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- Suche zuerst den Ausdruck, der vollständig in eine andere Funktion eingesetzt wird. - Die äußere Funktion wirkt auf das Ergebnis der inneren Funktion.

1. Der Ausdruck im Exponenten ist die innere Funktion: \(u(x)=x^2+1\). 2. Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion \(v(t)=e^t\). Damit gilt \(h(x)=v(u(x))\).

\(u(x)=x^2+1\), \(v(t)=e^t\)

- Was passiert, wenn du eine Funktion in eine andere einsetzt? Ersetze das \(x\) der äußeren Funktion durch den gesamten Term der inneren Funktion. - Die Definitionsmenge einer verketteten Funktion wird sowohl durch die innere Funktion als auch durch die Anforderungen der äußeren Funktion eingeschränkt. - Erinnere dich an die Definitionsbereiche der natürlichen Exponentialfunktion und der Quadratwurzelfunktion.

1. Untersuchung von \(f = u \circ v\): - Funktionsterm: \(f(x) = u(v(x)) = \sqrt{e^x + 2}\). - Definitionsmenge: Die innere Funktion \(v(x) = e^x\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert und nimmt stets positive Werte an (\(e^x > 0\)). Die äußere Funktion \(u(z) = \sqrt{z+2}\) erfordert \(z \geq -2\). Da \(e^x + 2 > 2\) für alle \(x\) gilt, ist die Bedingung immer erfüllt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\). 2. Untersuchung von \(g = v \circ u\): - Funktionsterm: \(g(x) = v(u(x)) = e^{\sqrt{x+2}}\). - Definitionsmenge: Die innere Funktion \(u(x) = \sqrt{x+2}\) ist nur für \(x+2 \geq 0\), also \(x \geq -2\), definiert. Die äußere Funktion \(v(z) = e^z\) ist für alle reellen Argumente definiert. Daher wird die Definitionsmenge allein durch die innere Funktion eingeschränkt. Somit ist \(D_g = [-2; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{e^x + 2}\) mit \(D_f = \mathbb{R}\) \(g(x) = e^{\sqrt{x+2}}\) mit \(D_g = [-2; \infty[\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Funktion in einer anderen steht? - Welchen Teil des Ausdrucks berechnest du zuerst? - Kannst du das Ergebnis des inneren Teils als neuen Startwert für den äußeren Teil nutzen? - Was bedeutet die Schreibweise mit dem Kringel-Symbol \(\circ\)?

1. Berechnung von \(f(g(3))\): Der innere Funktionswert ist \(g(3) = 2 - 3 = -1\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1\). 2. Berechnung von \(g(f(-2))\): Der innere Funktionswert ist \(f(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(8) = 2 - 8 = -6\). 3. Berechnung von \((f \circ g)(1)\): Dies entspricht \(f(g(1))\). Der innere Wert ist \(g(1) = 2 - 1 = 1\). Einsetzen in \(f\) ergibt \(f(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 = -1\). 4. Berechnung von \((g \circ g)(5)\): Dies entspricht \(g(g(5))\). Der innere Wert ist \(g(5) = 2 - 5 = -3\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(-3) = 2 - (-3) = 5\).

a) \(-1\) b) \(-6\) c) \(-1\) d) \(5\)

- Erinnere dich an die Bedeutung der Schreibweise \((p \circ q)(x)\). - Was passiert mit der eulerschen Zahl, wenn der Exponent Null ist? - Achte darauf, in welcher Reihenfolge die Funktionen angewendet werden. - Kannst du den Term \(e^1\) noch einfacher schreiben?

1. Berechnung von \(p(q(0))\): Zuerst wird der innere Wert \(q(0) = 4 \cdot 0 + 1 = 1\) bestimmt. Dieser wird in \(p\) eingesetzt: \(p(1) = e^{1-1} = e^0 = 1\). 2. Berechnung von \(q(p(1))\): Zuerst wird der innere Wert \(p(1) = e^{1-1} = 1\) bestimmt. Dieser wird in \(q\) eingesetzt: \(q(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5\). 3. Berechnung von \((p \circ q)(0{,}25)\): Dies entspricht \(p(q(0{,}25))\). Der innere Wert ist \(q(0{,}25) = 4 \cdot 0{,}25 + 1 = 2\). Einsetzen in \(p\) ergibt \(p(2) = e^{2-1} = e^1 = e\). 4. Berechnung von \(q(q(-1))\): Der innere Wert ist \(q(-1) = 4 \cdot (-1) + 1 = -3\). Einsetzen in die äußere Funktion ergibt \(q(-3) = 4 \cdot (-3) + 1 = -11\).

a) \(1\) b) \(5\) c) \(e\) d) \(-11\)

- Überlege dir zuerst, welche Funktion die „innere“ und welche die „äußere“ Funktion bei der jeweiligen Verkettung ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Operation nicht kommutativ ist? Denke an die Reihenfolge. - Ein einziger Punkt, an dem sich die Funktionswerte unterscheiden, reicht aus, um zu zeigen, dass zwei Funktionen nicht identisch sind.

1. Bestimmung der Funktionsterme: Für \(u(x) = f(g(x))\) wird \(g(x)\) in \(f\) eingesetzt: \(u(x) = e^{x^2 + 2}\). Für \(v(x) = g(f(x))\) wird \(f(x)\) in \(g\) eingesetzt: \(v(x) = (e^x)^2 + 2 = e^{2x} + 2\). 2. Berechnung der Funktionswerte an der Stelle \(x = 0\): \(u(0) = e^{0^2 + 2} = e^2 \approx 7{,}389\) \(v(0) = e^{2 \cdot 0} + 2 = e^0 + 2 = 1 + 2 = 3\) 3. Da \(u(0) \neq v(0)\) gilt, sind die Funktionen \(u\) und \(v\) verschieden. Damit ist gezeigt, dass die Verkettung \(f \circ g\) nicht dasselbe Ergebnis liefert wie \(g \circ f\).

a) \(u(x) = e^{x^2 + 2}\) und \(v(x) = e^{2x} + 2\) b) \(u(0) = e^2\) und \(v(0) = 3\). Da \(e^2 \neq 3\), ist \(f \circ g \neq g \circ f\).

- Überlege dir bei einer Verkettung wie \(f = u \circ v \circ w\), welche Funktion als Erstes auf das \(x\) angewendet wird. Man arbeitet sich von rechts nach links bzw. von innen nach außen vor. - Ersetze Schritt für Schritt die Funktionsargumente durch die jeweiligen Terme der inneren Funktionen. - Achte beim Berechnen von Funktionswerten mit trigonometrischen Funktionen darauf, ob das Argument im Bogenmaß vorliegt.

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(w(x)))\): Zuerst wird \(w(x) = \cos(x)\) in \(v\) eingesetzt, was \(v(w(x)) = \cos^2(x)\) ergibt. Die Anwendung von \(u\) auf dieses Ergebnis liefert den Term \(f(x) = 3\cos^2(x) - 2\). 2. Bestimmung von \(g(x) = w(v(u(x)))\): Zuerst wird \(u(x) = 3x - 2\) in \(v\) eingesetzt, was \(v(u(x)) = (3x - 2)^2\) ergibt. Die Anwendung von \(w\) liefert den Term \(g(x) = \cos((3x - 2)^2)\). 3. Berechnung von \(f(\pi)\): Einsetzen von \(\pi\) in den Term von \(f\) ergibt \(3 \cdot \cos^2(\pi) - 2\). Mit \(\cos(\pi) = -1\) folgt \(3 \cdot (-1)^2 - 2 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\).

a) \(f(x) = 3\cos^2(x) - 2\) und \(g(x) = \cos((3x - 2)^2)\) b) \(f(\pi) = 1\)

- Überlege dir, welchen Rechenschritt du als Erstes ausführen würdest, wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt. Dieser Schritt gehört zur inneren Funktion. - Stell dir vor, das Ergebnis der ersten Rechnung wäre ein einzelner Platzhalter (z. B. \(z\)). Wie sieht die restliche Formel aus, wenn du diesen Platzhalter verwendest? - Oft gibt es Klammern, Exponenten oder Argumente von Funktionen (wie bei \(\sin\) oder \(\ln\)), die den inneren Teil markieren. - Es gibt oft mehrere richtige Möglichkeiten, eine Funktion zu zerlegen. Wähle die einfachste Struktur.

Zur Bestimmung der Teilfunktionen identifiziert man den Teilterm, der zuerst berechnet wird (innere Funktion \(v\)), und die Operation, die darauf angewendet wird (äußere Funktion \(u\)). 1. Bei \(f(x) = e^{3x^2 - 5}\) wird zuerst der Exponent berechnet: \(v(x) = 3x^2 - 5\). Die äußere Operation ist die Exponentialfunktion: \(u(x) = e^x\). 2. Bei \(f(x) = \frac{2}{\sin(x) - 4}\) wird zuerst der Nenner (oder Teile davon) berechnet: \(v(x) = \sin(x) - 4\). Die äußere Struktur ist ein Bruch: \(u(x) = \frac{2}{x}\). 3. Bei \(f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x^2}\right)\) steht der rationale Term im Argument: \(v(x) = \frac{2x + 1}{x^2}\). Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus: \(u(x) = \ln(x)\). 4. Bei \(f(x) = 4(\sqrt{x} + 1)^5\) wird zuerst die Summe in der Klammer berechnet: \(v(x) = \sqrt{x} + 1\). Die äußere Funktion potenziert und multipliziert: \(u(x) = 4x^5\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(v(x) = 3x^2 - 5\) und \(u(x) = e^x\) b) \(v(x) = \sin(x) - 4\) und \(u(x) = \frac{2}{x}\) c) \(v(x) = \frac{2x + 1}{x^2}\) und \(u(x) = \ln(x)\) d) \(v(x) = \sqrt{x} + 1\) und \(u(x) = 4x^5\)

- Stelle dir vor, du müsstest den Funktionswert für eine bestimmte Zahl berechnen. Welchen Teil des Terms würdest du zuerst ausrechnen? Das ist deine innere Funktion. - Welche Rechenoperation wird ganz am Ende auf das Zwischenergebnis angewendet? Das ist die äußere Funktion. - Achte darauf, dass die äußere Funktion \(u\) als Variable das Ergebnis der inneren Funktion \(v\) erhält.

