- Beide Größen, die du für die Volumenberechnung brauchst, sind bereits angegeben. - Wie hängen Grundflächeninhalt und Abstand der beiden Grundflächen mit dem Volumen eines geraden Prismas zusammen?

1. Für ein gerades Prisma gilt \(V=Gh\). 2. Daher ist \(V=12\,\text{cm}^2\cdot5\,\text{cm}=60\,\text{cm}^3\).

\(60\,\text{cm}^3\)

- Unterscheide die beiden ebenen Flächen von der seitlichen Fläche des Körpers. - Das Wort „geschlossen“ bedeutet, dass sowohl die obere als auch die untere Kreisfläche zur Oberfläche gehört.

1. Oben und unten besitzt der geschlossene Zylinder je eine ebene Kreisfläche. 2. Dazu kommt eine zusammenhängende seitliche Mantelfläche. 3. Die Oberfläche besteht also aus zwei Kreisflächen und einer Mantelfläche.

Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Netz zusammen? Welche davon bilden die Grund- und Deckfläche? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas allgemein? - Schau dir die Maße am Dreieck an: Handelt es sich um ein spezielles Dreieck (z.B. rechtwinklig)? - Welche Länge im Netz entspricht der Höhe des aufgestellten Körpers?

1. Identifikation der Grundfläche \(G\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm (da \(3^2 + 4^2 = 5^2\) gilt). 2. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe des Dreiecks} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) cm². 3. Ablesen der Körperhöhe \(h\) des Prismas aus der Seitenlänge der Rechtecke im Netz: \(h = 3\) cm. 4. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 6 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = 18\) cm³.

a) 18 cm³

- Welche Kanten der dreieckigen Grundfläche werden beim Abrollen zu den Breiten der drei Mantelrechtecke? - Welche gemeinsame Seitenlänge besitzen alle drei Mantelrechtecke? - Welche zwei kongruenten Flächen schließen ein Prisma an seinen Enden ab?

1. Die drei Mantelrechtecke haben als Breiten die drei Seitenlängen der dreieckigen Grundfläche und als gemeinsame Höhe die Körperhöhe des Prismas. 2. Ihre Gesamtlänge entspricht dem Umfang der Grundfläche: \(5\,\text{cm}+12\,\text{cm}+13\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 3. Die Höhe des großen Mantelrechtecks entspricht der Körperhöhe des Prismas und beträgt \(10\,\text{cm}\). 4. Zum vollständigen Netz gehören außerdem Grund- und Deckfläche, also zwei kongruente Dreiecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(12\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

a) Das große Rechteck hat eine Gesamtlänge von \(30\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(10\,\text{cm}\). b) Hinzu kommen \(2\) kongruente Dreiecke als Grund- und Deckfläche.

- Welche Kreisgröße entspricht der Länge der Blende? - Welche Form hat die Blende, wenn du sie ausrollst? - Bringe vor der Flächenberechnung beide Längen in dieselbe Einheit.

1. a) Die Länge der Blende entspricht dem Beckenumfang: \(U=\pi d=4{,}50\pi\,\text{m}\approx14{,}14\,\text{m}\). 2. b) Die Höhe der Blende ist \(12\,\text{cm}=0{,}12\,\text{m}\). 3. Ausgerollt ist die Blende ein Rechteck. Daher gilt \(A=U\cdot h=4{,}50\pi\,\text{m}\cdot0{,}12\,\text{m}=0{,}54\pi\,\text{m}^2\approx1{,}70\,\text{m}^2\).

a) \(14{,}14\,\text{m}\) b) \(1{,}70\,\text{m}^2\)

- Welche Größe entsteht, wenn eine Grundfläche mit dem Abstand der beiden Grundflächen multipliziert wird? - Welche Flächen gehören zur gesamten Oberfläche eines geraden Prismas? - Welche geometrische Bedeutung hat das Produkt aus Grundflächenumfang und Abstand der Grundflächen?

1. Term I multipliziert einen Flächeninhalt mit einer Länge. Das Ergebnis hat die Einheit \(\text{cm}^3\) und beschreibt deshalb das Volumen \(V=Gh\). 2. Term II addiert zwei Grundflächen und die Mantelfläche \(uh\). Alle Summanden haben die Einheit \(\text{cm}^2\), also beschreibt der Term den Oberflächeninhalt \(O=2G+uh\). 3. Das Volumen ist \(V=30\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=360\,\text{cm}^3\). 4. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\cdot30\,\text{cm}^2+26\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=372\,\text{cm}^2\).

a) I gehört zum Volumen \(V\), II zum Oberflächeninhalt \(O\). b) \(V=360\,\text{cm}^3\), \(O=372\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Zylinders? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest.

1. Gegeben sind das Volumen \(V = 850\,\text{cm}^3\) und der Radius \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet \(V = \pi r^2h\). 3. Umstellen der Formel nach der Höhe: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{850}{\pi \cdot 4{,}5^2} \approx \frac{850}{63{,}617} \approx 13{,}3617\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich \(h \approx 13{,}4\,\text{cm}\).

Die Innenhöhe der Dose beträgt etwa \(13{,}4\,\text{cm}\).

- Welche Kreisfläche bildet die Grundfläche der Dose? - Wie entsteht aus Grundfläche und Höhe das Volumen? - Welche drei Flächenteile gehören zur Oberfläche einer geschlossenen Dose?

1. Das Volumen ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot5^2\cdot12\,\text{cm}^3=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}5\,\text{cm}^3\). 2. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot5\cdot17\,\text{cm}^2=170\pi\,\text{cm}^2\approx534{,}1\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx942{,}5\,\text{cm}^3\) b) \(O\approx534{,}1\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen der angegebene Durchmesser und der benötigte Radius zusammen? - Verwende für \(\pi\) genau den in der Aufgabe vorgegebenen Näherungswert.

1. Aus \(d=10\,\text{cm}\) folgt \(r=\frac{d}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Mit \(V=\pi r^2h\) ergibt sich \(V\approx3{,}14\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=942\,\text{cm}^3\).

\(942\,\text{cm}^3\)

- In welche zwei Rechtecke kannst du die L-förmige Stirnfläche zerlegen? - Addiere die beiden Teilflächen zum Querschnittsinhalt \(G\). - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Werkstücklänge das Volumen?

1. Zerlege die L-förmige Stirnfläche in ein Rechteck mit \(2\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) und ein Rechteck mit \(3\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die beiden Teilflächen sind \(12\,\text{cm}^2\) und \(6\,\text{cm}^2\), also \(G=18\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(180\,\text{cm}^3\).

- Welche beiden Maße der Abbildung gehören zur dreieckigen Stirnfläche? - Wie berechnest du aus Grundseite und zugehöriger Dreieckshöhe den Flächeninhalt \(G\)? - Lies die Länge des Keils aus der Abbildung ab. - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Keillänge das Volumen?

1. Die dreieckige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}gh_g=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). 2. Aus der Abbildung liest man die Keillänge \(12\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V=20\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Holzkeils beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Welche Volumenformel gilt unabhängig davon, ob die Tonne oben offen ist? - Die Mantelfläche entsteht aus Kreisumfang und Höhe. - Welche Kreisfläche gehört bei einer oben offenen Tonne zum Material und welche nicht?

1. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=72\pi\,\text{dm}^3\approx226{,}2\,\text{dm}^3\). Wegen \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) sind das etwa \(226{,}2\,\text{l}\). 2. Die Mantelfläche ist \(M=2\pi rh=48\pi\,\text{dm}^2\approx150{,}8\,\text{dm}^2\). 3. Weil die Tonne oben offen ist, werden nur Boden und Mantel benötigt: \(A=\pi r^2+M=57\pi\,\text{dm}^2\approx179{,}1\,\text{dm}^2\).

a) \(226{,}2\,\text{l}\) b) \(150{,}8\,\text{dm}^2\) c) \(179{,}1\,\text{dm}^2\)

- Skizziere die Grundfläche nach dem Schnitt. - Vergleiche die beiden Teile, die durch die Diagonale entstehen. - Prüfe dein Ergebnis auch mit dem Volumen des ganzen Quaders.

1. Das Volumen des ursprünglichen Quaders ist \(V_{\text{Quader}}=12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=480\,\text{cm}^3\). 2. Der Diagonalschnitt teilt den Quader in zwei volumengleiche Prismen. 3. Daher hat jedes Prisma das Volumen \(V_{\text{Prisma}}=480\,\text{cm}^3:2=240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen eines der entstandenen Prismen beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Welche Maße hat der freie Innenraum der U-Form? - Wie kannst du den Flächeninhalt des Materials im Querschnitt bestimmen? - Welche Länge des Körpers brauchst du anschließend noch?

1. Die U-förmige Querschnittsfläche ist das äußere Rechteck minus dem inneren Ausschnitt: \(G=5\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}-3\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=11\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=G\cdot12\,\text{cm}=11\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=132\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(132\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche bleibt über die ganze Länge des Körpers gleich? - Welche Angaben des Trapezes brauchst du für seinen Flächeninhalt? - Welche Einheit muss das Endergebnis haben?

1. Die Grundfläche ist \(G=\frac{10\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=G\cdot15\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=480\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Betonklotzes beträgt \(480\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der dreieckigen Vorderseite. - Welche beiden angegebenen Maße sind die Katheten des Dreiecks? - Lies anschließend die Länge des Prismas aus der Abbildung ab und multipliziere sie mit dem Stirnflächeninhalt.

1. Die Stirnfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(15\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\). 2. Ihr Flächeninhalt ist \(G=\frac{1}{2}\cdot15\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 3. Aus der Abbildung liest man die Prismenlänge \(25\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V=60\,\text{cm}^2\cdot25\,\text{cm}=1500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1500\,\text{cm}^3\).

- Welche Querschnittsfläche bleibt über die ganze Prismenlänge gleich? - Welche zwei Maße gehören zur Grundseite und zur Höhe dieses Dreiecks? - Welche Einheit muss dein Volumen haben?

1. Die dreieckige Grundfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot14\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=42\,\text{cm}^2\). 2. Mit der Prismenlänge \(30\,\text{cm}\) folgt \(V=42\,\text{cm}^2\cdot30\,\text{cm}=1260\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1260\,\text{cm}^3\).

- Achte darauf, dass der Durchmesser gegeben ist, die Volumenformel aber den Radius verwendet. - Wie erhältst du daraus den Radius der Kreisgrundfläche? - Welche Beziehung verbindet Grundfläche und Zylinderhöhe mit dem Volumen?

1. Aus \(d=12\,\text{cm}\) folgt \(r=6\,\text{cm}\). 2. Die Grundfläche ist \(G=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=Gh=36\pi\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=720\pi\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(720\pi\,\text{cm}^3\).

- Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einem Rechteck (dem Mantel) zusammen. - Wie lang ist die eine Seite des Mantels im Vergleich zum Kreisumfang?

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 = 100\pi\,\text{cm}^2\). 2. Mantelfläche \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 100\pi\,\text{cm}^2\). 3. Oberfläche \(O = 2G + M = 2 \cdot 100\pi\,\text{cm}^2 + 100\pi\,\text{cm}^2 = 300\pi\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche beträgt \(300\pi\,\text{cm}^2\).

- Das Volumen ergibt sich aus Grundfläche und Höhe des Zylinders. - Nutze für \(\pi\) den Wert deines Taschenrechners und runde erst am Ende.

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2 \approx 12{,}566\,\text{cm}^2\). 2. Volumen \(V = Gh = 4\pi\,\text{cm}^2 \cdot 50\,\text{cm} = 200\pi\,\text{cm}^3 \approx 628{,}3185\,\text{cm}^3\). 3. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(V \approx 628{,}32\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt etwa \(628{,}32\,\text{cm}^3\).

- Welche der drei Seitenlängen sind die senkrecht zueinander stehenden Katheten? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Prismenlänge das Volumen?

1. Bei der rechtwinkligen Stirnfläche sind die Katheten Grundseite und zugehörige Höhe: \(G=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=60\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Prismas beträgt \(600\,\text{cm}^3\).

- Welche drei Flächen gehören bei einem geschlossenen Zylinder zur Oberfläche? - Wie hängt die Mantelfläche mit dem Umfang der Kreisgrundfläche zusammen? - Runde erst das vollständige Oberflächenergebnis.

1. Die Grundfläche ist \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 = 20{,}25\pi\,\text{cm}^2\). 2. Die Mantelfläche ist \(M = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4{,}5\,\text{cm} \cdot 12{,}2\,\text{cm} = 109{,}8\pi\,\text{cm}^2\). 3. Für den geschlossenen Zylinder gilt \(O = 2G + M = 150{,}3\pi\,\text{cm}^2 \approx 472{,}18\,\text{cm}^2\). 4. Auf die nächste ganze Zahl gerundet ist \(O \approx 472\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt etwa \(472\,\text{cm}^2\).

- Welche zweidimensionale Form hat die gleichbleibende Vorderseite des Prismas? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie hängt bei einem Prisma das Volumen mit Grundfläche und Prismenlänge zusammen?

1. Die trapezförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{8{,}0\,\text{dm}+4{,}0\,\text{dm}}{2}\cdot3{,}0\,\text{dm}=18{,}0\,\text{dm}^2\). 2. Die Prismenlänge ist \(l=20{,}0\,\text{dm}\). Daher gilt \(V=G\cdot l=18{,}0\,\text{dm}^2\cdot20{,}0\,\text{dm}=360{,}0\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(360{,}0\,\text{dm}^3\).

- Welche Fläche bleibt bei diesem Prisma von vorne bis hinten gleich? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des Trapezes. - Wie nutzt du anschließend die Tiefe des Körpers für das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der trapezförmigen Grundfläche ist \(G=\frac{3{,}5\,\text{cm}+5{,}5\,\text{cm}}{2}\cdot4{,}0\,\text{cm}=18{,}0\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen des Prismas beträgt \(V=18{,}0\,\text{cm}^2\cdot8{,}0\,\text{cm}=144{,}0\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Keils beträgt \(144{,}0\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche siehst du an der Vorderseite des Keils? - Welche Größe dieser Fläche brauchst du für das Volumen? - Welche Längeneinheit muss sich im Ergebnis dreimal wiederfinden?

1. Die dreieckige Grundfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=10\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=150\,\text{cm}^3\).

Der Briefbeschwerer hat ein Volumen von \(150\,\text{cm}^3\).

- Welche Form hat der Querschnitt unter dem schrägen Dach? - Welche beiden Seiten dieser Form sind parallel? - Welche Länge führt senkrecht aus dem Querschnitt heraus?

1. Die trapezförmige Seitenfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{3\,\text{m}+5\,\text{m}}{2}\cdot5\,\text{m}=20\,\text{m}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=20\,\text{m}^2\cdot8\,\text{m}=160\,\text{m}^3\).

Der Rauminhalt unter dem Dach beträgt \(160\,\text{m}^3\).

- Bei einem rechtwinkligen Dreieck können die beiden Katheten als Grundseite und Höhe für die Flächenberechnung genutzt werden. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Prismen.

1. Die rechtwinklige dreieckige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Prisma ist \(12\,\text{cm}\) lang. Daher ist \(V=6\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=72\,\text{cm}^3\).

Das Glasprisma hat ein Volumen von \(72\,\text{cm}^3\).

- Welche beiden Maße brauchst du für den Flächeninhalt des Parallelogramms? - Welche der drei Dimensionen beschreibt die Länge des Steinblocks? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Blocklänge das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der parallelogrammförmigen Stirnfläche ist \(G=30\,\text{cm}\cdot18\,\text{cm}=540\,\text{cm}^2\). 2. Mit der Blocklänge \(50\,\text{cm}\) folgt \(V=540\,\text{cm}^2\cdot50\,\text{cm}=27\,000\,\text{cm}^3\).

Der Steinblock hat ein Volumen von \(27\,000\,\text{cm}^3\).

- Welche Querschnittsfläche bleibt über die Breite des Schuppens gleich? - Welche Seiten dieser Fläche sind parallel? - Welche der vier Längen steht senkrecht auf diesem Querschnitt?

1. Die trapezförmige Seitenfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{2{,}80\,\text{m}+2{,}20\,\text{m}}{2}\cdot3{,}00\,\text{m}=7{,}50\,\text{m}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=7{,}50\,\text{m}^2\cdot4{,}50\,\text{m}=33{,}75\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen beträgt \(33{,}75\,\text{m}^3\).

- Welche einfachen Flächen erkennst du im Querschnitt? - Welche Höhenangabe gehört nur zum Dach? - Welche Länge des Gewächshauses führt senkrecht aus dem Querschnitt heraus?

1. Das Rechteck hat den Flächeninhalt \(4\,\text{m}\cdot2\,\text{m}=8\,\text{m}^2\). 2. Das Dachdreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2}\cdot4\,\text{m}\cdot1\,\text{m}=2\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Grundfläche \(G=10\,\text{m}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=10\,\text{m}^2\cdot10\,\text{m}=100\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Gewächshauses beträgt \(100\,\text{m}^3\).

- Welcher Flächeninhalt bildet die Grundfläche des Zylinders? - Wie hängen Grundfläche und Höhe mit dem Zylindervolumen zusammen? - Runde erst das vollständige Volumen.

