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- Betrachte die besondere Form der drei Vektoren. - Welche Kantenlängen kannst du unmittelbar aus den Komponenten ablesen? - Bei drei zueinander senkrechten Kanten stimmt der Betrag des Spatprodukts mit dem Produkt der Kantenlängen überein.

1. Zuerst wird das Vektorprodukt der ersten beiden Kantenvektoren berechnet: \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\). 2. Das Spatprodukt ist \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0\cdot0+0\cdot0+6\cdot4=24\). 3. Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des Spats. Daher gilt \(V=24\,\text{VE}\).

\(V=24\,\text{VE}\)

- Welche geometrische Größe misst der Betrag des Spatprodukts? - Was bedeutet es geometrisch, wenn diese Größe null ist? - Überlege, ob die drei Richtungen dann wirklich drei Raumdimensionen aufspannen können.

1. Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des aufgespannten Spats. 2. Bei einem Spatprodukt von \(0\) ist dieses Volumen \(0\). 3. Damit spannen die drei Vektoren keinen dreidimensionalen Körper auf; sie sind komplanar.

Das Volumen ist \(0\,\text{VE}\); die drei Vektoren sind komplanar.

- Überlege dir, wie das Volumen eines Spats (Parallelepipeds) mit dem Volumen einer dreiseitigen Pyramide zusammenhängt. - Wähle einen Punkt als gemeinsamen Ausgangspunkt für drei Vektoren, die die Kanten der Pyramide aufspannen. - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn drei aufspannende Vektoren bekannt sind? - Achte darauf, dass das Ergebnis für ein Volumen immer positiv sein muss.

1. Bestimmung der Repräsentanten der Kantenvektoren von einem gemeinsamen Eckpunkt aus: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kreuzprodukts zweier Kantenvektoren: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Spatprodukts durch Bildung des Skalarprodukts mit dem dritten Vektor: \(\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = -10 + 8 + 44 = 42\). 4. Anwendung der Volumenformel für Tetraeder: \(V = \frac{1}{6} \cdot |42| = 7\).

Das Volumen der Pyramide beträgt \(7\,\text{VE}\) (Volumeneinheiten).

- Überlege, wie man mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet. - Welche besondere Lage haben die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) im Koordinatensystem? Das könnte die Flächenberechnung vereinfachen. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen einer Pyramide, die das Spatprodukt nutzt.

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 0\) ist, beträgt der Winkel \(\alpha = 90^\circ\). 3. Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\): \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\,\text{FE}\). 4. Volumen der Pyramide: Mit \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und dem Kreuzprodukt \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\) ergibt sich das Volumen über das Spatprodukt: \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6} \cdot |0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 12 \cdot 4| = \frac{48}{6} = 8\,\text{VE}\).

a) \(\alpha = 90^\circ\) b) \(A_{ABC} = 6\,\text{FE}\) c) \(V = 8\,\text{VE}\)

- Unterscheide zwischen dem orientierten Wert des Spatprodukts und einer geometrischen Volumenangabe. - Welche Rechenoperation macht aus einem möglicherweise negativen Spatprodukt ein Volumen? - Überlege für Teil c), welche Eigenschaft des Vektorprodukts sich beim Vertauschen seiner Faktoren auswirkt.

1. Es ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\). 2. Daher gilt \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=2\cdot(-3)=-6\). 3. Das geometrische Volumen ist der Betrag des Spatprodukts: \(V=|-6|=6\). 4. Beim Vertauschen von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) wechselt das Vektorprodukt sein Vorzeichen. Das Spatprodukt wird deshalb \(6\) statt \(-6\). 5. Der Betrag bleibt \(6\); das Volumen ändert sich also nicht.

a) \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=-6\) b) \(V=6\) c) Das Spatprodukt wechselt zu \(6\); das Volumen bleibt \(6\).