1. Identifikation der inneren Funktion \(v(x)\) als die Operation, die zuerst auf \(x\) angewendet wird, und der äußeren Funktion \(u(x)\) als die darauf folgende Operation. 2. Ergebnisse für die Teilaufgaben: a) \(v(x) = 3x - 4\) und \(u(x) = \ln(x)\). b) \(v(x) = \cos(x)\) und \(u(x) = \sqrt{x}\). c) \(v(x) = e^x + 2\) und \(u(x) = x^5\). d) \(v(x) = \frac{1}{x}\) und \(u(x) = e^x\).

a) \(v(x) = 3x - 4\), \(u(x) = \ln(x)\) b) \(v(x) = \cos(x)\), \(u(x) = \sqrt{x}\) c) \(v(x) = e^x + 2\), \(u(x) = x^5\) d) \(v(x) = \frac{1}{x}\), \(u(x) = e^x\)

- Überlege dir, in welcher Reihenfolge du einen konkreten Wert für \(x\) berechnen würdest. - Die Funktion, die du als Letztes anwendest, ist die äußere Funktion \(u\). - Die Funktion, die direkt auf \(x\) wirkt, ist die innerste Funktion \(w\). - Achte bei Potenzen wie \(\sin^4(x)\) darauf, dass dies eine abkürzende Schreibweise für \((\sin(x))^4\) ist.

Die Zerlegung erfolgt schrittweise von innen nach außen: 1. Für Teilaufgabe a): Die innerste Operation ist der lineare Term \(w(x) = 5x + 2\). Dieser wird potenziert mit \(3\), also \(v(x) = x^3\). Die äußere Funktion bildet den Kehrwert, somit \(u(x) = \frac{1}{x}\). 2. Für Teilaufgabe b): Der innerste Teil ist das Quadrat \(w(x) = x^2\). Darauf wird der Kosinus angewendet, also \(v(x) = \cos x\). Die äußerste Operation ist die Wurzel, folglich \(u(x) = \sqrt{x}\). 3. Für Teilaufgabe c): Zuerst wird die Verschiebung \(w(x) = x - \pi\) berechnet. Darauf wirkt die Sinusfunktion \(v(x) = \sin x\). Die vierte Potenz bildet den Abschluss mit \(u(x) = x^4\).

a) \(w(x) = 5x + 2\); \(v(x) = x^3\); \(u(x) = \frac{1}{x}\) b) \(w(x) = x^2\); \(v(x) = \cos x\); \(u(x) = \sqrt{x}\) c) \(w(x) = x - \pi\); \(v(x) = \sin x\); \(u(x) = x^4\)

- Was ist die „Hauptstruktur“ der Funktion (z. B. eine Wurzel oder ein Bruch)? Das ist oft die äußere Funktion \(u\). - Versuche, den Funktionsterm wie eine Zwiebel von außen nach innen zu schälen. - Gibt es einen Ausdruck, der in einer Klammer steht? Das ist oft ein guter Kandidat für eine innere Funktion.

Die Funktionen werden durch Analyse der Rechenhierarchie zerlegt: 1. Bei a) ist die innerste Funktion die lineare Funktion \(w(x) = 2x\). Die mittlere Ebene ist die Sinusfunktion \(v(x) = \sin x\). Die äußere Hülle bildet die dritte Wurzel \(u(x) = \sqrt[3]{x}\). 2. Bei b) stellt das Polynom unter der Wurzel die innerste Funktion dar: \(w(x) = x^2 + 4x\). Die mittlere Funktion ist die Wurzel \(v(x) = \sqrt{x}\) und die äußere Funktion der Kehrwert \(u(x) = \frac{1}{x}\). 3. Bei c) startet man mit der Kosinusfunktion \(w(x) = \cos x\). Die mittlere Operation ist die Addition von \(1\), also \(v(x) = x + 1\). Die äußere Funktion ist die Potenzierung \(u(x) = x^5\).

a) \(w(x) = 2x\); \(v(x) = \sin x\); \(u(x) = \sqrt[3]{x}\) b) \(w(x) = x^2 + 4x\); \(v(x) = \sqrt{x}\); \(u(x) = \frac{1}{x}\) c) \(w(x) = \cos x\); \(v(x) = x + 1\); \(u(x) = x^5\)

- Stelle dir vor, du müsstest einen Wert für \(x\) einsetzen. Welche Rechnung führst du zuerst aus? - Die letzte Operation, die du beim Berechnen des Funktionsterms ausführst, entspricht meist der äußeren Funktion. - Gibt es einen Ausdruck, der im Term mehrfach oder in einer Klammer vorkommt?

1. Identifikation der inneren Operation: Zuerst wird die Summe innerhalb der Klammer gebildet. Daher setzen wir die innere Funktion als \(v(x) = x + \frac{1}{x}\) fest. 2. Bestimmung der äußeren Operation: Das Ergebnis der inneren Funktion wird mit der dritten Potenz potenziert. Somit ist die äußere Funktion \(u(x) = x^3\). 3. Überprüfung durch Verkettung: \(u(v(x)) = u\left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = f(x)\).

Eine mögliche Zerlegung ist \(v(x) = x + \frac{1}{x}\) und \(u(x) = x^3\).

- Oft gibt es nicht nur eine richtige Lösung. Überlege dir, welche Teile des Terms du als zusammengehörig betrachten kannst. - Kannst du den Term unter der Wurzel als eine eigene Funktion auffassen? - Was passiert, wenn du nur die Sinusfunktion als inneren Kern wählst? Wie müsste die äußere Funktion dann aussehen, um den Rest des Terms abzubilden?

Für diese Funktion gibt es mehrere korrekte Zerlegungen: Weg A: 1. Innere Funktion \(v(x) = \sin(x)\). 2. Äußere Funktion \(u\), die das Quadrat bildet, 1 addiert und die Wurzel zieht: \(u(x) = \sqrt{1 + x^2}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + (\sin(x))^2} = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\). Weg B: 1. Innere Funktion \(v(x) = \sin^2(x)\). 2. Äußere Funktion \(u(x) = \sqrt{1 + x}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\). Weg C: 1. Innere Funktion \(v(x) = 1 + \sin^2(x)\). 2. Äußere Funktion \(u(x) = \sqrt{x}\). 3. Prüfung: \(u(v(x)) = \sqrt{1 + \sin^2(x)}\).

Mögliche Zerlegungen sind: 1. \(v(x) = \sin(x)\) und \(u(x) = \sqrt{1 + x^2}\) 2. \(v(x) = \sin^2(x)\) und \(u(x) = \sqrt{1 + x}\) 3. \(v(x) = 1 + \sin^2(x)\) und \(u(x) = \sqrt{x}\)

- Überlege zuerst, was der Ausdruck \(f(g(x))\) bedeutet. Welche Funktion wird zuerst angewendet? - Bestimme für einen gegebenen \(x\)-Wert zuerst den Funktionswert der inneren Funktion am entsprechenden Graphen. - Verwende das Ergebnis der inneren Funktion als neuen \(x\)-Wert (Eingabe) für die äußere Funktion. - Lies dann den endgültigen Funktionswert am Graphen der äußeren Funktion ab.

Die verketteten Funktionen werden von innen nach außen ausgewertet. 1. Für \(h(x) = f(g(x))\): - Für \(h(0) = f(g(0))\): Am orangefarbenen Graphen von \(g\) liest man \(g(0) = 2\) ab. Am blauen Graphen von \(f\) liest man \(f(2) = 0\) ab. Somit ist \(h(0) = 0\). - Für \(h(2) = f(g(2))\): Am Graphen von \(g\) gilt \(g(2) = 0\). Am Graphen von \(f\) gilt \(f(0) = -2\). Somit ist \(h(2) = -2\). - Für \(h(4) = f(g(4))\): Am Graphen von \(g\) gilt \(g(4) = -2\). Am Graphen von \(f\) gilt \(f(-2) = 0\). Somit ist \(h(4) = 0\). 2. Für \(k(x) = g(f(x))\): - Für \(k(-2) = g(f(-2))\): Am blauen Graphen von \(f\) liest man \(f(-2) = 0\) ab. Am orangefarbenen Graphen von \(g\) liest man \(g(0) = 2\) ab. Somit ist \(k(-2) = 2\). - Für \(k(0) = g(f(0))\): Am Graphen von \(f\) gilt \(f(0) = -2\). Am Graphen von \(g\) gilt \(g(-2) = 4\). Somit ist \(k(0) = 4\). - Für \(k(2) = g(f(2))\): Am Graphen von \(f\) gilt \(f(2) = 0\). Am Graphen von \(g\) gilt \(g(0) = 2\). Somit ist \(k(2) = 2\).

a) \(h(0) = 0\) b) \(h(2) = -2\) c) \(h(4) = 0\) d) \(k(-2) = 2\) e) \(k(0) = 4\) f) \(k(2) = 2\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte man überhaupt in die einzelnen Funktionen einsetzen darf. - Bei einer Summe oder einem Produkt müssen die Werte in beide Funktionen gleichzeitig eingesetzt werden können. - Was passiert bei einer Verkettung? Welcher Wert wird zuerst berechnet und wo muss das Ergebnis dann „hineinpassen“? - Kannst du eine Bedingung formulieren, damit der Nenner eines Bruchs nicht Null wird?

1. Bestimmung der Definitionsmengen der Ausgangsfunktionen: \(D_f = \mathbb{R}\) und \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 2. Für die Summe \(f + g\): Der Funktionsterm lautet \((f+g)(x) = x^2 - 1 + \frac{2}{x+3}\). Die Definitionsmenge ist die Schnittmenge \(D_f \cap D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). 3. Für die Verkettung \(g \circ f\): Der Funktionsterm ist \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{2}{(x^2 - 1) + 3} = \frac{2}{x^2 + 2}\). Die Definitionsmenge umfasst alle \(x \in D_f\), für die \(f(x) \in D_g\) gilt. Da \(x^2 - 1 = -3 \iff x^2 = -2\) keine reelle Lösung besitzt, ist \(D_{g \circ f} = \mathbb{R}\). 4. Für die Verkettung \(f \circ g\): Der Funktionsterm ist \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = \left(\frac{2}{x+3}\right)^2 - 1 = \frac{4}{(x+3)^2} - 1\). Die Definitionsmenge umfasst alle \(x \in D_g\), für die \(g(x) \in D_f\) gilt. Da \(D_f = \mathbb{R}\), ist die einzige Einschränkung \(x \neq -3\), also \(D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).

a) \((f+g)(x) = x^2 - 1 + \frac{2}{x+3}\) mit \(D_{f+g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\) b) \((g \circ f)(x) = \frac{2}{x^2 + 2}\) mit \(D_{g \circ f} = \mathbb{R}\) c) \((f \circ g)(x) = \frac{4}{(x+3)^2} - 1\) mit \(D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

- Beachte, welche Werte in den natürlichen Logarithmus eingesetzt werden dürfen. - Bei einer Verkettung muss das Ergebnis der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen. - Löse für Teil b) die Bedingung \(x^2-4>0\). - Prüfe bei Teil c), ob die quadratische äußere Funktion zusätzliche Einschränkungen verursacht.

