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- Wie kannst du die Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen ablesen? Achte auf den y-Achsenabschnitt und die Steigung. - Sobald du die Gleichung der Ableitung \(f'(x)\) hast, wie findest du dann die allgemeine Stammfunktion \(f(x)\)? Denk an die Integrationskonstante \(C\). - Wie hilft dir der gegebene Punkt \(P(2 \mid 1)\), um den genauen Wert von \(C\) zu bestimmen?

1. Zuerst wird die Funktionsgleichung der Ableitung \(f'\) aus dem Graphen abgelesen. Da es sich um eine Gerade handelt, bestimmen wir den y-Achsenabschnitt \(n\) und die Steigung \(m\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(n = 2\). Aus dem Punkt \((0 \mid 2)\) und der Nullstelle \((4 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -0{,}5\) Somit lautet die Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -0{,}5x + 2\) 2. Um die Ausgangsfunktion \(f\) zu bestimmen, bilden wir die Stammfunktion durch Integration: \(f(x) = \int (-0{,}5x + 2)\,\mathrm{d}x = -0{,}25x^2 + 2x + C\) 3. Die Integrationskonstante \(C\) wird mithilfe des Punktes \(P(2 \mid 1)\) ermittelt. Dazu setzen wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein: \(f(2) = 1\) \(-0{,}25 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + C = 1\) \(-1 + 4 + C = 1\) \(3 + C = 1 \implies C = -2\) 4. Durch Einsetzen von \(C = -2\) erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

\(f(x) = -0{,}25x^2 + 2x - 2\)

- Nullstellen von \(f\) sind Stellen, an denen eine Stammfunktion waagerechte Tangenten haben kann. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f\) mit dem Steigen oder Fallen jedes Kandidaten. - Ein Kandidat muss beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Dort müssen mögliche Extremstellen einer Stammfunktion liegen. 2. Für \(-2<x<2\) gilt \(f(x)<0\). Daher muss eine Stammfunktion in diesem Intervall streng fallen. 3. Der rote Graph \(g\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) passende waagerechte Tangenten und fällt zwischen diesen Stellen. Der blaue Graph \(h\) steigt dort, der grüne Graph \(k\) besitzt die erforderlichen Extremstellen nicht. 4. Somit ist \(g\) der Graph einer Stammfunktion von \(f\).

Der rote Graph \(g\) ist der Graph einer Stammfunktion \(F\) von \(f\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie verändert sich die Steigung der ursprünglichen Funktion \(h\) an einem Hochpunkt bzw. an einem Tiefpunkt? - Beobachte den Graphen von \(h'\) an seinen Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse. Geht er von oben nach unten oder von unten nach oben?

1. Lokale Extremstellen der Funktion \(h\) befinden sich an den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(h'\), sofern dort ein Vorzeichenwechsel von \(h'\) stattfindet. 2. Dem Graphen entnimmt man die Nullstellen von \(h'\) bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An der Stelle \(x_1 = -2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Plus nach Minus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von oben nach unten). Ein Wechsel von einer positiven zu einer negativen Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Maximum hat. 4. An der Stelle \(x_2 = 2\) wechselt \(h'\) das Vorzeichen von Minus nach Plus (der Graph kreuzt die \(x\)-Achse von unten nach oben). Ein Wechsel von einer negativen zu einer positiven Steigung bedeutet, dass \(h\) dort ein lokales Minimum hat.

Die Funktion \(h\) hat bei \(x = -2\) ein lokales Maximum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(+\) nach \(-\)) und bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Vorzeichenwechsel von \(h'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Wo die Ableitung den Wert Null hat, hat die Funktion eine waagerechte Tangente. - Ein positiver Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) steigt. - Ein negativer Wert von \(f'\) bedeutet, dass der Graph von \(f\) fällt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 4\). Diese Stellen sind die Kandidaten für Extremstellen von \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichen von \(f'\): - Im Intervall \([-3; -2)\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. - Im Intervall \((-2; 4)\) ist \(f'(x) > 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. - Im Intervall \((4; 5]\) ist \(f'(x) < 0\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 3. Schlussfolgerung für den Verlauf: \(f\) hat bei \(x = -2\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt.

1. Ein möglicher Graph hat bei \(x = -2\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt. 2. Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-3; -2]\) streng monoton fallend, im Intervall \([-2; 4]\) streng monoton steigend und im Intervall \([4; 5]\) wieder streng monoton fallend.

- Vergleiche Nullstellen eines Graphen mit Extremstellen des anderen. - Prüfe zusätzlich, ob das Vorzeichen des möglichen \(f\)-Graphen zum Steigen und Fallen des möglichen \(F\)-Graphen passt. - Eine korrekte Zuordnung muss beide Kriterien erfüllen.

1. Graph a hat Nullstellen bei \(x=\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{3\pi}{2}\). 2. Graph b besitzt an diesen Stellen ein lokales Maximum beziehungsweise Minimum. Das passt zu \(F'=f\). 3. Zusätzlich ist Graph a für \(0<x<\frac{\pi}{2}\) positiv, während Graph b dort steigt. Auch dies bestätigt die Zuordnung. 4. Daher gehört Graph a zu \(f\) und Graph b zu \(F\).

Graph a: \(f\) Graph b: \(F\)

- Überlege dir zuerst, welchen Funktionstyp die Stammfunktion einer linearen Funktion hat. - Die Nullstellen von \(f\) geben dir Hinweise auf die Extremstellen von \(F\). - Achte auf das Vorzeichen von \(f\): Wo \(f\) positiv ist, muss \(F\) steigen. - Nutze die Bedingung \(F(2) = 0\), um die Lage des Graphen festzulegen.

1. Aus dem Graphen lässt sich \(f(x) = 0{,}5x - 1\) ablesen. 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + C\). 3. Aus \(F(2) = 0\) folgt \(0{,}25 \cdot 2^2 - 2 + C = 0\), also \(C = 1\). 4. Damit ist \(F(x) = 0{,}25x^2 - x + 1\). Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\), da \(f(2) = 0\) ist und \(f\) dort von Minus nach Plus wechselt.

Der Graph von \(F\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((2 \mid 0)\). Weitere Punkte sind zum Beispiel \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 1)\).

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen Stammfunktion und Integral zusammen? - Du kannst den Wert direkt bestimmen, ohne die Funktionsgleichung aufzustellen, indem du geometrische Flächeninhalte berechnest. - Achte darauf, ob Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

1. Die Differenz \(F(4) - F(1)\) entspricht dem bestimmten Integral \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Zerlegung der Fläche in Teilflächen zwischen dem Graphen und der x-Achse: - Von \(x=1\) bis \(x=3\) liegt ein Dreieck oberhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=2\) und Höhe \(h=2\). Inhalt: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x=3\) bis \(x=4\) liegt ein Dreieck unterhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=1\) und Höhe \(h=1\). Inhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ. 4. \(F(4) - F(1) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

Der Wert der Differenz beträgt \(F(4) - F(1) = 1{,}5\).

- Erinnere dich daran, dass \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) ist. - Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie hilft dir der Vorzeichenwechsel der Ableitung bei der Bestimmung der Art des Extremums?

1. Lokale Extremstellen einer Stammfunktion \(F\) liegen an den Nullstellen der Funktion \(f\), da \(F'(x) = f(x)\). 2. Ablesen der Nullstellen von \(f\): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_1 = 0\): Da \(f\) (die Ableitung von \(F\)) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, fällt \(F\) links von \(0\) und steigt rechts davon. Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Klassifizierung der Extremstelle bei \(x_2 = 4\): Da \(f\) das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, steigt \(F\) links von \(4\) und fällt rechts davon. Es liegt ein lokales Maximum vor.

Die Stammfunktion \(F\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Minimum und bei \(x = 4\) ein lokales Maximum. Die Begründung erfolgt über den Vorzeichenwechsel von \(f\) an diesen Stellen.

- Was weißt du über die Ableitungen einer Stammfunktion? - In welchem Zusammenhang stehen die Steigung von \(f\) und die Krümmung von \(F\)? - Suche im Graphen nach Punkten, an denen die Steigung von \(f\) null ist.

1. Eine Funktion \(F\) hat eine Wendestelle dort, wo ihre zweite Ableitung \(F''\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. 2. Da \(F' = f\) gilt, ist \(F'' = f'\). Somit entsprechen die Wendestellen von \(F\) den Extremstellen von \(f\). 3. Ablesen der Extremstellen von \(f\): Das lokale Minimum liegt bei \(x \approx -2{,}3\), das lokale Maximum bei \(x \approx 2{,}3\). 4. An diesen Stellen hat der Graph der Stammfunktion \(F\) seine Wendestellen.

Die Stammfunktion \(F\) besitzt Wendestellen bei \(x \approx -2{,}3\) und \(x \approx 2{,}3\). Dies liegt daran, dass die Extremstellen von \(f\) den Nullstellen von \(f'\) (und somit \(F''\)) entsprechen, was die Bedingung für Wendestellen von \(F\) ist.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten einer Funktion? - Wie kannst du am Graphen der Ableitung erkennen, ob die Originalfunktion steigt oder fällt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph der Ableitungsfunktion die x-Achse schneidet.

1. Da \(F'(x) = g(x)\), liegen die Extremstellen von \(F\) an den Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel. 2. Ablesen der Nullstellen von \(g\) aus der Grafik: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichenwechsels (VZW) von \(g\): - Bei \(x = -3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum. - Bei \(x = 0\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ. Dies entspricht einem VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv. Dies entspricht einem VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(F'\), also hat \(F\) dort ein lokales Minimum.

Lokale Minima bei \(x = -3\) und \(x = 3\); lokales Maximum bei \(x = 0\).

- Welche Beziehung besteht zwischen der Ableitung \(F'\) und der gegebenen Funktion \(f\)? - Betrachte das Vorzeichen von \(f\) im Intervall von \(0\) bis \(3\). - Was folgt aus diesem Vorzeichen für die Monotonie von \(F\)?

1. Im Intervall \([0;3]\) ist \(f(x)\geq0\) und im Inneren des Intervalls positiv. 2. Wegen \(F'=f\) ist \(F\) auf \([0;3]\) streng monoton steigend. 3. Aus \(F(0)=1\) folgt deshalb \(F(3)>1\).

Der Wert \(F(3)\) ist größer als \(1\), weil \(f\) auf \([0;3]\) nichtnegativ und im Inneren positiv ist und daher \(F\) dort streng steigt.

- Wie hängen die Krümmung einer Funktion \(F\) und das Steigungsverhalten ihrer Ableitung \(f\) zusammen? - In welchem Bereich des Graphen steigt die Kurve von links nach rechts an? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung von \(F\) und der ersten Ableitung von \(f\).

1. Eine Funktion \(F\) ist in einem Intervall linksgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung dort positiv ist: \(F''(x) > 0\). 2. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, folgt \(F''(x) = f'(x)\). Die Bedingung \(F''(x) > 0\) ist also gleichbedeutend mit \(f'(x) > 0\). 3. \(f'(x) > 0\) bedeutet grafisch, dass die Funktion \(f\) in diesem Intervall streng monoton steigt. 4. Dem Graphen entnimmt man, dass \(f\) im Intervall \((0; 2)\) streng monoton steigt (vom lokalen Minimum bei \(x=0\) zum lokalen Maximum bei \(x=2\)). 5. Daher ist jede Stammfunktion \(F\) im Intervall \((0; 2)\) linksgekrümmt.

Im Intervall \((0; 2)\) ist \(F\) linksgekrümmt, da die Funktion \(f\) dort streng monoton steigt und somit \(F''(x) = f'(x) > 0\) gilt.

- Welche Eigenschaft muss die Funktion \(f\) an einer Stelle haben, damit die Stammfunktion \(F\) dort ein Extremum besitzt? - Zähle die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse überquert. - Macht es für die Anzahl der Extremstellen einen Unterschied, ob der Graph die Achse von oben nach unten oder von unten nach oben schneidet?

1. Jede lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(F'(x) = f(x)\) mit einem Vorzeichenwechsel. 2. Aus dem Graphen lassen sich die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse ablesen. Diese liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -0{,}5\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2{,}5\). 3. An all diesen vier Stellen wechselt der Graph von \(f\) die Seite der \(x\)-Achse (von oberhalb nach unterhalb oder umgekehrt), was jeweils einen Vorzeichenwechsel bedeutet. 4. Da es genau vier solcher Nullstellen mit Vorzeichenwechsel gibt, besitzt jede Stammfunktion \(F\) genau vier lokale Extremstellen.

Jede Stammfunktion \(F\) besitzt 4 lokale Extremstellen, da die Funktion \(f\) im dargestellten Bereich 4 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel aufweist.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf das Integral? - Welche Werte musst du vom Graphen der Stammfunktion ablesen, um das bestimmte Integral zu berechnen? - Achte genau darauf, welchen der beiden Graphen du für die Bestimmung der Werte nutzen musst. - Überlege dir, was die untere und die obere Grenze des Integrals für die Berechnung bedeuten.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen aus dem Integral: \(a = 0\) und \(b = 3\). 2. Ablesen der Funktionswerte der Stammfunktion \(F\) an diesen Stellen vom Graphen \(G_F\): \(F(3) = 4\) und \(F(0) = 1\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x = F(3) - F(0)\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(4 - 1 = 3\).

\(3\)

- Wie hängen die Werte einer Stammfunktion mit dem Integral zusammen? - Betrachte die Funktionswerte von \(F\) an den Stellen \(-2\) und \(2\). - Was bedeutet es für das Integral, wenn die Stammfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat?

