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Das Säulendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\) mit den möglichen Werten \(0\), \(1\) und \(2\). Lies die drei Wahrscheinlichkeiten \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) und \(P(X=2)\) ab.

Das Häufigkeitspolygon verbindet die drei dargestellten Punktwahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße \(X\) mit \(X\in\{1;2;3\}\). Welche der folgenden Tabellen passt zu den drei eingezeichneten Punkten? <table><tr><th></th><th>\(P(X=1)\)</th><th>\(P(X=2)\)</th><th>\(P(X=3)\)</th></tr><tr><td>A</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}25\)</td></tr><tr><td>B</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}25\)</td></tr><tr><td>C</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}5\)</td></tr></table>

Eine Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 3\) und \(p = 0{,}4\). Erstelle die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(X\) in Form einer Tabelle.

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}2\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) für alle \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). b) Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten bildest.

Eine Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 80\) und \(p = 0{,}45\). Begründe ohne eine explizite Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten, für welchen Wert \(k\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X = k)\) am größten ist.

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 5 Fragen. Zu jeder Frage gibt es 3 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Noah kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Erstelle eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl \(X\) der richtig beantworteten Fragen. Runde die Wahrscheinlichkeiten dabei auf vier Nachkommastellen.

Ein unsymmetrischer Tetraederwürfel besitzt die vier Seitenflächen mit den Augenzahlen 1, 2, 3 und 4. Aufgrund seiner Form sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse unterschiedlich. In der folgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße \(X\), welche die gewürfelte Augenzahl beschreibt, teilweise angegeben: <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> <td>\(p\)</td> <td>\(0{,}25\)</td> </tr> </table> 1. Bestimme den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\). 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Zahl ungerade ist. 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl mindestens 2 ist.

Ein Glücksrad mit acht Sektoren ist mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet. Da die Sektoren unterschiedlich groß sind, gelten für das einmalige Drehen folgende Wahrscheinlichkeiten: \(P(1)=0{,}05\); \(P(2)=0{,}15\); \(P(3)=0{,}10\); \(P(4)=0{,}20\); \(P(5)=0{,}08\); \(P(6)=0{,}12\); \(P(7)=0{,}15\); \(P(8)=0{,}15\). Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: \(A\): Die Zahl ist eine Quadratzahl. \(B\): Die Zahl ist größer als 4. \(C\): Die Zahl ist eine Primzahl. \(D\): Die Zahl ist ungerade oder durch 4 teilbar.

Bei einem Spiel wird ein fairer sechsseitiger Würfel zweimal nacheinander geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen. Beschreibe die folgenden Ereignisse mithilfe der Zufallsgröße \(X\) und berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses: a) Die Augensumme beträgt mindestens 4, aber weniger als 7. b) Die Augensumme ist eine Primzahl. c) Die Augensumme ist entweder höchstens 3 oder größer als 10.

In einem Kundenzentrum wurde die Wartezeit der Besucher statistisch erfasst. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Wartezeit einer zufällig ausgewählten Person in Minuten. Die folgende Tabelle gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung an, also den Anteil der Personen, die höchstens eine bestimmte Zeit warten mussten: <table> <thead> <tr> <th>Wartezeit \(x\) in Minuten</th> <th>Anteil \(P(X \le x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>2</td> <td>\(0{,}18\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(0{,}45\)</td> </tr> <tr> <td>10</td> <td>\(0{,}72\)</td> </tr> <tr> <td>15</td> <td>\(0{,}88\)</td> </tr> <tr> <td>20</td> <td>\(0{,}96\)</td> </tr> <tr> <td>30</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </tbody> </table> Bestimme anhand der Tabelle die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person länger als \(10\) Minuten warten muss? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(5 < X \le 20)\). c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Wartezeit zwischen \(2\) und \(10\) Minuten (einschließlich \(10\), ohne \(2\))?

Für ein Produktionsmodell wird angenommen, dass die Fehlerzustände von \(4\) Mikrochips unabhängig sind und jeder Chip mit Wahrscheinlichkeit \(12\,\%\) defekt ist. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Chips. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) und runde die Wahrscheinlichkeiten auf vier Dezimalstellen.

In einem vereinfachten Modell für eine Region besitzt jeder betrachtete Haushalt unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(28\,\%\) einen Glasfaseranschluss. Es werden \(5\) Haushalte betrachtet. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt an, wie viele dieser Haushalte einen Glasfaseranschluss besitzen. Ermittle die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) und runde die Wahrscheinlichkeiten auf vier Dezimalstellen.

