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- Welche Achse gibt den Realteil und welche den Imaginärteil an? - Lies die beiden Koordinaten des markierten Punktes ab. - Setze Realteil und Imaginärteil in die Form \(a+bi\) ein.

1. Der Punkt \(A\) liegt bei \((0|-1)\). Daher ist \(z=-i\).

\(z=-i\)

- Vergleiche die gegebene Zahl direkt mit der allgemeinen Polarform \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\). - Welche Größe steht als Faktor vor der Klammer? - Welcher Winkel erscheint gleichzeitig in Kosinus und Sinus?

1. In der Polarform \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) ist der Vorfaktor der Betrag und der Winkel in Kosinus und Sinus ein Argument. Daher gilt \(|z|=4\) und \(\varphi=\frac{5\pi}{6}\).

\(|z|=4\), \(\varphi=\frac{5\pi}{6}\)

- Welche Werte haben Kosinus und Sinus für den angegebenen Winkel am Einheitskreis? - Multipliziere den Betrag mit Real- und Imaginäranteil der Klammer. - Das Endergebnis soll die Form \(a+bi\) haben.

1. Es gilt \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) und \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Daher ist \(z=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+\sqrt{3}i\).

\(z=1+\sqrt{3}i\)

- Wo liegt eine rein imaginäre Zahl mit negativem Koeffizienten in der Gaußschen Zahlenebene? - Wie kann man einen Bruch mit einer imaginären Einheit im Nenner reell machen? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen des Imaginärteils auf den Winkel (das Argument) einer Zahl, die auf der vertikalen Achse liegt?

1. Bestimmung von Betrag und Argument von \(z = -2{,}5i\): Da die Zahl auf der negativen imaginären Achse liegt, ist der Betrag \(|z| = 2{,}5\) und das Argument \(\arg(z) = 270^\circ\). 2. Berechnung des Kehrwerts: \(w = \frac{1}{-2{,}5i} = \frac{i}{-2{,}5i^2} = \frac{i}{2{,}5} = 0{,}4i\). In der Form \(a + bi\) ist dies \(0 + 0{,}4i\). 3. Betrag und Argument von \(w\): Da \(w = 0{,}4i\) auf der positiven imaginären Achse liegt, ist \(|w| = 0{,}4\) und \(\arg(w) = 90^\circ\). 4. Allgemeiner Vergleich: Für \(z = bi\) mit \(b < 0\) ist \(\arg(z) = 270^\circ\). Der Kehrwert ist \(w = \frac{1}{bi} = -\frac{1}{b}i\). Da \(b < 0\), ist \(-\frac{1}{b} > 0\), woraus \(\arg(w) = 90^\circ\) folgt. Das Argument ändert sich somit um \(-180^\circ\) (oder \(+180^\circ\)).

a) \(|z| = 2{,}5\); \(\arg(z) = 270^\circ\) b) \(w = 0{,}4i\) c) \(|w| = 0{,}4\); \(\arg(w) = 90^\circ\). Das Argument einer rein imaginären Zahl mit negativem Imaginärteil springt beim Bilden des Kehrwerts von der negativen auf die positive imaginäre Achse (Änderung um \(180^\circ\)).

- Stell dir die Zahlen als Pfeile vom Ursprung aus vor. - Wie lang ist der Pfeil im Vergleich zum Einheitsvektor? - Um welchen Winkel muss man die positive reelle Achse drehen, um auf dem Pfeil zu liegen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Koordinaten \((a, b)\) und dem Satz des Pythagoras. - Nutze die Arkustangens-Funktion, um den Winkel zu bestimmen, und achte dabei auf den Quadranten.

