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- Welche Variable ist in (I) bereits durch einen Term beschrieben? - Ersetze in (II) genau diese Variable und lass den eingesetzten Term zunächst vollständig stehen.

1. In Gleichung (II) wird jedes \(x\) durch den vollständigen Term \(3y-2\) aus (I) ersetzt. 2. Dadurch entsteht \(2(3y-2)+y=11\). Antwort A ist richtig.

A: \(2(3y-2)+y=11\)

- Was fällt dir an der ersten Gleichung auf, wenn du an das Einsetzungsverfahren denkst? - Achte beim Einsetzen des Terms in die zweite Gleichung darauf, Klammern zu setzen. - Wie kannst du den gefundenen Wert für die erste Variable nutzen, um die zweite zu bestimmen?

1. Da die erste Gleichung bereits nach \(y\) aufgelöst ist, wird der Term \(4x - 3\) für \(y\) in die zweite Gleichung eingesetzt: \(2x + 3 \cdot (4x - 3) = 19\). 2. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(2x + 12x - 9 = 19 \implies 14x - 9 = 19\). 3. Nach \(x\) auflösen: \(14x = 28 \implies x = 2\). 4. Den Wert für \(x\) in die erste Gleichung einsetzen, um \(y\) zu berechnen: \(y = 4 \cdot 2 - 3 = 5\). 5. Die Lösungsmenge angeben: \(L = \{(2|5)\}\).

\(L = \{(2|5)\}\)

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich mit wenig Aufwand nach einer Variablen umstellen? - Achte darauf, beim Einsetzen den gesamten Ausdruck für die isolierte Variable zu übernehmen. - Prüfe dein gefundenes Zahlenpaar anschließend in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Gleichung (I) nach \(y\) umstellen: \(y = 10 - 4x\). 2. Den Ausdruck für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(x - 2(10 - 4x) = 7\). 3. Auflösen und zusammenfassen: \(x - 20 + 8x = 7 \Rightarrow 9x = 27\). 4. Damit ist \(x = 3\). 5. Rückeinsetzen: \(y = 10 - 4 \cdot 3 = -2\). Also ist die Lösung \((3|-2)\).

\((3|-2)\)

- Kannst du eine der Variablen durch einen Ausdruck der anderen Variablen ersetzen? - Was passiert, wenn du den Ausdruck für eine Variable in die andere Gleichung einsetzt? - Hast du beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen geachtet? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Den Term für \(y\) aus Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen: \(3x + 2 \cdot (4x - 5) = 23\). 2. Die Klammer auflösen: \(3x + 8x - 10 = 23\). 3. Gleichartige Terme zusammenfassen: \(11x - 10 = 23\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(11x = 33 \Rightarrow x = 3\). 5. Den Wert für \(x\) in Gleichung (I) einsetzen, um \(y\) zu berechnen: \(y = 4 \cdot 3 - 5 = 7\).

Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 7\).

- Welche Variable lässt sich in welcher Gleichung am einfachsten isolieren? - Achte darauf, den gesamten Ausdruck in Klammern zu setzen, wenn du ihn einsetzt. - Überlege dir, welchen Schritt du zuerst ausführst, um eine Variable „freizustellen“.

1. Gleichung (I) nach \(y\) umstellen: \(y = 3x - 7\). 2. Den Term für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(2x + 4 \cdot (3x - 7) = 28\). 3. Die Klammer auflösen: \(2x + 12x - 28 = 28\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: \(14x - 28 = 28 \Rightarrow 14x = 56 \Rightarrow x = 4\). 5. Den Wert für \(x\) in die umgestellte Gleichung (I) einsetzen: \(y = 3 \cdot 4 - 7 = 5\).

Die Lösung ist \(x = 4\) und \(y = 5\).

- Schau dir die erste Gleichung an: Eine Variable steht bereits allein auf einer Seite. - Wie kannst du diesen Ausdruck in die zweite Gleichung einbauen? - Ersetze die entsprechende Variable in der zweiten Gleichung durch den Term aus der ersten Gleichung. - Vergiss nicht, beim Einsetzen Klammern zu setzen, wenn der Term aus mehreren Teilen besteht.

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus Gleichung (I) in Gleichung (II): \(3x + 2 \cdot (2x - 4) = 27\) 2. Auflösen der Klammer: \(3x + 4x - 8 = 27\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(7x - 8 = 27\) 4. Addition von \(8\) auf beiden Seiten: \(7x = 35\) 5. Division durch \(7\): \(x = 5\) 6. Einsetzen von \(x = 5\) in Gleichung (I): \(y = 2 \cdot 5 - 4 = 6\) 7. Ergebnis prüfen: Die Lösung ist das Zahlenpaar \((5|6)\).

Die Lösung ist \(x = 5\) und \(y = 6\), bzw. \(L = \{(5|6)\}\).

