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- Die Grundfläche ist bereits als Flächeninhalt gegeben. - Welche Volumenformel gehört zur Pyramide? - Achte auf den Faktor, durch den sich die Pyramide vom Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe unterscheidet.

1. Für eine Pyramide gilt \(V=\frac{1}{3}Gh\). 2. Damit ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 9=108\,\text{cm}^3\).

\(108\,\text{cm}^3\)

- Überlege, aus welchen Flächenteilen die Außenfläche einer Pyramide besteht. - Wird die Grundfläche einmal oder mehrfach gezählt?

1. Die Oberfläche besteht aus genau einer Grundfläche und dem gesamten Mantel. 2. Deshalb ist A richtig: \(O=G+M\).

A: \(O=G+M\), weil die Oberfläche aus der Grundfläche und dem Mantel besteht.

- Welche Formel benötigst du, um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu berechnen? - Bestimme zuerst die Flächeninhalte der beiden rechteckigen Flächen. - Achte darauf, alle gegebenen Größen in die Formel einzusetzen. - Was ergibt die Wurzel aus dem Produkt der beiden Grundflächen?

1. Berechnung der Flächeninhalte von Grund- und Deckfläche: \(G_1 = a_1 \cdot b_1 = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 8{,}0\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\) und \(G_2 = a_2 \cdot b_2 = 5{,}0\,\text{cm} \cdot 3{,}2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 2. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 3. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{9{,}0}{3} \cdot (100 + \sqrt{100 \cdot 16} + 16) = 3 \cdot (100 + 40 + 16) = 3 \cdot 156 = 468\). Das Volumen beträgt \(468\,\text{cm}^3\).

\(V = 468\,\text{cm}^3\)

- Wie bestimmst du den Flächeninhalt eines einzelnen gleichseitigen Dreiecks? - Wie viele kongruente Flächen besitzt ein regelmäßiges Tetraeder? - Achte beim numerischen Einsetzen darauf, erst am Ende zu runden.

1. Ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge \(a\) hat die Höhe \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\) und damit den Flächeninhalt \(A_{\triangle}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). 2. Das Tetraeder hat vier solcher Flächen. Daher gilt \(O=4A_{\triangle}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=a^2\sqrt{3}\). 3. Für \(a=8{,}5\,\text{cm}\) ist \(O=8{,}5^2\sqrt{3}\,\text{cm}^2=72{,}25\sqrt{3}\,\text{cm}^2\approx125{,}1407\,\text{cm}^2\). 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(O\approx125{,}1\,\text{cm}^2\).

a) \(O=a^2\sqrt{3}\) b) \(O\approx125{,}1\,\text{cm}^2\)

- Aus welchen geometrischen Formen besteht die Dachfläche einer Pyramide? - Muss die Grundfläche der Pyramide mitgerechnet werden, wenn es um das Eindecken eines Daches geht? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?

1. Identifikation der gesuchten Fläche: Es ist nur die Mantelfläche \(M\) der Pyramide gefragt (die Grundfläche ist Teil des Turms und wird nicht gedeckt). 2. Die Mantelfläche besteht aus vier kongruenten Dreiecken mit Grundseite \(a = 4\,\text{m}\) und Höhe \(h_s = 9\,\text{m}\). 3. Berechnung der Fläche eines Seitendreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der gesamten Mantelfläche: \(M = 4 \cdot 18\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\).

Die zu deckende Dachfläche beträgt \(72\,\text{m}^2\).

- Welche beiden Maße kannst du der Abbildung entnehmen? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche. - Wie hängt das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche und Höhe zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man \(a=12\,\text{m}\) und \(h=9\,\text{m}\) ab. 2. Die quadratische Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=12^2\,\text{m}^2=144\,\text{m}^2\). 3. Das Volumen ist \(V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 9\,\text{m}^3=432\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Denkmals beträgt \(432\,\text{m}^3\).

- Welche ebene Figur stellt die quadratische Grundfläche in einem Schrägbild dar? - Wo muss die Spitze einer geraden Pyramide relativ zum Mittelpunkt der Grundfläche liegen? - Überlege zum Schluss, welche Kanten aus der gewählten Blickrichtung nicht sichtbar wären.

1. Die quadratische Grundfläche wird im Schrägbild als Parallelogramm gezeichnet; seine Diagonalen bestimmen den Mittelpunkt \(M\). 2. Die Spitze \(S\) liegt im Schrägbild senkrecht über \(M\); die Strecke \(MS\) wird als Körperhöhe mit \(h=5\,\text{cm}\) beschriftet. 3. \(S\) wird mit allen vier Eckpunkten der Grundfläche verbunden. Nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt; eine Grundkante wird mit \(a=6\,\text{cm}\) beschriftet. 4. Kennzeichnende Merkmale sind die quadratische Grundfläche und die Lage der Spitze senkrecht über deren Mittelpunkt.

