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- Von welchem gemeinsamen Punkt gehen die beiden Tangentenstrecken aus? - Welche Längeneigenschaft gilt für zwei Tangentenabschnitte von demselben äußeren Punkt?

1. Tangentenabschnitte, die von demselben äußeren Punkt an einen Kreis führen, sind gleich lang. Daher gilt \(PA=PB\). 2. Aus der Abbildung liest man \(PA=12\,\text{cm}\) ab. 3. Somit gilt \(PB=12\,\text{cm}\).

Von demselben äußeren Punkt aus sind die beiden Tangentenabschnitte gleich lang, also \(PA=PB\). Daher ist \(PB=12\,\text{cm}\).

- Wie viele Grade hat ein ganzer Kreis? - Wenn etwas in gleich große Teile geteilt wird, welche Rechenoperation hilft dir dabei? - Überlege, wie sich der Gesamtwinkel auf die Anzahl der Stücke verteilt.

1. Ein voller Kreis umfasst einen Winkel von \(360^\circ\). 2. Da die Pizza in 10 gleich große Stücke geteilt wird, muss der Gesamtwinkel durch 10 dividiert werden. 3. Berechnung: \(360^\circ : 10 = 36^\circ\). Jedes Pizzastück hat einen Mittelpunktswinkel von \(36^\circ\).

Der Mittelpunktswinkel jedes Pizzastücks beträgt \(36^\circ\).

- Die benötigte Länge steht nicht im Aufgabentext; lies sie am eingezeichneten Radius ab. - Wähle anschließend die Umfangsformel, die den Radius direkt verwendet.

1. Aus der Abbildung liest man \(r=4\,\text{cm}\) ab. 2. Für den Umfang gilt \(U=2\pi r\). 3. Damit ist \(U=2\pi\cdot4\,\text{cm}=8\pi\,\text{cm}\).

\(8\pi\,\text{cm}\)

- Überlege, wie Umfang und Durchmesser mathematisch zusammenhängen. - Wie berechnet man den Radius, wenn man den Durchmesser kennt? - Was passiert mit dem Radius, wenn der Umfang bei unverändertem Proportionalitätsfaktor verdoppelt wird?

1. Berechnung des Durchmessers aus dem Umfang: \(d = \frac{U}{\pi} = \frac{15{,}70\,\text{m}}{\pi} \approx 5{,}00\,\text{m}\). 2. Berechnung des neuen Radius: Der neue Umfang beträgt \(U_{\text{neu}} = 2 \cdot 15{,}70\,\text{m} = 31{,}40\,\text{m}\). Der neue Durchmesser ist \(d_{\text{neu}} = \frac{31{,}40\,\text{m}}{\pi} \approx 10{,}00\,\text{m}\). Der neue Radius ist die Hälfte des Durchmessers: \(r_{\text{neu}} \approx 5{,}00\,\text{m}\). 3. Allgemeiner Zusammenhang: Da \(U = 2\pi r\) gilt, ist der Radius direkt proportional zum Umfang. Wenn der Umfang verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der Radius.

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(5{,}00\,\text{m}\). b) Der neue Radius beträgt ca. \(5{,}00\,\text{m}\). c) Wenn der Umfang verdoppelt wird, verdoppelt sich auch der Radius.

- Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer vollständigen Umdrehung zurück? - Bringe Radumfang und Zielstrecke vor der Division in dieselbe Einheit. - Beachte beim Runden die Zusatzbedingung, dass der Roboter nur nach einer vollständigen Umdrehung anhalten kann.

1. Der Radumfang beträgt \(U=\pi d=12\pi\,\text{cm}\approx37{,}70\,\text{cm}\). 2. Die Zielstrecke ist \(75\,\text{m}=7500\,\text{cm}\). 3. Ohne die Bedingung vollständiger Umdrehungen wären \(n=\frac{7500}{12\pi}\approx198{,}94\) Umdrehungen nötig. 4. Da der Roboter nur nach einer vollständigen Umdrehung anhalten kann und die Zielstrecke mindestens erreichen soll, wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet: \(n=199\).

Die Räder müssen mindestens \(199\) vollständige Umdrehungen machen.

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formel verbindet den Umfang mit dem Durchmesser? - Kannst du die Formel für den Umfang so umstellen, dass du den Durchmesser berechnen kannst? - Achte auf die Einheiten in jeder Spalte.

1. Berechnung für a): Durchmesser \(d = 2r = 2 \cdot 5{,}5\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). Umfang \(U = \pi d = \pi \cdot 11\,\text{cm} \approx 34{,}56\,\text{cm}\). 2. Berechnung für b): Radius \(r = d : 2 = 18\,\text{m} : 2 = 9\,\text{m}\). Umfang \(U = \pi d = \pi \cdot 18\,\text{m} \approx 56{,}55\,\text{m}\). 3. Berechnung für c): Durchmesser \(d = U : \pi = 25\,\text{dm} : \pi \approx 7{,}96\,\text{dm}\). Radius \(r = d : 2 \approx 7{,}96\,\text{dm} : 2 \approx 3{,}98\,\text{dm}\).

a) \(d = 11\,\text{cm}\), \(U \approx 34{,}56\,\text{cm}\) b) \(r = 9\,\text{m}\), \(U \approx 56{,}55\,\text{m}\) c) \(d \approx 7{,}96\,\text{dm}\), \(r \approx 3{,}98\,\text{dm}\)

- Prüfe in jeder Tabellenzeile zuerst, welche Kreisgröße direkt aus der gegebenen Größe bestimmt werden kann. - Nutze die Beziehungen zwischen Radius, Durchmesser und Umfang, bevor du den Flächeninhalt berechnest. - Vermeide Zwischenrundungen, wenn ein gerundeter Wert anschließend noch in eine weitere Formel eingeht.

1. Zeile 1: Aus \(r=4\,\text{cm}\) folgt \(d=2r=8\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(U=2\pi r=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}13\,\text{cm}\), der Flächeninhalt ist \(A=\pi r^2=16\pi\,\text{cm}^2\approx50{,}27\,\text{cm}^2\). 2. Zeile 2: Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=U:\pi=31{,}42\,\text{m}:\pi\approx10{,}00\,\text{m}\). Damit ist \(r=d:2\approx5{,}00\,\text{m}\). Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx78{,}56\,\text{m}^2\). 3. Zeile 3: Aus \(d=14\,\text{mm}\) folgt \(r=7\,\text{mm}\). Damit ist \(U=\pi d=14\pi\,\text{mm}\approx43{,}98\,\text{mm}\) und \(A=\pi r^2=49\pi\,\text{mm}^2\approx153{,}94\,\text{mm}^2\).

Zeile 1: \(d=8\,\text{cm}\), \(U\approx25{,}13\,\text{cm}\), \(A\approx50{,}27\,\text{cm}^2\) Zeile 2: \(d\approx10{,}00\,\text{m}\), \(r\approx5{,}00\,\text{m}\), \(A\approx78{,}56\,\text{m}^2\) Zeile 3: \(r=7\,\text{mm}\), \(U\approx43{,}98\,\text{mm}\), \(A\approx153{,}94\,\text{mm}^2\)

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Welche Formel benötigst du, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen? - Wie bestimmst du anschließend die Differenz der beiden Flächeninhalte?

1. Berechnung des Radius für beide Pizzen: \(r_{\text{klein}} = 26\,\text{cm} : 2 = 13\,\text{cm}\) und \(r_{\text{groß}} = 40\,\text{cm} : 2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der kleinen Pizza: \(A_{\text{klein}} = \pi \cdot (13\,\text{cm})^2 \approx 530{,}93\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der großen Pizza: \(A_{\text{groß}} = \pi \cdot (20\,\text{cm})^2 \approx 1256{,}64\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Differenz: \(1256{,}64\,\text{cm}^2 - 530{,}93\,\text{cm}^2 = 725{,}71\,\text{cm}^2\).

Die kleine Pizza hat einen Flächeninhalt von ca. \(530{,}93\,\text{cm}^2\), die große Pizza von ca. \(1256{,}64\,\text{cm}^2\). Die große Pizza ist um ca. \(725{,}71\,\text{cm}^2\) größer.

- Setze den gegebenen Flächeninhalt in die Kreisflächenformel ein und vergleiche beide Seiten. - Überlege, welcher gemeinsame Faktor auf beiden Seiten der Gleichung entfernt werden kann. - Für den Radius kommt nur eine positive Länge infrage. Welche positive Länge besitzt das benötigte Quadrat?

1. Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt \(A=\pi r^2\). 2. Einsetzen des gegebenen Flächeninhalts ergibt \(36\pi\,\text{m}^2=\pi r^2\). 3. Nach dem Kürzen von \(\pi\) folgt \(r^2=36\,\text{m}^2\). 4. Da ein Radius positiv ist und \((6\,\text{m})^2=36\,\text{m}^2\) gilt, ist \(r=6\,\text{m}\).

Der Radius beträgt \(6\,\text{m}\).

- Welche Formel verknüpft den Umfang direkt mit dem Durchmesser? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formel benötigst du für die Fläche eines Kreises?

1. Berechnung des Durchmessers \(d\) aus dem Umfang \(U = 12{,}00\,\text{m}\) mit der Formel \(U = \pi d\): \(d = \frac{12{,}00\,\text{m}}{\pi} \approx 3{,}82\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Radius \(r\): \(r = \frac{d}{2} \approx 1{,}91\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit der Formel \(A = \pi r^2\): \(A = \pi \cdot (1{,}91\,\text{m})^2 \approx 11{,}46\,\text{m}^2\) (oder direkt über \(d\): \(A = \frac{\pi}{4}d^2 \approx 11{,}46\,\text{m}^2\)).

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(3{,}82\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt beträgt ca. \(11{,}46\,\text{m}^2\).

- Welche Größen sind gegeben und welche wird gesucht? - Kennst du eine Formel, die den Flächeninhalt, den Radius und die Bogenlänge miteinander verknüpft? - Versuche, die bekannte Formel so umzustellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht.

1. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors lautet \(A = \frac{1}{2}br\). 2. Umstellen der Formel nach der gesuchten Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{2A}{r}\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte \(A = 24{,}5\,\text{cm}^2\) und \(r = 7\,\text{cm}\): \(b = \frac{2 \cdot 24{,}5\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(b = \frac{49\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}} = 7\,\text{cm}\).

Die Bogenlänge beträgt \(7\,\text{cm}\).

- Überlege, welcher Anteil des vollen Kreisumfangs durch den gegebenen Winkel abgedeckt wird. - Achte genau darauf, ob der Radius oder der Durchmesser gegeben ist. - Wie lautet die Formel für den gesamten Umfang eines Kreises?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Nutzung der Formel \(b = 2\pi r\frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der Werte \(r = 7{,}5\,\text{cm}\) und \(\alpha = 48^\circ\) ergibt \(b = 2 \cdot \pi \cdot 7{,}5 \cdot \frac{48}{360} = 15\pi \cdot \frac{2}{15} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{cm}\). 2. Vorbereitung für Teilaufgabe b): Bestimmung des Radius aus dem Durchmesser \(r = \frac{d}{2} = \frac{1{,}20\,\text{m}}{2} = 0{,}60\,\text{m}\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Einsetzen in die Formel \(b = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}60 \cdot \frac{210}{360} = 1{,}2\pi \cdot \frac{7}{12} = 0{,}7\pi \approx 2{,}20\,\text{m}\).

a) \(b \approx 6{,}28\,\text{cm}\) b) \(b \approx 2{,}20\,\text{m}\)

- Welche Formel verbindet den Umfang eines Kreises mit seinem Durchmesser? - Überlege, wie du die bekannte Formel umstellen kannst, um die gesuchte Größe allein auf einer Seite zu haben. - Was ist in der Aufgabe gegeben und was wird gesucht?

1. Zusammenhang zwischen Umfang \(U\) und Durchmesser \(d\) eines Kreises nutzen: \(U = \pi d\). 2. Die Formel nach dem Durchmesser umstellen: \(d = \frac{U}{\pi}\). 3. Den gegebenen Umfang \(U = 15\,\text{m}\) einsetzen: \(d = \frac{15}{\pi}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(d \approx 4{,}7746\,\text{m}\). 5. Das Beet darf einen maximalen Durchmesser von etwa \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

Das Beet darf einen Durchmesser von höchstens \(4{,}77\,\text{m}\) haben.

- Stell dir vor, du würdest einmal um die ganze Pizza herumlaufen. Wie weit wäre das? - Wenn du die Pizza in 8 gleiche Teile teilst, welchen Bruchteil des gesamten Randes erhält dann jedes Stück? - Könnte dir der Winkel eines Stücks im Zentrum der Pizza weiterhelfen?

1. Berechnung des Gesamtumfangs der Pizza mit \(d = 32\,\text{cm}\): \(U = \pi \cdot 32 \approx 100{,}531\,\text{cm}\). 2. Da die Pizza in 8 gleich große Stücke geteilt wird, entspricht der Rand eines Stücks einem Achtel des Gesamtumfangs. 3. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = \frac{100{,}531}{8} \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 4. Alternativ über den Mittelpunktswinkel: \(\alpha = 360^\circ : 8 = 45^\circ\). Bogenlänge \(b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 32 \approx 12{,}566\,\text{cm}\). 5. Rundung auf eine Dezimalstelle ergibt \(12{,}6\,\text{cm}\).

Der äußere Rand eines Pizzastücks ist etwa \(12{,}6\,\text{cm}\) lang.

- Setze in die gegebene Umfangsformel einmal \(d\) und einmal den veränderten Durchmesser ein. - Vergleiche die beiden Funktionswerte ohne einen konkreten Zahlenwert für \(d\) zu wählen. - Prüfe zusätzlich das Kennzeichen einer direkten Proportionalität über ein konstantes Verhältnis.

1. Für den ursprünglichen Durchmesser gilt \(U(d)=\pi d\). 2. Beim verdoppelten Durchmesser ist \(U(2d)=\pi(2d)=2\pi d=2U(d)\). 3. Außerdem gilt für jeden Durchmesser \(d>0\): \(\frac{U(d)}{d}=\pi\). Der Quotient ist konstant. 4. Damit ist der Umfang direkt proportional zum Durchmesser. Max' Behauptung ist korrekt.

Die Aussage ist korrekt. Es gilt \(U(2d)=2U(d)\) und \(\frac{U(d)}{d}=\pi\); daher ist der Umfang direkt proportional zum Durchmesser.

- Entscheide in jedem Teil zuerst, welche Kreisformel die gegebene Größe direkt mit der gesuchten Zwischengröße verbindet. - In Teil b) kannst du den gemeinsamen Faktor \(\pi\) zunächst aus der Flächengleichung entfernen. - Bestimme erst Radius oder Durchmesser und nutze diese Größe anschließend für die zweite gesuchte Kreisgröße.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r=U:(2\pi)=25{,}13\,\text{cm}:(2\pi)\approx4{,}0\,\text{cm}\). 2. Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx50{,}3\,\text{cm}^2\). 3. b) Aus \(9\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt \(r^2=9\,\text{cm}^2\). Weil ein Radius positiv ist und \((3\,\text{cm})^2=9\,\text{cm}^2\), gilt \(r=3\,\text{cm}\). 4. Damit ist \(d=2r=6\,\text{cm}\) und \(U=\pi d=6\pi\,\text{cm}\approx18{,}8\,\text{cm}\).

a) \(r\approx4{,}0\,\text{cm}\); \(A\approx50{,}3\,\text{cm}^2\) b) \(d=6{,}0\,\text{cm}\); \(U\approx18{,}8\,\text{cm}\)

- Welche Strecke legt ein Rad bei genau einer Umdrehung zurück? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Was bedeutet „volle Umdrehung“ für dein Endergebnis?