Eine Maschine produziert Bauteile, die im folgenden Modell unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit \(20\,\%\) fehlerhaft sind. Es werden \(6\) Bauteile betrachtet. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Bauteile. a) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in einer Tabelle an. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Höchstens \(2\) Bauteile sind fehlerhaft. (2) Mindestens \(1\) Bauteil ist fehlerhaft.

Ein Glücksrad mit vier gleich großen Sektoren, von denen genau einer rot ist, wird \(40\)-mal unabhängig voneinander gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der roten Treffer, also gilt \(p=0{,}25\). a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\) der Zufallsgröße \(X\). b) Eine mathematische Regel besagt: Ist \(\mu\) ganzzahlig, dann ist \(P(X=\mu)\) der größte Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Berechne \(P(X=10)\). Runde auf vier Nachkommastellen. c) Bestätige die Regel in diesem Beispiel, indem du \(P(X=9)\) und \(P(X=11)\) berechnest und mit Teil b) vergleichst. Runde auf vier Nachkommastellen.

An einem Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren sind die Zahlen \(1, 1, 2, 5\) und \(10\) abgebildet. Das Rad wird einmal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Sektor die darauf stehende Zahl zu. 1. Gib die Ergebnismenge \(S\) des Zufallsexperiments und die Wertemenge \(W\) der Zufallsgröße \(X\) an. 2. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Tabellenform. 3. Erläutere kurz, wie ein Histogramm dieser Verteilung aufgebaut ist und welche Bedeutung die Höhe der Säulen hat, wenn die Breite jeder Säule genau \(1\) Einheit beträgt.

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird 3-mal geworfen. Wir betrachten das Erscheinen einer „6“ als Erfolg. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gewürfelten Sechsen an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). b) Überprüfe, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Zufallsgröße \(X\) hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table><tr><th>\(x\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th></tr><tr><td>\(P(X=x)\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}2\)</td></tr></table> a) Stelle die Verteilung in einem Säulendiagramm dar. b) Bestimme \(P(X\ge2)\).

Ein Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind, wird zweimal nacheinander gedreht. Die Zufallsgröße \(S\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(S\) in einer Tabelle auf. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe mindestens 4 beträgt.

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 gelbe Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln an. a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) auf. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine rote Kugel gezogen wird.

In einem Kurs befinden sich 12 Jugendliche, von denen 7 ein Instrument spielen. Für eine Umfrage werden 4 Jugendliche zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Jugendlichen unter den Ausgewählten an, die ein Instrument spielen. a) Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Form einer Tabelle. b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der ausgewählten Jugendlichen ein Instrument spielt.

Die Zufallsgröße \(Y\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 25\) und \(p = 0{,}5\). a) Begründe ohne Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) zwei direkt benachbarte Werte mit maximaler Wahrscheinlichkeit besitzt. b) Gib diese beiden Werte an und erläutere die Symmetrie der Verteilung in diesem Zusammenhang.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100; p)\) verteilt. Bestimme alle Werte der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) mit \(0 < p < 1\), für die die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 45)\) kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 55)\).

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) mit den Parametern \(n = 3\) und \(p \in ]0; 1[\). Ermittle alle Werte für \(p\), für die die Wahrscheinlichkeit für null Erfolge mindestens so groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für genau einen Erfolg.

Eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) besitzt den Erwartungswert \(E(X) = 6\). a) Bestimme die Länge \(n\) der zugehörigen Bernoulli-Kette. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 4)\) und \(P(X = 8)\) auf vier Nachkommastellen genau. c) Begründe allgemein unter Verwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\), warum das Histogramm einer Binomialverteilung für \(p = 0{,}5\) stets achsensymmetrisch zur Geraden \(k = \frac{n}{2}\) ist.

Ein länglicher Spezialwürfel hat zwei quadratische Endflächen (markiert mit 1 und 2) und vier rechteckige Seitenflächen (markiert mit 3, 4, 5 und 6). Aufgrund der Geometrie des Körpers sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Flächen unterschiedlich: \(P(1) = P(2) = 0{,}12\) und \(P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0{,}19\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die geworfene Augenzahl. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die geworfene Zahl mindestens 4 ist. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass eine Primzahl geworfen wird. c) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) dieses Zufallsversuchs.

Ein Glücksrad mit 10 gleich großen Feldern, die von 1 bis 10 durchnummeriert sind, wird zweimal nacheinander gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft eine Zahl erscheint, die durch 3 teilbar ist. a) Erstelle eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße \(X\). b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste oder die zweite Zahl (oder beide) durch 3 teilbar ist. c) Vergleiche das Ergebnis aus b) mit der Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Zahlen durch 3 teilbar ist. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?

