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- Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine normale quadratische Gleichung aussieht? - Was passiert, wenn du einen Teil des Terms durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung vierten Grades maximal?

1. Durchführung der Substitution \(u = x^2\), woraus die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\) resultiert. 2. Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder des Satzes von Vieta liefert \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 9\). 3. Durchführung der Resubstitution für \(u_1 = 4\): Aus \(x^2 = 4\) folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Durchführung der Resubstitution für \(u_2 = 9\): Aus \(x^2 = 9\) folgen die Lösungen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -2; 2; 3\}\).

\(L = \{-3; -2; 2; 3\}\)

- Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst oder durch ihn teilst? - Welche Potenzen von \(x\) treten in der Gleichung auf und wie hängen sie zusammen? - Überlege nach der Substitution genau, ob alle gefundenen Werte für die Hilfsvariable auch zu reellen Werten für \(x\) führen können.

1. Nullstellengleichung aufstellen: \(3x^4 - 15x^2 - 108 = 0\). 2. Vereinfachung durch Division durch 3: \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). 3. Substitution von \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u - 36 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(u_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = 2{,}5 \pm 6{,}5\). 5. Bestimmung der Lösungen für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = -4\). 6. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 9\) führt zu \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 7. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = -4\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

- Betrachte die Exponenten von \(x\). Gibt es eine Möglichkeit, die Gleichung in eine bekanntere Form umzuwandeln? - Könntest du einen Teil des Terms durch eine neue Variable ersetzen, um den Grad der Gleichung zu senken? - Vergiss nicht, am Ende wieder zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal besitzen?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 26u + 25 = 0\). 2. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 25\) und \(u_2 = 1\). 3. Rücksubstitution \(x^2 = 25\) ergibt die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 4. Rücksubstitution \(x^2 = 1\) ergibt die Lösungen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; -1; 1; 5\}\).

\(L = \{-5; -1; 1; 5\}\)

- Kannst du den Term vereinfachen, indem du \(x^2\) durch eine andere Variable ersetzt? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um Nullstellen von quadratischen Gleichungen zu finden? - Wie hängen die Nullstellen eines Polynoms mit seiner Zerlegung in Linearfaktoren zusammen? - Denk an die dritte binomische Formel, um quadratische Ausdrücke weiter zu zerlegen.

1. Substitution \(u = x^2\) durchführen, um die quadratische Gleichung \(u^2 - 29u + 100 = 0\) zu erhalten. 2. Lösen der quadratischen Gleichung nach \(u\), zum Beispiel mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(u_{1,2} = \frac{29}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{29}{2}\right)^2 - 100} = 14{,}5 \pm \sqrt{210{,}25 - 100} = 14{,}5 \pm 10{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 25\) und \(u_2 = 4\). 3. Resubstitution \(x^2 = u\) durchführen: Für \(u_1 = 25\) folgt \(x^2 = 25 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 5\). Für \(u_2 = 4\) folgt \(x^2 = 4 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 2\). 4. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung unter Verwendung der gefundenen Nullstellen: \(A(x) = (x - 5)(x + 5)(x - 2)(x + 2)\).

\(A(x) = (x - 5)(x + 5)(x - 2)(x + 2)\)

- Wie hängen die Nullstellen einer Gleichung mit ihrer faktorisierten Form zusammen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier sehr hilfreich sein. - Eine biquadratische Gleichung lässt sich oft als Produkt von zwei quadratischen Termen schreiben.

1. Aufstellen der Nullstellenform (Faktorisierung) der Gleichung unter Verwendung der gegebenen Nullstellen: \((x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktorenpaare: \((x^2 - (\sqrt{5})^2)(x^2 - (\sqrt{2})^2) = 0\), woraus \((x^2 - 5)(x^2 - 2) = 0\) folgt 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^4 - 2x^2 - 5x^2 + 10 = 0\) 4. Zusammenfassen der Terme zur Normalform: \(x^4 - 7x^2 + 10 = 0\)

\(x^4 - 7x^2 + 10 = 0\)

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung so vereinfachen, dass sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Was musst du am Ende tun, um von deiner Hilfsvariablen wieder zur ursprünglichen Unbekannten zu gelangen? - Denk daran, dass das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Was bedeutet das für deine Lösungen? - Achte bei der Lösungsmenge darauf, alle gefundenen Werte anzugeben.

1. Teilaufgabe a: Substitution \(u = x^2\) ergibt die quadratische Gleichung \(u^2 - 11u + 18 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 2\). Rücksubstitution \(x^2 = 9\) liefert \(x = \pm 3\), und \(x^2 = 2\) liefert \(x = \pm \sqrt{2}\). Somit ist \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\). 2. Teilaufgabe b: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 6u + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -5\). Da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, liefern die Gleichungen \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -5\) keine reellen Lösungen. Somit ist \(L = \emptyset\). 3. Teilaufgabe c: Substitution \(u = x^2\) ergibt \(2u^2 - 7u - 4 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder Division durch 2 und \(p\)-\(q\)-Formel erhält man \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -0{,}5\). Rücksubstitution \(x^2 = 4\) liefert \(x = \pm 2\). Die Gleichung \(x^2 = -0{,}5\) hat keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \{-2; 2\}\).

a) \(L = \{-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-2; 2\}\)

- Welche Substitution macht aus der biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung? - Löse zunächst die Gleichung in der Hilfsvariablen vollständig. - Berücksichtige bei jeder positiven Lösung für \(u\) beide reellen Quadratwurzeln.