1. Integrationsgrenzen sind \(-2\) und \(2\). 2. Ablesen der Werte am Graphen \(G_F\): \(F(2) = 0\) und \(F(-2) = 0\). 3. Berechnung: \(F(2) - F(-2) = 0 - 0 = 0\).

\(0\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf die Ableitung? - Wo liegen im Allgemeinen die Kandidaten für Extremstellen einer Funktion? - Wie erkennst du an der Ableitungsfunktion (hier der Graph von \(h\)), ob eine Extremstelle ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist? Schau dir den Vorzeichenwechsel an.

1. Da \(H\) eine Stammfunktion von \(h\) ist, gilt \(H'(x) = h(x)\). Lokale Extremstellen von \(H\) können also nur dort liegen, wo \(h(x) = 0\) gilt. 2. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen von \(h\) bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\) ablesen. 3. Untersuchung von \(x_1 = 1\): Der Graph von \(h\) (und damit die Ableitung \(H'\)) wechselt an dieser Stelle das Vorzeichen von Plus nach Minus (VZW von \(+\) nach \(-\)). Daher besitzt \(H\) an der Stelle \(x = 1\) ein lokales Maximum. 4. Untersuchung von \(x_2 = 5\): Der Graph von \(h\) wechselt an dieser Stelle das Vorzeichen von Minus nach Plus (VZW von \(-\) nach \(+\)). Daher besitzt \(H\) an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Minimum.

Die Funktion \(H\) besitzt bei \(x = 1\) ein lokales Maximum, da \(h\) dort von positiv zu negativ wechselt, und bei \(x = 5\) ein lokales Minimum, da \(h\) dort von negativ zu positiv wechselt.

- Überlege zuerst, ob der Wert von \(\ln(3)\) positiv oder negativ ist. - Was sagt der Funktionswert einer Funktion \(f\) über die Steigung ihrer Stammfunktion \(F\) aus? - Wenn eine Funktion einen konstanten Wert hat, welche Form muss dann ihre Stammfunktion haben? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion: \(F'(x) = f(x)\).

1. Bestimmung der Funktionseigenschaften von \(f\): Da \(3 > 1\) ist, gilt \(\ln(3) > 0\). Die Funktion \(f(x) = \ln(3) \approx 1{,}1\) ist also eine positive konstante Funktion. 2. Ableitung der Eigenschaften der Stammfunktion \(F\): Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, muss die Steigung von \(F\) an jeder Stelle gleich \(\ln(3)\) sein. 3. Geometrische Interpretation: Eine Funktion mit konstanter positiver Steigung ist eine Gerade, die von links unten nach rechts oben verläuft (positive Steigung). 4. Auswahl des Graphen: Graph a) zeigt eine Gerade mit positiver Steigung, Graph b) eine Gerade mit negativer Steigung, Graph c) eine Parabel und Graph d) eine Kurve, die einem Logarithmus ähnelt. Somit ist Graph a) die richtige Wahl.

Graph a) ist richtig, da \(f(x) = \ln(3)\) konstant und positiv ist und eine Stammfunktion daher eine Gerade mit der konstanten positiven Steigung \(\ln(3)\) sein muss.

- Welchen Funktionstyp (Gerade, Parabel, etc.) erwartest du für die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Was kannst du über die Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle aussagen, an der die ursprüngliche Funktion \(f\) den Wert Null annimmt? - Untersuche den Vorzeichenwechsel von \(f\) an der Nullstelle. Was verrät dir das über die Art des Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) von \(F\)? - Vergleiche die Lage der Scheitelpunkte in den Abbildungen mit der berechneten Nullstelle der Funktion \(f\).

1. Berechnung der Nullstelle: Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) hat eine Nullstelle bei \(x = 2\). Da \(f\) die Ableitungsfunktion der Stammfunktion \(F\) ist (\(F' = f\)), muss \(F\) an der Stelle \(x = 2\) eine waagerechte Tangente und somit einen Extrempunkt besitzen. 2. Analyse der Monotonie: Für \(x < 2\) ist \(f(x) < 0\), was bedeutet, dass die Stammfunktion \(F\) in diesem Bereich fällt. Für \(x > 2\) ist \(f(x) > 0\), sodass \(F\) dort steigt. Dies impliziert, dass bei \(x = 2\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegen muss. 3. Bestimmung des Funktionstyps: Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist stets eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist. 4. Auswahl des Graphen: Nur Graph a) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt bei \(x = 2\).

Der richtige Graph ist a). Die Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine Parabel. Da die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) bei \(x = 2\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus aufweist, muss die Stammfunktion \(F\) an dieser Stelle ein lokales Minimum besitzen.

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel einer Ableitungsfunktion mit den Extrempunkten der Originalfunktion zusammen? - Was bedeutet es für das Monotonieverhalten einer Funktion, wenn ihre Ableitung in einem bestimmten Bereich positiv oder negativ ist? - An welchen Stellen einer Ableitungsfunktion liegen die Wendestellen der Originalfunktion? Denke an die Steigung der Ableitung.

1. Zusammenhang zwischen der Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\) und \(F''(x) = f'(x)\). 2. Untersuchung von Aussage a): Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Bei \(x = -2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus, was einem lokalen Minimum (Tiefpunkt) von \(F\) entspricht. Bei \(x = 2\) hat \(f\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus, was einem lokalen Maximum (Hochpunkt) von \(F\) entspricht. Aussage a) ist wahr. 3. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \ge 0\) und somit \(F'(x) \ge 0\). Daher ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend. Aussage b) ist falsch. 4. Untersuchung von Aussage c): Wendestellen von \(F\) entsprechen den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) hat, liegt dort eine Wendestelle von \(F\). Aussage c) ist wahr.

a) Wahr, da die Nullstellen von \(f\) mit den entsprechenden Vorzeichenwechseln die Extremstellen von \(F\) angeben: Tiefpunkt bei \(x = -2\), Hochpunkt bei \(x = 2\). b) Falsch, da \(f(x) \ge 0\) im Intervall \([-2; 2]\) gilt. Somit ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend. c) Wahr, da die Extremstellen von \(f\) den Wendestellen von \(F\) entsprechen. Da \(f\) bei \(x = 0\) einen Hochpunkt hat, liegt bei \(F\) an dieser Stelle eine Wendestelle vor.

- Überlege zuerst, in welcher mathematischen Beziehung die Stammfunktion \(F\) und die gegebene Ableitungsfunktion \(f\) zueinander stehen. - Welche Bedingungen müssen an die Ableitungsfunktion \(f\) erfüllt sein, damit die Stammfunktion \(F\) an einer Stelle eine Extremstelle besitzt? - Achte auf den Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von \(f\) an den Nullstellen, um zwischen einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum zu unterscheiden. - Welcher besondere Punkt auf dem Graphen der Ableitung \(f\) entspricht dem Wendepunkt der Stammfunktion \(F\)?

1. Zusammenhang zwischen \(F\) und \(f\): Die gegebene Funktion \(f\) ist die erste Ableitung der Stammfunktion \(F\), es gilt also \(F'(x) = f(x)\). Demnach ist die zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x)\). 2. Bestimmung der Extremstellen (Teilaufgabe a): - Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. - Bei \(x = -1\) wechselt der Graph von \(f\) von positiven zu negativen Werten (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = -1\) steigt und danach fällt. Somit hat \(F\) bei \(x = -1\) ein lokales Maximum. - Bei \(x = 3\) wechselt der Graph von \(f\) von negativen zu positiven Werten (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). Das bedeutet, dass \(F\) vor \(x = 3\) fällt und danach steigt. Somit hat \(F\) bei \(x = 3\) ein lokales Minimum. 3. Bestimmung des Wendepunkts (Teilaufgabe b): - Ein Wendepunkt von \(F\) liegt an den Stellen vor, an denen die zweite Ableitung \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Das entspricht genau den lokalen Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion \(f\). - Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt. Daher besitzt \(F\) bei \(x = 1\) einen Wendepunkt.

a) Lokales Maximum bei \(x = -1\) und lokales Minimum bei \(x = 3\). b) Wendepunkt bei \(x = 1\).

- Welche Beziehung gilt zwischen der Steigung von \(F\) und den Werten von \(f\)? - An welchen Stellen muss \(F\) wegen der Nullstellen von \(f\) waagerechte Tangenten besitzen? - Wie bestimmt das Vorzeichen von \(f\) die steigenden und fallenden Abschnitte von \(F\)? - Vergleiche diese Anforderungen mit den drei Kandidatengraphen.

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\). 2. Der Graph von \(f\) hat Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\). Daher muss \(F\) dort waagerechte Tangenten besitzen. 3. Für \(x<0\) ist \(f>0\), für \(0<x<2\) ist \(f<0\), und für \(x>2\) ist \(f>0\). Deshalb steigt \(F\), fällt anschließend und steigt danach wieder. 4. Somit besitzt \(F\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=2\) ein lokales Minimum. 5. Nur Graph a zeigt genau dieses Verhalten. Daher ist Graph a eine mögliche Stammfunktion von \(f\).

Graph a ist eine mögliche Stammfunktion von \(f\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\)? - Wie verhalten sich die Funktionswerte einer streng monoton steigenden Funktion auf einem Intervall? - Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der die Ableitung \(f'\) die \(x\)-Achse schneidet und ihr Vorzeichen wechselt? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammen?

1. Untersuchung von Aussage a): Bei \(x = 0\) hat der Graph der Ableitungsfunktion \(G_{f'}\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus (da \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\)). Dies entspricht einem lokalen Tiefpunkt von \(G_f\). Die Aussage ist somit wahr. 2. Untersuchung von Aussage b): Im Intervall \([0; 4]\) gilt \(f'(x) \ge 0\). Daher ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend (zunehmend), nicht fallend. Die Aussage ist somit falsch. 3. Untersuchung von Aussage c): Da \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in (0; 3]\) gilt, ist \(f\) auf \([0; 3]\) streng monoton steigend, was \(f(3) > f(0)\) bedeutet. Mit \(f(0) = 2\) folgt \(f(3) > 2\). Die Aussage ist somit wahr. 4. Untersuchung von Aussage d): Ein Wendepunkt von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitung \(f'\) eine lokale Extremstelle besitzt. Da \(G_{f'}\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) aufweist, hat \(G_f\) bei \(x = 2\) eine Wendestelle. Die Aussage ist somit wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr

- Welche Beziehung besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Was muss die zugehörige Ableitung an den Extremstellen eines Graphen leisten? - Vergleiche die Vorzeichen eines Graphen mit den steigenden und fallenden Abschnitten des anderen.

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\); die Werte von \(f\) geben also die Steigung von \(F\) an. 2. Graph a besitzt bei \(x=-2\) einen lokalen Hochpunkt und bei \(x=2\) einen lokalen Tiefpunkt. An diesen Stellen muss die Ableitung von a null sein. 3. Graph b besitzt genau bei \(x=-2\) und \(x=2\) Nullstellen. 4. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt Graph a, während Graph b dort negativ ist. Außerhalb dieses Intervalls steigt Graph a, und Graph b ist positiv. 5. Damit ist Graph a eine Stammfunktion \(F\) und Graph b die zugehörige Funktion \(f\).

Graph a gehört zur Stammfunktion \(F\), Graph b zur Funktion \(f\).

- Wie bestimmt das Vorzeichen einer Funktion die Monotonie ihrer Stammfunktion? - Welche Extremstellen muss die Stammfunktion von \(f\) wegen der beiden Nullstellen besitzen? - Welche Art von Extremstelle muss die Stammfunktion von \(g\) bei \(x=1\) besitzen? - Vergleiche diese Bedingungen mit den vier Kandidatengraphen.

1. Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\). Sie ist außerhalb dieses Intervalls positiv und dazwischen negativ. Eine Stammfunktion muss daher vor \(0\) steigen, zwischen \(0\) und \(2\) fallen und danach wieder steigen. Das trifft auf Graph a zu. 2. Die Funktion \(g\) ist eine fallende Gerade mit Nullstelle bei \(x=1\). Sie ist links von \(1\) positiv und rechts davon negativ. Eine Stammfunktion muss daher bis \(x=1\) steigen und danach fallen. Das trifft auf Graph b zu. 3. Somit gehört a zu \(f\) und b zu \(g\).

Zu \(f\) gehört Graph a; zu \(g\) gehört Graph b.

- Welche Beziehung gilt zwischen \(F'\) und \(f\)? - Wie bestimmt das Vorzeichen von \(f\) die Monotonie von \(F\)? - Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel von \(f\) an einer Nullstelle für die Art eines Extremums von \(F\)? - Welche markante Stelle von \(f\) kann eine Wendestelle von \(F\) anzeigen? - Für Aussage (4): Reicht das Monotonieverhalten von \(F\) zum Vergleich der beiden Funktionswerte aus?

1. Es gilt \(F'=f\). 2. Auf \((-2;1)\) ist \(f>0\). Daher ist \(F\) auf \([-2;1]\) streng monoton steigend. Aussage (1) ist wahr. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum, kein Minimum. Aussage (2) ist falsch. 4. Bei \(x\approx2{,}1\) besitzt \(f\) ein lokales Minimum. Damit wechselt \(f'=F''\) dort das Vorzeichen; \(F\) hat eine Wendestelle. Aussage (3) ist wahr. 5. Auf \((1;3)\) gilt \(f<0\), also ist \(F\) dort streng monoton fallend. Deshalb gilt \(F(3)<F(1)\). Aussage (4) ist falsch.

(1) Wahr. (2) Falsch; bei \(x=1\) besitzt \(F\) ein lokales Maximum. (3) Wahr. (4) Falsch; es gilt \(F(3)<F(1)\).

