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- Beide Gleichungen sind bereits nach derselben Variablen aufgelöst. - Welche beiden Terme haben deshalb am Schnittpunkt denselben Wert?

1. Beide rechten Seiten sind gleich \(y\). Beim Gleichsetzen werden deshalb genau diese beiden Terme einander gleichgesetzt. 2. Es entsteht \(4x-3=x+6\). Antwort A ist richtig.

A: \(4x-3=x+6\)

- Schau dir die Struktur der beiden Gleichungen an. Steht auf einer Seite jeweils derselbe Ausdruck? - Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert (hier \(x\)) ergeben, was kannst du dann über diese beiden Ausdrücke sagen? - Wie gehst du vor, wenn du eine der Unbekannten bereits berechnet hast?

1. Wahl des Verfahrens: Das Gleichsetzungsverfahren ist am direktesten, da beide Gleichungen bereits nach \(x\) aufgelöst sind. 2. Gleichsetzen der Terme: \(2y + 5 = -3y + 15\). 3. Terme mit \(y\) auf eine Seite bringen: \(5y + 5 = 15\). 4. Nach \(y\) auflösen: \(5y = 10 \Rightarrow y = 2\). 5. \(y\) in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen, um \(x\) zu berechnen: \(x = 2 \cdot 2 + 5 = 9\). 6. Ergebnis: Das Zahlenpaar ist \((9|2)\).

Das Gleichsetzungsverfahren ist am besten geeignet, da beide Gleichungen nach \(x\) isoliert sind. Die Lösung ist \(x = 9\) und \(y = 2\), also \(L = \{(9|2)\}\).

- Was muss man zuerst mit den Gleichungen machen, damit man sie direkt vergleichen kann? - Es ist oft hilfreich, beide Gleichungen so umzuformen, dass eine Variable (zum Beispiel \(y\)) alleine auf einer Seite steht. - Wenn du einen Wert für \(x\) gefunden hast, wie kannst du dann den passenden Wert für \(y\) berechnen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein Wertepaar in beide ursprünglichen Gleichungen passt.

1. Umstellen beider Gleichungen nach der Variablen \(y\): Aus (I) folgt \(3y = 6x + 12\), also \(y = 2x + 4\). Aus (II) folgt \(y = -2x + 20\). 2. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(2x + 4 = -2x + 20\). 3. Lösen der Gleichung nach \(x\): Durch Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(4\) erhält man \(4x = 16\), woraus \(x = 4\) folgt. 4. Einsetzen von \(x = 4\) in eine der umgestellten Gleichungen (z. B. \(y = 2x + 4\)): \(y = 2 \cdot 4 + 4 = 12\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{(4|12)\}\).

\(x = 4\), \(y = 12\) bzw. \(L = \{(4|12)\}\)

- Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert \(y\) ergeben, was kannst du dann über die Ausdrücke selbst sagen? - Könnte es helfen, die Brüche durch Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner zu entfernen? - Wie gehst du vor, um die Variable \(x\) allein auf eine Seite zu stellen?

1. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(\frac{2}{5}x + 3 = \frac{4}{5}x - 1\) 2. Subtraktion von \(\frac{2}{5}x\) auf beiden Seiten: \(3 = \frac{2}{5}x - 1\) 3. Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(4 = \frac{2}{5}x\) 4. Multiplikation mit \(5\): \(20 = 2x\) 5. Division durch \(2\): \(x = 10\)

\(x = 10\)

- Überlege dir, nach welcher Variablen du beide Gleichungen am einfachsten auflösen kannst. - Wenn beide Ausdrücke gleich \(y\) sind, was kannst du dann über die Ausdrücke selbst sagen? - Vergiss nicht, am Ende auch die zweite Unbekannte zu berechnen.

1. Beide Gleichungen nach derselben Variablen (hier \(y\)) umstellen: Aus I folgt: \(y = 14 - 3x\) Aus II folgt: \(y = 2x - 1\) 2. Die rechten Seiten der umgestellten Gleichungen gleichsetzen: \(14 - 3x = 2x - 1\) 3. Nach \(x\) auflösen: \(3x\) addieren ergibt \(14 = 5x - 1\). \(1\) addieren ergibt \(15 = 5x\). Division durch \(5\) ergibt \(x = 3\). 4. Den berechneten Wert für \(x\) in eine der nach \(y\) umgestellten Gleichungen einsetzen: \(y = 2 \cdot 3 - 1 = 5\). 5. Die Lösung als Zahlenpaar angeben: \(L = \{(3|5)\}\).

