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- Welche Rolle spielt der zweite Bruch bei einer Division von Brüchen? - Prüfe, welcher Vorschlag den ersten Bruch unverändert lässt.

1. Bei der Division durch einen Bruch wird der zweite Bruch umgekehrt und anschließend multipliziert. 2. Daher ist \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\).

Richtig ist 2: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\).

- Betrachte Zähler und Nenner des Produkts nach gemeinsamen Faktoren. - Nutze die angegebene Bedingung, bevor du einen variablen Faktor kürzt.

1. Wegen \(x\neq0\) darf der gemeinsame Faktor \(x\) gekürzt werden. 2. Es bleibt \(\frac{8}{4}=2\).

\(2\)

- Schreibe die Division zunächst als Bruch. - Betrachte getrennt, wie eine Änderung des Zählers und eine Änderung des Nenners den Quotienten beeinflussen. - Überlege bei b), wie du eine Division durch einen Bruch umschreiben kannst.

1. Für a) ergibt sich \(\frac{2a}{4b} = \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}\). Der Quotient wird also halbiert. 2. Für b) gilt \(\frac{a}{6} : \frac{b}{2} = \frac{a}{6}\cdot\frac{2}{b} = \frac{1}{3}\cdot\frac{a}{b}\). Der neue Quotient ist ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

a) Der Quotient wird halbiert. b) Der Quotient beträgt ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

- Kannst du Zähler und Nenner zuerst in Faktoren zerlegen, bevor du multiplizierst? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft beim Faktorisieren. - Beim Multiplizieren von Brüchen darfst du „über Kreuz“ kürzen.

1. Multiplikation der Zähler und Nenner im ersten Teil: \(\frac{9x^2 \cdot 10y^2}{5y \cdot 3x} = \frac{90x^2y^2}{15xy}\). 2. Kürzen der Koeffizienten (\(90 : 15 = 6\)) und der Variablen: \(6xy\). 3. Faktorisierung des Nenners im zweiten Teil mit der dritten binomischen Formel: \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x+4)\) und der Variablen \(x\): \(\frac{(x+4) \cdot x^2}{x \cdot (x-4)(x+4)} = \frac{x}{x-4}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(x \notin \{-4; 0; 4\}\).

a) \(6xy\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{x}{x-4}\) für \(x \notin \{-4; 0; 4\}\)

- Kannst du im Zähler des zweiten Bruchs einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Was passiert, wenn derselbe Ausdruck im Zähler und im Nenner steht? - Denk daran, dass man beim Multiplizieren von Brüchen „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ rechnet.

1. Faktorisieren des Zählers im zweiten Bruch durch Ausklammern: \(2x + 4 = 2(x + 2)\) 2. Multiplizieren der Brüche: \(\frac{5x \cdot 2(x + 2)}{(x + 2) \cdot 10x^2}\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x + 2)\): \(\frac{10x}{10x^2}\) 4. Kürzen durch \(10x\): \(\frac{1}{x}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -2\) und \(x \neq 0\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x}\) für \(x \notin \{-2; 0\}\)

- Erkennst du in den Zählern oder Nennern Ausdrücke, die zu den binomischen Formeln passen? - Kannst du Summen in Produkte verwandeln, um danach zu kürzen? - Denk daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen.

1. In Teilaufgabe a) Anwendung der ersten binomischen Formel im Zähler des zweiten Bruchs: \(s^2+4s+4 = (s+2)^2\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner des zweiten Bruchs: \(s^2-4 = (s-2)(s+2)\). 3. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{s-2}{s+2} \cdot \frac{(s+2)^2}{(s-2)(s+2)} = \frac{(s-2)(s+2)^2}{(s+2)^2(s-2)} = 1\). 4. In Teilaufgabe b) Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\). 5. Division durch den Term \((x+y)\) als Multiplikation mit \(\frac{1}{x+y}\): \(\frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{x+y}\). 6. Kürzen des Faktors \((x+y)\): \(\frac{x-y}{xy}\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(s \notin \{-2; 2\}\); b) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq -y\).

a) \(1\) für \(s \notin \{-2; 2\}\) b) \(\frac{x-y}{xy}\) für \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(x \neq -y\)

- In a) kannst du vor oder nach dem Multiplizieren gemeinsame Zahlen- und Variablenfaktoren kürzen. - In b) ersetzt du die Division durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. - Prüfe in b), welcher Faktor sich aus \(4a+4b\) ausklammern lässt und warum dieser Faktor wegen der Division nicht null sein darf.

1. In a) ergibt die Multiplikation \(\frac{2xy}{6x^2y^2}\). Kürzen der gemeinsamen Faktoren liefert \(\frac{1}{3xy}\). 2. In b) wird die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{a+b}{c}\cdot\frac{c^2}{4a+4b}\). 3. Da \(4a+4b=4(a+b)\), kann der Faktor \(a+b\) gekürzt werden. Außerdem kürzt sich ein Faktor \(c\). 4. Es bleibt \(\frac{c}{4}\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben bestehen.

a) \(\frac{1}{3xy}\) für \(x\neq0\) und \(y\neq0\) b) \(\frac{c}{4}\) für \(c\neq0\) und \(a+b\neq0\)

- In a) kannst du gemeinsame Zahlen- und Variablenfaktoren kürzen. - In b) prüfe vor dem Kehrwert sowohl die Nenner als auch, wann der gesamte Divisor null wird. - Klammere im linearen Ausdruck des Divisors einen gemeinsamen Zahlenfaktor aus, bevor du kürzt.

1. In a) ergibt die Multiplikation \(\frac{12a^2b^2}{4ab}\). Kürzen liefert \(3ab\). Aus den ursprünglichen Nennern gelten \(a\neq0\) und \(b\neq0\). 2. In b) gilt wegen der Nenner zunächst \(y\neq0\). Der Divisor \(\frac{2x+10}{6y^2}\) darf außerdem nicht null sein; daher gilt \(x\neq-5\). 3. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{x+5}{3y}\cdot\frac{6y^2}{2x+10}\). 4. Mit \(2x+10=2(x+5)\) können \(x+5\), die Zahlenfaktoren und ein Faktor \(y\) gekürzt werden. Es bleibt \(y\).

a) \(3ab\) für \(a\neq0\) und \(b\neq0\) b) \(y\) für \(y\neq0\) und \(x\neq-5\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren finden und diese streichen? - In welcher Reihenfolge solltest du die Rechenoperationen ausführen? - Was passiert, wenn man einen Term durch sich selbst teilt?

1. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert für Teil a): \(\frac{4x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{2x}\). 2. Kürzen der Koeffizienten und Variablen: \(\frac{4}{2} = 2\), \(\frac{x^2}{x} = x\) und \(\frac{y^2}{y} = y\). Ergebnis: \(2xy\). 3. Multiplikation der ersten beiden Brüche in Teil b): \(\frac{a \cdot b}{b^2 \cdot a^2} = \frac{1}{ab}\). 4. Division durch den dritten Bruch als Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{1}{ab} \cdot \frac{ab}{1} = 1\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\).

a) \(2xy\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(1\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\)

- Überlege dir, wie man eine Summe im Zähler aufteilen kann, wenn sie durch einen gemeinsamen Nenner geteilt wird. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen beim Dividieren von Variablen. - Vergiss nicht, die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) ebenfalls zu dividieren und so weit wie möglich zu kürzen.

1. Aufteilen des Bruchs in einzelne Summanden und Kürzen: \(\frac{12a^2}{6a} + \frac{6}{6a} = 2a + \frac{1}{a}\) 2. Division jedes Gliedes des Zählers durch den Nenner: \(\frac{10x^3}{5x^2} - \frac{5x^2}{5x^2} + \frac{2}{5x^2} = 2x - 1 + \frac{2}{5x^2}\) 3. Termweises Dividieren und Vereinfachen: \(\frac{8m^2}{4m} - \frac{12m}{4m} + \frac{1}{4m} = 2m - 3 + \frac{1}{4m}\) 4. Definitionsbedingungen: In Teil 1 gilt \(a \neq 0\), in Teil 2 \(x \neq 0\) und in Teil 3 \(m \neq 0\).