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen einer Funktion für das Steigungsverhalten ihrer Stammfunktion? - Wenn eine Funktion in einem Bereich positiv ist, muss die Stammfunktion dort steigen oder fallen? - Vergleiche die Lage der Hoch- und Tiefpunkte in den Graphen I, II und III mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) die x-Achse schneidet.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): Aus dem Graphen \(G_f\) lässt sich ablesen, dass die Funktion \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, müssen die Extremstellen der Stammfunktion \(F\) bei den Nullstellen von \(f\) liegen. Somit muss \(F\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) lokale Extrema aufweisen. 2. Ausschluss von Graph II: Graph II besitzt lokale Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Da dies nicht mit den Nullstellen von \(f\) übereinstimmt, ist Graph II keine Stammfunktion von \(f\). 3. Untersuchung des Monotonieverhaltens für Graphen I und III: - Für \(x < 1\) verläuft der Graph \(G_f\) oberhalb der x-Achse (\(f(x) > 0\)). Daher muss die Stammfunktion \(F\) in diesem Intervall streng monoton steigend sein. - Graph I ist für \(x < 1\) streng monoton steigend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Hochpunkt). - Graph III ist für \(x < 1\) streng monoton fallend (er besitzt bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt). Dies widerspricht der Bedingung \(f(x) > 0\). 4. Ergebnis: Graph I stellt die korrekte Stammfunktion \(F\) dar.

a) Graph I stellt eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) dar. b) Graph II kommt nicht infrage, da seine lokalen Extrema bei \(x = 0\) und \(x = 2\) liegen, während die Nullstellen von \(f\) bei \(x = 1\) und \(x = 3\) liegen. Graph III kommt nicht infrage, da er für \(x < 1\) streng monoton fallend ist (Tiefpunkt bei \(x = 1\)), obwohl \(f(x) > 0\) in diesem Intervall gilt und die Stammfunktion daher dort streng monoton steigen müsste.

- Welche Beziehung besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Wie entscheidet der Vorzeichenwechsel von \(f\) über die Art eines Extremums von \(F\)? - Wie erhältst du die allgemeine Stammfunktion der gegebenen quadratischen Funktion? - Welche Information liefert \(P(0\mid1)\) für die additive Konstante?

1. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei den Nullstellen von \(f\), also bei \(x=-3\) und \(x=3\). 2. Bei \(x=-3\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv; daher hat \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x=3\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; dort hat \(F\) einen Hochpunkt. 3. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+C\). Aus \(F(0)=1\) folgt \(C=1\). 4. Damit ist \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+1\). 5. Es ist \(F(-3)=-2\) und \(F(3)=4\). Somit lauten die Extrempunkte \(T(-3\mid-2)\) und \(H(3\mid4)\), im Einklang mit Teil a).

a) Tiefpunkt bei \(x=-3\), Hochpunkt bei \(x=3\). b) \(F(x)=-\frac{1}{18}x^3+1{,}5x+1\) c) \(T(-3\mid-2)\) und \(H(3\mid4)\).

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Extremstellen einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion? - Wie spiegelt sich der Monotonieverlauf einer Funktion (steigend oder fallend) im Vorzeichen ihrer Ableitung wider? - Untersuche systematisch Paare von Graphen: Könnte ein Graph die Ableitung eines anderen Graphen sein? - Nutze markante Punkte wie Hoch-, Tief- und Nullstellen, um Vermutungen zu überprüfen.

1. **Zusammenhang zwischen \(f'\) und \(f\)**: An den lokalen Extremstellen einer Funktion besitzt ihre Ableitungsfunktion Nullstellen. - Graph B besitzt ein lokales Maximum bei \(x = -1\) und ein lokales Minimum bei \(x = 1\). - Graph A hat genau bei \(x = -1\) und \(x = 1\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. - Zudem ist Graph B in den Bereichen, in denen Graph A oberhalb der x-Achse verläuft (\(x < -1\) und \(x > 1\)), streng monoton steigend. Im Bereich \(-1 < x < 1\), in dem Graph A unterhalb der x-Achse verläuft, ist Graph B streng monoton fallend. - Daraus folgt: Graph A ist die Ableitung von Graph B. 2. **Zusammenhang zwischen \(f\) und \(F\)**: Ebenso müssen die Extremstellen der Stammfunktion \(F\) mit den Nullstellen der Funktion \(f\) übereinstimmen. - Graph B hat Nullstellen bei \(x \approx -1{,}73\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}73\). - Graph C besitzt genau an diesen Stellen Extremstellen: lokale Minima bei \(x \approx \pm 1{,}73\) und ein lokales Maximum bei \(x = 0\). - Der Monotonieverlauf von Graph C passt perfekt zum Vorzeichen von Graph B (z. B. ist Graph C für \(-1{,}73 < x < 0\) streng monoton steigend, während Graph B in diesem Intervall positiv ist). - Daraus folgt: Graph B ist die Ableitung von Graph C. 3. **Ausschluss von Graph D**: - Graph D hat Extremstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Da Graph D für \(x < -1\) fällt, müsste seine Ableitung dort negativ sein. Graph A ist dort jedoch positiv, sodass Graph A nicht die Ableitung von Graph D sein kann. - Wäre Graph D die Funktion \(f\), müsste seine Stammfunktion im Intervall \((-1{,}73; 0)\) streng monoton fallend sein, da Graph D dort negativ ist. Graph C steigt in diesem Intervall jedoch streng monoton. Somit kann auch Graph C nicht die Stammfunktion von Graph D sein.

Graph C gehört zur Stammfunktion \(F\), Graph B zur Funktion \(f\) und Graph A zur Ableitungsfunktion \(f'\); Graph D gehört nicht zum Trio, da sein Monotonieverlauf und seine Extremstellen nicht zu den Nullstellen und Vorzeichen der anderen Graphen passen.

- Nutze für Teil a den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von \(f\) und dem Monotonieverhalten einer Stammfunktion. - Achte an den Nullstellen von \(f\) darauf, in welche Richtung das Vorzeichen wechselt. - Drücke in Teil b die Änderung von \(F_1\) zwischen den beiden Stellen durch ein bestimmtes Integral aus. - Prüfe beim Auswerten des Integrals sorgfältig die Reihenfolge der Intervallgrenzen.

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokaler Hochpunkt von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von positiv zu negativ wechselt. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Für Teil b gilt \(F_1(0)-F_1(-2)=\int_{-2}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Eine Stammfunktion des Integranden ist \(A(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x^2+2x\). Damit ist \(\int_{-2}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x=A(0)-A(-2)=4\). 5. Also gilt \(3-F_1(-2)=4\), somit \(F_1(-2)=-1\).

a) \(x=1\) b) \(F_1(-2)=-1\)

- Verbinde das Vorzeichen von \(f\) mit dem Steigen oder Fallen einer Stammfunktion. - Bestimme in Teil b zunächst die ganze Stammfunktionsfamilie und nutze danach den gegebenen Punkt. - Für Teil c ist entscheidend, ob sich die Steigung von \(f\) links und rechts von \(x=0\) qualitativ ändert.

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Der Graph von \(f\) liegt für \(-2<x<2\) oberhalb der x-Achse und für \(x<-2\) sowie \(x>2\) unterhalb der x-Achse. Daher steigt \(F\) auf \([-2;2]\) streng und fällt auf \(( -\infty;-2]\) sowie \([2;\infty)\) streng. 2. Zu \(f(x)=4-x^2\) gehört die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=4x-\frac{1}{3}x^3+C\). 3. Aus \(F_1(3)=2\) folgt \(12-9+C=2\), also \(C=-1\). Damit ist \(F_1(x)=4x-\frac{1}{3}x^3-1\). 4. Für die Krümmung von \(F\) gilt \(F''=f'\). Der Graph von \(f\) steigt für \(x<0\) und fällt für \(x>0\); daher wechselt \(f'\) bei \(x=0\) von positiv zu negativ. 5. Somit wechselt \(F''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen. Jede Stammfunktion besitzt dort eine Wendestelle.

a) Steigend auf \([-2;2]\); fallend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\). b) \(F_1(x)=4x-\frac{1}{3}x^3-1\) c) Ja. Bei \(x=0\) wechselt \(F''=f'\) das Vorzeichen.

- Vergleiche das Vorzeichen von \(f\) mit dem Monotonieverhalten eines möglichen Stammfunktionsgraphen. - Extremstellen von \(f\) liefern Hinweise auf Nullstellen von \(f'\). - Die Steigung einer Stammfunktion an einer Stelle lässt sich unmittelbar über \(f\) bestimmen. - Für den Grenzwert von \(f'\) kannst du die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner vergleichen.

1. Graph b gehört zu \(f\), denn er hat bei \(x=0\) eine Nullstelle und die Funktionswerte bei \(x=1\) und \(x=-1\) passen zu \(f\). 2. Da \(f(x)<0\) für \(x<0\) und \(f(x)>0\) für \(x>0\), fällt jede Stammfunktion links von \(0\) und steigt rechts von \(0\). Daher gehört Graph a zu \(F\). 3. Somit gehört Graph c zu \(f'\). Dazu passt, dass \(f\) bei \(x=-1\) und \(x=1\) Extremstellen und \(f'\) dort Nullstellen besitzt. 4. Wegen \(F'=f\) ist die Steigung von \(F\) bei \(x=2\) gleich \(f(2)=\frac{6}{5}\). 5. Es gilt \(f'(x)=\frac{3-3x^2}{(x^2+1)^2}\). Der Nenner wächst vom Grad her stärker als der Zähler, daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty} f'(x)=0\). 6. Die waagerechte Asymptote des Graphen von \(f'\) lautet \(y=0\).

a) a: \(F\), b: \(f\), c: \(f'\) b) \(F'(2)=\frac{6}{5}\) c) \(\lim_{x\to\pm\infty} f'(x)=0\); Asymptote: \(y=0\)

- Überlege dir zuerst, welche Zusammenhänge zwischen den besonderen Punkten eines Graphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) und den Eigenschaften seiner Ableitungsfunktion (z. B. Nullstellen) bestehen. - Wie hängen das Steigungsverhalten einer Funktion (steigend oder fallend) und das Vorzeichen ihrer Ableitung (positiv oder negativ) zusammen? - Betrachte die Grade der Funktionen: Wenn eine Funktion ein Polynom vom Grad \(n\) ist, welchen Grad haben dann ihre Ableitung und ihre Stammfunktion? - Suche nach einem Graphen, der Hoch- oder Tiefpunkte besitzt, und prüfe, welcher der anderen Graphen an genau diesen Stellen die x-Achse schneidet.

1. Analyse der Zusammenhänge zwischen den Graphen: - Ein Extrempunkt eines Graphen entspricht einer Nullstelle seiner Ableitungsfunktion. - Ein fallender Bereich eines Graphen entspricht negativen Werten der Ableitungsfunktion. - Ein steigender Bereich eines Graphen entspricht positiven Werten der Ableitungsfunktion. 2. Zuordnung von Graph B und Graph C: - Graph B (eine Funktion 3. Grades) hat lokale Extrema bei \(x = 2\) (Maximum) und \(x = 6\) (Minimum). - Graph C (eine Parabel) hat genau bei \(x = 2\) und \(x = 6\) seine Nullstellen. - Im Intervall \(]2; 6[\) fällt Graph B, während Graph C negativ ist. Für \(x < 2\) und \(x > 6\) steigt Graph B, während Graph C positiv ist. - Daraus folgt: Graph C ist die Ableitung von Graph B. Somit ist Graph B die Stammfunktion \(F\) und Graph C die Funktion \(f\). 3. Zuordnung von Graph A und Graph C: - Graph C hat einen Tiefpunkt bei \(x = 4\). - Graph A (eine Gerade) hat bei \(x = 4\) eine Nullstelle. - Für \(x < 4\) fällt Graph C, während Graph A negative Werte annimmt. Für \(x > 4\) steigt Graph C, während Graph A positive Werte annimmt. - Daraus folgt: Graph A ist die Ableitung von Graph C. Da Graph C als \(f\) identifiziert wurde, ist Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\). 4. Ergebnis: - Graph A \(\rightarrow f'\) - Graph B \(\rightarrow F\) - Graph C \(\rightarrow f\)

Graph A gehört zu \(f'\); Graph B gehört zu \(F\); Graph C gehört zu \(f\).

- Welche mathematische Beziehung besteht zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Stammfunktion \(F\)? Überlege, welche Ableitung von \(F\) der Funktion \(f\) entspricht. - Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? Betrachte dazu den Verlauf des Graphen im gesuchten Intervall. - Woran erkennt man Extremstellen einer Funktion, wenn man den Graphen ihrer Ableitung vor sich hat? Achte besonders auf Nullstellen und deren Verhalten. - Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Steigungsverhalten ihrer ersten Ableitung zusammen? - Welche besonderen Punkte im Graphen der Ableitung entsprechen den Wendepunkten der ursprünglichen Funktion?