Ein Zufallsexperiment wird durch eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 10\) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) beschrieben. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Treffer an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 2)\) und \(P(X = 8)\). b) Erläutere unter Verwendung der Formel von Bernoulli und der Eigenschaften des Binomialkoeffizienten, warum diese beiden Wahrscheinlichkeiten den gleichen Wert besitzen.

An einem Schulkiosk werden Überraschungstüten verkauft. In einer Box befinden sich \(15\) Tüten, von denen \(6\) einen Gutschein für ein Freigetränk enthalten. Jonas kauft \(3\) dieser Tüten gleichzeitig. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Gutscheine unter den drei gekauften Tüten angibt. Gib die Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an.

Ein fairer 12-seitiger Würfel, dessen Seiten von 1 bis 12 durchnummeriert sind, wird dreimal nacheinander und unabhängig geworfen. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gewürfelten Zahlen voneinander verschieden sind. 2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse in einer streng monoton steigenden Folge auftreten (z. B. \((2; 5; 11)\)). 3. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der verschiedenen Augenzahlen bei den drei Würfen. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Form einer Tabelle.

Ein Basketballspieler führt vier Freiwürfe aus. Die Würfe werden als unabhängig angenommen, und die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Wurf konstant \(p=0{,}75\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer. a) Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Form einer Tabelle. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt der Spieler mindestens \(3\) Treffer?

Für ein Produktionsmodell werden \(5\) Mikrochips betrachtet. Die Fehlerzustände der fünf Chips werden als unabhängig angenommen, und jeder Chip ist mit Wahrscheinlichkeit \(10\,\%\) fehlerhaft. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Chips an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\). b) Berechne den Erwartungswert \(E(Y)\) der Zufallsgröße.

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, die mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(Z\) wird wie folgt festgelegt: - \(Z = 10\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen größer als 7 ist. - \(Z = 5\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen genau 7 ist. - \(Z = -5\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen kleiner als 7 ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\).

Zwei faire sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(S\) gibt die Augensumme der beiden Würfel an. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und drücke das Ereignis jeweils formal unter Verwendung von \(S\) aus: a) Die Augensumme liegt im Intervall \([5; 8]\). b) Die Augensumme ist ungerade und gleichzeitig größer als 8. c) Die Augensumme ist weder 7 noch 11.

Zwei gleich starke Tennisspieler treten in einem Turnier im „Best-of-Seven“-Modus gegeneinander an. Das bedeutet, dass derjenige das Match gewinnt, der zuerst vier Sätze für sich entscheidet. Da beide Spieler gleich stark sind, gewinnt jeder von ihnen einen einzelnen Satz mit der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\). Nimm an, dass die Ergebnisse der einzelnen Sätze voneinander unabhängig sind. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Sätze, die bis zur Entscheidung des Matches gespielt werden. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\). b) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) der Anzahl der gespielten Sätze.

Bei einem Tischtennismatch zwischen zwei Spielern, Herr Schmidt und Frau Weber, wird modellhaft angenommen, dass Frau Weber jeden Satz unabhängig von den übrigen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) gewinnt. Das Match wird im „Best-of-Five“-Modus ausgetragen, das heißt, wer zuerst drei Sätze gewinnt, ist Gesamtsieger. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\), welche die Gesamtzahl der gespielten Sätze angibt. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Frau Weber das gesamte Match?

Ein Logistikunternehmen wertet die jährliche Fahrleistung seiner Fahrzeuge aus. Dabei werden zwei Fahrzeugtypen unterschieden. Die Zufallsgrößen \(X_1\) und \(X_2\) beschreiben die jährliche Fahrleistung eines Kleintransporters beziehungsweise eines schweren Lkw. Die Fahrleistung wird in \(1000\,\text{km}\) gemessen. Die Tabelle zeigt die kumulierten relativen Häufigkeiten der jährlichen Fahrleistungen: <table> <thead> <tr> <th>Fahrleistung bis zu ... \(1000\,\text{km}\)</th> <th>Kleintransporter \(X_1\)</th> <th>Schwere Lkw \(X_2\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>20</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}04\)</td> </tr> <tr> <td>40</td> <td>\(0{,}38\)</td> <td>\(0{,}15\)</td> </tr> <tr> <td>60</td> <td>\(0{,}65\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> </tr> <tr> <td>80</td> <td>\(0{,}84\)</td> <td>\(0{,}58\)</td> </tr> <tr> <td>100</td> <td>\(0{,}95\)</td> <td>\(0{,}82\)</td> </tr> <tr> <td>120</td> <td>\(1{,}00\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </tbody> </table> Beantworte die folgenden Fragen: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter schwerer Lkw mehr als \(80\,000\,\text{km}\) pro Jahr fährt? b) Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten \(P(40 < X_1 \le 80)\) und \(P(40 < X_2 \le 80)\). Welcher Fahrzeugtyp hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, eine Fahrleistung in diesem Intervall zu erbringen? c) In welchem der Intervalle \([0; 40]\), \(]40; 80]\) oder \(]80; 120]\) liegt bei den Kleintransportern die höchste Wahrscheinlichkeit?

Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren: Einer ist grün markiert (Gewinn), die anderen drei sind rot (Niete). Das Rad wird viermal nacheinander gedreht. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der erzielten Gewinne beschreibt. Runde die Wahrscheinlichkeiten auf vier Dezimalstellen. b) Bestimme entsprechend die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(Y\), welche die Anzahl der Nieten beschreibt, ebenfalls auf vier Dezimalstellen gerundet. c) Vergleiche die beiden Verteilungen. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) und \(P(Y=4-k)\)?

Betrachte eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 5\) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\). a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\), die die Anzahl der Erfolge zählt. Gib die Wahrscheinlichkeiten als Brüche an. b) Erläutere den Zusammenhang zwischen der Verteilung von \(X\) und dem binomischen Lehrsatz am Beispiel des Terms \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5\).

Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es \(4\) Fragen mit jeweils \(5\) Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine korrekt ist. Ein Teilnehmer kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der richtigen Antworten. a) Erstelle eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Antworten richtig sind. c) Welcher Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau zwei richtigen Antworten führen? Berechne seinen Wert.

In einer Urne befinden sich eine rote und zwei weiße Kugeln. Es wird mehrfach mit Zurücklegen gezogen. Das Ziehen der roten Kugel wird als Erfolg gewertet. Betrachte die folgenden Ereignisse: \(E_1\): Genau 1 Erfolg bei 3 Zügen. \(E_2\): Genau 2 Erfolge bei 3 Zügen. \(E_3\): Genau 2 Erfolge bei 6 Zügen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\) und zeige, dass \(P(E_1) = 2 \cdot P(E_2)\) gilt. b) Überprüfe rechnerisch, ob \(P(E_1)\) ebenfalls genau doppelt so groß ist wie \(P(E_3)\).

Bei einem Spiel werden zwei ideale vierseitige Würfel (Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4) gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Summe der beiden angezeigten Augenzahlen. 1. Bestimme die Wertemenge \(W\) der Zufallsgröße \(Y\). 2. Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) und stelle sie tabellarisch dar. 3. Erläutere an diesem Beispiel den Unterschied zwischen einem Ergebnis des Zufallsexperiments und einem Wert der Zufallsgröße.

Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n\) und \(p\). a) Stelle die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k=0, 1, \dots, n\) mithilfe des Summenzeichens dar. b) Begründe allgemein unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes \((a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\), warum die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung für jedes beliebige \(p \in [0; 1]\) immer genau 1 ergibt.

Gegeben ist der mathematische Ausdruck \(T = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{12-k}\). a) Interpretiere diesen Ausdruck im Kontext einer Bernoulli-Kette. Welche Parameter \(n\) und \(p\) liegen hier vor und was gibt der gesamte Ausdruck \(T\) an? b) Bestimme den exakten Wert von \(T\) ohne die einzelnen Summanden einzeln zu berechnen. Nutze dazu den Zusammenhang zum binomischen Lehrsatz. c) Wie würde sich der Wert von \(T\) ändern, wenn die Summe nur von \(k=1\) bis \(k=12\) laufen würde? Gib einen Term für diesen neuen Wert an.

Ein fairer 6-seitiger Würfel (Hexaeder) und ein fairer 8-seitiger Würfel (Oktaeder), beide mit den Augenzahlen \(1, 2, 3, \dots\), werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden oben liegenden Augenzahlen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in tabellarischer Form. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme eine Quadratzahl? c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\), dass die Augensumme größer als \(5\) und höchstens \(9\) ist.

Es werden zwei verschiedene Zufallsexperimente verglichen: Experiment A: Zwei faire 4-seitige Würfel (Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4) werden geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Augensumme an. Experiment B: Eine faire Münze mit den Zahlen 1 und 2 auf ihren Seiten und ein fairer 6-seitiger Würfel (Zahlen 1 bis 6) werden geworfen. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Augensumme an. a) Bestimme für beide Zufallsgrößen die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau \(5\) beträgt. Bei welchem Experiment ist dieser Wert höher? b) Untersuche rechnerisch, ob die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme von mindestens \(7\) bei beiden Experimenten gleich groß ist. c) Berechne den Erwartungswert für beide Zufallsgrößen und vergleiche die Ergebnisse.