- Kannst du eine der Gleichungen so umformen, dass eine Variable allein auf einer Seite steht? - Welche Variable in welcher Gleichung lässt sich am einfachsten isolieren, ohne dass Brüche entstehen? - Nachdem du den Wert für eine Variable gefunden hast, wie berechnest du den Wert der zweiten Variablen?

1. Umformen von Gleichung (I) nach \(x\): \(x = 4y - 18\) 2. Einsetzen des Terms für \(x\) in Gleichung (II): \(2 \cdot (4y - 18) + 5y = 16\) 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(8y - 36 + 5y = 16\) 4. Zusammenfassen der \(y\)-Terme: \(13y - 36 = 16\) 5. Addition von \(36\) auf beiden Seiten: \(13y = 52\) 6. Division durch \(13\): \(y = 4\) 7. Einsetzen von \(y = 4\) in die umgeformte Gleichung (I): \(x = 4 \cdot 4 - 18 = 16 - 18 = -2\)

Die Lösung lautet \(x = -2\) und \(y = 4\).

- Welche Gleichung liefert bereits einen vollständigen Ausdruck für eine Variable? - Was musst du beim Einsetzen für \(x\) in die andere Gleichung ersetzen? - Wie kannst du das Zahlenpaar am Ende in beiden Ausgangsgleichungen kontrollieren?

1. Da die erste Gleichung bereits nach \(x\) aufgelöst ist, setze \(3y+2\) für \(x\) in die zweite Gleichung ein: \(4(3y+2)-5y=29\). 2. Auflösen und zusammenfassen ergibt \(12y+8-5y=29\), also \(7y=21\) und \(y=3\). 3. Setze \(y=3\) in die erste Gleichung ein: \(x=3\cdot3+2=11\). 4. Damit ist \(L=\{(11|3)\}\).

\(L=\{(11|3)\}\)

- Welche Gleichung lässt sich besonders leicht nach einer Variablen auflösen? - Welche Klammer brauchst du, wenn du den ganzen Ausdruck für \(y\) einsetzt? - Achte beim Auflösen besonders auf das Minuszeichen vor dem eingesetzten Ausdruck.

1. Stelle die erste Gleichung nach \(y\) um: \(y=7-2x\). 2. Setze den gesamten Ausdruck in die zweite Gleichung ein: \(3x-2(7-2x)=21\). 3. Auflösen der Klammer ergibt \(3x-14+4x=21\), also \(7x=35\) und \(x=5\). 4. Einsetzen in \(y=7-2x\) ergibt \(y=-3\). 5. Damit ist \(L=\{(5|-3)\}\).

\(L=\{(5|-3)\}\)

- Welche Variable ist in einer der Gleichungen bereits alleine auf einer Seite dargestellt? - Kannst du den Ausdruck dieser Variable in die andere Gleichung einsetzen? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Minuszeichen vor dem Faktor. - Wenn du einen Wert für eine Variable gefunden hast, wie kannst du daraus den zweiten Wert bestimmen?

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung: \(5x - 2 \cdot (2x + 1) = 1\) 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens: \(5x - 4x - 2 = 1\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme und Isolieren von \(x\): \(x - 2 = 1 \implies x = 3\) 4. Einsetzen des Wertes \(x = 3\) in die erste Gleichung zur Berechnung von \(y\): \(y = 2 \cdot 3 + 1 = 7\) 5. Das berechnete Lösungspaar ist \((3|7)\).

\((3|7)\)

- In welcher der beiden Gleichungen lässt sich eine Variable am einfachsten alleine auf eine Seite bringen? - Suche nach einer Variablen, vor der keine Zahl (bzw. nur die 1) steht. - Nachdem du eine Gleichung umgeformt hast, setze diesen Ausdruck in die Gleichung ein, die du noch nicht verändert hast. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Umstellen der ersten Gleichung nach \(y\), da der Koeffizient von \(y\) eins ist: \(y = 10 - 3x\) 2. Einsetzen des Terms \(10 - 3x\) für \(y\) in die zweite Gleichung: \(2x + 3 \cdot (10 - 3x) = 2\) 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(2x + 30 - 9x = 2\) 4. Zusammenfassen der Terme und Lösen nach \(x\): \(-7x + 30 = 2 \implies -7x = -28 \implies x = 4\) 5. Einsetzen von \(x = 4\) in die umgeformte Gleichung für \(y\): \(y = 10 - 3 \cdot 4 = -2\) 6. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{(4|-2)\}\)

\(L = \{(4|-2)\}\)

- Welche Gleichung ist bereits nach einer Variablen aufgelöst? - Warum sollte der eingesetzte Ausdruck in Klammern stehen? - Wie findest du nach der ersten Variablen die zweite?

1. Setze den Ausdruck aus der ersten Gleichung für \(y\) in die zweite Gleichung ein: \(3x-4(0{,}5x+2)=2\). 2. Auflösen ergibt \(3x-2x-8=2\), also \(x=10\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(y=0{,}5\cdot10+2=7\). 4. Damit ist \(L=\{(10|7)\}\).

