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- Bestimme zuerst den Betrag des bereits gegebenen Vektorprodukts. - Welche Fläche entspricht diesem Betrag unmittelbar? - Vergleiche diese Fläche mit der Fläche eines Dreiecks aus denselben beiden Seitenvektoren.

1. Der Betrag des Vektorprodukts ist \(\sqrt{0^2+6^2+8^2}=10\). 2. Dieser Betrag ist der Flächeninhalt des zugehörigen Parallelogramms. Das Dreieck hat die Hälfte davon. 3. Daher ist \(A=\frac{1}{2}\cdot10=5\,\text{FE}\).

\(5\,\text{FE}\)

- Entscheide zuerst anhand der Abbildung, welche graue Fläche ein Parallelogramm und welche ein Dreieck ist. - Welche dieser beiden Flächen wird durch den Betrag eines Vektorprodukts unmittelbar beschrieben? - Vergleiche anschließend die Flächeninhalte von Dreieck und Parallelogramm bei denselben beiden Spannrichtungen.

1. Der Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) ist der Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms. 2. In Teilabbildung b) ist die graue Fläche ein Parallelogramm. Daher beträgt ihr Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). 3. Teilabbildung a) zeigt das Dreieck mit denselben beiden Spannrichtungen. Sein Flächeninhalt ist halb so groß, also \(6\,\text{FE}\).

Die Fläche in Teilabbildung b) hat \(12\,\text{FE}\); die Fläche in Teilabbildung a) hat \(6\,\text{FE}\).

- Wie kannst du einen zweidimensionalen Vektor in den Raum übertragen, ohne seine Lage in der \(x_1x_2\)-Ebene zu verändern? - Welche dritte Komponente müssen beide eingebetteten Vektoren deshalb erhalten? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag des Vektorprodukts?

1. Ergänze als dritte Komponente jeweils \(0\): \(\vec{u}^*=\begin{pmatrix}6\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}^*=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{u}^*\times\vec{v}^*=\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\). 3. Sein Betrag beträgt \(30\). Das ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

\(30\) Flächeneinheiten

- Welche Vektoroperation liefert dir einen Vektor, dessen Länge mit dem Flächeninhalt eines Parallelogramms zusammenhängt? - Wie ist das Verhältnis zwischen der Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms und dem entsprechenden Dreieck? - Es ist egal, welchen Punkt du als gemeinsamen Fußpunkt für die beiden Vektoren wählst.

1. Bestimmung der Spannvektoren des Dreiecks, zum Beispiel \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kreuzprodukts dieser Vektoren: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-2) - (-2) \cdot 2 \\ (-2) \cdot 0 - 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Betrags des Kreuzprodukts: \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). 4. Der Flächeninhalt des Dreiecks entspricht der Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts: \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\).

\(A = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\,\text{FE}\)

- Wie bestimmt man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum. - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum eignet sich das Kreuzprodukt zweier aufspannender Vektoren. - Welches Skalarprodukt hilft dir, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen? Achte dabei auf die Orientierung der Vektoren (sie sollten beide vom selben Punkt ausgehen).

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen: \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = 5\), \(b = |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5\), \(a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Kreuzprodukt: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(\sqrt{(-20)^2 + 0^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25\). Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12{,}5\,\text{FE}\). (Alternativ über die Formel für rechtwinklige Dreiecke, da \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\)). 4. Berechnung des Winkels \(\beta\): Es gilt \(\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}\) mit \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} = 9 + 0 + 16 = 25\). Somit \(\cos(\beta) = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), woraus \(\beta = 45^\circ\) folgt.

a) Die Seitenlängen sind \(c = 5\), \(b = 5\) und \(a = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(12{,}5\,\text{FE}\). c) Der Innenwinkel \(\beta\) beträgt \(45^\circ\).

- Welche Koordinaten hat der Punkt \(F\), wenn er durch die Verschiebung von \(C\) entsteht? - Wie kann man mit Hilfe von zwei Vektoren, die ein Dreieck aufspannen, dessen Fläche berechnen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen dem Vektorprodukt und dem Flächeninhalt eines Parallelogramms?

