- Welche Rechengröße eignet sich für einen direkten Orthogonalitätstest? - Berechne sie komponentenweise. - Welche besondere Zahl muss als Ergebnis auftreten, wenn die Vektoren senkrecht stehen?

1. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+0\cdot0=0\). 2. Da das Skalarprodukt null ist und beide Vektoren von \(\vec{0}\) verschieden sind, stehen sie senkrecht aufeinander.

Ja. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), also \(\vec{a}\perp\vec{b}\).

- Übersetze die Orthogonalitätsforderung in eine Skalarproduktgleichung. - Setze die Komponenten beider Vektoren ein. - Löse die entstehende lineare Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Für orthogonale Vektoren muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. 2. Es ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot s+2\cdot1+0\cdot0=s+2\). 3. Aus \(s+2=0\) folgt \(s=-2\).

\(s=-2\)

- Welche zwei Seitenvektoren gehen vom Eckpunkt \(P\) aus? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Sobald du einen rechten Winkel nachgewiesen hast, ist keine Prüfung der beiden anderen Ecken mehr nötig.

1. Für den Winkel bei \(P\) verwenden wir \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=2\cdot(-3)+3\cdot2+0\cdot3=0\). 3. Daher stehen \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) senkrecht aufeinander. Das Dreieck besitzt bei \(P\) einen rechten Winkel.

Das Dreieck ist bei \(P\) rechtwinklig, da \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=0\).

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden den Winkel bei \(D\)? - Übersetze den rechten Winkel in eine Skalarproduktgleichung. - Löse die entstehende lineare Gleichung nach \(k\) auf.

1. Die beiden Vektoren am Punkt \(D\) sind \(\vec{DE}=\begin{pmatrix}2\\1\\k-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{DF}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Für einen rechten Winkel muss \(\vec{DE}\cdot\vec{DF}=0\) gelten. 3. Es ist \(2\cdot1+1\cdot2+(k-2)(-2)=8-2k\). 4. Aus \(8-2k=0\) folgt \(k=4\).

\(k=4\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden den Winkel bei \(A\)? - Welche Bedingung muss ihr Skalarprodukt für einen rechten Winkel erfüllen? - Achte darauf, dass beide Vektoren am selben Eckpunkt beginnen.

1. Die beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Vektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\cdot(-5)+4\cdot0+3\cdot0=0\). 3. Daher sind die beiden Vektoren orthogonal und die Strecken schließen bei \(A\) einen rechten Winkel ein.

Ja. Es gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\), also ist \(\angle BAD=90^\circ\).

- Woran erkennst du mithilfe eines Rechenverfahrens, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Gehe systematisch vor und prüfe nacheinander alle Kombinationen der Vektoren. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

1. Berechnung der Skalarprodukte für alle möglichen Vektorpaare: - \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 4 - 2 - 2 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 0 + 4 + 4 = 8 \neq 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0 + 8 - 4 = 4 \neq 0\) - \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 0 - 8 - 2 = -10 \neq 0\) 2. Identifikation der orthogonalen Paare: Die Paare mit einem Skalarprodukt von null sind orthogonal. Dies sind \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\).

Die Vektorpaare \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\) sind jeweils orthogonal zueinander.

- Welche mathematische Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Variable \(k\) vorkommt. - Welche Art von Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen der Terme und wie löst man diese?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(k \cdot k + 5 \cdot (-6) + k \cdot 1 = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(k^2 - 30 + k = 0\), umgeformt \(k^2 + k - 30 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((k + 6)(k - 5) = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(k_1 = -6\) und \(k_2 = 5\).

Die Vektoren sind für \(k = -6\) und \(k = 5\) orthogonal zueinander.

- Welche Art von Gegenbeispiel würde zeigen, dass die Nullproduktregel hier nicht gilt? - Wähle zwei einfache, von \(\vec{0}\) verschiedene Vektoren und prüfe deine Vermutung rechnerisch. - Welche geometrische Beziehung ist mit einem Skalarprodukt von \(0\) verbunden?

1. Die Regel lässt sich nicht direkt auf das Skalarprodukt übertragen. Ein Skalarprodukt kann null sein, obwohl beide Vektoren von \(\vec{0}\) verschieden sind. 2. Zum Beispiel gilt für \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\): \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). 3. Beide Vektoren sind von \(\vec{0}\) verschieden und stehen senkrecht aufeinander. 4. Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt daher: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) genau dann, wenn sie orthogonal sind.

