- Welche Exponenten dürfen bei einer biquadratischen Gleichung in \(x\) vorkommen? - Welche Potenz von \(x\) wird beim Quadrieren zu \(x^4\)? - Macht jede Gleichung mit zwei wiederkehrenden Potenzstufen automatisch eine biquadratische Gleichung?

1. a) ist biquadratisch, weil nur \(x^4=(x^2)^2\), \(x^2\) und eine Konstante vorkommen. Man kann \(z=x^2\) setzen. 2. b) ist nicht biquadratisch, weil zusätzlich der Term \(x^3\) vorkommt. 3. c) ist biquadratisch; nach dem Umformen zu \(3x^4+5x^2-8=0\) kann ebenfalls \(z=x^2\) gesetzt werden. 4. d) ist nicht biquadratisch. Zwar wiederholt sich hier \(x^3\), aber nicht die für biquadratische Gleichungen charakteristische Größe \(x^2\).

a) biquadratisch, \(z=x^2\) b) nicht biquadratisch c) biquadratisch, \(z=x^2\) d) nicht biquadratisch

- Welche beiden Potenzen von \(x\) werden durch \(z\) und \(z^2\) ersetzt? - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen? - Hier ist nur die neue Gleichung gefragt, noch nicht ihre Lösung.

1. Mit \(z=x^2\) gilt \(x^4=z^2\). 2. Damit wird aus \(2x^4-7x^2+3=0\) die quadratische Gleichung \(2z^2-7z+3=0\). 3. Weil \(z=x^2\) für reelle \(x\) gilt, muss \(z\ge0\) sein.

\(2z^2-7z+3=0\) mit \(z\ge0\)

- Welche vorkommenden Potenzen von \(x\) lassen sich vollständig als Potenzen von \(x^2\) schreiben? - Führe die Ersetzung bei jeder Gleichung vollständig durch, bevor du entscheidest. - Prüfe am Ende, ob nur noch \(z\), \(z^2\) und Zahlen vorkommen.

1. Bei a) wird aus \(x^4+4x^2-5=0\) die Gleichung \(z^2+4z-5=0\). Sie ist quadratisch in \(z\); die Ausgangsgleichung ist biquadratisch. 2. Bei b) wird zwar \(x^4\) zu \(z^2\), aber der Term \(x^3\) bleibt erhalten. Es entsteht keine Gleichung nur in \(z\); die Ausgangsgleichung ist nicht biquadratisch. 3. Bei c) ergibt das Umformen und Einsetzen \(2z^2+7z-3=0\). Sie ist quadratisch in \(z\); die Ausgangsgleichung ist biquadratisch.

a) ja: \(z^2+4z-5=0\) b) nein: Der Term \(x^3\) bleibt erhalten. c) ja: \(2z^2+7z-3=0\)

- Welche quadratische Gleichung in \(z\) entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche Werte von \(z\) erfüllen diese quadratische Gleichung? - Welche \(x\)-Werte gehören jeweils zu einer positiven Lösung für \(z\)?

1. Mit \(z=x^2\) wird aus der Gleichung \(z^2-13z+36=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=4\) und \(z_2=9\). 3. Aus \(x^2=4\) folgen \(x=\pm2\). 4. Aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\). 5. Damit ist \(L=\{-3;-2;2;3\}\).

\(L=\{-3;-2;2;3\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht nach der Substitution \(z=x^2\)? - Welche Lösungen erhältst du für \(z\)? - Welche Bedingung muss \(z=x^2\) für reelle \(x\) erfüllen? - Welche \(x\)-Werte gehören zu den zulässigen \(z\)-Werten?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht die quadratische Gleichung \(z^2+5z-36=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=4\) und \(z_2=-9\). 3. Aus \(x^2=4\) folgen die reellen Lösungen \(x=\pm2\). 4. \(x^2=-9\) hat keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ ist. 5. Damit ist \(L=\{-2;2\}\).

\(L=\{-2;2\}\)

- Wie kannst du die Gleichung zuerst durch einen gemeinsamen Faktor vereinfachen? - Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche Bedingung muss \(z=x^2\) erfüllen, damit reelle \(x\)-Werte entstehen?

1. Für die Nullstellen gilt \(3x^4-15x^2-108=0\). Division durch \(3\) ergibt \(x^4-5x^2-36=0\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht die quadratische Gleichung \(z^2-5z-36=0\). 3. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=9\) und \(z_2=-4\). 4. Aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\). \(x^2=-4\) hat keine reelle Lösung.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und \(x=3\).

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche Werte erhältst du für \(z\)? - Welche beiden \(x\)-Werte gehören jeweils zu einem positiven \(z\)-Wert?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht die quadratische Gleichung \(z^2-26z+25=0\). 2. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(z_1=25\) und \(z_2=1\). 3. Aus \(x^2=25\) folgen \(x=\pm5\). 4. Aus \(x^2=1\) folgen \(x=\pm1\). 5. Damit ist \(L=\{-5;-1;1;5\}\).

\(L=\{-5;-1;1;5\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Kannst du diese Gleichung vor dem Lösen vereinfachen? - Welche Bedingung muss ein Wert von \(z=x^2\) für reelle \(x\) erfüllen? - Wie gibst du eine nicht ganzzahlige Lösung exakt statt als Dezimalzahl an?