- Erinnere dich an die Definition des Kreuzprodukts für den ersten Teil. - Das Spatprodukt kombiniert das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt. - Was gibt das Vorzeichen des Spatprodukts über die Orientierung der Vektoren an und wie erhält man daraus ein Volumen?

1. Berechnung des Vektorprodukts \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts von \(\vec{n}\) und \(\vec{w}\): \((-6) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 7 \cdot 5 = -6 - 2 + 35 = 27\). 3. Das Volumen des aufgespannten Spats ist der Betrag des Spatprodukts: \(V = |27| = 27\).

a) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\) b) \(27\) c) \(V = 27\,\text{VE}\)

- Welche Vektoren spannen die Pyramide auf? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Spatprodukt und dem Volumen eines Tetraeders. - Gehe schrittweise vor: Zuerst die Vektoren bilden, dann das Kreuzprodukt und schließlich das Skalarprodukt berechnen. - Kannst du die Formel \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\) anwenden?

1. Aufstellen der Vektoren, die die Pyramide vom Punkt \(E\) aus aufspannen: \(\vec{EF} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{EG} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{EH} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kreuzprodukts von \(\vec{EF}\) und \(\vec{EG}\): \(\vec{EF} \times \vec{EG} = \begin{pmatrix} -3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot 3 - (-3) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 15 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Spatprodukts (Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt und \(\vec{EH}\)): \(\begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = -18 - 2 + 90 = 70\). 4. Berechnung des Pyramidenvolumens: \(V = \frac{1}{6} \cdot |70| = \frac{70}{6} = \frac{35}{3} \approx 11{,}67\).

Das Volumen der Pyramide beträgt \(\frac{35}{3}\,\text{VE} \approx 11{,}67\,\text{VE}\).

- Wie hängen das Volumen eines Spats und das einer dreiseitigen Pyramide mit den gleichen Kantenvektoren zusammen? - Welche geometrische Bedeutung hat der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren für das aufgespannte Dreieck? - Erinnere dich an die allgemeine Volumenformel für Pyramiden, um die Höhe zu isolieren. - Achte darauf, das Spatprodukt korrekt mit dem Faktor für Pyramiden zu skalieren.

1. Berechnung des Kreuzprodukts der Basisvektoren: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-2) - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche \(G = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{65} \approx 4{,}03\,\text{FE}\). 3. Berechnung des Spatprodukts für das Volumen: \(|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{s}| = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = |-4 + 6 + 10| = 12\). 4. Bestimmung des Pyramidenvolumens: \(V = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2\,\text{VE}\). 5. Berechnung der Höhe über die Formel \(V = \frac{1}{3} G h\): \(h = \frac{3V}{G} = \frac{3 \cdot 2}{0{,}5 \sqrt{65}} = \frac{12}{\sqrt{65}} \approx 1{,}49\,\text{LE}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(G = \frac{1}{2} \sqrt{65} \approx 4{,}03\,\text{FE}\). b) Das Volumen der Pyramide beträgt \(V = 2\,\text{VE}\). c) Die Länge der Höhe beträgt \(h = \frac{12}{\sqrt{65}} \approx 1{,}49\,\text{LE}\).

- Das Volumen eines Spats berechnest du mit dem Betrag des Spatprodukts der aufspannenden Vektoren. - Achte beim Auflösen der Gleichung für das Volumen darauf, dass der Betrag zwei Fälle ermöglicht. - Überlege dir, was es für das Volumen bedeutet, wenn die aufspannenden Vektoren alle in einer Ebene (komplanar) liegen. - Das Spatprodukt kombiniert das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt.

