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- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung direkt mit der allgemeinen Form, um die Konstanten abzulesen. - Überlege dir, wie sich der Wert von \(e^{kx}\) verändert, wenn \(x\) größer wird und \(k\) negativ ist. - Nutze deinen Taschenrechner für die Berechnung der \(e\)-Funktion und achte auf die korrekte Rundung.

1. Vergleich der allgemeinen Form \(ce^{kx}\) mit der gegebenen Gleichung \(15{,}5e^{-0{,}4x}\). Ergebnis: \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). 2. Bestimmung der Änderungsart: Da der Parameter im Exponenten \(k = -0{,}4\) kleiner als Null ist, sinken die Funktionswerte mit steigendem \(x\). Ergebnis: Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. 3. Berechnung des Wertes an der Stelle \(x=5\): \(B(5) = 15{,}5 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 15{,}5 \cdot e^{-2} \approx 2{,}10\).

a) \(c = 15{,}5\) und \(k = -0{,}4\). b) Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, da der Parameter im Exponenten (\(k = -0{,}4\)) negativ ist. c) Der Funktionswert beträgt \(B(5) \approx 2{,}10\).

- Welche Zahl wird im Funktionsterm außerhalb des Exponentialterms addiert? - Welche Rolle spielt dieser additive Parameter für die waagrechte Asymptote?

1. Der additive Parameter \(7\) verschiebt den Graphen der Exponentialfunktion vertikal um \(7\) Einheiten. 2. Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=7\).

\(y=7\)

- Wie bestimmt man mathematisch den Wert eines Bestands zu Beginn der Beobachtung? - Welchen Wert nimmt die Potenz \(e^0\) an? - Achte auf das Vorzeichen der Zahl im Exponenten. Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen für die Entwicklung des Funktionswerts? - Setze den gesuchten Zeitpunkt für die entsprechende Variable in die Funktionsgleichung ein.

1. Berechnung der Anfangswerte durch Einsetzen von \(t=0\): \(f_1(0) = 600 \cdot e^0 = 600\), \(f_2(0) = 450 \cdot e^0 = 450\) und \(f_3(0) = 600 \cdot e^0 = 600\). Ergebnis: Funktion (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. 2. Analyse des Wachstumsparameters \(k\) im Exponenten \(e^{kt}\): Ein negativer Wert (\(k < 0\)) kennzeichnet einen Zerfallsprozess. Ergebnis: Die Funktionen (2) mit \(k = -0{,}12\) und (3) mit \(k = -0{,}05\) beschreiben Zerfallsprozesse. 3. Berechnung des Funktionswertes für \(f_1(20)\): \(f_1(20) = 600 \cdot e^{0{,}05 \cdot 20} = 600 \cdot e^1 \approx 1630{,}97\).

a) Der Bestand (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. b) Die Funktionen (2) und (3) beschreiben einen Zerfallsprozess, da die Koeffizienten im Exponenten (\(-0{,}12\) bzw. \(-0{,}05\)) negativ sind. c) Der Bestand nach \(20\) Zeiteinheiten beträgt ca. \(1630{,}97\).

- Wie kannst du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung? - Könnte es helfen, den Dezimalwert in einen Bruch umzuwandeln? - Welche Einschränkungen gibt es für die Basis einer Exponentialfunktion?

1. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P(-2 \mid 6{,}25)\) in die Funktionsgleichung erhält man die Gleichung \(6{,}25 = a^{-2}\). 2. Umrechnung des Dezimalwerts in einen Bruch ergibt \(\frac{25}{4} = \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Bilden des Kehrwerts folgt \(a^2 = \frac{4}{25}\). 4. Da die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion stets positiv sein muss, ergibt das Ziehen der Quadratwurzel \(a = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

\(a = 0{,}4\)

- Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(y = b^{\frac{m}{n}}\) nach \(b\) auflösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten von \(Q(0{,}75 \mid 8)\) in \(g(x) = b^x\) führt auf die Gleichung \(8 = b^{0{,}75}\). 2. Darstellung des Exponenten als Bruch: \(8 = b^{\frac{3}{4}}\). 3. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren beider Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 8^{\frac{4}{3}}\). 4. Berechnung des Werts über die dritte Wurzel: \(b = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16\).

\(b = 16\)

- Welche mathematische Operation ist die Umkehrung der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Wie kannst du eine Potenz mit einer anderen Basis ausdrücken, ohne den Wert zu verändern? - Überlege, welche Identität zwischen \(e\) und dem natürlichen Logarithmus besteht.

1. Um die Basis \(1{,}025\) zur Basis \(e\) umzuformen, wird der Ansatz \(e^k = 1{,}025\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus erhält man \(k = \ln(1{,}025)\). Die Berechnung ergibt \(k \approx 0{,}02469\). Exakt gilt \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); mit dem gerundeten Wert von \(k\) erhält man näherungsweise \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\). 2. Jede Basis \(b > 0\) lässt sich als \(b = e^{\ln(b)}\) schreiben. Setzt man dies in \(f(x) = b^x\) ein, folgt \(f(x) = (e^{\ln(b)})^x = e^{\ln(b)x}\). Der Parameter \(k\) entspricht also stets dem natürlichen Logarithmus der ursprünglichen Basis \(b\), d. h. \(k = \ln(b)\).

1. Exakt: \(K(t) = 5000e^{\ln(1{,}025)t}\); näherungsweise: \(K(t) \approx 5000e^{0{,}02469t}\) mit \(k \approx 0{,}02469\). 2. Der Parameter wird über die Beziehung \(k = \ln(b)\) bestimmt, da \(b^t = (e^{\ln b})^t = e^{\ln(b)t}\) gilt.

- Welchen Wert hat die Zeit \(t\) zu Beginn der Beobachtung? - Der Wachstumsfaktor gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. - Suche dir Punkte im Gitter, die genau auf den Kreuzungen liegen, um Werte sicher abzulesen.

1. Den Anfangsbestand \(N_0\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) ablesen: Für Kultur \(h\) gilt \(N_0 = 2\). Für Kultur \(k\) gilt \(N_0 = 8\). 2. Den Bestand nach einer Stunde (\(t = 1\)) ablesen: Bei \(G_h\) liegt der Punkt \((1 \mid 3)\), bei \(G_k\) der Punkt \((1 \mid 6)\). 3. Den Wachstumsfaktor \(a\) berechnen: Für \(h\) gilt \(2 \cdot a = 3 \Rightarrow a = 1{,}5\). Für \(k\) gilt \(8 \cdot a = 6 \Rightarrow a = 0{,}75\). 4. Ergebnisse: Kultur \(h\) hat einen Anfangsbestand von \(2000\) Bakterien (\(N_0 = 2\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 1{,}5\). Kultur \(k\) hat einen Anfangsbestand von \(8000\) Bakterien (\(N_0 = 8\)) und einen Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}75\).

