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- Beide Größen, die du für die Volumenberechnung brauchst, sind bereits angegeben. - Wie hängen Grundflächeninhalt und Abstand der beiden Grundflächen mit dem Volumen eines geraden Prismas zusammen?

1. Für ein gerades Prisma gilt \(V=Gh\). 2. Daher ist \(V=12\,\text{cm}^2\cdot5\,\text{cm}=60\,\text{cm}^3\).

\(60\,\text{cm}^3\)

- Unterscheide die beiden ebenen Flächen von der seitlichen Fläche des Körpers. - Das Wort „geschlossen“ bedeutet, dass sowohl die obere als auch die untere Kreisfläche zur Oberfläche gehört.

1. Oben und unten besitzt der geschlossene Zylinder je eine ebene Kreisfläche. 2. Dazu kommt eine zusammenhängende seitliche Mantelfläche. 3. Die Oberfläche besteht also aus zwei Kreisflächen und einer Mantelfläche.

Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche.

- Aus welchen Teilflächen setzt sich das Netz zusammen? Welche davon bilden die Grund- und Deckfläche? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas allgemein? - Schau dir die Maße am Dreieck an: Handelt es sich um ein spezielles Dreieck (z.B. rechtwinklig)? - Welche Länge im Netz entspricht der Höhe des aufgestellten Körpers?

1. Identifikation der Grundfläche \(G\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm (da \(3^2 + 4^2 = 5^2\) gilt). 2. Berechnung der Grundfläche: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe des Dreiecks} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\) cm². 3. Ablesen der Körperhöhe \(h\) des Prismas aus der Seitenlänge der Rechtecke im Netz: \(h = 3\) cm. 4. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h = 6 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = 18\) cm³.

a) 18 cm³

- Welche Kanten der dreieckigen Grundfläche werden beim Abrollen zu den Breiten der drei Mantelrechtecke? - Welche gemeinsame Seitenlänge besitzen alle drei Mantelrechtecke? - Welche zwei kongruenten Flächen schließen ein Prisma an seinen Enden ab?

1. Die drei Mantelrechtecke haben als Breiten die drei Seitenlängen der dreieckigen Grundfläche und als gemeinsame Höhe die Körperhöhe des Prismas. 2. Ihre Gesamtlänge entspricht dem Umfang der Grundfläche: \(5\,\text{cm}+12\,\text{cm}+13\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 3. Die Höhe des großen Mantelrechtecks entspricht der Körperhöhe des Prismas und beträgt \(10\,\text{cm}\). 4. Zum vollständigen Netz gehören außerdem Grund- und Deckfläche, also zwei kongruente Dreiecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(12\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

a) Das große Rechteck hat eine Gesamtlänge von \(30\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(10\,\text{cm}\). b) Hinzu kommen \(2\) kongruente Dreiecke als Grund- und Deckfläche.

- Welche geometrische Form entsteht, wenn man die Blende flach auf den Boden legt? - Welche Eigenschaft des Kreises entspricht der Länge der Blende? - Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du den Flächeninhalt berechnest.

1. Berechnung des Umfangs des Beckens mit der Formel \(U = \pi d\): \(U = \pi \cdot 4{,}50\,\text{m} \approx 14{,}14\,\text{m}\). Die Länge der Blende entspricht diesem Umfang. 2. Umrechnung der Höhe der Blende in Meter: \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der (ausgerollten) rechteckigen Blende mit \(A = U \cdot h\): \(A \approx 14{,}137\,\text{m} \cdot 0{,}12\,\text{m} \approx 1{,}70\,\text{m}^2\).

a) Die Blende ist ca. \(14{,}14\,\text{m}\) lang. b) Der Flächeninhalt der Blende beträgt ca. \(1{,}70\,\text{m}^2\).

- Welche Größe entsteht, wenn eine Grundfläche mit dem Abstand der beiden Grundflächen multipliziert wird? - Welche Flächen gehören zur gesamten Oberfläche eines geraden Prismas? - Welche geometrische Bedeutung hat das Produkt aus Grundflächenumfang und Abstand der Grundflächen?

1. Term I multipliziert einen Flächeninhalt mit einer Länge. Das Ergebnis hat die Einheit \(\text{cm}^3\) und beschreibt deshalb das Volumen \(V=Gh\). 2. Term II addiert zwei Grundflächen und die Mantelfläche \(uh\). Alle Summanden haben die Einheit \(\text{cm}^2\), also beschreibt der Term den Oberflächeninhalt \(O=2G+uh\). 3. Das Volumen ist \(V=30\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=360\,\text{cm}^3\). 4. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\cdot30\,\text{cm}^2+26\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=372\,\text{cm}^2\).

a) I gehört zum Volumen \(V\), II zum Oberflächeninhalt \(O\). b) \(V=360\,\text{cm}^3\), \(O=372\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel verbindet das Volumen, den Radius und die Höhe eines Zylinders? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest.

1. Gegeben sind das Volumen \(V = 850\,\text{cm}^3\) und der Radius \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet \(V = \pi r^2h\). 3. Umstellen der Formel nach der Höhe: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{850}{\pi \cdot 4{,}5^2} \approx \frac{850}{63{,}617} \approx 13{,}3617\,\text{cm}\). 5. Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich \(h \approx 13{,}4\,\text{cm}\).

Die Innenhöhe der Dose beträgt etwa \(13{,}4\,\text{cm}\).

- Welche Kreisfläche bildet die Grundfläche der Dose? - Wie entsteht aus Grundfläche und Höhe das Volumen? - Welche drei Flächenteile gehören zur Oberfläche einer geschlossenen Dose?

1. Das Volumen ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot5^2\cdot12\,\text{cm}^3=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}5\,\text{cm}^3\). 2. Der Oberflächeninhalt ist \(O=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot5\cdot17\,\text{cm}^2=170\pi\,\text{cm}^2\approx534{,}1\,\text{cm}^2\).

a) \(V\approx942{,}5\,\text{cm}^3\) b) \(O\approx534{,}1\,\text{cm}^2\)

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? - Wie hängen der angegebene Durchmesser und der benötigte Radius zusammen? - Verwende für \(\pi\) genau den in der Aufgabe vorgegebenen Näherungswert.

1. Aus \(d=10\,\text{cm}\) folgt \(r=\frac{d}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Mit \(V=\pi r^2h\) ergibt sich \(V\approx3{,}14\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot12\,\text{cm}=942\,\text{cm}^3\).

\(942\,\text{cm}^3\)

- In welche zwei Rechtecke kannst du die L-förmige Stirnfläche zerlegen? - Addiere die beiden Teilflächen zum Querschnittsinhalt \(G\). - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Werkstücklänge das Volumen?

1. Zerlege die L-förmige Stirnfläche in ein Rechteck mit \(2\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) und ein Rechteck mit \(3\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die beiden Teilflächen sind \(12\,\text{cm}^2\) und \(6\,\text{cm}^2\), also \(G=18\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(180\,\text{cm}^3\).

- Verwende die beiden als Katheten gekennzeichneten Seiten für die Grundfläche. - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang des Dreiecks und die Körperlänge. - Ergänze zur Mantelfläche die beiden kongruenten Grundflächen.

1. a) Die Grundfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=G\cdot15\,\text{cm}=450\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=5\,\text{cm}+12\,\text{cm}+13\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). Daher ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=450\,\text{cm}^2\). 4. c) Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot30\,\text{cm}^2+450\,\text{cm}^2=510\,\text{cm}^2\).

a) \(G=30\,\text{cm}^2\), \(V=450\,\text{cm}^3\) b) \(M=450\,\text{cm}^2\) c) \(O=510\,\text{cm}^2\)

- Welche beiden Maße der Abbildung gehören zur dreieckigen Stirnfläche? - Wie berechnest du aus Grundseite und zugehöriger Dreieckshöhe den Flächeninhalt \(G\)? - Lies die Länge des Keils aus der Abbildung ab. - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Keillänge das Volumen?

1. Die dreieckige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}gh_g=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). 2. Aus der Abbildung liest man die Keillänge \(12\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V=20\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Holzkeils beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Welche Volumenformel gilt unabhängig davon, ob die Tonne oben offen ist? - Die Mantelfläche entsteht aus Kreisumfang und Höhe. - Welche Kreisfläche gehört bei einer oben offenen Tonne zum Material und welche nicht?

1. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=72\pi\,\text{dm}^3\approx226{,}2\,\text{dm}^3\). Wegen \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) sind das etwa \(226{,}2\,\text{l}\). 2. Die Mantelfläche ist \(M=2\pi rh=48\pi\,\text{dm}^2\approx150{,}8\,\text{dm}^2\). 3. Weil die Tonne oben offen ist, werden nur Boden und Mantel benötigt: \(A=\pi r^2+M=57\pi\,\text{dm}^2\approx179{,}1\,\text{dm}^2\).

a) \(226{,}2\,\text{l}\) b) \(150{,}8\,\text{dm}^2\) c) \(179{,}1\,\text{dm}^2\)

- Stell dir vor, du teilst ein rechteckiges Blatt Papier diagonal in zwei Hälften. Welche Form entsteht? - Wie verhält sich das Volumen des halbierten Körpers zum Ganzen? - Du kannst auch zuerst die Fläche der dreieckigen Grundseite berechnen.

1. Das Volumen des ursprünglichen Quaders berechnet sich durch \(V_{\text{Quader}} = lbh = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Da der Schnitt entlang der Diagonale erfolgt, wird der Quader in zwei volumengleiche Prismen geteilt. 3. Das Volumen eines Prismas beträgt somit die Hälfte des Quadervolumens: \(V_{\text{Prisma}} = \frac{1}{2}480\,\text{cm}^3 = 240\,\text{cm}^3\). Alternativ über die Prismenformel: Grundfläche \(G = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). Volumen \(V = Gh = 48\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^3\).

Das Volumen eines der entstandenen Prismen beträgt \(240\,\text{cm}^3\).

- Das Volumen eines Prismas berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe (bzw. Länge). - Überlege dir, wie du die U-Form am einfachsten in Rechtecke zerlegen oder ergänzen kannst. - Achte darauf, die Innenmaße korrekt aus der Wandstärke zu berechnen.

1. Berechnung des Flächeninhalts der U-förmigen Querschnittsfläche (\(G\)): Man kann die Fläche als großes Rechteck minus Ausschnitt betrachten: \(5 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 20 - 9 = 11\,\text{cm}^2\). Alternativ als Zerlegung: Boden (\(5 \cdot 1\)) plus zwei Seitenteile (\(2 \cdot (3 \cdot 1)\)): \(5 + 6 = 11\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens (\(V\)) mit der Länge \(l = 12\,\text{cm}\): \(V = Gl = 11 \cdot 12 = 132\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(132\,\text{cm}^3\).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Multipliziere die Grundfläche mit der Länge des Körpers, um das Volumen zu erhalten. - Achte darauf, dass die parallelen Seiten des Trapezes die Werte \(a\) und \(c\) in der Formel sind.

1. Berechnung des Flächeninhalts der trapezförmigen Grundfläche (\(G\)): \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens (\(V\)) mit der Länge des Prismas (\(l = 15\,\text{cm}\)): \(V = G \cdot l = 32 \cdot 15 = 480\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Betonklotzes beträgt \(480\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der dreieckigen Vorderseite. - Welche beiden angegebenen Maße sind die Katheten des Dreiecks? - Lies anschließend die Länge des Prismas aus der Abbildung ab und multipliziere sie mit dem Stirnflächeninhalt.

1. Die Stirnfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(15\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\). 2. Ihr Flächeninhalt ist \(G=\frac{1}{2}\cdot15\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 3. Aus der Abbildung liest man die Prismenlänge \(25\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(V=60\,\text{cm}^2\cdot25\,\text{cm}=1500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1500\,\text{cm}^3\).

- Suche zuerst die Grundfläche des Prismas in der Zeichnung. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn Grundseite und Höhe gegeben sind? - Multipliziere diesen Flächeninhalt mit der Ausdehnung des Körpers in die Tiefe.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Dreiecks: \(G = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \frac{1}{2} \cdot 14\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 42\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Prismenlänge \(l = 30\,\text{cm}\): \(V = G \cdot l = 42\,\text{cm}^2 \cdot 30\,\text{cm} = 1260\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(1260\,\text{cm}^3\).

- Achte darauf, dass der Durchmesser gegeben ist, die Volumenformel aber den Radius verwendet. - Wie erhältst du daraus den Radius der Kreisgrundfläche? - Welche Beziehung verbindet Grundfläche und Zylinderhöhe mit dem Volumen?