1. Den Durchmesser in Meter umrechnen: \(d = 50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}\). 2. Den Umfang des Rades berechnen: \(U = \pi d = \pi \cdot 0{,}5\,\text{m} \approx 1{,}5708\,\text{m}\). 3. Die Anzahl der Umdrehungen durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang ermitteln: \(n = \frac{250\,\text{m}}{1{,}5708\,\text{m}} \approx 159{,}15\). 4. Da nach vollen Umdrehungen gefragt ist, das Ergebnis abrunden: \(159\) Umdrehungen.

Das Rad macht auf der Strecke \(159\) volle Umdrehungen.

- Vergleiche den gegebenen Flächeninhalt mit der Formel \(A=\pi r^2\). - Entferne zunächst den gemeinsamen Faktor \(\pi\) und suche dann eine passende positive Quadratzahl. - Wenn der Radius feststeht, lassen sich Durchmesser und Umfang mit ihren direkten Formeln bestimmen.

1. Aus \(16\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt nach dem Kürzen von \(\pi\), dass \(r^2=16\,\text{cm}^2\) gilt. 2. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2\), ist \(r=4\,\text{cm}\). 3. Der Durchmesser ist \(d=2r=8\,\text{cm}\). 4. Der Umfang ist \(U=2\pi r=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}1\,\text{cm}\).

\(r=4\,\text{cm}\) \(d=8\,\text{cm}\) \(U=8\pi\,\text{cm}\approx25{,}1\,\text{cm}\)

- Überlege zuerst, wie man die Fläche eines Quadrats berechnet. - Wie hängen der Durchmesser und der Radius eines Kreises zusammen? - Welche Formel benötigst du für die Fläche eines Kreises? - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Flächeninhalte direkt miteinander.

1. Berechnung der Fläche der quadratischen Pizza mit der Formel \(A_q = a^2\): \(A_q = (26\,\text{cm})^2 = 676\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Radius der runden Pizza: \(r = \frac{d}{2} = \frac{30\,\text{cm}}{2} = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Fläche der runden Pizza mit der Formel \(A_k = \pi r^2\): \(A_k = \pi \cdot (15\,\text{cm})^2 \approx 3{,}14159 \cdot 225\,\text{cm}^2 \approx 706{,}86\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(706{,}86\,\text{cm}^2 > 676\,\text{cm}^2\), bietet die runde Pizza eine größere Fläche.

Die runde Pizza bietet mit ca. \(706{,}86\,\text{cm}^2\) mehr Fläche als die quadratische Pizza mit \(676\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Welche Formeln verbinden den Radius mit dem Umfang und dem Flächeninhalt? - Wenn der Umfang gegeben ist, welche Kreisgröße kannst du daraus zuerst bestimmen?

1. Kreis A: \(d=2r=9\,\text{cm}\), \(U=2\pi r\approx28{,}26\,\text{cm}\) und \(A=\pi r^2\approx63{,}59\,\text{cm}^2\). 2. Kreis B: \(r=d:2=6\,\text{dm}\), \(U=\pi d\approx37{,}68\,\text{dm}\) und \(A=\pi r^2\approx113{,}04\,\text{dm}^2\). 3. Kreis C: \(d=U:\pi=5\,\text{m}\), \(r=d:2=2{,}5\,\text{m}\) und \(A=\pi r^2\approx19{,}63\,\text{m}^2\).

Kreis A: \(d=9\,\text{cm}\), \(U\approx28{,}26\,\text{cm}\), \(A\approx63{,}59\,\text{cm}^2\) Kreis B: \(r=6\,\text{dm}\), \(U\approx37{,}68\,\text{dm}\), \(A\approx113{,}04\,\text{dm}^2\) Kreis C: \(r=2{,}5\,\text{m}\), \(d=5\,\text{m}\), \(A\approx19{,}63\,\text{m}^2\)

- Wie lauten die Grundformeln für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises? - Was passiert in einer Formel mit einem Wert, wenn dieser quadriert wird? - Kannst du die Radien zueinander ins Verhältnis setzen?

1. Berechnung der Umfänge mit der Formel \(U = 2\pi r\): - Kleiner Spiegel: \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 12\,\text{cm} \approx 75{,}40\,\text{cm}\) - Großer Spiegel: \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 24\,\text{cm} \approx 150{,}80\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Flächeninhalte mit der Formel \(A = \pi r^2\): - Kleiner Spiegel: \(A_1 = \pi \cdot (12\,\text{cm})^2 = 144\pi\,\text{cm}^2 \approx 452{,}39\,\text{cm}^2\) - Großer Spiegel: \(A_2 = \pi \cdot (24\,\text{cm})^2 = 576\pi\,\text{cm}^2 \approx 1809{,}56\,\text{cm}^2\) 3. Vergleich der Flächeninhalte: - Berechnung des Faktors: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{576\pi}{144\pi} = 4\) - Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da der Radius in der Formel quadratisch eingeht: \((2r)^2 = 4r^2\).

a) \(U_1 \approx 75{,}40\,\text{cm}\); \(U_2 \approx 150{,}80\,\text{cm}\) b) \(A_1 \approx 452{,}39\,\text{cm}^2\); \(A_2 \approx 1809{,}56\,\text{cm}^2\) c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Forme die Flächenformel zunächst so um, dass das Quadrat des Radius allein steht. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Nutze den Radius anschließend in der Umfangsformel und runde erst am Ende.

1. Aus \(A=\pi r^2\) folgt \(r^2=A:\pi=50{,}27\,\text{m}^2:\pi\approx16{,}00\,\text{m}^2\). 2. Da der Radius positiv ist und \((4{,}00\,\text{m})^2=16{,}00\,\text{m}^2\), beträgt der Radius näherungsweise \(r\approx4{,}00\,\text{m}\). 3. Ohne Zwischenrundung ergibt sich für den Umfang \(U=2\pi r\approx25{,}13\,\text{m}\).

\(r\approx4{,}00\,\text{m}\) \(U\approx25{,}13\,\text{m}\)

- Bestimme in beiden Teilaufgaben zuerst den Radius als gemeinsame Zwischengröße. - In Teil a) verbindet die Umfangsformel die gegebene Größe direkt mit dem Radius. - In Teil b) kannst du den Faktor \(\pi\) aus der Flächengleichung entfernen und eine bekannte positive Quadratzahl nutzen.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r=31{,}4\,\text{cm}:(2\pi)\approx5{,}0\,\text{cm}\). Ohne Zwischenrundung ergibt sich \(A=\pi r^2\approx78{,}5\,\text{cm}^2\). 2. b) Aus \(25\pi\,\text{cm}^2=\pi r^2\) folgt \(r^2=25\,\text{cm}^2\). Da \((5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\), ist \(r=5\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(U=2\pi r=10\pi\,\text{cm}\approx31{,}4\,\text{cm}\).

a) \(A\approx78{,}5\,\text{cm}^2\) b) \(U=10\pi\,\text{cm}\approx31{,}4\,\text{cm}\)

- Überlege, wie der Radius mit dem Durchmesser zusammenhängt. - Welche Formel benötigst du für die Linie um den Kreis herum? - Welche Formel berechnet den Inhalt der Kreisfläche?

1. Berechnung des Umfangs: Mit dem Durchmesser \(d = 4{,}80\,\text{m}\) ergibt sich \(U = \pi d = \pi \cdot 4{,}80\,\text{m} \approx 15{,}08\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Zuerst Bestimmung des Radius \(r = \frac{d}{2} = 2{,}40\,\text{m}\). Dann Anwendung der Formel \(A = \pi r^2 = \pi \cdot (2{,}40\,\text{m})^2 \approx 18{,}10\,\text{m}^2\).

a) Der Umfang beträgt ca. \(15{,}08\,\text{m}\). b) Die Fläche beträgt ca. \(18{,}10\,\text{m}^2\).

- Bestimme aus der Flächenformel zunächst das Quadrat des Radius. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Nutze den gefundenen Radius anschließend in der Umfangsformel.

1. Mit \(A=\pi r^2\) gilt \(200{,}96\,\text{cm}^2=3{,}14r^2\). 2. Daraus folgt \(r^2=200{,}96\,\text{cm}^2:3{,}14=64\,\text{cm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((8\,\text{cm})^2=64\,\text{cm}^2\), ist \(r=8\,\text{cm}\). 4. Der Umfang beträgt \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot8\,\text{cm}=50{,}24\,\text{cm}\).

\(U=50{,}24\,\text{cm}\)

- Welche Rechenoperation musst du laut der Formel zuerst ausführen? - Achte darauf, den Durchmesser korrekt zu quadrieren, bevor du weiterrechnest. - Was bedeutet es für die Ziffer nach dem Komma, wenn die darauffolgende Ziffer eine 4 oder eine 6 ist? - Setze die gegebenen Werte für \(d\) nacheinander in die Formel ein.

1. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 8\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 8^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 64}{4} = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24 \approx 50{,}2\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 20\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 20^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 400}{4} = 3{,}14 \cdot 100 = 314{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 30\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 30^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 900}{4} = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts für \(d = 44\,\text{cm}\): \(A = \frac{3{,}14 \cdot 44^2}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 1936}{4} = 3{,}14 \cdot 484 = 1519{,}76 \approx 1519{,}8\,\text{cm}^2\).

Die gesuchten Flächeninhalte sind \(50{,}2\,\text{cm}^2\), \(314{,}0\,\text{cm}^2\), \(706{,}5\,\text{cm}^2\) und \(1519{,}8\,\text{cm}^2\).

- Gesucht sind Punkte, die zugleich auf der Kreislinie und auf der gestrichelten Geraden liegen. - Für alle Punkte der Geraden \(y=6\) ist die zweite Koordinate schon festgelegt. - Lies an den beiden Schnittstellen nur noch die erste Koordinate ab.

1. Beide Schnittpunkte liegen auf der Geraden \(y=6\), also haben sie die zweite Koordinate \(6\). 2. Aus dem Diagramm liest man die beiden zugehörigen \(x\)-Koordinaten \(8\) und \(-8\) ab. 3. Damit lauten die Schnittpunkte \((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\).

\((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\)

- Welche Bedeutung haben die Strecken vom Kreismittelpunkt zu Punkten auf dem Kreis? - Vergleiche diese beiden Strecken mit der in der Aufgabe beschriebenen Sehne. - Welche Dreiecksart ergibt sich aus dieser Seitenbeziehung?

1. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) sind Radien desselben Kreises. Daher gilt \(MA=MB=r\). 2. Nach der Aufgabenstellung gilt außerdem \(AB=r\). 3. Somit hat \(\triangle ABM\) drei gleich lange Seiten und ist gleichseitig. 4. In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel \(60^\circ\). Daher gilt \(\angle AMB=60^\circ\).

\(\angle AMB=60^\circ\), denn \(MA=MB=AB=r\) und damit ist \(\triangle ABM\) gleichseitig.

- Welche besondere Lage haben Radius und Tangente im Berührpunkt? - Welchen Winkel kannst du dadurch bei \(B\) bestimmen? - Nutze anschließend die Innenwinkelsumme des Dreiecks \(OBA\).

1. Da \(AB\) eine Tangente im Punkt \(B\) ist, steht der Radius \(OB\) senkrecht auf \(AB\). Somit gilt \(\angle OBA=90^\circ\). 2. Die Innenwinkelsumme im Dreieck \(OBA\) beträgt \(180^\circ\). 3. Daher ist \(\angle AOB=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\).

\(\angle AOB=58^\circ\)

- Wie hängen die Längen von Kreisbögen mit ihren Mittelpunktswinkeln zusammen? - Wie viele Anteile gibt es insgesamt im Verhältnis \(3 : 4 : 5\)? - Wie viel Grad entspricht ein einzelner Anteil, wenn die Summe aller Winkel \(360^\circ\) ergibt?

1. Das Verhältnis der Bogenlängen \(3 : 4 : 5\) entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Mittelpunktswinkel. 2. Die Summe der Verhältnisanteile ist \(3 + 4 + 5 = 12\). 3. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Ein Anteil entspricht daher \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). 4. Die drei Winkel betragen demnach: \(3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\), \(4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\) und \(5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Der größte Mittelpunktswinkel ist \(150^\circ\).

Der größte Mittelpunktswinkel beträgt \(150^\circ\).

- Der Rand des Kreisrings besteht aus zwei vollständigen Kreislinien. - Lies für beide Kreislinien den jeweiligen Radius aus der Abbildung ab. - Berechne beide Randlängen getrennt und addiere sie erst anschließend.

1. Der äußere Kreisrand hat die Länge \(2\pi \cdot 5\,\text{cm}=10\pi\,\text{cm}\). 2. Der innere Kreisrand hat die Länge \(2\pi \cdot 3\,\text{cm}=6\pi\,\text{cm}\). 3. Zusammen ergibt sich \(16\pi\,\text{cm}\approx50{,}27\,\text{cm}\).

\(16\pi\,\text{cm}\approx50{,}27\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst den ursprünglichen Umfang. - Überlege, wie sich die Änderung des Umfangs auf die Formel auswirkt. - Schau dir die Formel für den Umfang genau an: Welche Teile sind konstant und welche können sich ändern?

1. Umfangsberechnung: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 20\,\text{cm} \approx 125{,}66\,\text{cm}\). 2. Zunahme des Radius: Die Differenz der Umfänge ist \(\Delta U = 10\,\text{cm}\). Aus \(\Delta U = 2\pi \Delta r\) folgt \(\Delta r = \frac{10\,\text{cm}}{2\pi} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Abhängigkeit vom Ausgangsradius: Die Formel für die Radiusänderung \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) enthält keinen Term für den ursprünglichen Radius \(r\). Somit ist die Zunahme des Radius nur von der absoluten Änderung des Umfangs abhängig und bleibt gleich, egal wie groß der Ring vorher war.

a) Der Umfang beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}\). b) Der Radius nimmt um ca. \(1{,}59\,\text{cm}\) zu. c) Nein, die Zunahme bleibt gleich, da \(\Delta r = \frac{\Delta U}{2\pi}\) unabhängig vom Ausgangsradius \(r\) ist.

- Wie groß ist der Radius der äußeren Bahn im Vergleich zur inneren? - Was bedeutet es für die Startposition, wenn eine Bahn länger ist als die andere? - Kannst du den Unterschied der Umfänge berechnen, ohne beide Umfänge einzeln zu bestimmen?

1. Umfang Innenbahn: \(U_i = 2 \cdot \pi \cdot 36\,\text{m} \approx 226{,}19\,\text{m}\). 2. Radius Außenbahn: \(r_a = 36\,\text{m} + 1{,}22\,\text{m} = 37{,}22\,\text{m}\). 3. Umfang Außenbahn: \(U_a = 2 \cdot \pi \cdot 37{,}22\,\text{m} \approx 233{,}86\,\text{m}\). 4. Längendifferenz: \(\Delta U = U_a - U_i \approx 233{,}86\,\text{m} - 226{,}19\,\text{m} = 7{,}67\,\text{m}\). Alternativ direkt über die Differenz der Radien: \(\Delta U = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}22\,\text{m} \approx 7{,}67\,\text{m}\). 5. Der Vorsprung muss genau dieser Differenz entsprechen, damit die Gesamtlänge der Strecke identisch ist: \(7{,}67\,\text{m}\).

a) Die innere Runde ist ca. \(226{,}19\,\text{m}\) lang. b) Die äußere Runde ist ca. \(7{,}67\,\text{m}\) länger. c) Der Läufer auf der äußeren Bahn benötigt einen Vorsprung von ca. \(7{,}67\,\text{m}\).

