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- Ordne \(\frac{4\pi}{3}\) zunächst einem Quadranten zu. - Welche Vorzeichen haben dort die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten? - Verknüpfe anschließend die beiden Koordinaten mit Kosinus und Sinus.

1. Der Winkel \(\frac{4\pi}{3}\) liegt im dritten Quadranten. 2. Dort sind sowohl die horizontale als auch die vertikale Koordinate des Einheitskreispunkts negativ. 3. Da die horizontale Koordinate dem Kosinus und die vertikale dem Sinus entspricht, sind beide Werte negativ.

\(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)<0\) und \(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)<0\).

- Welche Beziehung besteht zwischen den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis. - In welchem Quadranten sind die x-Werte negativ, in welchem positiv? - Was gibt der Kosinuswert an einer Position auf dem Einheitskreis grafisch an?

1. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \((-0{,}8)^2 + \cos^2(\alpha) = 1\). 3. Berechnung: \(0{,}64 + \cos^2(\alpha) = 1 \implies \cos^2(\alpha) = 0{,}36\). 4. Mögliche Werte für den Kosinus: \(\cos(\alpha) = 0{,}6\) oder \(\cos(\alpha) = -0{,}6\). 5. Da der Winkel im dritten Quadranten liegt, sind sowohl die \(y\)-Koordinaten (Sinus) als auch die \(x\)-Koordinaten (Kosinus) negativ. 6. Ergebnis: \(\cos(\alpha) = -0{,}6\).

\(\cos(\alpha) = -0{,}6\). Da der Winkel im dritten Quadranten liegt, muss der Kosinuswert (die \(x\)-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis) negativ sein.

- Welche Gleichung beschreibt alle Punkte, die auf einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung liegen? - In welchem Quadranten sind die x-Werte negativ und die y-Werte positiv? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus zusammen?

1. Da der Punkt \(P(x \mid y)\) auf dem Einheitskreis liegt, gilt die Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 1\). Mit \(y = 0{,}8\) ergibt sich \(x^2 + 0{,}8^2 = 1\), also \(x^2 + 0{,}64 = 1\). Daraus folgt \(x^2 = 0{,}36\). Da der Punkt im zweiten Quadranten liegt, muss die \(x\)-Koordinate negativ sein: \(x = -0{,}6\). 2. Am Einheitskreis entsprechen die Koordinaten eines Punktes den Werten \(\cos \alpha = x\) und \(\sin \alpha = y\). Einsetzen liefert: \((-0{,}6)^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\). Somit ist die Identität \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\) bestätigt.

1. Die \(x\)-Koordinate ist \(x = -0{,}6\). 2. Die Überprüfung ergibt \((-0{,}6)^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\), was den Zusammenhang bestätigt.

- Erinnere dich daran, in welchen Quadranten die \(x\)- und \(y\)-Werte auf dem Einheitskreis positiv oder negativ sind. - Welche Koordinatenachse entspricht dem Sinus und welche dem Kosinus? - Überlege dir, wo die Winkel \(130^\circ\), \(210^\circ\), \(315^\circ\), \(100^\circ\) und \(80^\circ\) im Koordinatensystem liegen.

1. Ein Winkel von \(130^\circ\) liegt im 2. Quadranten (zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)), wo die \(y\)-Koordinaten (Sinuswerte) positiv sind. Die Aussage ist wahr. 2. Ein Winkel von \(210^\circ\) liegt im 3. Quadranten (zwischen \(180^\circ\) und \(270^\circ\)), wo die \(x\)-Koordinaten (Kosinuswerte) negativ sind. Die Aussage ist falsch. 3. Ein Winkel von \(315^\circ\) liegt im 4. Quadranten (zwischen \(270^\circ\) und \(360^\circ\)), wo die \(y\)-Koordinaten (Sinuswerte) negativ sind. Die Aussage ist wahr. 4. \(100^\circ\) liegt im 2. Quadranten (\(\cos < 0\)), während \(80^\circ\) im 1. Quadranten liegt (\(\cos > 0\)). Es gilt \(\cos(100^\circ) = -\cos(80^\circ)\), daher sind sie nicht gleich. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Stelle dir den Einheitskreis im Koordinatensystem vor. Welche Achse gehört zum Sinus, welche zum Kosinus? - In welchen Bereichen des Koordinatensystems sind die x-Werte negativ? In welchen die y-Werte? - Überlege dir, in welchem Quadranten ein Winkel von \(130^\circ\) liegt. - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis mit dem Winkel zusammen?

