- Identifiziere in der Abbildung Anfangs- und Endpunkt des gestrichelten Vektors. - Zerlege diesen Weg in zwei aufeinanderfolgende Seitenwege des Parallelogramms. - Welche gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms repräsentieren denselben Verschiebungsvektor?

1. Aus der Abbildung erkennt man, dass der gestrichelte Vektor von \(A\) nach \(C\) führt. 2. Ein Weg von \(A\) nach \(C\) verläuft zunächst entlang \(\vec{AB}=\vec{a}\) und anschließend entlang \(\vec{BC}=\vec{b}\). 3. Daher gilt \(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

\(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\)

- Der Mittelpunkt liegt genau zur Hälfte zwischen den beiden Punkten. - Addiere zunächst die beiden Ortsvektoren komponentenweise. - Welche Skalierung bringt die Summe anschließend auf den Mittelpunkt?

1. Der Mittelpunkt entsteht durch den Mittelwert der beiden Ortsvektoren. 2. Daher ist \(\vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\\-2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\).

\(\vec{m}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du von einem Punkt zum anderen gelangst, indem du nur entlang der bekannten Kanten läufst. - Achte darauf, ob du eine Kante in ihrer vorgegebenen Richtung oder in der Gegenrichtung durchläufst. - In einem Spat sind gegenüberliegende Kanten parallel und gleich lang, sie entsprechen also demselben Vektor.

1. Zur Bestimmung von \(\vec{HB}\) wird ein Weg entlang der Kanten von \(H\) nach \(B\) gewählt: \(\vec{HB} = \vec{HD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). 2. Da \(\vec{HD} = -\vec{AE} = -\vec{c}\), \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}\) und \(\vec{AB} = \vec{a}\), ergibt sich \(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\). 3. Zur Bestimmung von \(\vec{EG}\) wird der Weg über die Fläche \(EFGH\) gewählt: \(\vec{EG} = \vec{EF} + \vec{FG}\). 4. Da \(\vec{EF} = \vec{AB} = \vec{a}\) und \(\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{b}\), folgt \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\).

\(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\)

- Berechne die drei Komponenten der Linearkombination getrennt. - Achte beim zweiten Vektor auf das Minuszeichen vor dem Faktor \(3\). - Kontrolliere am Ende, ob jede Ausgangskomponente berücksichtigt wurde.

1. Für die erste Komponente gilt \(v_1=2\cdot1-3\cdot1+3=2\). 2. Für die zweite Komponente gilt \(v_2=2\cdot0-3\cdot(-1)+0=3\). 3. Für die dritte Komponente gilt \(v_3=2\cdot4-3\cdot2+4=6\). 4. Damit ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\).

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\)

- Führe zuerst alle Skalarmultiplikationen aus. - Achte auf das Minuszeichen vor dem letzten Vektor. - Fasse anschließend die drei Komponenten jeweils getrennt zusammen.

1. Die drei skalierten Vektoren sind \(\begin{pmatrix}-3\\6\\3\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-3+6-2\\6+0-2\\3+8-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\8\end{pmatrix}\).

\(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\4\\8\end{pmatrix}\)

- Beachte die Klammer: Welche Operation muss zuerst ausgeführt werden? - Addiere die beiden Vektoren komponentenweise. - Multipliziere danach jede Komponente des Summenvektors mit \(0{,}5\).

1. Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(\begin{pmatrix}1\\-5\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\13\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\8\\24\end{pmatrix}\). 2. Anschließend wird mit \(0{,}5\) multipliziert: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\).

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\)

- Vergleiche die beiden Vektoren in den Summanden. - Kannst du bei einem gemeinsamen Vektorfaktor zunächst die beiden Skalare zusammenfassen? - Multipliziere den gemeinsamen Vektor erst nach diesem Zusammenfassen.

1. Beide Summanden sind Vielfache desselben Vektors. Daher kann man die Skalare zusammenfassen: \(\vec{b}=(1{,}4+0{,}6)\begin{pmatrix}2\\5\\-14\end{pmatrix}\). 2. Somit ist \(\vec{b}=2\begin{pmatrix}2\\5\\-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\10\\-28\end{pmatrix}\).