1. Bestimmung der Operationen für jede Zahl durch Vergleich mit der Polarform \(r(\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))\): - \(z_1 = -3\): Da \(-3 = 3 \cdot (-1)\), entspricht dies einer Streckung um den Faktor \(3\) und einer Drehung um \(180^\circ\). - \(z_2 = 4i\): Da \(4i = 4 \cdot (0 + i)\), entspricht dies einer Streckung um den Faktor \(4\) und einer Drehung um \(90^\circ\). - \(z_3 = 1 + i\): Der Betrag ist \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Da der Punkt im 1. Quadranten liegt mit gleichen Real- und Imaginärteilen, ist der Winkel \(45^\circ\). Dies entspricht einer Streckung um \(\sqrt{2}\) und einer Drehung um \(45^\circ\). - \(z_4 = -\sqrt{3} + i\): Der Betrag ist \(\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Da \(\tan(\varphi) = \frac{1}{-\sqrt{3}}\) und der Punkt im 2. Quadranten liegt, ist \(\varphi = 150^\circ\). Dies entspricht einer Streckung um den Faktor \(2\) und einer Drehung um \(150^\circ\). 2. Zusammenfassung der Kennwerte: - \(z_1\): \(|z_1| = 3\), \(\arg(z_1) = 180^\circ\) - \(z_2\): \(|z_2| = 4\), \(\arg(z_2) = 90^\circ\) - \(z_3\): \(|z_3| = \sqrt{2} \approx 1{,}41\), \(\arg(z_3) = 45^\circ\) - \(z_4\): \(|z_4| = 2\), \(\arg(z_4) = 150^\circ\)

1. Operationen: - \(z_1\): Streckung um Faktor \(3\), Drehung um \(180^\circ\). - \(z_2\): Streckung um Faktor \(4\), Drehung um \(90^\circ\). - \(z_3\): Streckung um Faktor \(\sqrt{2}\), Drehung um \(45^\circ\). - \(z_4\): Streckung um Faktor \(2\), Drehung um \(150^\circ\). 2. Werte: - \(z_1\): \(|z| = 3\), \(\arg(z) = 180^\circ\). - \(z_2\): \(|z| = 4\), \(\arg(z) = 90^\circ\). - \(z_3\): \(|z| = \sqrt{2}\), \(\arg(z) = 45^\circ\). - \(z_4\): \(|z| = 2\), \(\arg(z) = 150^\circ\).

- Was passiert mit dem Betrag und dem Winkel einer komplexen Zahl, wenn man sie streckt oder dreht? - In welcher Reihenfolge werden die Operationen ausgeführt? - Überlege dir, in welchem Quadranten die Zahl nach den Drehungen liegen muss. - Wie hängen die Polarkoordinaten einer Zahl mit ihren kartesischen Koordinaten (Real- und Imaginärteil) zusammen?

1. Die Ausgangszahl \(z_1 = 4\) hat den Betrag \(|z_1| = 4\) und das Argument \(\arg(z_1) = 0^\circ\). 2. Nach der ersten Transformation (Streckung um \(0{,}5\) und Drehung um \(30^\circ\)) ergibt sich ein Zwischenwert \(z'\) mit dem Betrag \(|z'| = 4 \cdot 0{,}5 = 2\) und dem Argument \(\arg(z') = 0^\circ + 30^\circ = 30^\circ\). 3. Die zweite Transformation (Drehung um weitere \(120^\circ\)) führt zur Zielzahl \(z_2\). Der Betrag bleibt gleich (\(|z_2| = 2\)), das Argument addiert sich: \(\arg(z_2) = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ\). 4. Umrechnung in die algebraische Form: \(z_2 = 2(\cos(150^\circ) + i \sin(150^\circ))\). 5. Mit \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}\) folgt: \(z_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 \cdot i \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + i\).

a) Der Betrag ist \(r = 2\) und das Argument ist \(\varphi = 150^\circ\). b) Die algebraische Form lautet \(z_2 = -\sqrt{3} + i\).

- Wie verhalten sich die Beträge und Argumente bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polarform? - Denk daran, dass ein negatives Argument durch Addition von \(360^\circ\) in den Standardbereich gebracht werden kann. - Wie hängen der Real- und Imaginärteil einer Zahl mit ihrem Betrag und ihrem Winkel zusammen?

