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- Erinnere dich daran, wie ein negativer Exponent mit einem Kehrwert zusammenhängt. - Die Bedingung \(x\neq0\) stellt sicher, dass der entstehende Bruch definiert ist.

1. Ein negativer Exponent beschreibt den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. 2. Daher gilt \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\).

\(\frac{1}{x^4}\)

- Überlege, welche Bedeutung ein negativer Exponent für eine Potenz hat. - Beim Wechsel zum negativen Exponenten ändert sich nicht das Vorzeichen der Basis.

1. Ein Kehrwert einer positiven Potenz kann mit einem negativen Exponenten geschrieben werden: \(\frac{1}{a^3}=a^{-3}\). 2. Daher ist Antwort 1 korrekt.

Antwort 1: \(a^{-3}\)

- Was passiert mit dem Exponenten, wenn man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert? - Wie gehst du vor, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten für die Basis? - Erinnerst du dich an den besonderen Wert einer Potenz mit dem Exponenten 0?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(4^{5 + (-7)} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(3^{-2 - 2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(2^{-3 \cdot (-2)} = 2^6 = 64\). 4. Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \(10^{-3 + 5 + (-2)} = 10^0 = 1\). 5. Kehrwertbildung bei negativem Exponenten: \((\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} = 6{,}25\).

a) \(\frac{1}{16}\) b) \(\frac{1}{81}\) c) \(64\) d) \(1\) e) \(6{,}25\) oder \(\frac{25}{4}\)

- Was bedeutet eine Potenz wie \(a^3\) als Multiplikation geschrieben? - Erinnere dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen. - Wie ist eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch definiert?

1. Für \(a \neq 0\) darf gekürzt werden. Ausschreiben und Kürzen: \(\frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a^2}\). 2. Zusammenhang: Gemäß der Definition für negative Exponenten entspricht \(\frac{1}{a^n}\) der Potenz \(a^{-n}\). Somit ist \(\frac{1}{a^2} = a^{-2}\). Pauls Behauptung ist korrekt. 3. Allgemeine Regel: Für \(a \neq 0\) werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). Wenn \(n > m\), ergibt sich ein negativer Exponent.

a) \(\frac{1}{a^2}\) b) Da \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\) gilt, ist \(\frac{1}{a^2} = a^{-2}\). c) Für \(a \neq 0\) gilt \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn eine Potenz vom Nenner in den Zähler eines Bruchs verschoben wird? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz. - Überlege, ob eine Addition von Potenzen mit dem gleichen Exponenten das gleiche Ergebnis liefert wie eine Multiplikation.

1. Überprüfung von A: \(x^3 \cdot x^4 = x^{3+4} = x^7\) (äquivalent). 2. Überprüfung von B: \(\frac{x^{10}}{x^3} = x^{10-3} = x^7\) (äquivalent). 3. Überprüfung von C: \((x^{-1})^{-7} = x^{(-1) \cdot (-7)} = x^7\) (äquivalent). 4. Überprüfung von D: \(x^7 + x^7 = 2x^7\) (nicht äquivalent). 5. Überprüfung von E: \(\frac{1}{x^{-7}} = x^{-(-7)} = x^7\) (äquivalent). 6. Überprüfung von F: \(x^{14} : x^2 = x^{14-2} = x^{12}\) (nicht äquivalent). 7. Überprüfung von G: Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), gilt \(x^7 \cdot 1 = x^7\) (äquivalent).

Für \(x \neq 0\) sind A, B, C, E und G äquivalent zu \(x^7\).

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie lässt sich eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch schreiben? - Können Brüche mit Potenzen im Nenner auch als Potenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: die in jeder Teilaufgabe vorkommende Basis einer negativen Potenz ist ungleich \(0\). 1. Anwendung der Produktregel für Potenzen: \(a^{-4+7} = a^3\). 2. Anwendung der Quotientenregel für Potenzen: \(b^{2-6} = b^{-4}\). Umwandlung in einen Bruch: \(\frac{1}{b^4}\). 3. Anwendung der Potenzregel für Potenzen: \(c^{(-2) \cdot (-4)} = c^8\). 4. Division der Koeffizienten (\(15 : 5 = 3\)) und Anwendung der Quotientenregel für \(x\): \(x^{3-8} = x^{-5}\). Ergebnis als Bruch: \(\frac{3}{x^5}\). 5. Umformung des inneren Bruchs zu \(y^{-3}\) und Anwendung der Potenzregel: \(y^{(-3) \cdot (-2)} = y^6\).

a) \(a^3\) b) \(\frac{1}{b^4}\) c) \(c^8\) d) \(\frac{3}{x^5}\) e) \(y^6\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Erinnere dich an die Definition einer Potenz mit dem Exponenten 0. - Wie berechnet man die Differenz, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Überprüfung von Teilaufgabe a: Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \(a^{-4+4} = a^0\). Da jede Zahl ungleich Null hoch Null eins ergibt, ist \(a^0 = 1\). Die Aussage ist falsch. Korrektur: \(a^{-4} \cdot a^4 = 1\). 2. Überprüfung von Teilaufgabe b: Anwendung des Potenzgesetzes für die Division \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) ergibt \(b^{2 - (-3)} = b^{2+3} = b^5\). Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung von Teilaufgabe c: Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) ergibt \(2^{-1 \cdot 3} = 2^{-3}\). Umformung in einen Bruch ergibt \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\). Die Aussage ist wahr.

a) Falsch. Korrektur: \(a^{-4} \cdot a^4 = 1\) b) Wahr. c) Wahr. Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

- Überlege, wie du Brüche mit negativen Exponenten in Potenzen mit positiven Exponenten umschreiben kannst. - Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Erinnerst du dich an den Wert einer Potenz, wenn der Exponent Null ist?

1. Anwendung des Gesetzes \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\): \(3^{5 + (-7)} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Umformung des Bruchs mit negativem Exponenten \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3\), dann Multiplikation: \(2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2\). 3. Anwendung des Gesetzes \(a^n : a^m = a^{n-m}\): \(10^{-4 - (-6)} = 10^{-4+6} = 10^2 = 100\). 4. Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \((-5)^{3 + (-3)} = (-5)^0 = 1\).

a) \(\frac{1}{9}\) b) \(2\) c) \(100\) d) \(1\)

- Ordne den Vorsätzen Milli, Mikro und Nano zunächst die passenden Zehnerpotenzen zu. - Wandle jede Angabe zuerst in Meter um. - Prüfe danach, ob der Zahlenfaktor vor der Zehnerpotenz zwischen \(1\) und \(10\) liegt.

1. Es gilt \(1\,\text{mm}=10^{-3}\,\text{m}\). Daher ist \(0{,}25\,\text{mm}=2{,}5\cdot10^{-4}\,\text{m}\). 2. Es gilt \(1\,\mu\text{m}=10^{-6}\,\text{m}\). Daher ist \(2\,\mu\text{m}=2\cdot10^{-6}\,\text{m}\). 3. Es gilt \(1\,\text{nm}=10^{-9}\,\text{m}\). Daher ist \(25\,\text{nm}=2{,}5\cdot10^{-8}\,\text{m}\).

a) \(2{,}5\cdot10^{-4}\,\text{m}\) b) \(2\cdot10^{-6}\,\text{m}\) c) \(2{,}5\cdot10^{-8}\,\text{m}\)

- Wie kann man einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teil a): \(100\,000 = 10^5\), daher ist \(\frac{1}{10^5} = 10^{-5}\). 2. Teil b): \(0{,}001 = 10^{-3}\). Multiplikation: \(10^{-3} \cdot 10^{-4} = 10^{-3 + (-4)} = 10^{-7}\). 3. Teil c): Division von Potenzen: \(10^{-2} : 10^5 = 10^{-2 - 5} = 10^{-7}\). 4. Teil d): Potenzieren einer Potenz: \((10^{-3})^2 = 10^{-3 \cdot 2} = 10^{-6}\). Dann Multiplikation: \(10^{-6} \cdot 10^4 = 10^{-6 + 4} = 10^{-2}\).

a) \(10^{-5}\) b) \(10^{-7}\) c) \(10^{-7}\) d) \(10^{-2}\)

- Überlege, was ein negativer Exponent für die Position der Basis im Bruch bedeutet. - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Erinnere dich daran, welchen Wert eine Potenz mit dem Exponenten \(0\) hat. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: alle vorkommenden Variablen sind ungleich \(0\). 1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\): \(a^{5 + (-9)} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten \(x^n : x^m = x^{n-m}\): \(x^{-3 - (-5)} = x^2\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Potenzen von Potenzen \((y^n)^m = y^{n \cdot m}\): \(y^{-2 \cdot 4} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte: \(b^{2 + (-2)} = b^0 = 1\).

a) \(\frac{1}{a^4}\) b) \(x^2\) c) \(\frac{1}{y^8}\) d) \(1\) Definitionsbedingung: alle vorkommenden Variablen sind ungleich \(0\).

- Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten für die Basis? - Welche Auswirkung hat ein Platzwechsel zwischen Zähler und Nenner auf den Exponenten? - Worauf bezieht sich ein Exponent, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in Teil b) \(x\neq0\), in Teil c) \(a\neq0\). 1. Teilaufgabe a): Der Fehler liegt in der Interpretation des negativen Exponenten als negatives Vorzeichen des Ergebnisses. Ein negativer Exponent gibt den Kehrwert der Basis an. Korrekt: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Teilaufgabe b): Der Fehler besteht darin, dass beim Verschieben einer Potenz vom Nenner in den Zähler das Vorzeichen des Exponenten nicht geändert wurde. Korrekt: \(\frac{1}{x^5} = x^{-5}\). 3. Teilaufgabe c): Der Fehler ist, dass der Koeffizient \(2\) fälschlicherweise als Teil der Basis der Potenz behandelt wurde. Der Exponent \(-3\) bezieht sich jedoch nur auf die Variable \(a\). Korrekt: \(2a^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{a^3} = \frac{2}{a^3}\).

a) Fehler: Negatives Vorzeichen statt Kehrwertbildung. Richtig: \(3^{-2} = \frac{1}{9}\). b) Fehler: Vorzeichen des Exponenten nicht umgekehrt. Richtig: \(\frac{1}{x^5} = x^{-5}\). c) Fehler: Koeffizient in den Nenner gezogen. Richtig: \(2a^{-3} = \frac{2}{a^3}\). Definitionsbedingung: in Teil b) \(x\neq0\), in Teil c) \(a\neq0\).