\(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\10\\-28\end{pmatrix}\)

- Stelle dir die Punkte als Orte auf einer Landkarte vor. Wie kommst du von einem Punkt zum anderen, wenn du nur die bekannten „Straßen“ (Vektoren) benutzen darfst? - Nutze die Dreiecksregel der Vektoraddition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). - Überlege dir für jeden gesuchten Vektor eine Kette von bekannten Vektoren, die am Startpunkt beginnt und am Zielpunkt endet. - Achte auf die Richtung der Pfeile. Wenn du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung durchläufst, musst du sein Vorzeichen ändern.

1. Für \(\vec{KM}\) nutzt man die Vektoraddition über den Punkt \(L\): \(\vec{KM} = \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{u} + \vec{v}\). 2. Für \(\vec{NM}\) wählt man den Weg über \(K\) und \(L\): \(\vec{NM} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\). 3. Den Vektor \(\vec{KO}\) erhält man durch Addition der Vektoren entlang der Kette \(K \to L \to M \to O\): \(\vec{KO} = \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\). 4. Für \(\vec{LO}\) nutzt man die Punkte \(L, M\) und \(O\): \(\vec{LO} = \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{v} + \vec{x}\). 5. Der Vektor \(\vec{NO}\) ergibt sich aus der Summe aller Teilvektoren von \(N\) über \(K, L, M\) nach \(O\): \(\vec{NO} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\).

a) \(\vec{KM} = \vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{NM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\) c) \(\vec{KO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\) d) \(\vec{LO} = \vec{v} + \vec{x}\) e) \(\vec{NO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\)

- Schreibe die Linearkombination zunächst komponentenweise aus. - Welche Komponenten liefern besonders direkt einen der beiden Koeffizienten? - Prüfe die gefundenen Koeffizienten anschließend auch in der noch nicht verwendeten Komponente.

1. Komponentenweise lautet die Gleichung \(\begin{pmatrix}s\\2t\\s-t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}\). 2. Aus der ersten Komponente folgt \(s=3\), aus der zweiten \(t=2\). 3. Die dritte Komponente liefert zur Kontrolle \(s-t=3-2=1\) und stimmt mit \(\vec{c}\) überein.

\(s=3\), \(t=2\)

- Schreibe eine allgemeine Linearkombination \(s\vec{a}+t\vec{b}\) als Spaltenvektor. - Die erste und dritte Komponente bestimmen hier die beiden Koeffizienten besonders schnell. - Eine Darstellung ist nur möglich, wenn dieselben Koeffizienten anschließend auch die zweite Komponente erfüllen.

1. Allgemein gilt \(s\vec{a}+t\vec{b}=\begin{pmatrix}s\\s+t\\t\end{pmatrix}\). 2. Für \(\vec{c}\) erzwingen die erste und dritte Komponente \(s=2\) und \(t=1\). Dann wäre die zweite Komponente jedoch \(s+t=3\) statt \(1\). Daher ist \(\vec{c}\) nicht darstellbar. 3. Für \(\vec{d}\) liefern die erste und dritte Komponente ebenfalls \(s=2\) und \(t=1\). Nun ist \(s+t=3\), also stimmt auch die zweite Komponente. 4. Somit gilt \(\vec{d}=2\vec{a}+\vec{b}\), während \(\vec{c}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist.

\(\vec{c}\): nicht darstellbar. Aus der ersten und dritten Komponente folgen \(s=2\) und \(t=1\); dann wäre die zweite Komponente \(s+t=3\) statt \(1\). \(\vec{d}\): darstellbar, denn für \(s=2\) und \(t=1\) stimmen alle drei Komponenten. Es gilt \(\vec{d}=2\vec{a}+\vec{b}\).

- Zerlege den Weg von \(O\) nach \(P\) zunächst über den Punkt \(C\). - Wie oft kommt die Richtung von \(\vec{a}\) auf dem Weg von \(O\) nach \(C\) vor? - Vergleiche Richtung und Länge von \(\vec{CP}\) mit \(\vec{b}\).

1. Die Strecke von \(O\) über \(A\) nach \(C\) besteht aus zwei gleich langen, gleichgerichteten Abschnitten in Richtung von \(\vec{a}\). Daher ist \(\vec{OC}=2\vec{a}\). 2. Die Strecke von \(C\) nach \(P\) ist gleich lang wie \(OB\), aber entgegengesetzt gerichtet. Somit ist \(\vec{CP}=-\vec{b}\). 3. Mit der Dreiecksregel folgt \(\vec{OP}=\vec{OC}+\vec{CP}=2\vec{a}-\vec{b}\).

