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- Stelle dir den Weg von \(A\) zur gegenüberliegenden Ecke entlang der drei Kantenrichtungen vor. - Ordne jeder Kantenlänge die passende positive Koordinatenrichtung zu. - Prüfe anschließend jede Koordinate von \(G\) getrennt.

1. Um von \(A(2\mid1\mid0)\) zur gegenüberliegenden Ecke \(G\) zu gelangen, wird in \(x_1\)-Richtung um \(6\), in \(x_2\)-Richtung um \(4\) und in \(x_3\)-Richtung um \(3\) verschoben. 2. Daher gilt \(x_{1,G}=2+6=8\), \(x_{2,G}=1+4=5\) und \(x_{3,G}=0+3=3\). 3. Somit ist \(G(8\mid5\mid3)\).

\(G(8\mid5\mid3)\)

- Welche Koordinate gehört zur Achse, zu der die Bewegung parallel verläuft? - Verändere nur diese eine Koordinate. - Prüfe anschließend, ob die beiden übrigen Koordinaten mit denen von \(P\) übereinstimmen.

1. Bei einer Verschiebung parallel zur \(x_3\)-Achse bleiben \(x_1\) und \(x_2\) unverändert. 2. Die dritte Koordinate wird um \(3\) erhöht: \(1+3=4\). Daher ist \(Q(-2|5|4)\).

\(Q(-2|5|4)\); die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinate bleiben unverändert.

- Welche Koordinate ändert ihr Vorzeichen, wenn man an einer Ebene spiegelt, in der die anderen beiden Achsen liegen? - Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Punkt \((0|0|0)\)? - Wie berechnet man mathematisch die Mitte zwischen zwei Werten?

1. Bei der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate invertiert, während \(x_2\) und \(x_3\) gleich bleiben. Für \(A(5 | -4 | 2)\) ergibt sich \(A'(-5 | -4 | 2)\). 2. Bei der Spiegelung am Ursprung werden alle drei Koordinaten invertiert. Für \(B(-1 | 6 | -3)\) ergibt sich \(B'(1 | -6 | 3)\). 3. Die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) berechnen sich durch den Mittelwert der Koordinaten von \(A'\) und \(B'\): \(x_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(y_M = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(z_M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\). Somit ist \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\).

1. \(A'(-5 | -4 | 2)\) 2. \(B'(1 | -6 | 3)\) 3. \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\)

- Vergleiche bei Teil a) die Koordinaten aller Punktpaare und achte darauf, welche Koordinate zur genannten Ebene senkrecht steht. - Prüfe bei Teil b), welcher der angebotenen Punkte zu \(D\) bezüglich des Ursprungs symmetrisch liegt. - Überlege bei Teil c), welche Koordinate bei einer Drehung um die \(x_2\)-Achse ihre Lage zur Drehachse nicht verändert.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher sind sowohl \(A(5\mid-2\mid4)\) und \(B(-5\mid-2\mid4)\) als auch \(C(5\mid2\mid-4)\) und \(D(-5\mid2\mid-4)\) spiegelbildlich. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Aus \(D(-5\mid2\mid-4)\) wird \((5\mid-2\mid4)=A\). 3. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen wechseln. Aus \(A(5\mid-2\mid4)\) wird daher \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

a) \(A\) und \(B\) sowie \(C\) und \(D\). b) \(A\); alle drei Koordinaten wechseln das Vorzeichen. c) \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

- Vergleiche die drei Koordinatenwerte der beiden Punkte einzeln. - Bestimme, in welcher Koordinatenebene der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke liegt. - Überlege, welche Koordinate sich bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene verändert.