1. Ein Punkt \(P(x|y)\) auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \((\cos(\alpha)|\sin(\alpha))\). Damit beide Werte negativ sind, müssen sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinate negativ sein. Dies ist ausschließlich im 3. Quadranten (\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)) der Fall. 2. Der Winkel \(130^\circ\) liegt im 2. Quadranten. Dort ist die \(y\)-Koordinate (Sinus) positiv und die \(x\)-Koordinate (Kosinus) negativ. Das Produkt aus einer positiven und einer negativen Zahl ist negativ. Somit ist \(P < 0\). 3. Der Sinuswert entspricht der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Im Bereich von \(180^\circ\) bis \(360^\circ\) liegt der zugehörige Punkt auf oder unter der \(x\)-Achse. Daher sind alle \(y\)-Werte kleiner oder gleich null.

a) Im 3. Quadranten, da dort sowohl \(x = \cos(\alpha)\) als auch \(y = \sin(\alpha)\) negativ sind. b) Das Produkt ist negativ. c) Weil die zugehörigen Punkte in diesem Bereich auf oder unter der \(x\)-Achse liegen. Daher sind ihre \(y\)-Koordinaten und damit die Sinuswerte stets \(\le 0\).

- Überlege dir, in welchen Quadranten des Einheitskreises die x-Koordinate negativ ist. - Wie hängen Winkel zusammen, die symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung liegen? - Erinnere dich an die Definition von Komplementärwinkeln in einem rechtwinkligen Dreieck.

1. Identifikation der Quadranten für den negativen Kosinuswert: Der Kosinus ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. 2. Berechnung des Winkels im zweiten Quadranten: \(\beta_1 = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ\). 3. Berechnung des Winkels im dritten Quadranten: \(\beta_2 = 180^\circ + 25^\circ = 205^\circ\). 4. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Sinus und Kosinus: Mit \(\alpha = 25^\circ\) ergibt sich \(\sin(90^\circ - 25^\circ) = \sin 65^\circ\). 5. Ergebnis: \(\sin 65^\circ \approx 0{,}9063\).

a) \(\beta_1 = 155^\circ\) und \(\beta_2 = 205^\circ\) b) \(\sin 65^\circ \approx 0{,}9063\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Erinnere dich daran, welche Koordinate im Einheitskreis (\(x\) oder \(y\)) dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - Skizziere dir im Kopf ein Koordinatensystem und gehe den Kreis gegen den Uhrzeigersinn ab.

1. Der Winkel \(210^\circ\) liegt im III. Quadranten (\(180^\circ < 210^\circ < 270^\circ\)). Da die \(y\)-Koordinaten der Punkte am Einheitskreis im III. Quadranten negativ sind, ist \(\sin(210^\circ)\) negativ. 2. Der Winkel \(285^\circ\) liegt im IV. Quadranten (\(270^\circ < 285^\circ < 360^\circ\)). Da die \(x\)-Koordinaten der Punkte am Einheitskreis im IV. Quadranten positiv sind, ist \(\cos(285^\circ)\) positiv. 3. Der Winkel \(180^\circ\) führt zum Punkt \((-1\mid 0)\) auf der negativen \(x\)-Achse. Da der Sinuswert der \(y\)-Koordinate entspricht, ist \(\sin(180^\circ) = 0\).

a) negativ b) positiv c) null

- Überlege dir, welche Koordinate am Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - In welchen Quadranten des Koordinatensystems sind die \(x\)- bzw. \(y\)-Werte positiv oder negativ? - Stelle dir die vier Quadranten vor: I (\(0^\circ\) bis \(90^\circ\)), II (\(90^\circ\) bis \(180^\circ\)), III (\(180^\circ\) bis \(270^\circ\)) und IV (\(270^\circ\) bis \(360^\circ\)). - An den Grenzen (\(0^\circ, 90^\circ, \dots\)) ist einer der Werte genau Null und somit weder positiv noch negativ.