1. Für das Produkt \(z_3 = z_1 \cdot z_2\) werden die Beträge multipliziert (\(2 \cdot 3 = 6\)) und die Argumente addiert (\(30^\circ + 120^\circ = 150^\circ\)). Die Polarform lautet \(z_3 = 6(\cos(150^\circ) + i \sin(150^\circ))\). Die Umwandlung in die algebraische Form ergibt \(a = 6\cos(150^\circ) = -3\sqrt{3} \approx -5{,}20\) und \(b = 6\sin(150^\circ) = 3\), also \(z_3 = -3\sqrt{3} + 3i\). 2. Für den Quotienten \(z_4 = \frac{z_1}{z_2}\) werden die Beträge dividiert (\(2 : 3 = \frac{2}{3}\)) und die Argumente subtrahiert (\(30^\circ - 120^\circ = -90^\circ\)). Durch Addition von \(360^\circ\) ergibt sich das positive Argument \(270^\circ\). Die Polarform lautet \(z_4 = \frac{2}{3}(\cos(270^\circ) + i \sin(270^\circ))\). Die algebraische Form ist \(a = \frac{2}{3}\cos(270^\circ) = 0\) und \(b = \frac{2}{3}\sin(270^\circ) = -\frac{2}{3}\), also \(z_4 = -\frac{2}{3}i \approx -0{,}67i\).

\(z_3 = 6(\cos(150^\circ) + i \sin(150^\circ)) = -3\sqrt{3} + 3i \approx -5{,}20 + 3i\) \(z_4 = \frac{2}{3}(\cos(270^\circ) + i \sin(270^\circ)) = -\frac{2}{3}i \approx -0{,}67i\)

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes vom Ursprung in der komplexen Ebene? - Welchen Winkel schließt der Zeiger der Zahl mit der positiven reellen Achse ein? - Was passiert mit dem Winkel einer komplexen Zahl, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Wann liegt eine komplexe Zahl genau auf der waagerechten Achse im Koordinatensystem?

1. Berechnung des Betrags \(r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) und des Arguments \(\varphi = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}\). Polarform: \(z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\). 2. Anwendung des Satzes von de Moivre: \(z^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}}\). Damit \(z^n\) reell ist, muss der Imaginärteil Null sein: \(\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0\). Die kleinste Lösung für \(n > 0\) ist \(\frac{n\pi}{4} = \pi\), woraus \(n = 4\) folgt. Der Wert ist \(z^4 = (\sqrt{2})^4 e^{i\pi} = 4 \cdot (-1) = -4\). 3. Berechnung von \(z^8 = (z^4)^2 = (-4)^2 = 16\). Da \(16 \in \mathbb{N}^+\), ist die Aussage gezeigt.

1. \(z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}\) 2. \(n = 4\); \(z^4 = -4\) 3. \(z^8 = 16\)

- Lies zuerst die Lage jedes Punktes relativ zu Real- und Imaginärachse ab. - Welche Beziehung besteht zwischen der Anzahl der Lösungen von \(z^n=1\) und ihrer Verteilung auf dem Einheitskreis? - Vergleiche die Winkelabstände benachbarter Punkte.

1. Aus der Lage auf den Achsen folgt \(A=1\), \(B=i\), \(C=-1\) und \(D=-i\). 2. Es sind vier Punkte auf dem Einheitskreis, deren Argumente sich jeweils um \(\frac{\pi}{2}\) unterscheiden. Daher sind es genau die vierten Einheitswurzeln und die gesuchte Gleichung ist \(z^4=1\). 3. Die Argumente können als \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\) und \(\frac{3\pi}{2}\) gewählt werden. Die konstante Winkeldifferenz \(\frac{\pi}{2}\) erzeugt die gleichmäßige Verteilung.

a) \(A=1\), \(B=i\), \(C=-1\), \(D=-i\) b) \(z^4=1\) c) Die Argumente unterscheiden sich jeweils um \(\frac{\pi}{2}\).