1. Identifikation der grundlegenden Beziehung zwischen \(f\) und \(F\): Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F' = f\) und \(F'' = f'\). 2. Überprüfung von Aussage (1): Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb oder auf der x-Achse, es gilt also \(f(x) \le 0\) und somit \(F'(x) \le 0\). Da die Nullstellen isoliert sind, ist \(F\) in \([-2; 2]\) streng monoton fallend. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung von Aussage (2): Ein lokales Maximum von \(F\) erfordert eine Nullstelle von \(F' = f\) mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) das Vorzeichen jedoch von Minus nach Plus, weshalb dort ein lokales Minimum von \(F\) vorliegt. Die Aussage ist falsch. 4. Überprüfung von Aussage (3): Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch die zweite Ableitung \(F'' = f'\) beschrieben. Da \(f\) im Intervall \([0; 3]\) streng monoton steigt, gilt dort \(f'(x) > 0\). Somit ist \(F''(x) > 0\), was einer Linkskrümmung entspricht. Die Aussage ist wahr. 5. Überprüfung von Aussage (4): Die Wendepunkte von \(F\) entsprechen den lokalen Extremstellen von \(f\). Da die quadratische Funktion \(f\) nur eine Extremstelle (den Scheitelpunkt bei \(x = 0\)) besitzt, hat \(F\) genau einen Wendepunkt. Die Aussage ist falsch.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch

- Für die Extremstellen von \(F\) sind die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\) entscheidend. - Nutze für den Funktionsterm von \(f\) die gegebenen Informationen zum Scheitelpunkt und zu einer Nullstelle. - Bestimme danach eine Stammfunktionsfamilie und verwende die Bedingung \(F(0)=2\).

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\). An den Nullstellen von \(f\) können daher Extremstellen von \(F\) liegen. 2. Bei \(x=0\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Hochpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 3. Mit der Scheitelpunktform gilt \(f(x)=a(x-1)^2-1{,}5\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(a=1{,}5\). Somit ist \(f(x)=1{,}5x^2-3x\). 4. Eine Stammfunktion hat die Form \(F(x)=0{,}5x^3-1{,}5x^2+C\). Aus \(F(0)=2\) folgt \(C=2\). 5. Daher ist \(F(3)=0{,}5\cdot 27-1{,}5\cdot 9+2=2\).

a) Lokaler Hochpunkt bei \(x=0\); lokaler Tiefpunkt bei \(x=2\). b) \(f(x)=1{,}5x^2-3x\) und \(F(3)=2\).

- Nutze das Vorzeichen von \(f\), um die Abschnitte zu bestimmen, in denen \(F\) steigt oder fällt. - Der Wertunterschied zweier Stammfunktionswerte entspricht der orientierten Flächenbilanz zwischen den zugehörigen Stellen. - Zerlege die polygonalen Flächen in Dreiecke und Rechtecke und beachte das Vorzeichen unterhalb der x-Achse. - Für Teil c brauchst du keinen Flächeninhalt; nutze direkt die Definition einer Stammfunktion.

1. Wegen \(F'=f\) steigt \(F\), wo der Graph von \(f\) oberhalb der x-Achse liegt, und fällt, wo er darunter liegt. Daher ist \(x=2\) ein Kandidat für das absolute Maximum; zusätzlich ist der rechte Rand zu prüfen. 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) beträgt die positive Flächenbilanz \(2+2=4\). Mit \(F(-2)=0\) folgt \(F(2)=4\). 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) beträgt die Flächenbilanz \(-0{,}5-2-0{,}25+0{,}25=-2{,}5\). Daher ist \(F(6)=1{,}5\). Das absolute Maximum liegt somit bei \(x=2\) und hat den Wert \(4\). 4. Im Intervall \([0;5]\) ergeben die geometrischen Flächen \(2-0{,}5-2=-0{,}5\). Also ist \(\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\). 5. Wegen \(F'=f\) gilt \(F'(4)=f(4)=-1\).

a) Absolutes Maximum bei \(x=2\) mit \(F(2)=4\). b) \(\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\) c) \(F'(4)=-1\)

- Überlege, welchen Funktionswert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze besitzt. - Eine Verschiebung einer Stammfunktion in y-Richtung verändert ihre Ableitung nicht. - Das Vorzeichen von \(f\) lässt sich aus der Steigung des Graphen von \(F\) ablesen. - Für ein bestimmtes Integral kannst du die Werte einer Stammfunktion an den Grenzen vergleichen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) hat bei \(x=a\) den Wert \(0\). Der dargestellte Graph von \(F\) besitzt keine Nullstelle; daher ist a) falsch. 2. Für \(H(x)=F(x)-2\) gilt \(H'=F'=f\). Außerdem ist \(H(2)=F(2)-2=0\). Damit ist \(H(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\); b) ist wahr. 3. Es gilt \(f(1)=F'(1)\). Der Graph von \(F\) fällt bei \(x=1\), also ist \(F'(1)<0\). Daher ist c) falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=2-4=-2\). Daher ist d) wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Für lokale Minima einer Stammfunktion brauchst du Nullstellen von \(f\) mit einem bestimmten Vorzeichenwechsel. - Betrachte für die Integralfunktion die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse mit ihren Vorzeichen. - Für das Monotonieverhalten von \(F\) genügt das Vorzeichen von \(f\).

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokales Minimum von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht bei \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Die Integralfunktion \(I_{-1}\) beschreibt die orientierte Flächenbilanz ab \(x=-1\). Im Intervall \([-1;1]\) liegt eine positive Fläche und im Intervall \([1;3]\) eine gleich große negative Fläche. Daher ist \(I_{-1}(3)=0\). 3. Auf \([-1;1]\) ist \(f\) im Inneren positiv, also steigt jede Stammfunktion dort streng. Auf \([1;3]\) ist \(f\) im Inneren negativ, also fällt jede Stammfunktion dort streng.

a) Lokale Minima bei \(x=-1\) und \(x=3\). b) \(I_{-1}(3)=0\); die positive und die negative orientierte Fläche heben sich auf. c) Streng steigend auf \([-1;1]\), streng fallend auf \([1;3]\).

- Welchen Wert besitzt eine Integralfunktion \(I_a\) an ihrer unteren Grenze \(a\)? - Lies das Vorzeichen von \(f=F'\) aus dem Steigen oder Fallen des dargestellten Graphen ab. - An einer lokalen Extremstelle von \(F\) ist die Steigung besonders einfach. - Nutze für das bestimmte Integral die Stammfunktionswerte an den beiden Grenzen und beachte die Symmetrie des Graphen.

1. Für die Integralfunktion \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gilt stets \(I_0(0)=0\). Aus dem Graphen liest man dagegen \(F(0)=3\). Daher ist a) falsch. 2. Wegen \(F'=f\) ist \(f\) dort positiv, wo \(F\) steigt. Im Intervall \([-2;-1]\) steigt der Graph von \(F\), also ist b) wahr. 3. Aus dem Graphen liest man \(F(0)=3\). Bei \(x=0\) besitzt \(F\) einen Hochpunkt, daher ist \(f(0)=F'(0)=0\). Somit ist \(F(0)+f(0)=3\); c) ist falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(-2)\). Der Graph von \(F\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also ist \(F(2)=F(-2)\). Damit ist das Integral \(0\); d) ist wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Für Teil a ist der Vorzeichenwechsel von \(f\) an seinen Nullstellen entscheidend. - Zerlege die polygonalen Flächen in Dreiecke und Trapeze und beachte ihre Orientierung. - Eine Integralfunktion startet an ihrer unteren Grenze mit dem Wert \(0\). - Verfolge für die Nullstellen, wie die Flächenbilanz beim Durchlaufen des Intervalls wächst und fällt.

1. Wegen \(F'=f\) besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum, wo \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht im Inneren des Intervalls nur bei \(x=4\). 2. Für \([-3;1]\) ergeben sich die orientierten Flächen \(1{,}5+2-0{,}5=3\). Daher ist \(\int_{-3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=3\). 3. Von \(-4\) bis \(0\) beträgt die positive Fläche \(4\), von \(0\) bis \(4\) die negative Fläche \(-4\) und von \(4\) bis \(5\) die positive Fläche \(0{,}5\). Somit ist \(I_{-4}(5)=0{,}5\). 4. Es gilt stets \(I_{-4}(-4)=0\). Bis \(x=0\) steigt die Integralfunktion auf \(4\), anschließend fällt sie bis \(I_{-4}(4)=0\) und steigt danach wieder. Daher sind \(x=-4\) und \(x=4\) die einzigen Nullstellen.

a) \(x=4\) b) \(\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x=3\) c) \(I_{-4}(5)=0{,}5\); Nullstellen: \(x=-4\) und \(x=4\)

- Erinnere dich an den grundlegenden Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Welche Eigenschaften des Funktionsgraphen (wie Hochpunkte, Tiefpunkte oder Monotonie) spiegeln sich in den Nullstellen und dem Vorzeichen der Ableitung wider? - Betrachte die Extrempunkte der Graphen. Wenn ein Graph bei einem bestimmten \(x\)-Wert einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, welchen Wert muss die Ableitung an dieser Stelle haben? - Untersuche das Monotonieverhalten eines Graphen: In welchen Bereichen steigt oder fällt der Graph, und welches Vorzeichen muss die Ableitung in diesen Bereichen haben? - Versuche, Paare von Graphen zu finden, bei denen ein Graph die Ableitung des anderen sein könnte, und setze diese zu einer logischen Kette zusammen.

1. Zusammenhang zwischen den Funktionen: Es gilt \(F'(x) = f(x)\) und die Ableitung von \(f\) ist \(f'\). Der Graph einer Ableitungsfunktion beschreibt jeweils die Steigung des zugehörigen Ausgangsgraphen. 2. Beziehung zwischen Graph \(B\) und Graph \(C\): - Graph \(B\) hat einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 0\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher bei \(x = 0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzen. - Graph \(C\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle und wechselt dort von positiven zu negativen Werten. Somit ist Graph \(C\) die Ableitung von Graph \(B\). 3. Beziehung zwischen Graph \(C\) und Graph \(A\): - Graph \(C\) hat einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 1\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(x = 3\). - Die Ableitung von Graph \(C\) muss demnach bei \(x = 1\) und \(x = 3\) Nullstellen haben. - Graph \(A\) hat genau dort Nullstellen. Zudem steigt Graph \(C\) im Intervall \([1; 3]\), und Graph \(A\) ist dort positiv. Somit ist Graph \(A\) die Ableitung von Graph \(C\). 4. Aus der Ableitungskette \(B' = C\) und \(C' = A\) folgt: Graph \(B\) gehört zur Stammfunktion \(F\), Graph \(C\) zur Funktion \(f\) und Graph \(A\) zur Ableitungsfunktion \(f'\).

Der Graph B gehört zur Stammfunktion \(F\), der Graph C gehört zur Funktion \(f\) und der Graph A gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\).

- Überlege zuerst, welche Art von Funktion im Graphen dargestellt ist und wie ihre Gleichung lautet. Nutze markante Punkte wie Nullstellen oder den Schnittpunkt mit der y-Achse. - Wie kommst du von einer Ableitungsfunktion zurück zur ursprünglichen Funktion? - Denke an die Integrationskonstante, die beim Aufleiten entsteht. - Wie kannst du die Koordinaten des gegebenen Punktes nutzen, um den noch unbekannten Teil der Funktionsgleichung zu berechnen?

1. Aus dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) lassen sich die Nullstellen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) sowie der \(y\)-Achsenabschnitt bei \(4\) ablesen. Die Funktionsgleichung von \(f'\) lautet somit \(f'(x) = -(x - 2)(x + 2) = 4 - x^2\). 2. Die allgemeine Stammfunktion (Ausgangsfunktion) \(f\) wird durch Integration bestimmt: \(f(x) = \int (4 - x^2) \,\mathrm{d}x = 4x - \frac{1}{3}x^3 + C\). 3. Um die Integrationskonstante \(C\) zu bestimmen, wird der Punkt \(P(3 \mid 2)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(3) = 4 \cdot 3 - \frac{1}{3} \cdot 3^3 + C = 12 - 9 + C = 3 + C\). 4. Da \(f(3) = 2\) gelten muss, ergibt sich \(3 + C = 2\), woraus \(C = -1\) folgt. 5. Die gesuchte Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\).

\(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x - 1\)

- Lokale Extremstellen von \(f\) hängen mit Nullstellen und Vorzeichenwechseln von \(f'\) zusammen. - Für das Monotonieverhalten von \(f\) ist nur das Vorzeichen von \(f'\) wichtig. - Wendestellen von \(f\) lassen sich über lokale Extremstellen des Graphen von \(f'\) erkennen. - Beachte die vorgegebene Ablesegenauigkeit; der Graph rechtfertigt keine Hundertstelwerte.

1. Nullstellen von \(f'\) sind aus dem Graphen ungefähr bei \(x=-2{,}5\), \(x=0\) und \(x=2{,}5\) abzulesen. Bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx2{,}5\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegen lokale Minima von \(f\). Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum. 2. Die Funktion \(f\) fällt streng, wo \(f'<0\). Im dargestellten Bereich ist das für \(-4\le x<-2{,}5\) sowie für \(0<x<2{,}5\) der Fall. 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese sind aus dem Graphen auf \(0{,}5\) genau bei \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\) abzulesen.

1. Lokale Minima bei \(x\approx-2{,}5\) und \(x\approx2{,}5\); lokales Maximum bei \(x=0\). 2. Streng fallend für \(-4\le x<-2{,}5\) und für \(0<x<2{,}5\). 3. Wendestellen bei \(x\approx-1{,}5\) und \(x\approx1{,}5\).

- Das Vorzeichen von \(f'\) zeigt, wo \(f\) steigt oder fällt. - Die größte Steigung von \(f\) entspricht dem höchsten Wert des Ableitungsgraphen. - Für Teil 3 beschreibt die orientierte Fläche unter \(f'\) die Änderung von \(f\).

