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- Welche Funktion macht den natürlichen Logarithmus rückgängig? - Das Ergebnis soll exakt bleiben; ein Dezimalwert ist nicht nötig.

1. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. 2. Daher ist \(\ln x=2\) äquivalent zu \(x=e^2\).

\(x=e^2\)

- Welche Werte dürfen in eine Logarithmusfunktion eingesetzt werden? - Versuche zuerst, den Logarithmusausdruck alleine auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wie kann man einen natürlichen Logarithmus „rückgängig“ machen? - Denke daran, am Ende zu prüfen, ob dein Ergebnis im erlaubten Bereich liegt.

1. Definitionsbereich bestimmen: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(2x - 4 > 0 \iff 2x > 4 \iff x > 2\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}\). 2. Gleichung nach dem Logarithmusterm isolieren: \(3\ln(2x - 4) = 6 \iff \ln(2x - 4) = 2\). 3. Die Umkehrfunktion (Exponentialfunktion) anwenden: \(2x - 4 = e^2\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(2x = e^2 + 4 \iff x = \frac{e^2}{2} + 2\). 5. Da \(e^2 > 0\), ist \(x = \frac{e^2}{2} + 2 > 2\), die Lösung liegt also im Definitionsbereich.

\(D = ]2; \infty[\); \(x = \frac{e^2}{2} + 2\)

- Was ist die Umkehroperation der natürlichen Logarithmusfunktion? - Denke daran, die Gleichung zuerst so umzustellen, dass der Logarithmusterm allein auf einer Seite steht. - Beachte bei Potenzen innerhalb des Logarithmus, für welche Werte von \(x\) der Ausdruck definiert ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben, wenn \(n\) eine gerade Zahl ist?

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(8\) ergibt \(-3\ln(x) = -6\). Division durch \(-3\) führt auf \(\ln(x) = 2\). Anwendung der Exponentialfunktion liefert \(x = e^2\). Da \(e^2 > 0\), liegt die Lösung im Definitionsbereich. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten ergibt \(5x = e^{10}\). Division durch \(5\) liefert \(x = \frac{1}{5}e^{10}\) (oder \(x = 0{,}2e^{10}\)). Da der Wert positiv ist, ist die Lösung gültig. 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(x^4 = e^8\). Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(|x| = \sqrt[4]{e^8} = e^2\), woraus die zwei Lösungen \(x_1 = e^2\) und \(x_2 = -e^2\) folgen. Da für \(x^4\) nur \(x \neq 0\) gelten muss, sind beide Lösungen zulässig.

a) \(x = e^2\) b) \(x = \frac{1}{5}e^{10}\) c) \(x_1 = e^2\); \(x_2 = -e^2\)

- Was ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus-Ausdruck allein auf einer Seite steht? - Wie verhält sich der Definitionsbereich bei Logarithmusfunktionen? - Kannst du die Basis \(e\) nutzen, um den Logarithmus zu eliminieren?

1. Addition von 4 auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(2 \cdot \ln(x + 1) = 6\). 2. Division der gesamten Gleichung durch 2 ergibt \(\ln(x + 1) = 3\). 3. Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert \(x + 1 = e^3\). 4. Subtraktion von 1 ergibt die Lösung \(x = e^3 - 1\). 5. Eine Überprüfung des Definitionsbereichs (\(x + 1 > 0\)) zeigt, dass \(e^3 - 1 \approx 19{,}09\) eine gültige Lösung ist.