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4-20x^2+64=0\). 2. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-20u+64=0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1=16\) und \(u_2=4\). 4. Aus \(x^2=16\) folgt \(x=\pm4\); aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\).

Die Nullstellen sind \(x=-4\), \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=4\).

- Ersetze \(x^2\) durch \(u\), damit eine quadratische Gleichung entsteht. - Prüfe nach dem Lösen, welche \(u\)-Werte bei der Rücksubstitution reelle \(x\)-Werte liefern. - Zähle erst nach der vollständigen Rücksubstitution die verschiedenen reellen Nullstellen.

1. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-5u+4=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(u_1=4\) und \(u_2=1\). 3. Aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\), aus \(x^2=1\) folgt \(x=\pm1\). 4. Es gibt somit vier verschiedene reelle Nullstellen und daher vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

Nullstellen: \(x=-2\), \(-1\), \(1\), \(2\). Der Graph besitzt vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Übersetze jeden gefundenen \(u\)-Wert wieder in eine Gleichung für \(x^2\). - Wie viele reelle Zahlen besitzen dasselbe positive Quadrat? - Prüfe, ob Noras Menge zu jedem positiven \(u\)-Wert beide Möglichkeiten enthält.

1. Aus \(u_1=1\) folgt \(x^2=1\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Aus \(u_2=9\) folgt \(x^2=9\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-3\) und \(x=3\). 3. Nora hat bei beiden Rücksubstitutionen jeweils die negative Quadratwurzel vergessen.

Der Fehler liegt in der unvollständigen Rücksubstitution. Vollständig ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\).

- Prüfe jeden \(u\)-Wert darauf, ob er überhaupt als Quadrat einer reellen Zahl auftreten kann. - Welche Vorzeichen können Werte der Form \(x^2\) besitzen? - Erst nach dieser Prüfung darfst du Quadratwurzeln bilden.

1. Der Wert \(u_1=2\) ist positiv. Aus \(x^2=2\) folgen die beiden reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{2}\). 2. Der Wert \(u_2=-3\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2=-3\) besitzt keine reelle Lösung. 3. Mateo hat beim negativen \(u\)-Wert unzulässig das Minuszeichen unter der Quadratwurzel verworfen.

Im Bereich der reellen Zahlen gilt \(L=\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}\). Der Wert \(u=-3\) liefert keine reellen \(x\)-Werte.

- Überlege dir, welche Ersetzung dir helfen könnte, den Grad der Gleichung zu halbieren. - Achte beim Auflösen der substituierten Gleichung genau auf die Vorzeichen. - Prüfe bei der Rückkehr zur ursprünglichen Variablen, ob alle gefundenen Werte für die Quadrate auch wirklich reelle Wurzeln zulassen. - Gibt es einen Unterschied zwischen den Lösungen für die Hilfsvariable und den endgültigen Lösungen für \(x\)?

1. Substitution von \(x^2\) durch \(u\), was zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 5u - 36 = 0\) führt. 2. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(u_{1,2} = -2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 + 36} = -2{,}5 \pm 6{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -9\). 3. Resubstitution für \(u_1 = 4\): Die Gleichung \(x^2 = 4\) besitzt die reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Resubstitution für \(u_2 = -9\): Die Gleichung \(x^2 = -9\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung, da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können. 5. Die reelle Lösungsmenge ist somit \(L = \{-2; 2\}\).

\(L = \{-2; 2\}\)

- Gibt es eine Ersetzung, die die Gleichung wie eine quadratische Gleichung aussehen lässt? - Was musst du beachten, wenn du von deiner Hilfsvariablen zurück zur ursprünglichen Variablen gehst? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung vierten Grades maximal haben? - Achte darauf, alle Vorzeichen beim Wurzelziehen zu berücksichtigen.

1. Ansatz der Nullstellengleichung: \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\). 2. Substitution von \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(4u^2 - 17u + 4 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel: \(u_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8}\). 4. Ermittlung der Werte für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Rücksubstitution für \(u_1\): \(x^2 = 4\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 6. Rücksubstitution für \(u_2\): \(x^2 = 0{,}25\) ergibt \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = -0{,}5\).

Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 0{,}5\) und \(x_4 = 2\).

- Wie weist man nach, dass ein bestimmter Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn \(u = x^3\) ist, wie lässt sich dann \(x^6\) mit Hilfe von \(u\) ausdrücken? - Beachte beim Ziehen der Wurzel, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Gibt es für \(x^3 = -1\) eine reelle Lösung?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(g(3) = 3^6 - 26 \cdot 3^3 - 27 = 729 - 26 \cdot 27 - 27 = 729 - 702 - 27 = 0\). 2. Substitution \(u = x^3\) transformiert die Gleichung \(x^6 - 26x^3 - 27 = 0\) in die quadratische Form \(u^2 - 26u - 27 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 27\) und \(u_2 = -1\). 4. Die Resubstitution \(x^3 = 27\) führt zur bereits bekannten Nullstelle \(x = \sqrt[3]{27} = 3\). 5. Die Resubstitution \(x^3 = -1\) führt zur weiteren reellen Nullstelle \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\).

Der Nachweis erfolgt durch \(g(3) = 0\). Die einzige weitere reelle Nullstelle ist \(x = -1\).