Mehrere Schrägbilder sind möglich. Vollständig ist die Skizze, wenn eine quadratische Grundfläche als Parallelogramm, ihr Mittelpunkt \(M\), die darüber liegende Spitze \(S\), \(MS=h\), die vier Seitenkanten sowie gestrichelte verdeckte Kanten erkennbar sind. Als Merkmale genügen z. B. „quadratische Grundfläche“ und „Spitze senkrecht über dem Grundflächenmittelpunkt“.

- Wie hängen die Volumina von ähnlichen Körpern (wie zwei verschieden großen Pyramiden) zusammen, wenn man das Verhältnis ihrer Längen kennt? - Wie lang ist die Seitenkante der ursprünglichen, kompletten Pyramide? - Der Stumpf ist der Rest, der übrig bleibt, wenn man von der großen Pyramide die kleine Spitze wegnimmt.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\) zwischen der kleinen und der ursprünglichen großen Pyramide: Die Seitenkantenlänge der kleinen Pyramide ist \(s_1 = 3\,\text{cm}\). Die Seitenkantenlänge der großen Pyramide ist \(s_2 = 3\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Der Faktor ist \(k = \frac{s_2}{s_1} = \frac{8}{3}\). 2. Berechnung des Volumens der großen Pyramide \(V_2\) mithilfe des Volumenverhältnisses \(V_2 : V_1 = k^3\): \(V_2 = V_1 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^3 = 2{,}7 \cdot \frac{512}{27}\). 3. Ausrechnen von \(V_2\): \(V_2 = \frac{27}{10} \cdot \frac{512}{27} = \frac{512}{10} = 51{,}2\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfs durch Subtraktion: \(V_{\text{Stumpf}} = V_2 - V_1 = 51{,}2\,\text{cm}^3 - 2{,}7\,\text{cm}^3 = 48{,}5\,\text{cm}^3\).

c) \(48{,}5,\text{cm}^3\)

- Welche Form der Grundfläche liegt vor und wie berechnest du deren Inhalt? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen einer Pyramide? - Um den Oberflächeninhalt zu bestimmen, benötigst du die Höhe der dreieckigen Seitenflächen. Welches rechtwinklige Dreieck im Inneren der Pyramide hilft dir hierbei? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = a^2 = 16^2 = 256\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 15 = 1280\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Höhe der Seitenflächen \(h_a\) mit dem Satz des Pythagoras: \(h_a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Mantelflächeninhalts \(M\): \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = 2 \cdot 16 \cdot 17 = 544\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = G + M = 256 + 544 = 800\,\text{cm}^2\).

\(V = 1280\,\text{cm}^3\) \(O = 800\,\text{cm}^2\)

- Achte darauf, dass eine rechteckige Pyramide zwei Paare unterschiedlicher Seitendreiecke hat. - Wie berechnest du die Höhe eines Seitendreiecks, wenn die Körperhöhe und die halbe Länge der jeweils anderen Grundseite bekannt sind? - Vergiss nicht, beim Oberflächeninhalt alle vier Seitenflächen und die Grundfläche zu addieren. - Überlege dir genau, welche Teilstrecken im rechtwinkligen Dreieck liegen, wenn du die Höhen der Seitenflächen berechnest.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\): \(G = ab = 32 \cdot 18 = 576\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = \frac{1}{3}Gh = \frac{1}{3} \cdot 576 \cdot 12 = 2304\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Höhen der unterschiedlichen Seitendreiecke mit Pythagoras: - Höhe \(h_a\) (auf Seite \(a\)): \(h_a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = 15\,\text{cm}\). - Höhe \(h_b\) (auf Seite \(b\)): \(h_b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Mantelflächeninhalts \(M\): \(M = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b\right) = 32 \cdot 15 + 18 \cdot 20 = 480 + 360 = 840\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = G + M = 576 + 840 = 1416\,\text{cm}^2\).

\(V = 2304\,\text{cm}^3\) \(O = 1416\,\text{cm}^2\)

- Überlege, wie sich die Seitenlängen verändern, wenn man eine Pyramide parallel zur Grundfläche schneidet. - Wie hängen entsprechende Längen ähnlicher Pyramiden mit dem Streckungsfaktor zusammen? - Aus welchen Teilflächen besteht die Oberfläche des verbleibenden Stumpfes? - Nutze den Satz des Pythagoras für die Seitenhöhe der großen Pyramide.