\(x = e^3 - 1\)

- Überlege dir, welche Werte man in eine Logarithmusfunktion einsetzen darf. - Wie hängen die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion zusammen? - Was muss für den Term im Logarithmus gelten, damit der Funktionswert Null wird? - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(5 - e^x > 0\). 2. Umformung der Ungleichung: \(e^x < 5\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus folgt \(x < \ln(5)\). Somit ist \(D = ]-\infty; \ln(5)[\). 3. Berechnung der Nullstelle: Ansatz \(f(x) = 0 \implies \ln(5 - e^x) = 0\). 4. Auflösen der Logarithmusgleichung: \(5 - e^x = e^0 = 1\). 5. Isolieren von \(x\): \(e^x = 4\), woraus \(x = \ln(4)\) folgt. Da \(\ln(4) < \ln(5)\), liegt der Wert im Definitionsbereich.

a) \(D = ]-\infty; \ln(5)[\) b) \(x = \ln(4)\)

- Welche Umkehroperationen heben den natürlichen Logarithmus auf? - Erinnerst du dich an die Logarithmusgesetze für Potenzen und Produkte? - Welche Werte dürfen für das Argument des Logarithmus eingesetzt werden? - Kannst du die Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus-Term allein auf einer Seite steht?

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von 1 ergibt \(3 \cdot \ln(x) = 6\). Division durch 3 führt zu \(\ln(x) = 2\). Anwendung der Exponentialfunktion liefert \(x = e^2\). Da \(e^2 > 0\), ist die Lösung zulässig. 2. Teilaufgabe b): Unter Verwendung der Logarithmusgesetze gilt \(\ln(x^2) = 2\ln(x)\) für \(x > 0\). Die Gleichung wird zu \(2\ln(x) + \ln(x) = 6\), also \(3\ln(x) = 6\). Dies ergibt \(\ln(x) = 2\) und somit \(x = e^2\). Die Bedingung \(x > 0\) ist erfüllt. 3. Teilaufgabe c): Für den Logarithmus muss \(x > 0\) gelten. Da \(\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln(x)\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(2 \cdot \frac{1}{2}\ln(x) = 4\), also \(\ln(x) = 4\). Die Lösung ist \(x = e^4\), und sie liegt im Definitionsbereich. 4. Teilaufgabe d): Für den Logarithmus muss \(4x > 0\), also \(x > 0\), gelten. Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten ergibt \(4x = e^{-2}\). Division durch 4 führt zu \(x = \frac{1}{4}e^{-2} = \frac{1}{4e^2}\). Dieser Wert ist positiv und damit zulässig.

a) \(L = \{e^2\}\) b) \(L = \{e^2\}\) c) \(L = \{e^4\}\) d) \(L = \{\frac{1}{4e^2}\}\)

- Welche Koordinate eines Punktes ist immer Null, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Setze die entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung ein. - Isoliere den Logarithmus-Ausdruck in der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Basis. - Welcher Exponent führt dazu, dass das Ergebnis der Potenz genau der Basis entspricht?

1. Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Da der Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(x = 0\). Der Punkt ist somit \(S(0 \mid -1)\). 2. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung: \(-1 = \log_b(0 + 5) - 2\) 3. Vereinfachen und Isolieren des Logarithmus: \(\log_b(5) = 1\) 4. Umwandlung in die Potenzform: \(b^1 = 5\) 5. Bestimmung der Basis: \(b = 5\)

Die Basis ist \(b = 5\).

- Wie lautet die Definition des Logarithmus als Exponentialgleichung? - Kannst du die Dezimalzahlen oder Brüche als Potenzen einer Zahl schreiben? - Welche Rechenoperation macht ein Potenzieren mit \(3\) oder ein Radizieren (Wurzelziehen) rückgängig? - Denk daran, dass die Basis \(b\) immer positiv sein muss.

Die Lösung erfolgt durch Umwandlung der Logarithmusgleichung in die entsprechende Potenzform \(b^c = a\). 1. Zu a): Aus \(\log_b 125 = 3\) folgt \(b^3 = 125\). Durch Ziehen der dritten Wurzel ergibt sich \(b = \sqrt[3]{125} = 5\). 2. Zu b): Aus \(\log_b 0{,}01 = -2\) folgt \(b^{-2} = 0{,}01\). Dies entspricht \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(b^2 = 100\) folgt. Da \(b > 0\) sein muss, ist \(b = 10\). 3. Zu c): Aus \(\log_b \frac{1}{8} = -3\) folgt \(b^{-3} = \frac{1}{8}\). Dies entspricht \(\frac{1}{b^3} = \frac{1}{8}\), woraus \(b^3 = 8\) folgt. Somit ist \(b = 2\). 4. Zu d): Aus \(\log_b 7 = 0{,}5\) folgt \(b^{0{,}5} = 7\), also \(\sqrt{b} = 7\). Durch Quadrieren erhält man \(b = 7^2 = 49\).