1) \(2a + \frac{1}{a}\) für \(a \neq 0\); 2) \(2x - 1 + \frac{2}{5x^2}\) für \(x \neq 0\); 3) \(2m - 3 + \frac{1}{4m}\) für \(m \neq 0\).

- Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs in der Klammer faktorisieren, indem du eine Variable ausklammerst? - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Erinnerst du dich, wie man eine Division durch einen Bruch in eine Multiplikation umwandelt? - Gibt es im Zähler und Nenner gleiche Ausdrücke, die du am Ende kürzen kannst?

1. Faktorisieren des Nenners im zweiten Bruch der Klammer: \(a^2 + 3a = a \cdot (a + 3)\). 2. Bestimmen des Hauptnenners in der Klammer: \(a \cdot (a + 3)\). 3. Erweitern des ersten Bruchs und Addieren: \(\frac{a \cdot a}{a(a+3)} + \frac{9}{a(a+3)} = \frac{a^2+9}{a(a+3)}\). 4. Division durch den zweiten Term durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2+9}{a(a+3)} \cdot \frac{a}{a^2+9}\). 5. Kürzen der gemeinsamen Faktoren \(a\) und \((a^2+9)\) im Zähler und Nenner: \(\frac{1}{a+3}\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(a \neq 0\) und \(a \neq -3\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{a+3}\) für \(a \notin \{-3; 0\}\)

- Prüfe zunächst die Nenner der beiden vorkommenden Brüche. - Bei einer Division gibt es zusätzlich eine Bedingung an den Wert des gesamten zweiten Bruchs. - Ein definierter Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist.

1. Der Nenner des ersten Bruchs darf nicht null sein, also gilt \(x\neq2\). 2. Der Nenner des Divisors darf nicht null sein, also gilt \(x\neq-4\). 3. Außerdem darf der Divisor selbst nicht null sein. Das geschieht bei \(x-3=0\), also gilt zusätzlich \(x\neq3\).

Ausgeschlossen sind \(x=-4\), \(x=2\) und \(x=3\).

- Überlege, wie sich ein Quotient verändert, wenn nur der Nenner verändert wird. - Berücksichtige bei b) zuerst die Wirkung der Verdopplung des Nenners. - Für c) suchst du zwei Änderungsfaktoren, deren gemeinsame Wirkung den Faktor \(10\) ergibt.

1. Bleibt \(a\) unverändert, muss der Nenner durch \(10\) geteilt werden: \(\frac{a}{b:10}=10\cdot\frac{a}{b}\). 2. Wird \(b\) verdoppelt, muss \(a\) mit \(20\) multipliziert werden: \(\frac{20a}{2b}=10\cdot\frac{a}{b}\). 3. Eine weitere Möglichkeit ist, \(a\) zu verfünffachen und \(b\) zu halbieren: \(\frac{5a}{b:2}=10\cdot\frac{a}{b}\).

a) \(b\) wird durch \(10\) geteilt. b) \(a\) wird mit \(20\) multipliziert. c) Zum Beispiel: \(a\) wird verfünffacht und \(b\) halbiert.

- Schau dir die Nenner genau an – wann wird eine Division unmöglich? - Kannst du im Zähler etwas ausklammern, um danach zu kürzen? - Hängt das Endergebnis am Ende überhaupt noch von \(x\) ab?

1. Faktorisierung des Zählers im ersten Bruch durch Ausklammern von \(x\): \(x^2+2x = x(x+2)\). 2. Kürzen des Faktors \((x+2)\) im ersten Bruch ergibt \(x\). 3. Multiplikation mit dem zweiten Bruch: \(x \cdot \frac{5}{x}\). 4. Kürzen der Variablen \(x\) führt zum konstanten Ergebnis \(5\). 5. Bestimmung der Definitionslücken: Die Nenner \(x+2\) und \(x\) dürfen nicht null sein, daraus folgt \(x \neq -2\) und \(x \neq 0\). 6. Da der vereinfachte Term den konstanten Wert \(5\) hat und \(100\) im Definitionsbereich liegt, ist der Wert für \(x=100\) ebenfalls \(5\).

a) \(5\) b) Der Term ist für \(x=-2\) und \(x=0\) nicht definiert. c) \(5\), da der Term für alle zulässigen \(x\) den konstanten Wert \(5\) annimmt.

- Wie subtrahierst du einen Bruch von einer ganzen Zahl? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem Zähler beim Zusammenfassen in der Klammer. - Kannst du den Ausdruck \(x^2 + x\) durch Ausklammern vereinfachen?

1. Den Ausdruck in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen: \(1 - \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x-1}{x+1}\) 2. Zähler zusammenfassen (Vorsicht beim Minuszeichen): \(\frac{(x+1) - (x-1)}{x+1} = \frac{x+1-x+1}{x+1} = \frac{2}{x+1}\) 3. Den zweiten Faktor faktorisieren: \(x^2 + x = x(x+1)\) 4. Die Multiplikation durchführen: \(\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x(x+1)}{2}\) 5. Die Faktoren \(2\) und \((x+1)\) kürzen: \(x\) Die ursprüngliche Bedingung \(x \neq -1\) bleibt erhalten.

\(x\) für \(x \neq -1\)

- Versuche im ersten Teil, die Zahlen in den Brüchen einzeln auszurechnen, bevor du sie multiplizierst. - Welche Variablen oder Zahlen kommen sowohl im Zähler als auch im Nenner vor? - Kannst du Potenzen wie \(a^2\) durch \(a\) teilen? - Was passiert mit der Variable \(b\), wenn sie oben und unten steht?

1. Direkte Berechnung: \(A = \frac{12 \cdot 2{,}5^2}{5 \cdot 13} \cdot \frac{10 \cdot 13}{3 \cdot 2{,}5} = \frac{75}{65} \cdot \frac{130}{7{,}5} = \frac{15}{13} \cdot \frac{52}{3} = \frac{15 \cdot 52}{13 \cdot 3} = \frac{780}{39} = 20\). 2. Vereinfachung des Terms: \(A = \frac{12 \cdot 10 \cdot a^2 \cdot b}{5 \cdot 3 \cdot b \cdot a} = \frac{120 \cdot a^2 \cdot b}{15 \cdot a \cdot b}\). 3. Kürzen: \(\frac{120}{15} = 8\), \(\frac{a^2}{a} = a\) und \(\frac{b}{b} = 1\). Somit ist \(A = 8a\). 4. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(8 \cdot 2{,}5 = 20\). 5. Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis, wobei der Weg über die Vereinfachung deutlich weniger Rechenschritte erfordert. Die Vereinfachung gilt für die ursprünglichen Bedingungen \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

a) Der Wert ist \(20\). b) Der vereinfachte Term lautet \(8a\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\). c) \(8 \cdot 2{,}5 = 20\). Das Ergebnis ist identisch mit a).

- Hilft es dir, erst alle Zähler und Nenner einzeln zu faktorisieren, bevor du rechnest? - Gibt es gemeinsame Faktoren, die du ausklammern kannst? - Achte bei der Division genau darauf, welcher Term im Kehrwert wo landet.

