- Erinnere dich daran, wie ein negativer Exponent mit einem Kehrwert zusammenhängt. - Die Bedingung \(x\neq0\) stellt sicher, dass der entstehende Bruch definiert ist.

1. Ein negativer Exponent beschreibt den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. 2. Daher gilt \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\).

\(\frac{1}{x^4}\)

- Welche Definition verbindet \(a^{-n}\) und \(\frac{1}{a^n}\)? - Verändere nicht das Vorzeichen der Basis.

1. Ein Faktor im Nenner kann mit negativem Exponenten in den Zähler geschrieben werden. 2. Daher gilt \(\frac{1}{a^3}=a^{-3}\). Das Minus im Exponenten kennzeichnet den Kehrwert; es ist kein Minuszeichen vor der Potenz.

\(\frac{1}{a^3}=a^{-3}\). Der negative Exponent kennzeichnet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.

- Was bedeutet eine Potenz wie \(a^3\) als Multiplikation geschrieben? - Erinnere dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen. - Wie ist eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch definiert?

1. Für \(a \neq 0\) darf gekürzt werden. Ausschreiben und Kürzen: \(\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a^2}\). 2. Zusammenhang: Gemäß der Definition für negative Exponenten entspricht \(\frac{1}{a^n}\) der Potenz \(a^{-n}\). Somit ist \(\frac{1}{a^2} = a^{-2}\). Pauls Behauptung ist korrekt. 3. Allgemeine Regel: Für \(a \neq 0\) werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Wenn \(n > m\), ergibt sich ein negativer Exponent.

a) \(\frac{1}{a^2}\) b) Da \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\) gilt, ist \(\frac{1}{a^2} = a^{-2}\). c) Für \(a \neq 0\) gilt \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

- Entscheide für jede Teilaufgabe, welches Potenzgesetz zur Rechenart passt. - Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten miteinander multipliziert. - Schreibe einen verbleibenden negativen Exponenten am Ende mithilfe des Kehrwerts um.

1. In a) gilt \(a^{-4+7}=a^3\). 2. In b) gilt \(b^{2-6}=b^{-4}=\frac{1}{b^4}\). 3. In c) gilt \(c^{(-2)\cdot(-4)}=c^8\). 4. In d) gilt \(15:5=3\) und \(x^{3-8}=x^{-5}\). Daher ist das Ergebnis \(\frac{3}{x^5}\). 5. In e) kann \(\frac{1}{y^3}\) als \(y^{-3}\) geschrieben werden. Somit gilt \((y^{-3})^{-2}=y^6\).

a) \(a^3\) b) \(\frac{1}{b^4}\) c) \(c^8\) d) \(\frac{3}{x^5}\) e) \(y^6\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Erinnere dich an die Definition einer Potenz mit dem Exponenten \(0\). - Wie berechnet man die Differenz, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch?

1. Für a) gilt mit dem Produktgesetz: \(a^{-4} \cdot a^4 = a^{-4+4} = a^0 = 1\). Die Aussage ist falsch. 2. Für b) gilt mit dem Quotientengesetz: \(\frac{b^2}{b^{-3}} = b^{2-(-3)} = b^5\). Die Aussage ist wahr. 3. Für c) gilt: \((2^{-1})^3 = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\). Die Aussage ist wahr.

a) Falsch. Korrektur: \(a^{-4} \cdot a^4 = 1\) b) Wahr. c) Wahr.

- Überlege, was ein negativer Exponent für die Position der Basis im Bruch bedeutet. - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Erinnere dich daran, welchen Wert eine Potenz mit dem Exponenten \(0\) hat.

1. Für a) gilt \(a^{5+(-9)} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}\). 2. Für b) gilt \(x^{-3}:x^{-5}=x^{-3-(-5)}=x^2\). 3. Für c) gilt \((y^{-2})^4=y^{-8}=\frac{1}{y^8}\). 4. Für d) gilt \(b^{2+(-2)}=b^0=1\).

a) \(\frac{1}{a^4}\) b) \(x^2\) c) \(\frac{1}{y^8}\) d) \(1\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis? - Welche Auswirkung hat ein Wechsel zwischen Zähler und Nenner auf das Vorzeichen des Exponenten? - Worauf bezieht sich ein Exponent, wenn keine Klammern gesetzt sind?

1. In a) wird ein negativer Exponent fälschlich als negatives Vorzeichen gedeutet. Richtig ist \(3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\). 2. In b) wurde beim Wechsel zwischen Nenner und Zähler das Vorzeichen des Exponenten nicht geändert. Richtig ist \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\). 3. In c) wurde der Koeffizient \(2\) fälschlich in die Basis der Potenz einbezogen. Richtig ist \(2a^{-3}=\frac{2}{a^3}\).

a) Fehler: negativer Exponent als Minuszeichen gedeutet. Richtig: \(3^{-2}=\frac{1}{9}\). b) Fehler: Exponent beim Wechsel zwischen Nenner und Zähler nicht negiert. Richtig: \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\). c) Fehler: Koeffizient \(2\) fälschlich in die Potenz einbezogen. Richtig: \(2a^{-3}=\frac{2}{a^3}\).

- Wie lautet die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Basis quadriert wird? - Achte beim Dividieren von Potenzen darauf, dass du den Exponenten des Nenners subtrahierst.

1. In a) gilt \(a^{5+(-8)+4}=a\). 2. In b) ist \((-x)^2=x^2\). Damit folgt \(x^2\cdot x^{-5}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}\). 3. In c) gilt \(\frac{b^2}{b^{-3}}=b^{2-(-3)}=b^5\).

a) \(a\) b) \(\frac{1}{x^3}\) c) \(b^5\)

- Wie multipliziert man Potenzen mit derselben Basis? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man Potenzen mit derselben Basis dividiert? - Kannst du einen zusammengesetzten Term wie \(y-1\) als eine einzige Basis behandeln?

1. In a) gilt \(x^{3+(-5)}=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\). 2. In b) gilt \(a^{-2-(-4)}=a^2\). 3. In c) gilt \((y-1)^{2+(-3)}=(y-1)^{-1}=\frac{1}{y-1}\). 4. In d) gilt \(2z^{-3}z=2z^{-2}=\frac{2}{z^2}\).

a) \(\frac{1}{x^2}\) b) \(a^2\) c) \(\frac{1}{y-1}\) d) \(\frac{2}{z^2}\)

- Forme jeden Term zunächst unabhängig um, bevor du Gruppen bildest. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Position einer Basis im Bruch? - Achte darauf, ob ein Zahlenfaktor innerhalb oder außerhalb einer Potenz steht.