1. Die Seitenhöhe der großen Pyramide ist \(h_s=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 2. Da der Schnitt in der Mitte der Körperhöhe erfolgt, beträgt der Streckungsfaktor der kleinen Pyramide \(k=0{,}5\). 3. Damit beträgt ihre Grundkante \(a_{\text{klein}}=ka=4\,\text{cm}\) und ihre Seitenhöhe \(h_{s,\text{klein}}=kh_s=2{,}5\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche der kleinen Pyramide ist \(M_{\text{klein}}=2a_{\text{klein}}h_{s,\text{klein}}=2\cdot4\cdot2{,}5\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}^2\). 5. Für die große Pyramide gilt \(M=2ah_s=2\cdot8\cdot5\,\text{cm}^2=80\,\text{cm}^2\). Daher ist die Mantelfläche des Stumpfes \(M_{\text{Stumpf}}=80\,\text{cm}^2-20\,\text{cm}^2=60\,\text{cm}^2\). 6. Grund- und Deckfläche des Stumpfes haben die Flächeninhalte \(G_1=8^2\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\) und \(G_2=4^2\,\text{cm}^2=16\,\text{cm}^2\). Somit ist \(O_{\text{Stumpf}}=64\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2+60\,\text{cm}^2=140\,\text{cm}^2\).

Die Mantelfläche der kleinen Pyramide beträgt \(20\,\text{cm}^2\). Der Oberflächeninhalt des Pyramidenstumpfes beträgt \(140\,\text{cm}^2\).

- Wie lässt sich der Streckungsfaktor berechnen, wenn man das Verhältnis zweier Flächen kennt? - Achte darauf, ob nach dem Abstand von der Spitze oder dem Abstand von der Grundfläche gefragt ist. - Skizziere dir im Kopf ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Pyramide, um die benötigte Seitenhöhe zu berechnen. - Die Oberfläche einer Pyramide besteht aus der Grundfläche und den vier Manteldreiecken.

1. Berechnung der Grundfläche der ursprünglichen Pyramide: \(G = a^2 = 12^2 = 144\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Flächenverhältnisses zur Ermittlung des Streckungsfaktors \(k\): \(k^2 = \frac{A_S}{G} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}\). Daraus folgt \(k = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\). 3. Der Abstand der Schnittfläche von der Spitze ist \(h' = k \cdot h = 0{,}5 \cdot 8 = 4\,\text{cm}\). 4. Der Abstand von der Grundfläche ist die Differenz der Gesamthöhe und der Resthöhe: \(d = h - h' = 8 - 4 = 4\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Seitenhöhe \(h_s\) der großen Pyramide: \(h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{cm}\). 6. Die Mantelfläche der Pyramide ist \(M = 2 \cdot a \cdot h_s = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240\,\text{cm}^2\). 7. Der Oberflächeninhalt der ursprünglichen Pyramide ist \(O = G + M = 144 + 240 = 384\,\text{cm}^2\).

Der Abstand des Schnittes von der Grundfläche beträgt \(4\,\text{cm}\). Der Oberflächeninhalt der ursprünglichen Pyramide beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, aus welcher geometrischen Form die Seitenflächen bestehen. - Du musst zuerst die Höhe der einzelnen Seitenflächen berechnen, bevor du deren Fläche bestimmen kannst. - Ein rechtwinkliges Dreieck im Inneren des Stumpfes kann dir helfen, die fehlende Höhe der Seitenfläche zu finden. - Achte am Ende auf die geforderte Einheit.

1. Berechnung der Höhe \(h_s\) einer Seitenfläche mit dem Satz des Pythagoras im Stützdreieck: \(h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 + \left(\frac{35 - 15}{2}\right)^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\) (Fläche der vier trapezförmigen Seitenflächen): \(M = 4 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_s = 2 \cdot (35\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) \cdot 26\,\text{cm} = 2 \cdot 50\,\text{cm} \cdot 26\,\text{cm} = 2600\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung in Quadratdezimeter: \(2600\,\text{cm}^2 {:} 100 = 26\,\text{dm}^2\).

Für die Seitenflächen werden \(26\,\text{dm}^2\) Stoff benötigt.

- Welche Formel für das Volumen eines Körpers mit zwei parallelen Flächen kennst du? - Achte darauf, zuerst die Flächeninhalte der beiden Rechtecke zu bestimmen. - Überlege dir, wie man von Kubikzentimetern in Liter umrechnet. - Was bedeutet der Begriff „vertikale Höhe“ in Bezug auf die Formel?

1. Berechnung der Flächeninhalte der beiden rechteckigen Grundflächen: \(G_1 = a_1 \cdot b_1 = 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\) und \(G_2 = a_2 \cdot b_2 = 60\,\text{cm} \cdot 45\,\text{cm} = 2700\,\text{cm}^2\). 2. Anwendung der Volumenformel für den Pyramidenstumpf: \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 3. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{50}{3} \cdot (1200 + \sqrt{1200 \cdot 2700} + 2700)\). 4. Berechnung des Terms unter der Wurzel: \(\sqrt{3\,240\,000} = 1800\). 5. Berechnung des Klammerausdrucks: \(1200 + 1800 + 2700 = 5700\). 6. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = \frac{50}{3} \cdot 5700 = 50 \cdot 1900 = 95\,000\,\text{cm}^3\). 7. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\), ergibt sich ein Volumen von \(95\,\text{l}\).

In den Pflanzkübel passen \(95\,\text{l}\) Erde.

