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- Für den Sinus ist die vertikale Koordinate des Einheitskreispunkts entscheidend. - Ordne jedem angegebenen Winkel zuerst seinen Punkt auf dem Kreis zu. - Übertrage dann nur dessen Höhe in das rechte Koordinatensystem.

1. Die vertikalen Koordinaten der Einheitskreispunkte sind der Reihe nach \(0,1,0,-1,0\). 2. Diese Werte werden beim jeweiligen Winkel als \(y\)-Werte des Sinusgraphen eingetragen. 3. Es entstehen die Punkte \((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) und \((2\pi\mid0)\).

\((0\mid0)\), \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), \((\pi\mid0)\), \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\), \((2\pi\mid0)\)

- Was gibt dir dein Taschenrechner aus, wenn du die Umkehrfunktion des Sinus nutzt? - Überlege dir am Einheitskreis, an welcher Stelle der Sinuswert (die \(y\)-Koordinate) noch einmal denselben Wert annimmt. - Wie hängen die beiden Winkel im Bereich von \(0\) bis \(\pi\) zusammen, die denselben Sinuswert haben? - Prüfe, ob beide gefundenen Werte im geforderten Intervall liegen.

1. Berechnung des ersten Werts mit der Arkussinus-Funktion: \(x_1 = \arcsin(0{,}3) \approx 0{,}3046\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion am Einheitskreis (\(\sin(x) = \sin(\pi - x)\)), um die zweite Lösung im vorgegebenen Intervall zu bestimmen: \(x_2 = \pi - x_1 \approx 3{,}1416 - 0{,}3046 = 2{,}8370\). 3. Rundung der Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen: \(x_1 \approx 0{,}30\) und \(x_2 \approx 2{,}84\).

\(x_1 \approx 0{,}30\); \(x_2 \approx 2{,}84\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, in welchen Winkelbereichen die vier Quadranten liegen (z. B. I. Quadrant: \(0^\circ\) bis \(90^\circ\)). - Wie hängen die Vorzeichen von Sinus und Kosinus mit der Lage im Einheitskreis zusammen?

1. Berechnung von \(\sin(142{,}5^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}6088\). Da \(90^\circ < 142{,}5^\circ < 180^\circ\), liegt der Winkel im II. Quadranten. 2. Berechnung von \(\cos(195^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9659\). Da \(180^\circ < 195^\circ < 270^\circ\), liegt der Winkel im III. Quadranten. 3. Berechnung von \(\sin(280{,}4^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9836\). Da \(270^\circ < 280{,}4^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten. 4. Berechnung von \(\cos(340^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}9397\). Da \(270^\circ < 340^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten.

a) \(\sin(142{,}5^\circ) \approx 0{,}6088\); II. Quadrant b) \(\cos(195^\circ) \approx -0{,}9659\); III. Quadrant c) \(\sin(280{,}4^\circ) \approx -0{,}9836\); IV. Quadrant d) \(\cos(340^\circ) \approx 0{,}9397\); IV. Quadrant

- Überprüfe vor der Rechnung, ob auf dem Display deines Taschenrechners „RAD“ oder ein kleines „R“ zu sehen ist. - Achte beim Runden auf die fünfte Nachkommastelle: Ist diese 5 oder größer, musst du aufrunden. - Negative Vorzeichen müssen beim Argument der Funktion mit eingegeben werden.

1. Einstellung des Taschenrechners auf den Modus RAD (Bogenmaß). 2. Eingabe der Werte und Rundung auf vier Dezimalstellen: a) \(\sin(0{,}85) \approx 0{,}7513\) b) \(\cos(2{,}12) \approx -0{,}5220\) c) \(\sin(-0{,}5) \approx -0{,}4794\) d) \(\cos(7{,}5) \approx 0{,}3466\)

a) \(0{,}7513\) b) \(-0{,}5220\) c) \(-0{,}4794\) d) \(0{,}3466\)

- Welche gemeinsame Periode besitzen Sinus und Kosinus? - Entferne bei jedem Winkel zunächst passende ganze Vielfache von \(2\pi\), bevor du den Taschenrechner benutzt. - Bei einem negativen Winkel kannst du \(2\pi\) addieren, um einen äquivalenten positiven Winkel zu erhalten. - Runde erst den vollständigen Funktionswert, nicht die einzelnen Sinus- und Kosinuswerte.