\(L=\{(10|7)\}\)

- Bei welcher Gleichung lässt sich eine Variable besonders einfach isolieren? - Setze den vollständigen Ausdruck in die andere Gleichung ein. - Welche Ausgangsgleichung eignet sich anschließend für die Rücksubstitution?

1. Stelle die zweite Gleichung nach \(x\) um: \(x=3y+5\). 2. Setze in die erste Gleichung ein: \(2(3y+5)+5y=-1\). 3. Auflösen ergibt \(6y+10+5y=-1\), also \(11y=-11\) und \(y=-1\). 4. Einsetzen in \(x=3y+5\) ergibt \(x=2\). 5. Damit ist \(L=\{(2|-1)\}\).

\(L=\{(2|-1)\}\)

- Welche Gleichung lässt sich besonders einfach nach einer Variablen auflösen? - Setze den vollständigen Ausdruck in die andere Gleichung ein. - Wie kannst du das gefundene Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen überprüfen?

1. Stelle die erste Gleichung nach \(x\) um: \(x=18-4y\). 2. Setze in die zweite Gleichung ein: \(3(18-4y)-2y=-2\). 3. Auflösen ergibt \(54-14y=-2\), also \(y=4\). 4. Einsetzen in \(x=18-4y\) liefert \(x=2\). 5. Damit ist \(L=\{(2|4)\}\).

\(L=\{(2|4)\}\)

- Welche Variable kannst du ohne Bruch isolieren? - In welche andere Gleichung setzt du den erhaltenen Ausdruck ein? - Wie kontrollierst du beide Werte in den Ausgangsgleichungen?

1. Stelle die zweite Gleichung nach \(x\) um: \(x=2y-7\). 2. Setze in die erste Gleichung ein: \(2(2y-7)+3y=7\). 3. Auflösen ergibt \(7y-14=7\), also \(y=3\). 4. Einsetzen in \(x=2y-7\) ergibt \(x=-1\). 5. Damit ist \(L=\{(-1|3)\}\).

\(L=\{(-1|3)\}\)

- Welche Variable lässt sich ohne Bruch isolieren? - Was musst du beim Einsetzen mit dem vollständigen Ausdruck machen? - Wie findest du nach \(y\) den Wert von \(x\)?

1. Stelle die erste Gleichung nach \(x\) um: \(x=4y+18\). 2. Setze in die zweite Gleichung ein: \(3(4y+18)+2y=12\). 3. Auflösen ergibt \(14y+54=12\), also \(y=-3\). 4. Einsetzen in \(x=4y+18\) liefert \(x=6\). 5. Damit ist \(L=\{(6|-3)\}\).

\(L=\{(6|-3)\}\)

- Welche Gleichung lässt sich mit nur einem Umformungsschritt nach einer Variablen auflösen? - Ersetze diese Variable in der anderen Gleichung vollständig durch den gefundenen Term. - Eine vollständige Probe verwendet beide ursprünglichen Gleichungen.

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=3x-5\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt die geforderte Gleichung mit einer Variablen: \(2x+3(3x-5)=29\). 3. Daraus folgt \(11x-15=29\), also \(x=4\). 4. Mit \(y=3x-5\) ergibt sich \(y=7\). 5. Für \((4|7)\) gilt in der ersten Gleichung \(12-7=5\) und in der zweiten \(8+21=29\). Die Probe ist erfüllt.

Einsetzungsgleichung: \(2x+3(3x-5)=29\) \(L=\{(4|7)\}\); die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

- Suche nach einer Variablen, die sich ohne Division durch einen komplizierten Koeffizienten isolieren lässt. - Die Wahl in a) soll den späteren Einsetzungsterm möglichst einfach machen. - Setze den isolierten Term vollständig in die andere Gleichung ein.

1. Besonders günstig ist die erste Gleichung, weil \(y\) dort den Koeffizienten \(1\) hat. Daraus folgt \(y=18-4x\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(3x-2(18-4x)=8\). 3. Damit ist \(3x-36+8x=8\), also \(11x=44\) und \(x=4\). 4. Einsetzen in \(y=18-4x\) ergibt \(y=2\).

a) Zum Beispiel die erste Gleichung nach \(y\), weil der Koeffizient von \(y\) bereits \(1\) ist. b) \(L=\{(4|2)\}\)

- Eine der beiden Geradengleichungen gibt bereits einen Ausdruck für \(y\) an. - Übernimm beim Einsetzen den gesamten Ausdruck und achte auf das Minus vor der Klammer. - Prüfe die gefundenen Koordinaten in beiden Geradengleichungen.

1. Den Ausdruck für \(y\) aus \(h\) in \(g\) einsetzen: \(3x-2(2x-5)=4\). 2. Auflösen und zusammenfassen: \(3x-4x+10=4 \Rightarrow -x=-6\). 3. Damit ist \(x=6\). 4. Rückeinsetzen in \(h\): \(y=2\cdot6-5=7\). 5. Der Schnittpunkt ist \(S(6|7)\).