1. In Teilaufgabe a) Ausklammern im ersten Zähler: \(5a+10 = 5(a+2)\). Faktorisieren des ersten Nenners mit der dritten binomischen Formel: \(a^2-1 = (a-1)(a+1)\). 2. Multiplizieren und Kürzen der Faktoren \((a+1)\) und \((a+2)\): \(\frac{5(a+2) \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1) \cdot (a+2)} = \frac{5}{a-1}\). 3. In Teilaufgabe b) Anwendung der zweiten binomischen Formel im ersten Zähler: \(u^2-2uv+v^2 = (u-v)^2\). 4. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{(u-v)^2}{u+v} \cdot \frac{u^2-v^2}{u-v}\). 5. Faktorisieren des neuen Zählers mit der dritten binomischen Formel: \(u^2-v^2 = (u-v)(u+v)\). 6. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{(u-v)^2 \cdot (u-v)(u+v)}{(u+v) \cdot (u-v)} = (u-v)^2\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(a \notin \{-2; -1; 1\}\); b) \(u \neq v\) und \(u \neq -v\).

a) \(\frac{5}{a-1}\) für \(a \notin \{-2; -1; 1\}\) b) \((u-v)^2\) oder \(u^2-2uv+v^2\) für \(u \neq v\) und \(u \neq -v\)

- Stelle dir die Aufgabe wie eine einfache Gleichung vor: \(10 : x = 2\). Wie würdest du \(x\) berechnen? - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es für das Quadrat in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Umstellen der Gleichung nach dem Platzhalter: \(\square = \frac{9k}{m^2} : \frac{3}{m}\). 2. Umwandlung der Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{9k}{m^2} \cdot \frac{m}{3}\). 3. Multiplikation der Terme: \(\frac{9k \cdot m}{3 \cdot m^2}\). 4. Kürzen der Zahl \(3\) und der Variablen \(m\): \(\frac{3k}{m}\). 5. Für \(m \neq 0\) ist die Ausgangsgleichung definiert; \(k \neq 0\) stellt sicher, dass der gefundene Divisor nicht null ist.

\(\square = \frac{3k}{m}\) für \(m \neq 0\) und \(k \neq 0\).

- Erkennst du im ersten Zähler eine binomische Formel? - Schreibe alles auf einen langen Bruchstrich, bevor du mit dem Kürzen beginnst. - Denke daran, dass man nur aus Produkten kürzen darf, nicht aus Summen. - Gibt es Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen?

1. Faktorisieren des Zählers \(x^2 - 16\) mithilfe der dritten binomischen Formel: \((x-4)(x+4)\). 2. Aufstellen des Gesamtbruchs: \(\frac{(x-4)(x+4) \cdot 10}{5x \cdot (x-4)}\). 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x-4)\) im Zähler und Nenner. 4. Kürzen der Zahlen \(10\) und \(5\): \(\frac{2(x+4)}{x}\). 5. Optionales Ausmultiplizieren des Zählers: \(\frac{2x+8}{x}\). Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 4\) bleiben erhalten.

\(\frac{2x+8}{x}\) oder \(\frac{2(x+4)}{x}\) für \(x \notin \{0; 4\}\)

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft beim Faktorisieren von Zählern oder Nennern. - Achte bei der Division darauf, dass weder ein Nenner noch der gesamte Divisor null werden dürfen.

1. Die Division durch einen Bruch wird durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt: \(\frac{a^2 - 25}{5a} \cdot \frac{10}{a - 5}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler des ersten Bruchs: \(a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)\). 3. Einsetzen und Kürzen: \(\frac{(a - 5)(a + 5) \cdot 10}{5a \cdot (a - 5)}\). 4. Der Faktor \((a - 5)\) kürzt sich heraus. Zudem lässt sich \(10 : 5 = 2\) berechnen. 5. Ergebnis: \(\frac{2(a + 5)}{a} = \frac{2a + 10}{a}\). 6. Definitionsmengen: Im Ursprungsterm muss \(a \neq 0\) gelten (erster Nenner). Außerdem muss \(a \neq 5\) gelten, da der Divisor nicht null sein darf. Somit ist \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{0; 5\}\). 7. Für den Ergebnisterm muss lediglich \(a \neq 0\) gelten, also \(D_E = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). Die Mengen sind unterschiedlich.

Der vereinfachte Term ist \(\frac{2a + 10}{a}\). Die Definitionsmengen sind unterschiedlich: \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{0; 5\}\) und \(D_E = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\).

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Gibt es in den Ausdrücken Terme, die du mit binomischen Formeln faktorisieren kannst? - Achte darauf, erst zu faktorisieren, bevor du kürzt.

1. Division von Brüchen durch Multiplikation mit dem Kehrwert in Teilaufgabe a): \(\frac{8x^3}{y^2} \cdot \frac{y}{4x}\). Kürzen der Koeffizienten \(8:4=2\) und der Variablen ergibt \(\frac{2x^2}{y}\). 2. Faktorisieren des Nenners im zweiten Bruch von Teilaufgabe b) mit der dritten binomischen Formel: \(a^2-4 = (a-2)(a+2)\). 3. Multiplikation der Brüche: \(\frac{a+2}{3a^2} \cdot \frac{6a}{(a-2)(a+2)}\). 4. Kürzen des Faktors \((a+2)\) sowie von \(6a\) mit \(3a^2\) ergibt \(\frac{2}{a(a-2)}\). 5. Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \neq 0\), \(y \neq 0\); b) \(a \notin \{-2;0;2\}\).

a) \(\frac{2x^2}{y}\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\) b) \(\frac{2}{a(a-2)}\) für \(a \notin \{-2;0;2\}\)

- Kannst du Variablen genauso kürzen wie Zahlen? - Was musst du bei der Division von Brüchen beachten? - Achte bei Teilaufgabe c) genau darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation von Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: \(\frac{4x \cdot 15}{5 \cdot 2x^2} = \frac{60x}{10x^2}\). Kürzen durch \(10x\): \(\frac{6}{x}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{a^2 \cdot b^2}{b \cdot a}\). Kürzen durch \(a \cdot b\): \(a \cdot b\). 3. Teilaufgabe c): Punktrechnung zuerst: \(\frac{1}{y} \cdot 4 = \frac{4}{y}\). Subtraktion: \(\frac{3}{y} - \frac{4}{y} = -\frac{1}{y}\). Für die ursprünglichen Terme gelten die Bedingungen: a) \(x \neq 0\), b) \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\), c) \(y \neq 0\).

a) \(\frac{6}{x}\) für \(x \neq 0\) b) \(a \cdot b\) für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\) c) \(-\frac{1}{y}\) für \(y \neq 0\)

- Gibt es Klammern, die in Zähler und Nenner identisch sind? - Was passiert, wenn du bei einem Ausdruck wie \(5-z\) ein Minuszeichen ausklammerst? - Versuche zuerst zu kürzen, bevor du alles ausmultiplizierst.

1. Bei Teilaufgabe a) werden die Brüche multipliziert: \(\frac{4x(x+3)}{8x^2(x+3)}\). Der gemeinsame Klammerfaktor \((x+3)\) lässt sich vollständig kürzen. Kürzen von \(x\) gegen \(x^2\) im Nenner und \(4\) gegen \(8\) ergibt \(\frac{1}{2x}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird erkannt, dass \(5-z = -(z-5)\) ist. Multiplikation der Brüche: \(\frac{6(z-5)}{3(5-z)}\). Ersetzen von \((5-z)\) durch \(-(z-5)\) führt zu \(\frac{6(z-5)}{-3(z-5)}\). Kürzen des Klammerausdrucks und Division der Zahlen (\(6 : -3\)) ergibt \(-2\). Die ursprünglichen Bedingungen bleiben erhalten: a) \(x \notin \{-3; 0\}\); b) \(z \neq 5\).

a) \(\frac{1}{2x}\) für \(x \notin \{-3; 0\}\) b) \(-2\) für \(z \neq 5\)

- Kannst du im Zähler oder Nenner etwas ausklammern? - Wann darf man einen Bruch nicht berechnen? Was darf im Nenner niemals stehen? - Schau dir die Nenner der beiden Brüche vor dem Kürzen genau an.

1. Faktorisieren der Zähler und Nenner: \(x^2 - 4x = x(x-4)\) und \(3x+6 = 3(x+2)\). 2. Einsetzen in das Produkt: \(T(x) = \frac{x(x-4)}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{x-4}\). 3. Kürzen der gemeinsamen Faktoren \((x-4)\) und \((x+2)\) ergibt \(x \cdot 3 = 3x\). 4. Bestimmung der Definitionslücken: Ein Bruch ist nicht definiert, wenn ein Nenner Null wird. \(x+2=0 \implies x=-2\) und \(x-4=0 \implies x=4\).

a) \(3x\) b) \(x = -2\) und \(x = 4\)

- Zerlege die quadratischen Ausdrücke und die lineare Summe zuerst in Faktoren. - Bei b) prüfe zusätzlich zu den Nennern, für welchen Wert der gesamte Divisor null wird. - Schreibe erst danach die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert und kürze gemeinsame Faktoren.

