- Welche Koordinate ist fest vorgegeben und welche beiden können sich verändern? - Überlege, welche räumliche Punktmenge entsteht, wenn genau eine Koordinate konstant bleibt. - Mit welcher Koordinatenebene hat die gesuchte Ebene dieselben freien Koordinatenrichtungen?

1. Die \(x_2\)-Koordinate ist für alle Punkte fest auf \(5\) gesetzt, während \(x_1\) und \(x_3\) unabhängig voneinander alle reellen Werte annehmen können. 2. Weil zwei Koordinaten frei variieren, beschreibt die Punktmenge eine Ebene im Raum. 3. Wegen der konstanten \(x_2\)-Koordinate verläuft diese Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene. 4. Die Ebene hat den Abstand \(5\) zur \(x_1x_3\)-Ebene und schneidet die \(x_2\)-Achse im Punkt \((0\mid5\mid0)\).

Es handelt sich um die Ebene \(x_2=5\). Sie verläuft parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und hat von ihr den Abstand \(5\).

- Stelle dir den Weg von \(A\) zur gegenüberliegenden Ecke entlang der drei Kantenrichtungen vor. - Ordne jeder Kantenlänge die passende positive Koordinatenrichtung zu. - Prüfe anschließend jede Koordinate von \(G\) getrennt.

1. Um von \(A(2\mid1\mid0)\) zur gegenüberliegenden Ecke \(G\) zu gelangen, wird in \(x_1\)-Richtung um \(6\), in \(x_2\)-Richtung um \(4\) und in \(x_3\)-Richtung um \(3\) verschoben. 2. Daher gilt \(x_{1,G}=2+6=8\), \(x_{2,G}=1+4=5\) und \(x_{3,G}=0+3=3\). 3. Somit ist \(G(8\mid5\mid3)\).

\(G(8\mid5\mid3)\)

- Ordne die Bewegungsrichtung der passenden Koordinatenachse zu. - Gehe von \(P\) aus \(3\) Einheiten in der angegebenen positiven Richtung. - Vergleiche anschließend die Koordinaten von Start- und Bildpunkt.

1. Bei einer Verschiebung parallel zur \(x_3\)-Achse bleiben \(x_1\) und \(x_2\) unverändert. 2. Die dritte Koordinate wird um \(3\) erhöht: \(1+3=4\). Daher ist \(Q(-2\mid5\mid4)\).

\(Q(-2\mid5\mid4)\); die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinate bleiben unverändert.

- Welche Koordinate ist auf der \(x_1x_3\)-Ebene immer gleich null? - Welche Koordinaten liegen innerhalb der Spiegelebene und bleiben deshalb unverändert? - Vergleiche anschließend die Ausgangskoordinaten mit den Bildkoordinaten.

1. In der \(x_1x_3\)-Ebene gilt \(x_2=0\). Bei einer Spiegelung an dieser Ebene bleiben \(x_1\) und \(x_3\) unverändert. 2. Nur die zweite Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(P'(2\mid5\mid1)\).

\(P'(2\mid5\mid1)\); das Vorzeichen der zweiten Koordinate \(x_2\) ändert sich.

- Welche Koordinate ist für jeden Punkt der \(x_2x_3\)-Ebene gleich null? - Welche beiden Koordinaten werden durch die Projektion nicht verändert? - Übertrage diese Regel auf den gegebenen Punkt.

1. Auf der \(x_2x_3\)-Ebene gilt \(x_1=0\). 2. Bei der orthogonalen Projektion auf diese Ebene bleiben die zweite und dritte Koordinate erhalten. 3. Damit ist \(Q'(0\mid4\mid2)\).

\(Q'(0\mid4\mid2)\)

- Ordne zuerst jede der drei Koordinaten der richtigen Achse zu. - Achte bei jeder Koordinate auf das Vorzeichen. - Kontrolliere am Ende, ob der Punkt auf der richtigen Seite der drei Koordinatenebenen liegt.

1. Ordne die Koordinaten den Achsen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zu. 2. Trage den Punkt bei \(x_1=2\), \(x_2=-3\) und \(x_3=4\) ein. 3. Beschrifte den Punkt mit \(P\).