a) \(b = 5\) b) \(b = 10\) c) \(b = 2\) d) \(b = 49\)

- Isoliere zuerst den Logarithmus. - Welche Funktion ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus? - Prüfe am Ende, ob dein Wert die Bedingung \(x>0\) erfüllt.

1. Aus \(12\ln\!\left(\frac{x}{5}\right)=18\) folgt \(\ln\!\left(\frac{x}{5}\right)=1{,}5\). 2. Anwenden der Umkehrfunktion ergibt \(\frac{x}{5}=e^{1{,}5}\). 3. Daher ist \(x=5e^{1{,}5}\approx22{,}4\).

\(x\approx22{,}4\).

- Bestimme den Definitionsbereich, bevor du die Logarithmen zusammenfasst. - Welche Bedingungen müssen beide Logarithmusargumente gleichzeitig erfüllen? - Prüfe jede algebraisch gefundene Lösung gegen diese Bedingungen.

1. Für beide Logarithmen müssen \(x-1>0\) und \(x+1>0\) gelten. Zusammen folgt \(x>1\). 2. Innerhalb dieses Definitionsbereichs ist das Produktgesetz zulässig: \(\ln((x-1)(x+1))=\ln8\). 3. Daher ist \(x^2-1=8\), also \(x^2=9\). Algebraisch entstehen \(x=3\) und \(x=-3\). 4. Wegen \(x>1\) ist nur \(x=3\) zulässig. Nora hat die Definitionsbedingung bei der Auswahl der Lösungen nicht beachtet.

Noras algebraische Umformung ist richtig, aber \(x=-3\) liegt nicht im Definitionsbereich. Die Lösungsmenge ist \(\{3\}\).

- Vergleiche die Definitionsbereiche von \(\ln(x^6)\) und \(\ln(x)\). - Achte darauf, was eine gerade Potenz mit dem Vorzeichen von \(x\) macht. - Überlege, wie sich der Logarithmus der sechsten Potenz formulieren lässt, ohne negative zulässige Werte auszuschließen. - Prüfe zum Schluss beide gefundenen Vorzeichen in der ursprünglichen Gleichung.

1. Die ursprüngliche Gleichung ist für alle \(x\neq0\) definiert, weil \(x^6>0\) gilt. 2. Der Schritt \(\ln(x^6)=6\ln(x)\) schränkt dagegen auf \(x>0\) ein, weil \(\ln(x)\) für negative reelle \(x\) nicht definiert ist. 3. Unter Beibehaltung des ursprünglichen Definitionsbereichs kann man \(\ln(x^6)=6\ln|x|\) schreiben. 4. Aus \(6\ln|x|=12\) folgt \(\ln|x|=2\), also \(|x|=e^2\). 5. Damit ist \(L=\{-e^2;e^2\}\).

Der angegebene Lösungsweg schränkt durch \(\ln(x)\) unzulässig auf \(x>0\) ein und verliert dadurch die negative Lösung. Die vollständige Lösungsmenge ist \(L=\{-e^2;e^2\}\).