1. Sinus und Kosinus haben beide die Periode \(2\pi\). Daher gilt auch \(f(x+2\pi k)=f(x)\) für jedes \(k\in\mathbb Z\). 2. Für \(x_1=1{,}4+2\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_1'=1{,}4\). Damit gilt \(f(x_1)=f(1{,}4)=\sin(1{,}4)+\cos(1{,}4)\approx1{,}155\). 3. Für \(x_2=3{,}5+4\pi\) ist der äquivalente Winkel \(x_2'=3{,}5\). Damit gilt \(f(x_2)=f(3{,}5)=\sin(3{,}5)+\cos(3{,}5)\approx-1{,}287\). 4. Für \(x_3=-2{,}1\) erhält man durch Addition von \(2\pi\) den äquivalenten Winkel \(x_3'=2\pi-2{,}1\). Damit gilt \(f(x_3)=f(2\pi-2{,}1)=\sin(-2{,}1)+\cos(-2{,}1)\approx-1{,}368\).

a) \(x_1'=1{,}4\), \(f(x_1)\approx1{,}155\) b) \(x_2'=3{,}5\), \(f(x_2)\approx-1{,}287\) c) \(x_3'=2\pi-2{,}1\), \(f(x_3)\approx-1{,}368\)

- In welchem Quadranten des Einheitskreises liegt der jeweilige Winkel? - Wie groß ist der spitze Winkel zur \(x\)-Achse (der Bezugswinkel)? - Welche Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten? - Erinnerst du dich an die Werte für die Winkel \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\) und \(\frac{\pi}{3}\)?

1. Für \(x = \frac{5}{6}\pi\) (II. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{6}\). Da der Sinus im II. Quadranten positiv und der Kosinus negativ ist, ergibt sich \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}\) und \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Für \(x = \frac{4}{3}\pi\) (III. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{3}\). Im III. Quadranten sind sowohl Sinus als auch Kosinus negativ. Es folgt \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}\). 3. Für \(x = \frac{7}{4}\pi\) (IV. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{4}\). Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Somit gilt \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

a) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}\); \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}\) c) \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- Überprüfe vor dem Rechnen die Einstellung deines Taschenrechners. Suchst du Gradmaß oder Bogenmaß? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „am nächsten bei 0“ liegt? - Achte beim Runden genau auf die fünfte Nachkommastelle.

1. Berechnung der einzelnen Funktionswerte im Bogenmaß: \(\sin(4{,}5) \approx -0{,}9775\) \(\cos(-2{,}1) \approx -0{,}5048\) \(\sin(-0{,}75) \approx -0{,}6816\) \(\cos(10{,}2) \approx -0{,}7143\) 2. Vergleich der Beträge der Ergebnisse, um die Nähe zu \(0\) zu bestimmen: \(|-0{,}5048| < |-0{,}6816| < |-0{,}7143| < |-0{,}9775|\) Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt mit \(-0{,}5048\) am nächsten bei \(0\).

a) \(-0{,}9775\) b) \(-0{,}5048\) c) \(-0{,}6816\) d) \(-0{,}7143\) Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt am nächsten bei \(0\).

- Eine volle Umdrehung entspricht im Bogenmaß \(2\pi\). - Bei negativen Winkeln kannst du so oft \(2\pi\) addieren, bis der Winkel im gewünschten Intervall liegt. - Berechne in c) zuerst den Winkel \(z=x+y\), bevor du ihn reduzierst. - Begründe d) geometrisch mit dem Endpunkt einer Winkelumdrehung auf dem Einheitskreis.

1. Für \(y=-2{,}8\) ergibt die Addition einer vollen Umdrehung \(y'=2\pi-2{,}8\). Dieser Winkel liegt in \([0;2\pi)\). 2. Wegen der Periode \(2\pi\) gilt \(\sin(y)=\sin(y')\approx-0{,}3350\) und \(\cos(y)=\cos(y')\approx-0{,}9422\). 3. Es ist \(z=x+y=1{,}5-2{,}8=-1{,}3\). Daher ist \(z'=2\pi-1{,}3\) ein äquivalenter Winkel in \([0;2\pi)\). 4. Somit gilt \(\sin(z)=\sin(z')\approx-0{,}9636\). 5. Das Addieren oder Subtrahieren eines ganzzahligen Vielfachen von \(2\pi\) führt auf denselben Punkt des Einheitskreises. Deshalb bleiben Sinus und Kosinus unverändert.

a) \(y'=2\pi-2{,}8\) b) \(\sin(y)\approx-0{,}3350\), \(\cos(y)\approx-0{,}9422\) c) \(z=-1{,}3\), \(z'=2\pi-1{,}3\), \(\sin(z)\approx-0{,}9636\) d) Äquivalente Winkel unterscheiden sich um ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi\) und haben daher dieselben Sinus- und Kosinuswerte.

- Überlege dir, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion die x-Achse kreuzt. - Erinnere dich an die Periodizität der Sinusfunktion. Wie weit liegen die Täler des Graphen auseinander? - Es hilft, sich den Verlauf des Graphen im Kopf oder als Skizze vorzustellen. - Prüfe systematisch die Vielfachen von \(\pi\) und \(\frac{\pi}{2}\) innerhalb der Intervallgrenzen.

