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- Wie rechnet man ein Winkelmaß im Bogenmaß allgemein in Grad um? - Welcher Anteil des Vollkreises (\(2\pi\)) entspricht dem gegebenen Wert? - Denke an den Zusammenhang zwischen \(\pi\) und \(180^\circ\).

1. Verwendung der Umrechnungsformel von Bogenmaß in Gradmaß: \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) 2. Einsetzen des gegebenen Bogenmaßes \(x = \frac{5\pi}{12}\): \(\alpha = \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) 3. Kürzen von \(\pi\) und Vereinfachen des Bruchs: \(\alpha = \frac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ\)

b) \(75^\circ\)

- Im Bogenmaß wird die Länge des Kreisbogens mit dem Radius verglichen. - Überlege, welchen Wert ein Verhältnis hat, wenn Zähler und Nenner gleich groß sind. - Formuliere anschließend in Worten, was dieser Zahlenwert am Kreis bedeutet.

1. Das Bogenmaß eines Mittelpunktswinkels ist das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius: \(\alpha=\frac{s}{r}\). 2. Wegen \(s=r\) gilt \(\alpha=\frac{r}{r}=1\). 3. Der Winkel hat also das Bogenmaß \(1\,\text{rad}\). Genau das bedeutet ein Radiant: Die zugehörige Bogenlänge ist gleich dem Radius.

\(\alpha=1\,\text{rad}\). Der markierte Kreisbogen ist genau so lang wie der Radius.

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^\circ\)) der gegebene Winkel ist. - Wie viel Bogenmaß entspricht einem halben Kreis (\(180^\circ\))? - Kürze die Brüche so weit wie möglich, um das Ergebnis elegant als Vielfaches von \(\pi\) zu schreiben.

1. Anwendung der Umrechnungsformel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung für a): \(30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30}{180}\pi = \frac{1}{6}\pi\). 3. Berechnung für b): \(135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{135}{180}\pi = \frac{3}{4}\pi\). 4. Berechnung für c): \(-210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{210}{180}\pi = -\frac{7}{6}\pi\). 5. Berechnung für d): \(315^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{315}{180}\pi = \frac{7}{4}\pi\). 6. Berechnung für e): \(1080^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{1080}{180}\pi = 6\pi\).

a) \(x = \frac{1}{6}\pi\) (oder \(\frac{\pi}{6}\)) b) \(x = \frac{3}{4}\pi\) c) \(x = -\frac{7}{6}\pi\) d) \(x = \frac{7}{4}\pi\) e) \(x = 6\pi\)

- Erinnere dich daran, dass \(\pi\) im Bogenmaß genau \(180^\circ\) entspricht. - Du kannst das \(\pi\) in den Brüchen oft einfach gegen das \(\pi\) im Nenner der Umrechnungsformel kürzen. - Wenn kein \(\pi\) im Bogenmaß steht, musst du den Wert der Zahl \(\pi \approx 3{,}14159\) für die Division verwenden. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen für die Drehrichtung eines Winkels?

1. Nutzung der Umrechnungsformel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 2. Berechnung für a): \(\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ\). 3. Berechnung für b): \(\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 315^\circ\). 4. Berechnung für c): \(-\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = -270^\circ\). 5. Berechnung für d): \(4{,}5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4{,}5 \cdot 180^\circ = 810^\circ\). 6. Berechnung für e): \(1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}2957\ldots^\circ \approx 57{,}3^\circ\).

a) \(\alpha = 120^\circ\) b) \(\alpha = 315^\circ\) c) \(\alpha = -270^\circ\) d) \(\alpha = 810^\circ\) e) \(\alpha \approx 57{,}3^\circ\)

- Nutze den Zusammenhang zwischen \(180^\circ\) und \(\pi\). - Entscheide für jede leere Zelle zuerst, in welche Richtung du umrechnen musst. - Kürze entstehende Brüche im Bogenmaß vollständig.

1. Für \(120^\circ\) gilt \(x=120^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{3}\). 2. Für \(x=\frac{5\pi}{6}\) gilt \(\alpha=\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ\). 3. Für \(225^\circ\) gilt \(x=225^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{4}\). 4. Für \(x=\frac{5\pi}{3}\) gilt \(\alpha=\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ\).

