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- Setze den angegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Einsetzen einer negativen Zahl auf das Vorzeichen. - Berechne zuerst das Produkt und addiere anschließend den konstanten Term.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=0{,}4\cdot2+1{,}2=2\). 2. Für \(x=-3\) gilt \(y=0{,}4\cdot(-3)+1{,}2=0\).

1) \(y=2\) 2) \(y=0\)

- Lies bei jedem Punkt zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate ab. - Ein Punkt auf der x-Achse hat die y-Koordinate \(0\); ein Punkt auf der y-Achse hat die x-Koordinate \(0\).

1. Punkt \(D\) liegt auf der x-Achse bei \(-2\). Daher ist \(D(-2\mid0)\). 2. Punkt \(E\) liegt auf der y-Achse bei \(-1\). Daher ist \(E(0\mid-1)\). 3. Punkt \(F\) liegt auf der x-Achse bei \(2\). Daher ist \(F(2\mid0)\).

\(D(-2\mid0)\), \(E(0\mid-1)\), \(F(2\mid0)\)

- In \(f(x)\) steht in der Klammer das Argument. - Der Wert rechts vom Gleichheitszeichen ist der zugehörige Funktionswert. - Ein Graphpunkt verbindet Argument und Funktionswert als \(x\)- und \(y\)-Koordinate.

1. Das Argument ist \(3\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 3. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(3\mid7)\). 4. Die Schreibweise bedeutet: Dem Argument \(3\) ordnet die Funktion \(f\) den Funktionswert \(7\) zu.

a) \(3\) b) \(7\) c) \(P(3\mid7)\) d) \(f\) ordnet dem Argument \(3\) den Funktionswert \(7\) zu.

- Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle genannt wird? - An welcher Stelle im Koordinatensystem ist der \(x\)-Wert immer gleich Null? - Reicht es aus, dass ein Punkt auf der Achse liegt, damit er zum Graphen der Funktion gehört?

1. Zur Überprüfung der Nullstelle wird \(f(-2)\) berechnet: \(1{,}5 \cdot (-2) + 3 = -3 + 3 = 0\). Da der Funktionswert gleich Null ist, ist \(x = -2\) eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt: \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 + 3 = 3\). Dies ergibt den Punkt \((0 \mid 3)\). Die Aussage ist wahr. 3. Für den Punkt \(P(2 \mid 0)\) muss geprüft werden, ob \(f(2) = 0\) gilt: \(f(2) = 1{,}5 \cdot 2 + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 \neq 0\), liegt der Punkt nicht auf dem Graphen von \(f\), obwohl er auf der \(x\)-Achse liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr, da \(f(-2) = 0\). b) Wahr, da \(f(0) = 3\). c) Falsch, da \(f(2) = 6\) und nicht \(0\). Die Zahl \(2\) ist nur dann eine Nullstelle, wenn der Punkt \((2 \mid 0)\) auf dem Funktionsgraphen liegt.

- Suche in der Zeile für \(g(x)\) nach der Zahl Null, um die Nullstellen zu finden. - Wo in der Tabelle findest du Informationen über den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? - Achte darauf, nicht die \(x\)-Werte mit den Funktionswerten zu vertauschen.

Da die Tabelle den vollständigen Definitionsbereich enthält, sind alle Nullstellen aus ihr ablesbar. 1. Nullstellen sind die \(x\)-Werte, bei denen der Funktionswert \(g(x) = 0\) ist. Aus der Tabelle liest man ab: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist der Punkt, an dem \(x = 0\) ist. Laut Tabelle ist \(g(0) = -4\). Der Schnittpunkt ist somit \(S_y(0 \mid -4)\). 3. Die Stelle \(x = 4\) wird in der ersten Zeile gesucht. Der zugehörige Funktionswert in der zweiten Zeile ist \(g(4) = 5\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -4)\). 3. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) ist \(5\).

