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- Suche eine Potenz von \(5\), die \(125\) ergibt. - Der gesuchte Logarithmus ist der zugehörige Exponent.

Weil \(5^3=125\), gilt \(\log_5 125=3\).

\(3\)

- Suche die beiden benachbarten Zweierpotenzen, zwischen denen \(6\) liegt. - Die zugehörigen Exponenten begrenzen den Wert des Logarithmus.

Es gilt \(2^2=4<6<8=2^3\). Daher liegt \(\log_2 6\) zwischen \(2\) und \(3\).

\(2<\log_2 6<3\)

- Schreibe \(\frac{1}{25}\) als Potenz zur Basis \(5\). - Welcher Exponent ergibt genau diesen Wert?

1. Es gilt \(\frac{1}{25}=5^{-2}\). 2. Daher ist \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\).

\(-2\)

- Welche Potenz der jeweiligen Basis ergibt das Argument? - Wie kannst du \(\frac{1}{9}\) beziehungsweise \(0{,}1\) als Potenz der jeweiligen Basis schreiben? - Beachte in c), dass der Faktor \(4\) außerhalb des Logarithmus steht.

1. Da \(2^7=128\), gilt \(\log_2(128)=7\). 2. Da \(3^{-2}=\frac{1}{9}\), gilt \(\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2\). 3. Da \(10^{-1}=0{,}1\), ist \(\log_{10}(0{,}1)=-1\). Damit ergibt sich \(4\log_{10}(0{,}1)=-4\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(-4\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um das Argument zu erhalten? - Erinnere dich daran, wie man Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten schreibt. - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Potenz ausdrücken? - Was ist das Ergebnis eines Logarithmus, wenn das Argument 1 ist?

1. Bestimmung des Exponenten \(x\) für \(6^x = 216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\log_6(216) = 3\). 2. Anwendung der Logarithmenseigenschaft für das Argument \(1\): Da \(5^0 = 1\), gilt \(\log_5(1) = 0\). 3. Umformung des Dezimalbruchs in eine Potenz zur Basis \(2\): \(0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\). Somit ist \(\log_2(0{,}25) = -2\). 4. Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise: \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}} = 10^{0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}(\sqrt{10}) = 0{,}5\).

a) \(3\) b) \(0\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandelt. - Welche Zahl hoch drei ergibt 125? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung einer Potenz? - Kannst du die Zahl 9 als eine Potenz der Basis 3 schreiben? - Beachte, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

Die Definition \(\log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a\) wird auf jede Teilaufgabe angewendet: 1. Für a): \(x^3 = 125\). Da \(5^3 = 125\), ist \(x = 5\). 2. Für b): \(2^{-4} = x\). Dies entspricht \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für c): \(9^x = 3\). Da \(9 = 3^2\), gilt \((3^2)^x = 3^1\), also \(3^{2x} = 3^1\). Daraus folgt \(2x = 1\), also \(x = 0{,}5\). 4. Für d): \(x^{-2} = \frac{1}{16}\). Dies bedeutet \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}\), woraus \(x^2 = 16\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ist \(x = 4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 0{,}0625\) c) \(x = 0{,}5\) d) \(x = 4\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus verschwindet? - Achte darauf, welche Zahl die Basis und welche das Ergebnis der Potenz ist. - Bei Wurzeln als Basis hilft es, diese als Potenz mit gebrochenem Exponenten zu schreiben.

1. Anwendung der Definition \(\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a\). 2. Für \(\log_4 x = -2\): Berechnung von \(x = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für \(\log_x 64 = 3\): Aufstellen der Potenzgleichung \(x^3 = 64\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 4\). 4. Für \(\log_{\sqrt{5}} x = 4\): Berechnung von \(x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25\). 5. Für \(\log_{\frac{1}{3}} 27 = x\): Aufstellen der Gleichung \((\frac{1}{3})^x = 27\). Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), folgt \(3^{-x} = 3^3\), also \(x = -3\).

1) \(x=\frac{1}{16}=0{,}0625\) 2) \(x=4\) 3) \(x=25\) 4) \(x=-3\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie hängen die Zahlen 16 und 4 als Potenzen derselben Basis zusammen? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt.

1. Zur Lösung von a): Anwendung der Definition \(\log_2(x) = -4 \Leftrightarrow 2^{-4} = x\). Berechnung von \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Zur Lösung von b): Anwendung der Definition \(\log_b(0{,}01) = -2 \Leftrightarrow b^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(b^2 = 100\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich \(b = 10\). 3. Zur Lösung von c): Setze \(\log_{16}(4) = y\). Dann gilt \(16^y = 4\). Da \(16 = 4^2\), folgt \((4^2)^y = 4^1\), also \(4^{2y} = 4^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(2y = 1\), also \(y = 0{,}5\). 4. Zur Lösung von d): Anwendung der Definition \(\log_5(\sqrt{125}) = y \Leftrightarrow 5^y = \sqrt{125}\). Da \(125 = 5^3\), ist \(\sqrt{125} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{1{,}5}\). Somit ist \(y = 1{,}5\).

a) \(x = \frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) b) \(b = 10\) c) \(0{,}5\) d) \(y = 1{,}5\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet die Basis eines Logarithmus anschaulich? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_x(b) = c \Leftrightarrow x^c = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^3 = 125\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Für b): Gleichung \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel ergibt \(x = \sqrt[5]{32} = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(x^2 = 100\) folgt. Da die Basis positiv sein muss, ergibt sich \(x = 10\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\)

- Wie ist der Logarithmus als Umkehroperation zur Potenzierung definiert? - Was bedeutet \(\log_a b=c\) als Potenzgleichung? - Welche Werte sind als Basis eines Logarithmus zulässig? - Kannst du Dezimalzahlen als Brüche oder Zehnerpotenzen schreiben?