\(\vec{OP}=2\vec{a}-\vec{b}\)

- Zerlege den gesuchten Vektor jeweils in einen Weg entlang bekannter Quaderkanten. - Welche Quaderkanten sind parallel und gleich orientiert? - Wie lässt sich der Vektor von \(F\) zum Mittelpunkt \(M\) der Kante \(FG\) ausdrücken?

1. Für \(\vec{DF}\) kann der Weg \(D\to A\to B\to F\) verwendet werden: \(\vec{DF}=\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BF}\). 2. Mit \(\vec{DA}=-\vec{v}\), \(\vec{AB}=\vec{u}\) und \(\vec{BF}=\vec{w}\) folgt \(\vec{DF}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\). 3. Für \(\vec{AM}\) kann der Weg \(A\to E\to F\to M\) verwendet werden. 4. Da \(M\) Mittelpunkt von \(FG\) ist, gilt \(\vec{FM}=\frac{1}{2}\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{v}\). Außerdem sind \(\vec{AE}=\vec{w}\) und \(\vec{EF}=\vec{u}\). 5. Daher ist \(\vec{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}\).

\(\vec{DF}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\) \(\vec{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}\)

- Wie kannst du den Weg zum Punkt \(T\) über den Punkt \(A\) beschreiben? - Erinnere dich daran, wie man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren ausdrückt. - Was bedeutet ein Teilverhältnis von \(1:3\) für die Länge der Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtstrecke? - Achte beim Zusammenfassen der Vektoren auf das Distributivgesetz.

1. Nach der Vektoraddition gilt \(\vec{OT} = \vec{OA} + \vec{AT}\). 2. Einsetzen der Bedingung \(\vec{AT} = k \cdot \vec{AB}\) ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}\). 3. Ersetzen von \(\vec{AB}\) durch \(\vec{OB} - \vec{OA}\) führt zu \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). 5. Für das Teilverhältnis \(1:3\) gilt \(k = \frac{1}{1+3} = 0{,}25\). 6. Berechnung des Ortsvektors: \(\vec{OT} = 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}75 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}75 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 7. Die Koordinaten des Punktes sind \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

a) Beweis durch \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). b) Mit \(k = \frac{1}{4}\) ergibt sich \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Wie lautet der Ortsvektor des Mittelpunkts einer Strecke in Abhängigkeit von den Ortsvektoren ihrer Endpunkte? - Welchen Anteil der Strecke \(AM_a\) macht \(AS\) beim Verhältnis \(2:1\) aus? - Suche für Teil b) einen Weg vom Ursprung zu \(S\), der über \(A\) und die Seitenhalbierende führt. Welche bereits bekannte Größe aus Teil a) kannst du dabei verwenden?

1. Für den Mittelpunkt gilt \(\vec{OM_a}=\frac{1}{2}(\vec{OB}+\vec{OC})\). 2. Aus dem Teilverhältnis \(2:1\) folgt \(\vec{AS}=\frac{2}{3}\vec{AM_a}\). 3. Damit ist \(\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{2}{3}(\vec{OM_a}-\vec{OA})=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OM_a}\). 4. Einsetzen von \(\vec{OM_a}\) ergibt \(\vec{OS}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{3}\vec{OC}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\).

a) \(\vec{OM_a}=\frac{1}{2}(\vec{OB}+\vec{OC})\) b) Aus \(\vec{AS}=\frac{2}{3}\vec{AM_a}\) folgt \(\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{2}{3}(\vec{OM_a}-\vec{OA})=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OM_a}\). Mit a) ergibt sich \(\vec{OS}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\).

- Versuche, den Vektor \(\vec{DE}\) mithilfe eines Umwegs über den Punkt \(C\) auszudrücken. - Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\), \(\vec{CB}\) und \(\vec{AB}\) in einem Dreieck zusammen? - Was bedeutet es für die Lage zweier Strecken, wenn ihre zugehörigen Vektoren Vielfache voneinander sind?

1. Aufstellen einer Vektorkette für den gesuchten Vektor \(\vec{DE}\) über den Punkt \(C\): \(\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}\). 2. Umkehrung des Vektors \(\vec{CD}\) zu \(\vec{DC}\): \(\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA}\). 3. Einsetzen in die Vektorkette: \(\vec{DE} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA} + \frac{1}{4} \cdot \vec{CB}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})\). 5. Anwendung der Differenzregel für Vektoren: Da \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\), folgt \(\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}\). 6. Finales Ergebnis: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). 7. Geometrische Interpretation: Die Strecke \(\overline{DE}\) ist parallel zur Seite \(\overline{AB}\) und ihre Länge entspricht genau einem Viertel der Länge von \(\overline{AB}\).