Die Regel ist nicht übertragbar. Zum Beispiel gilt für \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) das Skalarprodukt \(0\), obwohl beide Vektoren ungleich \(\vec{0}\) sind. Sie sind orthogonal.

- Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Setze die Komponenten der beiden Vektoren in diese Bedingung ein. - Löse anschließend die entstehende lineare Gleichung nach \(s\) auf.

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. 2. Damit ist \(2\cdot3+4s+(-1)\cdot2=0\), also \(4+4s=0\). 3. Daraus folgt \(s=-1\).

\(s=-1\)

- Wann stehen zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander? - Wie berechnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? - Stelle eine Gleichung auf, in der das Skalarprodukt vorkommt.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(2 \cdot (k + 1) + k \cdot 3 + (-4) \cdot 2 = 2k + 2 + 3k - 8 = 5k - 6\). 3. Gleichung lösen: \(5k - 6 = 0\) führt zu \(5k = 6\), also \(k = 1{,}2\). Für \(k = 1{,}2\) sind die Vektoren orthogonal.

\(k = 1{,}2\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren beginnen am Eckpunkt \(E\)? - Wie lässt sich ein rechter Winkel mit dem Skalarprodukt ausdrücken? - Setze die Komponenten ein und löse die entstehende Gleichung nach \(k\) auf.

1. Die beiden Vektoren am Punkt \(E\) sind \(\vec{ED}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\k-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\). 2. Für einen rechten Winkel bei \(E\) muss \(\vec{ED}\cdot\vec{EF}=0\) gelten. 3. Es ist \((-2)\cdot(-2)+(-1)\cdot3+(k-1)\cdot1=k\). Somit folgt \(k=0\).

\(k=0\)

- Stelle zuerst die beiden Diagonalvektoren aus den gegebenen Eckpunkten auf. - Welcher Skalarproduktwert kennzeichnet Orthogonalität? - Fasse die Terme mit \(a^2\) zusammen.

1. Es ist \(\vec{OF}=\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}\) und \(\vec{EB}=\begin{pmatrix}0\\a\\-a\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{OF}\cdot\vec{EB}=a\cdot0+a\cdot a+a\cdot(-a)=0\). 3. Für jede Kantenlänge \(a>0\) sind die beiden Richtungsvektoren daher orthogonal.

Ja. Es gilt \(\vec{OF}\cdot\vec{EB}=0\), also \(\vec{OF}\perp\vec{EB}\).

- Lies die Komponenten aller drei Vektoren sorgfältig aus dem Bild ab. - Welcher Skalarproduktwert ist das rechnerische Kriterium für Orthogonalität? - Prüfe beide Kandidaten vollständig; eine optische Winkelabschätzung ist kein Nachweis.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}8\\-5\end{pmatrix}\) und \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=5\cdot8+8\cdot(-5)=40-40=0\). 3. Für den zweiten Kandidaten gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OC}=5\cdot7+8\cdot(-4)=35-32=3\neq0\). 4. Daher ist genau \(\vec{OB}\) orthogonal zu \(\vec{OA}\).

a) \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0\), \(\vec{OA}\cdot\vec{OC}=3\) b) \(\vec{OB}\) ist orthogonal zu \(\vec{OA}\).

- Nutze die Achsenwerte und nicht den gezeichneten Winkel als Datenquelle. - Welcher Skalarproduktwert kennzeichnet Orthogonalität? - Vergleiche bei c) die Raster-Schrittweiten der beiden Achsen.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=2\cdot2+2\cdot(-2)=4-4=0\). 3. Damit sind \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\) orthogonal. 4. Wegen der unterschiedlichen Achsenskalierung wird ein mathematischer Einheitsvektor in \(x_1\)-Richtung anders lang dargestellt als in \(x_2\)-Richtung. Dadurch werden Winkel im Bild verzerrt.

a) \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\) b) \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0\); die Vektoren sind orthogonal. c) Die unterschiedlichen Achsenmaßstäbe verzerren Winkel in der Darstellung.

- Welche beiden Seitenvektoren bilden den Winkel bei \(A\)? - Welcher Skalarproduktwert kennzeichnet einen rechten Winkel? - Für den Vergleich zweier Seitenlängen kannst du ihre Selbstskalarprodukte vergleichen.