In einer Urne befinden sich \(20\) Kugeln, die von \(1\) bis \(20\) durchnummeriert sind. Es werden nacheinander \(3\) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie viele der gezogenen Kugeln eine Zahl von \(1\) bis \(5\) tragen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Tabellenform und berechne den Erwartungswert \(E(X)\).

In einem Kurs mit \(24\) Personen haben \(8\) ein Tablet für den Unterricht dabei. Für eine Projektgruppe werden zufällig \(4\) Personen ausgewählt. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der Personen in der Gruppe, die ein Tablet dabeihaben. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) auf und gib den Erwartungswert \(E(Y)\) an.

Das abgebildete Glücksrad hat 6 gleich große Sektoren, die mit den Zahlen 0, 2 und 5 beschriftet sind. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in einer Tabelle dar. b) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) dieser Zufallsgröße.

An einem Jahrmarktstand wird folgendes Spiel angeboten: Die Zusammensetzung der Urne ist in der Abbildung dargestellt. Die Kugeln sind zusätzlich mit Bl (blau), R (rot) und Gr (grün) beschriftet. Ein Spieler zahlt für ein Spiel einen Einsatz von \(1{,}50\,\text{€}\) und darf dafür nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Je nach Ergebnis erhält er eine Auszahlung: - Für zwei rote Kugeln erhält er \(5{,}00\,\text{€}\). - Für zwei blaue Kugeln erhält er \(2{,}00\,\text{€}\). - Zieht er die grüne Kugel zusammen mit einer beliebigen anderen Kugel, erhält er \(1{,}00\,\text{€}\). - Bei allen anderen Ergebnissen gibt es keine Auszahlung. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt den Reingewinn des Spielers in Euro (Auszahlung minus Einsatz). a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Form einer Tabelle. b) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) und entscheide, ob das Spiel fair ist.

Aus der in der Abbildung gezeigten Urne mit roten, blauen und gelben Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es wird folgendes Spiel vereinbart: - Für jede gezogene blaue Kugel erhält der Spieler \(2\,\text{€}\). - Für jede gezogene rote Kugel erhält der Spieler \(1\,\text{€}\). - Für jede gezogene gelbe Kugel verliert der Spieler \(3\,\text{€}\) (Auszahlung \(-3\,\text{€}\)). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt den Gesamtgewinn bzw. -verlust des Spielers nach zwei Zügen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und stelle sie in einer Tabelle dar.

Das abgebildete Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Sektoren. Es wird zweimal nacheinander gedreht. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt das Produkt der beiden Zahlen an, auf denen der Zeiger stehen bleibt. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(Y\) in Form einer Tabelle auf.

Ein Jahrmarktspiel verwendet die unten abgebildete Urne. Die Kugeln sind zusätzlich mit Li (lila), Or (orange) und Ga (grau) beschriftet. Ein Spieler zieht zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt den Gewinn oder Verlust des Spielers in Euro. Es gelten folgende Auszahlungsregeln: - Zwei violette Kugeln: \(15\,\text{€}\) Gewinn. - Zwei orangefarbene Kugeln: \(5\,\text{€}\) Gewinn. - Eine violette und eine orangefarbene Kugel: \(2\,\text{€}\) Gewinn. - Sobald mindestens eine graue Kugel gezogen wird, verliert der Spieler \(1\,\text{€}\), also \(X=-1\,\text{€}\). Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\).

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(3\) Fragen. Bei jeder Frage gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Milan rät bei allen Fragen rein zufällig. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und stelle sie in einer Tabelle dar. b) Erkläre den Zusammenhang zwischen den berechneten Wahrscheinlichkeiten und den Summanden der binomischen Entwicklung von \((0{,}25+0{,}75)^3\).

In einer Urne befinden sich drei Kugeln mit den Aufschriften 1, 2 und 3. Es wird dreimal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Die Ziffern der Ziehungen werden mit \(z_1, z_2, z_3\) bezeichnet. Man betrachtet die Teilsummen \(s_1 = z_1\), \(s_2 = z_1 + z_2\) und \(s_3 = z_1 + z_2 + z_3\). Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie viele dieser drei Teilsummen einen geraden Wert annehmen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) und gib diese in Form einer Tabelle an.