- Setze den angegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Einsetzen einer negativen Zahl auf das Vorzeichen. - Berechne zuerst das Produkt und addiere anschließend den konstanten Term.

1. Für \(x=2\) gilt \(y=0{,}4\cdot2+1{,}2=2\). 2. Für \(x=-3\) gilt \(y=0{,}4\cdot(-3)+1{,}2=0\).

1) \(y=2\) 2) \(y=0\)

- In \(f(x)\) steht in der Klammer das Argument. - Der Wert rechts vom Gleichheitszeichen ist der zugehörige Funktionswert. - Ein Graphpunkt verbindet Argument und Funktionswert als \(x\)- und \(y\)-Koordinate.

1. Das Argument ist \(3\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(7\). 3. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(3\mid7)\). 4. Die Schreibweise bedeutet: Dem Argument \(3\) ordnet die Funktion \(f\) den Funktionswert \(7\) zu.

a) \(3\) b) \(7\) c) \(P(3\mid7)\) d) \(f\) ordnet dem Argument \(3\) den Funktionswert \(7\) zu.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinate des besonders markierten Punktes ab. - Nutze die im Aufgabentext erklärte Bedeutung eines offenen beziehungsweise ausgefüllten Punktes. - Entscheidend ist, welcher Punkt bei diesem Argument tatsächlich zum Graphen gehört.

1. In Abbildung a) liegt der markierte offene Punkt bei \((-1\mid0)\). Dieser Punkt gehört nicht zum Graphen. Bei \(x=-1\) gehört stattdessen der ausgefüllte Punkt \((-1\mid2)\) zum Graphen. Daher gilt \(f(-1)=2\) und nicht \(f(-1)=0\). 2. In Abbildung b) liegt der markierte ausgefüllte Punkt bei \((1\mid0)\) auf dem Graphen. Daher gilt dort \(g(1)=0\).

a) \(x=-1\); nein, denn der offene Punkt \((-1\mid0)\) gehört nicht zum Graphen. Es gilt \(f(-1)=2\). b) \(x=1\); ja, denn der ausgefüllte Punkt \((1\mid0)\) gehört zum Graphen. Es gilt \(g(1)=0\).

- Beginne jeweils beim gegebenen Argument auf der waagerechten Achse. - Gehe von dort zum Graphen und lies die zugehörige Höhe ab. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\).

1. Beim Argument \(-1\) liegt der Graph auf der Höhe \(2\). Daher ist \(f(-1)=2\). 2. Beim Argument \(2\) liegt der Graph auf der Höhe \(3\). Daher ist \(f(2)=3\). 3. Zum Argument \(4\) gehört der Funktionswert \(1\). Der zugehörige Punkt ist \((4\mid1)\).

a) \(f(-1)=2\) b) \(f(2)=3\) c) \((4\mid1)\)

- Beginne diesmal beim gegebenen Funktionswert auf der senkrechten Achse. - Suche alle Stellen, an denen der Graph diese Höhe erreicht. - Die Funktionsdefinition betrifft die Anzahl der Ausgaben zu einer Eingabe, nicht die Anzahl der Eingaben zu einer Ausgabe.

1. Die Höhe \(2\) wird im dargestellten Graphen bei \(x=1\) und bei \(x=3\) angenommen. Daher gilt \(g(1)=2\) und \(g(3)=2\). 2. Die Höhe \(4\) wird bei \(x=2\) erreicht. 3. Eine Funktion verlangt zu jedem Argument genau einen Funktionswert. Sie verbietet nicht, dass derselbe Funktionswert zu mehreren verschiedenen Argumenten gehört.

a) \(x=1\) und \(x=3\) b) \(x=2\) c) Verschiedene Argumente dürfen denselben Funktionswert besitzen.

- Die erste Punktkoordinate ist das Argument, die zweite der Funktionswert. - In der Funktionsschreibweise steht das Argument in der Klammer. - Übertrage bei c) dieselbe Reihenfolge zurück in die Punktnotation.

1. Der markierte Punkt P hat die Koordinaten \((3\mid-1)\). 2. Dieselbe Zuordnung wird als \(h(3)=-1\) geschrieben. 3. Zum Argument \(-1\) und Funktionswert \(2\) gehört der Punkt \((-1\mid2)\).

a) P\((3\mid-1)\) b) \(h(3)=-1\) c) \((-1\mid2)\)

- Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat die zweite Koordinate \(0\). - Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat die erste Koordinate \(0\). - Lies für Teil 3 die Tabellenspalte mit dem Argument \(4\) ab.

1. Punkte auf der \(x\)-Achse haben die zweite Koordinate \(0\). In der Tabelle steht \(g(-1)=0\) und \(g(2)=0\). Daher liegen \((-1\mid0)\) und \((2\mid0)\) auf der \(x\)-Achse. 2. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Aus der Tabelle folgt \(g(0)=-4\), also liegt der Graph dort im Punkt \((0\mid-4)\). 3. Zum Argument \(x=4\) gehört laut Tabelle der Funktionswert \(g(4)=5\).

1. \((-1\mid0)\) und \((2\mid0)\) 2. \((0\mid-4)\) 3. \(g(4)=5\)

- Prüfe für a) die Zuordnung immer in der angegebenen Richtung von der Uhrzeit zur Temperatur. - Bei b) ist einmal ein Funktionswert zu deuten und anschließend rückwärts nach allen passenden Argumenten zu suchen. - Für c) vertauschst du gedanklich Eingaben und Ausgaben und prüfst erneut die Eindeutigkeit.

1. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist in der Tabelle genau ein Temperaturwert zugeordnet. Daher ist \(t\mapsto T(t)\) auf der angegebenen Definitionsmenge eine Funktion. 2. \(T(15)=7{,}5\) bedeutet: Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen. Der Funktionswert \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) tritt bei den Argumenten \(t=9\) und \(t=21\) auf. 3. Die umgekehrte Zuordnung ist keine Funktion, weil der Eingabe \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) zwei verschiedene Messzeitpunkte, \(9{:}00\) Uhr und \(21{:}00\) Uhr, zugeordnet würden.

a) Ja. Jedem aufgezeichneten Messzeitpunkt ist genau ein Temperaturwert zugeordnet. b) Um \(15{:}00\) Uhr wurden \(7{,}5\,^\circ\text{C}\) gemessen; \(T(t)=1{,}2\) gilt für \(t=9\) und \(t=21\). c) Nein. \(1{,}2\,^\circ\text{C}\) gehört zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten.

- Berechne für jeden Punkt zuerst den Funktionswert zur gegebenen \(x\)-Koordinate. - Vergleiche anschließend den berechneten Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate des Punktes. - Gleichheit bedeutet „auf dem Graphen“; über die Richtung bei größeren oder kleineren \(y\)-Werten entscheidest du durch den Vergleich.

1. Für \(x=2\) gilt \(k(2)=1{,}5\cdot2-3=0\). Der \(y\)-Wert von \(A\) stimmt mit diesem Funktionswert überein. Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(x=4\) gilt \(k(4)=1{,}5\cdot4-3=3\). Der \(y\)-Wert von \(B\) ist mit \(5>3\) größer als der Funktionswert. Daher liegt \(B\) über dem Graphen. 3. Für \(x=-2\) gilt \(k(-2)=1{,}5\cdot(-2)-3=-6\). Der \(y\)-Wert von \(C\) ist mit \(-7<-6\) kleiner als der Funktionswert. Daher liegt \(C\) unter dem Graphen.

a) \(A\) liegt auf dem Graphen \(G_k\). b) \(B\) liegt über dem Graphen \(G_k\). c) \(C\) liegt unter dem Graphen \(G_k\).

- Setze für Teil a) die beiden vorgegebenen Zeiten in den Funktionsterm ein. - Für Teil b) ist der Funktionswert vorgegeben; suche das zugehörige Argument. - Prüfe in Teil c), ob ein negativer Höhenwert im Sachzusammenhang möglich ist. - Bestimme, wann das Modell erstmals die Höhe \(0\) erreicht.

1. \(h(3)=20-2{,}5\cdot3=12{,}5\). Die Höhe nach \(3\,\text{h}\) beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 2. \(h(5{,}5)=20-2{,}5\cdot5{,}5=6{,}25\). Die Höhe nach \(5{,}5\,\text{h}\) beträgt \(6{,}25\,\text{cm}\). 3. Für \(h(t)=7{,}5\) gilt \(7{,}5=20-2{,}5t\). Daraus folgt \(t=5\). Nach \(5\,\text{h}\) ist die Kerze \(7{,}5\,\text{cm}\) hoch. 4. \(h(10)=20-2{,}5\cdot10=-5\). Eine negative Kerzenhöhe ist im Sachzusammenhang nicht möglich. 5. Die Kerze ist bei \(20-2{,}5t=0\), also bei \(t=8\,\text{h}\), vollständig abgebrannt. Daher ist das Modell für \(0\le t\le8\) sinnvoll.

a) Nach \(3\,\text{h}\): \(12{,}5\,\text{cm}\); nach \(5{,}5\,\text{h}\): \(6{,}25\,\text{cm}\) b) Nach \(5\,\text{h}\) c) \(h(10)=-5\,\text{cm}\) ist sachlich unmöglich; sinnvoll ist das Modell für \(0\le t\le8\).

- Wie setzt man die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung ein? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der Geraden liegt? - Wenn die y-Koordinate bekannt ist, wie kannst du die Gleichung nach dem unbekannten x-Wert auflösen?

1. Punktprobe für \(A(-2|6)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(y = -1{,}5 \cdot (-2) + 3 = 3 + 3 = 6\). Da \(6 = 6\), liegt \(A\) auf der Geraden. 2. Punktprobe für \(B(4|-3)\): Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(y = -1{,}5 \cdot 4 + 3 = -6 + 3 = -3\). Da \(-3 = -3\), liegt \(B\) auf der Geraden. 3. Berechnung von \(k\) für \(C(k|0)\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt die Gleichung \(0 = -1{,}5k + 3\). 4. Umstellen nach \(k\): \(1{,}5k = 3 \Rightarrow k = 2\).

a) Ja, beide Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf der Geraden. b) Der Wert für \(k\) ist \(2\).

- An welcher Höhe musst du den Graphen von \(f\) betrachten? - Welche \(x\)-Koordinate hat der Schnittpunkt der beiden dargestellten Geraden? - Wie kannst du diesen Wert anschließend in der Gleichung \(f(x)=1\) kontrollieren?

1. Der Graph von \(f\) schneidet die Gerade \(y=1\) im Punkt \((2\mid1)\). Daher liest man \(x=2\) ab. 2. Rechnerisch gilt \(1=-1{,}5x+4\). Daraus folgt \(-3=-1{,}5x\) und damit \(x=2\). Die Rechnung bestätigt die grafische Lösung.

a) \(x=2\) b) \(1=-1{,}5\cdot2+4\), also ist der abgelesene Wert korrekt.