1. Mit \(z=x^2\) wird die Gleichung zu \(2z^2+6z-80=0\). 2. Division durch \(2\) ergibt \(z^2+3z-40=0\). 3. Die Lösungen sind \(z_1=5\) und \(z_2=-8\). 4. Aus \(x^2=5\) folgen die reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{5}\). 5. \(x^2=-8\) besitzt keine reelle Lösung. 6. Damit ist \(L=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}\).

\(L=\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche reellen \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)? - Wie übersetzt du die gefundenen Nullstellen in Linearfaktoren?

1. Für die Nullstellen wird \(z=x^2\) gesetzt. Dadurch entsteht \(z^2-29z+100=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z=25\) und \(z=4\). 3. Die Rücksubstitution liefert aus \(x^2=25\) die Werte \(x=\pm5\) und aus \(x^2=4\) die Werte \(x=\pm2\). 4. Damit lautet die vollständig faktorisierte Form \(A(x)=(x-5)(x+5)(x-2)(x+2)\).

\(A(x)=(x-5)(x+5)(x-2)(x+2)\)

- Wie kannst du aus den vier gegebenen Lösungen zunächst eine faktorisierte Gleichung aufbauen? - Welche Faktoren gehören wegen der entgegengesetzten Vorzeichen sinnvoll paarweise zusammen? - Welche Form muss nach dem Zusammenfassen und Ausmultiplizieren entstehen?

1. Aus den vier vorgegebenen Lösungen entsteht die faktorisierte Form \((x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt2)=0\). 2. Die Faktorenpaare ergeben \((x^2-5)(x^2-2)=0\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(x^4-7x^2+10=0\). Damit gilt \(a=-7\) und \(b=10\).

\(x^4-7x^2+10=0\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht jeweils durch \(z=x^2\)? - Welche Bedingung müssen die Lösungen für \(z\) erfüllen, damit reelle \(x\)-Werte entstehen? - Wie viele \(x\)-Werte gehören zu einem positiven Wert von \(z\)?

1. Für a) ergibt \(z=x^2\) die Gleichung \(z^2-11z+18=0\) mit \(z_1=9\) und \(z_2=2\). Daraus folgen \(x=\pm3\) und \(x=\pm\sqrt{2}\). 2. Für b) entsteht \(z^2+6z+5=0\) mit \(z_1=-1\) und \(z_2=-5\). Beide Werte sind für \(z=x^2\ge0\) unzulässig. Daher gibt es keine reellen Lösungen. 3. Für c) entsteht \(2z^2-7z-4=0\) mit \(z_1=4\) und \(z_2=-\frac{1}{2}\). Nur \(z=4\) ist zulässig und liefert \(x=\pm2\).

a) \(L=\{-3;-\sqrt{2};\sqrt{2};3\}\) b) \(L=\emptyset\) c) \(L=\{-2;2\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche Werte erhältst du für \(z\)? - Welche beiden reellen Quadratwurzeln gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)?

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4-20x^2+64=0\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-20z+64=0\). 3. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(z_1=16\) und \(z_2=4\). 4. Aus \(x^2=16\) folgt \(x=\pm4\); aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\).

Die Nullstellen sind \(x=-4\), \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=4\).

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)? - Wie hängt die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen mit den Schnittpunkten des Graphen mit der \(x\)-Achse zusammen?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-5z+4=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z=4\) und \(z=1\). 3. Aus \(x^2=4\) folgt \(x=\pm2\), aus \(x^2=1\) folgt \(x=\pm1\). 4. Damit besitzt \(k\) vier verschiedene reelle Nullstellen und der Graph vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

Nullstellen: \(x\in\{-2;-1;1;2\}\). Der Graph besitzt vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Übersetze jeden gefundenen \(z\)-Wert wieder in eine Gleichung für \(x^2\). - Wie viele reelle Zahlen besitzen dasselbe positive Quadrat? - Enthält Noras Menge zu jedem positiven \(z\)-Wert beide Möglichkeiten?

1. Aus \(z_1=1\) folgt \(x^2=1\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Aus \(z_2=9\) folgt \(x^2=9\). Diese Gleichung hat die beiden reellen Lösungen \(x=-3\) und \(x=3\). 3. Nora hat bei beiden Rücksubstitutionen jeweils die negative Quadratwurzel vergessen.

Der Fehler liegt in der unvollständigen Rücksubstitution. Vollständig ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\).

- Welche Vorzeichen können Werte der Form \(z=x^2\) bei reellen \(x\) haben? - Welcher der beiden gefundenen \(z\)-Werte ist damit unzulässig? - Für welchen Wert darfst du anschließend die beiden Quadratwurzeln bilden?

1. Der Wert \(z_1=2\) ist positiv. Aus \(x^2=2\) folgen die beiden reellen Lösungen \(x=\pm\sqrt{2}\). 2. Der Wert \(z_2=-3\) ist negativ. Die Gleichung \(x^2=-3\) besitzt keine reelle Lösung. 3. Mateo hat beim negativen Wert für \(z\) unzulässig das Minuszeichen unter der Quadratwurzel verworfen.

Über \(\mathbb{R}\) gilt \(L=\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}\). Der Wert \(z=-3\) liefert keine reellen \(x\)-Werte.

- Welche Lösungen hat die quadratische Gleichung in \(z\)? - Was bedeutet die Rücksubstitution für jeden zulässigen Wert von \(z\)? - Wie viele verschiedene reelle Zahlen entstehen im Sonderfall \(z=0\)?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-5z=0\). 2. Daraus folgt \(z(z-5)=0\), also \(z=0\) oder \(z=5\). 3. Aus \(z=0\) folgt \(x^2=0\) und damit nur \(x=0\). Die Schreibweise \(\pm0\) bezeichnet keine zwei verschiedenen Zahlen. 4. Aus \(z=5\) folgt \(x=\pm\sqrt{5}\).