- Welche geometrische Strecke beschreibt die angegebene Stumpfhöhe nach dem Ergänzen zur ganzen Pyramide? - Übertrage den Längenmaßstab der ähnlichen Grund- und Deckrechtecke auf die Pyramidenhöhen. - Formuliere die Stumpfhöhe als Differenz der beiden Pyramidenhöhen.

1. Die Stumpfhöhe \(4{,}5\,\text{cm}\) ist nicht die Höhe der ergänzten großen Pyramide, sondern die Differenz aus großer und kleiner Pyramidenhöhe. 2. Die Deckfläche ist in jeder Länge halb so groß wie die Grundfläche. Die ähnlichen Pyramiden haben daher das Höhenverhältnis \(1{:}2\). 3. Sei \(x\) die Höhe der kleinen Pyramide. Dann hat die große Pyramide die Höhe \(2x\), und \(2x-x=4{,}5\,\text{cm}\). Somit ist \(x=4{,}5\,\text{cm}\) und die große Höhe \(9\,\text{cm}\). 4. Die Grundflächeninhalte sind \(48\,\text{cm}^2\) und \(12\,\text{cm}^2\). 5. Daher ist \(V=\frac{1}{3}\cdot48\cdot9-\frac{1}{3}\cdot12\cdot4{,}5\,\text{cm}^3=126\,\text{cm}^3\).

Der Fehler besteht darin, die Stumpfhöhe mit der Höhe der großen Pyramide gleichzusetzen. Das richtige Volumen beträgt \(126\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche die beiden quadratischen Kantenlängen und bestimme daraus den Ähnlichkeitsfaktor. - Wie hängen die Höhen der kleinen und der ergänzten großen Pyramide zusammen? - Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina.

1. Die obere Kante ist halb so lang wie die untere. Die abgeschnittene kleine Pyramide ist daher zur ergänzten großen Pyramide im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. 2. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so hat die große die Höhe \(2x\). Die Stumpfhöhe ist damit \(h=2x-x=x\). 3. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der Pyramidenvolumina: \(700=\frac{1}{3}\cdot 10^2\cdot 2h-\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot h\). 4. Daraus folgt \(700=\frac{175}{3}h\) und somit \(h=12\,\text{cm}\).

Die Höhe des Pyramidenstumpfes beträgt \(12\,\text{cm}\).

- Welchen Anteil der ursprünglichen Höhe hat die abgeschnittene kleine Pyramide? - Bei ähnlichen Pyramiden ändern sich entsprechende Kantenlängen im gleichen Verhältnis wie die Höhen. - Berechne die beiden Pyramidenvolumina getrennt und bilde anschließend die Differenz.

1. Der Schnitt liegt in halber Körperhöhe. Die abgeschnittene kleine Pyramide hat daher die Höhe \(9\,\text{cm}\) und wegen der Ähnlichkeit die Grundkante \(6\,\text{cm}\). 2. Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot 12^2\cdot 18\,\text{cm}^3=864\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen der kleinen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 9\,\text{cm}^3=108\,\text{cm}^3\). 4. Das Restvolumen beträgt \(V=864\,\text{cm}^3-108\,\text{cm}^3=756\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des verbleibenden Pyramidenstumpfes beträgt \(756\,\text{cm}^3\).

- Nutze den Strahlensatz oder Ähnlichkeitsbeziehungen, um die Maße der kleineren Pyramide zu finden. - Wie hängen die Längenverhältnisse mit den Flächenverhältnissen zusammen? - Bedenke, dass die Mantelfläche des Stumpfes aus vier gleichschenkligen Trapezen besteht oder als Differenz zweier Dreiecksflächen berechnet werden kann. - Vergiss nicht, dass bei der Oberfläche des Stumpfes sowohl die untere Grundfläche als auch die obere Deckfläche (Schnittfläche) mitzählen.

1. Berechnung des Streckungsfaktors \(k\) durch das Verhältnis der Abstände von der Spitze: \(k = \frac{6\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} = 0{,}75\). 2. Bestimmung der Grundkante \(a'\) der Schnittfläche: \(a' = k \cdot a = 0{,}75 \cdot 12\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der Schnittfläche \(A_S\): \(A_S = a'^2 = (9\,\text{cm})^2 = 81\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Seitenhöhe \(h_s\) der ursprünglichen Pyramide: \(h_s = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Seitenhöhe \(h_s'\) der kleinen Pyramide: \(h_s' = k \cdot h_s = 0{,}75 \cdot 10\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}\). 6. Oberflächeninhalt der kleinen Pyramide \(O_{kl}\): \(O_{kl} = a'^2 + 2 \cdot a' \cdot h_s' = 81\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 9\,\text{cm} \cdot 7{,}5\,\text{cm} = 216\,\text{cm}^2\). 7. Mantelfläche des Stumpfes \(M_{St}\) als Differenz der Mantelflächen: \(M_{St} = 2 \cdot a \cdot h_s - 2 \cdot a' \cdot h_s' = 2 \cdot 12 \cdot 10 - 2 \cdot 9 \cdot 7{,}5 = 240 - 135 = 105\,\text{cm}^2\). 8. Oberflächeninhalt des Stumpfes \(O_{St}\): \(O_{St} = a^2 + a'^2 + M_{St} = 144\,\text{cm}^2 + 81\,\text{cm}^2 + 105\,\text{cm}^2 = 330\,\text{cm}^2\).