1. Bestimmung der Koordinaten von \(F\): \(\vec{OF} = \vec{OC} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Spannvektoren des Dreiecks \(ABF\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AF} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Kreuzprodukts: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AF} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -18 \\ 13 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Betrags des Kreuzprodukts: \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-18)^2 + 13^2} = \sqrt{36 + 324 + 169} = \sqrt{529} = 23\). 5. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Parallelogramminhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 23 = 11{,}5\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABF\) beträgt \(11{,}5\,\text{FE}\).

- Prüfe für Teil 1 das Skalarprodukt der beiden Seitenvektoren, die bei \(A\) beginnen. - Nutze für Teil 2 die beiden senkrechten Seiten als Grundseite und Höhe des Dreiecks. - Für \(\beta\) brauchst du zwei Vektoren, die beide am Punkt \(B\) beginnen. - Wenn zwei Innenwinkel bekannt sind, liefert die Winkelsumme den dritten.

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\). Also stehen die beiden Seitenvektoren senkrecht aufeinander und der Winkel bei \(A\) beträgt \(90^\circ\). 2. Die Kathetenlängen sind \(|\vec{AB}|=5\) und \(|\vec{AC}|=4\). Daher beträgt der Flächeninhalt \(\frac12\cdot5\cdot4=10\) Flächeneinheiten. 3. Weiter gilt \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-4\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{41}\). Somit ist \(\cos(\beta)=\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}|\,|\vec{BC}|}=\frac{5}{\sqrt{41}}\), also \(\beta\approx38{,}66^\circ\). Wegen der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\gamma\approx51{,}34^\circ\).

1. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), also beträgt der Winkel bei \(A\) \(90^\circ\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(10\) Flächeneinheiten. 3. \(\beta\approx38{,}66^\circ\), \(\gamma\approx51{,}34^\circ\)

- Welche Vektoren in einem Parallelogramm müssen identisch sein? - Wie kann man mit Hilfe des Kreuzproduktes (Vektorproduktes) Flächeninhalte im Raum berechnen? - Was ist der Unterschied zwischen der Flächenformel für ein Dreieck und der für ein Parallelogramm bei Verwendung von Vektoren? - Überlege, welche Vektoren den Winkel an der Ecke \(A\) einschließen.

1. In einem Parallelogramm gilt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 5-4 \\ 4-2 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|3|3)\). 2. Der Flächeninhalt lässt sich über den Betrag des Kreuzproduktes der aufspannenden Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) berechnen: \(\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{35} \approx 5{,}92\). 3. Zur Winkelberechnung nutzt man \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|}\). Mit \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 5\), \(|\vec{AB}| = \sqrt{10}\) und \(|\vec{AD}| = \sqrt{6}\) folgt \(\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{60}} = \frac{5}{2\sqrt{15}}\). Damit ist \(\alpha = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{60}}\right) \approx 49{,}80^\circ\).

1. \(D(2|3|3)\) 2. \(A_{ABCD} = \sqrt{35} \approx 5{,}92\,\text{FE}\) 3. \(\alpha \approx 49{,}80^\circ\)

- Welche Vektoren im Parallelogramm müssen parallel und gleich lang sein? - Wie hängen das Kreuzprodukt zweier Vektoren und der Flächeninhalt zusammen? - Welche Vektoren schließen den gesuchten Winkel ein? - Erinnere dich an die Formel für den Kosinus eines Winkels zwischen zwei Vektoren.

1. Zur Bestimmung von \(S\) nutzt man die Eigenschaft \(\vec{OS} = \vec{OP} + \vec{QR}\). Mit \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 5-2 \\ 8-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(S(0|2|8)\). 2. Der Flächeninhalt \(A\) wird über den Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) berechnet. Es gilt \(\vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 15 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(A = \sqrt{12^2 + (-12)^2 + 15^2} = \sqrt{513} \approx 22{,}65\,\text{FE}\). 3. Für den Innenwinkel \(\alpha\) bei \(P\) verwendet man das Skalarprodukt: \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PS}}{|\vec{PQ}| \cdot |\vec{PS}|}\). Mit \(\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = 3\), \(|\vec{PQ}| = \sqrt{18}\) und \(|\vec{PS}| = \sqrt{29}\) folgt \(\alpha = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{522}}\right) \approx 82{,}45^\circ\).