\(S(6|7)\)

- Welche Größe wird in (I) bereits durch einen Term beschrieben? - In (II) muss genau diese Größe durch den vollständigen Ausdruck ersetzt werden. - Nutze nach der ersten Unbekannten wieder eine Ausgangsgleichung für die zweite.

1. In die Lücke gehört der vollständige Ausdruck \(3x-4\). 2. Damit gilt \(2x+(3x-4)=11\). 3. Zusammenfassen ergibt \(5x-4=11\), also \(x=3\). 4. In (I) eingesetzt folgt \(y=3\cdot3-4=5\).

a) \(3x-4\) b) \((3|5)\)

- Eine Lösung eines LGS muss beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. - Prüfe den behaupteten Punkt getrennt in beiden Ausgangsgleichungen. - Für die Korrektur ist in der ersten Gleichung eine Variable bereits isoliert.

1. Probe des behaupteten Punkts: In der zweiten Gleichung gilt \(4+6=10\), aber in der ersten wäre \(6=2\cdot4+1=9\). Der Punkt \((4|6)\) erfüllt also nicht beide Gleichungen. 2. Setze den Ausdruck aus der ersten Gleichung in die zweite ein: \(x+(2x+1)=10\). 3. Daraus folgt \(3x=9\), also \(x=3\). 4. Mit der ersten Gleichung erhältst du \(y=2\cdot3+1=7\). Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

Miras Ergebnis ist falsch. Die korrekte Lösungsmenge ist \(L=\{(3|7)\}\).

- Welche Gleichung erhältst du, wenn du jeden gegebenen Achsenschnittpunkt in den Funktionsterm einsetzt? - Welche der beiden Gleichungen lässt sich besonders einfach nach \(c\) auflösen? - Wo setzt du den so erhaltenen Ausdruck für \(c\) ein?

1. Aus \(S_y(0\mid3)\) folgt \(a+c=3\). 2. Aus \(S_x(2\mid0)\) folgt \(\frac{a}{3}+c=0\). 3. Die zweite Gleichung wird nach \(c\) aufgelöst: \(c=-\frac{a}{3}\). 4. Einsetzen in \(a+c=3\) ergibt \(a-\frac{a}{3}=3\), also \(\frac{2a}{3}=3\) und damit \(a=\frac{9}{2}=4{,}5\). 5. Es folgt \(c=-\frac{4{,}5}{3}=-1{,}5\). Somit ist \(f(x)=\frac{4{,}5}{x+1}-1{,}5\).

Gleichungen: \(a+c=3\) und \(\frac{a}{3}+c=0\). Einsetzungsverfahren: \(c=-\frac{a}{3}\), daher \(a-\frac{a}{3}=3\) und \(a=4{,}5\). Dann \(c=-1{,}5\). \(f(x)=\frac{4{,}5}{x+1}-1{,}5\)

- Welche Variable steht „alleine“ da, also ohne eine Zahl davor? - Warum ist es vorteilhaft, eine Variable zu wählen, vor der keine Zahl steht? - Vergiss nicht, am Ende beide Variablenwerte in der Lösungsmenge anzugeben.

1. Begründung: In Gleichung (I) steht die Variable \(x\) mit dem Koeffizienten \(1\). Sie lässt sich daher durch einfache Addition von \(2y\) isolieren, ohne dass Divisionen oder Brüche entstehen: \(x = 2y + 8\). 2. Einsetzen von \(x = 2y + 8\) in Gleichung (II): \(3 \cdot (2y + 8) + 4y = 4\). 3. Gleichung lösen: \(6y + 24 + 4y = 4 \implies 10y + 24 = 4 \implies 10y = -20 \implies y = -2\). 4. Wert für \(y\) in die umgeformte Gleichung (I) einsetzen: \(x = 2 \cdot (-2) + 8 = -4 + 8 = 4\). 5. Lösungsmenge: \(L = \{(4|-2)\}\).

a) In Gleichung (I) lässt sich \(x\) am einfachsten isolieren (\(x = 2y + 8\)), da \(x\) dort den Koeffizienten \(1\) hat. b) \(L = \{(4|-2)\}\)

- Du kannst jede der beiden Gleichungen nach einer beliebigen Variable umstellen. Welche erscheint dir hier am einfachsten? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus). - Wie führst du eine Probe durch, um sicher zu gehen, dass dein Ergebnis für beide Gleichungen stimmt?