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage einer Basis im Bruch? - Wie lautet die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird? - Wie subtrahiert man eine negative Zahl im Exponenten? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(a\neq0\), \(x\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte mit gleicher Basis (\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)): \(a^{5 + (-8) + 4} = a^1 = a\). 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens (Quadrat einer negativen Zahl ist positiv): \((-x)^2 = x^2\). Verrechnen der Exponenten: \(x^2 \cdot x^{-5} = x^{2-5} = x^{-3}\). Umwandlung in einen Bruch: \(\frac{1}{x^3}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten (\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)): \(b^{2 - (-3)} = b^{2+3} = b^5\).

a) \(a\) b) \(\frac{1}{x^3}\) c) \(b^5\) Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(a\neq0\), \(x\neq0\) und \(b\neq0\).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Exponent negativ ist? - Wie dividiert man durch einen Bruch oder einen Term? - Kannst du die Potenzen zuerst auf Zähler und Nenner aufteilen? - Überlege, welche Variablen sich beim Multiplizieren im Zähler und Nenner gegenseitig aufheben.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze für Brüche ergibt \(\frac{x^4}{y^4} \cdot \frac{y^2}{x^2}\). Durch Kürzen von \(x^2\) und \(y^2\) erhält man \(\frac{x^2}{y^2}\). 2. Teilaufgabe b): Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b}{a^3}\). Kürzen von \(a^2\) und \(b\) führt zu \(\frac{1}{ab}\). 3. Teilaufgabe c): Ein negativer Exponent kehrt den Bruch um: \(\left(\frac{n}{m}\right)^2 \cdot \frac{m^2}{n^2} = \frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{m^2}{n^2}\). Alle Faktoren kürzen sich zu \(1\). 4. Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\); c) \(m \neq 0\), \(n \neq 0\).

a) \(\frac{x^2}{y^2}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{1}{ab}\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) c) \(1\) für \(m \neq 0\) und \(n \neq 0\)

- Erinnere dich an die Definition von negativen Exponenten: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). - Wie multipliziert man Potenzen mit derselben Basis? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man Potenzen mit derselben Basis dividiert? - Kannst du einen Term wie \((y-1)\) als eine einzige Basis betrachten? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(x\neq0\), \(a\neq0\), \(y\neq1\) und \(z\neq0\). 1. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) für Teilaufgabe a: \(x^{3 + (-5)} = x^{-2}\). Umwandlung in einen Bruch: \(\frac{1}{x^2}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für Teilaufgabe b: \(a^{-2 - (-4)} = a^{-2 + 4} = a^2\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Basen bei Teilaufgabe c: \((y-1)^{2 + (-3)} = (y-1)^{-1}\). Umwandlung in einen Bruch: \(\frac{1}{y-1}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen von \(z\) in Teilaufgabe d: \(2 \cdot z^{-3 + 1} = 2 \cdot z^{-2}\). Umwandlung in einen Bruch: \(\frac{2}{z^2}\).

a) \(\frac{1}{x^2}\) b) \(a^2\) c) \(\frac{1}{y-1}\) d) \(\frac{2}{z^2}\) Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(x\neq0\), \(a\neq0\), \(y\neq1\) und \(z\neq0\).

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Position einer Basis im Bruch? - Wie verhält sich ein Koeffizient, wenn er außerhalb einer Klammer mit negativem Exponenten steht? - Versuche, alle Terme so umzuformen, dass sie keinen Bruchstrich mehr haben oder alle in der gleichen Bruchform stehen.

1. Analyse von Term A: \(\frac{4}{x^2}\) ist die Ausgangsform in Bruchschreibweise. 2. Analyse von Term B: Gemäß der Definition für negative Exponenten gilt \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). Somit ist \(4x^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^2}\). Term A und B sind gleich. 3. Analyse von Term C: Zuerst wird die Klammer aufgelöst: \((2x)^{-2} = \frac{1}{(2x)^2} = \frac{1}{4x^2}\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(\frac{1}{4x^2} \cdot 16 = \frac{16}{4x^2} = \frac{4}{x^2}\). Term C ist ebenfalls gleich. 4. Analyse von Term D: Der Ausdruck \(\frac{1}{x^{-2}}\) entspricht \(x^2\). Somit ist \(4 \cdot \frac{1}{x^{-2}} = 4x^2\). 5. Ergebnis: Term D ist nicht zu den anderen äquivalent, da \(4x^2\) und \(\frac{4}{x^2}\) nicht für alle zulässigen Werte übereinstimmen. Nur für \(x=1\) oder \(x=-1\) haben sie denselben Wert.

Term D ist nicht zu den anderen äquivalent. A, B und C ergeben für alle \(x \neq 0\) den Term \(\frac{4}{x^2}\), während D dem Term \(4x^2\) entspricht. Bei \(x=\pm1\) sind die Werte zwar gleich, die Terme sind dennoch nicht äquivalent.

- Kannst du die Dezimalzahl auf der rechten Seite als Potenz zur Basis 10 schreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, die linke Seite der Gleichung zusammenzufassen? - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, was muss dann für die Exponenten gelten?

1. Umwandlung der Dezimalzahl in eine Zehnerpotenz: \(0{,}01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\) 2. Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation bei gleicher Basis: \(10^4 \cdot 10^x = 10^{4+x}\) 3. Gleichsetzen der Exponenten: \(4 + x = -2\) 4. Lösen der linearen Gleichung: \(x = -6\)

\(x = -6\)

- Welche Regel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Kannst du den Term Schritt für Schritt vereinfachen, indem du erst die Klammer auflöst? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(y\neq0\). 1. Anwendung des Potenzgesetzes für Potenzen von Potenzen auf den zweiten Faktor: \((y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: \(y^{-5} \cdot y^6 = y^{-5 + 6}\). 3. Berechnung des Exponenten: \(-5 + 6 = 1\). 4. Endergebnis: \(y^1 = y\).

\(y\) Definitionsbedingung: \(y\neq0\).

- Kannst du Zahlen wie \(9\) oder \(0{,}1\) als Potenzen mit einer Zehnerbasis oder einer Primzahlbasis schreiben? - Welche Regel gilt für das Multiplizieren oder Dividieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn du eine Zahl vom Nenner in den Zähler schreibst?

1. In Aufgabenteil a) wird die Zahl \(9\) als Potenz zur Basis \(3\) geschrieben: \(9 = 3^2\). Durch Anwendung des Gesetzes für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: \(6 + (-7) + 2 = 1\). Das Ergebnis ist \(3^1 = 3\). 2. In Aufgabenteil b) wird zunächst die Division bei gleicher Basis durchgeführt, indem die Exponenten subtrahiert werden: \(-2 - (-5) = 3\), woraus \(10^3\) folgt. Die Dezimalzahl \(0{,}1\) wird als \(10^{-1}\) geschrieben, sodass \(0{,}1^2 = (10^{-1})^2 = 10^{-2}\) gilt. Die abschließende Multiplikation ergibt \(10^3 \cdot 10^{-2} = 10^{3-2} = 10^1 = 10\).

a) \(3\) b) \(10\)

- Was passiert mit dem Exponenten, wenn man eine Potenz vom Nenner in den Zähler schreibt? - Kannst du die Zahlen im Nenner als Potenzen mit einer kleineren Basis schreiben? - Überlege, wie man einen Bruch in ein Produkt aus dem Zähler und dem Kehrwert des Nenners zerlegen kann.

1. Anwendung der Regel \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\) auf den ersten Term: \(\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}\). 2. Bestimmung der Potenzbasis für 32: \(32 = 2^5\). Anwendung der Regel: \(\frac{1}{2^5} = 2^{-5}\). 3. Umformung des Terms mit Variable \(x\): \(\frac{4}{x^3} = 4 \cdot \frac{1}{x^3} = 4x^{-3}\). 4. Umformung des Bruchs mit zwei Variablen: \(\frac{y^5}{z^2} = y^5 \cdot \frac{1}{z^2} = y^5 z^{-2}\). 5. Definitionsbedingungen: In Teil c gilt \(x \neq 0\); in Teil d gilt \(z \neq 0\).

a) \(10^{-4}\) b) \(2^{-5}\) c) \(4x^{-3}\) für \(x \neq 0\) d) \(y^5 z^{-2}\) für \(z \neq 0\)

- Wie hängen Brüche mit dem Zähler 1 und Potenzen mit negativen Exponenten zusammen? - Kannst du eine Summe oder Differenz im Nenner wie eine einzelne Variable behandeln? - Denk daran, Klammern zu setzen, wenn der Zähler oder Nenner aus mehr als einem Glied besteht.

1. Anwendung der Definition \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) auf den ersten Term: \(\frac{12}{x^5} = 12x^{-5}\). 2. Behandlung des gesamten Klammerausdrucks im Nenner als Basis: \(\frac{1}{(a+b)^3} = (a+b)^{-3}\). 3. Umwandlung der Summanden in Potenzen mit negativen Exponenten: \(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = m^{-2} + n^{-2}\). 4. Multiplikation des Zählers mit der Potenz des Nenners: \(\frac{x-y}{z^2} = (x-y)z^{-2}\). 5. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gilt \(x \neq 0\); in Teil 2 \(a+b \neq 0\); in Teil 3 \(m \neq 0\) und \(n \neq 0\); in Teil 4 \(z \neq 0\).

1) \(12x^{-5}\) für \(x \neq 0\); 2) \((a+b)^{-3}\) für \(a+b \neq 0\); 3) \(m^{-2} + n^{-2}\) für \(m \neq 0\) und \(n \neq 0\); 4) \((x-y)z^{-2}\) für \(z \neq 0\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen und negativen Exponenten. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn du eine Potenz vom Nenner in den Zähler verschiebst? - Behandle Zahlenkoeffizienten wie \(\frac{1}{5}\) oder \(\frac{1}{8}\) getrennt von den Variablen. - Überlege, ob ein negativer Exponent im Nenner zu einem positiven Exponenten im Produkt führt.

