- Welche geometrische Beziehung hat das Ergebnis eines Vektorprodukts zu den beiden Ausgangsvektoren? - Überlege, was sich bei einer Skalierung eines Vektors an seiner Richtung ändert. - Für Teil b) ist keine neue Vektorproduktrechnung nötig.

1. Das Vektorprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Daher ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) ein gemeinsamer Normalenvektor. 2. Jedes von \(\vec{0}\) verschiedene Vielfache eines gemeinsamen Normalenvektors hat dieselbe Richtung oder Gegenrichtung und bleibt daher orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 3. Somit ist auch \(\frac{1}{2}\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\) zu beiden orthogonal.

a) Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\). b) Ja; \(\frac{1}{2}\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\) hat dieselbe Normalenrichtung.

- Ordne die Komponenten der beiden Vektoren in die Rechenregel für das Vektorprodukt ein. - Viele Produkte enthalten hier eine Null; arbeite trotzdem jede Komponente getrennt ab. - Prüfe anschließend, ob dein Ergebnis zu beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht.

1. Für das Vektorprodukt gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot2\\0\cdot0-1\cdot0\\1\cdot2-0\cdot0\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\).

\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\)

- Welche geometrische Lagebeziehung folgt daraus, dass ein Vektor ein skalares Vielfaches des anderen ist? - Was sagt die Länge eines Vektorprodukts über den von den beiden Vektoren aufgespannten Flächeninhalt aus? - Eine Komponentenrechnung ist hier nicht nötig.

1. Aus \(\vec{b}=-3\vec{a}\) folgt, dass \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel und entgegengesetzt gerichtet sind. 2. Das Vektorprodukt paralleler Vektoren ist der Nullvektor. 3. Daher gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\).

\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)

- Welche beiden Achsen sind in der Abbildung dargestellt? - Welche geometrische Eigenschaft hat das Vektorprodukt gegenüber beiden Ausgangsvektoren? - Welche Koordinatenachse steht senkrecht auf der dargestellten Koordinatenebene?

1. An den Achsenbeschriftungen des Bildes erkennt man, dass beide Vektoren in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Da sie nicht parallel sind, spannen sie diese Ebene auf. 2. Das Vektorprodukt steht orthogonal auf beiden Ausgangsvektoren und damit orthogonal auf der gesamten \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Eine solche Richtung ist parallel zur \(x_3\)-Achse.

a) \(x_1x_2\)-Ebene b) \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist parallel zur \(x_3\)-Achse.

- Welche Aussage über zwei Vektoren lässt sich aus ihrem Vektorprodukt ablesen? - Welche Eigenschaft unterscheidet die beiden gegebenen Ergebnisse voneinander? - Warum muss der Nullvektor als Ausgangsvektor ausgeschlossen sein?

1. Für zwei von \(\vec{0}\) verschiedene Vektoren ist das Vektorprodukt genau dann der Nullvektor, wenn die Vektoren parallel sind. 2. Da \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) gilt, sind \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel. 3. Da \(\vec{c}\times\vec{d}\neq\vec{0}\) gilt, sind \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) nicht parallel.

\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel, weil \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) gilt. \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) sind nicht parallel, weil \(\vec{c}\times\vec{d}\neq\vec{0}\) ist.

- Welche Richtung liefert das Ergebnis aus Teil a) im Verhältnis zu beiden Ausgangsvektoren? - Was passiert mit den beiden Skalarprodukten, wenn du einen gemeinsamen Normalenvektor mit einer reellen Zahl multiplizierst? - Wie kannst du eine ganze Familie solcher Vektoren mit einer Variablen beschreiben?

1. Es ist \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nicht parallel sind, gibt \(\vec{n}\) ihre gemeinsame Normalenrichtung an. 3. Alle gesuchten Vektoren sind die Vielfachen von \(\vec{n}\): \(\vec{x}=r\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) b) \(\vec{x}=r\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\)

- Berechne beide Vektorprodukte vollständig und vergleiche danach ihre Komponenten. - Welche Beziehung besteht zwischen zwei Vektoren, wenn jede Komponente ihr Vorzeichen wechselt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge beim Vektorprodukt eine Rolle spielt.

1. Es ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}2\cdot3-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot3\\1\cdot1-2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}\). 2. Umgekehrt gilt \(\vec{b}\times\vec{a}=\begin{pmatrix}1\cdot0-3\cdot2\\3\cdot1-0\cdot0\\0\cdot2-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-1\end{pmatrix}\). 3. Der zweite Vektor ist der Gegenvektor des ersten. Allgemein gilt daher \(\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b})\).

a) \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}\) b) \(\vec{b}\times\vec{a}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-1\end{pmatrix}\) c) \(\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b})\)

- Lies zuerst nur ab, auf welchen beiden positiven Achsen die Endpunkte \(A\) und \(B\) liegen. - Die Aussage „rechtshändig“ beschreibt die Orientierung der geordneten Basis \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\); sie wird nicht aus der zweidimensionalen Projektion abgeleitet. - Beim Vektorprodukt ist die Reihenfolge der beiden Faktoren entscheidend.