Kultur \(h\): Anfangsbestand \(N_0 = 2\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\); Kultur \(k\): Anfangsbestand \(N_0 = 8\) (Tausend), Wachstumsfaktor \(a = 0{,}75\).

- Überlege dir, welchen Wert die Funktion \(f_a(x)\) an der Stelle \(x = 0\) annimmt. - Wie beeinflusst der Parameter \(a\) den Schnittpunkt des Graphen mit der vertikalen Achse? - Lies die \(y\)-Werte an der Stelle \(x = 0\) für jeden Graphen direkt aus der Zeichnung ab.

1. Da \(e^0 = 1\), gilt für alle Funktionen der Schar \(f_a(0) = a\). Der Parameter \(a\) entspricht also dem \(y\)-Achsenabschnitt des jeweiligen Graphen. 2. Graph (1) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\). Daraus folgt \(a = 2\). 3. Graph (2) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 0{,}5\). Daraus folgt \(a = 0{,}5\). 4. Graph (3) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = -1\). Daraus folgt \(a = -1\).

(1) \(a = 2\), (2) \(a = 0{,}5\), (3) \(a = -1\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Produkte und die Kettenregel für die \(e\)-Funktion. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in deine Ableitungsfunktion ein und löse die entstehende Gleichung nach \(a\) auf.

1. Punktprobe mit \(P(2 \mid 5e^{-2})\): \(g_a(2) = (2 + a) \cdot e^{-2} = 5e^{-2}\). Durch Division durch \(e^{-2}\) erhält man \(2 + a = 5\), woraus \(a = 3\) folgt. 2. Ableitung mit der Produktregel: \(g_a'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + a) \cdot (-e^{-x}) = (1 - x - a) \cdot e^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) gilt: \(g_a'(0) = (1 - 0 - a) \cdot e^0 = 1 - a\). Gleichsetzen mit dem Wert \(-2\): \(1 - a = -2 \Rightarrow a = 3\).

1. \(a = 3\) 2. \(a = 3\)

- Vergleiche den Bestand zu zwei Zeitpunkten, die genau ein Jahr auseinanderliegen. - Der Exponentenparameter und der Faktor für eine ganze Zeiteinheit sind nicht dieselbe Größe. - Wie wird aus einem Wachstumsfaktor die prozentuale Zunahme berechnet?

1. Für ein Jahr ist der Wachstumsfaktor \(\frac{N(t+1)}{N(t)}=e^{0{,}08}\approx1{,}08329\). 2. Die effektive jährliche Zunahme beträgt daher \((e^{0{,}08}-1)\cdot100\,\%\approx8{,}33\,\%\). 3. Jonas' Aussage ist nicht exakt. Der Wert \(0{,}08\) ist der kontinuierliche Exponentenparameter; die effektive Zunahme über ein ganzes Jahr ergibt sich erst aus \(e^{0{,}08}-1\).

Wachstumsfaktor: \(e^{0{,}08}\approx1{,}08329\); effektive jährliche Zunahme: etwa \(8{,}33\,\%\). Jonas' Aussage „genau \(8\,\%\)“ ist falsch.

- Setze bei allen drei Funktionen denselben besonders einfachen \(x\)-Wert ein. - Das Vorzeichen von \(k\) bestimmt, ob der Exponent mit wachsendem \(x\) zu- oder abnimmt. - Vergleiche die beiden positiven Parameter zunächst für einen festen positiven \(x\)-Wert.

1. Für alle drei Funktionen gilt \(f_k(0)=e^0=1\). Daher verlaufen alle Graphen durch \(P(0\mid1)\). 2. Für \(k=-1\) ist \(f_{-1}(x)=e^{-x}\) streng monoton fallend. 3. Für \(k=0{,}5\) und \(k=2\) sind die Funktionen streng monoton steigend. 4. Für positive \(x\) wächst \(e^{2x}\) deutlich schneller als \(e^{0{,}5x}\). Ein größerer positiver Wert von \(k\) bewirkt also einen steileren Anstieg. 5. Die Skizze muss diese gemeinsame Lage bei \((0,1)\), die entgegengesetzte Monotonie für negatives \(k\) und die unterschiedliche Steilheit der beiden wachsenden Graphen zeigen.

Gemeinsamer Punkt: \(P(0\mid1)\). Für \(k=-1\) fällt der Graph; für \(k=0{,}5\) und \(k=2\) steigt er. Unter den positiven Parametern führt \(k=2\) zum steileren Wachstum.

- Überlege dir, welchen Wert der Ausdruck \(e^{-kt}\) für \(t=0\) annimmt. - Wie verhält sich die Temperatur der Limonade nach einer sehr langen Zeit im Vergleich zur Zimmertemperatur? - Setze die bekannten Werte in die Funktionsgleichung ein, um die fehlenden Parameter zu bestimmen. - Denk an die Kettenregel beim Ableiten der Funktion.

1. Da sich die Temperatur langfristig der Zimmertemperatur angleicht, gilt \(A = 25\). Aus der Anfangstemperatur folgt \(g(0) = 25 - B \cdot e^{0} = 25 - B = 7\), woraus \(B = 18\) resultiert. 2. Zur Berechnung von \(k\) wird der Punkt \((20 \mid 16)\) in \(g(t) = 25 - 18e^{-kt}\) eingesetzt: \(16 = 25 - 18 \cdot e^{-20k} \implies -9 = -18 \cdot e^{-20k} \implies 0{,}5 = e^{-20k}\). 3. Durch Logarithmieren erhält man \(\ln(0{,}5) = -20k \implies k = \frac{\ln(0{,}5)}{-20} \approx 0{,}0347\). 4. Die Änderungsrate für den Fall \(k = 0{,}04\) ist \(g'(t) = -18 \cdot (-0{,}04) \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}72e^{-0{,}04t}\). 5. Gleichsetzen mit der vorgegebenen Rate: \(0{,}72 \cdot e^{-0{,}04t} = 0{,}25 \implies e^{-0{,}04t} = \frac{0{,}25}{0{,}72} \approx 0{,}3472\). 6. Auflösen nach \(t\): \(-0{,}04t = \ln(0{,}3472) \approx -1{,}0578 \implies t = \frac{-1{,}0578}{-0{,}04} \approx 26{,}45\). Der Zeitpunkt liegt bei ca. \(26{,}5\) Minuten.

a) \(A = 25\); \(B = 18\) b) \(k \approx 0{,}0347\) c) nach ca. \(26{,}5\) Minuten

- Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle erfüllt sein? - Wie wendest du die Produktregel auf eine Funktion der Form \(u(t) \cdot v(t)\) an? - Beachte, dass der Exponentialterm \(e^{kt}\) niemals null wird.