1. Anwendung der Regel für Kehrwerte von Potenzen \(\frac{1}{y^3} = y^{-3}\) ergibt \(7x^2 y^{-3}\). 2. Der Faktor \(\frac{1}{5}\) im Nenner bleibt als \(0{,}2\) erhalten. Die Potenz im Nenner wird mit Vorzeichenwechsel im Exponenten multipliziert: \(\frac{1}{b^{-2}} = b^2\). Ergebnis: \(0{,}2 a^4 b^2\). 3. Alle Variablen aus dem Nenner werden mit negiertem Exponenten in den Zähler geschrieben: \(\frac{1}{w^3} = w^{-3}\) und \(\frac{1}{z^{-4}} = z^4\). Ergebnis: \(u^{-1} v^2 w^{-3} z^4\). 4. Der Koeffizient \(\frac{1}{8}\) entspricht \(0{,}125\). Die Variablen folgen der Regel zur Vorzeichenumkehr im Exponenten: \(\frac{1}{p^2} = p^{-2}\) und \(\frac{1}{q^{-3}} = q^3\). Ergebnis: \(0{,}125 p^{-2} q^3\). 5. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gilt \(y \neq 0\). In Teil 2 gilt \(b \neq 0\). In Teil 3 gelten \(u \neq 0\), \(w \neq 0\) und \(z \neq 0\). In Teil 4 gelten \(p \neq 0\) und \(q \neq 0\).

1) \(7x^2 y^{-3}\) für \(y \neq 0\); 2) \(0{,}2 a^4 b^2\) für \(b \neq 0\); 3) \(u^{-1} v^2 w^{-3} z^4\) für \(u,w,z \neq 0\); 4) \(0{,}125 p^{-2} q^3\) für \(p \neq 0\) und \(q \neq 0\).

- Das Vorzeichen eines Exponenten ändert sich, wenn ein Potenzfaktor die Seite des Bruchstrichs wechselt. - Überlege bei den Definitionsbedingungen, für welche Basen die Potenzgesetze mit beliebigen ganzzahligen Exponenten sicher gelten. - Prüfe außerdem, welche Faktoren im ursprünglichen Nenner niemals null werden dürfen.

1. Der erste Term wird zu \(y^{-(m+3)}=y^{-m-3}\). Damit die Potenzgesetze für jeden ganzzahligen Wert von \(m\) anwendbar sind und weder eine Division durch null noch eine nicht definierte Potenz mit Basis null entsteht, gilt \(y\neq0\). 2. Im zweiten Term wechseln die Faktoren aus dem Nenner mit umgekehrtem Exponenten in den Zähler: \(15a^4\cdot5\cdot b^n\cdot c^{-2}=75a^4b^n c^{-2}\). 3. Für die Umformung mit ganzzahligen Exponenten müssen die Basen der variablen Nennerpotenzen von null verschieden sein. Daher gelten \(b\neq0\) und \(c\neq0\).

1) \(y^{-m-3}\) für \(y\neq0\) 2) \(75a^4b^n c^{-2}\) für \(b\neq0\) und \(c\neq0\)

- Was passiert mit einer Potenz, wenn sie vom Nenner in den Zähler verschoben wird? - Wie kannst du Brüche mit negativen Exponenten als Multiplikation schreiben? - Kannst du Brüche im Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) vereinfachen? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um das Ergebnis noch kompakter zu schreiben?

1. Anwendung der Regel \(\frac{1}{a^{-n}} = a^n\): Der Term \((x+y)^{-2}\) im Nenner wird zu \((x+y)^2\) im Zähler. Ergebnis: \(12(x+y)^2\). 2. Der Koeffizient wird als Dezimalzahl geschrieben: \(\frac{5}{2} = 2{,}5\). Der Term \((a-b)^{-3}\) im Nenner wird zu \((a-b)^3\) im Zähler. Ergebnis: \(2{,}5ab(a-b)^3\). 3. Umformung der Koeffizienten: \(\frac{3^{-1}}{6^{-1}} = \frac{1/3}{1/6} = \frac{6}{3} = 2\). Die Faktoren \(p^{-2}\) und \((m-n)^{-1}\) im Nenner werden zu \(p^2\) und \((m-n)^1\) im Zähler. Zusammenführung der Terme: \(2 \cdot (m+n) \cdot p^2 \cdot (m-n) = 2p^2(m+n)(m-n)\). Anwendung der dritten binomischen Formel führt zu \(2p^2(m^2-n^2)\). 4. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(x+y \neq 0\); 2) \(a-b \neq 0\); 3) \(p \neq 0\) und \(m-n \neq 0\).

1) \(12(x+y)^2\) 2) \(2{,}5ab(a-b)^3\) 3) \(2p^2(m^2-n^2)\) Definitionsbedingungen: 1) \(x+y \neq 0\); 2) \(a-b \neq 0\); 3) \(p \neq 0\), \(m-n \neq 0\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn man die Seite des Bruchstrichs wechselt? - Wie kannst du den Bruch \(\frac{5}{2}\) als Dezimalzahl schreiben? - Überlege dir, welche Faktoren bereits ohne negativen Exponenten geschrieben sind und welche nicht.

1. Um den Bruchstrich zu entfernen, werden alle Faktoren aus dem Nenner in den Zähler geschrieben, wobei sich das Vorzeichen ihrer Exponenten umkehrt: \(d^1\) wird zu \(d^{-1}\) und \(c^{-3}\) wird zu \(c^3\). Der Koeffizient ergibt sich aus \(5 : 2 = 2{,}5\). Das Ergebnis lautet: \(2{,}5 a^{-n} b^2 c^3 d^{-1}\). 2. Um keine negativen Exponenten zu verwenden, werden Faktoren mit negativen Exponenten auf die jeweils andere Seite des Bruchstrichs verschoben, wobei sich das Vorzeichen des Exponenten umkehrt: \(a^{-n}\) wandert als \(a^n\) in den Nenner, \(c^{-3}\) wandert als \(c^3\) in den Zähler. Die Faktoren mit positiven Exponenten (\(b^2\) und \(d\)) bleiben an ihrer Stelle. Das Ergebnis lautet: \(\frac{5 b^2 c^3}{2 a^n d}\).

1. \(2{,}5 a^{-n} b^2 c^3 d^{-1}\) 2. \(\frac{5 b^2 c^3}{2 a^n d}\)

- Überlege, welche Zahlen, Variablen oder Klammerausdrücke im Nenner stehen. - Jeder Nennerfaktor kann mit negativem Exponenten als Faktor geschrieben werden. - Behandle auch konstante Nenner wie \(3\) oder \(4\) mit derselben Potenzregel.

Um einen Bruchterm ohne Bruchstrich zu schreiben, werden alle Nennerfaktoren mit negiertem Exponenten als Faktoren notiert. 1. \(\frac{12}{a^5}=12a^{-5}\). 2. \(\frac{3x^2}{4y^3}=3\cdot4^{-1}x^2y^{-3}\). 3. \(\frac{2}{3(m+n)^4}=2\cdot3^{-1}(m+n)^{-4}\). 4. \(\frac{ab}{c}=abc^{-1}\). 5. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gilt \(a \neq 0\); in Teil 2 \(y \neq 0\); in Teil 3 \(m+n \neq 0\); in Teil 4 \(c \neq 0\).

1) \(12a^{-5}\) für \(a \neq 0\) 2) \(3 \cdot 4^{-1}x^2y^{-3}\) für \(y \neq 0\) 3) \(2 \cdot 3^{-1}(m+n)^{-4}\) für \(m+n \neq 0\) 4) \(abc^{-1}\) für \(c \neq 0\)

- Wie kannst du die beiden Potenzen mit negativen Exponenten als Kehrwerte schreiben? - Welcher gemeinsame Nenner entsteht im Zähler des großen Bruchs? - Betrachte nach dem Zusammenfassen, welcher Faktor im Zähler und Nenner des großen Bruchs gleich ist.

1. Schreibe die negativen Exponenten als Kehrwerte: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) und \(b^{-n}=\frac{1}{b^n}\). 2. Dann ist \(A=\frac{\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}}{\frac{1}{a^nb^n}}\). 3. Im Zähler gilt \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}=\frac{a^n+b^n}{a^nb^n}\). Durch die Division durch \(\frac{1}{a^nb^n}\) folgt \(A=a^n+b^n\). 4. Für \(a=2\), \(b=3\) und \(n=2\) ergibt sich \(A=2^2+3^2=13\).

Vereinfachter Term: \(a^n+b^n\) Wert: \(13\)

- Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen, bis du eine einfache Zahl erhältst. - Achte besonders darauf, wie sich ein Minuszeichen in der Basis im Vergleich zu einem Minuszeichen im Exponenten auswirkt. - Kannst du Brüche in Potenzen mit negativen Exponenten umschreiben oder umgekehrt?

1. Umformung von A: \((\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9\). 2. Umformung von B: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 3. Wert von C: \(\frac{1}{9}\). 4. Wert von D: \(9\). 5. Umformung von E: \(\frac{3^5}{3^7} = 3^{5-7} = 3^{-2} = \frac{1}{9}\). 6. Umformung von F: \((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\). 7. Ergebnis: Gruppe 1 (Wert 9) besteht aus A, D, F. Gruppe 2 (Wert \(\frac{1}{9}\)) besteht aus B, C, E.