\(L=\{-\sqrt{5};0;\sqrt{5}\}\). Die Lösung \(z=0\) liefert nur \(x=0\), weil \(+0=-0\).

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=r^2\)? - Welche Werte für \(z\) führen zu reellen Werten für \(r\)? - Welche zusätzliche Bedingung an \(r\) stammt aus dem Modell und nicht aus der Gleichung?

1. Mit \(z=r^2\) entsteht \(z^2-8z+12=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z=2\) und \(z=6\). Beide sind positiv und können rücksubstituiert werden. 3. Aus \(r^2=2\) folgt \(r=\pm\sqrt{2}\), aus \(r^2=6\) folgt \(r=\pm\sqrt{6}\). Die reelle Lösungsmenge lautet \(L=\{-\sqrt{6};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{6}\}\). 4. Im Modell gilt zusätzlich \(r>0\). Daher sind nur \(r=\sqrt{2}\) und \(r=\sqrt{6}\) als Resonanzfrequenzen zulässig.

a) \(z^2-8z+12=0\), also \(z=2\) oder \(z=6\). Reell: \(L=\{-\sqrt{6};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{6}\}\) b) Im Modell zulässig sind \(r=\sqrt{2}\) und \(r=\sqrt{6}\). c) Die Gleichung besitzt jeweils zwei entgegengesetzte reelle Lösungen; die Modellbedingung \(r>0\) schließt die negativen Werte aus.

- Schreibe \(x^4\) zuerst als \((x^2)^2\). - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl überhaupt annehmen? - Wie viele reelle Zahlen haben das Quadrat \(0\), und wie viele haben das Quadrat \(3\)?

1. Aus \(z=x^2\) folgt direkt \(x^2=z\). Außerdem ist \(x^4=(x^2)^2=z^2\). Daher wird \(3x^4-5x^2+1\) zu \(3z^2-5z+1\). 2. Für reelle \(x\) gilt immer \(x^2\ge0\). Deshalb kann \(z=-2\) nicht aus \(x^2\) entstehen. 3. Aus \(z=0\) folgt \(x^2=0\) und damit \(x=0\). 4. Aus \(z=3\) folgt \(x^2=3\) und damit \(x=\pm\sqrt{3}\).

a) \(x^2\to z\) \(x^4\to z^2\) \(3x^4-5x^2+1\to3z^2-5z+1\) b) \(z=-2\): keine reellen \(x\)-Werte \(z=0\): \(x=0\) \(z=3\): \(x=\pm\sqrt{3}\)

- Setze für die Schnittstellen mit der Bezugslinie \(h(x)=0\). - Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu den gefundenen nichtnegativen \(z\)-Werten? - Für den Abstand brauchst du nur die beiden äußersten \(x\)-Werte.

1. Für die Schnittstellen mit der Bezugslinie gilt \(h(x)=0\): \(2x^4-10x^2+8=0\). 2. Setze \(z=x^2\). Dann entsteht \(2z^2-10z+8=0\), also nach Division durch \(2\) \(z^2-5z+4=0\). 3. Daraus folgen \(z=1\) und \(z=4\). Beide Werte sind nichtnegativ. Zurücksetzen ergibt \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\). 4. Damit gilt \(h(x)=2(x^2-1)(x^2-4)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\). 5. Die äußersten Schnittstellen liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Ihr Abstand beträgt \(4\,\text{cm}\).

a) \(x=-2,-1,1,2\) b) \(h(x)=2(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) c) \(4\,\text{cm}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch die Substitution \(z=x^2\)? - Welche beiden Werte erhältst du für \(z\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven \(z\)-Wert? - Achte bei der Rücksubstitution auf beide Vorzeichen.

1. Für die Nullstellen gilt \(4x^4-17x^2+4=0\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht \(4z^2-17z+4=0\). 3. Die quadratische Gleichung liefert \(z_{1,2}=\frac{17\pm\sqrt{289-64}}{8}=\frac{17\pm15}{8}\). Damit ist \(z_1=4\) und \(z_2=\frac{1}{4}\). 4. Aus \(x^2=4\) folgen \(x=\pm2\). 5. Aus \(x^2=\frac{1}{4}\) folgen \(x=\pm\frac{1}{2}\).

Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\), \(x=\frac{1}{2}\) und \(x=2\).

- Welche Gleichungen erhältst du bei a) aus dem Nullproduktsatz? - Welcher gemeinsame Faktor lässt sich bei b) zuerst ausklammern? - Welche quadratische Gleichung in \(z\) entsteht danach mit \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu den positiven Lösungen für \(z\)?

1. Für a) gilt nach dem Nullproduktsatz \(x^2-2=0\) oder \(x^2-25=0\). Daher sind die reellen Nullstellen \(x=\pm\sqrt{2}\) und \(x=\pm5\). 2. Für b) wird zuerst \(x\) ausgeklammert: \(k(x)=x(x^4-13x^2+36)\). Damit ist \(x=0\) eine Nullstelle. 3. Für den verbleibenden Faktor gilt mit \(z=x^2\): \(z^2-13z+36=0\). Daraus folgen \(z=9\) und \(z=4\). 4. Die Rücksubstitution ergibt \(x=\pm3\) und \(x=\pm2\). Zusammen mit \(x=0\) sind damit alle reellen Nullstellen gefunden.

a) \(x\in\{-5;-\sqrt{2};\sqrt{2};5\}\) b) \(x\in\{-3;-2;0;2;3\}\)

- Welche Gleichung erhältst du durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme? - Welche quadratische Gleichung entsteht durch die Substitution \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu den positiven Lösungen für \(z\)? - Welchen \(y\)-Wert haben alle Punkte auf dem Graphen von \(g\)?