- Welche Beträge können sechste Wurzeln von \(1\) besitzen? - Betrachte die möglichen Argumente von \(1\), bevor du durch den Exponenten teilst. - Wie wirkt sich ein konstanter Winkelabstand auf die Lage der Punkte auf einem Kreis aus? - Wann liegt ein Punkt des Einheitskreises auf der reellen Achse?

1. Für \(z^6=1\) muss der Betrag jeder Lösung \(1\) sein. Die Argumente erfüllen \(6\varphi=2k\pi\), also \(\varphi=\frac{k\pi}{3}\) für \(k=0,1,2,3,4,5\). 2. Damit lauten die Lösungen \(z_k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}\) für \(k=0,1,2,3,4,5\). 3. Die Argumente unterscheiden sich jeweils um \(\frac{\pi}{3}\). Auf dem Einheitskreis entstehen daher die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks. 4. Reell sind genau die Lösungen mit Argument \(0\) oder \(\pi\), also \(1\) und \(-1\).

\(z_k=\cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}\) für \(k=0,1,2,3,4,5\). Die Lösungen bilden ein regelmäßiges Sechseck. Reell sind \(1\) und \(-1\).

- Der Betrag ist der Abstand des zugehörigen Punktes vom Ursprung. - Welche besondere Lage hat der Punkt, wenn Realteil und Imaginärteil gleich und positiv sind? - Setze Betrag und Argument erst am Ende in die allgemeine Polarform ein.

1. Der Betrag ist \(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). 2. Der Punkt \((1|1)\) liegt im ersten Quadranten auf der Winkelhalbierenden. Daher ist \(\varphi=\frac{\pi}{4}\). 3. Somit gilt \(z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\).

\(|z|=\sqrt{2}\), \(\varphi=\frac{\pi}{4}\), \(z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Zahl auf der imaginären Achse liegt? - Wie lässt sich der Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen, die beide auf derselben Achse liegen, einfach berechnen? - Denke daran, dass der Betrag einer Differenz \(|z - w|\) als Abstand zwischen den Punkten \(z\) und \(w\) interpretiert werden kann.

1. Bedingung für rein imaginäre Zahlen: Der Realteil muss Null sein, also \(\text{Re}(z) = 0\). Das Argument ist \(90^\circ\) für Zahlen auf der positiven imaginären Achse (\(\text{Im}(z) > 0\)) und \(270^\circ\) für Zahlen auf der negativen imaginären Achse (\(\text{Im}(z) < 0\)). 2. Lösung der Gleichung für \(z = bi\): Einsetzen in die Bedingung ergibt \(|bi - 1{,}5i| = 4{,}5\), also \(|(b - 1{,}5)i| = 4{,}5\). Da \(|i| = 1\), folgt \(|b - 1{,}5| = 4{,}5\). 3. Fallunterscheidung für den Betrag: Fall 1: \(b - 1{,}5 = 4{,}5 \Rightarrow b_1 = 6\). Somit ist \(z_1 = 6i\). Fall 2: \(b - 1{,}5 = -4{,}5 \Rightarrow b_2 = -3\). Somit ist \(z_2 = -3i\). 4. Bestimmung von Betrag und Argument: Für \(z_1 = 6i\): \(|z_1| = 6\), \(\arg(z_1) = 90^\circ\). Für \(z_2 = -3i\): \(|z_2| = 3\), \(\arg(z_2) = 270^\circ\).

a) \(\text{Re}(z) = 0\); \(\arg(z) \in \{90^\circ, 270^\circ\}\) b) \(z_1 = 6i\) und \(z_2 = -3i\) c) Für \(z_1\): \(|z_1| = 6\), \(\arg(z_1) = 90^\circ\); für \(z_2\): \(|z_2| = 3\), \(\arg(z_2) = 270^\circ\)

- Wie hängen Betrag und Argument bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen zusammen? - Betrachte die Zahl \(1 - i\) einzeln: Welchen Betrag und welchen Winkel hat sie in der Gaußschen Ebene? - Nutze die Definition der Polarform, um von einer geometrischen Beschreibung zur algebraischen Form zu gelangen. - Was passiert mit den Winkeln, wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert? Werden sie addiert oder multipliziert?