1. Der Sinuswert entspricht der \(y\)-Koordinate am Einheitskreis. Diese ist im III. und IV. Quadranten negativ, also für \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\). 2. Der Kosinuswert entspricht der \(x\)-Koordinate. Diese ist im II. und III. Quadranten negativ, also für \(90^\circ < \alpha < 270^\circ\). 3. Beide Werte sind gleichzeitig negativ, wenn der Punkt im III. Quadranten liegt. Dies ist im Bereich \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\) der Fall. 4. Der Sinus ist positiv (I. und II. Quadrant) und der Kosinus ist negativ (II. und III. Quadrant) im II. Quadranten, also für \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).

a) \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\) b) \(90^\circ < \alpha < 270^\circ\) c) \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\) d) \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)

- Stell dir den Einheitskreis vor und überlege, welche Koordinaten \(x\) und \(y\) ein Punkt auf dem Kreis hat. - Welche Koordinate steht für den Sinus und welche für den Kosinus? - In welchen Abschnitten des Koordinatensystems haben \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen? - Was passiert direkt auf den Achsen? Erfüllen diese Stellen die Bedingung?

1. Analyse der Vorzeichenkombinationen in den vier Quadranten des Einheitskreises: Im 1. Quadranten sind beide positiv, im 2. Quadranten ist \(\sin \alpha > 0\) und \(\cos \alpha < 0\), im 3. Quadranten sind beide negativ, und im 4. Quadranten ist \(\sin \alpha < 0\) und \(\cos \alpha > 0\). 2. Auswahl der Quadranten mit unterschiedlichen Vorzeichen: Dies trifft auf den 2. Quadranten (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)) und den 4. Quadranten (\(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)) zu. 3. Ausschluss der Achsenwerte: Bei \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) und \(360^\circ\) ist jeweils einer der Werte gleich \(0\), weshalb diese Winkel nicht zur Lösungsmenge gehören.

\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) und \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\)

- Übersetze jede Ungleichung zunächst in eine Bedingung an die Lage des Einheitskreispunkts. - Bestimme die beiden Winkelbereiche getrennt und bilde erst danach ihren Schnitt. - Prüfe die Randpunkte einzeln, weil eine Ungleichung streng und die andere nicht streng ist.

1. \(\sin(x)>0\) gilt in der oberen Halbebene, also für \(x\in(0;\pi)\). 2. \(\cos(x)\le 0\) gilt in der linken Halbebene einschließlich der Punkte auf der \(y\)-Achse, also für \(x\in\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\). 3. Der Schnitt beider Mengen ist \(\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)\). Bei \(\frac{\pi}{2}\) ist der Sinus positiv und der Kosinus null, daher gehört dieser Randpunkt dazu. Bei \(\pi\) ist der Sinus null, daher gehört dieser Randpunkt nicht dazu.

\(x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

- Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Sinuswert? - Wo im Koordinatensystem sind die y-Werte negativ? - Wenn du einen Basiswinkel kennst, wie kannst du ihn in andere Quadranten übertragen?