1. In a) gelten aus den ursprünglichen Nennern \(x\neq-2\) und \(x\neq1\). Mit \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(3x+6=3(x+2)\) ergibt sich \(\frac{(x-1)(x+1)3(x+2)}{(x+2)(x-1)}=3(x+1)\). 2. In b) gelten aus den Nennern \(a\neq-1\) und \(a\neq1\). Zusätzlich darf der Divisor nicht null sein; daher gilt \(a\neq5\). 3. Nach dem Kehrwert gilt \(\frac{(a-5)^2}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a-5}\). 4. Kürzen liefert \((a-5)(a-1)\).

a) \(3(x+1)\) für \(x\notin\{-2;1\}\) b) \((a-5)(a-1)\) für \(a\notin\{-1;1;5\}\)

- Was musst du tun, bevor du Brüche addieren oder subtrahieren kannst? - Denk an die Vorrangregeln: Klammern zuerst. - Was darf im Nenner eines Bruches niemals stehen? - Ist es einfacher, die Zahl in den ursprünglichen oder in den vereinfachten Term einzusetzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Subtraktion in der Klammer: \(2k\). 2. Erweiterung und Subtraktion: \(\frac{4}{2k} - \frac{1}{2k} = \frac{3}{2k}\). 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem äußeren Bruch: \(\frac{3}{2k} \cdot \frac{4k^2}{3}\). 4. Kürzen der Zahl \(3\) und des Terms \(2k\): \(\frac{12k^2}{6k} = 2k\). 5. Einsetzen von \(k = 1{,}5\) in den vereinfachten Term: \(2 \cdot 1{,}5 = 3\). 6. Prüfung der Nenner auf Nullstellen: Der Term ist für \(k = 0\) nicht definiert.

a) \(2k\) b) \(3\) c) \(k = 0\)

- Was passiert, wenn du jedes Glied des Zählers einzeln durch den Nenner teilst? - Der ganzrationale Teil ist der Teil des Ergebnisses, der keinen Bruchstrich mit einer Variablen im Nenner mehr enthält. - Du kannst zur Überprüfung bei b) den Wert auch in die ursprüngliche Bruchform einsetzen.

1. Aufteilen des Bruchs in einzelne Summanden: \(\frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x} + \frac{7}{2x}\) 2. Kürzen der einzelnen Terme ergibt die zerlegte Form: \(T(x) = 2x - 1 + \frac{7}{2x}\) 3. Einsetzen von \(x = 0{,}5\) in die zerlegte Form: \(2 \cdot 0{,}5 - 1 + \frac{7}{2 \cdot 0{,}5} = 1 - 1 + \frac{7}{1} = 7\) 4. Gleichsetzen des ganzrationalen Teils \(2x - 1\) mit \(10\): \(2x - 1 = 10 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5{,}5\) 5. Die Definitionsbedingung des ursprünglichen Terms lautet \(x \neq 0\).

a) \(2x - 1 + \frac{7}{2x}\) für \(x \neq 0\); b) \(7\); c) \(x = 5{,}5\).

- Untersuche Zähler und Nenner einzeln: Erkennst du binomische Formeln? - Wie werden zwei Brüche miteinander multipliziert? - Suche nach gleichen Faktoren in Zähler und Nenner, um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Den ersten Zähler mithilfe der ersten binomischen Formel faktorisieren: \(y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2\). 2. Den ersten Nenner mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)\). 3. Die Brüche multiplizieren und als einen Bruch schreiben: \(\frac{(y + 3)^2 \cdot (y - 4)}{(y - 4)(y + 4) \cdot (y + 3)}\). 4. Den Faktor \((y - 4)\) vollständig und den Faktor \((y + 3)\) einmal kürzen. 5. Es verbleibt der vereinfachte Term \(\frac{y + 3}{y + 4}\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte bleiben erhalten: \(y \neq -4\), \(y \neq -3\) und \(y \neq 4\).

\(\frac{y + 3}{y + 4}\) Dabei gilt \(y \notin \{-4; -3; 4\}\).

- Übersetze „halb so viel Zeit“ zuerst in einen Term. - Beschreibe anschließend den Arbeitsanteil pro Stunde für jede Person. - Addiere die beiden Bruchterme und überlege, wie du daraus die Zeit für die ganze Arbeit erhältst.

1. Simon benötigt \(\frac{t}{2}\) Stunden. 2. Lukas schafft pro Stunde \(\frac{1}{t}\), Simon \(\frac{1}{t/2}=\frac{2}{t}\) des Zauns. 3. Zusammen schaffen sie \(\frac{3}{t}\) des Zauns pro Stunde. 4. Die gemeinsame Arbeitszeit ist \(\frac{t}{3}\). 5. Für \(t=6\) beträgt die gemeinsame Zeit \(2\,\text{h}\). Gegenüber \(6\,\text{h}\) werden \(4\,\text{h}\) gespart; die Aussage stimmt.

a) \(\frac{t}{2}\) b) \(\frac{3}{t}\) c) \(\frac{t}{3}\) d) Die Aussage stimmt; die gemeinsame Zeit beträgt \(2\,\text{h}\).

- Kannst du Teile der Terme mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren? - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Versuche beim Doppelbruch zuerst den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen \((a-b)\) und \((b-a)\)?

1. Für den ersten Teil: Faktorisieren von \(x^2-4\) mithilfe der dritten binomischen Formel zu \((x-2)(x+2)\). Multiplikation der Brüche führt zu \(\frac{3x^2(x-2)(x+2)}{6x(x-2)}\). Kürzen von \((x-2)\), der Zahl \(3\) gegen \(6\) (bleibt \(2\) im Nenner) und \(x^2\) gegen \(x\) ergibt \(\frac{x(x+2)}{2}\). 2. Für den zweiten Teil: Den Zähler des Doppelbruchs auf den Hauptnenner \(ab\) bringen, was \(\frac{b-a}{ab}\) ergibt. Division durch \((a-b)\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{a-b}\). Da \(b-a = -(a-b)\), lässt sich \((a-b)\) kürzen, woraus das Ergebnis \(-\frac{1}{ab}\) folgt. 3. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten: 1) \(x \notin \{0; 2\}\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) und \(a \neq b\).

1) \(\frac{x(x+2)}{2}\) oder \(\frac{x^2+2x}{2}\) 2) \(-\frac{1}{ab}\) Definitionsbedingungen: 1) \(x \notin \{0; 2\}\); 2) \(a \neq 0\), \(b \neq 0\), \(a \neq b\).

- Bestimme die Definitionsbedingungen aus dem ursprünglichen Doppelbruch, bevor du vereinfachst. - Betrachte Zähler und Nenner des Doppelbruchs zunächst als zwei eigene Bruchterme. - Suche nach einer äquivalenten Darstellung, in der gemeinsame Faktoren sichtbar werden.

1. Wegen der inneren Brüche muss zunächst \(y\neq0\) gelten. 2. Zusätzlich darf der Nenner des Doppelbruchs nicht null sein. Aus \(1+\frac{1}{y}=0\) folgt \(y=-1\). Daher gilt außerdem \(y\neq-1\). 3. Zähler und Nenner des Doppelbruchs werden jeweils auf den Nenner \(y\) gebracht: \(\frac{y^2-1}{y}\) und \(\frac{y+1}{y}\). 4. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{y^2-1}{y}\cdot\frac{y}{y+1}\). 5. Mit \(y^2-1=(y-1)(y+1)\) lässt sich für die zulässigen Werte kürzen. Es bleibt \(y-1\). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(y=0\) und \(y=-1\) bleiben erhalten.

\(T(y)=y-1\) für \(y\notin\{-1;0\}\).