1. Es gilt \(D_u=]0;\infty[\) und \(D_v=\mathbb{R}\). 2. Für das Produkt gilt \((u\cdot v)(x)=(x^2-4)\ln(x)\) mit \(D_{u\cdot v}=]0;\infty[\). 3. Für \(u\circ v\) gilt \((u\circ v)(x)=\ln(x^2-4)\). Wegen \(x^2-4>0\) ist \(D_{u\circ v}=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\). 4. Für \(v\circ u\) gilt \((v\circ u)(x)=(\ln(x))^2-4\). Da lediglich \(x>0\) erforderlich ist, gilt \(D_{v\circ u}=]0;\infty[\).

a) \((u\cdot v)(x)=(x^2-4)\ln(x)\) mit \(D_{u\cdot v}=]0;\infty[\) b) \((u\circ v)(x)=\ln(x^2-4)\) mit \(D_{u\circ v}=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\) c) \((v\circ u)(x)=(\ln(x))^2-4\) mit \(D_{v\circ u}=]0;\infty[\)

- Überlege dir, wie du den Ausgangswert einer Funktion als Eingangswert für die nächste Funktion nutzen kannst. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term zu vereinfachen. - Was bedeutet der Begriff „momentane Änderungsrate“ mathematisch für eine Funktion?

1. Zur Bestimmung der zusammengesetzten Funktion \(A(t)\) wird der Term für \(T(t)\) in die Funktion \(A(T)\) eingesetzt: \(A(t) = A(T(t)) = -0{,}01 \cdot ((15 + 2t) - 25)^2 + 10\). 2. Vereinfachung des inneren Terms: \(15 + 2t - 25 = 2t - 10\). 3. Einsetzen und Ausmultiplizieren: \(A(t) = -0{,}01 \cdot (2t - 10)^2 + 10 = -0{,}01 \cdot (4t^2 - 40t + 100) + 10 = -0{,}04t^2 + 0{,}4t - 1 + 10 = -0{,}04t^2 + 0{,}4t + 9\). 4. Die momentane Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung: \(A'(t) = -0{,}08t + 0{,}4\). 5. Berechnung für \(t = 2\): \(A'(2) = -0{,}08 \cdot 2 + 0{,}4 = -0{,}16 + 0{,}4 = 0{,}24\).

a) \(A(t) = -0{,}04t^2 + 0{,}4t + 9\) b) Die momentane Änderungsrate beträgt \(0{,}24\,\frac{\text{Einheiten}}{\text{Stunde}}\).

- Setze bei der Verkettung den gesamten Term der inneren Funktion in die äußere Funktion ein. - Bei der anschließenden Scharanalyse wird \(k\) als fester Parameter behandelt. - Für die Lage des Hochpunkts brauchst du eine stationäre Stelle und eine Prüfung ihrer Art. - Die Bedingung \(y=4\) betrifft anschließend nur die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts.

1. Es gilt \(h_k(x)=f(g_k(x))=e^{-x^2+k}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(h_k'(x)=-2xe^{-x^2+k}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, folgt aus \(h_k'(x)=0\) die einzige stationäre Stelle \(x=0\). 3. Mit \(h_k''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2+k}\) gilt \(h_k''(0)=-2e^k<0\). Daher liegt der Hochpunkt bei \(H(0\mid e^k)\). 4. Für einen Hochpunkt auf der Geraden \(y=4\) muss \(e^k=4\) gelten. Somit ist \(k=\ln4\approx1{,}386\).

a) \(h_k(x)=e^{-x^2+k}\) b) \(H(0\mid e^k)\) c) \(k=\ln4\approx1{,}386\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte du überhaupt in die innere Funktion einsetzen darfst. - Achte darauf, dass die Ergebnisse der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen müssen. - Bei Bruchtermen darf der Nenner niemals Null werden. - Bei Wurzelfunktionen mit reellen Werten darf der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) nicht negativ sein.

1. Teilaufgabe a): - Bildung von \(f(x) = u(v(x)) = \frac{2}{x^2-4}\). Die innere Funktion \(v\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für die äußere Funktion \(u\) muss das Argument \(x^2 \neq 4\) sein, woraus \(x \neq 2\) und \(x \neq -2\) folgt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). - Bildung von \(g(x) = v(u(x)) = \left(\frac{2}{x-4}\right)^2 = \frac{4}{(x-4)^2}\). Die innere Funktion \(u\) verlangt \(x \neq 4\). Die äußere Funktion \(v\) ist für alle reellen Werte definiert. Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 2. Teilaufgabe b): - Bildung von \(f(x) = u(v(x)) = \sqrt{x} - 5\). Die innere Funktion \(v\) verlangt \(x \geq 0\). Die äußere Funktion \(u\) ist für alle reellen Werte definiert. Somit ist \(D_f = [0; \infty[\). - Bildung von \(g(x) = v(u(x)) = \sqrt{x-5}\). Die innere Funktion \(u\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Damit der Radikand der äußeren Funktion \(v\) nicht negativ wird, muss \(x-5 \geq 0\) gelten, also \(x \geq 5\). Somit ist \(D_g = [5; \infty[\).

a) \(f(x) = \frac{2}{x^2-4}\) mit \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); \(g(x) = \frac{4}{(x-4)^2}\) mit \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) b) \(f(x) = \sqrt{x} - 5\) mit \(D_f = [0; \infty[\); \(g(x) = \sqrt{x-5}\) mit \(D_g = [5; \infty[\)

- Setze den gesamten Funktionsterm der einen Funktion für jedes \(x\) in den Term der anderen Funktion ein. Achte dabei auf die Klammersetzung. - Zwei lineare Funktionen sind genau dann identisch, wenn sowohl ihre Steigungen als auch ihre y-Achsenabschnitte übereinstimmen. - Wähle für den Nachweis der Nicht-Kommutativität einen möglichst einfachen Wert für den Parameter, um die Rechnung kurzzuhalten.

1. Aufstellen der verketteten Terme: \(h(x) = f(g(x)) = 2(3x + c) + 5 = 6x + 2c + 5\) \(k(x) = g(f(x)) = 3(2x + 5) + c = 6x + 15 + c\) 2. Bedingung für Kommutativität (\(h(x) = k(x)\)): Die Steigungen \(6x\) sind identisch. Ein Vergleich der y-Achsenabschnitte liefert: \(2c + 5 = 15 + c\) \(c = 10\) 3. Nachweis der Nicht-Kommutativität für \(c \neq 10\): Wählt man zum Beispiel \(c = 0\), so ergibt sich: \(h(x) = 6x + 5\) und \(k(x) = 6x + 15\). Da \(6x + 5 \neq 6x + 15\) für alle \(x\), ist die Verkettung für \(c = 0\) nicht kommutativ.

a) \(h(x) = 6x + 2c + 5\) und \(k(x) = 6x + 15 + c\) b) \(c = 10\) c) Beispiel \(c = 0\): \(h(x) = 6x + 5\) und \(k(x) = 6x + 15\). Da \(h(x) \neq k(x)\), ist die Verkettung nicht kommutativ.

- Prüfe für jede Verkettung zuerst den Definitionsbereich der inneren Funktion. - Welche zusätzliche Bedingung stellt der natürliche Logarithmus an sein Argument? - Bei der zweiten Verkettung darf außerdem der Nenner nicht null werden. - Löse die ausgeschlossene Gleichung für \(\ln(x)\) und anschließend für \(x\).

1. Es gilt \(f(x)=u(v(x))=\ln\left(\frac{1}{x^2-4}\right)\). 2. Das Logarithmusargument muss positiv sein. Daher ist \(x^2-4>0\), also \(D_f=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\). 3. Es gilt \(g(x)=v(u(x))=\frac{1}{(\ln(x))^2-4}\). 4. Zunächst muss \(x>0\) gelten. Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden: \((\ln(x))^2\neq4\). 5. Die ausgeschlossenen Werte erfüllen \(\ln(x)=2\) oder \(\ln(x)=-2\), also \(x=e^2\) oder \(x=e^{-2}\). 6. Damit ist \(D_g=]0;e^{-2}[\cup]e^{-2};e^2[\cup]e^2;\infty[\).

\(f(x)=\ln\left(\frac{1}{x^2-4}\right)\) mit \(D_f=]-\infty;-2[\cup]2;\infty[\) \(g(x)=\frac{1}{(\ln(x))^2-4}\) mit \(D_g=]0;e^{-2}[\cup]e^{-2};e^2[\cup]e^2;\infty[\)

- Was muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Achte bei einem Bruch darauf, dass der Nenner niemals den Wert Null annimmt. - Untersuche bei Ungleichungen mit Brüchen die Vorzeichen von Zähler und Nenner in verschiedenen Intervallen. - Die Definitionsmenge der inneren Funktion ist immer die Basis für die Definitionsmenge der gesamten Kette.