- Wie kannst du den Funktionswert für eine gegebene \(x\)-Koordinate berechnen? - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn sein \(y\)-Wert größer oder kleiner als der berechnete Funktionswert ist? - Wann genau liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 2\): \(k(2) = 1{,}5 \cdot 2 - 3 = 0\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(A\) mit dem Funktionswert übereinstimmt (\(0 = 0\)), liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 4\): \(k(4) = 1{,}5 \cdot 4 - 3 = 3\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(B\) größer ist als der Funktionswert (\(5 > 3\)), liegt \(B\) über dem Graphen. 3. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = -2\): \(k(-2) = 1{,}5 \cdot (-2) - 3 = -6\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(C\) kleiner ist als der Funktionswert (\(-7 < -6\)), liegt \(C\) unter dem Graphen.

a) \(A\) liegt auf dem Graphen \(G_k\). b) \(B\) liegt über dem Graphen \(G_k\). c) \(C\) liegt unter dem Graphen \(G_k\).

- Welche Bedeutung hat der Wert \(20\) in der Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, wenn eine bestimmte Kerzenhöhe vorgegeben ist? - Prüfe, ob ein berechneter Funktionswert im Sachzusammenhang möglich ist. - Bei welcher Zeit erreicht das Modell erstmals die Höhe \(0\)?

1. \(h(3)=20-2{,}5\cdot3=12{,}5\). Die Höhe nach \(3\,\text{h}\) beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 2. \(h(5{,}5)=20-2{,}5\cdot5{,}5=6{,}25\). Die Höhe nach \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt \(6{,}25\,\text{cm}\). 3. Für \(h(t)=7{,}5\) gilt \(7{,}5=20-2{,}5t\). Daraus folgt \(t=5\). Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. 4. \(h(10)=20-2{,}5\cdot10=-5\). Eine negative Kerzenhöhe ist im Sachzusammenhang nicht möglich. 5. Die Kerze ist bei \(20-2{,}5t=0\), also bei \(t=8\,\text{h}\), vollständig abgebrannt. Daher ist im Modell \(0\le t\le8\) sinnvoll.

a) Nach \(3\,\text{h}\) ist die Kerze \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch, nach \(5{,}5\,\text{h}\) noch \(6{,}25\,\text{cm}\). b) Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. c) \(h(10)=-5\). Das ist im Sachzusammenhang unmöglich; sinnvoll ist die Definitionsmenge \(t\in[0;8]\).

- Lies für eine bestimmte Uhrzeit den zugehörigen y-Wert des Graphen ab. - Suche für eine vorgegebene Temperatur alle Schnittstellen des Graphen mit dieser Höhe. - Der tiefste Punkt des Graphen liefert Zeitpunkt und Wert des Minimums.

1. Aus dem Graphen liest man \(12\,\text{°C}\) um \(9{:}00\,\text{Uhr}\), \(18\,\text{°C}\) um \(15{:}00\,\text{Uhr}\) und \(9\,\text{°C}\) um \(23{:}00\,\text{Uhr}\) ab. 2. Die Höhe \(15\,\text{°C}\) wird bei \(x=11\) und \(x=19\) erreicht. Das entspricht \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). 3. Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \((3\mid6)\). Die minimale Temperatur von \(6\,\text{°C}\) wird um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) erreicht.

a) <table><thead><tr><th>Uhrzeit</th><td>\(9{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(15{:}00\,\text{Uhr}\)</td><td>\(23{:}00\,\text{Uhr}\)</td></tr></thead><tbody><tr><th>Temperatur</th><td>\(12\,\text{°C}\)</td><td>\(18\,\text{°C}\)</td><td>\(9\,\text{°C}\)</td></tr></tbody></table> b) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) und \(19{:}00\,\text{Uhr}\). c) Um \(3{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(6\,\text{°C}\).

- Vergleiche jeweils zwei benachbarte Messwerte und trenne die Messwerte von Annahmen über den Verlauf dazwischen. - Für das Minimum reicht es, die tatsächlich aufgezeichneten Werte zu vergleichen. - Für die durchschnittliche Änderung über mehrere Stunden brauchst du nur Anfangswert, Endwert und die gesamte Zeitspanne.