1. Aus \(d=12\,\text{cm}\) folgt \(r=6\,\text{cm}\). 2. Die Grundfläche ist \(G=\pi r^2=36\pi\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=Gh=36\pi\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=720\pi\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(720\pi\,\text{cm}^3\).

- Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einem Rechteck (dem Mantel) zusammen. - Wie lang ist die eine Seite des Mantels im Vergleich zum Kreisumfang?

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 = 100\pi\,\text{cm}^2\). 2. Mantelfläche \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 100\pi\,\text{cm}^2\). 3. Oberfläche \(O = 2G + M = 2 \cdot 100\pi\,\text{cm}^2 + 100\pi\,\text{cm}^2 = 300\pi\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche beträgt \(300\pi\,\text{cm}^2\).

- Das Volumen ergibt sich aus Grundfläche und Höhe des Zylinders. - Nutze für \(\pi\) den Wert deines Taschenrechners und runde erst am Ende.

1. Grundfläche \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2 \approx 12{,}566\,\text{cm}^2\). 2. Volumen \(V = Gh = 4\pi\,\text{cm}^2 \cdot 50\,\text{cm} = 200\pi\,\text{cm}^3 \approx 628{,}3185\,\text{cm}^3\). 3. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(V \approx 628{,}32\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt etwa \(628{,}32\,\text{cm}^3\).

- Welche der drei Seitenlängen sind die senkrecht zueinander stehenden Katheten? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Prismenlänge das Volumen?

1. Bei der rechtwinkligen Stirnfläche sind die Katheten Grundseite und zugehörige Höhe: \(G=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=60\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Prismas beträgt \(600\,\text{cm}^3\).

- Welche drei Flächen gehören bei einem geschlossenen Zylinder zur Oberfläche? - Wie hängt die Mantelfläche mit dem Umfang der Kreisgrundfläche zusammen? - Runde erst das vollständige Oberflächenergebnis.

1. Die Grundfläche ist \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (4{,}5\,\text{cm})^2 = 20{,}25\pi\,\text{cm}^2\). 2. Die Mantelfläche ist \(M = 2\pi rh = 2\pi \cdot 4{,}5\,\text{cm} \cdot 12{,}2\,\text{cm} = 109{,}8\pi\,\text{cm}^2\). 3. Für den geschlossenen Zylinder gilt \(O = 2G + M = 150{,}3\pi\,\text{cm}^2 \approx 472{,}18\,\text{cm}^2\). 4. Auf die nächste ganze Zahl gerundet ist \(O \approx 472\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt etwa \(472\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, welche Form die Grundfläche hat. - Berechne den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie wird aus der Grundfläche und der Länge das Volumen?

1. Berechnung der dreieckigen Querschnittsfläche \(G\): \(G = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens durch Multiplikation mit der Länge: \(V = 10\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^3\)

Der Briefbeschwerer hat ein Volumen von \(150\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, welche Fläche die dreieckige Vorderseite des Zelts bildet. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Multipliziere diesen Flächeninhalt mit der im Text angegebenen Zeltlänge.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) der dreieckigen Vorderseite: \(G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}80\,\text{m} \cdot 1{,}20\,\text{m} = 1{,}08\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Prismas: \(V = G \cdot \text{Länge} = 1{,}08\,\text{m}^2 \cdot 2{,}50\,\text{m} = 2{,}7\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Luftraums beträgt \(2{,}7\,\text{m}^3\).

- Bei einem rechtwinkligen Dreieck können die beiden Katheten als Grundseite und Höhe für die Flächenberechnung genutzt werden. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Prismen.

1. Die rechtwinklige dreieckige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Prisma ist \(12\,\text{cm}\) lang. Daher ist \(V=6\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=72\,\text{cm}^3\).

Das Glasprisma hat ein Volumen von \(72\,\text{cm}^3\).

- Welche beiden Maße brauchst du für den Flächeninhalt des Parallelogramms? - Welche der drei Dimensionen beschreibt die Länge des Steinblocks? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Blocklänge das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der parallelogrammförmigen Stirnfläche ist \(G=30\,\text{cm}\cdot18\,\text{cm}=540\,\text{cm}^2\). 2. Mit der Blocklänge \(50\,\text{cm}\) folgt \(V=540\,\text{cm}^2\cdot50\,\text{cm}=27\,000\,\text{cm}^3\).

Der Steinblock hat ein Volumen von \(27\,000\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche dient hier als Grundfläche des Prismas? Beachte, dass die Grundfläche nicht immer „unten“ liegen muss. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Multipliziere die Grundfläche mit der Ausdehnung in der dritten Dimension.

1. Grundfläche (Seitenwand) als Trapez berechnen: \(G = \frac{2{,}80\,\text{m} + 2{,}20\,\text{m}}{2} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 2{,}50\,\text{m} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 7{,}50\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Prismas durch Multiplikation von Grundfläche und Breite berechnen: \(V = G \cdot l = 7{,}50\,\text{m}^2 \cdot 4{,}50\,\text{m} = 33{,}75\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen beträgt \(33{,}75\,\text{m}^3\).

- Zerlege die Querschnittsfläche in zwei bekannte Formen: ein Rechteck und ein Dreieck. - Wie berechnest du die Fläche eines Dreiecks? - Das Volumen eines Prismas ist immer Grundfläche mal Höhe (oder Länge).

1. Grundfläche des Querschnitts als Summe von Rechteck und Dreieck berechnen: - Rechteckfläche: \(A_{\text{Re}} = 4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). - Dreiecksfläche: \(A_{\text{Dr}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 2\,\text{m}^2\). - Gesamtgrundfläche: \(G = 8\,\text{m}^2 + 2\,\text{m}^2 = 10\,\text{m}^2\). 2. Volumen des Prismas berechnen: \(V = G \cdot l = 10\,\text{m}^2 \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Gewächshauses beträgt \(100\,\text{m}^3\).

- Welcher Flächeninhalt bildet die Grundfläche des Zylinders? - Wie hängen Grundfläche und Höhe mit dem Zylindervolumen zusammen? - Runde erst das vollständige Volumen.

1. Die Grundfläche ist \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 = 36\pi\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V = Gh = 36\pi\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 540\pi\,\text{cm}^3 \approx 1696{,}46\,\text{cm}^3\). 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(V \approx 1696{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Volumen der Vorratsdose beträgt etwa \(1696{,}5\,\text{cm}^3\).

- Der Körper besteht aus zwei Teilen. Berechne die Rauminhalte einzeln. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders?

1. Berechnung des Volumens des unteren Zylinders: \(V_1 = \pi \cdot 6^2 \cdot 3 = 108\pi \approx 339{,}29\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des oberen Zylinders: \(V_2 = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi \approx 226{,}19\,\text{cm}^3\). 3. Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = V_1 + V_2 = 108\pi + 72\pi = 180\pi \approx 565{,}487\,\text{cm}^3\). 4. Rundung: \(565{,}5\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen des Sockels beträgt etwa \(565{,}5\,\text{cm}^3\).

- Welche Fläche ist bei diesem liegenden Prisma die Stirnfläche? - Welche beiden Maße brauchst du für den Flächeninhalt des Dreiecks? - Mit welcher Ausdehnung des Zelts musst du diesen Flächeninhalt multiplizieren?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot4{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=5{,}0\,\text{m}^2\). 2. Mit der Zeltlänge \(6{,}0\,\text{m}\) gilt \(V=5{,}0\,\text{m}^2\cdot6{,}0\,\text{m}=30{,}0\,\text{m}^3\).

Das Volumen des Luftraums beträgt \(30{,}0\,\text{m}^3\).

- Welche Kreisgröße ist gegeben und welche wird in der Volumenformel benötigt? - Welche Fläche bildet die Grundfläche des Wasserturms? - Runde erst das berechnete Volumen auf eine Dezimalstelle.

1. Aus dem Durchmesser folgt \(r=\frac{4\,\text{m}}{2}=2\,\text{m}\). 2. Damit ist \(V=\pi r^2h=\pi\cdot(2\,\text{m})^2\cdot10\,\text{m}=40\pi\,\text{m}^3\). 3. Numerisch ergibt sich \(V\approx125{,}6637\,\text{m}^3\), also gerundet \(V\approx125{,}7\,\text{m}^3\).

Es passen maximal \(125{,}7\,\text{m}^3\) Wasser in den Turm.

- Stell dir vor, welche Kante des Rechtecks beim Aufrollen einmal um den Grundkreis herumläuft. - Welche beiden Seitenlängen hat dadurch das Mantelrechteck? - Welche Flächen fehlen außer dem Mantel noch zur Oberfläche eines geschlossenen Zylinders?

1. Beim Zusammenrollen des Mantelrechtecks schließt seine lange Seite genau einmal um die Grundfläche. Sie ist daher so lang wie der Umfang des Grundkreises, also \(2\pi r\). 2. Das Mantelrechteck hat damit die Seitenlängen \(2\pi r\) und \(h\). Deshalb gilt \(M=2\pi rh\). 3. Zur Mantelfläche kommen zwei Kreisflächen mit jeweils \(\pi r^2\) hinzu. 4. Somit ist \(O=M+2G=2\pi rh+2\pi r^2\).

a) Die lange Rechteckseite entspricht dem Grundkreisumfang \(2\pi r\). b) \(M=2\pi rh\) und \(O=2\pi rh+2\pi r^2\).

- Wie verändert sich der Radius eines Kreises, wenn sich sein Umfang halbiert? - Wie wirkt sich diese Änderung des Radius auf die Fläche der kreisförmigen Grundfläche aus? - Wenn das Volumen eines Zylinders gleich bleiben soll, die Grundfläche aber kleiner wird – was muss dann mit der Höhe passieren?

1. Analyse des Zusammenhangs zwischen Umfang und Radius: Da \(U = 2\pi r\), bedeutet eine Halbierung des Umfangs (von 8 auf 4) eine Halbierung des Radius (\(r_B = \frac{1}{2} r_A\)). 2. Analyse der Grundfläche \(G = \pi r^2\): Wird der Radius halbiert, viertelt sich die Grundfläche (\(G_B = (\frac{1}{2})^2 \cdot G_A = \frac{1}{4} G_A\)). 3. Da das Volumen \(V = G \cdot h\) gleich bleiben soll (\(V_B = V_A\)), muss die geringere Grundfläche durch eine proportional größere Höhe ausgeglichen werden. 4. Berechnung der neuen Höhe: \(V = \frac{1}{4} G_A \cdot h_B = G_A \cdot 10 \Rightarrow h_B = 10 \cdot 4 = 40\) cm.

d) 40 cm

- Wie hängen Flächeninhalt, Höhe und Länge bei einem Rechteck zusammen? - Was sagt die Länge des Etiketts über die Dose aus? - Wie kommt man vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser?

1. Das Etikett bildet im ausgebreiteten Zustand ein Rechteck. Aus dem Flächeninhalt \(A = 180\,\text{cm}^2\) und der Höhe \(h = 6\,\text{cm}\) ergibt sich die Länge \(L\) (der Umfang \(U\)) durch \(U = A : h\): \(U = 180\,\text{cm}^2 : 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Durchmessers \(d\) aus dem Umfang mit der Formel \(U = \pi d\): \(d = U : \pi = 30\,\text{cm} : \pi \approx 9{,}55\,\text{cm}\).

a) Der Umfang der Dose beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Der Durchmesser der Dose beträgt ca. \(9{,}55\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst, wie viel Gitter man braucht, um den Stamm genau einmal zu umschließen. - Was bedeutet „Überlappung“ für die Gesamtlänge des Materials? - Achte beim Flächeninhalt auf die Einheiten (Zentimeter und Meter). - Vergiss am Ende nicht, das Ergebnis für die Anzahl der Bäume hochzurechnen.

1. Berechnung des Stammumfangs \(U\): \(U = \pi \cdot 16\,\text{cm} \approx 50{,}27\,\text{cm}\). 2. Addition der Überlappung zur Ermittlung der Gesamtlänge \(L\) pro Baum: \(L = 50{,}27\,\text{cm} + 15\,\text{cm} = 65{,}27\,\text{cm}\). In Metern: \(L \approx 0{,}6527\,\text{m}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A_1\) für einen Baum: \(A_1 = L \cdot h = 0{,}6527\,\text{m} \cdot 1{,}50\,\text{m} \approx 0{,}979\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Gesamtbedarfs für 8 Bäume: \(A_{\text{gesamt}} = 8A_1 \approx 8 \cdot 0{,}97905\,\text{m}^2 \approx 7{,}83\,\text{m}^2\).

a) Das Gitterstück muss ca. \(65{,}27\,\text{cm}\) lang sein. b) Für 8 Bäume werden insgesamt ca. \(7{,}83\,\text{m}^2\) Drahtgitter benötigt.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Was sagt dir das Material über das Verhältnis von Masse und Volumen aus? - Kannst du zuerst herausfinden, welche Masse ein einzelner Kubikzentimeter des Holzes hat? - Überlege, wie groß der Faktor zwischen den Volumina des zweiten und des ersten Quaders ist.