- Wie hängen Radius und Umfang zusammen? - Achte auf die Einheiten, besonders wenn Zentimeter und Meter in einer Aufgabe vorkommen. - Was bedeutet „eine volle Umdrehung“ für die zurückgelegte Strecke? - Überlege, wie du die Anzahl der Umdrehungen berechnest, wenn die Gesamtlänge und der Radumfang bekannt sind.

1. Berechnung des Umfangs des Vorderrads: \(U_1 = 2\pi r_1 = 2 \cdot \pi \cdot 28\,\text{cm} \approx 175{,}93\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads: \(U_2 = U_1 - 25\,\text{cm} \approx 150{,}93\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Radius des Hinterrads: \(r_2 = \frac{U_2}{2\pi} \approx 24{,}02\,\text{cm}\). 4. Anzahl der Umdrehungen auf \(100\,\text{m} = 10\,000\,\text{cm}\): Vorderrad: \(n_1 = \frac{10000}{175{,}93} \approx 56{,}84\), also \(56\) vollständig abgeschlossene Umdrehungen. Hinterrad: \(n_2 = \frac{10000}{150{,}93} \approx 66{,}26\), also \(66\) vollständig abgeschlossene Umdrehungen. 5. Differenz: \(66 - 56 = 10\) Umdrehungen.

a) Der Umfang des Vorderrads beträgt ca. \(175{,}93\,\text{cm}\). b) Der Radius des Hinterrads beträgt ca. \(24{,}02\,\text{cm}\). c) Das Vorderrad schließt \(56\), das Hinterrad \(66\) volle Umdrehungen ab. Die Anzahlen unterscheiden sich um \(10\) Umdrehungen.

- Skizziere die Situation mit zwei konzentrischen Kreisen. - Wie verändert sich der Radius, wenn ein Weg um den Pool angelegt wird? - Untersuche die Formel für den Umfangsunterschied zweier Kreise mathematisch. - Spielt die Größe des inneren Kreises eine Rolle, wenn man nur die Differenz der Umfänge betrachtet?

1. Durchmesser des Pools: \(d_1 = \frac{U_1}{\pi} = \frac{18{,}85\,\text{m}}{\pi} \approx 6{,}00\,\text{m}\). 2. Radius des Pools: \(r_1 = \frac{d_1}{2} \approx 3{,}00\,\text{m}\). 3. Radius der äußeren Begrenzung: \(r_2 = r_1 + 1{,}20\,\text{m} \approx 4{,}20\,\text{m}\). 4. Äußerer Umfang: \(U_2 = 2\pi r_2 \approx 26{,}39\,\text{m}\). 5. Bei doppelter Wegbreite beträgt der Außenradius \(r_3 = r_1 + 2{,}40\,\text{m}\), also \(U_3 \approx 33{,}93\,\text{m}\). Gegenüber dem Weg aus Teil b) wächst der Umfang um \(U_3-U_2 \approx 33{,}93-26{,}39 = 7{,}54\,\text{m}\). 6. Allgemein gilt bei einer ursprünglichen Wegbreite \(b\): \(2\pi(r+2b)-2\pi(r+b)=2\pi b\). Die Zunahme hängt daher nicht vom Poolradius ab.

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(6{,}00\,\text{m}\). b) Der äußere Umfang beträgt ca. \(26{,}39\,\text{m}\). c) Beim Verdoppeln der Wegbreite von \(1{,}20\,\text{m}\) auf \(2{,}40\,\text{m}\) vergrößert sich der äußere Umfang um ca. \(7{,}54\,\text{m}\). Diese Zunahme ist unabhängig vom ursprünglichen Pooldurchmesser.

- Wenn der Umfang mit einem Faktor multipliziert wird, was passiert dann mit dem Radius? - Erinnere dich an die Formeln für Umfang und Flächeninhalt. - Setze die Formeln ins Verhältnis, um zu sehen, welche Werte sich kürzen lassen. - Wie verändern sich Längen und Flächen allgemein, wenn eine Figur vergrößert wird?

1. Umfang Kreis 1: \(U_1 = \pi d_1 = \pi \cdot 12\,\text{cm} \approx 37{,}70\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt Kreis 1: \(A_1 = \pi \cdot (\frac{d_1}{2})^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 3. Umfang Kreis 2: \(U_2 = 2{,}5U_1 = 2{,}5 \cdot 12\pi = 30\pi \approx 94{,}25\,\text{cm}\). 4. Radius Kreis 2: \(r_2 = \frac{U_2}{2\pi} = \frac{30\pi}{2\pi} = 15\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt Kreis 2: \(A_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \approx 706{,}86\,\text{cm}^2\). 6. Verhältnis der Flächen: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{225\pi}{36\pi} = 6{,}25\). 7. Zusammenhang: Wenn der Umfang (und damit der Radius) um den Faktor \(k\) wächst, wächst der Flächeninhalt um den Faktor \(k^2\). Hier ist \(2{,}5^2 = 6{,}25\).

a) \(U_1 \approx 37{,}70\,\text{cm}\); \(A_1 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). b) \(r_2 = 15\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt des zweiten Kreises ist \(6{,}25\)-mal so groß wie der des ersten. Der Flächenfaktor ist das Quadrat des Umfangsfaktors: \(2{,}5^2 = 6{,}25\).

- Beide Räder legen die exakt gleiche Strecke auf dem Boden zurück. - Kannst du zuerst die Gesamtlänge der gefahrenen Strecke bestimmen? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn der Durchmesser gegeben ist?

1. Berechnung der zurückgelegten Gesamtstrecke \(s\) mit dem Umfang des Vorderrads \(U_V = 4{,}20\,\text{m}\) und der Anzahl der Umdrehungen \(n_V = 120\): \(s = 120 \cdot 4{,}20\,\text{m} = 504\,\text{m}\). 2. Berechnung des Umfangs des Hinterrads \(U_H\) mit dem Durchmesser \(d_H = 35\,\text{cm} = 0{,}35\,\text{m}\): \(U_H = \pi \cdot 0{,}35\,\text{m} \approx 1{,}09956\,\text{m}\). 3. Berechnung der Anzahl der Umdrehungen des Hinterrads \(n_H\) durch Division der Gesamtstrecke durch den Umfang des Hinterrads: \(n_H = \frac{504\,\text{m}}{1{,}09956\ldots\,\text{m}} \approx 458{,}37\). 4. Rundung auf eine ganze Zahl ergibt \(458\).

Das kleine Hinterrad dreht sich etwa \(458\)-mal.

- Berechne zuerst alle Maße für den ersten Kreis. - Wie groß ist der Durchmesser des zweiten Kreises, wenn er das Dreifache des ersten ist? - Vergleiche die beiden Flächeninhalte, indem du sie dividierst. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn sich der Radius verdreifacht? Denke an das Quadrat in der Formel.

1. Kreis 1: \(d_1 = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_1 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 2. Kreis 2: \(d_2 = 3 \cdot 12\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). Radius \(r_2 = 18\,\text{cm}\). 3. Umfang Kreis 2: \(U_2 = \pi \cdot 36\,\text{cm} \approx 113{,}10\,\text{cm}\). 4. Flächeninhalt Kreis 2: \(A_2 = \pi \cdot (18\,\text{cm})^2 = 324\pi\,\text{cm}^2 \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2\). 5. Verhältnis: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{324\pi}{36\pi} = 9\). Der Flächeninhalt ist 9-mal so groß.

a) \(U_2 \approx 113{,}10\,\text{cm}\), \(A_2 \approx 1017{,}88\,\text{cm}^2\) b) Das Verhältnis beträgt \(9\). Der Flächeninhalt von Kreis 2 ist 9-mal so groß wie der von Kreis 1.

- Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Wie berechnest du, wie viel Fläche man für einen einzigen Euro bekommt? - Vergleiche die Ergebnisse für beide Angebote.

1. Bestimmung der Radien: \(r_1 = 13\,\text{cm}\) und \(r_2 = 16\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_1 = \pi \cdot 13^2 \approx 530{,}93\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = \pi \cdot 16^2 \approx 804{,}25\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Fläche pro Euro: Für die kleine Pizza \(530{,}93 : 7{,}50 \approx 70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\), für die große Pizza \(804{,}25 : 11{,}00 \approx 73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\). 4. Vergleich: Die größere Pizza bietet pro ausgegebenem Euro mehr Fläche.

Die Pizza mit \(32\,\text{cm}\) Durchmesser bietet mehr Fläche pro Euro (ca. \(73{,}11\,\text{cm}^2/\text{€}\) im Vergleich zu \(70{,}79\,\text{cm}^2/\text{€}\)).

- Wie kann man die Fläche eines Rings aus zwei Kreisen zusammensetzen? - Stell dir vor, du schneidest den kleinen Kreis aus dem großen Kreis aus. - Gilt die Regel zur Flächenänderung bei Radiusverdopplung auch für zusammengesetzte Flächen?

1. Berechnung der Ringfläche als Differenz der Flächen des äußeren und inneren Kreises: \(A = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2)\). 2. Einsetzen der Werte: \(A = \pi \cdot (8^2 - 5^2) = \pi \cdot (64 - 25) = 39\pi \approx 122{,}52\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung mit verdoppelten Radien (\(r_{a,\text{neu}} = 16\,\text{cm}\), \(r_{i,\text{neu}} = 10\,\text{cm}\)): \(A_{\text{neu}} = \pi \cdot (16^2 - 10^2) = \pi \cdot (256 - 100) = 156\pi \approx 490{,}09\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnisbildung: \(156\pi : 39\pi = 4\). Die Fläche vervierfacht sich.

a) Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt ca. \(122{,}52\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Stelle dir die Laufbahn als einen Ring vor. Wie berechnet man die Fläche eines Rings? - Wie hängen der Innenradius und der Außenradius mit der Breite der Bahn zusammen? - Kannst du zuerst den Radius des inneren Kreises bestimmen?

1. Bestimmung des inneren Radius \(r_i\) aus \(U_i = 300\,\text{m}\): \(r_i = \frac{300}{2\pi} \approx 47{,}75\,\text{m}\). 2. Der äußere Radius ist \(r_a = r_i + 4\,\text{m}\). 3. Ohne Zwischenrundung erhält man \(A_i = \pi r_i^2 \approx 7161{,}97\,\text{m}^2\) und \(A_a = \pi r_a^2 \approx 8412{,}24\,\text{m}^2\). 4. Die Laufbahnfläche beträgt \(A_{\text{Bahn}} = A_a-A_i \approx 1250{,}27\,\text{m}^2\). 5. Auf ganze Quadratmeter gerundet sind das \(\approx 1250\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Laufbahn beträgt \(\approx 1250\,\text{m}^2\).

- Was bedeutet die Drahtlänge für den Umfang der beiden Formen? - Berechne zuerst die notwendigen Maße (Seitenlänge bzw. Radius) für beide Formen einzeln. - Wie berechnet man, um wie viel Prozent ein Wert größer ist als ein Grundwert?

1. Quadrat: Der Umfang ist \(U_Q = 120\,\text{cm}\). Die Seitenlänge ist \(a = \frac{120}{4} = 30\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_Q = 30^2 = 900\,\text{cm}^2\). 2. Kreis: Der Umfang ist \(U_K = 120\,\text{cm}\). Der Radius ist \(r = \frac{120}{2 \cdot \pi} \approx 19{,}0986\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_K = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{60}{\pi}\right)^2 = \frac{3600}{\pi} \approx 1145{,}92\,\text{cm}^2\). 3. Prozentualer Vergleich: Differenz \(A_K - A_Q \approx 1145{,}92 - 900 \approx 245{,}92\,\text{cm}^2\). 4. Prozentsatz berechnen: \(\frac{245{,}92}{900} \cdot 100 \approx 27{,}32\,\%\).

a) Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von \(900\,\text{cm}^2\), für den Kreis gilt \(A_K \approx 1145{,}9\,\text{cm}^2\). b) Die Fläche des Kreises ist um \(\approx 27{,}3\,\%\) größer als die des Quadrats.

- Schreibe zuerst den Flächeninhalt von \(K_1\) mit der Kreisflächenformel auf. - Übertrage die angegebenen Flächenfaktoren auf den Ausdruck \(\pi r^2\) und achte dabei besonders auf das Quadrat des Radius. - In Teil b) wird am Ende der Durchmesser verlangt. Prüfe, welche Kreisgröße du unmittelbar davor bestimmt hast.

1. Für \(K_1\) gilt \(A_1=\pi(3\,\text{cm})^2=9\pi\,\text{cm}^2\). 2. a) Damit ist \(A_2=4A_1=36\pi\,\text{cm}^2\). Also muss \(r_2^2=36\,\text{cm}^2\) gelten. Da der Radius positiv ist und \((6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2\), folgt \(r_2=6\,\text{cm}\). 3. b) Für \(K_3\) gilt \(A_3=\frac{1}{9}A_2=4\pi\,\text{cm}^2\). Daher ist \(r_3^2=4\,\text{cm}^2\) und somit \(r_3=2\,\text{cm}\). 4. Der Durchmesser ist \(d_3=2r_3=4\,\text{cm}\).

a) \(r_2=6\,\text{cm}\) b) \(d_3=4\,\text{cm}\)

- Stell dir vor, du hast eine große Kreisscheibe und schneidest in der Mitte einen kleineren Kreis aus. Wie viel Fläche bleibt übrig? - Achte genau darauf, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. - Du kannst die Flächen der beiden Kreise einzeln berechnen und dann voneinander abziehen.

1. Die Fläche eines Kreisrings berechnet sich aus der Differenz der Flächeninhalte des äußeren und des inneren Kreises: \(A_{\text{Ring}} = A_a - A_i = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2)\). 2. Berechnung für a): \(A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = \pi \cdot (100 - 36) = 64\pi \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\). 3. Vorbereitung für b): Bestimmung des inneren Radius \(r_i = d_i : 2 = 14\,\text{m} : 2 = 7\,\text{m}\). 4. Berechnung für b): \(A = \pi \cdot (9^2 - 7^2) = \pi \cdot (81 - 49) = 32\pi \approx 100{,}53\,\text{m}^2\).

a) \(A \approx 201{,}06\,\text{cm}^2\) b) \(A \approx 100{,}53\,\text{m}^2\)

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn man den Durchmesser verdoppelt? - Vergleiche, um welchen Faktor die Fläche wächst und um welchen Faktor der Preis steigt. - Denk an das Verhältnis von Radius zu Fläche.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Durchmesser: \(d_2 : d_1 = 40\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 2\). Der Durchmesser (und damit der Radius) verdoppelt sich. 2. Anwendung des quadratischen Zusammenhangs beim Flächeninhalt: Da \(A \sim r^2\), führt eine Verdopplung des Radius zu einer Vervierfachtung des Flächeninhalts (\(2^2 = 4\)). 3. Vergleich der Preissteigerung: Der Preis steigt von \(6{,}00\,\text{€}\) auf \(18{,}00\,\text{€}\), was einer Verdreifachung entspricht (\(18 : 6 = 3\)). 4. Schlussfolgerung: Da man für den dreifachen Preis die vierfache Pizza-Fläche erhält, bietet die große Pizza das bessere Preis-Leistungs-Verhältnis.