Die Zeichnung zeigt den beschrifteten Punkt \(P\) an der Lage \(P(2\mid-3\mid4)\); insbesondere liegt er in positiver \(x_1\)-, negativer \(x_2\)- und positiver \(x_3\)-Richtung.

- Welche Koordinate ändert ihr Vorzeichen, wenn man an einer Ebene spiegelt, in der die anderen beiden Achsen liegen? - Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Punkt \((0\mid0\mid0)\)? - Wie berechnet man mathematisch die Mitte zwischen zwei Werten?

1. Bei der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen, während \(x_2\) und \(x_3\) gleich bleiben. Für \(A(5\mid-4\mid2)\) ergibt sich \(A'(-5\mid-4\mid2)\). 2. Bei der Spiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Für \(B(-1\mid6\mid-3)\) ergibt sich \(B'(1\mid-6\mid3)\). 3. Die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) sind die Mittelwerte der Koordinaten von \(A'\) und \(B'\): \(x_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(y_M = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(z_M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\). Somit ist \(M(-2\mid-5\mid2{,}5)\).

1. \(A'(-5\mid-4\mid2)\) 2. \(B'(1\mid-6\mid3)\) 3. \(M(-2\mid-5\mid2{,}5)\)

- Vergleiche bei Teil a) die Koordinaten aller Punktpaare und achte darauf, welche Koordinate zur genannten Ebene senkrecht steht. - Prüfe bei Teil b), welcher der angebotenen Punkte zu \(D\) bezüglich des Ursprungs symmetrisch liegt.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher sind sowohl \(A(5\mid-2\mid4)\) und \(B(-5\mid-2\mid4)\) als auch \(C(5\mid2\mid-4)\) und \(D(-5\mid2\mid-4)\) spiegelbildlich. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Aus \(D(-5\mid2\mid-4)\) wird \((5\mid-2\mid4)=A\).

a) \(A\) und \(B\) sind spiegelbildlich, weil \(x_2\) und \(x_3\) gleich sind und nur \(x_1\) das Vorzeichen wechselt. Dasselbe gilt für \(C\) und \(D\). b) \(A\); bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen.

- Führe die beiden Ebenenspiegelungen nacheinander aus. - Überlege bei jeder Ebene, welche Raumrichtung senkrecht auf ihr steht und was eine Spiegelung mit dieser Richtung macht. - Vergleiche am Ende jede Koordinatenposition von \(P\) und \(P''\) einzeln.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben \(p_1\) und \(p_2\) erhalten, während \(p_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene wechselt die \(x_2\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 3. Im Vergleich zu \(P\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate unverändert; \(x_2\) und \(x_3\) wechseln ihr Vorzeichen.

a) \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\) b) \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\); \(p_1\) bleibt unverändert, \(p_2\) und \(p_3\) wechseln das Vorzeichen.

- Vergleiche die drei Koordinatenwerte der beiden Punkte einzeln. - Bestimme, in welcher Koordinatenebene der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke liegt. - Überlege, welche Koordinate sich bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene verändert.

1. Die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) sind identisch, während die \(x_3\)-Koordinaten entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(7\mid2\mid0)\). Dieser Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Die Verbindungsstrecke \(AB\) steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene und wird von ihr im Punkt \(M\) halbiert. Daher liegen \(A\) und \(B\) spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene mit der Gleichung \(x_3=0\). 4. Allgemein wechseln bei \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) nur die Vorzeichen der \(x_3\)-Koordinate. Deshalb sind solche Punktpaare bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

a) Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene. b) Allgemein sind \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

- Wie berechnest du den Mittelpunkt zweier Punkte aus ihren Koordinaten? - Was bedeutet der gemeinsame Mittelpunkt zweier Punkte für eine Punktsymmetrie? - Achte im allgemeinen Fall darauf, welche Koordinate gleich bleibt und welche sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