1. Berechnung des Volumens des ersten Quaders: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Dichte des Eichenholzes: \(\rho = \frac{140\,\text{g}}{200\,\text{cm}^3} = 0{,}7\,\text{g/cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des zweiten Quaders: \(V_2 = 15\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Masse des zweiten Quaders: \(m_2 = 600\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}7\,\text{g/cm}^3 = 420\,\text{g}\). Alternativ über das Volumenverhältnis: Da \(V_2\) dreimal so groß ist wie \(V_1\) (\(600 : 200 = 3\)), muss auch die Masse dreimal so groß sein: \(140\,\text{g} \cdot 3 = 420\,\text{g}\).

Der zweite Quader hat eine Masse von \(420\,\text{g}\).

- Erinnere dich an die Volumenformel für Zylinder. Welcher Teil der Formel ändert sich wie? - Wenn sich der Durchmesser halbiert, was passiert dann mit dem Radius? - Wie wirkt sich die Änderung des Radius auf das Volumen aus, im Vergleich zur Änderung der Höhe? - Du musst die Dichte nicht unbedingt explizit ausrechnen, wenn du das Verhältnis der Volumina kennst.

1. Bestimmung der Maße: Kerze 1 hat \(r_1 = 3\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\). Kerze 2 hat \(r_2 = 1{,}5\,\text{cm}\), \(h_2 = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens von Kerze 1: \(V_1 = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 90\pi\,\text{cm}^3 \approx 282{,}74\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens von Kerze 2: \(V_2 = \pi \cdot (1{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = \pi \cdot 2{,}25\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} = 45\pi\,\text{cm}^3 \approx 141{,}37\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich der Volumina: \(V_2\) ist genau halb so groß wie \(V_1\) (\(45\pi : 90\pi = 0{,}5\)). 5. Berechnung der Masse: Da das Material identisch ist, ist die Masse proportional zum Volumen: \(m_2 = 0{,}5 \cdot 250\,\text{g} = 125\,\text{g}\).

Die zweite Kerze hat eine Masse von \(125\,\text{g}\).

- Gleiche zuerst die Volumen- und Längeneinheiten so an, dass sie zusammenpassen. - Stelle \(V=\pi r^2h\) zunächst nach dem Quadrat des Radius um. - Vergleiche den erhaltenen Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl und denke anschließend an den Durchmesser.

1. Es gilt \(552{,}64\,\text{l}=552{,}64\,\text{dm}^3\) und \(1{,}10\,\text{m}=11\,\text{dm}\). 2. Mit \(V=\pi r^2h\) folgt \(r^2=V:(\pi h)=552{,}64\,\text{dm}^3:(3{,}14\cdot11\,\text{dm})=16\,\text{dm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{dm})^2=16\,\text{dm}^2\), gilt \(r=4\,\text{dm}\). 4. Der Durchmesser ist \(d=2r=8\,\text{dm}=80\,\text{cm}\).

Der Innendurchmesser beträgt \(80\,\text{cm}\).

- Setze für den Radius den Ausdruck \(3r\) in die Formel ein und achte auf die Klammern beim Quadrieren. - Vergleiche das neue Volumen mit dem ursprünglichen Volumen. Um welchen Faktor ist es gewachsen? - Wie müsste sich das Volumen verändern, damit die Zuordnung proportional wäre?

1. Ausgangsformel für das Volumen: \(V(r) = \pi r^2 h\). 2. Einsetzen des verdreifachten Radius \(3r\): \(V(3r) = \pi(3r)^2 h\). 3. Vereinfachung des Terms: \(V(3r) = \pi \cdot 9r^2 \cdot h = 9 \cdot (\pi r^2 h)\). 4. Schlussfolgerung: Eine Verdreifachung des Radius führt zu einer Verneunfachung des Volumens (\(V(3r) = 9V(r)\)). 5. Begründung der Nicht-Proportionalität: Bei einer proportionalen Funktion müsste eine Verdreifachung des Radius auch zu einer exakten Verdreifachung des Volumens führen. Da dies hier nicht der Fall ist, ist die Zuordnung nicht proportional.

Das Volumen verneunfacht sich, wenn der Radius verdreifacht wird (\(V(3r) = 9V(r)\)). Da das Volumen nicht im gleichen Verhältnis wie der Radius wächst, ist die Funktion nicht proportional.

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der trapezförmigen Stirnfläche. - Für die Mantelfläche benötigst du den vollständigen Umfang des Trapezes. - Wie hängen Stirnflächenumfang, Bauteillänge und Mantelfläche zusammen?

1. Die Stirnfläche ist \(G=\frac{14\,\text{cm}+8\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=44\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=14\,\text{cm}+8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=32\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=32\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=640\,\text{cm}^2\). 4. Damit ergibt sich \(O=2G+M=2\cdot44\,\text{cm}^2+640\,\text{cm}^2=728\,\text{cm}^2\).

\(O=728\,\text{cm}^2\)

- Wie berechnet man das Volumen und die Oberfläche eines Quaders? - Was bedeutet „Materialverbrauch“ im geometrischen Sinne für einen Körper? - Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabenteil b.

1. Volumenprüfung: \(V_A = 10^3 = 1000\,\text{cm}^3\); \(V_B = 25 \cdot 8 \cdot 5 = 1000\,\text{cm}^3\). Beide Volumina entsprechen dem geforderten Volumen. 2. Oberflächeninhalt Design A (Würfel): \(O_A = 6a^2 = 6 \cdot 10^2 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Oberflächeninhalt Design B (Quader): \(O_B = 2 \cdot (25 \cdot 8 + 25 \cdot 5 + 8 \cdot 5) = 2 \cdot (200 + 125 + 40) = 2 \cdot 365 = 730\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(O_A < O_B\). Da Design A bei gleichem Volumen eine geringere Oberfläche hat, wird weniger Material für die Herstellung benötigt.

a) \(V_A = 1000\,\text{cm}^3\), \(V_B = 1000\,\text{cm}^3\). b) \(O_A = 600\,\text{cm}^2\), \(O_B = 730\,\text{cm}^2\). c) Design A ist sinnvoller, da es bei gleichem Volumen \(130\,\text{cm}^2\) weniger Material benötigt.

- Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Kreises? - Wie hängen Grundflächeninhalt, Abstand zwischen Grund- und Deckfläche und Volumen bei Prismen und Zylindern zusammen? - Was passiert mit einem Produkt, wenn ein positiver Faktor gleich bleibt und der andere größer wird?

1. Für das Prisma gilt \(G_{\text{Prisma}}=a^2=(5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\). 2. Für den Zylinder gilt \(G_{\text{Zylinder}}=\pi r^2=\pi\cdot(3\,\text{cm})^2\approx28{,}27\,\text{cm}^2\). 3. Das Prismenvolumen ist \(V_{\text{Prisma}}=25\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=250\,\text{cm}^3\). 4. Das Zylindervolumen ist \(V_{\text{Zylinder}}\approx28{,}27\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=282{,}7\,\text{cm}^3\). 5. Bei gleichem positivem Abstand \(h\) zwischen Grund- und Deckfläche ist \(V=Gh\) proportional zu \(G\). Ein größerer Grundflächeninhalt führt daher zu einem größeren Volumen.

a) \(G_{\text{Prisma}}=25\,\text{cm}^2\); \(G_{\text{Zylinder}}\approx28{,}27\,\text{cm}^2\). b) \(V_{\text{Prisma}}=250\,\text{cm}^3\); \(V_{\text{Zylinder}}\approx282{,}7\,\text{cm}^3\). c) Die Aussage stimmt: Bei gleichem Abstand \(h>0\) zwischen Grund- und Deckfläche ist \(V=Gh\) proportional zu \(G\).

- Wie erhältst du den Stirnflächeninhalt aus Volumen und Werkstücklänge? - Wenn eine Fläche aus drei gleich großen Teilen besteht, wie findest du den Inhalt eines Teils? - Wie bestimmst du eine fehlende Rechteckseite aus Flächeninhalt und bekannter Seite?

1. Aus \(V=G\cdot15\,\text{cm}\) folgt \(G=720\,\text{cm}^3:15\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 2. Die Stirnfläche besteht aus drei deckungsgleichen Rechtecken, also hat eines den Flächeninhalt \(48\,\text{cm}^2:3=16\,\text{cm}^2\). 3. Bei einer Breite von \(4\,\text{cm}\) ist die gesuchte Rechtecklänge \(16\,\text{cm}^2:4\,\text{cm}=4\,\text{cm}\).

a) \(G = 48\,\text{cm}^2\). b) \(A_{\text{R}} = 16\,\text{cm}^2\). c) Die Länge beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen in ein einheitliches System (z. B. cm und g) umzuwandeln. - Wie hängen Masse, Volumen und Dichte zusammen? - Welche geometrische Form hat ein langer, dünner Draht? - Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders, wenn der Querschnitt und die Länge bekannt sind?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 5{,}2\,\text{kg} = 5200\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens über die Dichte: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{5200\,\text{g}}{8{,}9\,\text{g/cm}^3} \approx 584{,}27\,\text{cm}^3\). 3. Bestimmung des Radius in Zentimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{0{,}8\,\text{mm}}{2} = 0{,}4\,\text{mm} = 0{,}04\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Querschnittsfläche des Drahtes: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}04\,\text{cm})^2 \approx 0{,}0050265\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Länge: \(l = \frac{V}{A} \approx \frac{584{,}27\,\text{cm}^3}{0{,}0050265\,\text{cm}^2} \approx 116\,237\,\text{cm}\). 6. Umrechnung in Meter: \(l \approx 1162{,}4\,\text{m}\).

Die Länge des Kupferdrahtes beträgt ungefähr \(1162{,}4\,\text{m}\).

- Bestimme zuerst aus Masse und Dichte das Volumen des Stahlbolzens. - Betrachte den Zylinder anschließend mit der allgemeinen Beziehung \(V=Gh\). - Teile durch die gegebene Bolzenlänge und prüfe, welche Einheit für den Querschnittsinhalt übrig bleibt.

1. Aus Masse und Dichte ergibt sich das Volumen: \(V=m:\rho=850\,\text{g}:7{,}85\,\text{g/cm}^3\approx108{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Mit der Bolzenlänge \(l=12\,\text{cm}\) gilt \(V=Gl\). Daher ist \(G=V:l\approx108{,}28\,\text{cm}^3:12\,\text{cm}\approx9{,}02\,\text{cm}^2\).

\(G\approx9{,}02\,\text{cm}^2\)

- Überlege zuerst, wie die Formel für das Volumen eines Zylinders nach der Höhe umgestellt werden kann. - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an die Grundfläche, die Deckfläche und den Mantel. - Was fällt dir an den Ergebnissen auf, wenn der Radius verdoppelt wird, das Volumen aber gleich bleibt?

1. Berechnung der Höhe für Kerze A: \(h_A = \frac{V}{\pi r_A^2} = \frac{500}{\pi \cdot 25} \approx 6{,}37\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe für Kerze B: \(h_B = \frac{V}{\pi r_B^2} = \frac{500}{\pi \cdot 100} \approx 1{,}59\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche für Kerze A: \(O_A = 2\pi r_A^2 + 2\pi r_Ah_A = 2 \cdot \pi \cdot 25 + 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 6{,}366 \approx 157{,}08 + 200 = 357{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Oberfläche für Kerze B: \(O_B = 2\pi r_B^2 + 2\pi r_Bh_B = 2 \cdot \pi \cdot 100 + 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 1{,}592 \approx 628{,}32 + 100 = 728{,}32\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Kerze B hat einen deutlich größeren Oberflächeninhalt und benötigt daher mehr Farbe.

a) Die Höhe von Kerze A beträgt ca. \(6{,}37\,\text{cm}\), die von Kerze B ca. \(1{,}59\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt von Kerze A beträgt ca. \(357{,}08\,\text{cm}^2\), der von Kerze B ca. \(728{,}32\,\text{cm}^2\). Kerze B benötigt somit mehr Farbe.

- Aus wie vielen verschiedenen Teilflächen besteht dieser Körper? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rings? - Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder herausgeschnitten wurde. Welche neuen Flächen entstehen dadurch?