- Gibt es einen konstanten Faktor, den du zuerst ausklammern kannst, um die Zahlen zu vereinfachen? - Erinnert dich die Struktur des Terms an eine quadratische Gleichung, wenn du eine Variable ersetzt? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihren Linearfaktoren zusammen? - Vergiss am Ende nicht den Leitkoeffizienten vor der Klammer.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2\): \(f(x) = 2(x^4 - 13x^2 + 36)\). 2. Substitution von \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 13u + 36 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(u_{1,2} = \frac{13}{2} \pm \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 36} = 6{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 9\). 4. Resubstitution \(x^2 = 4\) liefert die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Resubstitution \(x^2 = 9\) liefert die Nullstellen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 6. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten: \(f(x) = 2(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\).

\(f(x) = 2(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\)

- Betrachte die vorkommenden Potenzen von \(x\) und suche nach einer Struktur, die sich auf eine einfachere Gleichungsart zurückführen lässt. - Prüfe nach dem Lösen der vereinfachten Struktur sorgfältig, welche Werte für \(x\) daraus entstehen. - Nutze den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Linearfaktoren erst, nachdem alle Nullstellen bestimmt sind. - Kontrolliere die Faktorzerlegung durch ihre Nullstellen oder durch Ausmultiplizieren.

1. Nullstellenberechnung mittels Substitution: Setze \(u = x^2\). Die Gleichung wird zu \(u^2 - 10u + 9 = 0\). 2. Lösung der quadratischen Gleichung: Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 9\). 3. Rücksubstitution: Aus \(x^2 = 1\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Aus \(x^2 = 9\) folgen die Nullstellen \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). 4. Überprüfung der Aussage: Da vier verschiedene reelle Nullstellen existieren, ist Linas Aussage wahr. 5. Linearfaktorzerlegung: Jede Nullstelle \(x_0\) entspricht einem Linearfaktor \((x - x_0)\). Damit ergibt sich \(p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\).

a) Die Aussage ist wahr. Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -3\). b) \(p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\)

- Hat jede quadratische Lösung für deine Hilfsvariable auch eine Entsprechung für \(x\)? - Welche Bedingung muss eine Zahl erfüllen, damit man aus ihr eine reelle Quadratwurzel ziehen kann? - Achte bei der ersten Aufgabe auf den Koeffizienten vor der höchsten Potenz. - Überprüfe am Ende, ob alle gefundenen Werte für \(x\) tatsächlich die ursprüngliche Gleichung lösen.

1. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 1 ergibt \(4u^2 - 37u + 9 = 0\). 2. Die Mitternachtsformel liefert \(u = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{8} = \frac{37 \pm 35}{8}\), also \(u_1 = 9\) und \(u_2 = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 3. Rücksubstitution: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\); \(x^2 = 0{,}25 \Rightarrow x = \pm 0{,}5\). Dies ergibt insgesamt 4 reelle Lösungen. 4. Substitution \(u = x^2\) in Gleichung 2 ergibt \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Rücksubstitution: \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Da die Gleichung \(x^2 = -1\) im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die ursprüngliche Gleichung insgesamt nur 2 reelle Lösungen.

1) \(L = \{-3; -0{,}5; 0{,}5; 3\}\); 4 Lösungen 2) \(L = \{-2; 2\}\); 2 Lösungen

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du versuchst, sie zu lösen? - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen? - Überlege nach der Umformung genau, ob alle Zwischenergebnisse auch für die ursprüngliche Variable sinnvoll sind. - Musst du die Wurzeln unbedingt als Dezimalzahlen schreiben oder ist eine andere Darstellung präziser?

1. Substitution \(u = x^2\) transformiert die Gleichung in \(2u^2 + 6u - 80 = 0\). 2. Division der Gleichung durch 2 liefert die Normalform \(u^2 + 3u - 40 = 0\). 3. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 5\) und \(u_2 = -8\). 4. Die Rücksubstitution \(x^2 = 5\) ergibt die reellen Lösungen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 5. Die Gleichung \(x^2 = -8\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung. 6. Die Lösungsmenge lautet \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\).

\(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\)

- Gibt es eine Zahl, die in allen Koeffizienten als Teiler steckt? - Was passiert, wenn du \(x^2\) vorübergehend durch einen anderen Buchstaben ersetzt? - Untersuche die einzelnen Faktoren deiner Zerlegung: Können alle Null werden, wenn du für \(x\) eine reelle Zahl einsetzt? - Erinnere dich daran, dass ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3\): \(f(x) = 3(x^4 + 2x^2 - 3)\). 2. Substitution \(u = x^2\) liefert \(u^2 + 2u - 3 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = -3\). 3. Zerlegung des quadratischen Ausdrucks in \(u\): \(3(u - 1)(u + 3)\). 4. Resubstitution \(u = x^2\) ergibt \(3(x^2 - 1)(x^2 + 3)\). 5. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1)\) führt zur Zerlegung: \(f(x) = 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)\). Dies ist die maximale Zerlegung über den reellen Zahlen, da \(x^2 + 3 = 0\) keine reellen Lösungen besitzt. 6. Die reellen Nullstellen ergeben sich aus den Linearfaktoren zu \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). 7. Begründung für b): Der Faktor \((x^2 + 3)\) ist für alle reellen Zahlen \(x\) stets größer oder gleich \(3\), kann also niemals Null werden. Somit liefern nur die Linearfaktoren reelle Nullstellen.

a) \(f(x) = 3(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)\) b) Reelle Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\). Der Faktor \((x^2 + 3)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 \geq 0\) und somit \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\).

