- Für den Sinus ist die vertikale Koordinate des Einheitskreispunkts entscheidend. - Ordne jedem angegebenen Winkel zuerst seine Höhe am Einheitskreis zu. - Achte beim Zeichnen auf einen glatten Verlauf durch Hochpunkt, Nullstellen und Tiefpunkt.

1. Die vertikalen Koordinaten der Einheitskreispunkte sind der Reihe nach \(0,1,0,-1,0\). 2. Damit entstehen die Punkte \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid0)\). 3. Verbinde die Punkte nicht mit Geraden, sondern zeichne einen glatten Verlauf: von \((0\mid0)\) zum Hochpunkt, zurück zur Nullstelle, zum Tiefpunkt und wieder zur Nullstelle.

Kennpunkte: \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\), \((2\pi\mid0)\). Der gezeichnete Graph muss diese Punkte in der richtigen Reihenfolge als glatte Sinuskurve verbinden.

- Forme die Gleichung zuerst so um, dass die Sinusfunktion alleine auf einer Seite steht. - Überlege dir, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinuswert negativ ist. - Nutze die Symmetrie der Sinusfunktion am Einheitskreis, um aus einem bekannten Wert die zweite Lösung im Intervall zu finden.

1. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(6\sin(x) = -3\). 2. Division durch 6 ergibt die elementare Sinusgleichung \(\sin(x) = -0{,}5\). 3. Unter Berücksichtigung des Einheitskreises und des Intervalls \([0; 2\pi]\) ergeben sich die Lösungen \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).

\(x_1 = \frac{7\pi}{6}\); \(x_2 = \frac{11\pi}{6}\)

- Überlege dir, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion die x-Achse kreuzt. - Erinnere dich an die Periodizität der Sinusfunktion. Wie weit liegen die Täler des Graphen auseinander? - Es hilft, sich den Verlauf des Graphen im Kopf oder als Skizze vorzustellen. - Prüfe systematisch die Vielfachen von \(\pi\) und \(\frac{\pi}{2}\) innerhalb der Intervallgrenzen.

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion befinden sich an den Stellen \(x = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) sind dies die Werte \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 2. Der kleinste Funktionswert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser Wert wird an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. 3. Innerhalb des Intervalls \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich durch Einsetzen von \(k\) die Werte \(x = -\frac{\pi}{2}\) (für \(k = -1\)) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k = 0\)).

Nullstellen: \(x \in \{-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\}\) Stellen mit \(\sin(x) = -1\): \(x \in \{-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\}\)

- Was sind der höchste und der tiefste Punkt, den die Sinuswelle erreicht? - Wie oft passt eine volle Periode der Länge \(2\pi\) in das angegebene Intervall? - Kannst du die markanten Punkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) innerhalb einer Periode benennen?

1. Der maximale Wert der Sinusfunktion ist \(1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) (für \(k=0\)) und \(x_2 = \frac{5\pi}{2}\) (für \(k=1\)). 2. Der minimale Wert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) liegt nur die Stelle \(x_3 = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k=0\)). Der nächste Wert \(x = \frac{7\pi}{2}\) liegt bereits außerhalb des Intervalls.

a) \(x \in \{\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) b) \(x = \frac{3\pi}{2}\)

- In welchen regelmäßigen Abständen wiederholen sich die Nullstellen beim Sinus? - Überlege, welche ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) in den genannten Bereich fallen. - Vergiss nicht, die Intervallgrenzen mit zu prüfen. - Wie viele Zahlen liegen in der Menge \(\{0, 1, 2, \dots, 10\}\)?

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen allgemein bei \(x = k\pi\) für alle ganzen Zahlen \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Im Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich für \(k \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) die Nullstellen \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 3. Im Intervall \([0; 10\pi]\) sind die Nullstellen durch die Werte \(k\pi\) mit \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) gegeben. 4. Durch Zählen der möglichen Werte für \(k\) ergibt sich eine Gesamtzahl von 11 Nullstellen.

a) \(-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\) b) Es sind 11 Nullstellen, da alle Werte \(k\pi\) mit \(k \in \{0, 1, \dots, 10\}\) im Intervall liegen.

- Jedes Kästchen in \(x\)-Richtung entspricht einem Winkel von \(\frac{\pi}{6}\). Zähle ab, wie viele Kästchen jeder Punkt vom Ursprung entfernt ist. - Nutze dein Wissen über Sinuswerte an speziellen Stellen wie \(0\), \(\frac{\pi}{6}\) oder \(\frac{\pi}{2}\).

1. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten aus dem Gitter mit der Schrittweite \(\frac{\pi}{6}\): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\) - \(x_C = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_D = 9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\) 2. Berechnung der \(y\)-Koordinaten mit \(f(x) = \sin(x)\): - \(y_A = \sin(0) = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = \sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5 \implies B(\frac{\pi}{6} \mid 0{,}5)\) - \(y_C = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \implies C(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) - \(y_D = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \implies D(\frac{3\pi}{2} \mid -1)\)

Die gesuchten Koordinaten sind \(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{6} \mid 0{,}5)\), \(C(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) und \(D(\frac{3\pi}{2} \mid -1)\).

- Schau dir an, welche besonderen Stellen einer Sinuskurve (Hochpunkt, Tiefpunkt, Nullstelle) markiert sind. - Nutze die Gitterlinien, um die \(x\)-Werte der Punkte abzulesen. - Überprüfe deine Vermutung, indem du den \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. - Erinnere dich an die Werte der Sinusfunktion für Vielfache von \(\frac{\pi}{2}\).

Um die Koordinaten der Punkte zu bestimmen, setzen wir die entsprechenden \(x\)-Werte der Gitterpunkte in die Funktionsgleichung ein oder lesen sie direkt unter Berücksichtigung der Periodizität ab: 1. Der Punkt \(A\) liegt beim ersten Maximum der Funktion. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = 1\), ist \(A(1 \mid 1)\). 2. Der Punkt \(B\) ist die erste Nullstelle nach dem Ursprung. Mit \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2\right) = \sin(\pi) = 0\) erhalten wir \(B(2 \mid 0)\). 3. Der Punkt \(C\) markiert das erste Minimum. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 3\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), ist \(C(3 \mid -1)\). 4. Der Punkt \(D\) ist die zweite Nullstelle nach dem Ursprung. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 4\right) = \sin(2\pi) = 0\), ist \(D(4 \mid 0)\).

Die Koordinaten der Punkte sind \(A(1 \mid 1)\), \(B(2 \mid 0)\), \(C(3 \mid -1)\) und \(D(4 \mid 0)\).

- Überlege, welche Sinuswerte die Einheitskreispunkte in der unteren Halbebene besitzen. - Welche charakteristischen Winkel fehlen zwischen \(\pi\) und \(2\pi\)? - Verbinde die Wiederholung des Graphen mit einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis.

1. Nach der Nullstelle bei \(x=\pi\) nimmt der Sinus negative Werte an, erreicht bei \(x=\frac{3\pi}{2}\) den Wert \(-1\) und kehrt bei \(x=2\pi\) zu \(0\) zurück. 2. Die Nullstellen im Intervall sind \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). Der Hochpunkt ist \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), der Tiefpunkt \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\). 3. Nach einer Winkelzunahme um \(2\pi\) erreicht der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis wieder dieselbe Position. Daher gilt \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).

a) \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\), \(\sin(2\pi)=0\) b) Nullstellen: \(0,\pi,2\pi\); Hochpunkt: \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\); Tiefpunkt: \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) c) Die Periode ist \(2\pi\), weil eine Winkelzunahme um \(2\pi\) zum selben Einheitskreispunkt und damit zum selben Sinuswert führt.

- Wo liegen Hochpunkt und Tiefpunkt? - Teile das Intervall an diesen beiden Stellen auf.

1. Von \(x=0\) bis zum Hochpunkt bei \(x=\frac{\pi}{2}\) steigt der Graph. 2. Vom Hochpunkt bei \(x=\frac{\pi}{2}\) bis zum Tiefpunkt bei \(x=\frac{3\pi}{2}\) fällt er. 3. Vom Tiefpunkt bis \(x=2\pi\) steigt er wieder.

Steigend auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{3\pi}{2};2\pi]\); fallend auf \([\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]\). Die Trennstellen sind der Hochpunkt \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\) und der Tiefpunkt \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\).

- Prüfe zuerst die Funktionswerte an besonders bekannten Stellen. - Vergleiche Nullstellen und Extrempunkte der Zeichnung mit denen des Sinusgraphen.

