- Die Grundfläche ist bereits als Flächeninhalt gegeben. - Welche Volumenformel gehört zum Kegel? - Vergleiche den Kegel gedanklich mit einem Zylinder mit gleicher Grundfläche und Körperhöhe.

1. Für einen Kegel gilt \(V=\frac{1}{3}Gh\). 2. Damit ist \(V=\frac{1}{3}\cdot30\cdot6=60\,\text{cm}^3\).

\(60\,\text{cm}^3\)

- Gesucht ist eine Länge, die direkt zum Kegelmantel gehört. - Unterscheide die Körperhöhe im Inneren des Kegels von einer Strecke auf seiner Mantelfläche.

1. In der Mantelflächenformel bezeichnet \(s\) die Mantellinie des Kegels. 2. Daher ist C richtig.

C: die Mantellinie von der Spitze zum Rand des Grundkreises.

- Welche Strecke bleibt als Drehachse fest? - Welche Strecke gibt den Abstand eines Punktes von dieser Achse an? - Welche Dreiecksseite überstreicht beim Drehen die Mantelfläche?

1. Durch die Drehung um \(AB\) entsteht ein gerader Kreiskegel. 2. Die Drehachse \(AB\) wird zur Körperhöhe \(h\). 3. Der senkrechte Abstand \(AC\) von der Achse wird zum Grundkreisradius \(r\). 4. Die Hypotenuse \(BC\) überstreicht den Kegelmantel und wird zur Mantellinie \(s\).

a) Ein gerader Kreiskegel. b) \(AB=h\), \(AC=r\), \(BC=s\)

- Welcher Körper bleibt übrig, wenn du vom vollständigen Kegel die Spitze abschneidest? - Aus welchen beiden senkrechten Teilstrecken besteht die Höhe des vollständigen Kegels? - Welche Beziehung erzeugt eine zur Grundfläche parallele Schnittlinie im Axialschnitt?

1. Der Kegelstumpf entsteht als Rest des vollständigen großen Kegels nach dem Entfernen des kleinen Ergänzungskegels. Daher gilt \(V_{\text{Stumpf}}=V_{\text{groß}}-V_{\text{klein}}\). 2. Die Körperhöhe des großen Kegels setzt sich aus der Stumpfhöhe und der Höhe des Ergänzungskegels zusammen. Daher ist \(h_{\text{groß}}=h+x\). 3. Beide Kegel besitzen dieselbe Spitze, und ihre Grundkreise liegen in parallelen Ebenen. Im Axialschnitt entstehen dadurch ähnliche Dreiecke; deshalb sind die Kegel ähnlich.

a) \(V_{\text{Stumpf}}=V_{\text{groß}}-V_{\text{klein}}\) b) \(h_{\text{groß}}=h+x\) c) Die Axialschnittdreiecke haben dieselbe Spitze und parallele Grundlinien und sind deshalb ähnlich.

- Welche Form hat der gefüllte Teil des Kegels? - Welche Längen am kleinen und am ganzen Kegel gehören jeweils zusammen? - Prüfe für c), ob sich der neue Füllstand als Vergrößerung des ersten gefüllten Kegels auffassen lässt.

1. Die Füllhöhe ist \(\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) der Gesamthöhe. 2. Der gefüllte kleine Kegel ist zum ganzen Kegel ähnlich. Deshalb ist auch sein Radius \(\frac{1}{3}\) des Gesamtradius: \(r=2\,\text{cm}\). 3. Bei ähnlichen Kegeln wächst der Radius im gleichen Verhältnis wie die Höhe. Wird die Füllhöhe verdoppelt, verdoppelt sich der Radius auf \(4\,\text{cm}\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(2\,\text{cm}\) c) Der Radius verdoppelt sich auf \(4\,\text{cm}\).

- Welche Größe musst du aus dem gegebenen Radius zuerst bestimmen, bevor du die Ellipse zeichnen kannst? - Welche Maße brauchst du, damit Größe der Ellipse und Lage der Spitze feststehen? - Kontrolliere am Ende, welcher Teil des Grundkreisrandes sichtbar und welcher verdeckt ist.