1. Der Mittelpunkt von \(C\) und \(D\) ist \(\left(\frac{4+(-4)}2\mid\frac{3+(-3)}2\mid\frac{6+6}2\right)=(0\mid0\mid6)\). 2. Damit sind \(C\) und \(D\) punktsymmetrisch zum Punkt \((0\mid0\mid6)\). 3. Für \(M\) und \(N\) ist der Mittelpunkt \(\left(\frac{x_1+(-x_1)}2\mid\frac{x_2+(-x_2)}2\mid\frac{x_3+x_3}2\right)=(0\mid0\mid x_3)\). 4. Daher sind \(M\) und \(N\) punktsymmetrisch zum Punkt \((0\mid0\mid x_3)\).

a) Mittelpunkt: \((0\mid0\mid6)\); \(C\) und \(D\) sind punktsymmetrisch zu diesem Punkt. b) Mittelpunkt: \((0\mid0\mid x_3)\); \(M\) und \(N\) sind punktsymmetrisch zu diesem Punkt.

- Welche Koordinate ist bei beiden gegebenen Punkten null, und welche Koordinatenebene beschreibt das? - Welche zwei Koordinaten müssen null sein, damit ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse liegt? - Prüfe für die Strecke, welche Koordinate sich verändert und welche beiden konstant bleiben.

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{0+0}{2}\mid\frac{5+(-5)}{2}\mid\frac{2+2}{2}\right)=(0\mid0\mid2)\). 2. Weil für \(P\) und \(Q\) jeweils \(x_1=0\) gilt, liegen beide Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene. Beim Mittelpunkt \(M\) gilt zusätzlich \(x_2=0\), daher liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse. 3. Entlang der Strecke ändert sich nur die \(x_2\)-Koordinate; \(x_1=0\) und \(x_3=2\) bleiben konstant. Deshalb verläuft \(\overline{PQ}\) parallel zur \(x_2\)-Achse und vollständig in der \(x_2x_3\)-Ebene.

1. \(M(0\mid0\mid2)\) 2. \(P\) und \(Q\) liegen in der \(x_2x_3\)-Ebene; \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. 3. \(\overline{PQ}\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene und verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse.

- Vergleiche die \(x_3\)-Koordinaten der beiden Punkte. - Welche Komponente von \(\vec{AB}\) muss null sein, wenn die Strecke parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft? - Welche beiden Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_3\)-Achse null?

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{3+(-3)}{2}\mid\frac{4+(-4)}{2}\mid\frac{-1+(-1)}{2}\right)=(0\mid0\mid-1)\). 2. Beide Punkte besitzen die gleiche \(x_3\)-Koordinate \(-1\). Daher ist die dritte Komponente von \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}\) gleich \(0\). Die Strecke liegt in der Ebene \(x_3=-1\), die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene mit \(x_3=0\) verläuft. 3. Beim Mittelpunkt \(M(0\mid0\mid-1)\) gilt \(x_1=x_2=0\). Deshalb liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse.

1. \(M(0\mid0\mid-1)\) 2. Wegen \(x_{3,A}=x_{3,B}=-1\) verläuft die Strecke in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. 3. \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse.

- Welche räumliche Bedingung folgt daraus, dass die dritte Koordinate immer \(2\) ist? - Welche zweite Bedingung drücken die gleichen ersten beiden Koordinaten aus? - Vergleiche zwei verschiedene Parameterwerte und bestimme daraus die gemeinsame Bewegungsrichtung der Punkte.

1. Da die dritte Koordinate stets \(2\) ist, liegt die Punktmenge in der Ebene \(x_3=2\). 2. Wegen \(x_1=x_2\) liegt sie zugleich in einer Ebene, die durch die \(x_3\)-Achse verläuft. 3. Der gemeinsame Teil dieser beiden Ebenen ist eine Gerade. Sie verläuft durch \((0\mid0\mid2)\) und besitzt die Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 4. Damit ist die Gerade parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, liegt selbst aber vollständig in der Ebene \(x_3=2\).

Die Punkte bilden eine Gerade durch \((0\mid0\mid2)\) mit der Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Sie liegt in der Ebene \(x_3=2\) und verläuft parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) der \(x_1x_2\)-Ebene.

- Was passiert mit einer Koordinate, wenn du einen Punkt orthogonal auf eine Koordinatenebene projizierst? - Welche Koordinate gibt an, wie weit ein Punkt von einer bestimmten Koordinatenebene entfernt ist? - Kann ein Abstand negativ sein?