Der Inhalt der Schnittfläche beträgt \(81\,\text{cm}^2\). Der Oberflächeninhalt der kleinen Pyramide ist \(216\,\text{cm}^2\) und der des Pyramidenstumpfes beträgt \(330\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst die Seitenlänge der Schnittfläche aus ihrem Flächeninhalt. - In welchem Verhältnis stehen die entsprechenden Kanten der kleinen und großen Pyramide? - Achte darauf, ob nach dem Abstand zur Spitze oder zur Grundfläche gefragt ist. - Für die Oberfläche brauchst du Grundfläche, Deckfläche und die vier Seitentrapeze.

1. Die Grundkante der Schnittfläche ist \(a_{\text{Schnitt}}=\sqrt{36}\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Der Streckungsfaktor der kleinen zur großen Pyramide ist \(k=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\). 3. Der Abstand der Schnittfläche von der Spitze beträgt \(kh=\frac{1}{3}\cdot12\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). Daher liegt der Schnitt \(12\,\text{cm}-4\,\text{cm}=8\,\text{cm}\) über der Grundfläche. 4. Die Seitenhöhe der großen Pyramide ist \(h_s=\sqrt{12^2+9^2}\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). Für die kleine Pyramide beträgt sie \(kh_s=5\,\text{cm}\). 5. Die Mantelfläche des Stumpfes ist \(M_{\text{Stumpf}}=2\cdot18\cdot15\,\text{cm}^2-2\cdot6\cdot5\,\text{cm}^2=480\,\text{cm}^2\). 6. Mit Grund- und Deckfläche ergibt sich \(O_{\text{Stumpf}}=18^2\,\text{cm}^2+6^2\,\text{cm}^2+480\,\text{cm}^2=840\,\text{cm}^2\).

Der Schnitt wurde in einer Höhe von \(8\,\text{cm}\) über der Grundfläche geführt. Der Oberflächeninhalt des Pyramidenstumpfes beträgt \(840\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden Rechtecke in Quadratmetern. - Setze die berechneten Flächen und die Höhe in die Volumenformel für den Stumpf ein. - Gehe beim Rechnen mit Dezimalzahlen sorgfältig vor, besonders beim Ziehen der Wurzel.

1. Umrechnung aller Einheiten in Meter: \(a_2 = 0{,}80\,\text{m}\) und \(b_2 = 0{,}50\,\text{m}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(G_1 = 2{,}40\,\text{m} \cdot 1{,}50\,\text{m} = 3{,}6\,\text{m}^2\) und \(G_2 = 0{,}80\,\text{m} \cdot 0{,}50\,\text{m} = 0{,}4\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens mit der Formel \(V = \frac{h}{3} \cdot (G_1 + \sqrt{G_1 \cdot G_2} + G_2)\). 4. Einsetzen der Werte: \(V = \frac{1{,}80}{3} \cdot (3{,}6 + \sqrt{3{,}6 \cdot 0{,}4} + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot (3{,}6 + \sqrt{1{,}44} + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot (3{,}6 + 1{,}2 + 0{,}4) = 0{,}6 \cdot 5{,}2 = 3{,}12\). Das Volumen beträgt \(3{,}12\,\text{m}^3\).

\(V = 3{,}12\,\text{m}^3\)

- Notiere dir zuerst die Maße der beiden rechteckigen Flächen. - Welche Volumenformel passt zu einem Pyramidenstumpf mit ähnlichen Grund- und Deckflächen? - Achte beim geometrischen Mittel der beiden Flächeninhalte auf die Einheiten. - Überprüfe den Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern zu Kubikmetern sorgfältig.

1. Die Flächeninhalte der rechteckigen Grund- und Deckfläche sind \(G_1=120\,\text{cm}\cdot80\,\text{cm}=9600\,\text{cm}^2\) und \(G_2=60\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=2400\,\text{cm}^2\). 2. Das geometrische Mittel der Flächeninhalte ist \(\sqrt{G_1G_2}=\sqrt{9600\cdot2400}\,\text{cm}^2=4800\,\text{cm}^2\). 3. Mit der Stumpfformel folgt \(V=\frac{h}{3}(G_1+\sqrt{G_1G_2}+G_2)=\frac{50}{3}(9600+4800+2400)\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist \(V=280\,000\,\text{cm}^3\). 5. Wegen \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\) gilt \(V=0{,}28\,\text{m}^3\).

Das Volumen des benötigten Betons beträgt \(0{,}28\,\text{m}^3\).