1. Der Grundkreisdurchmesser beträgt \(8\,\text{cm}\). Daher ist die große Ellipsenachse \(8\,\text{cm}\) lang. 2. Die kleine Ellipsenachse ist halb so lang und misst \(4\,\text{cm}\). 3. Die Körperhöhe bleibt unverändert, also ist \(MS=6\,\text{cm}\). 4. Zeichne zuerst die Ellipse mit Mittelpunkt \(M\), dann \(S\) senkrecht \(6\,\text{cm}\) über \(M\), verbinde \(S\) mit den seitlichen Randpunkten der Ellipse und zeichne den hinteren verdeckten Ellipsenbogen gestrichelt.

a) Große Achse: \(8\,\text{cm}\); kleine Achse: \(4\,\text{cm}\) b) \(MS=6\,\text{cm}\) c) Ellipse zeichnen, \(S\) senkrecht über \(M\) setzen, \(S\) mit den seitlichen Randpunkten verbinden; der hintere verdeckte Ellipsenbogen wird gestrichelt.

- Welche Flächen des oben offenen Gefäßes gehören zur gesuchten Außenfläche? - Setze die beiden Radien und die Mantellinie in die angegebene Mantelflächenformel ein. - Welche der beiden Kreisflächen bildet den Boden?

1. Die Mantelfläche ist \(M=\pi(15+9)\cdot10\,\text{cm}^2=240\pi\,\text{cm}^2\). 2. Die kleinere Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\pi\cdot9^2\,\text{cm}^2=81\pi\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist die Außenfläche \(A=240\pi+81\pi=321\pi\,\text{cm}^2\approx1008{,}45\,\text{cm}^2\).

Die Außenfläche beträgt \(321\pi\,\text{cm}^2\approx1008{,}45\,\text{cm}^2\).

- Schau dir die Abbildung genau an. Welche Maße des Kegels kannst du dort ablesen? - Welche Formel beschreibt das Volumen eines Kreiskegels? - Setze die abgelesenen Werte für den Radius und die Höhe in die Formel ein. - Achte darauf, das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) aufzuschreiben und erst im letzten Schritt zu runden.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=12\,\text{cm}\) ab. 2. Mit \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\) ergibt sich \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot5^2\cdot12\,\text{cm}^3=100\pi\,\text{cm}^3\). 3. Gerundet ist \(V\approx314{,}2\,\text{cm}^3\).

Exakter Wert: \(100\pi\,\text{cm}^3\) Gerundeter Wert: \(314{,}2\,\text{cm}^3\)

- Welche beiden Maße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Volumenformel gehört zum Kreiskegel? - Rechne zunächst in Kubikzentimetern und beachte danach die angegebene Einheitengleichheit.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=9\,\text{cm}\) ab. 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot9\,\text{cm}^3=48\pi\,\text{cm}^3\). 3. Numerisch ist \(V\approx150{,}796\,\text{cm}^3\). 4. Daher beträgt das Fassungsvermögen gerundet \(150{,}8\,\text{ml}\).

Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(150{,}8\,\text{ml}\).

- Achte darauf, ob in der Aufgabe Radius oder Durchmesser gegeben ist. - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Setze den passenden Radius und die Körperhöhe in die Kegelvolumenformel ein.

1. Aus dem Durchmesser folgt der Radius \(r=\frac{d}{2}=\frac{5\,\text{cm}}{2}=2{,}5\,\text{cm}\). 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\). 3. Einsetzen ergibt \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot(2{,}5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=25\pi\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist \(V\approx78{,}5398\,\text{cm}^3\), also gerundet \(78{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Gefäßes beträgt ungefähr \(78{,}5\,\text{cm}^3\).

- Welche beiden Maße kannst du aus der Abbildung ablesen? - Welche Volumenformel gehört zum Kegel? - Vergleiche die Formel gedanklich mit dem Volumen eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=7\,\text{m}\) und \(h=12\,\text{m}\) ab. 2. Das Kegelvolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot7^2\cdot12\,\text{m}^3=196\pi\,\text{m}^3\). 3. Numerisch ergibt sich \(V\approx615{,}752\,\text{m}^3\), also gerundet \(615{,}8\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Sandhaufens beträgt ungefähr \(615{,}8\,\text{m}^3\).

- Welche drei Längen bilden in einer Hälfte des Axialschnitts ein rechtwinkliges Dreieck? - Bestimme die Mantellinie, bevor du die Mantelfläche berechnest. - Runde erst den gesamten Oberflächeninhalt, nicht die Mantellinie.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=7\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{65}\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(O=\pi r^2+\pi rs=\pi(16+4\sqrt{65})\,\text{cm}^2\approx151{,}58\,\text{cm}^2\).