1. Bei der orthogonalen Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene wird die Koordinate, die nicht in der Ebene liegt, auf Null gesetzt. Für die \(x_1x_2\)-Ebene ist dies die \(x_3\)-Koordinate, für die \(x_1x_3\)-Ebene die \(x_2\)-Koordinate und für die \(x_2x_3\)-Ebene die \(x_1\)-Koordinate. 2. Die Bildpunkte lauten somit: \(P_{12}(-4\mid7\mid0)\), \(P_{13}(-4\mid0\mid12)\) und \(P_{23}(0\mid7\mid12)\). 3. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene entspricht dem Betrag der Koordinate, die senkrecht auf dieser Ebene steht. 4. Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(d_1 = |12| = 12\). 5. Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(d_2 = |7| = 7\). 6. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(d_3 = |-4| = 4\).

a) \(P_{12}(-4\mid7\mid0)\), \(P_{13}(-4\mid0\mid12)\), \(P_{23}(0\mid7\mid12)\) b) Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(12\); Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(7\); Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(4\)

- Welche Koordinaten dürfen sich frei verändern und welche sind fest vorgegeben? - Wie viele unabhängige Richtungen bleiben, wenn nur eine Koordinate fest ist? - Welche Achsen spannen eine Koordinatenebene auf, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn zwei Koordinaten immer Null sind?

1. Eine Bedingung der Form \(x_i = c\) legt eine Ebene fest, die parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Achsen verläuft. Ist \(c=0\), handelt es sich um die Koordinatenebene selbst. 2. Zwei Bedingungen der Form \(x_i = a\) und \(x_j = b\) legen eine Gerade fest, die parallel zur verbleibenden Koordinatenachse verläuft. Sind beide Konstanten Null, handelt es sich um die Achse selbst. 3. Ergebnisse: a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3{,}5\) in positiver \(x_1\)-Richtung. b) Die \(x_1\)-Achse, da alle Punkte die Form \((x_1\mid0\mid0)\) haben. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse, die durch den Punkt \((-2\mid5\mid0)\) verläuft. d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene bei \(x_1 = 3{,}5\). b) Die \(x_1\)-Achse. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((-2\mid5\mid0)\). d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

- Welche Koordinate ist in einer Koordinatenebene immer Null? - Wie viele Koordinaten müssen für einen Punkt auf einer Koordinatenachse Null sein? - Welche Koordinaten bleiben fest, wenn eine Ebene oder Gerade parallel zu einer Koordinatenebene oder -achse verläuft? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte \(S\) und \(A\) als feste Werte.

1. In einer Koordinatenebene ist die Koordinate der Achse, die nicht am Namen der Ebene beteiligt ist, immer Null. Für die \(x_1x_3\)-Ebene muss also \(x_2 = 0\) gelten. 2. Auf einer Koordinatenachse sind die beiden Koordinaten der anderen Achsen Null. Für die \(x_3\)-Achse bedeutet dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). 3. Bei Parallelität zu Koordinatenebenen oder -achsen werden die entsprechenden Koordinaten auf die Werte des gegebenen Punktes festgelegt. 4. Ergebnisse: a) \(x_2 = 0\). b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). c) \(x_3 = -4\). d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_2 = 0\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) c) \(x_3 = -4\) d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\)

- Überlege dir, wie der Vektor von einem Punkt zum Spiegelzentrum genutzt werden kann, um zum Bildpunkt zu gelangen. - Wenn ein Punkt die Mitte einer Strecke ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den Ortsvektoren der Endpunkte und dem Mittelpunkt? - Du kannst die Punktspiegelung als eine Vektoraddition auffassen: Startpunkt plus zweimal der Verbindungsvektor zum Zentrum.

1. Berechnung von \(A'\) durch Punktspiegelung: Der Ortsvektor des Bildpunktes ergibt sich durch \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = \vec{s} + (\vec{s} - \vec{a}) = 2 \cdot \vec{s} - \vec{a}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -12 \end{pmatrix}\). Somit ist \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\). 2. Berechnung von \(B\): Da \(A\) der Mittelpunkt von \(SB\) ist, gilt \(\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{s} + \vec{b})\). Umstellen nach \(\vec{b}\) liefert \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{s}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(7 \mid -5 \mid 9)\).

a) \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\) b) \(B(7 \mid -5 \mid 9)\)

- Wie hängen ein Punkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum zusammen? - Welcher Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen Original und Bildpunkt? - Nutze dieselbe Spiegelregel nacheinander für alle drei Eckpunkte.