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Für den Winkel bei \(A\) gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\cdot(-2)+1\cdot2+(-2)\cdot(-1)=0\). Daher ist das Dreieck bei \(A\) rechtwinklig. 3. Weiter ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=9\) und \(\vec{AC}\cdot\vec{AC}=9\). Somit sind \(AB\) und \(AC\) gleich lang. 4. Das Dreieck ist daher rechtwinklig und gleichschenklig.

Das Dreieck ist bei \(A\) rechtwinklig und gleichschenklig, denn \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\) und \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=3\).

- Welche Skalarproduktbedingung beschreibt Orthogonalität? - In Teil b) kannst du die Summe entweder zuerst bilden oder eine Rechenregel des Skalarprodukts nutzen. - Welche Information aus Teil a) vereinfacht das Skalarprodukt in Teil b)?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) gelten. Damit ist \(2\cdot3+1\cdot(-4)+2s=0\). 2. Aus \(2+2s=0\) folgt \(s=-1\). 3. Mit dem Distributivgesetz gilt \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}\). 4. Wegen \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) bleibt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=2^2+1^2+(-1)^2=6\).

a) \(s=-1\) b) \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=6\)

- Der gesuchte Vektor muss zwei Orthogonalitätsbedingungen gleichzeitig erfüllen. - Formuliere zu jedem gegebenen Vektor eine Skalarproduktgleichung. - Wie kannst du die beiden entstehenden linearen Gleichungen gemeinsam lösen?

1. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) folgt \(2p-q=0\). 2. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p+2q-5=0\). 3. Die erste Gleichung liefert \(q=2p\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich \(p+4p-5=0\), also \(p=1\). 4. Damit ist \(q=2\).

\(p=1\) und \(q=2\)

- Nutze in a) die Rechengesetze des Skalarprodukts und beobachte, was mit den gemischten Termen geschieht. - Deute in b) die beiden angegebenen Diagonalvektoren mit der Orthogonalitätsbedingung des Skalarprodukts. - Verbinde die daraus entstehende Gleichung mit dem Ergebnis aus a) und mit den Seiten des Parallelogramms.

1. Mit dem Distributivgesetz gilt \((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\). 2. Wegen \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\) heben sich die beiden gemischten Terme auf. Damit bleibt \(|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\). 3. Sind die Diagonalen orthogonal, so ist ihr Skalarprodukt \(0\). Nach a) folgt daher \(|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2\) und somit \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\). 4. Die benachbarten Seiten des Parallelogramms sind also gleich lang. Das Parallelogramm ist eine Raute.

a) Durch Ausmultiplizieren erhält man \((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\). b) Orthogonale Diagonalen bedeuten \((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0\). Mit a) folgt \(|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2\), also \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\). Das Parallelogramm ist daher eine Raute.

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Welche Vektoren bilden die Seiten des Parallelogramms und in welcher Beziehung müssen sie für ein Rechteck stehen? - Kannst du die Gleichung für die Diagonalenlängen so umformen, dass du die binomischen Formeln für Vektoren anwenden kannst? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die geometrische Anordnung zweier Vektoren?

1. Ansatz über die Quadrate der Längen: Die Bedingung \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{e}|^2 = |\vec{f}|^2\). 2. Einsetzen der Vektorsummen: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). 3. Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt (Distributivgesetz): \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 4. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(|\vec{a}|^2\) und \(|\vec{b}|^2\): \(2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})\). 5. Umformung zur Orthogonalitätsbedingung: \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. 6. Geometrische Interpretation: Da das Skalarprodukt der aufspannenden Vektoren null ist, stehen die Seiten des Parallelogramms senkrecht aufeinander, womit es definitionsgemäß ein Rechteck ist.

Die Gleichheit der Diagonalenlängen \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\), was zu \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\) vereinfacht wird. Dies bedeutet \(\vec{a} \perp \vec{b}\), was die Eigenschaft eines Rechtecks ist.

- Welche beiden Verbindungsvektoren treffen sich am Punkt \(C\)? - Übersetze den rechten Winkel in eine Skalarproduktbedingung. - Welche Form hat die entstehende quadratische Gleichung?

1. Die den Winkel bei \(C\) bildenden Vektoren sind \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}-s\\-4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{CB}=\begin{pmatrix}4-s\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Wegen des rechten Winkels gilt \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}=0\). 3. Damit ist \((-s)(4-s)+(-4)(-2)+(-2)\cdot2=0\), also \(s^2-4s+4=0\). 4. Aus \((s-2)^2=0\) folgt \(s=2\).