1. Für Schnittpunkte gilt \(x^4-10x^2=-9\), also \(x^4-10x^2+9=0\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht die quadratische Gleichung \(z^2-10z+9=0\). 3. Sie hat die Lösungen \(z_1=9\) und \(z_2=1\). 4. Aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\), aus \(x^2=1\) folgen \(x=\pm1\). 5. Weil \(g(x)=-9\) gilt, haben alle Schnittpunkte die \(y\)-Koordinate \(-9\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(-3\mid-9)\), \(S_2(-1\mid-9)\), \(S_3(1\mid-9)\) und \(S_4(3\mid-9)\).

- Welchen gemeinsamen Faktor kannst du aus allen Summanden ausklammern? - Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche reellen \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)? - Welcher Vorfaktor muss in der faktorisierten Form erhalten bleiben?

1. Zuerst wird der gemeinsame Faktor \(2\) ausgeklammert: \(f(x)=2(x^4-13x^2+36)\). 2. Für die Nullstellen des Klammerterms wird \(z=x^2\) gesetzt. Dadurch entsteht \(z^2-13z+36=0\). 3. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z=4\) und \(z=9\). 4. Die Rücksubstitution liefert aus \(x^2=4\) die Werte \(x=\pm2\) und aus \(x^2=9\) die Werte \(x=\pm3\). 5. Mit dem Vorfaktor folgt \(f(x)=2(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\).

\(f(x)=2(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche reellen \(x\)-Werte entstehen bei der Rücksubstitution aus jedem positiven Wert von \(z\)? - Wie hängt eine Nullstelle mit einem Faktor der vollständig faktorisierten Form zusammen?

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4-10x^2+9=0\). Mit der Substitution \(z=x^2\) entsteht \(z^2-10z+9=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z=1\) und \(z=9\). 3. Aus \(x^2=1\) folgen \(x=\pm1\), aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\). Damit besitzt \(p\) tatsächlich vier verschiedene reelle Nullstellen. 4. Zu den vier Nullstellen gehören die Faktoren \((x-1)\), \((x+1)\), \((x-3)\) und \((x+3)\). Da der Vorfaktor \(1\) ist, folgt \(p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\).

a) Linas Aussage ist richtig. Die Nullstellen sind \(x\in\{-3;-1;1;3\}\). b) \(p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht jeweils durch \(z=x^2\)? - Welche der Lösungen für \(z\) sind mit \(z=x^2\ge0\) vereinbar? - Wie viele \(x\)-Werte gehören zu einem positiven \(z\)-Wert?

1. Mit \(z=x^2\) wird Gleichung 1 zu \(4z^2-37z+9=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=9\) und \(z_2=\frac{1}{4}\). 3. Daraus folgen \(x=\pm3\) und \(x=\pm\frac{1}{2}\). Gleichung 1 hat also vier reelle Lösungen. 4. Mit \(z=x^2\) wird Gleichung 2 zu \(z^2-3z-4=0\). 5. Die Lösungen sind \(z_1=4\) und \(z_2=-1\). 6. Aus \(x^2=4\) folgen \(x=\pm2\). Der Wert \(z=-1\) ist für \(z=x^2\) bei reellen \(x\) nicht möglich. Gleichung 2 hat also zwei reelle Lösungen.

1) \(L=\{-3;-\frac{1}{2};\frac{1}{2};3\}\); 4 reelle Lösungen 2) \(L=\{-2;2\}\); 2 reelle Lösungen

- Welchen gemeinsamen konstanten Faktor kannst du zuerst ausklammern? - Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche Lösung für \(z\) führt zu reellen \(x\)-Werten? - Welcher verbleibende Faktor kann für reelle \(x\) niemals \(0\) werden?

1. Zuerst wird \(3\) ausgeklammert: \(f(x)=3(x^4+2x^2-3)\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2+2z-3=0\). Die Lösungen sind \(z=1\) und \(z=-3\). 3. Daher gilt \(f(x)=3(x^2-1)(x^2+3)=3(x-1)(x+1)(x^2+3)\). 4. Die linearen Faktoren liefern die reellen Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). 5. Für alle reellen \(x\) gilt \(x^2+3\ge3>0\). Der quadratische Faktor besitzt daher keine reelle Nullstelle.

a) \(f(x)=3(x-1)(x+1)(x^2+3)\) b) Die reellen Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, gibt es keine weiteren reellen Nullstellen.

- Welche weiteren Lösungen folgen daraus, dass in der Gleichung nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen? - Wie kannst du aus allen vier Lösungen eine faktorisierte Form aufbauen? - Welche Faktoren lassen sich paarweise so zusammenfassen, dass wieder nur gerade Potenzen entstehen?

1. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, sind mit \(\sqrt2\) und \(5\) auch \(-\sqrt{2}\) und \(-5\) Lösungen. 2. Eine passende faktorisierte Form ist daher \((x-\sqrt{2})(x+\sqrt2)(x-5)(x+5)=0\). 3. Paarweise zusammengefasst ergibt sich \((x^2-2)(x^2-25)=0\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(x^4-27x^2+50=0\). Somit gilt \(a=-27\) und \(b=50\).

