^3}\right)\). Nach dem Kürzen vereinfacht sich der Term zu \(\log_x(2)\).

a) \(\log_b(5)\) b) \(\log_x(2)\)

- Beginne jeweils mit der äußersten Rechenoperation im Logarithmusargument. - Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Eine Summe wie \(x+y\) bleibt beim Zerlegen als ein einziges Logarithmusargument erhalten.

a) \(\log_a(x^3y^5)=3\log_a x+5\log_a y\). b) \(\log_a\left(\frac{b^2}{\sqrt{c}}\right)=2\log_a b-\frac{1}{2}\log_a c\). c) \(\log_a\sqrt[4]{\frac{u^3}{v}}=\frac{1}{4}\left(3\log_a u-\log_a v\right)=\frac{3}{4}\log_a u-\frac{1}{4}\log_a v\). d) \(\log_a\left(\frac{1}{z^2(x+y)}\right)=-\log_a(z^2)-\log_a(x+y)=-2\log_a z-\log_a(x+y)\).

a) \(3\log_a x+5\log_a y\) b) \(2\log_a b-\frac{1}{2}\log_a c\) c) \(\frac{3}{4}\log_a u-\frac{1}{4}\log_a v\) d) \(-2\log_a z-\log_a(x+y)\)

- Verwandle zuerst die Faktoren vor den Logarithmen in Exponenten. - Addierte Logarithmen werden zu einem Produkt, subtrahierte zu einem Quotienten. - Welche bekannte Faktorisierung steckt in \((u+v)(u-v)\)?

a) \(4\log_k x+3\log_k y=\log_k(x^4y^3)\). b) \(\frac{1}{3}\log_k a-2\log_k b=\log_k\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\right)\). c) \(\log_k(u+v)+\log_k(u-v)=\log_k((u+v)(u-v))=\log_k(u^2-v^2)\). d) Zunächst ist \(\log_k r-2\log_k s=\log_k\left(\frac{r}{s^2}\right)\). Der Faktor \(3\) ergibt \(\log_k\left(\frac{r^3}{s^6}\right)\).

a) \(\log_k(x^4y^3)\) b) \(\log_k\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\right)\) c) \(\log_k(u^2-v^2)\) d) \(\log_k\left(\frac{r^3}{s^6}\right)\)

- Welche Quotientenform entsteht aus der Differenz der beiden Logarithmen in Teil a)? - Lässt sich \(x^2-9\) faktorisieren? - Zerlege in Teil b) den letzten Logarithmus, bevor du gleichartige Logarithmusterms zusammenfasst.

a) Mit dem Quotientengesetz gilt \(\log_a\left(\frac{x^2-9}{x+3}\right)\). Wegen \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x>3\) darf gekürzt werden. Es bleibt \(\log_a(x-3)\). b) Der letzte Term ist \(3\log_a q-\log_a p\). Damit wird der Gesamtausdruck zu \(2\log_a p-3\log_a q+3\log_a q-\log_a p=\log_a p\).

a) \(\log_a(x-3)\) b) \(\log_a p\)

- Schreibe \(2\), \(4\) und \(8\) als Potenzen von \(2\) und von \(0{,}5\). - Welche Zweierpotenz ist die Basis \(0{,}5\)? - Setze diese Information in die Basiswechselformel ein und vereinfache den Nenner.

a) Es ist \(f(2)=1\), \(f(4)=2\) und \(f(8)=3\). Wegen \(0{,}5^{-1}=2\), \(0{,}5^{-2}=4\) und \(0{,}5^{-3}=8\) gilt \(g(2)=-1\), \(g(4)=-2\) und \(g(8)=-3\). Die Werte von \(g\) sind jeweils die Gegenzahlen der Werte von \(f\). b) Mit der Basiswechselformel ist \(g(x)=\frac{\log_2(x)}{\log_2(0{,}5)}\). Da \(0{,}5=2^{-1}\), gilt \(\log_2(0{,}5)=-1\). Somit ist \(g(x)=-\log_2(x)=-f(x)\).

a) \(f(2)=1\), \(f(4)=2\), \(f(8)=3\); \(g(2)=-1\), \(g(4)=-2\), \(g(8)=-3\). Die Werte sind jeweils Gegenzahlen. b) Für alle \(x>0\) gilt \(g(x)=-f(x)\).

- Wie hängen Logarithmen mit verschiedenen Basen mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel \( \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \). Welche Basis bietet sich hier als Vergleichsbasis an? - Welche Zahl im Nenner der Basiswechselformel entspricht dem Kehrwert des Streckungsfaktors?

