- Welche Zahl macht den Nenner gleich null? - Welche Zahl steht außerhalb des Bruchs und verschiebt die Grundhyperbel nach oben oder unten?

1. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Daher ist \(x=2\) die senkrechte Asymptote. 2. Außerhalb des Bruchs wird \(4\) addiert. Daher ist \(y=4\) die waagrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=2\). Waagrechte Asymptote: \(y=4\).

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welcher konstante Summand steht außerhalb des Bruchs? - Welcher der beiden Werte gehört zur senkrechten und welcher zur waagrechten Asymptote?

1. Der Nenner \(x+2\) wird bei \(x=-2\) null. Daher ist \(x=-2\) die senkrechte Asymptote. 2. Der Summand außerhalb des Bruchs ist \(-3\). Daher ist \(y=-3\) die waagrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=-2\) Waagrechte Asymptote: \(y=-3\)

- An welcher senkrechten Gitterlinie rücken die beiden Äste immer näher heran? - Welche waagrechte Höhe wird weit weg von der Definitionslücke angenähert? - Die Asymptoten selbst sind nicht eingezeichnet; nutze die Form des Graphen.

1. Die Graphäste nähern sich der senkrechten Geraden \(x=1\). Daher ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Für weiter links und rechts liegende \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Höhe \(y=2\). Daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=1\) Waagrechte Asymptote: \(y=2\)

- Für welchen \(x\)-Wert wird jeweils der Nenner null? - Welcher Summand verschiebt die Hyperbel nach oben oder unten? - Formuliere die beiden Beobachtungen anschließend für \(\frac{a}{x+b}+c\).

1. Bei \(f\) wird der Nenner für \(x=2\) null; die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). Der konstante Summand liefert \(y=3\). 2. Bei \(g\) wird der Nenner für \(x=-1\) null; die senkrechte Asymptote ist \(x=-1\). Der konstante Summand liefert \(y=-5\). 3. Allgemein hat \(y=\frac{a}{x+b}+c\) die senkrechte Asymptote \(x=-b\) und die waagrechte Asymptote \(y=c\).

a) \(x=2\), \(y=3\) b) \(x=-1\), \(y=-5\) Allgemein: senkrechte Asymptote \(x=-b\), waagrechte Asymptote \(y=c\).

- Welche Zahl darf nicht in den Nenner eingesetzt werden? - Vergleiche die drei berechneten Funktionswerte miteinander. - Wie verändert sich \(4/x\), wenn \(x\) positiv und immer größer wird?

1. Da der Nenner nicht null sein darf, ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). 2. Es ist \(f(10)=3{,}4\), \(f(100)=3{,}04\) und \(f(1000)=3{,}004\). 3. Bei immer größeren positiven \(x\)-Werten wird \(\frac{4}{x}\) immer kleiner und bleibt positiv. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(3\) von oben immer näher. 4. Die waagrechte Asymptote ist \(y=3\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) b) \(f(10)=3{,}4\), \(f(100)=3{,}04\), \(f(1000)=3{,}004\) c) Die Funktionswerte kommen \(3\) von oben immer näher; waagrechte Asymptote: \(y=3\).

- Setze die angegebenen \(x\)-Werte in den Funktionsterm ein. - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Wie verändert sich \(\frac{6}{x}\), wenn der positive Nenner immer größer wird?

1. Es ist \(f(1)=3\), \(f(2)=0\), \(f(3)=-1\) und \(f(6)=-2\). 2. Aus \(\frac{6}{x}-3=0\) folgt \(\frac{6}{x}=3\) und damit \(x=2\). 3. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{6}{x}\) immer kleiner und bleibt positiv. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(-3\) immer näher.

a) \(f(1)=3\), \(f(2)=0\), \(f(3)=-1\), \(f(6)=-2\) b) \(x=2\) c) Die Funktionswerte kommen \(-3\) immer näher, weil \(\frac{6}{x}\) für immer größere positive \(x\) positiv bleibt und immer kleiner wird.

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Wie groß ist der Bruchterm, wenn der Betrag des Nenners sehr groß ist? - Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt einer senkrechten und einer waagrechten Geraden?