- Wann ist der Ausdruck innerhalb des Logarithmus größer als Null? - Kannst du die rechte Seite der Gleichung so umformen, dass sie ebenfalls als ein einzelner Logarithmus erscheint? - Denk daran, dass eine Gleichung der Form \(a^2 = b^2\) oft mehr als eine Lösung hat. - Wie verhält sich das Quadrat einer negativen Zahl im Vergleich zum Quadrat einer positiven Zahl?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Das Argument \((x-5)^2\) muss positiv sein. Dies ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) außer \(x = 5\) der Fall. Also \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Anwendung der Logarithmusregeln oder direkte Exponentialfunktion: Variante A: \(\ln((x-5)^2) = \ln(3^2) = \ln(9)\). Durch Entlogarithmieren folgt \((x-5)^2 = 9\). Variante B: \(2 \cdot \ln(|x-5|) = 2 \cdot \ln(3) \Leftrightarrow \ln(|x-5|) = \ln(3) \Leftrightarrow |x-5| = 3\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung bzw. Betragsgleichung: \((x-5)^2 = 9 \Leftrightarrow x-5 = 3\) oder \(x-5 = -3\). 4. Berechnung der Werte: \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 2\). 5. Überprüfung mit der Definitionsmenge: Beide Werte liegen in \(D\).

Die Definitionsmenge ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). Durch Umformung erhält man \((x-5)^2 = 3^2 = 9\). Die Lösungen dieser Gleichung sind \(x_1 = 8\) und \(x_2 = 2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{2; 8\}\).

- Gibt es ein Gesetz, mit dem man zwei Logarithmen, die addiert werden, zusammenfassen kann? - Was muss für die Zahlen gelten, die du in den Logarithmus einsetzt? - Wenn auf beiden Seiten der Gleichung nur noch ein Logarithmus mit derselben Basis steht, was kannst du über deren Argumente sagen? - Prüfe nach dem Lösen der entstandenen Gleichung, ob alle gefundenen Werte auch in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsbereich festlegen: Es muss gelten \(x + 6 > 0\) und \(x > 0\). Daraus folgt \(x > 0\), also \(D = ]0; \infty[\). 2. Logarithmengesetz für Summen anwenden: \(\ln((x + 6) \cdot x) = \ln(27)\). 3. Durch Anwendung der Exponentialfunktion die Logarithmen entfernen: \(x^2 + 6x = 27\). 4. Die quadratische Gleichung in Normalform bringen: \(x^2 + 6x - 27 = 0\). 5. Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{9 + 27} = -3 \pm 6\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -9\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Nur \(x_1 = 3\) liegt in \(D\). Somit ist \(L = \{3\}\).

\(L = \{3\}\)

- Kannst du die Gleichung durch Anwendung der Exponentialfunktion vereinfachen? - Gibt es Rechenregeln für Logarithmen, mit denen du Brüche oder Wurzeln innerhalb des Logarithmus umschreiben kannst? - Vergiss nicht zu prüfen, ob dein Ergebnis in den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung passt. - Bei Brüchen in der Gleichung: Was darf der Nenner niemals werden?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(\frac{1}{x} = e^4\). Durch Bilden des Kehrwerts erhält man \(x = \frac{1}{e^4} = e^{-4}\). Da \(e^{-4} > 0\), ist die Lösung im Definitionsbereich enthalten. 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Nenner (unter der Bedingung \(\ln(x) \neq -1\)) ergibt \(4 = 2 \cdot (\ln(x) + 1)\). Division durch \(2\) führt zu \(2 = \ln(x) + 1\), woraus \(\ln(x) = 1\) folgt. Anwendung der Exponentialfunktion liefert \(x = e\). Da \(e > 0\) und \(\ln(e) = 1 \neq -1\), ist dies die gültige Lösung. 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(\sqrt{x + 1} = e^1 = e\). Quadrieren beider Seiten führt zu \(x + 1 = e^2\). Subtraktion von \(1\) ergibt \(x = e^2 - 1\). Da \(e^2 - 1 > -1\), ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv und die Lösung somit gültig.

a) \(x = e^{-4}\) b) \(x = e\) c) \(x = e^2 - 1\)

- Gibt es eine Regel, mit der man zwei addierte Logarithmen zusammenfassen kann? - Wie kannst du den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung entfernen? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Logarithmen entfernt hast? - Achte besonders darauf, welche Werte du überhaupt in die ursprünglichen Logarithmen einsetzen darfst.

1. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Summen ergibt \(\ln(x \cdot (x - 3)) = \ln(10)\). 2. Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten (Entlogarithmieren) erhält man die quadratische Gleichung \(x^2 - 3x = 10\). 3. Umformung in die Normalform \(x^2 - 3x - 10 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel) ergibt die potenziellen Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). 5. Prüfung des Definitionsbereichs der Ausgangsgleichung: Es muss \(x > 0\) und \(x - 3 > 0\) gelten, also insgesamt \(x > 3\). 6. Da nur \(x = 5\) die Bedingung \(x > 3\) erfüllt, ist \(x_2 = -2\) keine gültige Lösung.

\(L = \{5\}\)

- Was passiert, wenn eine Variable im Nenner eines Bruchs steht? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(u^2 = a\) zwei Lösungen haben kann. - Wie verhält sich der Logarithmus bei einem Bruch als Argument? - Achte darauf, dass das Innere des Logarithmus immer positiv sein muss.

1. Teilaufgabe a): Bedingung: \(x > 0\) und \(\ln(x) \neq 0\). Multiplikation mit \(\ln(x)\) und Division durch 2 ergibt \(\ln(x) = 2\). Die Anwendung der \(e\)-Funktion liefert \(x = e^2\). Die gefundene Lösung erfüllt die Bedingungen. 2. Teilaufgabe b): Bedingung: \(2x - 5 > 0\), also \(x > 2{,}5\). Anwendung der Exponentialfunktion ergibt \(2x - 5 = e^3\). Addition von 5 und Division durch 2 führt zu \(x = \frac{e^3 + 5}{2}\). Dieser Wert ist größer als \(2{,}5\) und damit zulässig. 3. Teilaufgabe c): Bedingung: \(x > 0\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert zwei Fälle: \(\ln(x) = 4\) oder \(\ln(x) = -4\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = e^4\) und \(x_2 = e^{-4}\). Beide Werte sind positiv und damit zulässig. 4. Teilaufgabe d): Bedingung: \(\frac{1}{x} > 0\), also \(x > 0\). Anwendung der \(e\)-Funktion ergibt \(\frac{1}{x} = e^5\). Bilden des Kehrwerts führt zu \(x = \frac{1}{e^5} = e^{-5}\). Dieser Wert ist positiv und damit zulässig. Alternativ kann das Logarithmusgesetz \(\ln(1/x) = -\ln(x)\) genutzt werden.

a) \(x = e^2\) b) \(x = \frac{e^3 + 5}{2}\) c) \(x_1 = e^4\); \(x_2 = e^{-4}\) d) \(x = e^{-5}\)

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Kannst du die Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus alleine auf einer Seite steht? - Wie lautet die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz? - Hilft es dir, die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch zu schreiben? - Kannst du die Zahl 32 als Potenz einer kleineren Basis ausdrücken?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(32 \mid 7{,}5)\) in die Funktionsgleichung: \(7{,}5 = 3 \cdot \log_b(32)\) 2. Isolation des Logarithmus durch Division durch 3: \(\log_b(32) = 2{,}5\) 3. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Umwandlung in eine Potenzgleichung: \(b^{2{,}5} = 32\) 4. Umschreiben des Exponenten als Bruch: \(b^{\frac{5}{2}} = 32\) 5. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 32^{\frac{2}{5}}\) 6. Berechnung des Wertes unter Verwendung von \(32 = 2^5\): \(b = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4\)

Die Basis ist \(b = 4\).

- Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf denselben Exponenten zu bringen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben Kehrwert des Exponenten potenzierst?

Die Gleichungen werden unter Verwendung der Definition \(\log_b a = c \iff b^c = a\) gelöst. 1. Zu a): \(b^{-3} = \frac{27}{8}\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\left(\frac{1}{b}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Daraus folgt \(\frac{1}{b} = \frac{3}{2}\), also \(b = \frac{2}{3}\). 2. Zu b): \(b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}\). Da \(49 = 7^2\), gilt \(b^{\frac{2}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}\). Da \(b > 0\) gilt, folgt \(b = 7\). 3. Zu c): \(b^{-2} = 0{,}0625\). Da \(0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}\), gilt \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{16}\). Daraus folgt \(b^2 = 16\), und wegen \(b > 0\) ist \(b = 4\).

a) \(b = \frac{2}{3}\) b) \(b = 7\) c) \(b = 4\)

- Versuche zuerst, den Logarithmus durch Anwendung der Definition zu eliminieren, sodass eine quadratische Gleichung entsteht. - Wie löst du eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\)? - Vergiss nicht zu prüfen, ob deine gefundenen Werte für \(x\) im Numerus des Logarithmus zu einem positiven Ergebnis führen.