1. Berechnung von \(w\): Nutzung der Polarform \(w = r(\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))\) mit \(r = 4\) und \(\varphi = 120^\circ\). \(w = 4 \cdot (\cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)) = 4 \cdot (-0{,}5 + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2\sqrt{3}i\). 2. Geometrische Wirkung der Multiplikation mit \(z = 1 - i\): Bestimmung von Betrag und Argument von \(z\): \(|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\). \(\arg(z) = \arctan(\frac{-1}{1}) = -45^\circ\) (oder \(315^\circ\)). Die Multiplikation bewirkt eine Streckung um den Faktor \(\sqrt{2}\) und eine Drehung um \(45^\circ\) im Uhrzeigersinn (bzw. \(315^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn). 3. Kennwerte von \(v\): Betrag: \(|v| = |w| \cdot |z| = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\). Argument: \(\arg(v) = \arg(w) + \arg(z) = 120^\circ - 45^\circ = 75^\circ\).

1. \(w = -2 + 2\sqrt{3}i\). 2. Die Multiplikation entspricht einer Streckung um den Faktor \(\sqrt{2}\) und einer Drehung um \(45^\circ\) im Uhrzeigersinn (oder \(315^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn). 3. \(|v| = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) und \(\arg(v) = 75^\circ\).

- Wie berechnet man den Betrag und den Winkel aus Real- und Imaginärteil? - Erinnere dich an die Rechenregeln für die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarform. Was passiert dabei mit den Beträgen und den Winkeln? - Wenn \(z_1 \cdot w = z_2\) gilt, wie kannst du \(w\) isolieren? - Wie hängen die Eigenschaften der Zahl \(w\) mit der geometrischen Veränderung von \(z_1\) zu \(z_2\) zusammen?

1. Polardarstellung von \(z_1\): \(|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\). Da \(z_1\) im ersten Quadranten liegt, ist \(\varphi_1 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = 60^\circ\) bzw. \(\frac{\pi}{3}\). Somit \(z_1 = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}\). 2. Polardarstellung von \(z_2\): \(|z_2| = 4\). Da \(z_2\) auf der negativen imaginären Achse liegt, ist \(\varphi_2 = 270^\circ\) bzw. \(\frac{3\pi}{2}\). Somit \(z_2 = 4 e^{i \frac{3\pi}{2}}\). 3. Berechnung von \(w\): \(w = \frac{z_2}{z_1} = \frac{-4i}{1 + i\sqrt{3}}\). Durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl \(1 - i\sqrt{3}\) ergibt sich \(w = \frac{-4i(1 - i\sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{-4i - 4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} - i\). 4. Geometrische Interpretation: Der Streckfaktor \(k\) entspricht dem Betrag von \(w\). \(|w| = \frac{|z_2|}{|z_1|} = \frac{4}{2} = 2\). 5. Der Drehwinkel \(\alpha\) entspricht dem Argument von \(w\). \(\alpha = \arg(z_2) - \arg(z_1) = 270^\circ - 60^\circ = 210^\circ\) (oder \(-150^\circ\)).

a) \(z_1 = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}\) und \(z_2 = 4 e^{i \frac{3\pi}{2}}\). b) \(w = -\sqrt{3} - i\). c) Die Abbildung ist eine Streckung mit dem Faktor \(2\) kombiniert mit einer Drehung um \(210^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn (oder \(150^\circ\) im Uhrzeigersinn).

- Wie löst man eine Gleichung der Form \(a \cdot x = b\) nach \(x\) auf, wenn es sich um komplexe Zahlen handelt? - Was musst du beim Dividieren komplexer Zahlen beachten, um den Nenner reell zu machen? - Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl \(a + bi\)? - Welche geometrische Bedeutung haben Betrag und Argument des Faktors bei einer komplexen Multiplikation?