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion befinden sich an den Stellen \(x = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) sind dies die Werte \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 2. Der kleinste Funktionswert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser Wert wird an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. 3. Innerhalb des Intervalls \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich durch Einsetzen von \(k\) die Werte \(x = -\frac{\pi}{2}\) (für \(k = -1\)) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k = 0\)).

Nullstellen: \(x \in \{-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\}\) Stellen mit \(\sin(x) = -1\): \(x \in \{-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\}\)

- In welchen regelmäßigen Abständen wiederholen sich die Nullstellen beim Sinus? - Überlege, welche ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) in den genannten Bereich fallen. - Vergiss nicht, die Intervallgrenzen mit zu prüfen. - Wie viele Zahlen liegen in der Menge \(\{0, 1, 2, \dots, 10\}\)?

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen allgemein bei \(x = k\pi\) für alle ganzen Zahlen \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Im Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich für \(k \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) die Nullstellen \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 3. Im Intervall \([0; 10\pi]\) sind die Nullstellen durch die Werte \(k\pi\) mit \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) gegeben. 4. Durch Zählen der möglichen Werte für \(k\) ergibt sich eine Gesamtzahl von 11 Nullstellen.

a) \(-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\) b) Es sind 11 Nullstellen, da alle Werte \(k\pi\) mit \(k \in \{0, 1, \dots, 10\}\) im Intervall liegen.

- Nutze die Sinus- und Kosinustasten auf deinem Taschenrechner. Achte darauf, dass er auf „DEG“ (Gradmaß) eingestellt ist. - Achte beim Vergleichen der Werte auf die Summe der Winkel. Was ergibt \(12^\circ + 78^\circ\)? - Schau dir an, an welchen Stellen in der Tabelle dieselben Dezimalzahlen auftauchen.

1. Berechnung der fehlenden Werte: \(\sin 12^\circ \approx 0{,}21\) \(\cos 28^\circ \approx 0{,}88\) \(\sin 45^\circ \approx 0{,}71\) \(\sin 62^\circ \approx 0{,}88\) (bereits gegeben) \(\implies \cos 62^\circ \approx 0{,}47\) \(\sin 78^\circ \approx 0{,}98\) 2. Die vervollständigte Tabelle lautet: \(\sin \alpha\): \(0{,}21\); \(0{,}47\); \(0{,}71\); \(0{,}88\); \(0{,}98\) \(\cos \alpha\): \(0{,}98\); \(0{,}88\); \(0{,}71\); \(0{,}47\); \(0{,}21\) 3. Beobachtung: Es gilt \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\). Zum Beispiel ist \(\sin 12^\circ = \cos 78^\circ = 0{,}21\) und \(\sin 28^\circ = \cos 62^\circ = 0{,}47\). Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich.

Die fehlenden Werte sind: \(\sin 12^\circ \approx 0{,}21\); \(\cos 28^\circ \approx 0{,}88\); \(\sin 45^\circ \approx 0{,}71\); \(\cos 62^\circ \approx 0{,}47\); \(\sin 78^\circ \approx 0{,}98\). Auffälligkeit: Die Werte wiederholen sich „über Kreuz“, da \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt (Komplementärwinkel).

- Jedes Kästchen in \(x\)-Richtung entspricht einem Winkel von \(\frac{\pi}{6}\). Zähle ab, wie viele Kästchen jeder Punkt vom Ursprung entfernt ist. - Nutze dein Wissen über Sinuswerte an speziellen Stellen wie \(0\), \(\frac{\pi}{6}\) oder \(\frac{\pi}{2}\).

1. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten aus dem Gitter mit der Schrittweite \(\frac{\pi}{6}\): - \(x_A = 0\) - \(x_B = 1 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}\) - \(x_C = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\) - \(x_D = 9 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\) 2. Berechnung der \(y\)-Koordinaten mit \(f(x) = \sin(x)\): - \(y_A = \sin(0) = 0 \implies A(0 \mid 0)\) - \(y_B = \sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5 \implies B(\frac{\pi}{6} \mid 0{,}5)\) - \(y_C = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \implies C(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) - \(y_D = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \implies D(\frac{3\pi}{2} \mid -1)\)

Die gesuchten Koordinaten sind \(A(0 \mid 0)\), \(B(\frac{\pi}{6} \mid 0{,}5)\), \(C(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) und \(D(\frac{3\pi}{2} \mid -1)\).

- Schau dir an, welche besonderen Stellen einer Sinuskurve (Hochpunkt, Tiefpunkt, Nullstelle) markiert sind. - Nutze die Gitterlinien, um die \(x\)-Werte der Punkte abzulesen. - Überprüfe deine Vermutung, indem du den \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. - Erinnere dich an die Werte der Sinusfunktion für Vielfache von \(\frac{\pi}{2}\).