- Aus wie vielen Einzelflächen besteht die Oberfläche eines Tetraeders und welche Form haben diese? - Wie hängen die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks und seine Kantenlänge zusammen? - Erinnere dich an die Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mithilfe des Satzes von Pythagoras.

1. Aufstellen der Formel für den Oberflächeninhalt eines regelmäßigen Tetraeders: \(O = a^2 \cdot \sqrt{3}\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(a^2 \cdot \sqrt{3} = 144 \cdot \sqrt{3}\). 3. Auflösen nach \(a\): \(a^2 = 144 \Rightarrow a = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Höhe \(h_a\) im gleichseitigen Dreieck mit der Kantenlänge \(a\): \(h_a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\). 5. Einsetzen von \(a = 12\,\text{cm}\): \(h_a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6 \cdot \sqrt{3}\,\text{cm}\). 6. Numerische Berechnung: \(h_a \approx 10{,}39\,\text{cm}\).

a) \(a = 12\,\text{cm}\) b) \(h_a = 6 \cdot \sqrt{3}\,\text{cm} \approx 10{,}39\,\text{cm}\)

- Welche beiden Maße liefert dir die Abbildung? - Welche Formel verbindet Grundfläche und Körperhöhe mit dem Pyramidenvolumen? - Für die Seitenhöhe kannst du ein rechtwinkliges Dreieck aus Körperhöhe und halber Grundkante betrachten. - Aus welchen Flächen setzt sich die gesamte Oberfläche zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man \(a=6\,\text{cm}\) und \(h=4\,\text{cm}\) ab. Die Grundfläche ist \(G=a^2=36\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot36\cdot4\,\text{cm}^3=48\,\text{cm}^3\). 3. Für die Seitenhöhe gilt \(h_a=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=4\cdot\frac{1}{2}ah_a=2\cdot6\cdot5\,\text{cm}^2=60\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=G+M=36\,\text{cm}^2+60\,\text{cm}^2=96\,\text{cm}^2\).

a) \(V=48\,\text{cm}^3\) b) \(h_a=5\,\text{cm}\) und \(O=96\,\text{cm}^2\)

- Welche drei Maße kannst du direkt aus der Abbildung ablesen? - Für jede Seitenhöhe entsteht ein anderes rechtwinkliges Dreieck mit der Körperhöhe. - Ordne sorgfältig zu, welche halbe Grundkante zu \(h_a\) bzw. \(h_b\) gehört. - Addiere zur Mantelfläche anschließend die rechteckige Grundfläche.

1. Aus der Abbildung liest man \(a=18\,\text{cm}\), \(b=10\,\text{cm}\) und \(h=12\,\text{cm}\) ab. Die Grundfläche ist \(G=ab=180\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot180\cdot12\,\text{cm}^3=720\,\text{cm}^3\). 3. Zur Grundseite \(a\) gehört die Seitenhöhe \(h_a=\sqrt{h^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}=\sqrt{12^2+5^2}\,\text{cm}=13\,\text{cm}\). 4. Zur Grundseite \(b\) gehört \(h_b=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{12^2+9^2}\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). 5. Die Mantelfläche ist \(M=ah_a+bh_b=18\cdot13\,\text{cm}^2+10\cdot15\,\text{cm}^2=384\,\text{cm}^2\). 6. Damit gilt \(O=G+M=180\,\text{cm}^2+384\,\text{cm}^2=564\,\text{cm}^2\).

a) \(V=720\,\text{cm}^3\) b) \(h_a=13\,\text{cm}\) und \(h_b=15\,\text{cm}\) c) \(O=564\,\text{cm}^2\)

- Welche Maße der beiden Rechtecke und welche Körperhöhe zeigt die Abbildung? - Vergleiche entsprechende Seitenlängen, um den Ähnlichkeitsfaktor der ergänzten Pyramiden zu bestimmen. - Das Sockelvolumen ist die Differenz zweier Pyramidenvolumina. - Rechne das Endergebnis anschließend in Liter um.

1. Aus der Abbildung liest man unten \(80\,\text{cm}\times 60\,\text{cm}\), oben \(40\,\text{cm}\times 30\,\text{cm}\) und für den Stumpf die Höhe \(50\,\text{cm}\) ab. 2. Die oberen Seitenlängen sind jeweils halb so groß wie die unteren. Die kleine abgeschnittene und die große ergänzte Pyramide sind daher im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. 3. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so ist die große \(2x\) hoch. Wegen \(2x-x=50\,\text{cm}\) gilt \(x=50\,\text{cm}\); die große Höhe beträgt \(100\,\text{cm}\). 4. Die Flächeninhalte sind \(G_{\text{groß}}=80\cdot 60\,\text{cm}^2=4800\,\text{cm}^2\) und \(G_{\text{klein}}=40\cdot 30\,\text{cm}^2=1200\,\text{cm}^2\). 5. Das Sockelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 4800\cdot 100-\frac{1}{3}\cdot 1200\cdot 50\,\text{cm}^3=140\,000\,\text{cm}^3=140\,\text{l}\).

