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- Welche Rechengröße eignet sich für einen direkten Orthogonalitätstest? - Berechne sie komponentenweise. - Welche besondere Zahl muss als Ergebnis auftreten, wenn die Vektoren senkrecht stehen?

1. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+0\cdot0=0\). 2. Da das Skalarprodukt null ist und beide Vektoren von \(\vec{0}\) verschieden sind, stehen sie senkrecht aufeinander.

Ja. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), also \(\vec{a}\perp\vec{b}\).

- Übersetze die Orthogonalitätsforderung in eine Skalarproduktgleichung. - Setze die Komponenten beider Vektoren ein. - Löse die entstehende lineare Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Für orthogonale Vektoren muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. 2. Es ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot s+2\cdot1+0\cdot0=s+2\). 3. Aus \(s+2=0\) folgt \(s=-2\).

\(s=-2\)

- Woran erkennst du mithilfe eines Rechenverfahrens, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Gehe systematisch vor und prüfe nacheinander alle Kombinationen der Vektoren. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

1. Berechnung der Skalarprodukte für alle möglichen Vektorpaare: - \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 4 - 2 - 2 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 0 + 4 + 4 = 8 \neq 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0 + 8 - 4 = 4 \neq 0\) - \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 0 - 8 - 2 = -10 \neq 0\) 2. Identifikation der orthogonalen Paare: Die Paare mit einem Skalarprodukt von null sind orthogonal. Dies sind \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\).

Die Vektorpaare \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\) sind jeweils orthogonal zueinander.

- Überlege, was das Skalarprodukt über den Winkel zwischen zwei Vektoren aussagt. - Erinnerst du dich an einen speziellen Winkel, bei dem das Ergebnis einer Kosinus-Berechnung null wird? - Versuche, Vektoren zu wählen, die entlang der Koordinatenachsen liegen.

1. Die Regel lässt sich nicht direkt übertragen, da das Skalarprodukt zweier Vektoren auch dann null sein kann, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist. 2. Beispiel für zwei solche Vektoren: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Überprüfung des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\). 4. Da beide Vektoren eine Länge von \(1\) haben (also keine Nullvektoren sind), ist die Bedingung erfüllt. 5. Geometrische Bedingung: Das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

Die Regel ist nicht übertragbar. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), für die \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, obwohl beide ungleich \(\vec{0}\) sind. Die geometrische Bedingung ist die Orthogonalität (\(\vec{u} \perp \vec{v}\)).

- Wann stehen zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander? - Wie berechnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? - Stelle eine Gleichung auf, in der das Skalarprodukt vorkommt.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(2 \cdot (k + 1) + k \cdot 3 + (-4) \cdot 2 = 2k + 2 + 3k - 8 = 5k - 6\). 3. Gleichung lösen: \(5k - 6 = 0\) führt zu \(5k = 6\), also \(k = 1{,}2\). Für \(k = 1{,}2\) sind die Vektoren orthogonal.

\(k = 1{,}2\)

- Wie kannst du die Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Es reicht aus, die Winkel an den drei Eckpunkten nacheinander zu prüfen.

1. Verbindungsvektoren berechnen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 2. Skalarprodukte prüfen: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 0\). Da das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) null ist, sind diese Vektoren orthogonal. 3. Schlussfolgerung: Das Dreieck hat einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\). Weitere Prüfungen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -16\) und \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 34\)) sind nicht notwendig, da bereits ein rechter Winkel gefunden wurde.

Das Dreieck \(ABC\) besitzt einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\).

- Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Rechenoperation verknüpft die Komponenten der Vektoren, um die Orthogonalität zu prüfen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt. - Achte darauf, ob es mehr als eine Lösung für die Gleichung geben könnte.

1. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null ergeben, also \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Berechnung des Skalarprodukts in Abhängigkeit von \(t\): \(t \cdot t + 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = t^2 - 6 + 5 = t^2 - 1\). 3. Lösen der Gleichung \(t^2 - 1 = 0\): Durch Umformen ergibt sich \(t^2 = 1\), woraus die Lösungen \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) folgen.

Die Vektoren sind für \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) orthogonal zueinander.

- Wie kannst du mit Vektoren zeigen, dass gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind? - Welches Rechenverfahren hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Was ist die zusätzliche Bedingung, damit aus einem Rechteck ein Quadrat wird? - Berechne die Längen der Vektoren, um die Seitenlängen zu vergleichen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} = -\vec{CD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), liegen gegenüberliegende Seiten parallel und sind gleich lang. Es handelt sich um ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0\) zeigt, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) orthogonal sind. Somit ist das Viereck ein Rechteck. 4. Prüfung auf Quadrat (Seitenlängen): \(|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da die benachbarten Seiten nicht gleich lang sind (\(4 \neq \sqrt{13}\)), ist das Rechteck kein Quadrat.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, da die gegenüberliegenden Seiten parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)) und benachbarte Seiten orthogonal zueinander stehen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\)). Es ist jedoch kein Quadrat, da die Seitenlängen mit \(|\vec{AB}| = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{13}\) unterschiedlich sind.