Um die Koordinaten der Punkte zu bestimmen, setzen wir die entsprechenden \(x\)-Werte der Gitterpunkte in die Funktionsgleichung ein oder lesen sie direkt unter Berücksichtigung der Periodizität ab: 1. Der Punkt \(A\) liegt beim ersten Maximum der Funktion. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = 1\), ist \(A(1 \mid 1)\). 2. Der Punkt \(B\) ist die erste Nullstelle nach dem Ursprung. Mit \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2\right) = \sin(\pi) = 0\) erhalten wir \(B(2 \mid 0)\). 3. Der Punkt \(C\) markiert das erste Minimum. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 3\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), ist \(C(3 \mid -1)\). 4. Der Punkt \(D\) ist die zweite Nullstelle nach dem Ursprung. Da \(\sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 4\right) = \sin(2\pi) = 0\), ist \(D(4 \mid 0)\).

Die Koordinaten der Punkte sind \(A(1 \mid 1)\), \(B(2 \mid 0)\), \(C(3 \mid -1)\) und \(D(4 \mid 0)\).

- Überlege, welche Sinuswerte die Einheitskreispunkte in der unteren Halbebene besitzen. - Welche charakteristischen Winkel fehlen zwischen \(\pi\) und \(2\pi\)? - Verbinde die Wiederholung des Graphen mit einer vollen Umdrehung auf dem Einheitskreis.

1. Nach der Nullstelle bei \(x=\pi\) nimmt der Sinus negative Werte an, erreicht bei \(x=\frac{3\pi}{2}\) den Wert \(-1\) und kehrt bei \(x=2\pi\) zu \(0\) zurück. 2. Die Nullstellen im Intervall sind \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). Der Hochpunkt ist \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\), der Tiefpunkt \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\). 3. Nach einer Winkelzunahme um \(2\pi\) erreicht der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis wieder dieselbe Position. Daher gilt \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).

a) \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\), \(\sin(2\pi)=0\) b) Nullstellen: \(0,\pi,2\pi\); Hochpunkt: \(\left(\frac{\pi}{2}\mid1\right)\); Tiefpunkt: \(\left(\frac{3\pi}{2}\mid-1\right)\) c) Die Periode ist \(2\pi\), weil eine Winkelzunahme um \(2\pi\) zum selben Einheitskreispunkt und damit zum selben Sinuswert führt.

- Überlege dir, an welchen Stellen der Einheitskreis die entsprechende \(y\)-Koordinate (für Sinus) oder \(x\)-Koordinate (für Kosinus) besitzt. - Denke daran, dass es in einem vollen Umlauf von \(2\pi\) meist zwei Stellen mit demselben Sinus- oder Kosinuswert gibt. - Wie hängen die beiden Winkel beim Sinus zusammen, wenn man die Symmetrie zur \(y\)-Achse betrachtet? - Wie hängen die beiden Winkel beim Kosinus zusammen, wenn man die Symmetrie zur \(x\)-Achse betrachtet? - Falls dein Taschenrechner einen negativen Wert ausgibt, wie kannst du diesen durch Addition der Periodenlänge in den Bereich von \(0\) bis \(2\pi\) verschieben?

1. Für \(\sin(x) = 0{,}5\): Der Hauptwert ist \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis ergibt sich die zweite Lösung durch \(\pi - x_1\), also \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\). 2. Für \(\cos(x) = 0\): Die Nullstellen der Kosinusfunktion im gegebenen Intervall liegen bei \(x_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\). 3. Für \(\sin(x) = -0{,}6\): Der Taschenrechner liefert \(\arcsin(-0{,}6) \approx -0{,}64\). Da \(x \in [0; 2\pi)\) sein muss, berechnet man \(x_1 = \pi - (-0{,}6435) \approx 3{,}79\) und \(x_2 = 2\pi + (-0{,}6435) \approx 5{,}64\).

a) \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\); \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\) b) \(x_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\); \(x_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) c) \(x_1 \approx 3{,}79\); \(x_2 \approx 5{,}64\)

- Überlege, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion seine höchsten und tiefsten Punkte erreicht. - Wie verhält sich der Graph links und rechts von einem Hochpunkt oder Tiefpunkt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Sinusfunktion und ihrer Punktsymmetrie. - Eine Skizze des Graphen im Kopf oder auf Papier kann helfen, die Symmetrieachsen und -zentren schnell zu finden.