1. Der Funktionsterm für \(f(x) = u(v(x))\) lautet \(f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\). 2. Für \(D_f\) muss \(v(x)\) definiert sein (\(x \neq 1\)) und der Radikand nichtnegativ sein (\(\frac{x+3}{x-1} \geq 0\)). Eine Vorzeichenbetrachtung der Linearfaktoren ergibt, dass der Bruch für \(x \leq -3\) oder \(x > 1\) positiv oder Null ist. Somit ist \(D_f = ]-\infty; -3] \cup ]1; \infty[\). 3. Der Funktionsterm für \(g(x) = v(u(x))\) lautet \(g(x) = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\). 4. Für \(D_g\) muss \(u(x)\) definiert sein (\(x \geq 0\)) und der Nenner von \(g(x)\) darf nicht Null werden (\(\sqrt{x}-1 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1\)). 5. Damit ergibt sich für die Definitionsmenge \(D_g = [0; 1[ \cup ]1; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\) mit \(D_f = ]-\infty; -3] \cup ]1; \infty[\) \(g(x) = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\) mit \(D_g = [0; 1[ \cup ]1; \infty[\)

- Um eine Funktion zu zerlegen, hilft es, sich vorzustellen, in welcher Reihenfolge man einen Wert für \(x\) berechnen würde. - Was passiert zuerst mit dem \(x\), was danach und was ganz am Ende? - Für den Wertebereich solltest du dir überlegen, welche Werte der Ausdruck im Nenner annehmen kann. Was ist der kleinste mögliche Wert für \(x^2 + e\)? - Wie verhält sich der Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Zerlegung der Funktion: Die innerste Operation ist \(x^2 + e\), also \(h(x) = x^2 + e\). Darauf wird der Logarithmus angewendet, also \(g(x) = \ln(x)\). Die äußere Funktion bildet den Kehrwert und multipliziert mit 4, also \(f(x) = \frac{4}{x}\). 2. Untersuchung des Wertebereichs: Da \(x^2 \geq 0\), gilt für das Argument des Logarithmus \(x^2 + e \geq e\). 3. Da die Logarithmusfunktion für \(x \geq e\) streng monoton steigt, folgt \(\ln(x^2 + e) \geq \ln(e) = 1\). 4. Für den Funktionsterm \(k(x) = \frac{4}{\ln(x^2 + e)}\) bedeutet dies, dass der Nenner Werte im Intervall \([1; \infty[\) annimmt. 5. Der größte Funktionswert ergibt sich beim kleinsten Nenner: \(k_{\text{max}} = \frac{4}{1} = 4\). Wenn der Nenner gegen unendlich strebt, nähert sich der Funktionswert von oben der Null an. Da der Nenner stets positiv ist, gilt \(k(x) > 0\). Somit ist \(W = ]0; 4]\).

a) Mögliche Lösung: \(h(x) = x^2 + e\), \(g(x) = \ln(x)\) und \(f(x) = \frac{4}{x}\) b) \(W = ]0; 4]\)

- Bei einer dreifachen Verkettung gehst du schrittweise vor: Was passiert ganz innen, was in der Mitte und was ganz außen? - Achte bei b) genau auf die Vorgabe für die äußere Funktion \(u\). Wenn \(u\) die Wurzel ist, muss \(v\) der gesamte Radikand (der Term unter der Wurzel) sein. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Funktionen nacheinander wieder ineinander einsetzt.

1. Für die dreifache Verkettung in Aufgabenteil a) analysiert man die Hierarchie der Operationen von innen nach außen: Zuerst wird das Quadrat gebildet (\(k(x) = x^2\)), dann der Kosinuswert genommen und um 2 erhöht (\(g(x) = \cos(x) + 2\)), und zuletzt die Wurzel gezogen (\(f(x) = \sqrt{x}\)). Alternativ ist auch \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x)\) und \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) möglich. 2. Für Aufgabenteil b) soll \(u\) eine Wurzelfunktion sein, also \(u(x) = \sqrt{x}\). Damit die gesamte Funktion \(h(x)\) entsteht, muss die innere Funktion \(v\) alles enthalten, was unter der Wurzel steht: \(v(x) = \cos(x^2) + 2\).

a) Eine mögliche Lösung ist: \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x) + 2\) und \(f(x) = \sqrt{x}\). (Ebenfalls korrekt: \(k(x) = x^2\), \(g(x) = \cos(x)\) und \(f(x) = \sqrt{x + 2}\)). b) \(v(x) = \cos(x^2) + 2\) und \(u(x) = \sqrt{x}\).

- Was bedeutet die Schreibweise \((a \circ b)(x)\) für die Reihenfolge der Berechnung? - Kannst du den Funktionswert der inneren Funktion zuerst in der Tabelle nachschlagen? - Was passiert mit dem Ergebnis der ersten Funktion, wenn du es als Eingabe für die zweite Funktion nutzt?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(f(x) = a(b(x))\): \(x = -3: a(b(-3)) = a(-1) = 1\) \(x = -2: a(b(-2)) = a(1) = -2\) \(x = -1: a(b(-1)) = a(0) = -3\) \(x = 0: a(b(0)) = a(-3) = 0\) \(x = 1: a(b(1)) = a(-2) = -1\) 2. Berechnung der Funktionswerte für \(g(x) = b(a(x))\): \(x = -3: b(a(-3)) = b(0) = -3\) \(x = -2: b(a(-2)) = b(-1) = 0\) \(x = -1: b(a(-1)) = b(1) = -2\) \(x = 0: b(a(0)) = b(-3) = -1\) \(x = 1: b(a(1)) = b(-2) = 1\)

<table> <tr> <td>\(x\)</td> <td>-3</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>0</td> <td>1</td> </tr> <tr> <td>\(f(x)\)</td> <td>1</td> <td>-2</td> <td>-3</td> <td>0</td> <td>-1</td> </tr> <tr> <td>\(g(x)\)</td> <td>-3</td> <td>0</td> <td>-2</td> <td>-1</td> <td>1</td> </tr> </table>

- Beginne bei Teilaufgabe a) mit der Bestimmung des Wertes in der inneren Klammer. - Für Teilaufgabe b) solltest du für jedes \(x\) nacheinander beide Seiten der Gleichung getrennt berechnen und vergleichen. - Denk daran, dass das Ergebnis der ersten Funktion die Eingabe für die zweite Funktion ist.

1. Berechnung von \(u(v(4))\): Zuerst wird der innere Wert \(v(4) = 3\) aus der Tabelle abgelesen. Danach wird \(u(3) = 4\) bestimmt. 2. Überprüfung der Gleichung \((u \circ v)(x) = (v \circ u)(x)\) für alle \(x\): \(x = 1: u(v(1)) = u(2) = 1\) und \(v(u(1)) = v(3) = 1\). Da \(1 = 1\), ist \(x = 1\) eine Lösung. \(x = 2: u(v(2)) = u(4) = 5\) und \(v(u(2)) = v(1) = 2\). Da \(5 \neq 2\), keine Lösung. \(x = 3: u(v(3)) = u(1) = 3\) und \(v(u(3)) = v(4) = 3\). Da \(3 = 3\), ist \(x = 3\) eine Lösung. \(x = 4: u(v(4)) = 4\) (aus Teil a) und \(v(u(4)) = v(5) = 5\). Da \(4 \neq 5\), keine Lösung. \(x = 5: u(v(5)) = u(5) = 2\) und \(v(u(5)) = v(2) = 4\). Da \(2 \neq 4\), keine Lösung.

a) \(u(v(4)) = 4\) b) \(x \in \{1, 3\}\)

- Kannst du den Term unter der Wurzel noch weiter in kleinere Schritte zerlegen? - Schau dir die Struktur von \(g(x)\) genau an. Wie unterscheidet sie sich von \(f(x)\)? - Wenn du die innere Funktion \(v\) bereits kennst, ersetze den gesamten Term \(v(x)\) in \(g(x)\) durch ein einfaches \(x\), um \(w(x)\) zu finden.

1. Für \(f = u \circ v\) wird der Term unter der Wurzel als innere Funktion gewählt: \(v(x) = e^{2x} + 1\). Die äußere Funktion ist die Wurzel: \(u(x) = \sqrt{x}\). 2. Für die dreifache Verkettung wird \(v(x)\) weiter zerlegt. Eine Möglichkeit ist \(r(x) = 2x\) (innerste), \(q(x) = e^x + 1\) (mittlere) und \(p(x) = \sqrt{x}\) (äußere). 3. Da \(g(x) = \frac{1}{e^{2x} + 1}\) und \(v(x) = e^{2x} + 1\), muss die Funktion \(w\) das Argument in den Nenner eines Bruchs setzen: \(w(x) = \frac{1}{x}\).

a) \(v(x) = e^{2x} + 1\), \(u(x) = \sqrt{x}\) b) Beispielhafte Lösung: \(r(x) = 2x\), \(q(x) = e^x + 1\), \(p(x) = \sqrt{x}\) c) \(w(x) = \frac{1}{x}\)

- Was passiert mit der höchsten Potenz einer Funktion, wenn man für die Variable \(x\) einen anderen Term einsetzt? - Erinnere dich an die Definition des Grades einer ganzrationalen Funktion. - Überlege dir, welche Potenzgesetze beim Rechnen mit Ausdrücken wie \((x^m)^n\) gelten.

1. Seien \(p(x) = a_n x^n + \dots\) und \(q(x) = b_m x^m + \dots\) mit \(a_n, b_m \neq 0\). Der Leitterm der Verkettung ergibt sich durch Einsetzen des Leitterms von \(q\) in den Leitterm von \(p\): \(a_n (b_m x^m)^n = a_n b_m^n x^{n \cdot m}\). Da \(a_n b_m^n \neq 0\), ist der Grad der verketteten Funktion das Produkt der Einzelgrade, also \(n \cdot m\). 2. Die Aussage ist falsch. Quadratische Funktionen haben den Grad 2. Die Verkettung zweier solcher Funktionen hat nach Teil 1 den Grad \(2 \cdot 2 = 4\). Eine Funktion vierten Grades ist keine quadratische Funktion. 3. Einsetzen von \(p(x)\) in sich selbst: \(h(x) = (x^2 - 2)^2 - 2 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 2 = x^4 - 4x^2 + 2\). Der Grad der Funktion \(h\) ist 4.

1. Der Grad ist \(n \cdot m\). 2. Die Aussage ist falsch, da die Verkettung den Grad 4 besitzt. 3. \(h(x) = x^4 - 4x^2 + 2\); der Grad ist 4.

- Erinnere dich an die formalen Bedingungen für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(-x) = f(x)\)) und Punktsymmetrie zum Ursprung (\(f(-x) = -f(x)\)). - Setze bei Verkettungen systematisch \(-x\) in die innere Funktion ein und arbeite dich nach außen vor. - Überlege dir für das Beispiel in c), wie eine Verschiebung durch die äußere Funktion wieder rückgängig gemacht oder symmetrisiert werden könnte. - Ein einfacher quadratischer Term eignet sich oft gut, um Symmetrie zu erzeugen.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Definition der Geradheit geprüft: \(f(-x) = u(v(-x))\). Da \(v\) ungerade ist, gilt \(v(-x) = -v(x)\). Da \(u\) gerade ist, folgt \(u(-v(x)) = u(v(x))\). Somit ist \(f(-x) = f(x)\), was die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse beweist. 2. In Teilaufgabe b) ergibt sich \(f(-x) = u(v(-x)) = u(-v(x))\). Da \(u\) ungerade ist, gilt \(u(-v(x)) = -u(v(x)) = -f(x)\). Die Funktion \(f\) ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade). 3. Für Teilaufgabe c) wählt man zum Beispiel \(v(x) = x + 1\). Diese Funktion ist weder gerade noch ungerade. Um \(f(x) = u(x+1)\) achsensymmetrisch zu machen, muss \(u\) so gewählt werden, dass \(u(-(x)+1) = u(x+1)\) gilt. Mit \(u(x) = (x-1)^2\) ergibt sich \(f(x) = ((x+1)-1)^2 = x^2\), was achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

a) Der Nachweis erfolgt über \(f(-x) = u(v(-x)) = u(-v(x)) = u(v(x)) = f(x)\). b) \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion), da \(f(-x) = -f(x)\) gilt. c) Ein mögliches Beispiel ist \(v(x) = x+1\) und \(u(x) = (x-1)^2\), woraus \(f(x) = x^2\) resultiert.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine Zahl mit einer geraden Hochzahl potenziert wird? - Untersuche, wie sich das Quadrieren auf ein negatives Vorzeichen auswirkt, das eventuell aus der Funktion \(g\) kommt. - Nutze die Definition der Symmetrie und ersetze jedes \(x\) durch \(-x\), um die resultierende Gleichung zu vereinfachen. - Denk an Rechengesetze wie das Kommutativgesetz, um Terme zu vergleichen.