1. Der Referenzwinkel im ersten Quadranten für \(\sin(\alpha_{\mathrm{ref}}) = 0{,}5\) ist \(30^\circ\). 2. Da der Sinuswert negativ ist (\(-0{,}5\)), müssen die gesuchten Winkel in den Quadranten liegen, in denen die \(y\)-Koordinate negativ ist. Dies sind der dritte und vierte Quadrant. 3. Im dritten Quadranten berechnet sich der Winkel als \(\alpha_1 = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ\). 4. Im vierten Quadranten berechnet sich der Winkel als \(\alpha_2 = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ\). 5. Es gibt genau zwei Lösungen, da eine horizontale Gerade \(y = -0{,}5\) den Einheitskreis an genau zwei Stellen schneidet.

a) \(\alpha_1 = 210^\circ\) und \(\alpha_2 = 330^\circ\) b) Die Lösungen liegen im 3. und 4. Quadranten, da dort die \(y\)-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis negativ sind. Eine Parallele zur \(x\)-Achse bei \(y = -0{,}5\) schneidet den Kreis in genau zwei Punkten.

- Welche Beziehung besteht zwischen den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis und den Werten von Sinus und Kosinus? - Welches Vorzeichen haben die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten in den verschiedenen Quadranten? - Kannst du eine Formel anwenden, die die Katheten und die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck am Einheitskreis verbindet?

1. Da \(P\) auf dem Einheitskreis liegt, gilt \(\cos(\alpha) = x\). Somit ist \(\cos(\alpha) = -0{,}6\). 2. Es gilt die Gleichung \(x^2 + y^2 = 1\). Einsetzen von \(x = -0{,}6\) ergibt \((-0{,}6)^2 + y^2 = 1\), also \(0{,}36 + y^2 = 1\). 3. Umstellen nach \(y^2\) liefert \(y^2 = 0{,}64\). Daraus folgt \(y = 0{,}8\) oder \(y = -0{,}8\). 4. Da der Winkel im 3. Quadranten liegt (\(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)), muss die \(y\)-Koordinate negativ sein. Also ist \(y = -0{,}8\). 5. Da \(\sin(\alpha) = y\) gilt, ist \(\sin(\alpha) = -0{,}8\).

a) \(\cos(\alpha) = -0{,}6\) b) \(y = -0{,}8\) c) \(\sin(\alpha) = -0{,}8\)

- Welche Koordinate eines Einheitskreispunkts entspricht dem Kosinus? - In welchen Quadranten ist diese Koordinate negativ? - Wenn du einen passenden Punkt gefunden hast, welcher an der \(x\)-Achse gespiegelte Punkt besitzt dieselbe horizontale Koordinate?

1. Der Kosinus ist die horizontale Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Eine negative horizontale Koordinate tritt im zweiten und dritten Quadranten auf. 2. Eine Lösung ist \(\alpha_1=\arccos(-0{,}75)\approx138{,}59^\circ\). 3. Der zweite Punkt mit derselben horizontalen Koordinate ist die Spiegelung des ersten Punktes an der \(x\)-Achse. Daher gilt \(\alpha_2=360^\circ-\alpha_1\approx221{,}41^\circ\).

a) Zweiter und dritter Quadrant. b) \(\alpha_1\approx138{,}59^\circ\) und \(\alpha_2\approx221{,}41^\circ\)

- Ersetze den Sinuswert in der bekannten Formel durch den gegebenen Bruch. - Denk daran, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen möglich sind. - Welches Vorzeichen hat die \(x\)-Koordinate eines Punktes im zweiten Quadranten?

1. Einsetzen des gegebenen Sinuswertes in die Identität: \((\frac{12}{13})^2 + \cos^2 \alpha = 1\). 2. Quadrieren des Bruchs: \(\frac{144}{169} + \cos^2 \alpha = 1\). 3. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\). 4. Ziehen der Wurzel: \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}\). 5. Bestimmung des Vorzeichens: Da der Winkel \(\alpha\) im zweiten Quadranten liegt (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), sind die \(x\)-Koordinaten auf dem Einheitskreis negativ. Daher muss \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\) gelten.

Der Kosinuswert beträgt \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\). Das Vorzeichen ist negativ, da der Kosinus im zweiten Quadranten (stumpfe Winkel) stets negativ ist.

- Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Sinus eines Winkels? - Wo liegen Punkte auf dem Kreis, die eine negative y-Koordinate haben? - Stell dir vor, du spiegelst den Punkt für \(53{,}1^\circ\) an der \(x\)-Achse und am Ursprung.