1. Aus \(\log_2x=-3\) folgt \(x=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Aus \(\log_x81=4\) folgt \(x^4=81\). Da die Basis \(x\) positiv sein muss, ist \(x=3\). 3. Aus \(\log_{0{,}1}100=x\) folgt \((10^{-1})^x=10^2\). Damit gilt \(-x=2\), also \(x=-2\). 4. Das Argument ist \(x=\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}=0{,}03125\).

1) \(x=\frac{1}{8}=0{,}125\) 2) \(x=3\) 3) \(x=-2\) 4) \(x=\frac{1}{32}=0{,}03125\)

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben? - Welche Bedeutung hat ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten darstellen? - Überlege dir, welche Hochzahl \(x\) die Gleichung \(2^x = \dots\) lösen würde.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b(a) = x \iff b^x = a\). Für den ersten Wert gilt \(2^5 = 32\), daraus folgt \(\log_2(32) = 5\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}\). Somit ist \(\log_2(2^{-3}) = -3\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\log_2(2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}\). 4. Kombination von Bruch- und Wurzelregeln: \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(\log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\).

1) \(5\) 2) \(-3\) 3) \(\frac{1}{3}\) 4) \(-0{,}5\)

- Suche zwei aufeinanderfolgende ganzzahlige Exponenten, deren Potenzen das jeweilige Argument einschließen. - Wie verändern sich Potenzen bei einer Basis größer als \(1\), wenn der Exponent wächst? - Bei einem Argument kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein.

1. Es gilt \(3^2=9\) und \(3^3=27\). Wegen \(9<20<27\) folgt \(2<\log_3(20)<3\). 2. Es gilt \(2^{-2}=0{,}25\) und \(2^{-1}=0{,}5\). Wegen \(0{,}25<0{,}3<0{,}5\) folgt \(-2<\log_2(0{,}3)<-1\). 3. Es gilt \(10^2=100\) und \(10^3=1000\). Wegen \(100<500<1000\) folgt \(2<\log_{10}(500)<3\).

a) \(2<\log_3(20)<3\) b) \(-2<\log_2(0{,}3)<-1\) c) \(2<\log_{10}(500)<3\)

- Wie kannst du den Logarithmus als Potenzgleichung schreiben? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf den Wert einer Potenz aus? - Wie lässt sich eine Potenz mit einem Stammbruch als Exponenten als Wurzel schreiben? - Welchen Wert hat eine von null verschiedene Basis beim Exponenten null?

1. Mit \(\log_a b=c\iff b=a^c\) wird jeweils das Argument bestimmt. 2. Für a) gilt \(b=0{,}5^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}=0{,}125\). 3. Für b) gilt \(b=2^{-5}=\frac{1}{32}=0{,}03125\). 4. Für c) gilt \(b=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\). 5. Für d) gilt \(b=11^0=1\).

a) \(b=0{,}125\) b) \(b=\frac{1}{32}=0{,}03125\) c) \(b=2\) d) \(b=1\)

- Überlege dir bei jedem Logarithmus: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Kannst du Brüche als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Gibt es eine allgemeine Regel für den Logarithmus von 1 zu einer beliebigen Basis? - Vielleicht hilft es, die Potenzreihen der Zahlen 2, 3, 5 und 7 kurz im Kopf durchzugehen.

1. Für \(\log_2 128\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(2^x = 128\). Da \(2^7 = 128\), folgt \(x = 7\). 2. Für \(\log_5 \frac{1}{25}\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(5^x = \frac{1}{25}\). Da \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Für \(\log_3 243\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(3^x = 243\). Da \(3^5 = 243\), folgt \(x = 5\). 4. Für \(\log_9 1\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(9^x = 1\). Da \(9^0 = 1\), folgt \(x = 0\). 5. Für \(\log_7 343\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(7^x = 343\). Da \(7^3 = 343\), folgt \(x = 3\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(5\) d) \(0\) e) \(3\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Basis muss mit dem gegebenen Exponenten das jeweilige Argument ergeben? - Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Schreibe jeweils \(\log_b y=z\) als \(b^z=y\). 2. Für a) gilt \(b^2=144\). Wegen \(b>0\) ist \(b=12\). 3. Für b) gilt \(b^{-3}=\frac{1}{27}\), also \(b^3=27\) und damit \(b=3\). 4. Für c) gilt \(b^3=216\), also \(b=6\). 5. Für d) gilt \(b^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}\), also \(b=5\).

a) \(b=12\) b) \(b=3\) c) \(b=6\) d) \(b=5\)

- Schreibe jede Logarithmusgleichung als Potenzgleichung. - Wie wirken sich ein negativer Exponent und der Exponent \(0{,}5\) auf die Potenz aus? - Prüfe bei jeder gefundenen Basis die Bedingungen \(a>0\) und \(a\neq1\).

1. Verwende jeweils die Definition \(\log_a(x)=y\iff a^y=x\). 2. a) \(a^4=16\), also \(a=2\). 3. b) \(a^{-2}=0{,}01=\frac{1}{100}\), also \(a^2=100\) und wegen \(a>0\) gilt \(a=10\). 4. c) \(a^{0{,}5}=3\), also \(\sqrt a=3\) und damit \(a=9\). 5. d) \(a^{-1}=2\), also \(\frac1a=2\) und damit \(a=0{,}5\).

a) \(a=2\) b) \(a=10\) c) \(a=9\) d) \(a=0{,}5\)

- Suche Potenzen der jeweiligen Basis, die das Argument einschließen. - Für Argumente kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein. - Vergleiche anschließend die Exponenten der beiden benachbarten Potenzen.