1. Analyse von Term A: \(\frac{4}{x^2}\) ist die Ausgangsform in Bruchschreibweise. 2. Analyse von Term B: Gemäß der Definition für negative Exponenten gilt \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). Somit ist \(4x^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^2}\). Term A und B sind gleich. 3. Analyse von Term C: Zuerst wird die Klammer aufgelöst: \((2x)^{-2} = \frac{1}{(2x)^2} = \frac{1}{4x^2}\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(\frac{1}{4x^2} \cdot 16 = \frac{16}{4x^2} = \frac{4}{x^2}\). Term C ist ebenfalls gleich. 4. Analyse von Term D: Der Ausdruck \(\frac{1}{x^{-2}}\) entspricht \(x^2\). Somit ist \(4 \cdot \frac{1}{x^{-2}} = 4x^2\). 5. Ergebnis: Term D ist nicht zu den anderen äquivalent, da \(4x^2\) und \(\frac{4}{x^2}\) nicht für alle zulässigen Werte übereinstimmen. Nur für \(x=1\) oder \(x=-1\) haben sie denselben Wert.

A, B und C sind für alle \(x\neq0\) äquivalent und ergeben \(\frac{4}{x^2}\). D ergibt \(4x^2\) und gehört daher nicht zu dieser Äquivalenzgruppe.

- Welche Regel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie werden die Exponenten beim Multiplizieren gleicher Basen verknüpft? - Vereinfache zuerst die Klammer und anschließend das Produkt.

1. Zuerst gilt \((y^2)^3=y^6\). 2. Danach ist \(y^{-5}\cdot y^6=y^{-5+6}=y\).

\(y\)

- Wie hängt ein Bruch mit einer Potenz im Nenner mit einem negativen Exponenten zusammen? - Kannst du die Zahlen im Nenner selbst als Potenzen schreiben? - Bestimme bei Variablen die Definitionsmenge aus dem ursprünglichen Ausdruck.

1. \(\frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}=10^{-4}\). 2. \(\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}\). 3. \(\frac{4}{x^3}=4x^{-3}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 4. \(\frac{y^5}{z^2}=y^5z^{-2}\) mit \(D=\{(y,z)\in\mathbb{Q}^2\mid z\neq0\}\).

a) \(10^{-4}\) b) \(2^{-5}\) c) \(4x^{-3}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) d) \(y^5z^{-2}\) mit \(D=\{(y,z)\in\mathbb{Q}^2\mid z\neq0\}\)

- Wie hängen Brüche mit dem Zähler \(1\) und Potenzen mit negativen Exponenten zusammen? - Kannst du eine Summe oder Differenz im Nenner als eine einzige Basis behandeln? - Welche Nenner beziehungsweise Basen negativer Potenzen dürfen nicht den Wert \(0\) annehmen?

1. \(\frac{12}{x^5}=12x^{-5}\); dabei gilt \(x\neq0\). 2. \(\frac{1}{(a+b)^3}=(a+b)^{-3}\); dabei gilt \(a+b\neq0\). 3. \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=m^{-2}+n^{-2}\); dabei gelten \(m\neq0\) und \(n\neq0\). 4. \(\frac{x-y}{z^2}=(x-y)z^{-2}\); dabei gilt \(z\neq0\).

1) \(12x^{-5}\); \(x\neq0\) 2) \((a+b)^{-3}\); \(a+b\neq0\) 3) \(m^{-2}+n^{-2}\); \(m\neq0\), \(n\neq0\) 4) \((x-y)z^{-2}\); \(z\neq0\)

- Wie hängen Brüche und Potenzen mit negativen Exponenten zusammen? - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn ein Potenzfaktor die Seite des Bruchstrichs wechselt? - Bestimme die Definitionsmenge aus den ursprünglichen Nennern und Basen negativer Potenzen.

1. \(\frac{7x^2}{y^3}=7x^2y^{-3}\) mit \(y\neq0\). 2. \(\frac{a^4}{5b^{-2}}=0{,}2a^4b^2\) mit \(b\neq0\). 3. \(\frac{u^{-1}v^2}{w^3z^{-4}}=u^{-1}v^2w^{-3}z^4\) mit \(u\neq0\), \(w\neq0\) und \(z\neq0\). 4. \(\frac{1}{8p^2q^{-3}}=0{,}125p^{-2}q^3\) mit \(p\neq0\) und \(q\neq0\).

1) \(7x^2y^{-3}\) für \(y\neq0\) 2) \(0{,}2a^4b^2\) für \(b\neq0\) 3) \(u^{-1}v^2w^{-3}z^4\) für \(u,w,z\neq0\) 4) \(0{,}125p^{-2}q^3\) für \(p\neq0\) und \(q\neq0\)

- Beim Wechsel über den Bruchstrich ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. - Nutze, dass \(m\) und \(n\) positive natürliche Zahlen sind. - Bestimme die Definitionsbedingungen immer am ursprünglichen Term.

1. Der erste Term wird zu \(y^{-(m+3)}=y^{-m-3}\). Da \(m+3>0\) gilt, steht im ursprünglichen Term eine positive Potenz von \(y\) im Nenner. Daher muss \(y\neq0\) gelten. 2. Im zweiten Term gilt \(b^{-n}=\frac{1}{b^n}\). Weil \(n\ge1\), ist dieser Faktor nur für \(b\neq0\) definiert. Außerdem muss wegen \(c^2\) im Nenner \(c\neq0\) gelten. 3. Umformen ohne Bruchstrich: \(15a^4\cdot5\cdot b^n\cdot c^{-2}=75a^4b^nc^{-2}\).

1) \(y^{-m-3}\) für \(y\neq0\) 2) \(75a^4b^nc^{-2}\) für \(b\neq0\) und \(c\neq0\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn ein Faktor die Seite des Bruchstrichs wechselt? - Behandle den Zahlenfaktor \(\frac{5}{2}\) getrennt von den Variablen. - Welche Faktoren haben in der zweiten Darstellung noch negative Exponenten und müssen deshalb die Seite wechseln?

1. Beim Entfernen des Bruchstrichs wird \(c^{-3}\) im Nenner zu \(c^3\) und \(d\) zu \(d^{-1}\). Außerdem ist \(5:2=2{,}5\). Damit ergibt sich \(2{,}5a^{-n}b^2c^3d^{-1}\). 2. Für eine Darstellung ohne negative Exponenten wird \(a^{-n}\) in den Nenner und \(d^{-1}\) ebenfalls in den Nenner geschrieben. Das Ergebnis ist \(\frac{5b^2c^3}{2a^nd}\).

1. \(2{,}5a^{-n}b^2c^3d^{-1}\) 2. \(\frac{5b^2c^3}{2a^nd}\)

- Welche Faktoren stehen jeweils im Nenner? - Wie wird ein Nennerfaktor mithilfe eines negativen Exponenten als Faktor geschrieben? - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Term.