Gruppe 1 (Wert 9): \(A, D, F\) Gruppe 2 (Wert \(\frac{1}{9}\)): \(B, C, E\)

- Welche Regel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Achte bei der Division auf das Vorzeichen des Exponenten im Nenner, wenn du die Subtraktionsregel anwendest. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(x\neq0\), \(y\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Teil a): Anwendung der Multiplikationsregel im Zähler: \(x^7 \cdot x^{-3} = x^{7 + (-3)} = x^4\). Anschließend Division durch den Nenner: \(x^4 : x^2 = x^{4-2} = x^2\). 2. Teil b): Anwendung der Potenzierungsregel: \((y^{-2})^4 = y^{-2 \cdot 4} = y^{-8}\). Anschließend Multiplikation: \(y^{-8} \cdot y^5 = y^{-8+5} = y^{-3}\). 3. Teil c): Anwendung der Divisionsregel: \(\frac{b^4}{b^{-2}} = b^{4 - (-2)} = b^{4+2} = b^6\).

a) \(x^2\) b) \(y^{-3}\) c) \(b^6\) Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(x\neq0\), \(y\neq0\) und \(b\neq0\).

- Achte besonders auf den Unterschied zwischen einem negativen Vorzeichen vor der Basis und einem negativen Vorzeichen vor dem gesamten Term. - Welchen Einfluss hat ein gerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis? - Berechne für jeden Term den resultierenden Exponenten zur Basis \(a\). - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\). 1. Term 1: \(a^{-2 + (-4)} = a^{-6}\) (äquivalent). 2. Term 2: \(a^{3 \cdot (-2)} = a^{-6}\) (äquivalent). 3. Term 3: \(a^{4 - 10} = a^{-6}\) (äquivalent). 4. Term 4: Da der Exponent \(-6\) gerade ist, gilt \((-a)^{-6} = a^{-6}\) (äquivalent). 5. Term 5: Nach Definition der negativen Exponenten gilt \(\frac{1}{a^6} = a^{-6}\) (äquivalent). 6. Term 6: \(-a^{-6}\) ist das Negative von \(a^{-6}\). Da ein Vorzeichen vor der Potenz steht, ist dies nicht äquivalent zu \(a^{-6}\) (außer für den Sonderfall \(a^{-6} = 0\), was nicht möglich ist). 7. Term 7: \(a^{(-3) \cdot (-2)} = a^6\). Dies ist der Kehrwert von \(a^{-6}\) und somit nicht äquivalent.

Die zu \(a^{-6}\) äquivalenten Terme sind: 1, 2, 3, 4 und 5. Die Terme 6 und 7 sind nicht äquivalent: Term 6 besitzt ein negatives Vorzeichen vor der Potenz (\(-a^{-6} \neq a^{-6}\)) und Term 7 ergibt nach den Potenzgesetzen \(a^6\). Definitionsbedingung: \(a\neq0\).

- Fasse in a) die Potenzen mit der Basis \(b\) zu einer einzigen Potenz zusammen. - Ein einzelner eingesetzter Wert kann eine angebliche Identität widerlegen, aber nicht für alle Werte beweisen. - Prüfe für die allgemeine Begründung genau, welche Basis den Exponenten \(-2\) trägt.

1. In a) gilt \(\frac{b^n b^{-2}}{b^5}=b^{n-7}\). Daher muss \(n-7=3\) gelten und somit \(n=10\). 2. Für \(x=2\) hat der Originalterm den Wert \(4\cdot2^{-2}=1\). Option 1 ergibt \(\frac{1}{16}\), Option 2 ergibt \(1\) und Option 3 ergibt \(\frac{1}{64}\). Damit sind 1 und 3 widerlegt. 3. Allgemein bezieht sich der Exponent \(-2\) nur auf die Basis \(x\). Deshalb ist \(4x^{-2}=4\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{4}{x^2}\) für jedes \(x\neq0\).

a) \(n=10\) b) Korrekt ist 2: \(\frac{4}{x^2}\). Das Einsetzen von \(x=2\) widerlegt 1 und 3; allgemein folgt 2 aus \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\).

- Kannst du für die Exponenten eine einfache Gleichung aufstellen? - Wie lässt sich die Zahl 1 als Potenz zu einer beliebigen Basis ausdrücken? - Wie schreibst du einen Bruch als Potenz mit einem negativen Exponenten? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Potenzen dividierst. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: alle als Basen negativer Potenzen vorkommenden Variablen sind ungleich \(0\). 1. Aufstellen einer Additionsgleichung für die Exponenten: \(n + 5 = -3\). Subtraktion von \(5\) liefert \(n = -8\). 2. Umwandlung des Bruchs in eine Potenz: \(\frac{1}{a^8} = a^{-8}\). Aufstellen einer Multiplikationsgleichung für die Exponenten: \(4 \cdot n = -8\). Division durch \(4\) liefert \(n = -2\). 3. Aufstellen einer Subtraktionsgleichung für die Exponenten: \(n - (-2) = 5\), was zu \(n + 2 = 5\) führt. Subtraktion von \(2\) liefert \(n = 3\). 4. Identifikation von \(1\) als Potenz mit dem Exponenten \(0\): \(c^{-3} \cdot c^n = c^0\). Gleichung \(-3 + n = 0\) lösen ergibt \(n = 3\).

a) \(n = -8\) b) \(n = -2\) c) \(n = 3\) d) \(n = 3\) Definitionsbedingung: alle als Basen negativer Potenzen vorkommenden Variablen sind ungleich \(0\).

- Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten. - Wie geht man vor, wenn man eine Potenz nochmals potenziert? - Achte bei der Division von Potenzen besonders auf das Vorzeichen, wenn du Exponenten subtrahierst. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in Teil a) \(k\neq0\), in Teil b) \(a\neq0\). 1. Teilaufgabe a): Nach der Definition für negative Exponenten gilt allgemein \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). Setzt man \(x = k\) und \(n = 4\), erkennt man, dass \(k^{-4}\) und \(\frac{1}{k^4}\) denselben Wert darstellen. Beide haben also auf unterschiedlichen, aber korrekten Wegen das Ziel erreicht. 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird der Zähler potenziert: \((a^2)^{-3} = a^{2 \cdot (-3)} = a^{-6}\). 3. Dann wird die Division durchgeführt: \(a^{-6} : a^{-4} = a^{-6 - (-4)} = a^{-6 + 4} = a^{-2}\). 4. Umformung in eine Schreibweise ohne negative Exponenten: \(a^{-2} = \frac{1}{a^2}\).

a) Beide haben recht, da \(k^{-4} = \frac{1}{k^4}\) nach der Definition negativer Exponenten gilt. b) \(\frac{1}{a^2}\) Definitionsbedingung: in Teil a) \(k\neq0\), in Teil b) \(a\neq0\).

- Behandle die Zahlen (Koeffizienten) und die Variablen getrennt voneinander. - Vergiss nicht, beim Auflösen der Klammer im Zähler auch die Zahl zu quadrieren. - Schrittweises Vorgehen: Erst den Zähler vereinfachen, dann durch den Nenner teilen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\). 1. Auflösen der Klammer im Zähler: \((3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2\). 2. Zusammenfassen des Zählers: \(9a^2 \cdot a^{-5} = 9a^{2 + (-5)} = 9a^{-3}\). 3. Division durch den Nenner: \(\frac{9a^{-3}}{3a^{-1}} = \frac{9}{3} \cdot a^{-3 - (-1)}\). 4. Berechnung der Koeffizienten und Exponenten: \(3 \cdot a^{-3 + 1} = 3 \cdot a^{-2}\). 5. Umschreiben ohne negative Exponenten: \(3 \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2}\).

\(\frac{3}{a^2}\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\).

- Bearbeite zuerst die Operationen im Zähler oder innerhalb von Klammern. - Achte beim Dividieren von Potenzen besonders auf das Vorzeichen im Exponenten. - Wie verändert sich das Vorzeichen des Exponenten beim Potenzieren einer Potenz? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 1. Berechnung von Teilaufgabe a: Zuerst wird der Zähler zusammengefasst: \(x^3 \cdot x^{-7} = x^{3 + (-7)} = x^{-4}\). Anschließend wird durch den Nenner dividiert: \(\frac{x^{-4}}{x^{-2}} = x^{-4 - (-2)} = x^{-4 + 2} = x^{-2}\). Das Ergebnis ist \(x^{-2}\). 2. Berechnung von Teilaufgabe b: Zuerst wird die Potenz potenziert: \((y^{-2})^{-3} = y^{(-2) \cdot (-3)} = y^6\). Danach wird das Produkt gebildet: \(y^6 \cdot y^{-10} = y^{6 + (-10)} = y^{-4}\). Das Ergebnis ist \(y^{-4}\).

a) \(x^{-2}\) b) \(y^{-4}\) Definitionsbedingung: \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

- Versuche, alle Zahlen in einer Aufgabe auf die gleiche Basis (z. B. als Zweierpotenz) zu bringen. - Dezimalzahlen lassen sich oft einfacher als Brüche schreiben, bevor man mit Potenzen rechnet. - Ein negativer Exponent bei einem Bruch bedeutet, dass man den Kehrbruch mit positivem Exponenten nehmen kann.

1. Ersetzen der Zahl \(8\) durch \(2^3\): \(2^3 \cdot 2^{-5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\). 2. Kehrwertbildung beim zweiten Faktor: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}\). 3. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch \(0{,}25 = \frac{1}{4}\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot 4^{-2} = 4^1 \cdot 4^{-2} = 4^{-1} = \frac{1}{4}\). 4. Zusammenfassen im Zähler und anschließende Division: \(\frac{7^{2-5}}{7^{-3}} = \frac{7^{-3}}{7^{-3}} = 1\).

a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{27}{64}\) c) \(\frac{1}{4}\) d) \(1\)

- Berechne für den Vergleich zuerst die exakten Zahlenwerte der Potenzen. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen bei negativen Basen. - Bei Gleichungen mit Potenzen hilft es oft, beide Seiten auf dieselbe Basis zu bringen und dann nur noch die Exponenten zu betrachten. - Gibt es ein Gesetz, das man anwenden kann, wenn die Exponenten gleich sind, aber die Basen verschieden?