- Überlege, wie du den Nenner \(a^2-b^2\) mithilfe einer binomischen Formel umschreiben kannst. - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Kannst du im Zähler oder Nenner etwas ausklammern, um den Bruch zu kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Differenz in der Klammer mittels der dritten binomischen Formel: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). 2. Erweitern des ersten Bruchs mit \((a+b)\): \(\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2}\). 3. Subtraktion der Zähler: \(\frac{a^2+ab-2ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-ab}{a^2-b^2}\). 4. Ausklammern von \(a\) im Zähler und Kürzen des gemeinsamen Faktors \((a-b)\): \(\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a+b}\). 5. Division durch den zweiten Bruch mittels Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{a}{a-b}\). 6. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen \(a \neq b\) und \(a \neq -b\) bleiben erhalten.

\(\frac{a}{a-b}\) Dabei gilt \(a \neq \pm b\).

- Kannst du den Nenner \(x^2-25\) mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Achte beim Zusammenfassen des Zählers besonders auf das Minuszeichen vor dem mittleren Bruch. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Erinnere dich an den Kehrwert. - Kannst du im Zähler des Ergebnisses der Klammer etwas ausklammern, um zu kürzen?

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: Der Nenner \(x^2-25\) lässt sich nach der dritten binomischen Formel als \((x-5)(x+5)\) schreiben. Dies ist der Hauptnenner für alle drei Brüche in der Klammer. 2. Erweiterung der Brüche und Zusammenfassung: \( \frac{x(x+5) - (x^2+25) + 5(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+5x - x^2 - 25 + 5x - 25}{x^2-25} = \frac{10x - 50}{x^2-25} \) 3. Faktorisieren des Zählers: \(10x - 50 = 10(x-5)\). 4. Kürzen des Terms in der Klammer: \(\frac{10(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{10}{x+5}\). 5. Division durchführen: \(\frac{10}{x+5} : \frac{10}{x+5} = \frac{10}{x+5} \cdot \frac{x+5}{10} = 1\). 6. Die Vereinfachung gilt unter den ursprünglichen Bedingungen \(x \neq -5\) und \(x \neq 5\).

\(1\) für \(x \notin \{-5; 5\}\)

- Kannst du im Zähler eine Zahl ausklammern? - Erkennst du im Zähler oder Nenner eine binomische Formel? - Es ist oft einfacher, erst den Term zu vereinfachen und dann die Zahlen einzusetzen. - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander?

1. Faktorisieren des ersten Zählers durch Ausklammern und die 3. binomische Formel: \(2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)\). 2. Faktorisieren des ersten Nenners mit der 2. binomischen Formel: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen: \(\frac{2(a - b)(a + b)}{(a - b)^2} \cdot \frac{a - b}{2} = \frac{2(a - b)^2(a + b)}{2(a - b)^2} = a + b\). 4. Umrechnen der Zahlenwerte: \(a = 5\frac{3}{8} = 5{,}375\) und \(b = -2{,}375\). 5. Einsetzen in den vereinfachten Term: \(5{,}375 + (-2{,}375) = 3\). 6. Die Vereinfachung gilt unter der ursprünglichen Bedingung \(a \neq b\).

a) \(a + b\) für \(a \neq b\) b) \(3\)

- Was fällt dir an den Nennern in der Klammer auf? Kannst du einen davon mithilfe einer binomischen Formel zerlegen? - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Schau dir das Ergebnis der Klammer genau an. Kannst du den Zähler dort als Produkt schreiben (faktorisieren), um später zu kürzen? - Vergiss nicht, dass man bei der Multiplikation von Brüchen „Zähler mal Zähler“ und „Nenner mal Nenner“ rechnet und dann kürzt.

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: Der Nenner \(x^2-9\) entspricht nach der dritten binomischen Formel \((x-3)(x+3)\). Somit ist dies der Hauptnenner. 2. Erweitern der Brüche in der Klammer: \(\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)}\). 3. Zusammenfassen des Zählers in der Klammer: \(x^2 + 3x - 2x + 6 - 12 = x^2 + x - 6\). 4. Faktorisieren des Zählers: \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\). 5. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+2} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{(x-3) \cdot (x+2)}\). 6. Kürzen: Der Faktor \((x-3)\) kürzt sich heraus. Es bleibt \(\frac{x-2}{x+2}\). 7. Definitionsmenge: Die Nenner dürfen nicht null werden, also \(x \neq 3\), \(x \neq -3\) und \(x \neq -2\).

Der vereinfachte Term lautet \(\frac{x-2}{x+2}\) mit \(D = \mathbb{Q} \setminus \{-3; -2; 3\}\).

- Kannst du den Nenner \(x^2-9\) mithilfe einer binomischen Formel zerlegen? - Achte auf das Vorzeichen: Wie hängen \(3-x\) und \(x-3\) zusammen? - Wie subtrahiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch einen Bruch? - Welche Werte für \(x\) würden dazu führen, dass man durch Null teilt?

1. Faktorisieren der Nenner und Bestimmen des Hauptnenners in der Klammer: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\). Der Term \(3-x\) wird zu \(-(x-3)\) umgeformt. 2. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \(x^2-9\), \(3-x\) und \(x+3\) sowie der Zähler des Divisors \(x-3\) dürfen nicht null sein. Daraus folgt \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\). 3. Gleichnamigmachen der Brüche in der Klammer: \(\frac{2x}{(x-3)(x+3)} - \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x - (x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)}\). 4. Kürzen des Ergebnisses in der Klammer: \(\frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\). 5. Division durch den Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(\frac{1}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{x-3}\).

Der vereinfachte Term ist \(\frac{1}{x-3}\) mit \(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}\).

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Klammer? - Kannst du den Zähler des Ergebnisses in der Klammer faktorisieren? - Erinnere dich an die Division von Brüchen: Was passiert mit dem zweiten Bruch? - Welche Ausdrücke treten sowohl im Zähler als auch im Nenner auf und können nach der Multiplikation gekürzt werden?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Klammer unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). 2. Zusammenfassen der Brüche in der Klammer: \(\frac{1(x+1) + 1(x-1) - 2}{x^2-1} = \frac{x+1+x-1-2}{x^2-1} = \frac{2x-2}{x^2-1}\). 3. Faktorisieren von Zähler und Nenner des Klammerergebnisses: \(\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x-1)\), woraus der vereinfachte Klammerausdruck \(\frac{2}{x+1}\) resultiert. 5. Durchführung der Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-1}\). 6. Kürzen des Faktors \((x+1)\). 7. Endergebnis: \(\frac{2}{x-1}\). 8. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -1\) und \(x \neq 1\) bleiben erhalten.

\(\frac{2}{x-1}\) für \(x \notin \{-1; 1\}\)

- Was ist der kleinste gemeinsame Nenner der beiden Brüche in der Klammer? - Denke an die binomischen Formeln, um die Klammern im Zähler aufzulösen. - Kannst du nach der Subtraktion im Zähler etwas zusammenfassen? - Achte beim Multiplizieren darauf, welche Terme im Zähler und Nenner identisch sind und gekürzt werden können.

1. Bestimmung des Hauptnenners für den Ausdruck in der Klammer: Der Hauptnenner von \(\frac{x+y}{x-y}\) und \(\frac{x-y}{x+y}\) ist \((x-y)(x+y)\), was nach der dritten binomischen Formel \(x^2-y^2\) entspricht. 2. Erweitern der Brüche und Subtraktion: \(\frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2-y^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers mithilfe der ersten und zweiten binomischen Formel: \((x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy\). 4. Der Klammerausdruck vereinfacht sich somit zu: \(\frac{4xy}{x^2-y^2}\). 5. Multiplikation mit dem äußeren Term: \(\frac{4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{x}\). 6. Kürzen der Terme \(x^2-y^2\) und der Variablen \(x\): \(\frac{4xy \cdot (x^2-y^2)}{(x^2-y^2) \cdot x} = 4y\). 7. Die Vereinfachung gilt unter den ursprünglichen Bedingungen \(x \neq 0\), \(x \neq y\) und \(x \neq -y\).