1. Gleichung (I) nach \(y\) umstellen: \(y = 1 - 0{,}5x\). 2. Den Term für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(2x - 3 \cdot (1 - 0{,}5x) = 11\). 3. Klammer auflösen: \(2x - 3 + 1{,}5x = 11\). 4. Zusammenfassen und nach \(x\) auflösen: \(3{,}5x - 3 = 11 \implies 3{,}5x = 14 \implies x = 4\). 5. \(x = 4\) in die umgestellte Gleichung (I) einsetzen: \(y = 1 - 0{,}5 \cdot 4 = 1 - 2 = -1\). 6. Probe: (I) \(0{,}5 \cdot 4 + (-1) = 2 - 1 = 1\) (wahr) (II) \(2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\) (wahr) 7. Lösungsmenge: \(L = \{(4|-1)\}\).

\(L = \{(4|-1)\}\)

- Prüfe zuerst nur das Ausmultiplizieren der Klammer. - Behalte den zusätzlichen Term außerhalb der Klammer beim Zusammenfassen im Blick. - Nutze nach der Korrektur dieselbe Einsetzung weiter.

1. Die Umformung \(x=7-3y\) ist korrekt. 2. Beim Ausmultiplizieren gilt \(2(7-3y)=14-6y\). Zusammen mit dem weiteren Term \(-y\) entsteht daher \(14-7y=0\), nicht \(14-5y=0\). 3. Aus \(14-7y=0\) folgt \(y=2\). 4. Einsetzen in \(x=7-3y\) ergibt \(x=1\). 5. Somit ist \(L=\{(1|2)\}\).

a) Beim Zusammenfassen wurde \(-6y-y\) fälschlich zu \(-5y\) statt zu \(-7y\) gemacht. b) \(L=\{(1|2)\}\)

- Welche Gleichung lässt sich besonders einfach nach einer Variablen auflösen? - Übernimm beim Einsetzen den vollständigen Ausdruck für diese Variable. - Kontrolliere am Ende, ob dein Wertepaar beide Ausgangsgleichungen erfüllt.

1. Gleichung (II) nach \(a\) auflösen: \(a = 6{,}5 - 0{,}5b\). 2. Den Ausdruck für \(a\) in Gleichung (I) einsetzen: \(0{,}4(6{,}5 - 0{,}5b) - 0{,}2b = 1\). 3. Ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(2{,}6 - 0{,}2b - 0{,}2b = 1 \Rightarrow 2{,}6 - 0{,}4b = 1\). 4. Nach \(b\) auflösen: \(-0{,}4b = -1{,}6 \Rightarrow b = 4\). 5. Rückeinsetzen in Gleichung (II): \(a = 6{,}5 - 0{,}5 \cdot 4 = 4{,}5\). 6. Die Lösung ist \((4{,}5|4)\).

\((4{,}5|4)\)

- Welche Gleichung lässt sich besonders leicht nach einer Variablen auflösen? - Setze den so erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. - Wie bestimmst du nach dem ersten Wert die zweite Unbekannte?

1. Auflösen von Gleichung (II) nach \(r\): \(r = \frac{3}{4}s - 1\). 2. Einsetzen des Terms für \(r\) in Gleichung (I): \(\frac{2}{3}(\frac{3}{4}s - 1) + \frac{1}{2}s = 6\). 3. Anwenden des Distributivgesetzes: \(\frac{1}{2}s - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}s = 6\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(s\): \(s - \frac{2}{3} = 6\). 5. Bestimmen von \(s\): \(s = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\). 6. Einsetzen von \(s = \frac{20}{3}\) in die Gleichung für \(r\): \(r = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} - 1 = 5 - 1 = 4\). 7. Die Lösung ist \(r = 4\) und \(s = \frac{20}{3}\).

\(r = 4, s = \frac{20}{3}\)

- Vereinfache zuerst die Gleichung mit der Klammer, bevor du dich für die einzusetzende Variable entscheidest. - Achte beim Einsetzen darauf, dass der gesamte Ausdruck für die isolierte Variable übernommen wird. - Prüfe das gefundene Wertepaar in beiden ursprünglichen Gleichungen.

1. Gleichung (I) vereinfachen und nach \(y\) auflösen: \(2x - 6 = y + 2 \Rightarrow y = 2x - 8\). 2. Den Ausdruck für \(y\) in Gleichung (II) einsetzen: \(4x - 3(2x - 8) = 2\). 3. Auflösen und zusammenfassen: \(4x - 6x + 24 = 2 \Rightarrow -2x = -22\). 4. Damit ist \(x = 11\). 5. Rückeinsetzen: \(y = 2 \cdot 11 - 8 = 14\). Das Lösungspaar ist \((11|14)\).

\((11|14)\)

- Lass dich von den Dezimalzahlen nicht verunsichern; das Rechenverfahren bleibt genau gleich. - Achte beim Multiplizieren mit der \(2\) darauf, jeden Teil in der Klammer zu erwischen. - Addiere oder subtrahiere die Terme mit \(x\) sorgfältig, bevor du die Gleichung weiter auflöst.