1. Ab dem Messwert bei \(t=4\,\text{h}\) ist jeder folgende Messwert größer als der vorherige. Ein Anstieg ist daher für die Messintervalle \(4\) bis \(5\), \(5\) bis \(6\), \(6\) bis \(7\) und \(7\) bis \(8\) Stunden belegt. Über den Verlauf innerhalb dieser Intervalle sagt die Tabelle nichts aus. 2. Der kleinste gemessene Wert ist \(10\,\%\) bei \(t=4\,\text{h}\). 3. Von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) steigt der Ladestand von \(10\,\%\) auf \(90\,\%\), also um \(80\) Prozentpunkte in \(3\,\text{h}\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(80:3\approx26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

a) In den Messintervallen \(4\)–\(5\), \(5\)–\(6\), \(6\)–\(7\) und \(7\)–\(8\) Stunden. b) Nach \(4\,\text{h}\) mit \(10\,\%\). c) Etwa \(26{,}7\) Prozentpunkte pro Stunde.

- Ordne zuerst jeder Frage die richtige Achsenrichtung zu: Strecke ist das Argument, Geschwindigkeit der Funktionswert. - Für b) brauchst du den höchsten Punkt des gesamten Graphen, nicht den Wert aus a). - Ein lokales Minimum ist ein Tiefpunkt zwischen zwei benachbarten höheren Graphenabschnitten. - Für d) ist die letzte dargestellte Streckenposition entscheidend.

1. Bei \(350\,\text{m}\) liegt der Graph bei \(40\,\text{km/h}\). 2. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(200\,\text{m}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(115\,\text{km/h}\). 3. Das erste lokale Minimum liegt bei \(100\,\text{m}\) und etwa \(5\,\text{km/h}\). 4. Der dargestellte Fahrtverlauf endet bei \(800\,\text{m}\). Die gesamte dargestellte Schienenstrecke beträgt daher \(800\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{km/h}\) b) \(115\,\text{km/h}\) bei \(200\,\text{m}\) c) Nach \(100\,\text{m}\) bei etwa \(5\,\text{km/h}\) d) \(800\,\text{m}\)

- Suche nach lokalen Hochpunkten: Dort wechselt der Verlauf von steigend zu fallend. - Vergleiche für b) die Funktionswerte der beiden Hochpunkte auf derselben Skala. - Drehe für c) die Zuordnungsrichtung um und prüfe, ob ein Pegelwert die Uhrzeit eindeutig festlegt.

1. Die beiden deutlichsten lokalen Hochpunkte liegen ungefähr bei \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. 2. Der erste Hochpunkt liegt bei etwa \(90\,\text{dB}\), der zweite bei etwa \(80\,\text{dB}\). Der erste ist damit ungefähr \(10\,\text{dB}\) höher. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion. Derselbe Pegelwert tritt im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auf; damit kann eine Eingabe in der umgekehrten Zuordnung mehrere Ausgaben besitzen.

a) Ungefähr um \(10{:}00\) Uhr und \(16{:}00\) Uhr. b) Etwa \(90\,\text{dB}\) gegenüber etwa \(80\,\text{dB}\); Unterschied ungefähr \(10\,\text{dB}\). c) Nein. Derselbe Pegelwert kann im dargestellten Verlauf zu mehreren Uhrzeiten auftreten.

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Schau dir die Achsenbeschriftungen genau an, um zu wissen, welche Größe auf welcher Achse dargestellt ist. - Um einen Wert wie \(T(1)\) zu finden, startest du bei der Zahl 1 auf der waagerechten Achse und gehst senkrecht zum Graphen. - Eine Differenz berechnest du, indem du die beiden einzelnen Werte abliest und sie voneinander abziehst. - Wenn nach Zeitpunkten für eine bestimmte Temperatur gefragt ist, suchst du auf der senkrechten Achse diesen Wert und schaust, welche Stellen auf der waagerechten Achse dazu gehören.