1. Wegen \(2^4=16<25<32=2^5\) liegt \(\log_2 25\) zwischen \(4\) und \(5\). 2. Wegen \(3^{-3}=\frac{1}{27}<\frac{1}{10}<\frac{1}{9}=3^{-2}\) liegt \(\log_3\left(\frac{1}{10}\right)\) zwischen \(-3\) und \(-2\). 3. Wegen \(10^{-2}=0{,}01<0{,}05<0{,}1=10^{-1}\) liegt \(\log_{10}(0{,}05)\) zwischen \(-2\) und \(-1\).

a) Zwischen \(4\) und \(5\) b) Zwischen \(-3\) und \(-2\) c) Zwischen \(-2\) und \(-1\)

- Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Zahl ist jeweils das Argument des Logarithmus? - Wie kannst du eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bewirkt ein negativer Exponent?

1. Nach der Definition ist die Basis hoch dem Logarithmuswert gleich dem Argument. 2. Für a) gilt \(x=10^5=100\,000\). 3. Für b) gilt \(x=0{,}1^{-3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=1000\). 4. Für c) gilt \(x=4^{1{,}5}=4^{\frac{3}{2}}=8\).

a) \(x=100\,000\) b) \(x=1000\) c) \(x=8\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege dir, welche Zahl hoch die rechte Seite die Zahl im Logarithmus ergibt. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den gesuchten Wert?

1. Umformung der Logarithmengleichung \(\log_x b = c\) in die Potenzform \(x^c = b\). 2. Teilaufgabe a): \(x^4 = 625 \implies x = \sqrt[4]{625} = 5\). 3. Teilaufgabe b): \(x^{-5} = \frac{1}{32} \implies \frac{1}{x^5} = \frac{1}{32} \implies x^5 = 32 \implies x = 2\). 4. Teilaufgabe c): \(x^{-4} = 0{,}0001 \implies \frac{1}{x^4} = \frac{1}{10000} \implies x^4 = 10\,000 \implies x = 10\). 5. Teilaufgabe d): \(x^1 = 6 \implies x = 6\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen, Potenzen und Wurzeln. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^n = a\) nach \(b\) auflösen? - Was bewirkt ein Bruch als Exponent? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus: \(\log_b y = x \iff b^x = y\). 2. Teilaufgabe a): \(b^3 = 343 \implies b = \sqrt[3]{343} = 7\). 3. Teilaufgabe b): \(b^{-2} = \frac{1}{9} \implies \frac{1}{b^2} = \frac{1}{9} \implies b^2 = 9 \implies b = 3\) (da die Basis \(b > 0\) sein muss). 4. Teilaufgabe c): \(b^{\frac{1}{3}} = 2 \implies \sqrt[3]{b} = 2 \implies b = 2^3 = 8\). 5. Teilaufgabe d): \(b^{-1} = 0{,}125 \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{8} \implies b = 8\).

a) \(b = 7\) b) \(b = 3\) c) \(b = 8\) d) \(b = 8\)

- Welche Potenz der jeweiligen Basis ergibt das Argument? - Schreibe Brüche und Wurzeln bei Bedarf als Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten. - Achte bei der Basis \(10\) darauf, die Dezimalzahl als Zehnerpotenz zu schreiben.

1. Da \(2^9=512\), gilt \(\log_2 512=9\). 2. Wegen \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) gilt \(\log_3\frac{1}{27}=-3\). 3. Da \(0{,}01=10^{-2}\), gilt \(\log_{10}0{,}01=-2\). 4. Wegen \(4=16^{\frac{1}{2}}\) gilt \(\log_{16}4=\frac{1}{2}=0{,}5\). 5. Wegen \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\) gilt \(\log_5\sqrt[3]{5}=\frac{1}{3}\).

a) \(9\) b) \(-3\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\) e) \(\frac{1}{3}\)

- Wie kannst du jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Forme anschließend das gesamte Argument als Potenz der jeweiligen Logarithmusbasis um. - Bei einem Kehrwert hilft ein negativer Exponent.

1. Es gilt \(\sqrt[3]{16}=(2^4)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{4}{3}\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{125}=(5^3)^{\frac{1}{4}}=5^{\frac{3}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. Es gilt \(\frac{1}{\sqrt{27}}=27^{-\frac{1}{2}}=(3^3)^{-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{3}{2}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{3}{2}=-1{,}5\). 4. Es gilt \(\sqrt[5]{0{,}1}=(10^{-1})^{\frac{1}{5}}=10^{-\frac{1}{5}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{1}{5}=-0{,}2\).

a) \(\frac{4}{3}\) b) \(0{,}75\) c) \(-1{,}5\) d) \(-0{,}2\)

- Überlege dir, welche Potenz der Basis gerade noch kleiner und welche gerade schon größer als die Zahl im Logarithmus ist. - Denke daran, dass negative Exponenten zu Brüchen oder Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 führen. - Was bedeutet die Definition des Logarithmus für die Beziehung zwischen Basis, Exponent und Ergebnis?

1. Für \(\log_3 80\): Da \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\) ist, folgt aus \(27 < 80 < 81\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 2. Für \(\log_2 0{,}7\): Da \(2^{-1} = 0{,}5\) und \(2^0 = 1\) ist, folgt aus \(0{,}5 < 0{,}7 < 1\), dass der Wert zwischen \(-1\) und 0 liegt. 3. Für \(\log_4 70\): Da \(4^3 = 64\) und \(4^4 = 256\) ist, folgt aus \(64 < 70 < 256\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 4. Für \(\log_{10} 500\): Da \(10^2 = 100\) und \(10^3 = 1000\) ist, folgt aus \(100 < 500 < 1000\), dass der Wert zwischen 2 und 3 liegt.

a) zwischen 3 und 4 b) zwischen \(-1\) und 0 c) zwischen 3 und 4 d) zwischen 2 und 3

- Suche ganzzahlige Potenzen der jeweiligen Basis, die das Argument einschließen. - Für Argumente kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein. - Übertrage die Reihenfolge der Potenzen auf die zugehörigen Exponenten.