a) \(S(0|2|8)\) b) \(A = \sqrt{513} \approx 22{,}65\,\text{FE}\) c) \(\alpha \approx 82{,}45^\circ\)

- Wie unterscheidet sich die Flächenberechnung eines Dreiecks von der eines Parallelogramms mittels Vektoren? - Nutze die Vektoraddition, um den fehlenden Punkt für das Parallelogramm zu finden. - Überlege dir, wie die klassische Flächenformel für Dreiecke (Grundseite mal Höhe) hier helfen kann. - Welchen Vektor musst du als Grundseite wählen, um die Höhe \(h_b\) zu bestimmen?

1. Die aufspannenden Vektoren sind \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{16+64+64} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\,\text{FE}\). 2. Für das Parallelogramm \(ABCD\) gilt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) erhält man \(D(-1|2|5)\). 3. Die Höhe \(h_b\) berechnet sich aus dem Flächeninhalt \(A\) und der Grundseite \(g = |\vec{AC}|\). Es gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_b\). Mit \(g = \sqrt{0^2+4^2+4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) ergibt sich \(h_b = \frac{2 \cdot 6}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = 1{,}5\sqrt{2} \approx 2{,}12\,\text{LE}\).

a) \(A = 6\,\text{FE}\) b) \(D(-1|2|5)\) c) \(h_b = 1{,}5\sqrt{2} \approx 2{,}12\,\text{LE}\)

- Welche Vektoren im Parallelogramm müssen identisch sein, damit die Seiten parallel und gleich lang sind? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren. Welche Vektoren schließen den Winkel \(\beta\) ein? - Das Kreuzprodukt zweier aufspannender Vektoren liefert einen Vektor, dessen Länge dem Flächeninhalt entspricht. - Wo schneiden sich die Diagonalen in einem Parallelogramm?

1. Berechnung von \(C\): Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) gilt, folgt \(\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{AB}\). Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(C(3+3 | 4+0 | 1+4) = C(6|4|5)\). 2. Berechnung des Winkels \(\beta\): Es werden die Vektoren \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) verwendet. Über das Skalarprodukt gilt \(\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + (-4) \cdot 0}{5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{-3}{5\sqrt{10}} \approx -0{,}1897\). Daraus folgt \(\beta \approx 100{,}94^\circ\). 3. Flächeninhalt: Dieser wird über den Betrag des Kreuzprodukts berechnet. \(\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 16 + 81} = \sqrt{241} \approx 15{,}52\,\text{FE}\). 4. Diagonalenschnittpunkt: \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AC\) (oder \(BD\)). \(M = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \right] = (4 | 2{,}5 | 3)\).

a) \(C(6|4|5)\) b) \(\beta \approx 100{,}94^\circ\) c) \(A = \sqrt{241} \approx 15{,}52\,\text{FE}\) d) \(M(4|2{,}5|3)\)

- Wie hängen die Koordinaten der gegenüberliegenden Punkte in einem Parallelogramm zusammen? - Nutze das Vektorprodukt, um die Fläche einer von zwei Vektoren aufgespannten Figur zu berechnen. - Der Schnittpunkt der Diagonalen halbiert beide Diagonalen. - Beachte, dass beim Schnittwinkel von Geraden oder Diagonalen üblicherweise der spitze Winkel (zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\)) gesucht ist.