1. Ableitung der Funktion \(g(t) = 10 \cdot (60 - t) \cdot e^{kt}\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(g'(t) = 10 \cdot (-1) \cdot e^{kt} + 10 \cdot (60 - t) \cdot k \cdot e^{kt} = 10 \cdot e^{kt} \cdot (-1 + 60 \cdot k - k \cdot t)\). 2. Bedingung für ein Extremum bei \(t = 20\): \(g'(20) = 0\). 3. Einsetzen von \(t = 20\) in die Ableitung: \(10 \cdot e^{20k} \cdot (60 \cdot k - 20 \cdot k - 1) = 0\). 4. Da \(10 \cdot e^{20k} \neq 0\), muss gelten: \(40 \cdot k - 1 = 0\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k = \frac{1}{40} = 0{,}025\). 6. Überprüfung der Art des Extremums (optional): \(g''(20) = 10 \cdot k \cdot e^{20k} \cdot (40 \cdot k - 2) = 10 \cdot 0{,}025 \cdot e^{0{,}5} \cdot (1 - 2) < 0\), somit liegt ein Maximum vor.

Der Wert der Konstanten ist \(k = 0{,}025\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^{-at}\) niemals null wird. - Das Maximum findest du über die Nullstelle der ersten Ableitung. - Die stärkste Abnahme entspricht der Wendestelle, an der die Steigung negativ und minimal ist. - Setze für die maximale Konzentration den gefundenen Zeitpunkt einfach in die ursprüngliche Funktion ein.

1. Zur Bestimmung der Extrema wird die erste Ableitung gebildet: \(c_a'(t) = 40e^{-at} + 40 \cdot t \cdot (-a) \cdot e^{-at} = 40 \cdot e^{-at} \cdot (1 - at)\). Die notwendige Bedingung \(c_a'(t) = 0\) führt auf \(1 - at = 0\), also \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\). Da \(c_a'(t)\) bei \(t = \frac{1}{a}\) ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus aufweist, liegt ein Maximum vor. 2. Einsetzen von \(t_{\text{max}}\) in die Funktionsgleichung: \(c_a\left(\frac{1}{a}\right) = 40 \cdot \frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot \frac{1}{a}} = \frac{40}{a} \cdot e^{-1} = \frac{40}{a \cdot e}\). 3. Die stärkste Abnahme liegt am Wendepunkt im fallenden Bereich vor. Die zweite Ableitung lautet: \(c_a''(t) = 40 \cdot (-a) \cdot e^{-at} \cdot (1 - at) + 40 \cdot e^{-at} \cdot (-a) = 40 \cdot a \cdot e^{-at} \cdot (at - 2)\). Die Bedingung \(c_a''(t) = 0\) ergibt \(at - 2 = 0\), also \(t_W = \frac{2}{a}\). Da \(c_a'(t_W) = 40e^{-2} \cdot (1 - 2) = -40 \cdot e^{-2} < 0\), handelt es sich um die stärkste Abnahme. 4. Das Verhältnis ist \(\frac{t_W}{t_{\text{max}}} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{1}{a}} = 2\).

1. \(t_{\text{max}} = \frac{1}{a}\) 2. \(c_{\text{max}} = \frac{40}{a \cdot e}\) 3. \(t_W = \frac{2}{a}\) 4. Das Verhältnis beträgt \(2\).

- Überlege dir zuerst, wie du das Maximum einer Funktion mit Parameter bestimmst. - Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein Ergebnis nicht von einer Variablen abhängt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Änderungsrate. - Betrachte den Term \(\frac{1}{k}\): Was passiert mit dem Wert, wenn \(k\) größer wird?

1. Die erste Ableitung ist \(f_k'(t) = ke^{-kt} + k \cdot t \cdot (-k) \cdot e^{-kt} = k \cdot e^{-kt} \cdot (1 - kt)\). Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei \(t = \frac{1}{k}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = k \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{k}} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\). Da dieser Wert unabhängig von \(k\) ist, ist der maximale Funktionswert für alle \(k\) identisch. 2. Die momentane Änderungsrate zu Beginn ist der Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(t = 0\): \(f_k'(0) = k \cdot e^{0} \cdot (1 - 0) = k \cdot 1 \cdot 1 = k\). 3. Da der Zeitpunkt des Maximums \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\) ist, führt ein größerer Wert von \(k\) dazu, dass das Maximum früher erreicht wird (der Prozess läuft schneller ab). Gleichzeitig bedeutet ein größeres \(k\), dass die anfängliche Änderungsrate \(f_k'(0) = k\) höher ist, der Prozess also steiler startet.

1. Das Maximum liegt stets bei \(f_k\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\). 2. \(f_k'(0) = k\) 3. Ein größeres \(k\) bewirkt einen schnelleren Anstieg zu Beginn und ein früheres Erreichen des Maximums.

- Welches Wachstum dominiert bei sehr großen Werten von \(t\)? - Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion? Achte darauf, ob der Parameter \(c\) in der Gleichung für \(t\) bestehen bleibt. - Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum der ersten Ableitungsfunktion. - Setze den bekannten Zeitpunkt des Maximums in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem gesuchten Parameter auf.

1. Grenzwertbetrachtung: Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}02t}\) für \(t \to \infty\) schneller wächst als jede lineare Funktion, gilt \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{c \cdot (t+40)}{e^{0{,}02t}} = 0\). 2. Ableitung berechnen: \(h_c'(t) = c \cdot [1 \cdot e^{-0{,}02t} + (t + 40) \cdot (-0{,}02) \cdot e^{-0{,}02t}] = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (1 - 0{,}02t - 0{,}8) = c \cdot e^{-0{,}02t} \cdot (0{,}2 - 0{,}02t)\). 3. Extremstelle: \(h_c'(t) = 0\) führt zu \(0{,}2 - 0{,}02t = 0\), woraus \(t = 10\) folgt. Da dieser Wert unabhängig von \(c\) ist, ist die Unabhängigkeit gezeigt. Die Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(h_c''(10) < 0\) bestätigt das Maximum. 4. Wendepunkt (stärkste Abnahme): Die zweite Ableitung ist \(h_c''(t) = ce^{-0{,}02t} \cdot (0{,}0004t - 0{,}024)\). Nullsetzen ergibt \(0{,}0004t = 0{,}024\), also \(t = 60\). Da \(h_c'''(60) > 0\), liegt hier ein Minimum der Steigung (stärkste Abnahme) vor. 5. Parameterbestimmung: Einsetzen von \(t = 10\) in \(h_c(t) = 500\) ergibt \(c \cdot (10 + 40) \cdot e^{-0{,}02 \cdot 10} = 500\). Dies führt zu \(50 \cdot c \cdot e^{-0{,}2} = 500\), also \(c = \frac{10}{e^{-0{,}2}} = 10 \cdot e^{0{,}2} \approx 12{,}21\).

a) \(\lim_{t \to \infty} h_c(t) = 0\,\text{mg}/\text{l}\) b) \(t = 10\) (unabhängig von \(c\)) c) Nach \(60\,\text{Stunden}\) d) \(c \approx 12{,}21\)

- Überlege dir, welcher Wert der Funktion der Höhe in der Mitte entspricht. - Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein, um die Unbekannten zu berechnen. - Welches mathematische Kriterium hilft dir dabei, die Stelle mit der extremsten Steigung zu finden? - Denke daran, dass Steigungen oft als Dezimalzahl berechnet werden; wie rechnet man diese in Prozent um?