1. Begründung der Symmetrieachse: An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) besitzt die Sinusfunktion ein lokales Minimum mit dem Funktionswert \(-1\). Da der Graph der Sinusfunktion an jeder ihrer Extremstellen achsensymmetrisch verläuft, ist die Gerade \(x = 1{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 2. Bestimmung der weiteren Symmetrieachse: Im Intervall \([0; \pi]\) liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0{,}5\pi\) (bzw. \(x = \frac{\pi}{2}\)). Somit ist die Gerade \(x = 0{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 3. Identifikation der Symmetriezentren: Die Nullstellen der Funktion \(f(x) = \sin(x)\) liegen bei \(x = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-\pi; 2\pi]\) liegen die Nullstellen bei \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). Mögliche Symmetriezentren sind daher die Punkte \((-\pi\mid 0)\), \((0\mid 0)\), \((\pi\mid 0)\) und \((2\pi\mid 0)\).

a) An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) befindet sich ein Tiefpunkt; der Graph ist bezüglich der Geraden durch die Extrempunkte achsensymmetrisch. b) \(x = 0{,}5\pi\) (oder \(x = \frac{\pi}{2}\)). c) Zum Beispiel: \(P_1(-\pi\mid 0)\), \(P_2(0\mid 0)\) und \(P_3(\pi\mid 0)\).

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert negativ ist. - Nutze den Taschenrechner für einen ersten Wert und überlege dann anhand der Symmetrie am Einheitskreis, wie du auf die beiden Lösungen im gesuchten Intervall kommst. - Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung und achsensymmetrisch zu den Extrema.

1. Berechnung des Arkussinus-Wertes mit dem Taschenrechner: \(\arcsin(-0{,}42) \approx -0{,}4334\). 2. Da dieser Wert außerhalb des Intervalls \([0; 2\pi)\) liegt, wird die erste Lösung durch die Symmetrieeigenschaft \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) bestimmt: \(x_1 = \pi - (-0{,}4334) \approx 3{,}58\). 3. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Periodizität der Sinusfunktion: \(x_2 = 2\pi + (-0{,}4334) \approx 5{,}85\).

\(x_1 \approx 3{,}58\); \(x_2 \approx 5{,}85\)

- Welche Koordinate am Einheitskreis gibt den Sinuswert eines Winkels an? - In welchen Quadranten ist der Sinus positiv und in welchen negativ? - Ordne die Winkel den Quadranten beziehungsweise Achsen des Einheitskreises zu. - Vergleiche die Werte der Brüche, falls du die exakten Wurzelwerte nicht direkt im Kopf hast.

1. Bestimmung der Sinuswerte am Einheitskreis: \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) \(\sin(0) = 0\) \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -0{,}5\) \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}87\) 2. Absteigende Sortierung der Werte: \(1 > 0{,}71 > 0 > -0{,}5 > -0{,}87\). 3. Zuordnung der Buchstaben ergibt das Wort POLAR.

POLAR

- In welchen Quadranten ist der Sinuswert negativ? - Kannst du einen Hilfswert im ersten Quadranten finden, der dir bei der Lösung hilft? - Wie hängen die Winkel in den verschiedenen Quadranten zusammen? - Stell dir die Situation am Einheitskreis vor.

1. Bestimmung des Referenzwinkels \(x_{\text{ref}}\) im ersten Quadranten, für den der Betrag der Gleichung erfüllt ist: \(\sin(x_{\text{ref}}) = \frac{1}{2} \implies x_{\text{ref}} = \frac{\pi}{6}\). 2. Identifikation der Quadranten, in denen der Sinuswert negativ ist (3. und 4. Quadrant). 3. Berechnung der Lösungen durch Transformation des Referenzwinkels in diese Quadranten: \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).

\(L = \left\{ \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right\}\)

- Denk daran, dass es innerhalb einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\)) meist zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinus- oder Kosinuswert gibt. - Skizziere dir den Einheitskreis, um zu sehen, in welchen Quadranten die gesuchten Winkel liegen müssen. - Wenn du einen Winkel mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du mithilfe der Symmetrie den zweiten Winkel berechnen? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die berechneten Winkel wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Lösung für \(\sin(\alpha) = 0{,}42\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arcsin(0{,}42) \approx 24{,}8^\circ\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis (Sinuswerte sind im I. und II. Quadranten positiv) liegt die zweite Lösung bei \(180^\circ - 24{,}8^\circ = 155{,}2^\circ\). 2. Lösung für \(\cos(\alpha) = -0{,}75\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arccos(-0{,}75) \approx 138{,}6^\circ\). Da der Kosinuswert im II. und III. Quadranten negativ ist und Punkte mit gleicher x-Koordinate am Einheitskreis an der x-Achse gespiegelt liegen, liegt die zweite Lösung bei \(360^\circ - 138{,}6^\circ = 221{,}4^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 24{,}8^\circ\); \(\alpha_2 \approx 155{,}2^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 138{,}6^\circ\); \(\alpha_2 \approx 221{,}4^\circ\)

- Nutze die Symmetrien am Einheitskreis, um die Werte zu vergleichen. - Überlege dir, in welchen Quadranten die Winkel liegen und welche Vorzeichen die Funktionen dort haben. - Kannst du die Gleichungen durch bekannte Identitäten wie \(\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)\) oder \(\cos(x) = \cos(2\pi-x)\) erklären? - Skizziere dir grob den Verlauf der Sinus- und Kosinuskurve.