- Wie kannst du den passenden y-Wert auf der Geraden für einen gegebenen x-Wert berechnen? - Was bedeutet es für die Position des Punktes, wenn sein y-Wert größer oder kleiner als der berechnete Wert auf der Geraden ist? - Vergleiche den gegebenen y-Wert des Punktes direkt mit dem Ergebnis deiner Rechnung.

1. Berechnung des \(y\)-Wertes auf der Geraden für \(x_P = 2\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 2 + 0{,}5 = 2{,}9\). Da \(y_P = 2{,}9\), liegt \(P\) auf der Geraden. 2. Berechnung für \(x_Q = -1\): \(y_g = 1{,}2 \cdot (-1) + 0{,}5 = -0{,}7\). Da \(y_Q = -1\) kleiner als \(-0{,}7\) ist, liegt \(Q\) unterhalb der Geraden. 3. Berechnung für \(x_R = 5\): \(y_g = 1{,}2 \cdot 5 + 0{,}5 = 6{,}5\). Da \(y_R = 6{,}5\), liegt \(R\) auf der Geraden.

\(P(2 \mid 2{,}9)\) liegt auf der Geraden. \(Q(-1 \mid -1)\) liegt unterhalb der Geraden. \(R(5 \mid 6{,}5)\) liegt auf der Geraden.

- Berechne zu jeder gegebenen \(x\)-Koordinate den Funktionswert von \(g\). - Vergleiche den berechneten Funktionswert mit der \(y\)-Koordinate des jeweiligen Punktes. - Was bedeutet Gleichheit, ein größerer beziehungsweise ein kleinerer \(y\)-Wert für die Lage des Punktes?

1. Für \(x=2\) gilt \(g(2)=\frac{3}{3}+2=3\). Daher liegt \(P_1\) auf dem Graphen. 2. Für \(x=-2\) gilt \(g(-2)=\frac{3}{-1}+2=-1\). Der Punkt \(P_2\) hat die größere \(y\)-Koordinate \(1\), also liegt er oberhalb des Graphen. 3. Für \(x=0\) gilt \(g(0)=3+2=5\). Der Punkt \(P_3\) hat die kleinere \(y\)-Koordinate \(4\), also liegt er unterhalb des Graphen.

\(P_1\) liegt auf dem Graphen, \(P_2\) liegt oberhalb des Graphen und \(P_3\) liegt unterhalb des Graphen.

- Welche einfachen \(x\)-Werte führen zu leicht berechenbaren Funktionswerten? - Was erhältst du, wenn du einen negativen \(x\)-Wert einsetzt? - Welche geometrische Bedeutung hat die Bedingung \(y=f(x)\)?

1. Wähle zum Beispiel \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\). Dann erhält man \(f(0)=-3\), \(f(2)=0\) und \(f(4)=3\). Drei Punkte sind also \((0\mid-3)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid3)\). 2. Für \(x=-2\) gilt \(f(-2)=1{,}5\cdot(-2)-3=-6\). Damit ist \((-2\mid-6)\) ein Punkt mit zwei negativen Koordinaten. 3. Genau die Zahlenpaare mit \(y=f(x)\) sind die Punkte auf dem Graphen der Funktion.

a) Zum Beispiel \((0\mid-3)\), \((2\mid0)\), \((4\mid3)\) b) Ja, zum Beispiel \((-2\mid-6)\). c) Sie liegen alle auf dem Graphen von \(f\).

- Was musst du mit der \(x\)-Koordinate eines Punktes tun, um eine Punktprobe durchzuführen? - Wann liegt ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion? - Prüfe die Punkte systematisch und streiche bereits eindeutig zugeordnete Punkte.

1. Für \(A(3\mid4)\) gilt \(f_1(3)=3\cdot3-5=4\). Daher gehört \(A\) zu \(f_1\). 2. Für \(B(0\mid3)\) gilt \(f_2(0)=3\). Daher gehört \(B\) zu \(f_2\). 3. Für \(C(7\mid1)\) gilt \(f_3(7)=7-6=1\). Daher gehört \(C\) zu \(f_3\). 4. Für \(D(4\mid0)\) gilt \(f_4(4)=-0{,}5\cdot4+2=0\). Daher gehört \(D\) zu \(f_4\). 5. Der Punkt \(E(2\mid3)\) erfüllt keinen der vier Funktionsterme und bleibt übrig.

(1) \(\rightarrow A\) (2) \(\rightarrow B\) (3) \(\rightarrow C\) (4) \(\rightarrow D\) Übrig: \(E(2\mid3)\)

- Wie führst du eine Punktprobe mit der Funktionsgleichung durch? - Was musst du einsetzen, wenn bei einem Punkt nur die \(y\)-Koordinate fehlt? - Welche Gleichung entsteht, wenn die \(y\)-Koordinate vorgegeben und \(x\) gesucht ist?

1. Es gilt \(f(0{,}5)=3\cdot0{,}5-1{,}5=0\), also liegt \(P_1\) nicht auf dem Graphen. Weiter ist \(f(1)=1{,}5\), also liegt \(P_2\) auf dem Graphen. Außerdem gilt \(f(0)=-1{,}5\), also liegt auch \(P_3\) auf dem Graphen. 2. Für \(Q\) gilt \(y=f(2)=3\cdot2-1{,}5=4{,}5\). 3. Für \(R\) gilt \(-3=3x-1{,}5\). Daraus folgt \(-1{,}5=3x\) und \(x=-0{,}5\).

a) \(P_2\) und \(P_3\) liegen auf dem Graphen; \(P_1\) nicht. b) \(y=4{,}5\) c) \(x=-0{,}5\)

- Welche beiden Parameter kannst du direkt aus dem Funktionsterm ablesen? - Welche einfachen \(x\)-Werte liefern leicht berechenbare Punkte? - Wie funktioniert die Punktprobe für \(P(5\mid12)\)?