1. Bestimmung von \(A\): Aus der Bedingung \(f(0) = 12\) folgt direkt \(A \cdot e^0 = 12\), also \(A = 12\). 2. Bestimmung von \(k\): Mit der Bedingung \(f(20) = 8\) ergibt sich \(12 \cdot e^{-k \cdot 20^2} = 8\). Umformen führt zu \(e^{-400k} = \frac{2}{3}\), woraus \(k = -\frac{\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}{400} = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) folgt. 3. Bestimmung des Wendepunkts: Die stärkste Steigung bzw. das stärkste Gefälle liegt an den Wendestellen vor. Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12e^{-kx^2} \cdot (-2 \cdot k + 4 \cdot k^2 \cdot x^2)\) wird Null für \(x^2 = \frac{1}{2k}\). Für \(x > 0\) ergibt sich \(x_w = \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \approx 22{,}21\). 4. Koordinaten des Wendepunkts: Der Funktionswert an der Wendestelle ist \(f(x_w) = 12e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx 7{,}28\). Der Punkt ist \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\). 5. Berechnung der Steigung: Die Steigung im Wendepunkt ist \(f'(x_w) = -2 \cdot k \cdot x_w \cdot f(x_w) = -2 \cdot \frac{\ln(1{,}5)}{400} \cdot \sqrt{\frac{200}{\ln(1{,}5)}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} = -\sqrt{\frac{\ln(1{,}5)}{200}} \cdot 12 \cdot e^{-0{,}5} \approx -0{,}328\). 6. Umrechnung in Prozent: Eine Steigung von \(-0{,}328\) entspricht einem Gefälle von \(32{,}8\,\%\).

a) \(A = 12\); \(k = \frac{\ln(1{,}5)}{400} \approx 0{,}001014\) b) \(P(22{,}21 \mid 7{,}28)\) c) Das Gefälle beträgt ca. \(32{,}8\,\%\).

- Überlege dir, was „Verdopplung“ mathematisch für den Wachstumsfaktor über einen bestimmten Zeitraum bedeutet. - Wie hängen der Faktor für eine Zeiteinheit und der Faktor für mehrere Zeiteinheiten zusammen? - Erinnere dich daran, wie man einen Multiplikationsfaktor in eine prozentuale Steigerung umrechnet. - Kannst du die Zeitangaben in Stunden ausdrücken, um sie direkt als Exponenten zu nutzen?

1. Aus der Verdopplungszeit folgt die Gleichung \(b^3 = 2\). Die Basis ist somit \(b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 2. Der Faktor für eine Stunde entspricht \(b^1 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\). 3. Für den Zeitraum von \(4{,}5\) Stunden ergibt sich der Faktor \(b^{4{,}5} = (2^{\frac{1}{3}})^{4{,}5} = 2^{1{,}5} = \sqrt{8} \approx 2{,}8284\). 4. Für 30 Minuten (\(0{,}5\) Stunden) berechnet man \(b^{0{,}5} = 2^{\frac{0{,}5}{3}} = 2^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}1225\). Dies entspricht einer prozentualen Zunahme von ca. \(12{,}25\,\%\).

a) \(b = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\) b) Faktor \(\approx 1{,}2599\) c) Faktor \(\approx 2{,}8284\) d) Zunahme um ca. \(12{,}25\,\%\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen? - Wie lässt sich \(b^{-1}\) umschreiben, um die Gleichung nach \(a\) aufzulösen? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn du Terme wie \(b \cdot b^{1{,}5}\) zusammenfasst? - Wie isolierst du die Basis \(b\), wenn sie mit einem Dezimalexponenten wie \(2{,}5\) potenziert wird?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Einsetzen der Koordinaten: (I) \(12 = ab^{-1}\) (II) \(0{,}375 = ab^{1{,}5}\) 2. Auflösen der ersten Gleichung nach \(a\): \(a = 12b\). 3. Einsetzen von \(a\) in Gleichung (II): \(0{,}375 = 12 \cdot b \cdot b^{1{,}5} = 12 \cdot b^{2{,}5}\). 4. Berechnen von \(b\): \(b^{2{,}5} = \frac{0{,}375}{12} = 0{,}03125\). Daraus folgt \(b = 0{,}03125^{\frac{1}{2{,}5}} = 0{,}25\). 5. Berechnen von \(a\): \(a = 12 \cdot 0{,}25 = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 3 \cdot 0{,}25^x\).

- Was passiert mathematisch, wenn du die beiden Funktionsgleichungen durcheinander dividierst? - Welche Bedeutung hat das Verhältnis zweier Funktionswerte, deren \(x\)-Werte sich um genau \(1\) unterscheiden? - Wenn zwei Funktionen am selben Punkt starten, aber die eine nach einem Schritt einen höheren Wert erreicht als die andere – was sagt das über ihre Wachstumsfaktoren aus?

1. Teilaufgabe a: Aufstellen des Verhältnisses der Funktionswerte: \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b^2} = b\). Einsetzen der Werte ergibt \(b = \frac{20}{5} = 4\). 2. Einsetzen von \(b\) in \(f(2) = 5\): \(5 = a \cdot 4^2 = 16a\), woraus \(a = \frac{5}{16} = 0{,}3125\) folgt. 3. Teilaufgabe b: Der Quotient \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) entspricht bei Exponentialfunktionen dem Wachstumsfaktor \(b\). 4. Beide Funktionen haben bei \(x = 2\) denselben Funktionswert \(5\). Nach einem weiteren Schritt gilt für \(g\) der Wert \(15\), für \(f\) dagegen der Wert \(20\). Daher ist \(\frac{g(3)}{g(2)} < \frac{f(3)}{f(2)}\), also \(d < b\), ohne dass \(d\) vollständig berechnet werden muss.

a) \(a = 0{,}3125\) und \(b = 4\). b) \(d\) ist kleiner als \(b\), da \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{15}{5} < \frac{20}{5} = \frac{f(3)}{f(2)}\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie findest du den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Setze die bekannten Informationen Schritt für Schritt in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Was passiert mit dem Term \(e^x\), wenn du für \(x\) die Null einsetzt?