1. Bei einer Punktspiegelung an \(Z\) ist \(Z\) der Mittelpunkt zwischen einem Punkt \(X\) und seinem Bildpunkt \(X'\). Daher gilt \(\vec{x'}=2\vec{z}-\vec{x}\). 2. Für \(A\) ergibt sich \(\vec{a'}=2\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\). Also ist \(A'(3\mid1\mid2)\). 3. Für \(B\) ergibt sich \(\vec{b'}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\). Also ist \(B'(0\mid3\mid0)\). 4. Für \(C\) ergibt sich \(\vec{c'}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\). Also ist \(C'(2\mid-1\mid-1)\).

\(A'(3\mid1\mid2)\), \(B'(0\mid3\mid0)\) und \(C'(2\mid-1\mid-1)\)

- Welche Koordinate steht jeweils senkrecht auf der genannten Spiegelebene? - Führe die beiden Spiegelungen nacheinander aus. - Vergleiche anschließend jede Koordinate von Ausgangs- und Endpunkt einzeln.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene wechselt nur die \(x_3\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_1(4\mid-3\mid1)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_2(-4\mid-3\mid1)\). 3. Gegenüber \(P\) haben \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen gewechselt, während \(x_2\) unverändert ist.

a) \(P_1(4\mid-3\mid1)\) b) \(P_2(-4\mid-3\mid1)\); \(x_1\) und \(x_3\) wechseln das Vorzeichen, \(x_2\) bleibt gleich.

- Vergleiche einen unteren Eckpunkt mit dem Punkt, der direkt über ihm liegt. - Welche beiden Koordinaten ändern sich bei einer Bewegung nur in \(x_3\)-Richtung nicht? - Formuliere die beobachtete Veränderung anschließend unabhängig von den konkreten Eckpunkten.

1. Beim Übergang von der unteren zur oberen Grundfläche bleiben die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten unverändert; nur die \(x_3\)-Koordinate wird um \(10\) erhöht. 2. Daraus folgen \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\) und \(F(0\mid6\mid10)\). 3. Allgemein lautet die Koordinatenregel \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

a) \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\), \(F(0\mid6\mid10)\). b) \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

- Verfolge die gestrichelten Hilfsstrecken vom Ursprung bis zum Punkt \(P\) in ihrer Reihenfolge. - Ordne jede Beschriftung der zugehörigen Achsenrichtung \(x_1\), \(x_2\) oder \(x_3\) zu. - Achte darauf, dass ein Minuszeichen eine Verschiebung entgegen der positiven Achsenrichtung bedeutet.

1. Die erste Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Koordinate von \(P\) gleich \(2\). 2. Die zweite Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(-\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Koordinate gleich \(-1\). 3. Die dritte Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(3\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Koordinate gleich \(3\). 4. Somit ist \(P(2\mid-1\mid3)\) und \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

\(P(2\mid-1\mid3)\), \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)

- Identifiziere im Bild zuerst, welche Lage der Punkt \(F\) relativ zu \(O\) hat. - Welche drei Kantenverschiebungen führen vom Ursprung zum gegenüberliegenden Eckpunkt? - Jede der drei gegebenen Nachbarecken von \(O\) liefert genau eine Koordinatenrichtung.

1. Im Schrägbild ist \(F\) der zu \(O\) gegenüberliegende Eckpunkt des Quaders. 2. Von \(O\) nach \(F\) werden daher die drei Kantenverschiebungen in \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung kombiniert. 3. Somit besitzt \(F\) die Koordinaten \((4\mid3\mid2)\).

\(F(4\mid3\mid2)\)

- Überlege bei jeder Projektion, welche Koordinate den Abstand zur Zielebene beschreibt. - Die beiden Koordinaten innerhalb der Zielebene bleiben bei der Projektion erhalten. - Kontrolliere, ob jeder Projektionspunkt tatsächlich in der genannten Koordinatenebene liegt.

1. Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten \(A(3\mid-2\mid4)\). 2. Bei der Projektion auf die \(x_1x_2\)-Ebene wird die dritte Koordinate \(0\). Daher ist \(A_{12}(3\mid-2\mid0)\). 3. Bei der Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene wird die erste Koordinate \(0\). Daher ist \(A_{23}(0\mid-2\mid4)\). 4. Trage die drei Punkte entsprechend ein und beschrifte sie.

Die Zeichnung enthält \(A(3\mid-2\mid4)\), \(A_{12}(3\mid-2\mid0)\) in der \(x_1x_2\)-Ebene und \(A_{23}(0\mid-2\mid4)\) in der \(x_2x_3\)-Ebene, jeweils richtig beschriftet.

- Überlege dir zuerst, wie viele Koordinaten fest vorgegeben sind und wie viele frei wählbar bleiben. - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten fest sind und eine variabel ist, welche Form entsteht dann im Raum? - Erinnere dich an die Bedeutung von Betragsstrichen bei Gleichungen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) fest vorgegeben sind, während \(x_3\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, handelt es sich um eine Gerade. Diese verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0\mid4\mid0)\) und liegt vollständig in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Für Teilaufgabe b): Die Bedingung \(x_1 = 0\) legt fest, dass alle Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene liegen. Die zusätzliche Bedingung \(x_2 = x_3\) beschreibt innerhalb dieser Ebene die Winkelhalbierende zwischen der positiven \(x_2\)- und der positiven \(x_3\)-Achse sowie den entsprechenden negativen Achsenabschnitten. Es handelt sich somit um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 3. Für Teilaufgabe c): Die Gleichung \(|x_2| = 5\) ist äquivalent zu \(x_2 = 5\) oder \(x_2 = -5\). Da \(x_1\) und \(x_3\) beliebig sind, beschreibt dies zwei Ebenen. Beide Ebenen liegen parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und haben den Abstand \(5\) von dieser.

a) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0\mid4\mid0)\). b) Winkelhalbierende zwischen der \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene; eine Gerade durch den Ursprung. c) Zwei zueinander parallele Ebenen, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von \(5\) Einheiten verlaufen: \(x_2 = 5\) und \(x_2 = -5\).

- Stelle dir vor, welche Punkte die Bedingung \(x_1 = x_2 = x_3\) erfüllen könnten, indem du einfache Zahlen einsetzt. - Wie verändert sich die Lage eines Punktes, wenn du nur eine Koordinate variierst? - Betrachte bei Teilaufgabe c) erst die Einschränkung durch \(x_3 = 0\) und zeichne dir die Bedingung für \(x_1\) und \(x_2\) in einem zweidimensionalen System vor.

1. Für Teilaufgabe a): Alle drei Koordinaten müssen identisch sein. Dies beschreibt die Gerade durch den Koordinatenursprung \((0\mid0\mid0)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), die beispielsweise auch durch den Punkt \((1\mid1\mid1)\) verläuft. Sie schließt mit allen drei Koordinatenachsen denselben Winkel ein. 2. Für Teilaufgabe b): Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) sind auf feste Werte gesetzt, während \(x_2\) beliebig wählbar ist. Dies definiert eine Gerade, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und durch den Punkt \((-1\mid0\mid2)\) geht. 3. Für Teilaufgabe c): Die Bedingung \(x_3 = 0\) bedeutet, dass alle Punkte in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Die Gleichung \(x_1 + x_2 = 4\) beschreibt innerhalb dieser Ebene eine Gerade. Sie schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((4\mid0\mid0)\) und die \(x_2\)-Achse bei \((0\mid4\mid0)\).

a) Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\); alle Punkte haben drei gleiche Koordinaten. b) Eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \((-1\mid0\mid2)\). c) Eine Gerade in der \(x_1x_2\)-Ebene, welche die Achsen bei \((4\mid0\mid0)\) und \((0\mid4\mid0)\) schneidet.

- Gehe schrittweise vor und überlege dir für jede Ebene, welche Koordinate senkrecht dazu steht und ihr Vorzeichen ändert. - Notiere dir die Koordinaten nach jedem Schritt sorgfältig. - Vergleiche am Ende, welche der drei Koordinaten von \(P\) zu \(P_3\) ihr Vorzeichen gewechselt haben.