Die Lösung des Gleichungssystems ist \(x = 3\) und \(y = 5\).

- Was bedeutet es für die \(y\)-Werte, wenn beide Gleichungen nach \(y\) aufgelöst sind? - Wie kannst du die beiden rechten Seiten der Gleichungen miteinander verknüpfen? - Hast du nach dem Finden von \(x\) daran gedacht, auch den \(y\)-Wert zu bestimmen? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du beide Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(3x - 8 = -2x + 7\) 2. Zusammenfassen der Terme durch Addition von \(2x\) und \(8\): \(5x = 15\) 3. Berechnen von \(x\) durch Division durch 5: \(x = 3\) 4. Einsetzen von \(x = 3\) in Gleichung (I) zur Bestimmung von \(y\): \(y = 3 \cdot 3 - 8 = 1\) 5. Das Ergebnis ist das Zahlenpaar \((3|1)\).

Die Lösung ist \(x = 3\) und \(y = 1\), also der Punkt \(S(3|1)\).

- Beide Gleichungen geben bereits einen Term für dieselbe Variable an. - Nach dem Gleichsetzen musst du nur noch eine lineare Gleichung in \(x\) lösen. - Prüfe den berechneten Punkt in beiden Geradengleichungen.

1. Die beiden Terme für \(y\) gleichsetzen: \(\frac{3}{4}x+2=\frac{1}{4}x-1\). 2. Zusammenfassen: \(\frac{1}{2}x+2=-1 \Rightarrow \frac{1}{2}x=-3\). 3. Daraus folgt \(x=-6\). 4. In eine der Geradengleichungen einsetzen: \(y=\frac{1}{4}(-6)-1=-2{,}5\). 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-6|-2{,}5)\).

\(S(-6|-2{,}5)\)

- Was bedeutet es für die Terme auf der rechten Seite, wenn beide Gleichungen nach \(y\) aufgelöst sind? - Wie kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Glieder mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Gleichsetzen der beiden Funktionsterme für \(y\): \(3x + 4{,}5 = -1{,}5x + 18\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\) auf einer Seite durch Addition von \(1{,}5x\) und Subtraktion von \(4{,}5\): \(4{,}5x = 13{,}5\). 3. Berechnen von \(x\) durch Division durch \(4{,}5\): \(x = 3\). 4. Einsetzen des Wertes \(x = 3\) in eine der Ausgangsgleichungen zur Bestimmung von \(y\): \(y = 3 \cdot 3 + 4{,}5 = 13{,}5\).

\(x = 3\); \(y = 13{,}5\)

- Für das Gleichsetzen müssen beide Gleichungen dieselbe Variable allein beschreiben. - Eine der Gleichungen erfüllt diese Form bereits. - Nutze nach dem Gleichsetzen eine Ausgangsgleichung für die zweite Koordinate.

1. Gleichung (II) nach \(y\) auflösen: \(y=9-x\). 2. Die beiden Ausdrücke für \(y\) gleichsetzen: \(3x-3=9-x\). 3. Daraus folgt \(4x=12\), also \(x=3\). 4. Einsetzen ergibt \(y=6\).

\((3|6)\)

- Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Variable \(y\). - Beim Gleichsetzen werden genau die beiden Terme verwendet, die jeweils für \(y\) stehen. - Bestimme nach \(x\) die zweite Koordinate mit einer Ausgangsgleichung.

1. In die Lücke gehört der zweite Ausdruck für \(y\), also \(10-x\). 2. Damit gilt \(3x-2=10-x\). 3. Daraus folgt \(4x=12\), also \(x=3\). 4. Einsetzen in eine Ausgangsgleichung ergibt \(y=7\).

a) \(10-x\) b) \((3|7)\)

- Überlege dir, wie sich die Höhe einer Kerze zusammensetzt: Startwert minus Abbrenngeschwindigkeit mal Zeit. - Welche Variable steht für die Zeit und welche für die Höhe? - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Kerzen „gleich hoch“ sind? - Achte beim Rechnen darauf, die Einheiten im Kopf zu behalten, aber in der Rechnung nur mit den Zahlen zu arbeiten.