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Funktionen basierend auf der geometrischen Abbildung: \( g(x) = k \cdot f(x) \), also \( \log_5(x) = k \cdot \lg(x) \). 2. Anwendung der Basiswechselformel auf \( \log_5(x) \), um zur Basis \( 10 \) (Zehnerlogarithmus) zu gelangen: \( \log_5(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(5)} \). 3. Vergleich der beiden Ausdrücke für \( g(x) \): \( k \cdot \lg(x) = \frac{1}{\lg(5)} \cdot \lg(x) \). 4. Identifikation des Streckungsfaktors: \( k = \frac{1}{\lg(5)} \). 5. Numerische Berechnung: \( \lg(5) \approx 0{,}69897 \), daraus folgt \( k = \frac{1}{0{,}69897} \approx 1{,}43067 \). 6. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \( k \approx 1{,}43 \).

Der Streckungsfaktor beträgt \( k = \frac{1}{\lg(5)} \approx 1{,}43 \).

- Kannst du die Zahl auf der linken Seite als Logarithmus schreiben? - Welches Gesetz hilft dir, zwei Logarithmen mit der gleichen Basis zu addieren? - Vergiss nicht zu prüfen, für welche Werte von \(x\) der Logarithmus überhaupt definiert ist. - Was muss gelten, damit zwei Logarithmen mit derselben Basis denselben Wert haben?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). 2. Umwandlung der Konstanten \(1\) in einen Logarithmus zur Basis \(5\): \(1 = \log_5(5)\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für Summen: \(\log_5(5 \cdot (x - 1)) = \log_5(20)\). 4. Gleichsetzen der Argumente (Numeri): \(5(x - 1) = 20\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(5x - 5 = 20 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: \(5 > 1\), somit ist die Lösung zulässig.

\(\mathbb{L} = \{5\}\)

- Wie kannst du eine Differenz von zwei Logarithmen zusammenfassen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Achte darauf, dass das Argument eines Logarithmus immer positiv sein muss. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x + 6 > 0\) und \(x > 0\), daraus folgt \(x > 0\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Differenzen: \(\log_2\left(\frac{x + 6}{x}\right) = 2\). 3. Anwendung der Definition des Logarithmus (Entlogarithmieren): \(\frac{x + 6}{x} = 2^2\). 4. Berechnung der Potenz: \(2^2 = 4\). 5. Lösen der Gleichung: \(x + 6 = 4x \Rightarrow 6 = 3x \Rightarrow x = 2\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: \(2 > 0\), somit ist die Lösung zulässig.

\(\mathbb{L} = \{2\}\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) überhaupt eingesetzt werden dürfen. - Gibt es eine Regel, wie man zwei Logarithmen mit der gleichen Basis addiert? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\log_b(A) = c\) in eine Potenzgleichung umwandeln? - Prüfe am Ende, ob alle deine berechneten Werte im Definitionsbereich liegen.

1. Definitionsbereich bestimmen: Da die Argumente der Logarithmen positiv sein müssen, gilt \(x+5 > 0\) und \(x > 0\), woraus sich \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) ergibt. 2. Logarithmengesetz für Summen anwenden: \(\log_6(x \cdot (x+5)) = 2\). 3. Gleichung in die Exponentialform umwandeln: \(x(x+5) = 6^2\), also \(x^2 + 5x = 36\). 4. Quadratische Gleichung lösen: \(x^2 + 5x - 36 = 0\) ergibt mit der Lösungsformel die Werte \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -9\). 5. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Nur \(x = 4\) liegt in \(D\). Somit ist \(L = \{4\}\).

\(L = \{4\}\)

- Welche Potenzgleichung gehört jeweils zur gegebenen Logarithmusgleichung? - Bei b) führt die Umformung auf eine quadratische Gleichung; denke an beide möglichen Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Werte positive Logarithmusargumente ergeben.

1. Aus \(\log_3(4x-5)=2\) folgt \(4x-5=3^2=9\). Damit ist \(4x=14\) und \(x=3{,}5\). Wegen \(4\cdot3{,}5-5=9>0\) ist der Wert zulässig. 2. Aus \(\lg(x^2+19)=2\) folgt \(x^2+19=10^2=100\), also \(x^2=81\). Damit sind \(x=9\) und \(x=-9\) möglich. Für beide Werte ist das Logarithmusargument gleich \(100>0\), also sind beide zulässig.

a) \(L=\{3{,}5\}\) b) \(L=\{-9;9\}\)

- Was muss für die Terme innerhalb der Logarithmen gelten? - Kannst du die linke Seite der Gleichung mithilfe von Logarithmusgesetzen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Wenn auf beiden Seiten der Gleichung nur noch ein Logarithmus mit derselben Basis steht, was kannst du dann über die Argumente sagen? - Setze dein Ergebnis am Ende zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.