1. Einsetzen des Terms für \(y\) aus (I) in (II): \(5x + 2 \cdot (2{,}4x - 3) = 33{,}2\) 2. Auflösen der Klammer: \(5x + 4{,}8x - 6 = 33{,}2\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(9{,}8x - 6 = 33{,}2\) 4. Addition von \(6\): \(9{,}8x = 39{,}2\) 5. Division durch \(9{,}8\): \(x = 4\) 6. Einsetzen von \(x = 4\) in Gleichung (I): \(y = 2{,}4 \cdot 4 - 3 = 9{,}6 - 3 = 6{,}6\)

Das Gleichungssystem hat die Lösung \(x = 4\) und \(y = 6{,}6\).

- Kannst du statt \(y\) zunächst ein Vielfaches wie \(2y\) isolieren? - Wie lässt sich dieser Ausdruck direkt für \(4y\) nutzen? - Welche Rücksubstitution liefert anschließend die zweite Variable?

1. Stelle die erste Gleichung nach \(2y\) um: \(2y=5x-19\). 2. Nutze in der zweiten Gleichung \(4y=2(2y)\): \(3x+2(5x-19)=1\). 3. Auflösen ergibt \(13x=39\), also \(x=3\). 4. Einsetzen in \(2y=5x-19\) liefert \(2y=-4\) und \(y=-2\). 5. Damit ist \(L=\{(3|-2)\}\).

\(L=\{(3|-2)\}\)

- Welche Variable lässt sich zweckmäßig isolieren, auch wenn dabei ein Bruch entsteht? - Wie kannst du den Nenner nach dem Einsetzen aus der Gleichung entfernen? - Welche Vorzeichen musst du bei der Rücksubstitution beachten?

1. Stelle die erste Gleichung nach \(x\) um: \(x=\frac{11+5y}{3}\). 2. Setze in die zweite Gleichung ein: \(4\frac{11+5y}{3}+3y=5\). 3. Multipliziere die Gleichung mit \(3\): \(4(11+5y)+9y=15\). 4. Auflösen ergibt \(44+29y=15\), also \(y=-1\). 5. Einsetzen liefert \(x=2\). 6. Damit ist \(L=\{(2|-1)\}\).

\(L=\{(2|-1)\}\)

- Welche Gleichung möchtest du zuerst nach einer Variablen auflösen? - Achte beim Einsetzen darauf, den ganzen Ausdruck zu übernehmen. - Wie sieht eine vollständige Probe in beiden ursprünglichen Gleichungen aus?

1. Stelle die erste Gleichung nach \(y\) um: \(y=2{,}5-1{,}5x\). 2. Setze in die zweite Gleichung ein: \(5x+3(2{,}5-1{,}5x)=8\). 3. Auflösen ergibt \(0{,}5x+7{,}5=8\), also \(x=1\). 4. Einsetzen liefert \(y=1\). 5. Probe in der ersten Gleichung: \(3\cdot1+2\cdot1=5\). Probe in der zweiten Gleichung: \(5\cdot1+3\cdot1=8\). 6. Damit ist \(L=\{(1|1)\}\).

\(L=\{(1|1)\}\). Die Probe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

- Hier steht keine Variable direkt alleine. Du musst also zuerst eine Gleichung umformen. - Es ist oft hilfreich, durch Koeffizienten wie 2 oder 5 zu teilen, da dies zu einfachen Dezimalzahlen führt. - Prüfe dein Ergebnis am Ende, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen, zum Beispiel die zweite nach \(y\): \(-2y = 14 - 5x \Rightarrow y = 2{,}5x - 7\). 2. Diesen Ausdruck für \(y\) in die erste Gleichung einsetzen: \(4x + 3 \cdot (2{,}5x - 7) = 2\). 3. Die Klammer auflösen und nach \(x\) umstellen: \(4x + 7{,}5x - 21 = 2 \Rightarrow 11{,}5x = 23\). 4. Den Wert für \(x\) berechnen: \(x = 2\). 5. Den Wert \(x = 2\) in die Gleichung für \(y\) einsetzen: \(y = 2{,}5 \cdot 2 - 7 = 5 - 7 = -2\). 6. Die Lösung des Systems ist \(x = 2\) und \(y = -2\).

\(L=\{(2|-2)\}\)

- Vereinfache beide Ausgangsgleichungen zuerst vollständig. - Suche danach eine Variable, die sich mit wenig Aufwand isolieren lässt. - Prüfe dein Wertepaar in den ursprünglichen Gleichungen mit den Klammern und dem Bruch.

1. Gleichung (I) vereinfachen: \(\frac{1}{2}a + 2 = b + 1 \Rightarrow a - 2b = -2\). 2. Gleichung (II) vereinfachen: \(3a - 3b = 2b + 11 \Rightarrow 3a - 5b = 11\). 3. Aus Gleichung (I) folgt \(a = 2b - 2\). 4. In Gleichung (II) einsetzen: \(3(2b - 2) - 5b = 11\). 5. Vereinfachen: \(6b - 6 - 5b = 11 \Rightarrow b = 17\). 6. Rückeinsetzen: \(a = 2 \cdot 17 - 2 = 32\). Die Lösung ist \((32|17)\).