1. Der Nenner wird bei \(x=-5\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-5\}\) und die senkrechte Asymptote \(x=-5\). 2. Für betragsmäßig große \(x\)-Werte wird \(\frac{4}{x+5}\) klein im Betrag. Deshalb kommen die Funktionswerte dem Wert \(-2\) immer näher. Die waagrechte Asymptote ist \(y=-2\). 3. Die beiden Asymptoten schneiden sich in \(M(-5\mid-2)\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-5\}\); senkrechte Asymptote: \(x=-5\) b) \(y=-2\) c) \(M(-5\mid-2)\)

- Welche beiden Asymptoten erkennst du direkt aus dem Term? - Welche Werte müssen deshalb aus Definitions- und Wertemenge ausgeschlossen werden? - Welche Vorzeichen und Größen haben die Nenner bei \(-1{,}9\) und \(-1{,}99\)?

1. Der Nenner wird bei \(x=-2\) null. Daher ist die senkrechte Asymptote \(x=-2\). Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=-3\). 2. Es gilt \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) und \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\). 3. Für \(x=-1{,}9\) ist \(f(x)=37\), für \(x=-1{,}99\) ist \(f(x)=397\). Von rechts ist \(x+2\) positiv und wird immer kleiner. Dadurch werden die Funktionswerte immer größer und bleiben positiv.

a) \(x=-2\), \(y=-3\) b) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\), \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\) c) Von rechts werden die Funktionswerte immer größer und positiv.

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welche Angaben im Term bestimmen die beiden Asymptoten? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Wie kannst du mit einer Punktprobe prüfen, ob \(P\) auf dem Graphen liegt?

1. Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x+4=0\) folgt \(x=-4\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\). 2. An der Definitionslücke liegt die senkrechte Asymptote \(x=-4\). Aus dem konstanten Summanden folgt die waagrechte Asymptote \(y=-3\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(f(0)=\frac{2}{4}-3=-2{,}5\). Also ist \(S_y(0\mid-2{,}5)\). 4. Es ist \(f(-2)=\frac{2}{2}-3=-2\). Damit liegt \(P(-2\mid-2)\) auf dem Graphen.

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-4\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=-4\); waagrechte Asymptote: \(y=-3\) c) \(S_y(0\mid-2{,}5)\) d) Ja, denn \(f(-2)=-2\).

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welcher konstante Summand bestimmt die waagrechte Asymptote? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Punkt auf der \(y\)-Achse ein?

1. Der Nenner wird bei \(x=-3\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\). 2. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-3\), die waagrechte Asymptote ist \(y=-2\). 3. Für die \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Es ist \(f(0)=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}\). Daher ist \(S_y\left(0\mid-\frac{2}{3}\right)\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\) b) \(x=-3\), \(y=-2\) c) \(S_y\left(0\mid-\frac{2}{3}\right)\)

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welcher Summand bestimmt die Höhe der waagrechten Asymptote? - Vergleiche den ausgeschlossenen Wert der Definitionsmenge mit der senkrechten Asymptote.

1. Aus \(x+3=0\) folgt \(x=-3\). Daher ist die senkrechte Asymptote \(x=-3\). 2. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=-5\). 3. Weil \(x=-3\) ausgeschlossen ist, gilt \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\). 4. Die Definitionslücke hat dieselbe \(x\)-Koordinate wie die senkrechte Asymptote.

a) \(x=-3\), \(y=-5\) b) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}\); die senkrechte Asymptote liegt genau an der Definitionslücke.

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Welchem Wert nähern sich die Funktionswerte an, wenn der Betrag von \(x\) sehr groß wird? - Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Der Nenner wird bei \(x=4\) null. Daher ist die senkrechte Asymptote \(x=4\). 2. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(f(0)=\frac{2}{-4}+1=0{,}5\). 4. Damit ist \(S_y(0\mid0{,}5)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=4\); waagrechte Asymptote: \(y=1\). b) \(S_y(0\mid0{,}5)\)

- Bei welchem \(x\)-Wert nähern sich die Äste jeweils einer senkrechten Geraden? - Welcher waagrechten Geraden nähert sich jeder Graph weit weg von der Definitionslücke? - Welcher Wert muss jeweils aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden?