1. Berechnung des Kreuzprodukts: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 - 0\cdot 3 \\ -(2\cdot 1 - 0\cdot 1) \\ 2\cdot 3 - 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Spatprodukt und Volumen: \(V(k) = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}_k| = |1 \cdot 1 + (-2) \cdot (k-1) + 5 \cdot 4| = |1 - 2k + 2 + 20| = |23 - 2k|\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(V=15\): Fall 1: \(23 - 2k = 15 \implies 2k = 8 \implies k = 4\). Fall 2: \(23 - 2k = -15 \implies 2k = 38 \implies k = 19\). 4. Komplanarität: Die Punkte liegen in einer Ebene, wenn das Volumen des aufgespannten Spats null ist. \(23 - 2k = 0 \implies k = 11{,}5\).

a) \(V(k) = |23 - 2k|\) b) \(k = 4\) oder \(k = 19\) c) Für \(k = 11{,}5\) ist das Volumen \(0\), was bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind und somit in einer Ebene liegen.

- Welche Vektoreigenschaften gelten in einem Parallelogramm für gegenüberliegende Seiten? - Wie hängen die Punkte der Deckfläche eines Spats mit den Punkten der Grundfläche zusammen? - Erinnere dich an die geometrische Bedeutung des Spatprodukts.

1. Berechnung von \(D\): Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 4-1 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|2)\). 2. Berechnung von \(F, G, H\): Die Vektoren der Seitenkanten sind alle gleich \(\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\). \(\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{AE} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \implies F(6|2|6)\). \(\vec{OG} = \vec{OC} + \vec{AE} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \implies G(7|5|6)\). \(\vec{OH} = \vec{OD} + \vec{AE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \implies H(3|5|6)\). 3. Volumenberechnung: \(V = |(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}|\). \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). \(\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\). \(V = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = |0 + 0 + 48| = 48\).

a) \(D(2|4|2)\) b) \(F(6|2|6)\), \(G(7|5|6)\), \(H(3|5|6)\) c) \(V = 48\,\text{VE}\)

- Was fällt dir an den dritten Koordinaten der Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) auf? - Bestimme den Grundflächeninhalt mit dem Vektorprodukt zweier Seitenvektoren. - Für das Tetraedervolumen brauchst du den passenden Bruchteil des Spatvolumens. - Verbinde anschließend Volumen, Grundflächeninhalt und Höhe.

1. Für die Grundfläche gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). Daher beträgt der Flächeninhalt \(G=\frac12\cdot12=6\) Flächeneinheiten. 3. Mit \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}\) ergibt sich \(V=\frac16| (\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}|=\frac16|72|=12\) Volumeneinheiten. 4. Aus \(V=\frac13Gh\) folgt \(h=\frac{3V}{G}=6\) Längeneinheiten. Dass \(P,Q,R\) alle die dritte Koordinate \(2\) besitzen, bestätigt die Höhe auch unmittelbar.

a) \(6\) Flächeneinheiten b) \(12\) Volumeneinheiten c) \(6\) Längeneinheiten

- Wie hängen das Spatprodukt und das Volumen eines Parallelepipeds zusammen? - Welche geometrischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Spat ein Quader oder ein Würfel ist? - Untersuche die Winkel zwischen den Vektoren mithilfe des Skalarprodukts. - Vergleiche die Längen der drei aufspannenden Vektoren.

1. Berechnung des Kreuzprodukts der ersten beiden Vektoren: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 4 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot (-3) - 4 \cdot 4 \\ 4 \cdot 0 - 0 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -25 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Volumens über das Spatprodukt: \(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |0 \cdot 0 + (-25) \cdot 5 + 0 \cdot 0| = |-125| = 125\). 3. Untersuchung der Orthogonalität mittels Skalarprodukten: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -12 + 0 + 12 = 0\); \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 + 0 + 0 = 0\); \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 + 0 + 0 = 0\). Da alle Skalarprodukte gleich null sind, stehen die Vektoren paarweise orthogonal (der Spat ist ein Quader). 4. Berechnung der Kantenlängen: \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\); \(|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = 5\); \(|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5\). 5. Schlussfolgerung: Da alle Kanten orthogonal zueinander stehen und dieselbe Länge besitzen, handelt es sich um einen Würfel.

a) Das Volumen des Spats beträgt \(125\,\text{VE}\). b) Es handelt sich um einen Würfel, da die aufspannenden Vektoren paarweise orthogonal sind (\(\vec{a} \perp \vec{b}\), \(\vec{a} \perp \vec{c}\), \(\vec{b} \perp \vec{c}\)) und alle die gleiche Länge (\(5\,\text{LE}\)) besitzen.