1. Radien bestimmen: \(r_a = 10\,\text{cm}\), \(r_i = 8\,\text{cm}\). 2. Äußere Mantelfläche: \(M_a = 2 \cdot \pi \cdot 10 \cdot 50 = 1000\pi \approx 3141{,}59\,\text{cm}^2\). 3. Innere Mantelfläche: \(M_i = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 50 = 800\pi \approx 2513{,}27\,\text{cm}^2\). 4. Fläche einer Stirnseite (Kreisring): \(A_{\text{Ring}} = \pi r_a^2 - \pi r_i^2 = \pi(100 - 64) = 36\pi \approx 113{,}10\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(O = M_a + M_i + 2A_{\text{Ring}} = 1000\pi + 800\pi + 72\pi = 1872\pi \approx 5881{,}06\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Rohres beträgt ca. \(5881{,}06\,\text{cm}^2\).

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders auf. - Was passiert in der Formel, wenn du nur einen der Werte (entweder \(r\) oder \(h\)) veränderst? - Achte besonders darauf, welche Variable in der Formel quadriert wird. - Vergleiche das Ergebnis der beiden Varianten mit dem ursprünglichen Volumen \(V\).

1. Das Volumen eines Zylinders ist \(V = \pi r^2h\). 2. Analyse Variante A: Die neue Höhe ist \(h_A = 2h\). Das neue Volumen ist \(V_A = \pi r^2(2h) = 2(\pi r^2h) = 2V\). Das Volumen verdoppelt sich. 3. Analyse Variante B: Der neue Radius ist \(r_B = 2r\). Das neue Volumen ist \(V_B = \pi (2r)^2h = \pi \cdot 4 \cdot r^2 \cdot h = 4(\pi r^2h) = 4V\). Das Volumen vervierfacht sich. 4. Ergebnis: Nur Variante A erreicht das Ziel einer exakten Verdopplung des Volumens.

Variante A führt zu einer Verdopplung des Volumens (\(V_A = 2V\)), da die Höhe linear in die Formel eingeht. Variante B führt zu einer Vervierfachung des Volumens (\(V_B = 4V\)), da der Radius quadriert wird. Somit ist nur Vorschlag A korrekt, um das Volumen zu verdoppeln.

- Denk daran, alle Maße in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Welche Einheit eignet sich am besten, wenn das Ergebnis in Litern gefragt ist? - Überlege, wie viele Minuten eine Stunde hat, um das Endergebnis umzurechnen.

1. Berechnung des Radius in Dezimetern: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m} = 12\,\text{dm}\). 2. Angabe der Höhe in Dezimetern: \(h = 50\,\text{cm} = 5\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (12\,\text{dm})^2 \cdot 5\,\text{dm} = 720\pi\,\text{dm}^3 \approx 2261{,}95\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung in Liter (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) im Becken. 5. Berechnung der Zeit in Minuten: \(t = \frac{2261{,}95\,\text{l}}{15\,\text{l/min}} \approx 150{,}80\,\text{min}\). 6. Umrechnung in Stunden: \(150{,}80\,\text{min} : 60 \approx 2{,}51\,\text{h}\). Das Füllen dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

a) Es befinden sich ca. \(2262\,\text{Liter}\) Wasser im Becken. b) Die Füllung dauert etwa \(2{,}5\,\text{Stunden}\).

- Was genau ist die Mantelfläche eines Zylinders und wie berechnet man sie? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Rechne am Ende mit der Gesamtzahl der Säulen weiter. - Überlege beim Materialkauf, warum man hier aufrunden muss.

1. Bestimmung des Radius in Metern: \(r = \frac{0{,}60\,\text{m}}{2} = 0{,}30\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche einer Säule: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}30\,\text{m} \cdot 4{,}00\,\text{m} = 2{,}4\pi\,\text{m}^2 \approx 7{,}54\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Gesamtfläche für 4 Säulen: \(M_{\text{ges}} = 4 \cdot 7{,}5398\dots\,\text{m}^2 \approx 30{,}16\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der benötigten Dosen: \(30{,}16\,\text{m}^2 : 12\,\text{m}^2/\text{Dose} \approx 2{,}51\). 5. Da nur ganze Dosen gekauft werden können, müssen \(3\,\text{Dosen}\) erworben werden.

a) Die gesamte zu streichende Fläche beträgt ca. \(30{,}16\,\text{m}^2\). b) Der Maler muss mindestens \(3\,\text{Dosen}\) Farbe kaufen.

- Wandle das Fassungsvermögen zunächst in \(\text{cm}^3\) um. - Stelle die Zylindervolumenformel nach dem Quadrat des Radius um und vergleiche den Wert mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Für das rechteckige Etikett brauchst du die Höhe der Dose und die Länge ihres Kreisumfangs.

1. Es gilt \(502{,}4\,\text{ml}=502{,}4\,\text{cm}^3\). 2. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt \(r^2=V:(\pi h)=502{,}4\,\text{cm}^3:(3{,}14\cdot10\,\text{cm})=16\,\text{cm}^2\). 3. Da der Radius positiv ist und \((4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2\), gilt \(r=4\,\text{cm}\). Somit ist \(d=8{,}0\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche entspricht dem Etikett: \(M=\pi dh\approx3{,}14\cdot8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=251{,}2\,\text{cm}^2\).

a) \(d=8{,}0\,\text{cm}\) b) \(M=251{,}2\,\text{cm}^2\)

- Welche Teilflächen des Zylinders müssen hier berücksichtigt werden? - Achte darauf, den Durchmesser zuerst in den Radius umzuwandeln. - Wie berechnet man die Fläche eines Kreises und die Fläche des Mantels? - Überlege am Ende, wie viel Fläche ein einziger Liter abdeckt, um die Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}40\,\text{m}}{2} = 1{,}20\,\text{m}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 3{,}50\,\text{m} \approx 26{,}389\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Grundfläche (Deckel) \(G\): \(G = \pi r^2 = \pi \cdot (1{,}20\,\text{m})^2 \approx 4{,}524\,\text{m}^2\). 4. Gesamte zu streichende Fläche \(A\): \(A = M + G \approx 26{,}389\,\text{m}^2 + 4{,}524\,\text{m}^2 = 30{,}913\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Farbmenge: \(V_{\text{Farbe}} = \frac{30{,}913\,\text{m}^2}{8{,}5\,\text{m}^2/\text{l}} \approx 3{,}637\,\text{l}\). 6. Ergebnis auf eine Dezimalstelle gerundet: \(3{,}6\,\text{Liter}\).

Für den Anstrich werden rechnerisch etwa \(3{,}6\,\text{Liter}\) Farbe benötigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikmetern, Kubikdezimetern und Litern. - Bleibt die Grundfläche beim Umfüllen in das zweite Gefäß gleich? - Wie verändert sich die Höhe, wenn das Gefäß schmaler wird, aber die Wassermenge gleich bleibt?

1. Radius des Fasses: \(r_1 = 40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}\). 2. Maximales Volumen: \(V_{\text{max}} = \pi \cdot r_1^2 \cdot h = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \approx 0{,}60318\,\text{m}^3\). Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\), ergibt sich \(V_{\text{max}} \approx 603{,}2\,\text{l}\). 3. Wassermenge bei \(45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\) Höhe: \(V_{\text{Wasser}} = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 \cdot 0{,}45\,\text{m} \approx 0{,}22619\,\text{m}^3 \approx 226{,}2\,\text{l}\). 4. Umfüllen in Gefäß mit \(r_2 = 0{,}3\,\text{m}\): Die Wassermenge bleibt gleich (\(V \approx 0{,}22619\,\text{m}^3\)). 5. Neue Höhe berechnen: \(h_2 = \frac{V_{\text{Wasser}}}{\pi \cdot r_2^2} = \frac{0{,}22619\,\text{m}^3}{\pi \cdot (0{,}3\,\text{m})^2} = \frac{0{,}22619}{0{,}09 \cdot \pi} = 0{,}8\,\text{m}\).

a) Das Fass fasst maximal etwa \(603{,}2\,\text{Liter}\). b) Es befinden sich etwa \(226{,}2\,\text{Liter}\) im Fass. c) Das Wasser steht im schmaleren Gefäß \(80\,\text{cm}\) hoch.

- Nutze für Teil a) die allgemeine Beziehung \(V=Gh\) und gleiche zuerst die Einheiten an. - In Teil b) kannst du aus der Kreisfläche zunächst das Quadrat des Radius bestimmen und mit einer bekannten Quadratzahl vergleichen. - Verfolge in Teil c) getrennt den Faktor der Höhe und den quadrierten Faktor des Radius.

1. Es gilt \(1{,}413\,\text{l}=1413\,\text{cm}^3\). 2. a) Mit \(V=Gh\) folgt \(h=V:G=1413\,\text{cm}^3:113{,}04\,\text{cm}^2=12{,}5\,\text{cm}\). 3. b) Aus \(G=\pi r^2\) folgt \(r^2=113{,}04\,\text{cm}^2:3{,}14=36\,\text{cm}^2\). Da \((6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2\), ist \(r=6\,\text{cm}\). 4. c) Bei halbiertem Radius erhält der Faktor \(r^2\) den Faktor \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\). Die doppelte Höhe liefert zusätzlich den Faktor \(2\). 5. Insgesamt wird das Volumen mit \(\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}\) multipliziert. Es halbiert sich.

a) \(h=12{,}5\,\text{cm}\) b) \(r=6\,\text{cm}\) c) Das Volumen halbiert sich.

- Stelle sicher, dass alle Maßeinheiten (Liter, Meter, Millimeter) zueinander passen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie das Volumen eines Körpers mit seiner Grundfläche und seiner Höhe (oder Dicke) zusammenhängt. - Was passiert mit dem benötigten Volumen, wenn man bei gleicher Fläche die Dicke der Schicht verändert?

1. Umrechnung der Einheiten für Teil a: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) und \(10\,\text{m}^2 = 100\,000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Schichtdicke \(d\): \(d = \frac{V}{A} = \frac{1000\,\text{cm}^3}{100000\,\text{cm}^2} = 0{,}01\,\text{cm}\). 3. Umrechnung in Millimeter: \(0{,}01\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{mm}\). 4. Berechnung der Wandfläche für Teil b: \(A_{\text{Wand}} = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 5. Da die Fläche genau der Herstellerangabe entspricht, würde für eine normale Schicht \(1\,\text{Liter}\) benötigt. 6. Bei doppelter Schichtdicke verdoppelt sich das benötigte Volumen: \(V_{\text{neu}} = 1\,\text{l} \cdot 2 = 2\,\text{Liter}\).

a) Die theoretische Dicke der Farbschicht beträgt \(0{,}1\,\text{mm}\). b) Der Maler benötigt \(2\,\text{Liter}\) Farbe.

- Das Volumen des Metalls ändert sich beim Ziehen des Drahtes nicht. - Ein Draht kann mathematisch als ein sehr langer, dünner Zylinder betrachtet werden. - Achte besonders auf die Umrechnung von Quadratmillimetern in Quadratzentimeter. - Wie viele Zentimeter ergeben einen Kilometer?

1. Bestimmung des Radius des Kupferstabs: \(r = 1\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (1\,\text{cm})^2 \cdot 20\,\text{cm} = 20\pi\,\text{cm}^3 \approx 62{,}83\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung der Querschnittsfläche \(A\) des Drahtes in \(\text{cm}^2\): \(0{,}1\,\text{mm}^2 = 0{,}001\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Drahtlänge \(L\) durch Division des Volumens durch die Querschnittsfläche: \(L = \frac{20\pi\,\text{cm}^3}{0{,}001\,\text{cm}^2} = 20\,000\pi\,\text{cm} \approx 62\,831{,}85\,\text{cm}\). 5. Umrechnung der Länge in Kilometer: \(62\,831{,}85\,\text{cm} = 628{,}3185\,\text{m} \approx 0{,}628\,\text{km}\).

Der Draht hat eine Länge von ca. \(0{,}628\,\text{km}\) (bzw. \(200\pi\,\text{m}\)).

- Vergleiche die Flächeninhalte erst, wenn du sie in derselben Einheit berechnet hast. - Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders? - Ein Verhältnis gibt an, wie oft eine Größe in einer anderen enthalten ist. - Musst du \(\pi\) unbedingt als Dezimalzahl einsetzen, um die Flächen zu vergleichen?