1. Berechnung von \(w\): \(w = \frac{z_2}{z_1} = \frac{2 + 4i}{3 + i}\). Durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners ergibt sich \(w = \frac{(2 + 4i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{6 - 2i + 12i - 4i^2}{9 + 1} = \frac{10 + 10i}{10} = 1 + i\). 2. Bestimmung des Streckfaktors: \(k = |w| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). 3. Bestimmung des Drehwinkels: Da \(w = 1 + i\) im ersten Quadranten liegt und Real- sowie Imaginärteil gleich sind, ist \(\alpha = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = 45^\circ\). 4. Geometrische Wirkung: Jede Zahl (und damit jeder entsprechende Vektor) wird um den Faktor \(\sqrt{2}\) gestreckt und um \(45^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht.

a) \(w = 1 + i\) b) Streckfaktor \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\); Drehwinkel \(\alpha = 45^\circ\) c) Der Vektor wird um den Faktor \(\sqrt{2}\) gestreckt und um \(45^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

- Welche Vorzeichen haben Real- und Imaginärteil in den verschiedenen Quadranten? - Wie kannst du den Satz des Pythagoras nutzen, um fehlende Komponenten zu berechnen? - Beachte beim Berechnen des Winkels mit dem Taschenrechner, in welchem Quadranten dein Ergebnis liegen muss.

1. Der Imaginärteil wird über den Betrag berechnet: \(|z|^2 = a^2 + b^2\), also \(25 = (-3)^2 + b^2\). Dies führt zu \(b^2 = 16\), woraus \(b = \pm 4\) folgt. Da die Zahl im dritten Quadranten liegt, müssen Real- und Imaginärteil negativ sein, daher ist \(b = -4\). 2. Das Argument \(\varphi\) erfüllt \(\cos(\varphi) = \frac{a}{|z|} = \frac{-3}{5} = -0{,}6\). Der Arkuskosinus liefert \(\arccos(-0{,}6) \approx 126{,}87^\circ\) (zweiter Quadrant). Da die Zahl im dritten Quadranten liegt, ergibt sich der korrekte Winkel durch Symmetrie oder über den Arkustangens: \(\varphi = 180^\circ + \arctan(\frac{-4}{-3}) \approx 180^\circ + 53{,}13^\circ = 233{,}13^\circ\). 3. Die Polarform lautet somit \(z \approx 5(\cos(233{,}13^\circ) + i \sin(233{,}13^\circ))\).

1. \(b = -4\) 2. \(\varphi \approx 233{,}13^\circ\) 3. \(z \approx 5(\cos(233{,}13^\circ) + i \sin(233{,}13^\circ))\)

- Wie hängen die Längen der Vektoren bei einer Multiplikation zusammen? - Was passiert mit den Winkeln zur positiven x-Achse, wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert? - Erinnere dich an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder den Tangens im rechtwinkligen Dreieck. - Kannst du die Multiplikation \(z_1 \cdot z_2\) als eine Transformation sehen, die auf \(z_1\) wirkt?

1. Berechnung der Beträge und Argumente: Für \(z_1 = 1 + i\) gilt \(|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) und \(\arg(z_1) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = 45^\circ\). Für \(z_2 = \sqrt{3} + i\) gilt \(|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2\) und \(\arg(z_2) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ\). 2. Algebraische Multiplikation: \(z = (1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2 = (\sqrt{3}-1) + (1+\sqrt{3})i\). Multiplikation in Polardarstellung: Der Betrag des Produkts ist \(|z| = |z_1| \cdot |z_2| = 2\sqrt{2}\). Das Argument des Produkts ist \(\arg(z) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ\). 3. Geometrische Interpretation: Die Multiplikation mit \(z_2\) entspricht einer Drehstreckung am Ursprung. Der Vektor \(z_1\) wird um den Faktor \(|z_2| = 2\) gestreckt und um den Winkel \(\arg(z_2) = 30^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

1. \(|z_1| = \sqrt{2}\), \(\arg(z_1) = 45^\circ\); \(|z_2| = 2\), \(\arg(z_2) = 30^\circ\). 2. Algebraisch: \(z = (\sqrt{3}-1) + (1+\sqrt{3})i\); Polar: \(z = 2\sqrt{2} \cdot (\cos(75^\circ) + i \sin(75^\circ))\). 3. Streckung um Faktor 2 und Drehung um \(30^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn.