\(s=\sqrt{65}\,\text{cm}\) \(O=\pi(16+4\sqrt{65})\,\text{cm}^2\approx151{,}58\,\text{cm}^2\)

- Welche Kegelgröße entspricht der gesamten Grundseite im Axialschnitt? - Welche eingezeichnete Strecke verläuft senkrecht vom Grundkreismittelpunkt zur Spitze? - Welche drei Längen bilden in einer Hälfte des Axialschnitts ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Im Axialschnitt ist die Grundseite der Durchmesser des Grundkreises. Aus \(d=14\,\text{cm}\) folgt \(r=7\,\text{cm}\). 2. Die eingezeichnete senkrechte Strecke vom Mittelpunkt zur Spitze ist die Körperhöhe, also \(h=9\,\text{cm}\). 3. Die halbe Axialschnittfigur ist rechtwinklig. Daher gilt \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{7^2+9^2}\,\text{cm}=\sqrt{130}\,\text{cm}\approx11{,}40\,\text{cm}\).

a) \(r=7\,\text{cm}\), \(h=9\,\text{cm}\) b) \(s=\sqrt{130}\,\text{cm}\approx11{,}40\,\text{cm}\)

- Wie verhalten sich entsprechende Längen bei den beiden ähnlichen Kegeln? - Die Mantellinie des großen Kegels besteht aus der kleinen Mantellinie und der Mantellinie des Stumpfes. - Vergleiche nach der Differenzrechnung dein Ergebnis mit der kompakten Stumpfformel.

1. Die Radien stehen im Verhältnis \(r_2:r_1=3:6=1:2\). Daher stehen wegen der Ähnlichkeit auch die Mantellinien im Verhältnis \(1:2\). 2. Sei die Mantellinie des kleinen Kegels \(t\). Dann hat der große Kegel die Mantellinie \(t+5\). Aus \(\frac{t}{t+5}=\frac{1}{2}\) folgt \(2t=t+5\), also \(t=5\,\text{cm}\). Die große Mantellinie ist damit \(10\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche des Stumpfes ist \(M=\pi\cdot6\cdot10-\pi\cdot3\cdot5=60\pi-15\pi=45\pi\,\text{cm}^2\). 4. Direkt gilt \(\pi(r_1+r_2)s=\pi(6+3)\cdot5=45\pi\,\text{cm}^2\). Beide Wege stimmen überein.

a) Kleine Mantellinie \(5\,\text{cm}\), große Mantellinie \(10\,\text{cm}\) b) \(M=45\pi\,\text{cm}^2\) c) \(\pi(r_1+r_2)s=45\pi\,\text{cm}^2\)

- Vergleiche nur die Form der beiden dargestellten Grundkreise. - Wie wird ein horizontal liegender Kreis in einem räumlichen Schrägbild typischerweise verzerrt? - Welche Linienart wird für einen verdeckten Rand verwendet?

1. Abbildung a) ist die passende Schrägbilddarstellung. Ein horizontaler Kreis wird im Schrägbild als Ellipse dargestellt, nicht als unverzerrter Kreis. 2. Die gestrichelte Hälfte kennzeichnet den hinteren, vom Kegelmantel verdeckten Teil des Grundkreisrandes.

a) Abbildung a) b) Der Grundkreis erscheint im Schrägbild als Ellipse. c) Die gestrichelte Hälfte ist der verdeckte hintere Teil des Grundkreisrandes.

- Welche Kathete ist jeweils die Drehachse und wird damit zur Körperhöhe? - Welche andere Kathete beschreibt den maximalen Abstand von der Drehachse und wird zum Radius? - Stelle beide Kegelvolumina exakt auf, bevor du ihr Verhältnis kürzt.