1. Zusammenhang zwischen \(y\)-Koordinate und Sinus: Da \(y = \sin \alpha\), wird nach \(\sin \alpha = -0{,}8\) gesucht. 2. Bestimmung der Quadranten: Der Sinus ist im dritten und vierten Quadranten negativ. 3. Bestimmung der Winkel durch Symmetrie: Durch Punktspiegelung des Punktes zu \(53{,}1^\circ\) am Ursprung erhält man \(\alpha_1 \approx 180^\circ + 53{,}1^\circ = 233{,}1^\circ\). Durch Spiegelung an der \(x\)-Achse erhält man \(\alpha_2 \approx 360^\circ - 53{,}1^\circ = 306{,}9^\circ\). 4. Geometrische Begründung: Bei beiden Symmetrien bleibt der Betrag der \(y\)-Koordinate gleich, ihr Vorzeichen wird jedoch negativ.

a) \(\alpha_1 \approx 233{,}1^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 306{,}9^\circ\) b) Der Punkt im 3. Quadranten entsteht durch Punktspiegelung am Ursprung, der Punkt im 4. Quadranten durch Spiegelung an der \(x\)-Achse. In beiden Fällen bleibt der Betrag der \(y\)-Koordinate und damit des Sinuswerts gleich, während das Vorzeichen negativ ist.

- Welchen maximalen Wert können Sinus und Kosinus am Einheitskreis annehmen? - In welchen Quadranten sind die Werte von Sinus und Kosinus positiv oder negativ? - Skizziere dir den Einheitskreis und trage die Winkel ein.

1. Zu a): Im Einheitskreis entspricht der Sinuswert der \(y\)-Koordinate eines Punktes. Der maximale Wert des Sinus ist \(1\) (bei \(90^\circ\)). Ein Wert von \(1{,}5\) ist unmöglich. Die Aussage ist wahr. 2. Zu b): Der Winkel \(150^\circ\) liegt im zweiten Quadranten. Dort ist der Kosinus negativ. 3. Nutzung der Symmetrie: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\). 4. Berechnung: \(\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)\). 5. Da \(-\cos(30^\circ) \neq \cos(30^\circ)\) (da \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0\)), ist die Aussage falsch.

a) Wahr. Die Sinusfunktion hat den Wertebereich \([-1; 1]\). b) Falsch. Es gilt \(\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ)\), die Werte haben also ein unterschiedliches Vorzeichen.

- In welchen Quadranten sind die \(x\)-Werte und die \(y\)-Werte beide positiv? - In welchen Quadranten sind die \(x\)-Werte und die \(y\)-Werte beide negativ? - Erinnere dich an die Zuordnung von Sinus zur \(y\)-Achse und Kosinus zur \(x\)-Achse.

1. Analyse der Vorzeichen pro Quadrant: Im I. Quadranten sind sowohl \(x\) (Kosinus) als auch \(y\) (Sinus) positiv. Das Vorzeichen ist also identisch. 2. Im II. Quadranten ist \(x\) negativ und \(y\) positiv. Die Vorzeichen sind unterschiedlich. 3. Im III. Quadranten sind sowohl \(x\) als auch \(y\) negativ. Das Vorzeichen ist also identisch. 4. Im IV. Quadranten ist \(x\) positiv und \(y\) negativ. Die Vorzeichen sind unterschiedlich. 5. Ergebnis: Der Winkel \(\alpha\) muss im I. oder III. Quadranten liegen.

Der Winkel \(\alpha\) kann im I. Quadranten oder im III. Quadranten liegen.

- Wo genau schneidet der Kreis mit Radius 1 die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? Notiere die Koordinaten dieser Punkte. - Erinnere dich daran, dass die \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis dem Kosinus und die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels entspricht. - Was weißt du über den Radius des Einheitskreises und wie hängen die Koordinaten \(x\) und \(y\) damit zusammen? - Kann ein Punkt auf dem Kreis gleichzeitig den maximalen \(x\)-Wert und den maximalen \(y\)-Wert annehmen?