Es gilt \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Strecke \(\overline{DE}\) parallel zur Seite \(\overline{AB}\) verläuft und ein Viertel so lang ist wie diese.

- Wie lässt sich der Schwerpunkt eines Dreiecks durch die Ortsvektoren seiner Eckpunkte ausdrücken? - Überlege dir, wie man einen Punkt auf einer Strecke vektoriell darstellt, wenn das Teilungsverhältnis bekannt ist. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe von Vektoren? - Zeige die Übereinstimmung der Punkte, indem du beweist, dass ihre Ortsvektoren identisch sind.

1. Der Schwerpunkt \(G\) der Grundfläche hat den Ortsvektor \(\vec{OG} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\). Da \(S\) die Strecke \(\overline{DG}\) im Verhältnis \(3:1\) teilt, gilt \(\vec{OS} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot \vec{DG} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot (\vec{OG} - \vec{OD})\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). 2. Die Ortsvektoren der Kantenmittelpunkte sind \(\vec{OM_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB})\) und \(\vec{OM_{CD}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OC} + \vec{OD})\). Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\) hat den Ortsvektor \(\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OM_{AB}} + \vec{OM_{CD}}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OD}) = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). Da \(\vec{OM} = \vec{OS}\) gilt, ist \(S\) der Mittelpunkt dieser Strecke.

1. \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) 2. Der Nachweis erfolgt durch den Vergleich der berechneten Ortsvektoren von \(S\) und dem Mittelpunkt der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\), die beide \(\frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) ergeben.

- Stell dir vor, du möchtest von \(B\) nach \(C\) gelangen, darfst aber nur die Wege benutzen, die über den Punkt \(A\) führen. - Welchen Vektor musst du „rückwärts“ gehen, um vom Punkt \(B\) zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) zu kommen? - In welche Richtung zeigt ein Differenzvektor \(\vec{v} - \vec{u}\)? Schau dir die Reihenfolge der Buchstaben genau an.

1. Berechnung von \(\vec{BC}\): Der Weg von \(B\) nach \(C\) über den Punkt \(A\) entspricht \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Da \(\vec{BA} = -\vec{u}\), folgt \(\vec{BC} = -\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}\). 2. Berechnung von \(\vec{CD}\): Der Weg von \(C\) nach \(D\) über \(A\) ist \(\vec{CA} + \vec{AD}\). Mit \(\vec{CA} = -\vec{v}\) ergibt sich \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\). 3. Berechnung von \(\vec{DB}\): Der Weg von \(D\) nach \(B\) über \(A\) ist \(\vec{DA} + \vec{AB}\). Mit \(\vec{DA} = -\vec{w}\) ergibt sich \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\). 4. Geometrische Deutung: Die Differenz \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Vektor, der an der Spitze von \(\vec{a}\) (Subtrahend) beginnt und an der Spitze von \(\vec{b}\) (Minuend) endet, sofern beide Vektoren denselben Fußpunkt haben.

a) \(\vec{BC} = \vec{v} - \vec{u}\); \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\); \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\) b) Der Differenzvektor \(\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\) ist der Vektor, der die Spitze von \(\vec{a}\) mit der Spitze von \(\vec{b}\) verbindet. Er zeigt also immer zum Minuenden.

- Gibt es verschiedene Wege von \(M\) nach \(N\), die über die Eckpunkte des Vierecks führen? - Was passiert, wenn du zwei verschiedene Vektorketten für denselben Vektor addierst? - Wie kannst du die Tatsache nutzen, dass \(M\) und \(N\) genau in der Mitte der jeweiligen Seiten liegen?

1. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(A\) und \(D\): \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\). 2. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(B\) und \(C\): \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\). 3. Addition der beiden Gleichungen: \(2 \cdot \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{DN} + \vec{CN})\). 4. Verwendung der Mittelpunktseigenschaft: Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}\). Analog gilt für den Mittelpunkt \(N\) der Seite \(CD\), dass \(\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}\). 5. Es verbleibt \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}\), was durch Division mit 2 zur gesuchten Formel führt.

Durch Addition der beiden Wege \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\) und \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\) erhält man \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{DN} + \vec{CN})\). Da \(M\) und \(N\) Mittelpunkte sind, verschwinden die Terme in Klammern, sodass \(\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})\) folgt.