1. Berechnung von \(S\): Im Parallelogramm gilt \(\vec{PS} = \vec{QR}\). Mit \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OS} = \vec{OP} + \vec{QR} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(S(2|3|4)\). 2. Flächeninhalt: Mit \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) berechnet man das Kreuzprodukt: \(\vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt beträgt \(A = \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 8^2} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14{,}42\,\text{FE}\). 3. Diagonalenschnittpunkt \(T\): \(T\) ist der Mittelpunkt von \(PR\). \(T = \frac{1}{2}(P+R) = (3{,}5 | 2 | 2{,}5)\). 4. Schnittwinkel der Diagonalen: Richtungsvektoren sind \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QS} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). \(\cos(\phi) = \frac{|\vec{PR} \cdot \vec{QS}|}{|\vec{PR}| \cdot |\vec{QS}|} = \frac{|-15+4+9|}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{22}} = \frac{2}{\sqrt{836}} \approx 0{,}06917\). Daraus ergibt sich \(\phi \approx 86{,}03^\circ\).

a) \(S(2|3|4)\) b) \(A = \sqrt{208} \approx 14{,}42\,\text{FE}\) c) \(T(3{,}5 | 2 | 2{,}5)\) und \(\phi \approx 86{,}03^\circ\)

- Vergleiche die beiden Seitenlängen von \(C_t\) zu \(A\) und \(B\), ohne sofort die Quadratwurzeln auszurechnen. - Welche besondere Rolle spielt der Mittelpunkt von \(AB\) bei einem gleichschenkligen Dreieck? - Drücke die Höhe über den Vektor vom Basismittelpunkt zu \(C_t\) aus.

1. Es ist \(\vec{AC_t}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-t\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_t}=\begin{pmatrix}-1+2t\\-2-t\\-2\end{pmatrix}\). Für beide gilt \(|\vec{AC_t}|^2=|\vec{BC_t}|^2=5t^2+9\). Daher ist das Dreieck für \(t\neq0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). 2. Für \(t=0\) ist \(C_0(2\mid2\mid4)\) der Mittelpunkt von \(AB\); die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 3. Die Basislänge ist \(|\vec{AB}|=6\). Mit dem Basismittelpunkt \(M(2\mid2\mid4)\) gilt \(\vec{MC_t}=\begin{pmatrix}2t\\-t\\0\end{pmatrix}\), also beträgt die Höhe \(|t|\sqrt5\). 4. Damit ist der Flächeninhalt \(A=\frac12\cdot6\cdot|t|\sqrt5=3|t|\sqrt5\). 5. Aus \(3|t|\sqrt5=3\sqrt5\) folgt \(|t|=1\), also \(t=1\) oder \(t=-1\).

a) Für \(t\neq0\) ist \(ABC_t\) gleichschenklig mit Basis \(AB\); bei \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) \(t=1\) oder \(t=-1\)

- Was sagt das Vorzeichen des Skalarprodukts über die Art des Winkels (spitz, stumpf oder rechtwinklig) aus? - Überlege dir genau, welche Vektoren du für das Skalarprodukt an einem Eckpunkt verwenden musst, damit sie beide vom Eckpunkt wegzeigen. - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren und der Fläche des von ihnen aufgespannten Dreiecks.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren der Seiten: \(\vec{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DF} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{EF} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung der Skalarprodukte für die Innenwinkel: - Bei \(D\): \(\vec{DE} \cdot \vec{DF} = 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 + 6 = 8 > 0\) (spitzer Winkel). - Bei \(E\): \(\vec{ED} \cdot \vec{EF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 8 + 3 - 2 = 9 > 0\) (spitzer Winkel). - Bei \(F\): \(\vec{FD} \cdot \vec{FE} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 8 - 2 + 3 = 9 > 0\) (spitzer Winkel). Da alle Skalarprodukte der jeweils vom Eckpunkt ausgehenden Vektoren positiv sind, sind alle Winkel spitz. Das Dreieck ist spitzwinklig. 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(\vec{DE} \times \vec{DF} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \\ -(2 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)) \\ 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 10 \end{pmatrix}\). Betrag des Kreuzprodukts: \(\sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15\). Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7{,}5\,\text{FE}\).

a) Das Dreieck ist spitzwinklig, da alle Skalarprodukte der jeweils an einem Eckpunkt anliegenden Vektoren positiv sind. b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(7{,}5\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Koordinaten der drei Mittelpunkte. - Welche Vektoren spannen das Dreieck zwischen diesen Mittelpunkten auf? - Nutze das Kreuzprodukt dieser Vektoren, um den Flächeninhalt zu ermitteln. - Achte darauf, das Ergebnis als exakten Wert (mit Wurzel) anzugeben.