Für \(120^\circ\): \(x=\frac{2\pi}{3}\) Für \(\frac{5\pi}{6}\): \(\alpha=150^\circ\) Für \(225^\circ\): \(x=\frac{5\pi}{4}\) Für \(\frac{5\pi}{3}\): \(\alpha=300^\circ\)

- Vergleichen kannst du sicher, wenn beide Winkel im selben Winkelmaß vorliegen. - Nutze die Beziehung zwischen \(\pi\) im Bogenmaß und \(180^\circ\) im Gradmaß. - Achte bei Dezimalfaktoren vor \(\pi\) darauf, sie zuerst als Anteil von \(\pi\) zu deuten.

1. Für a) gilt \(\frac{5\pi}{4}=\frac{5}{4}\cdot 180^\circ=225^\circ\). Daher ist \(240^\circ>225^\circ\). 2. Für b) gilt \(\frac{11\pi}{6}=\frac{11}{6}\cdot 180^\circ=330^\circ\). Daher ist \(330^\circ>320^\circ\). 3. Für c) gilt \(1{,}5\pi=\frac{3\pi}{2}=270^\circ\). Daher ist \(280^\circ>270^\circ\).

a) \(240^\circ>\frac{5\pi}{4}\) b) \(\frac{11\pi}{6}>320^\circ\) c) \(280^\circ>1{,}5\pi\)

- Welchen Anteil am Vollkreis (\(360^\circ\)) nimmt der gegebene Winkel ein? - Ein gestreckter Winkel von \(180^\circ\) entspricht im Bogenmaß genau \(\pi\). - Kannst du den Bruch, der durch die Division mit \(180\) entsteht, so weit wie möglich kürzen?

Die Umrechnung vom Gradmaß \(\alpha\) in das Bogenmaß \(x\) erfolgt über die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Einsetzen von \(\alpha = 120^\circ\): \(x = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\) 2. Einsetzen von \(\alpha = 315^\circ\): \(x = \frac{315\pi}{180} = \frac{7\pi}{4}\) 3. Einsetzen von \(\alpha = -30^\circ\): \(x = \frac{-30\pi}{180} = -\frac{\pi}{6}\) 4. Einsetzen von \(\alpha = 270^\circ\): \(x = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}\) 5. Einsetzen von \(\alpha = 72^\circ\): \(x = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}\)

a) \(x = \frac{2\pi}{3}\) b) \(x = \frac{7\pi}{4}\) c) \(x = -\frac{\pi}{6}\) d) \(x = \frac{3\pi}{2}\) e) \(x = \frac{2\pi}{5}\)

- Achte darauf, ob der gegebene Wert ein Vielfaches von \(\pi\) ist oder eine reine Dezimalzahl. - Wenn kein \(\pi\) im Bogenmaß steht, musst du den Zahlenwert von \(\pi \approx 3{,}14159\) in deine Rechnung einbeziehen. - Überlege dir zur Kontrolle grob: Ein Winkel mit dem Bogenmaß \(x = 1\) entspricht etwa \(57{,}3^\circ\). - Achte auf das Vorzeichen des Winkels.

Zur Umrechnung werden die Formeln \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) und \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) verwendet. 1. \(x = 2{,}4 \rightarrow \alpha = 2{,}4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 137{,}51^\circ\) 2. \(\alpha = 100^\circ \rightarrow x = 100 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 1{,}75\) 3. \(x = -\frac{3\pi}{4} \rightarrow \alpha = -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -135^\circ\) 4. \(x = 6 \rightarrow \alpha = 6 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 343{,}77^\circ\) 5. \(\alpha = 12{,}5^\circ \rightarrow x = 12{,}5 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0{,}22\)

a) \(\alpha \approx 137{,}51^\circ\) b) \(x \approx 1{,}75\) c) \(\alpha = -135^\circ\) d) \(\alpha \approx 343{,}77^\circ\) e) \(x \approx 0{,}22\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einem Vollkreis in Grad und im Bogenmaß? - Kannst du ein Verhältnis oder einen Dreisatz aufstellen, um die Einheiten umzurechnen? - Überlege dir, welches Bogenmaß \(180^\circ\) entspricht. - Achte bei der Rechnung auf die Vorzeichen; diese bleiben bei der Umrechnung erhalten.

1. Zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß wird die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(72^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72}{180}\pi = \frac{2}{5}\pi\). 3. Für b) ergibt sich \(-210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{210}{180}\pi = -\frac{7}{6}\pi\). 4. Zur Umrechnung von Bogenmaß in Gradmaß wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) verwendet. 5. Für c) ergibt sich \(\frac{4}{9}\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{9} = 80^\circ\). 6. Für d) ergibt sich \(-1{,}5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -1{,}5 \cdot 180^\circ = -270^\circ\).

a) \(x = \frac{2}{5}\pi\) b) \(x = -\frac{7}{6}\pi\) c) \(\alpha = 80^\circ\) d) \(\alpha = -270^\circ\)

- Wie oft passt der Winkel in einen Halbkreis von \(180^\circ\)? - Was musst du tun, um das \(\pi\) im Bogenmaß zu eliminieren oder einzuführen? - Kannst du die Brüche so weit wie möglich kürzen?

1. Berechnung für die erste Spalte: \(\alpha = 150^\circ \Rightarrow x = 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5}{6}\pi\). 2. Berechnung für die zweite Spalte: \(x = \frac{5}{4}\pi \Rightarrow \alpha = \frac{5}{4} \cdot 180^\circ = 225^\circ\). 3. Berechnung für die dritte Spalte: \(\alpha = -40^\circ \Rightarrow x = -40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{2}{9}\pi\). 4. Berechnung für die vierte Spalte: \(x = -0{,}2\pi \Rightarrow \alpha = -0{,}2 \cdot 180^\circ = -36^\circ\).

Erste Spalte: \(x = \frac{5}{6}\pi\) Zweite Spalte: \(\alpha = 225^\circ\) Dritte Spalte: \(x = -\frac{2}{9}\pi\) Vierte Spalte: \(\alpha = -36^\circ\)

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^{\circ}\)) der gegebene Winkel ist. - Welches Bogenmaß entspricht einem halben Kreis mit \(180^{\circ}\)? - Du kannst das Verhältnis \(\frac{\text{Bogenmaß}}{\pi} = \frac{\text{Gradmaß}}{180^{\circ}}\) zur Umrechnung nutzen. - Denk beim Kürzen der Brüche an gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner.

1. Zur Umrechnung von Gradmaß \(\alpha\) in Bogenmaß \(x\) wird die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}\) verwendet. 2. Für \(\alpha = 240^{\circ}\) ergibt sich \(x = 240^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{4}{3}\pi\). 3. Für \(\beta = -150^{\circ}\) ergibt sich \(x = -150^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = -\frac{5}{6}\pi\). 4. Für \(\gamma = 315^{\circ}\) ergibt sich \(x = 315^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{7}{4}\pi\). 5. Für \(\delta = 720^{\circ}\) ergibt sich \(x = 720^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = 4\pi\).

a) \(x = \frac{4}{3}\pi\) b) \(x = -\frac{5}{6}\pi\) c) \(x = \frac{7}{4}\pi\) d) \(x = 4\pi\)

- Wie viele Grad entsprechen dem Bogenmaß \(\pi\)? - Wenn ein \(\pi\) im Bogenmaß vorkommt, kannst du es beim Umrechnen einfach gegen das \(\pi\) im Nenner des Umrechnungsfaktors kürzen. - Steht kein \(\pi\) beim Wert, musst du den Wert direkt mit \(\frac{180^{\circ}}{\pi}\) multiplizieren und den Taschenrechner nutzen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen für die Richtung des Winkels?

1. Zur Umrechnung von Bogenmaß \(x\) in Gradmaß \(\alpha\) wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}\) verwendet. 2. Für \(x = \frac{11\pi}{6}\) ergibt sich \(\alpha = \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 11 \cdot 30^{\circ} = 330^{\circ}\). 3. Für \(x = -\frac{3\pi}{4}\) ergibt sich \(\alpha = -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -3 \cdot 45^{\circ} = -135^{\circ}\). 4. Für \(x = 0{,}5\) ergibt sich \(\alpha = 0{,}5 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 28{,}6^{\circ}\). 5. Für \(x = 10\pi\) ergibt sich \(\alpha = 10\pi \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 1800^{\circ}\).

a) \(\alpha = 330^{\circ}\) b) \(\alpha = -135^{\circ}\) c) \(\alpha \approx 28{,}6^{\circ}\) d) \(\alpha = 1800^{\circ}\)

- Überprüfe vor jeder Rechnung, ob der Winkel in Grad (mit dem Symbol \(^{\circ}\)) oder als reine Zahl im Bogenmaß gegeben ist. - Stelle deinen Taschenrechner für die Teilaufgaben a) und d) auf den Modus „DEG“ (Degree) ein. - Stelle deinen Taschenrechner für die Teilaufgaben b) und c) auf den Modus „RAD“ (Radian) ein. - Achte beim Runden auf die vierte Nachkommastelle, um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird.

