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- Welche Rolle spielen Anfangs- und Endpunkt bei einem Verbindungsvektor? - Arbeite die drei Koordinaten getrennt voneinander ab. - Kontrolliere die Richtung, indem du gedanklich von \(A\) nach \(B\) gehst.

1. Der Verbindungsvektor ergibt sich aus Endpunkt minus Anfangspunkt. 2. Daher ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\0-2\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\).

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\)

- Ein Repräsentant muss dieselbe gerichtete Verschiebung wie der gegebene Vektor beschreiben. - Bestimme den Verbindungsvektor vom Anfangspunkt \(P\) zum Endpunkt \(Q\). - Vergleiche anschließend die drei Komponenten mit denen von \(\vec{a}\).

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-1\\1-2\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). 2. Damit gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}\). Die gerichtete Strecke von \(P\) nach \(Q\) ist also ein Repräsentant von \(\vec{a}\).

Ja. Es gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

- Berechne \(\vec{AB}\) wie jeden anderen Verbindungsvektor aus Endpunkt minus Anfangspunkt. - Frage dich in Teil b), ob \(O\) eine Lage oder eine Verschiebung beschreibt. - Kann derselbe Nullvektor auch durch zwei andere identische Punkte dargestellt werden?

1. Da \(A\) und \(B\) derselbe Punkt sind, gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{0}\). 2. Der Nullvektor ist ein Vektor: Er beschreibt eine Verschiebung ohne Änderung und kann an beliebigen Punkten repräsentiert werden. 3. Der Ursprung \(O\) ist dagegen ein bestimmter Punkt des Koordinatensystems. Punkt und Vektor haben daher unterschiedliche Rollen.

a) \(\vec{AB}=\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) b) \(\vec{0}\) ist ein Vektor ohne Verschiebung; \(O\) ist ein bestimmter Punkt.

- Überlege dir, welchen festen Wert die dritte Koordinate haben muss, wenn ein Punkt direkt auf der „Grundfläche“ (der \(x_1x_2\)-Ebene) liegt. - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Koordinaten der Endpunkte. - Eine Verschiebung „nach oben“ betrifft im räumlichen Koordinatensystem nur eine der drei Koordinatenachsen.

1. In der \(x_1x_2\)-Ebene ist die \(x_3\)-Koordinate für alle Punkte gleich \(0\). Somit ergeben sich die räumlichen Koordinaten \(A(5 | -1 | 0)\) und \(B(2 | 3 | 0)\). 2. In der Ebene gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Im Raum gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die ersten beiden Komponenten sind identisch, die dritte Komponente ist \(0\). 3. Der Mittelpunkt \(M\) berechnet sich durch Mittelung der Koordinaten: \(M\left(\frac{5+2}{2} \mid \frac{-1+3}{2} \mid \frac{0+0}{2}\right) = M(3{,}5 | 1 | 0)\). 4. Da der Punkt \(P\) senkrecht über \(M\) in Richtung der \(x_3\)-Achse liegt, ändern sich nur die \(x_3\)-Koordinaten: \(P(3{,}5 | 1 | 0+4) = P(3{,}5 | 1 | 4)\).

1. \(A(5 | -1 | 0)\), \(B(2 | 3 | 0)\) 2. \(\vec{AB}_{\text{Ebene}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB}_{\text{Raum}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die räumliche Darstellung ergänzt eine Nullkomponente. 3. \(M(3{,}5 | 1 | 0)\) 4. \(P(3{,}5 | 1 | 4)\)

- Wie berechnet man die Verschiebung von einem Punkt zum anderen im Raum? - Gibt es eine einfache Regel, um von \(\vec{RS}\) direkt auf \(\vec{SR}\) zu schließen? - Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Komponenten im Vergleich an.

1. Für den Verbindungsvektor von \(R\) nach \(S\) gilt Spitze minus Anfang: \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}2-(-1{,}5)\\-4{,}5-3\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). 2. Für den umgekehrten Verbindungsvektor gilt \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-1{,}5-2\\3-(-4{,}5)\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(\vec{SR}=-\vec{RS}\). Die Vektoren sind Gegenvektoren: Sie haben dieselbe Länge und entgegengesetzte Richtungen.

a) \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). b) \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). c) \(\vec{SR}=-\vec{RS}\); die Vektoren haben entgegengesetzte Richtungen.