Bei der großen Pizza erhält man mehr Fläche pro Euro. Da sich der Durchmesser verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt. Da der Preis jedoch nur auf das Dreifache gestiegen ist, ist die große Pizza im Verhältnis günstiger.

- Bestimme zunächst nur das Verhältnis der beiden Umfänge, nicht ihre Radien. - Überlege mit \(U=2\pi r\), welches Verhältnis die Radien dann haben müssen. - Prüfe mit \(A=\pi r^2\), wie derselbe Radiusfaktor auf das Verhältnis der Flächen wirkt.

1. Das Verhältnis der Umfänge beträgt \(\frac{100}{80}=1{,}25\). 2. Wegen \(U=2\pi r\) haben die Radien dasselbe Verhältnis. Der Radius von Pizza B ist also \(1{,}25\)-mal so groß wie der von Pizza A. 3. Mit \(A=\pi r^2\) ergibt sich für die Flächen das Verhältnis \(1{,}25^2=1{,}5625\). 4. Die prozentuale Zunahme beträgt \((1{,}5625-1)\cdot100\,\%=56{,}25\,\%\). 5. Die Radien müssen nicht einzeln berechnet werden, weil die Umfangsformel den Radiusfaktor direkt liefert und die Flächenformel zeigt, dass dieser Faktor für die Fläche quadriert wird.

Die Fläche von Pizza B ist um \(56{,}25\,\%\) größer als die Fläche von Pizza A. Das Ergebnis folgt direkt aus \(U=2\pi r\) und \(A=\pi r^2\), ohne die beiden Radien einzeln auszurechnen.

- Welche Formeln verknüpfen den Radius und die Bogenlänge mit dem Winkel? - Gibt es eine Formel für den Flächeninhalt, die direkt die Bogenlänge nutzt? - Überlege, welcher Bruchteil des gesamten Kreisumfangs die Bogenlänge ist.

1. Berechnung des Mittelpunktswinkels \(\alpha\): Aus der Formel für die Bogenlänge \(b = \frac{\alpha}{360^\circ}2\pi r\) folgt durch Umstellen \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi r}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\alpha = \frac{12 \cdot 360}{2\pi \cdot 15} = \frac{144^\circ}{\pi} \approx 45{,}84^\circ\). 2. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): Unter Verwendung der Formel \(A = \frac{1}{2}br\) ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). Alternativ führt die Formel \(A = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\) mit dem berechneten Winkel zum gleichen Ergebnis.

Der Mittelpunktswinkel beträgt \(\alpha \approx 45{,}84^\circ\) und der Flächeninhalt ist \(A = 90\,\text{cm}^2\).

- Schau dir die Formeln für die Bogenlänge und den Flächeninhalt genau an. - Welche Variable steht im Quadrat und welche nicht? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor mit einer Zahl multipliziert?

Wegen \(0^\circ<\alpha<120^\circ\) gilt nach der Verdreifachung \(0^\circ<3\alpha<360^\circ\), sodass weiterhin ein gewöhnlicher Kreissektor vorliegt. 1. Analyse für Fall a): In den Formeln \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r\) und \(A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2\) ist \(\alpha\) jeweils ein linearer Faktor. Wird \(\alpha\) verdreifacht (\(3\alpha\)), so verdreifachen sich sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\). 2. Analyse für Fall b): In der Formel für \(b\) ist \(r\) ein linearer Faktor. Eine Verdopplung von \(r\) führt zu einer Verdopplung von \(b\). In der Formel für \(A\) tritt \(r\) quadratisch auf (\(r^2\)). Wird \(r\) verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt (\((2r)^2 = 4r^2\)).

a) Sowohl die Bogenlänge \(b\) als auch der Flächeninhalt \(A\) verdreifachen sich. b) Die Bogenlänge \(b\) verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt \(A\) vervierfacht.

- Berechne zuerst den aktuellen Flächeninhalt mit den gegebenen Maßen. - Betrachte die Formel genau: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine der Zahlen in der Multiplikation verdoppelst? - Du kannst den neuen Flächeninhalt auch einfach testweise mit dem neuen Radius ausrechnen.

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{1}{2}br\). 2. Einsetzen von \(r = 12\,\text{m}\) und \(b = 15\,\text{m}\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 90\,\text{m}^2\). 3. Analyse der Veränderung: Da in der Formel \(A = \frac{1}{2}br\) der Radius \(r\) linear eingeht, führt eine Verdopplung von \(r\) (bei konstantem \(b\)) zu einer Verdopplung des Flächeninhalts. 4. Überprüfung durch Rechnung: \(A_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{m} \cdot 24\,\text{m} = 180\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(90\,\text{m}^2\). Bei Verdopplung des Radius (Reichweite) verdoppelt sich auch der Flächeninhalt auf \(180\,\text{m}^2\).

- Der Flächeninhalt lässt sich direkt aus dem Radius und der Bogenlänge berechnen. - Für den Winkel musst du die Beziehung zwischen dem Teil des Bogens und dem gesamten Umfang des Kreises nutzen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Bogenlänge, in der der Winkel vorkommt.

1. Gegeben sind \(r = 10\,\text{cm}\) und \(b = 10\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2}br = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Mittelpunktswinkels \(\alpha\) mit der Formel für die Bogenlänge \(b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r\). 4. Umstellen nach \(\alpha\): \(\alpha = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi r} = \frac{10\,\text{cm} \cdot 360^\circ}{20 \cdot \pi\,\text{cm}} = \frac{180^\circ}{\pi}\). 5. Numerische Berechnung: \(\alpha \approx 57{,}3^\circ\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Mittelpunktswinkel beträgt ungefähr \(57{,}3^\circ\).

- Kannst du die bekannte Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Schau dir das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenlänge an: Wenn der Winkel größer wird, was passiert bei gleichem Radius mit dem Bogen? - In welchem Verhältnis stehen Radius und Winkel zueinander, wenn das Ergebnis der Multiplikation gleich bleiben soll?

1. Umstellen der Formel für die Bogenlänge \(b = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}\) nach dem Radius: \(r = \frac{b \cdot 360^\circ}{2\pi \alpha}\). 2. Einsetzen der Werte für a): \(r = \frac{15{,}7 \cdot 360}{2 \cdot \pi \cdot 90} = \frac{15{,}7 \cdot 2}{\pi} \approx 9{,}995\,\text{cm}\). Gerundet ergibt sich \(r \approx 10{,}0\,\text{cm}\). 3. Logische Begründung für b): Da die Bogenlänge proportional zum Produkt aus Radius und Winkel ist (\(b \sim r\alpha\)), muss bei einer Verdopplung des Winkels der Radius halbiert werden, damit das Produkt und somit die Bogenlänge konstant bleibt. Der neue Radius betrüge also \(5{,}0\,\text{cm}\).

a) \(r \approx 10{,}0\,\text{cm}\) b) Der Radius müsste halbiert werden (auf \(5{,}0\,\text{cm}\)), da sich bei doppeltem Winkel und halbem Radius die Änderungen gegenseitig aufheben.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors. - Wie hängen der Flächenanteil und der Winkelanteil am Vollkreis zusammen? - Gibt es eine Formel, die die Bogenlänge direkt mit dem Flächeninhalt verbindet?

1. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Nutzung der Flächenformel \(A_s = \pi r^2 \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der Werte: \(25 = \pi \cdot 5^2 \cdot \frac{\alpha}{360}\). Vereinfachen zu \(25 = 25\pi \cdot \frac{\alpha}{360}\), woraus folgt \(1 = \pi \cdot \frac{\alpha}{360}\). Damit ist \(\alpha = \frac{360^\circ}{\pi} \approx 114{,}59^\circ\). 2. Berechnung der Bogenlänge \(b\): \(b = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen des exakten Winkels: \(b = 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{360^\circ/\pi}{360^\circ} = 10\,\text{cm}\). 3. Überprüfung der Beziehung: Einsetzen in \(A_s = \frac{1}{2}br\) ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25\). Dies entspricht dem gegebenen Flächeninhalt von \(25\,\text{cm}^2\).

a) \(\alpha \approx 114{,}6^\circ\) b) \(b = 10\,\text{cm}\) c) Die Rechnung \(\frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bestätigt den Zusammenhang.

- Überlege dir, welche Formeln für die Fläche und den Umfang eines Kreises gelten und wie man davon nur einen Teil (Sektor) berechnet. - Was gibt der Bruch \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) im Verhältnis zum ganzen Kreis an? - Rechne erst mit den Radien und Winkeln, bevor du vergleichst.

1. Berechnung der Flächeninhalte: Für Stück A gilt \(A_A = \pi r_A^2\frac{\alpha_A}{360^\circ} = \pi \cdot 15^2 \cdot \frac{45}{360} = 28{,}125 \cdot \pi \approx 88{,}36\,\text{cm}^2\). Für Stück B gilt \(A_B = \pi r_B^2\frac{\alpha_B}{360^\circ} = \pi \cdot 18^2 \cdot \frac{30}{360} = 27 \cdot \pi \approx 84{,}82\,\text{cm}^2\). Somit ist \(A_A > A_B\). 2. Berechnung der Bogenlängen: Für Stück A gilt \(b_A = 2\pi r_A\frac{\alpha_A}{360^\circ} = 2 \cdot \pi \cdot 15 \cdot \frac{45}{360} = 3{,}75 \cdot \pi \approx 11{,}78\,\text{cm}\). Für Stück B gilt \(b_B = 2\pi r_B\frac{\alpha_B}{360^\circ} = 2 \cdot \pi \cdot 18 \cdot \frac{30}{360} = 3 \cdot \pi \approx 9{,}42\,\text{cm}\). Somit ist \(b_A > b_B\).

a) Stück A hat mit ca. \(88{,}36\,\text{cm}^2\) den größeren Flächeninhalt (Stück B hat ca. \(84{,}82\,\text{cm}^2\)). b) Der Randbogen von Stück A ist mit ca. \(11{,}78\,\text{cm}\) länger als der von Stück B (ca. \(9{,}42\,\text{cm}\)).

- Gibt es eine Formel, die den Flächeninhalt direkt mit der Bogenlänge und dem Radius verknüpft? - Wenn du den Radius gefunden hast, kannst du ihn in die Formel für die Bogenlänge oder den Flächeninhalt einsetzen, um den Winkel zu bestimmen. - Achte darauf, die Formeln nach der gesuchten Größe umzustellen.

1. Berechnung des Radius: Verwendung der Formel \(A = \frac{1}{2}br\). Umstellen nach \(r\): \(r = \frac{2A}{b} = \frac{2 \cdot 40\,\text{m}^2}{8\,\text{m}} = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung des Mittelpunktswinkels: Verwendung der Formel für die Bogenlänge \(b = 2\pi r\frac{\alpha}{360^\circ}\). Einsetzen der bekannten Werte: \(8 = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot \frac{\alpha}{360}\). Vereinfachen: \(8 = \frac{20 \cdot \pi \cdot \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot \alpha}{18}\). Umstellen nach \(\alpha\): \(\alpha = \frac{8 \cdot 18}{\pi} = \frac{144^\circ}{\pi} \approx 45{,}84^\circ\).

Der Radius des Beets beträgt \(r = 10\,\text{m}\) und der Mittelpunktswinkel ist \(\alpha \approx 45{,}84^\circ\).

- Welche geometrische Form beschreibt der Bewässerungsarm, wenn er sich dreht? - Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt und welche für den Weg, den die Spitze zurücklegt? - Achte darauf, die Zeitangabe von Stunden in Minuten umzurechnen, um die gewünschte Einheit zu erhalten.

1. Berechnung der Fläche: Die bewässerte Fläche ist ein Kreis mit dem Radius \(r = 120\,\text{m}\). Mit der Formel \(A = \pi r^2\) ergibt sich \(A = \pi \cdot (120\,\text{m})^2 = 14\,400 \cdot \pi\,\text{m}^2 \approx 45\,238{,}93\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Umfangs: Die äußerste Düse legt bei einer Umdrehung den Kreisumfang \(U = 2\pi r\) zurück. Es gilt \(U = 2 \cdot \pi \cdot 120\,\text{m} = 240 \cdot \pi\,\text{m} \approx 753{,}98\,\text{m}\). 3. Umrechnung der Zeit: Die Zeit für eine Umdrehung beträgt \(10\,\text{Stunden} = 10 \cdot 60\,\text{Minuten} = 600\,\text{Minuten}\). 4. Berechnung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit \(v\) ist Strecke pro Zeit, also \(v = \frac{U}{t} = \frac{753{,}98\,\text{m}}{600\,\text{min}} \approx 1{,}26\,\text{m/min}\).

a) Die bewässerte Fläche beträgt ca. \(45\,238{,}93\,\text{m}^2\). b) Die Geschwindigkeit der äußersten Düse beträgt ca. \(1{,}26\,\text{m/min}\).

- Überlege dir zuerst die Radien der beiden Kreise. - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises? - Schau dir die Differenz der Umfänge in einer allgemeinen Formel an: Was passiert mit dem Radius, wenn du die Differenz bildest?

1. Berechnung des inneren Umfangs: Mit \(r_1 = 30\,\text{m}\) ist \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 30\,\text{m} = 60\pi\,\text{m} \approx 188{,}50\,\text{m}\). 2. Berechnung des äußeren Umfangs: Mit \(r_2 = 30\,\text{m} + 1{,}25\,\text{m} = 31{,}25\,\text{m}\) ist \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 31{,}25\,\text{m} = 62{,}5\pi\,\text{m} \approx 196{,}35\,\text{m}\). 3. Berechnung der Differenz: \(\Delta U = U_2 - U_1 = 62{,}5\pi - 60\pi = 2{,}5\pi \approx 7{,}85\,\text{m}\). 4. Untersuchung der Radiusabhängigkeit: Sei \(r\) der Radius und \(w\) die Bahnbreite. Die Differenz ist \(\Delta U = 2\pi(r + w) - 2\pi r = 2\pi r + 2\pi w - 2\pi r = 2\pi w\). Die Differenz hängt also nur von der Breite \(w\) ab, nicht vom Radius \(r\). Somit bleibt der Unterschied bei gleicher Bahnbreite immer gleich.

a) Der Läufer auf der äußeren Bahn läuft pro Runde ca. \(7{,}85\,\text{m}\) weiter. b) Nein, der Unterschied wäre genau gleich (\(2 \cdot \pi \cdot 1{,}25\,\text{m}\)), da der Radius \(r\) bei der Subtraktion der Umfänge herausfällt.

- Wie hängt der Umfang mit dem Durchmesser zusammen? - Erinnere dich an die Formel für Geschwindigkeit, Weg und Zeit. - Achte bei Teil b) darauf, dass du die Zeit erst in Sekunden umrechnest, bevor du sie mit der Geschwindigkeit in \(\text{m/s}\) multiplizierst.

1. Berechnung des Umfangs: Der Durchmesser ist \(d = 160\,\text{m}\). Der Umfang ist \(U = \pi d = \pi \cdot 160\,\text{m} \approx 502{,}65\,\text{m}\). 2. Berechnung der Zeit für eine Umdrehung: Mit \(v = 0{,}25\,\text{m/s}\) ergibt sich \(t = \frac{s}{v} = \frac{502{,}65\,\text{m}}{0{,}25\,\text{m/s}} = 2010{,}6\,\text{s}\). 3. Umrechnung in Minuten: \(2010{,}6 : 60 \approx 33{,}51\,\text{Minuten}\). 4. Berechnung der Strecke für 15 Minuten: Zeit \(T = 15 \cdot 60\,\text{s} = 900\,\text{s}\). Die Strecke ist \(s = v \cdot T = 0{,}25\,\text{m/s} \cdot 900\,\text{s} = 225\,\text{m}\). 5. Umrechnung in Kilometer: \(225\,\text{m} = 0{,}225\,\text{km}\).

a) Eine Umdrehung dauert ca. \(33{,}5\,\text{Minuten}\). b) Ein Fahrgast legt in \(15\) Minuten eine Strecke von \(0{,}225\,\text{km}\) zurück.