1. Berechnung der Einzelwerte: \(2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\); \((-2)^2 = 4\); \(2^0 = 1\); \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Sortierung: \(2^{-2} = (-2)^{-2} < 2^0 < (-2)^2\). 2. Darstellung als Potenzen zur Basis 5: \(5^x \cdot 5^2 = 5^{-1}\). Exponentenvergleich: \(x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3\). 3. Anwendung des Gesetzes \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\): \((2 \cdot 0{,}5)^9 = 1^9 = 1\).

a) \(2^{-2} = (-2)^{-2} < 2^0 < (-2)^2\) b) \(x = -3\) c) \(1\)

- Bringe beide Dicken zuerst auf dieselbe Einheit und schreibe sie als Zehnerpotenzen. - Die gesuchte Anzahl beschreibt, wie oft die kleinere Dicke in die größere passt. - Bei der Division von Zehnerpotenzen werden die Exponenten subtrahiert.

1. Die Beschichtungsdicke beträgt \(150\,\text{nm}=1{,}5\cdot10^{-7}\,\text{m}\). 2. Die Vergleichsdicke beträgt \(0{,}06\,\text{mm}=6\cdot10^{-5}\,\text{m}\). 3. Die Anzahl ist der Quotient \(\frac{6\cdot10^{-5}}{1{,}5\cdot10^{-7}}=4\cdot10^2=400\).

Nach den vorgegebenen Vergleichswerten sind etwa \(400\) Schichten erforderlich.

- Kannst du den Zähler vereinfachen, bevor du durch den Nenner teilst? - Wie verändert ein negatives Vorzeichen im Exponenten einen Bruch in der Klammer? - Achte beim Potenzieren eines Produkts darauf, dass jeder Faktor (auch die Zahl) potenziert werden muss. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(z\neq0\), \(x\neq0\), \(y\neq0\) und \(a\neq0\). 1. Zusammenfassen des Zählers im ersten Term: \(z^{-3+7} = z^4\). Division durch den Nenner: \(z^4 : z^2 = z^{4-2} = z^2\). 2. Anwendung des Kehrwerts für den negativen Exponenten: \(\left(\frac{y}{x^2}\right)^3\). Potenzieren von Zähler und Nenner: \(\frac{y^3}{(x^2)^3} = \frac{y^3}{x^6}\). 3. Potenzieren des Produkts in der Klammer: \(3^2 \cdot (a^{-2})^2 = 9 \cdot a^{-4}\). Multiplikation mit dem weiteren Faktor: \(9a^{-4} \cdot a^5 = 9a^{-4+5} = 9a^1 = 9a\).

a) \(z^2\) b) \(\frac{y^3}{x^6}\) c) \(9a\) Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(z\neq0\), \(x\neq0\), \(y\neq0\) und \(a\neq0\).

- Wie fasst man Potenzen mit gleicher Basis zusammen, wenn sie multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man eine Potenz durch eine andere mit gleicher Basis dividiert? - Achte besonders auf die Rechenregeln für negative Zahlen beim Subtrahieren im Exponenten. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(y\neq0\). 1. Vereinfachung des Zählers mittels der Produktregel für Potenzen: \(y^{-3} \cdot y^5 = y^{-3+5} = y^2\). 2. Anwendung der Quotientenregel für Potenzen: \(\frac{y^2}{y^{-2}} = y^{2 - (-2)}\). 3. Berechnung des Exponenten: \(2 - (-2) = 2 + 2 = 4\). 4. Ergebnis: Der vereinfachte Term lautet \(y^4\). Sarah hat somit recht. Lukas hat vermutlich die Vorzeichen bei der Subtraktion im Exponenten falsch verrechnet (\(2-2\) statt \(2-(-2)\)).

Sarah hat recht. Der Term lässt sich zu \(y^4\) vereinfachen. Definitionsbedingung: \(y\neq0\).

- Wie geht man vor, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Wie verändert ein negativer Exponent einen Bruch in der Klammer? - Kannst du einen negativen Exponenten an einer Zahl (wie \(3^{-2}\)) zuerst in einen Bruch umwandeln? - Achte beim Dividieren von Potenzen genau auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(y\neq0\), \(k\neq0\) und \(m\neq0\). 1. Potenzieren des Produkts mit \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und Potenzieren einer Potenz mit \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\): \((3y^2)^{-2} = 3^{-2} \cdot y^{-4} = \frac{1}{9y^4}\). Multiplikation mit \(27y^5\): \(\frac{27y^5}{9y^4} = 3y\). 2. Anwendung der Kehrwertregel für negative Exponenten bei Brüchen: \(\left(\frac{k}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{k}\right)^3 = \frac{8}{k^3}\). Multiplikation mit \(k^2\): \(\frac{8k^2}{k^3} = \frac{8}{k}\). 3. Vereinfachen des Nenners: \((m^{-2})^3 = m^{-6}\). Division der Potenzen durch Subtraktion der Exponenten: \(m^{-4 - (-6)} = m^{-4+6} = m^2\).

a) \(3y\) b) \(\frac{8}{k}\) c) \(m^2\) Definitionsbedingung: in den betreffenden Teilaufgaben \(y\neq0\), \(k\neq0\) und \(m\neq0\).

- Wie verarbeitest du eine Potenz, die selbst noch einmal potenziert wird? - Achte darauf, auch Koeffizienten wie die Zahl 2 mit dem Exponenten zu potenzieren. - Kannst du Ausdrücke mit der gleichen Basis finden, um die Exponenten zu verrechnen? - Erinnere dich daran, dass \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) gilt. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 1. Teilaufgabe a): Potenzieren des ersten Bruchs ergibt \(\frac{2^3 a^3}{(b^2)^3} = \frac{8a^3}{b^6}\). Multiplikation mit \(\frac{b^4}{a^4}\) ergibt \(\frac{8a^3 b^4}{b^6 a^4}\). Kürzen der Variablen führt zu \(8 \cdot a^{-1} \cdot b^{-2}\), was als \(\frac{8}{ab^2}\) geschrieben wird. 2. Teilaufgabe b): Potenzieren einer Potenz durch Multiplikation der Exponenten ergibt \(\left(\frac{x}{y}\right)^{-6}\). Umwandlung des negativen Exponenten ergibt \(\left(\frac{y}{x}\right)^6\). Die Division \(\left(\frac{y}{x}\right)^6 : \left(\frac{y}{x}\right)^4\) ergibt durch Subtraktion der Exponenten \(\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{y^2}{x^2}\).

a) \(\frac{8}{ab^2}\) b) \(\frac{y^2}{x^2}\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\), \(b\neq0\), \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

- Überlege dir zuerst, wie du Klammern auflösen kannst, in denen ein Produkt oder ein Bruch steht. - Achte bei der Division auf das Vorzeichen, wenn du einen negativen Exponenten subtrahierst. - Was ergibt eine Potenz, wenn der Exponent \( 0 \) ist? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: alle Variablen, die als Nenner oder Basis einer negativen Potenz auftreten, sind ungleich \(0\). 1. Schrittweise Vereinfachung von a): Zuerst die Klammer auflösen \( (2a)^{-3} = 2^{-3} \cdot a^{-3} = \frac{1}{8} \cdot a^{-3} \). Multiplikation mit \( 8a^4 \) ergibt \( \frac{1}{8} \cdot 8 \cdot a^{-3} \cdot a^4 = 1 \cdot a^1 = a \). 2. Schrittweise Vereinfachung von b): Nenner auflösen \( (xy)^{-1} = x^{-1} \cdot y^{-1} \). Division der Potenzen gleicher Basis: \( x^{-2 - (-1)} \cdot y^{2 - (-1)} = x^{-1} \cdot y^3 \). Umschreiben ohne negativen Exponenten ergibt \( \frac{y^3}{x} \). 3. Schrittweise Vereinfachung von c): Potenzieren des Bruchs ergibt \( \frac{(b^2)^{-2}}{3^{-2}} = \frac{b^{-4}}{\frac{1}{9}} = 9b^{-4} \). Multiplikation mit \( b^4 \) ergibt \( 9 \cdot b^{-4} \cdot b^4 = 9 \cdot b^0 = 9 \cdot 1 = 9 \).

a) \( a \) b) \( \frac{y^3}{x} \) c) \( 9 \) Definitionsbedingung: alle Variablen, die als Nenner oder Basis einer negativen Potenz auftreten, sind ungleich \(0\).

- Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie verrechnet man die Exponenten bei einer Division (Bruchstrich)? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion negativer Zahlen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\). 1. Potenzieren der Potenz im Zähler: \((a^2)^{-2} = a^{2 \cdot (-2)} = a^{-4}\). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: \(a^{-3} \cdot a^{-4} = a^{-3 + (-4)} = a^{-7}\). 3. Division der Potenzen (Zähler durch Nenner): \(a^{-7} : a^{-5} = a^{-7 - (-5)} = a^{-7 + 5} = a^{-2}\). 4. Endergebnis in der geforderten Form: \(a^{-2}\).

\(a^{-2}\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\).

- Achte genau darauf, worauf sich der Exponent bezieht. Steht das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Klammer? - Was bewirkt ein gerader Exponent bei einer negativen Basis? - Schreibe die Terme zuerst als Brüche mit positiven Exponenten um, um die Vorzeichen besser beurteilen zu können.

1. Berechnung von Term I: \(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Berechnung von Term II: \((-10)^{-2} = \frac{1}{(-10)^2}\). Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist (\((-10) \cdot (-10) = 100\)), ergibt sich \(\frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Berechnung von Term III: \(-10^{-2} = - \frac{1}{10^2} = - \frac{1}{100} = -0{,}01\). Hier bezieht sich das Minuszeichen nicht auf die Basis der Potenz, sondern steht vor dem gesamten Ausdruck. 4. Vergleich der Werte: \(-0{,}01 < 0{,}01 = 0{,}01\). 5. Ordnung: Term III \(<\) Term I \(=\) Term II.

a) I: \(0{,}01\); II: \(0{,}01\); III: \(-0{,}01\) b) \(-10^{-2} < 10^{-2} = (-10)^{-2}\) (bzw. III \(<\) I \(=\) II)

- Versuche, alle Zahlen in der Gleichung als Potenzen der Basis 2 darzustellen. - Wie schreibt man einen Bruch als Potenz mit einem negativen Exponenten? - Erinnere dich an die Regel, wie man eine Potenz nochmals potenziert.