\((32|17)\)

- Löse zuerst die Klammern auf und fasse in jeder Gleichung gleichartige Terme zusammen. - Welche der vereinfachten Gleichungen lässt sich besonders günstig nach einer Variablen umstellen? - Kontrolliere dein Ergebnis in den ursprünglichen, noch nicht vereinfachten Gleichungen.

1. Beide Gleichungen vereinfachen: Aus (I) wird \(5x-y=14\), aus (II) wird \(3x+7y=16\). 2. Gleichung (I) nach \(y\) auflösen: \(y=5x-14\). 3. In Gleichung (II) einsetzen: \(3x+7(5x-14)=16\). 4. Vereinfachen: \(3x+35x-98=16 \Rightarrow 38x=114 \Rightarrow x=3\). 5. Rückeinsetzen: \(y=5\cdot3-14=1\). Die Lösung ist \((3|1)\).

\((3|1)\)

- Vergleiche den Faktor vor \(x\) in (II) mit Ramis erster Zeile nach dem Einsetzen. - Frage dich, welcher vollständige Ausdruck an die Stelle von \(x\) tritt. - Prüfe deine korrigierte Lösung in beiden Ausgangsgleichungen.

1. In Gleichung (II) steht \(4x\). Nach dem Ersetzen von \(x\) muss deshalb der gesamte Ausdruck \(5-y\) mit \(4\) multipliziert werden. 2. Korrekt lautet der Einsetzschritt \(4(5-y)+2y=14\). 3. Daraus folgt \(20-4y+2y=14\), also \(-2y=-6\) und damit \(y=3\). 4. Rückeinsetzen in (I) ergibt \(x=2\).

Der Faktor \(4\) muss auf den gesamten eingesetzten Ausdruck \(5-y\) wirken. Korrekt ist \(4(5-y)+2y=14\); die Lösung lautet \((2|3)\).

- Vergleiche beide vorgeschlagenen Umformungen, bevor du rechnest. - Welche Umformung hält die eingesetzten Terme zunächst ganzzahlig? - Nach der Wahl genügt es, den erhaltenen Ausdruck in die andere Gleichung einzusetzen.

1. Bei A ergibt sich direkt \(y=13-5x\). Bei B entsteht \(x=\frac{3y-5}{2}\) und damit sofort ein Bruchterm. 2. Daher ist A rechnerisch günstiger. 3. Einsetzen von \(y=13-5x\) in (II) ergibt \(2x-3(13-5x)=-5\). 4. Daraus folgt \(17x-39=-5\), also \(17x=34\) und \(x=2\). 5. Rückeinsetzen in (I) ergibt \(y=3\).

Start A ist günstiger, weil beim Umstellen kein Bruchterm entsteht. Die Lösung lautet \((2|3)\).

- Welche Variable lässt sich besonders einfach isolieren? - Behandle \(p\) beim Umformen wie eine feste Zahl. - Welche beiden Ausdrücke erhältst du für \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(p\)?

1. Stelle die zweite Gleichung nach \(y\) um: \(y=2x-3p\). 2. Setze in die erste Gleichung ein: \(x+2(2x-3p)=4p\). 3. Auflösen ergibt \(5x=10p\), also \(x=2p\). 4. Einsetzen in \(y=2x-3p\) liefert \(y=p\). 5. Für jeden Wert von \(p\) ist damit \(L=\{(2p|p)\}\).

\(L=\{(2p|p)\}\)

- Behandle \(p\) und \(q\) beim Umformen wie feste Zahlen. - Welche Variable lässt sich in einer der beiden Gleichungen ohne Brüche isolieren? - Kontrolliere am Ende symbolisch, ob dein Wertepaar beide Gleichungen erfüllt.

1. Gleichung (I) nach \(x\) auflösen: \(x = p - 2y\). 2. Diesen Ausdruck in Gleichung (II) einsetzen: \(2(p - 2y) + y = q\). 3. Vereinfachen: \(2p - 4y + y = q \Rightarrow 2p - 3y = q\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(3y = 2p - q \Rightarrow y = \frac{2p-q}{3}\). 5. Rückeinsetzen: \(x = p - 2\frac{2p-q}{3} = \frac{2q-p}{3}\). 6. Damit ist \((x|y)=\left(\frac{2q-p}{3}\middle|\frac{2p-q}{3}\right)\).

\(\left(\frac{2q-p}{3}\middle|\frac{2p-q}{3}\right)\)

- Beseitige zunächst die Nenner in jeder Gleichung, ohne die Vorzeichen vor den Brüchen zu verlieren. - Vereinfache danach beide Gleichungen vollständig, bevor du eine Variable isolierst. - Prüfe das gefundene Wertepaar in den ursprünglichen Bruchgleichungen.