1. Die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) sind identisch, während die \(x_3\)-Koordinaten entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(7\mid2\mid0)\). Dieser Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Die Verbindungsstrecke \(AB\) steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene und wird von ihr im Punkt \(M\) halbiert. Daher liegen \(A\) und \(B\) spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene mit der Gleichung \(x_3=0\). 4. Allgemein wechseln bei \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) nur die Vorzeichen der \(x_3\)-Koordinate. Deshalb sind solche Punktpaare bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

a) Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene. b) Allgemein sind \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

- Welche Koordinate ist bei beiden gegebenen Punkten null, und welche Koordinatenebene beschreibt das? - Welche zwei Koordinaten müssen null sein, damit ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse liegt? - Prüfe für die Strecke, welche Koordinate sich verändert und welche beiden konstant bleiben.

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{0+0}{2}\mid\frac{5+(-5)}{2}\mid\frac{2+2}{2}\right)=(0\mid0\mid2)\). 2. Weil für \(P\) und \(Q\) jeweils \(x_1=0\) gilt, liegen beide Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene. Beim Mittelpunkt \(M\) gilt zusätzlich \(x_2=0\), daher liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse. 3. Entlang der Strecke ändert sich nur die \(x_2\)-Koordinate; \(x_1=0\) und \(x_3=2\) bleiben konstant. Deshalb verläuft \(\overline{PQ}\) parallel zur \(x_2\)-Achse und vollständig in der \(x_2x_3\)-Ebene.

1. \(M(0\mid0\mid2)\) 2. \(P\) und \(Q\) liegen in der \(x_2x_3\)-Ebene; \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. 3. \(\overline{PQ}\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene und verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse.

- Vergleiche die \(x_3\)-Koordinaten der beiden Punkte. - Welche Komponente von \(\vec{AB}\) muss null sein, wenn die Strecke parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft? - Welche beiden Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_3\)-Achse null?

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{3+(-3)}{2}\mid\frac{4+(-4)}{2}\mid\frac{-1+(-1)}{2}\right)=(0\mid0\mid-1)\). 2. Beide Punkte besitzen die gleiche \(x_3\)-Koordinate \(-1\). Daher ist die dritte Komponente von \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}\) gleich \(0\). Die Strecke liegt in der Ebene \(x_3=-1\), die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene mit \(x_3=0\) verläuft. 3. Beim Mittelpunkt \(M(0\mid0\mid-1)\) gilt \(x_1=x_2=0\). Deshalb liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse.

1. \(M(0\mid0\mid-1)\) 2. Wegen \(x_{3,A}=x_{3,B}=-1\) verläuft die Strecke in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. 3. \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse.

- Welche Koordinate ist fest vorgegeben und welche beiden können sich verändern? - Überlege, welche räumliche Punktmenge entsteht, wenn genau eine Koordinate konstant bleibt. - Mit welcher Koordinatenebene hat die gesuchte Ebene dieselben freien Koordinatenrichtungen?

1. Die \(x_2\)-Koordinate ist für alle Punkte fest auf \(5\) gesetzt, während \(x_1\) und \(x_3\) unabhängig voneinander alle reellen Werte annehmen können. 2. Weil zwei Koordinaten frei variieren, beschreibt die Punktmenge eine Ebene im Raum. 3. Wegen der konstanten \(x_2\)-Koordinate verläuft diese Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene. 4. Die Ebene hat den Abstand \(5\) zur \(x_1x_3\)-Ebene und schneidet die \(x_2\)-Achse im Punkt \((0\mid5\mid0)\).

Es handelt sich um die Ebene \(x_2=5\). Sie verläuft parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und hat von ihr den Abstand \(5\).

- Welche räumliche Bedingung folgt daraus, dass die dritte Koordinate immer \(2\) ist? - Welche zweite Bedingung drücken die gleichen ersten beiden Koordinaten aus? - Vergleiche zwei verschiedene Parameterwerte und bestimme daraus die gemeinsame Bewegungsrichtung der Punkte.

1. Da die dritte Koordinate stets \(2\) ist, liegt die Punktmenge in der Ebene \(x_3=2\). 2. Wegen \(x_1=x_2\) liegt sie zugleich in einer Ebene, die durch die \(x_3\)-Achse verläuft. 3. Der gemeinsame Teil dieser beiden Ebenen ist eine Gerade. Sie verläuft durch \((0\mid0\mid2)\) und besitzt die Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 4. Damit ist die Gerade parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, liegt selbst aber vollständig in der Ebene \(x_3=2\).