- Welche weiteren reellen Lösungen folgen daraus, dass nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen? - Wie kannst du aus vier bekannten Lösungen eine Faktorform der Gleichung aufbauen? - Welche Faktoren lassen sich so paaren, dass nur noch gerade Potenzen von \(x\) entstehen?

1. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gehören zu den Lösungen \(\sqrt{2}\) und \(5\) auch \(-\sqrt{2}\) und \(-5\). 2. Damit hat die Gleichung die Faktorform \((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-5)(x+5)=0\). 3. Die Faktoren lassen sich paarweise zu \((x^2-2)(x^2-25)=0\) zusammenfassen. 4. Ausmultiplizieren liefert \(x^4-27x^2+50=0\). 5. Daher gilt \(a=-27\) und \(b=50\).

\(a=-27\), \(b=50\); die Gleichung lautet \(x^4-27x^2+50=0\).

- Was bedeutet die Lösung \(x=3\) für den Wert von \(u\) in der Hilfsgleichung? - Erinnerst du dich, wie man eine quadratische Gleichung aufstellt, wenn man beide Lösungen kennt? - Wie viele Lösungen kann eine biquadratische Gleichung maximal haben, wenn die Hilfsgleichung zwei positive Lösungen hat? - Vergiss nicht, am Ende den Schritt von \(u\) zurück zu \(x\) für alle Werte zu machen.

1. Aus der gegebenen Lösung \(x = 3\) folgt durch Einsetzen in die Substitutionsgleichung \(u = x^2\) die erste Lösung der Hilfsgleichung: \(u_1 = 3^2 = 9\). 2. Die Lösungen der quadratischen Hilfsgleichung \(u^2 + pu + q = 0\) sind somit \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 3. Mit dem Satz von Vieta (oder durch Aufstellen der Form \((u-9)(u-1)=0\)) lassen sich die Parameter bestimmen: \(p = -(u_1 + u_2) = -(9 + 1) = -10\) und \(q = u_1 \cdot u_2 = 9 \cdot 1 = 9\). 4. Die biquadratische Gleichung lautet \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 5. Um alle reellen Lösungen \(x\) zu finden, wird die Rücksubstitution \(x^2 = u\) durchgeführt: Für \(u_1 = 9\) ergibt sich \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Für \(u_2 = 1\) ergibt sich \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\).

Die Parameter sind \(p = -10\) und \(q = 9\). Die reellen Lösungen der Gleichung sind \(x \in \{-3; -1; 1; 3\}\).

- Kannst du eine der Variablen in einer Gleichung durch einen Ausdruck der anderen Variablen ersetzen? - Erkennst du in der entstandenen Gleichung eine Struktur, die du durch eine Ersetzung (Substitution) vereinfachen kannst? - Denke beim Auflösen von Quadraten daran, dass es sowohl positive als auch negative Wurzeln geben kann. - Wie viele Werte für \(y\) erhältst du jeweils für ein bestimmtes \(x^2\)?

1. Einsetzen des Ausdrucks für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung: \((x^2 - 5)^2 + 2x^2 = 10\). 2. Anwendung der binomischen Formel und Zusammenfassen der Terme: \(x^4 - 10x^2 + 25 + 2x^2 = 10\), woraus die biquadratische Gleichung \(x^4 - 8x^2 + 15 = 0\) resultiert. 3. Substitution von \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 8u + 15 = 0\). 4. Berechnung der Nullstellen mittels der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \(u_1 = 5\) und \(u_2 = 3\). 5. Rücksubstitution zur Bestimmung von \(x\): Aus \(x^2 = 5\) folgt \(x_{1,2} = \pm\sqrt{5}\). Aus \(x^2 = 3\) folgt \(x_{3,4} = \pm\sqrt{3}\). 6. Ermittlung der zugehörigen \(y\)-Werte durch Einsetzen in \(y = x^2 - 5\): Für \(x^2 = 5\) ergibt sich \(y = 5 - 5 = 0\). Für \(x^2 = 3\) ergibt sich \(y = 3 - 5 = -2\). 7. Zusammenfassung der Lösungspaare: \((\sqrt{5}|0)\), \((-\sqrt{5}|0)\), \((\sqrt{3}|-2)\) und \((-\sqrt{3}|-2)\). Die Anzahl der Lösungen beträgt 4.

Die Lösungen sind \((\sqrt{5}|0), (-\sqrt{5}|0), (\sqrt{3}|-2), (-\sqrt{3}|-2)\). Das System hat insgesamt 4 Lösungen.

- Wie kannst du eine der Variablen eliminieren, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten? - Wenn du einen Term wie \(x^2\) als neue Variable betrachtest, welche Form nimmt die Gleichung dann an? - Denk daran, dass für jeden gefundenen Wert von \(x\) ein passender Wert für \(y\) bestimmt werden muss. - Überprüfe am Ende, ob deine Lösungen beide ursprünglichen Gleichungen erfüllen.