1. Die waagerechte Asymptote einer Funktion der Form \(h(x) = ae^x + c\) für \(x \to -\infty\) ist durch den Wert der vertikalen Verschiebung gegeben, also \(y = c\). Da die Asymptote \(y = -2\) vorgegeben ist, folgt direkt \(c = -2\). 2. Die Gerade \(y = x + 1\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Der \(y\)-Wert an dieser Stelle ist \(y = 0 + 1 = 1\). Somit verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(P(0 \mid 1)\). 3. Durch Einsetzen der Koordinaten von \(P\) in den Ansatz \(h(x) = ae^x - 2\) erhält man die Gleichung \(1 = a \cdot e^0 - 2\). 4. Da \(e^0 = 1\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(1 = a - 2\). Daraus folgt \(a = 3\). 5. Der gesuchte Funktionsterm ist \(h(x) = 3e^x - 2\).

\(a = 3\), \(c = -2\); der Funktionsterm lautet \(h(x) = 3e^x - 2\).

- Kannst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Parameter aufstellen? - Welche Operation hilft dir, eine der Unbekannten zu eliminieren? - Was sagt der Wert von \(a\) über die Änderung pro Zeiteinheit aus?

1. Es gelten \(18 = c_0 \cdot a^3\) und \(4{,}2 = c_0 \cdot a^8\). Division liefert \(a^5 = \frac{4{,}2}{18} = \frac{7}{30}\). Daher ist \(a = \sqrt[5]{\frac{7}{30}} \approx 0{,}7475\). Einsetzen ergibt \(c_0 = \frac{18}{a^3} \approx 43{,}10\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Die stündliche Abnahme beträgt \((1-a) \cdot 100\,\% \approx 25{,}25\,\%\).

1. \(a \approx 0{,}7475\); \(c_0 \approx 43{,}10\,\text{mg}/\text{l}\) 2. Die Konzentration nimmt stündlich um ca. \(25{,}25\,\%\) ab.

- Welche Art von Wachstumsmodell beschreibt eine konstante prozentuale Änderung pro Zeiteinheit? - Kannst du die gegebenen Werte in eine Funktionsgleichung mit unbekannter Basis einsetzen? - Wie löst du eine Gleichung nach der Basis auf, wenn der Exponent bekannt ist? - Was ist der Unterschied zwischen Wachstumsfaktor und prozentualer Wachstumsrate?

1. Das Modell lautet \(A(n) = A_0q^n\). 2. Aus \(215 = 150q^{12}\) folgt \(q^{12} = \frac{43}{30}\). 3. Daher ist \(q = \sqrt[12]{\frac{43}{30}} \approx 1{,}0305\). 4. Die jährliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q-1) \cdot 100\,\% \approx 3{,}05\,\%\).

Der durchschnittliche jährliche Zuwachs der Waldfläche beträgt ca. \(3{,}05\,\%\).

- Welche Formel nutzt du, wenn ein Wert über mehrere Jahre hinweg prozentual abnimmt? - Welche Variable entspricht dem jährlichen Faktor? - Wie kommst du vom Faktor \(q\) auf den prozentualen Verlust? - Bei einer Abnahme muss \(q < 1\) gelten.

1. Das Modell lautet \(W(n) = W_0q^n\). 2. Aus \(18\,400 = 85\,000q^7\) folgt \(q^7 = \frac{92}{425}\). 3. Daher ist \(q = \sqrt[7]{\frac{92}{425}} \approx 0{,}8036\). 4. Die jährliche Abnahme beträgt \((1-q) \cdot 100\,\% \approx 19{,}64\,\%\).

Der Wert des Roboters ist jährlich um durchschnittlich etwa \(19{,}64\,\%\) gesunken.

- Schau dir die Abstände zwischen den Jahren an, in denen sich die Werte in der rechten Spalte verdoppeln. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Verdopplungszeit \(T_d\) zusammen? Erinnere dich an die Gleichung \(q^{T_d} = 2\). - Wenn ein Vorgang immer länger braucht, um sich zu verdoppeln, was bedeutet das für die jährliche Steigerung in Prozent?

1. Verdopplungszeiträume bestimmen: Von \(120\,000\) auf \(240\,000\) sind es \(2018 - 2016 = 2\) Jahre. Von \(240\,000\) auf \(480\,000\) sind es \(2021 - 2018 = 3\) Jahre. Von \(480\,000\) auf \(960\,000\) sind es \(2025 - 2021 = 4\) Jahre. 2. Wachstumsraten berechnen: Für den 1. Zeitraum gilt \(q_1 = 2^{\frac{1}{2}} \approx 1{,}4142\) (ca. \(41{,}42\,\%\)). Für den 2. Zeitraum gilt \(q_2 = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}2599\) (ca. \(25{,}99\,\%\)). Für den 3. Zeitraum gilt \(q_3 = 2^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}1892\) (ca. \(18{,}92\,\%\)). 3. Interpretation: Die Verdopplungszeiträume werden länger (2, 3, dann 4 Jahre). Dies bedeutet, dass die relative (prozentuale) Wachstumsgeschwindigkeit abnimmt, obwohl die absoluten Nutzerzahlen weiterhin steigen. Das Wachstum verlangsamt sich also in seiner Dynamik.

a) Die Verdopplungszeiträume betragen nacheinander 2 Jahre, 3 Jahre und 4 Jahre. b) Die Wachstumsraten liegen bei ca. \(41{,}4\,\%\), \(26{,}0\,\%\) und \(18{,}9\,\%\). c) Da die Verdopplungszeiträume zunehmen, sinkt die relative Wachstumsrate; das Wachstum verliert an Dynamik.

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für beide Modelle auf. - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die Rate \(p\) zusammen? - Nutze den Logarithmus, um nach der Zeit oder der Konstante \(k\) aufzulösen. - Was bedeutet „Vervierfachung“ für die Gleichung? - Beachte, dass \(e^{10k} = (e^{5k})^2\) gilt.

1. Aus \(350 = 200q^5\) folgt \(q = \sqrt[5]{1{,}75} \approx 1{,}1184\). Die jährliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q-1) \cdot 100\,\% \approx 11{,}84\,\%\). 2. Für die Vervierfachung gilt \(q^n = 4\). Daher ist \(n = \frac{\ln(4)}{\ln(q)} \approx 12{,}39\) Jahre. 3. Aus \(200e^{5k} = 350\) folgt \(k = \frac{\ln(1{,}75)}{5} \approx 0{,}1119\). Nach 10 Jahren gilt \(B(10) = 200 \cdot 1{,}75^2 = 612{,}5\). Das Modell prognostiziert somit etwa \(613\) Tiere.