\(4y\) für \(x \neq 0\) und \(x \neq \pm y\)

- Kannst du den Nenner des zweiten Bruchs in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren? - Wie bringt man Brüche in einer Klammer auf einen gemeinsamen Nenner? - Was passiert mit dem Zähler des ersten Bruchs nach dem Erweitern? - Gibt es Faktoren, die nach der Multiplikation sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen?

1. Bestimmung des Hauptnenners in der Klammer: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) nach der dritten binomischen Formel. 2. Erweitern des ersten Bruchs auf den Hauptnenner: \(\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x}{x^2-4}\). 3. Subtraktion der Brüche in der Klammer: \(\frac{x^2+2x-2x}{x^2-4} = \frac{x^2}{(x-2)(x+2)}\). 4. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{x^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x^2}\). 5. Kürzen von \(x^2\) im Zähler und Nenner sowie von \((x+2)\) im Zähler und Nenner. 6. Endergebnis: \(\frac{1}{x-2}\). 7. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq -2\), \(x \neq 0\) und \(x \neq 2\) bleiben erhalten.

\(\frac{1}{x-2}\) für \(x \notin \{-2; 0; 2\}\)

- Wie kannst du die Zahl 1 als Bruch schreiben, damit sie denselben Nenner wie der erste Term hat? - Erkennst du im Zähler des rechten Bruchs eine binomische Formel? - Was musst du beim Auflösen der Klammer beachten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Welche Teile des Ausdrucks kommen sowohl oben als auch unten vor?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: \(\frac{x}{x-3} - \frac{x-3}{x-3} = \frac{x - (x-3)}{x-3} = \frac{3}{x-3}\) 2. Den Zähler des zweiten Bruchs mit der dritten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) 3. Den gesamten Ausdruck als Produkt schreiben: \(\frac{3}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3}\) 4. Die Faktoren \(3\) und \((x-3)\) im Zähler und Nenner kürzen: \(\frac{3 \cdot (x-3) \cdot (x+3)}{(x-3) \cdot 3} = x+3\) 5. Die Vereinfachung gilt unter der ursprünglichen Bedingung \(x \neq 3\).

\(x+3\) für \(x \neq 3\)

- Kannst du im ersten Bruch Zähler und Nenner mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren? - Was passiert, wenn du einen Bruch mit einem anderen multiplizierst? Kannst du Faktoren über Kreuz kürzen? - Ist es einfacher, den Wert direkt einzusetzen oder den Term zuerst zu vereinfachen?

1. Faktorisieren der Zähler und Nenner unter Verwendung der binomischen Formeln: \( x^2-16 = (x-4)(x+4) \) und \( x^2-8x+16 = (x-4)^2 \). 2. Einsetzen der faktorisierten Ausdrücke in den Term: \( \frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)^2} \cdot \frac{x-4}{x} \). 3. Kürzen des Faktors \( (x-4) \) im ersten Bruch: \( \frac{x+4}{x-4} \cdot \frac{x-4}{x} \). 4. Kürzen des verbleibenden Faktors \( (x-4) \) im Zähler und Nenner: \( \frac{x+4}{x} \). 5. Einsetzen von \( x = 8 \) in den vereinfachten Term: \( \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \). 6. Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(x \neq 0\) und \(x \neq 4\) bleiben erhalten.

Der vereinfachte Term lautet \(\frac{x+4}{x}\) für \(x \notin \{0; 4\}\). Für \(x = 8\) ergibt sich der Wert \(1{,}5\).

- Kannst du den ersten Teil des Ausdrucks so faktorisieren, dass eine Klammer entsteht, die auch im Divisor vorkommt? - Versuche, die vier Terme in zwei Paare aufzuteilen. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in den ersten beiden Termen? Und in den letzten beiden? - Was passiert, wenn du den gesamten Zähler als Produkt zweier Klammern schreibst?

1. Gruppierung der Terme im Dividenden: \((12a^2 - 4ab) + (15a - 5b)\) 2. Ausklammern gemeinsamer Faktoren in den Gruppen: \(4a(3a - b) + 5(3a - b)\) 3. Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((3a - b)\): \((4a + 5) \cdot (3a - b)\) 4. Division durch den Divisor \((3a - b)\): \(\frac{(4a + 5)(3a - b)}{3a - b} = 4a + 5\) 5. Die Division ist nur für \(3a-b \neq 0\) definiert.

\(4a + 5\) für \(3a-b \neq 0\)

- Trenne die Frage „Ist der vereinfachte Term richtig?“ von der Frage „Für welche Werte war die ursprüngliche Division erlaubt?“. - Prüfe neben den beiden Nennern auch den Zähler des Divisors. - Ein beim Kürzen verschwindender Faktor kann trotzdem einen ursprünglichen Ausschlusswert hinterlassen.

1. Die algebraische Vereinfachung ist für zulässige Werte korrekt: Nach Multiplikation mit dem Kehrwert kürzt sich der Faktor \(x+2\), sodass \(\frac{x-4}{x-1}\) bleibt. 2. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(x\neq1\) und \(x\neq4\). 3. Zusätzlich darf der Divisor \(\frac{x+2}{x-4}\) nicht null sein. Bei \(x=-2\) ist er definiert und gleich null; daher ist auch \(x=-2\) ausgeschlossen.

Nilas vereinfachter Term ist korrekt, ihre Einschränkungen sind unvollständig. Es gilt \(x\notin\{-2;1;4\}\).

- Behandle den gesuchten Divisor zunächst wie eine unbekannte Zahl und arbeite von der Zielgleichung rückwärts. - Nachdem du \(B(x)\) gefunden hast, prüfe sowohl seine Definitionsbedingung als auch die Bedingung, dass ein Divisor nicht null sein darf. - Vergiss den Nenner des ersten Bruchs nicht.

1. Der gesuchte Divisor kann durch Rückwärtsrechnen bestimmt werden: \(B(x)=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{x+2}{x-1}}\). 2. Kürzen des gemeinsamen Faktors \(x-1\) ergibt \(B(x)=\frac{2x}{x+2}\). 3. Im vollständigen Quotienten gilt \(x\neq1\) wegen des ersten Nenners und \(x\neq-2\) wegen des Nenners von \(B\). 4. Außerdem darf \(B(x)\) nicht null sein. Daher ist \(x=0\) ebenfalls ausgeschlossen. 5. Für diese zulässigen Werte liefert die Division tatsächlich \(\frac{x+2}{x-1}\).

\(B(x)=\frac{2x}{x+2}\) für \(x\notin\{-2;0;1\}\).

- Bestimme vor dem Bilden des Kehrwerts sowohl die Nullstellen der ursprünglichen Nenner als auch die Werte, für die der gesamte Divisor null wird. - Schreibe die Division anschließend als Multiplikation mit dem Kehrwert. - Zerlege die quadratischen Differenzen in Faktoren und prüfe dann, welche Faktoren gekürzt werden dürfen.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(z\neq-1\) und \(z\neq1\). Zusätzlich darf der Divisor nicht null sein; daher gilt auch \(z\neq2\). 2. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{z^2-4}{z+1}\cdot\frac{z^2-1}{z-2}\). 3. Es gilt \(z^2-4=(z-2)(z+2)\) und \(z^2-1=(z-1)(z+1)\). 4. Damit erhält man \(\frac{(z-2)(z+2)}{z+1}\cdot\frac{(z-1)(z+1)}{z-2}\). 5. Kürzen der gemeinsamen Faktoren liefert \((z+2)(z-1)=z^2+z-2\).

\((z+2)(z-1)\) für \(z\notin\{-1;1;2\}\).

- Prüfe vor dem Kehrwert nicht nur die Nenner, sondern auch, für welchen Wert der gesamte Divisor null wird. - Zerlege die quadratischen Terme und den linearen Nenner in Faktoren. - Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert und kürze anschließend nur gemeinsame Faktoren.