- Überlege dir für jede Diagonale einen Weg entlang der Kanten des Spats. - Beachte dabei die Orientierung der Vektoren: Wenn du gegen die Richtung eines Pfeils läufst, musst du ein Minuszeichen setzen. - Nutze aus, dass gegenüberliegende Kanten in einem Spat durch denselben Vektor dargestellt werden (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BC}\)). - Fasse beim Addieren der vier Ausdrücke die Koeffizienten der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) jeweils einzeln zusammen.

1. Bestimmung der Vektoren für die Raumdiagonalen durch Vektoraddition im Spat: \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}\) \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}\) 2. Berechnung der Summe \(\vec{s}\): \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})\) \(\vec{s} = (1 - 1 - 1 + 1) \cdot \vec{a} + (1 + 1 - 1 - 1) \cdot \vec{b} + (1 + 1 + 1 + 1) \cdot \vec{c} = 4 \cdot \vec{c}\) 3. Geometrische Interpretation: Die Summe entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

a) \(\vec{AG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) b) \(\vec{s} = 4 \cdot \vec{c}\). Die Summe der Raumdiagonalen entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder skizziere die Punkte: \(A, B, C\) unten und \(D, E, F\) oben. - Nutze aus, dass die Vektoren der parallelen Seitenkanten alle gleich \(\vec{w}\) sind (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF} = \vec{w}\)). - Denk daran, dass man einen Vektor zwischen zwei Punkten der Grundfläche wie \(\vec{BC}\) immer durch die aufspannenden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ausdrücken kann. - Achte beim Addieren der Vektoren genau auf die Vorzeichen, wenn du Vektoren umkehrst.

1. Bestimmung der Diagonalen in Teil a): \(\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF} = (\vec{AC} - \vec{AB}) + \vec{CF} = \vec{v} - \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{v} + \vec{w}\) 2. Summenbildung für Teil b): \(\vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CD} = (\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{v} - \vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} - \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{v}) + (1 + 1 + 1) \cdot \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\). 3. Bestimmung der restlichen Diagonalen für Teil c): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{BE} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF} = \vec{v} + \vec{w}\) 4. Summenbildung für Teil c): \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF} = (-\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}) + (\vec{v} + \vec{w}) = 3 \cdot \vec{w}\). Die Summen sind identisch.

a) \(\vec{AE} = \vec{u} + \vec{w}\); \(\vec{BF} = -\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\); \(\vec{CD} = -\vec{v} + \vec{w}\) b) Nachweis durch Addition: \(\vec{u} + \vec{w} - \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} - \vec{v} + \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\) c) Die Summe der anderen Diagonalen \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF}\) ergibt ebenfalls \(3 \cdot \vec{w}\).

- Nutze die Rechenregeln für Vektoren (Addition und Skalarmultiplikation) analog zu den Regeln der Algebra. - Fasse alle Terme mit \(\vec{a}\) und alle Terme mit \(\vec{b}\) jeweils getrennt zusammen. - Was musst du tun, um \(\vec{x}\) alleine auf einer Seite stehen zu haben? - Vergiss nicht, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Auflösen aller Klammern mittels Distributivgesetz: \(6 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot \vec{x} = 5 \cdot \vec{a} - 5 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{b}\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme auf der linken Seite: \(4 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} = -5 \cdot \vec{x} + 5 \cdot \vec{a} + 4 \cdot \vec{b}\) 3. Alle Terme mit \(\vec{x}\) auf die linke Seite und alle Terme mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auf die rechte Seite bringen: \(9 \cdot \vec{x} = 8 \cdot \vec{a} + 6 \cdot \vec{b}\) 4. Division durch den Skalar \(9\) und Kürzen der Brüche: \(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{6}{9} \cdot \vec{b} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

\(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

- Welche Beziehungen gelten zwischen gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms? - Zerlege jeden gesuchten Vektor in einen Weg aus den drei gegebenen Vektoren und ihren Gegenvektoren. - Wo liegt der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms? - Für \(\vec{MS}\) hilft es, zuerst \(\vec{AM}\) auszudrücken.

1. Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{a}+\vec{b}\). 2. Für die gegenüberliegenden Seiten gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{b}\). 3. Mit dem Weg \(B\to A\to S\) folgt \(\vec{BS}=-\vec{a}+\vec{s}\). 4. Mit dem Weg \(C\to B\to A\to S\) folgt \(\vec{CS}=-\vec{b}-\vec{a}+\vec{s}\). 5. Der Diagonalenschnittpunkt \(M\) halbiert \(AC\). Daher ist \(\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und somit \(\vec{MS}=\vec{s}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\).

a) \(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\) b) \(\vec{AD}=\vec{b}\) c) \(\vec{BS}=-\vec{a}+\vec{s}\) d) \(\vec{CS}=-\vec{a}-\vec{b}+\vec{s}\) e) \(\vec{MS}=\vec{s}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\)

- Welche Eigenschaft der Diagonalen kennzeichnet ein Parallelogramm? - Nutze eine passende Gleichheit gegenüberliegender Seitenvektoren, um \(S\) zu finden. - Welcher Anteil der Strecke \(PR\) entspricht beim Verhältnis \(2:1\) der Strecke \(PT\)?

1. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm. Daher gilt \(\vec{PQ}=\vec{SR}\). 2. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}\). Somit folgt \(S=R-\vec{PQ}=(1\mid8\mid2)\). 3. Das Teilverhältnis \(2:1\) bedeutet \(\vec{PT}=\frac{2}{3}\vec{PR}\). Mit \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}3\\9\\-3\end{pmatrix}\) ergibt sich \(T=P+\frac{2}{3}\vec{PR}=(4\mid7\mid1)\).

a) \(S(1\mid8\mid2)\) b) \(T(4\mid7\mid1)\)

- Drücke in a) Parallelität und halbe Seitenlänge durch eine Vektorbeziehung aus. - Bestimme für b) zuerst den Mittelpunkt \(M\). - Vergleiche den Weg von \(M\) nach \(Z\) mit dem Weg von \(M\) nach \(C\) und beachte zusätzlich, dass \(Z\) zwischen den beiden Endpunkten liegen muss.

1. Für die gleich orientierten Seiten gilt \(\vec{DC}=\frac{1}{2}\vec{AB}\). Mit \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}\) folgt \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(D=C-\vec{DC}=(1\mid8\mid3)\). 3. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M(3\mid3\mid2)\). 4. Es gilt \(\vec{MZ}=\begin{pmatrix}0\\3\\-0{,}5\end{pmatrix}\) und \(\vec{MC}=\begin{pmatrix}0\\6\\-1\end{pmatrix}\). Damit ist \(\vec{MZ}=0{,}5\vec{MC}\). Weil \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, befindet sich \(Z\) auf der Strecke \(MC\).

a) \(D(1\mid8\mid3)\) b) Ja. Es gilt \(\vec{MZ}=0{,}5\vec{MC}\).

- Welche Gleichung verbindet die Ortsvektoren der drei Eckpunkte mit dem Ortsvektor des Schwerpunkts? - Wie bestimmst du den Mittelpunkt einer Strecke aus den Ortsvektoren ihrer Endpunkte? - Welche Vektorgleichung zeigt, dass zwei Teilstrecken auf derselben Geraden im Verhältnis \(2:1\) stehen?

1. Aus \(\vec{OS}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\) folgt \(\vec{OC}=3\vec{OS}-\vec{OA}-\vec{OB}\). Damit ist \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}5\\0\\4\end{pmatrix}\), also \(C(5\mid0\mid4)\). 2. Für den Mittelpunkt gilt \(\vec{OM_c}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(M_c(-1\mid3\mid1)\). 3. Es ist \(\vec{CS}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Somit gilt \(\vec{CS}=2\vec{SM_c}\), also teilt \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\).

a) \(C(5\mid0\mid4)\) b) \(M_c(-1\mid3\mid1)\) c) \(\vec{CS}=2\vec{SM_c}\); daher ist das Teilungsverhältnis \(2:1\).