1. Wegen \(5^{-3}=0{,}008<0{,}03<0{,}04=5^{-2}\) gilt \(-3<\log_5 0{,}03<-2\). 2. Wegen \(8^2=64<100<512=8^3\) gilt \(2<\log_8 100<3\). 3. Wegen \(2^1=2<2{,}5<4=2^2\) gilt \(1<\log_2 2{,}5<2\). 4. Wegen \(10^{-3}=0{,}001<0{,}002<0{,}01=10^{-2}\) gilt \(-3<\log_{10}0{,}002<-2\).

a) \(-3<\log_5 0{,}03<-2\) b) \(2<\log_8 100<3\) c) \(1<\log_2 2{,}5<2\) d) \(-3<\log_{10}0{,}002<-2\)

- Forme die Logarithmusgleichungen in Potenzgleichungen um. - Welche Zahl hoch \(3\) ergibt \(216\)? - Was bedeutet der Exponent \(-3\) für eine Potenz? - Bei Exponent \(1\) kannst du die Basis unmittelbar ablesen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^3=216\), also \(b=6\). 3. b) \(b^{-3}=0{,}125=\frac18\). Damit ist \(b^3=8\) und \(b=2\). 4. c) \(b^1=5\), also \(b=5\).

a) \(b=6\) b) \(b=2\) c) \(b=5\)

- Übersetze jede Logarithmusgleichung in die zugehörige Potenzgleichung. - Wie lässt sich ein Exponent von \(0{,}5\) als Wurzel deuten? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}04\) gegebenenfalls als Bruch. - Beachte bei geraden Potenzen die Bedingung \(b>0\) für Logarithmusbasen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^{0{,}5}=10\), also \(\sqrt b=10\) und damit \(b=100\). 3. b) \(b^{-4}=\frac1{81}\), also \(b^4=81\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=3\). 4. c) \(b^{-2}=0{,}04=\frac1{25}\), also \(b^2=25\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=5\).

a) \(b=100\) b) \(b=3\) c) \(b=5\)

- Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichungen in die Form \(b^c = a\) umzuschreiben. - Wenn die Basis gesucht ist, kannst du die entsprechende Wurzel ziehen. - Wenn der Exponent gesucht ist, versuche beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Dezimalzahlen wie \(0{,}5\) können oft einfacher als Brüche wie \(\frac{1}{2}\) betrachtet werden, um Wurzelbeziehungen zu erkennen.

1. Anwendung der Definition \(2^5 = x\): Berechnung ergibt \(x = 32\). 2. Umformung in die Potenzform \(x^4 = 81\): Da die Basis positiv sein muss, folgt aus \(3^4 = 81\), dass \(x = 3\). 3. Bestimmung des Exponenten für \(4^y = \frac{1}{64}\): Wegen \(64 = 4^3\) ist \(\frac{1}{64} = 4^{-3}\), also \(y = -3\). 4. Lösung von \(9^x = 3\): Da \(3 = \sqrt{9} = 9^{0{,}5}\), ist \(x = 0{,}5\) bzw. \(x = \frac{1}{2}\). 5. Umformung des Terms: \(\sqrt{1000} = \sqrt{10^3} = (10^3)^{0{,}5} = 10^{1{,}5}\). Der Logarithmus zur Basis 10 ergibt \(y = 1{,}5\) bzw. \(y = \frac{3}{2}\).

a) \(x = 32\) b) \(x = 3\) c) \(y = -3\) d) \(x = 0{,}5\) e) \(y = 1{,}5\)

- Welche beiden benachbarten Potenzen von \(3\) schließen \(50\) ein? - Was muss das für den gesuchten Exponenten bedeuten? - Nutze die Überschlagsprüfung, bevor du das Taschenrechnerergebnis akzeptierst.

1. Es gilt \(3^3=27\) und \(3^4=81\). Wegen \(27<50<81\) muss \(3<\log_3 50<4\) gelten. 2. Mit dem Basiswechsel erhält man \(\log_3 50=\frac{\log_{10}50}{\log_{10}3}\approx3{,}5609\), also gerundet \(3{,}56\). 3. Der Wert \(4{,}61\) liegt nicht im zuvor bestimmten Intervall und ist daher nicht plausibel.

a) \(3<\log_3 50<4\) b) \(\log_3 50\approx3{,}56\) c) \(4{,}61\) ist nicht plausibel und falsch.

- Bestimme zunächst jeden der beiden Logarithmen einzeln über eine passende Potenz. - Setze die beiden Werte erst danach in den gesamten Term ein.

1. Wegen \(3^2=9\) gilt \(\log_3(9)=2\). 2. Wegen \(5^3=125\) gilt \(\log_5(125)=3\). 3. Damit ist \(2\log_3(9)-\log_5(125)=2\cdot2-3=1\).

\(1\)

- Dein Taschenrechner muss nicht direkt einen Logarithmus zur Basis \(7\) anbieten. - Welche Basiswechselformel kannst du mit \(\log_{10}\) verwenden? - Bei der Rückprobe setzt du den gerundeten Logarithmuswert wieder als Exponenten ein.

1. Mit dem Basiswechsel gilt \(\log_7(30)=\frac{\log_{10}(30)}{\log_{10}(7)}\approx1{,}74787\). 2. Auf drei Dezimalstellen gerundet ist \(x\approx1{,}748\). 3. Die Rückprobe ergibt \(7^{1{,}748}\approx30{,}008\). Das liegt sehr nahe bei \(30\) und bestätigt den gerundeten Wert.