1. Berechnung von \(\sin(115^{\circ})\) im Gradmaß (DEG): \(\sin(115^{\circ}) \approx 0{,}9063\). Gerundet: \(0{,}906\). 2. Berechnung von \(\sin(2{,}8)\) im Bogenmaß (RAD): \(\sin(2{,}8) \approx 0{,}3349\). Gerundet: \(0{,}335\). 3. Berechnung von \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\) im Bogenmaß (RAD): \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}8660\). Gerundet: \(-0{,}866\). 4. Berechnung von \(\sin(-45^{\circ})\) im Gradmaß (DEG): \(\sin(-45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071\). Gerundet: \(-0{,}707\).

a) \(0{,}906\) b) \(0{,}335\) c) \(-0{,}866\) d) \(-0{,}707\)

- Unterscheide genau zwischen der Zahl \(2\) ohne Einheit und dem Winkel \(2^{\circ}\). - Welcher Modus an deinem Taschenrechner ist für welchen Teil der Summe notwendig? - Berechne erst beide Sinuswerte einzeln und achte auf die Rundungsvorgaben, bevor du sie addierst.

1. Berechnung des ersten Summanden im Bogenmaß (RAD): \(\sin(2) \approx 0{,}9092974268\). Auf vier Nachkommastellen gerundet: \(0{,}9093\). 2. Berechnung des zweiten Summanden im Gradmaß (DEG): \(\sin(2^{\circ}) \approx 0{,}0348994967\). Auf vier Nachkommastellen gerundet: \(0{,}0349\). 3. Für das Endergebnis werden die ungerundeten Zwischenwerte addiert: \(T \approx 0{,}9092974268 + 0{,}0348994967 = 0{,}9441969235\). Gerundet auf vier Nachkommastellen ist \(T \approx 0{,}9442\).

\(T \approx 0{,}9442\)

- Überlege dir, welchen Anteil am Vollkreis (\(360^\circ\) bzw. \(2\pi\)) der gegebene Winkel einnimmt. - Die Umrechnungszahl zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß basiert auf dem Verhältnis des gestreckten Winkels (\(180^\circ\) entspricht \(\pi\)). - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Negative Winkel werden analog zu positiven Winkeln umgerechnet.

1. Berechnung für \(45^\circ\): Das Bogenmaß ergibt sich aus \(x = \frac{\alpha \pi}{180^\circ}\). Für \(45^\circ\) folgt \(x = \frac{45\pi}{180} = \frac{1}{4}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx 0{,}79\). 2. Berechnung für \(\frac{3}{5}\pi\): Das Gradmaß ergibt sich aus \(\alpha = \frac{x \cdot 180^\circ}{\pi}\). Einsetzen liefert \(\alpha = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ\). Der gerundete Wert des Bogenmaßes ist \(\frac{3}{5}\pi \approx 1{,}88\). 3. Berechnung für \(240^\circ\): \(x = \frac{240\pi}{180} = \frac{4}{3}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx 4{,}19\). 4. Berechnung für \(-60^\circ\): \(x = \frac{-60\pi}{180} = -\frac{1}{3}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx -1{,}05\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <th>Gradmaß \(\alpha\)</th> <th>Bogenmaß \(x\) (exakt)</th> <th>Bogenmaß \(x\) (gerundet)</th> </tr> <tr> <td>\(45^\circ\)</td> <td>\(\frac{1}{4}\pi\)</td> <td>\(0{,}79\)</td> </tr> <tr> <td>\(108^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{5}\pi\)</td> <td>\(1{,}88\)</td> </tr> <tr> <td>\(240^\circ\)</td> <td>\(\frac{4}{3}\pi\)</td> <td>\(4{,}19\)</td> </tr> <tr> <td>\(-60^\circ\)</td> <td>\(-\frac{1}{3}\pi\)</td> <td>\(-1{,}05\)</td> </tr> </table>

- Um verschiedene Winkelmaße zu vergleichen, müssen sie in dieselbe Einheit umgerechnet werden. - Werte ohne Einheit (wie \(1{,}2\)) stehen im Mathematikunterricht meist für das Bogenmaß. - Nutze für \(\pi\) die Taste an deinem Taschenrechner für eine höhere Genauigkeit vor dem Runden.