- Wie hängen Radius und Umfang mathematisch zusammen? - Du kannst zuerst den alten Radius bestimmen oder direkt überlegen, wie viel Umfang pro Zentimeter Radius dazukommt. - Schritt für Schritt: Finde erst heraus, wie groß der Baum vorher war, und dann, wie groß er nach dem Wachstum ist.

1. Berechnung des ursprünglichen Radius \(r_{\text{alt}}\) aus dem Umfang \(U_{\text{alt}} = 120\,\text{cm}\): \(r_{\text{alt}} = \frac{120}{2\pi} \approx 19{,}0986\,\text{cm}\). 2. Berechnung des neuen Radius \(r_{\text{neu}}\) durch Addition des Zuwachses: \(r_{\text{neu}} = 19{,}0986 + 0{,}8 = 19{,}8986\,\text{cm}\). 3. Berechnung des neuen Umfangs \(U_{\text{neu}}\) mit dem neuen Radius: \(U_{\text{neu}} = 2 \cdot \pi \cdot 19{,}8986 \approx 125{,}0265\,\text{cm}\). 4. Alternativer Weg über die Umfangsdifferenz: \(\Delta U = 2\pi\Delta r = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}8 \approx 5{,}0265\,\text{cm}\). 5. Addition der Differenz zum alten Umfang: \(120 + 5{,}0265 = 125{,}0265\,\text{cm}\).

Der neue Umfang des Baumstamms beträgt etwa \(125{,}03\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst die Flächeninhalte für beide Radien. - Teile dann den jeweiligen Flächeninhalt durch den zugehörigen Radius. Was stellst du fest? - Erinnere dich daran, dass bei proportionalen Zuordnungen alle Paare von Werten den gleichen Quotienten haben müssen. - Wie wirkt sich ein Streckungsfaktor auf eine Fläche aus, wenn eine Dimension im Quadrat in die Formel eingeht?

1. Berechnung für \(r_1 = 2\,\text{m}\): \(A_1 = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 = 4\pi\,\text{m}^2 \approx 12{,}57\,\text{m}^2\). Quotient \(Q_1 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{m}\). 2. Berechnung für \(r_2 = 5\,\text{m}\): \(A_2 = \pi \cdot (5\,\text{m})^2 = 25\pi\,\text{m}^2 \approx 78{,}54\,\text{m}^2\). Quotient \(Q_2 = \frac{25\pi}{5} = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{m}\). 3. Da \(Q_1 \neq Q_2\), liegt keine Quotientengleichheit vor; die Zuordnung ist somit nicht proportional. 4. Wachstumsfaktor berechnen: Wenn der Radius um den Faktor \(k = 2{,}5\) wächst, vergrößert sich der Flächeninhalt um den Faktor \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).

Die Quotienten sind \(\frac{A_1}{r_1} = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{m}\) und \(\frac{A_2}{r_2} = 5\pi \approx 15{,}71\,\text{m}\). Da die Quotienten unterschiedlich sind, ist die Zuordnung nicht proportional. Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(6{,}25\).

- Wie verändert sich der Durchmesser eines Kreises, wenn sich sein Umfang verdoppelt? - Denke an das Verhältnis von Radien und Flächeninhalten bei einer Vergrößerung. - Um den Prozentsatz zu finden, teile den kleineren Flächeninhalt durch den größeren.

1. Durchmesser Beet A: \(d_A = 4\,\text{m}\). Umfang Beet A: \(U_A = \pi d_A = 4\pi\,\text{m}\). 2. Umfang Beet B: \(U_B = 2U_A = 8\pi\,\text{m}\). 3. Durchmesser Beet B: \(d_B = \frac{U_B}{\pi} = 8\,\text{m}\). 4. Flächeninhalt Beet A (\(r_A = 2\,\text{m}\)): \(A_A = \pi \cdot (2\,\text{m})^2 = 4\pi\,\text{m}^2 \approx 12{,}57\,\text{m}^2\). 5. Flächeninhalt Beet B (\(r_B = 4\,\text{m}\)): \(A_B = \pi \cdot (4\,\text{m})^2 = 16\pi\,\text{m}^2 \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). 6. Prozentsatz: \(\frac{A_A}{A_B} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

a) Der Durchmesser von Beet B beträgt \(8\,\text{m}\). b) \(A_A \approx 12{,}57\,\text{m}^2\); \(A_B \approx 50{,}27\,\text{m}^2\). Beet A nimmt \(25\,\%\) der Fläche von Beet B ein.

- Skizziere die Situation: Ein Kreis liegt innerhalb eines größeren Kreises. - Welchen Radius hat der gesamte Bereich (Beet und Weg zusammen)? - Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen?

1. Innenradius des Beetes: \(r_i = \frac{6\,\text{m}}{2} = 3\,\text{m}\). 2. Außenradius (Beet plus Weg): \(r_a = 3\,\text{m} + 1\,\text{m} = 4\,\text{m}\). 3. Fläche des Weges (Kreisring): \(A_{\text{Weg}} = \pi \cdot r_a^2 - \pi \cdot r_i^2 = \pi \cdot (4^2 - 3^2)\,\text{m}^2 = 7\pi\,\text{m}^2 \approx 22{,}0\,\text{m}^2\). 4. Äußere Begrenzung (Umfang des großen Kreises): \(U_a = 2\pi \cdot r_a = 2\pi \cdot 4\,\text{m} = 8\pi\,\text{m} \approx 25{,}1\,\text{m}\).

a) Die Fläche des Weges beträgt ca. \(22{,}0\,\text{m}^2\). b) Die äußere Begrenzung ist ca. \(25{,}1\,\text{m}\) lang.

- Wie viele Kreise liegen in einer Reihe nebeneinander? - Wie hängen die Seitenlänge des Quadrats und der Durchmesser eines Kreises zusammen? - Wie berechnet man die Fläche, die übrig bleibt, wenn man Kreise aus einem Quadrat entfernt? - Vergiss nicht, dass es insgesamt vier Kreise sind.

1. Berechnung der Gesamtfläche des quadratischen Beetes: \(A_{\text{Beet}} = (2{,}40\,\text{m})^2 = 5{,}76\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung des Durchmessers der Rosenkreise: Da zwei Kreise nebeneinander die gesamte Breite von \(2{,}40\,\text{m}\) ausfüllen, beträgt der Durchmesser eines Kreises \(d = 2{,}40\,\text{m} : 2 = 1{,}20\,\text{m}\). 3. Berechnung des Radius: \(r = 0{,}60\,\text{m}\). 4. Berechnung der Fläche der vier Rosenkreise: \(A_{\text{Rosen}} = 4 \cdot \pi \cdot (0{,}60\,\text{m})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 0{,}36\,\text{m}^2 \approx 4{,}52389\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Rasenfläche: \(A_{\text{Rasen}} = A_{\text{Beet}} - A_{\text{Rosen}} = 5{,}76\,\text{m}^2 - 4{,}52389\,\text{m}^2 \approx 1{,}23611\,\text{m}^2\). Ergebnis: Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

Die Rasenfläche beträgt ca. \(1{,}24\,\text{m}^2\).

- Berechne zuerst die Fläche des Tabletts. - Wie viele Gläser stehen in einer Reihe und wie viele Reihen gibt es? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt des Kreises und multipliziere sie mit der Anzahl der Gläser. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Rechnungen miteinander.

1. Gesamtfläche des Tabletts: \(A_{\text{Tablett}} = 45 \cdot 30 = 1350\,\text{cm}^2\). 2. Teilaufgabe a: Radius eines Glases \(r_1 = 7{,}5\,\text{cm}\). Gesamtfläche der 6 Gläser: \(A_{\text{Gläser1}} = 6 \cdot \pi \cdot 7{,}5^2 = 6 \cdot 56{,}25\pi = 337{,}5\pi \approx 1060{,}29\,\text{cm}^2\). 3. Prozentualer Anteil a: \((1060{,}29 : 1350) \cdot 100 \approx 78{,}54\,\%\). 4. Teilaufgabe b: Radius der kleinen Gläser \(r_2 = 3{,}75\,\text{cm}\). Gesamtfläche der 24 Gläser: \(A_{\text{Gläser2}} = 24 \cdot \pi \cdot 3{,}75^2 = 24 \cdot 14{,}0625\pi = 337{,}5\pi \approx 1060{,}29\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich b: Da die Gesamtfläche der Gläser in beiden Fällen \(337{,}5\pi\) beträgt, bleibt der Prozentsatz mit ca. \(78{,}54\,\%\) unverändert.

a) Die Bodenflächen nehmen ca. \(78{,}5\,\%\) der Tablettfläche ein. b) Der Anteil bleibt mit ca. \(78{,}5\,\%\) völlig gleich, da die Summe der Kreisflächen in beiden Anordnungen identisch ist.

- Berechne zuerst den Umfang für beide Radtypen einzeln. - Wie oft passt der jeweilige Umfang in die Gesamtlänge der Strecke? - Überlege am Ende, ob du die Differenz der Umdrehungszahlen gesucht hast.

1. Einheiten angleichen: \(s = 1000\,\text{m}\), \(d_{\text{vorn}} = 0{,}8\,\text{m}\), \(d_{\text{hinten}} = 1{,}6\,\text{m}\). 2. Umfang der Vorderräder berechnen: \(U_{\text{vorn}} = \pi \cdot 0{,}8\,\text{m} \approx 2{,}5133\,\text{m}\). 3. Umfang der Hinterräder berechnen: \(U_{\text{hinten}} = \pi \cdot 1{,}6\,\text{m} \approx 5{,}0265\,\text{m}\). 4. Anzahl der Umdrehungen berechnen: \(n_{\text{vorn}} = \frac{1000}{0{,}8\pi} \approx 397{,}89\) und \(n_{\text{hinten}} = \frac{1000}{1{,}6\pi} \approx 198{,}94\). 5. Die Differenz bilden: \(397{,}89 - 198{,}94 = 198{,}95\).

Die Vorderräder machen etwa \(199\) Umdrehungen mehr als die Hinterräder.

- Stelle dir vor, die Walze würde ihre Spur wie einen langen Teppich ausrollen. Wie lang ist dieser Teppich? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fläche, der Breite der Walze und der zurückgelegten Strecke? - Wie oft muss sich die Walze drehen, um diese Strecke abzufahren?

1. Die gefahrene Strecke \(s\) aus der Fläche \(A\) und der Breite \(b\) der Walze berechnen: \(s = \frac{A}{b} = \frac{1200\,\text{m}^2}{2\,\text{m}} = 600\,\text{m}\). 2. Den Umfang der Walze berechnen: \(U = \pi d = \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 3{,}7699\,\text{m}\). 3. Die Anzahl der Umdrehungen berechnen: \(n = \frac{s}{U} = \frac{600\,\text{m}}{3{,}7699\,\text{m}} \approx 159{,}15\).

Die Walze hat insgesamt etwa \(159{,}15\) Umdrehungen gemacht.

- Überlege zuerst, wie groß der Radius des Brunnens und der Radius des gesamten Bereichs (Brunnen plus Weg) sind. - Welche geometrische Form beschreibt die Fläche des Weges? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises und was ändert sich, wenn der Radius größer wird?

1. Radien bestimmen: Der Innenradius beträgt \(r_i = 3{,}0\,\text{m}\). Der Außenradius ist \(r_a = 3{,}0\,\text{m} + 1{,}5\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}\). 2. Flächeninhalt des Weges (Kreisring): \(A = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (4{,}5^2 - 3^2) = \pi \cdot (20{,}25 - 9) = 11{,}25\pi \approx 35{,}34\,\text{m}^2\). 3. Umfangsdifferenz berechnen: \(\Delta U = 2\pi \cdot r_a - 2\pi \cdot r_i = 2\pi \cdot (r_a - r_i) = 2\pi \cdot 1{,}5 = 3\pi \approx 9{,}42\,\text{m}\). 4. Materialkosten berechnen: \(K = 35{,}3429 \dots\,\text{m}^2 \cdot 48{,}00\,\frac{\text{€}}{\text{m}^2} \approx 1696{,}46\,\text{€}\).

a) \(A \approx 35{,}34\,\text{m}^2\) b) \(\Delta U \approx 9{,}42\,\text{m}\) c) \(K \approx 1696{,}46\,\text{€}\)

- Skizziere die Situation: Der Wischer reinigt keinen vollen Kreis, sondern nur einen Ausschnitt. - Das Wischerblatt beginnt nicht direkt am Drehpunkt. Wie beeinflusst das die Form der gereinigten Fläche? - Bei der Prozentaufgabe: Musst du die neuen Flächeninhalte wirklich komplett neu berechnen oder gibt es einen Zusammenhang zwischen Winkel und Fläche?

1. Radien identifizieren: Der innere Radius des Kreissektors ist \(r_1 = 15\,\text{cm}\), der äußere Radius ist \(r_2 = 15 + 40 = 55\,\text{cm}\). 2. Fläche des Kreisringsektors berechnen: \(A = \frac{155}{360} \cdot \pi \cdot (55^2 - 15^2) = \frac{155}{360} \cdot \pi \cdot (3025 - 225) = \frac{155}{360} \cdot 2800\pi \approx 3787{,}36\,\text{cm}^2\). 3. Bogenlänge des äußeren Endes berechnen: \(b = \frac{155}{360} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 55 = \frac{155 \cdot 110}{360} \pi \approx 148{,}79\,\text{cm}\). 4. Prozentuale Vergrößerung: Da die Fläche proportional zum Winkel ist, berechnet man den Zuwachs über die Winkel: \(\frac{180 - 155}{155} = \frac{25}{155} \approx 0{,}1613\) bzw. \(16{,}1\,\%\).

a) \(A \approx 3787{,}36\,\text{cm}^2\) b) \(b \approx 148{,}79\,\text{cm}\) c) Die Fläche würde sich um \(\approx 16{,}1\,\%\) vergrößern.

- Wie verändert sich die Fläche eines Kreises, wenn du den Radius mit einem Faktor multiplizierst? - Schau dir die Formel für den Umfang an. Wenn der Umfang doppelt so groß wird, was passiert dann mit dem Radius? - Versuche, die neuen Werte (\(2r\) oder \(2U\)) in die Grundformeln einzusetzen und zu vereinfachen.

1. Analyse von Idee A: Die Fläche eines Kreises ist \(A = \pi r^2\). Wird der Radius verdoppelt (\(r_{\text{neu}} = 2r\)), ergibt sich die neue Fläche zu \(A_{\text{neu}} = \pi \cdot (2r)^2 = \pi \cdot 4r^2 = 4 \cdot (\pi \cdot r^2)\). Die Fläche vervierfacht sich also. 2. Analyse von Idee B: Der Umfang eines Kreises ist \(U = 2\pi r\). Da der Umfang direkt proportional zum Radius ist (\(U \sim r\)), bedeutet eine Verdopplung des Umfangs auch eine Verdopplung des Radius. 3. Schlussfolgerung: Da bei Idee B der Radius ebenfalls verdoppelt wird, ist die Auswirkung auf die Fläche identisch mit Idee A. In beiden Fällen vervierfacht sich der Flächeninhalt des Beetes.