1. \(\frac{12}{a^5}=12a^{-5}\) mit \(a\neq0\). 2. \(\frac{3x^2}{4y^3}=3\cdot4^{-1}x^2y^{-3}\) mit \(y\neq0\). 3. \(\frac{2}{3(m+n)^4}=2\cdot3^{-1}(m+n)^{-4}\) mit \(m+n\neq0\). 4. \(\frac{ab}{c}=abc^{-1}\) mit \(c\neq0\).

1) \(12a^{-5}\) für \(a\neq0\) 2) \(3\cdot4^{-1}x^2y^{-3}\) für \(y\neq0\) 3) \(2\cdot3^{-1}(m+n)^{-4}\) für \(m+n\neq0\) 4) \(abc^{-1}\) für \(c\neq0\)

- Vergleiche die Bedeutungen eines positiven und eines negativen Exponenten. - Schreibe \(x^{-3}\) als Bruch mit positivem Exponenten. - Welche Zahl darf dann nicht im Nenner entstehen?

1. Für a) gilt \(A(0)=0^3=0\). 2. Für einen negativen Exponenten gilt \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\). Bei \(x=0\) würde damit der Nenner \(0\) werden. Deshalb ist \(B(0)\) nicht definiert. 3. Folglich ist die Definitionsmenge \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

a) \(A(0)=0\) b) \(B(0)\) ist nicht definiert. Die Regel \(x^{-3}=\frac{1}{x^3}\) gilt für \(x\neq0\); bei \(x=0\) würde sie eine Division durch \(0\) verlangen. c) \(D_B=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\)

- Löse zuerst die äußere Potenz im Zähler auf und behandle die beiden Basen getrennt. - Bei der Division gleicher Basen werden die Exponenten voneinander subtrahiert; achte dabei auf negative Vorzeichen. - Schreibe einen verbleibenden negativen Exponenten am Ende als Kehrwert mit positivem Exponenten.

1. Im Zähler gilt \((x^2\cdot y^{-3})^{-2}=x^{-4}\cdot y^6\). 2. Damit wird der Bruch zu \(\frac{x^{-4}\cdot y^6}{x^{-1}\cdot y^4}\). 3. Für die Potenzen von \(x\) ergibt sich \(x^{-4-(-1)}=x^{-3}\). 4. Für die Potenzen von \(y\) ergibt sich \(y^{6-4}=y^2\). 5. Somit gilt \(x^{-3}y^2=\frac{y^2}{x^3}\).

\(\frac{y^2}{x^3}\)

- Behandle in jeder Teilaufgabe Potenzen mit derselben Basis gemeinsam. - Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten miteinander multipliziert. - Achte bei einer Division besonders darauf, dass ein negativer Exponent im Nenner subtrahiert wird.

1. In a) gilt \(x^7\cdot x^{-3}=x^4\) und anschließend \(x^4:x^2=x^2\). 2. In b) gilt \((y^{-2})^4=y^{-8}\) und damit \(y^{-8}\cdot y^5=y^{-3}\). 3. In c) gilt \(\frac{b^4}{b^{-2}}=b^{4-(-2)}=b^6\).

a) \(x^2\) b) \(y^{-3}\) c) \(b^6\)

- Vereinfache jeden Ausdruck unabhängig zu einer möglichst einfachen Potenz oder einem Vielfachen davon. - Achte bei Multiplikation und Division gleicher Basen auf die jeweilige Exponentenregel. - Unterscheide Addition gleichartiger Terme von Multiplikation von Potenzen.

1. Überprüfung von A: \(x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7\) (äquivalent). 2. Überprüfung von B: \(\frac{x^{10}}{x^3} = x^{10-3} = x^7\) (äquivalent). 3. Überprüfung von C: \((x^{-1})^{-7} = x^{(-1) \cdot (-7)} = x^7\) (äquivalent). 4. Überprüfung von D: \(x^7 + x^7 = 2x^7\) (nicht äquivalent). 5. Überprüfung von E: \(\frac{1}{x^{-7}} = x^{-(-7)} = x^7\) (äquivalent). 6. Überprüfung von F: \(x^{14} : x^2 = x^{14-2} = x^{12}\) (nicht äquivalent). 7. Überprüfung von G: Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), gilt \(x^7 \cdot 1 = x^7\) (äquivalent).

A: äquivalent B: äquivalent C: äquivalent D: nicht äquivalent E: äquivalent F: nicht äquivalent G: äquivalent

- Vereinfache jeden Term unabhängig auf eine einzelne Potenz zur Basis \(a\), soweit das möglich ist. - Unterscheide ein Minuszeichen vor der gesamten Potenz von einem Minuszeichen in der Basis. - Beachte bei einer Potenz von einer Potenz das Vorzeichen beider Exponenten.

1. Term 1 ergibt \(a^{-2+(-4)}=a^{-6}\). 2. Term 2 ergibt \(a^{3\cdot(-2)}=a^{-6}\). 3. Term 3 ergibt \(a^{4-10}=a^{-6}\). 4. Bei Term 4 ist der Exponent gerade, daher gilt \((-a)^{-6}=a^{-6}\). 5. Term 5 ist nach der Definition negativer Exponenten gleich \(a^{-6}\). 6. Term 6 ist das Negative von \(a^{-6}\) und daher nicht äquivalent. 7. Term 7 ergibt \(a^{(-3)\cdot(-2)}=a^6\) und ist daher nicht äquivalent.

1. äquivalent 2. äquivalent 3. äquivalent 4. äquivalent 5. äquivalent 6. nicht äquivalent 7. nicht äquivalent

- Fasse in a) die Potenzen mit der Basis \(b\) zu einer einzigen Potenz zusammen. - Ein einzelner eingesetzter Wert kann eine angebliche Identität widerlegen, aber nicht für alle Werte beweisen. - Prüfe für die allgemeine Begründung genau, welche Basis den Exponenten \(-2\) trägt.

1. In a) gilt \(\frac{b^n b^{-2}}{b^5}=b^{n-7}\). Daher muss \(n-7=3\) gelten und somit \(n=10\). 2. Für \(x=2\) hat der Originalterm den Wert \(4\cdot2^{-2}=1\). Option 1 ergibt \(\frac{1}{16}\), Option 2 ergibt \(1\) und Option 3 ergibt \(\frac{1}{64}\). Damit sind 1 und 3 widerlegt. 3. Allgemein bezieht sich der Exponent \(-2\) nur auf die Basis \(x\). Deshalb ist \(4x^{-2}=4\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{4}{x^2}\) für jedes \(x\neq0\).

a) \(n=10\) b) Korrekt ist 2: \(\frac{4}{x^2}\). Das Einsetzen von \(x=2\) widerlegt 1 und 3; allgemein folgt 2 aus \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\).

- Übersetze jede Potenzgleichung in eine Gleichung für die Exponenten. - Schreibe einen Bruch wie \(\frac{1}{a^8}\) bei Bedarf als Potenz mit negativem Exponenten. - Für d) ist hilfreich, die Zahl \(1\) als Potenz mit Exponent \(0\) zu betrachten.