1. Aus \(f(x)=2x+2\) liest man \(m=2\) und \(t=2\) ab. 2. Zum Beispiel gilt \(f(0)=2\), \(f(1)=4\) und \(f(-1)=0\). Daher liegen \((0\mid2)\), \((1\mid4)\) und \((-1\mid0)\) auf dem Graphen. 3. Für \(x=5\) ist \(f(5)=2\cdot5+2=12\). Damit liegt \(P(5\mid12)\) auf dem Graphen.

a) \(m=2\), \(t=2\) b) Zum Beispiel \((0\mid2)\), \((1\mid4)\), \((-1\mid0)\) c) Ja, \(P(5\mid12)\) liegt auf dem Graphen.

- Welche Koordinate ist auf der jeweiligen Achse gleich \(0\)? - Welcher \(x\)-Wert macht die Rechnung in Teil b besonders einfach? - Wie überprüfst du einen gegebenen Punkt mit der Funktionsgleichung?

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\), also \(S_y(0\mid2)\). Für die \(x\)-Achse gilt \(0=-0{,}25x+2\), also \(x=8\) und \(S_x(8\mid0)\). 2. Wähle zum Beispiel \(x=4\). Dann ist \(f(4)=-0{,}25\cdot4+2=1\), also liegt \((4\mid1)\) auf dem Graphen. 3. Für \(x=-4\) gilt \(f(-4)=1+2=3\). Daher liegt \((-4\mid3)\) auf dem Graphen.

a) \(S_y(0\mid2)\), \(S_x(8\mid0)\) b) Zum Beispiel \((4\mid1)\) c) Ja, \((-4\mid3)\) liegt auf dem Graphen.

- Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. - Was bedeutet eine negative Steigung für die Änderung der Werte? - Kannst du die Steigung als Bruch interpretieren, der angibt, wie viele Schritte man nach oben oder unten geht, wenn man Schritte nach rechts geht? - Wie kannst du prüfen, ob eine Aussage über einen Punkt wahr ist, ohne zu zeichnen?

1. Berechnung von \(y_A\): Setze \(x = 6\) in die Gleichung ein: \(y_A = -\frac{2}{3} \cdot 6 + 2 = -4 + 2 = -2\). Der Punkt ist \(A(6 \mid -2)\). 2. Berechnung von \(x_B\): Setze \(y = 0\) ein: \(0 = -\frac{2}{3}x_B + 2\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(-2 = -\frac{2}{3}x_B\). Multiplikation mit \(-\frac{3}{2}\) ergibt \(x_B = 3\). Der Punkt ist \(B(3 \mid 0)\). 3. Punktprobe für \(C(-3 \mid 4)\): Setze \(x = -3\) in die Gleichung ein: \(y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2 = 2 + 2 = 4\). Da der berechnete \(y\)-Wert mit der Koordinate von \(C\) übereinstimmt (\(4 = 4\)), liegt der Punkt auf der Geraden. 4. Interpretation der Steigung: Die Steigung beträgt \(m = -\frac{2}{3}\). Das bedeutet, dass sich der \(y\)-Wert pro Einheit in \(x\)-Richtung um \(-\frac{2}{3}\) ändert. Bei einer Zunahme von \(x\) um \(3\) Einheiten ändert sich \(y\) um \(3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -2\). Der \(y\)-Wert verringert sich also um \(2\).

a) \(y_A = -2\) b) \(x_B = 3\) c) Ja, der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden, da \(4 = -\frac{2}{3} \cdot (-3) + 2\) eine wahre Aussage ist. d) Der \(y\)-Wert verringert sich um \(2\) Einheiten.

- Was muss für einen Punkt \(P(x\mid y)\) gelten, damit er auf dem Graphen einer Funktion liegt? - Setze jeweils die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein. - Vergleiche den berechneten Funktionswert mit der angegebenen \(y\)-Koordinate.

1. Für \(A(3\mid3)\) gilt \(f(3)=2\cdot3-3=3\). Also liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(B(-2\mid-7)\) gilt \(f(-2)=2\cdot(-2)-3=-7\). Also liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Für \(C(1\mid0)\) gilt \(f(1)=2\cdot1-3=-1\ne0\). Also liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 4. Für \(D(-1\mid-5)\) gilt \(f(-1)=2\cdot(-1)-3=-5\). Also liegt \(D\) auf dem Graphen.

Auf dem Graphen liegen \(A\), \(B\) und \(D\). \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Bei einer Punktprobe setzt du die \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein und vergleichst mit der \(y\)-Koordinate. - Bei \(Q(-2\mid y)\) ist das Argument gegeben; bei \(R(x\mid6)\) ist der Funktionswert gegeben. - Behandle jede Funktion getrennt, damit du Funktionswert und Argument nicht miteinander vertauschst.