- Wie hängen die lineare Unabhängigkeit von Vektoren und das Volumen eines Körpers zusammen? - Überlege dir, wie das Volumen eines Tetraeders im Vergleich zu einem Spat (Parallelepiped) definiert ist.

1. Nachweis eines Tetraeders: Die Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig, da das Spatprodukt \(\left(\vec{AB} \times \vec{AC}\right) \cdot \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = 96 \neq 0\) ist. Damit liegen die Punkte nicht in einer gemeinsamen Ebene. 2. Volumenberechnung: Das Volumen eines Tetraeders berechnet sich durch \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|\). Mit dem Betrag des Spatprodukts \(|96|\) ergibt sich \(V = \frac{1}{6} \cdot 96 = 16\,\text{VE}\).

a) Da das Spatprodukt der aufspannenden Vektoren ungleich Null ist, bilden die Punkte ein Tetraeder. b) \(V = 16\,\text{VE}\)

- Bestimme drei Kantenvektoren, die am selben Eckpunkt beginnen. - Wie hängt das Tetraedervolumen vom Betrag des zugehörigen Spatprodukts ab? - Der Parameter tritt nur in einer Komponente des Spitzenvektors auf; beachte beim Lösen den Betrag.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\1+k\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt der Grundflächenvektoren ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 3. Damit ist \(V=\frac16|12(1+k)|=2|1+k|\). 4. Aus \(2|1+k|=10\) folgt \(|1+k|=5\). 5. Also gilt \(k=4\) oder \(k=-6\).

\(k=4\) oder \(k=-6\)

- Beginne mit zwei Grundflächenvektoren und einem Vektor von derselben Ecke zur Spitze. - Nutze die Distributivität des Skalarprodukts, nachdem \(\vec{AS_k}\) eingesetzt wurde. - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn der Verschiebungsvektor zum Normalenvektor der Grundfläche orthogonal ist?

1. Die aufspannenden Vektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}5\\7\\7\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\). 3. Damit beträgt das Volumen \(V=\frac{1}{6}|\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\7\\7\end{pmatrix}|=\frac{56}{3}\) Volumeneinheiten. 4. Für die neue Spitze gilt \(\vec{AS_k}=\vec{AS}+k\vec{v}\). Daher ist der relevante Spatproduktwert \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AS_k}=(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AS}+k(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{v}\). 5. Es ist \(\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-7\\0\end{pmatrix}=0\). Der Zusatzterm verschwindet also für jedes \(k\), und das Volumen bleibt \(\frac{56}{3}\). 6. Weil \(\vec{v}\) orthogonal zum Normalenvektor der Grundfläche ist, verläuft die Verschiebung parallel zur Grundfläche. Die Pyramidenhöhe bleibt daher unverändert.

a) \(V=\frac{56}{3}\) Volumeneinheiten b) Wegen \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{v}=0\) ist das Spatprodukt und damit das Volumen unabhängig von \(k\). c) \(\vec{v}\) verläuft parallel zur Grundfläche; deshalb bleibt die Höhe konstant.

- Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). - Wie hängen Kreuzprodukt und Flächeninhalt eines Dreiecks zusammen? - Nutze das Spatprodukt, um das Volumen direkt zu berechnen, und stelle anschließend die Volumenformel nach der Höhe um.