1. Bei Teilaufgabe a) ist die innere Funktion \(v(x) = x^4 + 1\) gerade, da \((-x)^4 + 1 = x^4 + 1\). Da \(h(x) = f(v(x))\) gilt, folgt \(h(-x) = f(v(-x)) = f(v(x)) = h(x)\). Die Symmetrie der inneren Funktion vererbt sich hier auf die Gesamtfunktion. 2. In Teilaufgabe b) wird \(k(-x) = (g(-x))^2\) betrachtet. Ist \(g\) gerade, gilt \(g(-x) = g(x)\), also \((g(x))^2 = k(x)\). Ist \(g\) ungerade, gilt \(g(-x) = -g(x)\), woraus durch das Quadrieren \((-g(x))^2 = (g(x))^2 = k(x)\) folgt. In beiden Fällen ist \(k\) achsensymmetrisch. 3. Für Teilaufgabe c) prüft man \(s(-x) = g(-x) \cdot g(-(-x)) = g(-x) \cdot g(x)\). Aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist dies identisch zu \(g(x) \cdot g(-x) = s(x)\). Damit ist \(s\) eine gerade Funktion.

a) Da die innere Funktion \(v(x) = x^4 + 1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(v(-x) = v(x)\) und damit \(h(-x) = f(v(-x)) = f(v(x)) = h(x)\). b) Da \((-1)^2 = 1\) gilt, wird ein eventuelles Minuszeichen der Funktion \(g\) beim Quadrieren eliminiert, sodass in beiden Fällen \(k(-x) = k(x)\) resultiert. c) Durch Einsetzen von \(-x\) erhält man \(s(-x) = g(-x) \cdot g(x)\), was aufgrund der Kommutativität der Multiplikation gleich \(s(x)\) ist.

- Überlege, für welche Werte das Argument des Logarithmus gültig ist. - Welchen kleinsten und größten Wert kann der Ausdruck innerhalb der Klammer annehmen? - Wie verhält sich die Logarithmusfunktion gegenüber diesen minimalen und maximalen Eingabewerten?

1. Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Es muss also \(2 + \sin(x) > 0\) gelten. 2. Da der Wertebereich der Sinusfunktion \([-1; 1]\) ist, liegt der Ausdruck \(2 + \sin(x)\) im Bereich \([1; 3]\). Da alle diese Werte positiv sind, ist die Bedingung für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\). 3. Um die Wertemenge \(W_f\) zu bestimmen, betrachtet man die Extrema des Arguments \(u(x) = 2 + \sin(x)\). Der kleinste Wert ist \(u_{\min} = 1\), der größte Wert ist \(u_{\max} = 3\). 4. Da die Logarithmusfunktion im Bereich \([1; 3]\) streng monoton steigend ist, ergibt sich der kleinste Funktionswert zu \(f_{\min} = \ln(1) = 0\) und der größte zu \(f_{\max} = \ln(3)\). 5. Die Wertemenge ist somit \(W_f = [0; \ln(3)]\).

\(D_f = \mathbb{R}\) \(W_f = [0; \ln(3)]\)

- Welche Werte darfst du in die innere Funktion überhaupt einsetzen? - Gibt es Werte, die die innere Funktion ausgibt, welche die äußere Funktion nicht verarbeiten kann? - Achte bei Brüchen besonders auf die Stellen, an denen der Nenner null wird. - Überlege dir zuerst die Definitionsmenge der inneren Funktion und prüfe dann die Bedingungen der äußeren Funktion.

1. Bildung von \(f(x)\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u(x)\) ergibt \(f(x) = \frac{3}{(x^2 + 1) - 4} = \frac{3}{x^2 - 3}\). 2. Bestimmung von \(D_f\): Da \(v(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert ist, muss lediglich der Nenner von \(u(v(x))\) ungleich null sein. Aus \(x^2 - 3 = 0\) folgt \(x = \pm\sqrt{3}\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\). 3. Bildung von \(g(x)\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v(x)\) ergibt \(g(x) = \left(\frac{3}{x - 4}\right)^2 + 1 = \frac{9}{(x - 4)^2} + 1\). 4. Bestimmung von \(D_g\): Die innere Funktion \(u(x)\) ist für \(x = 4\) nicht definiert. Da die äußere Funktion \(v\) für alle reellen Zahlen definiert ist, ergeben sich keine weiteren Einschränkungen. Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\).

\(f(x) = \frac{3}{x^2 - 3}\) mit \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}\); \(g(x) = \frac{9}{(x - 4)^2} + 1\) mit \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}\)

- Erinnere dich daran, welche Werte man in die Logarithmusfunktion einsetzen darf. - Bei einer Verkettung musst du sowohl die Definitionsmenge der inneren Funktion als auch die der resultierenden Gesamtfunktion beachten. - Was passiert mit dem Definitionsbereich, wenn eine Funktion wie \(4-x^2\) im Inneren eines Logarithmus steht? - Gibt es bei der Funktion \(g(x)\) Werte der inneren Funktion, die für die äußere Funktion problematisch sein könnten?

1. Bildung von \(f(x)\): Die Verkettung \(u(v(x))\) führt auf den Term \(f(x) = \ln(4 - x^2)\). 2. Bestimmung von \(D_f\): Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Es muss also gelten: \(4 - x^2 > 0\). Dies entspricht \(x^2 < 4\), woraus das offene Intervall \(-2 < x < 2\) folgt. Somit ist \(D_f = ]-2; 2[\). 3. Bildung von \(g(x)\): Die Verkettung \(v(u(x))\) führt auf den Term \(g(x) = 4 - (\ln(x))^2\). 4. Bestimmung von \(D_g\): Die innere Funktion \(u(x) = \ln(x)\) erfordert \(x > 0\). Da die äußere Funktion \(v\) eine ganzrationale Funktion ist und für alle reellen Eingabewerte definiert ist, bleibt die Einschränkung der inneren Funktion bestehen. Somit ist \(D_g = ]0; \infty[\).

\(f(x) = \ln(4 - x^2)\) mit \(D_f = ]-2; 2[\); \(g(x) = 4 - (\ln(x))^2\) mit \(D_g = ]0; \infty[\)

- Was bedeutet die Schreibweise \(u \circ v\) für die Reihenfolge der Einsetzung? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Quadratwurzel im reellen Bereich definiert ist? - Worauf musst du achten, wenn eine Variable oder ein ganzer Term im Nenner eines Bruchs steht? - Wie beeinflusst die Definitionsmenge der inneren Funktion die Definitionsmenge der gesamten Kette?

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(x))\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u\) ergibt \(f(x) = \sqrt{\frac{2}{x-1} + 2}\). Durch Gleichnamigmachen unter der Wurzel erhält man \(f(x) = \sqrt{\frac{2 + 2x - 2}{x-1}} = \sqrt{\frac{2x}{x-1}}\). 2. Definitionsmenge \(D_f\): Der Radikand \(\frac{2x}{x-1}\) muss \(\ge 0\) sein und der Nenner \(x-1 \neq 0\). Eine Vorzeichenanalyse ergibt: Für \(x < 0\) sind Zähler und Nenner negativ, für \(x = 0\) ist der Zähler null, für \(0 < x < 1\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ, für \(x > 1\) sind beide positiv. Somit ist \(D_f = ]-\infty; 0] \cup ]1; \infty[\). 3. Bestimmung von \(g(x) = v(u(x))\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v\) ergibt \(g(x) = \frac{2}{\sqrt{x+2} - 1}\). 4. Definitionsmenge \(D_g\): Die Wurzel erfordert \(x+2 \ge 0 \implies x \ge -2\). Zusätzlich darf der Nenner nicht Null werden: \(\sqrt{x+2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt{x+2} \neq 1 \implies x+2 \neq 1 \implies x \neq -1\). Somit ist \(D_g = [-2; -1[ \cup ]-1; \infty[\).

\(f(x) = \sqrt{\frac{2x}{x-1}}\) mit \(D_f = ]-\infty; 0] \cup ]1; \infty[\) \(g(x) = \frac{2}{\sqrt{x+2} - 1}\) mit \(D_g = [-2; -1[ \cup ]-1; \infty[\)

- Überlege zuerst, welche Werte in die innere Funktion überhaupt eingesetzt werden dürfen. - Welche Einschränkungen gelten für das Argument eines natürlichen Logarithmus? - Kannst du die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen nutzen, um die Terme zu vereinfachen? - Bleibt eine Definitionslücke bestehen, auch wenn sich ein Term beim Vereinfachen „wegkürzt“?

1. Bestimmung von \(f(x) = u(v(x))\): Einsetzen von \(v(x)\) in \(u\) ergibt \(f(x) = \ln((e^{x+1})^2 - 1) = \ln(e^{2x+2} - 1)\). 2. Definitionsmenge \(D_f\): Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: \(e^{2x+2} - 1 > 0 \implies e^{2x+2} > 1\). Da \(e^0 = 1\) und die Exponentialfunktion streng monoton steigt, folgt \(2x + 2 > 0 \implies x > -1\). Somit ist \(D_f = ]-1; \infty[\). 3. Bestimmung von \(g(x) = v(u(x))\): Einsetzen von \(u(x)\) in \(v\) ergibt \(g(x) = e^{\ln(x^2 - 1) + 1}\). Unter Verwendung von Potenzgesetzen und der Eigenschaft \(e^{\ln(a)} = a\) folgt \(g(x) = e^{\ln(x^2 - 1)} \cdot e^1 = e(x^2 - 1)\). 4. Definitionsmenge \(D_g\): Obwohl der vereinfachte Term für alle \(x\) definiert wäre, muss die innere Funktion \(u(x) = \ln(x^2 - 1)\) definiert sein. Dies erfordert \(x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1\). Daraus folgt \(x < -1\) oder \(x > 1\). Somit ist \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\).