1. Die Logarithmusargumente müssen positiv sein: \(x+4>0\) und \(x-1>0\). Insgesamt gilt also \(x>1\). 2. Mit dem Quotientengesetz wird die linke Seite zu \(\log_5\left(\frac{x+4}{2}\right)\). Damit gilt \(\log_5\left(\frac{x+4}{2}\right)=\log_5(x-1)\). 3. Beide Logarithmen haben denselben Wert. Ist dieser Wert \(y\), so sind beide Argumente gleich \(5^y\). Daher gilt \(\frac{x+4}{2}=x-1\). 4. Daraus folgt \(x+4=2x-2\) und somit \(x=6\). 5. Wegen \(6>1\) ist die Lösung zulässig.

\(L = \{6\}\)

- Was gibt der Logarithmus zur Basis 10 über die Zehnerpotenzen an? - Wie lässt sich eine Zahl mit negativem Exponenten als Dezimalzahl schreiben? - Welches Logarithmusgesetz hilft dir, wenn im Argument ein Produkt steht? - Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(10x\) ersetzt.

1. Wegen \(10^1=10\), \(10^2=100\) und \(10^6=1\,000\,000\) gilt \(\lg10=1\), \(\lg100=2\) und \(\lg1\,000\,000=6\). 2. Aus \(\lg x=-4\) folgt \(x=10^{-4}=0{,}0001\). 3. Für \(x>0\) gilt mit dem Produktgesetz \(\lg(10x)=\lg10+\lg x=1+\lg x\). Daher erhöht eine Verzehnfachung des Arguments den Logarithmuswert um \(1\).

a) \(\lg10=1\), \(\lg100=2\), \(\lg1\,000\,000=6\) b) \(x=0{,}0001\) c) \(\lg(10x)=1+\lg x\) für \(x>0\); der Logarithmuswert steigt also um \(1\).

- Welches Logarithmengesetz hilft dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) immer wieder verdoppelst? Gibt es eine Obergrenze? - Wie lautet die Umkehrfunktion zum Logarithmus zur Basis 2 (\(\log_2\))?

1. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(g(2x) = \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x)\). Damit ist die Eigenschaft gezeigt. 2. Da man den Funktionswert durch wiederholtes Verdoppeln von \(x\) immer wieder um \(1\) steigern kann, lassen sich beliebig große Funktionswerte erreichen, wenn \(x\) groß genug gewählt wird. Die Funktion wächst also unbegrenzt. 3. Die Gleichung \(\log_2(x) = 20\) wird durch \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\) gelöst. 4. Die Gleichung \(\log_2(x) = 30\) wird durch \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\) gelöst.

a) Nachweis über \(\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)\). b) Durch sukzessive Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert schrittweise um \(1\) und überschreitet jede Schranke. c) Für \(g(x) = 20\) ist \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\); für \(g(x) = 30\) ist \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\).

- Gib \(\log_b(u)\) zunächst einen eigenen Variablennamen. - Übersetze diese Logarithmusgleichung mithilfe der Definition in eine Potenzgleichung. - Welche Potenzregel verwendest du für \((b^r)^z\)?

1. Setze \(r=\log_b(u)\). Dann gilt nach der Definition \(u=b^r\). 2. Potenzieren mit \(z\) ergibt \(u^z=(b^r)^z=b^{rz}\). 3. Nach der Logarithmusdefinition folgt daraus \(\log_b(u^z)=rz\). 4. Mit \(r=\log_b(u)\) erhält man \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\).

Aus \(u=b^r\) mit \(r=\log_b(u)\) folgt \(u^z=b^{rz}\). Daher ist \(\log_b(u^z)=rz=z\log_b(u)\).

- Bestimme zuerst, für welche Werte beide Logarithmusargumente positiv sind. - Wie kannst du die Summe zweier Logarithmen mit gleicher Basis zusammenfassen? - Nach dem Auflösen der entstehenden algebraischen Gleichung musst du die Kandidaten mit dem ursprünglichen Definitionsbereich vergleichen.