1. \(q \approx 1{,}1184\); \(p \approx 11{,}84\,\%\) 2. nach ca. \(12{,}39\) Jahren 3. \(k \approx 0{,}1119\); nach 10 Jahren ca. \(613\) Tiere

- Wie hängen die Basis \(a\) und die Basis \(e\) mathematisch zusammen? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Bestand nach einer gewissen Zeit? - Welchen Einfluss haben der Vorfaktor vor der Potenz und der Wert im Exponenten auf das Aussehen der Kurve?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Ansatz \(e^k = 0{,}82\) gewählt. Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus ergibt sich \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\). 2. Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) wird berechnet, indem der Wachstumsfaktor auf \(0{,}5\) gesetzt wird: \(0{,}82^{T_{1/2}} = 0{,}5\) oder \(e^{kT_{1/2}} = 0{,}5\). Dies führt zu \(T_{1/2} = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}82)} \approx 3{,}49\,\text{h}\). 3. Die Funktionsgleichung für das zweite Medikament lautet \(g(t) = 300e^{-0{,}12t}\). Im Vergleich zu \(M(t)\) ist der Startwert verdoppelt (\(300\) statt \(150\)), was einer Streckung in \(y\)-Richtung entspricht. Da \(|-0{,}12| < |-0{,}1985|\) ist, verläuft der Graph von \(g\) flacher, das Medikament wird also langsamer abgebaut.

a) \(k = \ln(0{,}82) \approx -0{,}1985\) b) \(T_{1/2} \approx 3{,}49\,\text{h}\) c) \(g(t) = 300e^{-0{,}12t}\); der Graph startet höher auf der \(y\)-Achse und fällt langsamer ab als der Graph von \(M\).

- Überlege, welches Verhalten der Graph für sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to -\infty\)) zeigt und wie dies mit dem Parameter \(c\) zusammenhängt. - Nutze die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse, um den Parameter \(a\) zu berechnen. - Bestimme die Koordinaten der Nullstelle aus der Abbildung und setze sie in die Funktionsgleichung ein, um nach \(b\) aufzulösen. - Bestimme die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) unter Verwendung der Kettenregel und berechne die Steigungen an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 1\).

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung geht hervor, dass die waagerechte Asymptote des Graphen für \(x \to -\infty\) bei \(y = 4\) liegt. Da \(b > 0\) ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} e^{bx} = 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = c = 4\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid 2)\). Einsetzen dieses Punktes in die Funktionsgleichung liefert \(f(0) = ae^0 + 4 = 2 \implies a + 4 = 2 \implies a = -2\). 3. Bestimmung von \(b\): Der Graph besitzt eine Nullstelle bei \(x = 1\), also gilt \(f(1) = 0\). Einsetzen liefert \(-2 \cdot e^{b \cdot 1} + 4 = 0 \implies -2 \cdot e^b = -4 \implies e^b = 2 \implies b = \ln(2)\). 4. Berechnung der Ableitungsfunktion: Mit \(f(x) = -2e^{\ln(2)x} + 4\) ergibt sich durch Ableiten \(f'(x) = -2\ln(2)e^{\ln(2)x}\). 5. Vergleich der Steigungen: Die Steigung am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(f'(0) = -2\ln(2)e^0 = -2\ln(2)\). Die Steigung an der Nullstelle ist \(f'(1) = -2\ln(2)e^{\ln(2)} = -4\ln(2)\). Es gilt somit \(f'(1) = -4\ln(2) = 2 \cdot (-2\ln(2)) = 2f'(0)\).

a) Da der Graph für \(x \to -\infty\) die waagerechte Asymptote \(y = 4\) besitzt, gilt \(c = 4\). Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = ae^0 + 4 = 2 \implies a = -2\). b) Aus der Nullstelle bei \(x = 1\) folgt \(f(1) = -2 \cdot e^b + 4 = 0 \implies e^b = 2 \implies b = \ln(2)\). c) Die Ableitung lautet \(f'(x) = -2\ln(2)e^{\ln(2)x}\). An den Stellen \(x = 0\) und \(x = 1\) ergeben sich die Steigungen \(f'(0) = -2\ln(2)\) und \(f'(1) = -4\ln(2)\). Da \(-4\ln(2) = 2 \cdot (-2\ln(2))\), gilt \(f'(1) = 2f'(0)\).

- Nutze den Wert bei \(t=0\), um den Faktor vor der e-Funktion direkt zu bestimmen. - Setze einen weiteren bekannten Punkt in die Funktionsgleichung ein, um nach der Unbekannten im Exponenten aufzulösen. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Variable im Exponenten steht, ist der natürliche Logarithmus (\(\ln\)) das passende Werkzeug.

1. Bestimmung des Anfangswerts: Der y-Achsenabschnitt liegt bei \(c = 100\). 2. Bestimmung der Wachstumskonstante: Mit dem Punkt \((10 \mid 200)\) folgt \(200 = 100 \cdot e^{10k}\). Daraus ergibt sich \(2 = e^{10k}\) und \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). Der exakte Funktionsterm ist \(f(t) = 100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\); näherungsweise gilt \(f(t) \approx 100e^{0{,}0693t}\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(1000\) Einheiten mit dem exakten Parameter: \(1000 = 100 \cdot e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\). Daraus folgt \(10 = e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\) und somit \(t = \frac{10\ln(10)}{\ln(2)} \approx 33{,}22\).

a) Exakt: \(f(t) = 100e^{\frac{\ln(2)}{10}t}\); näherungsweise: \(f(t) \approx 100e^{0{,}0693t}\) b) \(t = \frac{10\ln(10)}{\ln(2)} \approx 33{,}22\) Zeiteinheiten.

- Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. Welcher Teil des Funktionsterms nähert sich dann Null an? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse hat immer den \(x\)-Wert \(0\). Nutze dies, um einen der Parameter direkt zu berechnen. - Wenn du einen Punkt kennst, der auf dem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten für \(x\) und \(f(x)\) in die Gleichung einsetzen. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung der Funktion an der entsprechenden Stelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist \(y = mx + n\).