- Lies zuerst die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten der vier markierten Punkte aus der Abbildung ab; die dritte Koordinate ist laut Text jeweils \(0\). - Vergleiche nicht die Lage der Strecken, sondern die Verschiebung vom Anfangs- zum Endpunkt. - Schreibe jeden Vektor mit drei Komponenten auf.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-3|1|0)\), \(B(0|3|0)\), \(C(1|-2|0)\) und \(D(4|0|0)\) ab. 2. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Beide Vektoren haben dieselben Komponenten und stellen daher denselben Vektor im Raum dar.

\(\vec{AB}=\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\); ja, beide stellen denselben Vektor dar.

- Lies die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten der drei gegebenen Punkte aus der Abbildung ab; \(x_3=0\) ist vorgegeben. - Bestimme zuerst den Vektor \(\vec{AB}\). - Übertrage genau dieselbe dreidimensionale Verschiebung auf den Punkt \(C\).

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-2|-1|0)\), \(B(1|1|0)\) und \(C(0|-2|0)\) ab. 2. Damit ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Derselbe Verschiebungsvektor wird an \(C\) angelegt: \(D=(0+3|-2+2|0)=(3|0|0)\).

\(D(3|0|0)\)

- Beginne bei \(A\) und verfolge die gestrichelte Zerlegung bis \(B\). - Vergleiche die Richtung jeder Teilstrecke mit den drei eingezeichneten positiven Achsenrichtungen. - Die Koeffizienten vor \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) und \(\vec{e}_3\) werden in dieser Reihenfolge zu den Komponenten des Spaltenvektors.

1. Die erste Teilverschiebung ist \(-2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Komponente von \(\overrightarrow{AB}\) gleich \(-2\). 2. Die zweite Teilverschiebung ist \(\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Komponente gleich \(1\). 3. Die dritte Teilverschiebung ist \(2\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Komponente gleich \(2\). 4. Insgesamt gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\)

- Wenn ein Vektor in einer Ebene „flach“ liegt, trägt er nicht zur Höhe bei. Was bedeutet das für seine Komponenten? - Überlege dir, welche Koordinaten null sein müssen, wenn ein Vektor nur nach „oben“ oder „unten“ zeigt. - Die Formel für die Länge eines Vektors im Raum ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen. - Vektoren werden komponentenweise addiert.

1. Die Einbettung in die \(x_1x_2\)-Ebene bedeutet, dass die \(x_3\)-Komponente \(0\) ist. Die Länge berechnet sich im Raum über \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + 0^2}\), was identisch mit der Länge in der Ebene \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\) ist. Die Länge bleibt also \(8\). 2. Ein Vektor senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse. Seine \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten sind \(0\). Bei einer Länge von \(6\) ist eine mögliche Darstellung \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)). 3. Der Summenvektor ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 3+0 \\ 4+0 \\ 0+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Die Länge berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras im Raum: \(|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

1. Die dritte Komponente ist \(0\); die Länge bleibt \(8\), da \(x_3 = 0\) den Wert unter der Wurzel nicht verändert. 2. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)) 3. \(|\vec{s}| = 13\)

- Wie berechnest du die Komponenten eines Vektors, wenn die Anfangs- und Endpunkte gegeben sind? - Wann sind zwei Vektoren mathematisch gesehen gleich? - Welche besondere Form hat ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten durch denselben Vektor beschrieben werden? - Wenn zwei Verschiebungen identisch sein sollen, müssen ihre Vektoren in allen Komponenten übereinstimmen.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 0-(-3) \\ 6-8 \\ 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Feststellung: Die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) sind identisch. 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)), handelt es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein Parallelogramm. 5. Berechnung des Vektors \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 6-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung von \(S\) über den Ortsvektor: \(\vec{s} = \vec{b} + \vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch. b) Das Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. c) Der Punkt ist \(S(3|4|7)\).

- Was muss für die Vektoren gelten, die die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms beschreiben? - Achte bei der Benennung der Vektoren genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(PQRS\). Welche Seiten liegen sich gegenüber? - Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen drei Koordinaten übereinstimmen.

1. Aufstellen der Vektoren für zwei gegenüberliegende Seiten, z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = \begin{pmatrix} 5-7 \\ 3-(-1) \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. Gleichsetzen der Vektoren (\(\vec{PQ} = \vec{SR}\)), da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen: \(\begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 3. Lösen der Gleichung für die erste Koordinate: \(3 - a = -2 \implies a = 5\) 4. Überprüfung der restlichen Koordinaten: Die \(y\)- und \(z\)-Komponenten stimmen mit \(4=4\) und \(-2=-2\) bereits überein. Für \(a=5\) ist die Bedingung erfüllt.