\(\log_7(30)\approx1{,}748\); Rückprobe: \(7^{1{,}748}\approx30{,}008\)

- Zwischen welchen zwei einfachen Potenzen von \(3\) liegt \(20\)? - Was sagt diese Einordnung über den möglichen Logarithmuswert aus? - Verwende erst danach den Taschenrechner für die genauere Berechnung.

1. Es gilt \(3^2=9<20<27=3^3\). Daher muss \(2<\log_3(20)<3\) gelten. 2. Der Wert \(4{,}73\) liegt außerhalb dieses Intervalls und kann deshalb nicht stimmen. 3. Mit dem Basiswechsel ergibt sich \(\log_3(20)=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(3)}\approx2{,}72683\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist der richtige Wert \(2{,}73\).

a) Weil \(3^2<20<3^3\), muss der Logarithmus zwischen \(2\) und \(3\) liegen. b) \(\log_3(20)\approx2{,}73\)

- Forme jede Logarithmusgleichung zunächst in die entsprechende Potenzgleichung um. - Achte darauf, ob die gesuchte Größe im Argument, im Exponenten oder in der Basis steckt. - Welche zusätzlichen Bedingungen muss eine Logarithmusbasis erfüllen? - Prüfe bei der Gleichung mit variabler Basis, welche Lösungen der Potenzgleichung als Logarithmusbasis zulässig sind.

1. Aus \(\log_2(x+10)=6\) folgt \(x+10=2^6=64\), also \(x=54\). 2. Logarithmieren zur Basis \(10\) und Potenzieren mit der Basis \(10\) sind Umkehroperationen. Daher gilt \(x+5=8\) und somit \(x=3\). 3. Aus \(\log_4(x)=-2\) folgt \(x=4^{-2}=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 4. Aus \(\log_x(81)=4\) folgt \(x^4=81\). Algebraisch erfüllen \(x=3\) und \(x=-3\) diese Potenzgleichung. Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) bleibt \(x=3\).

a) \(x=54\) b) \(x=3\) c) \(x=0{,}0625\) oder \(x=\frac{1}{16}\) d) \(x=3\)

- Kannst du das Argument als Potenz der Basis schreiben? - Manchmal hilft es, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln und diese dann zu kürzen. - Denke an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. - Wie wirken sich Brüche im Argument auf das Vorzeichen des Logarithmus aus?

1. Berechnung von \(\log_2(128)\): Da \(2^7 = 128\), ist das Ergebnis \(7\). 2. Zusammenhang zwischen \(9\) und \(3\): Da \(\sqrt{9} = 9^{0{,}5} = 3\), ist \(\log_9(3) = 0{,}5\). 3. Umrechnung des Dezimalbruchs: \(0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}\). Somit ist \(\log_5(0{,}008) = -3\). 4. Kombination von Bruch und Wurzel: \(\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{0{,}5}} = 10^{-0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -0{,}5\).

a) \(7\) b) \(0{,}5\) c) \(-3\) d) \(-0{,}5\)

- Versuche, die Zahlen im Logarithmus als Potenzen der jeweiligen Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreibt. - Welchen Wert hat ein Logarithmus immer, wenn das Argument 1 ist? - Vergleiche die Ergebnisse am Ende auf dem Zahlenstrahl.

1. Berechnung von \(P\): \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), daher ist \(\log_3(3^{-2}) = -2\). Somit ist \(P = -2\). 2. Berechnung von \(Q\): \(\sqrt{8} = 8^{0{,}5} = (2^3)^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\). Daher ist \(\log_2(2^{1{,}5}) = 1{,}5\). Somit ist \(Q = 1{,}5\). 3. Berechnung von \(R\): Da jede positive Basis hoch 0 den Wert 1 ergibt (\(5^0 = 1\)), ist \(\log_5(1) = 0\). Somit ist \(R = 0\). 4. Vergleich der Werte: Es gilt \(-2 < 0 < 1{,}5\). 5. Ordnung: \(P < R < Q\).

Die Werte sind \(P = -2\), \(Q = 1{,}5\) und \(R = 0\). Die Reihenfolge lautet: \(P < R < Q\).

- Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Wie kannst du jede Logarithmusgleichung als Potenzgleichung schreiben? - Prüfe bei einer unbekannten Basis, welche Lösungen nach den Basisbedingungen zulässig bleiben.

1. Aus \(\log_2(x-4)=5\) folgt \(x-4=2^5=32\), also \(x=36\). 2. Aus \(\log_{x+2}(49)=2\) folgt \((x+2)^2=49\). Damit ist \(x+2=7\) oder \(x+2=-7\). Für die Basis gilt \(x+2>0\) und \(x+2\neq1\); deshalb bleibt nur \(x=5\). 3. Aus \(\log_{0{,}2}(x)=-3\) folgt \(x=0{,}2^{-3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}=125\). 4. Aus \(\log_x\left(\frac{1}{100}\right)=-2\) folgt \(x^{-2}=\frac{1}{100}\), also \(x^2=100\). Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) ist \(x=10\).

1) \(x=36\) 2) \(x=5\) 3) \(x=125\) 4) \(x=10\)

- Wende zuerst die Definition des Logarithmus an, um die Logarithmus-Schreibweise loszuwerden. - Kannst du den Dezimalbruch im Exponenten als gewöhnlichen Bruch schreiben? - Wie löst man eine Gleichung der Form \(x^{\frac{a}{b}} = c\)? - Welche Potenzregel kennst du, bei der das Ergebnis immer 1 ist, unabhängig von der Basis?