1. In a) gilt \(n+5=-3\), also \(n=-8\). 2. In b) gilt \(\frac{1}{a^8}=a^{-8}\). Daher ist \(4n=-8\) und somit \(n=-2\). 3. In c) gilt \(n-(-2)=5\), also \(n=3\). 4. In d) wird \(1\) als \(c^0\) geschrieben. Daher ist \(-3+n=0\) und somit \(n=3\).

a) \(n=-8\) b) \(n=-2\) c) \(n=3\) d) \(n=3\)

- Potenziere in der Klammer jeden Faktor mit dem äußeren Exponenten. - Fasse danach gleiche Basen im Zähler zusammen und teile erst anschließend durch den Nenner. - Schreibe einen am Ende verbleibenden Exponenten \(-1\) mithilfe des Kehrwerts um.

1. Es gilt \((3a^{-2}b)^2=9a^{-4}b^2\). 2. Im Zähler folgt \(9a^{-4}b^2\cdot a^5=9ab^2\). 3. Division durch \(9b^3\) ergibt \(a\cdot b^{2-3}=ab^{-1}\). 4. Ohne negative Exponenten ist das \(\frac{a}{b}\).

\(\frac{a}{b}\)

- Nutze in a) direkt die Bedeutung eines negativen Exponenten als Kehrwert. - Vereinfache in b) zuerst die Potenz von einer Potenz. - Achte bei der anschließenden Division auf die Subtraktion eines negativen Exponenten.

1. Nach der Definition negativer Exponenten gilt \(k^{-4}=\frac{1}{k^4}\). Deshalb sind Lukas' und Mias Ergebnisse gleichwertig. 2. In b) gilt \((a^2)^{-3}=a^{-6}\). 3. Damit ist \(a^{-6}:a^{-4}=a^{-6-(-4)}=a^{-2}\). 4. Ohne negativen Exponenten lautet das Ergebnis \(\frac{1}{a^2}\).

a) Beide Ergebnisse sind gleichwertig, weil \(k^{-4}=\frac{1}{k^4}\). b) \(\frac{1}{a^2}\)

- Vereinfache zuerst die Potenz in der Klammer und beachte dabei auch den Zahlenfaktor. - Trenne beim anschließenden Dividieren Zahlenfaktoren und Potenzen zur Basis \(a\). - Schreibe den verbleibenden negativen Exponenten am Ende als Kehrwert.

1. Es gilt \((3a)^2=9a^2\). 2. Im Zähler folgt \(9a^2\cdot a^{-5}=9a^{-3}\). 3. Division durch \(3a^{-1}\) ergibt \(3a^{-3-(-1)}=3a^{-2}\). 4. Ohne negativen Exponenten ist das \(\frac{3}{a^2}\).

\(\frac{3}{a^2}\)

- Bearbeite zuerst die Operationen im Zähler oder innerhalb von Klammern. - Achte beim Dividieren von Potenzen besonders auf das Vorzeichen im Exponenten. - Wie verändert sich das Vorzeichen des Exponenten beim Potenzieren einer Potenz?

1. In a) wird zuerst der Zähler zusammengefasst: \(x^3 \cdot x^{-7} = x^{-4}\). Danach gilt \(\frac{x^{-4}}{x^{-2}} = x^{-4-(-2)} = x^{-2}\). 2. In b) gilt zunächst \((y^{-2})^{-3} = y^6\). Danach folgt \(y^6 \cdot y^{-10} = y^{-4}\).

a) \(x^{-2}\) b) \(y^{-4}\)

- Kannst du den Zähler vereinfachen, bevor du durch den Nenner teilst? - Wie verändert ein negativer Exponent einen Bruch in der Klammer? - Achte beim Potenzieren eines Produkts darauf, dass jeder Faktor potenziert wird.

1. In a) wird der Zähler zu \(z^4\) zusammengefasst. Danach gilt \(z^4:z^2=z^2\). 2. In b) gilt \(\left(\frac{x^2}{y}\right)^{-3}=\left(\frac{y}{x^2}\right)^3=\frac{y^3}{x^6}\). 3. In c) gilt \((3a^{-2})^2=9a^{-4}\). Damit folgt \(9a^{-4}\cdot a^5=9a\).

a) \(z^2\) b) \(\frac{y^3}{x^6}\) c) \(9a\)

- Kannst du den Bruch in a) in zwei einfachere Brüche zerlegen? - Gehe bei b) zuerst mit der äußeren Potenz durch alle Faktoren der Klammer. - Prüfe bei c), wie sich ein ungerader Exponent auf das Minuszeichen der Basis auswirkt.

1. In a) wird der Bruch in zwei Teile zerlegt: \(\frac{4x^{-2}}{2x^{-2}}+\frac{2x^{-1}}{2x^{-2}}=2+x\). 2. In b) gilt \((x^{-2}y^3)^2=x^{-4}y^6\). Mit \(x^3y^{-4}\) folgt \(x^{-1}y^2=\frac{y^2}{x}\). 3. In c) gilt \((-a^2)^{-3}=-a^{-6}\). Daher ist \(-a^{-6}\cdot a^7=-a\).

a) \(2+x\) b) \(\frac{y^2}{x}\) c) \(-a\)

- Wie fasst man Potenzen mit gleicher Basis zusammen, wenn sie multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man Potenzen mit gleicher Basis dividiert? - Achte besonders auf das Subtrahieren eines negativen Exponenten.

1. Im Zähler gilt \(y^{-3}\cdot y^5=y^2\). 2. Danach folgt \(\frac{y^2}{y^{-2}}=y^{2-(-2)}=y^4\). 3. Damit hat Sarah recht. Lukas hat beim Subtrahieren des negativen Exponenten das Vorzeichen falsch behandelt.

Sarah hat recht. Der Term lässt sich zu \(y^4\) vereinfachen. Lukas' Ergebnis \(y^0\) ist falsch, weil beim Dividieren durch \(y^{-2}\) der Exponent \(-2\) subtrahiert wird: \(2-(-2)=4\), nicht \(0\).

- Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation, Division und das Potenzieren von Potenzen. - Was ergibt jede Basis (außer 0), wenn sie mit 0 potenziert wird? - Achte beim Subtrahieren von Summen im Exponenten auf die Klammersetzung.

1. Aussage a): Anwendung der Produktregel \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\). Es ergibt sich \(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0\). Da \(a^0 = 1\) für \(a \neq 0\), ist die Aussage wahr. 2. Aussage b): Anwendung der Potenzregel \((a^r)^s = a^{r \cdot s}\). Es ergibt sich \((a^{-1})^n = a^{-1 \cdot n} = a^{-n}\). Gemäß der Definition negativer Exponenten ist \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c): Anwendung der Quotientenregel \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\). Es ergibt sich \(\frac{a^n}{a^{n+2}} = a^{n - (n+2)} = a^{n - n - 2} = a^{-2}\). Da \(a^{-2} = \frac{1}{a^2}\) und dies im Allgemeinen ungleich \(a^2\) ist, ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da \(a^{n-n} = a^0 = 1\). b) Wahr, da \(a^{-1 \cdot n} = a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). c) Falsch, da \(a^{n-(n+2)} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\).