\(a=-27\), \(b=50\); die Gleichung lautet \(x^4-27x^2+50=0\).

- Welcher Wert von \(z=x^2\) gehört zur gegebenen Lösung \(x=3\)? - Wie kannst du eine quadratische Gleichung aus ihren beiden Lösungen aufbauen? - Welche \(x\)-Werte gehören bei der Rücksubstitution zu \(z=9\) und \(z=1\)?

1. Aus \(x=3\) folgt für \(z=x^2\) die Lösung \(z_1=9\). 2. Die Hilfsgleichung hat damit die Lösungen \(z_1=9\) und \(z_2=1\). 3. Daher gilt \((z-9)(z-1)=z^2-10z+9\). Somit ist \(p=-10\) und \(q=9\). 4. Die biquadratische Gleichung lautet \(x^4-10x^2+9=0\). 5. Aus \(x^2=9\) folgen \(x=\pm3\), aus \(x^2=1\) folgen \(x=\pm1\). 6. Damit ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\).

\(p=-10\), \(q=9\); \(L=\{-3;-1;1;3\}\)

- Welche Symmetrie folgt daraus, dass im Funktionsterm nur gerade Potenzen vorkommen? - Was bedeutet die angegebene Vielfachheit für den entsprechenden Faktor? - Welche Rolle spielt der Grad \(4\), nachdem du die symmetrisch dazugehörige Nullstelle gefunden hast?

1. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(f(-x)=f(x)\). Mit der doppelten Nullstelle bei \(x=3\) ist daher auch \(x=-3\) eine doppelte Nullstelle. 2. Der Grad von \(f\) ist \(4\). Die beiden doppelten Nullstellen schöpfen den Grad vollständig aus, also gilt \(f(x)=(x-3)^2(x+3)^2\). 3. Zusammenfassen ergibt \(f(x)=(x^2-9)^2=x^4-18x^2+81\). 4. Koeffizientenvergleich liefert \(a=-18\) und \(b=81\). Die Lösungsmenge ist \(L=\{-3;3\}\).

\(a=-18\), \(b=81\), \(L=\{-3;3\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Kannst du diese Gleichung mithilfe der beiden naheliegenden Faktoren in \(z\) zerlegen? - Welche \(x\)-Werte gehören zu \(z=9\) und \(z=k^2\)? - Für welche Werte von \(k\) fallen dabei Lösungen zusammen?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht die quadratische Gleichung \(z^2-(k^2+9)z+9k^2=0\). 2. Die Gleichung faktorisiert zu \((z-9)(z-k^2)=0\). Daher gilt \(z_1=9\) oder \(z_2=k^2\). 3. Aus \(z=9\) folgen \(x=\pm3\). Aus \(z=k^2\) folgen \(x=\pm k\). 4. Für \(k=0\) fallen \(k\) und \(-k\) zu \(0\) zusammen. Für \(k=\pm3\) stimmen die Lösungen \(\pm k\) mit \(\pm3\) überein.

Für \(k\notin\{-3;0;3\}\): \(L=\{-3;3;-k;k\}\) Für \(k=0\): \(L=\{-3;0;3\}\) Für \(k=\pm3\): \(L=\{-3;3\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)? - Wie kannst du die vier Lösungen für die Produktrechnung übersichtlich paaren? - Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für eine Nullstelle \(a\) und \(-a\)?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-10z+9=0\). Die Lösungen sind \(z=9\) und \(z=1\). 2. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm3\) und \(x=\pm1\). Damit ist \(L=\{-3;-1;1;3\}\). 3. Das Produkt der vier Lösungen ist \((-3)(-1)\cdot1\cdot3=9\) und stimmt damit mit \(q\) überein. 4. Wegen \(f(-x)=f(x)\) tritt zu jeder Nullstelle \(a\) auch \(-a\) als Nullstelle auf. Jedes solche Paar hat die Summe \(0\); daher ist auch die Summe aller vier Nullstellen \(0\).

1. \(L=\{-3;-1;1;3\}\) 2. \((-3)(-1)\cdot1\cdot3=9=q\) 3. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse treten die Nullstellen paarweise als \(a\) und \(-a\) auf; jedes Paar hat die Summe \(0\).

- Was erhältst du, wenn du den ursprünglichen Ausdruck vollständig ausmultiplizierst und zusammenfasst? - Welche quadratische Gleichung entsteht danach durch \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu \(z=0\) und zum positiven Wert von \(z\)?

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(x^4-2x^2+1-7x^2+7-8=0\), also \(x^4-9x^2=0\). 2. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-9z=0\). 3. Faktorisieren liefert \(z(z-9)=0\), also \(z_1=0\) und \(z_2=9\). 4. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\); aus \(x^2=9\) folgt \(x=\pm3\).

\(L=\{-3;0;3\}\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch \(z=x^2\)? - Welcher führende Term bestimmt das Globalverhalten? - Welche Vielfachheit haben die gefundenen Nullstellen, und was bedeutet das für Vorzeichenwechsel? - Wie kannst du die Vorzeichenfolge an einem Kontrollwert prüfen?