- Bestimme zuerst die Koordinaten der beteiligten Punkte oder stelle die Vektoren direkt auf. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren im Raum senkrecht aufeinander stehen? - Führe die Rechnung allgemein mit der Kantenlänge \(a\) durch.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren: \(\vec{OF} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{EB} = \vec{OB} - \vec{OE} = \begin{pmatrix} a-a \\ a-0 \\ 0-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a)\). 3. Vereinfachung des Terms: \(0 + a^2 - a^2 = 0\). 4. Interpretation: Da das Skalarprodukt für jede Kantenlänge \(a > 0\) den Wert \(0\) ergibt, sind die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) orthogonal.

Die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0\) ergibt.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen? - Was sagt ein Skalarprodukt von null über die Lage zweier Vektoren zueinander aus? - Muss man alle möglichen Paare von Vektoren prüfen, wenn man bereits ein Skalarprodukt von null gefunden hat?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen über den Betrag der Vektoren: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{22}\), \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{35}\). 3. Untersuchung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -6 + 6 + 0 = 0\). 4. Da das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) null ist, liegt am Eckpunkt \(P\) ein rechter Winkel vor.

a) Die Seitenlängen betragen \(|\vec{PQ}| = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{22}\) und \(|\vec{QR}| = \sqrt{35}\). b) Das Dreieck ist rechtwinklig, da das Skalarprodukt \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0\) ist. Der rechte Winkel liegt am Punkt \(P\).

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu entscheiden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Um die Form des Dreiecks zu bestimmen, solltest du die Vektoren zwischen den Eckpunkten betrachten. - Reicht es aus, nur ein Skalarprodukt zu prüfen? Überlege, an welchen Ecken ein rechter Winkel vorliegen könnte. - Wie hängen die Längen der Vektoren mit der Eigenschaft „gleichschenklig“ zusammen?

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -4 + 2 + 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) orthogonal; das Dreieck hat bei \(A\) einen rechten Winkel. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Längenvergleich: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4. Ergebnis: Da \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig.

Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel am Eckpunkt \(A\), da \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) gilt. Zudem ist es gleichschenklig, da die Seiten \(AB\) und \(AC\) beide die Länge \(3\) besitzen.

- Welche Vektoren schließen den Winkel an der Ecke \(D\) ein? - Wie hängen die Orthogonalität zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte \(k\) vorkommt.

1. Aufstellen der Vektoren, die den Winkel im Punkt \(D\) bilden: \(\vec{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für einen rechten Winkel bei \(D\): Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{DE}\) und \(\vec{DF}\) muss gleich null sein. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{DE} \cdot \vec{DF} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (k-2) \cdot (-2) = 2 + 2 - 2k + 4 = 8 - 2k\). 4. Lösen der Gleichung \(8 - 2k = 0\) ergibt \(k = 4\).

Das Dreieck hat für \(k = 4\) einen rechten Winkel bei \(D\).

- Bestimme zuerst die beiden Kantenvektoren aus den gegebenen Punkten. - Welche Aussage über zwei Vektoren folgt aus einem Skalarprodukt von null? - Für \(C\) kannst du eine bekannte Würfelkante als Verschiebungsvektor verwenden. - Welche Koordinate verändert sich entlang einer Strecke, die parallel zur \(x_1\)-Achse verläuft?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(|\vec{AB}|=\sqrt{0^2+4^2+3^2}=5\) und \(|\vec{AD}|=\sqrt{(-5)^2+0^2+0^2}=5\). Beide Kanten sind also \(5\) Längeneinheiten lang. 3. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\cdot(-5)+4\cdot0+3\cdot0=0\). Daher stehen die Kanten senkrecht aufeinander. 4. Mit \(\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{AD}\) erhält man \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}4\\5\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\5\\5\end{pmatrix}\). Also ist \(C(-1\mid5\mid5)\). 5. Bei \(A\) und \(D\) sowie bei \(B\) und \(C\) unterscheiden sich jeweils nur die ersten Koordinaten. Deshalb ist \(AD\) parallel zur \(x_1\)-Achse. Die dazu senkrechten Würfelflächen \(ABFE\) und \(DCGH\) sind parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene.

a) \(|\vec{AB}|=5\), \(|\vec{AD}|=5\) b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\) c) \(C(-1\mid5\mid5)\) d) \(ABFE\) und \(DCGH\) sind parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene.

- Vergleiche für Teil a) nicht zuerst die Wurzeln, sondern die Selbstskalarprodukte der beiden Seitenvektoren. - Welche beiden Koordinaten sind für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse gleich null? - Für ein gleichseitiges Dreieck müssen die Seiten zu \(P\) dieselbe Länge wie \(AB\) haben. - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet den rechten Winkel bei \(Q_k\)?

1. Für \(P(0\mid s\mid t)\) gilt \(\vec{PA}=\begin{pmatrix}3\\-s\\-t\end{pmatrix}\) und \(\vec{PB}=\begin{pmatrix}-3\\-s\\-t\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=9+s^2+t^2\) und \(\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\). Daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\); für \(P\neq O\) entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(AB\). 3. Es ist \(|\vec{AB}|^2=36\). Für einen Punkt \(P(0\mid0\mid t)\) auf der \(x_3\)-Achse gilt \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=9+t^2\). Gleichseitigkeit verlangt \(9+t^2=36\), also \(t=\pm3\sqrt3\). 4. Für \(Q_k(k\mid2\mid0)\) gilt \(\vec{Q_kA}=\begin{pmatrix}3-k\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{Q_kB}=\begin{pmatrix}-3-k\\-2\\0\end{pmatrix}\). 5. Ein rechter Winkel bei \(Q_k\) erfordert \(\vec{Q_kA}\cdot\vec{Q_kB}=0\). Es ergibt sich \((3-k)(-3-k)+4=k^2-5\), also \(k=\pm\sqrt5\).