1. Für \(0<x<4\) gilt \(f'(x)>0\), danach \(f'(x)<0\). Daher steigt \(f\) bis \(x=4\) und fällt anschließend. Das absolute Maximum liegt bei \(x=4\). 2. Die größte Steigung von \(f\) ist der größte Wert von \(f'\). Der Graph hat bei \(x=2\) den Wert \(2\). Die größte Steigung ist also \(2\). 3. Es gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). Die beiden Dreiecksflächen von \(0\) bis \(2\) und von \(2\) bis \(4\) haben jeweils den Inhalt \(2\), also beträgt die Änderung \(4\). 4. Mit \(f(0)=2\) folgt \(f(4)=6\).

1. \(x=4\) 2. Bei \(x=2\); größte Steigung \(2\) 3. \(f(4)=6\)

- Die orientierte Fläche unter dem Ableitungsgraphen beschreibt die Änderung der ursprünglichen Funktion. - Welche geometrische Form liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) vor? - Addiere die gefundene Änderung zum gegebenen Startwert.

1. Die Änderung von \(f\) im Intervall \([0;2]\) entspricht \(\int_0^2 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) entsteht ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(1\) und \(2\) und der Breite \(2\). Sein Flächeninhalt ist \(\frac{1+2}{2}\cdot2=3\). 3. Daher ist \(f(2)-f(0)=3\). Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(2)=4\).

\(f(2)=4\)

- Was passiert mit der Steigung der Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar Null wird, aber ihr Vorzeichen nicht ändert? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Extrempunkt und einem Sattelpunkt. - Nutze die Information über das Vorzeichen von \(f'\), um zu entscheiden, ob der Graph steigt oder fällt.

1. Nullstellen von \(f'\): \(x = 0\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus und \(x = 3\) ohne Vorzeichenwechsel. 2. Analyse von \(f\): - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Minimum vor, da die Steigung von negativ zu positiv wechselt. - Bei \(x = 3\) gilt \(f'(3) = 0\), also besitzt der Graph von \(f\) dort eine waagerechte Tangente. Da \(f'\) kein Vorzeichen wechselt und \(f\) vor wie nach \(x = 3\) steigt, liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor. 3. Ein möglicher Verlauf zeigt ein Minimum bei \(x = 0\) und einen Terrassenpunkt mit waagerechter Tangente bei \(x = 3\).

1. Ein möglicher Graph hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 3\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt). 2. Bei \(x = 3\) liegt ein Sattelpunkt vor. Da \(f'(3) = 0\) ist, hat der Graph dort eine waagerechte Tangente, aber da die Ableitung kein Vorzeichen wechselt, liegt kein Extrempunkt vor.

- Der gegebene Punkt \((0 \mid 0)\) muss auf dem beschriebenen Graphen liegen. - Überlege dir, ob die Funktion in einem bestimmten Bereich nur steigt oder nur fällt, um den größten Wert zu finden. - Ein Berührpunkt auf der x-Achse in der Ableitung deutet oft auf eine besondere Stelle im Originalgraphen hin, die kein Extremum ist.

1. Analyse der Nullstellen von \(f'\): \(x = -2\) ist eine Berührstelle ohne Vorzeichenwechsel; bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus. 2. Charakteristika von \(f\): - \(f\) steigt für \(x < 0\), da \(f'(x) \geq 0\). - Bei \(x = -2\) liegt ein Sattelpunkt vor. - Bei \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. 3. Da \(f\) bis \(x = 0\) streng monoton steigt, abgesehen von der waagerechten Tangente bei \(x = -2\), und danach fällt, wird das Maximum im Intervall \([-3; 1]\) bei \(x = 0\) erreicht. 4. Ein möglicher Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und besitzt dort einen Hochpunkt.

1. Ein möglicher Graph verläuft durch \((0 \mid 0)\), hat dort einen Hochpunkt und weist bei \(x = -2\) einen Sattelpunkt auf. 2. Den größten Wert im Intervall \([-3; 1]\) nimmt die Funktion an der Stelle \(x = 0\) an.

- Jedes Mal, wenn der Graph der Ableitung die x-Achse kreuzt, ändert sich die Richtung der Steigung der Originalfunktion. - Erstelle eine kleine Tabelle mit den Vorzeichen von \(f'\), um den Überblick über das Steigungsverhalten zu behalten. - Achte darauf, dass die Extrempunkte im beschriebenen Verlauf genau an den x-Werten der Nullstellen der Ableitung liegen.

1. Nullstellen von \(f'\) ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\). Dies sind die Stellen mit waagerechter Tangente für \(f\). 2. Untersuchung der Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\): - Bei \(x = -3\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. - Bei \(x = -1\): Wechsel von positiv zu negativ \(\Rightarrow\) lokaler Hochpunkt. - Bei \(x = 2\): Wechsel von negativ zu positiv \(\Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. 3. Sattelpunkte treten hier nicht auf, da an jeder Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet. 4. Ein möglicher Verlauf ist W-förmig mit Tiefpunkten bei \(x = -3\) und \(x = 2\) sowie einem Hochpunkt bei \(x = -1\).

1. Ein möglicher Graph hat Tiefpunkte bei \(x = -3\) und \(x = 2\) und einen Hochpunkt bei \(x = -1\). 2. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x = -3\) (Tiefpunkt), \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 2\) (Tiefpunkt) vor, da \(f'\) an diesen Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt; Sattelpunkte gibt es keine.

- Eine Wendestelle von \(f\) lässt sich daran erkennen, dass \(f'\) von Steigen zu Fallen oder umgekehrt wechselt. - Für den Funktionswert in Teil b brauchst du die orientierte Fläche unter dem Ableitungsgraphen. - Nutze das Vorzeichen von \(f'\), um Steigen, Fallen und den Hochpunkt zu bestimmen.

1. Der Graph von \(f'\) steigt bis \(x=2\) und fällt danach. Daher wechselt \(f''\) dort von positiv zu negativ; \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle. 2. Es gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). Die Fläche unter \(f'\) von \(0\) bis \(4\) ist ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\), also \(4\). Mit \(f(0)=0\) folgt \(f(4)=4\). 3. Von \(x=0\) bis \(x=4\) ist \(f'>0\), daher steigt \(f\). Bei \(x=4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt bei \((4\mid4)\). 4. Bis \(x=2\) nimmt die Steigung zu, danach nimmt sie ab. Daher ist der Graph zunächst linksgekrümmt und ab \(x=2\) rechtsgekrümmt.

a) Wendestelle bei \(x=2\). b) \(f(4)=4\) c) \(f\) steigt von \((0\mid0)\) bis zum Hochpunkt \((4\mid4)\), besitzt bei \(x=2\) eine Wendestelle und fällt nach \(x=4\).

- Verwende konsequent \(F'=f\). - Für Extremstellen von \(F\) brauchst du Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel. - Für den Vergleich zweier Werte von \(F\) genügt das Monotonieverhalten zwischen den beiden Stellen.

1. Wegen \(F'=f\) und \(f(x)>0\) für \(-3<x<-1\) ist \(F\) auf \([-3;-1]\) streng steigend. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x\approx0{,}8\) hat \(f\) zwar eine Extremstelle, aber \(f\) ist dort nicht \(0\). Somit ist \(F'(x)\ne0\); Aussage (2) ist falsch. 3. Bei \(x=-3\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv. Daher wechselt \(F'=f\) ebenfalls von negativ zu positiv; \(F\) hat dort ein lokales Minimum. Aussage (3) ist wahr. 4. Im Intervall \((-1;2)\) ist \(f<0\). Deshalb fällt \(F\) dort streng und es gilt \(F(2)<F(-1)\). Aussage (4) ist falsch.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr (4) Falsch

- Nutze die Beziehung \(F'(x) = f(x)\), um Informationen über die Steigung von \(F\) zu erhalten. - Überlege dir, wie man die Krümmung einer Funktion anhand ihrer zweiten Ableitung (hier also der ersten Ableitung von \(f\)) bestimmt. - Wo findet man die Steigung einer Stammfunktion im Graphen der ursprünglichen Funktion wieder? - Achte auf Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f\).

1. Wahr. Im Intervall \([1; 4]\) gilt \(f(x) > 0\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Wahr. Bei \(x = 5\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 3. Falsch. Auf dem offenen Intervall \((0; 2)\) steigt \(f\) streng, also gilt dort \(F''(x) = f'(x) > 0\). Somit ist \(F\) dort linksgekrümmt. An der Ecke bei \(x = 2\) ist \(f'\) nicht definiert. 4. Wahr. Die Tangentensteigung von \(F\) bei \(x = 3\) ist \(F'(3) = f(3) = 2\).

(1) Wahr, da \(f(x) > 0\) in \([1; 4]\). (2) Wahr, da \(f\) bei \(x = 5\) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat. (3) Falsch, da \(f\) auf \((0; 2)\) steigt und \(F\) dort linksgekrümmt ist. (4) Wahr, da \(F'(3) = f(3) = 2\).

- Nutze den Zusammenhang \(F'=f\). - Vergleiche an einer gut ablesbaren Stelle den Wert eines Graphen mit der Steigung des anderen. - Prüfe auch, ob das Vorzeichen des möglichen \(f\)-Graphen zum Monotonieverhalten des möglichen \(F\)-Graphen passt.

1. Für eine Stammfunktion gilt \(F'=f\). Der Funktionswert von \(f\) muss also der Steigung von \(F\) entsprechen. 2. Bei \(x=0\) hat Graph b den Wert \(0{,}5\). Graph a besitzt dort eine positive Steigung von etwa \(0{,}5\). Das passt zu a als Stammfunktion und b als zugehöriger Funktion. 3. Umgekehrt wäre Graph b als Stammfunktion nicht passend: Seine Steigung bei \(x=0\) ist deutlich kleiner als der Wert \(1\) von Graph a. 4. Somit ist Graph a die Stammfunktion \(F\) und Graph b die Funktion \(f\).

Graph a ist \(F\), Graph b ist \(f\).

- Ist \(f\) positiv, muss jede Stammfunktion steigen. - Vergleiche, wie sich die Größe der Werte eines möglichen \(f\)-Graphen mit der Steilheit des möglichen \(F\)-Graphen verändert. - Prüfe die umgekehrte Zuordnung auf einen Widerspruch beim Vorzeichen der Steigung.

1. Graph a ist im gesamten dargestellten Bereich positiv. Wäre a die Funktion \(f\), müsste eine zugehörige Stammfunktion wegen \(F'=f>0\) streng steigen. Genau dieses Verhalten zeigt Graph b. 2. Außerdem werden die Werte von Graph a nach rechts kleiner. Entsprechend wird die positive Steigung von Graph b nach rechts geringer; Graph b wird sichtbar flacher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist ausgeschlossen: Graph a fällt, seine Ableitung wäre also negativ, während Graph b positiv ist. 4. Daher gehört Graph a zu \(f\) und Graph b zu \(F\).

Graph a ist \(f\), Graph b ist \(F\).

- Für Extremstellen und Monotonie von \(F\) ist das Vorzeichen von \(f\) entscheidend. - Der gegebene Wert \(F(-2)=0\) ist der Ausgangswert für Teil c. - Schätze die orientierte Fläche zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) anhand des Rasters und beachte die geforderte Genauigkeit.

1. Wegen \(F'=f\) liegen Extremstellen von \(F\) an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel. Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also liegt dort ein Tiefpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein Hochpunkt. 2. Für \(-2<x<2\) ist \(f>0\). Daher ist \(F\) auf \([-2;2]\) streng steigend. 3. Es gilt \(F(2)-F(-2)=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). Da \(F(-2)=0\), entspricht \(F(2)\) der positiven Flächenbilanz. Aus dem feineren Raster ergibt sich ein Wert zwischen \(2{,}5\) und \(3\); auf halbe Einheiten gerundet ist das \(2{,}5\).

a) Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=2\). b) Streng steigend auf \([-2;2]\). c) \(F(2)\approx2{,}5\) (auf halbe Einheiten gerundet).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Extremstellen einer Ableitungsfunktion und den Wendepunkten der Originalfunktion? - Wie berechnet man die Steigung einer Tangente an einen Funktionsgraphen, wenn man die Ableitung kennt? - Schau dir an, wo der Graph von \(g\) die x-Achse schneidet. Was bedeutet das für die Steigung von \(G\)? - Wie ändert sich die Steigung von \(G\), wenn die Werte von \(g\) von positiv nach negativ wechseln?

1. Wendepunkte von \(G\): Diese liegen an den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(g\). Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(g\) lokale Extrema bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\) besitzt. Dort liegen die Wendepunkte von \(G\). 2. Tangentengleichung: Die Tangente hat die Form \(t(x) = G'(0)x + G(0)\). Da \(G'(0) = g(0) = 0\) und \(G(0) = 1\) gegeben ist, lautet die Gleichung \(t(x) = 0 \cdot x + 1\), also \(y = 1\). 3. Verlauf: \(G\) hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum (da \(g\) dort von \(+\) nach \(-\) wechselt) mit dem Wert \(1\). Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G\) lokale Minima (Nullstellen von \(g\) mit Vorzeichenwechsel). Der Graph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

a) Wendepunkte bei \(x \approx -1{,}2\) und \(x \approx 1{,}2\). b) \(y = 1\). c) Der Graph von \(G\) hat ein Maximum bei \((0 \mid 1)\) und Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Er ist W-förmig und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche Nullstellen und welchen Scheitelpunkt kannst du aus dem Graphen von \(f\) ablesen? - Wie kannst du aus diesen Punkten zunächst einen Term für die quadratische Funktion bestimmen? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f=F'\) und der Monotonie von \(F\)? - Wie nutzt du den Punkt \(A(3\mid5)\), um die additive Konstante der Stammfunktion zu bestimmen?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(-1\) und \(3\) sowie den Scheitel \(S(1\mid4)\) ab. Mit \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) folgt aus \(f(1)=4\) der Wert \(a=-1\). Somit ist \(f(x)=-x^2+2x+3\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x+C\). 3. Aus \(F(3)=5\) folgt \(-9+9+9+C=5\), also \(C=-4\). Damit ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\). 4. Wegen \(F'=f\) liegen stationäre Stellen von \(F\) bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x=3\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. 5. Es ist \(F(-1)=-\frac{17}{3}\) und \(F(3)=5\). Daher steigt \(F\) auf \([-1;3]\) und fällt auf \([3;4]\).

a) \(f(x)=-x^2+2x+3\) b) \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-4\) c) \(F\) steigt auf \([-1;3]\) vom lokalen Minimum \(\left(-1\mid-\frac{17}{3}\right)\) bis zum lokalen Maximum \((3\mid5)\) und fällt anschließend auf \([3;4]\).