1. Mit \(z=x^2\) entsteht \(-z^2+10z-9=0\). Die Lösungen sind \(z_1=1\) und \(z_2=9\). Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) und \(x=\pm3\). 2. Der führende Term \(-x^4\) hat geraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Alle vier Nullstellen sind einfach, also wechselt das Vorzeichen an jeder Nullstelle. Zusammen mit dem Globalverhalten folgt: \(g(x)<0\) auf \((-\infty;-3)\), \((-1;1)\) und \((3;\infty)\); \(g(x)>0\) auf \((-3;-1)\) und \((1;3)\).

1. \(x\in\{-3;-1;1;3\}\) 2. \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\) 3. Positiv: \((-3;-1)\cup(1;3)\). Negativ: \((-\infty;-3)\cup(-1;1)\cup(3;\infty)\)

- Welche quadratische Gleichung entsteht in Teil a) durch \(z=x^2\)? - Welche \(x\)-Werte gehören zu jedem positiven Wert von \(z\)? - Welcher führende Term bestimmt in Teil b) das Globalverhalten?

1. Für die Nullstellen gilt \(\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{5}{2}=0\). Mit \(z=x^2\) folgt \(z^2-6z+5=0\). 2. Die Lösungen sind \(z_1=1\) und \(z_2=5\). Die Rücksubstitution ergibt \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 3. Der führende Term ist \(\frac{1}{2}x^4\). Wegen des geraden Grades und des positiven Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

a) \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\) b) \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\)

- Welche Symmetrie folgt daraus, dass im Funktionsterm nur gerade Potenzen vorkommen? - Was bewirken ein positiver, ein negativer und der Wert \(0\) für \(z=x^2\) jeweils bei der Rücksubstitution? - Welche zusätzliche Information liefert das Schneiden der \(x\)-Achse über den zugehörigen positiven Wert für \(z\)? - Nutze auch die Zusatzinformation, dass außerhalb des Fensters keine weiteren reellen Nullstellen liegen.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen. Zusammen mit der Zusatzinformation folgt, dass \(f\) genau zwei verschiedene reelle Nullstellen besitzt. 2. Die beiden Nullstellen haben die Form \(\pm a\) mit \(a>0\). Zu ihnen gehört derselbe positive Wert \(z=a^2\). 3. Weil der Graph die \(x\)-Achse dort schneidet, ist dieser positive Wert keine doppelte Lösung der quadratischen Gleichung in \(z\). 4. Ein zweiter positiver Wert für \(z\) würde zwei weitere reelle Nullstellen \(\pm\sqrt{z}\) erzeugen; \(z=0\) würde zusätzlich \(x=0\) als Nullstelle erzeugen. Beides ist durch die Zusatzinformation ausgeschlossen. 5. Daher muss die zweite Lösung der quadratischen Gleichung in \(z\) negativ sein.

a) Zwei verschiedene reelle Nullstellen b) Die quadratische Gleichung in \(z\) besitzt eine positive und eine negative Lösung.

- Welcher gemeinsame Wert von \(z=x^2\) gehört zu den beiden symmetrischen Nullstellen \(x=\pm a\)? - Welche Information liefert das Berühren der \(x\)-Achse über die Vielfachheit der Nullstellen? - Welchen Grad besitzt die zugehörige Gleichung in \(z\)?

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei zueinander symmetrischen Stellen und schneidet sie dort nicht. 2. Zu diesen beiden Nullstellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\) gehört derselbe positive Wert \(z=a^2\). 3. Wäre dieser positive Wert eine einfache Lösung der quadratischen Gleichung, enthielte \(f\) den Faktor \(x^2-a^2\) nur einfach. Dann wären \(x=\pm a\) einfache Nullstellen und der Graph würde die \(x\)-Achse schneiden. 4. Da der Graph stattdessen an beiden Stellen berührt und die Gleichung in \(z\) quadratisch ist, muss der positive Wert für \(z\) eine doppelte Lösung sein.

a) Der Graph berührt die \(x\)-Achse an zwei symmetrischen Nullstellen. b) Die quadratische Gleichung in \(z=x^2\) besitzt eine positive doppelte Lösung.

- Welche Lösung für \(z=x^2\) gehört zur Nullstelle \(x=0\)? - Welcher gemeinsame Wert von \(z\) gehört zu den beiden symmetrischen Nullstellen \(x=\pm a\)? - Unterscheide die Vielfachheit einer Lösung in der Gleichung für \(z\) von der Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle im ursprünglichen Polynom.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und schneidet sie an zwei zueinander symmetrischen Stellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\). 2. Die Nullstelle \(x=0\) entspricht der Lösung \(z=0\). Die beiden symmetrischen Nullstellen \(x=\pm a\) stammen von derselben positiven Lösung \(z=a^2>0\). 3. Die quadratische Gleichung in \(z\) hat damit zwei verschiedene Lösungen, \(0\) und \(a^2\). Beide sind in der \(z\)-Gleichung einfach. 4. Bei der Rücksubstitution erzeugt \(z=0\) wegen \(x^2=0\) die doppelte Nullstelle \(x=0\), während \(z=a^2\) die beiden einfachen Nullstellen \(x=\pm a\) erzeugt.

a) Eine Berührstelle bei \(x=0\) und zwei symmetrische Schneidestellen \(x=\pm a\) mit \(a>0\) b) Die Lösungen in \(z\) sind \(z=0\) und eine positive Lösung \(z=a^2\). Beide sind in der quadratischen Gleichung in \(z\) einfach; \(z=0\) erzeugt im ursprünglichen Polynom dennoch die doppelte Nullstelle \(x=0\).

