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- Welche Bedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Prüfe jeden gegebenen Wert nur auf diese Bedingung.

1. Der natürliche Logarithmus \(\ln x\) ist für reelle Zahlen genau dann definiert, wenn \(x>0\) gilt. 2. Von den gegebenen Werten sind \(\frac{1}{2}\) und \(4\) positiv.

\(\frac{1}{2}\) und \(4\)

- Überlege, welche Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und dem natürlichen Logarithmus besteht. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man den Logarithmus einer Potenz vereinfacht? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

1. Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\) auf den Ausdruck \(y = k+3\). Ergebnis: \(k+3\). 2. Ausnutzung der Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(y)} = y\). Hier ist \(y = x^2+1\). Ergebnis: \(x^2+1\). 3. Umschreiben des Bruchs mithilfe der Potenzgesetze: \(\frac{1}{e^5} = e^{-5}\). Anwendung der Logarithmus-Identität: \(\ln(e^{-5}) = -5\). Ergebnis: \(-5\). 4. Darstellung der Wurzel als Potenz: \(\sqrt{e^6} = (e^6)^{1/2} = e^3\). Vereinfachung des Logarithmus: \(\ln(e^3) = 3\). Ergebnis: \(3\).

a) \(k+3\) b) \(x^2+1\) c) \(-5\) d) \(3\)

- Überlege, wie Logarithmus- und Exponentialfunktion zusammenhängen. - Kannst du Brüche oder Wurzeln als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für den Logarithmus von Produkten oder Potenzen?

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^y) = y\) unter Berücksichtigung von Potenzgesetzen: \(\ln(e^{-3}) = -3\). 2. Nutzung der Tatsache, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus Umkehrfunktionen sind: \(e^{\ln(0{,}5x)} = 0{,}5x\). 3. Umformung der Wurzel in eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) und Anwendung der Logarithmengesetze: \(4 \cdot \ln(e^{\frac{x}{2}}) = 4 \cdot \frac{x}{2} = 2x\). 4. Zusammenfassen der Faktoren im Argument der Logarithmusfunktion mittels Potenzgesetzen zu \(e^{4{,}5}\) und anschließende Vereinfachung: \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\).

a) \(-3\) b) \(0{,}5x\) c) \(2x\) d) \(4{,}5\)

- Was weißt du über die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmus? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Gibt es Logarithmus- oder Potenzgesetze, mit denen du die Terme in der Klammer oder im Exponenten vereinfachen kannst? - Überlege, wie man Brüche mit gleicher Basis verrechnet.

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(5 - 2 = 3\). 2. Anwendung der Eigenschaft \(e^{\ln(x)} = x\): \(4x \cdot \frac{1}{2} = 2x\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz \(e^{1/3}\) und Anwendung der Logarithmusgesetze: \(3 \cdot \frac{1}{3} = 1\). 4. Zusammenfassen des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{3-1}) = \ln(e^2) = 2\). 5. Anwendung der Regel \(n \cdot \ln(a) = \ln(a^n)\) im Exponenten: \(e^{\ln(3^2)} + 1 = 9 + 1 = 10\).

a) \(3\) b) \(2x\) c) \(1\) d) \(2\) e) \(10\)

- Bestimme getrennt, für welche reellen \(x\) beide Logarithmusausdrücke definiert sind. - Prüfe insbesondere, was bei einem negativen Wert von \(x\) auf beiden Seiten geschieht. - Vergleiche erst danach die beiden Definitionsbereiche und beurteile die behauptete Allgemeingültigkeit.

1. Der Ausdruck \(\ln(x^2)\) ist definiert, wenn \(x^2>0\), also für alle \(x\neq0\). 2. Der Ausdruck \(2\cdot\ln(x)\) ist im Reellen nur für \(x>0\) definiert. 3. Damit haben die beiden Seiten nicht denselben Definitionsbereich. Für ein negatives Beispiel wie \(x=-2\) ist \(\ln(x^2)=\ln(4)\) definiert, \(2\ln(x)\) dagegen nicht. 4. Leons Behauptung ist daher falsch. Für \(x>0\) gilt die angegebene Umformung; für alle \(x\neq0\) lautet eine passende Identität \(\ln(x^2)=2\ln|x|\).

Die Aussage ist falsch. Die Umformung \(\ln(x^2)=2\ln(x)\) ist im Reellen nur für \(x>0\) gültig. Für \(x<0\) ist \(\ln(x^2)\) definiert, \(\ln(x)\) jedoch nicht.

- Wann ist der natürliche Logarithmus mathematisch definiert? - Wie gehst du mit einer quadratischen Ungleichung bei der Definitionsmenge um? - Welchen Wert muss das Argument des Logarithmus haben, damit der Logarithmus den Wert \(0\) annimmt? - Überprüfe am Ende immer, ob deine berechneten Nullstellen auch tatsächlich im Definitionsbereich liegen.

1. Für \(f\) muss das Argument des Logarithmus positiv sein: \(x^2 - 15 > 0\). Dies ist erfüllt für \(x^2 > 15\), also \(|x| > \sqrt{15}\). Somit gilt \(D_f = ]-\infty; -\sqrt{15}[ \cup ]\sqrt{15}; \infty[\). 2. Die Nullstellen von \(f\) ergeben sich aus \(\ln(x^2 - 15) = 0\), also \(x^2 - 15 = 1\). Daraus folgt \(x^2 = 16\) und damit \(x_1 = -4\) sowie \(x_2 = 4\). Beide Werte liegen in \(D_f\).

\(D_f = ]-\infty; -\sqrt{15}[ \cup ]\sqrt{15}; \infty[\); Nullstellen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 4\)

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche der beiden Funktionen im Zähler oder Nenner wächst für sehr große Werte schneller? - Erinnere dich an die Regel für das Verhalten von \(\frac{\ln(x)}{x}\) im Unendlichen.

1. Den Funktionsterm durch Aufteilen des Bruchs vereinfachen: \(f(x) = \frac{x}{x} + \frac{\ln(x)}{x} = 1 + \frac{\ln(x)}{x}\). 2. Das Grenzverhalten der einzelnen Summanden für \(x \to \infty\) betrachten: Der erste Summand ist konstant \(1\). 3. Die Wachstumsregel für Logarithmus- und Potenzfunktionen anwenden: Da Potenzfunktionen (hier \(x^1\)) für \(x \to \infty\) stärker wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0\). 4. Die Grenzwerte addieren: \(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\ln(x)}{x}) = 1 + 0 = 1\).

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)

- Überlege dir, wie man Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben kann. - Was ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\)? - Welche Zahl muss man als Exponent wählen, damit \(e^x = 1\) gilt? - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zusammenzufassen.

1. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(e^x) = x\): \(\ln(e^{10}) = 10\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{e^4} = e^{-4}\). Daraus folgt \(\ln(e^{-4}) = -4\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz: \(\sqrt[4]{e} = e^{\frac{1}{4}} = e^{0{,}25}\). Daraus folgt \(\ln(e^{0{,}25}) = 0{,}25\). 4. Da \(e^0 = 1\) gilt, ist \(\ln(1) = 0\). 5. Anwendung der Potenzgesetze im Argument: \(\frac{e^2}{e^{0{,}5}} = e^{2 - 0{,}5} = e^{1{,}5}\). Daraus folgt \(\ln(e^{1{,}5}) = 1{,}5\).

(1) \(10\) (2) \(-4\) (3) \(0{,}25\) (4) \(0\) (5) \(1{,}5\)

- Welche Regel erlaubt es dir, einen Vorfaktor in den Logarithmus zu ziehen? - Wie kannst du eine Summe von zwei Logarithmen mit derselben Basis zusammenfassen? - Was passiert mit dem Argument, wenn du einen Logarithmus von einem anderen subtrahierst? - Erinnerst du dich, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben kann?

1. Anwendung der Potenzregel für Logarithmen: \(3 \cdot \ln(x) = \ln(x^3)\) und \(\frac{1}{2} \cdot \ln(y) = \ln(y^{1/2}) = \ln(\sqrt{y})\). 2. Anwendung der Summenregel: \(\ln(x^3) + \ln(\sqrt{y}) = \ln(x^3 \cdot \sqrt{y})\). 3. Anwendung der Differenzregel: \(\ln(x^3 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z^2) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2}\right)\).

\(\ln\left(\frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right)\)

- Überlege zuerst, wie du Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in den Logarithmus ziehen kannst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen rationalen Exponenten und Wurzeln. - Nutze die Rechenregeln für Summen und Differenzen von Logarithmen, um alles in ein Argument zu schreiben. - Prüfe bei Brüchen im Argument, ob du den Zähler faktorisieren und den Bruch kürzen kannst.

1. Anwendung der Potenzregel \(n \cdot \ln(u) = \ln(u^n)\) und der Produkt- sowie Quotientengesetze \(\ln(u) + \ln(v) = \ln(u \cdot v)\) bzw. \(\ln(u) - \ln(v) = \ln\left(\frac{u}{v}\right)\) auf Teilaufgabe a): \(3 \cdot \ln(x) + 2 \cdot \ln(y) - \ln(z) = \ln(x^3) + \ln(y^2) - \ln(z) = \ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\). 2. Anwendung der Potenzregel auf Teilaufgabe b) unter Berücksichtigung von Wurzeln: \(\frac{1}{2} \ln(a) - \frac{1}{4} \ln(b) = \ln(a^{\frac{1}{2}}) - \ln(b^{\frac{1}{4}}) = \ln(\sqrt{a}) - \ln(\sqrt[4]{b}) = \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\). 3. Anwendung des Quotientengesetzes auf Teilaufgabe c) und anschließende Vereinfachung durch Faktorisierung mit der dritten binomischen Formel: \(\ln(x^2 - 1) - \ln(x + 1) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\right) = \ln\left(\frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}\right) = \ln(x - 1)\).

a) \(\ln\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z}\right)\) b) \(\ln\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}\right)\) c) \(\ln(x - 1)\)

- Wie kannst du die Zahl \(x\) mithilfe einer Wurzel als Produkt von zwei gleichen Faktoren schreiben? - Kannst du den Term innerhalb des Logarithmus als Produkt ausdrücken? - Was passiert mit einem Logarithmus, wenn sein Argument ein Produkt ist? - Wie oft kommt der Term \(\ln(\sqrt{x})\) vor, wenn du die Bestandteile des Produkts einzeln betrachtest?

1. Darstellung von \(x\) als Produkt zweier identischer Wurzelterme: \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) 2. Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x})\) 3. Anwendung der Eigenschaft \(\ln(u \cdot v) = \ln(u) + \ln(v)\) auf die rechte Seite: \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x})\) 4. Zusammenfassen der identischen Summanden auf der rechten Seite: \(\ln(x) = 2 \cdot \ln(\sqrt{x})\) 5. Division der gesamten Gleichung durch 2 liefert die gesuchte Identität: \(\frac{1}{2} \ln(x) = \ln(\sqrt{x})\)

Durch die Darstellung \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) und Anwendung der Regel für Logarithmen von Produkten folgt \(\ln(x) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(\sqrt{x}) = 2 \cdot \ln(\sqrt{x})\). Durch Division beider Seiten durch 2 ergibt sich die Behauptung \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln(x)\).

- Wie hängen die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus zusammen? - Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Differenzen oder Produkte? - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen zur Basis \(e\) schreiben? - Was passiert, wenn ein Faktor vor dem Logarithmus steht?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(e^4 \cdot e^{0{,}5} = e^{4{,}5}\). Da \(\ln(e^x) = x\) gilt, folgt \(\ln(e^{4{,}5}) = 4{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Der Nenner wird zu \(e^3\) zusammengefasst, woraus \(\ln(e^{-3})\) folgt. Das Ergebnis ist \(-3\). 3. Teilaufgabe c): Mithilfe der Logarithmengesetze gilt \(\ln(5) - \ln(2) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(2{,}5)\). Da \(e^{\ln(x)} = x\) gilt, folgt \(e^{\ln(2{,}5)} = 2{,}5\). 4. Teilaufgabe d): Der Koeffizient wird in den Logarithmus gezogen: \(-2 \ln(3) = \ln(3^{-2}) = \ln\left(\frac{1}{9}\right)\). Damit ergibt sich \(e^{\ln(1/9)} = \frac{1}{9}\).

a) \(4{,}5\) b) \(-3\) c) \(2{,}5\) d) \(\frac{1}{9}\)

- Überlege, in welcher Beziehung die Funktion \(f(x) = \ln(x)\) zur Funktion \(g(x) = e^x\) steht. - Was passiert, wenn man den natürlichen Logarithmus direkt auf eine Potenz zur Basis \(e\) anwendet? - Vereinfache zuerst die einzelnen Logarithmus-Ausdrücke, bevor du die Punkt- vor Strichrechnung ausführst.