1. Umrechnung aller Maße in Zentimeter: \(r_1 = 4\,\text{cm}\), \(h_1 = 10\,\text{cm}\); \(r_2 = 8\,\text{cm}\), \(h_2 = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Mantelfläche \(M_1 = 2\pi r_1h_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10 = 80\pi\,\text{cm}^2 \approx 251{,}33\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M_2 = 2\pi r_2h_2 = 2 \cdot \pi \cdot 8 \cdot 2{,}5 = 40\pi\,\text{cm}^2 \approx 125{,}66\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(M_1 = 80\pi\) ist größer als \(M_2 = 40\pi\). 5. Bestimmung des Verhältnisses: \(M_1 : M_2 = 80\pi : 40\pi = 2 : 1\).

Zylinder \(C_1\) hat die größere Mantelfläche. Das Verhältnis der Mantelflächen \(M_1 : M_2\) beträgt \(2 : 1\).

- Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln. - Wie hängen Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche zusammen, wenn der Deckel fehlt? - Überlege, welche Formeln für Grundfläche und Mantelfläche eines Zylinders gelten.

1. Umrechnung der Einheiten: \(r = 4\,\text{dm}\), \(h = 10\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{dm})^2 \cdot 10\,\text{dm} \approx 502{,}65\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), fasst das Fass ca. \(502{,}7\,\text{l}\). 3. Berechnung der Mantelfläche: \(M = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 40\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} \approx 25\,132{,}74\,\text{cm}^2 \approx 2{,}51\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der zu streichenden Fläche (Boden + Mantel): \(A = G + M = \pi r^2 + M = \pi \cdot (0{,}4\,\text{m})^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 0{,}503\,\text{m}^2 + 2{,}513\,\text{m}^2 \approx 3{,}02\,\text{m}^2\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt ca. \(502{,}7\,\text{l}\). b) Die Mantelfläche beträgt ca. \(2{,}51\,\text{m}^2\). c) Es müssen ca. \(3{,}02\,\text{m}^2\) gestrichen werden.

- Vergleiche zuerst die beiden Volumina mit derselben Zylinderformel. - Welche Flächen gehören bei einer geschlossenen Dose zur Oberfläche? - Für die Materialfrage ist nicht das Volumen, sondern die gesamte zu fertigende Fläche entscheidend.

1. Für Dose A gilt \(V_A=\pi r_A^2h_A=\pi\cdot25\cdot20\,\text{cm}^3=500\pi\,\text{cm}^3\approx1570{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Für Dose B gilt \(V_B=\pi r_B^2h_B=\pi\cdot100\cdot5\,\text{cm}^3=500\pi\,\text{cm}^3\approx1570{,}8\,\text{cm}^3\). Damit ist \(V_A=V_B\). 3. Da beide Dosen geschlossen sind, gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). Für Dose A folgt \(O_A=250\pi\,\text{cm}^2\approx785{,}4\,\text{cm}^2\). 4. Für Dose B folgt \(O_B=300\pi\,\text{cm}^2\approx942{,}5\,\text{cm}^2\). 5. Dose B hat den größeren Oberflächeninhalt. Bei gleichem Inhalt benötigt Dose A daher weniger Blech für Boden, Deckel und Mantel.

a) Beide Volumina betragen \(500\pi\,\text{cm}^3\approx1570{,}8\,\text{cm}^3\). b) Dose B hat mit \(300\pi\,\text{cm}^2\approx942{,}5\,\text{cm}^2\) den größeren Oberflächeninhalt; Dose A benötigt bei gleichem Inhalt weniger Material.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (z. B. Meter) vorliegen. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Überlege dir, wie man die Fläche eines Rings aus dem äußeren und dem inneren Kreis berechnet. - Was genau gibt die Wandstärke für den inneren Radius an?

1. Bestimmung der Radien in der Einheit Meter: Der Außenradius beträgt \(r_a = 10{,}8\,\text{m} : 2 = 5{,}4\,\text{m}\). Die Wandstärke ist \(s = 0{,}45\,\text{m}\). Der Innenradius berechnet sich zu \(r_i = r_a - s = 5{,}4\,\text{m} - 0{,}45\,\text{m} = 4{,}95\,\text{m}\). 2. Berechnung der Grundfläche des Hohlzylinders (Ringfläche): \(G = \pi \cdot (r_a^2 - r_i^2) = \pi \cdot (5{,}4^2 - 4{,}95^2) \approx 14{,}632\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot h \approx 14{,}632\,\text{m}^2 \cdot 165\,\text{m} \approx 2414{,}27\,\text{m}^3\). 4. Endergebnis: Das Betonvolumen beträgt \(\approx 2414\,\text{m}^3\).

Das Volumen des verwendeten Betons beträgt \(\approx 2414\,\text{m}^3\).

- Stelle für jedes Rohr das Kunststoffvolumen als äußeres Zylindervolumen minus inneres Zylindervolumen dar. - Vergleiche in Teil b) nicht nur die Wandstärke, sondern auch die Lage dieser gleich breiten Wand zum Kreismittelpunkt. - Kannst du den Unterschied zweier Quadrate so betrachten, dass sichtbar wird, welche beiden Radiusangaben gemeinsam auf die Ringfläche wirken?

1. Für Rohr A gilt \(V_A=\pi(5^2-4^2)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}=1800\pi\,\text{cm}^3\approx5654{,}9\,\text{cm}^3\). 2. Für Rohr B gilt \(V_B=\pi(10^2-9^2)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}=3800\pi\,\text{cm}^3\approx11938{,}1\,\text{cm}^3\). 3. Für die Kreisringfläche gilt \(r_a^2-r_i^2=(r_a-r_i)(r_a+r_i)\). Der Faktor \(r_a-r_i\) beschreibt hier die gleiche Wandstärke. Der Faktor \(r_a+r_i\) ist bei Rohr B größer, daher sind Ringfläche und Materialvolumen ebenfalls größer.

a) \(V_A\approx5655\,\text{cm}^3\), \(V_B\approx11938\,\text{cm}^3\) b) Bei gleicher Wandstärke ist die Summe aus Außen- und Innenradius bei Rohr B größer; deshalb sind Kreisringfläche und Kunststoffvolumen größer.

- Welche physikalische Größe verbindet Masse und Volumen? - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Zylinders? - Nach welcher Größe musst du die Formel im zweiten Teil umstellen? - Achte darauf, alle Einheiten vor dem Rechnen anzugleichen.

1. Berechnung des Volumens über die Dichteformel: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{1215\,\text{g}}{2{,}7\,\text{g/cm}^3} = 450\,\text{cm}^3\). 2. Verwendung der Volumenformel für Zylinder \(V = \pi r^2h\), um die Höhe zu isolieren: \(h = \frac{V}{\pi r^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{450\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (3\,\text{cm})^2} = \frac{450}{9\pi}\,\text{cm} = \frac{50}{\pi}\,\text{cm} \approx 15{,}92\,\text{cm}\).

a) Das Volumen des Werkstücks beträgt \(450\,\text{cm}^3\). b) \(h \approx 15{,}92\,\text{cm}\)

- Bleibt das Volumen der Flüssigkeit beim Umgießen gleich? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Formel nutzt man allgemein für das Volumen eines Prismas, egal welche Grundfläche es hat? - Überlege, welche Werte du aus dem ersten Teil für den zweiten Teil übernehmen kannst.

1. Volumen des Zylinders berechnen: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 2. Masse des Öls berechnen: \(m = V \cdot \rho \approx 502{,}65\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}92\,\text{g/cm}^3 \approx 462{,}4\,\text{g}\). 3. Grundfläche des Prismas (Dreieck) berechnen: \(G = \frac{1}{2}g h_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 4. Neue Füllhöhe berechnen: \(h_{\text{Prisma}} = \frac{V}{G} = \frac{160\pi\,\text{cm}^3}{40\,\text{cm}^2} = 4\pi\,\text{cm} \approx 12{,}57\,\text{cm}\).

a) Die Masse des Öls beträgt etwa \(462{,}4\,\text{g}\). b) Das Öl steht im neuen Gefäß etwa \(12{,}57\,\text{cm}\) hoch.

- Es ist oft hilfreich, Längen sofort in Dezimeter umzurechnen, wenn nach Litern gefragt ist. - Überlege dir zuerst, wie hoch das Wasser jetzt steht und wie hoch es am Ende stehen soll. - Die Differenz dieser Höhen ist die Höhe des Zylinders, dessen Volumen du berechnen musst. - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen?

1. Umrechnung in Dezimeter für die direkte Berechnung von Litern (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\)): \(d = 7\,\text{dm}\) (also \(r = 3{,}5\,\text{dm}\)), \(h_{\text{gesamt}} = 11\,\text{dm}\). 2. Aktuelle Füllhöhe: \(h_{\text{ist}} = \frac{1}{3} \cdot 11\,\text{dm} = \frac{11}{3}\,\text{dm} \approx 3{,}67\,\text{dm}\). 3. Ziel-Füllhöhe: \(h_{\text{ziel}} = 11\,\text{dm} - 1\,\text{dm} = 10\,\text{dm}\). 4. Differenz der Füllhöhen: \(\Delta h = 10\,\text{dm} - \frac{11}{3}\,\text{dm} = \frac{30-11}{3}\,\text{dm} = \frac{19}{3}\,\text{dm} \approx 6{,}33\,\text{dm}\). 5. Zusätzliches Volumen: \(V_{\text{zusätzlich}} = \pi r^2\Delta h = \pi \cdot (3{,}5)^2 \cdot \frac{19}{3} \approx 3{,}1416 \cdot 12{,}25 \cdot 6{,}3333 \approx 243{,}73\,\text{dm}^3\). 6. Rundung auf ganze Liter: \(244\,\text{l}\).

Es müssen etwa \(244\,\text{Liter}\) Wasser hinzugefügt werden.

- Was ist der Unterschied zwischen Radius und Durchmesser? - Wie hängen Innenradius, Außenradius und Wandstärke zusammen? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche eines Hohlzylinders zusammen? - Achte darauf, alle Maße vor dem Rechnen in dieselbe Einheit umzuwandeln.

1. Umrechnung der Maße in Zentimeter: \(d_i = 4\,\text{cm} \Rightarrow r_i = 2\,\text{cm}\); Wandstärke \(s = 1\,\text{cm} \Rightarrow r_a = 2\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\); Höhe \(h = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \pi(r_a^2 - r_i^2)h = \pi \cdot (3^2 - 2^2) \cdot 8 = 40\pi \approx 125{,}66\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Oberfläche: \(O = 2\pi(r_a^2 - r_i^2) + 2\pi r_ah + 2\pi r_ih = 2\pi \cdot 5 + 48\pi + 32\pi = 90\pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt ca. \(125{,}66\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt ca. \(282{,}74\,\text{cm}^2\).

- Stelle das Materialvolumen als Differenz aus äußerem und innerem Zylindervolumen dar. - Bestimme zunächst das Quadrat des Außenradius und vergleiche es mit einer bekannten positiven Quadratzahl. - Die Wandstärke ist anschließend die Differenz aus Außen- und Innenradius.

1. Für den Hohlzylinder gilt \(V=\pi(r_a^2-r_i^2)h\). 2. Einsetzen der Daten ergibt \(753{,}6=3{,}14(r_a^2-3^2)\cdot15\). Damit folgt \(r_a^2-9=16\) und somit \(r_a^2=25\,\text{cm}^2\). 3. Da der Außenradius positiv ist und \((5\,\text{cm})^2=25\,\text{cm}^2\), gilt \(r_a=5\,\text{cm}\). 4. Die Wandstärke beträgt \(s=r_a-r_i=5\,\text{cm}-3\,\text{cm}=2\,\text{cm}\).

Die Wandstärke beträgt \(2\,\text{cm}\).

- Bringe das Wasservolumen zunächst in eine Einheit, die zu den Zentimetermaßen der Grundfläche passt. - Welche Beziehung verbindet Grundfläche, Füllhöhe und Wasservolumen? - Was bedeutet „zur Hälfte gefüllt“ für das Verhältnis von Wasserhöhe und gesamter Innenhöhe?

1. Das Wasservolumen beträgt \(48\,\text{l}=48\,\text{dm}^3=48\,000\,\text{cm}^3\). 2. Die Grundfläche ist \(G=80\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=3200\,\text{cm}^2\). 3. Für die Wasserhöhe gilt \(h_w=\frac{V}{G}=\frac{48000\,\text{cm}^3}{3200\,\text{cm}^2}=15\,\text{cm}\). 4. Da das Aquarium zur Hälfte gefüllt ist, beträgt seine Innenhöhe \(h=2h_w=30\,\text{cm}\).

1. Das Wasser steht \(15\,\text{cm}\) hoch. 2. Das Aquarium ist insgesamt \(30\,\text{cm}\) hoch.

- Was bedeutet „gleiches Volumen“ für die beiden Prismen? - Bestimme zuerst das Volumen von Prisma A. - Wie kannst du aus Volumen und Stirnflächeninhalt die Länge von Prisma B bestimmen?