1. Die Grundfläche ist \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V = Gh = 36\pi\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 540\pi\,\text{cm}^3 \approx 1696{,}46\,\text{cm}^3\). 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(V \approx 1696{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen der Vorratsdose beträgt etwa \(1696{,}5\,\text{cm}^3\).

- Lies für beide Teilkörper jeweils Radius und Höhe aus der Abbildung ab. - Berechne die beiden Zylindervolumina getrennt. - Wie erhältst du aus den beiden Teilvolumina das Volumen des zusammengesetzten Sockels?

1. Aus Teilbild a) liest man \(r_1=6\,\text{cm}\) und \(h_1=3\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V_1=\pi r_1^2h_1=108\pi\,\text{cm}^3\). 2. Aus Teilbild b) liest man \(r_2=3\,\text{cm}\) und \(h_2=8\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V_2=72\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen ist \(V_{\text{ges}}=180\pi\,\text{cm}^3\approx565{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen des Sockels beträgt etwa \(565{,}5\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche ist bei diesem liegenden Prisma die Stirnfläche? - Welche beiden Maße brauchst du für den Flächeninhalt des Dreiecks? - Mit welcher Ausdehnung des Zelts musst du diesen Flächeninhalt multiplizieren?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot4{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=5{,}0\,\text{m}^2\). 2. Mit der Zeltlänge \(6{,}0\,\text{m}\) gilt \(V=5{,}0\,\text{m}^2\cdot6{,}0\,\text{m}=30{,}0\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Luftraums beträgt \(30{,}0\,\text{m}^3\).

- Welche Kreisgröße ist gegeben und welche wird in der Volumenformel benötigt? - Welche Fläche bildet die Grundfläche des Wasserturms? - Runde erst das berechnete Volumen auf eine Dezimalstelle.

1. Aus dem Durchmesser folgt \(r=\frac{4\,\text{m}}{2}=2\,\text{m}\). 2. Damit ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot(2\,\text{m})^2\cdot10\,\text{m}=40\pi\,\text{m}^3\). 3. Numerisch ergibt sich \(V\approx125{,}6637\,\text{m}^3\), also gerundet \(V\approx125{,}7\,\text{m}^3\).

Es passen maximal \(125{,}7\,\text{m}^3\) Wasser in den Turm.

- Stell dir vor, welche Kante des Rechtecks beim Aufrollen einmal um den Grundkreis herumläuft. - Welche beiden Seitenlängen hat dadurch das Mantelrechteck? - Welche Flächen fehlen außer dem Mantel noch zur Oberfläche eines geschlossenen Zylinders?

1. Beim Zusammenrollen des Mantelrechtecks schließt seine lange Seite genau einmal um die Grundfläche. Sie ist daher so lang wie der Umfang des Grundkreises, also \(2\pi r\). 2. Das Mantelrechteck hat damit die Seitenlängen \(2\pi r\) und \(h\). Deshalb gilt \(M=2\pi rh\). 3. Zur Mantelfläche kommen zwei Kreisflächen mit jeweils \(\pi r^2\) hinzu. 4. Somit ist \(O=M+2G=2\pi rh+2\pi r^2\).

a) Die lange Rechteckseite entspricht dem Grundkreisumfang \(2\pi r\). b) \(M=2\pi rh\) und \(O=2\pi rh+2\pi r^2\).

- Stell dir bei jeder Anordnung vor, ein Quadrat bleibe als Grundfläche liegen. - Welche vier Quadrate könnten nacheinander die vier Seitenflächen bilden? - Prüfe danach, ob die beiden übrigen Quadrate verschiedene freie Würfelflächen schließen oder auf dieselbe Stelle gelangen.

1. Anordnung a) ist ein Würfelnetz: Die vier Quadrate in einer Reihe können die vier Seitenflächen bilden; die beiden zusätzlich angesetzten Quadrate schließen beim Falten die beiden übrigen Würfelflächen. 2. Anordnung b) ist das vollständige \(2\times3\)-Rechteck. Beim Falten würden mehrere bereits direkt aneinanderliegende Quadrate dieselbe Raumlage beanspruchen; die sechs Flächen können daher nicht ohne Überlappung die sechs verschiedenen Würfelflächen bilden.

a) Anordnung a) b) Das \(2\times3\)-Rechteck b) führt beim Falten zu überlappenden Flächen und ist deshalb kein Würfelnetz.

- Welche Kante des Mantelstreifens gehört zur bereits benutzten \(4\,\text{cm}\)-Seite? - Suche auf der gegenüberliegenden Seite des Streifens die dazugehörige freie Kante. - Welche Dreiecksseiten bestimmen die Breiten der drei Mantelrechtecke?

1. Die \(4\,\text{cm}\)-Seite der ersten Dreiecksfläche liegt am mittleren Mantelrechteck. Die gegenüberliegende freie Kante desselben Rechtecks ist \(e_2\). 2. Daher muss die zweite Dreiecksfläche mit ihrer \(4\,\text{cm}\)-Seite an \(e_2\) angesetzt werden. 3. Zu den Dreiecksseiten \(3\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\) gehören Mantelrechtecke mit der gemeinsamen Prismenlänge \(6\,\text{cm}\). 4. Ihre Maße sind \(3\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\).

a) \(e_2\) b) \(3\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\)

- Welche Seite der Grundfläche gehört zum bereits angezeichneten Rechteck \(R_1\)? - Welche Seite folgt am Rand des Trapezes direkt danach? Beachte: Zwei Seiten sind gleich lang. - Welcher Eckpunkt liegt zwischen den Seiten \(AB\) und \(BC\)?

1. \(R_1\) gehört zur Seite \(AB\). Beim Umlaufen des Trapezes folgt auf \(AB\) die Seite \(BC\). Daher gehört \(R_2\) zu \(BC\). 2. a) An die obere Kante von \(R_2\) muss deshalb die Seite \(B_2C_2\) gelegt werden. Die ebenfalls \(4\,\text{cm}\) lange Seite \(D_2A_2\) gehört zu \(R_4\), nicht zu \(R_2\). 3. b) Die gemeinsame Kante von \(R_1\) und \(R_2\) entspricht dem Eckpunkt \(B\). Deshalb liegt dort auf der zweiten Grundfläche \(B_2\). 4. c) Die Breite von \(R_2\) ist \(BC=4\,\text{cm}\); die andere Rechteckseite ist die Prismenlänge \(8\,\text{cm}\). Also misst \(R_2\) \(4\,\text{cm}\times8\,\text{cm}\).

a) \(B_2C_2\) b) \(B_2\) c) \(4\,\text{cm}\times8\,\text{cm}\)

- Welche Strecke des Grundkreises muss genau zu einer langen Rechteckkante passen? - Überlege, welche Rechteckkanten nach dem Rollen oben und unten liegen. - Welche Kanten verschwinden in der Naht des Mantels?

1. Die langen Rechteckkanten entsprechen dem Umfang des Grundkreises: \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot2{,}5\,\text{cm}=15{,}7\,\text{cm}\). 2. Die beiden Kreisflächen liegen an den langen Kanten \(a\) und \(c\). 3. Beim Zusammenrollen treffen die beiden kurzen Kanten \(b\) und \(d\) aufeinander.

a) \(a=c=15{,}7\,\text{cm}\) b) an \(a\) und \(c\) c) \(b\) und \(d\)

- Wo liegen die beiden Grundflächen eines Zylinders im Verhältnis zum Mantel? - Welche Kanten des Rechtecks bilden nach dem Rollen die Naht? - Welche Beziehung verbindet Kreisumfang und Radius?

1. Die beiden Kreisflächen schließen den Mantel an gegenüberliegenden langen Kanten ab. Die zweite Kreisfläche gehört daher an \(c\). 2. Die kurzen Kanten \(b\) und \(d\) werden beim Rollen miteinander verbunden. 3. Aus \(U=2\pi r\) folgt \(r=\frac{16\,\text{cm}}{2\cdot3{,}14}\approx2{,}55\,\text{cm}\).

a) an \(c\) b) \(b\) und \(d\) c) \(r\approx2{,}55\,\text{cm}\)

- Wie verändert sich der Radius eines Kreises, wenn sich sein Umfang halbiert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Radius auf die Fläche der kreisförmigen Grundfläche aus? - Wenn das Volumen eines Zylinders gleich bleiben soll, die Grundfläche aber kleiner wird – was muss dann mit der Höhe passieren?

1. Analyse des Zusammenhangs zwischen Umfang und Radius: Da \(U = 2\pi r\), bedeutet eine Halbierung des Umfangs (von 8 auf 4) eine Halbierung des Radius (\(r_B = \frac{1}{2} r_A\)). 2. Analyse der Grundfläche \(G = \pi r^2\): Wird der Radius halbiert, viertelt sich die Grundfläche (\(G_B = (\frac{1}{2})^2 \cdot G_A = \frac{1}{4} G_A\)). 3. Da das Volumen \(V = G \cdot h\) gleich bleiben soll (\(V_B = V_A\)), muss die geringere Grundfläche durch eine proportional größere Höhe ausgeglichen werden. 4. Berechnung der neuen Höhe: \(V = \frac{1}{4} G_A \cdot h_B = G_A \cdot 10 \Rightarrow h_B = 10 \cdot 4 = 40\) cm.

d) 40 cm

- Bei gleichem Volumen hängt die Höhe davon ab, auf welche Grundfläche sich das Wasser verteilt. - Vergleiche die Grundflächen mit dem Höhenanstieg in einer Minute. - Nutze für c) die konstante Höhenzunahme pro Minute.

1. Da in Gefäß A die dreifache Grundfläche gefüllt werden muss, verteilt sich die gleiche Wassermenge auf eine größere Fläche. Der Wasserspiegel steigt daher in Gefäß B schneller an. 2. Bei gleichem zugeflossenem Volumen gilt mit \(V=G\cdot h\): Ist die Grundfläche dreimal so groß, ist die Höhe nur ein Drittel so groß. 3. In Gefäß A steigt das Wasser deshalb in einer Minute um \(15:3=5\,\text{cm}\). 4. Für Gefäß B gilt \(h_B(t)=15t\), für Gefäß A \(h_A(t)=5t\).

a) In Gefäß B steigt der Wasserspiegel schneller. b) \(5\,\text{cm}\) c) \(h_A(t)=5t\), \(h_B(t)=15t\)

- Wie hängen Fläche, Höhe und Länge eines Rechtecks zusammen? - Welche Länge des ausgebreiteten Etiketts entspricht einer Kreisgröße der Dose? - Forme anschließend die passende Kreisformel nach dem Durchmesser um.

1. a) Das ausgebreitete Etikett ist ein Rechteck. Seine Länge entspricht dem Umfang der Dose: \(U=180\,\text{cm}^2:6\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 2. b) Aus \(U=\pi d\) folgt \(d=30\,\text{cm}:\pi\approx9{,}55\,\text{cm}\).

a) \(U=30\,\text{cm}\) b) \(d\approx9{,}55\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst die Länge, die den Stamm genau einmal umschließt. - Wie verändert die Überlappung die benötigte Gitterlänge? - Rechne für die Fläche in einheitlichen Längeneinheiten und berücksichtige anschließend alle acht Bäume.

1. a) Der Stammumfang ist \(U=16\pi\,\text{cm}\). Mit der Überlappung ergibt sich \(L=16\pi\,\text{cm}+15\,\text{cm}\approx65{,}27\,\text{cm}\). 2. b) In Metern ist die benötigte Länge je Baum \(L=(0{,}16\pi+0{,}15)\,\text{m}\). 3. Für acht Bäume beträgt die Gitterfläche \(A=8\cdot L\cdot1{,}50\,\text{m}\approx7{,}83\,\text{m}^2\).

a) etwa \(65{,}27\,\text{cm}\) b) etwa \(7{,}83\,\text{m}^2\)

- Erinnere dich an die Volumenformel für Zylinder. Welcher Teil der Formel ändert sich wie? - Wenn sich der Durchmesser halbiert, was passiert dann mit dem Radius? - Wie wirkt sich die Änderung des Radius auf das Volumen aus, im Vergleich zur Änderung der Höhe? - Du musst die Dichte nicht unbedingt explizit ausrechnen, wenn du das Verhältnis der Volumina kennst.

1. Bestimmung der Maße: Kerze 1 hat \(r_1 = 3\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\). Kerze 2 hat \(r_2 = 1{,}5\,\text{cm}\), \(h_2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens von Kerze 1: \(V_1 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 90\pi\,\text{cm}^3 \approx 282{,}74\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens von Kerze 2: \(V_2 = \pi \cdot (1{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = \pi \cdot 2{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 45\pi\,\text{cm}^3 \approx 141{,}37\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: \(V_2\) ist genau halb so groß wie \(V_1\) (\(45\pi : 90\pi = 0{,}5\)). 5. Berechnung der Masse: Da das Material identisch ist, ist die Masse proportional zum Volumen: \(m_2 = 0{,}5 \cdot 250\,\text{g} = 125\,\text{g}\).

Die zweite Kerze hat eine Masse von \(125\,\text{g}\).

- Gleiche zuerst die Volumen- und Längeneinheiten so an, dass sie zusammenpassen. - Stelle \(V=\pi r^2h\) zunächst nach dem Quadrat des Radius um. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl und denke anschließend an den Durchmesser.

1. Es gilt \(552{,}64\,\text{l}=552{,}64\,\text{dm}^3\) und \(1{,}10\,\text{m}=11\,\text{dm}\). 2. Mit \(V=\pi r^2h\) folgt \(r^2=V:(\pi h)=552{,}64\,\text{dm}^3:(3{,}14\cdot11\,\text{dm})=16\,\text{dm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{dm})^2=16\,\text{dm}^2\), gilt \(r=4\,\text{dm}\). 4. Der Durchmesser ist \(d=2r=8\,\text{dm}=80\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser beträgt \(80\,\text{cm}\).

- Setze für den Radius den Ausdruck \(3r\) in die Formel ein und achte auf die Klammern beim Quadrieren. - Vergleiche das neue Volumen mit dem ursprünglichen Volumen. Um welchen Faktor ist es gewachsen? - Wie müsste sich das Volumen verändern, damit die Zuordnung proportional wäre?

1. Ausgangsformel für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h\). 2. Einsetzen des verdreifachten Radius \(3r\): \(V(3r) = \pi(3r)^2 h\). 3. Vereinfachung des Terms: \(V(3r) = \pi \cdot 9r^2 \cdot h = 9 \cdot (\pi r^2 h)\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdreifachung des Radius führt zu einer Verneunfachung des Volumens (\(V(3r) = 9V(r)\)). 5. Begründung der Nicht-Proportionalität: Bei einer proportionalen Funktion müsste eine Verdreifachung des Radius auch zu einer exakten Verdreifachung des Volumens führen. Da dies hier nicht der Fall ist, ist die Zuordnung nicht proportional.

Das Volumen verneunfacht sich, wenn der Radius verdreifacht wird (\(V(3r) = 9V(r)\)). Da das Volumen nicht im gleichen Verhältnis wie der Radius wächst, ist die Funktion nicht proportional.

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der trapezförmigen Stirnfläche. - Für die Mantelfläche benötigst du den vollständigen Umfang des Trapezes. - Wie hängen Stirnflächenumfang, Bauteillänge und Mantelfläche zusammen?

1. Die Stirnfläche ist \(G=\frac{14\,\text{cm}+8\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=44\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=14\,\text{cm}+8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=32\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=32\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=640\,\text{cm}^2\). 4. Damit ergibt sich \(O=2G+M=2\cdot44\,\text{cm}^2+640\,\text{cm}^2=728\,\text{cm}^2\).

\(O=728\,\text{cm}^2\)

- Welche Flächenformeln brauchst du für die beiden Grundflächen? - Wie verbindet \(V=Gh\) Grundfläche und Körperhöhe? - Was geschieht mit einem Produkt, wenn ein positiver Faktor gleich bleibt und der andere größer wird?

1. a) Für das Prisma gilt \(G_{\text{Prisma}}=(5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\). 2. Für den Zylinder gilt \(G_{\text{Zylinder}}=\pi(3\,\text{cm})^2=9\pi\,\text{cm}^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\). 3. b) Das Prismenvolumen ist \(V_{\text{Prisma}}=25\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=250\,\text{cm}^3\). 4. Das Zylindervolumen ist \(V_{\text{Zylinder}}=90\pi\,\text{cm}^3\approx282{,}74\,\text{cm}^3\). 5. c) Bei gleichem positivem \(h\) ist \(V=Gh\) proportional zu \(G\). Ein größerer Grundflächeninhalt führt daher zu einem größeren Volumen.

a) \(G_{\text{Prisma}}=25\,\text{cm}^2\); \(G_{\text{Zylinder}}\approx28{,}27\,\text{cm}^2\) b) \(V_{\text{Prisma}}=250\,\text{cm}^3\); \(V_{\text{Zylinder}}\approx282{,}74\,\text{cm}^3\) c) Die Aussage stimmt: Bei gleichem \(h>0\) ist \(V=Gh\) proportional zu \(G\).

- Wie erhältst du den Stirnflächeninhalt aus Volumen und Werkstücklänge? - Wenn eine Fläche aus drei gleich großen Teilen besteht, wie findest du den Inhalt eines Teils? - Wie bestimmst du eine fehlende Rechteckseite aus Flächeninhalt und bekannter Seite?