\(s=2\)

- Schreibe die quadrierte Länge des Summenvektors über seine drei Koordinaten. - Ordne die gemischten Terme nach dem Ausmultiplizieren dem Skalarprodukt zu. - Was vereinfacht sich im Spezialfall orthogonaler Vektoren?

1. Für die quadrierte Länge des Summenvektors gilt \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2+(a_3+b_3)^2\). 2. Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)+b_1^2+b_2^2+b_3^2\). 3. Das ist \(|\vec{a}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^2\). 4. Für \(\vec{a}\perp\vec{b}\) gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Damit folgt \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\). 5. Dies ist der Satz des Pythagoras für das von \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{a}+\vec{b}\) gebildete rechtwinklige Dreieck.

a) Durch Ausmultiplizieren erhält man \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^2\). b) Für \(\vec{a}\perp\vec{b}\) gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Deshalb folgt \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\). Das ist der Satz des Pythagoras.

- Zeige zuerst mit Seitenvektoren, dass ein Parallelogramm vorliegt. - Vergleiche danach die Längen zweier benachbarter Seiten. - Welcher Skalarproduktwert wäre für einen rechten Innenwinkel nötig?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Damit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. 2. Weiter gilt \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Beide benachbarten Seiten haben die Länge \(3\); das Parallelogramm ist also eine Raute. 3. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=2\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot2=4\neq0\). 4. Benachbarte Seiten stehen daher nicht senkrecht aufeinander. Die Raute ist kein Quadrat.

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\), also ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. Außerdem gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=3\). Daher ist \(ABCD\) eine Raute. b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=4\neq0\); benachbarte Seiten sind also nicht orthogonal. Daher ist die Raute kein Quadrat.

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden jeweils den Winkel bei \(P\) beziehungsweise bei \(Q\)? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet einen rechten Winkel? - Stelle für die beiden Eckpunkte getrennte Bedingungen auf; die passenden Parameterwerte müssen nicht gleich sein.

1. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR_t}=\begin{pmatrix}t-3\\2t-2\\1\end{pmatrix}\). 2. Für einen rechten Winkel bei \(P\) gilt \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR_t}=0\). Damit ist \(-2(t-3)+2(2t-2)+2=2t+4=0\), also \(t=-2\). 3. Weiter ist \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR_t}=\begin{pmatrix}t-1\\2t-4\\-1\end{pmatrix}\). 4. Für einen rechten Winkel bei \(Q\) gilt \(\vec{QP}\cdot\vec{QR_t}=0\). Damit ist \(2(t-1)-2(2t-4)+2=-2t+8=0\), also \(t=4\).

a) \(t=-2\) b) Ja, für \(t=4\).

- Vergleiche zuerst die gegenüberliegenden Seitenvektoren. - Welche Vektorgleichheiten kennzeichnen ein Parallelogramm? - Prüfe für ein Rechteck das Skalarprodukt zweier benachbarter Seitenvektoren.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\). 2. Damit sind beide Paare gegenüberliegender Seitenvektoren gleich; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. 3. Für benachbarte Seiten gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=3\cdot1+1\cdot3+2\cdot0=6\neq0\). 4. Es liegt also kein rechter Innenwinkel vor; das Viereck ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{AD}=\vec{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\) b) \(ABCD\) ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

- Formuliere die Orthogonalität und die vorgegebene Länge als zwei Gleichungen. - Kannst du eine der beiden Unbekannten aus der linearen Gleichung ausdrücken? - Prüfe nach dem Lösen, welche Wertepaare beide ursprünglichen Bedingungen erfüllen.

1. Aus \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p-4+2q=0\), also \(p=4-2q\). 2. Aus \(|\vec{v}|=3\) folgt \(p^2+2^2+q^2=9\), also \(p^2+q^2=5\). 3. Einsetzen von \(p=4-2q\) ergibt \((4-2q)^2+q^2=5\), also \(5q^2-16q+11=0\). 4. Die Gleichung hat die Lösungen \(q=1\) und \(q=2{,}2\). 5. Daraus folgen \(p=2\) beziehungsweise \(p=-0{,}4\).

\((p,q)=(2,1)\) oder \((p,q)=(-0{,}4,2{,}2)\)

- Übersetze die Orthogonalität zuerst in eine Skalarproduktgleichung. - Bestimme die Länge von \(\vec{x}\) über sein Selbstskalarprodukt. - Vergleiche die gewünschte Länge mit der Länge von \(\vec{x}\) und bestimme daraus einen positiven Skalierungsfaktor.