a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\); daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\). b) \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt3)\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt3)\) c) \(k=\pm\sqrt5\), also \(Q_1(\sqrt5\mid2\mid0)\) und \(Q_2(-\sqrt5\mid2\mid0)\)

- Vergleiche die beiden Schenkellängen über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe für \(k=0\), ob tatsächlich drei nicht kollineare Punkte vorliegen. - Für Gleichseitigkeit muss zusätzlich die Basis dieselbe Länge wie die beiden Schenkel haben. - Welche Bedingung erfüllt das Skalarprodukt der beiden Vektoren von \(C_k\) zu \(A\) und \(B\) bei einem rechten Winkel?

1. Es gilt \(\vec{AC_k}=\begin{pmatrix}1+k\\2-k\\-1-k\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_k}=\begin{pmatrix}-1+k\\-2-k\\1-k\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=3k^2+6\) und \(\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=3k^2+6\). Damit sind \(AC_k\) und \(BC_k\) gleich lang. Für \(k\neq0\) ist \(ABC_k\) daher gleichschenklig mit Basis \(AB\). 3. Für \(k=0\) ist \(C_0(3\mid3\mid2)\) der Mittelpunkt von \(AB\). Die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 4. Außerdem gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=24\). Für Gleichseitigkeit muss deshalb \(3k^2+6=24\) gelten. Daraus folgt \(k=\pm\sqrt6\). 5. Für einen rechten Winkel bei \(C_k\) muss \(\vec{C_kA}\cdot\vec{C_kB}=0\) gelten. Das Skalarprodukt ist \(3k^2-6\), also \(k=\pm\sqrt2\).

a) Für \(k\neq0\) ist \(ABC_k\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). Bei \(k=0\) sind \(A\), \(B\) und \(C_0\) kollinear. b) \(k=\pm\sqrt6\) c) \(k=\pm\sqrt2\)

- Welche Skalarproduktbedingung beschreibt Orthogonalität? - In Teil b) kannst du die Summe entweder zuerst bilden oder eine Rechenregel des Skalarprodukts nutzen. - Welche Information aus Teil a) vereinfacht das Skalarprodukt in Teil b)?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) gelten. Damit ist \(2\cdot3+1\cdot(-4)+2s=0\). 2. Aus \(2+2s=0\) folgt \(s=-1\). 3. Mit dem Distributivgesetz gilt \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}\). 4. Wegen \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) bleibt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=2^2+1^2+(-1)^2=6\).

a) \(s=-1\) b) \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=6\)

- Welche mathematische Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Variable \(k\) vorkommt. - Welche Art von Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen der Terme und wie löst man diese?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(k \cdot k + 5 \cdot (-6) + k \cdot 1 = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(k^2 - 30 + k = 0\), umgeformt \(k^2 + k - 30 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((k + 6)(k - 5) = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(k_1 = -6\) und \(k_2 = 5\).

Die Vektoren sind für \(k = -6\) und \(k = 5\) orthogonal zueinander.

- Setze für Teil a) die Komponenten in das Skalarprodukt ein. - Welche Faktoren in der Winkelbeziehung sind bei von null verschiedenen Vektoren sicher positiv? - Welcher Faktor kann dann dafür sorgen, dass das gesamte Produkt null wird?

1. Aus \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) folgt \(2\cdot3+4s+(-1)\cdot2=0\). 2. Damit gilt \(4+4s=0\), also \(s=-1\). 3. Sind \(\vec{a}\neq\vec{0}\) und \(\vec{b}\neq\vec{0}\), so sind \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\) positiv. 4. Das Produkt kann dennoch null sein, wenn \(\cos(\varphi)=0\). Das ist für \(\varphi=90^\circ\) der Fall; die Vektoren sind dann orthogonal.

a) \(s=-1\) b) Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), wenn \(\cos(\varphi)=0\), also bei \(\varphi=90^\circ\).

- Der gesuchte Vektor muss zwei Orthogonalitätsbedingungen gleichzeitig erfüllen. - Formuliere zu jedem gegebenen Vektor eine Skalarproduktgleichung. - Wie kannst du die beiden entstehenden linearen Gleichungen gemeinsam lösen?

1. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) folgt \(2p-q=0\). 2. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p+2q-5=0\). 3. Die erste Gleichung liefert \(q=2p\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich \(p+4p-5=0\), also \(p=1\). 4. Damit ist \(q=2\).

\(p=1\) und \(q=2\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Welche Vektoren bilden die Seiten des Parallelogramms und in welcher Beziehung müssen sie für ein Rechteck stehen? - Kannst du die Gleichung für die Diagonalenlängen so umformen, dass du die binomischen Formeln für Vektoren anwenden kannst? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die geometrische Anordnung zweier Vektoren?

1. Ansatz über die Quadrate der Längen: Die Bedingung \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{e}|^2 = |\vec{f}|^2\). 2. Einsetzen der Vektorsummen: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). 3. Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt (Distributivgesetz): \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 4. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(|\vec{a}|^2\) und \(|\vec{b}|^2\): \(2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})\). 5. Umformung zur Orthogonalitätsbedingung: \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. 6. Geometrische Interpretation: Da das Skalarprodukt der aufspannenden Vektoren null ist, stehen die Seiten des Parallelogramms senkrecht aufeinander, womit es definitionsgemäß ein Rechteck ist.