1. Gleichung (I) mit \(4\) multiplizieren und vereinfachen: \((3x-2y+2)-2(x+y-5)=4 \Rightarrow x-4y=-8\). 2. Gleichung (II) mit \(20\) multiplizieren und vereinfachen: \(4(2x+y-1)+5(x-2y+6)=60 \Rightarrow 13x-6y=34\). 3. Die erste vereinfachte Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x=4y-8\). 4. In die zweite vereinfachte Gleichung einsetzen: \(13(4y-8)-6y=34\). 5. Vereinfachen: \(46y=138 \Rightarrow y=3\). 6. Rückeinsetzen: \(x=4\cdot3-8=4\). Somit ist \(L=\{(4|3)\}\).

\(L=\{(4|3)\}\)

- Multipliziere in der ersten Gleichung beide Seiten aus und vergleiche die entstehenden Produktterme. - Forme eine der linearen Gleichungen ausdrücklich nach einer Variablen um. - Setze genau diesen Ausdruck in die andere lineare Gleichung ein.

1. Ausmultiplizieren der ersten Gleichung liefert auf beiden Seiten den Term \(xy\), der wegfällt. Übrig bleibt \(-3x+2y=1\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(x+y=6\), also zum Beispiel \(x=6-y\). 3. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(-3(6-y)+2y=1\). 4. Daraus folgt \(5y=19\), also \(y=\frac{19}{5}\) und \(x=\frac{11}{5}\). 5. Das System ist nach dem Kürzen von \(xy\) linear, weil nur noch Terme ersten Grades in \(x\) und \(y\) vorkommen.

a) Lineares LGS: \(\begin{cases}-3x+2y=1\\x+y=6\end{cases}\). Zum Beispiel \(x=6-y\); Einsetzgleichung \(-3(6-y)+2y=1\). \(L=\left\{\left(\frac{11}{5}\middle|\frac{19}{5}\right)\right\}\). b) Der Term \(xy\) fällt beim Vereinfachen vollständig weg; danach bleiben nur lineare Terme.

- Bestimme zuerst, wann einer der Nenner null würde. - Nach dem Kreuzmultiplizieren solltest du prüfen, ob sich der Produktterm vollständig kürzt. - Forme die einfachere lineare Gleichung nach einer Variablen um und setze diesen Ausdruck in die andere ein.

1. Wegen der Nenner gilt \(y\ne-2\) und \(y\ne-5\). 2. Kreuzmultiplikation in der ersten Gleichung ergibt \((2x-1)(y+5)=(2x+3)(y+2)\). Nach dem Ausmultiplizieren fällt \(2xy\) weg; es bleibt \(6x-4y=11\). 3. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2x-y=5\), also \(y=2x-5\). 4. Einsetzen in die erste lineare Gleichung ergibt \(6x-4(2x-5)=11\). 5. Daraus folgt \(x=\frac{9}{2}\) und \(y=4\). Der Wert \(y=4\) ist zulässig.

a) \(y\ne-2\) und \(y\ne-5\) b) Lineares LGS: \(\begin{cases}6x-4y=11\\2x-y=5\end{cases}\). Aufgelöst: \(y=2x-5\). Einsetzgleichung: \(6x-4(2x-5)=11\). Lösung: \(\left(\frac{9}{2}\middle|4\right)\).

- Was bedeutet es für die Vorzeichen von \(x\) und \(y\), wenn ein Punkt im II. Quadranten liegt? - Versuche zuerst, \(x\) und \(y\) so aufzulösen, dass sie nur noch vom Parameter \(a\) abhängen. - Wann ist ein Bruch positiv? Was muss dann für den Nenner gelten? - Wie verhält sich das Vorzeichen des Zählers, wenn du bereits weißt, welches Vorzeichen der Nenner hat?

1. Erste Gleichung nach \(x\) umstellen: \(x = 5 - y\). 2. Einsetzen in die zweite Gleichung: \(2(5 - y) + ay = 12\). 3. Klammer auflösen und nach \(y\) sortieren: \(10 - 2y + ay = 12 \Rightarrow y(a - 2) = 2\). 4. \(y\) in Abhängigkeit von \(a\) ausdrücken: \(y = \frac{2}{a - 2}\). 5. \(x\) berechnen: \(x = 5 - \frac{2}{a - 2} = \frac{5(a - 2) - 2}{a - 2} = \frac{5a - 12}{a - 2}\). 6. Bedingung \(y > 0\) anwenden: \(\frac{2}{a - 2} > 0 \Rightarrow a - 2 > 0 \Rightarrow a > 2\). 7. Bedingung \(x < 0\) anwenden: Da \(a - 2 > 0\) (aus Schritt 6), muss der Zähler negativ sein: \(5a - 12 < 0 \Rightarrow 5a < 12 \Rightarrow a < 2{,}4\). 8. Beide Bedingungen kombinieren: \(2 < a < 2{,}4\).

Die gesuchte Bedingung lautet \(2 < a < 2{,}4\).