1. Für \(f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\). 2. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\) ab. Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\).

a) \(f\): \(x=3\), \(y=2\); \(g\): \(x=-2\), \(y=-1\) b) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\); \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\)

- Wo erkennst du die senkrechte Asymptote im Graphen? - Wie hängen die beiden Asymptoten mit \(b\) und \(c\) zusammen? - Suche für die Punktprobe einen gut ablesbaren Gitterpunkt. - Wie verändert sich der positive Bruchterm bei immer größeren positiven \(x\)-Werten?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote und Definitionslücke bei \(x=3\) ab. Daher gilt \(b=-3\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). Somit ist \(c=2\) und \(f(x)=\frac{1}{x-3}+2\). 3. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(4\mid3)\). Es gilt \(f(4)=\frac{1}{1}+2=3\), also erfüllt der Punkt die Funktionsgleichung. 4. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{1}{x-3}\) immer kleiner und bleibt positiv. Daher kommen die Funktionswerte dem Wert \(2\) von oben immer näher.

a) Definitionslücke und senkrechte Asymptote: \(x=3\); \(b=-3\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=2\); \(c=2\) c) Zum Beispiel \(P(4\mid3)\), denn \(f(4)=3\). d) Die Funktionswerte kommen \(2\) von oben immer näher.

- Welchen Geraden nähern sich die Graphäste an? - Suche anschließend die Stelle, an der der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Welche \(y\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=-1\) ab. 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). Daher ist \(S_x(-1\mid0)\).

a) \(x=-3\), \(y=-1\) b) \(S_x(-1\mid0)\)

- An welcher senkrechten Gitterlinie rücken beide Äste immer näher heran? - Welche waagrechte Höhe scheint der Graph weiter links und rechts anzunähern? - Die gesuchten Geraden sind nicht eingezeichnet; nutze die Form der Kurve selbst.

1. In der Nähe von \(x=-1\) verlaufen die beiden Äste immer steiler und nähern sich der senkrechten Geraden \(x=-1\). Das ist die senkrechte Asymptote. 2. Für betragsmäßig größere \(x\)-Werte nähert sich der Graph der waagrechten Geraden \(y=2\). Das ist die waagrechte Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=-1\), weil sich beide Äste der senkrechten Geraden bei \(x=-1\) annähern. Waagrechte Asymptote: \(y=2\), weil sich der Graph für weiter links und rechts liegende \(x\)-Werte der Höhe \(y=2\) annähert.

- Welcher konstante Summand steht außerhalb des Bruchs? - Kann der Bruchanteil mit Zähler \(3\) jemals den Wert \(0\) annehmen? - Welche Verbindung ergibt sich dadurch zwischen Asymptotenhöhe und Wertemenge?

1. Der konstante Summand ist \(4\). Deshalb ist die waagrechte Asymptote \(y=4\). 2. Der Bruchanteil \(\frac{3}{x+1}\) ist für zulässige \(x\) nie \(0\). Deshalb kann \(f(x)\) nie genau \(4\) werden. 3. Somit gilt \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\). Die Höhe der waagrechten Asymptote ist genau der Wert, den die verschobene Hyperbel nicht annimmt.

a) \(y=4\) b) Der Wert \(4\) fehlt. c) \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{4\}\); die Asymptotenhöhe ist derselbe ausgeschlossene Funktionswert, weil der Bruchanteil nie \(0\) wird.

- Bei welchem \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Welchen Wert kann der Bruchanteil \(\frac{4}{x-1}\) nie annehmen? - Welchen \(x\)-Wert setzt du für einen Punkt auf der \(y\)-Achse ein?

1. Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\). 3. Für \(x\)-Werte mit großem Betrag wird der Bruchanteil \(\frac{4}{x-1}\) immer kleiner. Der Graph nähert sich daher der Geraden \(y=2\); dies ist die waagrechte Asymptote. 4. Da \(\frac{4}{x-1}\) nie \(0\) ist, wird der Wert \(2\) nicht erreicht. Somit ist \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\). 5. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x=0\): \(f(0)=\frac{4}{-1}+2=-2\). Also ist \(S_y(0\mid-2)\).

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\); \(W_f=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) c) \(S_y(0\mid-2)\)

- Bestimme zuerst alle vier Asymptotengleichungen einzeln. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden im Koordinatensystem? - Vergleiche die Werte für die Lage in \(x\)- und \(y\)-Richtung. In welche Richtung verschieben sich die Asymptoten?