Die Punkte bilden eine Gerade durch \((0\mid0\mid2)\) mit der Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Sie liegt in der Ebene \(x_3=2\) und verläuft parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) der \(x_1x_2\)-Ebene.

- Was passiert mit einer Koordinate, wenn du einen Punkt direkt auf eine der „Wände“ (Ebenen) des Koordinatensystems drückst? - Stell dir vor, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von einer bestimmten Ebene entfernt ist. - Überlege, ob ein Abstand negativ sein kann.

1. Bei der orthogonalen Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene wird die Koordinate, die nicht in der Ebene liegt, auf Null gesetzt. Für die \(x_1x_2\)-Ebene ist dies die \(x_3\)-Koordinate, für die \(x_1x_3\)-Ebene die \(x_2\)-Koordinate und für die \(x_2x_3\)-Ebene die \(x_1\)-Koordinate. 2. Die Bildpunkte lauten somit: \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\) und \(P_{23}(0|7|12)\). 3. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene entspricht dem Betrag der Koordinate, die senkrecht auf dieser Ebene steht. 4. Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(d_1 = |12| = 12\). 5. Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(d_2 = |7| = 7\). 6. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(d_3 = |-4| = 4\).

a) \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\), \(P_{23}(0|7|12)\) b) Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(12\); Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(7\); Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(4\)

- Stell dir vor, welche Koordinaten sich frei verändern dürfen und welche fest vorgegeben sind. - Wie viele Richtungen kannst du entlangwandern, wenn nur eine Koordinate fest ist? Entsteht dabei eine Linie oder eine Fläche? - Überlege dir, welche Achsen eine Ebene aufspannen, wenn eine der Koordinaten immer Null ist. - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn ein Punkt zwei Koordinaten hat, die immer Null sind?

1. Eine Bedingung der Form \(x_i = c\) legt eine Ebene fest, die parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Achsen verläuft. Ist \(c=0\), handelt es sich um die Koordinatenebene selbst. 2. Zwei Bedingungen der Form \(x_i = a\) und \(x_j = b\) legen eine Gerade fest, die parallel zur verbleibenden Koordinatenachse verläuft. Sind beide Konstanten Null, handelt es sich um die Achse selbst. 3. Ergebnisse: a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3{,}5\) in positiver \(x_1\)-Richtung. b) Die \(x_1\)-Achse (da alle Punkte die Form \((x_1|0|0)\) haben). c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse, die durch den Punkt \((-2|5|0)\) verläuft. d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene bei \(x_1 = 3{,}5\). b) Die \(x_1\)-Achse. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((-2|5|0)\). d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

- Untersuche für jede Abbildung, welche Koordinate entlang der Drehachse beziehungsweise welche Lage zum Ursprung unverändert bleibt. - Arbeite zunächst mit einem einzigen Eckpunkt und übertrage die gefundene Regel erst danach auf die beiden anderen. - Vergleiche in Teil c) die drei Koordinatenpositionen einzeln, statt die beiden Abbildungen nur als Ganzes zu betrachten.

1. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Daher gilt \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\) und \(R'(0\mid-2\mid-1)\). 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Daher gilt \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\) und \(R''(0\mid2\mid-1)\). 3. Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) wechseln bei beiden Abbildungen das Vorzeichen. Die Koordinate \(x_2\) bleibt bei der Drehung unverändert, wechselt aber bei der Punktspiegelung das Vorzeichen.

a) \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\), \(R'(0\mid-2\mid-1)\). b) \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\), \(R''(0\mid2\mid-1)\). c) \(x_1\) und \(x_3\) wechseln in beiden Fällen das Vorzeichen; \(x_2\) nur bei der Punktspiegelung.