Bei beiden Ideen vervierfacht sich die Fläche des Beetes. Da der Umfang proportional zum Radius ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zwangsläufig auch zu einer Verdopplung des Radius.

- Wenn eine Größe um \(20\,\%\) wächst, mit welchem Faktor wird sie dann multipliziert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Umfangs auf den Radius aus? - Setze den veränderten Radius in die Formel für den Flächeninhalt ein. - Wie rechnet man den Faktor am Ende wieder in eine prozentuale Steigerung um?

1. Der Umfang von \(K_2\) ist \(U_2 = 1{,}2U_1\). 2. Da der Umfang proportional zum Radius ist (\(U = 2\pi r\)), folgt daraus für den Radius: \(r_2 = 1{,}2r_1\). 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot (1{,}2r_1)^2 = \pi \cdot 1{,}44 \cdot r_1^2 = 1{,}44A_1\). 4. Ein Faktor von \(1{,}44\) entspricht einer Steigerung um \(44\,\%\).

Der Flächeninhalt von \(K_2\) ist um \(44\,\%\) größer als der von \(K_1\).

- Überlege zuerst, welche Strecke eine Person bei einer vollen Umdrehung zurücklegt. - Wie hängen Radius und Umfang eines Kreises zusammen? - Die Zeit für eine Umdrehung ist für beide Sitze gleich. - Kannst du die Geschwindigkeit berechnen, wenn du die Strecke und die Zeit kennst?

1. Berechnung der Umfänge der beiden Kreisbahnen: \(U_{\text{innen}} = 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{m} \approx 18{,}850\,\text{m}\) \(U_{\text{außen}} = 2 \cdot \pi \cdot 5{,}5\,\text{m} \approx 34{,}558\,\text{m}\) 2. Berechnung der Geschwindigkeiten (\(v = \frac{s}{t}\)): \(v_{\text{innen}} = \frac{18{,}850\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 1{,}885\,\text{m/s}\) \(v_{\text{außen}} = \frac{34{,}558\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 3{,}456\,\text{m/s}\) 3. Bestimmung der Differenz: \(\Delta v = 3{,}456\,\text{m/s} - 1{,}885\,\text{m/s} = 1{,}571\,\text{m/s}\) Alternativer Weg über die Radiendifferenz: \(\Delta v = \frac{2\pi \cdot (5{,}5\,\text{m} - 3\,\text{m})}{10\,\text{s}} = \frac{2\pi \cdot 2{,}5\,\text{m}}{10\,\text{s}} \approx 1{,}57\,\text{m/s}\).

Eine Person auf dem äußeren Sitz bewegt sich um etwa \(1{,}57\,\text{m/s}\) schneller als eine Person auf dem inneren Sitz.

- Achte darauf, dass die ISS nicht auf der Erdoberfläche kreist, sondern in einer bestimmten Höhe darüber. Wie groß ist also der Abstand zum Erdmittelpunkt? - Wie viele Minuten hat ein ganzer Tag? - Wie oft passt die Zeit für einen Umlauf in die Gesamtzeit eines Tages? - Überlege, wie du aus dem Umfang eines Umlaufs und der Anzahl der Umläufe die Gesamtstrecke berechnest.

1. Bestimmung des Bahnradius der ISS: \(r = R_{\text{Erde}} + h = 6370\,\text{km} + 400\,\text{km} = 6770\,\text{km}\) 2. Berechnung des Umfangs einer Umlaufbahn: \(U = 2 \cdot \pi \cdot 6770\,\text{km} \approx 42\,537{,}16\,\text{km}\) 3. Berechnung der Anzahl der Umlaufbahnen pro Tag: Ein Tag hat \(24 \cdot 60 = 1440\,\text{min}\). Anzahl der Umläufe \(n = \frac{1440\,\text{min}}{93\,\text{min}} \approx 15{,}48387\) 4. Berechnung der Gesamtstrecke: \(s_{\text{gesamt}} = nU \approx 15{,}48387 \cdot 42\,537{,}16\,\text{km} \approx 658\,639{,}97\,\text{km}\). Gerundet ergibt dies \(658\,640\,\text{km}\).

Die ISS legt in 24 Stunden eine Strecke von etwa \(658\,640\,\text{km}\) zurück.

- Berechne zuerst die Umfänge für beide Beete einzeln, bevor sie vergrößert werden und nachdem sie vergrößert wurden. - Was passiert, wenn du in der Formel für den Umfang Klammern setzt? - Versuche, den Term für den neuen Umfang so umzuformen, dass du den alten Umfang darin wiederfindest. - Erinnere dich an das Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).

1. Berechnung für Beet A: \(U_{\text{alt},A} = 2 \cdot \pi \cdot 2 \approx 12{,}57\,\text{m}\) \(U_{\text{neu},A} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \approx 18{,}85\,\text{m}\) Differenz \(\Delta U_A = 18{,}85 - 12{,}57 = 6{,}28\,\text{m}\) (bzw. \(2\pi \cdot 1\)) 2. Berechnung für Beet B: \(U_{\text{alt},B} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \approx 37{,}70\,\text{m}\) \(U_{\text{neu},B} = 2 \cdot \pi \cdot 7 \approx 43{,}98\,\text{m}\) Differenz \(\Delta U_B = 43{,}98 - 37{,}70 = 6{,}28\,\text{m}\) (bzw. \(2\pi \cdot 1\)) 3. Mathematische Erklärung: Sei \(r\) der ursprüngliche Radius und \(d\) der zusätzliche Abstand (hier \(1\,\text{m}\)). \(U_{\text{neu}} - U_{\text{alt}} = 2 \cdot \pi \cdot (r + d) - 2 \cdot \pi \cdot r\) Durch Anwenden des Distributivgesetzes: \(2 \cdot \pi \cdot r + 2 \cdot \pi \cdot d - 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot d\). Da der Term \(2 \cdot \pi \cdot r\) wegfällt, hängt die Differenz nur von \(d\) ab, nicht vom ursprünglichen Radius \(r\).

a) Die Differenz der Umfänge beträgt bei beiden Beeten etwa \(6{,}28\,\text{m}\). b) Die Differenz ist bei beiden Beeten identisch. Die allgemeine Rechnung \(2\pi(r+d) - 2\pi r = 2\pi d\) zeigt, dass der ursprüngliche Radius \(r\) keine Rolle für den Zuwachs des Umfangs spielt.

- Nutze in Teil a) den vorgegebenen Näherungswert für \(\pi\) und vereinfache zuerst die Flächengleichung. - Übersetze „Länge des Zauns“ in die passende Kreisgröße. - Vergleiche in Teil c), wie der Radius in der Umfangsformel und in der Flächenformel vorkommt.

1. a) Aus \(A=\pi r^2\) folgt mit \(\pi\approx3{,}14\), dass \(r^2=28{,}26\,\text{m}^2:3{,}14=9\,\text{m}^2\) gilt. Da der Radius positiv ist und \((3\,\text{m})^2=9\,\text{m}^2\), folgt \(r=3\,\text{m}\). 2. b) Die Zaunlänge entspricht dem Umfang: \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot3\,\text{m}=18{,}84\,\text{m}\). 3. c) Der Umfang ist wegen \(U=2\pi r\) direkt proportional zum Radius. Bei doppeltem Radius verdoppelt sich daher der Umfang. 4. Der Flächeninhalt enthält \(r^2\). Bei doppeltem Radius wird die Fläche mit \(2^2=4\) multipliziert und damit vervierfacht.

a) \(r=3\,\text{m}\) b) Der Zaun muss mindestens \(18{,}84\,\text{m}\) lang sein. c) Der Umfang verdoppelt sich, der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Bestimme zuerst die Seitenlänge des Quadrats aus dem Umfang. - Bestimme dann den Radius des Kreises aus demselben Umfang. - Berechne nun beide Flächeninhalte und vergleiche sie.

1. Berechnung für das Quadrat: Seitenlänge \(a = U : 4 = 20\,\text{cm} : 4 = 5\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{\text{Quadrat}} = a^2 = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für den Kreis: Radius \(r = U : (2\pi) \approx 20\,\text{cm} : (2 \cdot 3{,}14) = 20\,\text{cm} : 6{,}28 \approx 3{,}1847\,\text{cm}\). Flächeninhalt \(A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot (3{,}1847\,\text{cm})^2 \approx 3{,}14 \cdot 10{,}1423\,\text{cm}^2 \approx 31{,}85\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: \(31{,}85\,\text{cm}^2 > 25\,\text{cm}^2\). Der Kreis hat bei gleichem Umfang einen größeren Flächeninhalt.

Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von \(25\,\text{cm}^2\), der Kreis einen Flächeninhalt von ca. \(31{,}85\,\text{cm}^2\). Somit umschließt der Kreis die größere Fläche.

- Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen? - Aus welchen zwei Kreisen setzt sich die Fahrbahn zusammen? - Kannst du die Fahrbahn als eine Differenz zweier Flächen betrachten? - Überlege, wie sich der Radius für den äußeren Rand verändert.

1. Berechnung des Flächeninhalts der Mittelinsel: Der Radius beträgt \(r_i = \frac{16\,\text{m}}{2} = 8\,\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A_i = \pi \cdot (8\,\text{m})^2 = 64\pi\,\text{m}^2 \approx 201{,}06\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Fahrbahn: Der Außenradius ist \(r_a = 8\,\text{m} + 6\,\text{m} = 14\,\text{m}\). Die Gesamtfläche inklusive Insel ist \(A_a = \pi \cdot (14\,\text{m})^2 = 196\pi\,\text{m}^2 \approx 615{,}75\,\text{m}^2\). Die Fahrbahnfläche ist die Differenz \(A_{\text{Fahrbahn}} = A_a - A_i = 196\pi - 64\pi = 132\pi\,\text{m}^2 \approx 414{,}69\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Umfangsdifferenz: Der innere Umfang ist \(U_i = 2 \cdot \pi \cdot 8\,\text{m} = 16\pi\,\text{m} \approx 50{,}27\,\text{m}\). Der äußere Umfang ist \(U_a = 2 \cdot \pi \cdot 14\,\text{m} = 28\pi\,\text{m} \approx 87{,}96\,\text{m}\). Die Differenz beträgt \(28\pi - 16\pi = 12\pi\,\text{m} \approx 37{,}70\,\text{m}\).

a) Der Flächeninhalt der Mittelinsel beträgt ca. \(201{,}06\,\text{m}^2\). b) Der Flächeninhalt der Fahrbahn beträgt ca. \(414{,}69\,\text{m}^2\). c) Der Weg des äußeren Autos ist um ca. \(37{,}70\,\text{m}\) länger.

- Achte bei den Flächenberechnungen darauf, zuerst vom Durchmesser zum Radius zu wechseln. - Für den Preisvergleich hilft es, jede Pizza auf dieselbe Bezugsfläche von \(100\,\text{cm}^2\) umzurechnen. - Formuliere in Teil c) den gewünschten Flächeninhalt als Vielfaches der Standardfläche und suche anschließend eine passende positive Quadratzahl für den Radius.

1. a) Für die Standard-Pizza ist \(r_1=14\,\text{cm}\), also \(A_1=196\pi\,\text{cm}^2\approx615{,}75\,\text{cm}^2\). Für die Familien-Pizza ist \(r_2=16\,\text{cm}\), also \(A_2=256\pi\,\text{cm}^2\approx804{,}25\,\text{cm}^2\). 2. b) Standard-Pizza: \(8{,}50\,\text{€}:(615{,}75:100)\approx1{,}38\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Familien-Pizza: \(11{,}00\,\text{€}:(804{,}25:100)\approx1{,}37\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Damit ist die Familien-Pizza geringfügig preisgünstiger. 3. c) Der neue Flächeninhalt soll \(2{,}25A_1=2{,}25\cdot196\pi\,\text{cm}^2=441\pi\,\text{cm}^2\) betragen. Daher gilt \(r_{\text{neu}}^2=441\,\text{cm}^2\). 4. Weil \((21\,\text{cm})^2=441\,\text{cm}^2\), ist \(r_{\text{neu}}=21\,\text{cm}\) und damit \(d_{\text{neu}}=42\,\text{cm}\).

a) Standard-Pizza: \(A_1\approx615{,}75\,\text{cm}^2\); Familien-Pizza: \(A_2\approx804{,}25\,\text{cm}^2\) b) Standard-Pizza: ca. \(1{,}38\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\); Familien-Pizza: ca. \(1{,}37\,\text{€}\) pro \(100\,\text{cm}^2\). Die Familien-Pizza ist preisgünstiger. c) \(d_{\text{neu}}=42\,\text{cm}\)

- Behandle \(x\) wie eine ganz normale Zahl in deinen Rechnungen. - Wie hängen Umfang und Radius mathematisch zusammen? - Achte beim Quadrieren von Ausdrücken wie \(5x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Bestimmung des Radius \(r\) aus der Umfangsformel \(U = 2 \pi r\): - \(2 \pi r = 10 \pi x\) - Division durch \(2 \pi\): \(r = 5x\) 2. Bestimmung des Durchmessers \(d\): - \(d = 2r = 2 \cdot 5x = 10x\) 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit \(A = \pi r^2\): - Einsetzen von \(r = 5x\): \(A = \pi(5x)^2\) - Auflösen der Klammer: \(A = \pi \cdot 25x^2 = 25\pi x^2\)

a) \(r = 5x\); \(d = 10x\) b) \(A = 25\pi x^2\)

- Prüfe mit \(A=\pi r^2\), welcher einfache Radiusfaktor eine vierfache Fläche erzeugt. - Setze diesen Radiusfaktor anschließend in die Umfangsformel ein. - Vergleiche, ob der Radius in beiden Formeln linear oder quadriert vorkommt.

1. Für den ursprünglichen Kreis gilt \(A=\pi r^2\). Ein Kreis mit dem Radius \(2r\) hat den Flächeninhalt \(\pi(2r)^2=4\pi r^2=4A\). 2. Da der neue Kreis genau die vierfache Fläche besitzt, ist sein Radius daher \(2r\). 3. Für den Umfang gilt \(U=2\pi r\). Mit dem neuen Radius ergibt sich \(U_{\text{neu}}=2\pi(2r)=2U\). 4. Der Umfang verdoppelt sich.

Der Umfang verdoppelt sich: \(U_{\text{neu}}=2U\).

- Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdreifacht? - Überlege dir, welche Formel den Durchmesser direkt mit dem Umfang verknüpft. - Wenn eine Fläche 9-mal so groß ist wie eine andere, welchen Bruchteil macht dann die kleinere Fläche aus?

1. Es gilt der Zusammenhang \(d_2 = 3d_1\). 2. Der Umfang ist proportional zum Durchmesser (\(U = \pi d\)). Daher gilt \(U_2 = \pi d_2 = \pi \cdot (3d_1) = 3 \cdot (\pi d_1) = 3U_1\). Das Verhältnis \(U_1 : U_2\) ist somit \(1 : 3\). 3. Der Flächeninhalt berechnet sich mit \(A = \frac{\pi}{4}d^2\). Für \(K_2\) ergibt sich \(A_2 = \frac{\pi}{4} \cdot (3d_1)^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 9d_1^2 = 9A_1\). 4. Um den Anteil von \(A_1\) an \(A_2\) zu bestimmen, berechnet man \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{9A_1} = \frac{1}{9}\). 5. Umwandlung in Prozent: \(\frac{1}{9} \approx 0{,}1111 = 11{,}11\,\%\).

a) Das Verhältnis der Umfänge beträgt \(1 : 3\). b) Der Kreis \(K_1\) nimmt etwa \(11{,}11\,\%\) der Fläche von \(K_2\) ein.