a) Bei \(t = 1\,\text{h}\) gilt \(T(1) = 3\,\text{°C}\). b) Bei \(t = 3\,\text{h}\) gilt \(T(3) = -1\,\text{°C}\). c) Es gilt \(T(2) = 1\,\text{°C}\) und \(T(4) = 1\,\text{°C}\). Daher ist \(T(2) - T(4) = 1 - 1 = 0\,\text{°C}\). d) Die Temperatur beträgt bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\) genau \(1\,\text{°C}\).

a) \(3\,\text{°C}\) b) \(-1\,\text{°C}\) c) \(0\,\text{°C}\) d) Bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheiten in der Aufgabenstellung (z. B. \(1000\,\text{€}\)). - Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht dem Wert auf der senkrechten Achse. - Eine Nullstelle ist ein Punkt, an dem der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet. - Überlege dir, was ein negativer \(y\)-Wert in diesem Sachzusammenhang bedeuten könnte.

a) Gewinn bei \(x = 3\): Suche die Stelle 3 auf der \(x\)-Achse. Der zugehörige \(y\)-Wert auf dem Graphen ist 4. Da der Gewinn in \(1000\,\text{€}\) angegeben ist, beträgt er \(4000\,\text{€}\). b) Bestimmen von \(f(4)\): Gehe zur Stelle \(x = 4\). Der \(y\)-Wert am Graphen ist 3. Also \(f(4) = 3\). c) Gewinnänderung von \(x = 1\) nach \(x = 2\): Lies \(f(1) = 0\) und \(f(2) = 3\) ab. Die Änderung ist \(f(2) - f(1) = 3 - 0 = 3\). Dies entspricht einer Zunahme um \(3000\,\text{€}\). d) Nullstellen bestimmen: Die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x = 1\) und \(x = 5\).

a) \(4000\,\text{€}\) b) \(3\) c) Erhöhung um \(3000\,\text{€}\) d) Bei \(x = 1\) und \(x = 5\).

- Um einen Funktionswert \(f(x)\) zu finden, gehe auf der \(x\)-Achse zum angegebenen Wert und lies den zugehörigen \(y\)-Wert des Graphen ab. - Wenn \(f(x) = 0\) gesucht ist, suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse berührt oder schneidet. - Der Definitionsbereich bezieht sich auf die Ausdehnung des Graphen entlang der waagerechten \(x\)-Achse. - Der Wertebereich bezieht sich auf die Ausdehnung des Graphen entlang der senkrechten \(y\)-Achse (vom tiefsten bis zum höchsten Punkt). - „Positiv“ bedeutet, dass der Graph über der \(x\)-Achse liegen muss.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt an den entsprechenden \(x\)-Stellen ablesen: \(f(-3) = 0\), \(f(-1) = 2\) und \(f(3) = -2\). 2. Die Bedingung \(f(x) = 0\) ist an den Nullstellen erfüllt, also dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. Dies ist bei \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 5\) der Fall. 3. Der Definitionsbereich \(D\) umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist: \(D = [-4; 5]\). Der Wertebereich \(W\) umfasst alle vorkommenden \(y\)-Werte vom Minimum bis zum Maximum: \(W = [-3; 2]\). 4. Der Funktionswert ist positiv, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Dies ist im Intervall zwischen den Nullstellen \(-3\) und \(1\) der Fall: \(-3 < x < 1\).

1. \(f(-3) = 0\); \(f(-1) = 2\); \(f(3) = -2\) 2. \(x \in \{-3; 1; 5\}\) 3. \(D = [-4; 5]\); \(W = [-3; 2]\) 4. \(-3 < x < 1\)

- Bei einem Punkt \((x\mid y)\) ist \(x\) das Argument und \(y\) der Funktionswert. - Suche für b) die Stelle des Graphen mit der \(y\)-Koordinate \(0\). - Prüfe für c) jede Aussage an dem Punkt mit dem angegebenen Argument.