1. Zur Lösung von a): Die Gleichung \(\log_3(2x - 1) = 2\) ist äquivalent zu \(3^2 = 2x - 1\). Berechnung von \(9 = 2x - 1\), daraus folgt \(10 = 2x\) und somit \(x = 5\). 2. Zur Lösung von b): Die Gleichung \(\log_x(27) = 0{,}75\) bedeutet \(x^{0{,}75} = 27\). Da \(0{,}75 = \frac{3}{4}\), gilt \(x^{\frac{3}{4}} = 27\). Um \(x\) zu isolieren, potenziert man beide Seiten mit \(\frac{4}{3}\): \(x = 27^{\frac{4}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^4 = 3^4 = 81\). 3. Zur Lösung von c): Sei \(b > 0\) und \(b \neq 1\) eine beliebige Basis. Gesucht ist der Wert \(c = \log_b(1)\). Gemäß Definition gilt \(b^c = 1\). Da \(b^0 = 1\) gilt und die Exponentialfunktion \(b^x\) für jede zulässige Basis \(b>0\), \(b \neq 1\), streng monoton und damit eindeutig ist, ist \(c=0\) die einzige Möglichkeit. Somit ist \(\log_b(1) = 0\) für jede Basis \(b\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 81\) c) Begründung: Da \(b^0 = 1\) gilt und \(b^x\) für jede zulässige Basis eindeutig ist, folgt aus der Definition des Logarithmus direkt \(\log_b(1) = 0\).

- Wie lassen sich Brüche oder Wurzeln als Potenzen schreiben? - Könnte es helfen, beide Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sie denselben Exponenten haben? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenzierst? - Überlege, welche Rechenregeln für Potenzen dir hier weiterhelfen könnten.

1. Anwendung der Definition \(\log_x(b) = a \Leftrightarrow x^a = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^{-7} = \frac{1}{128}\). Umformung zu \(\frac{1}{x^7} = \frac{1}{128}\), also \(x^7 = 128\). Ziehen der siebten Wurzel ergibt \(x = 2\). 3. Für b): Gleichung \(x^{1{,}5} = 2\sqrt{2}\). Da \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) und \(2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\), folgt direkt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{\frac{3}{2}} = 27\). Umformung durch Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\): \(x = 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 2\) c) \(x = 9\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für eine Basis, die selbst ein Bruch ist? - Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten ausdrücken? - Vergleiche am Ende deine drei Ergebnisse sorgfältig.

1. Aus \(\log_x8=1{,}5\) folgt \(x^{1{,}5}=8\). Mit \(1{,}5=\frac{3}{2}\) ergibt sich \(x^{\frac{3}{2}}=2^3\), also \(x=4\). 2. Aus \(\log_{0{,}5}x=-3\) folgt \(x=0{,}5^{-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8\). 3. Aus \(\log_{10}\sqrt{10}=x\) folgt \(10^x=\sqrt{10}=10^{0{,}5}\), also \(x=0{,}5\). 4. Die drei Werte sind \(4\), \(8\) und \(0{,}5\). Daher ist \(0{,}5\) der kleinste Wert.

(1) \(x=4\) (2) \(x=8\) (3) \(x=0{,}5\) Kleinster Wert: \(0{,}5\)

- Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Prüfe bei einer Gleichung mit \(x^2\), ob mehrere algebraische Lösungen entstehen und ob ihre Logarithmusargumente zulässig sind. - Frage bei Teil 3, ob die Gleichung \(1^y=1\) einen eindeutig bestimmten Exponenten besitzt. - Erinnere dich: Eine zulässige Logarithmusbasis ist positiv und ungleich \(1\).

1. Umwandlung in die Potenzform: \(x^{\frac{1}{6}}=\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\), folgt \(x^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}\). Potenzieren mit 6 ergibt \(x=(2^{\frac{1}{2}})^6=2^3=8\). 2. Anwendung der Definition: \(x^2+2=3^3\), also \(x^2+2=27\). Damit ist \(x^2=25\), also \(x_1=5\) oder \(x_2=-5\). Das Argument \(x^2+2\) hat für beide Werte den positiven Wert \(27\); daher sind beide Lösungen zulässig. 3. Die Basis eines Logarithmus muss positiv und ungleich \(1\) sein. Bei der Basis \(1\) wäre \(1^y=1\) für jedes \(y\) erfüllt. Der Exponent und damit der Logarithmuswert wären nicht eindeutig bestimmt; deshalb ist die Basis \(1\) ausgeschlossen.

1) \(x=8\) 2) \(x\in\{-5;5\}\) 3) Die Basis \(1\) ist ausgeschlossen, weil \(1^y=1\) für jedes \(y\) gilt und der Logarithmuswert dadurch nicht eindeutig wäre.

- Denke an die Bedingungen für die Basis \(x\) und das Argument \(a\) eines Logarithmus. - Welche Werte darf eine Basis niemals annehmen? - Kann man den Logarithmus von jeder beliebigen Zahl bilden? - Stelle die Gleichung in die Form \(x = \dots\) um, indem du die entsprechende Wurzel ziehst oder potenzierst.

Die allgemeine Form \(\log_x(a) = a\) entspricht \(x^a = a\) mit den Bedingungen für die Basis \(x > 0\), \(x \neq 1\) und das Argument \(a > 0\). 1. Für \(a = 3\): \(x^3 = 3 \implies x = \sqrt[3]{3}\). Da \(\sqrt[3]{3} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a = 1\): \(x^1 = 1 \implies x = 1\). Da die Basis eines Logarithmus laut Definition ungleich \(1\) sein muss, gibt es hier keine gültige Lösung. 3. Für \(a = \frac{1}{4}\): \(x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \implies x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}\). Da \(\frac{1}{256} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 4. Für \(a = -1\): Das Argument des Logarithmus muss stets positiv sein (\(a > 0\)). Daher ist \(\log_x(-1)\) nicht definiert und es existiert keine Lösung.

a) \(x = \sqrt[3]{3}\) b) Keine Lösung, da die Basis \(x \neq 1\) sein muss. c) \(x = \frac{1}{256}\) d) Keine Lösung, da das Argument \(a > 0\) sein muss.

- Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Was ist \(\log_a(a^r)\) nach der Definition des Logarithmus? - Vereinfache Zähler und Nenner getrennt, bevor du den Bruch berechnest.

1. Im Zähler ist \(a^2\sqrt{a}=a^{\frac{5}{2}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{5}{2}})=\frac{5}{2}\). 2. Im Nenner ist \(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}\). 3. Somit ist \(x=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{4}=3{,}75\).

\(x=3{,}75\)

- Versuche, Argumente und Basen als Potenzen derselben Zahl darzustellen. - Wie kannst du Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen schreiben? - Vergleiche anschließend die Exponenten.

1. Da \(10^{-3}=0{,}001\), gilt \(\log_{10}(0{,}001)=-3\). 2. Es ist \(\sqrt[4]{1000}=\sqrt[4]{10^3}=10^{\frac{3}{4}}\). Daher gilt \(\log_{10}\sqrt[4]{1000}=\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. Mit \(0{,}5=2^{-1}\) und \(8=2^3\) folgt aus \((2^{-1})^x=2^3\), dass \(x=-3\) ist. 4. Es ist \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=2^{-\frac{1}{3}}\). Aus \((2^{-1})^x=2^{-\frac{1}{3}}\) folgt \(x=\frac{1}{3}\).

a) \(-3\) b) \(0{,}75=\frac{3}{4}\) c) \(-3\) d) \(\frac{1}{3}\)

- Kannst du das Argument jeweils als Potenz der Basis schreiben? - Bei Dezimalzahlen kann eine Umwandlung in einen Bruch helfen. - Vereinfache Wurzeln, bevor du den Logarithmus bestimmst.

1. Da \(7^2=49\), gilt a) \(2\). 2. Da \(7^{-1}=\frac{1}{7}\), gilt b) \(-1\). 3. Es ist \(0{,}125=\frac{1}{8}=2^{-3}\), also gilt c) \(-3\). 4. Es ist \(0{,}01=10^{-2}\), also gilt d) \(-2\). 5. Es ist \(\sqrt{64}=8=4^{1{,}5}\), also gilt e) \(1{,}5\).

a) \(2\) b) \(-1\) c) \(-3\) d) \(-2\) e) \(1{,}5\)

- Welche bekannte Potenz steckt jeweils unter der Wurzel oder im Nenner? - Wie kannst du Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen schreiben? - Stelle jedes vollständige Argument als eine Potenz der Logarithmusbasis dar.

1. Für a) ist \(\sqrt[4]{27}=3^{\frac{3}{4}}\), also \(\frac{3}{4}\). 2. Für b) ist \(\frac{1}{\sqrt[5]{8}}=2^{-\frac{3}{5}}\), also \(-\frac{3}{5}\). 3. Für c) ist \(\sqrt[3]{100}=10^{\frac{2}{3}}\), also \(\frac{2}{3}\). 4. Für d) ist \(25\sqrt{5}=5^{\frac{5}{2}}\), also \(\frac{5}{2}\). 5. Für e) ist \(\frac{1}{49\sqrt[3]{7}}=7^{-\frac{7}{3}}\), also \(-\frac{7}{3}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(-\frac{3}{5}\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(\frac{5}{2}\) e) \(-\frac{7}{3}\)

- Schreibe Dezimalzahlen zuerst als Potenzen einer passenden Basis. - Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Nutze bei Quotienten die Potenzregel für gleiche Basen.

1. Für a) ist \(0{,}125=2^{-3}\), also \(\sqrt{0{,}125}=2^{-\frac{3}{2}}\). Der Wert ist \(-1{,}5\). 2. Für b) ist \(0{,}04=5^{-2}\), also \(\sqrt[4]{0{,}04}=5^{-\frac{1}{2}}\). Der Wert ist \(-0{,}5\). 3. Für c) ist \(\frac{10}{\sqrt[5]{100}}=10^{1-\frac{2}{5}}=10^{\frac{3}{5}}\). Der Wert ist \(0{,}6\). 4. Für d) ist \(\frac{\sqrt{27}}{9}=3^{\frac{3}{2}-2}=3^{-\frac{1}{2}}\). Der Wert ist \(-0{,}5\). 5. Für e) ist \(\sqrt[3]{32}=2^{\frac{5}{3}}=4^{\frac{5}{6}}\). Der Wert ist \(\frac{5}{6}\).

a) \(-1{,}5\) b) \(-0{,}5\) c) \(0{,}6\) d) \(-0{,}5\) e) \(\frac{5}{6}\)

- Kannst du für jeden Wert einzeln abschätzen, wie groß er ungefähr ist? - Welche Hochzahl muss die Basis jeweils haben, um in die Nähe des Zielwertes zu kommen? - Reicht es aus, die benachbarten ganzen Zahlen zu kennen, um die Werte zu vergleichen?

1. Intervall für \(x = \log_2 40\): Vergleich mit \(2^5 = 32\) und \(2^6 = 64\). Da \(32 < 40 < 64\), gilt \(5 < x < 6\). 2. Intervall für \(y = \log_3 80\): Vergleich mit \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\). Da \(27 < 80 < 81\), gilt \(3 < y < 4\). 3. Intervall für \(z = \log_5 120\): Vergleich mit \(5^2 = 25\) und \(5^3 = 125\). Da \(25 < 120 < 125\), gilt \(2 < z < 3\). 4. Vergleich der Intervalle: Da \(x\) größer als \(5\) ist, während \(y\) kleiner als \(4\) und \(z\) kleiner als \(3\) sind, ist \(x\) der größte Wert.