Die Gleichheit der Diagonalenlängen \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\), was zu \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\) vereinfacht wird. Dies bedeutet \(\vec{a} \perp \vec{b}\), was die Eigenschaft eines Rechtecks ist.

- Welche beiden Verbindungsvektoren treffen sich am Punkt \(C\)? - Übersetze den rechten Winkel in eine Skalarproduktbedingung. - Welche Form hat die entstehende quadratische Gleichung?

1. Die den Winkel bei \(C\) bildenden Vektoren sind \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}-s\\-4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{CB}=\begin{pmatrix}4-s\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Wegen des rechten Winkels gilt \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}=0\). 3. Damit ist \((-s)(4-s)+(-4)(-2)+(-2)\cdot2=0\), also \(s^2-4s+4=0\). 4. Aus \((s-2)^2=0\) folgt \(s=2\).

\(s=2\)

- Welche Vektoreigenschaften müssen für ein Parallelogramm erfüllt sein? - Wie unterscheiden sich die Seitenlängen einer Raute von denen eines allgemeinen Parallelogramms? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Überlege dir, welche zusätzliche Eigenschaft eine Raute zu einem Quadrat macht.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 3-1 \\ 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\), handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\). Für die benachbarte Seite gilt \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{AD}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). Da alle Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(3=3\)), ist es eine Raute. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 4 - 2 + 2 = 4\). Da \(4 \neq 0\), liegt kein rechter Winkel vor. Somit ist die Raute kein Quadrat.

Das Viereck ist ein Parallelogramm, da \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Da die benachbarten Seiten \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD}\) beide die Länge \(3\) besitzen, ist es eine Raute. Da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \neq 0\) ist, sind die Seiten nicht orthogonal, weshalb kein Quadrat vorliegt.

- Welche Beziehungen zwischen den drei Koordinaten gelten für jedes \(R_t\)? - Welche beiden Verbindungsvektoren bilden jeweils den Winkel bei \(P\) beziehungsweise bei \(Q\)? - Übersetze einen rechten Winkel jeweils in eine Skalarproduktbedingung.

1. Für alle \(R_t\) gilt \(x_3=2\) und \(x_2=2x_1\). Die Punkte liegen daher auf einer Geraden in der Ebene \(x_3=2\), die durch \((0\mid0\mid2)\) verläuft und die Richtung \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) besitzt. 2. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR_t}=\begin{pmatrix}t-3\\2t-2\\1\end{pmatrix}\). 3. Für einen rechten Winkel bei \(P\) gilt \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR_t}=0\). Daraus folgt \(-2(t-3)+2(2t-2)+2=2t+4=0\), also \(t=-2\). 4. Weiter ist \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR_t}=\begin{pmatrix}t-1\\2t-4\\-1\end{pmatrix}\). 5. Für einen rechten Winkel bei \(Q\) gilt \(\vec{QP}\cdot\vec{QR_t}=0\). Daraus folgt \(2(t-1)-2(2t-4)+2=-2t+8=0\), also \(t=4\).

a) Die Punkte liegen auf einer Geraden in der Ebene \(x_3=2\) durch \((0\mid0\mid2)\) mit Richtung \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\). b) \(t=-2\) c) Ja, für \(t=4\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Vierecks, wenn gegenüberliegende Vektoren identisch sind? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenvektoren erfüllen, damit ein rechter Winkel entsteht? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um ein Rechteck eindeutig zu identifizieren?

1. Berechnung der Vektoren durch Differenzbildung der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 5-4 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 4-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 5-2 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (und \(\vec{AD} = \vec{BC}\)), sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf ein Rechteck mittels Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3 + 3 + 0 = 6\). Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, liegt kein rechter Winkel vor. Das Viereck ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Es handelt sich um ein Parallelogramm, da die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich sind. Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \neq 0\) ist.

- Formuliere die Orthogonalität und die vorgegebene Länge als zwei Gleichungen. - Kannst du eine der beiden Unbekannten aus der linearen Gleichung ausdrücken? - Prüfe nach dem Lösen, welche Wertepaare beide ursprünglichen Bedingungen erfüllen.

1. Aus \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p-4+2q=0\), also \(p=4-2q\). 2. Aus \(|\vec{v}|=3\) folgt \(p^2+2^2+q^2=9\), also \(p^2+q^2=5\). 3. Einsetzen von \(p=4-2q\) ergibt \((4-2q)^2+q^2=5\), also \(5q^2-16q+11=0\). 4. Die Gleichung hat die Lösungen \(q=1\) und \(q=2{,}2\). 5. Daraus folgen \(p=2\) beziehungsweise \(p=-0{,}4\).

\((p,q)=(2,1)\) oder \((p,q)=(-0{,}4,2{,}2)\)

- Welche Eigenschaft des Skalarprodukts hilft dir bei der Orthogonalität weiter? - Stelle eine Gleichung für den Betrag des Vektors auf. - Du hast nun zwei Gleichungen. Wie kannst du eine Unbekannte eliminieren? - Überlege, ob es aufgrund der Quadrate in der Längenberechnung mehrere Lösungen geben könnte.