1. Aus \(\vec{v}\cdot\vec{x}=0\) folgt \(2\cdot1+(-2)\cdot2+x_3=0\). Daher ist \(x_3=2\) und \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{x}\cdot\vec{x}=1+4+4=9\), also hat \(\vec{x}\) die Länge \(3\). 3. Für die Länge \(12\) muss \(\vec{x}\) mit \(4\) multipliziert werden. Daher ist \(\vec{y}=4\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\). 4. Wegen \(\vec{v}\cdot(4\vec{x})=4(\vec{v}\cdot\vec{x})=0\) ist auch \(\vec{y}\) orthogonal zu \(\vec{v}\).

a) \(x_3=2\) b) \(|\vec{x}|=3\) c) \(\vec{y}=\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\) d) \(\vec{v}\cdot\vec{y}=0\). Deshalb ist \(\vec{y}\) ebenfalls orthogonal zu \(\vec{v}\).

- Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Stelle dir in Teil b) alle möglichen Pfeilrichtungen vor, die zu einem festen Pfeil senkrecht stehen. - Wie viele Bewegungsrichtungen bleiben dabei in zwei beziehungsweise drei Dimensionen übrig?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. Damit ist \(2k+6k-20=0\). 2. Aus \(8k=20\) folgt \(k=2{,}5\). 3. Im dreidimensionalen Raum bilden alle zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung. Diese Ebene enthält unendlich viele Richtungen. 4. In einer zweidimensionalen Ebene liegen alle zu einem festen von null verschiedenen Vektor orthogonalen Vektoren auf einer Geraden durch den Ursprung. Diese Gerade besitzt zwei entgegengesetzte Orientierungen.

a) \(k=2{,}5\) b) Im dreidimensionalen Raum bilden die zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung; im zweidimensionalen Raum liegen sie auf einer Geraden durch den Ursprung.

- Vergleiche für a) passende gegenüberliegende Seitenvektoren. - Welcher Skalarproduktwert kennzeichnet einen rechten Winkel? - Welche zusätzliche Seitenlängenbedingung müsste ein Rechteck erfüllen, um ein Quadrat zu sein?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{AB}=\vec{DC}\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\). Daher stehen benachbarte Seiten senkrecht aufeinander und das Parallelogramm ist ein Rechteck. 3. Es gilt \(|\vec{AB}|=4\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{13}\). Die benachbarten Seiten sind nicht gleich lang; daher ist das Rechteck kein Quadrat.

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{DC}\). Daher ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. b) \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\); also ist \(ABCD\) ein Rechteck. c) \(|\vec{AB}|=4\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{13}\). Die benachbarten Seiten sind nicht gleich lang; daher ist es kein Quadrat.

- Nutze für \(D\) die Gleichheit entsprechender Seitenvektoren im Parallelogramm. - Wann ist ein Parallelogramm eine Raute? - Welcher Skalarproduktwert wäre für ein Rechteck nötig?

1. Es gilt \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{AD}=\vec{BC}\) ist \(D(2\mid4\mid3)\). 2. Weiter ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\). Beide benachbarten Seiten haben die Länge \(5\). Das Parallelogramm ist daher eine Raute. 3. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=12\neq0\). Die benachbarten Seiten sind also nicht orthogonal; das Parallelogramm ist kein Rechteck.

a) \(D(2\mid4\mid3)\) b) \(|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=5\), also ist \(ABCD\) eine Raute. Außerdem gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=12\neq0\); damit ist es kein Rechteck.

- Wie hängen die Diagonalen in einer Skizze mit den Seitenvektoren zusammen? - Wann ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null? - Gibt es eine Rechenregel für das Skalarprodukt, die der dritten binomischen Formel ähnelt? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Parallelogramms, wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Diagonalvektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 3. Orthogonalitätsbedingung: Die Diagonalen sind orthogonal, wenn \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). Dies führt zu \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 4. Schlussfolgerung: Da die anliegenden Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sein müssen, handelt es sich bei dem Parallelogramm um eine Raute.

a) \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) b) Das Skalarprodukt \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\) ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) gilt. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten ist eine Raute.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten, wenn die Vektoren vom Ursprung aus gegeben sind? - Der Vektor der Seitenhalbierenden zeigt vom Eckpunkt \(A\) zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Was muss für das Skalarprodukt gelten, damit zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Berechne die Längen der beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Seiten. Was sagt dies über die Symmetrie des Dreiecks aus?