1. Bei der Drehung um \(AB\) gilt \(h_1=6\,\text{cm}\) und \(r_1=10\,\text{cm}\). Damit ist \(V_1=\frac13\pi\cdot10^2\cdot6\,\text{cm}^3=200\pi\,\text{cm}^3\). 2. Bei der Drehung um \(AC\) gilt \(h_2=10\,\text{cm}\) und \(r_2=6\,\text{cm}\). Damit ist \(V_2=\frac13\pi\cdot6^2\cdot10\,\text{cm}^3=120\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Verhältnis ist \(V_1:V_2=200:120=5:3\).

a) \(r_1=10\,\text{cm}\), \(h_1=6\,\text{cm}\), \(V_1=200\pi\,\text{cm}^3\) b) \(r_2=6\,\text{cm}\), \(h_2=10\,\text{cm}\), \(V_2=120\pi\,\text{cm}^3\) c) \(5:3\)

- Stelle ein Verhältnis aus den zueinander passenden Höhen und Radien auf. - Welche Volumenformel gilt für den gefüllten kleinen Kegel? - Setze den konkreten Wert für \(h\) erst ein, nachdem du die allgemeine Funktion gefunden hast.

1. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{r}{h}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Daher ist \(r(h)=\frac{3}{5}h\). 2. Das Flüssigkeitsvolumen ist \(V(h)=\frac{1}{3}\pi r(h)^2h\). 3. Einsetzen ergibt \(V(h)=\frac{3\pi}{25}h^3\). 4. Für \(h=5\,\text{cm}\) gilt \(V(5)=15\pi\,\text{cm}^3\).

a) \(r(h)=\frac{3}{5}h\) b) \(V(h)=\frac{3\pi}{25}h^3\) c) \(V(5)=15\pi\,\text{cm}^3\)

- Prüfe jede Angabe einzeln mit der Zeichenregel; gehe nicht davon aus, dass alle Angaben falsch sind. - Trenne die Angaben zur Ellipse von der Angabe zur Körperhöhe. - Überlege beim hinteren Rand, ob Mara die vorgegebene Linienart beachtet hat.

1. Der Grundkreisdurchmesser ist \(10\,\text{cm}\). Die große Ellipsenachse mit \(10\,\text{cm}\) ist daher richtig. 2. Die kleine Ellipsenachse ist halb so lang wie die große und muss \(5\,\text{cm}\) statt \(2{,}5\,\text{cm}\) messen. 3. Die Körperhöhe bleibt in voller Länge. Die Strecke vom Mittelpunkt zur Spitze mit \(8\,\text{cm}\) ist daher richtig. 4. Der hintere Teil des Grundkreisrandes ist verdeckt und muss gestrichelt statt durchgezogen gezeichnet werden.

Richtig sind die große Ellipsenachse mit \(10\,\text{cm}\) und die Strecke vom Mittelpunkt zur Spitze mit \(8\,\text{cm}\). Falsch sind die kleine Ellipsenachse und der hintere Ellipsenbogen. Korrekt sind: kleine Ellipsenachse \(5\,\text{cm}\); hinterer Ellipsenbogen gestrichelt.

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Kegels? - Überlege, wie du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen kannst. - Um die Mantelfläche zu berechnen, benötigst du zuerst die Länge der Mantellinie \(s\). - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Kegels.

1. Berechnung der Körperhöhe \(h\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot r^2} = \frac{3 \cdot 120}{\pi \cdot 3{,}5^2} \approx 9{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\) mit dem Satz des Pythagoras: \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 9{,}3544^2} \approx 9{,}99\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\) mit der Formel \(M = \pi \cdot r \cdot s\): \(M = \pi \cdot 3{,}5 \cdot 9{,}9877\dots \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

a) Die Körperhöhe beträgt \(h \approx 9{,}35\,\text{cm}\). b) Die Mantelfläche beträgt \(M \approx 109{,}82\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Radius, Höhe und Volumen zusammen? - Achte beim Umstellen der Formel darauf, dass am Ende eine Wurzel gezogen werden muss, um \(r\) zu erhalten. - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Kegels zusammen? - Welche Hilfsgröße musst du berechnen, um den Mantel des Kegels bestimmen zu können?

1. Berechnung des Radius \(r\) durch Umstellen der Volumenformel \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\): \(r^2 = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot h} = \frac{3 \cdot 450}{\pi \cdot 15} = \frac{90}{\pi} \approx 28{,}65\). Daraus folgt \(r = \sqrt{28{,}6479} \approx 5{,}35\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantellinie \(s\): \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5{,}3523^2 + 15^2} \approx 15{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O = G + M = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\): \(G = 90{,}00\,\text{cm}^2\) und \(M \approx 267{,}80\,\text{cm}^2\). Somit ergibt sich \(O \approx 357{,}80\,\text{cm}^2\).

a) Der Radius beträgt \(r \approx 5{,}35\,\text{cm}\). b) Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt \(O \approx 357{,}80\,\text{cm}^2\).