1. Der Punkt \(P(-1\mid4)\) bedeutet \(f(-1)=4\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((2\mid0)\). Zum Funktionswert \(0\) gehört daher das Argument \(2\). 3. Der Graph enthält den Punkt \((4\mid3)\). Daher ist \(f(4)=3\) richtig. Die beiden anderen Aussagen stimmen nicht mit den dargestellten Punkten überein.

a) \(f(-1)=4\) b) \(2\) c) \(f(4)=3\)

- Lies zuerst, welche Größe durch \(t\) und welche durch \(T(t)\) beschrieben wird. - Im Koordinatensystem steht das Argument an erster und der Funktionswert an zweiter Stelle. - Vertausche Eingabe und Ausgabe nicht: Eine bekannte Zuordnung lässt sich nicht automatisch umdrehen.

1. Das Argument ist \(6\,\text{min}\), weil \(t\) die Zeit beschreibt. Der Funktionswert ist \(18\,^\circ\text{C}\), weil \(T(t)\) die Temperatur angibt. 2. Die Aussage entspricht dem Punkt \(P(6\mid18)\). 3. Nein. \(T(6)=18\) enthält nur die Zuordnung vom Argument \(6\) zum Funktionswert \(18\). Über \(T(18)\) wird nichts ausgesagt. 4. Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur der Flüssigkeit \(18\,^\circ\text{C}\).

a) Argument: \(6\,\text{min}\); Funktionswert: \(18\,^\circ\text{C}\) b) \(P(6\mid18)\) c) Nein. Aus \(T(6)=18\) folgt keine Aussage über \(T(18)\). d) Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur \(18\,^\circ\text{C}\).

- Kannst du dir einen Graphen vorstellen, der die \(x\)-Achse niemals berührt? - Erinnere dich an die Definition einer Funktion: Wie viele Ausgabewerte darf es für einen Eingabewert geben? - Was bedeutet die Koordinate \(y = 0\) für die Position eines Punktes?

1. Es gibt Funktionen, deren Graphen die \(x\)-Achse nie berühren oder schneiden, wie zum Beispiel die konstante Funktion \(f(x) = 5\). Daher ist die Aussage falsch. 2. Nach der Definition einer Funktion wird jedem \(x\)-Wert (also auch \(x = 0\)) genau ein \(y\)-Wert zugeordnet. Mehrere Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse würden bedeuten, dass einem \(x\)-Wert mehrere \(y\)-Werte zugeordnet werden. Daher ist die Aussage falsch. 3. Ein Punkt der Form \((x \mid 0)\) liegt auf der \(x\)-Achse. Wenn dieser Punkt Teil des Graphen ist, bedeutet das \(f(4) = 0\). Dies entspricht exakt der Definition einer Nullstelle. Die Aussage ist wahr.

a) Falsch; Gegenbeispiel: \(f(x) = 2\) (eine waagerechte Gerade oberhalb der \(x\)-Achse). b) Falsch; wegen der Eindeutigkeit von Funktionen darf jedem \(x\)-Wert nur ein \(y\)-Wert zugeordnet werden. c) Wahr; da der \(y\)-Wert an der Stelle \(x = 4\) gleich \(0\) ist, erfüllt dies die Definition einer Nullstelle.

- Bearbeite zuerst das Produkt mit der Klammer und fasse danach gleichartige Terme zusammen. - Für einen Termwert ersetzt du \(x\) durch den vorgegebenen Zahlenwert. - Nutze für die Überprüfung möglichst den bereits vereinfachten Term.

1. Zuerst wird ausmultipliziert und anschließend zusammengefasst: \(T(x)=2x^2-5x-3-2x^2+4x=-x-3\). 2. Mit dem vereinfachten Term erhält man \(T(-5)=2\), \(T(-3)=0\), \(T(0)=-3\) und \(T(2)=-5\). 3. Für \(x=12\) gilt \(T(12)=-12-3=-15\). Die Aussage ist richtig.

a) \(T(x)=-x-3\) b) \(T(-5)=2\); \(T(-3)=0\); \(T(0)=-3\); \(T(2)=-5\) c) Die Aussage ist richtig, denn \(T(12)=-15\).

- Löse die Klammern sorgfältig auf und achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Wenn ein Funktionswert vorgegeben ist, kannst du ihn mit dem vereinfachten Term gleichsetzen.

1. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(f(x)=x^2-8x+16-x^2+10x-15=2x+1\). 2. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\): \(2x+1=0\), also \(x=-0{,}5\). 3. Für die \(y\)-Koordinate \(12\) gilt \(12=2x+1\). Daraus folgt \(x=5{,}5\). Der Punkt ist \(Q(5{,}5\mid12)\).

a) \(f(x)=2x+1\) b) \(x=-0{,}5\) c) \(x=5{,}5\)

- Vereinfache die beiden Terme getrennt und vergleiche erst danach ihre Ergebnisse. - Achte beim ersten Term darauf, welche Summanden sich nach dem Ausmultiplizieren zusammenfassen lassen. - Für b) und c) kannst du mit dem vereinfachten Term weiterrechnen.

1. Es gilt \(A(x)=2x-x^2+x^2+3=2x+3\). Außerdem ist \(B(x)=2x+3\). Beide Terme vereinfachen sich also zum selben Term und sind für alle Werte von \(x\) gleichwertig. 2. Mit \(A(x)=2x+3\) ergibt sich \(A(-4{,}5)=2\cdot(-4{,}5)+3=-6\). 3. Für \(x=0\) gilt \(A(0)=3\) und \(B(0)=3\). Die Ergebnisse stimmen überein, wie es bei gleichwertigen Termen zu erwarten ist.

a) \(A(x)=2x+3\) und \(B(x)=2x+3\); die Terme sind gleichwertig. b) \(A(-4{,}5)=-6\) c) \(A(0)=B(0)=3\)

- Setze \(t=0\) ein und deute den erhaltenen Wert. - Vergleiche \(V(t)\) und \(V(t+1)\): Um wie viel ändert sich das Volumen in einer Minute? - Für die Definitionsmenge ist entscheidend, wann das Fass erstmals voll ist. - Überlege, welche Graphstelle sich ändert, wenn nur das Anfangsvolumen geändert wird.

1. Der Wert \(20\) beschreibt das Anfangsvolumen: Zu Beginn sind \(20\,\text{l}\) im Fass. Der Wert \(1{,}5\) bedeutet, dass pro Minute \(1{,}5\,\text{l}\) hinzukommen. 2. \(V(12)=1{,}5\cdot12+20=38\). Nach \(12\,\text{min}\) sind \(38\,\text{l}\) im Fass. 3. Das Fass ist voll, wenn \(V(t)=80\): \(1{,}5t+20=80\), also \(t=40\). Für den Füllvorgang ist daher \(D=[0;40]\). 4. Bei einem anfangs leeren Fass würde der Graph bei \((0\mid0)\) beginnen. Danach würde die Wassermenge weiterhin in jeder Minute um \(1{,}5\,\text{l}\) zunehmen.

a) \(20\): Anfangsvolumen in Litern; \(1{,}5\): Zunahme um \(1{,}5\,\text{l}\) pro Minute. b) \(38\,\text{l}\). c) \(D=[0;40]\) Minuten. d) Bei einem leeren Fass beginnt der Graph bei \((0\mid0)\) und steigt anschließend mit derselben Zunahme pro Minute.

- Überlege, welche Beziehung zwischen den beiden Funktionswerten an einem Schnittpunkt gelten muss. - Nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate brauchst du noch den zugehörigen gemeinsamen Funktionswert. - Vergleiche für c) jeweils die beiden Funktionswerte beim selben Argument.

1. Am Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben Argument denselben Funktionswert. Daher gilt \(1{,}5x-3=-0{,}5x+5\). Daraus folgt \(2x=8\) und damit \(x=4\). Mit \(f(4)=3\) erhält man \(S(4\mid3)\). 2. Es gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-3=3\) und \(g(4)=-0{,}5\cdot4+5=3\). Der Punkt \(S(4\mid3)\) liegt somit auf beiden Graphen. 3. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=0\) und \(g(2)=4\); dort liegt \(G_g\) höher. Bei \(x=6\) gilt \(f(6)=6\) und \(g(6)=2\); dort liegt \(G_f\) höher. Die Reihenfolge wechselt am Schnittpunkt bei \(x=4\).

a) \(S(4\mid3)\) b) \(f(4)=g(4)=3\) c) Bei \(x=2\) liegt \(G_g\) höher; bei \(x=6\) liegt \(G_f\) höher. Der Wechsel passt zum Schnittpunkt bei \(x=4\).