Das Volumen des Betonsockels beträgt \(140\,\text{l}\).

- Welche Strecke halbiert die Grundkante in dem rechtwinkligen Dreieck, das die Körperhöhe enthält? - Welche Größe ist in diesem Dreieck die Hypotenuse? - Nutze nach der Körperhöhe getrennt die Volumenformel und die Flächen der vier Seitendreiecke.

1. In einem Schnitt durch die Pyramidenspitze und die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Grundkanten entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse \(h_s=13\,\text{cm}\) und einer Kathete \(\frac{a}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Daher gilt \(h=\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{13^2-5^2}\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 3. Die Grundfläche ist \(G=a^2=100\,\text{cm}^2\). Damit ist \(V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12\,\text{cm}^3=400\,\text{cm}^3\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=4\cdot\frac{1}{2}ah_s=2\cdot10\cdot13\,\text{cm}^2=260\,\text{cm}^2\). 5. Somit ist \(O=G+M=100\,\text{cm}^2+260\,\text{cm}^2=360\,\text{cm}^2\).

\(h=12\,\text{cm}\) \(V=400\,\text{cm}^3\) \(O=360\,\text{cm}^2\)

- Vergleiche die Lage der Körperhöhe mit der Lage einer Höhe in einer Seitenfläche. - Welches rechtwinklige Dreieck verbindet Körperhöhe, halbe Grundkante und Seitenhöhe? - Berechne erst die korrekte Seitenhöhe und danach die vier Dreiecksflächen.

1. Aus der Abbildung liest man \(a=12\,\text{cm}\) und \(h=8\,\text{cm}\) ab. 2. Die Körperhöhe steht senkrecht auf der Grundfläche und ist nicht die Höhe eines Seitendreiecks. Für dessen Höhe \(h_s\) gilt \(h_s=\sqrt{h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(M=4\cdot\frac{1}{2}ah_s=2\cdot12\cdot10\,\text{cm}^2=240\,\text{cm}^2\). 4. Die Grundfläche beträgt \(G=a^2=144\,\text{cm}^2\), also \(O=G+M=384\,\text{cm}^2\).

Die Körperhöhe \(h\) ist nicht die Höhe der Seitendreiecke. Richtig sind \(h_s=10\,\text{cm}\), \(M=240\,\text{cm}^2\) und \(O=384\,\text{cm}^2\).

- Was bleibt bei einem Schnitt parallel zur Grundfläche an der Form erhalten? - Welche Maße der ursprünglichen Pyramide kannst du aus der Abbildung ablesen? - Bestimme die Maße der kleinen oberen Pyramide mithilfe der Ähnlichkeit. - Das Volumen des unteren Teils erhältst du durch Subtraktion.

1. Ein Schnitt parallel zur quadratischen Grundfläche erzeugt eine zur Grundfläche ähnliche Schnittfläche. Sie ist daher ebenfalls ein Quadrat. 2. Aus der Abbildung liest man \(a=6\,\text{cm}\) und \(H=9\,\text{cm}\) ab. Das Volumen der gesamten Pyramide ist \(V_{\text{ges}}=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot9\,\text{cm}^3=108\,\text{cm}^3\). 3. Die kleine obere Pyramide hat die Höhe \(9\,\text{cm}-3\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). Wegen der Ähnlichkeit ist ihre Grundkante \(a_s=6\cdot\frac{6}{9}\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 4. Ihr Volumen beträgt \(V_s=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot6\,\text{cm}^3=32\,\text{cm}^3\). 5. Das Volumen des unteren Teils ist \(108\,\text{cm}^3-32\,\text{cm}^3=76\,\text{cm}^3\).

a) Die Schnittfläche ist ein Quadrat. b) Das Volumen des unteren Teils beträgt \(76\,\text{cm}^3\).

- Nutze im Axialschnitt die vollständige Pyramide und die parallele Schnittlinie. - Bestimme zuerst die Höhe der abgeschnittenen kleinen Pyramide. - Welche Seitenlänge hat die kleine Pyramide aufgrund der Ähnlichkeit? - Der Stumpf ist der Restkörper nach dem Abschneiden.

1. Die kleine obere Pyramide hat die Höhe \(30\,\text{cm}-12\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 2. Wegen der Ähnlichkeit gilt für ihre Grundkante \(a_{\text{klein}}=15\cdot\frac{18}{30}\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 3. Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot30\,\text{cm}^3=2250\,\text{cm}^3\). 4. Das Volumen der kleinen oberen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot9^2\cdot18\,\text{cm}^3=486\,\text{cm}^3\). 5. Damit ist \(V_{\text{Stumpf}}=2250\,\text{cm}^3-486\,\text{cm}^3=1764\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt \(1764\,\text{cm}^3\).