- Was passiert in der Formel für den Umfang, wenn du für den Radius den dreifachen Wert einsetzt? - Was passiert in der Formel für die Fläche, wenn du den Radius innerhalb der Klammer quadrierst? - Vergleiche die neuen Werte direkt mit den alten Werten durch Division.

1. Berechnungen für \(r_1 = 2\,\text{cm}\): \(U_1 = 2 \cdot \pi \cdot 2 \approx 12{,}6\,\text{cm}\); \(A_1 = \pi \cdot 2^2 \approx 12{,}6\,\text{cm}^2\). 2. Berechnungen für \(r_2 = 6\,\text{cm}\): \(U_2 = 2 \cdot \pi \cdot 6 \approx 37{,}7\,\text{cm}\); \(A_2 = \pi \cdot 6^2 \approx 113{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich des Umfangs: \(\frac{U_2}{U_1} = \frac{2\pi \cdot (3r)}{2\pi \cdot r} = 3\). Der Umfang verdreifacht sich. 4. Vergleich des Flächeninhalts: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi \cdot (3r)^2}{\pi \cdot r^2} = \frac{9\pi r^2}{\pi r^2} = 9\). Der Flächeninhalt verneunfacht sich, da der Radius im Quadrat in die Formel eingeht (\(3^2 = 9\)).

a) \(r_1 = 2\,\text{cm} \implies U_1 \approx 12{,}6\,\text{cm}, A_1 \approx 12{,}6\,\text{cm}^2\); \(r_2 = 6\,\text{cm} \implies U_2 \approx 37{,}7\,\text{cm}, A_2 \approx 113{,}1\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang verdreifacht sich (Faktor 3); der Flächeninhalt verneunfacht sich (Faktor 9).

- Wie oft passt der Umfang eines Rades in die gesamte Strecke? - Achte auf die Einheiten Meter und Zentimeter. - Runde die Anzahl der Umdrehungen erst am Ende auf zwei Dezimalstellen.

1. Durchmesser: Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=\frac{100\,\text{cm}}{\pi} \approx 31{,}83\,\text{cm}\). 2. Wegstrecke: \(s=235\cdot 1{,}00\,\text{m}=235\,\text{m}\). 3. Umfang des zweiten Rades: \(U_2=\pi\cdot 25\,\text{cm} \approx 78{,}54\,\text{cm}=0{,}7854\,\text{m}\). 4. Anzahl der Umdrehungen: \(n=\frac{235\,\text{m}}{0{,}25\pi\,\text{m}} \approx 299{,}21\).

a) Der Durchmesser beträgt ca. \(31{,}83\,\text{cm}\). b) Der Weg ist \(235\,\text{m}\) lang. c) Das zweite Rad dreht sich ca. \(299{,}21\)-mal.

- Bestimme bei Scheibe A zuerst das Quadrat des Radius, indem du den gemeinsamen Faktor \(\pi\) entfernst. - Bei Scheibe B führt die Umfangsformel direkt zum Radius oder Durchmesser. - Vergleiche für die Entscheidung die Durchmesser in derselben Einheit.

1. Für Scheibe A gilt \(225\pi\,\text{cm}^2=\pi r_A^2\). Daher ist \(r_A^2=225\,\text{cm}^2\). Weil \((15\,\text{cm})^2=225\,\text{cm}^2\), folgt \(r_A=15\,\text{cm}\) und \(d_A=30\,\text{cm}\). 2. Für Scheibe B gilt \(r_B=U:(2\pi)=95\,\text{cm}:(2\pi)\approx15{,}12\,\text{cm}\). Damit ist \(d_B=95\,\text{cm}:\pi\approx30{,}24\,\text{cm}\). 3. Weil \(30{,}24\,\text{cm}>30\,\text{cm}\), hat Scheibe B den größeren Durchmesser.

Scheibe A: \(r_A=15\,\text{cm}\), \(d_A=30\,\text{cm}\) Scheibe B: \(r_B\approx15{,}12\,\text{cm}\), \(d_B\approx30{,}24\,\text{cm}\) Scheibe B hat den größeren Durchmesser.

- Untersuche zuerst, wie ein Radiusfaktor in \(A=\pi r^2\) auf die Fläche wirkt. - Suche in Teil b) einen positiven Radiusfaktor, dessen Quadrat den Flächenfaktor \(9\) ergibt. - Übertrage diesen Radiusfaktor anschließend mit \(U=2\pi r\) auf den Umfang.

1. a) Mit \(A=\pi r^2\) führt der Radius \(3r\) zur Fläche \(\pi(3r)^2=9\pi r^2=9A\). Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(9\). 2. b) Der Flächenfaktor \(9\) entsteht durch den Radiusfaktor \(3\), denn \(3^2=9\). Der Radius muss also verdreifacht werden. 3. Da \(U=2\pi r\) linear vom Radius abhängt, wird dann auch der Umfang verdreifacht: \(U_{\text{neu}}=3U\).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(9\). b) Der Umfang muss verdreifacht werden.

- Vergleiche zuerst die Radien mit dem Faktor \(12:8\). - Untersuche anschließend, ob dieser Faktor in der Umfangs- und in der Flächenformel gleich wirkt. - Achte beim Prozentvergleich darauf, zwischen dem neuen Gesamtwert und dem prozentualen Zuwachs gegenüber dem Ausgangswert zu unterscheiden.

a) 1. Der Radiusfaktor ist \(12:8=1{,}5\). Da \(U=2\pi r\) linear vom Radius abhängt, hat auch der Umfang den Faktor \(1{,}5\). Der Umfang ist also tatsächlich um \(50\,\%\) größer. b) 1. Für den Flächeninhalt wirkt der Radiusfaktor quadratisch: \(1{,}5^2=2{,}25\). 2. Kreis B hat damit \(225\,\%\) des Flächeninhalts von Kreis A. Der Flächeninhalt ist also um \(125\,\%\) größer, nicht um \(50\,\%\). c) 1. In \(U=2\pi r\) kommt der Radius in erster Potenz vor; in \(A=\pi r^2\) wird er quadriert. Deshalb wirkt derselbe Radiusfaktor auf die Fläche zweimal.

a) Noahs Aussage zum Umfang ist richtig: Er ist um \(50\,\%\) größer. b) Noahs Aussage zur Fläche ist falsch: Der Flächeninhalt ist um \(125\,\%\) größer. c) Der Umfang hängt linear von \(r\) ab, der Flächeninhalt quadratisch von \(r\).

- Entscheide für jede Spalte, ob du die Formel vorwärts mit dem Durchmesser oder rückwärts mit dem Flächeninhalt verwendest. - Bei den rückwärts gerichteten Fällen kannst du zunächst das Quadrat des Durchmessers bestimmen und mit bekannten positiven Quadratzahlen vergleichen. - Runde erst das jeweilige Endergebnis auf eine ganze Zahl.

1. Kreis 1: \(A=\frac{3{,}14\cdot12^2}{4}\,\text{cm}^2=113{,}04\,\text{cm}^2\approx113\,\text{cm}^2\). 2. Kreis 2: Aus \(1256=\frac{3{,}14d^2}{4}\) folgt \(d^2=1600\,\text{cm}^2\). Da \((40\,\text{cm})^2=1600\,\text{cm}^2\), ist \(d=40\,\text{cm}\). 3. Kreis 3: \(A=\frac{3{,}14\cdot50^2}{4}\,\text{cm}^2=1962{,}5\,\text{cm}^2\approx1963\,\text{cm}^2\). 4. Kreis 4: Aus \(2826=\frac{3{,}14d^2}{4}\) folgt \(d^2=3600\,\text{cm}^2\). Da \((60\,\text{cm})^2=3600\,\text{cm}^2\), ist \(d=60\,\text{cm}\).

Kreis 1: \(A\approx113\,\text{cm}^2\) Kreis 2: \(d=40\,\text{cm}\) Kreis 3: \(A\approx1963\,\text{cm}^2\) Kreis 4: \(d=60\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen zwischen einem Radius und einer Tangente im Berührpunkt? - Betrachte die vier Punkte \(A\), \(B\), \(M\) und \(C\) als Viereck. - Welche Winkelsumme gilt in diesem Viereck, nachdem du die beiden Winkel an den Berührpunkten bestimmt hast?

1. Die Radien \(MB\) und \(MC\) stehen in den Berührpunkten senkrecht auf den Tangenten. Daher gilt \(\angle MBA=90^\circ\) und \(\angle MCA=90^\circ\). 2. Im Viereck \(ABMC\) beträgt die Innenwinkelsumme \(360^\circ\). 3. Somit gilt \(44^\circ+90^\circ+\angle BMC+90^\circ=360^\circ\). 4. Daraus folgt \(\angle BMC=136^\circ\).

\(\angle BMC=136^\circ\)

- Welche Eigenschaft haben die Innenwinkel in einem gleichseitigen Dreieck? - In welchem Winkel treffen ein Radius und eine Tangente im Berührungspunkt aufeinander? - Kannst du ein Viereck in der Zeichnung identifizieren und dessen Winkelsumme nutzen?

1. Da das Dreieck \(ABP\) gleichseitig ist, beträgt jeder seiner Innenwinkel \(60^\circ\). Insbesondere gilt \(\angle APB = 60^\circ\). 2. In den Berührungspunkten \(A\) und \(B\) stehen die Radien senkrecht auf den Tangenten. Somit sind die Winkel \(\angle MAP\) und \(\angle MBP\) jeweils \(90^\circ\) groß. 3. Die Summe der Innenwinkel im Viereck \(AMBP\) beträgt \(360^\circ\). 4. Der gesuchte Mittelpunktswinkel berechnet sich daher zu: \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Der Winkel \(\angle AMB\) beträgt \(120^\circ\).

- Betrachte zunächst den vollständigen Kreisring und zerlege ihn gedanklich in einen äußeren und einen inneren Kreis. - Vergleiche den angegebenen Mittelpunktswinkel mit einem Vollwinkel. - Bestimme erst den Flächeninhalt des ganzen Kreisrings und anschließend den passenden Anteil davon.

1. Der Flächeninhalt des ganzen Kreisrings ist \(\pi\cdot6^2-\pi\cdot2^2=32\pi\,\text{cm}^2\). 2. Ein Winkel von \(90^\circ\) entspricht einem Viertel des Vollkreises. 3. Der Ausschnitt hat daher den Flächeninhalt \(\frac{1}{4}\cdot32\pi\,\text{cm}^2=8\pi\,\text{cm}^2\approx25{,}13\,\text{cm}^2\).

\(8\pi\,\text{cm}^2\approx25{,}13\,\text{cm}^2\)

- Ordne jedem vorgegebenen Radius auf der waagerechten Achse den zugehörigen Punkt des Graphen zu. - Vergleiche bei der Verdopplung des Radius nicht nur die absoluten Flächenwerte, sondern ihr Verhältnis. - Untersuche in der Flächenformel, was mit dem Quadrat des Radius passiert, wenn der Radius mit einem Faktor verändert wird.

a) Aus dem Graphen ergibt sich für \(r=3\,\text{cm}\) ungefähr \(A\approx28\,\text{cm}^2\). b) 1. Für \(r=2\,\text{cm}\) liest man ungefähr \(13\,\text{cm}^2\), für \(r=4\,\text{cm}\) ungefähr \(50\,\text{cm}^2\) ab. 2. Der Flächeninhalt wird bei der Verdopplung des Radius nicht verdoppelt, sondern ungefähr vervierfacht. c) 1. Für den Radius \(r\) gilt \(A_1=\pi r^2\). 2. Für den doppelten Radius gilt \(A_2=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4A_1\). 3. Daher führt eine Verdopplung des Radius zum vierfachen Flächeninhalt; die Zuordnung ist nicht proportional.

a) ungefähr \(28\,\text{cm}^2\) b) ungefähr \(13\,\text{cm}^2\) und \(50\,\text{cm}^2\); der Flächeninhalt wird ungefähr vervierfacht. c) Wegen \(\pi(2r)^2=4\pi r^2\) ist der Flächeninhalt beim doppelten Radius viermal so groß.

- Untersuche in der Abbildung, welche Bedeutung die Seitenlänge des Quadrats für den einbeschriebenen Kreis hat. - Die gesuchte Fläche entsteht als Differenz zweier Flächen. - Für den Prozentanteil brauchst du die Restfläche im Verhältnis zur gesamten quadratischen Platte.

a) 1. Die Seitenlänge des Quadrats ist zugleich der Durchmesser des Kreises. Lea verwendet \(8\,\text{cm}\) fälschlich als Radius. 2. Der Radius ist \(r=4\,\text{cm}\). Die Quadratfläche beträgt \(8^2=64\,\text{cm}^2\), die Kreisfläche \(\pi\cdot4^2=16\pi\,\text{cm}^2\). 3. Außerhalb des Kreises bleiben \(64\,\text{cm}^2-16\pi\,\text{cm}^2\approx13{,}73\,\text{cm}^2\). b) 1. Der prozentuale Anteil ist \(\frac{64-16\pi}{64}\cdot100\,\%\approx21{,}46\,\%\). 2. Gerundet liegen \(21\,\%\) der Platte außerhalb des Kreises.

a) Lea verwechselt Durchmesser und Radius. Außerhalb des Kreises liegen \(64-16\pi\,\text{cm}^2\approx13{,}73\,\text{cm}^2\). b) ungefähr \(21\,\%\)

- Vergleiche in b) die Richtung benachbarter Sektorspitzen. - Verfolge getrennt die Kreisbögen der Sektoren, deren Spitzen nach oben bzw. nach unten zeigen. - Welche ursprüngliche Kreislänge verteilt sich auf die obere und die untere Begrenzung? - Welche Größe eines Sektors bestimmt den Abstand zwischen den beiden langen Seiten?

1. Die Sektoren werden nebeneinander gelegt, wobei ihre Spitzen abwechselnd an der oberen und an der unteren Seite liegen. Dadurch entsteht eine immer weniger gezackte, annähernd rechteckige Form. 2. Die Hälfte der Kreisbögen liegt oben und die andere Hälfte unten. Bei immer schmaleren Sektoren nähern sich beide langen Begrenzungen deshalb jeweils der Länge \(\frac{U}{2}\). Der Abstand zwischen ihnen nähert sich der Sektorenhöhe und damit dem Radius \(r\). 3. Die Kreisfläche bleibt beim Umordnen erhalten und nähert sich dem Inhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(\frac{U}{2}\) und \(r\): \(A=\frac{U}{2}\cdot r\). 4. Mit \(U=2\pi r\) folgt \(A=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2\).

a) Die Sektoren liegen nebeneinander und ihre Spitzen zeigen abwechselnd nach oben und nach unten. b) Oben und unten liegt jeweils die Hälfte der Kreisbögen, also nähert sich jede lange Seite \(\frac{U}{2}\); der Abstand der langen Seiten nähert sich \(r\). c) \(A=\frac{U}{2}\cdot r=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2\).

- Vergleiche zuerst die Formen der beiden Graphen: Gerade oder gekrümmte Kurve. - Betrachte in beiden Diagrammen dieselben beiden Radiuswerte. - Welche Potenz von \(r\) steht in der Umfangsformel und welche in der Flächenformel?