- Was passiert zum Zeitpunkt Null? - Achte auf die Einheiten: Eine halbe Stunde muss in Minuten umgerechnet werden. - Stelle eine Gleichung auf, bei der das Ergebnis \(100\) sein soll. - Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, die du berechnest und verbindest.

1. Interpretation der Parameter: Die \(15\) ist der Startwert (\(15\,\%\) Ladung bei \(t=0\)). Der Koeffizient \(0{,}8\) ist die Änderungsrate (\(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute). 2. Berechnung für \(t = 30\): \(L(30) = 0{,}8 \cdot 30 + 15 = 24 + 15 = 39\). Der Ladestand beträgt \(39\,\%\). 3. Berechnung der Zeit für \(L(t) = 100\): \(0{,}8t + 15 = 100\) \(0{,}8t = 85\) \(t = 85 : 0{,}8 = 106{,}25\). Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\) (oder \(1\,\text{Stunde}\) \(46\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\)). 4. Zeichnen des Graphen: Startpunkt bei \((0 \mid 15)\), Endpunkt nach \(60\,\text{Minuten}\) bei \((60 \mid 63)\) (da \(0{,}8 \cdot 60 + 15 = 63\)).

a) \(15\,\%\) ist der Anfangsladestand; die Ladegeschwindigkeit beträgt \(0{,}8\) Prozentpunkte pro Minute. b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand \(39\,\%\). c) Es dauert \(106{,}25\,\text{Minuten}\). d) Der Graph ist im Zeitraum von \(0\) bis \(60\,\text{Minuten}\) die Gerade durch \((0 \mid 15)\) und \((60 \mid 63)\).

- Welche Form einer linearen Funktionsgleichung verbindet Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter zu bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt anschließend die Stelle, an der der Funktionswert \(11\) erreicht wird?

1. Schreibe die Funktion in der Form \(g(x)=mx+t\). 2. Mit \(m=2{,}5\) und \(P(2 \mid 1)\) gilt \(1=2{,}5\cdot 2+t\). Daraus folgt \(t=-4\). 3. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=2{,}5x-4\). 4. Für den Funktionswert \(11\) gilt \(11=2{,}5x-4\). 5. Daraus folgt \(15=2{,}5x\) und damit \(x=6\).

Der Funktionswert \(11\) wird bei \(x=6\) angenommen.

- Betrachte jeweils nur den Graphenabschnitt innerhalb des angegebenen Intervalls. - Vergleiche auffällige Hoch- und Tiefpunkte im Inneren mit den Funktionswerten an den Intervallrändern. - Lies für jedes Intervall den höchsten und den niedrigsten dargestellten \(y\)-Wert ab.

1. Im Intervall \([-3;0]\) liegt das Minimum bei \(x=-2\) mit \(f(-2)=-4\). Das Maximum liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 2. Im Intervall \([0;3]\) liegt das Maximum bei \(x=2\) mit \(f(2)=4\). Das Minimum liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 3. Im Intervall \([-4;4]\) ist der größte Funktionswert \(4\), der bei \(x=-4\) und \(x=2\) erreicht wird. Der kleinste Funktionswert ist \(-4\), der bei \(x=-2\) und \(x=4\) erreicht wird.

1) Maximum: \(0\); Minimum: \(-4\) 2) Maximum: \(4\); Minimum: \(0\) 3) Maximum: \(4\); Minimum: \(-4\)

- Welche zwei Zahlen ergeben quadriert genau 4? - Suche im Graphen nach den Stellen, an denen die Funktion diese beiden Werte annimmt. - Prüfe, welche dieser Stellen in eines der vorgegebenen Intervalle fällt.