- Lies die drei benötigten Maße aus der Abbildung ab. - Verlängere den Stumpf gedanklich zu einer großen Pyramide mit einer kleineren ähnlichen Pyramide an der Spitze. - Setze die unbekannte Höhe der kleinen Pyramide mit dem Verhältnis der entsprechenden Kanten in Beziehung. - Das gesuchte Volumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina.

1. Aus der Abbildung liest man die Grundkante \(5\,\text{cm}\), die Deckkante \(3\,\text{cm}\) und die Stumpfhöhe \(4{,}5\,\text{cm}\) ab. 2. Sei \(x\) die Höhe der kleinen Pyramide über der Deckfläche. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+4{,}5}=\frac{3}{5}\). Daraus folgt \(5x=3x+13{,}5\) und damit \(x=6{,}75\,\text{cm}\). 3. Die große Pyramide hat somit die Höhe \(11{,}25\,\text{cm}\). Ihr Volumen ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 11{,}25\,\text{cm}^3=93{,}75\,\text{cm}^3\). 4. Das Volumen der kleinen Pyramide ist \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 6{,}75\,\text{cm}^3=20{,}25\,\text{cm}^3\). 5. Der Glaskörper hat das Volumen \(93{,}75\,\text{cm}^3-20{,}25\,\text{cm}^3=73{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Glaskörpers beträgt \(73{,}5\,\text{cm}^3\).

- Wie kannst du den Stumpf durch Verlängern der Seitenkanten als Differenz zweier ähnlicher Pyramiden auffassen? - Welches Längenverhältnis folgt aus den beiden quadratischen Kantenlängen? - Für die zu streichende Fläche brauchst du die Höhe einer trapezförmigen Seitenfläche. - Prüfe vor dem Rechnen, ob alle Volumeneinheiten zu den Längeneinheiten passen.

1. Das Volumen beträgt \(28\,\text{dm}^3=28\,000\,\text{cm}^3\). 2. Die Deckkante ist halb so lang wie die Grundkante. Beim Ergänzen zur Spitze ist deshalb die kleine obere Pyramide zur großen Pyramide im Längenverhältnis \(1{:}2\) ähnlich. Hat die kleine Pyramide die Höhe \(x\), so hat die große die Höhe \(2x\); die Stumpfhöhe ist daher ebenfalls \(h=x\). 3. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Pyramidenvolumina: \(28\,000=\frac{1}{3}\cdot40^2\cdot2h-\frac{1}{3}\cdot20^2\cdot h\). 4. Damit gilt \(28\,000=\frac{2800}{3}h\), also \(h=30\,\text{cm}\). 5. Die Höhe einer trapezförmigen Seitenfläche ist \(h_s=\sqrt{30^2+\left(\frac{40-20}{2}\right)^2}\,\text{cm}=\sqrt{1000}\,\text{cm}\approx31{,}623\,\text{cm}\). 6. Die vier Trapeze haben zusammen die Fläche \(M=4\cdot\frac{40+20}{2}\cdot h_s\approx3794{,}733\,\text{cm}^2\). 7. Gerundet beträgt die zu streichende Fläche \(3794{,}7\,\text{cm}^2\).

a) Die Körperhöhe des Sockels beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Die zu streichende Fläche beträgt ca. \(3794{,}7\,\text{cm}^2\).

- Welche Ähnlichkeit ergibt sich aus den Seitenlängen \(1\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\)? - Ergänze den Stumpf gedanklich bis zur gemeinsamen Spitze und bestimme die beiden Pyramidenhöhen. - Berechne anschließend die Volumendifferenz und nutze erst danach die Dichte. - Runde bei den Wurzeltermen nicht zu früh.

1. Die obere Kante ist ein Drittel der unteren. Die kleine abgeschnittene und die große ergänzte Pyramide sind daher im Längenverhältnis \(1{:}3\) ähnlich. 2. Ist die Höhe der kleinen Pyramide \(x\), so ist die Höhe der großen \(3x\). Aus \(3x-x=4\,\text{cm}\) folgt \(x=2\,\text{cm}\); die große Höhe beträgt \(6\,\text{cm}\). 3. Für ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge \(a\) gilt \(G=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). Damit sind \(G_{\text{groß}}=13{,}5\sqrt{3}\,\text{cm}^2\) und \(G_{\text{klein}}=1{,}5\sqrt{3}\,\text{cm}^2\). 4. Das Stumpfvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 13{,}5\sqrt{3}\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot 1{,}5\sqrt{3}\cdot 2\,\text{cm}^3=26\sqrt{3}\,\text{cm}^3\approx 45{,}033\,\text{cm}^3\). 5. Die Masse ist \(m=V\rho=26\sqrt{3}\cdot 2{,}5\,\text{g}\approx 112{,}583\,\text{g}\), also gerundet \(112{,}6\,\text{g}\).

Die Masse des Briefbeschwerers beträgt etwa \(112{,}6\,\text{g}\).