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- Die Grundfläche ist bereits als Flächeninhalt gegeben. - Welche Volumenformel gehört zum Kegel? - Vergleiche den Kegel gedanklich mit einem Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe.

1. Für einen Kegel gilt \(V=\frac{1}{3}Gh\). 2. Damit ist \(V=\frac{1}{3}\cdot 30\cdot 6=60\,\text{cm}^3\).

\(60\,\text{cm}^3\)

- Gesucht ist eine Länge, die direkt zum Kegelmantel gehört. - Unterscheide die senkrechte Höhe im Inneren des Kegels von einer Strecke auf seiner Mantelfläche.

1. In der Mantelflächenformel bezeichnet \(s\) die Mantellinie des Kegels. 2. Daher ist C richtig.

C: die Mantellinie von der Spitze zum Rand des Grundkreises.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche eines nach oben offenen Gefäßes zusammen? - Welche Radien sind für die Mantelfläche und welche für den Boden relevant? - Achte darauf, welche Formel für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes gilt.

1. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\): \(M = \pi \cdot (15\,\text{cm} + 9\,\text{cm}) \cdot 10\,\text{cm} = 240 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Bodenfläche \(G\) (kleinerer Kreis): \(G = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (9\,\text{cm})^2 = 81 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 254{,}47\,\text{cm}^2\). 3. Addition beider Teilflächen zur Gesamtfläche \(A\): \(A = 240 \cdot \pi + 81 \cdot \pi = 321 \cdot \pi\,\text{cm}^2 \approx 1008{,}45\,\text{cm}^2\).

Die Außenfläche des Übertopfes beträgt ca. \(1008{,}45\,\text{cm}^2\).

- Schau dir die Abbildung genau an. Welche Maße des Kegels kannst du dort ablesen? - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kreiskegels? - Setze die abgelesenen Werte für den Radius und die Höhe in die Formel ein. - Achte darauf, das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) aufzuschreiben und erst im letzten Schritt zu runden.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=12\,\text{cm}\) ab. 2. Mit \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\) ergibt sich \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot5^2\cdot12\,\text{cm}^3=100\pi\,\text{cm}^3\). 3. Gerundet ist \(V\approx314{,}2\,\text{cm}^3\).

Exakter Wert: \(100\pi\,\text{cm}^3\) Gerundeter Wert: \(314{,}2\,\text{cm}^3\)

- Welche beiden Maße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Volumenformel gehört zum Kreiskegel? - Rechne zunächst in Kubikzentimetern und beachte danach die angegebene Einheitengleichheit.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=9\,\text{cm}\) ab. 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot9\,\text{cm}^3=48\pi\,\text{cm}^3\). 3. Numerisch ist \(V\approx150{,}796\,\text{cm}^3\). 4. Daher beträgt das Fassungsvermögen gerundet \(150{,}8\,\text{ml}\).

Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(150{,}8\,\text{ml}\).

- Achte darauf, ob in der Aufgabe Radius oder Durchmesser gegeben ist. - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Setze den passenden Radius und die Höhe in die Kegelvolumenformel ein.

1. Aus dem Durchmesser folgt der Radius \(r=\frac{d}{2}=\frac{5\,\text{cm}}{2}=2{,}5\,\text{cm}\). 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\). 3. Einsetzen ergibt \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot(2{,}5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=25\pi\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist \(V\approx78{,}5398\,\text{cm}^3\), also gerundet \(78{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Gefäßes beträgt ungefähr \(78{,}5\,\text{cm}^3\).

- Welche beiden Maße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Volumenformel gehört zum Kegel? - Vergleiche die Formel gedanklich mit dem Volumen eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=7\,\text{m}\) und \(h=12\,\text{m}\) ab. 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot7^2\cdot12\,\text{m}^3=196\pi\,\text{m}^3\). 3. Numerisch ergibt sich \(V\approx615{,}752\,\text{m}^3\), also gerundet \(615{,}8\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Sandhaufens beträgt ungefähr \(615{,}8\,\text{m}^3\).