- Welche rechtwinklige Figur entsteht im Axialschnitt aus Körperhöhe und Radiusdifferenz? - Verlängere die Mantellinien des Stumpfes bis zu einer gemeinsamen Spitze. - Nutze bei den ähnlichen Kegeln das Verhältnis entsprechender Radien und Mantellinien. - Welche Differenz zweier bekannter Mantelflächen ergibt den Lampenschirm?

1. Im Axialschnitt entsteht für die Mantellinie \(s\) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(21\,\text{cm}\) und \(35\,\text{cm}-15\,\text{cm}=20\,\text{cm}\). Daher ist \(s=\sqrt{21^2+20^2}\,\text{cm}=29\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+29}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\). Daraus folgt \(7x=3x+87\) und somit \(x=21{,}75\,\text{cm}\). Die Mantellinie des großen Kegels beträgt \(50{,}75\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche des Stumpfes ist die Differenz der beiden Kegelmantelflächen: \(M=\pi\cdot35\cdot50{,}75\,\text{cm}^2-\pi\cdot15\cdot21{,}75\,\text{cm}^2=1450\pi\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(M\approx4555{,}31\,\text{cm}^2\).

Für den Lampenschirm werden ungefähr \(4555{,}31\,\text{cm}^2\) Mantelmaterial benötigt.

- Wandle die beiden Durchmesser zunächst in Radien um. - Welche zwei ähnlichen Kegel erhältst du durch Verlängern der Seitenlinien? - Setze das Verhältnis der Radien mit dem Verhältnis der zugehörigen Kegelhöhen in Beziehung. - Vergiss nach der Volumendifferenz die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter nicht.

1. Die Radien sind \(16\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). 2. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{x}{x+28}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\). Daraus folgt \(x=84\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(112\,\text{cm}\) hoch. 3. Das Volumen des Stumpfes ist die Differenz der Kegelvolumina: \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot16^2\cdot112\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot12^2\cdot84\,\text{cm}^3=\frac{16576}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 4. Numerisch ist \(V\approx17358{,}35\,\text{cm}^3=17{,}35835\,\text{l}\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet beträgt das Fassungsvermögen \(17{,}4\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen beträgt ungefähr \(17{,}4\,\text{l}\).

- Welche entsprechenden Radien und Körperhöhen gehören zu den beiden ähnlichen Kegeln? - Der große Kegel besteht aus Stumpf und Ergänzungskegel; wie hängen deshalb ihre Höhen zusammen? - Vergleiche am Ende die beiden Rechenwege auf der Ebene des exakten Ergebnisses.

1. Für die ähnlichen Axialschnittdreiecke gilt \(\frac{x}{r_2}=\frac{x+h}{r_1}\), also \(\frac{x}{4}=\frac{x+6}{8}\). 2. Daraus folgt \(8x=4x+24\), also \(x=6\,\text{cm}\). Der große Kegel hat damit die Körperhöhe \(12\,\text{cm}\). 3. Es ist \(V_{\text{groß}}=\frac{1}{3}\pi\cdot8^2\cdot12=256\pi\,\text{cm}^3\) und \(V_{\text{klein}}=\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot6=32\pi\,\text{cm}^3\). 4. Daher ist \(V=224\pi\,\text{cm}^3\approx703{,}72\,\text{cm}^3\). 5. Direkt eingesetzt ergibt die Stumpfformel \(V=\frac{\pi\cdot6}{3}(8^2+8\cdot4+4^2)=2\pi\cdot112=224\pi\,\text{cm}^3\). Beide Wege stimmen überein.

a) \(x=6\,\text{cm}\) b) \(V=224\pi\,\text{cm}^3\approx703{,}72\,\text{cm}^3\) c) Die direkte Stumpfformel ergibt ebenfalls \(224\pi\,\text{cm}^3\).

- Welche der angegebenen Formeln enthält die gesuchte Körperhöhe unmittelbar? - Welche beiden Längen bilden im Axialschnitt zusammen mit \(s\) ein rechtwinkliges Dreieck? - Aus welchen drei Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche zusammen?