1. Skalarprodukt für Orthogonalität nutzen: Da \(\vec{n} \perp \vec{w}\) gilt, ist \(\vec{n} \cdot \vec{w} = 3a - 4b + 0 \cdot 12 = 0\). Dies führt zur Beziehung \(3a = 4b\) bzw. \(a = \frac{4}{3}b\). 2. Längenbedingung anwenden: Die Länge von \(\vec{w}\) ist \(|\vec{w}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 12^2} = 13\). Quadrieren ergibt \(a^2 + b^2 + 144 = 169\), was zu \(a^2 + b^2 = 25\) führt. 3. Gleichungssystem lösen: Einsetzen von \(a = \frac{4}{3}b\) in die Kreisgleichung ergibt \((\frac{4}{3}b)^2 + b^2 = 25\). Dies führt zu \(\frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = 25\), also \(\frac{25}{9}b^2 = 25\). 4. Ergebnisse berechnen: Es folgt \(b^2 = 9\), woraus sich \(b_1 = 3\) und \(b_2 = -3\) ergeben. Durch Einsetzen in die erste Beziehung erhält man \(a_1 = 4\) und \(a_2 = -4\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: 1. \(a = 4\) und \(b = 3\) 2. \(a = -4\) und \(b = -3\)

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, was passiert dann mit seiner Richtung und seiner Länge? - Überlege dir, wie sich das Skalarprodukt verhält, wenn man einen der Vektoren mit einem Streckungsfaktor multipliziert.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Das Skalarprodukt \(\vec{v} \cdot \vec{x}\) muss null ergeben. Es folgt \(2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot x_3 = 0\). 2. Gleichung lösen: \(2 - 4 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). Der Vektor ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Länge berechnen: \(|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Skalierung für \(\vec{y}\): Da die Ziel-Länge \(12\) das Vierfache der aktuellen Länge \(3\) ist, gilt \(\vec{y} = 4\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 5. Begründung der Orthogonalität: Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts gilt \(\vec{v} \cdot (k\vec{x}) = k(\vec{v} \cdot \vec{x})\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{x} = 0\), ist auch jedes Vielfache von \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\).

a) \(x_3 = 2\) b) \(|\vec{x}| = 3\) c) \(\vec{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\) d) Da \(\vec{y}\) ein Vielfaches von \(\vec{x}\) ist (\(\vec{y} = 4\vec{x}\)) und \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, gilt \(\vec{v} \cdot \vec{y} = \vec{v} \cdot (4\vec{x}) = 4(\vec{v} \cdot \vec{x}) = 4 \cdot 0 = 0\).

- Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Stelle dir in Teil b) alle möglichen Pfeilrichtungen vor, die zu einem festen Pfeil senkrecht stehen. - Wie viele Bewegungsrichtungen bleiben dabei in zwei beziehungsweise drei Dimensionen übrig?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. Damit ist \(2k+6k-20=0\). 2. Aus \(8k=20\) folgt \(k=2{,}5\). 3. Im dreidimensionalen Raum bilden alle zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung. Diese Ebene enthält unendlich viele Richtungen. 4. In einer zweidimensionalen Ebene liegen alle zu einem festen von null verschiedenen Vektor orthogonalen Vektoren auf einer Geraden durch den Ursprung. Diese Gerade besitzt zwei entgegengesetzte Orientierungen.

a) \(k=2{,}5\) b) Im dreidimensionalen Raum bilden die zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung; im zweidimensionalen Raum liegen sie auf einer Geraden durch den Ursprung.

- Welche beiden Vektoren bilden den Winkel bei \(P\)? - Für den Umfang benötigst du die Längen aller drei Seiten. - Welche vereinfachte Flächenformel kannst du nach dem Nachweis des rechten Winkels verwenden?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=2\cdot(-1)+2\cdot2+1\cdot(-2)=0\). Daher ist der Winkel bei \(P\) ein rechter Winkel. 3. Die Seitenlängen sind \(|\vec{PQ}|=3\), \(|\vec{PR}|=3\) und \(|\vec{QR}|=\sqrt{18}=3\sqrt2\). 4. Der Umfang beträgt daher \(U=3+3+3\sqrt2=6+3\sqrt2\) Längeneinheiten. 5. Wegen des rechten Winkels bei \(P\) ist der Flächeninhalt \(A=\frac12\cdot3\cdot3=4{,}5\) Flächeneinheiten.

a) \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=0\); das Dreieck ist bei \(P\) rechtwinklig. b) \(U=6+3\sqrt2\) Längeneinheiten c) \(A=4{,}5\) Flächeneinheiten

- Überlege dir, welche zwei Vektoren den Winkel im Punkt \(E\) einschließen. - Nutze das Skalarprodukt als Werkzeug, um die Bedingung für einen rechten Winkel in eine Gleichung für \(k\) zu übersetzen. - Um zu prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig ist, musst du die Längen der drei Seiten vergleichen.

1. Aufstellen der Vektoren, die im Punkt \(E\) zusammentreffen: \(\vec{ED} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-2 \\ k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ k-1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{EF} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 5-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{ED} \cdot \vec{EF} = 0\). 3. Berechnung des Skalarprodukts: \((-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 + (k-1) \cdot 1 = 4 - 3 + k - 1 = k\). 4. Daraus folgt für den rechten Winkel bei \(E\): \(k = 0\). 5. Untersuchung für \(k=4\): Länge \(DE\): \(|\vec{DE}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\). Länge \(EF\): \(|\vec{EF}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}\). Länge \(DF\): \(|\vec{DF}| = \sqrt{(1-1)^2 + (5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20}\). Da \(|\vec{DE}| = |\vec{EF}|\), ist das Dreieck für \(k=4\) gleichschenklig.

a) Für \(k = 0\) ist das Dreieck bei \(E\) rechtwinklig. b) Für \(k = 4\) ist das Dreieck gleichschenklig, da die Seiten \(DE\) und \(EF\) beide die Länge \(\sqrt{14}\) besitzen.