1. Das Volumen von Prisma A ist \(V_A=12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=960\,\text{cm}^3\). 2. Da beide Prismen das gleiche Volumen haben, gilt \(V_B=960\,\text{cm}^3\). 3. Die dreieckige Stirnfläche von Prisma B hat den Inhalt \(G_B=\frac{1}{2}\cdot16\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 4. Die gesuchte Länge ist \(960\,\text{cm}^3:48\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}\).

Prisma B muss \(20\,\text{cm}\) lang sein.

- Welche Grundform hat die Grundfläche eines Zylinders? - Wie setzt sich die Oberfläche eines Zylinders zusammen? Denke an Deckel, Boden und Mantel. - Überlege dir für den Vergleich, wie sich die Formel verhält, wenn du Faktoren für die Variablen einsetzt. - Was passiert mit dem Quadrat in der Volumenformel, wenn der Radius halbiert wird?

1. Berechnung des Volumens: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} = 300\pi\,\text{cm}^3 \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 50\pi + 120\pi = 170\pi\,\text{cm}^2 \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\). 3. Untersuchung der Änderungen: Neuer Radius \(r_n = 2{,}5\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_n = 24\,\text{cm}\). Neues Volumen: \(V_n = \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 \cdot 24\,\text{cm} = 150\pi\,\text{cm}^3 \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\). Das Volumen halbiert sich. Neuer Oberflächeninhalt: \(O_n = 2 \cdot \pi \cdot (2{,}5\,\text{cm})^2 + 2 \cdot \pi \cdot 2{,}5\,\text{cm} \cdot 24\,\text{cm} = 12{,}5\pi + 120\pi = 132{,}5\pi\,\text{cm}^2 \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\). Der Oberflächeninhalt verringert sich.

a) \(V \approx 942{,}48\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 534{,}07\,\text{cm}^2\) c) Das Volumen halbiert sich (\(150\pi \approx 471{,}24\,\text{cm}^3\)), da der Radius quadratisch eingeht. Der Oberflächeninhalt sinkt auf \(132{,}5\pi \approx 416{,}26\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinders. - Ersetze den Radius in der Formel durch den gegebenen Ausdruck für die Höhe. - Überlege dir, wie sich eine Änderung einer Basisgröße auf das Gesamtergebnis auswirkt, wenn diese Größe in der Formel quadriert wird.

1. Einsetzen von \(r = \frac{1}{4}h\) in die allgemeine Volumenformel \(V = \pi r^2h\): \(V = \pi \cdot \left(\frac{1}{4}h\right)^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{h^2}{16} \cdot h = \frac{\pi h^3}{16}\). 2. Analyse der Auswirkung einer Radiusverdopplung (\(r_{\text{neu}} = 2r\)): Da der Radius in der Formel quadratisch eingeht (\(r^2\)), führt eine Verdopplung des Radius zu einem Faktor \(2^2 = 4\). 3. Das Volumen vervierfacht sich somit bei gleichbleibender Höhe.

a) \(V = \frac{\pi h^3}{16}\) b) Das Volumen vervierfacht sich, weil bei konstanter Höhe \(V\) proportional zu \(r^2\) ist.

- Berechne zuerst das Volumen des ersten Zylinders. - Nutze das bekannte Volumen und die neue Höhe, um den fehlenden Radius zu bestimmen. - Was ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders? Welche Größen benötigst du dafür?

1. Berechnung des Volumens von \(Z_1\): \(V_1 = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 9\,\text{cm} = 144\pi\,\text{cm}^3 \approx 452{,}39\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung von \(r_2\) über \(V_2 = V_1\): \(144\pi = \pi \cdot r_2^2 \cdot 4\). Durch Teilen durch \(4\pi\) folgt \(r_2^2 = 36\), also \(r_2 = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M = 2\pi rh\). 4. Für \(Z_1\): \(M_1 = 2 \cdot \pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 72\pi\,\text{cm}^2 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\). 5. Für \(Z_2\): \(M_2 = 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\pi\,\text{cm}^2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(M_1 > M_2\). Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche.

a) Der Radius \(r_2\) beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Zylinder \(Z_1\) hat die größere Mantelfläche (\(M_1 \approx 226{,}19\,\text{cm}^2\) gegenüber \(M_2 \approx 150{,}80\,\text{cm}^2\)).

- Was passiert mit den Faktoren \(L\) und \(\pi\), wenn du ein Verhältnis berechnest? - Setze die gegebenen Werte in die Formel ein. - Vergleiche die Werte des Terms \((D - s)\) für beide Rohre.

1. Berechnung des Volumens für Rohr 1: \(V_1 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (20 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 18 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 2. Berechnung des Volumens für Rohr 2: \(V_2 = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot (40 - 2) = \pi \cdot L \cdot 2 \cdot 38 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\). 3. Vergleich der Massen: Da beide Rohre aus demselben Material bestehen, ist ihre Masse proportional zu ihrem Volumen. Daher gilt \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{76 \cdot \pi \cdot L}{36 \cdot \pi \cdot L} = \frac{76}{36} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\). 4. Schlussfolgerung: Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer. Der Faktor ist größer als \(2\), weil der Term \((D - s)\) von \(18\) auf \(38\) und damit um den Faktor \(\frac{38}{18} = \frac{19}{9}\) wächst.

a) \(V_1 = 36 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\); \(V_2 = 76 \cdot \pi \cdot L\,\text{mm}^3\) b) Nein. Das zweite Rohr ist etwa \(2{,}11\)-mal so schwer, da \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{19}{9} \approx 2{,}11\) gilt.

- Welche geometrische Form hat der Stab? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreises?

1. Umrechnung der Einheiten in Zentimeter: Der Radius beträgt \(r = \frac{4\,\text{cm}}{2} = 2\,\text{cm}\). Die Länge, also die Höhe des Zylinders, beträgt \(h = 250\,\text{mm} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens \(V\) des Zylinders: \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (2\,\text{cm})^2 \cdot 25\,\text{cm} = 100 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 314{,}16\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V\rho \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 848{,}23\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(m \approx 0{,}85\,\text{kg}\).

Die Masse des Stabes beträgt etwa \(0{,}85\,\text{kg}\).

- Skizziere die trapezförmige Stirnfläche und beschrifte sie mit den gegebenen Maßen. - Es ist hilfreich, alle Maße in Dezimeter umzurechnen, weil die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt und Bauelementlänge das Volumen?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) des Trapezes in \(\text{dm}^2\): \(a = 6\,\text{dm}\), \(c = 4\,\text{dm}\), \(h_{\text{Trapez}} = 5\,\text{dm}\). \(G = \frac{a + c}{2} \cdot h_{\text{Trapez}} = \frac{6\,\text{dm} + 4\,\text{dm}}{2} \cdot 5\,\text{dm} = 25\,\text{dm}^2\). 2. Umrechnung der Körperlänge in Dezimeter: \(L = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = G \cdot L = 25\,\text{dm}^2 \cdot 25\,\text{dm} = 625\,\text{dm}^3\). 4. Berechnung der Masse \(m\): \(m = V \cdot \rho = 625\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\text{kg/dm}^3 = 1562{,}5\,\text{kg}\).

Das Bauelement hat eine Masse von \(1562{,}5\,\text{kg}\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, aus dem ein Teil herausgeschnitten wurde? - Welchen Radius musst du für die Bohrung verwenden, wenn der Durchmesser gegeben ist? - Musst du für die Prozentrechnung in Teil b) die tatsächliche Masse berechnen oder gibt es einen kürzeren Weg? - Was bedeutet „leichter sein“ im mathematischen Sinne für das Verhältnis der Massen?

1. Bestimmung der Radien: Außenradius \(R = 10\,\text{cm}\), Innenradius der Bohrung \(r = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Volumens des massiven Zylinders: \(V_{\text{außen}} = \pi R^2h = \pi \cdot (10\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 1000 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 3141{,}59\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens der Bohrung: \(V_{\text{innen}} = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}65\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung des Restvolumens für Teil a): \(V_{\text{Werkstück}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} = 840 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 2638{,}94\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der prozentualen Verringerung für Teil b): Da das Material gleich bleibt, entspricht die prozentuale Massenabnahme der prozentualen Volumenabnahme: \(\frac{V_{\text{innen}}}{V_{\text{außen}}} = \frac{160 \cdot \pi}{1000 \cdot \pi} = 0{,}16 = 16\,\%\).

a) Das Volumen beträgt etwa \(2638{,}94\,\text{cm}^3\). b) Das Werkstück ist um \(16\,\%\) leichter.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Wie hängen Stirnflächeninhalt und Prismenlänge mit dem Gesamtvolumen zusammen? - Welchen Umfang der Stirnfläche brauchst du für die Mantelfläche? - Wie setzt sich die gesamte Oberfläche aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\). 2. Mit der Prismenlänge \(15\,\text{cm}\) ist \(V=48\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=720\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der dreieckigen Stirnfläche beträgt \(u=a+2s=12\,\text{cm}+2\cdot10\,\text{cm}=32\,\text{cm}\). Damit ist \(M=32\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=480\,\text{cm}^2\). 4. Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot48\,\text{cm}^2+480\,\text{cm}^2=576\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt der dreieckigen Stirnfläche beträgt \(48\,\text{cm}^2\). b) Das Volumen beträgt \(720\,\text{cm}^3\). c) Die Mantelfläche beträgt \(480\,\text{cm}^2\). d) Die gesamte Oberfläche beträgt \(576\,\text{cm}^2\).

- Welche Fläche dient bei diesem Prisma als Grundfläche? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes aus seinen parallelen Seiten und seiner Höhe? - Welche Seitenlängen musst du für den Umfang der Grundfläche addieren? - Wie hängen Grundflächenumfang, Werkstücklänge und Mantelfläche zusammen?

1. Der Grundflächeninhalt ist \(G=\frac{12\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=36\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=G\cdot15\,\text{cm}=36\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=540\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der Grundfläche ist \(u=12\,\text{cm}+5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+5\,\text{cm}=28\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche ist \(O=2G+M=2\cdot36\,\text{cm}^2+420\,\text{cm}^2=492\,\text{cm}^2\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(540\,\text{cm}^3\) und sein Oberflächeninhalt beträgt \(492\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Zylinders. - Welche Maße sind jeweils gegeben und wie setzt du sie in die Formeln ein? - Für den Materialverbrauch einer geschlossenen Dose musst du den gesamten Oberflächeninhalt berechnen, der aus Deckel, Boden und Mantelfläche besteht. - Vergleiche nach der Berechnung die beiden Ergebnisse direkt.

1. Berechnung der Volumina der beiden Dosen: - Dose A: \(V_A = \pi r^2h = \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). - Dose B: \(V_B = \pi r^2h = \pi \cdot (5\,\text{cm})^2 \cdot 6{,}4\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^3 \approx 502{,}7\,\text{cm}^3\). Beide Dosen haben folglich das gleiche Volumen. 2. Berechnung der Oberflächeninhalte der beiden geschlossenen Dosen: - Dose A: \(O_A = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 4\,\text{cm} \cdot (4\,\text{cm} + 10\,\text{cm}) = 112\pi\,\text{cm}^2 \approx 351{,}9\,\text{cm}^2\). - Dose B: \(O_B = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 5\,\text{cm} \cdot (5\,\text{cm} + 6{,}4\,\text{cm}) = 114\pi\,\text{cm}^2 \approx 358{,}1\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Oberflächeninhalte: Da \(O_A < O_B\) ist, wird für Dose A weniger Material benötigt.

a) Beide Dosen besitzen das gleiche Volumen von etwa \(502{,}7\,\text{cm}^3\). b) Für Dose A wird weniger Material benötigt, da ihr Oberflächeninhalt mit etwa \(351{,}9\,\text{cm}^2\) geringer ist als der von Dose B mit etwa \(358{,}1\,\text{cm}^2\).

- Vergleiche zuerst die Flächeninhalte der beiden unterschiedlichen Stirnflächen. - Welche Formel verwendest du für den Flächeninhalt eines Trapezes? - Beide Riegel haben dieselbe Länge. Was bedeutet das für den Volumenvergleich, wenn auch ihre Stirnflächen gleich groß sind?

1. Die trapezförmige Stirnfläche von Riegel a) hat den Inhalt \(G_a=\frac{6\,\text{cm}+3\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 2. Daher beträgt sein Volumen \(V_a=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 3. Die rechteckige Stirnfläche von Riegel b) hat den Inhalt \(G_b=6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=18\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(V_b=18\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 5. Beide Riegel haben also trotz verschiedener Stirnflächenformen dasselbe Volumen.