- Bestimme die beiden Seitenvektoren zunächst aus den gegebenen Punkten. - Wie erhältst du die Ortsvektoren der beiden Seitenmittelpunkte? - Für den allgemeinen Beweis: Welche Ortsvektorbeziehungen kennst du für \(M_c\) und \(M_b\), und wie kannst du daraus den gerichteten Weg von \(M_c\) nach \(M_b\) untersuchen?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\8\\2\end{pmatrix}\). 2. Die Mittelpunkte sind \(M_c(5\mid3\mid3)\) und \(M_b(2\mid5\mid5)\). 3. Damit ist \(\vec{M_cM_b}=\begin{pmatrix}-3\\2\\2\end{pmatrix}\). Außerdem gilt \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-6\\4\\4\end{pmatrix}\), also \(\vec{M_cM_b}=\frac{1}{2}\vec{BC}\). 4. Allgemein gilt \(\vec{OM_c}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})\) und \(\vec{OM_b}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OC})\). Daher folgt \(\vec{M_cM_b}=\vec{OM_b}-\vec{OM_c}=\frac{1}{2}(\vec{OC}-\vec{OB})=\frac{1}{2}\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\8\\2\end{pmatrix}\) b) \(M_c(5\mid3\mid3)\), \(M_b(2\mid5\mid5)\) c) \(\vec{M_cM_b}=\begin{pmatrix}-3\\2\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\vec{BC}\) d) \(\vec{M_cM_b}=\frac{1}{2}(\vec{OC}-\vec{OB})=\frac{1}{2}\vec{BC}\)

- Wie lässt sich der Mittelpunkt einer Strecke durch die Ortsvektoren ihrer Endpunkte beschreiben? - Was folgt für zwei Ortsvektoren, wenn sie denselben Punkt beschreiben? - Deute die Gleichung aus Teil 2 als geometrische Beziehung zwischen den beiden von \(O\) ausgehenden Seiten und dem Punkt \(B\).

1. Es gilt \(\vec{OM_1}=\frac{1}{2}\vec{b}\) und \(\vec{OM_2}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})\). 2. Bei gegenseitiger Halbierung ist \(M_1=M_2\). Daher gilt \(\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})\) und somit \(\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}\). 3. Der Ortsvektor von \(B\) ist die Summe der beiden von \(O\) ausgehenden Seitenvektoren. Das ist die Parallelogrammregel; \(OABC\) ist ein Parallelogramm.

1. \(\vec{OM_1}=\frac{1}{2}\vec{b}\), \(\vec{OM_2}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})\) 2. \(\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}\) 3. \(B\) ist der Endpunkt des Summenvektors; \(OABC\) ist ein Parallelogramm.

- Wie drückt man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren aus? - Versuche, die gegebene Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite nur Terme stehen, die einen Seitenvektor beschreiben. - Überlege, was die Gleichheit der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) für die Parallelität und die Länge der Seiten bedeutet. - Welche Eigenschaft der Diagonalen ist charakteristisch für ein Parallelogramm?

1. Der Vektor \(\vec{AB}\) ist gegeben durch \(\vec{b} - \vec{a}\), der Vektor \(\vec{DC}\) durch \(\vec{c} - \vec{d}\). Aus der Voraussetzung \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) folgt durch Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{d}\) auf beiden Seiten direkt \(\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\). Somit gilt \(\vec{DC} = \vec{AB}\). 2. Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{AC}\) ist \(\vec{m}_{AC} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{BD}\) ist \(\vec{m}_{BD} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\). Gilt \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\), so folgt nach Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) unmittelbar \(\vec{m}_{AC} = \vec{m}_{BD}\). Die Diagonalen haben also denselben Mittelpunkt und halbieren einander. 3. Ein möglicher Lehrsatz lautet: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren. Dies ist äquivalent dazu, dass gegenüberliegende Seitenvektoren (wie \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\)) identisch sind.

1. Durch Umformen von \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) zu \(\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}\) folgt \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 2. Da \(\frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\), sind die Mittelpunkte der Diagonalen identisch. 3. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren.

- Behandle die Gewichtungsformel zunächst als Gleichung zwischen vier Ortsvektoren. - Isoliere den unbekannten Beitrag von \(\vec{OC}\), bevor du komponentenweise rechnest. - Nutze für die Rückprobe exakt dieselben Gewichte wie in der gegebenen Animation.

1. Aus \(\vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{4}\vec{OB}+\frac{1}{4}\vec{OC}\) folgt nach Multiplikation mit \(4\): \(4\vec{OP}=2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\). 2. Daher ist \(\vec{OC}=4\vec{OP}-2\vec{OA}-\vec{OB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\-5\end{pmatrix}\). 4. Also ist \(C(6\mid3\mid-5)\). 5. Zur Kontrolle ergibt \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-4\\5\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix}6\\3\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}=\vec{OP}\).

a) \(C(6\mid3\mid-5)\) b) Die Rückprobe ergibt \(\vec{OP}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\).

- Übersetze jedes Teilungsverhältnis zuerst in einen Anteil der jeweiligen Kante. - Beschreibe \(\vec{CD}\) mithilfe der beiden von \(A\) ausgehenden Kantenvektoren zu \(C\) und \(D\). - Schreibe anschließend sowohl \(P\) als auch \(Q\) relativ zu \(A\) und bilde den Verbindungsvektor.