1. Aus \(V=G\cdot15\,\text{cm}\) folgt \(G=720\,\text{cm}^3:15\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 2. Die Stirnfläche besteht aus drei deckungsgleichen Rechtecken, also hat eines den Flächeninhalt \(48\,\text{cm}^2:3=16\,\text{cm}^2\). 3. Bei einer Breite von \(4\,\text{cm}\) ist die gesuchte Rechtecklänge \(16\,\text{cm}^2:4\,\text{cm}=4\,\text{cm}\).

a) \(G = 48\,\text{cm}^2\). b) \(A_{\text{R}} = 16\,\text{cm}^2\). c) Die Länge beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst aus Masse und Dichte das Volumen des Stahlbolzens. - Betrachte den Zylinder anschließend mit der allgemeinen Beziehung \(V=Gh\). - Teile durch die gegebene Bolzenlänge und prüfe, welche Einheit für den Querschnittsinhalt übrig bleibt.

1. Aus Masse und Dichte ergibt sich das Volumen: \(V=m:\rho=850\,\text{g}:7{,}85\,\text{g/cm}^3\approx108{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Mit der Bolzenlänge \(l=12\,\text{cm}\) gilt \(V=Gl\). Daher ist \(G=V:l\approx108{,}28\,\text{cm}^3:12\,\text{cm}\approx9{,}02\,\text{cm}^2\).

\(G\approx9{,}02\,\text{cm}^2\)

- Stelle die Zylindervolumenformel nach der Höhe um. - Welche drei Flächenteile gehören zur gesamten Oberfläche einer geschlossenen Kerze? - Verwende für die Oberfläche möglichst die ungerundeten Höhenwerte.

1. a) Aus \(V=\pi r^2h\) folgt \(h_A=500\,\text{cm}^3:(25\pi\,\text{cm}^2)\approx6{,}37\,\text{cm}\) und \(h_B=500\,\text{cm}^3:(100\pi\,\text{cm}^2)\approx1{,}59\,\text{cm}\). 2. b) Für Kerze A gilt \(O_A=2\pi r_A^2+2\pi r_Ah_A=50\pi\,\text{cm}^2+200\,\text{cm}^2\approx357{,}08\,\text{cm}^2\). 3. Für Kerze B gilt \(O_B=200\pi\,\text{cm}^2+100\,\text{cm}^2\approx728{,}32\,\text{cm}^2\). 4. Kerze B hat die größere Oberfläche und benötigt daher mehr Farbe.

a) \(h_A\approx6{,}37\,\text{cm}\); \(h_B\approx1{,}59\,\text{cm}\) b) \(O_A\approx357{,}08\,\text{cm}^2\); \(O_B\approx728{,}32\,\text{cm}^2\). Kerze B benötigt mehr Farbe.

- Welche Flächen sind außen, innen und an den beiden Rohrenden sichtbar? - Wie berechnest du eine ringförmige Stirnfläche aus zwei Kreisflächen? - Addiere jeden Flächentyp mit der richtigen Anzahl.

1. Die Radien sind \(R=10\,\text{cm}\) und \(r=8\,\text{cm}\). 2. Äußerer und innerer Mantel ergeben zusammen \(2\pi Rh+2\pi rh=1000\pi\,\text{cm}^2+800\pi\,\text{cm}^2\). 3. Eine ringförmige Stirnfläche hat den Inhalt \(\pi(R^2-r^2)=36\pi\,\text{cm}^2\). Zwei Stirnflächen liefern \(72\pi\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(O=1872\pi\,\text{cm}^2\approx5881{,}06\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt ungefähr \(5881{,}06\,\text{cm}^2\).

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders auf. - Was passiert in der Formel, wenn du nur einen der Werte (entweder \(r\) oder \(h\)) veränderst? - Achte besonders darauf, welche Variable in der Formel quadriert wird. - Vergleiche das Ergebnis der beiden Varianten mit dem ursprünglichen Volumen \(V\).

1. Das Volumen eines Zylinders ist \(V = \pi r^2h\). 2. Analyse Variante A: Die neue Höhe ist \(h_A = 2h\). Das neue Volumen ist \(V_A = \pi r^2(2h) = 2(\pi r^2h) = 2V\). Das Volumen verdoppelt sich. 3. Analyse Variante B: Der neue Radius ist \(r_B = 2r\). Das neue Volumen ist \(V_B = \pi (2r)^2h = \pi \cdot 4 \cdot r^2 \cdot h = 4(\pi r^2h) = 4V\). Das Volumen vervierfacht sich. 4. Ergebnis: Nur Variante A erreicht das Ziel einer exakten Verdopplung des Volumens.

Variante A führt zu einer Verdopplung des Volumens (\(V_A = 2V\)), da die Höhe linear in die Formel eingeht. Variante B führt zu einer Vervierfachung des Volumens (\(V_B = 4V\)), da der Radius quadriert wird. Somit ist nur Vorschlag A korrekt, um das Volumen zu verdoppeln.

- Welche Längeneinheit ist praktisch, wenn das Volumen direkt in Litern erscheinen soll? - Berechne zuerst das Wasservolumen bis zur angegebenen Füllhöhe. - Teile für die Füllzeit durch die Literzahl pro Minute und rechne anschließend Minuten in Stunden um.

1. Der Radius beträgt \(1{,}20\,\text{m}=12\,\text{dm}\), die Füllhöhe \(50\,\text{cm}=5\,\text{dm}\). 2. a) Das Volumen ist \(V=\pi(12\,\text{dm})^2\cdot5\,\text{dm}=720\pi\,\text{dm}^3\approx2261{,}95\,\text{dm}^3\). Das sind gerundet \(2262\,\text{Liter}\). 3. b) Ohne Zwischenrundung beträgt die Füllzeit \(720\pi\,\text{l}:15\,\text{l/min}=48\pi\,\text{min}\). 4. In Stunden sind das \(48\pi:60\,\text{h}\approx2{,}5\,\text{h}\).

a) etwa \(2262\,\text{Liter}\) b) etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\)

- Welche Fläche einer Säule wird gestrichen und welche nicht? - Rechne den Durchmesser in einen Radius in Metern um. - Beim Materialkauf musst du am Ende auf eine ganze Zahl von Dosen entscheiden.

1. Der Radius beträgt \(r=0{,}30\,\text{m}\). 2. a) Die Mantelfläche einer Säule ist \(M=2\pi rh=2{,}4\pi\,\text{m}^2\). Für vier Säulen gilt \(M_{\text{ges}}=9{,}6\pi\,\text{m}^2\approx30{,}16\,\text{m}^2\). 3. b) Rechnerisch werden \(9{,}6\pi:12\approx2{,}51\) Dosen benötigt. Da nur ganze Dosen gekauft werden können, sind mindestens \(3\) Dosen nötig.

a) \(M_{\text{ges}}\approx30{,}16\,\text{m}^2\) b) mindestens \(3\) Dosen

- Wandle das Fassungsvermögen zunächst in \(\text{cm}^3\) um. - Stelle die Zylindervolumenformel nach dem Quadrat des Radius um und vergleiche den Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Für das rechteckige Etikett brauchst du die Höhe der Dose und die Länge ihres Kreisumfangs.

1. Es gilt \(502{,}4\,\text{ml}=502{,}4\,\text{cm}^3\). 2. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt \(r^2=V:(\pi h)=502{,}4\,\text{cm}^3:(3{,}14\cdot10\,\text{cm})=16\,\text{cm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2\), gilt \(r=4\,\text{cm}\). Somit ist \(d=8{,}0\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche entspricht dem Etikett: \(M=\pi dh\approx3{,}14\cdot8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=251{,}2\,\text{cm}^2\).

a) \(d=8{,}0\,\text{cm}\) b) \(M=251{,}2\,\text{cm}^2\)

- Welche Teilflächen des Zylinders müssen hier berücksichtigt werden? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Wie berechnet man die Fläche eines Kreises und die Fläche des Mantels? - Überlege am Ende, wie viel Fläche ein einziger Liter abdeckt, um die Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 3{,}50\,\text{m} \approx 26{,}389\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Grundfläche (Deckel) \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (1{,}20\,\text{m})^2 \approx 4{,}524\,\text{m}^2\). 4. Gesamte zu streichende Fläche \(A\): \(A = M + G \approx 26{,}389\,\text{m}^2 + 4{,}524\,\text{m}^2 = 30{,}913\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Farbmenge: \(V_{\text{Farbe}} = \frac{30{,}913\,\text{m}^2}{8{,}5\,\text{m}^2/\text{l}} \approx 3{,}637\,\text{l}\). 6. Ergebnis auf eine Dezimalstelle gerundet: \(3{,}6\,\text{Liter}\).

Für den Anstrich werden rechnerisch etwa \(3{,}6\,\text{Liter}\) Farbe benötigt.

- Für Liter kannst du über Kubikdezimeter oder Kubikmeter umrechnen. - In Teil b) ändert sich nur die Füllhöhe, nicht die Grundfläche des Fasses. - Beim Umfüllen bleibt das Wasservolumen erhalten; stelle die Volumenformel des zweiten Gefäßes nach seiner Füllhöhe um.

1. Der Fassradius ist \(r_1=40\,\text{cm}=0{,}4\,\text{m}\). 2. a) Das maximale Volumen ist \(V_{\text{max}}=\pi(0{,}4\,\text{m})^2\cdot1{,}20\,\text{m}\approx0{,}6031858\,\text{m}^3\approx603{,}2\,\text{l}\). 3. b) Bei \(0{,}45\,\text{m}\) Füllhöhe ist \(V_{\text{Wasser}}=\pi(0{,}4\,\text{m})^2\cdot0{,}45\,\text{m}\approx0{,}2261947\,\text{m}^3\approx226{,}2\,\text{l}\). 4. c) Beim Umfüllen bleibt das Volumen gleich. Mit \(r_2=0{,}30\,\text{m}\) gilt \(h_2=V_{\text{Wasser}}:(\pi r_2^2)=0{,}8\,\text{m}=80\,\text{cm}\).

a) etwa \(603{,}2\,\text{Liter}\) b) etwa \(226{,}2\,\text{Liter}\) c) \(80\,\text{cm}\)

- Nutze für Teil a) die allgemeine Beziehung \(V=Gh\) und gleiche zuerst die Einheiten an. - In Teil b) kannst du aus der Kreisfläche zunächst das Quadrat des Radius bestimmen und mit einer bekannten Quadratzahl vergleichen. - Verfolge in Teil c) getrennt den Faktor der Höhe und den quadrierten Faktor des Radius.

1. Es gilt \(1{,}413\,\text{l}=1413\,\text{cm}^3\). 2. a) Mit \(V=Gh\) folgt \(h=V:G=1413\,\text{cm}^3:113{,}04\,\text{cm}^2=12{,}5\,\text{cm}\). 3. b) Aus \(G=\pi r^2\) folgt \(r^2=113{,}04\,\text{cm}^2:3{,}14=36\,\text{cm}^2\). Da \((6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2\), ist \(r=6\,\text{cm}\). 4. c) Bei halbiertem Radius erhält der Faktor \(r^2\) den Faktor \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\). Die doppelte Höhe liefert zusätzlich den Faktor \(2\). 5. Insgesamt wird das Volumen mit \(\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}\) multipliziert. Es halbiert sich.

a) \(h=12{,}5\,\text{cm}\) b) \(r=6\,\text{cm}\) c) Das Volumen halbiert sich.

- Das Volumen des Kupfers bleibt beim Ziehen des Drahtes erhalten. - Bringe die Drahtquerschnittsfläche in \(\text{cm}^2\), bevor du mit dem Stabvolumen rechnest. - Bei einem langen Zylinder ist die Länge das Volumen geteilt durch die Querschnittsfläche.

1. Der Stab hat den Radius \(r=1\,\text{cm}\) und damit das Volumen \(V=\pi r^2h=20\pi\,\text{cm}^3\). 2. Die Drahtquerschnittsfläche ist \(0{,}1\,\text{mm}^2=0{,}001\,\text{cm}^2\). 3. Wegen der Volumenerhaltung gilt \(L=V:G=20\pi\,\text{cm}^3:0{,}001\,\text{cm}^2=20\,000\pi\,\text{cm}\). 4. Da \(100\,000\,\text{cm}=1\,\text{km}\), ist \(L=0{,}2\pi\,\text{km}\).

\(L=0{,}2\pi\,\text{km}\)

- Vergleiche die Flächeninhalte erst, wenn du sie in derselben Einheit berechnet hast. - Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders? - Ein Verhältnis gibt an, wie oft eine Größe in einer anderen enthalten ist. - Musst du \(\pi\) unbedingt als Dezimalzahl einsetzen, um die Flächen zu vergleichen?

1. Umrechnung aller Maße in Zentimeter: \(r_1 = 4\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\); \(r_2 = 8\,\text{cm}\), \(h_2 = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M_1 = 2\pi r_1h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi\,\text{cm}^2 \approx 251{,}33\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M_2 = 2\pi r_2h_2 = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 2{,}5 = 40\pi\,\text{cm}^2 \approx 125{,}66\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(M_1 = 80\pi\) ist größer als \(M_2 = 40\pi\). 5. Bestimmung des Verhältnisses: \(M_1 : M_2 = 80\pi : 40\pi = 2 : 1\).

Zylinder \(C_1\) hat die größere Mantelfläche. Das Verhältnis der Mantelflächen \(M_1 : M_2\) beträgt \(2 : 1\).

- Wähle für Teil a) Einheiten, in denen sich Kubikdezimeter direkt als Liter deuten lassen. - Welche Zylinderfläche wird in Teil b) allein betrachtet? - Welche zusätzliche Fläche kommt in Teil c) hinzu, und welche bleibt ausdrücklich ungestrichen?

1. a) Mit \(r=4\,\text{dm}\) und \(h=10\,\text{dm}\) gilt \(V=\pi(4\,\text{dm})^2\cdot10\,\text{dm}=160\pi\,\text{dm}^3\approx502{,}7\,\text{l}\). 2. b) In Metern ist \(r=0{,}4\,\text{m}\) und \(h=1{,}0\,\text{m}\). Daher ist \(M=2\pi rh=0{,}8\pi\,\text{m}^2\approx2{,}51\,\text{m}^2\). 3. c) Zusätzlich wird der Boden gestrichen: \(G=\pi(0{,}4\,\text{m})^2=0{,}16\pi\,\text{m}^2\). Somit ist \(A=M+G=0{,}96\pi\,\text{m}^2\approx3{,}02\,\text{m}^2\).

a) etwa \(502{,}7\,\text{Liter}\) b) etwa \(2{,}51\,\text{m}^2\) c) etwa \(3{,}02\,\text{m}^2\)

- Berechne beide Volumina zunächst mit derselben Zylinderformel. - Welche drei Flächenanteile gehören zur Oberfläche einer geschlossenen Dose? - Da beide Ergebnisse denselben Faktor \(\pi\) enthalten, kannst du die Oberflächen ohne Dezimalnäherung vergleichen.

1. a) Für Dose A gilt \(V_A=\pi(5\,\text{cm})^2\cdot20\,\text{cm}=500\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für Dose B gilt \(V_B=\pi(10\,\text{cm})^2\cdot5\,\text{cm}=500\pi\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V_A=V_B\). 3. b) Für eine geschlossene Dose gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Daher ist \(O_A=250\pi\,\text{cm}^2\) und \(O_B=300\pi\,\text{cm}^2\). 4. Dose B hat die größere Oberfläche. Dose A benötigt bei gleichem Volumen weniger Material für Boden, Deckel und Mantel.

a) \(V_A=V_B=500\pi\,\text{cm}^3\) b) Dose B hat mit \(O_B=300\pi\,\text{cm}^2\) die größere Oberfläche; Dose A benötigt weniger Material.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (z. B. Meter) vorliegen. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Überlege dir, wie man die Fläche eines Rings aus dem äußeren und dem inneren Kreis berechnet. - Was genau gibt die Wandstärke für den inneren Radius an?

1. Bestimmung der Radien in der Einheit Meter: Der Außenradius beträgt \(r_a = 10{,}8\,\text{m} : 2 = 5{,}4\,\text{m}\). Die Wandstärke ist \(s = 0{,}45\,\text{m}\). Der Innenradius berechnet sich zu \(r_i = r_a - s = 5{,}4\,\text{m} - 0{,}45\,\text{m} = 4{,}95\,\text{m}\). 2. Berechnung der Grundfläche des Hohlzylinders (Ringfläche): \(G = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (5{,}4^2 - 4{,}95^2) \approx 14{,}632\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h \approx 14{,}632\,\text{m}^2 \cdot 165\,\text{m} \approx 2414{,}27\,\text{m}^3\). 4. Endergebnis: Das Betonvolumen beträgt \(\approx 2414\,\text{m}^3\).

Das Volumen des verwendeten Betons beträgt \(\approx 2414\,\text{m}^3\).

- Berechne das Kunststoffvolumen jeweils als äußeres Zylindervolumen minus inneres Zylindervolumen. - Welche Differenz der beiden Radien beschreibt die Wandstärke? - Wie lässt sich die Differenz \(R^2-r^2\) so umformen, dass neben der Wandstärke noch ein zweiter Einflussfaktor sichtbar wird?