- Welche Koordinate steht jeweils senkrecht auf der genannten Spiegelebene? - Führe die beiden Spiegelungen nacheinander aus und vergleiche erst danach Ausgangs- und Endpunkt. - Suche in Teil c) nach einer räumlichen Drehung, bei der genau eine Koordinatenachse fest bleibt.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene wechselt nur die \(x_3\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_1(4|-3|1)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_2(-4|-3|1)\). 3. Gegenüber \(P\) haben \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen gewechselt, während \(x_2\) unverändert ist. Diese Koordinatenregel entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

a) \(P_1(4|-3|1)\) b) \(P_2(-4|-3|1)\) c) Die Gesamtabbildung entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

- Prüfe bei Teil a), welche Koordinate senkrecht zur Spiegelebene steht. - Bei Teil b) bleibt die Koordinate in Richtung der Drehachse unverändert. - Verfolge die Vorzeichen der beiden übrigen Koordinaten nacheinander.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben \(x_1\) und \(x_2\) erhalten, während \(x_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P_1(4|-1|-3)\). 2. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt \(x_2\) unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. 3. Somit ist \(P_2(-4|-1|3)\).

a) \(P_1(4|-1|-3)\) b) \(P_2(-4|-1|3)\)

- Vergleiche einen unteren Eckpunkt mit dem Punkt, der direkt über ihm liegt. - Welche beiden Koordinaten ändern sich bei einer Bewegung nur in \(x_3\)-Richtung nicht? - Formuliere die beobachtete Veränderung anschließend unabhängig von den konkreten Eckpunkten.

1. Beim Übergang von der unteren zur oberen Grundfläche bleiben die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten unverändert; nur die \(x_3\)-Koordinate wird um \(10\) erhöht. 2. Daraus folgen \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\) und \(F(0\mid6\mid10)\). 3. Allgemein lautet die Koordinatenregel \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

a) \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\), \(F(0\mid6\mid10)\). b) \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

- Verfolge die gestrichelten Hilfsstrecken vom Ursprung bis zum Punkt \(P\) in ihrer Reihenfolge. - Ordne jede Beschriftung der zugehörigen Achsenrichtung \(x_1\), \(x_2\) oder \(x_3\) zu. - Achte darauf, dass ein Minuszeichen eine Verschiebung entgegen der positiven Achsenrichtung bedeutet.

1. Die erste Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Koordinate von \(P\) gleich \(2\). 2. Die zweite Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(-\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Koordinate gleich \(-1\). 3. Die dritte Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(3\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Koordinate gleich \(3\). 4. Somit ist \(P(2\mid-1\mid3)\) und \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

\(P(2\mid-1\mid3)\), \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Koordinaten fest vorgegeben sind und wie viele frei wählbar bleiben. - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten fest sind und eine variabel ist, welche Form entsteht dann im Raum? - Erinnere dich an die Bedeutung von Betragsstrichen bei Gleichungen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) fest vorgegeben sind, während \(x_3\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, handelt es sich um eine Gerade. Diese verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\) und liegt vollständig in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Für Teilaufgabe b): Die Bedingung \(x_1 = 0\) legt fest, dass alle Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene liegen. Die zusätzliche Bedingung \(x_2 = x_3\) beschreibt innerhalb dieser Ebene die Winkelhalbierende zwischen der positiven \(x_2\)- und der positiven \(x_3\)-Achse (sowie der entsprechenden negativen Achsenabschnitte). Es handelt sich somit um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 3. Für Teilaufgabe c): Die Gleichung \(|x_2| = 5\) ist äquivalent zu \(x_2 = 5\) oder \(x_2 = -5\). Da \(x_1\) und \(x_3\) beliebig sind, beschreibt dies zwei Ebenen. Beide Ebenen liegen parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und haben den Abstand \(5\) von dieser.

a) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\). b) Winkelhalbierende zwischen der \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene (Gerade durch den Ursprung). c) Zwei zueinander parallele Ebenen, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von \(5\) Einheiten verlaufen (festgelegt durch \(x_2 = 5\) und \(x_2 = -5\)).