- Wie gehst du vor, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Wie verändert ein negativer Exponent einen Bruch in der Klammer? - Achte beim Dividieren von Potenzen genau auf die Vorzeichen beim Subtrahieren der Exponenten.

1. In a) ist \((3y^2)^{-2}=\frac{1}{9y^4}\). Damit folgt \(\frac{1}{9y^4}\cdot27y^5=3y\). 2. In b) gilt \(\left(\frac{k}{2}\right)^{-3}=\frac{8}{k^3}\). Daher ist \(\frac{8}{k^3}\cdot k^2=\frac{8}{k}\). 3. In c) ist \((m^{-2})^3=m^{-6}\). Somit gilt \(m^{-4}:m^{-6}=m^2\).

a) \(3y\) b) \(\frac{8}{k}\) c) \(m^2\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn sein Exponent negativ ist? - Wie dividiert man durch einen Bruchterm? - Welche Variablen dürfen im ursprünglichen Ausdruck nicht den Wert \(0\) annehmen?

1. In a) gilt \(\frac{x^4}{y^4}\cdot\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2}{y^2}\). Im ursprünglichen Term müssen \(x\neq0\) und \(y\neq0\) gelten. 2. In b) wird durch Multiplikation mit dem Kehrwert umgeformt: \(\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{a^3}=\frac{1}{ab}\). Im ursprünglichen Term müssen \(a\neq0\) und \(b\neq0\) gelten. 3. In c) gilt \(\left(\frac{m}{n}\right)^{-2}=\left(\frac{n}{m}\right)^2\). Das Produkt mit \(\frac{m^2}{n^2}\) ist \(1\). Im ursprünglichen Term müssen \(m\neq0\) und \(n\neq0\) gelten.

a) \(\frac{x^2}{y^2}\); \(x\neq0\), \(y\neq0\) b) \(\frac{1}{ab}\); \(a\neq0\), \(b\neq0\) c) \(1\); \(m\neq0\), \(n\neq0\)

- Wie verarbeitest du eine Potenz, die selbst noch einmal potenziert wird? - Achte darauf, auch Koeffizienten wie die Zahl \(2\) mit dem Exponenten zu potenzieren. - Kannst du Ausdrücke mit derselben Basis finden, um ihre Exponenten zu verrechnen?

1. In a) gilt \(\left(\frac{2a}{b^2}\right)^3=\frac{8a^3}{b^6}\). Multiplikation mit \(\frac{b^4}{a^4}\) ergibt \(\frac{8}{ab^2}\). 2. In b) wird die linke Potenz zu \(\left(\frac{x}{y}\right)^{-6}=\left(\frac{y}{x}\right)^6\). Daher gilt \(\left(\frac{y}{x}\right)^6:\left(\frac{y}{x}\right)^4=\left(\frac{y}{x}\right)^2=\frac{y^2}{x^2}\).

a) \(\frac{8}{ab^2}\) b) \(\frac{y^2}{x^2}\)

- Löse zuerst Klammern auf, in denen ein Produkt oder ein Bruch potenziert wird. - Achte bei der Division auf das Vorzeichen, wenn du einen negativen Exponenten subtrahierst. - Prüfe am Ende, ob noch negative Exponenten übrig sind.

1. In a) gilt \((2a)^{-3}=\frac{1}{8}a^{-3}\). Multiplikation mit \(8a^4\) ergibt \(a\). 2. In b) ist \((xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}\). Daher folgt \(x^{-2-(-1)}y^{2-(-1)}=x^{-1}y^3=\frac{y^3}{x}\). 3. In c) gilt \(\left(\frac{b^2}{3}\right)^{-2}=\frac{9}{b^4}\). Multiplikation mit \(b^4\) ergibt \(9\).

a) \(a\) b) \(\frac{y^3}{x}\) c) \(9\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Welche Regel gilt beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Achte beim Dividieren auf das Subtrahieren eines negativen Exponenten.

1. Zuerst gilt \((a^2)^{-2}=a^{-4}\). 2. Im Zähler folgt \(a^{-3}\cdot a^{-4}=a^{-7}\). 3. Danach ist \(a^{-7}:a^{-5}=a^{-7-(-5)}=a^{-2}\).

\(a^{-2}\)

- Vereinfache Zähler und Nenner zunächst getrennt. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Achte beim Dividieren auf das Subtrahieren eines negativen Exponenten.

1. Im Zähler gilt \(x^4\cdot x^{-7}=x^{-3}\). 2. Im Nenner gilt \((x^{-2})^2=x^{-4}\). 3. Daher ist \(\frac{x^{-3}}{x^{-4}}=x^{-3-(-4)}=x\).

\(x\)

- Was bewirkt ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Wie wirkt der Exponent \(-1\) auf ein Produkt in einer Klammer? - Fasse am Ende gleiche Basen zusammen und schreibe das Ergebnis ohne negative Exponenten.

1. Es gilt \(\left(\frac{a^2}{b}\right)^{-2}=\left(\frac{b}{a^2}\right)^2=\frac{b^2}{a^4}\). 2. Außerdem ist \((ab^3)^{-1}=\frac{1}{ab^3}\). 3. Das Produkt ist \(\frac{b^2}{a^4}\cdot\frac{1}{ab^3}=\frac{1}{a^5b}\).

\(\frac{1}{a^5b}\)

- Welche Bedingung folgt allein aus dem negativen Exponenten? - Kannst du den Zähler so umformen, dass dieselben Faktoren wie im Nenner sichtbar werden? - Denke daran, dass beim Kürzen die ursprüngliche Definitionsmenge erhalten bleibt.

1. Wegen \(x^{-1}\) muss \(x\neq0\) gelten. Außerdem darf der Nenner \(x(1+3x)\) nicht null sein, also gilt zusätzlich \(x\neq-\frac{1}{3}\). 2. Im Zähler ist \(x^2(x^{-1}+3)=x+3x^2=x(1+3x)\). 3. Damit gilt auf der ursprünglichen Definitionsmenge \(\frac{x(1+3x)}{x(1+3x)}=1\).

\(1\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-\frac{1}{3}\)

- Vereinfache zuerst die Produkte mit den negativen Exponenten mithilfe der Potenzgesetze. - Klammere danach im Zähler einen gemeinsamen Faktor aus. - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Term, bevor du kürzt.