1. Aus den ursprünglichen Nennern folgen \(y\neq-1\) und \(y\neq1\). Der Divisor wird außerdem bei \(y=2\) null, also gilt zusätzlich \(y\neq2\). 2. Es gilt \(y^2-4y+4=(y-2)^2\), \(2y+2=2(y+1)\) und \(y^2-1=(y-1)(y+1)\). 3. Die Division wird als Multiplikation mit dem Kehrwert geschrieben: \(\frac{(y-2)^2}{2(y+1)}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{y-2}\). 4. Kürzen von \(y+1\) und einem Faktor \(y-2\) liefert \(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\).

\(\frac{(y-2)(y-1)}{2}\) für \(y\notin\{-1;1;2\}\).

- Bei einer Division durch einen Bruch musst du drei Dinge prüfen: die Nenner beider Brüche und den Zähler des Divisors. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was passiert mit den Definitionslücken, wenn du einen Faktor im Zähler und Nenner kürzt?

1. Definitionsbedingungen für \(A(x)\): - Erster Nenner: \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\). - Zweiter Nenner (im Divisor): \(x^2-1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) und \(x \neq -1\). - Der gesamte Divisor darf nicht null sein: \(\frac{x}{x^2-1} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\). Daraus folgt \(D_A = \mathbb{Q} \setminus \{-1; 0; 1\}\). 2. Vereinfachung: - Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{1}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{x}\). - Anwendung der 3. Binomischen Formel: \(\frac{1}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}\). - Kürzen von \((x+1)\): Es bleibt \(\frac{x-1}{x}\). 3. Vergleich der Definitionsmengen: - Das Ergebnis \(\frac{x-1}{x}\) hat nur die Bedingung \(x \neq 0\). Somit ist \(D_E = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\). - Die Werte \(x=-1\) und \(x=1\) bleiben für den ursprünglichen Ausdruck ausgeschlossen. Der Faktor \(x+1\) wird tatsächlich gekürzt. Der Faktor \(x-1\) wird dagegen nicht gekürzt; er gelangt beim Bilden des Kehrwerts aus dem Nenner des Divisors in den Zähler und ist deshalb im vereinfachten Nenner nicht mehr sichtbar.

1. Nicht definiert für \(x \in \{-1; 0; 1\}\). 2. Vereinfachter Term: \(\frac{x-1}{x}\). 3. Im Ergebnis ist nur noch \(x=0\) ausgeschlossen. Für den ursprünglichen Ausdruck bleiben \(x=-1,0,1\) ausgeschlossen. \(x+1\) wird gekürzt; \(x-1\) wandert beim Invertieren des Divisors in den Zähler und wird nicht gekürzt.

- Suche in a) nach einer Differenz von Quadraten und prüfe dann gemeinsame Faktoren. - In b) muss der ursprüngliche Divisor definiert und zugleich von null verschieden sein. - Zerlege die quadratischen Terme vollständig, bevor du den Kehrwert einsetzt und kürzt.

1. In a) gelten \(x\neq0\) und \(x\neq-\frac{3}{2}\). Mit \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\) ergibt sich nach dem Kürzen \(\frac{x(2x-3)}{2}\). 2. In b) folgt aus dem ersten Nenner \(y\neq4\). Der Divisor \(\frac{y+4}{y-4}\) darf zusätzlich nicht null sein, also gilt \(y\neq-4\). 3. Es gilt \(y^2-16=(y-4)(y+4)\) und \(y^2-8y+16=(y-4)^2\). 4. Nach Multiplikation mit dem Kehrwert erhält man \(\frac{(y-4)(y+4)}{(y-4)^2}\cdot\frac{y-4}{y+4}=1\).

a) \(\frac{x(2x-3)}{2}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq-\frac{3}{2}\) b) \(1\) für \(y\notin\{-4;4\}\)

- Erkennst du im Zähler des ersten Bruchs eine binomische Formel? - Wie kannst du die Division durch einen Bruch umschreiben? - Welche Faktoren treten sowohl oben als auch unten auf und können gekürzt werden? - Vergiss nicht, am Ende das Distributivgesetz anzuwenden.

1. Umformung der Division auf der linken Seite in eine Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{x^2 - y^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x + y}\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler \(x^2 - y^2\): \((x - y)(x + y)\). 3. Einsetzen der faktorisierten Form: \(\frac{(x - y)(x + y)}{x} \cdot \frac{x^2}{x + y}\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x + y)\) im Zähler und Nenner. 5. Kürzen von \(x\) gegen \(x^2\), sodass im Zähler \(x\) verbleibt: \((x - y) \cdot x\). 6. Ausmultiplizieren des verbleibenden Terms: \(x^2 - xy\). Da dies der rechten Seite entspricht, ist die Gleichung korrekt. 7. Die Umformung gilt genau für die zulässigen Werte \(x \neq 0\) und \(x+y \neq 0\).

Ja. Für \(x \neq 0\) und \(x+y \neq 0\) vereinfacht sich die linke Seite zu \(x^2-xy\).

- Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du im ersten Bruch einen Faktor ausklammern, um ihn gegen den Nenner des zweiten Bruchs zu kürzen? - Wie sieht der Nenner \(a^2+a\) aus, wenn du \(a\) ausklammerst? Hilft dir das beim Finden des Hauptnenners?

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{2a-4}{a+1} \cdot \frac{a}{a-2}\) 2. Faktorisieren von \(2a-4 = 2(a-2)\) und Kürzen des Faktors \((a-2)\): \(\frac{2(a-2) \cdot a}{(a+1)(a-2)} = \frac{2a}{a+1}\) 3. Faktorisieren des Nenners im zweiten Summanden: \(a^2+a = a(a+1)\) 4. Erweitern des ersten Teilergebnisses auf den Hauptnenner \(a(a+1)\): \(\frac{2a \cdot a}{a(a+1)} = \frac{2a^2}{a(a+1)}\) 5. Addition der Zähler: \(\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\) Die ursprünglichen Ausschlusswerte \(a \neq -1\), \(a \neq 0\) und \(a \neq 2\) bleiben erhalten; bei \(a=2\) wäre der Divisor null.

\(\frac{2a^2+3}{a(a+1)}\) für \(a \notin \{-1; 0; 2\}\)

- Bringe zuerst die beiden Brüche in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner. - Vergleiche die beiden Quadrate im Zähler nach dem Erweitern sorgfältig. - Prüfe vor dem vollständigen Kürzen, welche Werte im ursprünglichen Term ausgeschlossen sind.

1. Für den Term gelten die Bedingungen \(x\neq-3\), \(x\neq0\) und \(x\neq3\). 2. Die Differenz in der Klammer wird auf den Nenner \((x-3)(x+3)=x^2-9\) gebracht: \(\frac{(x+3)^2-(x-3)^2}{x^2-9}\). 3. Im Zähler gilt \((x+3)^2-(x-3)^2=12x\). 4. Damit wird der gesamte Term zu \(\frac{12x}{x^2-9}\cdot\frac{x^2-9}{12x}=1\). 5. Deniz' Behauptung ist für alle zulässigen Werte von \(x\) korrekt.

Die Behauptung ist korrekt: \(S=1\) für \(x\notin\{-3;0;3\}\).

- Nutze die binomischen Formeln, um die Brüche in der Klammer auf einen Nenner zu bringen. - Sei vorsichtig mit dem Minuszeichen zwischen den beiden Brüchen in der Klammer, wenn du die Zähler subtrahierst. - Überlege dir für die Definitionsmenge, welche Werte dazu führen würden, dass man durch Null teilt. - Denke daran, dass beim Dividieren durch einen Bruch auch der Zähler des Divisors nicht null sein darf.