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, gilt \(\ln(e^k) = k\). Für den ersten Teil ergibt sich somit \((3x + 4) - 4\), was zu \(3x\) vereinfacht wird. 2. Die Anwendung der Identität auf beide Faktoren liefert \(x \cdot 5 - 4x\). Die Subtraktion ergibt \(x\). 3. Die Vereinfachung der einzelnen Bestandteile führt auf \(x^2 - x \cdot x\). Die Differenz ergibt \(0\).

a) \(3x\) b) \(x\) c) \(0\)

- Vergleiche die Lage der senkrechten Asymptoten der Graphen von \(g\) und \(h\) mit der Asymptote von \(f\). - Untersuche markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse des Referenzgraphen \(f\) und schaue, wohin diese Punkte verschoben wurden. - Überlege, welche mathematische Veränderung im Funktionsterm einer Verschiebung nach rechts bzw. einer Verschiebung nach oben entspricht.

1. Analyse des Graphen von \(f(x) = \ln(x)\): Der Graph hat die senkrechte Asymptote bei \(x = 0\) (die \(y\)-Achse) und schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \((1 \mid 0)\). 2. Bestimmung von \(g(x)\): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\) und die Nullstelle bei \((3 \mid 0)\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = \ln(x - 2)\). 3. Bestimmung von \(h(x)\): Die senkrechte Asymptote liegt wie bei \(f\) bei \(x = 0\), aber der Punkt \((1 \mid 0)\) ist nach \((1 \mid 2)\) verschoben. Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung). Der Funktionsterm lautet somit \(h(x) = \ln(x) + 2\).

\(g(x) = \ln(x - 2)\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, und \(h(x) = \ln(x) + 2\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben.

- Wann ist der natürliche Logarithmus eines Ausdrucks gleich null? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten von verketteten Funktionen. - Wie lautet die Ableitung von \(\ln(u(x))\)?

1. Bestimmung der Nullstelle: Setze den Funktionsterm gleich null: \(\ln(6 - 2x) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn das Argument des Logarithmus \(1\) ist: \(6 - 2x = 1\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(2x = 5\), also \(x = 2{,}5\). 2. Ableitung bilden: Verwende die Kettenregel für den natürlichen Logarithmus \(\ln(u(x))\), deren Ableitung \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) lautet. Mit \(u(x) = 6 - 2x\) und \(u'(x) = -2\) ergibt sich \(f'(x) = \frac{-2}{6 - 2x}\). Durch Kürzen mit \(-2\) erhält man \(f'(x) = \frac{1}{x - 3}\).

Die Nullstelle liegt bei \(x = 2{,}5\). Ein Term der Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \frac{1}{x - 3}\).

- Welche Bedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Welcher \(x\)-Wert macht das Logarithmusargument gleich \(1\)? - Überlege, welche Eigenschaften von \(\ln x\) durch Verschiebungen erhalten bleiben.

1. Für den Logarithmus muss \(x-2>0\) gelten. Daher ist der Definitionsbereich \(]2;\infty[\). 2. Wenn \(x\to2^+\), dann gilt \(\ln(x-2)\to-\infty\). Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 3. Für \(x=3\) ist \(g(3)=\ln1+1=1\). Damit liegt \(P(3\mid1)\) auf dem Graphen. 4. Die Funktion \(\ln x\) ist streng monoton steigend; die Verschiebungen ändern diese Eigenschaft nicht. Daher ist auch \(g\) streng monoton steigend. 5. Da der natürliche Logarithmus alle reellen Werte annimmt, ist die Wertemenge \(\mathbb{R}\).

Definitionsbereich: \(]2;\infty[\); Asymptote: \(x=2\); z. B. \(P(3\mid1)\); streng monoton steigend; Wertemenge: \(\mathbb{R}\).

- Für ein Gegenbeispiel genügt ein einziger zulässiger Wert. - Überlege, ob die bekannte Logarithmusregel eine Summe oder ein Produkt im Argument betrifft. - Der Definitionsbereich folgt aus dem Vorzeichen des Logarithmusarguments.

1. Für \(x=1\) ist die linke Seite \(\ln4\), die rechte Seite aber \(\ln1+\ln3=\ln3\). Da \(\ln4\neq\ln3\), ist die behauptete Gleichung falsch. 2. Die korrekte Produktregel lautet \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) für \(u>0\) und \(v>0\). Sie gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe. 3. Für \(h(x)=\ln(x+3)\) muss \(x+3>0\) gelten. Daher ist der Definitionsbereich \(]-3;\infty[\).

a) Zum Beispiel \(x=1\): \(\ln4\neq\ln3\). b) \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) für \(u,v>0\). c) \(]-3;\infty[\).

- Überlege dir, wie weit ein Punkt \(x\) von der Spiegelachse entfernt ist und wo der gespiegelte Punkt liegen muss. - Wie verändert sich der \(x\)-Wert eines Punktes, wenn er an einer vertikalen Geraden gespiegelt wird? - Bleibt die Höhe (der \(y\)-Wert) eines Punktes bei einer solchen Spiegelung gleich oder ändert sie sich? - Setze den gefundenen Bildpunkt in deine neue Funktionsgleichung ein, um die Zugehörigkeit zu prüfen.

1. Eine Spiegelung an einer vertikalen Geraden \(x = a\) wird durch die Transformation \(x \mapsto 2a - x\) beschrieben. Mit \(a = 5\) ergibt sich die Transformation \(x \mapsto 10 - x\). 2. Der Funktionsterm von \(g\) lautet somit \(g(x) = f(10 - x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). 3. Für den Punkt \(P(1|0)\) ergibt sich die \(x\)-Koordinate des Bildpunktes \(P'\) durch \(x' = 2 \cdot 5 - 1 = 9\). Da die \(y\)-Koordinate bei einer Spiegelung an einer Parallelen zur \(y\)-Achse unverändert bleibt, ist \(P'(9|0)\). 4. Einsetzen von \(x = 9\) in \(g(x)\) liefert \(g(9) = \ln(10 - 9) = \ln(1) = 0\). Da dies der \(y\)-Koordinate von \(P'\) entspricht, liegt der Punkt auf dem Graphen.

Der Funktionsterm ist \(g(x) = \ln(10 - x)\) mit \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 10\}\). Der Bildpunkt ist \(P'(9|0)\). Die Überprüfung ergibt \(g(9) = \ln(1) = 0\), somit liegt \(P'\) auf dem Graphen von \(g\).

- Erinnere dich daran, dass die natürliche Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist. - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Logarithmen bei Produkten oder Quotienten? - Überlege, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividierst.

1. Teilaufgabe a): Den Wurzelausdruck als Potenz schreiben: \(\sqrt[3]{e} = e^{\frac{1}{3}}\). Da \(\ln(e^y) = y\) gilt, folgt \(\ln(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Die Logarithmusgesetze im Exponenten anwenden: \(3 \cdot \ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8)\). Der Exponent wird zu \(\ln(8) - \ln(4) = \ln(\frac{8}{4}) = \ln(2)\). Es folgt \(e^{\ln(2)} = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Potenzgesetze innerhalb des Logarithmus anwenden: \(\frac{e^x}{e^{x-2}} = e^{x - (x-2)} = e^2\). Es folgt \(\ln(e^2) = 2\). 4. Teilaufgabe d): Die Identität \(e^{\ln(y)} = y\) nutzen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\) und \(e^{-\ln(x)} = e^{\ln(x^{-1})} = \frac{1}{x}\). Das Produkt ergibt \(x^2 \cdot \frac{1}{x} = x\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(2\) c) \(2\) d) \(x\)

- Kannst du den Logarithmus eines Produkts in eine Summe von Logarithmen zerlegen? - Wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis \(e\) gleich sind, was muss dann für ihre Exponenten gelten? - Wie isoliert man die Variable, wenn sie innerhalb eines Logarithmus steht?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Logarithmusgesetzes für Produkte \(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\) auf den ersten Term: \(\ln(e^3 \cdot x) = \ln(e^3) + \ln(x)\). Da \(\ln(e^3) = 3\) gilt, ergibt sich \(f(x) = 3 + \ln(x) - \ln(x) = 3\). Der Wert ist für alle \(x > 0\) konstant \(3\). 2. Teilaufgabe b): Da die Basen beider Seiten der Gleichung gleich sind (\(e\)), können die Exponenten gleichgesetzt werden: \(2 \cdot \ln(x) + 1 = 3\). Subtraktion von \(1\) ergibt \(2 \cdot \ln(x) = 2\). Division durch \(2\) ergibt \(\ln(x) = 1\). Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert \(x = e^1 = e\).

a) \(f(x) = 3\) b) \(x = e\)

- Kannst du das Argument im Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Gesetze, mit denen man die Summe zweier Logarithmen zusammenfassen kann? - Wie lassen sich Wurzeln allgemein als Potenzen ausdrücken? - Prüfe, ob du die Reihenfolge der Rechenschritte ändern kannst, um die Identität von \(e\) und \(\ln\) schneller zu nutzen.

1. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^x \cdot e^2 = e^{x+2}\). Anwendung der Identität \(\ln(e^y) = y\). Ergebnis: \(x+2\). 2. Anwendung des Produktgesetzes für Logarithmen: \(\ln(5) + \ln(x) = \ln(5x)\). Es folgt \(e^{\ln(5x)} = 5x\). Ergebnis: \(5x\). 3. Umschreiben der Wurzel als \(e^{0{,}5}\) und Anwendung der Divisionsregel für Potenzen: \(\frac{e^1}{e^{0{,}5}} = e^{1-0{,}5} = e^{0{,}5}\). Logarithmieren ergibt \(\ln(e^{0{,}5}) = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5\). 4. Umwandlung der dritten Wurzel in einen Exponenten: \(\sqrt[3]{e^{2x}} = (e^{2x})^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3} \cdot x}\). Einsetzen in den Term: \(3 \cdot \ln(e^{\frac{2}{3} \cdot x}) = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x = 2x\). Ergebnis: \(2x\).

a) \(x+2\) b) \(5x\) c) \(0{,}5\) d) \(2x\)

- Denke an die Regel für den Logarithmus einer Potenz. - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor dem Logarithmus in den Logarithmus „hineinziehen“? - Erinnere dich an die Definition des natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion der \(e\)-Funktion.

1. Darstellung der dritten Wurzel als rationaler Exponent: \(\ln(e^{\frac{6}{3}}) = \ln(e^2) = 2\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Faktoren vor dem Logarithmus, um den Ausdruck in die Form \(e^{\ln(y)}\) zu bringen: \(e^{\ln(x^2)} = x^2\). 3. Verrechnung der Potenzen innerhalb des Logarithmus durch Subtraktion der Exponenten: \(\ln(e^{x-2}) = x - 2\). 4. Direkte Nutzung der Identität \(\ln(e^y) = y\) und anschließendes Ausmultiplizieren: \(5 \cdot (x + 1) = 5x + 5\).

a) \(2\) b) \(x^2\) c) \(x - 2\) d) \(5x + 5\)

- Kannst du die Terme innerhalb des Logarithmus zuerst mit Potenzgesetzen vereinfachen? - Welche Regel erlaubt es, zwei Logarithmen zu subtrahieren? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Was passiert, wenn eine Funktion und ihre Umkehrfunktion direkt nacheinander auf einen Wert wirken?

1. Addition der Exponenten im Logarithmus und Anwendung der Umkehrfunktion: \(\ln(e^{x+3}) - x = x + 3 - x = 3\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Differenzen \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\): \(e^{\ln(10/2)} = e^{\ln(5)} = 5\). 3. Darstellung der Wurzel als Potenz \(e^{0{,}5}\): \(8 \cdot 0{,}5 = 4\). 4. Umschreiben des Bruchs als negative Potenz \(e^{-n}\): \(\ln(e^{-n}) + n = -n + n = 0\). 5. Vereinfachung des Exponentialausdrucks und anschließende Kürzung: \(\frac{1}{t} \cdot t^2 = t\).

a) \(3\) b) \(5\) c) \(4\) d) \(0\) e) \(t\)

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Produkt oder Quotient aus den Zahlen 2 und 5 schreiben? - Überlege, wie man Dezimalzahlen wie \(2{,}5\) oder \(0{,}4\) als Brüche darstellen kann. - Wie lässt sich eine Wurzel mithilfe eines Exponenten ausdrücken? - Welche Rechenregel erlaubt es, einen Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen?