1. Aus der Volumenformel folgt \(h=\frac{3V}{\pi(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}=\frac{3\cdot65\pi}{\pi(25+10+4)}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 2. Im Axialschnitt entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(h=5\,\text{cm}\) und \(r_1-r_2=3\,\text{cm}\). Daher ist \(s=\sqrt{5^2+3^2}\,\text{cm}=\sqrt{34}\,\text{cm}\approx5{,}83\,\text{cm}\). 3. Der Oberflächeninhalt besteht aus beiden Kreisflächen und dem Mantel: \(O=\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi(r_1+r_2)s\). 4. Damit ist \(O=\pi(25+4+7\sqrt{34})\,\text{cm}^2\approx219{,}34\,\text{cm}^2\).

a) \(h=5\,\text{cm}\) b) \(s\approx5{,}83\,\text{cm}\) c) \(O\approx219{,}34\,\text{cm}^2\)

- Welche drei Längen bilden in einem Axialschnitt des Kegels ein rechtwinkliges Dreieck? - Bestimme die Mantellinie, bevor du eine Oberflächenformel verwendest. - Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantelfläche.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=4\,\text{cm}\) ab. 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}\,\text{cm}=5\,\text{cm}\). 3. Die Grundfläche ist \(G=\pi r^2=9\pi\,\text{cm}^2\), die Mantelfläche \(M=\pi rs=15\pi\,\text{cm}^2\). 4. Somit ist \(O=G+M=24\pi\,\text{cm}^2\).

\(s=5\,\text{cm}\) \(O=24\pi\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden Strecken bilden zusammen mit der Mantellinie ein rechtwinkliges Dreieck? - Für eine offene Partykappe wird nur die Mantelfläche benötigt. - Runde die Fläche erst nach der vollständigen Berechnung.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=7\,\text{cm}\) und \(h=18\,\text{cm}\) ab. 2. Die Mantellinie ist \(s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{7^2+18^2}\,\text{cm}=\sqrt{373}\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche beträgt \(M=\pi rs=7\pi\sqrt{373}\,\text{cm}^2\approx424{,}720\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet werden \(424{,}7\,\text{cm}^2\) Karton benötigt.

\(s=\sqrt{373}\,\text{cm}\approx19{,}3\,\text{cm}\) \(M\approx424{,}7\,\text{cm}^2\)

- Welche Strecke bleibt bei der Drehung als Achse fest? - Welcher Abstand von der Achse wird beim Drehen zum Kreisradius? - Welche Seite des Dreiecks überstreicht die Mantelfläche? - Welche typischen Darstellungsregeln gelten für Kreisflächen und verdeckte Linien im Schrägbild?

1. Durch die Drehung um \(AB\) entsteht ein gerader Kreiskegel. Die Drehachse wird zur Körperhöhe, also \(h=AB=6\,\text{cm}\). Der Abstand \(AC=4\,\text{cm}\) von der Achse wird zum Grundkreisradius \(r\). Die Hypotenuse \(BC\) erzeugt die Mantelfläche und entspricht der Mantellinie \(s\). 2. Mit dem Satz des Pythagoras ist \(s=\sqrt{6^2+4^2}\,\text{cm}=2\sqrt{13}\,\text{cm}\approx7{,}21\,\text{cm}\). 3. In einem korrekten Schrägbild erscheint der Grundkreis als Ellipse, die Spitze liegt über dem Mittelpunkt der Grundellipse, und der verdeckte hintere Teil des Grundkreises wird gestrichelt dargestellt.

a) Es entsteht ein gerader Kreiskegel mit \(h=6\,\text{cm}\), \(r=4\,\text{cm}\) und \(s=BC\). b) \(s=2\sqrt{13}\,\text{cm}\approx7{,}21\,\text{cm}\). c) Grundkreis als Ellipse; Spitze über dem Mittelpunkt; verdeckter hinterer Grundkreisbogen gestrichelt.

- Welche besondere Lage hat die Achse eines geraden Kegels zur Grundfläche? - Ordne zum markierten Winkel im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete und Ankathete zu. - Welche trigonometrische Beziehung verbindet genau diese beiden Katheten? - Verwende für das Volumen den ungerundeten Höhenwert.