1. Umrechnung aller Werte in das Bogenmaß (Dezimaldarstellung): - \(75^\circ \approx \frac{75 \cdot \pi}{180} \approx 1{,}31\) - \(1{,}2\) (bereits im Bogenmaß) - \(\frac{2}{3}\pi \approx \frac{2 \cdot 3{,}14159}{3} \approx 2{,}09\) - \(210^\circ \approx \frac{210 \cdot \pi}{180} \approx 3{,}67\) - \(4\) (bereits im Bogenmaß) 2. Vergleich der Werte: \(1{,}2 < 1{,}31 < 2{,}09 < 3{,}67 < 4\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte ergibt die Reihenfolge: \(1{,}2\); \(75^\circ\); \(\frac{2}{3}\pi\); \(210^\circ\); \(4\).

Die sortierte Reihenfolge lautet: \(1{,}2\); \(75^\circ\); \(\frac{2}{3}\pi\); \(210^\circ\); \(4\).

- Überlege dir, wie viel Grad einem vollen Kreis im Bogenmaß (\(2\pi\)) entsprechen. - Welchen Anteil am Vollkreis stellt der gegebene Wert im Bogenmaß dar? - Welche Konstante verbindet den Radius und den Umfang eines Kreises?

1. Zur Umrechnung von Bogenmaß \(x\) in Gradmaß \(\alpha\) wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(\alpha = 0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 28{,}6478^\circ\), gerundet \(28{,}65^\circ\). 3. Für b) ergibt sich \(\alpha = 2{,}4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 137{,}5098^\circ\), gerundet \(137{,}51^\circ\). 4. Für c) ergibt sich \(\alpha = 4{,}8 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 275{,}0197^\circ\), gerundet \(275{,}02^\circ\). 5. Für d) ergibt sich \(\alpha = 5{,}9 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 338{,}0450^\circ\), gerundet \(338{,}05^\circ\).

a) \(\alpha \approx 28{,}65^\circ\) b) \(\alpha \approx 137{,}51^\circ\) c) \(\alpha \approx 275{,}02^\circ\) d) \(\alpha \approx 338{,}05^\circ\)

- Wie verhält sich das Vorzeichen bei der Umrechnung zwischen den Maßeinheiten? - Entspricht ein Wert über \(2\pi\) einem Winkel, der größer als eine volle Umdrehung ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang: Das Bogenmaß \(\pi\) entspricht \(180^\circ\).

1. Die Umrechnungsformel lautet \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 2. Berechnung für a): \(\alpha = -0{,}9 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx -51{,}5662^\circ\). Gerundet ergibt dies \(-51{,}6^\circ\). 3. Berechnung für b): \(\alpha = 3{,}1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 177{,}6169^\circ\). Gerundet ergibt dies \(177{,}6^\circ\). 4. Berechnung für c): \(\alpha = 7{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 412{,}5296^\circ\). Gerundet ergibt dies \(412{,}5^\circ\).

a) \(\alpha \approx -51{,}6^\circ\) b) \(\alpha \approx 177{,}6^\circ\) c) \(\alpha \approx 412{,}5^\circ\)

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^\circ\)) der gegebene Winkel ist. - Ein Vollkreis entspricht im Bogenmaß genau \(2\pi\). - Welcher Wert im Bogenmaß entspricht dann einem halben Kreis (\(180^\circ\))? - Stelle ein Verhältnis zwischen dem Winkel im Gradmaß und dem gestreckten Winkel auf.