- Stelle dir vor, welche Punkte die Bedingung \(x_1 = x_2 = x_3\) erfüllen könnten, indem du einfache Zahlen einsetzt. - Wie verändert sich die Lage eines Punktes, wenn du nur eine Koordinate variierst? - Betrachte bei Teilaufgabe c) erst die Einschränkung durch \(x_3 = 0\) und zeichne dir die Bedingung für \(x_1\) und \(x_2\) in einem zweidimensionalen System vor.

1. Für Teilaufgabe a): Alle drei Koordinaten müssen identisch sein. Dies beschreibt die Gerade durch den Koordinatenursprung \((0|0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), die beispielsweise auch durch den Punkt \((1|1|1)\) verläuft. Sie schließt mit allen drei Koordinatenachsen denselben Winkel ein. 2. Für Teilaufgabe b): Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) sind auf feste Werte gesetzt, während \(x_2\) beliebig wählbar ist. Dies definiert eine Gerade, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und durch den Punkt \((-1|0|2)\) geht. 3. Für Teilaufgabe c): Die Bedingung \(x_3 = 0\) bedeutet, dass alle Punkte in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Die Gleichung \(x_1 + x_2 = 4\) beschreibt innerhalb dieser Ebene eine Gerade. Sie schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((4|0|0)\) und die \(x_2\)-Achse bei \((0|4|0)\).

a) Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit drei gleichen Koordinaten). b) Eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \((-1|0|2)\). c) Eine Gerade in der \(x_1x_2\)-Ebene, welche die Achsen bei \((4|0|0)\) und \((0|4|0)\) schneidet.

- Gehe schrittweise vor und überlege dir für jede Ebene, welche Koordinate „senkrecht“ dazu steht und somit ihr Vorzeichen ändert. - Notiere dir die Koordinaten nach jedem Schritt sorgfältig. - Betrachte am Ende die Differenz oder das Verhältnis der Vorzeichen zwischen dem allerersten und dem allerletzten Punkt.

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P(3 | 8 | -4)\) wird \(P_1(3 | 8 | 4)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_1(3 | 8 | 4)\) wird \(P_2(3 | -8 | 4)\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_2(3 | -8 | 4)\) wird \(P_3(-3 | -8 | 4)\). 4. Vergleich von \(P(3 | 8 | -4)\) und \(P_3(-3 | -8 | 4)\): Alle drei Koordinaten haben ihr Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(P_1(3 | 8 | 4)\) 2. \(P_2(3 | -8 | 4)\) 3. \(P_3(-3 | -8 | 4)\) 4. Spiegelung am Koordinatenursprung.

- Führe die beiden Ebenenspiegelungen nacheinander aus. - Vergleiche Anfangs- und Endkoordinaten. - In drei Dimensionen entspricht das Vorzeichenmuster mit einer unveränderten Achsenkoordinate einer \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse, nicht einer üblichen Achsenspiegelung.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt \(p_1\) und \(p_2\) erhalten, während \(p_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene wechselt die \(x_2\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 3. Im Vergleich zu \(P\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate unverändert, während \(x_2\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Dies ist die Koordinatenregel einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse.

a) \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). b) \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). c) Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse; Regel: \((p_1,p_2,p_3)\mapsto(p_1,-p_2,-p_3)\).

- Prüfe, welche Koordinate unverändert bleibt. - Betrachte die Projektion in die \(x_1x_2\)-Ebene. - Zwei Vorzeichenwechsel bei unveränderter Achsenkoordinate beschreiben eine \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse.