\(f(x) = \ln(e^{2x+2} - 1)\) mit \(D_f = ]-1; \infty[\) \(g(x) = e(x^2 - 1)\) mit \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\)

- Gehe bei der Verkettung streng von innen nach außen vor. - Achte darauf, wie sich die Definitionsbereiche durch die Verkettung verändern könnten (z. B. bei der Wurzel oder dem Bruch). - Setze für den zweiten Aufgabenteil einfach den Wert \(x=1\) in deine gefundenen Terme ein. - Überlege dir für die Begründung, ob es mathematisch einen Unterschied macht, ob man erst quadriert oder erst die Wurzel zieht.

1. Bestimmung von \(g(x)\): Zuerst \(w(x) = \frac{1}{x}\) in \(v(x)\) einsetzen: \(v(w(x)) = (\frac{1}{x})^2 + 2 = \frac{1}{x^2} + 2\). Dann dieses Ergebnis in \(u(x)\) einsetzen: \(g(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2} + 2}\). 2. Bestimmung von \(h(x)\): Zuerst \(u(x) = \sqrt{x}\) in \(v(x)\) einsetzen: \(v(u(x)) = (\sqrt{x})^2 + 2 = x + 2\) (für \(x \ge 0\)). Dann dieses Ergebnis in \(w(x)\) einsetzen: \(h(x) = \frac{1}{x+2}\). 3. Berechnung der Funktionswerte für \(x = 1\): \(g(1) = \sqrt{\frac{1}{1^2} + 2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\). \(h(1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\). 4. Vergleich: Die Ergebnisse \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\) sind verschieden. Die Reihenfolge der Verkettung beeinflusst das Endergebnis maßgeblich, da die Funktionen nicht kommutativ bezüglich der Komposition sind.

a) \(g(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2} + 2}\) und \(h(x) = \frac{1}{x+2}\) (für \(x \ge 0\)) b) \(g(1) = \sqrt{3}\) und \(h(1) = \frac{1}{3}\). Die Werte sind unterschiedlich, da die Reihenfolge der Funktionsanwendung (Komposition) entscheidend ist.

- Welche Werte darf die innere Funktion annehmen, damit die Wurzel definiert ist? - Formuliere daraus für jede Teilaufgabe eine Ungleichung. - Bei einem Bruch hilft eine Vorzeichenuntersuchung von Zähler und Nenner. - Berücksichtige zusätzlich bereits vorhandene Definitionslücken der inneren Funktion.

1. Für die Verkettung muss \(v(x)\in D_u=[0;\infty[\) gelten, also \(v(x)\ge0\). 2. a) Aus \(5-2x\ge0\) folgt \(x\le2{,}5\). Damit ist \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;2{,}5]\). 3. b) Aus \(x^2-16\ge0\) folgt \(x\le-4\) oder \(x\ge4\). Damit ist \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;-4]\cup[4;\infty[\). 4. c) Für \(\frac{x+4}{x-2}\ge0\) ergibt die Vorzeichenuntersuchung \(x\le-4\) oder \(x>2\). Daher ist \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;-4]\cup]2;\infty[\).

a) \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;2{,}5]\) b) \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;-4]\cup[4;\infty[\) c) \(D_{v,\text{neu}}=]-\infty;-4]\cup]2;\infty[\)

- Welche Eigenschaft müssen Zahlen haben, damit ihr Logarithmus definiert ist? - Wie kannst du eine Ungleichung mit einer Exponentialfunktion nach \(x\) auflösen? - Wann ist ein Bruch mit einer positiven Zahl im Zähler insgesamt positiv? - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle zum Definitionsbereich gehören dürfen oder nicht.

Die Verkettung \(\ln(v(x))\) ist nur definiert, wenn \(v(x) \in D_u\), also \(v(x) > 0\) gilt. 1. Zu a): Die Bedingung \(e^x - 5 > 0\) führt auf \(e^x > 5\). Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus erhält man \(x > \ln(5)\). Der eingeschränkte Definitionsbereich ist somit \(D_{v, \text{neu}} = ]\ln(5);\infty[\). 2. Zu b): Die Bedingung \(\frac{1}{x^2-1} > 0\) ist erfüllt, wenn der Nenner positiv ist, da der Zähler konstant \(1 > 0\) ist. Also muss \(x^2 - 1 > 0\) gelten, woraus \(x^2 > 1\) folgt. Dies ist für \(x > 1\) oder \(x < -1\) der Fall. Der eingeschränkte Definitionsbereich ist somit \(D_{v, \text{neu}} = ]-\infty;-1[ \cup ]1;\infty[\).

a) \(D_{v, \text{neu}} = ]\ln(5);\infty[\) b) \(D_{v, \text{neu}} = ]-\infty;-1[ \cup ]1;\infty[\)

- Was passiert mit dem höchsten Exponenten einer Funktion, wenn du für \(x\) eine andere Potenzfunktion einsetzt? - Wie ändert sich der Grad eines Polynoms, wenn du es differenzierst? - Welche Regel kennst du für den Grad eines Produkts zweier Polynome? - Versuche, die Bedingung für Teilaufgabe 3 als Gleichung aufzuschreiben und nach Lösungen für natürliche Zahlen zu suchen.

1. Der Grad einer verketteten ganzrationalen Funktion ergibt sich aus dem Produkt der Grade der Einzelfunktionen. Da \(u(x)\) den Grad \(n\) und \(v(x)\) den Grad \(m\) hat, besitzt \(f(x) = u(v(x))\) den Grad \(n \cdot m\). 2. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vom Grad \(k\) (mit \(k \geq 1\)) besitzt stets den Grad \(k - 1\). Da \(f\) den Grad \(n \cdot m\) hat, ist der Grad der Ableitungsfunktion \(f'\) gleich \(n \cdot m - 1\). Dies lässt sich auch über die Kettenregel \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\) herleiten: \(\text{grad}(u') = n-1\), \(\text{grad}(u'(v(x))) = (n-1) \cdot m\), \(\text{grad}(v') = m-1\). Die Summe der Grade bei der Multiplikation ergibt \((n-1)m + m-1 = nm - m + m - 1 = nm - 1\). 3. Die Produktfunktion \(h(x) = u(x) \cdot v(x)\) hat den Grad \(n + m\). Gleichsetzen der Grade führt auf die Gleichung \(n \cdot m = n + m\). Umstellen ergibt \(nm - n - m = 0\), was zu \((n-1)(m-1) = 1\) faktorisiert werden kann. Da \(n, m\) natürliche Zahlen sind, ist die einzige Lösung \(n-1 = 1\) und \(m-1 = 1\), also \(n = 2\) und \(m = 2\).

1. \(\text{grad}(f) = n \cdot m\) 2. \(\text{grad}(f') = n \cdot m - 1\) 3. Die Grade sind nur für \(n = 2\) und \(m = 2\) identisch.

- Welchen Grad muss eine Funktion haben, damit ihre Ableitung ein Polynom 11. Grades ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grad einer Verkettung und den Graden der inneren und äußeren Funktion. - Welche Zahlenpaare ergeben multipliziert das gewünschte Ergebnis? Berücksichtige dabei die Einschränkungen für \(n\) und \(m\).

1. Bestimmung des Grades von \(f\): Wenn die Ableitung \(f'\) einer ganzrationalen Funktion den Grad 11 hat, muss die ursprüngliche Funktion \(f\) den Grad \(11 + 1 = 12\) besitzen. 2. Zusammenhang der Grade bei Verkettung: Der Grad einer verketteten Funktion \(f(x) = p(q(x))\) ist das Produkt der Grade der beteiligten Funktionen, also \(n \cdot m = 12\). 3. Ermittlung der Paare \((n, m)\): Gesucht sind alle Paare natürlicher Zahlen, deren Produkt 12 ergibt, wobei \(n \geq 2\) und \(m \geq 2\) gelten muss. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Unter Ausschluss der 1 ergeben sich die Paare: \((2, 6)\), \((3, 4)\), \((4, 3)\) und \((6, 2)\).

Die möglichen Paare \((n, m)\) sind \((2, 6)\), \((3, 4)\), \((4, 3)\) und \((6, 2)\).

- Was bedeutet die Schreibweise \(f(x) = u(v(x))\) für einen bestimmten Wert von \(x\)? Welche Funktion musst du zuerst auswerten? - Wenn du den Funktionswert der inneren Funktion bestimmt hast, wie nutzt du diesen Wert für die äußere Funktion? - Überlege bei der Nullstellensuche: Wann wird das Ergebnis der äußeren Funktion gleich null? Welche Argumente müssen dafür in die äußere Funktion eingesetzt werden? - Wie kannst du die Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen, wenn du den Scheitelpunkt und die Nullstellen kennst? - Wie bestimmt man die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus ihrem Graphen?

1. Für \(f(0)=u(v(0))\) liest man bei \(v\) zunächst \(v(0)=0\) und anschließend bei \(u\) \(u(0)=-1\) ab. Daher ist \(f(0)=-1\). 2. Für \(g(2)=v(u(2))\) liest man bei \(u\) \(u(2)=0\) und danach bei \(v\) \(v(0)=0\) ab. Daher ist \(g(2)=0\). 3. Für \(f(x)=0\) muss \(v(x)\) eine Nullstelle von \(u\) sein. Aus der Abbildung erhält man \(u(z)=0\) für \(z=-2\) und \(z=2\). Die Kurve \(v\) nimmt diese Werte bei \(x=-4\) und \(x=4\) an. Somit hat f die Nullstellen \(-4\) und \(4\). 4. Für \(g(x)=0\) muss \(u(x)\) eine Nullstelle von \(v\) sein. Da \(v\) bei \(0\) null ist, braucht man \(u(x)=0\); dies gilt bei \(x=-2\) und \(x=2\). 5. Aus den Graphen folgen \(u(x)=0{,}25x^2-1\) und \(v(x)=0{,}5x\). Damit sind \(f(x)=0{,}0625x^2-1\) und \(g(x)=0{,}125x^2-0{,}5\).

a) \(f(0)=-1\), \(g(2)=0\) b) Nullstellen von \(f\): \(-4\) und \(4\); Nullstellen von \(g\): \(-2\) und \(2\) c) \(u(x)=0{,}25x^2-1\), \(v(x)=0{,}5x\), \(f(x)=0{,}0625x^2-1\), \(g(x)=0{,}125x^2-0{,}5\)

- Bestimme zuerst die Funktionsterme für alle vier angegebenen Verkettungen \(u(x)\), \(v(x)\), \(w(x)\) und \(z(x)\). - Überlege dir für jeden Graph, ob es sich um eine Parabel oder eine periodische Funktion (Kosinuskurve) handelt. - Nutze markante Punkte wie die Lage des Scheitelpunkts bei den Parabeln oder die Verschiebung der Hochpunkte bei den Kosinuskurven, um die Graphen eindeutig zuzuordnen. - Setze zur Überprüfung einfache \(x\)-Werte (wie \(x = 0\) oder \(x = 1\)) in deine berechneten Funktionsterme ein und vergleiche das Ergebnis mit den \(y\)-Werten im Koordinatensystem.