1. Bestimmung von \(c\): Aus der Abbildung ist die waagerechte Asymptote bei \(y = 3\) ersichtlich. Da \(e^{bx} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (bei \(b > 0\)), folgt \(c = 3\). 2. Bestimmung von \(a\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 1)\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(f(0) = ae^0 + 3 = 1\), woraus \(a = 1 - 3 = -2\) folgt. Die Funktion lautet somit \(f(x) = -2e^{bx} + 3\). 3. Berechnung von \(b\): Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 3 - 2e)\) in \(f(x) = -2e^{bx} + 3\) ergibt \(3 - 2e = -2e^{2b} + 3\). Subtraktion von \(3\) liefert \(-2e = -2e^{2b}\). Division durch \(-2\) ergibt \(e^1 = e^{2b}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(1 = 2b\), also \(b = 0{,}5\). 4. Tangentengleichung: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = -2e^{0{,}5x} + 3\) lautet \(f'(x) = -2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = -e^{0{,}5x}\). Die Steigung im Punkt \(S_y(0 \mid 1)\) ist \(m = f'(0) = -e^0 = -1\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ergibt sich die Tangentengleichung \(t(x) = -x + 1\).

a) \(c = 3\); \(a = -2\) b) \(b = 0{,}5\) c) \(t(x) = -x + 1\)

- Überlege dir, welcher Funktionswert zum Startzeitpunkt \(x = 0\) im Graphen abzulesen ist. - Welche mathematische Eigenschaft hat eine Kurve an der Stelle ihres höchsten Punktes? - Nutze die Ableitung der Funktion, um den Zeitpunkt des Maximums rechnerisch zu erfassen.

1. Aus der Bedingung für die Anfangskonzentration folgt: \(c(0) = (a \cdot 0 + b) \cdot e^0 = b = 10\). 2. Zur Bestimmung von \(a\) wird die erste Ableitung benötigt: \(c'(x) = a \cdot e^{-0{,}1x} + (ax + 10) \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1x} = e^{-0{,}1x} \cdot (a - 0{,}1ax - 1)\). 3. Da bei \(x = 5\) ein Maximum vorliegt, muss die notwendige Bedingung \(c'(5) = 0\) erfüllt sein: \(e^{-0{,}5} \cdot (a - 0{,}1 \cdot a \cdot 5 - 1) = 0\). 4. Da \(e^{-0{,}5} \neq 0\), folgt \(a - 0{,}5a - 1 = 0\), woraus sich \(0{,}5a = 1\) und somit \(a = 2\) ergibt. Für \(a=2\) gilt \(c'(x)=e^{-0{,}1x}(1-0{,}2x)\); die Ableitung wechselt bei \(x=5\) von positiv zu negativ. Damit liegt dort tatsächlich ein Maximum vor. Die gesuchten Werte sind \(a = 2\) und \(b = 10\).

\(a = 2\) und \(b = 10\)

- Welcher Parameter bestimmt bei \(b>0\) die waagerechte Asymptote für \(x\to-\infty\)? - Welche Information liefert der gemeinsame markierte Punkt auf der \(y\)-Achse? - Vergleiche anschließend nur, welcher Graph sich vom gemeinsamen Punkt aus schneller verändert.

1. Beide Graphen nähern sich für große negative \(x\) der waagerechten Geraden \(y=2\). Daher ist \(c=2\). 2. Beide Graphen schneiden die \(y\)-Achse im markierten Punkt \(P(0\mid5)\). Mit \(f_b(0)=a+c\) folgt \(a+2=5\), also \(a=3\). 3. Graph q steigt für positive \(x\) schneller an und liegt für negative \(x\) näher an der Asymptote. Daher besitzt Graph q den größeren positiven Parameter \(b\).

a) \(a=3\), \(c=2\). b) Graph q gehört zum größeren Wert von \(b\).

- Wie findet man die Extremstellen einer Funktion mit einem Parameter? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man die Extremstelle für \(x\) einsetzt? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Die Steigung wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ein „Gefälle“ ist eine negative Steigung. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Ableitungsfunktion ein und löse nach dem Parameter auf.

1. Zur Bestimmung des Maximums wird die erste Ableitung gebildet: \(f_k'(x) = 10 \cdot k^2 \cdot (2 \cdot x - k \cdot x^2) \cdot e^{2-kx} = 10 \cdot k^2 \cdot x \cdot (2 - k \cdot x) \cdot e^{2-kx}\). 2. Die notwendige Bedingung \(f_k'(x) = 0\) liefert für \(x > 0\) die Stelle \(x_H = \frac{2}{k}\). 3. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(f_k(\frac{2}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot (\frac{2}{k})^2 \cdot e^{2-k \cdot \frac{2}{k}} = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{4}{k^2} \cdot e^0 = 40\). Die maximale Höhe beträgt somit stets \(40\,\text{m}\). 4. Für \(x > \frac{2}{k}\) gilt \(x > 0\), \(e^{2-kx} > 0\) und \(2-k \cdot x < 0\). Daher ist \(f_k'(x) < 0\), der Hügel fällt also nach dem höchsten Punkt. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{10 \cdot k^2 \cdot x^2 \cdot e^2}{e^{kx}} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die Potenzfunktion im Zähler. 5. Das maximale Gefälle entspricht dem Betrag der Ableitung an der Wendestelle \(x_W = \frac{2+\sqrt{2}}{k}\). Einsetzen in die Ableitungsfunktion: \(f_k'(\frac{2+\sqrt{2}}{k}) = 10 \cdot k^2 \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{k} \cdot (2 - (2+\sqrt{2})) \cdot e^{2-(2+\sqrt{2})} = 10 \cdot k \cdot (2+\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) \cdot e^{-\sqrt{2}} = -10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}\). 6. Gleichsetzen des Betrags mit \(0{,}25\): \(10 \cdot k \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}} = 0{,}25 \implies k = \frac{0{,}25}{10 \cdot (2\sqrt{2} + 2) \cdot e^{-\sqrt{2}}} \approx 0{,}0213\).

a) Die maximale Höhe beträgt \(40\,\text{m}\). b) Für \(x > \frac{2}{k}\) ist \(f_k'(x) < 0\), und \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0\). c) \(k \approx 0{,}0213\).

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Summanden der Funktion. - Für die zweite Kampagne musst du die Zeit \(t\) um den Startzeitpunkt verschieben. Überlege, wie man eine Funktion entlang der \(x\)-Achse verschiebt. - Addiere die Funktionswerte beider Kampagnen zum gesuchten Zeitpunkt. - Was passiert mit den zeitabhängigen Termen beider Kampagnen, wenn \(t\) sehr groß wird?

1. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(k \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t}\) für \(t \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, gilt \(\lim_{t \to \infty} S_k(t) = 10k\). 2. Gesamtfunktion: Für \(t \ge 50\) gilt \(G(t) = S_{100}(t) + S_{150}(t - 50)\). Einsetzen ergibt: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 1000 + 150 \cdot (20 - (t - 50)) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 1500\). Vereinfacht: \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\). 3. Berechnung für \(t = 60\): \(G(60) = 100 \cdot (20 - 60) \cdot e^{-6} + 1000 + 150 \cdot (20 - 10) \cdot e^{-1} + 1500\). \(G(60) = -4000 \cdot e^{-6} + 1000 + 1500 \cdot e^{-1} + 1500 \approx -9{,}91 + 1000 + 551{,}82 + 1500 \approx 3041{,}91\). 4. Langfristiger Gesamtwert: Die Grenzwerte der Einzelmodelle addieren sich: \(10 \cdot 100 + 10 \cdot 150 = 1000 + 1500 = 2500\).

a) \(10k\) b) \(G(t) = 100 \cdot (20 - t) \cdot e^{-0{,}1t} + 150 \cdot (70 - t) \cdot e^{-0{,}1(t - 50)} + 2500\) c) ca. \(3042\) Besucher d) \(2500\) Besucher

- Achte auf den Unterschied zwischen Durchmesser und Radius. - Nutze den natürlichen Logarithmus, um die Parameter aus dem Exponenten zu lösen. - Die Sichtbedingung bedeutet mathematisch, dass die Sichtlinie die Tangente im Wendepunkt der Profilkurve ist. - Die Höhe der Turmspitze ist der Schnittpunkt dieser Tangente mit der \(y\)-Achse.