1. Differenz in der Klammer berechnen: Der Hauptnenner ist \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\). 2. Zähler der Klammer bestimmen: \((a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 = 4ab\). 3. Zwischenergebnis der Klammer: \(\frac{4ab}{a^2-b^2}\). 4. Division durch den zweiten Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(\frac{4ab}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{8ab} = \frac{4ab}{8ab} = \frac{1}{2}\). 5. Definitionsmenge bestimmen: Die Nenner \(a-b\), \(a+b\), \(a^2-b^2\) und der Divisor \(8ab\) dürfen nicht null sein. Daraus folgt: \(a \neq b\), \(a \neq -b\), \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

a) \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\) b) \(D = \{(a, b) \in \mathbb{Q}^2 \mid a \neq \pm b, a \neq 0, b \neq 0\}\)

- Wann darf man in der Mathematik einen Ausdruck nicht berechnen? Denke an die Nenner. - Vergiss nicht, dass bei einer Division durch einen Bruch auch dessen Zähler nicht Null sein darf. - Um die Subtraktion in der Klammer durchzuführen, musst du die \(1\) auf den gleichen Nenner bringen wie den ersten Bruch. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Erinnere dich an den Kehrwert. - Faktorisierung (z. B. Ausklammern) hilft dir oft dabei, Terme beim Multiplizieren zu kürzen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Ein Bruchterm ist nicht definiert, wenn ein Nenner Null wird oder durch Null dividiert wird. - Nenner des ersten Bruchs: \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\). - Nenner des Divisors: \(x^2+2x = x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0\) oder \(x = -2\). - Zähler des Divisors (da durch diesen dividiert wird): \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Somit ist der Term für \(x \in \{-2; 0; 2\}\) nicht definiert. 2. Vereinfachung der Klammer: \(\frac{2x}{x+2} - 1 = \frac{2x - (x+2)}{x+2} = \frac{x-2}{x+2}\). 3. Ausführung der Division: \(\frac{x-2}{x+2} : \frac{x-2}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{x-2}\). 4. Kürzen des Produkts: Die Faktoren \((x-2)\) und \((x+2)\) kürzen sich heraus, es bleibt \(x\) übrig.

a) Der Term ist für \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) nicht definiert. b) Der vereinfachte Term lautet \(x\).

- Versuche zuerst, die Ausdrücke innerhalb der Klammern jeweils zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Erkennst du in den Zählern oder Nennern Ausdrücke, die du mit binomischen Formeln zerlegen kannst? - Wie dividiert man durch einen Bruchterm? - Achte beim Kürzen darauf, ob Terme wie \(2y+1\) und \(1+2y\) identisch sind.

1. Vereinfachung der ersten Klammer: \(\frac{y}{y+1} + \frac{y+1}{y+1} = \frac{2y+1}{y+1}\). 2. Vereinfachung der zweiten Klammer: \(1 - \frac{3y^2}{1-y^2} = \frac{1-y^2-3y^2}{1-y^2} = \frac{1-4y^2}{1-y^2}\). 3. Faktorisierung der Ausdrücke in der zweiten Klammer (3. binomische Formel): \(1-4y^2 = (1-2y)(1+2y)\) und \(1-y^2 = (1-y)(1+y)\). 4. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2y+1}{y+1} \cdot \frac{(1-y)(1+y)}{(1-2y)(1+2y)}\). 5. Kürzen der Terme: Da \(2y+1 = 1+2y\) und \(y+1 = 1+y\), lassen sich diese Faktoren streichen. 6. Endergebnis: \(\frac{1-y}{1-2y}\). 7. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten \(y \notin \{-1; 1\}\); außerdem darf der Divisor nicht null sein, also \(y \notin \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\).

\(\frac{1-y}{1-2y}\) für \(y \notin \{-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1\}\)

- Bestimme zuerst den Hauptnenner für die Ausdrücke innerhalb der Klammer. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Nenner zu faktorisieren. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Achte beim Subtrahieren im Zähler besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Die Brüche in der Klammer auf den Hauptnenner \((a-b)(a+b)\) bringen: \(\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a-b)(a+b)}\) 2. Zähler der Klammer zusammenfassen: \((a+b) - (a-b) = a + b - a + b = 2b\) 3. Den Nenner des Divisors mit der ersten binomischen Formel faktorisieren: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) 4. Die Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{2b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b}\) 5. Den Faktor \(2b\) und einmal den Faktor \((a+b)\) kürzen: \(\frac{2b \cdot (a+b) \cdot (a+b)}{(a-b) \cdot (a+b) \cdot 2b} = \frac{a+b}{a-b}\) 6. Die ursprünglichen Definitionsbedingungen lauten \(a \neq b\), \(a \neq -b\) und \(b \neq 0\); die letzte Bedingung folgt daraus, dass der Divisor nicht null sein darf.

\(\frac{a+b}{a-b}\) für \(a \neq \pm b\) und \(b \neq 0\)

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Klammer? - Denk beim Dividieren von Brüchen an den Kehrwert. - Kannst du im Zähler oder Nenner Variablen ausklammern, um besser kürzen zu können? - Wann ist ein mathematischer Ausdruck mit Brüchen nicht definiert? Achte auf alle Nenner im gesamten Rechenweg.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: Der Hauptnenner ist \( (k-2)(k+2) = k^2-4 \). Die Subtraktion ergibt \( \frac{k-2-k}{k^2-4} = \frac{-2}{(k-2)(k+2)} \). 2. Division durch den zweiten Bruch: Multiplikation mit dem Kehrwert \( \frac{k^2+2k}{2} \). Faktorisieren des Zählers im Kehrwert ergibt \( \frac{k(k+2)}{2} \). 3. Gesamter Term nach Multiplikation und Kürzen: \( \frac{-2}{(k-2)(k+2)} \cdot \frac{k(k+2)}{2} = \frac{-k}{k-2} \) oder \( \frac{k}{2-k} \). 4. Einsetzen von \( k = 6 \): \( \frac{-6}{6-2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5 \). 5. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nenner \( k+2 \), \( k^2-4 \) und \( k^2+2k \) dürfen nicht null sein. Dies führt zu den ausgeschlossenen Werten \( k = -2 \), \( k = 2 \) und \( k = 0 \). Da der Zähler des Divisors konstant 2 ist, entstehen durch die Division keine weiteren Einschränkungen. Ergebnis: \( k \in \mathbb{Q} \setminus \{-2; 0; 2\} \).

a) Der vereinfachte Term ist \( \frac{-k}{k-2} \) (oder \( \frac{k}{2-k} \)). b) Für \( k = 6 \) ist der Wert \( -1{,}5 \). c) Der Term ist für \( k \in \{-2; 0; 2\} \) nicht definiert, da in diesen Fällen mindestens ein Nenner im Term den Wert Null annehmen würde.

- Bestimme die Ausschlusswerte aus dem ursprünglichen Quotienten, bevor du umformst. - Vergleiche, an welchem Punkt in beiden Wegen gemeinsame Faktoren sichtbar werden. - Ein vereinfachter Term kann an einer Stelle definiert sein, an der der ursprüngliche Quotient trotzdem nicht zulässig war.

1. Im ursprünglichen Term gilt \(x\neq0\). Außerdem darf der Divisor nicht null sein, also gilt \(x\neq3\). 2. Aylins Weg: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Nach dem Kehrwert entsteht \(\frac{(x-3)(x+3)}{2x}\cdot\frac{4x}{x-3}\). Direktes Kürzen liefert \(2(x+3)\). 3. Mateos Weg führt nach dem Ausmultiplizieren zunächst auf \(\frac{4x^3-36x}{2x^2-6x}\). Um kürzen zu können, müssen Zähler und Nenner anschließend wieder faktorisiert werden; auch so entsteht \(2(x+3)\). 4. Aylins Weg erzeugt weniger Zwischenarbeit, weil gemeinsame Faktoren sichtbar bleiben und nicht erst nach einem unnötigen Ausmultiplizieren wiederhergestellt werden müssen. 5. Der Wert \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, obwohl der Faktor \(x-3\) später gekürzt wird, weil der ursprüngliche Divisor dort null war.

Beide Wege ergeben \(T(x)=2(x+3)\) für \(x\notin\{0;3\}\). Aylins Weg ist hier kürzer; \(x=3\) bleibt wegen des ursprünglichen Divisors ausgeschlossen.