1. Anwendung der Produktregel: \(\ln(10) = \ln(2 \cdot 5) = \ln(2) + \ln(5) = 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}30\) 2. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(2{,}5) = \ln\left(\frac{5}{2}\right) = \ln(5) - \ln(2) = 1{,}61 - 0{,}69 = 0{,}92\) 3. Zerlegung in Faktoren und Anwendung der Potenz- und Produktregel: \(\ln(80) = \ln(2^4 \cdot 5) = 4 \cdot \ln(2) + \ln(5) = 4 \cdot 0{,}69 + 1{,}61 = 2{,}76 + 1{,}61 = 4{,}37\) 4. Anwendung der Quotientenregel: \(\ln(0{,}4) = \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln(2) - \ln(5) = 0{,}69 - 1{,}61 = -0{,}92\) 5. Umschreiben der Wurzel als Potenz und Anwendung der Potenzregel: \(\ln(\sqrt{5}) = \ln(5^{0{,}5}) = 0{,}5 \cdot \ln(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}61 = 0{,}805\)

a) \(2{,}30\) b) \(0{,}92\) c) \(4{,}37\) d) \(-0{,}92\) e) \(0{,}805\)

- Versuche, jede Zahl im Logarithmus durch 3 und 10 auszudrücken. - Denke daran, dass \(100 = 10^2\) und \(27 = 3^3\) ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine Zahl im Nenner eines Bruchs steht? - Wie hängen \(\ln(30)\) und \(\ln(\sqrt{30})\) mathematisch zusammen?

1. Produktregel nutzen: \(\ln(30) = \ln(3 \cdot 10) = \ln(3) + \ln(10) = 1{,}10 + 2{,}30 = 3{,}40\) 2. Darstellung als Bruch und Anwendung der Regeln: \(\ln(0{,}03) = \ln\left(\frac{3}{100}\right) = \ln(3) - \ln(10^2) = \ln(3) - 2 \cdot \ln(10) = 1{,}10 - 2 \cdot 2{,}30 = -3{,}50\) 3. Potenzregel nutzen: \(\ln(27) = \ln(3^3) = 3 \cdot \ln(3) = 3 \cdot 1{,}10 = 3{,}30\) 4. Kombination aus Wurzel- und Produktregel: \(\ln(\sqrt{30}) = \frac{1}{2} \ln(30) = 0{,}5 \cdot 3{,}40 = 1{,}70\) 5. Darstellung als Bruch: \(\ln(0{,}9) = \ln\left(\frac{9}{10}\right) = \ln(3^2) - \ln(10) = 2 \cdot \ln(3) - \ln(10) = 2{,}20 - 2{,}30 = -0{,}10\)

a) \(3{,}40\) b) \(-3{,}50\) c) \(3{,}30\) d) \(1{,}70\) e) \(-0{,}10\)

- Wann ist ein Quotient zweier Terme positiv? Betrachte die Vorzeichenkombinationen. - Welche Bedingung muss für die Argumente von Logarithmen auf der rechten Seite einzeln erfüllt sein? - Vergleiche die Bedingungen für die linke und die rechte Seite der Gleichung. - Gibt es Werte für \(x\), bei denen die linke Seite berechenbar ist, die rechte aber nicht?

1. Definitionsbereich der linken Seite (\(D_{L}\)): Der Bruch \(\frac{x-2}{x-5}\) muss positiv sein. Dies ist der Fall, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Fall 1: \(x-2 > 0\) und \(x-5 > 0 \implies x > 5\). Fall 2: \(x-2 < 0\) und \(x-5 < 0 \implies x < 2\). Somit gilt \(D_{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \text{ oder } x > 5\}\). 2. Definitionsbereich der rechten Seite (\(D_{R}\)): Hier müssen beide Logarithmen einzeln definiert sein, also \(x-2 > 0\) (d. h. \(x > 2\)) und \(x-5 > 0\) (d. h. \(x > 5\)). Die Schnittmenge ergibt \(D_{R} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}\). 3. Vergleich: Die Gleichung ist nur für \(x > 5\) gültig. Für den Teilbereich \(x < 2\) ist zwar der Quotient positiv (und damit die linke Seite definiert), aber die einzelnen Logarithmen auf der rechten Seite sind nicht definiert, da ihre Argumente negativ wären.

Nein, die Gleichung ist nicht für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich der linken Seite gültig. Während die linke Seite für \(x < 2\) und \(x > 5\) definiert ist, ist die rechte Seite nur für \(x > 5\) definiert. Für \(x < 2\) sind die Terme \(\ln(x-2)\) und \(\ln(x-5)\) im Reellen nicht definiert.

- Überlege dir zuerst, welche Einschränkungen das Argument des Logarithmus mit sich bringt. - Welche zusätzliche Bedingung ergibt sich daraus, dass der Logarithmus hier im Nenner steht? - Ein Bruch wird nur dann null, wenn ein bestimmter Teil des Bruches null wird – welcher ist das? - Achte darauf, alle Ausschlusskriterien für \(x\) zu sammeln, bevor du den Definitionsbereich endgültig angibst.

1. Bedingung für den Logarithmus im Nenner: Das Argument muss positiv sein, also \(x - 3 > 0 \implies x > 3\). 2. Bedingung für den Nenner des Bruchs: Er darf nicht null sein, also \(\ln(x - 3) \neq 0\). Dies ist der Fall für \(x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4\). 3. Kombination der Bedingungen ergibt die maximale Definitionsmenge \(D_h = ]3; 4[ \cup ]4; \infty[\) (oder \(D_h = ]3; \infty[ \setminus \{4\}\)). 4. Eine Nullstelle existiert dort, wo der Zähler null wird: \(x - 5 = 0 \implies x = 5\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Da \(5 > 3\) und \(5 \neq 4\), ist \(x = 5\) die einzige Nullstelle.

\(D_h = ]3; 4[ \cup ]4; \infty[\); Nullstelle bei \(x = 5\)

- Wie hängen die Magnituden mathematisch zusammen, wenn man ihre Differenz betrachtet? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, wenn du zwei Logarithmen subtrahierst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Verhältnis der Energien allein auf einer Seite steht?

1. Aufstellen der Differenz der Magnituden: \(M_2 - M_1 = 7{,}5 - 5{,}5 = 2\). 2. Einsetzen der Formel in die Differenz: \(\frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_2}{E_0}\right) - \frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_1}{E_0}\right) = 2\). 3. Anwendung der Logarithmengesetze (\(\lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right)\)): \(\frac{2}{3} \lg\left(\frac{E_2}{E_1}\right) = 2\). 4. Isolieren des Logarithmus: \(\lg\left(\frac{E_2}{E_1}\right) = 3\). 5. Auflösen nach dem Verhältnis durch Entlogarithmieren: \(\frac{E_2}{E_1} = 10^3 = 1000\).

Die freigesetzte Energie ist um den Faktor \(1000\) größer.

- Was passiert mit den beiden Faktoren, wenn \(x\) immer kleiner wird? - Multipliziere die Klammer aus, um zwei getrennte Terme zu erhalten. - Welche Funktion „gewinnt“ den Kampf gegen Unendlich, wenn eine Potenzfunktion auf eine Logarithmusfunktion trifft? - Welcher bekannte Wachstumsvergleich zwischen Potenz- und Logarithmusfunktionen ist für die beiden Summanden relevant?

1. Den Funktionsterm durch Ausmultiplizieren umschreiben: \(f(x) = x^2 \cdot \ln(x) + 3x \cdot \ln(x)\). 2. Das Verhalten der einzelnen Summanden für \(x \to 0^+\) untersuchen: Bekannt ist, dass für jede positive Potenz \(n > 0\) gilt: \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\), da die Potenzfunktion \(x^n\) für \(x \to 0\) stärker gegen \(0\) strebt, als die Logarithmusfunktion gegen \(-\infty\) divergiert. 3. Anwendung auf die Summanden: \(\lim_{x \to 0^+} x^2 \cdot \ln(x) = 0\) und \(\lim_{x \to 0^+} 3x \cdot \ln(x) = 0\). 4. Den Gesamtgrenzwert bilden: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 0 = 0\).

Der Grenzwert der Funktion \(f\) für \(x \to 0^+\) ist \(0\).

- Wie verhält sich ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner sehr große Werte stehen? - Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von \(x\), hier \(x^2\). - Vergleiche das Wachstum von \(x^2\) mit dem von \(\ln(x)\). Welche Funktion wird für sehr große \(x\) dominieren? - Was passiert mit einem Term wie \(\frac{\ln(x)}{x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich geht?

1. Den Funktionsterm zur Untersuchung des Unendlichen umformen, indem Zähler und Nenner durch \(x^2\) dividiert werden: \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (2 - \frac{\ln(x)}{x^2})}{x^2 \cdot (1 + \frac{5}{x^2})} = \frac{2 - \frac{\ln(x)}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}\). 2. Grenzwerte der einzelnen Bestandteile für \(x \to \infty\) bestimmen: \(\frac{5}{x^2} \to 0\). 3. Vergleich der Wachstumsgeschwindigkeiten: Da Potenzfunktionen wesentlich schneller wachsen als die Logarithmusfunktion, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\). 4. Den Grenzwert des gesamten Bruchs berechnen: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2\).

Für \(x \to \infty\) streben die Funktionswerte \(g(x)\) gegen den Wert \(2\).

- Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + e\) annehmen? - Erinnere dich an den Verlauf der natürlichen Logarithmusfunktion. Ist sie steigend oder fallend? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird? - Welchen Wert hat \(\ln(e)\)?

1. Bestimmung des Wertebereichs des Arguments: Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, folgt \(x^2 + e \ge e\). 2. Anwendung der Logarithmusfunktion: Da die natürliche Logarithmusfunktion für positive Argumente streng monoton steigt, gilt \(f(x) \ge \ln(e) = 1\). 3. Untersuchung des Grenzverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) strebt das Argument \(x^2 + e\) gegen \(\infty\), womit auch \(f(x) \to \infty\) gilt. 4. Schlussfolgerung: Da \(f\) stetig ist und alle Werte von \(1\) bis \(\infty\) annimmt, ist die Wertemenge \(W_f = [1; \infty[\).

\(W_f = [1; \infty[\)

- Betrachte zuerst den Nenner des Bruchs. Was ist sein kleinster Wert? - Welche Auswirkung hat ein wachsender Nenner auf den gesamten Bruch? - Wie verhält sich der natürliche Logarithmus, wenn sein Argument gegen Null geht? - Überlege, welcher Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) erreicht wird.

1. Analyse des Bruchs: Für alle \(x \in \mathbb{R}\) ist \(x^4 + 1 \ge 1\). Damit liegt der Wert des Bruchs \(\frac{e^2}{x^4 + 1}\) im Intervall \(]0; e^2]\). Der maximale Wert \(e^2\) wird bei \(x = 0\) erreicht. 2. Anwendung der Logarithmusfunktion: Die Funktion \(u \mapsto \ln(u)\) ist streng monoton steigend. Für den maximalen Argumentwert \(e^2\) ergibt sich der maximale Funktionswert \(g(0) = \ln(e^2) = 2\). 3. Grenzverhalten: Geht \(|x|\) gegen \(\infty\), so strebt der Nenner \(x^4 + 1\) gegen \(\infty\). Der Bruch \(\frac{e^2}{x^4 + 1}\) nähert sich somit von oben der Null an. Da \(\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty\), folgt \(\lim_{|x| \to \infty} g(x) = -\infty\). 4. Ergebnis: Aufgrund der Stetigkeit von \(g\) werden alle Werte im Intervall \(]-\infty; 2]\) angenommen.

Die Wertemenge ist \(W_g = ]-\infty; 2]\). Die Begründung erfolgt über die Analyse des Wertebereichs des Arguments \(0 < \frac{e^2}{x^4+1} \le e^2\) und die Monotonie der Logarithmusfunktion.