1. \(U(r)=2\pi r\) ist proportional zu \(r\); sein Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. \(A(r)=\pi r^2\) ist quadratisch; sein Graph ist gekrümmt. 2. Beim Übergang von \(r=2\,\text{cm}\) zu \(r=4\,\text{cm}\) verdoppelt sich der Umfang: \(U(4)=2U(2)\). 3. Für die Fläche gilt dagegen \(A(4)=\pi\cdot4^2=4\pi\cdot2^2=4A(2)\). Sie vervierfacht sich. 4. Ranias Aussage verwechselt den linearen Zusammenhang des Umfangs mit dem quadratischen Zusammenhang des Flächeninhalts.

a) \(U(r)\) ist linear, \(A(r)\) ist quadratisch. b) Beim Verdoppeln von \(r\) verdoppelt sich \(U\), aber \(A\) vervierfacht sich. c) Die Behauptung ist falsch, denn \(A(2r)=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4A(r)\).

- Überlege, ob der Tacho zu viel oder zu wenig anzeigt, wenn der eingestellte Durchmesser kleiner als der echte ist. - Die Anzahl der Radumdrehungen ist die verbindende Größe zwischen der Anzeige und der Wirklichkeit. - Musst du \(\pi\) unbedingt am Anfang ausrechnen oder kürzt es sich vielleicht in einem Verhältnis weg?

1. Der Tacho berechnet die Strecke \(s_{\text{Anzeige}}\) auf Grundlage des eingestellten Umfangs \(U_{\text{eingestellt}} = \pi \cdot 68\,\text{cm}\). Die Anzahl der registrierten Umdrehungen ist \(n = \frac{s_{\text{Anzeige}}}{U_{\text{eingestellt}}}\). 2. Die tatsächliche Strecke \(s_{\text{tatsächlich}}\) ergibt sich aus derselben Anzahl an Umdrehungen multipliziert mit dem tatsächlichen Umfang \(U_{\text{tatsächlich}} = \pi \cdot 71\,\text{cm}\). 3. Es gilt das Verhältnis: \(\frac{s_{\text{tatsächlich}}}{s_{\text{Anzeige}}} = \frac{n \cdot \pi \cdot d_{\text{tatsächlich}}}{n \cdot \pi \cdot d_{\text{eingestellt}}} = \frac{d_{\text{tatsächlich}}}{d_{\text{eingestellt}}}\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{\text{tatsächlich}} = 34{,}0\,\text{km} \cdot \frac{71\,\text{cm}}{68\,\text{cm}} = 34{,}0 \cdot 1{,}044117\ldots = 35{,}5\,\text{km}\).

Die tatsächlich gefahrene Strecke war \(35{,}5\,\text{km}\) lang.

- Vergleiche in der Formel \(A=\pi r^2\), wie ein Faktor am Radius auf den Flächeninhalt wirkt. - Suche einen positiven Radiusfaktor, dessen Quadrat den gegebenen Flächenfaktor erzeugt. - Prüfe anschließend mit der Umfangsformel, ob derselbe Faktor dort linear oder quadratisch wirkt.

1. Aus \(A_2=16A_1\) und \(A=\pi r^2\) folgt \(\pi r_2^2=16\pi r_1^2\), also \(r_2^2=16r_1^2\). 2. Es gilt \((4r_1)^2=16r_1^2\). Da Radien positive Längen sind, folgt daraus \(r_2=4r_1\). Der Radius vergrößert sich um den Faktor \(4\). 3. Mit \(U=2\pi r\) gilt dann \(U_2=2\pi(4r_1)=4U_1\). Der Umfang vervierfacht sich ebenfalls.

a) Der Radius vergrößert sich um den Faktor \(4\). b) Der Umfang vergrößert sich ebenfalls um den Faktor \(4\).

- Setze den gegebenen Winkel als Anteil eines Vollkreises in die Sektorflächenformel ein. - Vereinfache die Gleichung so weit, dass nur noch das Quadrat des Radius übrig bleibt, und nutze dann eine passende positive Quadratzahl. - Für den Umfang des Sektors gehören neben dem Kreisbogen auch die beiden geraden Begrenzungsstrecken dazu.

1. a) Mit \(A=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2\) gilt \(20\pi\,\text{cm}^2=\frac{72^\circ}{360^\circ}\pi r^2=\frac{1}{5}\pi r^2\). 2. Multiplikation mit \(5\) und Kürzen von \(\pi\) ergibt \(r^2=100\,\text{cm}^2\). Da der Radius positiv ist und \((10\,\text{cm})^2=100\,\text{cm}^2\), folgt \(r=10\,\text{cm}\). 3. b) Die Bogenlänge beträgt \(b=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot10\,\text{cm}=4\pi\,\text{cm}\approx12{,}57\,\text{cm}\). 4. Zum Kreisbogen kommen zwei Radien hinzu: \(U_{\text{Sektor}}=b+2r=4\pi\,\text{cm}+20\,\text{cm}\approx32{,}57\,\text{cm}\).

a) \(r=10\,\text{cm}\) b) \(U_{\text{Sektor}}=20\,\text{cm}+4\pi\,\text{cm}\approx32{,}57\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst den Radius für beide Fälle. - Wie viele kleine Kreise passen in eine Reihe, wenn es insgesamt 25 sind? - Vergleiche die Summe der Flächen der kleinen Kreise mit der Fläche des einen großen Kreises. - Was stellst du fest, wenn du die Formeln für die Flächeninhalte aufstellst, ohne direkt \(\pi\) einzutippen?

1. Fläche der quadratischen Platten: \(A_{\text{Platte}} = 50^2 = 2500\,\text{cm}^2\). 2. Variante 1 (1 großer Kreis): Durchmesser \(d_1 = 50\,\text{cm}\), Radius \(r_1 = 25\,\text{cm}\). Fläche \(A_1 = \pi \cdot 25^2 = 625\pi \approx 1963{,}50\,\text{cm}^2\). 3. Variante 2 (25 kleine Kreise): Durchmesser \(d_2 = 50\,\text{cm} : 5 = 10\,\text{cm}\), Radius \(r_2 = 5\,\text{cm}\). Gesamtfläche \(A_2 = 25 \cdot \pi \cdot 5^2 = 25 \cdot 25\pi = 625\pi \approx 1963{,}50\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: In beiden Fällen ist die Fläche der Kreise identisch (\(625\pi\)). 5. Berechnung des Verschnitts: \(2500 - 625\pi \approx 536{,}50\,\text{cm}^2\). Ergebnis: Bei beiden Varianten entsteht genau die gleiche Menge an Verschnitt.

Bei beiden Varianten entsteht exakt die gleiche Menge an Verschnitt (ca. \(536{,}50\,\text{cm}^2\)).

- Die Aussage vergleicht nicht Fläche und Umfang als Größen, sondern ihre Zahlenwerte bei den angegebenen Einheiten. - Schreibe den Radius zunächst als eine Zahl mal \(\text{cm}\) und formuliere daraus die beiden Maßzahlen. - Setze erst danach die Bedingung „viermal so groß“ als Gleichung zwischen diesen Maßzahlen um.

1. Schreibe den Radius als \(r=x\,\text{cm}\) mit \(x>0\). Dann ist die Maßzahl des Umfangs \(u=2\pi x\) und die Maßzahl des Flächeninhalts \(a=\pi x^2\). 2. Nach der gegebenen Bedingung gilt für die Maßzahlen \(a=4u\). Damit folgt \(\pi x^2=4(2\pi x)=8\pi x\). 3. Da \(x>0\), kann durch \(\pi x\) geteilt werden. Es ergibt sich \(x=8\), also \(r=8\,\text{cm}\). 4. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\pi(8\,\text{cm})^2=64\pi\,\text{cm}^2\approx201{,}1\,\text{cm}^2\).

\(r=8\,\text{cm}\) \(A=64\pi\,\text{cm}^2\approx201{,}1\,\text{cm}^2\)

- Stelle jede Ringfläche als Differenz zweier Kreisflächen dar. - Achte in Teil b) darauf, welche Innen- und Außenradien zu den beiden Ringen gehören. - Formuliere in Teil c) allgemein, wie ein Faktor am Radius durch das Quadrat in \(A=\pi r^2\) auf die Fläche wirkt.

1. a) Der innere Kreis hat den Flächeninhalt \(A_1=\pi r^2\). Der Außenradius des zweiten Bereichs ist \(2r\). Daher ist die Ringfläche \(A_2=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2\). Somit gilt \(A_1:A_2=1:3\). 2. b) Der zweite Ring reicht von \(10\,\text{cm}\) bis \(20\,\text{cm}\). Seine Fläche ist \(\pi(20^2-10^2)\,\text{cm}^2=300\pi\,\text{cm}^2\). 3. Der dritte Ring reicht von \(20\,\text{cm}\) bis \(30\,\text{cm}\). Seine Fläche ist \(\pi(30^2-20^2)\,\text{cm}^2=500\pi\,\text{cm}^2\). Da \(500\pi>300\pi\), ist der dritte Ring größer. 4. c) Wird der Radius mit dem Faktor \(k\) verändert, so wird die Fläche wegen \(A=\pi r^2\) mit dem Faktor \(k^2\) verändert. Für den Flächenfaktor \(9\) passt \(k=3\), denn \(3^2=9\). Der Radius muss also verdreifacht werden.

a) \(1:3\) b) Zweiter Ring: \(300\pi\,\text{cm}^2\); dritter Ring: \(500\pi\,\text{cm}^2\). Der dritte Ring ist größer. c) Der Radius muss mit dem Faktor \(3\) verändert werden.

- Vergleiche in Teil a) die Kreisfläche mit der gesamten Quadratfläche. - Nutze in Teil b) die Symmetrie der vier gleich großen Eckbereiche. - Übersetze die prozentuale Radiusänderung in einen Faktor und beachte, dass der Radius in der Flächenformel quadriert wird.

1. a) Die quadratische Rasenfläche hat den Flächeninhalt \(A_Q=(14\,\text{m})^2=196\,\text{m}^2\). Der Kreis hat \(A_K=\pi(7\,\text{m})^2=49\pi\,\text{m}^2\approx153{,}94\,\text{m}^2\). 2. Der bewässerte Anteil beträgt \(\frac{49\pi}{196}=\frac{\pi}{4}\approx0{,}7854\), also etwa \(78{,}54\,\%\). 3. b) Insgesamt bleiben \(196\,\text{m}^2-49\pi\,\text{m}^2\approx42{,}06\,\text{m}^2\) trocken. Wegen der symmetrischen Lage sind die vier Eckflächen gleich groß. Eine Eckfläche hat daher etwa \(42{,}06\,\text{m}^2:4\approx10{,}52\,\text{m}^2\). 4. c) Eine Vergrößerung des Radius um \(20\,\%\) entspricht dem Faktor \(1{,}2\). Wegen \(A=\pi r^2\) erhält die Kreisfläche den Faktor \(1{,}2^2=1{,}44\). Sie wächst also um \(44\,\%\).

a) Quadrat: \(196\,\text{m}^2\); bewässerter Anteil: ca. \(78{,}54\,\%\) b) Eine trockene Eckfläche ist ca. \(10{,}52\,\text{m}^2\) groß. c) Der Flächeninhalt des kreisförmigen Beregnungsbereichs wächst um \(44\,\%\).

- Bestimme zunächst aus dem Umfang nur den Radius des ersten Banners. - Überlege anschließend, welcher Radiusfaktor in der Flächenformel einen Flächenfaktor von \(4\) erzeugt. - Nutze den Skalierungszusammenhang direkt, statt den zweiten Flächeninhalt vollständig auszurechnen.

1. a) Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r_1=U:(2\pi)=9{,}42\,\text{m}:(2\pi)\approx1{,}50\,\text{m}\). 2. b) Nach \(A=\pi r^2\) bewirkt eine Verdopplung des Radius den Flächenfaktor \(2^2=4\). 3. Da das zweite Banner die vierfache Fläche haben soll, muss sein Radius daher doppelt so groß sein: \(r_2=2r_1\approx3{,}00\,\text{m}\).

a) \(r_1\approx1{,}50\,\text{m}\) b) \(r_2\approx3{,}00\,\text{m}\). Die Vervierfachung der Fläche entsteht durch die Verdopplung des Radius, weil der Radius in \(A=\pi r^2\) quadriert wird.

- Nutze in Teil a) zuerst die Umfangsformel, um den Radiusfaktor zu bestimmen. - Übertrage denselben Radiusfaktor anschließend auf die Flächenformel und beachte das Quadrat. - In Teil b) genügt es, den gegebenen Radiusfaktor zu quadrieren; der ursprüngliche Radius selbst ist nicht nötig.

1. a) Mit \(U=2\pi r\) bedeutet der dreifache Umfang auch den dreifachen Radius: \(r_{\text{neu}}=3r\). 2. Für die Fläche gilt dann \(A_{\text{neu}}=\pi(3r)^2=9\pi r^2=9A\). Die Behauptung ist richtig. 3. b) Beim Radiusfaktor \(\frac{2}{5}\) erhält die Fläche den Faktor \(\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\). 4. Daher ist \(A_{\text{neu}}=\frac{4}{25}\cdot50\,\text{cm}^2=8\,\text{cm}^2\).

a) Die Aussage ist richtig: Der dreifache Umfang führt zum dreifachen Radius und damit zur neunfachen Fläche. b) \(A_{\text{neu}}=8\,\text{cm}^2\)

- Welche Maße muss der Kreis haben, damit er gerade noch in das Quadrat passt? - Wie berechnest du den Teil, der nach dem Ausstanzen übrig bleibt? - Was bedeutet „Prozent“ im Zusammenhang mit zwei Flächen? - Versuche für den letzten Teil, die Flächeninhalte allgemein mit einer Variablen für die Seitenlänge auszudrücken.

1. Berechnung der Flächen für Teil a): Fläche des Quadrats: \(A_{Q} = a^2 = (60\,\text{cm})^2 = 3600\,\text{cm}^2\). Der Durchmesser des Kreises entspricht der Seitenlänge (\(d = 60\,\text{cm}\)), also \(r = 30\,\text{cm}\). Fläche des Kreises: \(A_{K} = \pi r^2 = \pi \cdot (30\,\text{cm})^2 = 900\pi \approx 2827{,}43\,\text{cm}^2\). Abfall: \(A_{\text{Abfall}} = 3600\,\text{cm}^2 - 2827{,}43\,\text{cm}^2 \approx 772{,}57\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Prozentsatzes für Teil b): Anteil: \(\frac{772{,}57}{3600} \approx 0{,}2146\), also \(21{,}46\,\%\). 3. Begründung für Teil c): Sei \(a\) die Seitenlänge. Dann ist \(A_{Q} = a^2\) und \(A_{K} = \pi(\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi}{4}a^2\). Der Abfall ist \(a^2 - \frac{\pi}{4} a^2 = a^2(1 - \frac{\pi}{4})\). Der prozentuale Anteil ist \(\frac{a^2(1 - \frac{\pi}{4})}{a^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\). Da sich \(a^2\) im Bruch kürzt, hängt das Verhältnis nur von der Konstante \(\pi\) ab.

a) \(A_{\text{Abfall}} \approx 772{,}57\,\text{cm}^2\) b) Der Abfall beträgt \(\approx 21{,}46\,\%\). c) Da sowohl die Fläche des Quadrats (\(a^2\)) als auch die Fläche des Kreises (\(\frac{\pi}{4}a^2\)) proportional zum Quadrat der Seitenlänge sind, kürzt sich diese bei der Verhältnisbildung heraus.