1. a) Die Rohrlänge beträgt \(200\,\text{cm}\). Für Rohr A gilt \(V_A=\pi(5^2-4^2)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}=1800\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für Rohr B gilt \(V_B=\pi(10^2-9^2)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}=3800\pi\,\text{cm}^3\). 3. b) Für die Kreisringfläche gilt \(R^2-r^2=(R-r)(R+r)\). Der Faktor \(R-r\) ist bei beiden Rohren die gleiche Wandstärke, aber \(R+r\) ist bei Rohr B größer. Deshalb sind Kreisringfläche und Materialvolumen bei Rohr B größer.

a) \(V_A=1800\pi\,\text{cm}^3\); \(V_B=3800\pi\,\text{cm}^3\) b) Bei gleicher Wandstärke ist \(R+r\) bei Rohr B größer; daher sind Kreisringfläche und Kunststoffvolumen größer.

- Welche physikalische Größe verbindet Masse und Volumen? - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Nach welcher Größe musst du die Formel im zweiten Teil umstellen? - Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen.

1. Berechnung des Volumens über die Dichteformel: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{1215\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 450\,\text{cm}^3\). 2. Verwendung der Volumenformel für Zylinder \(V = \pi r^2h\), um die Höhe zu isolieren: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{450\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (3\,\text{cm})^2} = \frac{450}{9\pi}\,\text{cm} = \frac{50}{\pi}\,\text{cm} \approx 15{,}92\,\text{cm}\).

a) Das Volumen des Werkstücks beträgt \(450\,\text{cm}^3\). b) \(h \approx 15{,}92\,\text{cm}\)

- Bleibt das Volumen der Flüssigkeit beim Umgießen gleich? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Formel nutzt man allgemein für das Volumen eines Prismas, egal welche Grundfläche es hat? - Überlege, welche Werte du aus dem ersten Teil für den zweiten Teil übernehmen kannst.

1. Volumen des Zylinders berechnen: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 2. Masse des Öls berechnen: \(m = V \cdot \rho \approx 502{,}65\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}92\,\text{g/cm}^3 \approx 462{,}4\,\text{g}\). 3. Grundfläche des Prismas (Dreieck) berechnen: \(G = \frac{1}{2}g h_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 4. Neue Füllhöhe berechnen: \(h_{\text{Prisma}} = \frac{V}{G} = \frac{160\pi\,\text{cm}^3}{40\,\text{cm}^2} = 4\pi\,\text{cm} \approx 12{,}57\,\text{cm}\).

a) Die Masse des Öls beträgt etwa \(462{,}4\,\text{g}\). b) Das Öl steht im neuen Gefäß etwa \(12{,}57\,\text{cm}\) hoch.

- Es ist oft hilfreich, Längen sofort in Dezimeter umzurechnen, wenn nach Litern gefragt ist. - Überlege dir zuerst, wie hoch das Wasser jetzt steht und wie hoch es am Ende stehen soll. - Die Differenz dieser Höhen ist die Höhe des Zylinders, dessen Volumen du berechnen musst. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen?

1. Umrechnung in Dezimeter für die direkte Berechnung von Litern (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): \(d = 7\,\text{dm}\) (also \(r = 3{,}5\,\text{dm}\)), \(h_{\text{gesamt}} = 11\,\text{dm}\). 2. Aktuelle Füllhöhe: \(h_{\text{ist}} = \frac{1}{3} \cdot 11\,\text{dm} = \frac{11}{3}\,\text{dm} \approx 3{,}67\,\text{dm}\). 3. Ziel-Füllhöhe: \(h_{\text{ziel}} = 11\,\text{dm} - 1\,\text{dm} = 10\,\text{dm}\). 4. Differenz der Füllhöhen: \(\Delta h = 10\,\text{dm} - \frac{11}{3}\,\text{dm} = \frac{30-11}{3}\,\text{dm} = \frac{19}{3}\,\text{dm} \approx 6{,}33\,\text{dm}\). 5. Zusätzliches Volumen: \(V_{\text{zusätzlich}} = \pi r^2\Delta h = \pi \cdot (3{,}5)^2 \cdot \frac{19}{3} \approx 3{,}1416 \cdot 12{,}25 \cdot 6{,}3333 \approx 243{,}73\,\text{dm}^3\). 6. Rundung auf ganze Liter: \(244\,\text{l}\).

Es müssen etwa \(244\,\text{Liter}\) Wasser hinzugefügt werden.

- Wandle Durchmesser, Wandstärke und Länge zuerst in Zentimeter um. - Das Materialvolumen ist die Differenz aus äußerem und innerem Zylinder. - Welche vier Flächentypen sind an einer offenen Hülse sichtbar?

1. In Zentimetern gilt \(r_i=2\,\text{cm}\), \(r_a=3\,\text{cm}\) und \(h=8\,\text{cm}\). 2. Das Stahlvolumen ist \(V=\pi(r_a^2-r_i^2)h=\pi(3^2-2^2)\cdot8\,\text{cm}^3=40\pi\,\text{cm}^3\approx125{,}66\,\text{cm}^3\). 3. Zur Oberfläche gehören zwei ringförmige Stirnflächen sowie äußerer und innerer Mantel. Daher ist \(O=2\pi(r_a^2-r_i^2)+2\pi r_ah+2\pi r_ih=90\pi\,\text{cm}^2\approx282{,}74\,\text{cm}^2\).

\(V\approx125{,}66\,\text{cm}^3\) \(O\approx282{,}74\,\text{cm}^2\)

- Stelle das Materialvolumen als Differenz aus äußerem und innerem Zylindervolumen dar. - Bestimme zunächst das Quadrat des Außenradius und vergleiche es mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Die Wandstärke ist anschließend die Differenz aus Außen- und Innenradius.

1. Für den Hohlzylinder gilt \(V=\pi(r_a^2-r_i^2)h\). 2. Einsetzen der Daten ergibt \(753{,}6=3{,}14(r_a^2-3^2)\cdot15\). Damit folgt \(r_a^2-9=16\) und somit \(r_a^2=25\,\text{cm}^2\). 3. Da der Außenradius positiv ist und \((5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\), gilt \(r_a=5\,\text{cm}\). 4. Die Wandstärke beträgt \(s=r_a-r_i=5\,\text{cm}-3\,\text{cm}=2\,\text{cm}\).

Die Wandstärke beträgt \(2\,\text{cm}\).

- Was bedeutet „gleiches Volumen“ für die beiden Prismen? - Bestimme zuerst das Volumen von Prisma A. - Wie kannst du aus Volumen und Stirnflächeninhalt die Länge von Prisma B bestimmen?

1. Das Volumen von Prisma A ist \(V_A=12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=960\,\text{cm}^3\). 2. Da beide Prismen das gleiche Volumen haben, gilt \(V_B=960\,\text{cm}^3\). 3. Die dreieckige Stirnfläche von Prisma B hat den Inhalt \(G_B=\frac{1}{2}\cdot16\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 4. Die gesuchte Länge ist \(960\,\text{cm}^3:48\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}\).

Prisma B muss \(20\,\text{cm}\) lang sein.

- Schreibe Volumen- und Oberflächenformel zunächst mit den ursprünglichen Maßen auf. - Ersetze für Teil c) Radius und Höhe durch ihre neuen Werte, bevor du vergleichst. - Achte darauf, dass der Radius im Volumen quadratisch vorkommt, in der Mantelfläche aber nur linear.

1. a) Das Volumen ist \(V=\pi r^2h=\pi(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=300\pi\,\text{cm}^3\). 2. b) Die Oberfläche ist \(O=2\pi r^2+2\pi rh=50\pi\,\text{cm}^2+120\pi\,\text{cm}^2=170\pi\,\text{cm}^2\). 3. c) Neu gelten \(r_n=2{,}5\,\text{cm}\) und \(h_n=24\,\text{cm}\). Daher ist \(V_n=\pi(2{,}5\,\text{cm})^2\cdot24\,\text{cm}=150\pi\,\text{cm}^3\). Das Volumen halbiert sich. 4. Die neue Oberfläche ist \(O_n=2\pi(2{,}5\,\text{cm})^2+2\pi\cdot2{,}5\,\text{cm}\cdot24\,\text{cm}=132{,}5\pi\,\text{cm}^2\). Sie verringert sich, aber nicht um denselben Faktor wie das Volumen.

a) \(V=300\pi\,\text{cm}^3\) b) \(O=170\pi\,\text{cm}^2\) c) \(V_n=150\pi\,\text{cm}^3\), also halb so groß; \(O_n=132{,}5\pi\,\text{cm}^2\), also kleiner als zuvor.

- Ersetze in der Zylindervolumenformel den Radius durch den gegebenen Ausdruck in \(h\). - Verwende für b) direkt den Term aus a) einmal mit \(h\) und einmal mit \(2h\). - Welche Wirkung hat die dritte Potenz auf den Verdopplungsfaktor?

1. Aus \(V=\pi r^2h\) und \(r=\frac14h\) folgt \(V=\pi\left(\frac14h\right)^2h=\frac{\pi h^3}{16}\). 2. Beim vergrößerten Zylinder ist die Höhe \(2h\), während dieselbe Beziehung zwischen Radius und Höhe gilt. 3. Daher ist \(V_{\text{neu}}=\frac{\pi(2h)^3}{16}=8\cdot\frac{\pi h^3}{16}=8V\). 4. Das Volumen wird also achtmal so groß.

a) \(V=\frac{\pi h^3}{16}\) b) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(8\).

- Bestimme zunächst das Volumen des ersten Zylinders als exakten Term. - Nutze die Volumengleichheit, um das Quadrat des zweiten Radius zu bestimmen. - Für den Mantelflächenvergleich genügt es, die beiden exakten \(\pi\)-Terme zu vergleichen.

1. Das Volumen von \(Z_1\) ist \(V_1=\pi(4\,\text{cm})^2\cdot9\,\text{cm}=144\pi\,\text{cm}^3\). 2. a) Wegen \(V_2=V_1\) gilt \(144\pi=4\pi r_2^2\). Daher ist \(r_2^2=36\,\text{cm}^2\). Da \(r_2>0\) und \((6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2\), folgt \(r_2=6\,\text{cm}\). 3. b) Die Mantelflächen sind \(M_1=2\pi\cdot4\,\text{cm}\cdot9\,\text{cm}=72\pi\,\text{cm}^2\) und \(M_2=2\pi\cdot6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=48\pi\,\text{cm}^2\). 4. Weil \(72\pi>48\pi\), hat \(Z_1\) die größere Mantelfläche.

a) \(r_2=6\,\text{cm}\) b) \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche: \(M_1=72\pi\,\text{cm}^2>M_2=48\pi\,\text{cm}^2\).

- Wie verändert sich der Innendurchmesser, wenn die Wand auf beiden Seiten des Rohres gleich dick ist? - Wie kannst du das Metallvolumen als Differenz zweier Zylindervolumina beschreiben? - Welche Faktoren kürzen sich beim Vergleich der beiden Volumina?

1. Bei \(2\,\text{mm}\) Wandstärke wird der Durchmesser innen auf beiden Seiten jeweils um \(2\,\text{mm}\) kleiner. Daher sind \(d_1=20\,\text{mm}-4\,\text{mm}=16\,\text{mm}\) und \(d_2=40\,\text{mm}-4\,\text{mm}=36\,\text{mm}\). 2. Für Rohr 1 sind Außenradius \(10\,\text{mm}\) und Innenradius \(8\,\text{mm}\). Daher ist \(V_1=\pi(10^2-8^2)L\,\text{mm}^3=36\pi L\,\text{mm}^3\). 3. Für Rohr 2 sind Außenradius \(20\,\text{mm}\) und Innenradius \(18\,\text{mm}\). Daher ist \(V_2=\pi(20^2-18^2)L\,\text{mm}^3=76\pi L\,\text{mm}^3\). 4. Bei gleichem Material und gleicher Länge entspricht das Massenverhältnis dem Volumenverhältnis: \(\frac{m_2}{m_1}=\frac{76\pi L}{36\pi L}=\frac{19}{9}\approx2{,}11\). 5. Rohr 2 ist daher nicht genau doppelt, sondern etwa \(2{,}11\)-mal so schwer.

a) \(d_1=16\,\text{mm}\), \(d_2=36\,\text{mm}\); \(V_1=36\pi L\,\text{mm}^3\), \(V_2=76\pi L\,\text{mm}^3\) b) Nein. Der Massenfaktor ist \(\frac{19}{9}\approx2{,}11\).

- Welche geometrische Form hat der Stab? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreises?

1. Umrechnung der Einheiten in Zentimeter: Der Radius beträgt \(r = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}\). Die Länge, also die Höhe des Zylinders, beträgt \(h = 250\,\text{mm} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 25\,\text{cm} = 100 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 314{,}16\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V\rho \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 848{,}23\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(m \approx 0{,}85\,\text{kg}\).

Die Masse des Stabes beträgt etwa \(0{,}85\,\text{kg}\).

- Skizziere die trapezförmige Stirnfläche und beschrifte sie mit den gegebenen Maßen. - Es ist hilfreich, alle Maße in Dezimeter umzurechnen, weil die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Bauelementlänge das Volumen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Trapezes in \(\text{dm}^2\): \(a = 6\,\text{dm}\), \(c = 4\,\text{dm}\), \(h_{\text{Trapez}} = 5\,\text{dm}\). \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h_{\text{Trapez}} = \frac{6\,\text{dm} + 4\,\text{dm}}{2} \cdot 5\,\text{dm} = 25\,\text{dm}^2\). 2. Umrechnung der Körperlänge in Dezimeter: \(L = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot L = 25\,\text{dm}^2 \cdot 25\,\text{dm} = 625\,\text{dm}^3\). 4. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho = 625\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\text{kg/dm}^3 = 1562{,}5\,\text{kg}\).

Das Bauelement hat eine Masse von \(1562{,}5\,\text{kg}\).

- Welche zwei Zylindervolumina musst du für das fertige Werkstück miteinander vergleichen? - Achte darauf, aus beiden Durchmessern zuerst die Radien zu bestimmen. - Für den prozentualen Gewichtsverlust reicht bei gleicher Dichte das Verhältnis der entfernten zur ursprünglichen Volumenmenge.

1. Der Außenradius ist \(R=10\,\text{cm}\), der Radius der Bohrung \(r=4\,\text{cm}\). 2. a) Das Volumen des massiven Zylinders ist \(1000\pi\,\text{cm}^3\), das Volumen der Bohrung \(160\pi\,\text{cm}^3\). Daher bleibt \(V=840\pi\,\text{cm}^3\). 3. b) Bei gleicher Materialdichte entspricht die relative Massenabnahme der relativen Volumenabnahme. Diese beträgt \(\frac{160\pi}{1000\pi}=0{,}16=16\,\%\).

a) \(V=840\pi\,\text{cm}^3\) b) Das Werkstück ist um \(16\,\%\) leichter.

- Welche Fläche dient bei diesem Prisma als Grundfläche? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes aus seinen parallelen Seiten und seiner Höhe? - Welche Seitenlängen musst du für den Umfang der Grundfläche addieren? - Wie hängen Grundflächenumfang, Werkstücklänge und Mantelfläche zusammen?

1. Der Grundflächeninhalt ist \(G=\frac{12\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=36\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=G\cdot15\,\text{cm}=36\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=540\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der Grundfläche ist \(u=12\,\text{cm}+5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+5\,\text{cm}=28\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche ist \(O=2G+M=2\cdot36\,\text{cm}^2+420\,\text{cm}^2=492\,\text{cm}^2\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(540\,\text{cm}^3\) und sein Oberflächeninhalt beträgt \(492\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Zylinders. - Welche Maße sind jeweils gegeben und wie setzt du sie in die Formeln ein? - Für den Materialverbrauch einer geschlossenen Dose musst du den gesamten Oberflächeninhalt berechnen, der aus Deckel, Boden und Mantelfläche besteht. - Vergleiche nach der Berechnung die beiden Ergebnisse direkt.

1. Berechnung der Volumina der beiden Dosen: - Dose A: \(V_A = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). - Dose B: \(V_B = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 6{,}4\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). Beide Dosen haben folglich das gleiche Volumen. 2. Berechnung der Oberflächeninhalte der beiden geschlossenen Dosen: - Dose A: \(O_A = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot (4\,\text{cm} + 10\,\text{cm}) = 112\pi\,\text{cm}^2 \approx 351{,}9\,\text{cm}^2\). - Dose B: \(O_B = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot (5\,\text{cm} + 6{,}4\,\text{cm}) = 114\pi\,\text{cm}^2 \approx 358{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Oberflächeninhalte: Da \(O_A < O_B\) ist, wird für Dose A weniger Material benötigt.

a) Beide Dosen besitzen das gleiche Volumen von etwa \(502{,}7\,\text{cm}^3\). b) Für Dose A wird weniger Material benötigt, da ihr Oberflächeninhalt mit etwa \(351{,}9\,\text{cm}^2\) geringer ist als der von Dose B mit etwa \(358{,}1\,\text{cm}^2\).