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 10 \end{pmatrix}\). 2. Kreuzprodukt der Grundseiten: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4-4 \\ -1-4 \\ 8-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix}\). 3. Volumenberechnung: \(V = \frac{1}{6} | \vec{n} \cdot \vec{AS} | = \frac{1}{6} | 0 \cdot 4 + (-5) \cdot 5 + 10 \cdot 10 | = \frac{75}{6} = 12{,}5\,\text{VE}\). 4. Grundflächeninhalt: \(G = \frac{1}{2} |\vec{n}| = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \frac{1}{2} \sqrt{125} = 2{,}5\sqrt{5} \approx 5{,}59\,\text{FE}\). 5. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{3V}{G} = \frac{3 \cdot 12{,}5}{2{,}5\sqrt{5}} = \frac{37{,}5}{2{,}5\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71\,\text{LE}\).

a) \(V = 12{,}5\,\text{VE}\) b) \(G = 2{,}5\sqrt{5} \approx 5{,}59\,\text{FE}\); \(h = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71\,\text{LE}\)

- Beginne damit, die Kantenvektoren zu bestimmen, die von einem gemeinsamen Eckpunkt ausgehen. - Das Spatprodukt liefert dir das Volumen des Parallelepipeds; wie viel davon entfällt auf den Tetraeder? - Die Höhe lässt sich direkt aus dem Volumen und der Grundfläche ableiten. - Überlege, ob die Reihenfolge der Vektoren im Spatprodukt das Endergebnis für das Volumen beeinflusst.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren von Punkt \(A\) aus: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kreuzprodukts der Grundflächenvektoren: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \sqrt{(-20)^2 + 0^2 + 15^2} = \frac{1}{2} \sqrt{400 + 225} = \frac{25}{2} = 12{,}5\,\text{FE}\). 4. Berechnung des Volumens mittels Spatprodukt: \(V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6} |(-20) \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 15 \cdot 1| = \frac{1}{6} |-25| = \frac{25}{6} \approx 4{,}17\,\text{VE}\). 5. Berechnung der Höhe: \(h_D = \frac{3V}{G} = \frac{3 \cdot \frac{25}{6}}{12{,}5} = \frac{12{,}5}{12{,}5} = 1\,\text{LE}\).

a) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) beträgt \(12{,}5\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Tetraeders beträgt \(V = \frac{25}{6} \approx 4{,}17\,\text{VE}\). c) Die Länge der Höhe beträgt \(h_D = 1\,\text{LE}\).

- Welche Formel verknüpft drei Vektoren direkt mit dem Volumen eines Spats? - Wie berechnet man das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt? - Überlege dir, welche Rechenoperationen bei der Berechnung des Spatprodukts durchgeführt werden und ob diese den Bereich der ganzen Zahlen verlassen können. - Was sagt ein verschwindendes Volumen über die Lage der aufspannenden Vektoren aus? - Unterscheide bei der Ganzzahligkeit zwischen der Länge eines Vektors (Wurzel aus Quadraten) und dem Skalarprodukt.

1. Berechnung des Kreuzprodukts von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\): \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Spatprodukts: \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}_k = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 7 \cdot k = 7k - 3\). 3. Das Volumen ist der Betrag des Spatprodukts: \(V(k) = |7k - 3|\). 4. Da alle Koordinaten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ganzzahlig sind, sind auch die Koordinaten ihres Kreuzprodukts ganzzahlig (da nur Produkte und Differenzen ganzer Zahlen vorkommen). Das Skalarprodukt mit einem ganzzahligen Vektor \(\vec{c}_k\) ergibt somit eine Summe von Produkten ganzer Zahlen, was stets eine ganze Zahl ist. 5. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35\). Dies ist keine ganze Zahl. Somit ist die Fläche eines Parallelogramms mit ganzzahligen Eckpunkten im Raum nicht zwingend ganzzahlig. 6. Nullstellen von \(V(k)\): \(|7k - 3| = 0 \implies k = \frac{3}{7}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die drei Vektoren linear abhängig sind und in einer gemeinsamen Ebene liegen (komplanar sind).

a) \(V(k) = |7k - 3|\) b) Das Spatprodukt besteht nur aus Multiplikationen und Additionen/Subtraktionen der ganzzahligen Koordinaten, deren Ergebnis immer ganzzahlig ist. c) \(A = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35\). Nein, der Flächeninhalt muss im Raum nicht ganzzahlig sein. d) \(k = \frac{3}{7}\). Die Vektoren sind komplanar (liegen in einer Ebene).