- Welche beiden Maße kannst du direkt aus der Abbildung ablesen? - Welche zusätzliche Länge brauchst du für die Mantelfläche des Kegels? - Aus welchen beiden Flächen setzt sich die gesamte Oberfläche zusammen?

1. Aus der Abbildung liest man \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=12\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\,\text{cm}\). 3. Für Grundfläche und Mantelfläche gilt \(G=\pi r^2=25\pi\,\text{cm}^2\) und \(M=\pi rs=65\pi\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(O=G+M=90\pi\,\text{cm}^2\approx282{,}74\,\text{cm}^2\).

\(O=90\pi\,\text{cm}^2\approx282{,}74\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Kegels? - Überlege, wie du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen kannst. - Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigst du zuerst die Länge der Mantellinie \(s\). - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Kegels.

1. Berechnung der Körperhöhe \(h\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot r^2} = \frac{3 \cdot 120}{\pi \cdot 3{,}5^2} \approx 9{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\) mit dem Satz des Pythagoras: \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 9{,}3544^2} \approx 9{,}99\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot r \cdot s\): \(M = \pi \cdot 3{,}5 \cdot 9{,}9877... \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

a) Die Körperhöhe beträgt \(h \approx 9{,}35\,\text{cm}\). b) Die Mantelfläche beträgt \(M \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Radius, Höhe und Volumen zusammen? - Achte beim Umstellen der Formel darauf, dass am Ende eine Wurzel gezogen werden muss, um \(r\) zu erhalten. - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Kegels zusammen? - Welche Hilfsgröße musst du berechnen, um den Mantel des Kegels bestimmen zu können?

1. Berechnung des Radius \(r\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(r^2 = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot h} = \frac{3 \cdot 450}{\pi \cdot 15} = \frac{90}{\pi} \approx 28{,}65\). Daraus folgt \(r = \sqrt{28{,}6479} \approx 5{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\): \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5{,}3523^2 + 15^2} \approx 15{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O = G + M = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\): \(G = 90{,}00\,\text{cm}^2\) und \(M \approx 267{,}80\,\text{cm}^2\). Somit ergibt sich \(O \approx 357{,}80\,\text{cm}^2\).

a) Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}35\,\text{cm}\). b) Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt \(O \approx 357{,}80\,\text{cm}^2\).

- Welche rechtwinklige Figur entsteht im Axialschnitt aus Körperhöhe und Radiusdifferenz? - Verlängere die Mantellinien des Stumpfes bis zu einer gemeinsamen Spitze. - Nutze bei den ähnlichen Kegeln das Verhältnis entsprechender Radien und Mantellinien. - Welche Differenz zweier bekannter Mantelflächen ergibt den Lampenschirm?

1. Im Axialschnitt entsteht für die Mantellinie \(s\) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(21\,\text{cm}\) und \(35\,\text{cm}-15\,\text{cm}=20\,\text{cm}\). Daher ist \(s=\sqrt{21^2+20^2}\,\text{cm}=29\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+29}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\). Daraus folgt \(7x=3x+87\) und somit \(x=21{,}75\,\text{cm}\). Die Mantellinie des großen Kegels beträgt \(50{,}75\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche des Stumpfes ist die Differenz der beiden Kegelmantelflächen: \(M=\pi\cdot35\cdot50{,}75\,\text{cm}^2-\pi\cdot15\cdot21{,}75\,\text{cm}^2=1450\pi\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(M\approx4555{,}31\,\text{cm}^2\).

Für den Lampenschirm werden ungefähr \(4555{,}31\,\text{cm}^2\) Mantelmaterial benötigt.

- Wandle die beiden Durchmesser zunächst in Radien um. - Welche zwei ähnlichen Kegel erhältst du durch Verlängern der Seitenlinien? - Setze das Verhältnis der Radien mit dem Verhältnis der zugehörigen Kegelhöhen in Beziehung. - Vergiss nach der Volumendifferenz die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter nicht.