1. Darstellung aller Terme als Potenzen zur Basis 2: \(8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}\) und \(\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}\) 2. Zusammenfassen der linken Seite mit dem Potenzgesetz für die Multiplikation: \(2^n \cdot 2^{-3} = 2^{n-3}\) 3. Aufstellen der Exponentengleichung: \(n - 3 = -5\) 4. Berechnung von \(n\): \(n = -2\)

\(n = -2\)

- Versuche zuerst, den Zähler und den Nenner getrennt voneinander zu vereinfachen. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du eine Potenz durch eine andere Potenz mit der gleichen Basis teilst? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq0\). 1. Vereinfachung des Zählers durch Addition der Exponenten: \(x^4 \cdot x^{-7} = x^{4 + (-7)} = x^{-3}\). 2. Vereinfachung des Nenners durch Multiplikation der Exponenten: \((x^{-2})^2 = x^{-2 \cdot 2} = x^{-4}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division (Subtraktion der Exponenten): \(\frac{x^{-3}}{x^{-4}} = x^{-3 - (-4)}\). 4. Berechnung des resultierenden Exponenten: \(-3 + 4 = 1\). 5. Ergebnis: \(x^1 = x\).

\(x\) Definitionsbedingung: \(x\neq0\).

- Überlege, wie du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kannst, um eine gemeinsame Basis zu finden. - Wie kannst du Potenzen zusammenfassen, wenn sie zwar verschiedene Basen, aber denselben Exponenten haben? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei geraden und ungeraden Exponenten.

1. In Teil a) wird \(0{,}25\) als \(\frac{1}{4} = 4^{-1}\) ausgedrückt. Damit ergibt sich \((4^{-1})^{-3} = 4^3\). Die Zahl \(2^4\) lässt sich als \((2^2)^2 = 4^2\) schreiben. Die Multiplikation der Potenzen mit gleicher Basis ergibt \(4^{3 + (-5) + 2} = 4^0\). Da jede Zahl ungleich Null hoch Null eins ergibt, ist das Resultat \(1\). 2. In Teil b) wird das Gesetz für gleiche Exponenten bei der Division angewendet: \((-6)^3 : 3^3 = (-6 : 3)^3 = (-2)^3\). Danach folgt die Multiplikation bei gleicher Basis: \((-2)^3 \cdot (-2)^{-1} = (-2)^{3-1} = (-2)^2\). Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, ergibt sich \(4\).

a) \(1\) b) \(4\)

- Kannst du die Basis \(12\) so zerlegen, dass sie zu den Basen im Nenner passt? - Es hilft oft, zuerst den Zähler und den Nenner getrennt so weit wie möglich zu vereinfachen. - Was passiert mit dem Exponenten im Nenner, wenn du die Potenzregel für die Division anwendest?

1. Die Basis \(12\) wird in ihre Primfaktoren zerlegt: \(12 = 3 \cdot 2^2\). Der Zähler wird somit zu \((3 \cdot 2^2)^3 \cdot 2^{-4} = 3^3 \cdot 2^6 \cdot 2^{-4} = 3^3 \cdot 2^2\). 2. Der gesamte Bruch lautet nun \(\frac{3^3 \cdot 2^2}{3^2 \cdot 2^{-1}}\). Durch Anwendung der Divisionsregel für Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: Für Basis \(3\) ergibt sich \(3^{3-2} = 3^1\) und für Basis \(2\) ergibt sich \(2^{2 - (-1)} = 2^3\). 3. Die Berechnung des Endwertes erfolgt durch Multiplikation der vereinfachten Potenzen: \(3 \cdot 8 = 24\).

\(24\)

- Kannst du den Term im Zähler durch Ausmultiplizieren vereinfachen? - Gibt es im Zähler und Nenner eine gemeinsame Potenz von \(x\), die man ausklammern kann? - Erkennst du im Zähler nach dem Ausklammern ein bekanntes Zerlegungsmuster für quadratische Ausdrücke? - Welche Faktoren treten sowohl oberhalb als auch unterhalb des Bruchstrichs auf?

1. Ausmultiplizieren oder Umformen des Zählers: Durch Multiplikation des Faktors \(x^2\) in die Klammer erhält man \(x^2 \cdot x - 6x^2 + 9x^2 \cdot x^{-1} = x^3 - 6x^2 + 9x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Zunächst wird \(x\) ausgeklammert, was \(x(x^2 - 6x + 9)\) ergibt. Der quadratische Term in der Klammer entspricht der zweiten binomischen Formel, sodass der Zähler als \(x(x - 3)^2\) geschrieben werden kann. 3. Faktorisieren des Nenners: Im Nenner \(x^2 - 3x\) wird \(x\) ausgeklammert, woraus \(x(x - 3)\) folgt. 4. Kürzen des Bruchs: Die gemeinsamen Faktoren \(x\) und \((x - 3)\) werden gekürzt. Es verbleibt der Term \(x - 3\).

\(x - 3\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq 3\))

- Gibt es einen Unterschied, ob nur eine Variable oder eine ganze Summe im Nenner steht? - Wie verfährst du bei „Doppelbrüchen“, wenn du den Hauptbruchstrich eliminieren willst? - Achte auf die Rechenregeln wie Punkt-vor-Strich, wenn du die Brüche ersetzt.

1. Der Faktor im Nenner wird mit negativem Exponenten geschrieben: \(\frac{a^3 b^2}{c^4} = a^3 b^2 c^{-4}\). 2. Die gesamte Summe im Nenner bildet die Basis für den Exponenten \(-1\): \(\frac{1}{x^2+y^2} = (x^2+y^2)^{-1}\). 3. Umformung der einzelnen Brüche unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Rechnung: \(\frac{1}{r^3} - \frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{t^2} = r^{-3} - s^{-3} \cdot t^{-2}\). 4. Zuerst werden die inneren Brüche im Nenner umgewandelt (\(u^{-2} - v^{-2}\)), anschließend wird dieser gesamte Ausdruck invertiert: \((u^{-2} - v^{-2})^{-1}\). 5. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gilt \(c \neq 0\). In Teil 2 gilt \(x^2+y^2 \neq 0\), also dürfen \(x\) und \(y\) nicht beide \(0\) sein. In Teil 3 gelten \(r \neq 0\), \(s \neq 0\) und \(t \neq 0\). In Teil 4 gelten \(u \neq 0\), \(v \neq 0\) und \(u^2 \neq v^2\), also \(u \neq v\) und \(u \neq -v\).

1) \(a^3 b^2 c^{-4}\) für \(c \neq 0\); 2) \((x^2 + y^2)^{-1}\) für \(x^2+y^2 \neq 0\); 3) \(r^{-3} - s^{-3}t^{-2}\) für \(r,s,t \neq 0\); 4) \((u^{-2} - v^{-2})^{-1}\) für \(u \neq 0\), \(v \neq 0\) und \(u \neq \pm v\).

- Kannst du den Term zuerst vereinfachen, bevor du den Bruchstrich entfernst? - Wie lautet die Regel für das Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Achte bei Aufgaben mit Klammern darauf, dass der Exponent auf jedes Element in der Klammer wirkt. - Was passiert mit einem Exponenten, wenn die Potenz die Seite des Bruchstrichs wechselt?

1. Zuerst werden die Koeffizienten dividiert: \(4 : 2 = 2\). Danach werden die Potenzen gleicher Basis verrechnet: \(x^5 : x^7 = x^{5-7} = x^{-2}\). Die Variable \(y^2\) im Nenner wird zu \(y^{-2}\). Ergebnis: \(2 x^{-2} y^{-2}\). 2. Auflösen der Klammer im Zähler ergibt \((2a)^{-2} = 2^{-2} \cdot a^{-2} = 0{,}25 a^{-2}\). Verrechnen der Basis \(a\): \(a^{-2} : a^2 = a^{-2-2} = a^{-4}\). Die Variable \(c\) im Nenner wird zu \(c^{-1}\). Ergebnis: \(0{,}25 a^{-4} b^3 c^{-1}\). 3. Der Koeffizient \(0{,}25\) bleibt unverändert. Die Variablen im Nenner werden mit Vorzeichenwechsel des Exponenten multipliziert: \(w^2\) wird zu \(w^{-2}\) und \(z^{-2}\) wird zu \(z^2\). Ergebnis: \(0{,}25 u^2 v^{-1} w^{-2} z^2\). 4. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gelten \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\). In Teil 2 gelten \(a \neq 0\) und \(c \neq 0\). In Teil 3 gelten \(v \neq 0\), \(w \neq 0\) und \(z \neq 0\).

1) \(2 x^{-2} y^{-2}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\); 2) \(0{,}25 a^{-4} b^3 c^{-1}\) für \(a \neq 0\) und \(c \neq 0\); 3) \(0{,}25 u^2 v^{-1} w^{-2} z^2\) für \(v,w,z \neq 0\).

- Forme erst beide Terme so um, dass kein Bruchstrich mehr vorhanden ist. - Wie kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}5\) im Nenner als Faktor im Zähler schreiben? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Division durch einen Bruch und Multiplikation mit seinem Kehrwert?

1. Umformung von \(T_1\): Der Faktor \((x+y)^{-3}\) im Nenner wird durch Vorzeichenwechsel des Exponenten in den Zähler verschoben. Es ergibt sich \(T_1 = 2(x+y)^3\). 2. Umformung von \(T_2\): - Der Koeffizient \(0{,}5\) im Nenner entspricht \(\frac{1}{2}\). Sein Kehrwert im Zähler ist \(2\). - Der Faktor \((x+y)^{-3}\) im Nenner wird wie bei \(T_1\) zu \((x+y)^3\) im Zähler. - Es ergibt sich \(T_2 = 2(x+y)^3\). 3. Vergleich: Da beide Umformungen zum identischen Ergebnis \(2(x+y)^3\) führen, sind die Terme äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent. Beide lassen sich zu \(2(x+y)^3\) umformen.