Das Viereck \(PQRS\) ist ein Parallelogramm für \(a = 5\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei verschiedene Punkte aus der Menge der Eckpunkte auszuwählen und anzuordnen. - Wann sind zwei Pfeile Repräsentanten desselben Vektors? Achte auf Parallelität, Länge und Orientierung. - Unterscheide bei der Zählung der Vektoren zwischen Kanten der Grund- und Deckfläche, den Seitenkanten und den Diagonalen der Seitenflächen. - Vergiss nicht, dass ein Vektor und sein Gegenvektor (umgekehrte Richtung) als zwei verschiedene Vektoren zählen.

1. Anzahl der Pfeile: Aus 6 Eckpunkten lassen sich \(6 \cdot 5 = 30\) verschiedene geordnete Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) bilden. 2. Repräsentanten von \(\vec{AD}\): In einem geraden Prisma sind die Seitenkanten \(AD\), \(BE\) und \(CF\) parallel und gleich lang. Somit repräsentieren die Pfeile \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) denselben Vektor. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: Die 30 Pfeile lassen sich in Äquivalenzklassen (Vektoren) unterteilen: - Seitenkanten: Die Pfeile \(\vec{AD}, \vec{BE}, \vec{CF}\) bilden einen Vektor; ihre Gegenpfeile \(\vec{DA}, \vec{EB}, \vec{FC}\) einen zweiten (2 Vektoren). - Grund- und Deckflächenkanten: Wegen der Parallelität gilt \(\vec{AB} = \vec{DE}\), \(\vec{BC} = \vec{EF}\) und \(\vec{CA} = \vec{FD}\). Zusammen mit den jeweiligen Gegenvektoren ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Vektoren. - Flächendiagonalen: Auf den drei rechteckigen Seitenflächen gibt es jeweils zwei Diagonalen (z. B. \(\vec{AE}\) und \(\vec{BD}\) auf \(ABED\)). Da keine dieser Diagonalen zu einer anderen parallel ist, ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Richtungen, also \(6 \cdot 2 = 12\) Vektoren inklusive Gegenvektoren. Insgesamt gibt es \(2 + 6 + 12 = 20\) verschiedene Vektoren.

a) 30 Pfeile b) \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) c) 20 verschiedene Vektoren

- Wie viele Eckpunkte hat eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche insgesamt? - Zwei Pfeile sind nur dann gleich, wenn sie in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Welche Kanten einer Pyramide erfüllen diese Bedingung? - Betrachte die Grundkanten, die Diagonalen der Grundfläche und die Kanten, die zur Spitze führen, getrennt voneinander. - Prüfe systematisch, ob ein Pfeil zu einem anderen parallel sein kann, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.

1. Anzahl der Pfeile: Die Pyramide hat 5 Eckpunkte. Die Anzahl der geordneten Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) beträgt \(5 \cdot 4 = 20\). 2. Identische Vektoren: In der quadratischen Grundfläche sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Es gilt \(\vec{AB} = \vec{DC}\) und \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Ebenso gilt für die Gegenvektoren \(\vec{BA} = \vec{CD}\) und \(\vec{DA} = \vec{CB}\). Alle anderen Pfeile (die vier Mantelkanten zu der Spitze \(S\) sowie die zwei Grundflächendiagonalen) haben jeweils eine einzigartige Richtung oder Länge und bilden daher keine Paare identischer Vektoren. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: - Von den 8 Pfeilen der Grundkanten entfallen jeweils zwei auf einen Vektor, woraus 4 verschiedene Vektoren resultieren. - Die 4 Pfeile der Grunddiagonalen (\(\vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}, \vec{DB}\)) sind alle verschieden (4 Vektoren). - Die 8 Pfeile der Mantelkanten (\(\vec{AS}, \vec{SA}, \vec{BS}, \vec{SB}, \vec{CS}, \vec{SC}, \vec{DS}, \vec{SD}\)) sind alle verschieden (8 Vektoren). Insgesamt ergeben sich \(4 + 4 + 8 = 16\) verschiedene Vektoren.

a) 20 Pfeile b) \(\{\vec{AB}, \vec{DC}\}\), \(\{\vec{BA}, \vec{CD}\}\), \(\{\vec{AD}, \vec{BC}\}\) und \(\{\vec{DA}, \vec{CB}\}\) c) 16 verschiedene Vektoren