- Wie schreibt man eine Zahl mit gegebenem Betrag und Winkel in der Form \(a + bi\)? - Welche Werte haben Sinus und Kosinus für \(120^\circ\)? - Überlege dir, wo die Zahl \(i\) in der komplexen Ebene liegt. Wie weit ist sie vom Ursprung entfernt und welchen Winkel schließt sie mit der x-Achse ein?

1. Die Zahl \(w\) repräsentiert die Drehstreckung mit Betrag \(|w| = k = 2\) und Argument \(\arg(w) = 120^\circ\). In algebraischer Form: \(w = 2(\cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)) = 2 \cdot (-0{,}5 + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \sqrt{3}i\). 2. Berechnung des Bildpunktes: \(z' = w \cdot z = (-1 + \sqrt{3}i)(3 + 2i) = -3 - 2i + 3\sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i^2 = (-3 - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 2)i\). Numerisch entspricht dies etwa \(-6{,}46 + 3{,}20i\). 3. Begründung für \(i\): Die Zahl \(i\) hat den Betrag \(|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\) und das Argument \(\arg(i) = 90^\circ\) (da sie auf der positiven imaginären Achse liegt). Da bei der Multiplikation die Beträge multipliziert werden, bleibt die Länge wegen \(|z| \cdot 1 = |z|\) gleich. Da die Argumente addiert werden, wird der Winkel von \(z\) um genau \(90^\circ\) erhöht.

1. \(w = -1 + \sqrt{3}i\) 2. \(z' = (-3 - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 2)i\) 3. Da \(|i| = 1\) und \(\arg(i) = 90^\circ\), bewirkt die Multiplikation eine Streckung um Faktor 1 (unverändert) und eine Addition von \(90^\circ\) zum Argument.

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes in der Gaußschen Zahlenebene vom Ursprung? - In welchem Quadranten liegt die Zahl und was bedeutet das für den Winkel? - Welche Vorteile bietet die Exponentialform beim Potenzieren von Zahlen? - Wann hat eine komplexe Zahl keinen Imaginärteil mehr? - Schau dir die Vielfachen des Winkels im Einheitskreis an.

1. Berechnung des Betrags: \(r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Bestimmung des Arguments: Da \(z\) im zweiten Quadranten liegt, gilt \(\varphi = \pi - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). Polardarstellung: \(z = 2 e^{i \frac{5\pi}{6}}\). 2. Anwendung der Potenzregel für die Exponentialform: \(z^6 = (2 e^{i \frac{5\pi}{6}})^6 = 2^6 e^{i 6 \cdot \frac{5\pi}{6}} = 64 e^{i 5\pi}\). Umwandlung in die algebraische Form: \(64(\cos(5\pi) + i \sin(5\pi)) = 64 \cdot (-1 + 0i) = -64\). 3. \(z^n = 2^n e^{i \frac{5n\pi}{6}}\) ist reell, wenn der Imaginärteil null ist, also \(\sin\left(\frac{5n\pi}{6}\right) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn \(\frac{5n\pi}{6} = k\pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). Umformen ergibt \(5n = 6k\). Da \(5\) und \(6\) teilerfremd sind, muss \(n\) ein Vielfaches von \(6\) sein. Lösung: \(n \in \{6, 12, 18, \dots\}\) bzw. \(n = 6k\) mit \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).

1. \(z = 2 e^{i \frac{5\pi}{6}}\) 2. \(z^6 = -64\) 3. \(n\) muss ein Vielfaches von \(6\) sein (d. h. \(n = 6k\) für \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)).