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P(3\mid8\mid-4)\) wird \(P_1(3\mid8\mid4)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_1(3\mid8\mid4)\) wird \(P_2(3\mid-8\mid4)\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_2(3\mid-8\mid4)\) wird \(P_3(-3\mid-8\mid4)\). 4. Von \(P(3\mid8\mid-4)\) zu \(P_3(-3\mid-8\mid4)\) wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Das entspricht einer Spiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(P_1(3\mid8\mid4)\) 2. \(P_2(3\mid-8\mid4)\) 3. \(P_3(-3\mid-8\mid4)\) 4. Spiegelung am Koordinatenursprung.

- Wenn du die Projektion auf eine Ebene kennst, welche Koordinaten des ursprünglichen Punktes sind dann bereits festgelegt? - Wie hängt der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene mit seiner \(x_1\)-Koordinate zusammen? - Was bleibt von den Koordinaten eines Punktes übrig, wenn man ihn auf eine Achse projiziert?

1. Da \(Q'(0\mid5\mid-3)\) die Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene ist, müssen die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten von \(Q\) mit denen von \(Q'\) übereinstimmen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\). 2. Der Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene wird durch den Betrag der \(x_1\)-Koordinate bestimmt: \(|x_1| = 8\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) oder \(x_1 = -8\). Die Punkte sind \(Q_1(8\mid5\mid-3)\) und \(Q_2(-8\mid5\mid-3)\). 3. Für Aufgabenteil b) wird \(Q(8\mid5\mid-3)\) verwendet. Bei der Projektion auf die \(x_3\)-Achse werden alle Koordinaten außer der \(x_3\)-Koordinate zu Null. 4. Die Projektion auf die \(x_3\)-Achse ergibt somit den Punkt \(Q''(0\mid0\mid-3)\).

a) \(Q_1(8\mid5\mid-3)\) und \(Q_2(-8\mid5\mid-3)\) b) \(Q''(0\mid0\mid-3)\)

- Gehe schrittweise vor und berechne erst das Ergebnis der ersten Spiegelung, bevor du die zweite ausführst. - Erinnere dich an die Formel für den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. - Um zu zeigen, dass ein Vektor das Doppelte eines anderen ist, multipliziere alle Komponenten des einen Vektors mit 2.

1. Erste Spiegelung (von \(P\) an \(Q\)): \(\vec{p'} = 2 \cdot \vec{q} - \vec{p} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\). Also \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\). 2. Zweite Spiegelung (von \(P'\) an \(R\)): \(\vec{p''} = 2 \cdot \vec{r} - \vec{p'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix}\). Also \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors: \(\vec{PP''} = \vec{p''} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich mit \(\vec{QR}\): \(\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(2 \cdot \vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{PP''}\).

a) \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\) und \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\) b) \(\vec{PP''} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\); da \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\), folgt \(\vec{PP''} = 2 \cdot \vec{QR}\).

- Welche Rolle spielt das Spiegelzentrum für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bild? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wann sind zwei Vektoren parallel?

1. Das Spiegelzentrum \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PP'\). Es gilt \(\vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{p'})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\). Somit ist \(M(2\mid2\mid2)\). 2. Der Bildpunkt \(Q'\) ergibt sich aus \(\vec{q'}=2\vec{m}-\vec{q}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\). Somit ist \(Q'(-1\mid3\mid2)\). 3. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{P'Q'}=\begin{pmatrix}-2\\-3\\2\end{pmatrix}=-\vec{PQ}\). Daher sind die beiden Vektoren parallel.

1. \(\vec{m}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\) 2. \(Q'(-1\mid3\mid2)\) 3. \(\vec{P'Q'}=-\vec{PQ}\); daher sind die Vektoren parallel.