1. Für \(f\) gilt \(f(2)=1\), während die anderen gegebenen Punkte die Funktionsgleichung von \(f\) nicht erfüllen. Daher liegt \(P_1\) auf \(G_f\). 2. Für \(g\) gilt \(g(0)=4\) und \(g(4)=2\). Daher liegen \(P_2\) und \(P_4\) auf \(G_g\). 3. Für \(h\) gilt \(h(-1)=-3\). Daher liegt \(P_3\) auf \(G_h\). 4. Für \(Q\) gilt \(f(-2)=-7\), \(g(-2)=5\) und \(h(-2)=-6\). 5. Für \(R\) wird jeweils der Funktionswert \(6\) vorgegeben: Aus \(2x-3=6\) folgt \(x=4{,}5\); aus \(-0{,}5x+4=6\) folgt \(x=-4\); aus \(3x=6\) folgt \(x=2\).

a) \(G_f\): \(P_1\); \(G_g\): \(P_2,P_4\); \(G_h\): \(P_3\) b) Für \(f\): \(Q(-2\mid-7)\), \(R(4{,}5\mid6)\) Für \(g\): \(Q(-2\mid5)\), \(R(-4\mid6)\) Für \(h\): \(Q(-2\mid-6)\), \(R(2\mid6)\)

- Schau dir die Achsenbeschriftungen genau an, um zu wissen, welche Größe auf welcher Achse dargestellt ist. - Um einen Wert wie \(T(1)\) zu finden, startest du bei der Zahl 1 auf der waagerechten Achse und gehst senkrecht zum Graphen. - Eine Differenz berechnest du, indem du die beiden einzelnen Werte abliest und sie voneinander abziehst. - Wenn nach Zeitpunkten für eine bestimmte Temperatur gefragt ist, suchst du auf der senkrechten Achse diesen Wert und schaust, welche Stellen auf der waagerechten Achse dazu gehören.

1. Bei \(t=1\,\text{h}\) gilt \(T(1)=3\,\text{°C}\). 2. Bei \(t=3\,\text{h}\) gilt \(T(3)=-1\,\text{°C}\). 3. Es gilt \(T(2)=1\,\text{°C}\) und \(T(4)=1\,\text{°C}\). Daher ist \(T(2)-T(4)=0\,\text{°C}\). 4. Der Graph hat den Wert \(1\,\text{°C}\) bei \(t=0\,\text{h}\), \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\).

a) \(3\,\text{°C}\) b) \(-1\,\text{°C}\) c) \(0\,\text{°C}\) d) Bei \(t = 0\,\text{h}\), \(t = 2\,\text{h}\) und \(t = 4\,\text{h}\).

- Achte auf die Einheit \(1000\,\text{€}\) an der senkrechten Achse. - Der Funktionswert \(f(x)\) entspricht dem Wert auf der senkrechten Achse. - Für d) suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Überlege, was ein negativer Funktionswert in diesem Sachzusammenhang bedeuten würde.

1. Bei \(x=3\) liest man am Graphen \(f(3)=4\) ab. Da die Gewinnachse in \(1000\,\text{€}\) skaliert ist, entspricht das \(4000\,\text{€}\). 2. Bei \(x=4\) liegt der Graph bei \(y=3\). Daher gilt \(f(4)=3\). 3. Es gilt \(f(1)=0\) und \(f(2)=3\). Die Änderung beträgt \(f(2)-f(1)=3\), also \(3000\,\text{€}\). 4. Weder Gewinn noch Verlust liegt dort vor, wo der Graph die \(x\)-Achse trifft. Das ist bei \(x=1\) und \(x=5\) der Fall.

a) \(4000\,\text{€}\) b) \(3\) c) Erhöhung um \(3000\,\text{€}\) d) Bei \(x=1\) und \(x=5\)

- Um \(f(x)\) zu finden, lies zum angegebenen \(x\)-Wert die Höhe des Graphen ab. - Für \(f(x)=0\) suchst du die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse trifft. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die gesamte waagerechte Ausdehnung des Graphen; für die Wertemenge die gesamte senkrechte Ausdehnung. - Ein positiver Funktionswert liegt vor, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Aus dem Graphen liest man \(f(-3)=0\), \(f(-1)=2\) und \(f(3)=-2\) ab. 2. Die Bedingung \(f(x)=0\) gilt dort, wo der Graph die \(x\)-Achse trifft. Das ist bei \(x=-3\), \(x=1\) und \(x=5\) der Fall. 3. Der Graph ist für alle \(x\)-Werte von \(-4\) bis \(5\) einschließlich dargestellt. Daher gilt für die Definitionsmenge \(-4\le x\le5\). Die vorkommenden Funktionswerte reichen von \(-3\) bis \(2\) einschließlich, also gilt für die Wertemenge \(-3\le y\le2\). 4. Der Funktionswert ist positiv, wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. Das ist für \(-3<x<1\) der Fall.

1. \(f(-3)=0\); \(f(-1)=2\); \(f(3)=-2\) 2. \(x\in\{-3;1;5\}\) 3. \(D\): \(-4\le x\le5\); \(W\): \(-3\le y\le2\) 4. \(-3<x<1\)

- Welche Vermutung liefert dir zunächst die Lage der Punkte im Diagramm? - Wie führst du für jeden Punkt eine Punktprobe mit \(f(x)\) durch? - Vergleiche den berechneten Funktionswert jeweils mit der gegebenen \(y\)-Koordinate.

1. Für \(A(2\mid1)\) gilt \(f(2)=1{,}5\cdot2-2=1\). Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 2. Für \(B(-1\mid-3{,}5)\) gilt \(f(-1)=1{,}5\cdot(-1)-2=-3{,}5\). Daher liegt \(B\) auf dem Graphen. 3. Für \(C(4\mid3{,}5)\) gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-2=4\). Da \(4\neq3{,}5\), liegt \(C\) nicht auf dem Graphen.