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(z^n = a\) im Komplexen? - Wie sind die Lösungen einer solchen Wurzelgleichung geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene verteilt? - Kannst du die Lösungen erst in der Polarform finden und dann umrechnen? - Was weißt du über die Symmetrie von Einheitswurzeln (oder deren Vielfachen) bezüglich des Ursprungs?

1. Darstellung von \(8\) in Polarform: \(8 e^{i0}\). Die drei Wurzeln sind \(z_k = \sqrt[3]{8} e^{i\frac{2k\pi}{3}}\) für \(k \in \{0, 1, 2\}\). Dies ergibt \(z_0 = 2\), \(z_1 = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3})) = -1 + i\sqrt{3}\) und \(z_2 = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3})) = -1 - i\sqrt{3}\). 2. Berechnung der Summe: \(z_0 + z_1 + z_2 = 2 + (-1 + i\sqrt{3}) + (-1 - i\sqrt{3}) = 2 - 1 - 1 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3} = 0\). 3. Berechnung des Produkts: \(z_0 \cdot z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot (-1 + i\sqrt{3}) \cdot (-1 - i\sqrt{3})\). Anwendung der dritten binomischen Formel: \(2 \cdot ((-1)^2 - (i\sqrt{3})^2) = 2 \cdot (1 - (-3)) = 2 \cdot 4 = 8\).

1. \(z_0 = 2\), \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\), \(z_2 = -1 - i\sqrt{3}\) 2. \(z_0 + z_1 + z_2 = 0\) 3. \(z_0 \cdot z_1 \cdot z_2 = 8\)

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass \(z^3\) alleine steht? - Überlege, wie man die Wurzel aus einer komplexen Zahl zieht. - Hilft es, die Zahl auf der rechten Seite in der Polardarstellung zu betrachten? - Wie hängen die verschiedenen Lösungen einer Wurzel im Komplexen zusammen?

1. Umstellen der Gleichung zu \(z^3 = -8i\). 2. Darstellung der komplexen Zahl \(-8i\) in Polarform: \(8\left(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)\) bzw. im Gradmaß \(8(\cos(270^\circ) + i \sin(270^\circ))\). 3. Anwendung der Radizierung für komplexe Zahlen: \(z_k = \sqrt[3]{8}\left(\cos\left(\frac{270^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}\right) + i \sin\left(\frac{270^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}\right)\right)\) für \(k \in \{0, 1, 2\}\). 4. Berechnung der Winkel: \(\alpha_0 = 90^\circ\), \(\alpha_1 = 210^\circ\), \(\alpha_2 = 330^\circ\). 5. Umrechnung in die algebraische Form: \(z_0 = 2 \cdot (0 + i) = 2i\); \(z_1 = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -\sqrt{3} - i\); \(z_2 = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = \sqrt{3} - i\).

\(2i, -\sqrt{3}-i, \sqrt{3}-i\)

- Vergleiche in Polarform zuerst die Beträge beider Seiten und danach ihre Argumente. - Wie verändert komplexe Konjugation das Argument einer Zahl, ohne ihren Betrag zu verändern? - Denke bei Argumentgleichungen daran, dass Winkel nur modulo \(2\pi\) eindeutig sind. - Übersetze die gefundenen gleichmäßig verteilten Argumente am Ende wieder in eine geometrische Beschreibung.

1. Schreibe \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\) mit \(r>0\). Dann ist \(\overline{z}=r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))\). 2. Aus den Beträgen folgt \(r^3=r\). Wegen \(r>0\) ist daher \(r=1\). 3. Für die Argumente gilt \(3\varphi\equiv-\varphi\pmod{2\pi}\), also \(4\varphi\equiv0\pmod{2\pi}\). Damit ist \(\varphi=\frac{k\pi}{2}\) für \(k=0,1,2,3\). 4. Die Lösungen sind \(1\), \(i\), \(-1\) und \(-i\). Sie liegen als Eckpunkte eines Quadrats auf dem Einheitskreis.

\(z\in\{1,i,-1,-i\}\). Die vier Lösungen sind die Eckpunkte eines Quadrats auf dem Einheitskreis.