1. Die zugehörigen Winkel sind \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) und \(360^\circ\). 2. Zuordnung der Koordinaten \((x \mid y) = (\cos \alpha \mid \sin \alpha)\): - \(0^\circ\) und \(360^\circ\): Punkt \((1 \mid 0) \implies \cos \alpha = 1, \sin \alpha = 0\) - \(90^\circ\): Punkt \((0 \mid 1) \implies \cos \alpha = 0, \sin \alpha = 1\) - \(180^\circ\): Punkt \((-1 \mid 0) \implies \cos \alpha = -1, \sin \alpha = 0\) - \(270^\circ\): Punkt \((0 \mid -1) \implies \cos \alpha = 0, \sin \alpha = -1\) 3. Begründung: Jeder Punkt \(P(\cos \alpha \mid \sin \alpha)\) auf dem Einheitskreis muss die Gleichung \(x^2 + y^2 = 1\) erfüllen. Für \(\sin \alpha = 1\) und \(\cos \alpha = 1\) ergäbe sich \(1^2 + 1^2 = 2\). Da \(2 \neq 1\), liegt dieser Punkt nicht auf dem Kreis. Zudem ist der maximale Abstand eines Punktes auf dem Einheitskreis vom Ursprung \(1\), der Punkt \((1 \mid 1)\) hat jedoch den Abstand \(\sqrt{2}\).

a) Die Winkel sind \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) und \(360^\circ\). b) Wertepaare \((\sin \alpha \mid \cos \alpha)\): \(0^\circ: (0 \mid 1)\); \(90^\circ: (1 \mid 0)\); \(180^\circ: (0 \mid -1)\); \(270^\circ: (-1 \mid 0)\); \(360^\circ: (0 \mid 1)\). c) Da alle Punkte auf dem Einheitskreis die Bedingung \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) erfüllen müssen, ist \(\sin \alpha = 1\) und \(\cos \alpha = 1\) unmöglich, da \(1^2 + 1^2 = 2 \neq 1\).

- Welche Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten des Einheitskreises? - Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Kosinuswert? - Nutze den Taschenrechner für einen ersten Wert und prüfe, ob dieser alle Bedingungen erfüllt oder ob du ihn umrechnen musst.

1. Bestimmung des Quadranten: Ein negativer Kosinuswert (\(x\)-Koordinate am Einheitskreis) bedeutet, dass der Winkel im II. oder III. Quadranten liegt. Da der Sinuswert (\(y\)-Koordinate) positiv sein muss, kommt nur der II. Quadrant (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)) infrage. 2. Berechnung des Winkels mit dem Taschenrechner: \(\alpha = \arccos(-0{,}5736) \approx 125{,}0^\circ\). 3. Überprüfung: Der berechnete Winkel \(125{,}0^\circ\) liegt im II. Quadranten, erfüllt also beide Bedingungen.

a) II. Quadrant b) \(\alpha \approx 125{,}0^\circ\)

- Überlege dir einzeln, in welchen Quadranten der Sinus negativ ist. - Suche dann die Quadranten, in denen der Kosinus negativ oder gleich null ist. - Wo überschneiden sich diese Bereiche? - Prüfe die Randwerte wie \(180^\circ\) oder \(270^\circ\) ganz genau anhand der Definition am Einheitskreis.

1. Bestimmung des Bereichs für \(\sin \alpha < 0\): Der Sinuswert (y-Koordinate am Einheitskreis) ist negativ im 3. und 4. Quadranten, also für \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\). 2. Bestimmung des Bereichs für \(\cos \alpha \le 0\): Der Kosinuswert (x-Koordinate am Einheitskreis) ist negativ oder null im 2. und 3. Quadranten, einschließlich der Grenzen auf der y-Achse, also für \(90^\circ \le \alpha \le 270^\circ\). 3. Ermittlung der Schnittmenge: Die Kombination beider Intervalle ergibt den Bereich, in dem beide Bedingungen gelten. Dies ist der 3. Quadrant inklusive der Grenze bei \(270^\circ\) (da dort \(\cos 270^\circ = 0\) und \(\sin 270^\circ = -1\)), aber exklusive der Grenze bei \(180^\circ\) (da dort \(\sin 180^\circ = 0\)). Das Resultat ist \(180^\circ < \alpha \le 270^\circ\).