1. Die Radien sind \(16\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+28}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\). Daraus folgt \(x=84\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(112\,\text{cm}\) hoch. 3. Das Volumen des Stumpfes ist die Differenz der Kegelvolumina: \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot16^2\cdot112\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot12^2\cdot84\,\text{cm}^3=\frac{16576}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 4. Numerisch ist \(V\approx17358{,}35\,\text{cm}^3=17{,}35835\,\text{l}\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet beträgt das Fassungsvermögen \(17{,}4\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen beträgt ungefähr \(17{,}4\,\text{l}\).

- Überlege dir, wie die Volumenformel für einen Kegelstumpf lautet und welche Unbekannte darin vorkommt. - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Skizziere dir den Querschnitt des Kegelstumpfes. Welches geometrische Gebilde hilft dir, die schräge Seite zu berechnen? - Achte beim Oberflächeninhalt darauf, alle Teilflächen (Boden, Deckel und Seite) zu berücksichtigen.

1. Zur Berechnung der Höhe \(h\) wird die Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)\) nach \(h\) umgestellt: \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)}\). Einsetzen der Werte ergibt \(h = \frac{3 \cdot 65 \cdot \pi}{\pi \cdot (25 + 10 + 4)} = \frac{195}{39} = 5\,\text{cm}\). 2. Die Mantellinie \(s\) wird mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Trapez berechnet: \(s = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{5^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\,\text{cm}\). 3. Der Oberflächeninhalt \(O\) setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen: \(O = \pi \cdot r_1^2 + \pi \cdot r_2^2 + \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot s\). Mit den berechneten Werten ergibt sich \(O = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 4 + \pi \cdot 7 \cdot \sqrt{34} = \pi \cdot (29 + 7 \cdot \sqrt{34}) \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\).

a) \(h = 5\,\text{cm}\) b) \(s \approx 5{,}83\,\text{cm}\) c) \(O \approx 219{,}34\,\text{cm}^2\)

- Welche drei Längen bilden in einem Axialschnitt des Kegels ein rechtwinkliges Dreieck? - Bestimme die Mantellinie, bevor du eine Oberflächenformel verwendest. - Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantelfläche.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=4\,\text{cm}\) ab. 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 3. Die Grundfläche ist \(G=\pi r^2=9\pi\,\text{cm}^2\), die Mantelfläche \(M=\pi rs=15\pi\,\text{cm}^2\). 4. Somit ist \(O=G+M=24\pi\,\text{cm}^2\).

\(s=5\,\text{cm}\) \(O=24\pi\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden Strecken bilden zusammen mit der Mantellinie ein rechtwinkliges Dreieck? - Für eine offene Partykappe wird nur die Mantelfläche benötigt. - Runde die Fläche erst nach der vollständigen Berechnung.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=7\,\text{cm}\) und \(h=18\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{7^2+18^2}\,\text{cm}=\sqrt{373}\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche beträgt \(M=\pi rs=7\pi\sqrt{373}\,\text{cm}^2\approx424{,}720\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet werden \(424{,}7\,\text{cm}^2\) Karton benötigt.

\(s=\sqrt{373}\,\text{cm}\approx19{,}3\,\text{cm}\) \(M\approx424{,}7\,\text{cm}^2\)

- Welche Strecke bleibt bei der Drehung als Achse fest? - Welcher Abstand von der Achse wird beim Drehen zum Kreisradius? - Welche Seite des Dreiecks überstreicht die Mantelfläche? - Überlege für das Schrägbild, wie ein Kreis in räumlicher Perspektive dargestellt wird.