1. Prüfung von a): Es gilt \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Die Aussage ist wahr. Begründung: Komplementärwinkelbeziehung \(\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\). 2. Prüfung von b): Im II. Quadranten ist \(\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), aber \(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Die Aussage ist falsch, da die Vorzeichen unterschiedlich sind. 3. Prüfung von c): Es gilt \(\cos\left(\frac{5}{3}\pi\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr. Begründung: Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zur \(y\)-Achse bzw. Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der \(x\)-Achse.

a) Wahr, da beide Werte \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) betragen. b) Falsch, da \(\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}\). c) Wahr, da beide Werte \(0{,}5\) betragen.

- Was sind der höchste und der tiefste Punkt, den die Sinuswelle erreicht? - Wie oft passt eine volle Periode der Länge \(2\pi\) in das angegebene Intervall? - Kannst du die markanten Punkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) innerhalb einer Periode benennen?

1. Der maximale Wert der Sinusfunktion ist \(1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) (für \(k=0\)) und \(x_2 = \frac{5\pi}{2}\) (für \(k=1\)). 2. Der minimale Wert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) liegt nur die Stelle \(x_3 = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k=0\)). Der nächste Wert \(x = \frac{7\pi}{2}\) liegt bereits außerhalb des Intervalls.

a) \(x \in \{\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) b) \(x = \frac{3\pi}{2}\)

- An welchen Stellen erreicht die Sinuskurve ihre höchsten und tiefsten Werte? - Stelle dir den Verlauf des Graphen vor oder nutze den Einheitskreis: Wann nimmt die \(y\)-Koordinate zu, wenn du den Kreis abläufst? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du dich von einem Tiefpunkt zu einem Hochpunkt bewegst? - Beachte die Grenzen des vorgegebenen Intervalls von \(-\pi\) bis \(\pi\).

1. Identifikation der Extremstellen im Intervall \([-\pi; \pi]\): Die Sinusfunktion erreicht ihren minimalen Wert \(-1\) bei \(x = -\frac{\pi}{2}\) und ihren maximalen Wert \(1\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\). 2. Bestimmung der Monotonieintervalle: Die Funktion steigt zwischen einem Tiefpunkt und dem darauffolgenden Hochpunkt. Im Bereich \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt der Wert von \(-1\) auf \(1\) zu, daher ist sie dort streng monoton steigend. 3. In den verbleibenden Randbereichen des Intervalls \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) nehmen die Funktionswerte ab (von \(0\) auf \(-1\) bzw. von \(1\) auf \(0\)), weshalb die Funktion dort streng monoton fallend ist.

a) Tiefpunkt bei \(x = -\frac{\pi}{2}\), Hochpunkt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). b) Streng monoton steigend im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). c) Streng monoton fallend in den Intervallen \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\).

- Überlege dir am Einheitskreis, welche zwei Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Sinuswert besitzen? - Denke an den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\). - Gibt es mehr als eine Stelle, an der die Funktion den gegebenen Wert annimmt?

1. Berechnung des ersten Winkels mit der inversen Sinusfunktion des Taschenrechners: \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}2588) \approx 15{,}0^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels unter Ausnutzung der Symmetrie der Sinuswerte am Einheitskreis (oder der Sinuskurve): \(\alpha_2 = 180^\circ - \alpha_1\). 3. Einsetzen des Wertes: \(\alpha_2 = 180^\circ - 15{,}0^\circ = 165{,}0^\circ\). 4. Da beide Winkel im geforderten Intervall liegen, sind dies die gesuchten Lösungen.

\(\alpha_1 \approx 15{,}0^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 165{,}0^\circ\)

- Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer Periode (\(2\pi\))? - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis oder am Graphen der Sinusfunktion. - Denke daran, dass du zu jeder Lösung Vielfache der Periode addieren oder subtrahieren kannst. - Prüfe am Ende genau, welche der berechneten Werte im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes mit dem Taschenrechner im Bogenmaß: \(x_1 = \arcsin(-0{,}45) \approx -0{,}47\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes im Einheitskreis (Symmetrie): \(x_2 = \pi - (-0{,}4668) \approx 3{,}61\). 3. Erzeugung weiterer Lösungen durch Addition oder Subtraktion der Periode \(2\pi \approx 6{,}28\). 4. Für Intervall a) \(0 \le x \le 2\pi\): \(x_2 \approx 3{,}61\) und \(x_3 = x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). 5. Für Intervall b) \(-2\pi \le x \le 2\pi\): Ausgehend von \(x_1 \approx -0{,}47\) und \(x_2 \approx 3{,}61\) ergeben sich außerdem \(x_2 - 2\pi \approx -2{,}67\) und \(x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). Alle vier Werte liegen im Bereich \([-6{,}28; 6{,}28]\).