\(A\) und \(B\) liegen auf dem Graphen; \(C\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Suche auf der senkrechten Achse den Funktionswert \(2\). - Gehe von dieser Höhe waagerecht zum Graphen und lies die zugehörigen Argumente ab. - Vergleiche die abgelesenen Argumente mit den vier angegebenen Zahlenbereichen.

1. Gesucht sind die Stellen des Graphen mit dem Funktionswert \(2\). 2. Die Höhe \(y=2\) trifft den Graphen ungefähr bei \(x\approx-3{,}46\) und \(x\approx3{,}46\). 3. Von den vier angebotenen Bereichen enthält nur Bereich 1 mit \(-4\le x\le-3\) eine dieser Stellen.

Bereich 1: \(-4\le x\le-3\)

- Beim Zuordnungspfeil steht das Argument links und der Funktionswert rechts. - Ein Graphpunkt hat die Form \((\text{Argument}\mid\text{Funktionswert})\). - Überlege bei c), welche Information die Gleichung tatsächlich über das Argument \(5\) enthält.

1. Mit Zuordnungspfeilen lauten die Aussagen \(-2\mapsto5\) und \(1\mapsto0{,}5\). 2. Die zugehörigen Graphpunkte sind \(P(-2\mid5)\) und \(Q(1\mid0{,}5)\). 3. Die Aussage \(g(-2)=5\) legt nur fest, welcher Funktionswert zum Argument \(-2\) gehört. Sie sagt nichts darüber aus, welcher Funktionswert zum Argument \(5\) gehört. Eingabe und Ausgabe dürfen daher nicht einfach vertauscht werden.

a) \(-2\mapsto5\); \(1\mapsto0{,}5\) b) \(P(-2\mid5)\); \(Q(1\mid0{,}5)\) c) Aus einer Zuordnung darf man Eingabe und Ausgabe nicht ohne weitere Information vertauschen.

- Bei einem Punkt \((x\mid y)\) ist \(x\) das Argument und \(y\) der Funktionswert. - Suche für b) die Stelle des Graphen mit der \(y\)-Koordinate \(0\). - Prüfe für c) jede Aussage an dem Punkt mit dem angegebenen Argument.

1. Der Punkt \(P(-1\mid4)\) bedeutet \(f(-1)=4\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((2\mid0)\). Zum Funktionswert \(0\) gehört daher das Argument \(2\). 3. Der Graph enthält den Punkt \((4\mid3)\). Daher ist \(f(4)=3\) richtig. Die beiden anderen Aussagen stimmen nicht mit den dargestellten Punkten überein.

a) \(f(-1)=4\) b) \(2\) c) \(f(4)=3\)

- Unterscheide zwischen dem Namen einer Funktion und der Rechenvorschrift, mit der sie Werte erzeugt. - Achte bei D darauf, welche Zahl als Argument eingesetzt wird und welche Zahl als Funktionswert herauskommt. - Vergleiche bei D und E die Reihenfolge von Argument und Funktionswert mit den beiden Punktkoordinaten.

1. A ist der Funktionsname, B der Funktionsterm, C die Funktionsgleichung, D eine Aussage über einen Funktionswert und E der zugehörige Graphpunkt. 2. In \(k(-2)=-11\) ist \(-2\) das Argument und \(-11\) der Funktionswert. 3. Die Aussage \(k(-2)=-11\) bedeutet, dass zum Argument \(-2\) der Funktionswert \(-11\) gehört. Im Koordinatensystem wird genau dieses Wertepaar durch den Punkt \(Q(-2\mid-11)\) dargestellt. 4. Der Funktionsterm \(4x-3\) ist die allgemeine Rechenvorschrift mit der Variablen \(x\). Der Wert \(-11\) entsteht erst, wenn das Argument \(-2\) eingesetzt wird.

a) A: Funktionsname; B: Funktionsterm; C: Funktionsgleichung; D: Aussage über einen Funktionswert; E: Graphpunkt b) Argument: \(-2\); Funktionswert: \(-11\) c) D und E beschreiben dasselbe Wertepaar: \(k(-2)=-11\) entspricht \(Q(-2\mid-11)\). d) B ist die allgemeine Rechenvorschrift; \(-11\) ist ein einzelner Funktionswert für das Argument \(-2\).

- Lies zuerst, welche Größe durch \(t\) und welche durch \(T(t)\) beschrieben wird. - Im Koordinatensystem steht das Argument an erster und der Funktionswert an zweiter Stelle. - Vertausche Eingabe und Ausgabe nicht: Eine bekannte Zuordnung lässt sich nicht automatisch umdrehen.

1. Das Argument ist \(6\,\text{min}\), weil \(t\) die Zeit beschreibt. Der Funktionswert ist \(18\,^\circ\text{C}\), weil \(T(t)\) die Temperatur angibt. 2. Die Aussage entspricht dem Punkt \(P(6\mid18)\). 3. Nein. \(T(6)=18\) enthält nur die Zuordnung vom Argument \(6\) zum Funktionswert \(18\). Über \(T(18)\) wird nichts ausgesagt. 4. Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur der Flüssigkeit \(18\,^\circ\text{C}\).

a) Argument: \(6\,\text{min}\); Funktionswert: \(18\,^\circ\text{C}\) b) \(P(6\mid18)\) c) Nein. Aus \(T(6)=18\) folgt keine Aussage über \(T(18)\). d) Nach \(6\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur \(18\,^\circ\text{C}\).