1. Bedingungen aufstellen: Ein Durchmesser von \(200\,\text{m}\) entspricht einem Radius von \(x=1\). Ein Durchmesser von \(400\,\text{m}\) entspricht \(x=2\). Die Höhen \(400\,\text{m}\) und \(200\,\text{m}\) entsprechen \(h=4\) und \(h=2\). Daraus folgen \(h(1)=4\) und \(h(2)=2\). 2. Gleichungssystem für \(a\) und \(b\): \(e^{a(b-1)} = 4 \Rightarrow a(b-1) = \ln(4)\) und \(e^{a(b-4)} = 2 \Rightarrow a(b-4) = \ln(2)\). 3. Lösung des Systems: Subtraktion der Gleichungen ergibt \(a(b-1) - a(b-4) = \ln(4) - \ln(2) \Rightarrow 3a = \ln(2) \Rightarrow a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\). Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(b-4 = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{3}\ln(2)} = 3 \Rightarrow b = 7\). 4. Gipfelhöhe: \(h(0) = e^{ab} = e^{\frac{7}{3}\ln(2)} = 2^{\frac{7}{3}} \approx 5{,}040\), was \(504\,\text{m}\) entspricht. 5. Wendepunkt bestimmen: Die Wendestelle liegt bei \(x_w = \sqrt{\frac{1}{2a}} = \sqrt{\frac{3}{2 \cdot \ln(2)}} \approx 1{,}472\). Die Höhe im Wendepunkt ist \(h(x_w) = e^{a \cdot (b-x_w^2)} = e^{ab - 0{,}5} = h(0) \cdot e^{-0{,}5} \approx 3{,}057\). 6. Turmhöhe berechnen: Die Tangente im Wendepunkt hat die Gleichung \(y = h'(x_w) \cdot (x - x_w) + h(x_w)\). Der \(y\)-Achsenabschnitt (Spitze des Turms) ist \(y_T = -x_w \cdot h'(x_w) + h(x_w)\). Mit \(h'(x) = -2axh(x)\) folgt \(y_T = 2a \cdot x_w^2h(x_w) + h(x_w)\). Da \(2a \cdot x_w^2 = 1\), gilt \(y_T = 2h(x_w) \approx 6{,}113\). 7. Differenz zur Gipfelhöhe: Die Turmhöhe ist \(T = y_T - h(0) = 6{,}113 - 5{,}040 = 1{,}073\). Dies entspricht ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

a) \(a = \frac{1}{3}\ln(2) \approx 0{,}231\); \(b = 7\) b) Die Mindesthöhe des Turms beträgt ca. \(107{,}3\,\text{m}\).

- Setze die Information über die Änderung von \(x\) und \(y\) in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um die Basis zu isolieren. - Was bedeutet eine „Abnahme“ für das Vorzeichen der Änderung von \(x\)? - Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \((a^n)^m = a^{nm}\). - Um etwas allgemein zu zeigen, verwende Variablen für die Änderungen anstatt konkreter Zahlenwerte.

1. Aus der Bedingung folgt \(a^3 = 4\), woraus sich \(a = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}5874\) ergibt. 2. Der Faktor für \(\Delta x = 1{,}5\) ist \(a^{1{,}5} = (a^3)^{0{,}5} = 4^{0{,}5} = 2\). 3. Für eine Abnahme um 1 Einheit (\(\Delta x = -1\)) gilt der Faktor \(a^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300\). 4. Sei \(q = a^{\Delta x}\) der Faktor für den Schritt \(\Delta x\). Für den Schritt \(2\Delta x\) ist der Faktor \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2 = q^2\). Damit ist der Zusammenhang bewiesen.

a) \(a = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\) b) Faktor \(2\) c) Faktor \(\approx 0{,}6300\) d) Beweis über \(a^{2\Delta x} = (a^{\Delta x})^2\)

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Ausdruck \((x - a)\) null wird. Was bedeutet das für den Schnittpunkt mit der x-Achse? - Nutze die Produktregel \((u \cdot v)' = u'v + uv'\) für die Ableitung, wobei \(u(x) = x-a\) und \(v(x) = e^{0{,}5x}\) ist. - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle erfüllen, an der ein Tiefpunkt vorliegt? - Setze den bekannten x-Wert in deine Ableitungsfunktion ein, um eine Gleichung für den gesuchten Parameter zu erhalten.

1. Bestimmung der Nullstellen: Die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) hat keine Nullstellen (sie ist stets positiv). Daher ergeben sich die Nullstellen von \(g_a\) ausschließlich aus der Gleichung \(x - a = 0\), also liegt die Nullstelle bei \(x = a\). 2. Zuordnung der Graphen: Graph 1 schneidet die x-Achse bei \(x = 1\), was dem Parameter \(a = 1\) entspricht. Graph 2 schneidet die x-Achse bei \(x = -1\), was dem Parameter \(a = -1\) entspricht. 3. Erste Ableitung berechnen: Unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel ergibt sich \(g'_a(x) = 1 \cdot e^{0{,}5x} + (x - a) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (1 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). 4. Notwendige Bedingung für Extremstelle: \(g'_a(4) = 0\). Da \(e^{0{,}5 \cdot 4} \neq 0\), muss der Klammerterm null sein: \(1 + 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5a = 0\). 5. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(1 + 2 - 0{,}5a = 0 \Rightarrow 3 = 0{,}5a \Rightarrow a = 6\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: Die zweite Ableitung ist \(g''_a(x) = 0{,}5 e^{0{,}5x} (2 + 0{,}5x - 0{,}5a)\). Einsetzen von \(a=6\) und \(x=4\) liefert \(g''_6(4) = 0{,}5 e^2 (2 + 2 - 3) = 0{,}5 e^2 > 0\). Somit liegt bei \(x=4\) ein Tiefpunkt vor.

a) Graph 1 gehört zu \(a = 1\), Graph 2 gehört zu \(a = -1\). b) \(a = 6\)