- Vergleiche zuerst die Flächeninhalte der beiden unterschiedlichen Stirnflächen. - Welche Formel verwendest du für den Flächeninhalt eines Trapezes? - Beide Riegel haben dieselbe Länge. Was bedeutet das für den Volumenvergleich, wenn auch ihre Stirnflächen gleich groß sind?

1. Die trapezförmige Stirnfläche von Riegel a) hat den Inhalt \(G_a=\frac{6\,\text{cm}+3\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 2. Daher beträgt sein Volumen \(V_a=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 3. Die rechteckige Stirnfläche von Riegel b) hat den Inhalt \(G_b=6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(V_b=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 5. Beide Riegel haben also trotz verschiedener Stirnflächenformen dasselbe Volumen.

Ja. Beide Riegel haben ein Volumen von \(180\,\text{cm}^3\).

- Welche Angaben brauchst du für die Oberfläche eines Prismas? - Betrachte beim Umfang auch die Kanten des Ausschnitts. - Prüfe, welche Flächen zweimal vorkommen.

1. Die U-förmige Stirnfläche ist das große Rechteck minus dem inneren Ausschnitt: \(G=8\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}-4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang dieser Fläche beträgt \(u=8\,\text{cm}+6\,\text{cm}+2\,\text{cm}+4\,\text{cm}+4\,\text{cm}+4\,\text{cm}+2\,\text{cm}+6\,\text{cm}=36\,\text{cm}\). 3. Mit der Werkstücklänge \(12\,\text{cm}\) ist die Mantelfläche \(M=36\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=432\,\text{cm}^2\). 4. Damit beträgt die Oberfläche \(O=2G+M=2\cdot32\,\text{cm}^2+432\,\text{cm}^2=496\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt \(496\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen Einheitsquadraten besteht der kreuzförmige Querschnitt? - Zähle für den Umfang nur die außen liegenden Kanten des Kreuzes. - Wie entstehen Mantelfläche und Gesamtoberfläche aus Querschnittsumfang, Balkenlänge und Querschnittsinhalt?

1. Der Querschnittsinhalt beträgt \(G=5\cdot1\,\text{dm}^2=5\,\text{dm}^2\). 2. Der Balken ist \(20\,\text{dm}\) lang, daher ist \(V=5\,\text{dm}^2\cdot20\,\text{dm}=100\,\text{dm}^3\). 3. Der Umfang des Kreuzes besteht aus zwölf Strecken der Länge \(1\,\text{dm}\), also \(u=12\,\text{dm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=12\,\text{dm}\cdot20\,\text{dm}=240\,\text{dm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot5\,\text{dm}^2+240\,\text{dm}^2=250\,\text{dm}^2\).

a) \(100\,\text{dm}^3\) b) \(250\,\text{dm}^2\)

- Welche Fläche bleibt über die ganze Länge des Keils gleich? - Welche Randlängen dieser Fläche spielen für die Seitenflächen eine Rolle? - Kontrolliere, ob du bei der Oberfläche alle Außenflächen erfasst hast.

1. Die dreieckige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. a) Das Volumen beträgt \(V=G\cdot20\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=5\,\text{cm}+12\,\text{cm}+13\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=u\cdot20\,\text{cm}=600\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist die gesamte Oberfläche \(O=2G+M=2\cdot30\,\text{cm}^2+600\,\text{cm}^2=660\,\text{cm}^2\).

a) \(V=600\,\text{cm}^3\) b) \(O=660\,\text{cm}^2\)

- Wie hängen Durchmesser und Radius der Grundfläche zusammen? - Welche Rechteckseite entsteht beim Abrollen des Zylindermantels aus dem Kreisumfang? - Welche Einheit musst du am Ende für das Volumen verwenden?

1. Aus \(d=10\,\text{cm}\) folgt \(r=5\,\text{cm}\). 2. Die Etikettfläche ist \(M=2\pi rh=2\pi\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=120\pi\,\text{cm}^2\approx377{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). 4. In Litern sind das \(V\approx0{,}94\,\text{l}\).

a) \(M\approx377{,}0\,\text{cm}^2\) b) \(V\approx0{,}94\,\text{l}\)

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke kannst du den T-förmigen Querschnitt zerlegen? - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Profillänge das Volumen? - Wie erhältst du aus Volumen und Dichte die Masse, und welche Einheit ist am Ende gefragt?

1. Der T-förmige Querschnitt besteht aus dem Querbalken mit \(6\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) und dem darunterliegenden Steg mit \(2\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=22\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=22\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=440\,\text{cm}^3\). 3. Die Masse beträgt \(m=V\rho=440\,\text{cm}^3\cdot8{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=3696\,\text{g}=3{,}696\,\text{kg}\).

Das Volumen beträgt \(440\,\text{cm}^3\) und die Masse \(3{,}696\,\text{kg}\).

- Welche Größe der dreieckigen Grundfläche brauchst du für das Volumen? - Welche Information über den Rand der Grundfläche brauchst du für den Mantel? - Prüfe zum Schluss, welche Flächen zur gesamten Oberfläche gehören.

1. Die Grundfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. a) Das Volumen ist \(V=Gh=6\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Daher ist \(M=uh=12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=96\,\text{cm}^2\). 4. c) Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot6\,\text{cm}^2+96\,\text{cm}^2=108\,\text{cm}^2\).

a) \(48\,\text{cm}^3\) b) \(96\,\text{cm}^2\) c) \(108\,\text{cm}^2\)

- Welche Querschnittsfläche bleibt über die ganze Zeltlänge gleich? - Welche Außenflächen des Prismas bestehen aus Rechtecken? - Prüfe bei der Stofffläche, ob Boden und beide Stirnflächen mitgezählt werden müssen.

1. Die dreieckige Grundfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot2{,}4\,\text{m}\cdot1{,}6\,\text{m}=1{,}92\,\text{m}^2\). 2. a) Das Volumen ist \(V=G\cdot3{,}0\,\text{m}=5{,}76\,\text{m}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche beträgt \(u=2{,}4\,\text{m}+2\cdot2{,}0\,\text{m}=6{,}4\,\text{m}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=u\cdot3{,}0\,\text{m}=19{,}2\,\text{m}^2\). 5. Mit den beiden dreieckigen Stirnflächen ergibt sich \(O=2G+M=2\cdot1{,}92\,\text{m}^2+19{,}2\,\text{m}^2=23{,}04\,\text{m}^2\).

a) \(V=5{,}76\,\text{m}^3\) b) Es werden \(23{,}04\,\text{m}^2\) Stoff benötigt.

- Beachte, dass die angegebenen \(8\,\text{dm}\) die Gesamthöhe einschließlich der Standplatte beschreiben. - Zerlege die L-förmige Stirnfläche in zwei nicht überlappende Rechtecke. - Für die Oberfläche brauchst du neben beiden Stirnflächen den vollständigen Randumfang der L-Form.

1. Die L-förmige Stirnfläche besteht aus der \(5\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\) großen Standplatte und dem darüberliegenden \(1\,\text{dm}\times7\,\text{dm}\) großen Wandteil. Daher ist \(G=12\,\text{dm}^2\). 2. a) Das Volumen beträgt \(V=12\,\text{dm}^2\cdot12\,\text{dm}=144\,\text{dm}^3\). 3. b) Die Masse ist \(m=144\,\text{dm}^3\cdot2{,}5\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=360\,\text{kg}\). 4. c) Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=26\,\text{dm}\). Damit ist \(O=2G+u\cdot12\,\text{dm}=336\,\text{dm}^2\).

a) \(144\,\text{dm}^3\) b) \(360\,\text{kg}\) c) \(336\,\text{dm}^2\)

- Welche Angaben der Dreiecksfläche brauchst du für ihren Flächeninhalt? - Welche Länge am Rand der Grundfläche ist für die Mantelfläche wichtig? - Welche Flächen gehören zusammen zur gesamten Oberfläche?

1. Die Grundfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=12\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=144\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der Grundfläche ist \(u=6\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=16\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=16\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=192\,\text{cm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche ist \(O=2\cdot12\,\text{cm}^2+192\,\text{cm}^2=216\,\text{cm}^2\).

a) \(G=12\,\text{cm}^2\), \(V=144\,\text{cm}^3\) b) \(M=192\,\text{cm}^2\), \(O=216\,\text{cm}^2\)

- Welche Angaben des Trapezes bestimmen seinen Flächeninhalt? - Welche Randlängen der Grundfläche bestimmen die Seitenflächen des Prismas? - Prüfe, welche Flächen bei der gesamten Oberfläche zweimal vorkommen.

1. a) Die Grundfläche beträgt \(G=\frac{10\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=28\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=G\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=10\,\text{cm}+5\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=u\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot28\,\text{cm}^2+360\,\text{cm}^2=416\,\text{cm}^2\).

a) \(G=28\,\text{cm}^2\), \(V=420\,\text{cm}^3\) b) \(O=416\,\text{cm}^2\)

- Addiere die Flächeninhalte der drei Rechteckstreifen der Stirnfläche. - Gehe für den Umfang einmal vollständig entlang aller äußeren Stufenkanten. - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt, Stirnflächenumfang und Bauteillänge Volumen und Mantelfläche?

1. Der Flächeninhalt der stufenförmigen Stirnfläche ist \(G=2\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}+2\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}+2\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=24\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=192\,\text{cm}^3\). 3. Beim vollständigen Umlaufen der Stirnfläche erhält man \(u=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=192\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot24\,\text{cm}^2+192\,\text{cm}^2=240\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(192\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt \(240\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die hausförmige Stirnfläche in Rechteck und Dreieck. - Welche fünf Randstrecken bilden den Umfang \(u\)? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt, Stirnflächenumfang und Prismenlänge Volumen und Oberfläche?

1. Die Stirnfläche besteht aus einem Rechteck mit \(24\,\text{cm}^2\) und einem Dreieck mit Höhe \(3\,\text{cm}\) und Fläche \(12\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=36\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=36\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=432\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=8\,\text{cm}+3\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+3\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\). 5. Der Oberflächeninhalt beträgt \(O=2G+M=360\,\text{cm}^2\).

\(V=432\,\text{cm}^3\), \(O=360\,\text{cm}^2\)

- Nutze die beiden Katheten für die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks. - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Umfang der dreieckigen Grundfläche; alle drei Seitenlängen sind gegeben. - Ergänze zur Mantelfläche beide kongruenten Grundflächen.

1. Die dreieckige Grundfläche ist \(G=\frac12\cdot6\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=24\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^3\). 3. Der Grundflächenumfang ist \(u=6\,\text{cm}+8\,\text{cm}+10\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=u\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=336\,\text{cm}^2\).

\(V=288\,\text{cm}^3\), \(O=336\,\text{cm}^2\)

- Welche einfachen Flächen erkennst du in der hausförmigen Grundfläche? - Welche Höhe gehört nur zum Dachteil? - Welche Randstrecken der Grundfläche werden zu Seitenflächen des Prismas?

1. a) Die Grundfläche besteht aus einem Rechteck und einem Dreieck. Das Rechteck hat \(8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\). Das Dachdreieck ist \(8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=3\,\text{cm}\) hoch und hat \(\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). Somit ist \(G=52\,\text{cm}^2\). 2. b) Das Volumen beträgt \(V=G\cdot15\,\text{cm}=780\,\text{cm}^3\). 3. c) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=28\,\text{cm}\). Daher ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^2\). 4. d) Die gesamte Oberfläche ist \(O=2G+M=2\cdot52\,\text{cm}^2+420\,\text{cm}^2=524\,\text{cm}^2\).

a) \(G=52\,\text{cm}^2\) b) \(V=780\,\text{cm}^3\) c) \(M=420\,\text{cm}^2\) d) \(O=524\,\text{cm}^2\)

- Zerlege den Z-förmigen Querschnitt in zwei waagerechte Schenkel und den dazwischenliegenden Steg. - Gehe für \(u\) einmal vollständig am äußeren Rand des Z-Querschnitts entlang. - Wie entstehen Mantelfläche und gesamte Oberfläche aus Querschnittsumfang, Profillänge und den beiden Stirnflächen?

1. Der Z-förmige Querschnitt besteht aus zwei Rechtecken mit je \(4\,\text{cm}^2\) und dem dazwischenliegenden Steg mit \(3\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=11\,\text{cm}^2\). 2. Der vollständige Umfang des Z-Querschnitts beträgt \(u=24\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=240\,\text{cm}^2\). 4. Die Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot11\,\text{cm}^2+240\,\text{cm}^2=262\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Profils beträgt \(262\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen Teilflächen besteht die Oberfläche des Dreiecksprismas? - Welchen Umfang hat die dreieckige Stirnfläche? - Wie hängen Stirnflächenumfang und Länge des Türstoppers mit der Mantelfläche zusammen?

1. Die dreieckige Stirnfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Ihr Umfang ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche beträgt \(M=12\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=120\,\text{cm}^2\). 4. Die Oberfläche ist \(O=2G+M=132\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Türstoppers beträgt \(132\,\text{cm}^2\).

- Die dargestellte Profilfläche beschreibt den Innenquerschnitt des Trogs. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes aus den parallelen Seiten und ihrer Höhe? - Welche Umrechnung brauchst du von \(\text{cm}^3\) in Liter?

1. Der Flächeninhalt des trapezförmigen Innenquerschnitts ist \(G=\frac{25\,\text{cm}+15\,\text{cm}}{2}\cdot12\,\text{cm}=240\,\text{cm}^2\). 2. Das Innenvolumen beträgt \(V=240\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=19\,200\,\text{cm}^3\). 3. Mit \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{l}\) folgt \(V=19{,}2\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Trogs beträgt \(19{,}2\,\text{l}\).

- Bestimme für jeden Körper die passende Volumenformel. - Beim Prisma brauchst du zuerst den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche. - Vergleiche erst, nachdem alle drei Volumina in derselben Einheit vorliegen.

1. Für Modell A gilt \(V_A=10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=1000\,\text{cm}^3\). 2. Für Modell B ist \(G=\frac{1}{2}\cdot20\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=100\,\text{cm}^2\), also \(V_B=100\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=1000\,\text{cm}^3\). 3. Für Modell C gilt \(V_C=\pi r^2h=\pi\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot14\,\text{cm}=350\pi\,\text{cm}^3\approx1099{,}56\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist Modell C am größten; A und B haben dasselbe Volumen.

Die Reihenfolge nach dem Volumen lautet: C > A = B.

- Überlege zuerst, aus welchen Teilflächen sich die gesamte Oberfläche des Prismas zusammensetzt. - Welche beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks kannst du direkt für seine Fläche verwenden? - Wie hängt die Mantelfläche eines geraden Prismas mit dem Umfang seiner Grundfläche zusammen?

1. Da die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind, ist \(G=\frac{1}{2}\cdot9\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=54\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=9\,\text{cm}+12\,\text{cm}+15\,\text{cm}=36\,\text{cm}\). Daher gilt \(M=36\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=720\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot54\,\text{cm}^2+720\,\text{cm}^2=828\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(828\,\text{cm}^2\).

- Welche Formel verbindet Radius und Höhe eines Zylinders mit seinem Volumen? - In welcher Volumeneinheit erhältst du das Ergebnis zunächst aus Zentimeterangaben? - Runde erst nach der Umrechnung in Liter auf eine Nachkommastelle.

1. Das Volumen ist \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (50\,\text{cm})^2 \cdot 120\,\text{cm} = 300\,000\pi\,\text{cm}^3\). 2. Numerisch ergibt sich \(V \approx 942\,477{,}8\,\text{cm}^3\). 3. Mit \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\) folgt \(V \approx 942{,}4778\,\text{l} \approx 942{,}5\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt etwa \(942{,}5\,\text{l}\).

- Zerlege die hausförmige Grundfläche in Quadrat und Dreieck. - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der gesamten Grundfläche, nicht nur ihre Breite. - Wie setzt sich anschließend die vollständige Oberfläche des Prismas zusammen?

1. Die Stirnfläche besteht aus dem Quadrat mit \(100\,\text{cm}^2\) und einem Dreieck der Höhe \(22\,\text{cm}-10\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Damit ist \(G=100\,\text{cm}^2+\frac{1}{2}\cdot10\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=160\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=10\,\text{cm}+10\,\text{cm}+13\,\text{cm}+13\,\text{cm}+10\,\text{cm}=56\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=56\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=1120\,\text{cm}^2\). 4. Somit gilt \(O=2G+M=2\cdot160\,\text{cm}^2+1120\,\text{cm}^2=1440\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(1440\,\text{cm}^2\).

- Welche einfache Flächen kannst du im hausförmigen Querschnitt erkennen? - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Bestimme zuerst den Querschnitt und nutze dann die gleichbleibende Länge des Prismas.

1. Der rechteckige Teil des Querschnitts hat den Flächeninhalt \(3{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=7{,}5\,\text{m}^2\). 2. Das Dachdreieck ist \(3{,}5\,\text{m}-2{,}5\,\text{m}=1{,}0\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2}\cdot3{,}0\,\text{m}\cdot1{,}0\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Grundfläche des Prismas \(G=7{,}5\,\text{m}^2+1{,}5\,\text{m}^2=9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=9{,}0\,\text{m}^2\cdot4{,}0\,\text{m}=36{,}0\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen im Gartenhaus beträgt \(36{,}0\,\text{m}^3\).