- Welche Variable kannst du mithilfe der ersten Gleichung in der zweiten ersetzen? - Welche Potenzstruktur entsteht nach dem Einsetzen und Zusammenfassen? - Welche Werte erhältst du nach der Substitution \(z=x^2\)? - Wie bestimmst du zu jedem gefundenen \(x\) den zugehörigen Wert von \(y\)?

1. Einsetzen von \(y=x^2-5\) in die zweite Gleichung ergibt \((x^2-5)^2+2x^2=10\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt auf \(x^4-8x^2+15=0\). 3. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-8z+15=0\). Die Lösungen sind \(z=5\) und \(z=3\). 4. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm\sqrt{5}\) beziehungsweise \(x=\pm\sqrt{3}\). 5. Für \(x^2=5\) gilt \(y=0\); für \(x^2=3\) gilt \(y=-2\). 6. Damit lauten die vier Lösungspaare \((\sqrt{5}\mid0)\), \((-\sqrt{5}\mid0)\), \((\sqrt{3}\mid-2)\) und \((-\sqrt{3}\mid-2)\).

Die hergeleitete biquadratische Gleichung lautet \(x^4-8x^2+15=0\). Die Lösungspaare sind \((\sqrt{5}\mid0)\), \((-\sqrt{5}\mid0)\), \((\sqrt{3}\mid-2)\) und \((-\sqrt{3}\mid-2)\).

- Welche Größe aus der zweiten Gleichung kannst du in der ersten ersetzen? - Welche biquadratische Gleichung entsteht nach dem Einsetzen und Zusammenfassen? - Welche Lösungen erhältst du mit \(z=x^2\)? - Wie viele Vorzeichenmöglichkeiten entstehen anschließend für \(x\) und \(y\)?

1. Aus \(x^2+y^2=5\) folgt \(y^2=5-x^2\). Damit ist \(y^4=(5-x^2)^2\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x^4+(5-x^2)^2=17\), also \(x^4-5x^2+4=0\). 3. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-5z+4=0\). Die Lösungen sind \(z=1\) und \(z=4\). 4. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm1\) oder \(x=\pm2\). 5. Für \(x^2=1\) gilt \(y^2=4\), also \(y=\pm2\). Für \(x^2=4\) gilt \(y^2=1\), also \(y=\pm1\). 6. Damit entstehen acht reelle Lösungspaare. Jedes Lösungspaar entspricht genau einem Schnittpunkt der beiden Gleichungsgraphen.

a) Biquadratische Gleichung: \(x^4-5x^2+4=0\). Mit \(z=x^2\): \(z^2-5z+4=0\), also \(z=1\) oder \(z=4\), daher \(x=\pm1\) oder \(x=\pm2\). b) \((1\mid2)\), \((1\mid-2)\), \((-1\mid2)\), \((-1\mid-2)\), \((2\mid1)\), \((2\mid-1)\), \((-2\mid1)\), \((-2\mid-1)\) c) Es gibt \(8\) Schnittpunkte.

- Wie kannst du mit \(xy=4\) eine Variable durch die andere ausdrücken? - Welche Gleichung in nur einer Variablen entsteht nach dem Einsetzen? - Wie kannst du den Nenner beseitigen, und warum ist das hier zulässig? - Welche quadratische Gleichung entsteht mit \(z=x^2\)? - Wie erhältst du zu jedem gefundenen \(x\) den passenden \(y\)-Wert?

1. Aus \(xy=4\) folgt \(x\ne0\) und damit \(y=\frac{4}{x}\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(x^2+\frac{16}{x^2}=17\). 3. Multiplikation mit \(x^2\) führt auf \(x^4-17x^2+16=0\). 4. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-17z+16=0\). Die Lösungen sind \(z_1=16\) und \(z_2=1\). 5. Die Rücksubstitution liefert \(x=\pm4\) und \(x=\pm1\). 6. Mit \(y=\frac{4}{x}\) erhält man die Lösungspaare \((4\mid1)\), \((-4\mid-1)\), \((1\mid4)\) und \((-1\mid-4)\).

Die Lösungspaare sind \((4\mid1)\), \((-4\mid-1)\), \((1\mid4)\) und \((-1\mid-4)\).

- Wie viele verschiedene reelle \(x\)-Lösungen liefert ein positiver Wert von \(z=x^2\), und wie viele liefert \(z=0\)? - Welche Kombination von \(z\)-Werten kann genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen erzeugen? - Was muss für den konstanten Term gelten, wenn \(z=0\) eine Lösung der Hilfsgleichung ist?

1. In a) ergibt Ausklammern \(x^2(x^2-25)=0\). Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x^2=0\) oder \(x^2=25\). Damit sind die drei verschiedenen reellen Lösungen \(x=0\) und \(x=\pm5\). 2. In b) führt die Substitution \(z=x^2\) auf \(z^2-12z+k=0\). 3. Genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen entstehen, wenn eine Lösung für \(z\) gleich \(0\) und die andere positiv ist. Einsetzen von \(z=0\) erzwingt \(k=0\). 4. Für \(k=0\) gilt \(z(z-12)=0\). Die Lösungen \(z=0\) und \(z=12\) liefern \(x=0\) sowie \(x=\pm2\sqrt{3}\).

a) \(L=\{-5;0;5\}\) b) \(k=0\); \(L=\{-2\sqrt{3};0;2\sqrt{3}\}\)

- Welche weitere Lösung gehört wegen der geraden Potenzen unmittelbar zu \(\sqrt{5}\)? - Wie muss das zweite noch unbekannte Lösungspaar aussehen? - Welche Beziehungen zwischen den beiden Lösungen für \(z\) und den Koeffizienten liefert der Satz von Vieta? - Was bedeutet ein negativer Wert von \(z\) bei der Rücksubstitution \(x^2=z\) über \(\mathbb{R}\)?