1. Wegen der negativen Exponenten und der Nenner gilt \(x\neq0\) und \(x\neq1\). Damit ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\). 2. Mit den Potenzgesetzen gilt \(x^4x^{-1}=x^3\) und \(x^4x^{-2}=x^2\). 3. Der Zähler wird zu \(x^3-x^2=x^2(x-1)\). 4. Für \(x\in D\) können \(x-1\) und ein Faktor \(x\) gekürzt werden. Es bleibt \(x\).

\(x\), \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0;1\}\)

- Welche gesamte Basis steht jeweils im Nenner? - Bei einem Doppelbruch: Welche Bedingungen müssen zunächst für die inneren Brüche gelten? - Prüfe die Definitionsmenge am ursprünglichen Ausdruck.

1. \(\frac{a^3b^2}{c^4}=a^3b^2c^{-4}\). Dabei gilt \(c\neq0\). 2. \(\frac{1}{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{-1}\). Dabei gilt \(x^2+y^2\neq0\). 3. \(\frac{1}{r^3}-\frac{1}{s^3}\cdot\frac{1}{t^2}=r^{-3}-s^{-3}t^{-2}\). Dabei gelten \(r\neq0\), \(s\neq0\) und \(t\neq0\). 4. Der Nenner wird zu \(u^{-2}-v^{-2}\), daher lautet der Ausdruck \((u^{-2}-v^{-2})^{-1}\). Dabei gelten \(u\neq0\), \(v\neq0\) und \(u^2\neq v^2\).

1) \(a^3b^2c^{-4}\) für \(c\neq0\) 2) \((x^2+y^2)^{-1}\) für \(x^2+y^2\neq0\) 3) \(r^{-3}-s^{-3}t^{-2}\) für \(r,s,t\neq0\) 4) \((u^{-2}-v^{-2})^{-1}\) für \(u\neq0\), \(v\neq0\) und \(u\neq\pm v\)

- Kannst du den Term zuerst vereinfachen, bevor du den Bruchstrich entfernst? - Welche Regel gilt beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Bestimme die Definitionsmenge am ursprünglichen Ausdruck.

1. \(4:2=2\), \(x^5:x^7=x^{-2}\) und \(y^2\) im Nenner wird zu \(y^{-2}\). Ergebnis: \(2x^{-2}y^{-2}\). Es gelten \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 2. \((2a)^{-2}=0{,}25a^{-2}\) und anschließend \(a^{-2}:a^2=a^{-4}\); der Nennerfaktor \(c\) wird zu \(c^{-1}\). Ergebnis: \(0{,}25a^{-4}b^3c^{-1}\). Es gelten \(a\neq0\) und \(c\neq0\). 3. Die Nennerfaktoren werden zu \(w^{-2}\) und \(z^2\). Ergebnis: \(0{,}25u^2v^{-1}w^{-2}z^2\). Es gelten \(v\neq0\), \(w\neq0\) und \(z\neq0\).

1) \(2x^{-2}y^{-2}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\) 2) \(0{,}25a^{-4}b^3c^{-1}\) für \(a\neq0\) und \(c\neq0\) 3) \(0{,}25u^2v^{-1}w^{-2}z^2\) für \(v,w,z\neq0\)

- Forme erst beide Terme so um, dass kein Bruchstrich mehr vorhanden ist. - Wie kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}5\) im Nenner als Faktor im Zähler schreiben? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Division durch einen Bruch und Multiplikation mit seinem Kehrwert?

1. Umformung von \(T_1\): Der Faktor \((x+y)^{-3}\) im Nenner wird durch Vorzeichenwechsel des Exponenten in den Zähler verschoben. Es ergibt sich \(T_1 = 2(x+y)^3\). 2. Umformung von \(T_2\): - Der Koeffizient \(0{,}5\) im Nenner entspricht \(\frac{1}{2}\). Sein Kehrwert im Zähler ist \(2\). - Der Faktor \((x+y)^{-3}\) im Nenner wird wie bei \(T_1\) zu \((x+y)^3\) im Zähler. - Es ergibt sich \(T_2 = 2(x+y)^3\). 3. Vergleich: Da beide Umformungen zum identischen Ergebnis \(2(x+y)^3\) führen, sind die Terme äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent. Beide lassen sich zu \(2(x+y)^3\) umformen.

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn der zugehörige Potenzfaktor die Seite des Bruchstrichs wechselt? - Behandle Zahlenfaktoren und variable Potenzfaktoren getrennt. - Welche Basen negativer Potenzen im ursprünglichen Term dürfen nicht \(0\) sein?

1. Der Nennerfaktor \((x+y)^{-2}\) wird als \((x+y)^2\) in den Zähler geschrieben. Damit ergibt sich \(12(x+y)^2\). Es gilt \(x+y\neq0\). 2. Der Zahlenfaktor ist \(\frac{5}{2}=2{,}5\), und \((a-b)^{-3}\) im Nenner wird zu \((a-b)^3\) im Zähler. Ergebnis: \(2{,}5ab(a-b)^3\). Es gilt \(a-b\neq0\). 3. Für die Koeffizienten gilt \(3^{-1}:6^{-1}=2\). Die Nennerfaktoren \(p^{-2}\) und \((m-n)^{-1}\) werden zu \(p^2\) und \(m-n\) im Zähler. Ergebnis: \(2p^2(m+n)(m-n)\). Es gelten \(p\neq0\) und \(m-n\neq0\).

1) \(12(x+y)^2\); \(x+y\neq0\) 2) \(2{,}5ab(a-b)^3\); \(a-b\neq0\) 3) \(2p^2(m+n)(m-n)\); \(p\neq0\), \(m-n\neq0\)

- Vergleiche zuerst den Zahlenfaktor im Zähler mit \(5^{-1}\) im Nenner. - Was passiert mit den Exponenten von \(c^{-2}\) und \((a-b)^{-2}\), wenn diese Faktoren aus dem Nenner geschrieben werden? - Welche Basen negativer Potenzen im ursprünglichen Nenner dürfen nicht \(0\) sein?

1. Da \(5^{-1}=0{,}2\), kürzen sich die beiden Zahlenfaktoren. 2. Die Nennerfaktoren \(c^{-2}\) und \((a-b)^{-2}\) werden zu \(c^2\) und \((a-b)^2\) im Zähler. Damit gilt \(T=c^2(a+b)(a-b)^2\). 3. Im ursprünglichen Term müssen \(c\neq0\) und \(a-b\neq0\), also \(a\neq b\), gelten. 4. Für die gegebenen Werte ist \(a+b=10\), \(a-b=4\) und \(c^2=0{,}01\). Somit ist \(T=10\cdot0{,}01\cdot16=1{,}6\).

a) \(T=c^2(a+b)(a-b)^2\); \(c\neq0\), \(a\neq b\) b) \(1{,}6\)

- Vereinfache die Zahlenfaktoren und die Potenzen mit den Basen \(x\) und \(y\) getrennt. - Achte bei der Division gleicher Basen auf die Vorzeichen der Exponenten. - Schreibe anschließend eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch, um die beiden Ergebnisformen zu vergleichen.