- Setze die gegebenen Werte für \(S\), \(I\) und \(I_0\) in die Formel ein und löse nach \(k\) auf. - Nutze die Logarithmengesetze, insbesondere \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\), um Differenzen zu vereinfachen. - Überlege, was es mathematisch bedeutet, wenn eine Änderung „unabhängig vom Ausgangswert“ ist. Welcher Term muss in der Rechnung verschwinden? - Für die Verzehnfachung kannst du denselben Rechenweg wie bei der Verdopplung nutzen.

1. Einsetzen der gegebenen Werte in die Funktionsgleichung: \(50 = k \cdot \ln\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right) = k \cdot \ln(10^5) = 5 \cdot k \cdot \ln(10)\). Umstellen nach \(k\) ergibt \(k = \frac{10}{\ln(10)} \approx 4{,}343\). 2. Die Differenz der Empfindungsstärken bei \(2I\) und \(I\) berechnet sich zu \(\Delta S = S(2I) - S(I) = k \cdot \ln\left(\frac{2I}{I_0}\right) - k \cdot \ln\left(\frac{I}{I_0}\right)\). Unter Anwendung der Logarithmengesetze folgt \(\Delta S = k \cdot \left(\ln(2I) - \ln(I_0) - (\ln(I) - \ln(I_0))\right) = k \cdot (\ln(2I) - \ln(I)) = k \cdot \ln\left(\frac{2I}{I}\right) = k \cdot \ln(2)\). Da dieser Ausdruck nicht mehr von \(I\) abhängt, ist die Änderung konstant. 3. Analog zu Schritt 2 ergibt eine Verzehnfachung die Änderung \(\Delta S = k \cdot \ln(10)\). Mit \(k = \frac{10}{\ln(10)}\) aus Aufgabenteil 1 folgt \(\Delta S = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln(10) = 10\).

1. \(k = \frac{10}{\ln(10)} \approx 4{,}343\) 2. Nachweis über \(\Delta S = k \cdot \ln(2)\), was unabhängig von \(I\) ist. 3. \(\Delta S = 10\)

- Denke an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus. - Wie drückt man eine prozentuale Zunahme als Multiplikationsfaktor aus? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um Terme wie \(\ln(kx)\) aufzuspalten. - Wenn in einer Formel für eine Differenz das \(x\) am Ende wegfällt, ist die Differenz für alle \(x\) gleich.

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{a}{x}\). Die Bedingung \(f'(2) = 1{,}5\) führt auf \(\frac{a}{2} = 1{,}5\), woraus \(a = 3\) folgt. 2. Eine Vergrößerung von \(x\) um \(20\,\%\) entspricht dem neuen Wert \(1{,}2x\). Die Änderung des Funktionswerts ist \(\Delta y = f(1{,}2x) - f(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2x) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot (\ln(1{,}2) + \ln(x)) - 3 \cdot \ln(x) = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\). 3. Ein Wachstum um \(p\) Prozent bedeutet den Übergang von \(x\) zu \(x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Die Differenz der Funktionswerte ist \(\Delta y = a \cdot \ln\left(x \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) - a \cdot \ln(x)\). Mit dem Logarithmengesetz für Produkte folgt \(\Delta y = a \cdot \left(\ln(x) + \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) - a \cdot \ln(x) = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(x\).

1. \(a = 3\) 2. \(\Delta y = 3 \cdot \ln(1{,}2) \approx 0{,}547\) 3. \(\Delta y = a \cdot \ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)\)

- Hilft dir ein Logarithmengesetz dabei, den Exponenten im Inneren des Logarithmus nach vorne zu ziehen? - Was passiert mit \(x\) und was mit \(\ln(x)\), wenn \(x\) immer näher an \(0\) rückt? - Gibt es eine bekannte Regel für Grenzwerte der Form \(x^n \cdot \ln(x)\) an der Stelle \(0\)?

1. Den Logarithmusterm mithilfe der Logarithmengesetze vereinfachen: \(g(x) = x \cdot 2 \cdot \ln(x) = 2 \cdot (x \ln(x))\). 2. Die Art des unbestimmten Ausdrucks für \(x \to 0\) identifizieren: Der Faktor \(x\) nähert sich \(0\), während \(\ln(x)\) gegen \(-\infty\) strebt (Form \(0 \cdot (-\infty)\)). 3. Den Standardgrenzwert für das Produkt aus Potenz- und Logarithmusfunktion anwenden: Für jede positive Potenz \(n\) gilt \(\lim_{x \to 0^+} x^n \cdot \ln(x) = 0\). Hier ist \(n=1\). 4. Das Ergebnis berechnen: \(2 \cdot 0 = 0\).

\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)

- Betrachte Zähler und Nenner getrennt, wenn \(x\) gegen Null geht. Welches Vorzeichen hat der Logarithmus für sehr kleine positive Werte? - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Logarithmusfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen für sehr große \(x\)-Werte. - Kannst du den Funktionsterm in zwei einfachere Brüche aufteilen?

1. Untersuchung für \(x \to 0\): Der Term \(x^2\) im Nenner nähert sich von oben der Null an (\(x^2 \to 0^+\)). Der Zähler \(\ln(x^2) + 1\) strebt gegen \(-\infty\), da der Logarithmus für Argumente nahe Null gegen \(-\infty\) geht. Der Quotient aus einem gegen \(-\infty\) strebenden Zähler und einem gegen \(0^+\) strebenden Nenner ergibt \(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\). 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Die Funktion kann in \(f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x^2} + \frac{1}{x^2}\) zerlegt werden. Da Potenzfunktionen im Unendlichen stärker wachsen als Logarithmusfunktionen, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{x^2} = 0\). Da auch \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\) gilt, folgt insgesamt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\).

Für \(x \to 0\) gilt \(f(x) \to -\infty\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to 0\).

- Versuche den Bruch aufzuspalten, um die einzelnen Summanden getrennt zu untersuchen. - Welcher Teil des Zählers bestimmt das Verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht? - Überlege für den Grenzwert im Unendlichen, ob \(x\) oder \(\ln(x)\) schneller ansteigt. - Wie verhält sich eine Wurzel im Vergleich zu einem Logarithmus für sehr große Zahlen?

1. Untersuchung für \(x \to 0^+\): Der Zähler \(2x - \ln(x)\) strebt gegen \(\infty\), da \(2x \to 0\) und \(\ln(x) \to -\infty\) (somit \(- \ln(x) \to \infty\)). Der Nenner \(\sqrt{x}\) strebt gegen \(0^+\). Ein Quotient mit gegen \(\infty\) strebendem Zähler und gegen \(0^+\) strebendem Nenner strebt gegen \(\infty\). Also gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\). 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Der Term wird zu \(g(x) = \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) umgeformt. Für \(x \to \infty\) strebt \(2\sqrt{x}\) gegen \(\infty\). Der Term \(\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) strebt gegen \(0\), da die Wurzelfunktion (als Potenzfunktion) schneller wächst als der Logarithmus. Damit ergibt sich \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

Es gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

- Welche Bedingung muss für das Argument einer Logarithmusfunktion erfüllt sein? - Gibt es Werte für \(x\), die man aufgrund des Bruches von vornherein ausschließen muss? - Könntest du den Ausdruck innerhalb der Klammer so umformen, dass er nur noch aus einem einzigen Bruch besteht? - Wann ist ein Bruch insgesamt positiv? Überlege dir, welche Vorzeichen Zähler und Nenner in verschiedenen Bereichen haben können.

1. Für die Logarithmusfunktion muss das Argument positiv sein: \(1 + \frac{4}{x-2} > 0\). Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden: \(x - 2 \neq 0\), also \(x \neq 2\). 2. Zusammenfassen des Terms im Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner: \(1 + \frac{4}{x-2} = \frac{x - 2 + 4}{x - 2} = \frac{x + 2}{x - 2}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens des Bruchs \(\frac{x + 2}{x - 2}\): Die Nullstellen von Zähler und Nenner liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 4. Fallunterscheidung oder Testeinsetzungen in den Intervallen: - Für \(x < -2\) sind Zähler und Nenner negativ, der Bruch ist positiv. - Für \(-2 < x < 2\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ, der Bruch ist negativ. - Für \(x > 2\) sind Zähler und Nenner positiv, der Bruch ist positiv. 5. Der Definitionsbereich umfasst somit alle \(x\), für die der Bruch positiv ist: \(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; \infty[\).

\(D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; \infty[\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Arguments einer Logarithmusfunktion? - Es hilft oft, den Ausdruck innerhalb des Logarithmus auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Betrachte die Nullstellen von Zähler und Nenner einzeln. Wie verändert sich das Vorzeichen des Gesamtausdrucks, wenn man diese Stellen überschreitet? - Überprüfe durch Einsetzen eines Wertes aus einem Intervall (z. B. \(-2{,}5\)), ob die Bedingung dort erfüllt ist.

1. Bedingung für den Logarithmus: \(\frac{1}{x+3} - 1 > 0\). Definitionslücke des Bruchs bei \(x = -3\). 2. Umformung der Ungleichung: \(\frac{1 - (x+3)}{x+3} > 0 \implies \frac{-x-2}{x+3} > 0\). 3. Bestimmung der kritischen Stellen: Die Nullstelle des Zählers ist \(x = -2\), die des Nenners \(x = -3\). 4. Vorzeichenanalyse des Terms \(\frac{-x-2}{x+3}\): - Für \(x < -3\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 < 0\), Quotient negativ. - Für \(-3 < x < -2\): Zähler \(-x-2 > 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient positiv. - Für \(x > -2\): Zähler \(-x-2 < 0\), Nenner \(x+3 > 0\), Quotient negativ. 5. Die Bedingung ist nur im Intervall \(]-3; -2[\) erfüllt. Somit ist \(D_g = ]-3; -2[\).

\(D_g = ]-3; -2[\)

- Betrachte die Definition der Funktion \(f\) und setze die Bedingungen für Nullstellen von \(u\) direkt ein. - Nutze die Produktregel, um die Ableitungsfunktion \(f'\) allgemein zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Ableitung einer Funktion, wenn an einer Stelle ein lokales Extremum vorliegt? - Erinnere dich daran, welche Bedingungen an einer doppelten Nullstelle für den Funktionswert und den Wert der Ableitung gelten.

1. Prüfung von Aussage (1): Es gilt \(f(x) = u(x) \cdot \ln(x)\). Ist \(x_0\) eine Nullstelle von \(u\), also \(u(x_0) = 0\), so folgt \(f(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von Aussage (2): Die Ableitung von \(f\) lautet nach der Produktregel \(f'(x) = u'(x) \cdot \ln(x) + u(x) \cdot \frac{1}{x}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) gilt \(u'(x_0) = 0\). Damit ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + \frac{u(x_0)}{x_0} = \frac{u(x_0)}{x_0}\). Da dieser Wert im Allgemeinen nicht null ist (außer wenn \(u(x_0) = 0\)), ist die Aussage falsch. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine doppelte Nullstelle \(x_0\) von \(u\) bedeutet \(u(x_0) = 0\) und \(u'(x_0) = 0\). Eingesetzt in die Ableitung \(f'(x_0) = u'(x_0) \cdot \ln(x_0) + u(x_0) \cdot \frac{1}{x_0}\) ergibt sich \(f'(x_0) = 0 \cdot \ln(x_0) + 0 \cdot \frac{1}{x_0} = 0\). Die Aussage ist wahr.

(1) wahr (2) falsch (3) wahr

- Überlege dir, für welche Werte die Logarithmusfunktion überhaupt definiert ist. - Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von \(g\) zu berechnen. - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Argument im Inneren der Funktion zusammen? - Was muss für den Funktionswert der inneren Funktion gelten, damit der natürliche Logarithmus den Wert null ergibt?

1. Prüfung von Aussage (1): Wenn \(u(x_0) = 0\) gilt, ist der Ausdruck \(\ln(u(x_0)) = \ln(0)\) nicht definiert. Somit kann \(x_0\) keine Nullstelle von \(g\) sein. Die Aussage ist falsch. 2. Prüfung von Aussage (2): Mit der Kettenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\). An einer Extremstelle \(x_0\) von \(u\) ist \(u'(x_0) = 0\). Da \(x_0\) im Definitionsbereich von \(g\) liegt, gilt \(u(x_0) > 0\). Folglich ist \(g'(x_0) = \frac{0}{u(x_0)} = 0\), was eine waagerechte Tangente bedeutet. Die Aussage ist wahr. 3. Prüfung von Aussage (3): Eine Nullstelle von \(g\) bedeutet \(g(x_0) = 0\), also \(\ln(u(x_0)) = 0\). Durch Anwenden der Exponentialfunktion folgt \(e^{\ln(u(x_0))} = e^0\), woraus \(u(x_0) = 1\) resultiert. Die Aussage ist wahr.