1. Da in der biquadratischen Gleichung nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, ist mit \(x=\sqrt{5}\) auch \(x=-\sqrt{5}\) eine Lösung. 2. Die beiden weiteren Lösungen müssen ebenfalls ein Gegenpaar sein. Sei eine davon \(r\), dann ist die andere \(-r\). Aus \((\sqrt{5})(-\sqrt{5})r(-r)=20\) folgt \(5r^2=20\), also \(r^2=4\). Die vier Lösungen sind \(-\sqrt{5}\), \(-2\), \(2\) und \(\sqrt{5}\). 3. Für \(z=x^2\) sind die beiden Lösungen der Hilfsgleichung \(z_1=5\) und \(z_2=4\). Nach Vieta gilt daher \(p=-(z_1+z_2)=-9\) und \(q=z_1z_2=20\). 4. Gilt allgemein \(q<0\), so ist das Produkt der beiden Lösungen der Hilfsgleichung negativ. Die beiden Lösungen für \(z\) haben daher verschiedene Vorzeichen. Nur der positive Wert liefert über \(x^2=z\) zwei reelle \(x\)-Werte; der negative liefert keine. Deshalb besitzt die biquadratische Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

1. Die weiteren Lösungen sind \(-\sqrt{5}\), \(-2\) und \(2\). 2. \(p=-9\), \(q=20\) 3. Bei \(q<0\) haben die beiden Lösungen für \(z\) verschiedene Vorzeichen. Nur die positive liefert zwei reelle Werte \(x=\pm\sqrt{z}\); daher gibt es genau zwei reelle Lösungen.

- Welche quadratische Gleichung entsteht durch die Substitution \(z=x^2\)? - Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel als vollständiges Quadrat schreiben? - Welche beiden Werte ergeben sich für \(z\), wenn du \(a>0\) beachtest? - Für welchen Wert von \(a\) fallen die beiden Lösungspaare zusammen?

1. Mit der Substitution \(z=x^2\) entsteht \(a^2z^2-(a^4+1)z+a^2=0\). 2. Die Diskriminante ist \(D=(a^4+1)^2-4a^4=(a^4-1)^2\). 3. Damit gilt \(z=\frac{a^4+1\pm\lvert a^4-1\rvert}{2a^2}\). Unabhängig von der Reihenfolge ergeben sich \(z_1=a^2\) und \(z_2=\frac{1}{a^2}\). 4. Aus \(x^2=a^2\) folgt \(x=\pm a\). Aus \(x^2=\frac{1}{a^2}\) folgt wegen \(a>0\) \(x=\pm\frac{1}{a}\). 5. Für \(a=1\) fallen die beiden Werte für \(z\) zusammen. Dann gibt es nur die beiden verschiedenen reellen Lösungen \(x=-1\) und \(x=1\).

Für \(a\ne1\): \(L=\left\{-a;a;-\frac{1}{a};\frac{1}{a}\right\}\) Für \(a=1\): \(L=\{-1;1\}\)

- Wie viele verschiedene reelle \(x\)-Lösungen erzeugt ein positiver Wert von \(z=x^2\), und wie viele erzeugt \(z=0\)? - Welche Struktur müssen die beiden Lösungen in \(z\) bei genau drei verschiedenen reellen \(x\)-Lösungen haben? - Wie lässt sich die Summe der Quadrate der drei \(x\)-Lösungen durch die positive Lösung in \(z\) ausdrücken? - Wie hängen Summe und Produkt der beiden Lösungen in \(z\) mit \(p\) und \(q\) zusammen?

1. Bei einer biquadratischen Gleichung liefert jede positive Lösung für \(z\) zwei symmetrische \(x\)-Lösungen. Genau drei verschiedene reelle \(x\)-Lösungen sind daher nur möglich, wenn die beiden Lösungen in \(z\) gleich \(0\) und einem positiven Wert \(a\) sind. 2. Die drei reellen Lösungen sind dann \(0\), \(-\sqrt{a}\) und \(\sqrt{a}\). Ihre Quadratsumme ist \(0+a+a=2a\). Aus \(2a=18\) folgt \(a=9\). 3. Die quadratische Gleichung in \(z\) lautet \(z^2+pz+q=0\) und hat die Lösungen \(0\) und \(9\). Nach Vieta gilt \(0+9=-p\) und \(0\cdot9=q\). Daher ist \(p=-9\) und \(q=0\). 4. Somit lautet die ursprüngliche Gleichung \(x^4-9x^2=x^2(x-3)(x+3)=0\). Die Nullstelle \(x=0\) ist doppelt, \(x=-3\) und \(x=3\) sind einfach. 5. Die Anzahl der reellen Lösungen erzwingt die Struktur \(\{0;a\}\) für die beiden Lösungen in \(z\); die Quadratsumme erzwingt \(a=9\). Deshalb sind auch \(p\) und \(q\) eindeutig festgelegt.

\(p=-9\), \(q=0\). Die reellen Lösungen sind \(x=0\) doppelt sowie \(x=-3\) und \(x=3\) jeweils einfach. Andere Werte sind wegen der erzwungenen Lösungen \(z=0\) und \(z=9\) nicht möglich.