- Nutze die Eigenschaft eines Parallelogramms, dass gegenüberliegende Seiten durch identische Vektoren dargestellt werden können. - Wodurch unterscheidet sich eine Raute von einem allgemeinen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt? - Denk daran, dass für ein Rechteck das Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren Null sein muss.

1. Berechnung von \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|3)\). 2. Prüfung auf Raute (Seitenlängen): Berechne die Längen benachbarter Seitenvektoren. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5\). Da \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\), ist das Parallelogramm eine Raute. 3. Prüfung auf Rechteck (Winkel): Berechne das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 12\). Da \(12 \neq 0\), sind die Seiten nicht orthogonal. Es ist kein Rechteck.

a) Der vierte Punkt ist \(D(2|4|3)\). b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{BC}| = 5\)). Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \neq 0\) ist und somit kein rechter Winkel vorliegt.

- Wie hängen die Diagonalen in einer Skizze mit den Seitenvektoren zusammen? - Wann ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null? - Gibt es eine Rechenregel für das Skalarprodukt, die der dritten binomischen Formel ähnelt? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Parallelogramms, wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Diagonalvektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 3. Orthogonalitätsbedingung: Die Diagonalen sind orthogonal, wenn \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). Dies führt zu \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 4. Schlussfolgerung: Da die anliegenden Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sein müssen, handelt es sich bei dem Parallelogramm um eine Raute.

a) \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) b) Das Skalarprodukt \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\) ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) gilt. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten ist eine Raute.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten, wenn die Vektoren vom Ursprung aus gegeben sind? - Der Vektor der Seitenhalbierenden zeigt vom Eckpunkt \(A\) zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Was muss für das Skalarprodukt gelten, damit zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Berechne die Längen der beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Seiten. Was sagt dies über die Symmetrie des Dreiecks aus?

1. Berechnung von \(\vec{w} = \vec{BC} = \vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -3-4 \\ 4-0 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden \(\vec{s}_a = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Skalarprodukt bilden: \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0{,}5 \cdot (-7) + 2 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot (-3) = -3{,}5 + 8 - 4{,}5 = 0\). Die Vektoren sind orthogonal. 4. Längenvergleich: \(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig mit \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) ist, fällt die Seitenhalbierende der Basis mit der Höhe zusammen und steht somit orthogonal auf der Basis.

a) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(\vec{s}_a = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0\), daher sind sie orthogonal. c) Da \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AC}| = 5\) gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Seitenhalbierende der Basis stets senkrecht auf dieser.

- Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit Orthogonalität vorliegt? - Du hast drei Unbekannte, aber nur zwei Bedingungen. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen? - Wie sieht die Struktur einer Punktmenge aus, die durch ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben wird? - Überlege dir, wie viele Vektoren im Raum senkrecht auf einer Fläche stehen können.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems über das Skalarprodukt: (I) \(3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\) (II) \(x_1 - x_2 = 0\) 2. Aus (II) folgt direkt \(x_1 = x_2\). 3. Einsetzen in (I): \(3x_1 + x_1 + 2x_3 = 0 \implies 4x_1 + 2x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_1\). 4. Wahl eines Parameters \(t = x_1\): Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} \}\). 5. Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). 6. Begründung der Nichteindeutigkeit: Alle Vektoren, die ein Vielfaches eines gemeinsamen Normalenvektors sind, stehen ebenfalls orthogonal auf der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene. Da nur die Richtung durch die Orthogonalität festgelegt ist, bleibt die Länge und Orientierung (der Parameter \(t\)) frei wählbar.

a) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) Geometrisch handelt es sich um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Die Lösung ist nicht eindeutig, da jeder Vektor auf dieser Geraden die Orthogonalitätsbedingung erfüllt; lediglich die Richtung ist durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) festgelegt.

- Wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, welche Bedingung muss er dann im Bezug auf die Spannvektoren erfüllen? - Du kannst die Orthogonalität entweder über das Skalarprodukt (Gleichungssystem) oder über das Kreuzprodukt ausdrücken. - Falls du das Kreuzprodukt nutzt: Wie musst du den resultierenden Vektor verändern, damit die letzte Koordinate genau \(6\) ergibt?

1. Da \(\vec{w}\) senkrecht auf der Ebene steht, muss er orthogonal zu den Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sein. Das Skalarprodukt muss jeweils null ergeben. 2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems: I: \(\vec{w} \cdot \vec{u} = w_1 + w_2 + 6 = 0\) II: \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 2w_1 - w_2 + 18 = 0\) 3. Addition der beiden Gleichungen, um \(w_2\) zu eliminieren: \(3w_1 + 24 = 0 \implies 3w_1 = -24 \implies w_1 = -8\). 4. Einsetzen von \(w_1\) in Gleichung I: \(-8 + w_2 + 6 = 0 \implies w_2 - 2 = 0 \implies w_2 = 2\). Alternativer Weg: Berechnung des Kreuzprodukts \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) und anschließende Skalierung mit \(k = -2\), um die \(z\)-Komponente \(6\) zu erhalten.