1. Auflösen der zweiten Gleichung nach \(y\): \(y = \frac{4}{x}\) (da \(x = 0\) keine Lösung ist). 2. Einsetzen in die erste Gleichung: \(x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 17\). 3. Umformen zur biquadratischen Gleichung: \(x^2 + \frac{16}{x^2} = 17 \implies x^4 - 17x^2 + 16 = 0\). 4. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). 6. Rücksubstitution für \(u_1 = 16\): \(x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4\). 7. Rücksubstitution für \(u_2 = 1\): \(x^2 = 1 \implies x_3 = 1, x_4 = -1\). 8. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Werte über \(y = \frac{4}{x}\): Für \(x_1 = 4 \implies y_1 = 1\). Für \(x_2 = -4 \implies y_2 = -1\). Für \(x_3 = 1 \implies y_3 = 4\). Für \(x_4 = -1 \implies y_4 = -4\). Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4), (-1|-4)\).

Die Lösungspaare sind \((4|1), (-4|-1), (1|4)\) und \((-1|-4)\).

- Kannst du die Gleichung durch eine Ersetzung in eine einfachere Form bringen? - Erinnert dich der Aufbau des mittleren Koeffizienten und des absoluten Glieds an eine bestimmte Formel für quadratische Gleichungen? - Wie viele Lösungen erwartest du maximal für eine Gleichung vierten Grades? - Was passiert, wenn du \(x^2\) als eine neue Variable betrachtest?

1. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - (k^2 + 9)u + 9k^2 = 0\). 2. Anwendung des Satzes von Vieta oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \(u_1 = 9\) und \(u_2 = k^2\). 3. Rücksubstitution für \(u_1 = 9\): \(x^2 = 9\), also \(x = \pm 3\). 4. Rücksubstitution für \(u_2 = k^2\): \(x^2 = k^2\), also \(x = \pm k\). Für \(k = 0\) fällt dieser Wert zu einer einzigen Lösung \(x = 0\) zusammen. 5. Als Lösungsmenge gilt \(L = \{-3; 3; -k; k\}\), wobei mehrfach auftretende Werte in der Menge nur einmal gezählt werden. Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) gibt es daher weniger als vier verschiedene Lösungen.

\(L = \{-3; 3; -k; k\}\). Für \(k = 0\) oder \(k = \pm 3\) fallen Lösungen zusammen und werden in der Lösungsmenge nur einmal gezählt.

- Wie kannst du die Gleichung vereinfachen, damit sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl quadrierst? - Denk an den Verlauf des Graphen einer Funktion, die nur gerade Exponenten besitzt. - Wie hängen die Lösungen der ursprünglichen Gleichung mit den Lösungen der substituierten Gleichung zusammen?

1. Substitution \(y = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(y^2 - 10y + 9 = 0\). 2. Die Lösungen für \(y\) sind \(y_1 = 9\) und \(y_2 = 1\). 3. Rücksubstitution \(x^2 = 9\) und \(x^2 = 1\) ergibt die Lösungsmenge \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\). 4. Das Produkt der Lösungen ist \((-3) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 = 9\), was dem Wert von \(q\) entspricht. 5. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)) tritt jede Nullstelle \(a \neq 0\) zusammen mit ihrem Gegenwert \(-a\) auf. Die Summe jedes Paares \((a + (-a))\) ist \(0\), weshalb auch die Gesamtsumme aller Nullstellen \(0\) ergibt.

1. \(L = \{-3; -1; 1; 3\}\) 2. \((-3) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 3 = 9\) 3. Wegen der Achsensymmetrie treten Nullstellen als Paare \(\pm a\) auf, deren Summe \(0\) ist.

- Vereinfache die ursprüngliche Gleichung vollständig, bevor du substituierst. - Welche Potenzen von \(x\) bleiben nach dem Zusammenfassen übrig? - Bei der Rücksubstitution musst du für positive Werte von \(u\) beide möglichen Vorzeichen von \(x\) berücksichtigen.

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(x^4-2x^2+1-7x^2+7-8=0\), also \(x^4-9x^2=0\). 2. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-9u=0\). 3. Faktorisieren liefert \(u(u-9)=0\), also \(u_1=0\) und \(u_2=9\). 4. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\); aus \(x^2=9\) folgt \(x=\pm3\).

\(x\in\{-3;0;3\}\).

- Nutze die biquadratische Struktur, um zunächst die Nullstellen zu bestimmen. - Welcher Summand entscheidet über das Globalverhalten für große Beträge von \(x\)? - Prüfe, ob die gefundenen Nullstellen einfach oder mehrfach sind; davon hängt ein Vorzeichenwechsel ab. - Ein Kontrollwert in jedem verbleibenden Intervall kann deine Vorzeichenfolge bestätigen.

1. Mit \(u=x^2\) entsteht \(-u^2+10u-9=0\). Die Lösungen sind \(u_1=1\) und \(u_2=9\). Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) und \(x=\pm3\). 2. Der Leitterm \(-x^4\) hat geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Alle vier Nullstellen sind einfach, also wechselt das Vorzeichen an jeder Nullstelle. Zusammen mit dem Globalverhalten folgt: \(g(x)<0\) auf \(( -\infty;-3)\), \((-1;1)\) und \((3;\infty)\); \(g(x)>0\) auf \((-3;-1)\) und \((1;3)\).

1. \(x\in\{-3;-1;1;3\}\). 2. \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Positiv: \((-3;-1)\cup(1;3)\). Negativ: \(( -\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;\infty)\).

- Verwende in Teilaufgabe a) die Substitution \(u=x^2\). - Prüfe bei der Rücksubstitution für jeden positiven \(u\)-Wert beide Vorzeichen von \(x\). - Für Teilaufgabe b) genügen Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten.