1. Die möglichen Terme sind \(u(x)=\cos(x-1)\), \(v(x)=\cos(x)-1\), \(w(x)=(x-1)^2\) und \(z(x)=x^2-1\). 2. Kurve \(p\) ist eine Kosinuskurve mit Wertebereich \([-1;1]\) und Hochpunkt bei \(x=1\); daher ist \(p\) die Funktion \(u\). 3. Kurve \(q\) ist eine Kosinuskurve mit Wertebereich \([-2;0]\) und Hochpunkt \((0\mid0)\); daher ist \(q\) die Funktion \(v\). 4. Kurve \(r\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((0\mid-1)\); daher ist \(r\) die Funktion \(z\). Die Funktion \(w\) hätte den Scheitelpunkt \((1\mid0)\).

\(p\): \(u(x)=\cos(x-1)\) \(q\): \(v(x)=\cos(x)-1\) \(r\): \(z(x)=x^2-1\)

- Welche geometrischen Eigenschaften wie Achsensymmetrie oder Asymptoten kannst du bei den beiden Graphen erkennen? - Was passiert, wenn du für \(x = 0\) die Funktionswerte der verschiedenen Verkettungen berechnest? Vergleiche diese mit den y-Achsenabschnitten im Koordinatensystem. - Wie verhalten sich die Graphen, wenn \(x\) sehr große positive Werte oder sehr kleine negative Werte annimmt? - Versuche, für einige der möglichen Verkettungen (z. B. \(u(v(x))\) oder \(w(u(x))\)) die algebraischen Funktionsterme aufzustellen.

1. Kurve \(p\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((0\mid2)\). Die Verkettung \(w(v(x))=-x^2+2\) besitzt genau diese Eigenschaften; dagegen ist \(v(w(x))=(x-2)^2\) nach oben geöffnet. Daher ist \(p\) der Graph von \(w\circ v\). 2. Kurve \(q\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und nähert sich nach links dem Wert \(2\). Für \(w(u(x))=-e^x+2\) gilt \(w(u(0))=1\) und für \(x\to-\infty\) der Grenzwert \(2\). Daher ist \(q\) der Graph von \(w\circ u\).

\(p\): \(w(v(x))=-x^2+2\) \(q\): \(w(u(x))=-e^x+2\)

- Bestimme \(f'\) mit der Kettenregel. - Welches Vorzeichen besitzt der Exponentialfaktor für alle reellen Argumente? - Lies Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(g'\) nur im ausdrücklich angegebenen Darstellungsbereich ab.

1. Nach der Kettenregel ist \(f'(x)=g'(x)e^{g(x)}\). Da \(e^{g(x)}>0\), besitzen \(f'\) und \(g'\) dasselbe Vorzeichen und dieselben Nullstellen. 2. Im dargestellten Bereich hat \(g'\) die Nullstellen \(-2\), \(1\) und \(3\). Bei \(-2\) wechselt das Vorzeichen von minus nach plus, bei \(1\) von plus nach minus und bei \(3\) von minus nach plus. 3. Daher hat \(f\) bei \(x=-2\) ein lokales Minimum, bei \(x=1\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. 4. Im betrachteten Bereich ist \(g'>0\) auf \(]-2;1[\) und \(]3;4]\). Somit steigt \(f\) streng auf \([-2;1]\) und \([3;4]\).

a) \(f'(x)=g'(x)e^{g(x)}\); wegen \(e^{g(x)}>0\) stimmen Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von \(f'\) und \(g'\) überein. b) Minimum bei \(x=-2\), Maximum bei \(x=1\), Minimum bei \(x=3\) c) Streng steigend auf \([-2;1]\) und \([3;4]\)

- Setze zunächst die beiden verlangten \(x\)-Werte in die innere Funktion ein. - Untersuche für die Grenzwerte den quadratischen Term in \(f(x)\). - Nutze für das Maximum, dass die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist.

1. Es gilt \(f(0)=1\) und \(f(2)=0\). Daher ist \(g(0)=e\) und \(g(2)=1\). 2. Wegen \(f(x)=1-0{,}25x^2\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\) folgt \(g(x)=e^{f(x)}\to0\). 3. Die Funktion \(f\) besitzt wegen \(-0{,}25x^2\le0\) ihr globales Maximum \(1\) bei \(x=0\). Da die Exponentialfunktion streng monoton steigt, besitzt auch \(g\) ihr globales Maximum bei \(x=0\), mit \(g(0)=e\).

a) \(g(0)=e\), \(g(2)=1\) b) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\) und \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=0\) c) \(H(0\mid e)\)

- Welche Vorzeichenbedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Führe für den gegebenen rationalen Term eine Vorzeichenuntersuchung durch. - Vergleiche anschließend die Monotonie von f mit der Monotonie der äußeren Logarithmusfunktion.

1. Für \(h(x)=\ln(f(x))\) muss \(f(x)>0\) gelten. 2. Für \(f(x)=\frac{3-x}{x+1}\) liegen die kritischen Stellen der Vorzeichenuntersuchung bei \(x=-1\) und \(x=3\). Der Quotient ist genau für \(-1<x<3\) positiv. Somit ist \(D_h=]-1;3[\). 3. Es gilt \(f'(x)=-\frac{4}{(x+1)^2}<0\) auf \(]-1;3[\). Da \(\ln\) auf positiven Argumenten streng monoton steigt, ist auch \(h\) auf seinem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend.

\(D_h=]-1;3[\) Die Funktion \(h\) ist auf \(D_h\) streng monoton fallend.

- Gehe bei der grafischen Bestimmung schrittweise vor: Erst den Wert der inneren Funktion ablesen, dann diesen als Argument für die äußere Funktion verwenden. - Um eine Gleichung wie \(u(v(x)) = c\) zu lösen, schaue zuerst, für welches \(z\) gilt \(u(z) = c\), und finde dann das \(x\), für das \(v(x) = z\) ist. - Erinnere dich daran, wie sich Änderungen direkt am Argument \(x\) (innerhalb der Funktion) und Änderungen am gesamten Funktionswert (außerhalb) auf die Lage des Graphen auswirken.

1. Bestimmung der Funktionswerte: Für \(f(3) = u(v(3))\): Der Graph von \(v\) liefert \(v(3) = 1\). Der Graph von \(u\) liefert bei \(x=1\) den Wert \(u(1) = 2\). Also \(f(3) = 2\). Für \(g(1) = v(u(1))\): Der Graph von \(u\) liefert \(u(1) = 2\). Der Graph von \(v\) liefert bei \(x=2\) den Wert \(v(2) = 0\). Also \(g(1) = 0\). 2. Lösen der Gleichungen: \(f(x) = 1 \iff u(v(x)) = 1\). Laut Graph ist \(u(z) = 1\) für \(z = 0\). Wir suchen also \(x\) mit \(v(x) = 0\). Der Graph von \(v\) zeigt \(v(x) = 0\) für \(x = 2\). Lösung: \(x = 2\). \(g(x) = 0 \iff v(u(x)) = 0\). Laut Graph ist \(v(z) = 0\) für \(z = 2\). Wir suchen also \(x\) mit \(u(x) = 2\). Der Graph von \(u\) zeigt \(u(x) = 2\) für \(x = 1\). Lösung: \(x = 1\). 3. Geometrische Transformationen: Da \(f(x) = u(x-2)\), entsteht der Graph von \(f\) durch eine Verschiebung des Graphen von \(u\) um 2 Einheiten nach rechts. Da \(g(x) = u(x) - 2\), entsteht der Graph von \(g\) durch eine Verschiebung des Graphen von \(u\) um 2 Einheiten nach unten.

a) \(f(3) = 2\) und \(g(1) = 0\) b) Die Lösung für \(f(x) = 1\) ist \(x = 2\). Die Lösung für \(g(x) = 0\) ist \(x = 1\). c) Der Graph von \(f\) entsteht durch Verschiebung von \(G_u\) um 2 Einheiten nach rechts. Der Graph von \(g\) entsteht durch Verschiebung von \(G_u\) um 2 Einheiten nach unten.

- Achte genau darauf, welche Funktion zuerst angewendet wird. In \(f(g(x))\) ist \(g\) die innere Funktion. - Der \(y\)-Wert der ersten Funktion wird zum \(x\)-Wert für die zweite Funktion. - Lies die Werte präzise am Gitter ab. Wenn ein Punkt zwischen zwei Gitterlinien liegt, schätze den Wert so genau wie möglich. - Macht es einen Unterschied, ob du erst die Gerade oder erst die Betragsfunktion betrachtest?

Um die Werte der Verkettungen an der Stelle \(x = 2\) zu bestimmen, werden die Graphen genutzt: 1. Berechnung von \(h_1(2) = f(g(2))\): - Schritt 1: Bestimme \(g(2)\) am blauen Graphen. Es ergibt sich \(g(2) = 0\). - Schritt 2: Bestimme \(f(0)\) am roten Graphen. Es ergibt sich \(f(0) = 3\). - Ergebnis: \(h_1(2) = 3\). 2. Berechnung von \(h_2(2) = g(f(2))\): - Schritt 1: Bestimme \(f(2)\) am roten Graphen. Es ergibt sich \(f(2) = 1\). - Schritt 2: Bestimme \(g(1)\) am blauen Graphen. Es ergibt sich \(g(1) = -0{,}5\). - Ergebnis: \(h_2(2) = -0{,}5\). 3. Vergleich: - Es gilt \(3 \neq -0{,}5\), also ist \(h_1(2) \neq h_2(2)\). Die Reihenfolge der Verkettung spielt eine entscheidende Rolle.