1. Beide Logarithmen sind nur für \(x>2\) definiert. 2. Mit dem Produktgesetz folgt \(\log_2(x(x-2))=3\). 3. Daher gilt \(x(x-2)=2^3=8\), also \(x^2-2x-8=0\). 4. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(x=4\) und \(x=-2\). Wegen \(x>2\) bleibt nur \(x=4\).

\(L=\{4\}\)

- Multipliziere zuerst die Faktoren vor den Klammern in die Klammern hinein und achte auf die Vorzeichen. - Welche Potenzen entsprechen den auftretenden Bruchfaktoren vor den Logarithmen? - Fasse anschließend positive Logarithmusterms im Zähler und subtrahierte Terme im Nenner zusammen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(\lg x=\frac{2}{3}\lg(a+b)-\frac{1}{3}\lg a-\frac{1}{4}\lg b+\frac{1}{2}\lg(a-b)\). 2. Mit dem Potenzgesetz folgt \(\lg x=\lg\left((a+b)^{\frac{2}{3}}\right)-\lg\left(a^{\frac{1}{3}}\right)-\lg\left(b^{\frac{1}{4}}\right)+\lg\left((a-b)^{\frac{1}{2}}\right)\). 3. Produkt- und Quotientengesetz liefern \(\lg x=\lg\left(\frac{(a+b)^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}}\right)\). 4. Daher ist \(x=\frac{\sqrt[3]{(a+b)^2}\sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{b}}\).

\(x=\frac{\sqrt[3]{(a+b)^2}\sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{b}}\)

- Was genau ist eine zusammengesetzte Zahl? - Kannst du den Logarithmus einer Zahl berechnen, wenn du einen ihrer Primfaktoren nicht kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(\lg 2\), \(\lg 5\) und \(\lg 10\). - Gehe die Zahlen von 1 bis 20 durch und prüfe ihre Primfaktorzerlegung.

1. Die Aussage ist falsch. Eine zusammengesetzte Zahl ist das Produkt von Primfaktoren. Um ihren Logarithmus zu berechnen, müssen die Logarithmen aller ihrer Primfaktoren bekannt sein. Die Zahl \(14 = 2 \cdot 7\) ist zusammengesetzt, aber \(\lg 7\) ist weder gegeben noch aus \(\lg 2\) oder \(\lg 3\) ableitbar. 2. Berechenbar sind alle Zahlen, deren Primfaktorzerlegung nur aus den Faktoren 2, 3 und 5 besteht (da \(\lg 5 = \lg 10 - \lg 2\) berechenbar ist). Dies sind: 1 (da \(\lg 1 = 0\)), 2, 3, 4 (\(2^2\)), 5, 6 (\(2 \cdot 3\)), 8 (\(2^3\)), 9 (\(3^2\)), 10, 12 (\(2^2 \cdot 3\)), 15 (\(3 \cdot 5\)), 16 (\(2^4\)), 18 (\(2 \cdot 3^2\)) und 20 (\(2 \cdot 10\)). 3. Es fehlen die Primzahlen, die nicht 2, 3 oder 5 sind. Im Bereich bis 20 sind das: 7, 11, 13, 17 und 19.

1. Die Aussage ist falsch, da zum Beispiel \(\lg 14\) die Kenntnis von \(\lg 7\) erfordert. 2. Berechenbar sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20. 3. Es fehlen die Primzahlen 7, 11, 13, 17 und 19.

- Kannst du den Term im Nenner mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren? - Welche Logarithmengesetze helfen dir, Brüche und Produkte in Summen oder Differenzen zu verwandeln? - Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen, wenn man Logarithmengesetze anwendet? - Gibt es nach der Zerlegung Terme, die du zusammenfassen kannst?

1. Anwendung des Quotientengesetzes auf den gesamten Bruch: \(\log_k (u - v)^2 - \log_k \sqrt{u^2 - v^2}\) 2. Umschreiben von Potenz und Wurzel als Faktoren vor dem Logarithmus: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u^2 - v^2)\) 3. Faktorisierung des Terms \(u^2 - v^2\) im zweiten Logarithmus mittels der dritten binomischen Formel: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k ((u - v)(u + v))\) 4. Anwendung des Produktgesetzes auf das Argument des zweiten Terms: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} (\log_k (u - v) + \log_k (u + v))\) 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der gleichartigen Logarithmen: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v) = \frac{3}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v)\)

\(\frac{3}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v)\)

- Gibt es ein Gesetz, mit dem man einen Faktor vor dem Logarithmus in den Logarithmus hineinziehen kann? - Wie gehst du vor, wenn du eine Differenz von zwei Logarithmen hast? - Welche Werte dürfen für die Variable nicht eingesetzt werden? - Wenn eine quadratische Gleichung entsteht, sind dann immer alle Lösungen auch für die ursprüngliche Logarithmusgleichung gültig?