- Entscheide zuerst, welche Flächen des Prismas laut Text mit Stoff bedeckt werden und welche nicht. - Lies Grundseite, Dreieckshöhe und Zeltlänge aus der Abbildung ab; die schrägen Seitenlängen sind im Text angegeben. - Berechne Vorder- und Rückseite sowie die beiden rechteckigen Dachflächen getrennt und addiere erst am Ende.

1. Aus der Abbildung liest man für die Dreiecksgrundfläche \(g=1{,}6\,\text{m}\) und \(h_g=1{,}5\,\text{m}\) sowie für die Zeltlänge \(l=2{,}4\,\text{m}\) ab. 2. Vorder- und Rückseite haben zusammen die Fläche \(2\cdot\frac{1}{2}\cdot1{,}6\,\text{m}\cdot1{,}5\,\text{m}=2{,}4\,\text{m}^2\). 3. Die beiden schrägen Dachflächen sind Rechtecke mit den Seitenlängen \(1{,}7\,\text{m}\) und \(2{,}4\,\text{m}\). Zusammen haben sie die Fläche \(2\cdot1{,}7\,\text{m}\cdot2{,}4\,\text{m}=8{,}16\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt werden \(2{,}4\,\text{m}^2+8{,}16\,\text{m}^2=10{,}56\,\text{m}^2\) Stoff benötigt.

Es werden insgesamt \(10{,}56\,\text{m}^2\) Zeltstoff benötigt.

- Welche einfachen Rechtecke bilden zusammen die stufenförmige Stirnfläche? - Welche in der Abbildung angegebene Strecke beschreibt die Länge der Stufe? - In welcher Einheit erhältst du das Volumen zunächst, und wie wird sie in Liter umgerechnet?

1. Die stufenförmige Stirnfläche lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen: \(G=40\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}+20\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=900\,\text{cm}^2\). 2. Aus der Abbildung liest man die Stufenlänge \(80\,\text{cm}\) ab. Damit ist \(V=900\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=72\,000\,\text{cm}^3\). 3. Da \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{l}\), sind das \(72\,\text{l}\).

Für eine Treppenstufe werden \(72\,\text{l}\) Beton benötigt.

- Welche einfachen Flächen erkennst du in der Vorderseite? - Welche der angegebenen Höhen gehört zum ganzen Querschnitt und welche nur zu den Wänden? - Welche Körperlänge steht senkrecht auf dieser Vorderfläche?

1. Die Vorderfläche besteht aus einem Rechteck und einem Dreieck. Das Rechteck hat die Fläche \(6\,\text{dm}\cdot4\,\text{dm}=24\,\text{dm}^2\). 2. Das Dachdreieck ist \(7\,\text{dm}-4\,\text{dm}=3\,\text{dm}\) hoch. Seine Fläche ist \(\frac{1}{2}\cdot6\,\text{dm}\cdot3\,\text{dm}=9\,\text{dm}^2\). 3. Damit ist \(G=24\,\text{dm}^2+9\,\text{dm}^2=33\,\text{dm}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=33\,\text{dm}^2\cdot10\,\text{dm}=330\,\text{dm}^3\).

Das Innenvolumen der Hundehütte beträgt \(330\,\text{dm}^3\).

- Zerlege die hausförmige Grundfläche in bekannte Teilflächen. - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Welche Größe wird beim Prisma mit der Grundfläche multipliziert?

1. Die Stirnfläche besteht aus einem Quadrat und einem Dreieck. Die Dreieckshöhe beträgt \(7\,\text{cm}-4\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(G=4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}+\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=22\,\text{cm}^2\). 3. Der Baustein ist \(10\,\text{cm}\) lang. Daher ist \(V=22\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=220\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bausteins beträgt \(220\,\text{cm}^3\).

- Welche Flächen gehören zur Oberfläche eines geschlossenen Prismas? - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der dreieckigen Stirnfläche. - Welche Rolle spielt die Länge der Schachtel bei den drei rechteckigen Mantelflächen?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Ihr Umfang ist \(u=8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ergibt sich aus Stirnflächenumfang und Schachtellänge: \(M=18\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=360\,\text{cm}^2\). 4. Daher ist \(O=2G+M=2\cdot12\,\text{cm}^2+360\,\text{cm}^2=384\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Schachtel beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Welche einfachen Flächen erkennst du im seitlichen Querschnitt? - Welche Längen gehören zum ganzen Bauteil und welche nur zu einem Teil davon? - Welche Abmessung führt vom Querschnitt in die dritte Raumrichtung?

1. Der Querschnitt besteht aus dem Podestrechteck und dem Rampendreieck. Die Rampenlänge ist \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(G=4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}+\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=21\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=21\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=168\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(168\,\text{cm}^3\).

- Liste zuerst nur die Flächen auf, die laut Text tatsächlich beschichtet werden; die obere Öffnung gehört nicht dazu. - Für jede Stirnfläche sind die beiden parallelen Seiten und ihr Abstand gegeben. - Die schrägen Seitenflächen sind Rechtecke aus der schrägen Trapezseite und der Prismenlänge. - Wandle erst nach dem Addieren von \(\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\) um.

1. Eine trapezförmige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{50\,\text{cm}+80\,\text{cm}}{2}\cdot20\,\text{cm}=1300\,\text{cm}^2\). Beide Stirnflächen zusammen haben \(2600\,\text{cm}^2\). 2. Der Boden ist ein Rechteck mit \(50\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}=5000\,\text{cm}^2\). 3. Die beiden schrägen Seitenflächen haben zusammen \(2\cdot25\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}=5000\,\text{cm}^2\). 4. Die obere Öffnung wird nicht mitgerechnet. Insgesamt sind \(2600\,\text{cm}^2+5000\,\text{cm}^2+5000\,\text{cm}^2=12\,600\,\text{cm}^2\) zu beschichten. 5. Mit \(10\,000\,\text{cm}^2=1\,\text{m}^2\) folgt \(12\,600\,\text{cm}^2=1{,}26\,\text{m}^2\).

\(12\,600\,\text{cm}^2=1{,}26\,\text{m}^2\)

- Zerlege den I-förmigen Querschnitt in zwei waagerechte Flansche und den dazwischenliegenden Steg. - Welche Höhe bleibt für den Steg übrig, wenn du die beiden Flanschdicken von der Gesamthöhe abziehst? - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Profillänge das Volumen?

1. Die beiden Flansche haben zusammen den Flächeninhalt \(2\cdot6\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Zwischen den Flanschen bleibt für den Steg eine Höhe von \(6\,\text{cm}-2\cdot1\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). Seine Fläche ist daher \(2\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}^2\). 3. Damit beträgt der Querschnittsinhalt \(G=12\,\text{cm}^2+8\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}^2\). 4. Das Volumen des \(80\,\text{cm}\) langen Profils ist \(V=20\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=1600\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Stahlprofils beträgt \(1600\,\text{cm}^3\).

- Welche Gleichung verbindet das feste Volumen mit Radius und Höhe? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius halbiert wird? - Beim Einsetzen in \(M(r)\) ist der Radius die einzige veränderliche Größe.

1. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt für das feste Volumen \(h(r)=\frac{330}{\pi r^2}\). 2. Für den halbierten Radius gilt \(h\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{330}{\pi(\frac{r}{2})^2}=4\frac{330}{\pi r^2}=4h(r)\). Die Höhe vervierfacht sich. 3. Für \(r=3{,}2\,\text{cm}\) ergibt sich \(M(3{,}2)=\frac{660}{3{,}2}\,\text{cm}^2=206{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(h(r) = \frac{330}{\pi r^2}\) b) Die Höhe vervierfacht sich: \(h_{\text{neu}} = 4h\). c) \(M(3{,}2) = 206{,}25\,\text{cm}^2\)

- Für die Dreiecksfläche brauchst du Basis und zugehörige Höhe. - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Dreiecksumfang; alle drei Seitenlängen sind gegeben. - Ergänze zur Mantelfläche beide kongruenten Grundflächen.

1. Die Grundfläche ist \(G=\frac12\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=12\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 3. Der Grundflächenumfang ist \(u=8\,\text{cm}+2\cdot5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=18\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=270\,\text{cm}^2\). 5. Somit ist \(O=2G+M=294\,\text{cm}^2\).

\(V=180\,\text{cm}^3\), \(O=294\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden Größen sind bei beiden dargestellten Körpern ausdrücklich gleich? - Was bedeutet \(G\) beim Zylinder geometrisch? - Vergleiche die Form \(V=Gh\) mit der bekannten Zylinderformel, ohne daraus schon eine Herleitung abzuleiten.

1. Für das Prisma gilt \(V=Gh=30\,\text{cm}^2\cdot7\,\text{cm}=210\,\text{cm}^3\). 2. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis. Auch hier ergibt \(Gh=30\,\text{cm}^2\cdot7\,\text{cm}=210\,\text{cm}^3\). 3. Für einen Zylinder ist \(G=\pi r^2\). Setzt man dies in \(V=Gh\) ein, erhält man \(V=\pi r^2h\). 4. Emils Aussage ist daher falsch: Die bekannte Zylinderformel lässt sich als \(V=Gh\) schreiben. Diese Aufgabe wendet das gemeinsame Prinzip an; sie begründet noch nicht, warum es für den Zylinder gilt.

a) Beide Volumina betragen \(210\,\text{cm}^3\). b) \(V=Gh\) lässt sich auch beim Zylinder verwenden; dort ist \(G=\pi r^2\), sodass \(V=\pi r^2h\) entsteht.

- Suche zuerst die beiden Flächen, die beim Falten einander gegenüberliegen. - Vergleiche die drei kurzen Rechteckseiten mit den drei Seiten des Grunddreiecks. - Welche Rechteckseite ist bei allen drei Mantelflächen gleich? - Für die gesamte Oberfläche kommen zum Mantel beide Dreiecksflächen hinzu.

1. Die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke sind die beiden Stirnflächen. Die drei Rechtecke bilden den Mantel. 2. Alle drei Mantelrechtecke besitzen dieselbe Seitenlänge \(h\), nämlich den Abstand der beiden Dreiecksflächen. Ihre anderen Seitenlängen sind genau die drei Seitenlängen der dreieckigen Stirnfläche. Deshalb ist ihre Gesamtfläche \(M=h(a+b+c)=uh\). 3. Das Grunddreieck hat Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). Daher ist \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 4. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Mit \(h=6\,\text{cm}\) folgt \(M=uh=72\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot6\,\text{cm}^2+72\,\text{cm}^2=84\,\text{cm}^2\).

a) Zwei Dreiecke: die beiden Stirnflächen; drei Rechtecke: Mantelflächen. b) Die drei Rechteckbreiten ergeben zusammen den Stirnflächenumfang \(u\), während jedes Rechteck dieselbe Seitenlänge \(h\) zwischen den beiden Dreiecksflächen besitzt; daher \(M=uh\). c) \(G=6\,\text{cm}^2\), \(M=72\,\text{cm}^2\), \(O=84\,\text{cm}^2\)

- Prüfe zuerst, welche Art von Größe \(U\) beschreibt: Länge oder Fläche. - Welche Einheit entsteht beim Produkt zweier Längen? - In \(V=Gh\) muss \(G\) welche Dimension besitzen?

1. Elif verwechselt den Umfang der Grundfläche mit ihrem Flächeninhalt. \(U=2\pi r\) ist eine Länge, nicht die Grundfläche \(G\). 2. Multipliziert man \(U\) mit \(h\), erhält man Länge mal Länge und damit eine Flächeneinheit. Der Ausdruck \(2\pi rh\) beschreibt die Mantelfläche, nicht das Volumen. 3. Die Kreisgrundfläche ist \(G=\pi r^2\). 4. Mit dem Volumenprinzip \(V=Gh\) folgt daher \(V=\pi r^2h\).

a) \(U=2\pi r\) ist der Umfang und nicht der Flächeninhalt der Grundfläche. b) \(2\pi rh\) hat eine Flächeneinheit, nicht eine Volumeneinheit. c) \(G=\pi r^2\) und damit \(V=Gh=\pi r^2h\).

- Liste zuerst die tatsächlich sichtbaren bzw. mit Wasser gefüllten Teile des Tanks auf. - Für den Farbanstrich ist eine Oberfläche gesucht; für das Wasser ein Volumen. - Prüfe, ob bei beiden Rechnungen dieselbe Höhenangabe verwendet werden darf. - Runde erst nach dem vollständigen Einsetzen der jeweiligen Größen.

1. Für den Anstrich zählt nur die sichtbare Mantelfläche. Deshalb wird weder eine Kreisfläche noch die obere Öffnung berücksichtigt: \(A_{\text{Farbe}}=M=2\pi rh\) mit der gesamten Tankhöhe \(1{,}20\,\text{m}\). 2. Damit ist \(A_{\text{Farbe}}=2\pi\cdot0{,}45\,\text{m}\cdot1{,}20\,\text{m}=1{,}08\pi\,\text{m}^2\approx3{,}39\,\text{m}^2\). 3. Für das Wasservolumen ist nicht die gesamte Tankhöhe maßgeblich, sondern die Füllhöhe \(1{,}00\,\text{m}\). 4. Daher gilt \(V_{\text{Wasser}}=\pi(0{,}45\,\text{m})^2\cdot1{,}00\,\text{m}=0{,}2025\pi\,\text{m}^3\approx0{,}64\,\text{m}^3\).

a) Für den Anstrich wird nur die Mantelfläche mit \(h=1{,}20\,\text{m}\) verwendet; für das Wasser die Kreisgrundfläche mit der Füllhöhe \(1{,}00\,\text{m}\). b) Zu streichen: \(3{,}39\,\text{m}^2\); maximales Wasservolumen: \(0{,}64\,\text{m}^3\).

- Welche Strecke am Mantelrechteck wird beim Zusammenrollen zu einem Kreisrand? - Welche Kreisgröße musst du deshalb aus dem Radius berechnen? - Vergleiche das Rechenergebnis mit den beiden Beschriftungen in der Abbildung.

1. Beim Zylindernetz muss die lange Rechteckseite genau so lang sein wie der Umfang einer Grundfläche. 2. Der Umfang beträgt \(U=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot3\,\text{cm}=18{,}84\,\text{cm}\). 3. In Vorschlag a) ist die lange Rechteckseite mit \(18{,}84\,\text{cm}\) beschriftet; das passt zum Umfang. In Vorschlag b) beträgt sie nur \(12\,\text{cm}\). 4. Daher kann nur Vorschlag a) das Netz des angegebenen Zylinders sein.

Vorschlag a), denn \(2\pi r\approx18{,}84\,\text{cm}\) und genau diese Länge hat dort die lange Rechteckseite. Vorschlag b) mit \(12\,\text{cm}\) passt nicht.

- Wie hängen Volumen, Grundfläche und Füllhöhe eines Zylinders zusammen? - Welche Füllhöhe gehört bei konstanter Zuflussmenge zu einer Minute? - Was bewirkt eine halb so große Grundfläche bei derselben Volumenzunahme? - Welche Höhe muss erreicht sein, bevor das Wasser vom breiten in den schmalen Teil gelangt?

1. \(500\,\text{ml}=500\,\text{cm}^3\). Bei \(V=G\cdot h\) gilt für eine Minute \(500=200\cdot h\). Daher steigt der Wasserspiegel um \(2{,}5\,\text{cm}\) pro Minute. 2. Bei leerem Start gilt \(h(0)=0\). Damit lautet die Funktion \(h(t)=2{,}5t\). 3. Bei \(G=100\,\text{cm}^2\) gilt \(500=100\cdot h\). Der Wasserspiegel steigt dann um \(5\,\text{cm/min}\). Die Steigung verdoppelt sich von \(2{,}5\) auf \(5\). 4. Im unteren Teil steigt die Höhe mit \(2{,}5\,\text{cm/min}\). Die Höhe \(10\,\text{cm}\) wird nach \(10:2{,}5=4\,\text{min}\) erreicht, also liegt der Knickpunkt bei \((4\mid10)\). 5. Im oberen Teil beträgt die Steigung \(5\,\text{cm/min}\). Für weitere \(10\,\text{cm}\) werden \(10:5=2\,\text{min}\) benötigt. Das gesamte Gefäß ist daher nach \(6\,\text{min}\) bei \((6\mid20)\) voll. 6. Nach \(4\) Minuten erreicht das Wasser den schmaleren oberen Teil; ab dort wird der Graph steiler.

a) \(2{,}5\,\text{cm/min}\) b) \(h(t)=2{,}5t\) c) Neue Steigung: \(5\,\text{cm/min}\); sie ist doppelt so groß. d) Zuerst Steigung \(2{,}5\) bis \((4\mid10)\), danach Steigung \(5\) bis \((6\mid20)\). Nach \(4\) Minuten beginnt der schmalere obere Teil, daher wird der Graph steiler.

- Bestimme zuerst das Volumen des Prismas aus Grundflächeninhalt und Abstand der Grundflächen. - Wie kannst du aus Masse und Volumen des ersten Werkstücks die Dichte des Materials bestimmen? - Nutze dieselbe Dichte für den Zylinder und überlege, welche Größe dort noch fehlt.