- Welchen Grad hat die Stammfunktion einer quadratischen Funktion? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen \(F\) waagerechte Tangenten haben muss. - Überlege dir, ob \(F\) an diesen Stellen ein Maximum oder ein Minimum hat, indem du das Vorzeichen von \(f\) betrachtest. - Wo hat \(f\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für die Krümmung von \(F\)?

1. Charakteristische Punkte von \(f\): Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), Scheitelpunkt bei \((0 \mid -4)\). 2. Da \(f\) eine quadratische Funktion ist, ist jede Stammfunktion \(F\) eine Funktion dritten Grades. 3. An den Nullstellen von \(f\) liegen die Extremstellen von \(F\). Bei \(x = -2\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x = 2\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum. 4. Am Scheitelpunkt von \(f\) liegt eine Wendestelle von \(F\), also bei \(x = 0\). 5. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 2)\) und besitzt dort seinen Wendepunkt.

Der Graph von \(F\) ist eine kubische Kurve mit einem lokalen Maximum bei \(x = -2\) und einem lokalen Minimum bei \(x = 2\). Der Punkt \((0 \mid 2)\) ist der Wendepunkt.

- Eine Integralfunktion \(I_a(x)\) hat immer die Eigenschaft \(I_a(a) = 0\). - Übertrage die Eigenschaften von \(f\) (Nullstellen, Extrema, Symmetrie) systematisch auf \(I_0\). - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der y-Achse zueinander?

1. \(I_0\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), für die \(I_0(0) = 0\) gilt. 2. Die Nullstellen von \(f\) bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) sind Extremstellen von \(I_0\). 3. Wegen der Vorzeichenwechsel von \(f\) hat \(I_0\) bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, bei \(x = 0\) ein lokales Maximum und bei \(x = 2\) wieder ein lokales Minimum. 4. Die Extremstellen von \(f\) liegen aus dem Graphen auf \(0{,}5\) genau bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\). Dort besitzt \(I_0\) Wendestellen. 5. Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist \(I_0\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 6. Der Verlauf ist W-förmig und geht durch den Hochpunkt \((0 \mid 0)\).

Der Graph von \(I_0\) verläuft W-förmig und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Er hat ein lokales Maximum im Punkt \((0 \mid 0)\), lokale Minima bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\).

- Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über die Monotonie von \(F\) aus? - Was sagt die Steigung von \(f\) über das Krümmungsverhalten von \(F\) aus? - Überlege dir, wie sich die Steigung von \(F\) verändert, wenn du den Graphen von \(f\) von links nach rechts betrachtest.

1. Da \(f(x) > 0\) im dargestellten Bereich gilt, ist jede Stammfunktion \(F\) dort streng monoton steigend. 2. Da \(f\) streng monoton fällt, nimmt die Steigung von \(F\) ab. Daher ist \(F\) im dargestellten Bereich rechtsgekrümmt. 3. Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\) und besitzt dort die Steigung \(F'(0) = f(0) = 2\). 4. Nach rechts werden die positiven Werte von \(f\) kleiner. Daher steigt \(F\) weiter, wird im dargestellten Bereich aber immer flacher.

Der Graph von \(F\) verläuft durch \((0 \mid 0)\), ist im dargestellten Bereich streng monoton steigend und rechtsgekrümmt. Bei \(x=0\) hat er die Steigung \(2\) und wird nach rechts immer flacher.

- Wo startet die Stammfunktion laut Aufgabenstellung? - Welche Steigung hat der Graph von \(F\) im Ursprung? - Wird die Kurve von \(F\) mit zunehmendem \(x\) steiler oder flacher? Schau dir dazu den Verlauf von \(f\) an.

1. \(f(x) = \sqrt{x}\) ist für \(x \geq 0\) definiert und für \(x > 0\) positiv. Daher ist \(F\) für \(x > 0\) streng monoton steigend. 2. An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung \(F'(0) = f(0) = 0\). Der Graph von \(F\) besitzt im Startpunkt \((0 \mid -1)\) eine waagerechte Tangente. 3. Da \(f\) streng monoton steigt, nimmt die Steigung von \(F\) zu. Der Graph von \(F\) ist somit linksgekrümmt. 4. Beispielwerte: \(F(1) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33\) und \(F(4) = -1 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{13}{3} \approx 4{,}33\).

Der Graph von \(F\) beginnt im Punkt \((0 \mid -1)\) mit einer waagerechten Tangente und verläuft für \(x > 0\) streng monoton steigend und linksgekrümmt.

- Überlege dir, welchen Wert die Funktion \(G\) an der Stelle \(x = 0\) annimmt und wie sie sich für sehr große x-Werte verhält. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung: Was sagen Extrema von \(G\) über die Werte von \(g\) aus? - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, was bedeutet das für die Steigung an gespiegelten Stellen? - Betrachte die Monotonie von \(G\), um Aussagen über das Vorzeichen von \(g\) zu treffen.

1. Identifikation von \(G\): Durch Einsetzen von \(x = 0\) erhält man \(G(0) = \frac{4}{2} = 2\). Zudem gilt \(G(x) \to 0\) für \(x \to \pm\infty\). Nur Graph a besitzt den Hochpunkt \((0 \mid 2)\) und nähert sich der x-Achse als waagerechte Asymptote an. Mögliche Terme für die anderen Graphen: b: \(y = \frac{4}{x^2+2} - 3\), c: \(y = -\frac{4}{x^2+2}\), d: \(y = \frac{3x}{x^2+1}\). 2. Nullstellen von \(g\): Da \(g(x) = G'(x)\) gilt, entsprechen die Nullstellen von \(g\) den Stellen mit waagerechter Tangente von \(G\). Graph a hat genau ein Extremum bei \(x = 0\), folglich hat \(g\) genau eine Nullstelle an der Stelle \(x = 0\). 3. Symmetrie: \(G(x) = G(-x)\), somit ist \(G\) achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion). Die Ableitung einer geraden Funktion ist stets ungerade, daher ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verlauf von \(g\): Aus \(g(x) = G'(x) = -\frac{8x}{(x^2 + 2)^2}\) folgt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0\); die waagerechte Asymptote von \(g\) ist daher \(y = 0\). Außerdem gilt \(g(x) > 0\) für \(x < 0\), \(g(0) = 0\) und \(g(x) < 0\) für \(x > 0\).

a) Graph a gehört zu \(G\), da \(G(0) = 2\) und \(\lim_{x\to\infty} G(x) = 0\) gilt. Mögliche andere Terme: b: \(y = \frac{4}{x^2+2}-3\), c: \(y = -\frac{4}{x^2+2}\), d: \(y = \frac{3x}{x^2+1}\). b) \(g\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = 0\), da \(G\) dort seine einzige Stelle mit waagerechter Tangente (Maximum) hat. c) \(G\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade). Daraus folgt, dass \(g = G'\) punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade) ist. d) \(g(x) = -\frac{8x}{(x^2 + 2)^2}\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Für \(x < 0\) gilt \(g(x) > 0\), für \(x = 0\) gilt \(g(x) = 0\), und für \(x > 0\) gilt \(g(x) < 0\).

- Überlege dir, welche mathematische Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion besteht. - Wie hängen die Nullstellen einer Ableitungsfunktion mit den Extremstellen der ursprünglichen Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, welche Information die Steigung einer Funktion über das Krümmungsverhalten ihrer Stammfunktion liefert. - Vergleiche im rechten Teil des dargestellten Graphen die Werte von \(f\): Bleiben sie positiv, und werden sie größer oder kleiner?

1. Eine lokale Extremstelle von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel. Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus, daher besitzt \(F\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 2. Das Krümmungsverhalten von \(F\) wird durch \(F'' = f'\) bestimmt. \(F\) ist rechtsgekrümmt, wenn \(f\) fällt. Im dargestellten Bereich ist das für \(3<x\le7\) der Fall. 3. Die Steigung von \(F\) ist \(F'(x)=f(x)\). Für \(x>3\) bleibt \(f\) im dargestellten Bereich positiv, wird aber kleiner. Daher steigt \(F\) weiter, jedoch mit abnehmender Steigung.

a) Bei \(x = 1\) liegt ein lokaler Tiefpunkt von \(F\) vor. b) Im dargestellten Bereich ist \(F\) für \(3<x\le7\) rechtsgekrümmt, weil \(f\) dort streng monoton fällt. c) Für \(3<x\le7\) bleibt die Steigung von \(F\) positiv, nimmt aber ab.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über den Anstieg oder Abfall der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Hügeln und Tälern der Funktion zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung der Ableitungsfunktion und der Krümmung der ursprünglichen Funktion.

1. Monotonie: Eine Funktion \(f\) wächst streng monoton, wenn ihre Ableitung \(f'(x) > 0\) ist, und fällt streng monoton, wenn \(f'(x) < 0\) ist. Aus dem Graphen von \(f'\) ergibt sich: wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); fallend für \(x \in [-2; 4]\). 2. Extrema: Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, was einem lokalen Maximum von \(f\) entspricht. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, was einem lokalen Minimum von \(f\) entspricht. 3. Krümmung und Wendestelle: Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt, also wenn die Ableitungsfunktion \(f'\) steigt. Dies ist im dargestellten Bereich für \(1 < x \le 6\) der Fall. Die Wendestelle von \(f\) entspricht dem Extrempunkt von \(f'\), liegt also bei \(x = 1\).

a) Streng monoton wachsend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [4; 6]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 4]\). b) Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 4\). c) Im dargestellten Bereich linksgekrümmt für \(1 < x \le 6\). Wendestelle bei \(x = 1\).

- Übersetze die Achsensymmetrie von \(f\) in eine Gleichung mit \(f(-x)\). - Kannst du aus \(F\) eine gespiegelte Funktion bilden und prüfen, ob sie dieselbe Ableitung besitzt? - Nutze zusätzlich die Bedingung \(F(0)=0\), um zwei mögliche Stammfunktionen miteinander zu vergleichen.

1. Da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(f(-x)=f(x)\); \(f\) ist gerade. 2. Betrachte die Funktion \(H(x)=-F(-x)\). Mit der Kettenregel gilt \(H'(x)=F'(-x)=f(-x)=f(x)\). Also ist auch \(H\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Außerdem gilt \(H(0)=-F(0)=0\). Damit erfüllen \(F\) und \(H\) dieselbe Anfangsbedingung und stimmen überein. 4. Aus \(F(x)=H(x)=-F(-x)\) folgt \(F(-x)=-F(x)\). Somit ist \(F\) ungerade und ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph der Stammfunktion \(F\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \((0 \mid 0)\), also ist \(F\) eine ungerade Funktion.

- Welchen Wert muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze immer haben? - Wie hängen die Nullstellen der Ausgangsfunktion mit den Extremstellen der Integralfunktion zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Funktion \(f\) über die Steigung der Integralfunktion aus? - Vergleiche den Verlauf von \(f\) im Intervall zwischen \(1\) und \(3\) mit dem Anstieg oder Abfall der Kandidaten.

1. Überprüfung der Bedingung \(I_1(1)=0\): Da die untere Integralgrenze \(1\) ist, muss die Integralfunktion an der Stelle \(x=1\) den Wert \(0\) annehmen. Dies trifft auf die Graphen \(G_1\) und \(G_3\) zu. Beim Graphen \(G_2\) liest man dagegen \(G_2(1)=-1\) ab; daher ist \(G_2\) ausgeschlossen. 2. Analyse der Monotonie: Im Intervall \([1; 3]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). Folglich muss die Integralfunktion \(I_1\) in diesem Bereich monoton steigen. 3. Untersuchung des Graphen \(G_1\): Dieser steigt im Intervall \([1; 3]\) an und erreicht bei \(x=3\) einen Hochpunkt, da \(f\) dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) besitzt. Dies passt perfekt zur Theorie. 4. Untersuchung des Graphen \(G_3\): Dieser fällt im Intervall \([1; 3]\) ab, was im Widerspruch zum positiven Vorzeichen von \(f\) steht. 5. Ergebnis: Der Graph \(G_1\) stellt die Integralfunktion \(I_1\) dar.

Der richtige Graph ist \(G_1\), denn \(I_1(1) = 0\), die Integralfunktion ist wegen \(f(x) > 0\) für \(1 < x < 3\) dort streng monoton steigend und besitzt bei \(x = 3\) wegen des Vorzeichenwechsels von \(f\) einen lokalen Hochpunkt.

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(f\) für den Graphen der Stammfunktion \(F\) hat. - Wie hängen die Extrema einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitung zusammen? - Was sagt das Krümmungsverhalten eines Graphen über das Vorzeichen seiner zweiten Ableitung aus? - Die Steigung einer Kurve an einem Punkt lässt sich oft qualitativ durch Betrachten des Verlaufs (steigend oder fallend) beurteilen.