- Überlege, welche Koordinate auf der \(x\)-Achse immer \(0\) ist und welche auf der \(y\)-Achse. - Ein Punkt des Graphen \((x\mid y)\) bedeutet \(f(x)=y\). - Formuliere die beiden Schnittpunkte anschließend als Aussagen über Funktionswerte.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((4\mid0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0\mid-2)\). 2. Am Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse ist der Funktionswert \(0\). Daher gilt \(f(4)=0\). 3. Am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist das Argument \(0\). Man liest \(f(0)=-2\) ab.

a) \(x\)-Achse: \((4\mid0)\); \(y\)-Achse: \((0\mid-2)\) b) \(f(4)=0\) c) \(f(0)=-2\)

- Vergleiche alle drei Punkte bei demselben Argument \(x=2\). - Lies zuerst die Höhe des Funktionsgraphen an dieser Stelle ab. - Vergleiche danach die zweite Koordinate jedes Punktes mit dem abgelesenen Funktionswert.

1. Bei \(x=2\) hat der Graph den Funktionswert \(g(2)=3\). 2. \(P=(2\mid1)\) liegt unterhalb des Graphen, \(Q=(2\mid3)\) liegt auf dem Graphen und \(R=(2\mid5)\) liegt oberhalb des Graphen. 3. Zum Argument \(2\) gehört bei der Funktion genau der Funktionswert \(3\). Deshalb gehört nur der Punkt mit der zweiten Koordinate \(3\), also \(Q\), zum Graphen.

a) \(g(2)=3\) b) \(P\): unterhalb; \(Q\): auf dem Graphen; \(R\): oberhalb c) Nur \(Q=(2\mid3)\) gehört zum Graphen, weil für \(x=2\) der Funktionswert \(3\) ist.

- Kannst du dir einen Funktionsgraphen vorstellen, der vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt? - Welche \(x\)-Koordinate besitzen alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Was bedeutet die Koordinate \(y=0\) für die Lage eines Punktes?

1. Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel liegt der Graph der konstanten Funktion \(f(x)=5\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und hat keinen Punkt mit \(y=0\). 2. Die Aussage ist falsch. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Bei einer Funktion gehört zu diesem Argument höchstens ein Funktionswert, also kann der Graph die \(y\)-Achse höchstens an einer Stelle treffen. 3. Die Aussage ist wahr. Der Punkt \((4\mid0)\) hat die \(y\)-Koordinate \(0\) und liegt deshalb auf der \(x\)-Achse. Zugleich bedeutet der Punkt \(f(4)=0\).

a) Falsch; zum Beispiel hat \(f(x)=5\) keinen Punkt auf der \(x\)-Achse. b) Falsch; zum Argument \(x=0\) darf bei einer Funktion höchstens ein Funktionswert gehören. c) Wahr; \((4\mid0)\) liegt auf der \(x\)-Achse und bedeutet \(f(4)=0\).

- Gehe schrittweise vor und setze die bekannten Werte in die jeweilige Funktionsgleichung ein. - Was bedeutet ein Vergleich von zwei \(y\)-Werten bei gleichem \(x\) für die Position eines Punktes? - Wie löst man eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable im Nenner steht? - Achte darauf, welche Funktion in welchem Aufgabenteil gefragt ist.

1. Prüfung für \(f_1\): \(f_1(4)=\frac{4}{4}=1\). Da der berechnete Wert der \(y\)-Koordinate von \(S\) entspricht, liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. Lage bezüglich \(f_2\): Es ist \(f_2(4)=\frac{4}{4-2}+1=3\). Da die \(y\)-Koordinate von \(S\) gleich \(1\) und damit kleiner als \(3\) ist, liegt \(S\) unterhalb des Graphen von \(f_2\). 3. Für die gesuchte \(x\)-Koordinate gilt \(f_2(x)=5\). Aus \(5=\frac{4}{x-2}+1\) folgt \(4=\frac{4}{x-2}\), also \(x-2=1\) und damit \(x=3\).

1. \(f_1(4)=1\), daher liegt \(S\) auf dem Graphen von \(f_1\). 2. \(S\) liegt unterhalb des Graphen von \(f_2\), da \(f_2(4)=3\) und \(1<3\). 3. Die \(x\)-Koordinate ist \(x=3\).

- Wie kannst du jeden gegebenen Punkt mit einer Punktprobe prüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen \(y\)-Koordinate von \(D\)? - Was muss bei zwei echt parallelen linearen Funktionen für \(m\) und \(t\) gelten?

1. \(f(2)=0\), also liegt \(A\) auf dem Graphen. \(f(0)=-4\), also liegt auch \(B\) auf dem Graphen. \(f(4)=4\neq3\), daher liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 2. Für \(D\) gilt \(2=2x_D-4\). Daraus folgt \(6=2x_D\) und \(x_D=3\). 3. Eine echt parallele Gerade muss dieselbe Steigung \(2\), aber einen anderen \(y\)-Achsenabschnitt besitzen. Zum Beispiel gilt \(g(x)=2x-8\). Daher schneiden sich die beiden Graphen nicht.

a) \(A\) und \(B\) liegen auf dem Graphen, \(C\) nicht. b) \(x_D=3\) c) Zum Beispiel \(g(x)=2x-8\); gleiche Steigung, anderer Achsenabschnitt.