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Kerze A gilt \(h = 25 - 1{,}5t\). Für Kerze B gilt \(h = 20 - 0{,}5t\). 2. Gleichsetzen der Terme für \(h\): \(25 - 1{,}5t = 20 - 0{,}5t\). 3. Lösen nach \(t\): Subtraktion von \(20\) ergibt \(5 - 1{,}5t = -0{,}5t\). Addition von \(1{,}5t\) ergibt \(5 = 1t\), also \(t = 5\). 4. Berechnung der Höhe \(h\): Einsetzen von \(t = 5\) in die erste Gleichung ergibt \(h = 25 - 1{,}5 \cdot 5 = 25 - 7{,}5 = 17{,}5\). Nach \(5\,\text{h}\) sind beide Kerzen \(17{,}5\,\text{cm}\) hoch.

a) Kerze A: \(h = 25 - 1{,}5t\); Kerze B: \(h = 20 - 0{,}5t\) b) Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen \(17{,}5\,\text{cm}\) hoch.

- Wenn zwei Ausdrücke denselben Wert \(y\) ergeben sollen, kannst du sie einander gleichstellen. - Wie gehst du vor, wenn eine Dezimalzahl vor einer Klammer steht? - Hast du \(x\) gefunden? Setze es in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu bestimmen. - Achte darauf, am Ende das Produkt aus \(x\) und \(y\) zu bilden.

1. Gleichsetzen der Terme für \(y\): \(2{,}4x - 7 = 0{,}4(x + 12{,}5)\). 2. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(0{,}4x + 5\). 3. Die Gleichung lautet: \(2{,}4x - 7 = 0{,}4x + 5\). 4. Subtraktion von \(0{,}4x\) auf beiden Seiten: \(2x - 7 = 5\). 5. Addition von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x = 12\). 6. Division durch \(2\): \(x = 6\). 7. Berechnung von \(y\) durch Einsetzen von \(x\) in eine der Gleichungen: \(y = 2{,}4 \cdot 6 - 7 = 14{,}4 - 7 = 7{,}4\). 8. Berechnung von \(Z\): \(Z = 6 \cdot 7{,}4 = 44{,}4\).

Der Wert für \(x\) ist \(6\). Der Wert für \(Z\) ist \(44{,}4\).

- Überlege zuerst, wie sich die Kosten für jeden Tarif zusammensetzen. Welcher Teil ist fix, welcher hängt von der Zeit ab? - Wenn beide Tarife gleich viel kosten, müssen die beiden Funktionsterme den gleichen Wert haben. - Was stellt \(x\) in deiner Rechnung dar und welche Einheit gehört dazu?

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Tarif A ergibt sich \(y = 0{,}20x + 5\), für Tarif B \(y = 0{,}45x\). 2. Gleichsetzen der Terme: \(0{,}20x + 5 = 0{,}45x\). 3. Subtraktion von \(0{,}20x\) auf beiden Seiten: \(5 = 0{,}25x\). 4. Division durch \(0{,}25\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 20\). 5. Berechnung der Kosten zur Kontrolle: \(y = 0{,}45 \cdot 20 = 9{,}00\,\text{€}\).

a) Tarif A: \(y = 0{,}20x + 5\); Tarif B: \(y = 0{,}45x\) b) Nach \(20\,\text{Minuten}\) sind beide Tarife gleich teuer.

- Setze die beiden Terme für \(y\) gleich. - Bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. - Setze den gefundenen Wert für \(x\) in eine der Ausgangsgleichungen ein.

1. Gleichsetzen der Terme: \(\frac{2}{3}x + 5 = \frac{5}{6}x + 2\). 2. Subtraktion von \(2\) und \(\frac{2}{3}x\): \(3 = \frac{5}{6}x - \frac{4}{6}x\). 3. Vereinfachen: \(3 = \frac{1}{6}x\). 4. Multiplikation mit \(6\): \(x = 18\). 5. Einsetzen in Gleichung I: \(y = \frac{2}{3} \cdot 18 + 5 = 17\).