- Überlege zuerst, wie man \(5^{-1}\) als Dezimalzahl schreiben kann. - Nutze die Potenzgesetze, um alle Teile aus dem Nenner nach oben zu bringen. - Setze die gegebenen Zahlen erst in den vereinfachten Term ein, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Vereinfachung der Koeffizienten: Da \(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2\), kürzt sich der Faktor \(0{,}2\) im Zähler gegen \(5^{-1}\) im Nenner weg (Ergebnis \(1\)). 2. Umformung der Potenzen mit negativen Exponenten: Die Faktoren \(c^{-2}\) und \((a-b)^{-2}\) im Nenner werden als \(c^2\) und \((a-b)^2\) in den Zähler geschrieben. Der vereinfachte Term lautet \(T = (a+b) \cdot c^2 \cdot (a-b)^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(a+b = 7+3 = 10\); \(a-b = 7-3 = 4\); \(c^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01\). 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(T = 10 \cdot 0{,}01 \cdot 4^2 = 0{,}1 \cdot 16 = 1{,}6\). 5. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen \(c \neq 0\) und \(a-b \neq 0\) bleiben erhalten.

a) \(T = c^2(a+b)(a-b)^2\) für \(c \neq 0\) und \(a \neq b\) b) \(1{,}6\)

- Vereinfache die Zahlenfaktoren und die Potenzen mit den Basen \(x\) und \(y\) getrennt. - Achte bei der Division gleicher Basen auf die Subtraktion der Exponenten einschließlich ihrer Vorzeichen. - Prüfe anschließend, wie eine Potenz mit negativem Exponenten als Bruch geschrieben wird.

1. Es gilt \(2^{-3}=\frac{1}{8}\) und \(8^{-1}=\frac{1}{8}\); ihr Quotient ist \(1\). 2. Für die Potenzen gilt \(x^2:x^{-1}=x^{2-(-1)}=x^3\) und \(y^{-2}:y=y^{-3}\). 3. Damit ist \(S=x^3y^{-3}\); Leon hat also recht. 4. Wegen \(y^{-3}=\frac{1}{y^3}\) gilt zugleich \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\). Sophie hat ebenfalls recht. 5. Wegen der negativen Exponenten im ursprünglichen Term gelten \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

Beide haben recht, sofern \(x\neq0\) und \(y\neq0\). Es gilt \(x^3y^{-3}=\frac{x^3}{y^3}\).

- Wie lässt sich ein Bruch wie \(\frac{1}{4}\) als Dezimalzahl schreiben? - Achte darauf, dass beim Umwandeln in die Potenzschreibweise der gesamte Ausdruck aus dem Nenner in die Klammer der Potenz gehört. - Für die Berechnung in Teil c) kann es einfacher sein, erst die Klammer auszurechnen und dann zu potenzieren. - Überlege, ob du lieber mit Brüchen oder Dezimalzahlen rechnest.

1. Teil a): Der Bruch \(\frac{1}{4x^2}\) kann zerlegt werden in \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^2}\). Da \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) und \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) gilt, folgt direkt \(0{,}25x^{-2}\). 2. Teil b): Der Koeffizient \(\frac{3}{5}\) entspricht \(0{,}6\). Der Ausdruck \((x+2)^2\) im Nenner wird mit negativem Exponenten zu \((x+2)^{-2}\). Das Ergebnis ist \(0{,}6(x+2)^{-2}\). 3. Teil c): Einsetzen von \(x = 3\) in \(0{,}6(x+2)^{-2}\) ergibt \(0{,}6 \cdot (3+2)^{-2} = 0{,}6 \cdot 5^{-2}\). Dies entspricht \(0{,}6 \cdot \frac{1}{25} = 0{,}6 \cdot 0{,}04 = 0{,}024\). 4. Definitionsbedingungen: In Teil a gilt \(x \neq 0\). Für den Term \(T\) in den Teilen b und c gilt \(x \neq -2\).

a) \(\frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4} \cdot x^{-2} = 0{,}25x^{-2}\) für \(x \neq 0\) b) \(0{,}6(x+2)^{-2}\) für \(x \neq -2\) c) \(0{,}024\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Position einer Zahl in einem Bruch? - Wie kannst du einen Faktor vom Nenner in den Zähler verschieben? - Denke daran, dass auch Zahlen wie \(2^{-3}\) nach den gleichen Regeln wie Variablen behandelt werden. - Was passiert mit einer Klammer, wenn sie einen negativen Exponenten hat?

1. Anwendung der Potenzregel \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) auf alle Faktoren mit negativen Exponenten. 2. Faktoren mit negativen Exponenten im Zähler werden zu Faktoren mit positiven Exponenten im Nenner und umgekehrt: - Zu 1): \(\frac{6}{a^3} \cdot b^2 = \frac{6b^2}{a^3}\) - Zu 2): \(\frac{1}{x+y} \cdot 2^3 \cdot z^4 = \frac{8z^4}{x+y}\) - Zu 3): \(\frac{1}{p^2} \cdot q^3 \cdot r \cdot (p-q)^2 = \frac{q^3 r (p-q)^2}{p^2}\) 3. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\); 2) \(x+y \neq 0\), \(z \neq 0\); 3) \(p \neq 0\), \(r \neq 0\), \(p-q \neq 0\).

1) \(\frac{6b^2}{a^3}\); 2) \(\frac{8z^4}{x+y}\); 3) \(\frac{q^3 r (p-q)^2}{p^2}\) Definitionsbedingungen: 1) \(a,b \neq 0\); 2) \(x+y \neq 0\), \(z \neq 0\); 3) \(p \neq 0\), \(r \neq 0\), \(p-q \neq 0\).

- Kannst du den Zähler und den Nenner von Term \(A\) einzeln ohne negative Exponenten schreiben? - Erinnere dich an die Regel, wie man ein Produkt in einer Klammer potenziert. - Wie vereinfacht man einen Doppelbruch? - Wann sind zwei mathematische Ausdrücke gleichwertig?

1. Umformung des Zählers von \(A\): Anwendung der Regel für die Potenz eines Produkts \((ab)^n = a^n b^n\) und negative Exponenten ergibt \((2x)^{-3} = \frac{1}{(2x)^3} = \frac{1}{8x^3}\). 2. Umformung des Nenners von \(A\): \(y^{-2} = \frac{1}{y^2}\). 3. Verknüpfung der Teile im Doppelbruch: \(A = \frac{\frac{1}{8x^3}}{\frac{1}{y^2}} = \frac{1}{8x^3} \cdot \frac{y^2}{1} = \frac{y^2}{8x^3}\). 4. Vergleich mit Term \(B\): Da die Umformung von \(A\) exakt den Term \(B\) ergibt, sind beide Terme äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent. Durch Umformung von \(A\) erhält man: \(A = \frac{1}{(2x)^3} \cdot y^2 = \frac{y^2}{8x^3}\), was identisch mit Term \(B\) ist.

- Gehe schrittweise vor: Kümmere dich zuerst um die Klammern im Zähler. - Wie verrechnet man Exponenten bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis? Achte dabei gut auf die Vorzeichen. - Wenn im Ergebnis noch ein negativer Exponent steht, wie kannst du diesen als Bruch mit positivem Exponenten schreiben? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 1. Auflösen der Klammer im Zähler mit \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((x^2)^{-2} \cdot (y^{-3})^{-2} = x^{-4} \cdot y^6\). 2. Einsetzen in den Bruch: \(\frac{x^{-4} \cdot y^6}{x^{-1} \cdot y^4}\). 3. Anwendung der Divisionsregel \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für beide Variablen getrennt. 4. Für \(x\): \(x^{-4 - (-1)} = x^{-3}\). 5. Für \(y\): \(y^{6 - 4} = y^2\). 6. Zusammenführen und Entfernen des negativen Exponenten: \(x^{-3} \cdot y^2 = \frac{y^2}{x^3}\).

\(\frac{y^2}{x^3}\) Definitionsbedingung: \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

- Betrachte die Zahlen, die Basis \(a\) und die Basis \(b\) nacheinander als getrennte Teilaufgaben. - Welches Gesetz hilft dir, den Bruchstrich aufzulösen? - Stelle für die Exponenten jeweils eine kleine Gleichung auf. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Division der Koeffizienten: \(4 : 2 = 2\). Dies stimmt mit dem Zielterm überein. 2. Bestimmung von \(n\): Laut Divisionsregel für die Basis \(a\) gilt \(a^n : a^2 = a^{n-2}\). Der Zielterm verlangt \(a^3\). Gleichung aufstellen: \(n - 2 = 3\). Daraus folgt \(n = 5\). 3. Bestimmung von \(m\): Laut Divisionsregel für die Basis \(b\) gilt \(b^{-3} : b^m = b^{-3-m}\). Der Zielterm verlangt \(b^{-5}\). Gleichung aufstellen: \(-3 - m = -5\). Daraus folgt \(-m = -2\), also \(m = 2\).

\(n = 5\) und \(m = 2\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

- Beginne damit, die Klammer im Zähler aufzulösen. Denke daran, dass jeder Faktor in der Klammer potenziert werden muss. - Fasse danach alle Potenzen mit der gleichen Basis im Zähler zusammen. - Kürze am Ende die Zahlenwerte und verrechne die verbleibenden Variablen. - Wie gehst du vor, wenn am Ende eine Variable einen negativen Exponenten hat? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Potenzieren des Produkts im Zähler: \((3a^{-2}b)^2 = 3^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot b^2 = 9a^{-4}b^2\). 2. Multiplikation der \(a\)-Potenzen im Zähler: \(9a^{-4}b^2 \cdot a^5 = 9a^{-4+5}b^2 = 9a^1b^2\). 3. Division durch den Nenner: Kürzen der \(9\) und Subtraktion der Exponenten von \(b\): \(\frac{9ab^2}{9b^3} = a \cdot b^{2-3} = a \cdot b^{-1}\). 4. Umwandlung des negativen Exponenten in einen Bruch: \(a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}\).

\(\frac{a}{b}\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\).

- Versuche alle Zahlen als Potenzen mit der gleichen Basis zu schreiben. - Stelle eine einfache lineare Gleichung für die Exponenten auf. - Was muss man mit einer Zahl multiplizieren, um 1 zu erhalten?