1. Die Nullstellen von \(f\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente von \(F\). Aus dem Graphen von \(F\) liest man die Extrema bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\) ab. Also gilt \(f(-2) = 0\) und \(f(2) = 0\). 2. \(f(x) < 0\) gilt dort, wo die Stammfunktion \(F\) streng monoton fallend ist. Dies ist im Intervall \((-2; 2)\) der Fall. 3. \(f'(x) > 0\) entspricht einer Linkskrümmung von \(F\). Der Wendepunkt von \(F\) liegt bei \(x = 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph von \(F\) linksgekrümmt, somit verläuft \(G_{f'}\) für \(x \in (0; \infty)\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. \(f(x)\) gibt die Steigung von \(F\) an. Bei \(x = -3\) steigt der Graph von \(F\) an (\(f(-3) > 0\)), während er bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)). Daher ist \(f(-3) > f(0)\) wahr.

a) \(x_1 = -2\); \(x_2 = 2\) b) \(I = (-2; 2)\) c) \(x > 0\) bzw. \(I = (0; \infty)\) d) Wahr, da \(F\) bei \(x = -3\) steigt (\(f(-3) > 0\)) und bei \(x = 0\) fällt (\(f(0) < 0\)).

- Nutze die Eigenschaft, dass \(f(x)\) die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x\) angibt. - Wo sind die Steigungen einer Funktion gleich null? Suche diese Stellen im Graphen. - Überlege dir, wie Wendepunkte einer Funktion mit den Extrema ihrer Ableitung zusammenhängen. - Steigt oder fällt der Graph an den gesuchten Stellen? Das verrät dir das Vorzeichen der Ableitung.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(F\). Aus dem Graphen liest man ein lokales Maximum von \(F\) bei \(x = 1\) und ein lokales Minimum bei \(x = 3\) ab. Somit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) die Nullstellen von \(f\). 2. \(f(x) \geq 0\) gilt genau dort, wo \(F\) steigt. Daher ist \(f(x) \geq 0\) für \(x \leq 1\) und \(x \geq 3\). 3. Da \(f\) eine quadratische Funktion mit den Nullstellen \(1\) und \(3\) ist und außerhalb dieser Nullstellen positiv sowie dazwischen negativ ist, ist ihr Graph nach oben geöffnet. Der Scheitel liegt in der Mitte der Nullstellen bei \(x = 2\). Dies ist zugleich die Wendestelle von \(F\), an der die Steigung von \(F\) minimal ist. 4. Da \(F\) bei \(x = 0\) steigt, ist \(f(0) > 0\). Da \(F\) bei \(x = 2\) fällt, ist \(f(2) < 0\).

a) \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\) b) \(I = (-\infty; 1] \cup [3; \infty)\) c) \(x = 2\), da dort der Wendepunkt von \(F\) liegt und die Steigung dort minimal ist. d) \(f(0) > 0\) (positiv); \(f(2) < 0\) (negativ).

- Was sagt die Steigung des Graphen der Stammfunktion über die Funktionswerte der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Integral und den Werten der Stammfunktion an den Grenzen. - Welchen Wert muss die Integralfunktion \(I_0\) an der Stelle \(x=0\) besitzen? - Betrachte den Verlauf des Graphen: Steigt oder fällt er an der betrachteten Stelle?

1. Da \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) ist, gilt \(f(0) = F'(0)\). Der Graph von \(F\) hat bei \(x=0\) einen lokalen Hochpunkt, die Steigung ist dort \(0\). Also ist \(f(0) = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = F(2) - F(-2)\). Der Graph von \(F\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, daher gilt exakt \(F(2) = F(-2)\). Somit ist die Differenz und damit das Integral gleich \(0\). Die Aussage ist wahr. 3. Für die Integralfunktion \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gilt \(I_0(0)=0\). Der dargestellte Graph von \(F\) liegt bei \(x=0\) deutlich oberhalb der \(x\)-Achse, also ist \(F(0)\ne0\). Deshalb ist Aussage c) falsch. 4. Es gilt \(f(1) = F'(1)\). An der Stelle \(x = 1\) fällt der Graph von \(F\), was bedeutet, dass die Steigung \(F'(1)\) und damit der Funktionswert \(f(1)\) negativ ist. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr (da \(F'(0) = 0\)) b) Wahr (da wegen der Achsensymmetrie \(F(2) = F(-2)\) gilt) c) Falsch (da \(F(0)\ne0\), aber \(I_0(0)=0\) gelten müsste) d) Wahr (da \(F\) bei \(x=1\) fällt)

- Welche besondere Eigenschaft muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze erfüllen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung des Graphen von \(F\) und den Funktionswerten von \(f\)? - Welche Werte von \(F\) brauchst du für das bestimmte Integral in Teil c? - Wie hängen die Extremstellen einer Stammfunktion mit den Nullstellen der zugehörigen Funktion zusammen?

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t\) muss an ihrer unteren Grenze den Wert \(0\) besitzen. Da der Graph \(G_F\) die x-Achse zum Beispiel bei \(x=-1\) schneidet, ist \(F\) die Integralfunktion \(I_{-1}\). Aussage a) ist wahr. 2. Der Wert \(f(4)\) entspricht der Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 4\). Da der Graph von \(F\) dort fällt, ist die Steigung negativ, also \(f(4) < 0\). Aussage b) ist falsch. 3. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(\int_{-1}^3 f(x) \,\mathrm{d}x = F(3) - F(-1)\). Aus dem Graphen liest man \(F(3)=8\) und \(F(-1)=0\) exakt am Einheitenraster ab. Die Differenz ist \(8\). Aussage c) ist wahr. 4. Nullstellen von \(f\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente von \(F\). Im Intervall \([-2; 4]\) hat \(F\) einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 3\). Somit hat \(f\) dort zwei Nullstellen. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr, da \(F(-1)=0\) gilt und \(F\) damit die Integralfunktion mit unterer Grenze \(-1\) ist. b) Falsch, da \(F\) an der Stelle \(x = 4\) eine negative Steigung hat. c) Wahr, da \(F(3)-F(-1)=8-0=8\). d) Falsch, da \(F\) im angegebenen Intervall zwei Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt.

- Überlege dir, in welcher Beziehung eine Funktion \(F\) zu ihrer Ableitung \(f\) steht. - Wo liegen die Extrema einer Funktion, wenn du ihre Ableitungsfunktion kennst? - Was sagt die Steigung der Funktion \(f\) über die Krümmung der Stammfunktion \(F\) aus? - Erinnere dich an das Monotoniekriterium: Welches Vorzeichen muss die Ableitung für streng monotones Wachstum haben?

1. Ein lokales Minimum von \(F\) liegt vor, wenn die Ableitung \(F'(x) = f(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus hat. Im Graphen von \(f\) ist dies an den Stellen \(x = -4\) und \(x = 3\) der Fall. 2. Ein Wendepunkt von \(F\) liegt an den Stellen vor, an denen die zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x)\) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies entspricht den lokalen Extremstellen der Funktion \(f\). Aus dem Graphen lassen sich diese bei etwa \(x \approx -2{,}7\) (lokales Maximum von \(f\)) und \(x \approx 1{,}4\) (lokales Minimum von \(f\)) ablesen. 3. Die Aussage ist wahr. Die Monotonie von \(F\) wird durch das Vorzeichen von \(F'(x) = f(x)\) bestimmt. Im dargestellten Bereich verläuft der Graph von \(f\) für \(x > 3\) oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt dort also \(f(x) > 0\). Somit ist \(F\) im dargestellten Bereich für \(x > 3\) streng monoton steigend, unabhängig vom Wert von \(F(0)\).

a) Lokale Minima von \(F\) liegen bei \(x = -4\) und \(x = 3\). b) Wendepunkte von \(F\) liegen bei etwa \(x \approx -2{,}7\) und \(x \approx 1{,}4\). c) Die Aussage ist wahr, da im dargestellten Bereich \(f(x) > 0\) für alle \(x > 3\) gilt.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung einer Stammfunktion und den Werten der ursprünglichen Funktion? - Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und lokale Extrema einer Funktion unter Verwendung ihrer Ableitung. - Achte besonders auf die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\).

1. Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, bestimmt das Vorzeichen von \(f\) das Monotonieverhalten jeder Stammfunktion \(F\). 2. \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(f(x)<0\). Dies ist im dargestellten Bereich auf \([-3;-2]\) und \([1;3]\) der Fall, wobei die Randpunkte Nullstellen sein können. 3. An der Stelle \(x=1\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Daher wechselt \(F'=f\) von positiv zu negativ und jede Stammfunktion besitzt dort ein lokales Maximum.

a) \([-3; -2]\) und \([1; 3]\) b) Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Da \(f(1) = 0\) ist und der Graph von \(f\) bei \(x=1\) von positiven zu negativen Werten wechselt, liegt ein lokales Maximum von \(F\) vor.

- Schaue dir zuerst einen Graphen an und finde seine Hoch- und Tiefpunkte. - Suche dann einen anderen Graphen, der genau an diesen x-Stellen die x-Achse schneidet. - Überprüfe auch das Vorzeichen: Wenn eine Funktion fällt, muss ihre Ableitung negativ sein. - Erinnere dich an die Merkregel: Nullstellen der Ableitung sind die Kandidaten für Extremstellen der Ausgangsfunktion.

1. Untersuchung von Graph \(g_1\): Dieser Graph hat eine Nullstelle bei \(x = 0\) und Extrema bei \(x = -1\) (Minimum) und \(x = 1\) (Maximum). 2. Untersuchung von Graph \(g_2\): Dieser Graph hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\) sowie ein Maximum bei \(x = 0\). Da die Nullstellen von \(g_2\) an den Extremstellen von \(g_1\) liegen, ist \(g_2\) die Ableitung von \(g_1\). Also \(g_1 = f\) und \(g_2 = f'\). 3. Untersuchung von Graph \(g_3\): Dieser Graph hat ein Minimum bei \(x = 0\). Da die Nullstelle von \(g_1\) bei \(x = 0\) liegt, ist \(g_1\) die Ableitung von \(g_3\). Damit ist \(g_3\) eine Stammfunktion von \(g_1\). Also \(g_3 = F\). 4. Ergebnis: \(g_1 = f\), \(g_2 = f'\), \(g_3 = F\).

Der Graph \(g_1\) gehört zur Funktion \(f\), \(g_2\) gehört zur Ableitung \(f'\) und \(g_3\) stellt eine Stammfunktion \(F\) dar.

- Erinnere dich: Die Stammfunktion \(F\) hat dort ein Extremum, wo die Funktion \(f\) eine Nullstelle hat. - Schau dir den Wert von \(f(0)\) an. Was bedeutet dieser Wert für die Steigung des Graphen von \(F\) an der Stelle \(x=0\)? - In welchen Bereichen ist die Kosinusfunktion positiv, und was bedeutet das für den Verlauf der Stammfunktion? - Welche bekannte Funktion ergibt abgeleitet die Kosinusfunktion?

1. Zusammenhang zwischen \(f\) und \(F\): Es gilt \(F'(x) = f(x)\). Die Funktionswerte von \(f(x) = \cos(x)\) geben also die Steigung von \(F\) an. 2. Analyse markanter Punkte: - Bei \(x = 0\) ist \(f(0) = \cos(0) = 1\), d. h. \(F\) muss dort die Steigung \(1\) haben. - Bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) ist \(f(x) = 0\), d. h. \(F\) muss dort eine waagerechte Tangente (ein Extremum) haben. Da \(f\) von positiv nach negativ wechselt, ist dies ein lokales Maximum. - Bei \(x = \pi \approx 3{,}14\) ist \(f(\pi) = -1\), d. h. \(F\) muss dort die Steigung \(-1\) haben. 3. Abgleich mit den Graphen: - Graph a) startet im Ursprung mit positiver Steigung, hat bei \(x \approx 1{,}57\) ein Maximum und bei \(x \approx 3{,}14\) eine Nullstelle mit negativer Steigung. Dies entspricht der Funktion \(F(x) = \sin(x)\). - Graph b) startet bei \(y=1\) mit waagerechter Tangente (\(\cos(x)\)). - Graph c) startet im Ursprung mit negativer Steigung (\(-\sin(x)\)). - Graph d) startet bei \(y=-1\) mit waagerechter Tangente (\(-\cos(x)\)). 4. Ergebnis: Da \(\int \cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x) + C\), ist Graph a) eine mögliche Stammfunktion (für \(C=0\)).

Graph a) ist richtig, da eine Stammfunktion von \(\cos(x)\) die Form \(F(x) = \sin(x) + C\) hat; der dargestellte Graph \(F(x) = \sin(x)\) besitzt bei \(x = 0\) die Steigung \(1\) und bei \(x = \frac{\pi}{2}\) eine waagerechte Tangente.