1. Es gilt \(2^{-3}=\frac{1}{8}\) und \(8^{-1}=\frac{1}{8}\); ihr Quotient ist \(1\). 2. Für die Potenzen gilt \(x^2:x^{-1}=x^{2-(-1)}=x^3\) und \(y^{-2}:y=y^{-3}\). 3. Damit ist \(S=x^3y^{-3}\); Leons Form ist korrekt. 4. Wegen \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\) gilt zugleich \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\). Sophies Form ist ebenfalls korrekt. 5. Wegen der negativen Exponenten im ursprünglichen Term müssen \(x\neq0\) und \(y\neq0\) gelten.

Beide haben recht. Es gilt \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\) für rationale \(x,y\) mit \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

- Wie lässt sich \(\frac{1}{4}\) als Dezimalzahl schreiben? - Welche gesamte Basis steht bei b) im Nenner? - Du kannst für c) die Darstellung wählen, mit der du am übersichtlichsten rechnest.

1. In a) gilt \(\frac{1}{4x^2}=\frac{1}{4}x^{-2}=0{,}25x^{-2}\). Die Definitionsmenge ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. In b) gilt \(T=0{,}6(x+2)^{-2}\). Die Definitionsmenge ist \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 3. Für c) ergibt sich \(T(3)=0{,}6\cdot5^{-2}=0{,}6\cdot\frac{1}{25}=0{,}024\).

a) \(\frac{1}{4x^2}=0{,}25x^{-2}\) mit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(T=0{,}6(x+2)^{-2}\) mit \(D_T=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) c) \(0{,}024\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Position eines Faktors in einem Bruch? - Denke daran, dass auch Zahlen wie \(2^{-3}\) nach denselben Potenzregeln behandelt werden. - Welche Basen negativer Potenzen im ursprünglichen Term dürfen nicht \(0\) sein?

1. Es gilt \(\frac{6a^{-3}}{b^{-2}}=\frac{6b^2}{a^3}\). Im ursprünglichen Term gelten \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 2. Es gilt \(\frac{(x+y)^{-1}}{2^{-3}z^{-4}}=\frac{8z^4}{x+y}\). Im ursprünglichen Term gelten \(x+y\neq0\) und \(z\neq0\). 3. Es gilt \(\frac{p^{-2}q^3}{r^{-1}(p-q)^{-2}}=\frac{q^3r(p-q)^2}{p^2}\). Im ursprünglichen Term gelten \(p\neq0\), \(r\neq0\) und \(p-q\neq0\).

1) \(\frac{6b^2}{a^3}\); \(a\neq0\), \(b\neq0\) 2) \(\frac{8z^4}{x+y}\); \(x+y\neq0\), \(z\neq0\) 3) \(\frac{q^3r(p-q)^2}{p^2}\); \(p\neq0\), \(r\neq0\), \(p-q\neq0\)

- Kannst du den Zähler und den Nenner von Term \(A\) einzeln ohne negative Exponenten schreiben? - Erinnere dich an die Regel, wie man ein Produkt in einer Klammer potenziert. - Wie vereinfacht man einen Doppelbruch? - Wann sind zwei mathematische Ausdrücke gleichwertig?

1. Umformung des Zählers von \(A\): Anwendung der Regel für die Potenz eines Produkts \((ab)^n = a^n b^n\) und negative Exponenten ergibt \((2x)^{-3} = \frac{1}{(2x)^3} = \frac{1}{8x^3}\). 2. Umformung des Nenners von \(A\): \(y^{-2} = \frac{1}{y^2}\). 3. Verknüpfung der Teile im Doppelbruch: \(A = \frac{\frac{1}{8x^3}}{\frac{1}{y^2}} = \frac{1}{8x^3} \cdot \frac{y^2}{1} = \frac{y^2}{8x^3}\). 4. Vergleich mit Term \(B\): Da die Umformung von \(A\) exakt den Term \(B\) ergibt, sind beide Terme äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent. Durch Umformung von \(A\) erhält man: \(A = \frac{1}{(2x)^3} \cdot y^2 = \frac{y^2}{8x^3}\), was identisch mit Term \(B\) ist.

- Schreibe negative Exponenten bei Bedarf als Brüche. - Vereinfache Zähler und Nenner Schritt für Schritt. - Prüfe die ausgeschlossenen Werte.

1. Umformung der Summe im Zähler: \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\) 2. Umformung des Nenners: \((x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y}\) 3. Vereinfachung des ersten Bruchs: \(\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{x+y}} = \frac{x+y}{xy} \cdot (x+y) = \frac{(x+y)^2}{xy}\) 4. Einbezug des letzten Faktors: \(\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{xy} = \frac{(x+y)^2}{x^2 y^2} = \left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\) 5. Einsetzen der Werte \(x=2\) und \(y=3\): \(\left(\frac{2+3}{2 \cdot 3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\)

Der vereinfachte Term ist \(\frac{(x+y)^2}{x^2 y^2}\) (oder \((x^{-1} + y^{-1})^2\)). Der Wert für \(x=2, y=3\) ist \(\frac{25}{36}\).

- Schreibe negative Exponenten bei Bedarf als Brüche. - Vereinfache Zähler und Nenner Schritt für Schritt. - Prüfe die ausgeschlossenen Werte.

1. Der linke Teilterm ist \(\frac{\frac1{a+b}}{\frac1a+\frac1b}=\frac{ab}{(a+b)^2}\). 2. Der rechte Teilterm ist \(\frac{\frac1{a-b}}{\frac1a-\frac1b}=-\frac{ab}{(a-b)^2}\). 3. Damit folgt \(B=\frac{ab}{(a+b)^2}:\left(-\frac{ab}{(a-b)^2}\right)=-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\). 4. Für \(a=5\), \(b=3\) ist \(B=-\frac{(5-3)^2}{(5+3)^2}=-\frac1{16}\).

\(B=-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\); für \(a=5\), \(b=3\) ist \(B=-\frac1{16}\).

- Wie kannst du die beiden Potenzen mit negativen Exponenten als Kehrwerte schreiben? - Welcher gemeinsame Nenner entsteht im Zähler des großen Bruchs? - Betrachte nach dem Zusammenfassen, welcher Faktor im Zähler und Nenner des großen Bruchs gleich ist.

1. Schreibe die negativen Exponenten als Kehrwerte: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) und \(b^{-n}=\frac{1}{b^n}\). 2. Dann ist \(A=\frac{\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}}{\frac{1}{a^nb^n}}\). 3. Im Zähler gilt \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=\frac{a^n+b^n}{a^nb^n}\). Durch die Division durch \(\frac{1}{a^nb^n}\) folgt \(A=a^n+b^n\). 4. Für \(a=2\), \(b=3\) und \(n=2\) ergibt sich \(A=2^2+3^2=13\).