1. Lösung für Teilaufgabe a: Umschreiben von \(\frac{1}{125}\) als Potenz zur Basis 5 ergibt \(5^{-3}\). Die Gleichung lautet \(5^z \cdot 5^{-3} = 5^{-1}\). Durch Addieren der Exponenten erhält man \(z - 3 = -1\). Auflösen nach \(z\) ergibt \(z = 2\). 2. Lösung für Teilaufgabe b: Für \(x>0\) und \(x \neq 1\) dürfen die Exponenten verglichen werden. Potenzieren der ersten Potenz ergibt \(x^{-2z}\). Die Gleichung lautet \(x^{-2z} \cdot x^5 = x^{-1}\). Durch Addieren der Exponenten erhält man \(-2z + 5 = -1\). Subtraktion von 5 führt zu \(-2z = -6\). Division durch \(-2\) ergibt \(z = 3\). 3. Lösung für Teilaufgabe c: Berechnung des Werts von \((\frac{2}{3})^{-2}\) ergibt \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\). Die Gleichung lautet \(\frac{9}{4} \cdot z = 1\). Um \(z\) zu isolieren, multipliziert man mit dem Kehrwert: \(z = \frac{4}{9}\). Alternativ kann \(z\) als Potenz geschrieben werden: \(z = (\frac{2}{3})^2\) oder \(z = (\frac{3}{2})^{-2}\).

a) \(z = 2\) b) \(z = 3\) für alle \(x>0\) mit \(x \neq 1\) c) \(z = \frac{4}{9}\)

- Kannst du den Bruch in zwei einfachere Brüche zerlegen? - Was passiert mit einem negativen Vorzeichen vor einer Basis, wenn der Exponent ungerade ist? - Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die Klammern auflösen, dann die Faktoren mit gleicher Basis zusammenfassen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: alle vorkommenden Basen negativer Potenzen sind ungleich \(0\). 1. Aufteilen des Bruchs in zwei Summanden: \(\frac{4x^{-2}}{2x^{-2}} + \frac{2x^{-1}}{2x^{-2}}\). Kürzen des ersten Teils ergibt \(2\). Verrechnen der Exponenten im zweiten Teil: \(x^{-1 - (-2)} = x^1\). Ergebnis: \(2 + x\). 2. Potenzieren der ersten Klammer: \(x^{-4} y^6\). Zusammenfassen mit dem zweiten Faktor: \(x^{-4+3} \cdot y^{6-4} = x^{-1} y^2\). Umschreiben ohne negativen Exponenten: \(\frac{y^2}{x}\). 3. Analyse der Basis \(-a^2\): \((-a^2)^{-3} = \frac{1}{(-a^2)^3}\). Da der Exponent \(3\) ungerade ist, bleibt das Minuszeichen erhalten: \(\frac{1}{-(a^2)^3} = \frac{1}{-a^6} = -a^{-6}\). Multiplikation mit \(a^7\): \(-a^{-6} \cdot a^7 = -a^1 = -a\).

a) \(2 + x\) b) \(\frac{y^2}{x}\) c) \(-a\) Definitionsbedingung: alle vorkommenden Basen negativer Potenzen sind ungleich \(0\).

- Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation, Division und das Potenzieren von Potenzen. - Was ergibt jede Basis (außer 0), wenn sie mit 0 potenziert wird? - Achte beim Subtrahieren von Summen im Exponenten auf die Klammersetzung.

1. Aussage a): Anwendung der Produktregel \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\). Es ergibt sich \(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0\). Da \(a^0 = 1\) für \(a \neq 0\), ist die Aussage wahr. 2. Aussage b): Anwendung der Potenzregel \((a^r)^s = a^{r \cdot s}\). Es ergibt sich \((a^{-1})^n = a^{-1 \cdot n} = a^{-n}\). Gemäß der Definition negativer Exponenten ist \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Die Aussage ist wahr. 3. Aussage c): Anwendung der Quotientenregel \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\). Es ergibt sich \(\frac{a^n}{a^{n+2}} = a^{n - (n+2)} = a^{n - n - 2} = a^{-2}\). Da \(a^{-2} = \frac{1}{a^2}\) und dies im Allgemeinen ungleich \(a^2\) ist, ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da \(a^{n-n} = a^0 = 1\). b) Wahr, da \(a^{-1 \cdot n} = a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). c) Falsch, da \(a^{n-(n+2)} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\).

- Kannst du den Zähler und den Nenner zuerst separat vereinfachen? - Was ist der Wert von \(y^0\)? - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Versuche, Schritt für Schritt vorzugehen: Erst die Klammern auflösen, dann zusammenfassen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(u\neq0\), \(v\neq0\), \(x\neq0\) und \(y\neq0\). 1. Auflösen der Klammer im Zähler: \((u^3 \cdot v^{-2})^{-1} = u^{-3} \cdot v^2\). Division durch den Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(u^{-3 - (-4)} \cdot v^{2-1} = u^1 \cdot v^1 = uv\). 2. Erster Faktor durch Kehrwertbildung und Quadrieren: \(\left(\frac{2}{x^2}\right)^{-2} = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}\). Zweiter Faktor unter Beachtung von \(y^0 = 1\): \((x \cdot 1)^{-3} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}\). Multiplikation der Ergebnisse: \(\frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{x}{4}\).

a) \(uv\) b) \(\frac{x}{4}\) Definitionsbedingung: \(u\neq0\), \(v\neq0\), \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

- Gehe schrittweise von links nach rechts vor. - Wandle zuerst alle negativen Exponenten und Divisionen in Multiplikationen um. - Fasse am Ende alle Potenzen gleicher Basis (\(u\), \(v\), \(w\)) zusammen. - Überprüfe, ob sich Variablen im Zähler und Nenner vollständig wegkürzen lassen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(u\neq0\), \(v\neq0\) und \(w\neq0\). 1. Erster Faktor: \(\left(\frac{u^2 v}{w}\right)^{-3} = \left(\frac{w}{u^2 v}\right)^3 = \frac{w^3}{u^6 v^3}\). 2. Zweiter Faktor (Divisor): \(\left(\frac{w^2}{u v^2}\right)^2 = \frac{w^4}{u^2 v^4}\). Division durch diesen Bruch ist Multiplikation mit \(\frac{u^2 v^4}{w^4}\). 3. Verknüpfung der ersten beiden Teile: \(\frac{w^3}{u^6 v^3} \cdot \frac{u^2 v^4}{w^4} = \frac{w^3 u^2 v^4}{u^6 v^3 w^4} = \frac{v}{u^4 w}\). 4. Letzter Schritt: Multiplikation mit dem dritten Faktor: \(\frac{v}{u^4 w} \cdot \frac{w}{u^5} = \frac{v \cdot w}{u^4 \cdot w \cdot u^5} = \frac{v}{u^9}\).

\(\frac{v}{u^9}\) Definitionsbedingung: \(u\neq0\), \(v\neq0\) und \(w\neq0\).

- Arbeite bei Teil a schrittweise von innen nach außen oder löse erst die Klammer auf. - Bei Teil b kannst du die Exponenten der linken Seite mit dem Exponenten der rechten Seite gleichsetzen. - Überlege dir bei Teil c genau, worauf sich der Exponent jeweils bezieht. Gibt es eine Regel für die Rangfolge von Rechenoperationen? - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: in Teil a) \(u\neq0\) und \(v\neq0\), in Teil b) \(x\neq0\). 1. Vereinfachung von a): Zähler potenzieren ergibt \( u^{-3} \cdot v^6 \). Division durch den Nenner ergibt \( u^{-3 - (-4)} \cdot v^{6 - 5} = u^1 \cdot v^1 = uv \). 2. Lösung von b): Anwendung der Divisionsregel auf der linken Seite ergibt \( x^{n - (-3)} = x^{n+3} \). Vergleich mit der rechten Seite führt zur Gleichung \( n + 3 = 2 \). Subtraktion von \( 3 \) ergibt \( n = -1 \). 3. Erklärung zu c): Bei \( (-3)^{-2} \) bezieht sich das Quadrat (bzw. die Potenz) auf die gesamte Klammer inklusive des Minuszeichens; da der Exponent gerade ist, wird das Ergebnis positiv. Bei \( -3^{-2} \) wird die Potenz vor dem vorangestellten Minuszeichen ausgewertet, sodass zuerst \( 3^{-2} \) berechnet wird und das Minuszeichen danach davor gesetzt wird.

a) \( uv \) b) \( n = -1 \) c) Bei \( (-3)^{-2} \) wird die negative Basis durch den geraden Exponenten positiv. Bei \( -3^{-2} \) bezieht sich der Exponent nur auf die \( 3 \), das Minuszeichen steht davor. Definitionsbedingung: in Teil a) \(u\neq0\) und \(v\neq0\), in Teil b) \(x\neq0\).

- Was bewirkt ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Wie kannst du ein Produkt in einer Klammer mit einem negativen Exponenten umschreiben? - Kürze am Ende alle Variablen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. - Achte darauf, dass im Endergebnis keine negativen Exponenten mehr stehen sollen. - Prüfe vor dem Umformen, für welche Variablenwerte ein Nenner null wird oder eine negative Potenz nicht definiert ist.

Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 1. Anwendung des negativen Exponenten auf den Bruch (Kehrwert bilden): \(\left( \frac{a^2}{b} \right)^{-2} = \left( \frac{b}{a^2} \right)^2 = \frac{b^2}{a^4}\). 2. Anwendung des negativen Exponenten auf das Produkt: \((a \cdot b^3)^{-1} = a^{-1} \cdot (b^3)^{-1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b^3} = \frac{1}{a \cdot b^3}\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(\frac{b^2}{a^4} \cdot \frac{1}{a \cdot b^3} = \frac{b^2}{a^4 \cdot a \cdot b^3}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen mit gleicher Basis im Nenner: \(a^4 \cdot a = a^5\). 5. Kürzen von \(b^2\) im Zähler gegen \(b^3\) im Nenner: \(\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}\). 6. Endergebnis: \(\frac{1}{a^5 \cdot b}\).

\(\frac{1}{a^5 b}\) Definitionsbedingung: \(a\neq0\) und \(b\neq0\).