1. Der Punkt \(A\) liegt auf der positiven \(x_2\)-Achse. Daher zeigt \(\vec{a}=\overrightarrow{OA}\) in positive \(x_2\)-Richtung. 2. Der Punkt \(B\) liegt auf der positiven \(x_1\)-Achse. Daher zeigt \(\vec{b}=\overrightarrow{OB}\) in positive \(x_1\)-Richtung. 3. Für die geordnete Basis eines rechtshändigen Koordinatensystems gilt \(\vec{e}_1\times\vec{e}_2=\vec{e}_3\). Beim Vertauschen der Faktoren kehrt sich die Richtung des Vektorprodukts um. 4. Deshalb zeigt \(\vec{a}\times\vec{b}\) wie \(\vec{e}_2\times\vec{e}_1=-\vec{e}_3\) in negative \(x_3\)-Richtung.

\(\vec{a}\) zeigt in positive \(x_2\)-Richtung und \(\vec{b}\) in positive \(x_1\)-Richtung. Daher zeigt \(\vec{a}\times\vec{b}\) in negative \(x_3\)-Richtung.

- Berechne zuerst \(\vec{a}\times\vec{b}\) komponentenweise. - Bestimme danach die Länge des erhaltenen Vektors. - Welche beiden Skalierungsfaktoren führen zur geforderten Länge \(18\)?

1. Es gilt \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-3\end{pmatrix}\). 2. Die Länge von \(\vec{n}\) ist \(\sqrt{(-6)^2+6^2+(-3)^2}=9\). 3. Für \(\vec{x}=k\vec{n}\) gilt \(|\vec{x}|=|k|\cdot9\). Aus \(|\vec{x}|=18\) folgt \(|k|=2\). 4. Damit sind \(\vec{x}_1=2\vec{n}=\begin{pmatrix}-12\\12\\-6\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=-2\vec{n}=\begin{pmatrix}12\\-12\\6\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-3\end{pmatrix}\) b) \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}-12\\12\\-6\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}12\\-12\\6\end{pmatrix}\)

- Trenne die Aufgabe in zwei Schritte: Bestimme zuerst eine Richtung, die zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) orthogonal ist. - Wie wirkt sich ein Faktor auf einen Vektor aus, dessen Richtung bereits feststeht? - Welche Bedingung aus Teil b) kann anschließend genutzt werden, um die noch unbekannte Skalierung festzulegen?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(\vec{w}=k\vec{n}=\begin{pmatrix}-2k\\4k\\6k\end{pmatrix}\). 3. Aus \(\vec{w}\cdot\vec{c}=16\) folgt \(-2k+4k+6k=16\), also \(8k=16\) und \(k=2\). 4. Somit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\8\\12\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\) b) \(k=2\), \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\8\\12\end{pmatrix}\)

- Überlege zuerst, welcher Vektor eine gemeinsame Normalenrichtung zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) liefert. - Teil b) verändert nur die Skalierung dieses Vektors, nicht seine Normalenrichtung. - Welche der drei Komponenten enthält die Information, mit der du den noch unbekannten Faktor festlegen kannst?

1. Es ist \(\vec{p}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\-11\\2\end{pmatrix}\). 2. Die zweite Komponente von \(\vec{n}=k\vec{p}\) ist \(-11k\). 3. Aus \(-11k=11\) folgt \(k=-1\). 4. Daher ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\11\\-2\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}-6\\-11\\2\end{pmatrix}\) b) \(k=-1\), \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\11\\-2\end{pmatrix}\)

- Was ergibt das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst? - Welche Orientierung haben die Vektorprodukte der Standard-Einheitsvektoren? - Vergleiche die beiden Endergebnisse der unterschiedlich geklammerten Ausdrücke.

1. Das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst ist der Nullvektor. Daher gilt \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0} \times \vec{e}_2 = \vec{0}\). 2. Weiter ist \(\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Somit gilt \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2)=\vec{e}_1\times\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}=-\vec{e}_2\). 3. Da \(\vec{0}\neq-\vec{e}_2\), liefern die beiden Klammerungen unterschiedliche Ergebnisse. Das Vektorprodukt ist also im Allgemeinen nicht assoziativ.

Es gilt \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0}\) und \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\). Daher ist das Vektorprodukt nicht assoziativ.