1. Für die Nullstellen gilt \(\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{5}{2}=0\). Mit \(u=x^2\) folgt \(u^2-6u+5=0\). 2. Die Lösungen sind \(u_1=1\) und \(u_2=5\). Rücksubstitution ergibt \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 3. Der Leitterm ist \(\frac{1}{2}x^4\). Wegen des geraden Grades und des positiven Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

a) \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). b) \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

- Biquadratische Funktionen sind zur \(y\)-Achse symmetrisch; reelle Nullstellen außerhalb des Ursprungs treten daher paarweise auf. - Nutze ausdrücklich die Zusatzinformation, dass außerhalb des Fensters keine weiteren reellen Nullstellen liegen. - Überlege, was ein positiver, ein negativer oder der Wert \(0\) für \(u=x^2\) jeweils bei der Rücksubstitution bewirken würde. - Achte außerdem darauf, ob der Graph die \(x\)-Achse an den sichtbaren Nullstellen schneidet oder nur berührt.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen. Zusammen mit der Zusatzinformation folgt, dass \(f\) genau zwei verschiedene reelle Nullstellen besitzt. 2. Weil die beiden sichtbaren Nullstellen von der Form \(\pm a\) mit \(a>0\) sind, gehört dazu ein positiver Wert \(u=a^2\). 3. Der Graph schneidet die Achse an diesen Stellen; damit ist der zugehörige positive \(u\)-Wert kein doppelter Wert der quadratischen Gleichung. 4. Ein zweiter positiver \(u\)-Wert würde zwei weitere reelle Nullstellen \(\pm\sqrt{u}\) erzeugen, und \(u=0\) würde zusätzlich die Nullstelle \(x=0\) erzeugen. Beides ist wegen der Zusatzinformation ausgeschlossen. 5. Daher ist die zweite Lösung der quadratischen Gleichung in \(u\) negativ.

a) Zwei verschiedene reelle Nullstellen. b) Die quadratische Gleichung in \(u\) hat eine positive und eine negative Lösung.

- Übersetze die beiden symmetrischen \(x\)-Nullstellen in einen einzigen Wert von \(u=x^2\). - Vergleiche eine einfache mit einer mehrfachen Nullstelle anhand von Schneiden oder Berühren. - Bedenke, dass die Gleichung in \(u\) nur Grad \(2\) hat.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen und schneidet sie dort nicht. 2. Zu diesen beiden Nullstellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\) gehört derselbe positive Wert \(u=a^2\). 3. Wäre dieser positive \(u\)-Wert nur eine einfache Lösung der quadratischen Gleichung, enthielte \(f\) den Faktor \(x^2-a^2\) nur einfach; dann wären \(x=\pm a\) einfache Nullstellen und der Graph würde die \(x\)-Achse schneiden. 4. Da der Graph stattdessen an beiden Stellen berührt und die Gleichung in \(u\) quadratisch ist, muss der positive \(u\)-Wert eine doppelte Lösung sein.

a) Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei symmetrischen Nullstellen. b) Die quadratische Gleichung in \(u=x^2\) besitzt eine positive doppelte Lösung.

- Kannst du die Gleichung durch Ersetzen einer Variablen (Substitution) in eine Form bringen, die du bereits lösen kannst? - Vergiss nach dem Lösen der Hilfsgleichung nicht, den Schritt wieder rückgängig zu machen, um die gesuchten Werte zu finden. - Achte beim Aufstellen der Produktform darauf, den Leitkoeffizienten der ursprünglichen Funktion beizubehalten.

1. Nullstellenansatz: \(2x^4 - 10x^2 + 8 = 0\). 2. Vereinfachen durch Division: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 3. Substitution \(u = x^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 5u + 4 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Wurzelsatz von Vieta: \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). 5. Resubstitution: Aus \(x^2 = 1\) folgen die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Aus \(x^2 = 4\) folgen die Nullstellen \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\). 6. Faktorisierung unter Berücksichtigung des Streckfaktors \(a = 2\): \(g(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\).

Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\) Faktorisierte Form: \(g(x) = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)

- Wenn eine Funktion bereits als Produkt vorliegt, kannst du die Faktoren einzeln untersuchen. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern einer Potenz von \(x\) vereinfachen? - Untersuche, ob nach dem Ausklammern eine Struktur vorliegt, die du durch Ersetzen der Variablen lösen kannst. - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion fünften Grades höchstens besitzen?

1. Für \(h(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 25)\) wird der Satz vom Nullprodukt genutzt. Der erste Faktor \(x^2 - 2 = 0\) führt zu \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\). 2. Der zweite Faktor \(x^2 - 25 = 0\) führt zu \(x_{3,4} = \pm 5\). 3. Für \(k(x) = x^5 - 13x^3 + 36x\) wird zuerst \(x\) ausgeklammert: \(x(x^4 - 13x^2 + 36) = 0\). Damit ist \(x_5 = 0\) die erste Nullstelle. 4. Der Ausdruck in der Klammer \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) wird durch Substitution von \(u = x^2\) gelöst: \(u^2 - 13u + 36 = 0\). 5. Die quadratische Gleichung liefert \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 4\). 6. Durch Resubstitution ergeben sich aus \(x^2 = 9\) die Werte \(x_{6,7} = \pm 3\) und aus \(x^2 = 4\) die Werte \(x_{8,9} = \pm 2\).

a) \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\); \(x_{3,4} = \pm 5\) b) \(x_5 = 0\); \(x_{6,7} = \pm 3\); \(x_{8,9} = \pm 2\)

- Wenn du die Terme gleichsetzt, welche besondere Form hat die entstehende Gleichung? - Erinnert dich die Struktur mit \(x^4\) und \(x^2\) an eine quadratische Gleichung? - Könnte es helfen, \(x^2\) vorübergehend durch einen anderen Buchstaben zu ersetzen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der vereinfachten Gleichung wieder zur ursprünglichen Variablen \(x\) zurückzukehren. - Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf dem Graphen von \(g\)?

1. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung der Schnittpunkte: \(x^4 - 10x^2 = -9\). 2. Überführen in die Form \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\). 3. Anwendung der Substitution \(u = x^2\), um die biquadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen: \(u^2 - 10u + 9 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): \(u_1 = 9\) und \(u_2 = 1\). 5. Durchführung der Resubstitution: Aus \(x^2 = 9\) folgen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). Aus \(x^2 = 1\) folgen \(x_3 = 1\) und \(x_4 = -1\). 6. Da \(g(x) = -9\) eine konstante Funktion ist, besitzen alle Schnittpunkte die \(y\)-Koordinate \(-9\). 7. Zusammenfassung der Ergebnisse zu den Schnittpunkten: \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3|-9)\), \(S_2(-3|-9)\), \(S_3(1|-9)\) und \(S_4(-1|-9)\).

- Welche Symmetrie weisen Funktionen der Form \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) auf? - Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Nullstelle „doppelt“ vorkommt? - Wenn du weißt, dass eine Nullstelle bei \(x = 3\) liegt, was folgt daraus für den Wert \(-3\) bei einer geraden Funktion? - Kannst du den Funktionsterm erst in Faktoren zerlegen und dann ausmultiplizieren?

1. Aufgrund der Symmetrie biquadratischer Funktionen zur \(y\)-Achse (Achsensymmetrie) muss mit einer doppelten Nullstelle bei \(x = 3\) auch eine doppelte Nullstelle bei \(x = -3\) vorliegen. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung in der faktorisierten Form unter Berücksichtigung der Vielfachheit: \(f(x) = (x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) 3. Zusammenfassen der Quadrate mithilfe der Potenzgesetze: \(f(x) = ((x - 3)(x + 3))^2\) 4. Anwendung der dritten binomischen Formel im Inneren der Klammer: \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) 5. Auflösen der verbleibenden Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) 6. Vergleich mit der vorgegebenen Form \(x^4 + ax^2 + b\): \(a = -18\) und \(b = 81\) 7. Da es sich um doppelte Nullstellen handelt und der Grad der Funktion 4 ist, sind dies alle Nullstellen: \(L = \{-3; 3\}\)

\(a = -18\), \(b = 81\), \(L = \{-3; 3\}\)

- Versuche, \(y^2\) in der ersten Gleichung durch einen Ausdruck mit \(x^2\) zu ersetzen. - Welche Form nimmt die Gleichung an, wenn du \(x^2\) als eine neue Variable betrachtest? - Achte darauf, dass für jeden Wert von \(x^2\) eventuell mehrere Werte für \(x\) und auch für \(y\) in Frage kommen. - Wie hängen die rechnerischen Lösungen mit der grafischen Darstellung zusammen?

1. Umformen der zweiten Gleichung nach \(y^2 = 5 - x^2\). 2. Einsetzen von \(y^2\) in die erste Gleichung: \(x^4 + (5 - x^2)^2 = 17\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(x^4 + 25 - 10x^2 + x^4 = 17 \Rightarrow 2x^4 - 10x^2 + 8 = 0\). 4. Division durch 2 ergibt \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt zu \(u^2 - 5u + 4 = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen für \(u\): \(u_1 = 4\) und \(u_2 = 1\). 6. Rücksubstitution für \(x\): Aus \(x^2 = 4\) folgt \(x \in \{2, -2\}\). Aus \(x^2 = 1\) folgt \(x \in \{1, -1\}\). 7. Berechnung der \(y\)-Werte aus \(y^2 = 5 - x^2\): - Wenn \(x^2 = 4\), dann \(y^2 = 1 \Rightarrow y \in \{1, -1\}\). Dies ergibt die Paare \((2|1), (2|-1), (-2|1), (-2|-1)\). - Wenn \(x^2 = 1\), dann \(y^2 = 4 \Rightarrow y \in \{2, -2\}\). Dies ergibt die Paare \((1|2), (1|-2), (-1|2), (-1|-2)\). 8. Da jedes reelle Lösungspaar genau einem Schnittpunkt der Graphen entspricht, gibt es 8 Schnittpunkte.

1. Die Lösungspaare sind: \((2|1), (2|-1), (-2|1), (-2|-1), (1|2), (1|-2), (-1|2), (-1|-2)\). 2. Es gibt 8 Schnittpunkte, da jedes der 8 berechneten reellen Zahlenpaare einen Punkt im Koordinatensystem darstellt, der beide Gleichungen erfüllt.

- Wie viele Lösungen liefert ein positiver Wert für \(x^2\), wie viele der Wert \(0\) und wie viele ein negativer Wert? - Überlege dir, welche Kombination von Werten für \(x^2\) insgesamt zu genau drei Lösungen führt. - Wenn eine der Lösungen für \(x\) die Zahl \(0\) sein muss, was bedeutet das für den Wert der Konstante in der Gleichung? - Kannst du die quadratische Gleichung nach der Substitution so untersuchen, dass du Bedingungen für ihre Nullstellen findest?