1. Bestimmung der Mittelpunkte: \(M_1\) (Mitte von \(OP\)) ist \((2|0|0)\), \(M_2\) (Mitte von \(QU\)) ist \((4|4|2)\), \(M_3\) (Mitte von \(VS\)) ist \((0|2|4)\). 2. Aufstellen der Differenzvektoren: \(\vec{M_1 M_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{M_1 M_3} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Vektorprodukts: \(\vec{M_1 M_2} \times \vec{M_1 M_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16-4 \\ -(8 - (-4)) \\ 4 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 12 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{12^2 + (-12)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 \cdot 144} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(6\sqrt{3}\,\text{FE}\) (ca. \(10{,}39\,\text{FE}\)).

- Welcher Faktor unterscheidet den Dreiecksflächeninhalt vom Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms? - Ergänze bei beiden zweidimensionalen Seitenvektoren dieselbe dritte Komponente. - Eine Betragsgleichung kann zu zwei algebraischen Fällen führen; beachte anschließend die Bedingung \(s>0\).

1. Die Seitenvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}s\\5\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\20-2s\end{pmatrix}\). 3. Für den Dreiecksflächeninhalt gilt \(A=\frac12|20-2s|=|10-s|\). 4. Aus \(|10-s|=13\) folgen \(s=-3\) oder \(s=23\). 5. Wegen \(s>0\) bleibt \(s=23\).

\(s=23\)

- Zur Berechnung von Längen im Raum kannst du den Betrag der entsprechenden Verbindungsvektoren nutzen. - Überlege dir, wie du die Koordinaten eines Verbindungsvektors zwischen zwei Punkten bestimmst. - Für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren ist das Skalarprodukt hilfreich. - Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich im dreidimensionalen Raum besonders einfach mit dem Betrag des Kreuzprodukts zweier aufspannender Vektoren berechnen.

1. Berechnung der Seitenvektoren und deren Längen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \implies |\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{22} \approx 4{,}69\) \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \implies |\vec{CD}| = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) \(\vec{DA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \implies |\vec{DA}| = \sqrt{22} \approx 4{,}69\) Da \(\vec{AB} = -\vec{CD}\), handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Berechnung der Diagonalenlängen: \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \implies |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{43} \approx 6{,}56\) \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \implies |\vec{BD}| = \sqrt{(-7)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{59} \approx 7{,}68\) 3. Berechnung des Winkels \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{5 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} = \frac{-4}{\sqrt{638}} \approx -0{,}1584\) \(\alpha = \arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{638}}\right) \approx 99{,}11^\circ\) 4. Berechnung des Flächeninhalts über das Kreuzprodukt: \(A = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -6 \\ -19 \\ 15 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-6)^2 + (-19)^2 + 15^2} = \sqrt{622} \approx 24{,}94\)

a) Seitenlängen: \(a = c = \sqrt{29} \approx 5{,}39\); \(b = d = \sqrt{22} \approx 4{,}69\). Diagonalen: \(e = \sqrt{43} \approx 6{,}56\); \(f = \sqrt{59} \approx 7{,}68\). b) \(\alpha \approx 99{,}11^\circ\). c) \(A = \sqrt{622} \approx 24{,}94\,\text{FE}\).

- Kannst du einen Punkt des Fünfecks wählen und von dort aus Linien zu den anderen Punkten ziehen, um Dreiecke zu bilden? - Stelle sicher, dass sich die gewählten Dreiecke nicht überlappen und die gesamte Fläche abdecken. - Berechne für jedes Teildreieck einzeln den Flächeninhalt mit der dir bekannten Formel für Vektoren im Raum. - Addiere am Ende alle Einzelflächen zum Gesamtergebnis.

1. Zerlegung des Fünfecks vom Punkt \(A\) aus in die drei Dreiecke \(ABC\), \(ACD\) und \(ADE\). 2. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) des Dreiecks \(ABC\): Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) ergibt das Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{16+16+16} = 2\sqrt{3}\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) des Dreiecks \(ACD\): Mit \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ergibt das Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \sqrt{49+49+49} = 3{,}5\sqrt{3}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_3\) des Dreiecks \(ADE\): Mit \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AE} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ergibt das Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Flächeninhalt ist \(A_3 = \frac{1}{2} \sqrt{16+16+16} = 2\sqrt{3}\). 5. Addition der Teilflächen: \(A_{Gesamt} = 2\sqrt{3} + 3{,}5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7{,}5\sqrt{3} \approx 12{,}99\).