Das Bogenmaß \(x\) wird mithilfe der Formel \(x = \frac{\alpha \pi}{180^\circ}\) berechnet. 1. Für \(24^\circ\): \(\frac{24\pi}{180} \approx 0{,}4188\). Gerundet: \(0{,}42\). 2. Für \(165^\circ\): \(\frac{165\pi}{180} \approx 2{,}8797\). Gerundet: \(2{,}88\). 3. Für \(212{,}5^\circ\): \(\frac{212{,}5\pi}{180} \approx 3{,}7088\). Gerundet: \(3{,}71\). 4. Für \(333^\circ\): \(\frac{333\pi}{180} \approx 5{,}8119\). Gerundet: \(5{,}81\).

a) \(0{,}42\) b) \(2{,}88\) c) \(3{,}71\) d) \(5{,}81\)

- Die Umrechnungsformel bleibt auch bei negativen Vorzeichen oder sehr großen Werten identisch. - Achte darauf, das Vorzeichen im Ergebnis beizubehalten. - Wie viele volle Umdrehungen stecken beispielsweise in \(1500^\circ\)? Das hilft dir, die Größenordnung deines Ergebnisses einzuschätzen. - Verwende für \(\pi\) den Taschenrechnerwert, um Rundungsfehler zu minimieren.

Die Umrechnung erfolgt durch Multiplikation des Gradmaßes mit dem Faktor \(\frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Für \(-15^\circ\): \(\frac{-15\pi}{180} \approx -0{,}2617\). Gerundet: \(-0{,}262\). 2. Für \(480^\circ\): \(\frac{480\pi}{180} \approx 8{,}3775\). Gerundet: \(8{,}378\). 3. Für \(-210^\circ\): \(\frac{-210\pi}{180} \approx -3{,}6651\). Gerundet: \(-3{,}665\). 4. Für \(1500^\circ\): \(\frac{1500\pi}{180} \approx 26{,}1799\). Gerundet: \(26{,}180\).

a) \(-0{,}262\) b) \(8{,}378\) c) \(-3{,}665\) d) \(26{,}180\)

- Überlege, welche Gradzahl dem Bogenmaß \(\pi\) entspricht. - Stelle für jede Zeile fest, in welche Richtung du umrechnen musst. - Prüfe bei negativen Winkeln, ob das Vorzeichen beim Umrechnen erhalten bleibt. - Runde erst am Ende auf eine Stelle nach dem Komma.

1. \(72^\circ\) entsprechen \(\frac{72\pi}{180}=\frac{2\pi}{5}\approx1{,}3\). 2. \(1{,}5\) entsprechen \(\frac{1{,}5\cdot180^\circ}{\pi}\approx85{,}9^\circ\). 3. \(-210^\circ\) entsprechen \(-\frac{210\pi}{180}=-\frac{7\pi}{6}\approx-3{,}7\). 4. \(\frac{3}{4}\pi\) entsprechen \(\frac{3}{4}\cdot180^\circ=135^\circ\). 5. \(5\) entsprechen \(\frac{5\cdot180^\circ}{\pi}\approx286{,}5^\circ\).

<table> <tr><th>Gradmaß \(\alpha\)</th><th>Bogenmaß \(x\)</th></tr> <tr><td>\(72^\circ\)</td><td>\(\frac{2\pi}{5}\approx1{,}3\)</td></tr> <tr><td>\(85{,}9^\circ\)</td><td>\(1{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(-210^\circ\)</td><td>\(-\frac{7\pi}{6}\approx-3{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(135^\circ\)</td><td>\(\frac{3}{4}\pi\)</td></tr> <tr><td>\(286{,}5^\circ\)</td><td>\(5\)</td></tr> </table>

- Um verschiedene Angaben vergleichen zu können, ist es am einfachsten, sie in die gleiche Einheit (entweder Grad oder Bogenmaß) zu bringen. - Denke daran, dass \(\pi\) ungefähr \(3{,}14\) ist, um die Größenordnung der Bogenmaß-Werte grob abzuschätzen. - Wie rechnest du einen Wert im Bogenmaß in Grad um?

1. Umrechnung aller Werte in das Gradmaß zur besseren Vergleichbarkeit. 2. \(\alpha = 155^\circ\) ist bereits im Gradmaß gegeben. 3. Umrechnung von \(\beta = 2{,}7\): \(\alpha_{\beta} = \frac{2{,}7 \cdot 180}{\pi} \approx 154{,}7^\circ\). 4. Umrechnung von \(\gamma = \frac{5}{6}\pi\): \(\alpha_{\gamma} = \frac{5}{6} \cdot 180^\circ = 150^\circ\). 5. Umrechnung von \(\delta = 2{,}8\): \(\alpha_{\delta} = \frac{2{,}8 \cdot 180}{\pi} \approx 160{,}4^\circ\). 6. Vergleich der Werte: \(150^\circ < 154{,}7^\circ < 155^\circ < 160{,}4^\circ\). 7. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(\gamma < \beta < \alpha < \delta\).