1. Berechnung von \(\vec{w} = \vec{BC} = \vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -3-4 \\ 4-0 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden \(\vec{s}_a = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Skalarprodukt bilden: \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0{,}5 \cdot (-7) + 2 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot (-3) = -3{,}5 + 8 - 4{,}5 = 0\). Die Vektoren sind orthogonal. 4. Längenvergleich: \(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig mit \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) ist, fällt die Seitenhalbierende der Basis mit der Höhe zusammen und steht somit orthogonal auf der Basis.

a) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(\vec{s}_a = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0\), daher sind sie orthogonal. c) Da \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AC}| = 5\) gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Seitenhalbierende der Basis stets senkrecht auf dieser.

- Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit Orthogonalität vorliegt? - Du hast drei Unbekannte, aber nur zwei Bedingungen. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen? - Wie sieht die Struktur einer Punktmenge aus, die durch ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben wird? - Überlege dir, wie viele Vektoren im Raum senkrecht auf einer Fläche stehen können.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems über das Skalarprodukt: (I) \(3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\) (II) \(x_1 - x_2 = 0\) 2. Aus (II) folgt direkt \(x_1 = x_2\). 3. Einsetzen in (I): \(3x_1 + x_1 + 2x_3 = 0 \implies 4x_1 + 2x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_1\). 4. Wahl eines Parameters \(t = x_1\): Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} \}\). 5. Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). 6. Begründung der Nichteindeutigkeit: Alle Vektoren, die ein Vielfaches eines gemeinsamen Normalenvektors sind, stehen ebenfalls orthogonal auf der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene. Da nur die Richtung durch die Orthogonalität festgelegt ist, bleibt die Länge und Orientierung (der Parameter \(t\)) frei wählbar.

a) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) Geometrisch handelt es sich um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Die Lösung ist nicht eindeutig, da jeder Vektor auf dieser Geraden die Orthogonalitätsbedingung erfüllt; lediglich die Richtung ist durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) festgelegt.

- Welche Beziehung muss ein Normalenvektor zu jedem der beiden Spannvektoren erfüllen? - Übersetze beide Orthogonalitätsbedingungen jeweils in ein Skalarprodukt. - Die zwei Bedingungen ergeben zwei lineare Gleichungen für \(w_1\) und \(w_2\); löse dieses Gleichungssystem.

1. Da \(\vec{w}\) senkrecht auf der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Ebene steht, gilt \(\vec{w}\cdot\vec{u}=0\) und \(\vec{w}\cdot\vec{v}=0\). 2. Daraus entstehen die Gleichungen \(w_1+w_2+6=0\) und \(2w_1-w_2+18=0\). 3. Durch Addition folgt \(3w_1+24=0\), also \(w_1=-8\). 4. Einsetzen in \(w_1+w_2+6=0\) liefert \(w_2=2\).

\(w_1=-8\) und \(w_2=2\), also \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}\).

- Ein rechter Winkel kann bei \(O\), \(A\) oder \(B\) liegen; prüfe die drei Fälle getrennt. - Verwende an jeder Ecke zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt. - Schließe Parameterwerte aus, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen und kein Dreieck entsteht.

1. Damit ein Dreieck entsteht, muss \(k\neq0\) gelten. 2. Rechter Winkel bei \(O\): \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=k\). Die Bedingung \(k=0\) ist ausgeschlossen, weil dann \(B=O\) wäre. 3. Rechter Winkel bei \(A\): \(\vec{AO}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}k-1\\-2\\-2\end{pmatrix}\). Aus \(\vec{AO}\cdot\vec{AB}=9-k=0\) folgt \(k=9\). 4. Rechter Winkel bei \(B\): \(\vec{BO}=\begin{pmatrix}-k\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}1-k\\2\\2\end{pmatrix}\). Aus \(\vec{BO}\cdot\vec{BA}=k(k-1)=0\) bleibt wegen \(k\neq0\) nur \(k=1\). 5. Somit ist das Dreieck für \(k=1\) oder \(k=9\) rechtwinklig.

\(k=1\) oder \(k=9\)

- Wie lassen sich die beiden Diagonalen durch die Seitenvektoren ausdrücken? - Wie kannst du gleiche Vektorlängen vergleichen, ohne zwei Quadratwurzeln auszurechnen? - Welche Rechenregeln des Skalarprodukts helfen beim Ausmultiplizieren? - Welche Kongruenzsätze passen für die geometrische Begründung?