- Wie hängt der Betrag des Kreuzprodukts mit der Fläche eines Parallelogramms zusammen? - Nutze die Definition des Skalarprodukts über den Winkel, um das Volumen zu berechnen, auch wenn die Koordinaten von \(\vec{w}\) nicht vollständig bekannt sind. - Stell dir den Spat als festes Objekt im Raum vor – ändert sich sein Inhalt, wenn du ihn drehst oder eine andere Seite nach unten legst? - Was bedeutet der Betrag beim Spatprodukt geometrisch?

1. Berechnung des Kreuzprodukts für die Grundfläche: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 4 \cdot 5 \\ 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 5 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix}\). 2. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist der Betrag des Kreuzprodukts: \(G = \sqrt{(-20)^2 + 0^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\,\text{FE}\). 3. Das Volumen berechnet sich über das Skalarprodukt: \(V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|\). Mit der Definition des Skalarprodukts gilt \(V = |\vec{u} \times \vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos(30^{\circ})\). 4. Einsetzen der Werte: \(V = 25 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3} \approx 129{,}90\,\text{VE}\). 5. Zur Erklärung der Identität: Beide Ausdrücke berechnen das Volumen desselben geometrischen Körpers (des Spats). Da das Volumen eines Körpers unabhängig davon ist, welche Fläche man als Grundfläche wählt und aus welcher Richtung man die Höhe misst, müssen die Beträge der Spatprodukte identisch sein. Algebraisch entspricht dies der zyklischen Vertauschbarkeit im Spatprodukt.

a) \(G = 25\,\text{FE}\) b) \(V = 75\sqrt{3} \approx 129{,}90\,\text{VE}\) c) Beide Terme entsprechen dem Volumen desselben Spats, berechnet mit unterschiedlichen Grundflächen. Da das Volumen eine feste Eigenschaft des Körpers ist, sind die Beträge gleich.

- Überlege dir, welche Eigenschaften ein Viereck erfüllen muss, um ein Quadrat zu sein (Seitenlängen, Winkel, Parallelität). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. - Das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche beträgt genau ein Drittel des Volumens des zugehörigen Spats. - Wie berechnet man die Höhe einer Pyramide, wenn die Spitze und die Grundebene bekannt sind? - Prüfe, ob der Vektor von der Mitte der Grundfläche zur Spitze parallel zum Normalenvektor der Ebene ist.

1. Nachweis Quadrat: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{16+4+16} = 6\) und \(|\vec{AD}| = \sqrt{16+16+4} = 6\). Da \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 16 - 8 - 8 = 0\), stehen die Seiten senkrecht aufeinander. Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{AD}\) ist \(ABCD\) ein Quadrat. 2. Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - (-4) \cdot (-4) \\ (-4) \cdot 4 - 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot (-4) - 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -24 \\ -24 \end{pmatrix}\). Der Betrag \(|\vec{n}| = \sqrt{144+576+576} = 36\) entspricht dem Flächeninhalt des Quadrats \(ABCD\). 3. Volumen über Spatprodukt: \(\vec{AS_k} = \begin{pmatrix} 4+k \\ -1+2k \\ -1+2k \end{pmatrix}\). \(V(k) = \frac{1}{3} |(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AS_k}| = \frac{1}{3} |(-12) \cdot (4+k) - 24 \cdot (-1+2k) - 24 \cdot (-1+2k)| = \frac{1}{3} |-48-12k+24-48k+24-48k| = \frac{1}{3} |-108k| = 36|k|\). 4. Geometrischer Weg: \(\vec{MS_k} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ 2k \end{pmatrix}\). Da \(\vec{MS_k} = -\frac{k}{12} \vec{n}\), ist die Höhe parallel zum Normalenvektor. Für \(k=2\) ist \(h = |\vec{MS_2}| = \sqrt{2^2+4^2+4^2} = 6\). \(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72\). Der Vergleich mit \(V(2) = 36 \cdot 2 = 72\) bestätigt das Ergebnis.