\(x = \log_2 40\) ist der größte Wert, da \(5 < x < 6\), während \(3 < y < 4\) und \(2 < z < 3\) gilt.

- Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt die Zahl \(5\)? - Wie kannst du die Gleichung \(10^x=5\) durch systematisches Eingrenzen lösen? - Verfeinere dein Intervall schrittweise von ganzen Zahlen zu Zehnteln und Hundertsteln. - Prüfe für die Rundung, auf welcher Seite der Mitte zwischen zwei Hundertsteln der gesuchte Exponent liegt.

1. Wegen \(10^0=1\) und \(10^1=10\) liegt \(\log_{10}5\) zwischen \(0\) und \(1\). 2. Es gilt \(10^{0{,}6}\approx3{,}981\) und \(10^{0{,}7}\approx5{,}012\). Daher ist \(0{,}6<\log_{10}5<0{,}7\). 3. Weiter gilt \(10^{0{,}69}\approx4{,}898\) und \(10^{0{,}70}\approx5{,}012\). Somit ist \(0{,}69<\log_{10}5<0{,}70\). 4. Zur Rundung prüft man noch genauer: \(10^{0{,}698}\approx4{,}989\) und \(10^{0{,}699}\approx5{,}0003\). Also liegt der Wert zwischen \(0{,}698\) und \(0{,}699\). 5. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(\log_{10}5\approx0{,}70\).

\(\log_{10}5\approx0{,}70\)

- Was bedeutet \(\log_2 3 = x\) als Potenz geschrieben? - Suche zuerst die zwei ganzen Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Verwende die Potenzfunktion deines Taschenrechners, um dich dem Zielwert 3 anzunähern. - Wenn du ein Intervall wie \([1{,}5; 1{,}6]\) gefunden hast, welcher Wert liegt genau in der Mitte?

1. Startintervall bestimmen: Da \(2^1 = 2\) und \(2^2 = 4\), muss der Wert zwischen \(1\) und \(2\) liegen. 2. Schrittweise Verfeinerung (Zehntel): \(2^{1{,}5} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2{,}828\) und \(2^{1{,}6} \approx 3{,}031\). Das Intervall ist \([1{,}5; 1{,}6]\). 3. Schrittweise Verfeinerung (Hundertstel): \(2^{1{,}58} \approx 2{,}9897\) und \(2^{1{,}59} \approx 3{,}0105\). Das Intervall ist \([1{,}58; 1{,}59]\). 4. Prüfung der dritten Stelle: \(2^{1{,}584} \approx 2{,}9980\) und \(2^{1{,}585} \approx 3{,}0001\). Da der Wert sehr nah an \(1{,}585\) liegt, aber knapp darunter (da \(2^{1{,}585}\) minimal größer als \(3\) ist), liegt er im Intervall \([1{,}584; 1{,}585]\). 5. Gerundetes Ergebnis: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(1{,}58\).

\(\log_2 3 \approx 1{,}58\)

- Schreibe jede Logarithmusgleichung zunächst als passende Potenzgleichung. - Wenn die Basis gesucht ist, prüfe anschließend auch die Bedingungen an eine Logarithmusbasis. - Wenn der Logarithmuswert gesucht ist, versuche das Argument als Potenz der Logarithmusbasis darzustellen. - Variablen wie \(k\) ändern nichts an der Definition des Logarithmus.

1. Aus \(\log_x1000=3\) folgt \(x^3=1000\), also \(x=10\). 2. Aus \(\log_4x=2{,}5\) folgt \(x=4^{2{,}5}=4^2\sqrt4=32\). 3. Aus \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=9=3^2\) folgt \(x=-2\). 4. Es gilt \(\sqrt{7^5}=7^{\frac{5}{2}}\). Daher ist \(x=\frac{5}{2}=2{,}5\). 5. Aus \(\log_b b^{k-1}=x\) folgt direkt \(x=k-1\).

a) \(x=10\) b) \(x=32\) c) \(x=-2\) d) \(x=2{,}5\) e) \(x=k-1\)

- Suche für Argument und Logarithmusbasis eine gemeinsame Grundpotenz. - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Fasse Potenzen mit derselben Basis zusammen, bevor du den Logarithmus auswertest.

1. \(\sqrt8=2^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{3}{4}\). 2. \(\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{6}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{1}{6}\). 3. \(\frac{\sqrt[3]{2}}{4}=2^{\frac{1}{3}-2}=2^{-\frac{5}{3}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{5}{3}\). 4. \(\frac{100}{\sqrt[4]{10}}=10^{2-\frac{1}{4}}=10^{\frac{7}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{7}{4}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(-\frac{5}{3}\) d) \(\frac{7}{4}\)

- Welche Potenzgleichung gehört jeweils zur gegebenen Logarithmusgleichung? - Welche Lösungen entstehen bei der quadratischen Gleichung in b)? - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Werte positive Logarithmusargumente ergeben.

1. Aus \(\log_3(4x-5)=2\) folgt \(4x-5=3^2=9\). Damit ist \(x=3{,}5\); das Argument ist dann positiv. 2. Aus \(\log_{10}(x^2+19)=2\) folgt \(x^2+19=100\), also \(x^2=81\). Damit sind \(x=9\) und \(x=-9\) möglich; für beide ist das Argument positiv.

a) \(L=\{3{,}5\}\) b) \(L=\{-9;9\}\)