\(180^\circ < \alpha \le 270^\circ\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Quadranten der gegebene Winkel liegt. - Nutze die Periodizität von Sinus und Kosinus, um Winkel über \(360^\circ\) zu reduzieren. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis für die verschiedenen Quadranten. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Funktion im jeweiligen Quadranten.

1. Für \(\sin 155^\circ\): Der Winkel liegt im II. Quadranten. Es gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(180^\circ - 155^\circ = 25^\circ\) folgt \(\sin 25^\circ\). 2. Für \(\cos 215^\circ\): Der Winkel liegt im III. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(215^\circ - 180^\circ = 35^\circ\) folgt \(-\cos 35^\circ\). 3. Für \(\sin 310^\circ\): Der Winkel liegt im IV. Quadranten. Es gilt \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(360^\circ - 310^\circ = 50^\circ\) folgt \(-\sin 50^\circ\). 4. Für \(\cos 500^\circ\): Zunächst wird die Periode reduziert: \(500^\circ - 360^\circ = 140^\circ\). Der Winkel \(140^\circ\) liegt im II. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\) folgt \(-\cos 40^\circ\).

a) \(\sin 25^\circ\) b) \(-\cos 35^\circ\) c) \(-\sin 50^\circ\) d) \(-\cos 40^\circ\)

- Wie hängen Winkel im III. und IV. Quadranten mit Winkeln im I. Quadranten zusammen? - Bei Winkeln über \(360^\circ\) hilft es, zuerst Vielfache von \(360^\circ\) abzuziehen. - Überlege dir bei negativen Winkeln, wie sich der Kosinuswert verhält, wenn man den Winkel an der x-Achse spiegelt. - Welche Symmetrieformeln kennst du für den Sinus und den Kosinus?

1. Teilaufgabe a: Der Winkel \(192^\circ\) liegt im III. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(180^\circ + \alpha = 192^\circ\). Daraus ergibt sich \(\alpha = 12^\circ\). Da der Sinus im III. Quadranten negativ ist, gilt \(\sin 192^\circ = -\sin 12^\circ\). 2. Teilaufgabe b: Der Winkel \(285^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(360^\circ - \alpha = 285^\circ\). Daraus ergibt sich \(\alpha = 75^\circ\). Da der Kosinus im IV. Quadranten positiv ist, gilt \(\cos 285^\circ = \cos 75^\circ\). 3. Teilaufgabe c: Zuerst wird die Periode abgezogen: \(600^\circ - 360^\circ = 240^\circ\). Dieser Winkel liegt im III. Quadranten. Die Reduktion erfolgt über \(180^\circ + \alpha = 240^\circ\), also \(\alpha = 60^\circ\). Somit ist \(\sin 600^\circ = \sin 240^\circ = -\sin 60^\circ\). 4. Teilaufgabe d: Aufgrund der Achsensymmetrie zur x-Achse gilt \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\). Direkt folgt \(\alpha = 40^\circ\).

a) \(\alpha = 12^\circ\) b) \(\alpha = 75^\circ\) c) \(\alpha = 60^\circ\) d) \(\alpha = 40^\circ\)

- Nutze den trigonometrischen Pythagoras, um den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus herzustellen. - Bedenke beim Wurzelziehen, dass es zwei Lösungen (positiv und negativ) geben kann. - Wie hängen die Vorzeichen von Sinus und Kosinus mit den Quadranten zusammen, in denen der Winkel liegt?