Vereinfachter Term: \(a^n+b^n\) Wert: \(13\)

- Betrachte den Zahlenfaktor und die Basen \(a\) und \(b\) getrennt. - Vergleiche für jede Basis den Exponenten nach der Division mit dem Exponenten im Zielterm. - Formuliere daraus jeweils eine einfache Gleichung für den unbekannten Exponenten.

1. Die Koeffizienten ergeben \(4:2=2\), passend zum Zielterm. 2. Für die Basis \(a\) gilt \(a^n:a^2=a^{n-2}\). Daher muss \(n-2=3\) gelten, also \(n=5\). 3. Für die Basis \(b\) gilt \(b^{-3}:b^m=b^{-3-m}\). Daher muss \(-3-m=-5\) gelten, also \(m=2\).

\(n=5\) und \(m=2\)

- Versuche alle Zahlen als Potenzen mit der gleichen Basis zu schreiben. - Stelle eine einfache lineare Gleichung für die Exponenten auf. - Was muss man mit einer Zahl multiplizieren, um 1 zu erhalten?

1. Lösung für Teilaufgabe a: Umschreiben von \(\frac{1}{125}\) als Potenz zur Basis 5 ergibt \(5^{-3}\). Die Gleichung lautet \(5^z \cdot 5^{-3} = 5^{-1}\). Durch Addieren der Exponenten erhält man \(z - 3 = -1\). Auflösen nach \(z\) ergibt \(z = 2\). 2. Lösung für Teilaufgabe b: Für \(x>0\) und \(x \neq 1\) dürfen die Exponenten verglichen werden. Potenzieren der ersten Potenz ergibt \(x^{-2z}\). Die Gleichung lautet \(x^{-2z} \cdot x^5 = x^{-1}\). Durch Addieren der Exponenten erhält man \(-2z + 5 = -1\). Subtraktion von 5 führt zu \(-2z = -6\). Division durch \(-2\) ergibt \(z = 3\). 3. Lösung für Teilaufgabe c: Berechnung des Werts von \((\frac{2}{3})^{-2}\) ergibt \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\). Die Gleichung lautet \(\frac{9}{4} \cdot z = 1\). Um \(z\) zu isolieren, multipliziert man mit dem Kehrwert: \(z = \frac{4}{9}\). Alternativ kann \(z\) als Potenz geschrieben werden: \(z = (\frac{2}{3})^2\) oder \(z = (\frac{3}{2})^{-2}\).

a) \(z = 2\) b) \(z = 3\) für alle \(x>0\) mit \(x \neq 1\) c) \(z = \frac{4}{9}\)

- Kannst du Zähler und Nenner in a) zunächst getrennt vereinfachen? - Was ist der Wert von \(y^0\)? - Löse zuerst die Potenzen in den Klammern auf und fasse danach gleiche Basen zusammen.

1. In a) gilt \((u^3v^{-2})^{-1}=u^{-3}v^2\). Division durch \(u^{-4}v\) ergibt \(u^{-3-(-4)}v^{2-1}=uv\). 2. In b) ist \(\left(\frac{2}{x^2}\right)^{-2}=\frac{x^4}{4}\). Außerdem gilt wegen \(y^0=1\): \((xy^0)^{-3}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}\). Das Produkt ist \(\frac{x}{4}\).

a) \(uv\) b) \(\frac{x}{4}\)

- Gehe bei den verketteten Operationen schrittweise von links nach rechts vor. - Wandle negative Exponenten und die Division durch einen Bruchterm zunächst in günstigere Formen um. - Fasse am Ende die Faktoren mit gleicher Basis zusammen und prüfe, was sich kürzen lässt.

1. Der erste Faktor wird zu \(\left(\frac{w}{u^2v}\right)^3=\frac{w^3}{u^6v^3}\). 2. Der Divisor ist \(\left(\frac{w^2}{uv^2}\right)^2=\frac{w^4}{u^2v^4}\). Durch ihn zu dividieren bedeutet, mit \(\frac{u^2v^4}{w^4}\) zu multiplizieren. 3. Damit ergibt sich zunächst \(\frac{w^3}{u^6v^3}\cdot\frac{u^2v^4}{w^4}=\frac{v}{u^4w}\). 4. Multiplikation mit \(\frac{w}{u^5}\) liefert \(\frac{v}{u^9}\).

\(\frac{v}{u^9}\)

- Arbeite bei a) schrittweise von der Potenz in der Klammer nach außen. - Bei b) kannst du nach dem Anwenden des Quotientengesetzes die Exponenten vergleichen. - Überlege bei c) genau, worauf sich der Exponent jeweils bezieht und welche Rolle die Klammer spielt.

1. In a) wird der Zähler zu \(u^{-3}v^6\). Division durch \(u^{-4}v^5\) ergibt \(u^{-3-(-4)}v^{6-5}=uv\). 2. In b) gilt \(\frac{x^n}{x^{-3}}=x^{n+3}\). Daher ist \(n+3=2\) und somit \(n=-1\). 3. In c) gehört das Minuszeichen bei \((-3)^{-2}\) zur Basis; der gerade Exponent führt deshalb zu einem positiven Wert. Bei \(-3^{-2}\) bezieht sich der Exponent nur auf \(3\); das Minuszeichen steht außerhalb der Potenz.

a) \(uv\) b) \(n=-1\) c) Bei \((-3)^{-2}\) ist die negative Zahl die Basis; wegen des geraden Exponenten ist der Wert positiv. Bei \(-3^{-2}\) gehört das Minuszeichen nicht zur Basis, sondern steht vor der positiven Potenz \(3^{-2}\); deshalb ist der Wert negativ.

- Bringe die negativen Exponenten zuerst in Bruchschreibweise. - Vereinfache Zähler und Nenner getrennt. - Setze am Ende die gegebenen Werte ein.

1. Im Nenner des inneren Bruchs gilt \(x^{-2}-y^{-2}=(x^{-1}-y^{-1})(x^{-1}+y^{-1})\). 2. Wegen \(x\ne\pm y\) darf der gemeinsame Faktor gekürzt werden. Der innere Bruch wird zu \(\frac{1}{x^{-1}+y^{-1}}\). 3. Der Exponent \(-1\) bildet den Kehrwert, also wird der erste große Faktor zu \(x^{-1}+y^{-1}\). 4. Es gilt \(x^{-1}+y^{-1}=\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}\). 5. Mit \((x+y)^{-1}=\frac1{x+y}\) folgt \(A=\frac{x+y}{xy}\cdot\frac1{x+y}=\frac1{xy}\). 6. Für \(x=2\) und \(y=5\) ist \(A=\frac1{2\cdot5}=\frac1{10}=0{,}1\).

\(A=\frac{1}{xy}\); für \(x=2\) und \(y=5\): \(A=0{,}1\)