1. Die Grundfläche des Prismas ist \(G=\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Prismenvolumen beträgt \(V_P=Gh=6\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=60\,\text{cm}^3\). 3. Daraus folgt für Aluminium die Dichte \(\rho=\frac{162\,\text{g}}{60\,\text{cm}^3}=2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\). 4. Das Zylindervolumen muss daher \(V_Z=\frac{270\,\text{g}}{2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}=100\,\text{cm}^3\) betragen. 5. Mit \(V_Z=\pi r^2h\) gilt \(100\,\text{cm}^3=4\pi\,\text{cm}^2\cdot h\), also \(h=\frac{25}{\pi}\,\text{cm}\approx7{,}96\,\text{cm}\). 6. Gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt die Zylinderhöhe \(8{,}0\,\text{cm}\).

Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Schreibe für beide Kerzen die Volumenformel auf und setze die Volumina gleich. - Ersetze die zweite Höhe durch den angegebenen Bruchteil der ersten Höhe und kürze gemeinsame Faktoren. - Überlege anschließend, welcher positive Radiusfaktor das erhaltene Verhältnis der Radiusquadrate erzeugt.

1. Für die beiden Kerzen gilt \(V_1=\pi r_1^2h_1\) und \(V_2=\pi r_2^2h_2\). 2. Mit \(V_1=V_2\) und \(h_2=\frac{1}{4}h_1\) ergibt sich \(\pi r_1^2h_1=\pi r_2^2\cdot\frac{1}{4}h_1\). 3. Nach dem Kürzen von \(\pi\) und \(h_1\) folgt \(r_2^2=4r_1^2\). 4. Da Radien positiv sind und \((2r_1)^2=4r_1^2\), gilt \(r_2=2r_1\).

Der Radius der zweiten Kerze ist doppelt so groß wie der Radius der ersten: \(r_2=2r_1\).

- Bringe Masse, Dichte und Längen zunächst in zueinander passende Einheiten. - Welche Beziehung verbindet Masse, Dichte und Volumen? - Betrachte den Draht als sehr langen Zylinder: Welche Größe ist seine Grundfläche und welche seine Körperhöhe? - Runde erst nach der Umrechnung der fertigen Drahtlänge in Meter.

1. Die Drahtmasse beträgt \(5200\,\text{g}\). Mit \(\rho=m:V\) ergibt sich \(V=5200\,\text{g}:8{,}9\,\text{g/cm}^3\approx584{,}27\,\text{cm}^3\). Für die weitere Rechnung wird der ungerundete Volumenwert verwendet. 2. Der Radius ist \(r=0{,}4\,\text{mm}=0{,}04\,\text{cm}\). Die Querschnittsfläche ist \(G=\pi(0{,}04\,\text{cm})^2\). 3. Mit \(V=Gl\) folgt \(l=V:G\approx116\,236{,}76\,\text{cm}\). 4. Das sind \(1162{,}3676\dots\,\text{m}\), gerundet also \(1162{,}4\,\text{m}\).

Die Länge des Kupferdrahtes beträgt ungefähr \(1162{,}4\,\text{m}\).

- Stelle dir das Rohr als äußeren Zylinder mit einem zylindrischen Hohlraum vor. - Bestimme Innen- und Außenradius in einer Einheit, die zur gegebenen Dichte passt. - Berechne erst das Materialvolumen und nutze danach die Dichte; runde erst ganz am Ende.

1. Der Außenradius ist \(R=30\,\text{cm}=3\,\text{dm}\), der Innenradius \(r=22\,\text{cm}=2{,}2\,\text{dm}\) und die Länge \(h=25\,\text{dm}\). 2. Das Betonvolumen ist \(V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(3^2-2{,}2^2)\cdot25\,\text{dm}^3=104\pi\,\text{dm}^3\). 3. Die Masse ist \(m=V\rho=104\pi\,\text{dm}^3\cdot2{,}4\,\text{kg/dm}^3=249{,}6\pi\,\text{kg}\approx784{,}14\,\text{kg}\).

Die Masse des Betonrohres beträgt ungefähr \(784{,}14\,\text{kg}\).

- Für Teil a) behandelst du jede Scheibe als einzelnen Zylinder. - Welche Kreisflächen verschwinden beim Stapeln durch direkten Kontakt? - Betrachte die sichtbaren horizontalen Flächen des Turms einmal von oben und einmal von unten.

1. a) Für jede Scheibe gilt \(O_i=2\pi r_i^2+2\pi r_i\cdot1\,\text{cm}\). Die Summe ist \(580\pi\,\text{cm}^2\approx1822{,}12\,\text{cm}^2\). 2. b) Die sichtbaren horizontalen Oberseiten ergeben zusammen die Fläche der größten Scheibe, also \(81\pi\,\text{cm}^2\). Die sichtbare Unterseite liefert nochmals \(81\pi\,\text{cm}^2\). 3. Die sichtbaren Mantelflächen aller fünf Scheiben ergeben \(2\pi\cdot1\,\text{cm}\cdot(5+6+7+8+9)\,\text{cm}=70\pi\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ist die sichtbare Oberfläche \(232\pi\,\text{cm}^2\approx728{,}85\,\text{cm}^2\).

a) \(1822{,}12\,\text{cm}^2\) b) \(728{,}85\,\text{cm}^2\)

- Welcher Anteil des ursprünglichen Zylinders bleibt nach dem \(60^\circ\)-Schnitt übrig? - Welche Begrenzungsflächen des ursprünglichen Körpers bleiben teilweise erhalten? - Welche zwei neuen Flächen entstehen dort, wo der Keil herausgeschnitten wurde?

1. Der Radius beträgt \(r=12\,\text{cm}\). Nach dem Entfernen des \(60^\circ\)-Keils bleiben \(\frac{300}{360}=\frac56\) des Zylinders. 2. a) Daher ist \(V=\frac56\pi r^2h=1200\pi\,\text{cm}^3\approx3769{,}91\,\text{cm}^3\). 3. b) Ober- und Unterseite liefern zusammen \(2\cdot\frac56\pi r^2=240\pi\,\text{cm}^2\). 4. Der gekrümmte Mantel hat \(\frac56\cdot2\pi rh=200\pi\,\text{cm}^2\). Die zwei neuen rechteckigen Schnittflächen haben zusammen \(2rh=240\,\text{cm}^2\). 5. Insgesamt ist \(O=440\pi\,\text{cm}^2+240\,\text{cm}^2\approx1622{,}30\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx3769{,}91\,\text{cm}^3\) b) \(O\approx1622{,}30\,\text{cm}^2\)

- Bringe die Körperhöhe zuerst in Zentimeter. - Welche Flächen begrenzen einen Viertelzylinder außer den beiden Viertelkreisen? - Für die Masse brauchst du zuerst das Volumen und anschließend die Dichte.

1. Die Höhe ist \(h=200\,\text{cm}\). Eine Viertelkreis-Grundfläche hat \(G=\frac14\pi(25\,\text{cm})^2=156{,}25\pi\,\text{cm}^2\). 2. a) Die gekrümmte Mantelfläche ist \(2500\pi\,\text{cm}^2\), die beiden rechteckigen Seitenflächen haben zusammen \(10\,000\,\text{cm}^2\). 3. Mit zwei Grundflächen ist \(O=2812{,}5\pi\,\text{cm}^2+10\,000\,\text{cm}^2\approx18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). 4. b) Das Volumen ist \(V=Gh=31\,250\pi\,\text{cm}^3\). Daher beträgt die Masse \(m=31\,250\pi\cdot2{,}7\,\text{g}=84\,375\pi\,\text{g}\approx265{,}07\,\text{kg}\).

a) \(O\approx18\,835{,}73\,\text{cm}^2\) b) \(m\approx265{,}07\,\text{kg}\)

- Unterscheide bei Volumen und Oberfläche sorgfältig die Größen, die von der Höhe abhängen, von den unveränderten Größen. - Formuliere die alten und neuen Größen zunächst symbolisch. - Vergleiche die neue Oberfläche mit einem echten Dreifachen der ursprünglichen Oberfläche, ohne konkrete Maße einzusetzen.

1. Das ursprüngliche Volumen ist \(V=Gh\). Bei der neuen Höhe \(3h\) gilt \(V_{neu}=G(3h)=3V\). Das Volumen verdreifacht sich. 2. Für ein gerades Prisma gilt \(M=uh\), wobei \(u\) der Umfang der Grundfläche ist. Da \(u\) unverändert bleibt, gilt \(M_{neu}=u(3h)=3M\). Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls. 3. Die Oberfläche ist \(O=2G+M\). Nach der Höhenänderung gilt \(O_{neu}=2G+3M\). 4. Das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche wäre \(3O=6G+3M\). Weil \(G>0\), gilt \(2G+3M<6G+3M\). 5. Die neue Oberfläche ist daher kleiner als das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche. Nur der Mantel wird verdreifacht; die beiden Grundflächen bleiben unverändert.

a) Das Volumen verdreifacht sich: \(V_{neu}=3V\). b) Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls: \(M_{neu}=3M\). c) Die Behauptung ist falsch. Die beiden Grundflächen bleiben unverändert, daher gilt \(O_{neu}=2G+3M<3(2G+M)\).

- Wandle das gemeinsame Volumen zuerst in \(\text{cm}^3\) um. - Bestimme für jeden Behälter zunächst das Quadrat des Radius aus \(V=\pi r^2h\) und nutze passende positive Quadratzahlen. - Berechne danach beide Mantelflächen mit denselben Einheiten und vergleiche sie.

1. Das gemeinsame Volumen beträgt \(28{,}26\,\text{l}=28260\,\text{cm}^3\). 2. Für Behälter A folgt aus \(V=\pi r^2h\): \(r_A^2=28260:(3{,}14\cdot40)\,\text{cm}^2=225\,\text{cm}^2\). Da \((15\,\text{cm})^2=225\,\text{cm}^2\), ist \(r_A=15\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(M_A=2\pi r_Ah_A\approx2\cdot3{,}14\cdot15\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=3768\,\text{cm}^2\). 4. Für Behälter B gilt \(r_B^2=28260:(3{,}14\cdot90)\,\text{cm}^2=100\,\text{cm}^2\). Da \((10\,\text{cm})^2=100\,\text{cm}^2\), ist \(r_B=10\,\text{cm}\). 5. Damit ist \(M_B\approx2\cdot3{,}14\cdot10\,\text{cm}\cdot90\,\text{cm}=5652\,\text{cm}^2\). 6. Weil \(3768\,\text{cm}^2<5652\,\text{cm}^2\), besitzt Behälter A die kleinere Mantelfläche.

Behälter A hat die kleinere Mantelfläche: \(M_A=3768\,\text{cm}^2\), \(M_B=5652\,\text{cm}^2\).

- Stelle die Volumenformel für jede Dose nach der Höhe um. - Welche Flächen gehören zur Oberfläche einer geschlossenen Dose? - Wähle für Teil c) zuerst die Dose mit der kleineren Oberfläche und berücksichtige dann Stückzahl und Materialzuschlag.

1. Es gilt \(425\,\text{ml}=425\,\text{cm}^3\). Damit ist \(h_A=425\,\text{cm}^3:(\pi(3{,}5\,\text{cm})^2)\approx11{,}04\,\text{cm}\) und \(h_B=425\,\text{cm}^3:(\pi(4{,}2\,\text{cm})^2)\approx7{,}67\,\text{cm}\). 2. Für die Oberfläche gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Ohne Zwischenrundung erhält man \(O_A\approx319{,}83\,\text{cm}^2\) und \(O_B\approx313{,}22\,\text{cm}^2\). 3. Dose B ist materialsparender. Für \(1000\) Stück mit \(15\,\%\) Zuschlag werden \(1000\cdot O_B\cdot1{,}15\approx360\,198{,}79\,\text{cm}^2\) benötigt. 4. Das entspricht \(36{,}02\,\text{m}^2\).

a) \(h_A\approx11{,}04\,\text{cm}\); \(h_B\approx7{,}67\,\text{cm}\) b) \(O_A\approx319{,}83\,\text{cm}^2\); \(O_B\approx313{,}22\,\text{cm}^2\) c) Für \(1000\) Stück der Dose B werden einschließlich Verschnitt etwa \(36{,}02\,\text{m}^2\) Blech benötigt.

- Bestimme für beide Körper zuerst die Höhe aus dem vorgegebenen Volumen. - Welche Teilflächen gehören jeweils zur gesamten geschlossenen Oberfläche? - Für den Vergleich musst du den exakten \(\pi\)-Term nicht zwingend als Dezimalzahl ausrechnen.

1. Es gilt \(1\,\text{l}=1000\,\text{cm}^3\). 2. Für Modell A ist \(h_A=1000\,\text{cm}^3:(25\pi\,\text{cm}^2)=\frac{40}{\pi}\,\text{cm}\). 3. Die Oberfläche des Zylinders ist \(O_A=2\pi(5\,\text{cm})^2+2\pi\cdot5\,\text{cm}\cdot\frac{40}{\pi}\,\text{cm}=(50\pi+400)\,\text{cm}^2\). 4. Für Modell B ist \(h_B=1000\,\text{cm}^3:100\,\text{cm}^2=10\,\text{cm}\), also \(O_B=2\cdot100\,\text{cm}^2+4\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=600\,\text{cm}^2\). 5. Da \(\pi<4\), gilt \(50\pi+400<600\). Modell A hat daher die kleinere Gesamtoberfläche.

Modell A ist materialsparender: \(O_A=(50\pi+400)\,\text{cm}^2<600\,\text{cm}^2=O_B\).

- Vergleiche zuerst die Oberfläche vor und nach dem Bohren. - Welche Flächen gehen an den beiden Stirnseiten verloren, und welche neue Mantelfläche entsteht im Loch? - Beziehe die Flächenzunahme für den Prozentwert auf die ursprüngliche Oberfläche.

1. Die Oberfläche des massiven Zylinders ist \(O_{\text{alt}}=2\pi(6\,\text{cm})^2+2\pi\cdot6\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=252\pi\,\text{cm}^2\). 2. Nach der Bohrung bestehen die beiden Grundflächen aus Kreisringen. Zusätzlich entsteht ein innerer Mantel. Damit ist \(O_{\text{neu}}=2\pi(6^2-2^2)\,\text{cm}^2+180\pi\,\text{cm}^2+60\pi\,\text{cm}^2=304\pi\,\text{cm}^2\). 3. Die relative Zunahme ist \(\frac{304\pi-252\pi}{252\pi}=\frac{52}{252}\approx0{,}2063\). 4. Das entspricht gerundet einer Vergrößerung um \(20{,}6\,\%\).

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um etwa \(20{,}6\,\%\).

- Welche Fläche bleibt in der quadratischen Grundfläche nach dem Bohren übrig? - Beim Volumen kannst du entweder zwei Körpervolumina subtrahieren oder mit dem neuen Querschnitt arbeiten. - Welche neue Oberfläche entsteht an der Innenwand des durchgehenden Lochs?

1. Die quadratische Grundfläche hat \(100\,\text{cm}^2\). Das Loch hat den Radius \(3\,\text{cm}\) und damit die Querschnittsfläche \(9\pi\,\text{cm}^2\). 2. a) Der verbleibende Querschnitt hat \(G=(100-9\pi)\,\text{cm}^2\). Daher ist \(V=(100-9\pi)\cdot20\,\text{cm}^3=(2000-180\pi)\,\text{cm}^3\). 3. b) Oben und unten bleiben je \((100-9\pi)\,\text{cm}^2\). Der äußere Prismenmantel hat \(4\cdot10\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=800\,\text{cm}^2\). 4. Die Innenwand des Lochs hat \(2\pi\cdot3\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=120\pi\,\text{cm}^2\). Insgesamt ist \(O=2(100-9\pi)+800+120\pi=(1000+102\pi)\,\text{cm}^2\).

a) \(V=(2000-180\pi)\,\text{cm}^3\) b) \(O=(1000+102\pi)\,\text{cm}^2\)

- Wie drückst du eine Zunahme um \(25\,\%\) als Dezimalfaktor aus? - Wenn das Volumen gleich bleibt, wie hängen Radius und Höhe voneinander ab? - Denke daran, dass der Radius in der Formel quadriert wird. Welchen Faktor ergibt das für die Grundfläche? - Wie viel fehlt von der neuen Höhe bis zu \(100\,\%\) der alten Höhe?

1. Definition der neuen Maße: \(r_2 = 1{,}25r_1\). 2. Aufstellen der Volumengleichung für konstantes Volumen: \(V = \pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2\). 3. Einsetzen von \(r_2\): \(\pi r_1^2h_1 = \pi (1{,}25r_1)^2h_2 = \pi \cdot 1{,}5625 \cdot r_1^2 \cdot h_2\). 4. Kürzen von \(\pi r_1^2\) ergibt \(h_1 = 1{,}5625h_2\). 5. Auflösen nach der neuen Höhe: \(h_2 = \frac{1}{1{,}5625}h_1 = 0{,}64h_1\). 6. Berechnung der prozentualen Verringerung: \(1 - 0{,}64 = 0{,}36\), was einer Abnahme um \(36\,\%\) entspricht.