- Welcher Punkt auf der \(x\)-Achse gehört zur gegebenen Nullstelle? - Wie kannst du diesen Punkt zusammen mit der bekannten Steigung nutzen, um den Achsenabschnitt \(t\) zu bestimmen? - Welche Gleichung erhältst du anschließend für den vorgegebenen Funktionswert?

1. Schreibe \(f(x)=-0{,}4x+t\). Aus der Nullstelle folgt \(0=-0{,}4\cdot 5+t\), also \(t=2\). Damit ist \(f(x)=-0{,}4x+2\). 2. Für den gesuchten Funktionswert gilt \(-2=-0{,}4x+2\). Daraus folgt \(-4=-0{,}4x\) und damit \(x=10\).

Der Funktionswert beträgt \(-2\) für \(x=10\).

- Betrachte jeweils nur den Graphenabschnitt zwischen den beiden angegebenen \(x\)-Grenzen. - Vergleiche auffällige Hoch- und Tiefpunkte im Inneren mit den Funktionswerten an den Randstellen. - Lies für jeden Bereich den höchsten und den niedrigsten dargestellten \(y\)-Wert ab.

1. Für \(-3\le x\le0\) liegt der kleinste Funktionswert bei \(x=-2\) mit \(f(-2)=-4\). Der größte Funktionswert liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 2. Für \(0\le x\le3\) liegt der größte Funktionswert bei \(x=2\) mit \(f(2)=4\). Der kleinste Funktionswert liegt bei \(x=0\) mit \(f(0)=0\). 3. Für \(-4\le x\le4\) ist der größte Funktionswert \(4\); er wird bei \(x=-4\) und \(x=2\) erreicht. Der kleinste Funktionswert ist \(-4\); er wird bei \(x=-2\) und \(x=4\) erreicht.

1) größter Funktionswert: \(0\); kleinster Funktionswert: \(-4\) 2) größter Funktionswert: \(4\); kleinster Funktionswert: \(0\) 3) größter Funktionswert: \(4\); kleinster Funktionswert: \(-4\)

- Lies die Schreibweise \(f(x)=y\) von innen nach außen: Was steht in der Klammer, was rechts vom Gleichheitszeichen? - Übertrage Argument und Funktionswert in derselben Reihenfolge auf einen Punkt \((x\mid y)\). - Entscheidend für eine Funktion ist die Eindeutigkeit von der Eingabe zur Ausgabe.

1. In \(f(-2)=5\) ist \(-2\) das Argument und \(5\) der Funktionswert. 2. Der zugehörige Graphpunkt ist \(P(-2\mid5)\), nicht \(P(5\mid-2)\). 3. Der Funktionswert \(5\) darf zu verschiedenen Argumenten gehören. Hier gilt \(f(-2)=5\) und \(f(4)=5\). Das widerspricht der Funktionseigenschaft nicht, solange jedem einzelnen Argument genau ein Funktionswert zugeordnet ist.

Jonas hat Argument und Funktionswert vertauscht, dadurch auch die Punktkoordinaten vertauscht, und die Wiederholung eines Funktionswerts fälschlich als Verstoß gegen die Funktionseigenschaft gedeutet. Richtig ist: Argument \(-2\), Funktionswert \(5\), Punkt \(P(-2\mid5)\); derselbe Funktionswert darf zu mehreren Argumenten gehören.

- Nutze P zuerst ausschließlich zur Kalibrierung der senkrechten Skala. - Verwende die in a) gefundene Skala anschließend konsequent für alle Funktionswerte. - Für c) suchst du die zur Höhe \(4\) gehörende Gitterlinie und alle Schnittstellen mit dem Graphen. - Prüfe Definitions- und Wertemenge erst, nachdem die Skala feststeht.

1. Der Punkt P liegt drei senkrechte Gitterabstände über der x-Achse und besitzt den Funktionswert \(6\). Daher entspricht ein senkrechter Gitterabstand dem Zahlenunterschied \(2\). 2. Bei \(x=-2\) liegt der Graph zwei Gitterabstände über der x-Achse, also bei \(4\); die erste Aussage ist richtig. Bei \(x=0\) liegt der Graph ebenfalls zwei Gitterabstände über der x-Achse, also gilt \(f(0)=4\); die zweite Aussage ist falsch. Bei \(x=3\) liegt der Graph bei \(4\); die dritte Aussage ist richtig. 3. Die Höhe \(4\) entspricht der zweiten waagerechten Gitterlinie über der x-Achse. Der Graph erreicht sie bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=3\). 4. Der vollständige Graph reicht von \(x=-3\) bis \(x=4\), also \(-3\le x\le4\). Die Funktionswerte reichen von \(0\) bis \(6\), also \(0\le f(x)\le6\). Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind \((-3\mid0)\) und \((4\mid0)\); die y-Achse wird bei \((0\mid4)\) geschnitten. 5. Die Abstände im Bild geben zunächst nur gleiche Schritte an. Erst P ordnet drei solchen Schritten den Wert \(6\) zu und legt damit die Skala fest. Wer jeden Schritt fälschlich als \(1\) liest, halbiert alle positiven Funktionswerte.

a) Ein senkrechter Gitterabstand entspricht \(2\). b) \(f(-2)=4\): richtig; \(f(0)=2\): falsch, richtig ist \(f(0)=4\); \(f(3)=4\): richtig. c) \(x=-2,\ 0,\ 3\) d) \(-3\le x\le4\), \(0\le f(x)\le6\); x-Achse: \((-3\mid0)\), \((4\mid0)\); y-Achse: \((0\mid4)\) e) Erst P legt fest, welchen Zahlenwert ein Gitterabstand repräsentiert.