1. Bei einem geraden Kreiskegel steht die Achse durch die Spitze \(S\) und den Grundkreismittelpunkt \(O\) senkrecht auf der Grundfläche. Der Radius \(OB\) liegt in der Grundfläche; deshalb gilt \(OS\perp OB\). 2. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) und den Winkel \(52^\circ\) bei \(B\) ab. Im rechtwinkligen Dreieck gilt \(\tan52^\circ=\frac{h}{4}\). Somit ist \(h=4\tan52^\circ\,\text{cm}\approx5{,}1\,\text{cm}\). 3. Mit dem ungerundeten Wert der Körperhöhe ergibt sich \(V=\frac13\pi\cdot4^2\cdot4\tan52^\circ\,\text{cm}^3\approx85{,}8\,\text{cm}^3\).

a) \(OS\) steht als Kegelachse senkrecht auf der Grundfläche und damit auf \(OB\). b) \(h\approx5{,}1\,\text{cm}\) c) \(V\approx85{,}8\,\text{cm}^3\)

- Betrachte eine Hälfte des Axialschnitts. - Welche Kathete liegt in der Grundfläche und welche steht senkrecht darauf? - Welche trigonometrische Beziehung verbindet diese beiden Katheten mit dem gesuchten Winkel?

1. In einer Hälfte des Axialschnitts entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=11\,\text{cm}\). 2. Für den Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche gilt \(\tan\alpha=\frac{h}{r}=\frac{11}{5}\). 3. Daher ist \(\alpha=\arctan\left(\frac{11}{5}\right)\approx65{,}6^\circ\).

\(\alpha\approx65{,}6^\circ\)

- Wandle Durchmesser in Radien und Liter in Kubikzentimeter um. - Bezeichne die unbekannte Stumpfhöhe und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Welche Beziehung liefert die Ähnlichkeit der beiden Kegel zwischen diesen Höhen und den Radien? - Drücke das Zielvolumen als Differenz zweier Kegelvolumina aus.

1. Die Radien betragen \(11\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\), das Zielvolumen ist \(1500\,\text{cm}^3\). 2. Sei \(h\) die gesuchte Stumpfhöhe und \(x\) die Höhe des kleineren ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+h}=\frac{7}{11}\). Damit ist \(11x=7x+7h\), also \(x=\frac{7}{4}h\) und \(x+h=\frac{11}{4}h\). 3. Die Volumendifferenz der beiden Kegel ist \(1500=\frac{1}{3}\pi\cdot11^2\cdot\frac{11}{4}h-\frac{1}{3}\pi\cdot7^2\cdot\frac{7}{4}h\). 4. Daraus wird \(1500=\frac{247}{3}\pi h\), also \(h=\frac{4500}{247\pi}\,\text{cm}\approx5{,}799\,\text{cm}\). 5. Gerundet ist die Schale \(5{,}8\,\text{cm}\) tief.

Die Schale muss ungefähr \(5{,}8\,\text{cm}\) tief sein.

- Bestimme zuerst den Radius der Wasseroberfläche in halber Vasenhöhe. - Verlängere den gefüllten Teil gedanklich bis zur Spitze eines Kegels. - Welche Höhenbeziehung folgt aus dem Verhältnis von unterem und oberem Radius des Wasserkörpers? - Rechne die Volumendifferenz am Ende von Kubikzentimetern in Liter um.

1. Die Radien betragen unten \(6\,\text{cm}\) und oben \(10\,\text{cm}\). In halber Höhe ändert sich der Radius linear auf \(r_f=6\,\text{cm}+\frac{10-6}{30}\cdot15\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 2. Der Wasserkörper ist also ein Kegelstumpf mit den Radien \(6\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) sowie der Höhe \(15\,\text{cm}\). Verlängert man ihn nach unten bis zur Spitze, gilt für die Kegelhöhen \(\frac{x}{x+15}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\). Daraus folgt \(x=45\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(60\,\text{cm}\) hoch. 3. Das Wasservolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot8^2\cdot60\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot45\,\text{cm}^3=740\pi\,\text{cm}^3\approx2324{,}78\,\text{cm}^3\). 4. Damit befinden sich ungefähr \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser in der Vase.

In der Vase befinden sich ungefähr \(2{,}32\,\text{l}\) Wasser.

- Beginne mit den Radien und ergänze den Stumpf zu zwei ähnlichen Kegeln. - Nutze das Radiusverhältnis, um die Höhen der ergänzten Kegel zu bestimmen. - Für die Mantellinie des Stumpfes hilft der Axialschnitt mit der Radiusdifferenz. - Übertrage dasselbe Ähnlichkeitsverhältnis auf die Mantellinien, bevor du ihre Mantelflächen subtrahierst.