1. Bei \(x=0\) zeigt die gezeichnete Kurve den Wert \(1\). Für den Sinus gilt aber \(\sin(0)=0\). 2. Bei \(x=\frac{\pi}{2}\) zeigt die Kurve den Wert \(0\). Für den Sinus gilt dort \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). 3. Auch bei \(x=\pi\) passt die Zeichnung nicht: Sie zeigt \(-1\), während \(\sin(\pi)=0\). 4. Die Zeichnung ist tatsächlich der Kosinusgraph, nicht der Sinusgraph.

Zum Beispiel: Bei \(x=0\) müsste der Wert \(0\) statt \(1\) sein; bei \(x=\frac{\pi}{2}\) müsste der Wert \(1\) statt \(0\) sein. Die gezeichnete Kurve ist \(y=\cos(x)\).

- Überlege, welchen Sinuswert die fünf markierten \(x\)-Stellen haben. - Nutze Nullstellen und Extrempunkte, um den Verlauf zwischen den markierten Stellen glatt zu zeichnen.

1. Die charakteristischen Punkte sind \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid0)\). 2. Zeichne eine glatte Kurve durch diese Punkte: zuerst steigend zum Hochpunkt, dann fallend durch die Nullstelle zum Tiefpunkt und anschließend wieder steigend zur Nullstelle bei \(2\pi\).

Der gezeichnete Graph muss glatt durch \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid0)\) verlaufen.

- Zeichne zuerst die rechte Hälfte des Sinusverlaufs. - Was bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung für einen Punkt \((x\mid y)\)? - Wähle einen markierten Punkt rechts vom Ursprung mit \(y\neq0\) und bestimme seinen symmetrischen Partner links.

1. Für die rechte Hälfte gelten \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\) und \((\pi\mid0)\). 2. Wegen \(\sin(-x)=-\sin(x)\) erhält man links die Punkte \(\left(-\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((-\pi\mid0)\). 3. Zeichne eine glatte, zum Ursprung punktsymmetrische Sinuskurve durch die fünf Punkte. 4. Zum Beispiel wird \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\) durch die Punktsymmetrie zu \(\left(-\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\).

Kennpunkte: \((-\pi\mid0)\), \(\left(-\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\), \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\). Der Graph muss punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Beispiel für die Symmetrie: \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\leftrightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\mid-1\right)\).

- Forme jede Gleichung zuerst so um, dass der Sinus allein auf einer Seite steht. - Überlege am Einheitskreis, in welchen Quadranten der gegebene Sinuswert vorkommt. - Bei gleichen Sinuswerten kann dir die Symmetrie zur senkrechten Achse helfen.

1. Zu a): \(2\sin(\alpha)=1{,}5\) ergibt \(\sin(\alpha)=0{,}75\). Der erste Winkel ist \(\alpha_1=\arcsin(0{,}75)\approx48{,}59^\circ\). Der zweite Winkel im Intervall ist \(\alpha_2=180^\circ-48{,}59^\circ=131{,}41^\circ\). 2. Zu b): \(3\sin(\alpha)=-1{,}2\) ergibt \(\sin(\alpha)=-0{,}4\). Der Referenzwinkel ist \(\arcsin(0{,}4)\approx23{,}58^\circ\). Damit sind \(\alpha_1=180^\circ+23{,}58^\circ=203{,}58^\circ\) und \(\alpha_2=360^\circ-23{,}58^\circ=336{,}42^\circ\). 3. Zu c): Für \(\sin(\alpha)=\sin(40^\circ)\) ist eine Lösung \(40^\circ\). Wegen der Symmetrie des Sinus ist die zweite Lösung \(180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

a) \(\alpha \in \{48{,}59^\circ; 131{,}41^\circ\}\) b) \(\alpha \in \{203{,}58^\circ; 336{,}42^\circ\}\) c) \(\alpha \in \{40^\circ; 140^\circ\}\)

- Überlege, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion seine höchsten und tiefsten Punkte erreicht. - Wie verhält sich der Graph links und rechts von einem Hochpunkt oder Tiefpunkt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Sinusfunktion und ihrer Punktsymmetrie. - Eine Skizze des Graphen im Kopf oder auf Papier kann helfen, die Symmetrieachsen und -zentren schnell zu finden.