a) Nachweis über gleiche Seitenlängen (\(6\)), Orthogonalität (\(0\)-Skalarprodukt) und Parallelität. b) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -12 \\ -24 \\ -24 \end{pmatrix}\); \(|\vec{n}| = 36\) ist der Flächeninhalt des Quadrats. c) \(V(k) = 36|k|\). d) Es gilt \(\vec{MS_k} = -\frac{k}{12} \vec{n}\); daher steht die Gerade durch \(M\) und \(S_k\) für \(k \neq 0\) senkrecht auf der Grundfläche. Für \(k=2\) ergibt sich \(V = 72\) über beide Rechenwege.

- Nutze die Vektoraddition, um den fehlenden Punkt der Grundfläche zu finden. - Das Volumen lässt sich über den Betrag des Spatprodukts der drei aufspannenden Vektoren berechnen. - Überlege dir, wie das Volumen eines Prismas oder Spats allgemein aus Grundfläche und Höhe berechnet wird, und stelle die Formel um.

1. Berechnung von \(D\): Im Parallelogramm \(ABCD\) gilt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\). \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Also \(D(1|3|2)\). 2. Volumenberechnung: \(V = |(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}|\). \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AE} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\). \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-3 \\ 9-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). \(V = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = |1 - 3 + 40| = 38\). 3. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{V}{G}\), wobei \(G = |\vec{AB} \times \vec{AD}|\) der Flächeninhalt der Grundfläche ist. \(G = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 10^2} = \sqrt{110} \approx 10{,}49\). \(h = \frac{38}{\sqrt{110}} \approx 3{,}62\).

a) \(D(1|3|2)\) b) \(V = 38\,\text{VE}\) c) \(h = \frac{38}{\sqrt{110}} \approx 3{,}62\,\text{LE}\)

- Nutze das Spatprodukt, um das Volumen allgemein auszudrücken. Denke an die Betragsstriche. - Wann genau wird aus einem allgemeinen Spat ein Quader? Welche Rolle spielen dabei die Winkel? - Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Vektor senkrecht auf einem anderen steht? - Setze den ermittelten Parameterwert am Ende in deine Volumenformel ein.

1. Berechnung des Kreuzprodukts: \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Aufstellen der Volumenfunktion: \(V(t) = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}_t| = |-3 \cdot t + 6 \cdot 6 + (-6) \cdot (-6)| = |-3t + 72|\,\text{VE}\). 3. Bedingung für einen Quader: Die Vektoren müssen paarweise orthogonal sein. Prüfung von \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 - 2 - 2 = 0\) (bereits orthogonal). 4. Bestimmung von \(t\) durch Orthogonalität von \(\vec{w}_t\) zu \(\vec{u}\): \(\vec{w}_t \cdot \vec{u} = 2t + 12 - 6 = 2t + 6 = 0 \implies t = -3\). 5. Überprüfung der Orthogonalität zu \(\vec{v}\): \(\vec{w}_{-3} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-3) - 6 + 12 = 0\). Die Bedingung ist für \(t = -3\) erfüllt. 6. Berechnung des Volumens für \(t = -3\): \(V(-3) = |-3 \cdot (-3) + 72| = |9 + 72| = 81\,\text{VE}\).

a) \(V(t) = |72 - 3t|\,\text{VE}\) b) Der Spat ist ein Quader für \(t = -3\). Das Volumen beträgt in diesem Fall \(81\,\text{VE}\).