\(w_1 = -8\) und \(w_2 = 2\) (bzw. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\))

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - An welchen Ecken des Dreiecks könnte der rechte Winkel liegen? - Achte darauf, dass für deine Lösungen tatsächlich ein Dreieck existiert und keine Punkte zusammenfallen. - Stelle für jeden der drei Eckpunkte eine Gleichung auf.

1. Identifikation der möglichen Scheitelpunkte für den rechten Winkel: \(O\), \(A\) oder \(B\). Damit ein Dreieck entsteht, muss \(k \neq 0\) gelten, da sonst \(B=O\) wäre. 2. Fall 1: Rechter Winkel bei \(O\). Bedingung: \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0\). \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\cdot k + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = k\). \(k = 0\) führt zu keinem Dreieck (Punkt \(B\) fällt mit \(O\) zusammen). 3. Fall 2: Rechter Winkel bei \(A\). Bedingung: \(\vec{AO} \cdot \vec{AB} = 0\). \(\vec{AO} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). \((-1)(k-1) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = -k + 1 + 4 + 4 = 9 - k = 0 \implies k = 9\). 4. Fall 3: Rechter Winkel bei \(B\). Bedingung: \(\vec{BO} \cdot \vec{BA} = 0\). \(\vec{BO} = \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). \((-k)(1-k) + 0 + 0 = k^2 - k = 0 \implies k(k-1) = 0\). Da \(k \neq 0\), bleibt nur \(k = 1\). 5. Zusammenfassung: Das Dreieck ist rechtwinklig für \(k = 1\) oder \(k = 9\).

\(k = 1\) oder \(k = 9\)

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Skalarprodukt mit sich selbst. - Welche Rechenregeln für das Skalarprodukt ähneln den binomischen Formeln? - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit diese einen rechten Winkel einschließen? - Überlege dir für den geometrischen Teil, welche Teildreiecke im Rechteck identisch sein könnten.

1. Darstellung der Diagonalenvektoren: \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Bedingung für gleiche Längen: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BD}|^2\). 3. Anwendung des Skalarprodukts: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\). 4. Ausmultiplizieren: \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. Dies bedeutet, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AD}\) orthogonal sind, was das Parallelogramm zu einem Rechteck macht. 6. Geometrische Begründung: Ist das Parallelogramm ein Rechteck, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AB = DC\), \(BC\) eine gemeinsame Seite ist und die eingeschlossenen Winkel rechte Winkel sind. Daher gilt \(AC = BD\). Umgekehrt seien \(AC = BD\). Dann sind die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent, denn \(AB\) ist gemeinsam, \(BC = AD\) und \(AC = BD\). Somit sind die benachbarten Innenwinkel \(\angle ABC\) und \(\angle BAD\) gleich groß. Da benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms zusammen \(180^\circ\) ergeben, sind beide \(90^\circ\); das Parallelogramm ist ein Rechteck.

a) Aus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\). Dies ist genau dann erfüllt, wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, das Parallelogramm also ein Rechteck ist. b) Im Rechteck sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach SWS kongruent, also gilt \(AC = BD\). Umgekehrt sind bei \(AC = BD\) die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent. Die dadurch gleichen benachbarten Innenwinkel des Parallelogramms sind jeweils \(90^\circ\), sodass ein Rechteck vorliegt.

- Prüfe zuerst, ob die Vektoren parallel zueinander sind. - Welche geometrische Figur bilden alle Vektoren, die auf einem einzelnen Vektor senkrecht stehen? - Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn man es auf parallele Vektoren anwendet? - Wie viele Richtungen gibt es in einer Ebene?

1. Untersuchung der linearen Abhängigkeit: Es gilt \(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\). Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind somit kollinear (parallel). 2. Bedingung für Orthogonalität: Ein Vektor \(\vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}\) ist orthogonal zu \(\vec{u}\), wenn das Skalarprodukt null ist: \(2w_1 + 4w_2 - 6w_3 = 0\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) parallel sind, ist jeder zu \(\vec{u}\) orthogonale Vektor automatisch auch zu \(\vec{v}\) orthogonal. 3. Beispielhafte Lösung für Teil a): Wähle \(w_3 = 0\) und \(w_2 = 1\), dann folgt \(2w_1 + 4 = 0 \Rightarrow w_1 = -2\). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Begründung für Teil b): Da die beiden Vektoren kollinear sind, legen sie keine eindeutige Ebene im Raum fest, sondern liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung. Alle Vektoren, die in der zu dieser Geraden senkrechten Ebene liegen, sind orthogonal zu beiden Vektoren. Da eine Ebene unendlich viele Richtungen enthält, ist die Richtung von \(\vec{w}\) nicht eindeutig.

a) Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (andere Lösungen wie \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind ebenfalls möglich). b) Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet (\(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\)). Sie spannen daher keine eindeutige Ebene auf. Alle Vektoren in der Ebene durch den Ursprung, die orthogonal zu \(\vec{u}\) ist, sind zugleich zu beiden Vektoren orthogonal; deshalb gibt es unendlich viele mögliche Richtungen.

- Stelle die Raumdiagonalen als Vektoren mithilfe der Kantenlängen dar. - Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Betrachte die verschiedenen Vorzeichenkombinationen für die Komponenten der Diagonalvektoren. - Überlege, was passieren würde, wenn mehrere dieser Bedingungen gleichzeitig für dieselben Werte gelten müssten.