- Stelle zuerst die beiden von \(A\) ausgehenden Seitenvektoren auf. - Das Vektorprodukt liefert eine Normalenrichtung; seine Länge bestimmt die Fläche des aufgespannten Parallelogramms. - Für c) musst du nur noch den passenden positiven Skalierungsfaktor bestimmen.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\). 3. Die Länge von \(\vec{p}\) ist \(10\). Daher beträgt der Dreiecksflächeninhalt \(\frac{1}{2}\cdot10=5\,\text{FE}\). 4. Für die Länge \(15\) wird \(\vec{p}\) mit \(\frac{3}{2}\) multipliziert. Dieser positive Faktor erhält das positive Vorzeichen der dritten Komponente. 5. Somit ist \(\vec{n}=\frac{3}{2}\vec{p}=\begin{pmatrix}-9\\0\\12\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\) b) \(5\,\text{FE}\) c) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-9\\0\\12\end{pmatrix}\)

- Arbeite in jedem Ausdruck zuerst die Klammern ab. - Notiere dir nach einem Rechenschritt, welche Art von Größe entstanden ist. - Prüfe dann, ob die nächste Operation zu den beteiligten Größen passt.

1. Der Ausdruck ist definiert. \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ist ein Skalar und \(\vec{c}\times\vec{a}\) ein Vektor; Skalar mal Vektor ergibt einen Vektor. 2. Der Ausdruck ist definiert. Beide Summanden sind Vektoren; das Ergebnis ist ein Vektor. 3. Der Ausdruck ist nicht definiert, da eine Division durch einen Vektor hier nicht definiert ist. 4. Der Ausdruck ist nicht definiert. Links vom zweiten \(\times\) steht ein Vektor, rechts ein Skalar; das Vektorprodukt benötigt zwei Vektoren. 5. Der Ausdruck ist definiert. Beide Terme sind Vektoren; das Ergebnis ist ein Vektor.

1. Definiert; Ergebnis: Vektor. 2. Definiert; Ergebnis: Vektor. 3. Nicht definiert. 4. Nicht definiert. 5. Definiert; Ergebnis: Vektor.

- Betrachte zuerst die bereits fest vorgegebenen Operationen in jedem Ausdruck. - Überlege, welche Art von Ergebnis an der markierten Stelle gebraucht wird, damit der nächste Rechenschritt möglich bleibt. - Prüfe zum Schluss, ob der gesamte Ausdruck den angegebenen Ergebnistyp hat.

1. In a) muss die Klammer einen Vektor ergeben, damit das anschließende Skalarprodukt definiert ist. Daher ist \(\square=\times\). 2. In b) ist \(\vec{v}\times\vec{w}\) ein Vektor. Für ein Vektorergebnis muss zwischen den beiden Vektoren \(\times\) stehen. 3. In c) sind beide Klammerausdrücke Vektoren. Für ein Skalarergebnis wird das Skalarprodukt verwendet, also \(\square=\cdot\). 4. In d) stehen zwei Vektoren. Für ein Vektorergebnis wird das Vektorprodukt verwendet, also \(\square=\times\).

a) \(\square=\times\) b) \(\square=\times\) c) \(\square=\cdot\) d) \(\square=\times\)

- Achte bei beiden Vektorprodukten darauf, dieselbe Komponentenreihenfolge zu verwenden. Wie kannst du ein nichttriviales Ergebnis anschließend auf einen Vorzeichenfehler prüfen? - Welche besondere geometrische Aussage ist mit dem Nullvektor als Ergebnis eines Vektorprodukts verbunden? - Für die Kontrolle in c): Vermute den Faktor zunächst aus einer Komponente und prüfe dann, ob derselbe Faktor auch zu den beiden anderen Komponenten passt.

1. Es gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Außerdem ist \(\vec{a}\times\vec{c}=\begin{pmatrix}155\\-270\\-145\end{pmatrix}\). 3. Damit ist \(\vec{b}\) parallel zu \(\vec{a}\), weil ihr Vektorprodukt der Nullvektor ist. \(\vec{c}\) ist nicht parallel zu \(\vec{a}\), weil das Vektorprodukt nicht der Nullvektor ist. 4. Zur Kontrolle gilt \(\vec{b}=-\frac{3}{5}\vec{a}\). Somit bestätigt auch die Skalarmultiplikation die Parallelität von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).

a) \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) und \(\vec{a}\times\vec{c}=\begin{pmatrix}155\\-270\\-145\end{pmatrix}\). b) \(\vec{b}\) ist parallel zu \(\vec{a}\), weil \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) gilt. \(\vec{c}\) ist nicht parallel zu \(\vec{a}\), weil \(\vec{a}\times\vec{c}\neq\vec{0}\) ist. c) \(\vec{b}=-\frac{3}{5}\vec{a}\). Die Kontrolle bestätigt den Parallelfall.