1. Durch die Drehung um \(AB\) entsteht ein gerader Kreiskegel. Die Drehachse wird zur Körperhöhe, also \(h=AB=6\,\text{cm}\). Der Abstand \(AC=4\,\text{cm}\) von der Achse wird zum Grundkreisradius \(r\). Die Hypotenuse \(BC\) erzeugt die Mantelfläche und entspricht der Mantellinie \(s\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(s=\sqrt{6^2+4^2}\,\text{cm}=2\sqrt{13}\,\text{cm}\approx7{,}21\,\text{cm}\). 3. Im Schrägbild wird der Grundkreis als Ellipse skizziert, die Spitze über dem Mittelpunkt der Ellipse eingezeichnet und mit dem Rand verbunden. \(h\), \(r\) und \(s\) werden an den entsprechenden Strecken markiert; der hintere Ellipsenbogen wird gestrichelt.

a) Es entsteht ein gerader Kreiskegel mit \(h=6\,\text{cm}\), \(r=4\,\text{cm}\) und \(s=BC\). b) \(s=2\sqrt{13}\,\text{cm}\approx7{,}21\,\text{cm}\). c) Mehrere Schrägbilder sind möglich; erforderlich sind Grundellipse, Spitze über ihrem Mittelpunkt, beschriftete Größen \(h,r,s\) und ein gestrichelter verdeckter Grundkreisbogen.

- Welche besondere Lage hat die Achse eines geraden Kegels zur Grundfläche? - Ordne zum gegebenen Winkel im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete und Ankathete zu. - Wähle die trigonometrische Beziehung, die genau diese beiden Katheten verbindet. - Setze die ermittelte Höhe erst danach in die Volumenformel ein.

1. Bei einem geraden Kreiskegel steht die Achse durch die Spitze \(S\) und den Grundkreismittelpunkt \(O\) senkrecht auf der Grundfläche. Der Radius \(OB\) liegt in der Grundfläche; deshalb gilt \(OS\perp OB\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck ist zum Winkel bei \(B\) die Höhe \(h\) die Gegenkathete und \(r=4\,\text{cm}\) die Ankathete. Daher gilt \(\tan 60^\circ=\frac{h}{4}\), also \(h=4\tan60^\circ\,\text{cm}=4\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot16\cdot4\sqrt{3}\,\text{cm}^3=\frac{64\sqrt{3}}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx116{,}1\,\text{cm}^3\).

a) \(OS\) steht als Kegelachse senkrecht auf der Grundfläche und damit auf \(OB\). b) \(h=4\sqrt{3}\,\text{cm}\approx6{,}93\,\text{cm}\). c) \(V=\frac{64\sqrt{3}}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx116{,}1\,\text{cm}^3\).

- Wandle Durchmesser in Radien und Liter in Kubikzentimeter um. - Bezeichne die unbekannte Stumpfhöhe und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Welche Beziehung liefert die Ähnlichkeit der beiden Kegel zwischen diesen Höhen und den Radien? - Drücke das Zielvolumen als Differenz zweier Kegelvolumina aus.

1. Die Radien betragen \(11\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\), das Zielvolumen ist \(1500\,\text{cm}^3\). 2. Sei \(h\) die gesuchte Stumpfhöhe und \(x\) die Höhe des kleineren ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+h}=\frac{7}{11}\). Damit ist \(11x=7x+7h\), also \(x=\frac{7}{4}h\) und \(x+h=\frac{11}{4}h\). 3. Die Volumendifferenz der beiden Kegel ist \(1500=\frac{1}{3}\pi\cdot11^2\cdot\frac{11}{4}h-\frac{1}{3}\pi\cdot7^2\cdot\frac{7}{4}h\). 4. Daraus wird \(1500=\frac{247}{3}\pi h\), also \(h=\frac{4500}{247\pi}\,\text{cm}\approx5{,}799\,\text{cm}\). 5. Gerundet ist die Schale \(5{,}8\,\text{cm}\) tief.

Die Schale muss ungefähr \(5{,}8\,\text{cm}\) tief sein.

- Beginne mit den Radien und ergänze den Stumpf zu zwei ähnlichen Kegeln. - Nutze das Radiusverhältnis, um die Höhen der ergänzten Kegel zu bestimmen. - Für die Mantellinie des Stumpfes hilft der Axialschnitt mit der Radiusdifferenz. - Übertrage dasselbe Ähnlichkeitsverhältnis auf die Mantellinien, bevor du ihre Mantelflächen subtrahierst.