1. Die Diagonalenvektoren sind \(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\) und \(\vec{BD}=\vec{b}-\vec{a}\). 2. Gleiche Längen sind gleichbedeutend mit \(|\vec{AC}|^2=|\vec{BD}|^2\). 3. Daher gilt \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(|\vec{a}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^2=|\vec{b}|^2-2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{a}|^2\). 5. Damit ist \(4(\vec{a}\cdot\vec{b})=0\), also \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Die benachbarten Seiten stehen somit senkrecht aufeinander; das Parallelogramm ist ein Rechteck. 6. Ist das Parallelogramm ein Rechteck, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach SWS kongruent; daher gilt \(AC=BD\). Umgekehrt seien \(AC=BD\). Dann sind die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent. Die dadurch gleichen benachbarten Innenwinkel des Parallelogramms ergeben zusammen \(180^\circ\), also sind beide \(90^\circ\). Damit ist das Parallelogramm ein Rechteck.

a) Aus \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2\) folgt \(4(\vec{a}\cdot\vec{b})=0\). Das gilt genau dann, wenn \(\vec{a}\perp\vec{b}\) ist, also genau dann, wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist. b) Im Rechteck sind passende Teildreiecke kongruent, daher sind die Diagonalen gleich lang. Umgekehrt führen gleich lange Diagonalen über SSS auf gleiche benachbarte Innenwinkel; beide sind deshalb \(90^\circ\).

- Prüfe zuerst, ob einer der beiden gegebenen Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist. - Welche geometrische Menge bilden alle Vektoren, die zu einem festen von null verschiedenen Vektor orthogonal sind? - Was liefert das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren, und warum bedeutet das hier nicht, dass es keine gemeinsamen Orthogonalrichtungen gibt? - Für Teil a) reicht ein einziges geeignetes Beispiel; prüfe es mit beiden Skalarprodukten.

1. Es gilt \(\vec{v}=-1{,}5\vec{u}\). Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind daher kollinear und entgegengesetzt gerichtet. 2. Ein Vektor \(\vec{w}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix}\) ist orthogonal zu \(\vec{u}\), wenn \(2w_1+4w_2-6w_3=0\) gilt. Wegen der Kollinearität ist er dann automatisch auch orthogonal zu \(\vec{v}\). 3. Mit \(w_3=0\) und \(w_2=1\) ergibt sich beispielsweise \(w_1=-2\). Somit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\) eine mögliche Lösung. 4. Alle zu \(\vec{u}\) orthogonalen Vektoren liegen in der Ebene durch den Ursprung, die senkrecht zu \(\vec{u}\) steht. Diese Ebene enthält unendlich viele Richtungen, die zugleich orthogonal zu \(\vec{v}\) sind.

a) Zum Beispiel \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\). b) Es gilt \(\vec{v}=-1{,}5\vec{u}\). Daher genügt dieselbe Orthogonalitätsbedingung für beide Vektoren; ihre Lösungen bilden eine Ebene durch den Ursprung und damit unendlich viele Richtungen.

- Stelle die Raumdiagonalen als Vektoren mithilfe der Kantenlängen dar. - Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Betrachte die verschiedenen Vorzeichenkombinationen für die Komponenten der Diagonalvektoren. - Überlege, was passieren würde, wenn mehrere dieser Bedingungen gleichzeitig für dieselben Werte gelten müssten.

1. Die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) lassen sich als Vektoren darstellen, zum Beispiel \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) und \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist: \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -a^2 + b^2 + c^2 = 0\). Dies führt zur Bedingung \(a^2 = b^2 + c^2\). Analog ergeben sich für andere Paare von Raumdiagonalen die Bedingungen \(b^2 = a^2 + c^2\) oder \(c^2 = a^2 + b^2\). Somit müssen zwei Kantenlängen im Quadrat addiert das Quadrat der dritten Kantenlänge ergeben. 2. Damit alle vier Raumdiagonalen paarweise orthogonal sind, müssten alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: \(a^2 = b^2 + c^2\), \(b^2 = a^2 + c^2\) und \(c^2 = a^2 + b^2\). Addiert man beispielsweise die ersten beiden Gleichungen, erhält man \(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2\), woraus \(2c^2 = 0\) und somit \(c = 0\) folgt. Da ein Quader jedoch positive Kantenlängen besitzen muss, ist dies unmöglich. Es gibt also keinen solchen Quader.