1. Die Gleichung \((f(x))^2 = 4\) ist erfüllt, wenn \(f(x) = 2\) oder \(f(x) = -2\) gilt. 2. Wir suchen im Graphen nach Stellen \(x\), an denen der Funktionswert \(y = 2\) oder \(y = -2\) ist. 3. Für \(y = 2\) finden wir Schnittpunkte bei \(x \approx -3{,}46\) und \(x \approx 3{,}46\). 4. Für \(y = -2\) gibt es keine Schnittpunkte mit dem Graphen, da der tiefste Punkt bei \(y = -1\) liegt. 5. Von den gefundenen Werten liegt nur \(x \approx -3{,}46\) in einem der vorgegebenen Intervalle, nämlich in \([-4; -3]\).

Das Intervall \([-4; -3]\) enthält eine Lösung.

- Lies die Schreibweise \(f(x)=y\) von innen nach außen: Was steht in der Klammer, was rechts vom Gleichheitszeichen? - Übertrage Argument und Funktionswert in derselben Reihenfolge auf einen Punkt \((x\mid y)\). - Entscheidend für eine Funktion ist die Eindeutigkeit von der Eingabe zur Ausgabe.

1. In \(f(-2)=5\) ist \(-2\) das Argument und \(5\) der Funktionswert. 2. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(-2\mid5)\), nicht \(P(5\mid-2)\). 3. Der Funktionswert \(5\) darf zu verschiedenen Argumenten gehören. Hier gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Das widerspricht der Funktionseigenschaft nicht, solange jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet ist.

Jonas hat Argument und Funktionswert vertauscht, dadurch auch die Punktkoordinaten vertauscht, und die Wiederholung eines Funktionswerts fälschlich als Verstoß gegen die Funktionseigenschaft gedeutet. Richtig ist: Argument \(-2\), Funktionswert \(5\), Punkt \(P(-2\mid5)\); derselbe Funktionswert darf zu mehreren Argumenten gehören.

- Achte auf das Minuszeichen in der Funktion – was bedeutet das für die Bewegung? - Wenn eine bestimmte Höhe gesucht ist, musst du die Gleichung nach \(t\) umstellen. - „Das Tal erreichen“ bedeutet mathematisch, dass die Höhe Null wird. - Für den Vergleich musst du für beide Personen die Zeit berechnen, die sie bis zur Höhe \(0\,\text{m}\) benötigen.

1. Höhe nach \(2{,}5\,\text{h}\): \(h(2{,}5) = 1500 - 240 \cdot 2{,}5 = 1500 - 600 = 900\). Er befindet sich auf \(900\,\text{m}\). 2. Zeit für \(660\,\text{m}\): \(660 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 840 \Rightarrow t = 3{,}5\). Er benötigt \(3{,}5\,\text{Stunden}\). 3. Talankunft und Wertebereich: \(0 = 1500 - 240t \Rightarrow 240t = 1500 \Rightarrow t = 6{,}25\). Er erreicht das Tal nach \(6\,\text{Stunden}\) und \(15\,\text{Minuten}\). Der Wertebereich ist \(W = [0; 1500]\), da er auf \(1500\,\text{m}\) startet und bei \(0\,\text{m}\) endet. 4. Vergleich: Wanderer 2 wird beschrieben durch \(g(t) = 1200 - 180t\). Nullstelle: \(0 = 1200 - 180t \Rightarrow 180t = 1200 \Rightarrow t = \frac{1200}{180} \approx 6{,}67\). Da \(6{,}25 < 6{,}67\), erreicht der erste Wanderer das Tal trotz der größeren Starthöhe früher.

a) \(900\,\text{m}\). b) Nach \(3{,}5\,\text{Stunden}\). c) Talankunft nach \(6{,}25\,\text{Stunden}\) (\(6\,\text{h}\) \(15\,\text{min}\)). Wertebereich: \([0; 1500]\) in Metern. d) Der erste Wanderer erreicht das Tal zuerst (\(6{,}25\,\text{h}\) vs. ca. \(6{,}67\,\text{h}\)).