1. Asymptoten von \(f\): senkrechte Asymptote \(x=3\), waagrechte Asymptote \(y=2\). 2. Asymptoten von \(g\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=-3\). 3. Der Abstand der senkrechten Asymptoten beträgt \(|3-(-2)|=5\) Einheiten. 4. Der Abstand der waagrechten Asymptoten beträgt \(|2-(-3)|=5\) Einheiten. 5. Beschreibung der Verschiebung: Um von der Lage der Asymptoten von \(f\) zu denen von \(g\) zu kommen, müssen der Graph und seine Asymptoten um \(5\) Einheiten nach links und um \(5\) Einheiten nach unten verschoben werden.

a) \(f\): \(x=3\), \(y=2\); \(g\): \(x=-2\), \(y=-3\) b) Abstand der senkrechten Asymptoten: \(5\) Einheiten; Abstand der waagrechten Asymptoten: \(5\) Einheiten c) Verschiebung um \(5\) Einheiten nach links und \(5\) Einheiten nach unten.

- Welche Stelle macht den Nenner null? - Schreibe den Bruch so um, dass im Nenner nur \(x-3\) steht. - Multipliziere bei \(g=2f\) wirklich den gesamten Funktionsterm und vergleiche danach beide Asymptoten.

1. Aus \(2x-6=0\) folgt \(x=3\). Daher ist \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\) und die senkrechte Asymptote \(x=3\). 2. Es gilt \(f(x)=\frac{1{,}5}{x-3}+1\). Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=1\). 3. Für \(g\) gilt \(g(x)=\frac{3}{x-3}+2\). Die senkrechte Asymptote bleibt \(x=3\), die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 4. Die Aussage ist falsch: Nur der Zahlenwert der waagrechten Asymptote verdoppelt sich; die senkrechte Asymptote bleibt unverändert.

a) \(D_f=\mathbb{Q}\setminus\{3\}\); Asymptoten \(x=3\), \(y=1\) b) Für \(g\): senkrechte Asymptote \(x=3\), waagrechte Asymptote \(y=2\). Die Aussage ist falsch: Die senkrechte Asymptote bleibt unverändert; nur der Zahlenwert der waagrechten Asymptote verdoppelt sich.

- Welche Konstante im Funktionsterm gibt die waagrechte Asymptote an? - Nutze danach den gegebenen Punkt, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen. - Welche Gleichung müsste gelten, wenn der Graph die Gerade \(y=-5\) tatsächlich schneiden würde?

1. Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=-5\). 2. Mit \(P(2\mid-4)\) gilt \(-4=\frac{a}{2}-5\). Daraus folgt \(a=2\) und damit \(h(x)=\frac{2}{x}-5\). 3. Für \(h(x)=-4{,}9\) gilt \(-4{,}9=\frac{2}{x}-5\), also \(0{,}1=\frac{2}{x}\) und \(x=20\). 4. Ein Schnitt mit \(y=-5\) würde \(-5=\frac{2}{x}-5\) und damit \(0=\frac{2}{x}\) verlangen. Das ist wegen des konstanten Zählers \(2\) unmöglich.

a) \(c=-5\), \(a=2\); \(h(x)=\frac{2}{x}-5\) b) \(x=20\) c) Kein Schnitt mit \(y=-5\), denn \(\frac{2}{x}=0\) hat keine Lösung.

- Welche Gleichung hat eine senkrechte beziehungsweise waagrechte Gerade durch einen gegebenen Punkt? - Wie hängt die senkrechte Asymptote mit \(b\) in \(x+b\) zusammen? - Welche Gleichung müsste für einen Schnittpunkt mit der waagrechten Asymptote erfüllt sein?

1. Die senkrechte Gerade durch \(P(-3\mid0)\) hat die Gleichung \(x=-3\). Die waagrechte Gerade durch \(Q(0\mid4{,}5)\) hat die Gleichung \(y=4{,}5\). 2. Aus \(x=-b=-3\) folgt \(b=3\). Aus der waagrechten Asymptote folgt \(c=4{,}5\). Damit ist \(h(x)=\frac{1}{x+3}+4{,}5\). 3. Für einen Schnittpunkt mit \(y=4{,}5\) müsste \(\frac{1}{x+3}=0\) gelten. Ein Bruch mit Zähler \(1\) kann jedoch nicht null werden.

a) \(x=-3\), \(y=4{,}5\) b) \(b=3\), \(c=4{,}5\) c) Kein Schnittpunkt, weil \(\frac{1}{x+3}\ne0\) für alle zulässigen \(x\).