1. Begründung der Symmetrieachse: An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) besitzt die Sinusfunktion ein lokales Minimum mit dem Funktionswert \(-1\). Da der Graph der Sinusfunktion an jeder ihrer Extremstellen achsensymmetrisch verläuft, ist die Gerade \(x = 1{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 2. Bestimmung der weiteren Symmetrieachse: Im Intervall \([0; \pi]\) liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0{,}5\pi\) (bzw. \(x = \frac{\pi}{2}\)). Somit ist die Gerade \(x = 0{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 3. Identifikation der Symmetriezentren: Die Nullstellen der Funktion \(f(x) = \sin(x)\) liegen bei \(x = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-\pi; 2\pi]\) liegen die Nullstellen bei \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). Mögliche Symmetriezentren sind daher die Punkte \((-\pi\mid 0)\), \((0\mid 0)\), \((\pi\mid 0)\) und \((2\pi\mid 0)\).

a) An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) befindet sich ein Tiefpunkt; der Graph ist bezüglich der Geraden durch die Extrempunkte achsensymmetrisch. b) \(x = 0{,}5\pi\) (oder \(x = \frac{\pi}{2}\)). c) Zum Beispiel: \(P_1(-\pi\mid 0)\), \(P_2(0\mid 0)\) und \(P_3(\pi\mid 0)\).

- An welchen Stellen erreicht die Sinuskurve ihre höchsten und tiefsten Werte? - Stelle dir den Verlauf des Graphen vor oder nutze den Einheitskreis: Wann nimmt die \(y\)-Koordinate zu, wenn du den Kreis abläufst? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du dich von einem Tiefpunkt zu einem Hochpunkt bewegst? - Beachte die Grenzen des vorgegebenen Intervalls von \(-\pi\) bis \(\pi\).

1. Identifikation der Extremstellen im Intervall \([-\pi; \pi]\): Die Sinusfunktion erreicht ihren minimalen Wert \(-1\) bei \(x = -\frac{\pi}{2}\) und ihren maximalen Wert \(1\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\). 2. Bestimmung der Monotonieintervalle: Die Funktion steigt zwischen einem Tiefpunkt und dem darauffolgenden Hochpunkt. Im Bereich \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt der Wert von \(-1\) auf \(1\) zu, daher ist sie dort streng monoton steigend. 3. In den verbleibenden Randbereichen des Intervalls \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) nehmen die Funktionswerte ab (von \(0\) auf \(-1\) bzw. von \(1\) auf \(0\)), weshalb die Funktion dort streng monoton fallend ist.

a) Tiefpunkt bei \(x = -\frac{\pi}{2}\), Hochpunkt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). b) Streng monoton steigend im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). c) Streng monoton fallend in den Intervallen \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\).

- Überlege dir, welchen kleinsten und größten Wert die Sinusfunktion annehmen kann. - Stelle dir den Graphen der Sinusfunktion im Intervall von \(0\) bis \(2\pi\) vor. Wo startet er, wo endet er und wo sind die Hoch- und Tiefpunkte? - Beachte genau, ob die Randwerte \(0\) und \(2\pi\) zum Intervall gehören. - Wie oft schneidet eine horizontale Gerade den Graphen innerhalb einer Wellenbewegung?

1. Abgleich des Wertes \(c\) mit dem Wertebereich \([-1; 1]\) der Sinusfunktion. 2. Für \(c = 1\): Das Maximum wird im Intervall genau einmal an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 3. Für \(c = 0{,}8\): Da \(0 < 0{,}8 < 1\), gibt es zwei Schnittpunkte mit der horizontalen Geraden (2 Lösungen). 4. Für \(c = 0\): Die Sinuskurve nimmt den Wert \(0\) am Anfang (\(x = 0\)), in der Mitte (\(x = \pi\)) und am Ende (\(x = 2\pi\)) des abgeschlossenen Intervalls an (3 Lösungen). 5. Für \(c = -1\): Das Minimum wird genau einmal an der Stelle \(x = \frac{3\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 6. Für \(c = -2\): Da \(-2 < -1\), liegt der Wert außerhalb des Wertebereichs (0 Lösungen). 7. Vergleich der Fälle: Bei \(c = 0\) werden sowohl die Nullstelle in der Periodenmitte als auch beide Randpunkte des Intervalls \([0; 2\pi]\) mitgezählt, während Extrempunkte wie bei \(c = 1\) nur einmal pro Periode auftreten.

a) 1 Lösung b) 2 Lösungen c) 3 Lösungen d) 1 Lösung e) 0 Lösungen Bei \(c = 0\) gibt es drei Lösungen, da die Sinusfunktion den Wert \(0\) an den Stellen \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\) annimmt. Das Maximum (\(c = 1\)) wird dagegen nur an einem einzigen Punkt erreicht.