1. Teilaufgabe a: Durch Ausklammern von \(x^2\) erhält man \(x^2(x^2 - 25) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt muss entweder \(x^2 = 0\) gelten, woraus die Lösung \(x_1 = 0\) folgt, oder \(x^2 - 25 = 0\), woraus \(x^2 = 25\) und damit \(x_{2,3} = \pm 5\) folgen. Die Gleichung hat somit die drei Lösungen \(\{-5; 0; 5\}\). 2. Teilaufgabe b: Die Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 - 12u + k = 0\). Damit die ursprüngliche Gleichung genau drei reelle Lösungen hat, muss eine der Lösungen für \(u\) gleich \(0\) sein (was zur Lösung \(x = 0\) führt) und die andere Lösung für \(u\) muss positiv sein (was zu zwei weiteren Lösungen \(\pm \sqrt{u}\) führt). 3. Setzt man \(u = 0\) in die quadratische Gleichung ein, erhält man \(0^2 - 12 \cdot 0 + k = 0\), woraus \(k = 0\) folgt. 4. Prüfung der zweiten Lösung für \(k = 0\): Die Gleichung \(u^2 - 12u = 0\) hat die Lösungen \(u_1 = 0\) und \(u_2 = 12\). Da \(12 > 0\), ergeben sich tatsächlich genau drei Lösungen für \(x\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(x^2 = 0 \implies x_1 = 0\); \(x^2 = 12 \implies x_{2,3} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\).

a) Die Lösungen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 5\). b) \(k = 0\); die Lösungen sind \(x \in \{0; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}\}\).

- Nutze für die biquadratische Struktur die im Thema vereinbarte Substitution \(u=x^2\). - Untersuche den Term unter der Wurzel darauf, ob er ein vollständiges Quadrat ist. - Beachte bei der Rücksubstitution sowohl die Positivität von \(a\) als auch mögliche zusammenfallende Lösungen.

1. Mit der Substitution \(u=x^2\) entsteht \(a^2u^2-(a^4+1)u+a^2=0\). 2. Die Diskriminante ist \(D=(a^4+1)^2-4a^4=a^8-2a^4+1=(a^4-1)^2\). 3. Damit gilt \(u=\frac{a^4+1\pm|a^4-1|}{2a^2}\). Unabhängig von der Reihenfolge ergeben sich \(u_1=a^2\) und \(u_2=\frac{1}{a^2}\). 4. Aus \(x^2=a^2\) folgt \(x=\pm a\); aus \(x^2=\frac{1}{a^2}\) folgt wegen \(a>0\) \(x=\pm\frac{1}{a}\). 5. Für \(a=1\) fallen die beiden positiven \(u\)-Werte zusammen. Dann gibt es nur die beiden verschiedenen reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\).

Für \(a\neq1\): \(x\in\left\{-a; a; -\frac{1}{a}; \frac{1}{a}\right\}\). Für \(a=1\): \(L=\{-1;1\}\).

- Wenn \(\sqrt{5}\) eine Lösung ist, welche Zahl muss dann aufgrund der Struktur von \(x^4\) und \(x^2\) ebenfalls eine Lösung sein? - Wie hängen die Lösungen \(x\) mit den Lösungen \(y\) der substituierten Gleichung zusammen? - Erinnere dich an den Satz von Vieta für quadratische Gleichungen: Was sagt das Vorzeichen von \(q\) über die Vorzeichen der Lösungen \(y_1\) und \(y_2\) aus? - Wann hat die Gleichung \(x^2 = y\) keine reelle Lösung?

1. Da Lösungen bei biquadratischen Gleichungen in Paaren \(\pm a\) auftreten, ist \(x_2 = -\sqrt{5}\) ebenfalls eine Lösung. 2. Seien die weiteren Lösungen \(x_3\) und \(x_4 = -x_3\). Das Produkt aller Lösungen ist \((\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})) \cdot (x_3 \cdot (-x_3)) = (-5) \cdot (-x_3^2) = 5x_3^2\). 3. Aus \(5x_3^2 = 20\) folgt \(x_3^2 = 4\), also \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -2\). Die Lösungen sind \(\{\pm \sqrt{5}; \pm 2\}\). 4. Die Lösungen der substituierten Gleichung \(y = x^2\) sind \(y_1 = (\sqrt{5})^2 = 5\) und \(y_2 = 2^2 = 4\). 5. Nach dem Satz von Vieta ist \(q = y_1 \cdot y_2 = 5 \cdot 4 = 20\) und \(p = -(y_1 + y_2) = -(5 + 4) = -9\). 6. Wenn \(q < 0\), dann haben die Lösungen \(y_1, y_2\) der Gleichung \(y^2 + py + q = 0\) unterschiedliche Vorzeichen (da \(y_1 \cdot y_2 = q\)). Da \(x = \pm \sqrt{y}\) nur für \(y > 0\) reelle Werte liefert, ergeben sich nur aus der positiven Lösung \(y\) zwei reelle \(x\)-Werte.

1. \(x_2 = -\sqrt{5}\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = -2\) 2. \(p = -9\), \(q = 20\) 3. Bei \(q < 0\) ist eine Lösung der substituierten Gleichung positiv und eine negativ; nur die positive liefert zwei reelle \(x\)-Werte.