(1) falsch (2) wahr (3) wahr

- Welchen Wert musst du für \(x\) wählen, damit der Ausdruck \(\ln(1+x)\) den gewünschten Wert \(\ln(1{,}2)\) ergibt? - Achte beim Einsetzen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, in welchem Bereich \(x\) laut Aufgabenstellung liegen darf.

1. Um \(\ln(1{,}2)\) zu berechnen, setzen wir \(1+x = 1{,}2\) bzw. \(x = 0{,}2\) in die Formel ein. Die ersten vier Glieder ergeben: \(S_4 = 0{,}2 - \frac{0{,}2^2}{2} + \frac{0{,}2^3}{3} - \frac{0{,}2^4}{4}\). Berechnung der Einzelwerte: \(0{,}2 - \frac{0{,}04}{2} + \frac{0{,}008}{3} - \frac{0{,}0016}{4} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}0026\bar{6} - 0{,}0004 = 0{,}1822\bar{6}\). Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(0{,}1823\). 2. Für den Funktionswert \(\ln(4)\) müsste \(1+x = 4\) gelten, woraus \(x = 3\) folgt. Die Summendarstellung ist jedoch nur für das Intervall \(]-1; 1]\) gültig. Da \(3 > 1\) ist, liegt der Wert außerhalb des Gültigkeitsbereichs der Reihe.

1. \(\ln(1{,}2) \approx 0{,}1823\) 2. Für \(\ln(4)\) müsste \(x=3\) sein. Dieser Wert liegt außerhalb des zulässigen Intervalls \(]-1; 1]\).

- Überlege dir, wie man den Funktionsterm mithilfe von Logarithmusgesetzen vereinfachen kann. - Achte darauf, für welche Werte der Logarithmus definiert ist (das Argument muss positiv sein). - Erinnere dich daran, welche Auswirkung ein Minuszeichen vor dem Logarithmus oder ein Faktor vor dem Logarithmus auf den Graphen hat. - Was passiert mit dem Definitionsbereich, wenn im Argument \(x^2\) steht?

1. Für \(g(x) = \ln(x^{-1}) = -\ln(x)\) gilt \(D_g = ]0; \infty[\). Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse. 2. Für \(h(x) = \ln(x^2) - 3 = 2\ln|x| - 3\) gilt \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 3. Transformation von \(f\) zu \(h\): Zuerst wird der rechte Zweig des Graphen von \(f\) durch sein Spiegelbild an der \(y\)-Achse ergänzt; so entsteht der Graph von \(\ln|x|\). Anschließend erfolgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2. Zuletzt wird der Graph um 3 Einheiten nach unten verschoben.

a) \(D_g = ]0; \infty[\); Spiegelung an der \(x\)-Achse. b) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); Ergänzung des rechten Zweigs durch sein Spiegelbild an der \(y\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 3 Einheiten nach unten.

- Wann ist das Quadrat einer Zahl gleich Null und wann ist es positiv? - Nutze das Logarithmusgesetz für Potenzen, um den Faktor im Exponenten vor den Logarithmus zu ziehen, aber achte auf die Betragsstriche. - Eine Verschiebung in x-Richtung erkennt man an der Änderung direkt beim \(x\) im Argument. - Um Nullstellen zu finden, musst du die Gleichung \(\ln(\dots) = 0\) lösen. Welchen Wert muss das Argument haben, damit der Logarithmus Null ergibt?

1. Definitionsbereich: Das Argument \((x-2)^2\) muss positiv sein, also \((x-2)^2 > 0\). Dies ist für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\) erfüllt. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke: \(x = 2\). 2. Transformationen: Der Term kann als \(2\ln|x-2|\) geschrieben werden. Der Graph von \(f\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt und der gespiegelte Zweig zum ursprünglichen Zweig ergänzt; so entsteht der Graph von \(\ln|x|\). Dieser Graph wird um den Faktor 2 in \(y\)-Richtung gestreckt und anschließend um 2 Einheiten nach rechts verschoben. 3. Nullstellen: \(\ln((x-2)^2) = 0\) führt zu \((x-2)^2 = e^0 = 1\). Daraus folgt \(x-2 = 1\) oder \(x-2 = -1\). 4. Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 0)\).

a) \(D_p = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote \(x = 2\). b) Ergänzung des an der \(y\)-Achse gespiegelten Zweigs zum ursprünglichen Zweig, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2 und Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts. c) Schnittpunkte: \(S_1(1 \mid 0)\) und \(S_2(3 \mid 0)\).

- Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Faktoren des Produkts getrennt. - Was weißt du über das Wachstum von Potenzfunktionen im Vergleich zum natürlichen Logarithmus? - Hilft es dir, den Funktionsterm auszumultiplizieren, um einzelne Terme zu untersuchen? - Überlege, welche der beiden Teilfunktionen nahe der Null „stärker“ gegen ihren Grenzwert strebt.

1. Grenzwert für \(x \to +\infty\): Der Faktor \((x^2 - 4x)\) strebt für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\), da die höchste Potenz \(x^2\) dominiert. Da auch \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) gilt, strebt das Produkt zweier gegen unendlich strebender Terme ebenfalls gegen unendlich. Es folgt \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). 2. Grenzwert für \(x \to 0^+\): Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, wird der rechtsseitige Grenzwert \(x \to 0^+\) betrachtet. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(f(x) = x^2 \ln(x) - 4x \ln(x)\). Unter Verwendung des Standardgrenzwerts \(\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0\) für alle \(n > 0\) folgt für beide Summanden der Grenzwert 0. Somit gilt \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\).

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Brüche aufteilen? - Welche Funktion wächst für sehr große \(x\)-Werte schneller: eine Potenzfunktion oder die Logarithmusfunktion? - Untersuche Zähler und Nenner getrennt, wenn \(x\) sich der Null nähert. - Achte auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner beim Grenzübergang gegen Null.

1. Grenzwert für \(x \to +\infty\): Der Funktionsterm kann als Summe zweier Brüche geschrieben werden: \(g(x) = \frac{3}{x^2} + \frac{\ln(x)}{x^2}\). Der erste Summand strebt für \(x \to +\infty\) gegen 0. Für den zweiten Summanden gilt, dass jede Potenzfunktion \(x^n\) mit \(n > 0\) im Unendlichen wesentlich stärker wächst als der natürliche Logarithmus, weshalb \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\) folgt. Insgesamt ergibt sich \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\). 2. Grenzwert für \(x \to 0^+\): Wir betrachten den rechtsseitigen Grenzwert \(x \to 0^+\). Der Zähler \(3 + \ln(x)\) strebt gegen \(-\infty\), da \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\) gilt. Der Nenner \(x^2\) strebt gegen \(0^+\). Ein Quotient aus einem negativ unendlich großen Zähler und einem verschwindend kleinen positiven Nenner strebt gegen \(-\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\).

\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\)

- Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Exponentialgleichung umschreiben? - Erinnere dich an das Gesetz, mit dem man Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann. - Überlege, wie du den Term im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben kannst, um zu vereinfachen. - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\)?

1. Beweis der Formel: Aus \(y = \log_b x\) folgt gemäß der Definition des Logarithmus \(b^y = x\). Durch Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten erhält man \(\ln(b^y) = \ln x\). Nach dem Logarithmengesetz für Potenzen gilt \(y \cdot \ln b = \ln x\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(y = \frac{\ln x}{\ln b}\). 2. Berechnungen: - \(\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5} = \frac{\ln(5^3)}{\ln 5} = \frac{3 \cdot \ln 5}{\ln 5} = 3\) - \(\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}3219\) - \(\log_{0{,}5} 4 = \frac{\ln 4}{\ln 0{,}5} = \frac{\ln(2^2)}{\ln(2^{-1})} = \frac{2 \cdot \ln 2}{-1 \cdot \ln 2} = -2\) 3. Begründung: Wendet man die Basiswechselformel auf \(\log_5 e\) an, erhält man \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5}\). Da \(\ln e = 1\) ist, folgt \(\log_5 e = \frac{1}{\ln 5}\). Das Produkt \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5}\) ergibt somit \(1\).

a) \(y = \log_b x \Rightarrow b^y = x \Rightarrow \ln(b^y) = \ln x \Rightarrow y \cdot \ln b = \ln x \Rightarrow y = \frac{\ln x}{\ln b}\) b) \(\log_5 125 = 3\); \(\log_2 10 \approx 3{,}3219\); \(\log_{0{,}5} 4 = -2\) c) Da \(\log_5 e = \frac{\ln e}{\ln 5} = \frac{1}{\ln 5}\) gilt, ist \(\ln 5 \cdot \frac{1}{\ln 5} = 1\).

- Wie gehst du vor, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Nutze die Basiswechselformel, um beide Seiten der Identität in Teil b) auf den natürlichen Logarithmus zurückzuführen. - Überlege bei Teil c), mit welcher Zahl man die Basis \(e^2\) potenzieren muss, um \(e\) zu erhalten. - Was passiert, wenn Logarithmus und Exponentialfunktion mit derselben Basis aufeinandertreffen?

1. Lösung der Gleichung: Durch Logarithmieren von \(5^x = 20\) mit dem natürlichen Logarithmus erhält man \(\ln(5^x) = \ln 20\), also \(x \cdot \ln 5 = \ln 20\). Die exakte Lösung ist \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}861\). 2. Beweis der Identität: Nach der Basiswechselformel gilt \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\). Ebenso gilt \(\log_x a = \frac{\ln a}{\ln x}\). Der Kehrwert von \(\log_x a\) ist \(\frac{1}{\frac{\ln a}{\ln x}} = \frac{\ln x}{\ln a}\). Damit ist die Identität gezeigt. 3. Berechnung des Ausdrucks: \(\ln(e^3) = 3\), da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) ist. Für den zweiten Teil gilt \(\log_{e^2}(e) = \frac{\ln e}{\ln(e^2)} = \frac{1}{2 \cdot \ln e} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Summe ist \(3 + 0{,}5 = 3{,}5\).

a) \(x = \frac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861\) b) \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\) und \(\frac{1}{\log_x a} = \frac{1}{\frac{\ln a}{\ln x}} = \frac{\ln x}{\ln a}\) c) \(3{,}5\)

- Wie lautet die allgemeine Formel, um einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis in den natürlichen Logarithmus umzurechnen? - Erinnere dich an die Definition von \(e^{-1}\) und was passiert, wenn du davon den natürlichen Logarithmus bildest. - Wo schneiden alle einfachen Logarithmusfunktionen der Form \(\log_b(x)\) die \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts mit dem Wachstum (Steigen oder Fallen) der Funktion zusammenhängt.

1. Anwendung der Basiswechselformel \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\): Mit der Basis \(b = \frac{1}{e} = e^{-1}\) ergibt sich \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})}\). Da \(\ln(e^{-1}) = -1\) ist, folgt \(g(x) = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\). 2. Für \(f(x) = \ln(x)\): Da die Basis \(e \approx 2{,}718 > 1\) ist, ist \(f\) streng monoton steigend. Mit der Nullstelle \(f(1) = 0\) folgt \(f(x) < 0\) für \(0 < x < 1\). Für \(g(x) = -\ln(x)\) kehren sich die Vorzeichen um: \(g(x) < 0\) gilt für \(\ln(x) > 0\), also für \(x > 1\). 3. Die Funktion \(f\) hat eine Basis \(e > 1\) und ist streng monoton steigend. Die Funktion \(g\) hat eine Basis \(\frac{1}{e} < 1\). Da \(g(x) = -f(x)\) ist, spiegelt sich der Graph an der \(x\)-Achse, wodurch \(g\) streng monoton fallend ist. Allgemein gilt: Logarithmusfunktionen mit Basis \(b > 1\) steigen, solche mit \(0 < b < 1\) fallen.

1. \(g(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e^{-1})} = \frac{\ln(x)}{-1} = -\ln(x)\) 2. \(f(x) < 0\) für \(x \in (0; 1)\); \(g(x) < 0\) für \(x \in (1; \infty)\) 3. \(f\) ist wegen \(e > 1\) streng monoton steigend; \(g\) ist wegen der Basis \(\frac{1}{e} < 1\) (bzw. des negativen Vorzeichens vor \(\ln(x)\)) streng monoton fallend.