1. Die Radien sind oben \(14\,\text{cm}\) und unten \(10\,\text{cm}\). Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{x}{x+24}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(x=60\,\text{cm}\); der große Kegel ist \(84\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Eimervolumen ist \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot14^2\cdot84\,\text{cm}^3-\frac{1}{3}\pi\cdot10^2\cdot60\,\text{cm}^3=3488\pi\,\text{cm}^3\approx10\,957{,}88\,\text{cm}^3\). 3. Das entspricht ungefähr \(10{,}9579\,\text{l}\), also gerundet \(11{,}0\,\text{l}\). 4. Die Mantellinie des Stumpfes ist \(s=\sqrt{24^2+(14-10)^2}\,\text{cm}=\sqrt{592}\,\text{cm}\approx24{,}33\,\text{cm}\). 5. Sei \(y\) die Mantellinie des kleinen ergänzten Kegels. Aus \(\frac{y}{y+s}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\) folgt \(y=\frac{5}{2}s\) und für den großen Kegel \(y+s=\frac{7}{2}s\). 6. Die Mantelfläche des Eimers ist \(M=\pi\cdot14\cdot\frac{7}{2}s-\pi\cdot10\cdot\frac{5}{2}s=24\pi s\approx1834{,}52\,\text{cm}^2\). 7. Mit der Bodenfläche \(100\pi\,\text{cm}^2\) ergibt sich \(A=24\pi\sqrt{592}\,\text{cm}^2+100\pi\,\text{cm}^2\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx11{,}0\,\text{l}\) b) \(A\approx2148{,}68\,\text{cm}^2\)

- Bezeichne den unbekannten Radius und die Höhe des kleineren ergänzten Kegels mit Variablen. - Nutze die Ähnlichkeit, um beide Kegelhöhen in Abhängigkeit vom unbekannten Radius auszudrücken. - Setze anschließend die Differenz der beiden Kegelvolumina gleich dem gegebenen Volumen. - Prüfe am Ende, welche algebraische Lösung im geometrischen Kontext möglich ist.

1. Sei \(x\) die Höhe des kleinen ergänzten Kegels. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{x}{x+6}=\frac{4}{r}\). Damit ist \(x=\frac{24}{r-4}\) und \(x+6=\frac{6r}{r-4}\). 2. Das Stumpfvolumen ist die Differenz der beiden Kegelvolumina: \(703{,}7=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot\frac{6r}{r-4}-\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot\frac{24}{r-4}\). 3. Wegen \(r^3-4^3=(r-4)(r^2+4r+16)\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(703{,}7=2\pi(r^2+4r+16)\). 4. Damit gilt \(r^2+4r+16=\frac{703{,}7}{2\pi}\). Die positive Lösung der entstehenden quadratischen Gleichung ist \(r\approx7{,}9999\,\text{cm}\); die negative Lösung ist als Radius unzulässig. 5. Auf eine Dezimale gerundet ist \(r=8{,}0\,\text{cm}\).

Der Radius der größeren Kreisfläche beträgt ungefähr \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Vergleiche den gefüllten kleinen Kegel mit dem ganzen Trichter. - Wie hängen Radius und Höhe bei diesen beiden ähnlich geformten Kegeln zusammen? - Stelle zuerst das Volumen in Abhängigkeit von \(h\) auf und betrachte die halbe Füllung erst danach.

1. Wegen der Ähnlichkeit gilt \(\frac{r}{h}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\), also \(r(h)=\frac{1}{3}h\). 2. Damit ist \(V(h)=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2h=\frac{\pi}{27}h^3\). 3. Für \(h=9\,\text{cm}\) gilt \(V(9)=\frac{\pi}{27}\cdot9^3\,\text{cm}^3=27\pi\,\text{cm}^3\). 4. Das maximale Volumen ist \(V(18)=216\pi\,\text{cm}^3\). Die Hälfte beträgt \(108\pi\,\text{cm}^3\). 5. Aus \(\frac{\pi}{27}h^3=108\pi\) folgt \(h^3=2916\) und damit \(h=\sqrt[3]{2916}\,\text{cm}\approx14{,}3\,\text{cm}\).

a) \(V(h)=\frac{\pi}{27}h^3\) b) \(V(9)=27\pi\,\text{cm}^3\) c) \(h\approx14{,}3\,\text{cm}\)