Ja. Beide Riegel haben ein Volumen von \(180\,\text{cm}^3\).

- Wie kannst du die U-förmige Stirnfläche als Differenz zweier Rechtecke auffassen? - Welche Randstrecken gehören zum vollständigen Umfang der U-Form? - Wie hängen Querschnittsumfang, Werkstücklänge und Mantelfläche zusammen? - Welche beiden weiteren Flächen kommen zur Mantelfläche hinzu?

1. Die U-förmige Stirnfläche ist das große Rechteck minus dem inneren Ausschnitt: \(G=8\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}-4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=32\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang dieser Fläche beträgt \(u=8\,\text{cm}+6\,\text{cm}+2\,\text{cm}+4\,\text{cm}+4\,\text{cm}+4\,\text{cm}+2\,\text{cm}+6\,\text{cm}=36\,\text{cm}\). 3. Mit der Werkstücklänge \(12\,\text{cm}\) ist die Mantelfläche \(M=36\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=432\,\text{cm}^2\). 4. Damit beträgt die Oberfläche \(O=2G+M=2\cdot32\,\text{cm}^2+432\,\text{cm}^2=496\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt \(496\,\text{cm}^2\).

- Aus wie vielen Einheitsquadraten besteht der kreuzförmige Querschnitt? - Zähle für den Umfang nur die außen liegenden Kanten des Kreuzes. - Wie entstehen Mantelfläche und Gesamtoberfläche aus Querschnittsumfang, Balkenlänge und Querschnittsinhalt?

1. Der Querschnittsinhalt beträgt \(G=5\cdot1\,\text{dm}^2=5\,\text{dm}^2\). 2. Der Balken ist \(20\,\text{dm}\) lang, daher ist \(V=5\,\text{dm}^2\cdot20\,\text{dm}=100\,\text{dm}^3\). 3. Der Umfang des Kreuzes besteht aus zwölf Strecken der Länge \(1\,\text{dm}\), also \(u=12\,\text{dm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=12\,\text{dm}\cdot20\,\text{dm}=240\,\text{dm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot5\,\text{dm}^2+240\,\text{dm}^2=250\,\text{dm}^2\).

a) \(100\,\text{dm}^3\) b) \(250\,\text{dm}^2\)

- Nutze die beiden Katheten für den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche. - Für die Mantelfläche brauchst du den gesamten Umfang der Grundfläche; alle drei Seitenlängen sind angegeben. - Setze zwei Grundflächen und die Mantelfläche zur gesamten Oberfläche zusammen.

1. Die dreieckige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. a) Das Volumen beträgt \(V=G\cdot20\,\text{cm}=600\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=5\,\text{cm}+12\,\text{cm}+13\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=u\cdot20\,\text{cm}=600\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist die gesamte Oberfläche \(O=2G+M=2\cdot30\,\text{cm}^2+600\,\text{cm}^2=660\,\text{cm}^2\).

a) \(V=600\,\text{cm}^3\) b) \(O=660\,\text{cm}^2\)

- Wie hängen Durchmesser und Radius der Grundfläche zusammen? - Welche Rechteckseite entsteht beim Abrollen des Zylindermantels aus dem Kreisumfang? - Welche Einheit musst du am Ende für das Volumen verwenden?

1. Aus \(d=10\,\text{cm}\) folgt \(r=5\,\text{cm}\). 2. Die Etikettfläche ist \(M=2\pi rh=2\pi\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=120\pi\,\text{cm}^2\approx377{,}0\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=300\pi\,\text{cm}^3\approx942{,}48\,\text{cm}^3\). 4. In Litern sind das \(V\approx0{,}94\,\text{l}\).

a) \(M\approx377{,}0\,\text{cm}^2\) b) \(V\approx0{,}94\,\text{l}\)

- In welche zwei nicht überlappenden Rechtecke kannst du den T-förmigen Querschnitt zerlegen? - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Profillänge das Volumen? - Wie erhältst du aus Volumen und Dichte die Masse, und welche Einheit ist am Ende gefragt?

1. Der T-förmige Querschnitt besteht aus dem Querbalken mit \(6\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) und dem darunterliegenden Steg mit \(2\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=22\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=22\,\text{cm}^2\cdot20\,\text{cm}=440\,\text{cm}^3\). 3. Die Masse beträgt \(m=V\rho=440\,\text{cm}^3\cdot8{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}=3696\,\text{g}=3{,}696\,\text{kg}\).

Das Volumen beträgt \(440\,\text{cm}^3\) und die Masse \(3{,}696\,\text{kg}\).

- Nutze die beiden als Katheten gekennzeichneten Seiten für die Dreiecksfläche. - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der Grundfläche; alle drei Seitenlängen sind angegeben. - Addiere für die Gesamtoberfläche die beiden Grundflächen und die Mantelfläche.

1. Die Grundfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. a) Das Volumen ist \(V=Gh=6\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Daher ist \(M=uh=12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=96\,\text{cm}^2\). 4. c) Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot6\,\text{cm}^2+96\,\text{cm}^2=108\,\text{cm}^2\).

a) \(48\,\text{cm}^3\) b) \(96\,\text{cm}^2\) c) \(108\,\text{cm}^2\)

- Bestimme aus Grundseite und Dreieckshöhe zuerst die Fläche der Zeltfront. - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Umfang der dreieckigen Grundfläche; die schrägen Seiten sind angegeben. - Berücksichtige bei der gesamten Stofffläche auch die beiden dreieckigen Stirnflächen und die Bodenfläche als Teil des Mantels.

1. Die dreieckige Grundfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot2{,}4\,\text{m}\cdot1{,}6\,\text{m}=1{,}92\,\text{m}^2\). 2. a) Das Volumen ist \(V=G\cdot3{,}0\,\text{m}=5{,}76\,\text{m}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche beträgt \(u=2{,}4\,\text{m}+2\cdot2{,}0\,\text{m}=6{,}4\,\text{m}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=u\cdot3{,}0\,\text{m}=19{,}2\,\text{m}^2\). 5. Mit den beiden dreieckigen Stirnflächen ergibt sich \(O=2G+M=2\cdot1{,}92\,\text{m}^2+19{,}2\,\text{m}^2=23{,}04\,\text{m}^2\).

a) \(V=5{,}76\,\text{m}^3\) b) Es werden \(23{,}04\,\text{m}^2\) Stoff benötigt.

- Zerlege die L-förmige Grundfläche in zwei Rechtecke ohne Überlappung. - Welche Beziehung verbindet Volumen und Dichte mit der Masse? - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Randumfang der L-Form.

1. Die L-förmige Stirnfläche besteht aus \(5\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\) und \(7\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\). Daher ist \(G=12\,\text{dm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=12\,\text{dm}^2\cdot12\,\text{dm}=144\,\text{dm}^3\). 3. Die Masse ist \(m=V\rho=144\,\text{dm}^3\cdot2{,}5\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=360\,\text{kg}\). 4. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=5\,\text{dm}+1\,\text{dm}+4\,\text{dm}+7\,\text{dm}+1\,\text{dm}+8\,\text{dm}=26\,\text{dm}\). 5. Die Oberfläche ist \(O=2G+u\cdot12\,\text{dm}=2\cdot12\,\text{dm}^2+26\,\text{dm}\cdot12\,\text{dm}=336\,\text{dm}^2\).

a) \(144\,\text{dm}^3\) b) \(360\,\text{kg}\) c) \(336\,\text{dm}^2\)

- Nutze Grundseite und zugehörige Dreieckshöhe für die Grundfläche. - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der dreieckigen Grundfläche; alle drei Seitenlängen sind angegeben. - Ergänze zur Mantelfläche beide Grundflächen, um die gesamte Oberfläche zu erhalten.

1. a) Die Grundfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=G\cdot12\,\text{cm}=144\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=6\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=16\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=u\cdot12\,\text{cm}=192\,\text{cm}^2\). 5. Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot12\,\text{cm}^2+192\,\text{cm}^2=216\,\text{cm}^2\).

a) \(G=12\,\text{cm}^2\), \(V=144\,\text{cm}^3\) b) \(M=192\,\text{cm}^2\), \(O=216\,\text{cm}^2\)

- Nutze für die Grundfläche die Trapezformel mit den beiden parallelen Seiten und der Trapezhöhe. - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Umfang der trapezförmigen Grundfläche; alle vier Seitenlängen sind gegeben. - Setze zwei Grundflächen und die Mantelfläche zur gesamten Oberfläche zusammen.

1. a) Die Grundfläche beträgt \(G=\frac{10\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot4\,\text{cm}=28\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen ist \(V=G\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=10\,\text{cm}+5\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche beträgt \(M=u\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot28\,\text{cm}^2+360\,\text{cm}^2=416\,\text{cm}^2\).

a) \(G=28\,\text{cm}^2\), \(V=420\,\text{cm}^3\) b) \(O=416\,\text{cm}^2\)

- Addiere die Flächeninhalte der drei Rechteckstreifen der Stirnfläche. - Gehe für den Umfang einmal vollständig entlang aller äußeren Stufenkanten. - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt, Stirnflächenumfang und Bauteillänge Volumen und Mantelfläche?

1. Der Flächeninhalt der stufenförmigen Stirnfläche ist \(G=2\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}+2\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}+2\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=24\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=192\,\text{cm}^3\). 3. Beim vollständigen Umlaufen der Stirnfläche erhält man \(u=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=192\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot24\,\text{cm}^2+192\,\text{cm}^2=240\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(192\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt \(240\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die hausförmige Stirnfläche in Rechteck und Dreieck. - Welche fünf Randstrecken bilden den Umfang \(u\)? - Wie erhältst du aus Stirnflächeninhalt, Stirnflächenumfang und Prismenlänge Volumen und Oberfläche?

1. Die Stirnfläche besteht aus einem Rechteck mit \(24\,\text{cm}^2\) und einem Dreieck mit Höhe \(3\,\text{cm}\) und Fläche \(12\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=36\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=36\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=432\,\text{cm}^3\). 3. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u=8\,\text{cm}+3\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+3\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). 4. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\). 5. Der Oberflächeninhalt beträgt \(O=2G+M=360\,\text{cm}^2\).

\(V=432\,\text{cm}^3\), \(O=360\,\text{cm}^2\)

- Nutze die beiden Katheten für die Fläche der dreieckigen Grundfläche. - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang des Dreiecks; alle drei Seitenlängen sind angegeben. - Ergänze zur Mantelfläche die beiden kongruenten Grundflächen.

1. Die Grundfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\). 2. a) Das Volumen ist \(V=G\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^3\). 3. b) Der Umfang der Grundfläche beträgt \(u=6\,\text{cm}+8\,\text{cm}+10\,\text{cm}=24\,\text{cm}\). Daher ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=360\,\text{cm}^2\). 4. c) Die gesamte Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot24\,\text{cm}^2+360\,\text{cm}^2=408\,\text{cm}^2\).

a) \(V=360\,\text{cm}^3\) b) \(M=360\,\text{cm}^2\) c) \(O=408\,\text{cm}^2\)

- Wie groß ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks? - Welche dritte Seitenlänge brauchst du für den Grundflächenumfang? - Wie entsteht aus Stirnflächenumfang und Abstand der beiden Stirnflächen die Mantelfläche?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}ab=24\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=24\,\text{cm}^2\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^3\). 3. Mit dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse \(c=\sqrt{6^2+8^2}\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 4. Der Stirnflächenumfang beträgt \(u=a+b+c=24\,\text{cm}\). 5. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=288\,\text{cm}^2\). 6. Der Oberflächeninhalt beträgt \(O=2G+M=336\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(288\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt \(336\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die hausförmige Grundfläche in ein Rechteck und ein Dreieck. - Für die Mantelfläche brauchst du den vollständigen Umfang der Grundfläche; die Dachkanten sind bereits angegeben. - Ergänze zur Mantelfläche beide kongruenten Grundflächen, um die Oberfläche zu erhalten.