1. Zwei Raumdiagonalen sind orthogonal, wenn das Quadrat einer Kantenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Kantenlängen ist (z. B. \(a^2 = b^2 + c^2\)). 2. Nein, ein solcher Quader existiert nicht, da dies auf Kantenlängen von \(0\) führen würde.

- Drücke die Orthogonalität der beiden Diagonalvektoren mit einem Skalarprodukt aus. - Welche Terme heben sich beim Ausmultiplizieren auf? - Wie kannst du das Quadrat einer Vektorlänge mit einem Skalarprodukt schreiben? - Bestimme für Teil 2 zuerst den Summenvektor \(\vec{u}+\vec{v}\).

1. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt \((\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})=0\). 2. Mit dem Distributivgesetz folgt \(|\vec{u}+\vec{v}|^2-|\vec{w}|^2=0\). Daher ist \(|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{w}|\). 3. Für Teil 2 ist \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\). Die Länge dieser Flächendiagonale ist \(\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). 4. Also muss \(\vec{w}\) die Länge \(2\sqrt{5}\approx4{,}47\) haben.

1. \((\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})=|\vec{u}+\vec{v}|^2-|\vec{w}|^2\). Orthogonalität gilt genau dann, wenn \(|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{w}|\). 2. Die nötige Länge ist \(2\sqrt{5}\approx4{,}47\).

- Beginne mit einer Vektorgleichheit für zwei gegenüberliegende Seiten. - Setze für ein Rechteck das Skalarprodukt benachbarter Seiten gleich null. - Für eine Raute kannst du die Quadrate der Längen zweier benachbarter Seiten vergleichen. - Ein Quadrat müsste Rechteck- und Rautenbedingung gleichzeitig erfüllen.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(ABCD\) für jedes \(k\) ein Parallelogramm. 2. Weiter ist \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}2\\0\\k-3\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=4+k-3=k+1\). Für ein Rechteck muss dieses Skalarprodukt null sein; also ist \(k=-1\). 3. Für eine Raute müssen benachbarte Seiten gleich lang sein. Es gilt \(|\vec{AB}|^2=9\) und \(|\vec{BC}|^2=4+(k-3)^2\). Daraus folgt \(k=3+\sqrt{5}\) oder \(k=3-\sqrt{5}\). 4. Ein Quadrat müsste gleichzeitig die Rechteckbedingung \(k=-1\) und eine der Rautenbedingungen erfüllen. Das ist unmöglich.

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\vec{DC}\). Daher ist \(ABCD\) für jedes \(k\) ein Parallelogramm. b) \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=k+1\); Rechteck für \(k=-1\). c) \(k=3+\sqrt{5}\) oder \(k=3-\sqrt{5}\). d) Ein Quadrat müsste zugleich die Rechteckbedingung \(k=-1\) und eine der Rautenbedingungen \(k=3\pm\sqrt{5}\) erfüllen. Das ist für keinen Wert von \(k\) möglich.

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) mit den gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie man die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt mit sich selbst ausdrückt. - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Strecke in Bezug auf die Eckpunkte? - Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{CA} = \vec{u} - \vec{v}\) und \(\vec{CB} = -\vec{u} - \vec{v}\). 2. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Die Quadrate der Seitenlängen sind \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{BC}|^2 = |-\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) folgt \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2\), also \(|\vec{AC}| = |\vec{BC}|\). 3. Bedingung für den rechten Winkel bei \(C\): Das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (-\vec{u} - \vec{v}) = -(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = -(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2) = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\) muss null sein. Dies ist für \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\) erfüllt. Geometrisch bedeutet dies, dass \(C\) auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\) liegt; die Strecke \(AB\) ist ein Durchmesser dieser Kugel. 4. Gleichseitigkeit: Es muss gelten \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (für \(|\vec{AC}|=|\vec{BC}|\)) und \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}|\). Mit \(|\vec{AB}| = 2|\vec{u}|\) folgt \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = (2|\vec{u}|)^2 = 4|\vec{u}|^2\). Umformen ergibt \(|\vec{v}|^2 = 3|\vec{u}|^2\), also \(|\vec{v}| = \sqrt{3}|\vec{u}|\). Das Verhältnis ist \(\sqrt{3}{:}1\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). b) Bedingung: \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\). Geometrische Deutung: \(C\) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\); \(AB\) ist ein Durchmesser. c) Verhältnis: \(|\vec{v}|{:}|\vec{u}| = \sqrt{3}{:}1\).