1. Die Radien sind oben \(14\,\text{cm}\) und unten \(10\,\text{cm}\). Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{x}{x+24}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(x=60\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(84\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Eimervolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot14^2\cdot84\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot10^2\cdot60\,\text{cm}^3=3488\pi\,\text{cm}^3\approx10\,957{,}88\,\text{cm}^3\). 3. Das entspricht ungefähr \(10{,}9579\,\text{l}\), also gerundet \(11{,}0\,\text{l}\). 4. Die Mantellinie des Stumpfes ist \(s=\sqrt{24^2+(14-10)^2}\,\text{cm}=\sqrt{592}\,\text{cm}\approx24{,}33\,\text{cm}\). 5. Sei \(y\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{y}{y+s}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(y=\frac{5}{2}s\) und für den großen Kegel \(y+s=\frac{7}{2}s\). 6. Die Mantelfläche des Eimers ist \(M=\pi\cdot14\cdot\frac{7}{2}s-\pi\cdot10\cdot\frac{5}{2}s=24\pi s\approx1834{,}52\,\text{cm}^2\). 7. Mit der Bodenfläche \(100\pi\,\text{cm}^2\) ergibt sich \(A=24\pi\sqrt{592}\,\text{cm}^2+100\pi\,\text{cm}^2\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx11{,}0\,\text{l}\) b) \(A\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\)

- Bezeichne den unbekannten Radius und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Nutze die Ähnlichkeit, um beide Kegelhöhen in Abhängigkeit vom unbekannten Radius auszudrücken. - Setze anschließend die Differenz der beiden Kegelvolumina gleich dem gegebenen Volumen. - Prüfe am Ende, welche algebraische Lösung im geometrischen Kontext möglich ist.

1. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+6}=\frac{4}{r}\). Damit ist \(x=\frac{24}{r-4}\) und \(x+6=\frac{6r}{r-4}\). 2. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Kegelvolumina: \(703{,}7=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot\frac{6r}{r-4}-\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot\frac{24}{r-4}\). 3. Wegen \(r^3-4^3=(r-4)(r^2+4r+16)\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(703{,}7=2\pi(r^2+4r+16)\). 4. Damit gilt \(r^2+4r+16=\frac{703{,}7}{2\pi}\). Die positive Lösung der entstehenden quadratischen Gleichung ist \(r\approx7{,}9999\,\text{cm}\); die negative Lösung ist als Radius unzulässig. 5. Auf eine Dezimale gerundet ist \(r=8{,}0\,\text{cm}\).

Der Radius der größeren Kreisfläche beträgt ungefähr \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Welche beiden Gesamtmaße des Trichters zeigt die Abbildung? - Vergleiche den gefüllten kleinen Kegel mit dem gesamten Kegel. - Drücke den Radius der Flüssigkeitsoberfläche in Abhängigkeit von der Füllhöhe aus. - Für die halbe Füllung vergleichst du das gesuchte Volumen mit dem maximalen Volumen.

1. Aus der Abbildung liest man \(R=6\,\text{cm}\) und \(H=18\,\text{cm}\) ab. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{r}{h}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\), also \(r(h)=\frac{1}{3}h\). 2. Damit ist \(V(h)=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2h=\frac{\pi}{27}h^3\). 3. Für \(h=9\,\text{cm}\) gilt \(V(9)=\frac{\pi}{27}\cdot9^3\,\text{cm}^3=27\pi\,\text{cm}^3\approx84{,}8\,\text{cm}^3\). 4. Das maximale Volumen ist \(V(18)=216\pi\,\text{cm}^3\). Die Hälfte beträgt \(108\pi\,\text{cm}^3\). 5. Aus \(\frac{\pi}{27}h^3=108\pi\) folgt \(h^3=2916\) und damit \(h=\sqrt[3]{2916}\,\text{cm}\approx14{,}3\,\text{cm}\).

a) \(V(h)=\frac{\pi}{27}h^3\) b) \(V(9)=27\pi\,\text{cm}^3\approx84{,}8\,\text{cm}^3\) c) \(h\approx14{,}3\,\text{cm}\)