\(A = 7{,}5\sqrt{3} \approx 12{,}99\,\text{FE}\)

- Denke an den Zusammenhang zwischen Vektoren und Punktkoordinaten: \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD}\). - Die Länge eines Vektors berechnest du über die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten. - Für den Winkel zwischen zwei Vektoren ist das Skalarprodukt hilfreich. - Ein Trapez lässt sich zur Flächenberechnung in zwei Dreiecke aufteilen.

1. Berechnung von \(D\): Aus der Bedingung \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\) folgt mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), dass \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Damit ergibt sich \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 5-1 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|4)\). 2. Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{6^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{44} \approx 6{,}63\); \(|\vec{BC}| = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{17} \approx 4{,}12\); \(|\vec{CD}| = \sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32\); \(|\vec{DA}| = \left| \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{14} \approx 3{,}74\). 3. Winkel \(\alpha\): Verwendung des Skalarprodukts zwischen \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\cos(\alpha) = \frac{6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2}{\sqrt{44} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{616}} \approx 0{,}3222\), woraus \(\alpha \approx 71{,}20^\circ\) folgt. 4. Flächeninhalt: Zerlegung in zwei Dreiecke \(ABD\) und \(BCD\). \(F = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}| + \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{138} + 0{,}5 \cdot \sqrt{138} = 1{,}5 \cdot \sqrt{138} \approx 17{,}62\,\text{FE}\). Alternativ über die Trapezformel mit der Höhe \(h = |\vec{AD}| \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{8}{\sqrt{616}}\right)^2} = \sqrt{\frac{138}{11}}\).

a) \(D(2|4|4)\) b) \(|\vec{AB}| \approx 6{,}63\), \(|\vec{BC}| \approx 4{,}12\), \(|\vec{CD}| \approx 3{,}32\), \(|\vec{DA}| \approx 3{,}74\) c) \(\alpha \approx 71{,}2^\circ\); \(F \approx 17{,}62\,\text{FE}\)

- Nutze die Eigenschaft paralleler Seitenvektoren, um den fehlenden Punkt zu finden. - Was unterscheidet eine Raute von einem gewöhnlichen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wo genau schneiden sich die Diagonalen in jedem Parallelogramm? - Das Skalarprodukt zweier Vektoren verrät dir sofort, ob diese senkrecht zueinander stehen. - Für die Fläche einer Raute gibt es eine spezielle Formel, die nur die Längen der Diagonalen nutzt.

1. Punkt \(D\): Für ein Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\), also \(D(2|2|7)\). 2. Nachweis Raute: Berechnung der benachbarten Seitenlängen. \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2+3^2+4^2} = 5\). Da alle Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(5\,\text{LE}\)), ist es eine Raute. 3. Schnittpunkt \(M\): Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. \(M\) ist der Mittelpunkt von \(AC\): \(M = \frac{1}{2}(A+C) = (3{,}5|2{,}5|5)\). 4. Schnittwinkel: Vektoren der Diagonalen sind \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (-3) + 7 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = -9 - 7 + 16 = 0\) zeigt, dass sie orthogonal sind (\(90^\circ\)). Dies bestätigt den Satz, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinanderstehen. 5. Flächeninhalt: Da die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinanderstehen, gilt \(F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|\). Mit \(|\vec{AC}| = \sqrt{3^2+7^2+4^2} = \sqrt{74}\) und \(|\vec{BD}| = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{26}\) folgt \(F = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{74} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{481} \approx 21{,}93\,\text{FE}\).

a) \(D(2|2|7)\); Nachweis über \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 5\) b) \(M(3{,}5|2{,}5|5)\) c) \(90^\circ\); Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander. d) \(F = \sqrt{481} \approx 21{,}93\,\text{FE}\)