Die sortierte Reihenfolge lautet: \(\gamma < \beta < \alpha < \delta\) (entspricht \(150^\circ < 154{,}7^\circ < 155^\circ < 160{,}4^\circ\)).

- Überlege dir, welcher Winkel im Gradmaß einem vollen Kreisbogen im Bogenmaß (\(2\pi\)) entspricht. - Wie viel Grad entsprechen dann genau dem Bogenmaß \(1\)? - Achte beim Runden genau auf die Ziffer an der zweiten Nachkommastelle. - Das Vorzeichen bleibt bei der Umrechnung erhalten.

Die Umrechnung vom Bogenmaß \(x\) in das Gradmaß \(\alpha\) erfolgt über die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 1. Für \(x_1 = 1{,}2\): \(\alpha_1 = 1{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 68{,}8^\circ\). 2. Für \(x_2 = -0{,}5\): \(\alpha_2 = -0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx -28{,}6^\circ\). 3. Für \(x_3 = 3{,}5\): \(\alpha_3 = 3{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 200{,}5^\circ\). 4. Für \(x_4 = 6{,}2\): \(\alpha_4 = 6{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 355{,}2^\circ\).

a) \(68{,}8^\circ\) b) \(-28{,}6^\circ\) c) \(200{,}5^\circ\) d) \(355{,}2^\circ\)

- Welchen Anteil des Vollkreises (\(360^\circ\)) macht der gegebene Winkel aus? - Ein voller Kreis entspricht im Bogenmaß \(2\pi\). Wie kannst du diesen Zusammenhang nutzen? - Denke daran, dass das Bogenmaß oft als Vielfaches von \(\pi\) angegeben wird, hier aber ein Dezimalwert gesucht ist. - Verwende für \(\pi\) die Taste an deinem Taschenrechner für eine höhere Genauigkeit vor dem Runden.

Die Umrechnung vom Gradmaß \(\alpha\) in das Bogenmaß \(x\) erfolgt über die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Für \(\alpha_1 = 15^\circ\): \(x_1 = 15^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}26\). 2. Für \(\alpha_2 = 135^\circ\): \(x_2 = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36\). 3. Für \(\alpha_3 = -200^\circ\): \(x_3 = -200^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{10\pi}{9} \approx -3{,}49\). 4. Für \(\alpha_4 = 345^\circ\): \(x_4 = 345^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{23\pi}{12} \approx 6{,}02\).

a) \(0{,}26\) b) \(2{,}36\) c) \(-3{,}49\) d) \(6{,}02\)

- Nutze die feste Zuordnung \(180^\circ\leftrightarrow\pi\). - Schreibe die Umrechnung zunächst als Bruch mit dem Nenner \(180\). - Kürze den Zahlenbruch vollständig, bevor du \(\pi\) notierst.

1. Verwende für jede Winkelgröße \(x=\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\). 2. Für a) erhält man \(60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}\), \(135^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{3\pi}{4}\) und \(330^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11\pi}{6}\). 3. Für b) erhält man \(-90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{\pi}{2}\) und \(-210^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{7\pi}{6}\). 4. Für c) erhält man \(12^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{15}\) und \(200^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{10\pi}{9}\).

a) \(\frac{\pi}{3}\); \(\frac{3\pi}{4}\); \(\frac{11\pi}{6}\) b) \(-\frac{\pi}{2}\); \(-\frac{7\pi}{6}\) c) \(\frac{\pi}{15}\); \(\frac{10\pi}{9}\)

- Um verschiedene mathematische Größen zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie in die gleiche Einheit zu bringen. - Welche Einheit (Gradmaß oder Bogenmaß) fällt dir leichter zu vergleichen? - Achte bei der Umrechnung von Werten ohne das Symbol \(\pi\) darauf, den Wert für \(\pi\) genau einzusetzen (z. B. mit der Taste am Taschenrechner).