- Erinnere dich daran, dass \(\ln(x)\) und \(e^x\) gegenseitige Umkehrfunktionen sind. - Wie lassen sich Produkte und Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis vereinfachen? - Kannst du einen Bruch oder eine Wurzel in eine einzige Potenzschreibweise umwandeln? - Was passiert, wenn eine Funktion direkt auf ihre Umkehrfunktion angewendet wird?

1. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ist, gilt direkt \(\ln(e^x) = x\). 2. Zusammenfassen der Potenzen im Argument: \(e^2 \cdot e^a = e^{2+a}\). Anwendung der Logarithmenseigenschaft ergibt \(2+a\). 3. Umschreiben des Terms als Potenz: \(\frac{1}{\sqrt[n]{e}} = \frac{1}{e^{1/n}} = e^{-1/n}\). Damit ist der Wert \(-\frac{1}{n}\). 4. Die Hintereinanderausführung von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion ergibt das Argument selbst: \(e^{\ln(3)} = 3\). 5. Anwendung der Potenzgesetze für Division: \(\frac{e^m}{e^n} = e^{m-n}\). Der Logarithmus davon ist \(m-n\).

(1) \(x\) (2) \(2+a\) (3) \(-\frac{1}{n}\) (4) \(3\) (5) \(m-n\)

- Überlege dir, zwischen welchen Werten für die nächste Nachkommastelle die Zahl 5 liegen muss. - Verwende deinen Taschenrechner, um die Potenz \(e^x\) für verschiedene Werte von \(x\) zu berechnen. - Wenn du ein Intervall gefunden hast, probiere systematisch die Werte in der Mitte oder in kleineren Schritten (z. B. \(0{,}01\) oder \(0{,}001\)) aus. - Um auf drei Stellen genau zu runden, musst du prüfen, ob der Wert näher an der unteren oder oberen Grenze des letzten Intervalls liegt.

Um den Wert von \(\ln 5\) auf drei Nachkommastellen zu bestimmen, wird das Intervall durch systematisches Testen von Funktionswerten der Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) weiter eingegrenzt: 1. Prüfung der Hundertstelstelle im Intervall \([1{,}60; 1{,}70]\): Es ist \(e^{1{,}60} \approx 4{,}9530\) und \(e^{1{,}61} \approx 5{,}0028\). Da \(4{,}9530 < 5 < 5{,}0028\), liegt der Wert im Intervall \(1{,}60 < \ln 5 < 1{,}61\). 2. Prüfung der Tausendstelstelle im Intervall \([1{,}600; 1{,}610]\): Berechnung der Werte: \(e^{1{,}609} \approx 4{,}9978\) \(e^{1{,}610} \approx 5{,}0028\) Da \(4{,}9978 < 5 < 5{,}0028\), liegt der Wert im Intervall \(1{,}609 < \ln 5 < 1{,}610\). 3. Für die Rundung auf drei Nachkommastellen ist die Schwelle \(1{,}6095\) entscheidend. Da \(e^{1{,}6095} \approx 5{,}0003 > 5\), gilt \(\ln 5 < 1{,}6095\). Zusammen mit \(\ln 5 > 1{,}609\) folgt daher \(\ln 5 \approx 1{,}609\).

\(\ln 5 \approx 1{,}609\)

- Erinnere dich daran, dass bei negativen Zahlen der betragsmäßig größere Wert (z. B. \(-0{,}7\)) die untere Intervallgrenze darstellt. - Untersuche systematisch die Werte zwischen \(-0{,}70\) und \(-0{,}69\). - Berechne \(e^x\) für Werte mit drei Nachkommastellen, um zu sehen, welcher am nächsten an \(0{,}5\) liegt.

Die Intervallschachtelung wird ausgehend von \([-0{,}7; -0{,}6]\) durchgeführt: 1. Eingrenzung auf die zweite Nachkommastelle: \(e^{-0{,}70} \approx 0{,}49658\) \(e^{-0{,}69} \approx 0{,}50157\) Da \(0{,}49658 < 0{,}5 < 0{,}50157\), gilt \(-0{,}70 < \ln 0{,}5 < -0{,}69\). 2. Eingrenzung auf die dritte Nachkommastelle: \(e^{-0{,}694} \approx 0{,}49957\) \(e^{-0{,}693} \approx 0{,}50007\) Da \(0{,}49957 < 0{,}5 < 0{,}50007\), liegt der Wert im Intervall \([-0{,}694; -0{,}693]\). 3. Entscheidung der Rundung: Da \(e^{-0{,}6931} \approx 0{,}50002\) und \(e^{-0{,}6932} \approx 0{,}49997\), liegt der Wert extrem nah bei \(-0{,}6931\). Der auf drei Nachkommastellen gerundete Wert ist somit \(-0{,}693\).

\(\ln 0{,}5 \approx -0{,}693\)

- Nutze die Rechenregeln für Potenzen, um die Ausdrücke innerhalb des Logarithmus zuerst zu einer einzigen Potenz von \(e\) zusammenzufassen. - Denke daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. - Welche Rechenregel gilt für die Division von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert, wenn die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz im Argument identisch sind?

1. Für Teil a): Verwendung des Potenzgesetzes \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\) führt zu \(\ln(e^{x+2})\). Durch die Identität \(\ln(e^y) = y\) ergibt sich \(x + 2\). 2. Für Teil b): Umschreiben der Wurzel und des Bruchs: \(\frac{e^{\frac{k}{2}}}{e^1} = e^{\frac{k}{2} - 1}\). Der Logarithmus liefert \(\frac{k}{2} - 1\). 3. Für Teil c): Darstellung der n-ten Wurzel als Exponent: \(\sqrt[n]{e^{-3}} = (e^{-3})^{\frac{1}{n}} = e^{-\frac{3}{n}}\). Der Wert ist \(-\frac{3}{n}\). 4. Für Teil d): Umformung des Arguments: \(\frac{e^1}{e^{\frac{3}{4}}} = e^{1 - \frac{3}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\). Der Logarithmus ergibt \(\frac{1}{4}\) bzw. \(0{,}25\).

a) \(x + 2\) b) \(\frac{k}{2} - 1\) c) \(-\frac{3}{n}\) d) \(\frac{1}{4}\) oder \(0{,}25\)

- Überlege dir, wie du die Gleichung nach \(x\) auflösen kannst. - Was weißt du über das Verhalten der Exponentialfunktion für sehr große Exponenten? - Wenn du für jeden beliebigen Wert \(y\) ein passendes \(x\) finden kannst, was bedeutet das für das Wachstum?

1. Die Gleichung \(y = \ln(x)\) kann durch die Umkehrfunktion zur Basis \(e\) als \(x = e^y\) ausgedrückt werden. 2. Da die Exponentialfunktion \(e^y\) für \(y \to \infty\) gegen Unendlich strebt, existiert für jeden beliebig großen Funktionswert \(y = S\) ein entsprechender Wert \(x = e^S\). Somit ist die Funktion nach oben unbegrenzt. 3. Für den Funktionswert \(15\) ergibt sich die Gleichung \(\ln(x) = 15\). Durch Anwendung der Exponentialfunktion erhält man \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). 4. Für den Funktionswert \(35\) ergibt sich analog \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

Die Funktion wächst unbegrenzt, da für jedes \(S\) ein \(x = e^S\) existiert. Für \(f(x) = 15\) ist \(x = e^{15} \approx 3\,269\,017{,}37\). Für \(f(x) = 35\) ist \(x = e^{35} \approx 1{,}586 \cdot 10^{15}\).

- Welches Logarithmengesetz hilft dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) immer wieder verdoppelst? Gibt es eine Obergrenze? - Wie lautet die Umkehrfunktion zum Logarithmus zur Basis 2 (\(\log_2\))?

1. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(g(2x) = \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x)\). Damit ist die Eigenschaft gezeigt. 2. Da man den Funktionswert durch wiederholtes Verdoppeln von \(x\) immer wieder um \(1\) steigern kann, lassen sich beliebig große Funktionswerte erreichen, wenn \(x\) groß genug gewählt wird. Die Funktion wächst also unbegrenzt. 3. Die Gleichung \(\log_2(x) = 20\) wird durch \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\) gelöst. 4. Die Gleichung \(\log_2(x) = 30\) wird durch \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\) gelöst.

a) Nachweis über \(\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)\). b) Durch sukzessive Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert schrittweise um \(1\) und überschreitet jede Schranke. c) Für \(g(x) = 20\) ist \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\); für \(g(x) = 30\) ist \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\).

- Beginne damit, den Bruch innerhalb des Logarithmus aufzulösen. - Achte beim Auflösen des Nenners besonders auf die Vorzeichen in der Summe. - Überlege, welchen Wert der natürliche Logarithmus der Eulerschen Zahl \(e\) hat. - Wie kannst du Wurzeln und Exponenten innerhalb eines Logarithmus umschreiben?

1. Anwendung der Quotientenregel für Logarithmen: \(\ln(\sqrt{e} \cdot a^4) - \ln(b \cdot c^2)\). 2. Anwendung der Produktregel auf beide Terme: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - (\ln(b) + \ln(c^2))\). 3. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens: \(\ln(\sqrt{e}) + \ln(a^4) - \ln(b) - \ln(c^2)\). 4. Anwendung der Potenzregel und Vereinfachung des Terms mit der Basis \(e\): \(\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}\), \(\ln(a^4) = 4 \ln(a)\) und \(\ln(c^2) = 2 \ln(c)\). 5. Endergebnis: \(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\).

\(\frac{1}{2} + 4 \ln(a) - \ln(b) - 2 \ln(c)\)

- Gehe schrittweise vor: Löse zuerst den Bruch auf, dann Produkte und schließlich Potenzen. - Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus auf eine Potenz der Basis \(e\) trifft? - Achte darauf, Klammern korrekt zu setzen, wenn du ein Produkt im Nenner zerlegst. - Behandle Wurzeln wie Potenzen mit Brüchen als Exponenten.

1. Anwendung der Quotientenregel, Produktregel und Potenzregel auf Teilaufgabe a): \(\ln \left( \frac{x^2 \cdot \sqrt{y}}{z} \right) = \ln(x^2 \cdot \sqrt{y}) - \ln(z) = \ln(x^2) + \ln(y^{\frac{1}{2}}) - \ln(z) = 2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\). 2. Anwendung der Produkt- und Potenzregel auf Teilaufgabe b), wobei \(\ln(e^k) = k\) genutzt wird: \(\ln(e^2 \cdot a^5) = \ln(e^2) + \ln(a^5) = 2 + 5 \cdot \ln(a)\). 3. Anwendung der Quotienten- und Potenzregel auf Teilaufgabe c) unter Verwendung der Eigenschaft des natürlichen Logarithmus: \(\ln \left( \frac{e^{-2x}}{x+1} \right) = \ln(e^{-2x}) - \ln(x+1) = -2x \ln(e) - \ln(x+1) = -2x - \ln(x+1)\).

a) \(2 \cdot \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(y) - \ln(z)\) b) \(2 + 5 \cdot \ln(a)\) c) \(-2x - \ln(x+1)\)

- Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Was ist die geometrische Bedeutung der ersten Ableitung an einer Stelle? - Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Welchen speziellen Wert nimmt die natürliche Logarithmusfunktion an der Stelle 1 an?

1. Einsetzen von \(x = 1\) in den Funktionsterm: \(f_k(1) = k \cdot \ln(1) - 1 + 1 = k \cdot 0 + 0 = 0\). Da dieser Wert für jedes \(k\) gleich ist, verläuft jeder Graph durch \(P(1|0)\). 2. Erste Ableitung berechnen: \(f_k'(x) = k \cdot \frac{1}{x} - 1\). Einsetzen der Stelle \(x = 1\) liefert die Steigung \(m_k = f_k'(1) = k \cdot \frac{1}{1} - 1 = k - 1\). 3. Gleichsetzen zweier Terme für \(k_1 \neq k_2\): \(k_1 \ln(x) - x + 1 = k_2 \ln(x) - x + 1\). Durch Subtraktion von \(-x + 1\) und Umstellen folgt \((k_1 - k_2) \cdot \ln(x) = 0\). Da \(k_1 - k_2 \neq 0\), muss \(\ln(x) = 0\) gelten, was nur für \(x = 1\) der Fall ist. Mit \(f_{k_1}(1) = 0\) ergibt sich als einziger Schnittpunkt \(P(1|0)\).