- Welche Information über die Steigung einer Stammfunktion liefert das Vorzeichen von \(f\)? - Was geschieht mit einer Stammfunktion an einer Nullstelle von \(f\), wenn sich dort das Vorzeichen ändert? - Vergleiche die beiden vorgeschriebenen Funktionswerte bei \(x=0\): Was kann sich zwischen zwei Stammfunktionen derselben Funktion überhaupt unterscheiden?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen von \(f\) bei \(x=-1\) und \(x=1\) ab. Im dargestellten Bereich ist \(f>0\) für \(-2<x<-1\) und \(1<x<2\); für \(-1<x<1\) ist \(f<0\). 2. Daher steigen beide Stammfunktionen im dargestellten Bereich bis \(x=-1\), fallen auf \((-1;1)\) und steigen danach wieder. Somit liegt bei \(x=-1\) jeweils eine Hochstelle und bei \(x=1\) jeweils eine Tiefstelle. 3. Der Graph von \(f\) fällt bis \(x=0\) und steigt danach. Deshalb wechselt bei \(x=0\) die Krümmung der Stammfunktionen; dort liegt jeweils eine Wendestelle. 4. Da beide Funktionen Stammfunktionen derselben Funktion \(f\) sind, unterscheiden sie sich nur durch eine Konstante. Aus \(G(0)-F(0)=2\) folgt \(G(x)=F(x)+2\). Der Graph von \(G\) ist also der Graph von \(F\), um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

a) Im dargestellten Bereich steigen beide Skizzen für \(-2<x<-1\), fallen für \(-1<x<1\) und steigen für \(1<x<2\); dabei gilt \(F(0)=0\) und \(G(0)=2\). b) Hochstelle bei \(x=-1\), Tiefstelle bei \(x=1\), Wendestelle bei \(x=0\) c) \(G(x)=F(x)+2\); der Graph von \(G\) ist gegenüber dem Graphen von \(F\) um \(2\) Einheiten nach oben verschoben.

- Achte beim Ablesen der Nullstellen darauf, ob der Graph die Achse schneidet oder nur berührt. - Wie berechnet man den Vorfaktor \(a\), wenn man die Nullstellen und einen weiteren Punkt (z. B. den y-Achsenabschnitt) kennt? - Eine Stammfunktion erhältst du durch gliedweise Integration des Polynoms. - Überlege dir, was ein fehlender Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle von \(f\) für die Form des Graphen von \(F\) bedeutet.

1. Bestimmung von \(f(x)\): Der Graph zeigt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x_1 = 2\) und eine einfache Nullstelle bei \(x_2 = -1\). Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(-2\). Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = a \cdot (0 - 2)^2 \cdot (0 + 1) = 4a = -2 \Rightarrow a = -0{,}5\). Somit ist \(f(x) = -0{,}5(x - 2)^2(x + 1) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F\): Die allgemeine Stammfunktion ist \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + C\). 3. Berechnung von \(C\): Mit \(F(2) = 0\) folgt \(-0{,}125 \cdot 16 + 0{,}5 \cdot 8 - 2 \cdot 2 + C = 0 \Rightarrow -2 + 4 - 4 + C = 0 \Rightarrow -2 + C = 0 \Rightarrow C = 2\). Also \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). 4. Untersuchung der Stelle \(x = 2\): Da \(f(2) = 0\) und \(f\) an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel hat (Berührpunkt), besitzt \(F\) dort zwar eine waagerechte Tangente (\(F'(2) = 0\)), aber kein Extremum. Es handelt sich um einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) \(a = -0{,}5\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\); also \(f(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\). b) \(F(x) = -0{,}125x^4 + 0{,}5x^3 - 2x + 2\). c) An der Stelle \(x = 2\) hat \(G_F\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt), da \(f(2) = 0\) gilt, aber an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel von \(f\) vorliegt.

- Überlege dir, welche Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion bezüglich der Ableitung besteht. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich an die Kriterien für Extrem- und Wendepunkte. - Nutze die Nullstellenform für ganzrationale Funktionen, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

1. Eine Stammfunktion \(F\) ist streng monoton fallend, wenn \(F'(x) = f(x) < 0\) gilt. Aus dem Graphen liest man \(f(x) < 0\) für \(x \in (-\infty; -4)\) und \(x \in (1; 5)\) ab. 2. Lokale Extremstellen von \(F\) liegen an Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel: - Bei \(x = -4\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). - Bei \(x = 1\) wechselt \(f\) von Plus nach Minus: lokaler Hochpunkt von \(F\). - Bei \(x = 5\) wechselt \(f\) von Minus nach Plus: lokaler Tiefpunkt von \(F\). 3. Wendestellen von \(F\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f\). Diese befinden sich bei \(x \approx -1{,}93\) und \(x \approx 3{,}27\). 4. Mit den Nullstellen \(-4\), \(1\) und \(5\) hat \(f\) die Form \(f(x) = a(x + 4)(x - 1)(x - 5)\). Aus dem Punkt \(P(0 \mid 2)\) folgt \(2 = 20a\), also \(a = 0{,}1\). Damit ist \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\).

a) \(F\) fällt streng monoton für \(x < -4\) und für \(1 < x < 5\), da dort \(f(x) < 0\) gilt. b) Tiefpunkte bei \(x = -4\) und \(x = 5\); Hochpunkt bei \(x = 1\). c) Wendestellen von \(F\) liegen an den Stellen, an denen \(f\) Extremstellen hat (ca. \(x \approx -1{,}9\) und \(x \approx 3{,}3\)). d) \(f(x) = 0{,}1(x + 4)(x - 1)(x - 5)\)

- Welche Eigenschaft des Graphen von \(f\) korrespondiert mit der Krümmung oder den Wendepunkten von \(F\)? - Beachte bei der Beschreibung die Nullstellen von \(f\), da diese die Steigung von \(F\) bestimmen. - Überlege dir für den Funktionsterm zuerst, wie du den Streckfaktor \(a\) der Parabel aus dem Scheitelpunkt bestimmen kannst.

1. Eine Wendestelle von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f' = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Das entspricht einer Extremstelle von \(f\). Der Graph von \(f\) hat im Intervall \([-2; 2]\) genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Daher hat \(F\) dort eine Wendestelle. 2. Verlauf von \(F_1\): Da \(f(x) > 0\) für \(x < -2\), steigt \(F_1\). Für \(-2 < x < 2\) ist \(f(x) < 0\), also fällt \(F_1\). Ab \(x = 2\) steigt \(F_1\) wieder. Bei \(x = 2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse in einem lokalen Minimum, da \(F_1(2) = 0\) gilt und \(f\) dort von Minus nach Plus wechselt. Markante Punkte: \(F_1(2) = 0\), Hochpunkt bei \(x = -2\), Wendepunkt bei \(x = 0\). 3. Nullstellen bei \(x = \pm 2\) führen zu \(f(x) = a(x - 2)(x + 2)\). Mit \(f(0) = -2\) folgt \(-2 = a(-4)\), also \(a = 0{,}5\). Somit \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\).

a) \(F\) hat eine Wendestelle, wo \(f\) eine Extremstelle besitzt. Das ist hier bei \(x = 0\) der Fall. b) Der Graph von \(F_1\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt, bei \(x = 0\) einen Wendepunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse. c) \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\)

- Erinnere dich an die Kriterien für Monotonie und Extrema unter Verwendung der ersten Ableitung. - Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder Wendestellen der ursprünglichen Funktion aus? - Nutze die Periodenlänge und die maximale Auslenkung des Graphen, um die Parameter der Kosinusfunktion zu bestimmen.

1. Lokale Extremstellen: Diese liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). 2. Monotonie: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist (\(f'(x) < 0\)). Aus dem Graphen ergibt sich dieser Zustand für das Intervall \((1{,}5; 4{,}5)\). 3. Wendestellen: Die Extremstellen der Ableitungsfunktion sind die Wendestellen der Stammfunktion. Im Intervall \([0; 6]\) sind dies das lokale Maximum bei \(x = 0\), das lokale Minimum bei \(x = 3\) und das lokale Maximum bei \(x = 6\). 4. Funktionsgleichung: Die Amplitude beträgt \(a = 2\). Eine volle Periode ist bei \(T = 6\) abgeschlossen. Für den Parameter \(b\) gilt \(b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\). Somit lautet die Gleichung \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

a) Lokale Extremstellen bei \(x = 1{,}5\) und \(x = 4{,}5\). b) Im Bereich \(1{,}5 \le x \le 4{,}5\) (bzw. \([1{,}5; 4{,}5]\)). c) Wendestellen bei \(x = 0\), \(x = 3\) und \(x = 6\). d) \(f'(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3} x)\).

- Nutze die Beziehung \(F'(x)=f(x)\): Das Vorzeichen von \(f\) entscheidet über die Monotonie von \(F\). - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Extremstellen ihrer Stammfunktion zusammen? - Wo liegen die Wendepunkte einer Funktion, wenn man nur den Graphen ihrer Ableitung kennt? - Betrachte für die letzte Aussage das Vorzeichen von \(f\) im angegebenen Intervall.

1. Eine lokale Extremstelle einer Stammfunktion \(F\) liegt an den Nullstellen von \(F' = f\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x=0\) hat \(f\) eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus. Somit hat \(F\) dort ein lokales Minimum. Aussage (1) ist wahr. 2. Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist. Hier gilt \(F'(x) = f(x)\). Im Intervall \([0; 3]\) ist \(f(x) \geq 0\), daher ist \(F\) dort streng monoton steigend. Aussage (2) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(F\) liegt vor, wenn \(F'' = f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, also an den Extremstellen von \(f\). Da \(f\) bei \(x=0\) keine Extremstelle, sondern eine positive Steigung besitzt, liegt dort kein Wendepunkt von \(F\). Aussage (3) ist falsch. 4. Im Intervall \([3; 5]\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der x-Achse. Somit gilt dort \(F'(x) = f(x) < 0\), also ist \(F\) in diesem Intervall streng monoton fallend. Aussage (4) ist wahr.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Falsch (4) Wahr

- Vergleiche die Nullstellen eines möglichen Ableitungsgraphen mit den waagerechten Tangenten des zugehörigen Funktionsgraphen. - Achte auf das Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte. Gehen alle Graphen gegen Null? - Ein Vorzeichenwechsel an einer Nullstelle der Ableitung deutet auf ein Extremum der Originalfunktion hin. - Nutze den Zusammenhang: Die Steigung der Tangente an einer Stelle \(x\) eines Graphen entspricht dem Funktionswert des Ableitungsgraphen an dieser Stelle.

Die Analyse der Zusammenhänge zwischen Funktionswerten und Steigungen führt zur Lösung: 1. Graph (4) hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Graph (3) hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies passt zur Bedingung \(F'(x) = f(x)\). Also ist (4) die Stammfunktion \(F\) und (3) die Funktion \(f\). 2. Graph (3) hat Maxima/Minima bei \(x \approx \pm 1{,}6\). Graph (1) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. Damit ist (1) die Ableitung von (3), also \(f'\). 3. Graph (1) hat Extremstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}7\). Dies sind genau die Nullstellen von Graph (2). Somit ist (2) die Ableitung von (1), also \(f''\). Ergebnis: \(F \to (4)\), \(f \to (3)\), \(f' \to (1)\), \(f'' \to (2)\).

Die Zuordnung ist: (1) ist der Graph der ersten Ableitung \(f'\), (2) ist der Graph der zweiten Ableitung \(f''\), (3) ist der Graph der Funktion \(f\) und (4) ist der Graph der Stammfunktion \(F\).

- Nutze das Vorzeichen von \(g\), um das Monotonieverhalten von \(G\) zu beurteilen. - Wie hängen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(g\) mit den Extrempunkten von \(G\) zusammen? - Was sagt die Steigung von \(g\) über die Krümmung von \(G\) aus?

1. Auf \((0;4)\) ist \(g>0\). Wegen \(G'=g\) ist \(G\) dort streng monoton steigend. Aus \(G(0)=0\) folgt \(G(4)>0\). Aussage a) ist wahr. 2. Eine Extremstelle von \(G\) liegt vor, wenn \(G'(x) = g(x) = 0\) gilt. Bei \(x = 4\) ist \(g(4) = 0\). Da \(g\) an dieser Stelle das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt, hat \(G\) dort einen Hochpunkt, keinen Tiefpunkt. Aussage b) ist falsch. 3. Ein Wendepunkt von \(G\) liegt vor, wenn \(G''(x) = g'(x) = 0\) ist und ein Vorzeichenwechsel von \(g'\) stattfindet. Dies ist an den Extremstellen von \(g\) der Fall. Da \(g\) bei \(x = 2\) ein Maximum hat, besitzt \(G\) dort einen Wendepunkt. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr: Wegen \(g>0\) auf \((0;4)\) steigt \(G\) von \(G(0)=0\) aus an. b) Falsch: Bei \(x=4\) liegt ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein Hochpunkt. c) Wahr: Da \(g\) bei \(x=2\) eine Extremstelle hat, hat \(G\) dort eine Wendestelle.

- Wo besitzt der gezeigte Graph waagerechte Tangenten, und was bedeutet das für seine Ableitung? - Übersetze steigende und fallende Abschnitte des gezeigten Graphen in Vorzeichen der gesuchten Funktion. - Achte beim Skizzieren darauf, ob an einer Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden muss.

1. Nullstellen von \(f=F'\) liegen dort, wo der Graph von \(F\) eine waagerechte Tangente besitzt. Das ist bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) der Fall. 2. Im dargestellten Bereich fällt \(F\) auf \((-2;-1)\), also ist dort \(f<0\). Auf \((-1;0)\) steigt \(F\), also ist \(f>0\). Auf \((0;1)\) fällt \(F\), also ist \(f<0\). Auf \((1;2)\) steigt \(F\), also ist \(f>0\). 3. Ein qualitativ passender Graph von \(f\) verläuft daher durch die drei Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(1\) und hat in den vier Intervallen genau die genannten Vorzeichen. Er muss die \(x\)-Achse an jeder der drei Stellen schneiden, weil das Vorzeichen jeweils wechselt.

a) \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) b) Im dargestellten Bereich gilt \(f(x)<0\) für \(-2<x<-1\) und \(0<x<1\); \(f(x)>0\) für \(-1<x<0\) und \(1<x<2\). c) Ein passender Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(-1\), \(0\) und \(1\) und verläuft entsprechend der Vorzeichenfolge negativ – positiv – negativ – positiv.