1. \(h_1(2) = f(g(2)) = 3\) 2. \(h_2(2) = g(f(2)) = -0{,}5\) Vergleich: \(h_1(2) \neq h_2(2)\). Die Reihenfolge der Verkettung beeinflusst das Ergebnis.

- Überlege dir, wie die äußere Funktion den Graphen der inneren Funktion verändert (Verschiebung, Spiegelung etc.). - Prüfe markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte. - Setze beispielhaft einfache Werte wie \(x = 0\) oder \(x = 3\) in die Funktionsterme ein und vergleiche das Ergebnis mit den Graphen.

1. Kurve \(p\) ist eine fallende Exponentialfunktion mit \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). Daher ist \(p\) die Funktion \(2^{-x}=f(g(x))\). 2. Kurve \(q\) ist die Spiegelung von \(2^x\) an der \(x\)-Achse. Daher ist \(q\) die Funktion \(-2^x=g(f(x))\). 3. Kurve \(r\) ist gegenüber \(2^x\) um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. Daher ist \(r\) die Funktion \(2^{x-3}=f(h(x))\). 4. Kurve \(s\) ist gegenüber \(2^x\) um \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Daher ist \(s\) die Funktion \(2^x-3=h(f(x))\).

\(p\): \(k_a=f\circ g\) \(q\): \(k_b=g\circ f\) \(r\): \(k_c=f\circ h\) \(s\): \(k_d=h\circ f\)

- Achte auf Symmetrien: Ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse? - Überprüfe den Wertebereich: Kann die Funktion negative Werte annehmen? - Suche nach Spitzen oder scharfen Kurven im Graphen, die oft durch die Betragsfunktion verursacht werden. - Vergleiche die Lage der Nullstellen oder Extrema mit den Grundfunktionen.

1. Kurve \(p\) verläuft nur auf oder oberhalb der \(x\)-Achse und besteht aus periodischen Bögen. Daher ist \(p\) die Funktion \(|\sin(x)|=f(g(x))\). 2. Kurve \(q\) ist zur \(y\)-Achse symmetrisch und entspricht \(\sin(|x|)=g(f(x))\). 3. Kurve \(r\) ist V-förmig mit Scheitelpunkt \((0\mid-2)\). Daher ist \(r\) die Funktion \(|x|-2=h(f(x))\). 4. Kurve \(s\) ist eine um \(2\) Einheiten nach unten verschobene Sinuskurve. Daher ist \(s\) die Funktion \(\sin(x)-2=h(g(x))\).

\(p\): \(u_1=f\circ g\) \(q\): \(u_2=g\circ f\) \(r\): \(u_3=h\circ f\) \(s\): \(u_4=h\circ g\)

- Nutze den Graphen, um Schritt für Schritt die Werte für die Verkettung zu finden. - Überlege dir, welche Werte die innere Funktion annehmen muss, damit die äußere Funktion das gewünschte Ergebnis liefert. - Für die Steigung einer linearen Funktion kannst du ein Steigungsdreieck nutzen. Bei der Parabel hilft die Ableitungsfunktion. - Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks am Ursprung lässt sich leicht über die Achsenabschnitte berechnen.

1. Bestimmung von \(f(1)\): Aus dem Graphen von \(v\) liest man \(v(1) = 2\) ab. Damit ist \(f(1) = u(v(1)) = u(2)\). Der Graph von \(u\) zeigt bei \(x = 2\) den Wert \(u(2) = 0\), also \(f(1) = 0\). 2. Weitere Stelle \(x\): Gesucht ist \(u(v(x)) = 0\). Die Nullstellen von \(u\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Also muss \(v(x) = 0\) oder \(v(x) = 2\) sein. \(v(x) = 2\) liefert \(x = 1\). Aus dem Graphen von \(v\) sieht man \(v(x) = 0\) bei \(x = 3\). Somit ist \(x = 3\) die weitere Stelle. 3. Ableitung \(f'(1)\): Mit der Kettenregel \(f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\). Aus den Graphen ermittelt man die Steigungen: \(v'(x) = -1\) (konstant) und \(u'(2) = 2\) (Steigung der Parabel \(u(x) = x^2 - 2x\) bei \(x = 2\)). Damit ist \(f'(1) = u'(2) \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) = -2\). 4. Tangente: Mit \(P(1 \mid 0)\) und \(m = -2\) ergibt sich \(y = -2(x - 1) = -2x + 2\). 5. Flächeninhalt: Schnittpunkte mit den Achsen sind \(S_y(0 \mid 2)\) und \(S_x(1 \mid 0)\). Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\,\text{FE}\).

a) \(f(1) = 0\); die weitere Stelle ist \(x = 3\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1\,\text{FE}\).

- Achte bei der Verkettung genau darauf, welche Funktion die „innere“ und welche die „äußere“ ist. - Denk an die Kettenregel: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion. - Wie hängen die Koeffizienten in \(a \cdot \sin(bx+c)+d\) mit Amplitude, Periode und Verschiebung zusammen? - Welche Werte kann die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen?

1. \(h_1(x) = f(g(x)) = \sin(mx + c)\) und \(h_2(x) = g(f(x)) = m \cdot \sin(x) + c\). 2. Ableitungen: \(h_1'(x) = \cos(mx + c) \cdot m = m \cdot \cos(mx + c)\). Für \(h_2\) gilt \(h_2'(x) = m \cdot \cos(x)\). 3. Der Parameter \(m\) beeinflusst die Periode von \(h_1\): \(P = \frac{2\pi}{m}\). Da \(m\) ein Faktor im Argument ist, wird die Schwingung bei \(m > 1\) gestaucht und bei \(0 < m < 1\) gestreckt. Wegen \(mx+c=m\left(x+\frac{c}{m}\right)\) verschiebt \(c\) den Graphen horizontal um \(-\frac{c}{m}\) in \(x\)-Richtung: Für \(c>0\) erfolgt eine Verschiebung nach links um \(\frac{c}{m}\), für \(c<0\) nach rechts um \(\frac{|c|}{m}\). Die Amplitude bleibt 1. 4. Für \(h_2(x)=m\sin(x)+c\) ist die Wertemenge \(W_{h_2}=[c-m; c+m]\), da \(m>0\) gilt. Aus \(c-m=-2\) und \(c+m=4\) folgt durch Addieren \(2c=2\), also \(c=1\). Dann ergibt sich \(m=3\).

1. \(h_1(x) = \sin(mx + c)\); \(h_2(x) = m \cdot \sin(x) + c\) 2. \(h_1'(x) = m \cdot \cos(mx + c)\); \(h_2'(x) = m \cdot \cos(x)\) 3. \(m\) verändert die Periode (\(P = \frac{2\pi}{m}\)); \(c\) verschiebt den Graphen horizontal um \(-\frac{c}{m}\) in \(x\)-Richtung. 4. \(m = 3\) und \(c = 1\)

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass der Nenner des Bruchs Null wird? Erinnere dich an die Symmetrie und Periodizität der Kosinusfunktion. - Untersuche, welche Werte der gesamte Nennerterm annehmen kann. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner gegen Null geht oder seinen maximalen/minimalen Wert erreicht? - Skizziere dir gedanklich den Verlauf der Funktion in der Nähe der Definitionslücken.

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(2\cos(x) - 1 = 0 \iff \cos(x) = 0{,}5\). Dies ist der Fall für \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) und \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{x \mid x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\). 2. Wertemenge: Der Ausdruck im Nenner \(u(x) = 2\cos(x) - 1\) nimmt Werte im Intervall \([-3; 1]\) an. Da der Wert \(0\) aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist, betrachten wir die Teilintervalle \([-3; 0[\) und \(]0; 1]\). 3. Für \(u \in [-3; 0[\) liefert der Kehrwert \(1/u\) Werte im Bereich \(]-\infty; -\frac{1}{3}]\). Multiplikation mit \(2\) ergibt das Intervall \(]-\infty; -\frac{2}{3}]\). 4. Für \(u \in ]0; 1]\) liefert der Kehrwert \(1/u\) Werte im Bereich \([1; \infty[\). Multiplikation mit \(2\) ergibt das Intervall \([2; \infty[\). 5. Die Wertemenge ist die Vereinigung dieser Intervalle: \(W_g = ]-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [2; \infty[\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{x \mid x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\) \(W_g = ]-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [2; \infty[\)

- Nutze die Bedingung für Nullstellen eines Produkts: \(a \cdot b = 0\), wenn \(a = 0\) oder \(b = 0\). - Identifiziere zuerst alle Stellen, an denen die Graphen von \(u\) oder \(v\) eine waagerechte Tangente besitzen. - Überlege, für welche \(x\)-Werte die innere Funktion \(v(x)\) genau die Werte annimmt, an denen die äußere Funktion \(u\) eine waagerechte Tangente hat.

1. Bestimmung von \(g(1)\): Der Graph von \(v\) liefert \(v(1) = 1\). Damit ist \(g(1) = u(v(1)) = u(1)\). Am Graphen von \(u\) erkennt man bei \(x = 1\) ein lokales Minimum mit dem Wert \(u(1) = -1\). Also ist \(g(1) = -1\). 2. Bestimmung von \(g'(1)\): Die Kettenregel lautet \(g'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\). Da \(u\) bei \(x = 1\) ein lokales Extremum hat, gilt \(u'(1) = 0\). Da \(v(1) = 1\), folgt \(g'(1) = u'(1) \cdot v'(1) = 0 \cdot v'(1) = 0\). 3. Nullstellen von \(g'\): Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Fall 1: \(v'(x) = 0\). Dies ist am Scheitelpunkt von \(v\) bei \(x = 0\) der Fall. Fall 2: \(u'(v(x)) = 0\). Die Funktion \(u\) hat waagerechte Tangenten bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Wir suchen also Stellen \(x\), an denen \(v(x) = 1\) oder \(v(x) = -1\) gilt. - \(v(x) = 1\) wird laut Graph bei \(x = 1\) und \(x = -1\) erreicht. - \(v(x) = -1\) wird laut Graph bei \(x \approx 1{,}73\) und \(x \approx -1{,}73\) (genau bei \(\pm \sqrt{3}\)) erreicht. 4. Zusammenfassung: Die fünf Nullstellen von \(g'\) liegen bei \(x \in \{-\sqrt{3}; -1; 0; 1; \sqrt{3}\}\).

a) \(g(1) = -1\) und \(g'(1) = 0\) b) Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(g'\) sind \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm 1\) und \(x_{4,5} \approx \pm 1{,}73\).