1. Der Nachweis erfolgt durch \(f_k(1) = 0\). 2. Die Steigung beträgt \(m = k - 1\). 3. Aus \(f_{k_1}(x) = f_{k_2}(x)\) folgt \((k_1 - k_2) \ln(x) = 0\), was wegen \(k_1 \neq k_2\) nur die Lösung \(x = 1\) besitzt.

- Ein Punkt liegt auf allen Graphen, wenn sein y-Wert für jedes \(n\) an derselben Stelle \(x\) gleich bleibt. - Welche Zahl ergibt, mit sich selbst multipliziert, wieder sich selbst? - Überlege dir, wie viele Lösungen die Gleichung \(u^n = u^{n+1}\) für alle \(n\) hat. - Erinnere dich an die Definition der Eulerschen Zahl \(e\) im Zusammenhang mit dem natürlichen Logarithmus.

Damit ein Punkt \((x \mid y)\) auf allen Graphen liegt, muss der Funktionswert \(y = (\ln(x))^n\) für alle \(n \in \{1, 2, 3, \dots\}\) identisch sein. Mit der Substitution \(u = \ln(x)\) bedeutet dies, dass die Folge \(u^1, u^2, u^3, \dots\) konstant sein muss. 1. Dies ist der Fall, wenn \(u = u^2\) gilt, also \(u^2 - u = 0 \iff u \cdot (u-1) = 0\). Die Lösungen sind \(u = 0\) und \(u = 1\). 2. Für \(u = 0\) gilt \(\ln(x) = 0\), woraus \(x = 1\) folgt. Der y-Wert ist \(0^n = 0\). Dies ergibt den Punkt \(P_1(1 \mid 0)\). 3. Für \(u = 1\) gilt \(\ln(x) = 1\), woraus \(x = e\) folgt. Der y-Wert ist \(1^n = 1\). Dies ergibt den Punkt \(P_2(e \mid 1)\). 4. Andere Werte für \(u\) (wie \(u = -1\)) führen nicht zu einem für alle \(n\) identischen Ergebnis, da beispielsweise \((-1)^1 \neq (-1)^2\). Somit sind \(P_1\) und \(P_2\) die einzigen gemeinsamen Punkte.

Die gemeinsamen Punkte aller Graphen sind \(P_1(1 \mid 0)\) und \(P_2(e \mid 1)\).

- Erinnere dich an die Definition der \(n\)-ten Wurzel als Potenz. - Nutze die Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Wie kannst du einen negativen Faktor vor dem Logarithmus in den Numerus verschieben? - Überlege dir, was der Kehrwert von \(0{,}25\) ist.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \(\ln(e^{2/5})\). Aufgrund der Identität \(\ln(e^x) = x\) ist das Ergebnis \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Logarithmengesetze im Exponenten: \(2 \ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\). Damit lautet der Exponent \(\ln(12) - \ln(4) = \ln\left(\frac{12}{4}\right) = \ln(3)\). Es folgt \(e^{\ln(3)} = 3\). 3. Teilaufgabe c): Vereinfachung des Bruchs durch Subtraktion der Exponenten: \(\frac{e^{k+1}}{e^k} = e^{(k+1)-k} = e^1\). Somit ist \(\ln(e^1) = 1\). 4. Teilaufgabe d): Umformung des Exponenten: \(-\ln(0{,}25) = \ln(0{,}25^{-1}) = \ln\left(\frac{1}{0{,}25}\right) = \ln(4)\). Der Ausdruck wird zu \(3 \cdot e^{\ln(4)} = 3 \cdot 4 = 12\).

a) \(0{,}4\) b) \(3\) c) \(1\) d) \(12\)

- Welche Rechenregeln für Logarithmen kennst du für Summen und Differenzen? - Kannst du Terme im Argument des Logarithmus faktorisieren, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Wie lässt sich ein Vorfaktor vor einem Logarithmus als Exponent in das Argument schreiben? - Schau dir an, ob sich Variablen im Zähler und Nenner eines Bruchs innerhalb des Logarithmus kürzen lassen.

1. Anwendung des Gesetzes \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\) ergibt \(\ln\left(\frac{x^2-25}{x-5}\right)\). Durch Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel folgt \(\ln\left(\frac{(x-5) \cdot (x+5)}{x-5}\right)\), was sich zu \(\ln(x+5)\) vereinfacht. 2. Der Ausdruck \(2 \cdot \ln(x)\) wird zu \(\ln(x^2)\) umgeformt. Die Kombination der Terme führt auf \(\ln\left(\frac{4 \cdot x^2}{4 \cdot x}\right)\). Nach Kürzen des Bruchs im Argument erhält man \(\ln(x)\). 3. Die Summe der Logarithmen wird als Logarithmus des Produkts \(\ln\left(\frac{1}{x} \cdot x^3\right)\) geschrieben. Vereinfachen des Arguments ergibt \(\ln(x^2)\).

a) \(\ln(x+5)\) b) \(\ln(x)\) c) \(\ln(x^2)\)

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse multipliziert den bis dahin entstandenen Funktionsterm mit \(-1\). - Achte darauf, ob die Verschiebung vor oder nach der Spiegelung ausgeführt wird. - Welche Exponentialschreibweise löst eine Gleichung der Form \(\ln(x)=c\) nach \(x\) auf?

1. Für \(g\) bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse zunächst \(-\ln(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben ergibt \(g(x)=-\ln(x)+2\). Aus \(-\ln(x)+2=0\) folgt \(\ln(x)=2\) und damit \(x=e^2\). 2. Für \(h\) wird zuerst \(2\) addiert: \(\ln(x)+2\). Die anschließende Spiegelung betrifft den gesamten Term, also \(h(x)=-(\ln(x)+2)=-\ln(x)-2\). Aus \(-\ln(x)-2=0\) folgt \(\ln(x)=-2\) und damit \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\).

\(g(x)=-\ln(x)+2\) mit Nullstelle \(x=e^2\) \(h(x)=-\ln(x)-2\) mit Nullstelle \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\)

- Für welche Werte ist die natürliche Logarithmusfunktion definiert? Schau dir an, wo der Graph von \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt. - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sein Argument gegen Null geht? - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sein Argument immer größer wird? - Wenn eine Funktion steigt und man wendet darauf eine weitere steigende Funktion an, was bedeutet das für das Gesamtergebnis?

1. Definitionsmenge: Die Logarithmusfunktion \(\ln(y)\) ist nur für \(y > 0\) definiert. Aus dem Graphen liest man \(f(x) = 0{,}5x + 1\) ab. Die Bedingung \(0{,}5x + 1 > 0\) führt zu \(0{,}5x > -1\), also \(x > -2\). Somit ist \(D_g = (-2; \infty)\). 2. Ränderverhalten: Wenn \(x \to -2^+\) geht, nähert sich \(f(x)\) von oben der Null an. Da \(\lim_{y \to 0^+} \ln(y) = -\infty\), folgt \(\lim_{x \to -2^+} g(x) = -\infty\). Wenn \(x \to \infty\), strebt \(f(x) \to \infty\), und da \(\ln(y) \to \infty\) für \(y \to \infty\), folgt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\). 3. Monotonie: \(f(x)\) ist eine Gerade mit positiver Steigung (\(m = 0{,}5\)), also streng monoton steigend. Da die Logarithmusfunktion ebenfalls streng monoton steigend ist, ist auch die verkettete Funktion \(g(x) = \ln(f(x))\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

a) \(D_g = (-2; \infty)\). b) \(\lim_{x \to -2^+} g(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\). c) \(g\) ist streng monoton steigend, da sowohl \(f\) als auch die Logarithmusfunktion streng monoton steigend sind.

- Vergleiche die Funktionswerte an der Stelle \(x = e \approx 2{,}7\). - Haben alle Graphen dieselbe Nullstelle? Was bedeutet das für die Art der Transformation? - Untersuche, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde. - Prüfe, ob die Kurve steiler oder flacher als die Originalkurve verläuft.

1. Analyse von \(g(x)\): Der grüne Graph verläuft durch die Nullstelle \((1 | 0)\), genau wie \(f\). An der Stelle \(x = e \approx 2{,}72\) hat \(f\) den Wert 1. Der Graph von \(g\) hat dort den Wert 2. Das deutet auf eine Verdopplung der Funktionswerte hin. Durch Einsetzen prüft man: \(g(x) = 2\ln(x)\). 2. Analyse von \(h(x)\): Der violette Graph verläuft ebenfalls durch \((1 | 0)\). Er ist an der \(x\)-Achse gespiegelt, da für jeden positiven Wert von \(f\) ein betragsgleicher negativer Wert bei \(h\) vorliegt. An der Stelle \(x = e\) gilt \(h(e) = -1\). Somit ist \(h(x) = -\ln(x)\).

a) Die Funktionsterme sind \(g(x) = 2\ln(x)\) und \(h(x) = -\ln(x)\). b) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Streckung des Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2. Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse.

- Überlege dir, für welche Werte von \(x\) der Ausdruck im Logarithmus positiv sein muss. - Schau dir im Graphen an, in welchen Bereichen die Funktionswerte oberhalb der x-Achse liegen. - Wie beeinflusst eine streng monoton steigende äußere Funktion das Monotonieverhalten der inneren Funktion bei einer Verkettung?

1. Bestimmung der Definitionsmenge \(D_g\): Da das Argument des Logarithmus positiv sein muss, gilt \(f(x) > 0\). Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass \(f(x) > 0\) für \(x < -1\) und für \(x > 1\) gilt. Somit ist \(D_g = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\). 2. Untersuchung des Monotonieverhaltens: Die Funktion \(f\) ist auf jedem der Intervalle \((-\infty;-1)\) und \((1;\infty)\) streng monoton fallend. Da die natürliche Logarithmusfunktion \(u \mapsto \ln(u)\) für \(u > 0\) streng monoton steigend ist, bleibt die Monotonierichtung bei der Verkettung erhalten. 3. Ergebnis: Die Funktion \(g\) ist in den Intervallen \((-\infty; -1)\) und \((1; \infty)\) jeweils streng monoton fallend.

Die maximale Definitionsmenge ist \(D_g = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\). Die Funktion \(g\) ist in beiden Teilintervallen ihres Definitionsbereichs streng monoton fallend.

- Nutze Nullstelle und Asymptoten des Graphen, um einen passenden Term für \(k\) zu finden. - Welche Vorzeichenbedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Teile die Zahlengerade an den Stellen auf, an denen Zähler oder Nenner von \(k\) null werden.

1. Der Graph zeigt eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\), eine Nullstelle bei \(x=5\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y=1\). Ein passender Funktionsterm ist daher \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). 2. Für den Logarithmus muss \(k(x)>0\) gelten. Zu lösen ist also \(\frac{x-5}{x-2}>0\). 3. Für \(x<2\) sind Zähler und Nenner beide negativ, also ist der Quotient positiv. Für \(2<x<5\) haben Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen, also ist der Quotient negativ. Für \(x>5\) sind beide positiv. 4. Damit ist \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[\). Das ist genau \(\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). Es gilt \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[=\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit der Ausdruck im Logarithmus sinnvoll ist? - Erinnere dich an die Regeln für den Logarithmus eines Quotienten und einer Potenz. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn \(f(x) = f(-x)\) gilt? - Wie verändert ein Faktor vor dem Logarithmus oder ein Minuszeichen das Aussehen des Graphen?

1. Definitionsbereich: Der Bruch \(\frac{e}{x^2}\) ist definiert für \(x \neq 0\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) gilt, ist das Argument des Logarithmus immer positiv. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Umformung: Anwendung des Quotientengesetzes \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) ergibt \(f(x) = \ln(e) - \ln(x^2)\). Mit \(\ln(e) = 1\) und dem Potenzgesetz \(\ln(x^2) = 2 \cdot \ln|x|\) folgt \(f(x) = 1 - 2 \cdot \ln|x|\). 3. Symmetrie: Wegen \(f(-x) = 1 - 2 \cdot \ln|-x| = 1 - 2 \cdot \ln|x| = f(x)\) ist die Funktion gerade; der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Transformationen: Der rechte Zweig des Graphen von \(y = \ln(x)\) für \(x > 0\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt; zusammen mit dem ursprünglichen rechten Zweig entsteht der Graph von \(y = \ln|x|\) mit zwei Kurvenzweigen. Dieser wird mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt, an der \(x\)-Achse gespiegelt (wegen des Minuszeichens) und schließlich um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Nachweis durch \(\ln(e) - \ln(x^2) = 1 - 2 \cdot \ln|x|\). c) Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor 2), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um 1 nach oben; Spiegelung des rechten Zweigs an der \(y\)-Achse ergänzt den linken Zweig, sodass zwei Kurvenzweige entstehen (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse).