a) \(L = \{3{,}61; 5{,}82\}\) b) \(L = \{-2{,}67; -0{,}47; 3{,}61; 5{,}82\}\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises die Lösungen liegen müssen. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis, um aus einer Lösung weitere zu finden. - Beachte die Periodizität der Funktionen: Wenn du eine Lösung hast, kannst du durch Addieren oder Subtrahieren von \(2\pi\) weitere Lösungen finden. - Achte darauf, dass deine berechneten Werte im jeweils geforderten Intervall liegen.

1. Für a): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\) mittels Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}65) \approx 0{,}86\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) durch Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 2\pi - 0{,}8633\ldots \approx 5{,}42\). 2. Für b): Berechnung des ersten Wertes im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; 0]\) mittels Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}3) \approx -0{,}30\). Bestimmung des zweiten Wertes im Intervall \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) durch Symmetrie: \(x_2 = -\pi - (-0{,}3046\ldots) \approx -2{,}84\). 3. Durch Addition der Periode \(2\pi\) ergeben sich die weiteren Lösungen im positiven Bereich: \(x_3 = -0{,}3046\ldots + 2\pi \approx 5{,}98\) und \(x_4 = -2{,}8369\ldots + 2\pi \approx 3{,}45\).

a) \(x_1 \approx 0{,}86\); \(x_2 \approx 5{,}42\) b) \(x_1 \approx -2{,}84\); \(x_2 \approx -0{,}30\); \(x_3 \approx 3{,}45\); \(x_4 \approx 5{,}98\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Einheitskreis negative Sinuswerte liefert. - Wenn du einen Wert mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du die Symmetrie der Sinuskurve nutzen, um den zweiten Wert innerhalb einer Periode zu finden? - Denke daran, dass sich die Funktionswerte alle \(360^\circ\) wiederholen.

1. Berechnung des ersten Winkels mit dem Taschenrechner: \(\alpha_1 = \arcsin(-0{,}42) \approx -24{,}83^\circ\). Dieser Wert liegt im gesuchten Intervall \([-360^\circ; 0^\circ]\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion (\(\sin(\alpha) = \sin(-180^\circ - \alpha)\) für den Bereich um \(-180^\circ\)): \(\alpha_2 = -180^\circ - (-24{,}83^\circ) = -155{,}17^\circ\). Auch dieser Wert liegt im Intervall. 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(360^\circ\): \(-24{,}83^\circ - 360^\circ = -384{,}83^\circ\) (außerhalb) und \(-155{,}17^\circ - 360^\circ = -515{,}17^\circ\) (außerhalb). Die gesuchten Winkel sind \(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\).

\(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\); \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\)

- Überlege dir, welchen kleinsten und größten Wert die Sinusfunktion annehmen kann. - Stelle dir den Graphen der Sinusfunktion im Intervall von \(0\) bis \(2\pi\) vor. Wo startet er, wo endet er und wo sind die Hoch- und Tiefpunkte? - Beachte genau, ob die Randwerte \(0\) und \(2\pi\) zum Intervall gehören. - Wie oft schneidet eine horizontale Gerade den Graphen innerhalb einer Wellenbewegung?

1. Abgleich des Wertes \(c\) mit dem Wertebereich \([-1; 1]\) der Sinusfunktion. 2. Für \(c = 1\): Das Maximum wird im Intervall genau einmal an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 3. Für \(c = 0{,}8\): Da \(0 < 0{,}8 < 1\), gibt es zwei Schnittpunkte mit der horizontalen Geraden (2 Lösungen). 4. Für \(c = 0\): Die Sinuskurve nimmt den Wert \(0\) am Anfang (\(x = 0\)), in der Mitte (\(x = \pi\)) und am Ende (\(x = 2\pi\)) des abgeschlossenen Intervalls an (3 Lösungen). 5. Für \(c = -1\): Das Minimum wird genau einmal an der Stelle \(x = \frac{3\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 6. Für \(c = -2\): Da \(-2 < -1\), liegt der Wert außerhalb des Wertebereichs (0 Lösungen). 7. Vergleich der Fälle: Bei \(c = 0\) werden sowohl die Nullstelle in der Periodenmitte als auch beide Randpunkte des Intervalls \([0; 2\pi]\) mitgezählt, während Extrempunkte wie bei \(c = 1\) nur einmal pro Periode auftreten.

a) 1 Lösung b) 2 Lösungen c) 3 Lösungen d) 1 Lösung e) 0 Lösungen Bei \(c = 0\) gibt es drei Lösungen, da die Sinusfunktion den Wert \(0\) an den Stellen \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\) annimmt. Das Maximum (\(c = 1\)) wird dagegen nur an einem einzigen Punkt erreicht.

- Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen, wenn man die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck betrachtet? - Wenn du den Sinus eines Winkels kennst, wie groß ist dann der Kosinus des „Restwinkels“ im Dreieck?

1. Teil a): Einsetzen in den trigonometrischen Pythagoras: \((0{,}8)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies 0{,}64 + \cos^2 \alpha = 1\). 2. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\). 3. Wurzel ziehen (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Kosinus positiv): \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\). 4. Teil b): Da \(\cos \beta = \sin \alpha\) gefordert ist und wir wissen, dass \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt, muss \(\beta = 90^\circ - \alpha\) sein. 5. Berechnung von \(\alpha\): \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung von \(\beta\): \(\beta = 90^\circ - 53{,}13^\circ = 36{,}87^\circ\). 7. Überprüfung: \(\cos 36{,}87^\circ \approx 0{,}8\). Die Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\).

a) \(\cos \alpha = 0{,}6\) b) \(\beta \approx 36{,}87^\circ\). Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind komplementär.

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinus bzw. der Kosinus den gesuchten Wert annimmt. - Nutze die Taschenrechnerfunktion für den ersten Wert und bestimme den zweiten Wert mithilfe der Symmetrieeigenschaften (\(180^\circ - \alpha\) beim Sinus, \(-\alpha\) bzw. \(360^\circ - \alpha\) beim Kosinus). - Prüfe durch Addition oder Subtraktion von \(360^\circ\), ob weitere Lösungen im vorgegebenen Bereich liegen. - Achte genau auf die Intervallgrenzen, besonders im negativen Bereich.

1. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe a) mit dem Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}65) \approx -40{,}5^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 180^\circ - (-40{,}54^\circ) \approx 220{,}5^\circ\). 3. Anwendung der Periodizität (\(\pm 360^\circ\)), um alle Lösungen im Intervall \([-180^\circ; 360^\circ]\) zu finden: \(x_3 = -40{,}54^\circ + 360^\circ \approx 319{,}5^\circ\) und \(x_4 = 220{,}54^\circ - 360^\circ \approx -139{,}5^\circ\). 4. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe b) mit dem Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}22) \approx 77{,}3^\circ\). 5. Bestimmung des zweiten Winkels durch die Symmetrie zur x-Achse: \(x_2 = -77{,}29^\circ \approx -77{,}3^\circ\). 6. Anwendung der Periodizität für das Intervall: \(x_3 = -77{,}29^\circ + 360^\circ \approx 282{,}7^\circ\).

a) \(L = \{-139{,}5^\circ; -40{,}5^\circ; 220{,}5^\circ; 319{,}5^\circ\}\) b) \(L = \{-77{,}3^\circ; 77{,}3^\circ; 282{,}7^\circ\}\)

- Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Nutze die Symmetrie der Funktionen am Einheitskreis: Beim Kosinus liegt der zweite Wert bei \(2\pi - x_1\), beim Sinus bei \(\pi - x_1\). - Prüfe am Ende, ob alle deine berechneten Werte im Bereich zwischen \(0\) und \(2\pi\) (ca. \(6{,}28\)) liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes für a) im Bogenmaß: \(x_1 = \arccos(-0{,}55) \approx 2{,}15\). 2. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 2{,}153\ldots \approx 4{,}13\). 3. Berechnung des ersten Wertes für b) im Bogenmaß: \(x_1 = \arcsin(0{,}15) \approx 0{,}15\). 4. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = \pi - 0{,}150\ldots \approx 2{,}99\).

a) \(L = \{2{,}15; 4{,}13\}\) b) \(L = \{0{,}15; 2{,}99\}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Lösungen eine Sinusfunktion innerhalb einer Periode von \(2\pi\) normalerweise hat. - Nutze die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis, um aus dem ersten Taschenrechner-Ergebnis einen zweiten Wert zu finden. - Prüfe durch Addition oder Subtraktion der Periodenlänge, ob weitere Werte in das vorgegebene Intervall fallen. - Beachte die Grenzen des Intervalls, wobei \(\pi \approx 3{,}14\) ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert) mit der Umkehrfunktion: \(x_1 = \arcsin(0{,}75) \approx 0{,}85\). Dieser Wert liegt im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = \pi - x_1 \approx 3{,}14 - 0{,}848 \approx 2{,}29\). Dieser Wert liegt ebenfalls im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}44\) (außerhalb), \(x_2 - 2\pi \approx -3{,}99\) (außerhalb), \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}13\) (außerhalb). 4. Die Lösungen im Intervall sind somit \(x_1 \approx 0{,}85\) und \(x_2 \approx 2{,}29\).

\(x_1 \approx 0{,}85\); \(x_2 \approx 2{,}29\)