- Welche Koordinate ändert sich bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene? - Welche Mittelpunktbeziehung gilt zwischen einem Punkt, seinem Bildpunkt und dem Spiegelzentrum? - Wende die Punktspiegelungsregel auf jeden Eckpunkt einzeln an.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während die \(x_3\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Daraus ergeben sich \(A'(5\mid-2\mid-1)\), \(B'(0\mid4\mid3)\) und \(C'(-3\mid1\mid-2)\). 2. Die Spiegelung an einem Punkt \(S\) folgt der Regel \(\vec{x''}=2\vec{s}-\vec{x}\). 3. Für \(A\) ergibt sich \(\vec{a''}=2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\5\end{pmatrix}\). 4. Für \(B\) ergibt sich \(\vec{b''}=2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\9\end{pmatrix}\). 5. Für \(C\) ergibt sich \(\vec{c''}=2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\\4\end{pmatrix}\).

a) \(A'(5\mid-2\mid-1)\), \(B'(0\mid4\mid3)\), \(C'(-3\mid1\mid-2)\) b) \(A''(-3\mid6\mid5)\), \(B''(2\mid0\mid9)\), \(C''(5\mid3\mid4)\)

- Vergleiche bei der Punktspiegelung am Ursprung die Lage des Punktes zu allen drei Koordinatenebenen. - Bei einer Ebenenspiegelung bleiben zwei Koordinaten unverändert. Welche Koordinate hängt von der jeweiligen Ebene ab? - Führe die drei Spiegelungen in der angegebenen Reihenfolge aus und vergleiche erst am Ende mit Teil a).

1. Bei der Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen. Daher ist \(P'(-p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 2. Nach der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene liegt der Punkt bei \(P_1(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). 3. Nach der Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene folgt \(P_2(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 4. Nach der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene folgt \(P_3(-p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 5. Damit gilt \(P_3=P'\).

a) \(P'(-p_1\mid-p_2\mid-p_3)\) b) \(P_1(p_1\mid p_2\mid-p_3)\), \(P_2(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\), \(P_3(-p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). Somit ist \(P_3=P'\).

- Welche zwei Eigenschaften muss der orthogonale Projektionspunkt auf die \(x_1x_2\)-Ebene erfüllen? - Prüfe jede Möglichkeit mit diesen Eigenschaften. Dass ein Punkt von \(A\) abhängt, reicht allein nicht aus. - Setze für b) die neuen Koordinaten in die jeweilige Definition oder Konstruktion ein. - Welche Konstruktionen in c) benutzen nur geometrische Beziehungen zur Ebene?

1. Bei einer orthogonalen Projektion auf die \(x_1x_2\)-Ebene bleiben die ersten beiden Koordinaten erhalten und die dritte Koordinate wird \(0\). 2. Möglichkeit I erfüllt diese Bedingung und hängt weiterhin von \(A\) ab. Sie ist richtig. 3. Möglichkeit II hängt zwar von \(A\) ab, setzt aber die zweite statt der dritten Koordinate auf \(0\). Sie projiziert daher nicht auf die \(x_1x_2\)-Ebene. 4. Möglichkeit III ist richtig: Die Senkrechte durch \(A\) trifft die Ebene im orthogonalen Projektionspunkt. 5. Möglichkeit IV ist ebenfalls richtig: Der Mittelpunkt eines Punktes und seines Spiegelpunkts an einer Ebene liegt auf der Ebene und auf der Senkrechten durch den Punkt. 6. Für \(A_1(4\mid1\mid-6)\) liefern I, III und IV den Punkt \((4\mid1\mid0)\). Möglichkeit II liefert \((4\mid0\mid-6)\). 7. Für eine beliebige Ebene \(E\) lassen sich III und IV direkt übertragen, weil beide nur geometrische Beziehungen zur Ebene benutzen.

a) I, III und IV sind richtig. I setzt genau die dritte Koordinate auf \(0\). III verwendet die Senkrechte auf die Ebene. Bei IV liegt der Mittelpunkt von \(A\) und seinem Spiegelpunkt auf der Ebene. II setzt dagegen die zweite Koordinate auf \(0\) und projiziert deshalb nicht auf die \(x_1x_2\)-Ebene. b) I: \((4\mid1\mid0)\) II: \((4\mid0\mid-6)\) III: \((4\mid1\mid0)\) IV: \((4\mid1\mid0)\) c) III und IV. Beide Konstruktionen benutzen nur Senkrechte, Spiegelung und Mittelpunkt und lassen sich deshalb auf eine beliebige Ebene \(E\) übertragen.