1. Wegen \(AP:PB=1:2\) liegt \(P\) nach einem Drittel der Kante von \(A\) nach \(B\). Mit \(A\) als Bezugspunkt gilt daher \(\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{a}\). 2. Aus \(CQ:QD=2:1\) folgt \(\vec{CQ}=\frac{2}{3}\vec{CD}\). 3. Mit \(\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{c}-\vec{b}\) erhält man \(\vec{AQ}=\vec{AC}+\vec{CQ}=\vec{b}+\frac{2}{3}(\vec{c}-\vec{b})=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\). 4. Somit ist \(\vec{PQ}=\vec{AQ}-\vec{AP}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\).

\(\vec{PQ}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\)

- Ersetze alle Verbindungsvektoren durch Differenzen von Ortsvektoren bezüglich eines Ursprungs \(O\). - Versuche, die resultierende Formel so umzustrukturieren, dass ein Teil der Summe einen Punkt auf einer Dreiecksseite darstellt. - Achte auf die Summe der Koeffizienten bei Linearkombinationen; wenn sie \(1\) ergibt, liegt der Punkt auf der Verbindungsgeraden. - Das Teilungsverhältnis lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Linearkombination ablesen.

1. Die Gleichung wird durch \(\vec{PX} = \vec{OX} - \vec{OP}\) ersetzt: \(3(\vec{OA} - \vec{OP}) + 2(\vec{OB} - \vec{OP}) + (\vec{OC} - \vec{OP}) = \vec{0}\). Zusammenfassen ergibt \(3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC} - 6 \cdot \vec{OP} = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\). 2. Um die Lage auf \(\overline{AM}\) zu zeigen, wird \(\vec{OP}\) umgeformt zu \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 3 \cdot (\frac{2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{3})}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC})\). Setze \(\vec{OM} = \frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC}\). Da die Summe der Koeffizienten \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) ist, liegt \(M\) auf \(\overline{BC}\). \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\) (Abstand zu \(B\) ist \(\frac{1}{3}\) der Gesamtlänge). Da \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OM}\), ist \(P\) der Mittelpunkt von \(\overline{AM}\) und teilt diese somit im Verhältnis \(1:1\).

1. \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\) 2. \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\); \(P\) teilt \(\overline{AM}\) im Verhältnis \(1:1\).

- Wie lautet der Ortsvektor eines Streckenmittelpunkts? - Welche Gleichheit zweier gegenüberliegender Seitenvektoren reicht für den Parallelogrammnachweis? - Wenn drei Punkte eine Ebene festlegen, was folgt aus \(\vec{SR}=\vec{PQ}\) für den vierten Punkt? - Was bedeutet \(\vec{PQ}=\vec{0}\) für die Punkte \(P\) und \(Q\)?

1. Es ist \(\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{q}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\). Daher folgt \(\vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\). 2. Ebenso gilt \(\vec{s}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{d})\) und \(\vec{r}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})\). Damit ist \(\vec{SR}=\vec{r}-\vec{s}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})=\vec{PQ}\). Also ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 3. Die Punkte \(P,Q,S\) liegen in einer gemeinsamen Ebene. Aus \(\vec{SR}=\vec{PQ}\) folgt, dass auch \(R\) in dieser Ebene liegt. Fallen dabei Punkte zusammen oder liegen alle vier Punkte auf einer Geraden, ist die Figur entartet, aber weiterhin eben. 4. Für \(A=C\) ist \(\vec{PQ}=\vec{0}\). Daher gilt \(P=Q\) und ebenso \(S=R\). Die Figur wird zu höchstens einer Strecke; fallen auch \(P\) und \(S\) zusammen, bleibt nur ein Punkt.

1. \(\vec{PQ}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\) 2. \(\vec{SR}=\vec{PQ}\); daher ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 3. \(P,Q,S\) liegen in einer gemeinsamen Ebene. Weil \(\vec{SR}=\vec{PQ}\) gilt, entsteht \(R\) von \(S\) aus durch eine Verschiebung parallel zu \(PQ\); daher liegt auch \(R\) in dieser Ebene. Auch entartete Fälle bleiben eben. 4. Für \(A=C\) gilt \(P=Q\) und \(S=R\); die Figur entartet zu einer Strecke oder zu einem Punkt.