- Welcher \(x\)-Wert macht den Nenner null? - Welcher konstante Summand bestimmt die waagrechte Asymptote? - Kann ein Bruch mit einem von null verschiedenen konstanten Zähler den Wert \(0\) annehmen?

1. Der Nenner wird bei \(x=4\) null. Daher ist \(x=4\) die senkrechte Asymptote. Der konstante Summand liefert die waagrechte Asymptote \(y=1\). 2. Es ist \(h(2)=-\frac{2}{2-4}+1=2\). 3. Für \(h(x)=1\) müsste \(-\frac{2}{x-4}=0\) gelten. Ein Bruch mit dem Zähler \(-2\) kann jedoch nicht null werden. Deshalb wird der Wert \(1\) nicht angenommen.

a) \(x=4\) und \(y=1\) b) \(h(2)=2\) c) Der Wert \(1\) wird nicht angenommen, weil \(-\frac{2}{x-4}\) nie \(0\) ist.

- Welcher Wert für \(x\) führt dazu, dass der Nenner null wird? - Welchem Wert nähern sich die Funktionswerte an, wenn der Bruchterm betragsmäßig klein wird? - Erinnere dich daran, wie man Punkte im Koordinatensystem spiegelt.

1. Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=2\) und \(y=3\). 2. Für \(g\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=-3\). 3. Daher ist \(M_f(2\mid3)\) und \(M_g(-2\mid-3)\). 4. Die Punkte \(M_f\) und \(M_g\) sind punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0\mid0)\).

a) \(f\): senkrechte Asymptote \(x=2\), waagrechte Asymptote \(y=3\); \(g\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=-3\). b) \(M_f(2\mid3)\) und \(M_g(-2\mid-3)\). Die Punkte liegen punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was passiert mathematisch, wenn du versuchst, \(x = 2\) in den Term einzusetzen? - Was müsste passieren, damit ein Bruch den Wert null ergibt? - Überlege dir, ob eine Gleichung wie \(3 = 0\) jemals wahr sein kann.

1. Begründung zur senkrechten Asymptote: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\). Dieser Wert ist nicht in der Definitionsmenge enthalten, da der Nenner sonst null wäre (Division durch null ist nicht definiert). Da die Funktion für \(x = 2\) keinen Wert besitzt, kann es dort keinen Punkt auf dem Graphen geben. 2. Untersuchung der waagrechten Asymptote: Setze \(f(x) = 1\). Daraus folgt \(\frac{3}{x - 2} + 1 = 1\). 3. Auflösen der Gleichung: Subtrahiere \(1\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{x - 2} = 0\). Ein Bruch ist nur dann null, wenn der Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(3\) ist, gibt es keine Lösung (\(3 \neq 0\)). 4. Schlussfolgerung: Der Graph schneidet auch die waagrechte Asymptote nicht.

a) Da \(x = 2\) nicht in der Definitionsmenge liegt (Division durch null), kann dort kein Punkt des Graphen existieren. b) Die Gleichung \(\frac{3}{x - 2} + 1 = 1\) führt auf den Widerspruch \(3 = 0\). Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der waagrechten Asymptote.

- Welche Gleichung verbindet in der Form \(\frac{a}{x+b}+c\) den Parameter \(b\) mit der senkrechten Asymptote? - Welchen Funktionswert hat eine Nullstelle? - Prüfe beim Umformen, dass der gefundene Wert nicht an der Definitionslücke liegt.

1. In der Form \(\frac{4}{x+b}+5\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-b\). Aus \(-b=2\) folgt \(b=-2\). 2. Damit ist \(g(x)=\frac{4}{x-2}+5\). 3. Für die Nullstelle gilt \(0=\frac{4}{x-2}+5\). Also \(-5=\frac{4}{x-2}\). 4. Daraus folgt \(-5(x-2)=4\), also \(-5x+10=4\), \(-5x=-6\) und \(x=1{,}2\).

a) \(b=-2\) b) \(x=1{,}2\)

- Bei welchem \(x\)-Wert nähern sich die Graphäste einer senkrechten Geraden? - Welche waagrechte Gerade beschreibt die Höhe, der sich der Graph weit weg von der Definitionslücke annähert? - Wie groß wird der Betrag von \(\frac{2}{x-2}\), wenn der Betrag des Nenners sehr groß ist?

1. Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote und Definitionslücke bei \(x=2\) ab. Daher gilt \(-b=2\), also \(b=-2\). 2. Die waagrechte Asymptote ist \(y=1\), also \(c=1\). Damit ist \(f(x)=\frac{2}{x-2}+1\). 3. Es ist \(f(102)=\frac{2}{100}+1=1{,}02\) und \(f(-98)=\frac{2}{-100}+1=0{,}98\). 4. Beide Werte liegen nahe bei \(1\). Für betragsmäßig immer größere \(x\)-Werte wird der Bruchterm immer kleiner im Betrag, sodass sich die Funktionswerte der waagrechten Asymptote \(y=1\) annähern.

a) Senkrechte Asymptote und Definitionslücke: \(x=2\); \(b=-2\) b) Waagrechte Asymptote: \(y=1\); \(c=1\) c) \(f(102)=1{,}02\), \(f(-98)=0{,}98\); beide Werte liegen nahe an der Asymptote \(y=1\).

- Beobachte, bei welchem \(x\)-Wert die Funktionswerte betragsmäßig stark wachsen. Das gibt die senkrechte Asymptote an. - Beobachte, welcher waagrechten Geraden sich der Graph für große Beträge von \(x\) annähert. - Achte auf die Vorzeichen im Nenner und vor dem Bruchterm. - Überprüfe einen einfachen Punkt auf dem Graphen, um deine Zuordnung abzusichern.

1. Graph a) hat die senkrechte Asymptote \(x = 2\) und die waagrechte Asymptote \(y = 1\). Dies entspricht Gleichung 1): \(y = \frac{1}{x-2} + 1\). 2. Graph b) hat die senkrechte Asymptote \(x = -1\) und die waagrechte Asymptote \(y = 2\). Die Lage der Äste zeigt außerdem einen negativen Zähler. Dies entspricht Gleichung 2): \(y = -\frac{1}{x+1} + 2\).

Graph a) gehört zu 1), weil seine Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) sind. Graph b) gehört zu 2), weil seine Asymptoten \(x=-1\) und \(y=2\) sind und die Astlage einen negativen Zähler zeigt.

- Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner null? - Lies die Koordinaten des markierten Punktes ab und führe eine Punktprobe mit unbekanntem \(a\) durch. - Welcher Summand bestimmt die Höhe der waagrechten Asymptote?

1. Aus \(x+2=0\) folgt die Definitionslücke \(x=-2\). Daher ist \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(2\mid-2)\). Einsetzen liefert \(-2=\frac{a}{4}-1\), also \(a=-4\). 3. Der konstante Summand ist \(-1\). Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=-1\); für betragsmäßig große \(x\)-Werte wird der Bruchterm klein im Betrag.

a) Definitionslücke: \(x=-2\); \(D_g=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}\) b) \(a=-4\) c) \(y=-1\), weil der Bruchanteil \(\frac{a}{x+2}\) für betragsmäßig große \(x\)-Werte immer kleiner im Betrag wird und der konstante Summand \(-1\) bleibt.

- Wie groß und welches Vorzeichen hat der Nenner jeweils links und rechts von \(x=1\)? - Vergleiche nicht nur die Vorzeichen, sondern auch die Beträge der beiden Werte auf jeder Seite. - Welche Änderung siehst du, wenn der Abstand von \(x\) zur Definitionslücke kleiner wird?

1. Für \(x=0{,}9\) gilt \(f(x)=2:(-0{,}1)-1=-21\). 2. Für \(x=0{,}99\) gilt \(f(x)=2:(-0{,}01)-1=-201\). 3. Für \(x=1{,}01\) gilt \(f(x)=2:0{,}01-1=199\). 4. Für \(x=1{,}1\) gilt \(f(x)=2:0{,}1-1=19\). 5. Links von \(1\) sind die Werte hier negativ und ihr Betrag wird beim Heranrücken an \(1\) sehr groß. Rechts von \(1\) sind die Werte positiv und werden beim Heranrücken ebenfalls betragsmäßig sehr groß.

<table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0{,}9\)</td><td>\(0{,}99\)</td><td>\(1{,}01\)</td><td>\(1{,}1\)</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>\(-21\)</td><td>\(-201\)</td><td>\(199\)</td><td>\(19\)</td></tr> </table> Links von der Definitionslücke werden die Werte stark negativ, rechts davon stark positiv; je näher \(x\) an \(1\) liegt, desto größer wird hier der Betrag von \(f(x)\).