1. Umformung der Gleichung mittels der Definition des Logarithmus in die Potenzform: \(x^2 + 2x = 2^3\). 2. Berechnung der Potenz und Umstellung der Gleichung in eine quadratische Normalform: \(x^2 + 2x - 8 = 0\). 3. Anwendung der \(p,q\)-Formel oder Faktorisierung zur Bestimmung der Nullstellen: \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 8}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\) folgen. 4. Überprüfung der Lösungen anhand der Definitionsbedingung (\(x^2 + 2x > 0\)): Da sowohl \(2^2 + 2 \cdot 2 = 8\) als auch \((-4)^2 + 2 \cdot (-4) = 8\) größer als Null sind, liegen beide Werte im Definitionsbereich.

\(L = \{-4; 2\}\)

- Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Wurzel aus einem Logarithmus definiert ist? - Wann ist ein natürlicher Logarithmus größer oder gleich Null? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der auf beiden Seiten eine Wurzel steht? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Term unter der Wurzel muss nicht negativ sein (\(\ln(x^2 - 3) \ge 0\)) und das Argument des Logarithmus muss positiv sein (\(x^2 - 3 > 0\)). 2. Lösen der Ungleichung \(\ln(x^2 - 3) \ge 0\): Dies entspricht \(x^2 - 3 \ge e^0 = 1\), also \(x^2 \ge 4\). 3. Ergebnis für \(D\): Aus \(x^2 \ge 4\) folgt \(|x| \ge 2\), also \(D = ]-\infty; -2] \cup [2; \infty[\). (Die Bedingung \(x^2 - 3 > 0\) ist dabei automatisch erfüllt). 4. Lösen der Gleichung \(g(x) = \sqrt{\ln(13)}\): Quadrieren liefert \(\ln(x^2 - 3) = \ln(13)\). 5. Argumentvergleich: \(x^2 - 3 = 13 \implies x^2 = 16\). 6. Resultat: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Beide Werte liegen in \(D\).

a) \(D = ]-\infty; -2] \cup [2; \infty[\) b) \(x_1 = 4; x_2 = -4\)

- Bestimme zuerst den gemeinsamen Definitionsbereich der beiden Logarithmen. - Welche Logarithmusregel verbindet die beiden Terme auf der linken Seite? - Nach dem Entfernen der Logarithmen entscheidet eine quadratische Gleichung über die Anzahl der Lösungen. - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Lösungen im ursprünglichen Definitionsbereich liegen.

1. Wegen der Logarithmen gilt zunächst \(0<x<4\). 2. Im Definitionsbereich darf zusammengefasst werden: \(\ln(x(4-x))=\ln a\). Da der natürliche Logarithmus injektiv ist, folgt \(x(4-x)=a\). 3. Damit gilt \(x^2-4x+a=0\). Die Diskriminante ist \(\Delta=16-4a=4(4-a)\). 4. Für \(0<a<4\) ist \(\Delta>0\). Es gibt zwei Lösungen \(x=2\pm\sqrt{4-a}\); beide liegen im Intervall \((0,4)\). 5. Für \(a=4\) ist \(\Delta=0\). Es gibt genau eine Lösung \(x=2\). 6. Für \(a>4\) ist \(\Delta<0\). Es gibt keine reelle Lösung.

Für \(0<a<4\): zwei Lösungen \(x=2\pm\sqrt{4-a}\). Für \(a=4\): eine Lösung \(x=2\). Für \(a>4\): keine reelle Lösung.