1. Teilaufgabe a): Definitionsbereich festlegen: \(x + 3 > 0\) und \(x - 3 > 0 \implies x > 3\). Zusammenfassen der Logarithmen: \(\log_2((x + 3)(x - 3)) = 4\). Anwendung der Definition: \((x + 3)(x - 3) = 2^4\). Mit der dritten binomischen Formel folgt \(x^2 - 9 = 16\), also \(x^2 = 25\). Die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\) werden geprüft. Nur \(x = 5\) liegt im Definitionsbereich. \(L = \{5\}\). 2. Teilaufgabe b): Definitionsbereich: \(x > 0\) und \(x + 20 > 0 \implies x > 0\). Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen: \(\lg(x^2) = \lg(x + 20)\). Numerivergleich liefert die quadratische Gleichung \(x^2 = x + 20\), also \(x^2 - x - 20 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -4\). Da \(x > 0\) sein muss, ist \(L = \{5\}\). 3. Teilaufgabe c): Definitionsbereich: \(x > -2\) und \(x > 1 \implies x > 1\). Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_4\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right) = 1\). Anwendung der Definition: \(\frac{x + 2}{x - 1} = 4^1\). Multiplikation mit dem Nenner: \(x + 2 = 4(x - 1) \implies x + 2 = 4x - 4\). Auflösen ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Da \(2 > 1\), ist \(L = \{2\}\).

a) \(L = \{5\}\) b) \(L = \{5\}\) c) \(L = \{2\}\)

- Setze die Koordinaten des Punktes \( S \) einfach in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Erinnere dich daran, welche Hochzahl man benötigt, um die Basis auf den Wert im Logarithmus zu bringen. - Nutze die Umrechnungsformel, um eine der beiden Funktionen auf die Basis der anderen umzuschreiben.

1. Für \( x = 1 \) gilt \( y = a \cdot \log_b(1) \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) ist, folgt \( y = a \cdot 0 = 0 \). Somit liegt \( S(1 \mid 0) \) auf jedem Graphen. 2. Prüfung für \( a=2, b=3 \): \( 2 \cdot \log_3(9) = 2 \cdot 2 = 4 \). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Prüfung für \( a=4, b=9 \): \( 4 \cdot \log_9(9) = 4 \cdot 1 = 4 \). Die Bedingung ist ebenfalls erfüllt. 4. Umformung von \( y = 4 \cdot \log_9(x) \) mit der Basis \( k = 3 \): \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} \). 5. Da \( \log_3(9) = 2 \) ist, ergibt sich \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \). Die Graphen und Funktionen sind also identisch.

a) Da \( \log_b(1) = 0 \), ist \( y = a \cdot 0 = 0 \). b) Beides führt auf \( y = 4 \). c) Es handelt sich um dieselbe Funktion, da \( 4 \cdot \log_9(x) = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \).

- Kannst du alle Logarithmen auf die gleiche Basis bringen? Nutze dazu die Basiswechselformel. - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{2}\), \(2\) und \(4\)? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf beiden Seiten nur noch ein einzelner Logarithmus zur selben Basis steht. - Wenn \(\log_a(u) = \log_a(v)\) gilt, was lässt sich dann über \(u\) und \(v\) sagen?

1. Definitionsbereich festlegen: Da das Argument des Logarithmus positiv sein muss, gilt \(x > 0\). 2. Basen vereinheitlichen (hier auf Basis 2): \(\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{2} = \frac{2 \log_2 3}{2} = \log_2 3\). \(\log_{\sqrt{2}} 6 = \frac{\log_2 6}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 6}{0{,}5} = 2 \log_2 6 = \log_2 (6^2) = \log_2 36\). 3. Gleichung mit einheitlicher Basis aufschreiben: \(\log_2 x + \log_2 3 = \log_2 36\). 4. Logarithmengesetz für Summen anwenden: \(\log_2 (3x) = \log_2 36\). 5. Numeri vergleichen: \(3x = 36 \Rightarrow x = 12\). 6. Da \(12 > 0\), ist die Lösung gültig.

\(x = 12\)