Zur Vergleichbarkeit werden alle Winkel in das Gradmaß umgerechnet unter Verwendung der Formel \(\alpha = \frac{x \cdot 180^\circ}{\pi}\). 1. Umrechnung von \(x_1\): \(1{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 68{,}75^\circ\). 2. Umrechnung von \(x_2\): \(\frac{2}{5}\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 72^\circ\). 3. Umrechnung von \(x_3\): \(0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 28{,}65^\circ\). 4. Vergleich aller Werte in Grad: \(28{,}65^\circ < 40^\circ < 68{,}75^\circ < 72^\circ < 75^\circ\). 5. Zuordnung der ursprünglichen Bezeichnungen ergibt die Reihenfolge: \(x_3 < \alpha_2 < x_1 < x_2 < \alpha_1\).

\(x_3 < \alpha_2 < x_1 < x_2 < \alpha_1\)

- Stelle zuerst fest, welche der drei Größen jeweils gesucht ist. - Nutze dieselbe Grundbeziehung für beide Teilaufgaben, aber stelle sie passend nach der gesuchten Größe um. - Prüfe bei deinem Ergebnis, ob die Einheit zu einer Länge passt.

1. Es gilt \(\alpha=\frac{s}{r}\), also \(s=r\alpha\). 2. Für a) ist \(s=4\,\text{cm}\cdot1{,}8=7{,}2\,\text{cm}\). 3. Für b) folgt aus \(\alpha=\frac{s}{r}\) die Umstellung \(r=\frac{s}{\alpha}\). Damit ist \(r=\frac{7{,}5\,\text{cm}}{1{,}5}=5\,\text{cm}\).

a) \(s=7{,}2\,\text{cm}\) b) \(r=5\,\text{cm}\)

- Der Mittelpunktswinkel ist in beiden Kreisen gleich; nur der Radius ändert sich. - Nutze die Beziehung zwischen Bogenlänge, Radius und Bogenmaß für jeden Kreis getrennt. - Vergleiche anschließend die beiden Ergebnisse als Quotient. - Überlege, welche Größe bei festem Winkel direkt mit dem Radius wächst.

1. Für einen Winkel im Bogenmaß gilt \(s=r\alpha\). 2. Daher ist \(s_1=2\cdot\frac{\pi}{3}\,\text{cm}=\frac{2\pi}{3}\,\text{cm}\) und \(s_2=5\cdot\frac{\pi}{3}\,\text{cm}=\frac{5\pi}{3}\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis ist \(\frac{s_2}{s_1}=\frac{5\pi/3}{2\pi/3}=\frac52=2{,}5\). 4. Bei festem Mittelpunktswinkel ist \(s=r\alpha\), also ist die Bogenlänge direkt proportional zum Radius. Deshalb entspricht das Verhältnis der Bogenlängen dem Verhältnis \(\frac{r_2}{r_1}=\frac52\).

a) \(s_1=\frac{2\pi}{3}\,\text{cm}\), \(s_2=\frac{5\pi}{3}\,\text{cm}\) b) \(\frac{s_2}{s_1}=2{,}5\)

- Was vereinfacht sich in der Beziehung zwischen Bogenlänge und Winkel, wenn der Radius genau \(1\) ist? - Ordne den Winkel anschließend einem Quadranten zu. - Nutze für die exakten Koordinaten einen bekannten Bezugswinkel. - Prüfe die Vorzeichen der beiden Koordinaten anhand der Lage von \(P\).

1. Beim Einheitskreis ist \(r=1\). Deshalb gilt \(\alpha=\frac{s}{r}=\frac{2\pi}{3}\). 2. Mit \(\pi=180^\circ\) folgt \(\frac{2\pi}{3}=120^\circ\). 3. Der Winkel \(120^\circ\) liegt im zweiten Quadranten und hat den Bezugswinkel \(60^\circ\). Daher ist \(P\left(-\frac12\mid\frac{\sqrt3}{2}\right)\). 4. Somit gilt \(\cos(\alpha)=-\frac12\) und \(\sin(\alpha)=\frac{\sqrt3}{2}\).

a) \(\alpha=\frac{2\pi}{3}\) b) \(\alpha=120^\circ\) c) \(P\left(-\frac12\mid\frac{\sqrt3}{2}\right)\), \(\cos(\alpha)=-\frac12\), \(\sin(\alpha)=\frac{\sqrt3}{2}\)