Die Höhe muss um \(36\,\%\) verringert werden.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreisrings? - Denke an die dritte binomische Formel, um die Differenz der Quadrate umzuformen. - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit, zum Beispiel Zentimeter, vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Überlege, an welcher Stelle der Formel die Länge \(l\) steht.

1. Aufstellen der Volumenformel: Das Volumen eines Hohlzylinders berechnet sich aus der Differenz der Volumina des Außen- und Innenzylinders: \(V = \frac{\pi D^2}{4}l - \frac{\pi d^2}{4}l = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\). 2. Faktorisierung: Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\). 3. Umrechnung der Einheiten: \(l = 2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{3{,}14 \cdot 250}{4} \cdot (12^2 - 10^2) = 196{,}25 \cdot (144 - 100) = 196{,}25 \cdot 44 = 8635\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 8635\,\text{cm}^3 \cdot 7{,}85\,\text{g/cm}^3 = 67\,784{,}75\,\text{g} = 67{,}78475\,\text{kg}\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\). 6. Proportionalität: Da das Volumen und damit die Masse direkt proportional zur Länge \(l\) sind, verdoppelt sich bei doppelter Länge auch die Masse.

a) \(V = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\) b) \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\) c) \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\) d) Die Masse verdoppelt sich, da sie direkt proportional zur Länge ist.

- Berechne das Materialvolumen aus der Kreisringfläche und der Höhe. - Achte darauf, dass die Verwendung von \(\pi\approx3{,}14\) nur Näherungswerte liefern kann. - Welche reale Strecke misst die Differenz zwischen Außen- und Innenradius? - Wie wirkt sich eine Verdoppelung in allen drei Längsrichtungen auf ein Volumen aus?

1. a) Mit \(\pi\approx3{,}14\) ist die Kreisringfläche \(A\approx3{,}14(50^2-40^2)\,\text{cm}^2=2826\,\text{cm}^2\). 2. Damit ist \(V\approx2826\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=226\,080\,\text{cm}^3=226{,}08\,\text{l}\). 3. b) Die Masse beträgt näherungsweise \(m\approx226{,}08\,\text{dm}^3\cdot2{,}4\,\text{kg/dm}^3=542{,}592\,\text{kg}\). 4. c) Die Differenz \(R-r\) ist die Wandstärke des Rings. 5. d) Bei Verdoppelung aller linearen Maße wird jede der drei räumlichen Richtungen mit dem Faktor \(2\) skaliert. Das Volumen erhält daher den Faktor \(2^3=8\).

a) \(V\approx226{,}08\,\text{l}\) b) \(m\approx542{,}592\,\text{kg}\) c) \(R-r\) ist die Wandstärke des Rings. d) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(8\).

- Schreibe Mantelfläche und Grundfläche zunächst mit \(r\) und \(h\) auf. - Übersetze „dreimal so groß“ in eine Gleichung zwischen \(M\) und \(G\). - Welche gemeinsamen Faktoren kannst du in dieser Gleichung kürzen, ohne den Radius als null anzunehmen?

1. Mit \(M=2\pi rh\), \(G=\pi r^2\) und \(M=3G\) gilt \(2\pi rh=3\pi r^2\). 2. Weil \(r>0\), kann durch \(\pi r\) geteilt werden. Damit folgt \(2h=3r\). 3. Für \(h=15\,\text{cm}\) ist \(30\,\text{cm}=3r\), also \(r=10\,\text{cm}\). 4. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=1500\pi\,\text{cm}^3\approx4712{,}4\,\text{cm}^3\). 5. Die Oberfläche beträgt \(O=2G+M=500\pi\,\text{cm}^2\approx1570{,}8\,\text{cm}^2\).

a) \(r=10\,\text{cm}\) b) \(V\approx4712{,}4\,\text{cm}^3\) c) \(O\approx1570{,}8\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die fünfeckige Stirnfläche in Flächen, deren Inhalte du direkt berechnen kannst. - Für das Volumen brauchst du die Stirnfläche und die Länge der Box. - Für die Mantelfläche ist der gesamte Umfang der Stirnfläche entscheidend. - Achte bei beiden Teilaufgaben auf die jeweils geforderte Einheit.

1. Die Stirnfläche lässt sich in ein Rechteck \(80\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\), ein Rechteck \(40\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\) und ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(40\,\text{cm}\) und \(30\,\text{cm}\) zerlegen. 2. Daher ist \(G = 4000\,\text{cm}^2 + 800\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 = 5400\,\text{cm}^2\). 3. Mit der Tiefe von \(100\,\text{cm}\) folgt \(V = G\cdot100\,\text{cm} = 5400\,\text{cm}^2 \cdot 100\,\text{cm} = 540\,000\,\text{cm}^3 = 540\,\text{l}\). 4. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u = 120\,\text{cm} + 20\,\text{cm} + 50\,\text{cm} + 80\,\text{cm} + 50\,\text{cm} = 320\,\text{cm}\). 5. Somit ist die Mantelfläche \(M = u\cdot100\,\text{cm} = 320\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 32\,000\,\text{cm}^2\). 6. Die gesamte Oberfläche ist \(O = 2G + M = 10\,800\,\text{cm}^2 + 32\,000\,\text{cm}^2 = 42\,800\,\text{cm}^2 = 4{,}28\,\text{m}^2\).

a) \(540\,\text{l}\) b) \(4{,}28\,\text{m}^2\)

- Ersetze in der Volumenformel die Höhe durch die gegebene Beziehung zwischen Höhe und Radius. - Da der Radius eine natürliche Zahl ist, kannst du kleine ganzzahlige Werte der Reihe nach prüfen. - Prüfe beim gefundenen Radius, ob das vorgegebene Volumen tatsächlich entsteht. - Welche Teilflächen bilden anschließend die vollständige Oberfläche des geschlossenen Zylinders?

1. Wegen \(h=2r\) wird aus \(V=\pi r^2h\) die Bedingung \(2\pi r^3=250\pi\,\text{cm}^3\), also \(2r^3=250\). 2. Systematisches Probieren natürlicher Radien: Für \(r=3\) ist \(2r^3=54\), für \(r=4\) ist \(2r^3=128\), für \(r=5\) ist \(2r^3=250\). Daher gilt \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\). 3. Für die Oberfläche gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 4. Einsetzen liefert \(O=2\pi \cdot (5\,\text{cm})^2+2\pi \cdot 5\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=150\pi\,\text{cm}^2\). 5. Numerisch ist \(O\approx471{,}24\,\text{cm}^2\).

1. \(r=5\,\text{cm}\) 2. \(O=150\pi\,\text{cm}^2\approx471{,}24\,\text{cm}^2\)

- Beginne mit dem Volumen des Quaders, der über einem einzigen Gitterquadrat steht. - Wie kannst du mit vollständig innen liegenden Quadraten eine untere und mit allen berührten Quadraten eine obere Abschätzung erhalten? - Überlege, was mit dem Unterschied zwischen innerer und äußerer Überdeckung geschieht, wenn die Quadrate immer kleiner werden. - Prüfe am Ende, welche Eigenschaft der Grundfläche in deiner Begründung tatsächlich verwendet wird.

1. Über jedem Gitterquadrat mit Flächeninhalt \(a\) steht ein Quader der Höhe \(h\) und damit mit Volumen \(ah\). 2. Die vollständig innen liegenden Quadrate haben zusammen einen Flächeninhalt \(G_{\text{innen}}\). Ihre Quader besitzen zusammen das Volumen \(G_{\text{innen}}h\) und liegen vollständig im Prisma. 3. Nimmt man zusätzlich alle Randquadrate, erhält man eine äußere Überdeckung mit Flächeninhalt \(G_{\text{außen}}\). Die zugehörigen Quader haben zusammen das Volumen \(G_{\text{außen}}h\) und enthalten das Prisma. Daher gilt \(G_{\text{innen}}h\le V\le G_{\text{außen}}h\). 4. Wird das Gitter immer feiner, nähern sich \(G_{\text{innen}}\) und \(G_{\text{außen}}\) beide dem Grundflächeninhalt \(G\). Damit nähern sich beide Volumenschranken \(Gh\), also folgt \(V=Gh\). 5. Entscheidend ist nur der Flächeninhalt \(G\); eine besondere Form des Randes wurde nicht vorausgesetzt.

Ein feines Quadratgitter liefert eine innere und eine äußere Überdeckung der Grundfläche. Die zugehörigen Quader ergeben die Schranken \(G_{\text{innen}}h\le V\le G_{\text{außen}}h\). Bei immer feinerem Gitter nähern sich beide Grundflächen \(G\), daher nähern sich beide Schranken \(Gh\). Somit gilt für das gerade Prisma \(V=Gh\), unabhängig von der Form seiner Grundfläche.

- Vergleiche, wie viel Kreisfläche zwischen Vieleck und Kreisrand bei sechs und bei zwölf Ecken übrig bleibt. - Die Höhe ändert sich beim Übergang von Prisma zu Zylinder nicht. - Welche Größe in \(V_n=G_nh\) nähert sich einer Kreisgröße? - Beachte, ob das Vieleck innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.

1. Mit wachsender Eckenzahl folgt der Rand des regelmäßigen Vielecks dem Kreis immer genauer. Sein Flächeninhalt \(G_n\) nähert sich daher dem Kreisflächeninhalt \(\pi r^2\). 2. Alle Prismen und der Zylinder besitzen dieselbe Höhe \(h\). Für die Prismen gilt \(V_n=G_nh\). 3. Wenn \(G_n\) gegen \(\pi r^2\) geht, gehen die Prismenvolumina gegen \(\pi r^2h\). Das macht die Zylinderformel \(V=\pi r^2h\) plausibel. 4. Die Vielecke liegen vollständig innerhalb des Kreises. Deshalb ist \(G_n<\pi r^2\) und damit zunächst auch \(V_n<\pi r^2h=V_{\text{Zylinder}}\).

a) \(G_n\) nähert sich von unten dem Kreisflächeninhalt \(\pi r^2\). b) Aus \(V_n=G_nh\) folgt im Grenzgedanken \(V=\pi r^2h\). c) Die einbeschriebenen Vielecke und damit ihre Prismen liegen vollständig innerhalb des Kreisgrundrisses bzw. Zylinders.

- Welche Größen eines Zylinders musst du für die Volumenformel festlegen? - Prüfe, ob deine angenommenen Maße zu einem Gegenstand dieser Art passen könnten. - Achte bei der Umrechnung darauf, wie viele Kubikzentimeter einem Liter entsprechen. - Beurteile am Ende, ob dein erhaltenes Fassungsvermögen zu deinen Annahmen passt.

1. Eine mögliche plausible Annahme ist ein Innendurchmesser von \(28\,\text{cm}\) und eine Innenhöhe von \(35\,\text{cm}\). Dann ist \(r=14\,\text{cm}\). 2. Das Zylindervolumen ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot14^2\cdot35\,\text{cm}^3=6860\pi\,\text{cm}^3\). 3. In Litern ergibt das \(V=6{,}86\pi\,\text{l}\approx21{,}6\,\text{l}\). 4. Andere Ergebnisse sind ebenfalls korrekt, wenn die gewählten Maße für einen Papierkorb plausibel begründet sind und Radius, Volumenformel, Umrechnung und Rundung dazu stimmen.

Eine mögliche Lösung: Innendurchmesser \(28\,\text{cm}\), Innenhöhe \(35\,\text{cm}\), also \(r=14\,\text{cm}\). Dann ist \(V=6860\pi\,\text{cm}^3\approx21{,}6\,\text{l}\). Andere plausibel begründete Annahmen mit korrekt dazu berechnetem Volumen sind ebenfalls gültig.

- Welche drei Längen brauchst du, wenn du den Dachraum als dreieckiges Prisma modellierst? - Prüfe, ob deine gewählte Dachhöhe im Verhältnis zur Hausbreite und deine Hauslänge für ein kleines Gartenhaus plausibel wirken. - Bestimme zuerst die Fläche des dreieckigen Querschnitts und nutze sie anschließend als Grundfläche des Prismas. - Passt die Größenordnung deines Volumens zu den von dir gewählten Maßen?

1. Eine mögliche plausible Annahme für ein kleines Gartenhaus ist: Breite \(3{,}0\,\text{m}\), Dachhöhe \(1{,}2\,\text{m}\), Hauslänge \(4{,}5\,\text{m}\). 2. Die dreieckige Grundfläche des Dachprismas hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}\cdot3{,}0\,\text{m}\cdot1{,}2\,\text{m}=1{,}8\,\text{m}^2\). 3. Das Volumen ist \(V=G\cdot4{,}5\,\text{m}=8{,}1\,\text{m}^3\). 4. Andere Ergebnisse sind korrekt, wenn Breite, Dachhöhe und Länge für ein kleines Gartenhaus plausibel begründet sind und Dreiecksfläche, Prismenvolumen, Einheit und Rundung dazu stimmen.

Eine mögliche Lösung: Breite \(3{,}0\,\text{m}\), Dachhöhe \(1{,}2\,\text{m}\), Länge \(4{,}5\,\text{m}\). Dann ist \(G=1{,}8\,\text{m}^2\) und \(V=8{,}1\,\text{m}^3\). Andere plausibel begründete Annahmen mit korrekt berechnetem Prismenvolumen sind ebenfalls gültig.

- Deine Bodenbreite muss kleiner als die obere Öffnung sein; wähle zusätzlich eine Tiefe, die die vorgegebene Grenze einhält. - Welche Formel gibt den Flächeninhalt eines Trapezes aus den beiden parallelen Seiten und ihrer Höhe an? - Bringe die Rinnenlänge in Zentimeter, bevor du mit einer Querschnittsfläche in Quadratcentimetern weiterrechnest. - Welche Größe in der Trapezformel ändert sich in c), und wie wirkt sich eine prozentuale Änderung dieser Größe auf die Fläche aus?

1. Eine mögliche Annahme ist eine Bodenbreite von \(b=10\,\text{cm}\) und eine Tiefe von \(t=6\,\text{cm}\). Beide Werte erfüllen die vorgegebenen Bedingungen und beschreiben einen nach oben breiter werdenden Querschnitt. 2. Die Trapezfläche ist \(G=\frac{16\,\text{cm}+10\,\text{cm}}{2}\cdot6\,\text{cm}=78\,\text{cm}^2\). 3. Die Länge beträgt \(2{,}0\,\text{m}=200\,\text{cm}\). Daher ist \(V=78\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}=15\,600\,\text{cm}^3=15{,}6\,\text{l}\). 4. Bei unveränderten parallelen Seiten ist die Trapezfläche direkt proportional zur Tiefe \(t\). Wird nur \(t\) um \(20\,\%\) größer, werden Grundfläche und Volumen ebenfalls um \(20\,\%\) größer.

Eine mögliche Lösung: a) \(b=10\,\text{cm}\), \(t=6\,\text{cm}\), plausibel für einen nach oben breiter werdenden Querschnitt. b) \(V=15{,}6\,\text{l}\) c) Das Volumen wird um \(20\,\%\) größer. Andere plausible Annahmen mit dazu passender Rechnung sind gültig.

- Welche einfachen Flächen erkennst du im verbleibenden Kreisquerschnitt? - Welche bekannte Dreiecksbeziehung hilft dir, die Strecke \(AB\) zu bestimmen? - Welche Größen musst du bei der Tragfrage miteinander vergleichen?

1. Der Radius beträgt \(r=30\,\text{cm}\), die Länge \(l=200\,\text{cm}\). 2. a) Der verbleibende Querschnitt besteht aus einem \(270^\circ\)-Sektor und dem Dreieck aus den beiden Radien zum Schnitt. Daher ist \(G=\frac{270}{360}\pi(30\,\text{cm})^2+\frac{1}{2}\cdot30\,\text{cm}\cdot30\,\text{cm}=675\pi\,\text{cm}^2+450\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen ist \(V=(675\pi+450)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}\approx514\,115\,\text{cm}^3\). 4. b) Das Dreieck \(AMB\) ist rechtwinklig mit \(MA=MB=30\,\text{cm}\). Daher ist \(AB=\sqrt{30^2+30^2}\,\text{cm}=30\sqrt{2}\,\text{cm}\approx42{,}43\,\text{cm}\). 5. Die Sitzfläche ist ein Rechteck: \(A_{\text{Sitz}}\approx42{,}43\,\text{cm}\cdot200\,\text{cm}\approx8485{,}28\,\text{cm}^2\). Ohne Zwischenrundung gilt exakt \(A_{\text{Sitz}}=6000\sqrt{2}\,\text{cm}^2\approx8485{,}28\,\text{cm}^2\). 6. c) Die Masse beträgt ohne Zwischenrundung \(m=V\rho\approx308{,}47\,\text{kg}\). Drei Personen können zusammen höchstens \(150\,\text{kg}\) tragen. Daher können sie die Bank nicht tragen.

a) \(V\approx514\,115\,\text{cm}^3\) b) \(AB\approx42{,}43\,\text{cm}\), \(A_{\text{Sitz}}\approx8485{,}28\,\text{cm}^2\) c) Nein. Die Bank hat eine Masse von etwa \(308{,}47\,\text{kg}\), die gemeinsame Tragfähigkeit beträgt nur \(150\,\text{kg}\).