1. Die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) lassen sich als Vektoren darstellen, zum Beispiel \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) und \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist: \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -a^2 + b^2 + c^2 = 0\). Dies führt zur Bedingung \(a^2 = b^2 + c^2\). Analog ergeben sich für andere Paare von Raumdiagonalen die Bedingungen \(b^2 = a^2 + c^2\) oder \(c^2 = a^2 + b^2\). Somit müssen zwei Kantenlängen im Quadrat addiert das Quadrat der dritten Kantenlänge ergeben. 2. Damit alle vier Raumdiagonalen paarweise orthogonal sind, müssten alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: \(a^2 = b^2 + c^2\), \(b^2 = a^2 + c^2\) und \(c^2 = a^2 + b^2\). Addiert man beispielsweise die ersten beiden Gleichungen, erhält man \(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2\), woraus \(2c^2 = 0\) und somit \(c = 0\) folgt. Da ein Quader jedoch positive Kantenlängen besitzen muss, ist dies unmöglich. Es gibt also keinen solchen Quader.

1. Zwei Raumdiagonalen sind orthogonal, wenn das Quadrat einer Kantenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Kantenlängen ist (z. B. \(a^2 = b^2 + c^2\)). 2. Nein, ein solcher Quader existiert nicht, da dies auf Kantenlängen von \(0\) führen würde.

- Nutze das Skalarprodukt, um die Orthogonalität der Diagonalvektoren auszudrücken. - Erinnere dich an die binomischen Formeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. - Wie lässt sich der quadrierte Betrag eines Vektors als Skalarprodukt ausdrücken? - Berechne für den zweiten Teil zuerst den Summenvektor der beiden gegebenen Vektoren.

1. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt: \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = 0\). Unter Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich: \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). Daher folgt \(|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{w}|\). Dies bedeutet, dass die Länge von \(\vec{w}\) der Länge der Diagonale der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Seitenfläche entsprechen muss. 2. Zunächst wird die Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Der Betrag dieser Flächendiagonale ist \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Gemäß der hergeleiteten Bedingung muss also gelten: \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\).

1. Nachweis über \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{w}\) muss \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) betragen.

- Welche Vektoren müssen gleich sein, damit ein Viereck ein Parallelogramm ist? - Wie lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch überprüfen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen bei einer Raute. - Welche speziellen Eigenschaften müssen für ein Quadrat gleichzeitig erfüllt sein?

1. Nachweis des Parallelogramms: Die Verbindungsvektoren gegenüberliegender Seiten werden berechnet. Es gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 2-0 \\ k-(k-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) für alle \(k\) gilt, ist \(ABCD\) stets ein Parallelogramm. 2. Bedingung für ein Rechteck: Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt. Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ k-3 \end{pmatrix}\) muss gelten: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (k-3) = 4 + k - 3 = k + 1 = 0\), woraus \(k = -1\) folgt. 3. Bedingung für eine Raute: Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn benachbarte Seiten gleich lang sind. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\). Die Länge von \(BC\) ist \(|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (k-3)^2} = \sqrt{k^2 - 6k + 13}\). Gleichsetzen ergibt \(9 = k^2 - 6k + 13 \iff k^2 - 6k + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(k = 3 \pm \sqrt{5}\). 4. Quadrat-Eigenschaft: Ein Quadrat muss sowohl ein Rechteck (\(k = -1\)) als auch eine Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) sein. Da diese Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllt werden können, existiert kein solches \(k\).

a) Nachweis über \(\vec{AB} = \vec{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(k = -1\) c) \(k = 3 + \sqrt{5}\) oder \(k = 3 - \sqrt{5}\) d) Da die Bedingungen für Rechteck (\(k = -1\)) und Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) nicht gleichzeitig erfüllbar sind, kann kein Quadrat entstehen.

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) mit den gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie man die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt mit sich selbst ausdrückt. - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Strecke in Bezug auf die Eckpunkte? - Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{CA} = \vec{u} - \vec{v}\) und \(\vec{CB} = -\vec{u} - \vec{v}\). 2. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Die Quadrate der Seitenlängen sind \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{BC}|^2 = |-\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) folgt \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2\), also \(|\vec{AC}| = |\vec{BC}|\). 3. Bedingung für den rechten Winkel bei \(C\): Das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (-\vec{u} - \vec{v}) = -(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = -(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2) = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\) muss null sein. Dies ist für \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\) erfüllt. Geometrisch bedeutet dies, dass \(C\) auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\) liegt; die Strecke \(AB\) ist ein Durchmesser dieser Kugel. 4. Gleichseitigkeit: Es muss gelten \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (für \(|\vec{AC}|=|\vec{BC}|\)) und \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}|\). Mit \(|\vec{AB}| = 2|\vec{u}|\) folgt \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = (2|\vec{u}|)^2 = 4|\vec{u}|^2\). Umformen ergibt \(|\vec{v}|^2 = 3|\vec{u}|^2\), also \(|\vec{v}| = \sqrt{3}|\vec{u}|\). Das Verhältnis ist \(\sqrt{3}{:}1\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). b) Bedingung: \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\). Geometrische Deutung: \(C\) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\); \(AB\) ist ein Durchmesser. c) Verhältnis: \(|\vec{v}|{:}|\vec{u}| = \sqrt{3}{:}1\).