1. Berechnung von \(\cos(\alpha)\): \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). Daraus folgt \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) oder \(\cos(\alpha) = -0{,}8\). 2. Bestimmung der Winkel für \(\sin(\alpha) = 0{,}6\): \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}9^\circ\). Der zweite Winkel liegt im zweiten Quadranten: \(\alpha_2 = 180^\circ - 36{,}869\dots^\circ \approx 143{,}1^\circ\). 3. Zuordnung der Kosinuswerte: Für \(\alpha_1 \approx 36{,}9^\circ\) (1. Quadrant) ist \(\cos(\alpha_1) = 0{,}8\). Für \(\alpha_2 \approx 143{,}1^\circ\) (2. Quadrant) ist \(\cos(\alpha_2) = -0{,}8\).

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) oder \(\cos(\alpha) = -0{,}8\) b) \(\alpha_1 \approx 36{,}9^\circ\), \(\alpha_2 \approx 143{,}1^\circ\) c) Für \(\alpha_1 \approx 36{,}9^\circ\) ist \(\cos(\alpha_1) = 0{,}8\); für \(\alpha_2 \approx 143{,}1^\circ\) ist \(\cos(\alpha_2) = -0{,}8\).

- Schau dir die Formel ganz genau an. Werden dort die Werte selbst oder etwas anderes addiert? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras – was sagt er über die Seitenlängen eines Dreiecks aus, selbst wenn die Koordinaten negativ sind?

1. Identifikation des Fehlers: Leon übersieht, dass in der Formel nicht die Werte \(\sin \alpha\) und \(\cos \alpha\) addiert werden, sondern deren Quadrate \(\sin^2 \alpha\) und \(\cos^2 \alpha\). 2. Mathematische Begründung: Das Quadrat einer negativen Zahl ist immer positiv (z. B. \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\)). 3. Geometrische Begründung: Ein Punkt \(P(x \mid y)\) im dritten Quadranten hat negative Koordinaten \(x\) und \(y\). Der Satz des Pythagoras im Koordinatensystem lautet \(x^2 + y^2 = r^2\). Da es sich um den Einheitskreis handelt, ist \(r = 1\). Somit gilt \((\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1\), da die Quadrate der negativen Koordinaten positive Werte liefern, deren Summe genau den Radius zum Quadrat ergibt.

Leons Aussage ist falsch, da er das Quadrieren der Werte ignoriert. Da \((-x)^2 = x^2\) gilt, sind sowohl \(\sin^2 \alpha\) als auch \(\cos^2 \alpha\) stets nichtnegativ. Ihre Summe entspricht nach dem Satz des Pythagoras am Einheitskreis immer \(1\), unabhängig vom Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

- Achte genau auf die Quadrantenangabe, um den richtigen Winkel aus den zwei möglichen Werten auszuwählen. - Wie hängen Sinus und Kosinus eines Winkels zusammen? Denke an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis. - Welche Symmetrie nutzt man, wenn zwei Winkel den gleichen Kosinuswert haben sollen?

1. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Da \(\alpha\) im 2. Quadranten liegt, gilt \(\alpha = 180^\circ - \arcsin(0{,}75) \approx 180^\circ - 48{,}59^\circ = 131{,}41^\circ\). 2. Berechnung des Kosinuswerts: \(\cos(131{,}41^\circ) \approx -0{,}6614\). Alternativ über den trigonometrischen Pythagoras: \(\cos(\alpha) = -\sqrt{1 - 0{,}75^2} \approx -0{,}6614\) (negativ, da 2. Quadrant). 3. Bestimmung von \(\beta\): Winkel mit gleichem Kosinuswert sind symmetrisch zur x-Achse. \(\beta = 360^\circ - 131{,}41^\circ = 228{,}59^\circ\). Dieser Winkel liegt im 3. Quadranten (\(180^\circ < 228{,}59^\circ < 270^\circ\)).

a) \(\alpha \approx 131{,}41^\circ\) b) \(\cos(\alpha) \approx -0{,}6614\) c) \(\beta \approx 228{,}59^\circ\); der Winkel liegt im 3. Quadranten.