1. Die \(x_3\)-Koordinaten von \(C\) und \(D\) sind gleich. Die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten besitzen jeweils entgegengesetzte Vorzeichen. 2. Beide Punkte liegen in der Ebene \(x_3=6\). Innerhalb dieser Ebene sind sie punktsymmetrisch zum Punkt \((0\mid0\mid6)\). 3. Im dreidimensionalen Raum führt eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_3\)-Achse \((x_1,x_2,x_3)\) auf \((-x_1,-x_2,x_3)\) ab. Daher wird \(C\) auf \(D\) und allgemein \(M\) auf \(N\) abgebildet. 4. Die Bezeichnung „Spiegelung an der \(x_3\)-Achse“ ist im dreidimensionalen Raum nicht die standardmäßige eindeutige Bezeichnung für diese Abbildung; gemeint ist die \(180^\circ\)-Drehung.

a) \(C\) und \(D\) liegen in der Ebene \(x_3=6\) punktsymmetrisch zu \((0\mid0\mid6)\). b) Die Abbildung ist eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_3\)-Achse: \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(-x_1,-x_2,x_3)\).

- Wenn du die Projektion auf eine Ebene kennst, welche Koordinaten des ursprünglichen Punktes sind dann bereits festgelegt? - Wie hängt der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene mit seiner \(x_1\)-Koordinate zusammen? - Was bleibt von den Koordinaten eines Punktes übrig, wenn man ihn auf eine Achse projiziert?

1. Da \(Q'(0|5|-3)\) die Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene ist, müssen die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten von \(Q\) mit denen von \(Q'\) übereinstimmen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\). 2. Der Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene wird durch den Betrag der \(x_1\)-Koordinate bestimmt: \(|x_1| = 8\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) oder \(x_1 = -8\). Die Punkte sind \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\). 3. Für Aufgabenteil b) wird \(Q(8|5|-3)\) verwendet. Bei der Projektion auf die \(x_3\)-Achse werden alle Koordinaten außer der \(x_3\)-Koordinate zu Null. 4. Die Projektion auf die \(x_3\)-Achse ergibt somit den Punkt \(Q''(0|0|-3)\).

a) \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\) b) \(Q''(0|0|-3)\)

- Welcher Wert muss Null sein, damit ein Punkt genau auf einer der „Wände“ des Koordinatensystems liegt? - Wenn ein Punkt auf einer Achse liegt, wie viele seiner Koordinaten müssen dann zwingend Null sein? - Überlege bei Parallelität: Welche Koordinate ändert sich nicht, wenn du dich parallel zu einer Ebene oder Achse bewegst? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte \(S\) und \(A\) als feste Werte für deine Bedingungen.

1. In einer Koordinatenebene ist die Koordinate der Achse, die nicht am Namen der Ebene beteiligt ist, immer Null. Für die \(x_1x_3\)-Ebene muss also \(x_2 = 0\) gelten. 2. Auf einer Koordinatenachse sind die beiden Koordinaten der anderen Achsen Null. Für die \(x_3\)-Achse bedeutet dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). 3. Bei Parallelität zu Koordinatenebenen oder -achsen werden die entsprechenden Koordinaten auf die Werte des gegebenen Punktes fixiert. 4. Ergebnisse: a) \(x_2 = 0\). b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). c) \(x_3 = -4\). d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_2 = 0\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) c) \(x_3 = -4\) d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\)

- Welche Koordinate ändert sich, wenn du einen Punkt an einer der Koordinatenebenen spiegelst? - Wie verhält sich der Bildpunkt zu seinem Originalpunkt bezüglich des Spiegelzentrums? - Überlege dir, wie der Vektor vom Originalpunkt zum Spiegelpunkt aussieht und wie du damit zum Bildpunkt gelangst.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während die \(x_3\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Daraus ergeben sich die Bildpunkte: \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\) und \(C'(-3 | 1 | -2)\). 2. Die Spiegelung an einem Punkt \(S\) erfolgt über die Rechenregel \(\vec{x}'' = 2\vec{s} - \vec{x}\). 3. Für \(A\): \(\vec{a}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Für \(B\): \(\vec{b}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 4-4 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 5. Für \(C\): \(\vec{c}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\), \(C'(-3 | 1 | -2)\) b) \(A''(-3 | 6 | 5)\), \(B''(2 | 0 | 9)\), \(C''(5 | 3 | 4)\)