\(x = 18,\; y = 17\)

- Bringe beide Gleichungen in eine Form, in der \(y\) allein steht. - Prüfe beim Auflösen der zweiten Gleichung besonders das Vorzeichen vor \(y\). - Erst danach werden die beiden Terme für \(y\) gleichgesetzt.

1. Aus (I) folgt \(y=9-2x\). 2. Aus (II) folgt \(-2y=-4-3x\), also \(y=\frac{3x+4}{2}\). 3. Gleichsetzen ergibt \(9-2x=\frac{3x+4}{2}\). 4. Mit \(2\) multiplizieren: \(18-4x=3x+4\). Daher \(14=7x\) und \(x=2\). 5. Einsetzen in (I) ergibt \(y=5\).

\((2|5)\)

- Beschreibe für jede Gruppe Startbetrag und täglichen Zuwachs in einem Term. - Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem beide Terme denselben Wert haben. - Prüfe den gefundenen Zeitpunkt in beiden Geldbeträgen.

1. Für Gruppe A gilt \(A(t)=80+15t\), für Gruppe B \(B(t)=20+25t\). 2. Gleichsetzen: \(80+15t=20+25t\). 3. Daraus folgt \(60=10t\), also \(t=6\). 4. Einsetzen ergibt \(A(6)=80+15\cdot6=170\). Beide Gruppen haben dann \(170\,\text{€}\).

Nach \(6\) Tagen haben beide Gruppen jeweils \(170\,\text{€}\) gesammelt.

- Überlege, was beide rechten Seiten der Ausgangsgleichungen jeweils darstellen. - Beim Gleichsetzungsverfahren wird eine Gleichheit zwischen zwei Darstellungen derselben Größe genutzt. - Prüfe den korrigierten Schnittpunkt in beiden Gleichungen.

1. Beide rechten Seiten sind gleich \(y\). Deshalb müssen sie einander gleichgesetzt und nicht addiert werden. 2. Korrekt ist \(2x+5=11-x\). 3. Daraus folgt \(3x=6\), also \(x=2\). 4. Einsetzen ergibt \(y=9\).

Elif hätte \(2x+5=11-x\) schreiben müssen. Die Lösung ist \((2|9)\).

- Prüfe zunächst, ob beide Gleichungen eines Systems dieselbe Variable bereits allein darstellen. - Vergleiche den notwendigen Vorbereitungsaufwand, nicht nur die Größe der Koeffizienten. - Löse anschließend ausschließlich das passendere System mit dem verlangten Verfahren.

1. Bei System A sind beide Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst. Deshalb kann man die beiden rechten Seiten sofort gleichsetzen. 2. Für System B wäre zuerst eine Umformung nötig; zugleich heben sich dort die \(x\)-Terme beim Addieren direkt auf. 3. Für A gilt \(4x-6=-2x+12\). 4. Daraus folgt \(6x=18\), also \(x=3\), und anschließend \(y=6\).

System A ist für das Gleichsetzungsverfahren günstiger. Seine Lösung lautet \((3|6)\).

- Der vorgegebene \(x\)-Wert bestimmt über \(g\) auch die zugehörige \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts. - Dieser Punkt muss anschließend auch die Gleichung von \(h\) erfüllen. - Für die Eindeutigkeit kannst du die Richtungen der beiden Geraden vergleichen.

1. Für \(x=4\) hat \(g\) den Wert \(y=2\cdot4-1=7\). 2. Damit muss für \(h\) gelten \(7=-4+b\). Also ist \(b=11\). 3. Das System lautet \(y=2x-1\) und \(y=-x+11\). Gleichsetzen ergibt \(2x-1=-x+11\), also \(3x=12\) und \(x=4\). 4. Daraus folgt \(y=7\). Wegen der verschiedenen Steigungen \(2\) und \(-1\) gibt es genau einen Schnittpunkt.

a) \(b=11\) b) \(S(4|7)\) c) Die Steigungen \(2\) und \(-1\) sind verschieden, daher schneiden sich die Geraden genau einmal.