- Wenn sich die Intensität verdoppelt, wie verändert sich dann der Wert im Logarithmus? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck für den doppelten oder n-fachen Schallpegel aufzuspalten. - Bedenke beim zweiten Teil, dass die Anzahl der Maschinen eine natürliche Zahl sein muss. - Wie viel Dezibel kommen hinzu, wenn man die Anzahl der Quellen verzehnfacht?

1. Für a): Bei zwei Geräten verdoppelt sich die Intensität auf \(2I\). Der neue Pegel ist \(L_2 = \frac{10}{\ln(10)} \cdot \ln\left(\frac{2I}{I_0}\right) = \frac{10}{\ln(10)} \cdot (\ln(2) + \ln\left(\frac{I}{I_0}\right))\). 2. Dies entspricht \(L_2 = \frac{10 \cdot \ln(2)}{\ln(10)} + 85\,\text{dB}\). Die Rechnung ergibt eine Erhöhung um ca. \(3{,}01\,\text{dB}\), also insgesamt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). 3. Für b): Der Pegel soll um \(\Delta L = 100\,\text{dB} - 85\,\text{dB} = 15\,\text{dB}\) steigen. Bei \(n\) Geräten gilt: \(\Delta L = \frac{10 \cdot \ln(n)}{\ln(10)}\). 4. Umstellen nach \(n\): \(1{,}5 = \frac{\ln(n)}{\ln(10)}\), woraus folgt \(\ln(n) = 1{,}5 \cdot \ln(10)\). 5. Auflösen mittels Exponentialfunktion: \(n = e^{1{,}5 \cdot \ln(10)} = 10^{1{,}5} \approx 31{,}62\). Da eine ganzzahlige Anzahl an Geräten gesucht ist, sind 32 Presslufthämmer nötig.

a) Der Schallpegel beträgt ca. \(88{,}01\,\text{dB}\). b) Es müssen mindestens 32 Presslufthämmer gleichzeitig betrieben werden.

- Achte beim Definitionsbereich auf das Vorzeichen vor dem \(x\). - Überlege, was passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negativ große) Werte annimmt. - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du \(x = 0\) einsetzen. - Gehe bei den Transformationen Schritt für Schritt vor (Spiegelungen und Verschiebungen). - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von \(G(x)\).

1. Definitionsbereich: \(5 - x > 0 \Rightarrow x < 5\), also \(D_g = ]-\infty; 5[\). 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 5^-\) gilt \(\ln(5 - x) \to -\infty\), also \(g(x) \to 2 - (-\infty) = +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(\ln(5 - x) \to +\infty\), also \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(g(0) = 2 - \ln 5\), also \(S_y(0 \mid 2 - \ln 5)\). Nullstelle: \(2 - \ln(5 - x) = 0 \Rightarrow \ln(5 - x) = 2 \Rightarrow 5 - x = e^2 \Rightarrow x = 5 - e^2\), also \(N(5 - e^2 \mid 0)\). 4. Transformationen: \(y_1 = \ln x \xrightarrow{\text{Spiegelung an } y\text{-Achse}} y_2 = \ln(-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 5 nach rechts}} y_3 = \ln(-(x-5)) = \ln(5-x) \xrightarrow{\text{Spiegelung an } x\text{-Achse}} y_4 = -\ln(5-x) \xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 nach oben}} y_5 = 2 - \ln(5-x)\). 5. Monotonie: \(\ln x\) ist steigend \(\xrightarrow{\text{Refl. } y}\) fallend \(\xrightarrow{\text{Refl. } x}\) steigend. Verschiebungen ändern die Monotonie nicht. 6. Ableitung prüfen: \(G'(x) = 3 + (-1) \cdot \ln(5 - x) + (5 - x) \cdot \frac{-1}{5 - x} = 3 - \ln(5 - x) - 1 = 2 - \ln(5 - x) = g(x)\). 7. Jede Stammfunktion von \(g\) hat die Form \(H(x)=G(x)+C\). Aus \(H(4)=0\) folgt \(12+C=0\), also \(C=-12\). Damit ist \(H(x)=3x+(5-x)\cdot\ln(5-x)-12\).

a) \(D_g = ]-\infty; 5[\); \(\lim_{x \to 5^-} g(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) b) \(S_y(0 \mid 2 - \ln 5)\); \(N(5 - e^2 \mid 0)\) c) Spiegelung an der \(y\)-Achse, Verschiebung um 5 nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um 2 nach oben. \(g\) ist streng monoton steigend. d) \(H(x)=3x+(5-x)\cdot\ln(5-x)-12\)

- Erinnerst du dich an die Potenzregel beim Ableiten von ganzrationalen Termen? - Betrachte die Vorzeichen und die Potenzen der Ableitungsreihe. Wie kommst du von einem Glied zum nächsten? - Welche Formel kennst du für die Summe einer unendlichen Reihe, bei der jedes Glied durch Multiplikation mit einem festen Faktor aus dem vorherigen entsteht?

1. Wir leiten die ersten vier Glieder einzeln ab: \(\frac{d}{dx}(x) = 1\) \(\frac{d}{dx}(-\frac{1}{2}x^2) = -x\) \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = x^2\) \(\frac{d}{dx}(-\frac{1}{4}x^4) = -x^3\) Die resultierende Reihe beginnt also mit \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\). 2. Eine unendliche geometrische Reihe hat die Form \(a + aq + aq^2 + \dots\) mit der Summe \(S = \frac{a}{1-q}\). Vergleicht man dies mit der Ableitungsreihe \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\), so erkennt man das erste Glied \(a = 1\) und den Quotienten \(q = -x\). Eingesetzt in die Summenformel ergibt sich: \(S = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1+x}\). Dies entspricht exakt der Ableitung \(f'(x)\).

1. Die Ableitungsreihe beginnt mit \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\). 2. Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit \(a=1\) und \(q=-x\). Die Summe ist \(\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}\), was der Ableitung von \(\ln(1+x)\) entspricht.

- Setze den Logarithmus gleich einer Variable \(y\) und schreibe die Gleichung in die entsprechende Potenzform um. - Wie verhält sich eine Potenz \(a^y\), wenn die Basis größer als 1 ist und der Exponent positiv wird? - Wie ändert sich dieses Verhalten, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt? - Vergleiche die Lage der Basis \(0{,}2\) und des Arguments \(5\) relativ zur Zahl 1.

1. Sei \(y = \log_a(x)\). Es soll untersucht werden, wann \(y > 0\) gilt. 2. Fall \(a > 1\): Die Exponentialfunktion \(a^y\) ist streng monoton steigend. Daher gilt \(y>0 \iff a^y>a^0=1\). Mit \(a^y=x\) folgt \(y>0 \iff x>1\). 3. Fall \(0<a<1\): Die Exponentialfunktion \(a^y\) ist streng monoton fallend. Daher gilt \(y>0 \iff a^y<a^0=1\). Mit \(a^y=x\) folgt \(y>0 \iff 0<x<1\). 4. Damit ist \(\log_a(x)>0\) genau dann, wenn Basis und Argument auf derselben Seite von \(1\) liegen. 5. Bei \(\log_{0{,}2}(5)\) liegt die Basis zwischen \(0\) und \(1\), das Argument aber über \(1\). Der Logarithmus ist daher negativ.

1. Für \(a>1\) gilt \(\log_a(x)>0 \iff x>1\). Für \(0<a<1\) gilt \(\log_a(x)>0 \iff 0<x<1\). Damit ist der Logarithmus genau dann positiv, wenn Basis und Argument auf derselben Seite von \(1\) liegen. 2. Negativ, da die Basis \(0{,}2<1\) und das Argument \(5>1\) auf verschiedenen Seiten von \(1\) liegen.

- Welchen kleinsten Wert kann eine einfache Exponentialfunktion \(e^x\) niemals erreichen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, die im Exponenten steht? - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit?

1. Da \(e^{0{,}5x}\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annimmt und für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) strebt, nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -4\). Da die Funktion streng monoton steigt, ist der Wertebereich \(W_f = ]-4; \infty[\). 2. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion wird \(y = 2e^{0{,}5x} - 4\) nach \(x\) aufgelöst: \(y + 4 = 2e^{0{,}5x} \Rightarrow \frac{y+4}{2} = e^{0{,}5x} \Rightarrow 0{,}5x = \ln\left(\frac{y+4}{2}\right) \Rightarrow x = 2 \cdot \ln\left(\frac{y+4}{2}\right)\). Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) mit \(D_{f^{-1}} = W_f = ]-4; \infty[\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x}\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer als \(0\). Da die Funktion somit auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend ist, ist sie injektiv und damit umkehrbar.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y > -4\}\); waagerechte Asymptote \(y = -4\). b) \(f^{-1}(x) = 2\ln\left(\frac{x+4}{2}\right)\) (oder \(2\ln(0{,}5x + 2)\)); \(D_{f^{-1}} = ]-4; \infty[\). c) \(f'(x) = e^{0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), daher ist \(f\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

- Bestimme für jeden Term den Definitionsbereich. Wo darf die Funktion nicht gezeichnet werden? - Prüfe auf Symmetrie: Ersetze \(x\) durch \(-x\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Wo liegen die Nullstellen der Funktionen? - Gibt es Stellen, an denen der Nenner eines Bruchs null wird? Dort findest du oft senkrechte Asymptoten.

1. Graph a) gehört zu \(h_1(x) = \ln(x+3)\). Der Definitionsbereich ist \(x > -3\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -2\), da \(\ln(-2+3) = \ln(1) = 0\). 2. Graph b) gehört zu \(h_2(x) = \ln(x^2 + 1)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(h_2(-x) = h_2(x)\)) und hat ihren Tiefpunkt im Ursprung \((0\mid0)\). 3. Graph c) gehört zu \(h_3(x) = x - \ln(x)\). Die Funktion ist nur für \(x > 0\) definiert. Sie besitzt ein lokales Minimum bei \(x = 1\), da \(h_3'(x) = 1 - \frac{1}{x}\) bei \(x = 1\) null ist und \(h_3''(1) = 1 > 0\) gilt. Der Funktionswert dort ist \(h_3(1) = 1 - \ln(1) = 1\). 4. Graph d) gehört zu \(h_4(x) = \frac{1}{\ln(x)}\). Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei \(x = 1\) (da \(\ln(1) = 0\)), was zu einer senkrechten Asymptote führt. Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und damit \(h_4(x) \to 0^-\); bei \(x = 0\) liegt keine Polstelle vor.

Graph a) gehört zu \(h_1(x) = \ln(x+3)\), Graph b) zu \(h_2(x) = \ln(x^2 + 1)\), Graph c) zu \(h_3(x) = x - \ln(x)\) und Graph d) zu \(h_4(x) = \frac{1}{\ln(x)}\).

- Übersetze die geforderte Definitionsmenge von \(\ln(k(x))\) zuerst in eine Vorzeichenbedingung für \(k\). - Vergleiche bei beiden Graphen, auf welchen Intervallen sie oberhalb der \(x\)-Achse liegen. - Nutze anschließend Nullstelle, Polstelle und einen gut ablesbaren Punkt, um den Faktor vor dem Bruch zu bestimmen.

1. Für \(D_g=]-4;2[\) muss \(k(x)>0\) genau für \(-4<x<2\) gelten. 2. Graph A liegt zwischen seiner Nullstelle bei \(x=-4\) und seiner Polstelle bei \(x=2\) oberhalb der \(x\)-Achse; außerhalb dieses Intervalls ist er negativ. Graph B besitzt nicht dieses Vorzeichenmuster. Daher ist Graph A gesucht. 3. Nullstelle und Polstelle führen zum Ansatz \(k(x)=a\frac{x+4}{2-x}\). Der Graph enthält den Punkt \(P(0\mid2)\). Damit gilt \(2=a\frac{4}{2}=2a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\). Für diesen Term gilt \(k(x)>0\) genau auf \(]-4;2[\).

Graph A ist korrekt. Ein passender Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\).