1. a) Die Grundfläche besteht aus einem Rechteck und einem Dreieck. Das Rechteck hat \(8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\). Das Dachdreieck ist \(8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=3\,\text{cm}\) hoch und hat \(\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). Somit ist \(G=52\,\text{cm}^2\). 2. b) Das Volumen beträgt \(V=G\cdot15\,\text{cm}=780\,\text{cm}^3\). 3. c) Der Umfang der Grundfläche ist \(u=8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=28\,\text{cm}\). Daher ist \(M=u\cdot15\,\text{cm}=420\,\text{cm}^2\). 4. d) Die gesamte Oberfläche ist \(O=2G+M=2\cdot52\,\text{cm}^2+420\,\text{cm}^2=524\,\text{cm}^2\).

a) \(G=52\,\text{cm}^2\) b) \(V=780\,\text{cm}^3\) c) \(M=420\,\text{cm}^2\) d) \(O=524\,\text{cm}^2\)

- Zerlege den Z-förmigen Querschnitt in zwei waagerechte Schenkel und den dazwischenliegenden Steg. - Gehe für \(u\) einmal vollständig am äußeren Rand des Z-Querschnitts entlang. - Wie entstehen Mantelfläche und gesamte Oberfläche aus Querschnittsumfang, Profillänge und den beiden Stirnflächen?

1. Der Z-förmige Querschnitt besteht aus zwei Rechtecken mit je \(4\,\text{cm}^2\) und dem dazwischenliegenden Steg mit \(3\,\text{cm}^2\). Daher ist \(G=11\,\text{cm}^2\). 2. Der vollständige Umfang des Z-Querschnitts beträgt \(u=24\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=24\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=240\,\text{cm}^2\). 4. Die Oberfläche beträgt \(O=2G+M=2\cdot11\,\text{cm}^2+240\,\text{cm}^2=262\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Profils beträgt \(262\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen Teilflächen besteht die Oberfläche des Dreiecksprismas? - Welchen Umfang hat die dreieckige Stirnfläche? - Wie hängen Stirnflächenumfang und Länge des Türstoppers mit der Mantelfläche zusammen?

1. Die dreieckige Stirnfläche beträgt \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Ihr Umfang ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche beträgt \(M=12\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=120\,\text{cm}^2\). 4. Die Oberfläche ist \(O=2G+M=132\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Türstoppers beträgt \(132\,\text{cm}^2\).

- Die dargestellte Profilfläche beschreibt den Innenquerschnitt des Trogs. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes aus den parallelen Seiten und ihrer Höhe? - Welche Umrechnung brauchst du von \(\text{cm}^3\) in Liter?

1. Der Flächeninhalt des trapezförmigen Innenquerschnitts ist \(G=\frac{25\,\text{cm}+15\,\text{cm}}{2}\cdot12\,\text{cm}=240\,\text{cm}^2\). 2. Das Innenvolumen beträgt \(V=240\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=19\,200\,\text{cm}^3\). 3. Mit \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{l}\) folgt \(V=19{,}2\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Trogs beträgt \(19{,}2\,\text{l}\).

- Bestimme für jeden Körper die passende Volumenformel. - Beim Prisma brauchst du zuerst den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche. - Vergleiche erst, nachdem alle drei Volumina in derselben Einheit vorliegen.

1. Für Modell A gilt \(V_A=10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=1000\,\text{cm}^3\). 2. Für Modell B ist \(G=\frac{1}{2}\cdot20\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=100\,\text{cm}^2\), also \(V_B=100\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=1000\,\text{cm}^3\). 3. Für Modell C gilt \(V_C=\pi r^2h=\pi\cdot(5\,\text{cm})^2\cdot14\,\text{cm}=350\pi\,\text{cm}^3\approx1099{,}56\,\text{cm}^3\). 4. Damit ist Modell C am größten; A und B haben dasselbe Volumen.

Die Reihenfolge nach dem Volumen lautet: C > A = B.

- Überlege zuerst, aus welchen Teilflächen sich die gesamte Oberfläche des Prismas zusammensetzt. - Welche beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks kannst du direkt für seine Fläche verwenden? - Wie hängt die Mantelfläche eines geraden Prismas mit dem Umfang seiner Grundfläche zusammen?

1. Da die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind, ist \(G=\frac{1}{2}\cdot9\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=54\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=9\,\text{cm}+12\,\text{cm}+15\,\text{cm}=36\,\text{cm}\). Daher gilt \(M=36\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=720\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot54\,\text{cm}^2+720\,\text{cm}^2=828\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(828\,\text{cm}^2\).

- Welche Formel verbindet Radius und Höhe eines Zylinders mit seinem Volumen? - In welcher Volumeneinheit erhältst du das Ergebnis zunächst aus Zentimeterangaben? - Runde erst nach der Umrechnung in Liter auf eine Nachkommastelle.

1. Das Volumen ist \(V = \pi r^2h = \pi \cdot (50\,\text{cm})^2 \cdot 120\,\text{cm} = 300\,000\pi\,\text{cm}^3\). 2. Numerisch ergibt sich \(V \approx 942\,477{,}8\,\text{cm}^3\). 3. Mit \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\) folgt \(V \approx 942{,}4778\,\text{l} \approx 942{,}5\,\text{l}\).

Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt etwa \(942{,}5\,\text{l}\).

- Zerlege die hausförmige Grundfläche in Quadrat und Dreieck. - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der gesamten Grundfläche, nicht nur ihre Breite. - Wie setzt sich anschließend die vollständige Oberfläche des Prismas zusammen?

1. Die Stirnfläche besteht aus dem Quadrat mit \(100\,\text{cm}^2\) und einem Dreieck der Höhe \(22\,\text{cm}-10\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Damit ist \(G=100\,\text{cm}^2+\frac{1}{2}\cdot10\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=160\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=10\,\text{cm}+10\,\text{cm}+13\,\text{cm}+13\,\text{cm}+10\,\text{cm}=56\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ist \(M=56\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=1120\,\text{cm}^2\). 4. Somit gilt \(O=2G+M=2\cdot160\,\text{cm}^2+1120\,\text{cm}^2=1440\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt \(1440\,\text{cm}^2\).

- Welche zweidimensionale Form hat die gleichbleibende Vorderseite des Prismas? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie hängt bei einem Prisma das Volumen mit Grundfläche und Prismenlänge zusammen?

1. Die trapezförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{8{,}0\,\text{dm}+4{,}0\,\text{dm}}{2}\cdot3{,}0\,\text{dm}=18{,}0\,\text{dm}^2\). 2. Die Prismenlänge ist \(l=20{,}0\,\text{dm}\). Daher gilt \(V=G\cdot l=18{,}0\,\text{dm}^2\cdot20{,}0\,\text{dm}=360{,}0\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(360{,}0\,\text{dm}^3\).

- Welche einfache Flächen kannst du im hausförmigen Querschnitt erkennen? - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Bestimme zuerst den Querschnitt und nutze dann die gleichbleibende Länge des Prismas.

1. Der rechteckige Teil des Querschnitts hat den Flächeninhalt \(3{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=7{,}5\,\text{m}^2\). 2. Das Dachdreieck ist \(3{,}5\,\text{m}-2{,}5\,\text{m}=1{,}0\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2}\cdot3{,}0\,\text{m}\cdot1{,}0\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Grundfläche des Prismas \(G=7{,}5\,\text{m}^2+1{,}5\,\text{m}^2=9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=9{,}0\,\text{m}^2\cdot4{,}0\,\text{m}=36{,}0\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen im Gartenhaus beträgt \(36{,}0\,\text{m}^3\).

- Welche Fläche bleibt bei diesem Prisma von vorne bis hinten gleich? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des Trapezes. - Wie nutzt du anschließend die Tiefe des Körpers für das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der trapezförmigen Grundfläche ist \(G=\frac{3{,}5\,\text{cm}+5{,}5\,\text{cm}}{2}\cdot4{,}0\,\text{cm}=18{,}0\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen des Prismas beträgt \(V=18{,}0\,\text{cm}^2\cdot8{,}0\,\text{cm}=144{,}0\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Keils beträgt \(144{,}0\,\text{cm}^3\).

- Entscheide zuerst, welche Flächen des Prismas laut Text mit Stoff bedeckt werden und welche nicht. - Lies Grundseite, Dreieckshöhe und Zeltlänge aus der Abbildung ab; die schrägen Seitenlängen sind im Text angegeben. - Berechne Vorder- und Rückseite sowie die beiden rechteckigen Dachflächen getrennt und addiere erst am Ende.

1. Aus der Abbildung liest man für die Dreiecksgrundfläche \(g=1{,}6\,\text{m}\) und \(h_g=1{,}5\,\text{m}\) sowie für die Zeltlänge \(l=2{,}4\,\text{m}\) ab. 2. Vorder- und Rückseite haben zusammen die Fläche \(2\cdot\frac{1}{2}\cdot1{,}6\,\text{m}\cdot1{,}5\,\text{m}=2{,}4\,\text{m}^2\). 3. Die beiden schrägen Dachflächen sind Rechtecke mit den Seitenlängen \(1{,}7\,\text{m}\) und \(2{,}4\,\text{m}\). Zusammen haben sie die Fläche \(2\cdot1{,}7\,\text{m}\cdot2{,}4\,\text{m}=8{,}16\,\text{m}^2\). 4. Insgesamt werden \(2{,}4\,\text{m}^2+8{,}16\,\text{m}^2=10{,}56\,\text{m}^2\) Stoff benötigt.

Es werden insgesamt \(10{,}56\,\text{m}^2\) Zeltstoff benötigt.

- Welche einfachen Rechtecke bilden zusammen die stufenförmige Stirnfläche? - Welche in der Abbildung angegebene Strecke beschreibt die Länge der Stufe? - In welcher Einheit erhältst du das Volumen zunächst, und wie wird sie in Liter umgerechnet?

1. Die stufenförmige Stirnfläche lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen: \(G=40\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}+20\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=900\,\text{cm}^2\). 2. Aus der Abbildung liest man die Stufenlänge \(80\,\text{cm}\) ab. Damit ist \(V=900\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=72\,000\,\text{cm}^3\). 3. Da \(1000\,\text{cm}^3=1\,\text{l}\), sind das \(72\,\text{l}\).

Für eine Treppenstufe werden \(72\,\text{l}\) Beton benötigt.

- Betrachte die Vorderseite als Grundfläche des Prismas. - Zerlege die Vorderseite in ein Rechteck und ein aufgesetztes Dreieck. - Wie hoch ist das Dreieck, wenn die Gesamthöhe und die Wandhöhe bekannt sind?

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (Vorderseite). Diese besteht aus einem Rechteck und einem Dreieck: Fläche Rechteck: \(6\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2\) Höhe des Dreiecks: \(7\,\text{dm} - 4\,\text{dm} = 3\,\text{dm}\) Fläche Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} = 9\,\text{dm}^2\) Gesamtgrundfläche: \(G = 24 + 9 = 33\,\text{dm}^2\) 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot \text{Tiefe} = 33\,\text{dm}^2 \cdot 10\,\text{dm} = 330\,\text{dm}^3\)

Das Innenvolumen der Hundehütte beträgt \(330\,\text{dm}^3\).

- Welche Fläche bleibt beim „Durchschieben“ des Körpers in seiner Form gleich? Das ist die Grundfläche. - Berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes. - Multipliziere das Ergebnis mit der Länge des Unterstands.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (trapezförmige Seitenwand): \(G = \frac{3\,\text{m} + 5\,\text{m}}{2} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Volumens: \(V = G \cdot \text{Länge} = 20\,\text{m}^2 \cdot 8\,\text{m} = 160\,\text{m}^3\)

Der Rauminhalt unter dem Dach beträgt \(160\,\text{m}^3\).

- Zerlege die hausförmige Grundfläche in bekannte Teilflächen. - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Welche Größe wird beim Prisma mit der Grundfläche multipliziert?

1. Die Stirnfläche besteht aus einem Quadrat und einem Dreieck. Die Dreieckshöhe beträgt \(7\,\text{cm}-4\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(G=4\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}+\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=22\,\text{cm}^2\). 3. Der Baustein ist \(10\,\text{cm}\) lang. Daher ist \(V=22\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=220\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bausteins beträgt \(220\,\text{cm}^3\).

- Welche Flächen gehören zur Oberfläche eines geschlossenen Prismas? - Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der dreieckigen Stirnfläche. - Welche Rolle spielt die Länge der Schachtel bei den drei rechteckigen Mantelflächen?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Ihr Umfang ist \(u=8\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 3. Die Mantelfläche ergibt sich aus Stirnflächenumfang und Schachtellänge: \(M=18\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=360\,\text{cm}^2\). 4. Daher ist \(O=2G+M=2\cdot12\,\text{cm}^2+360\,\text{cm}^2=384\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt der Schachtel beträgt \(384\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen Teilflächen besteht die Oberfläche des Dreiecksprismas? - Welchen Umfang hat die dreieckige Stirnfläche? - Wie hängen Stirnflächenumfang und Breite des Türstoppers mit der Mantelfläche zusammen?

1. Die dreieckige Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}\cdot15\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). 2. Ihr Umfang ist \(u=15\,\text{cm}+8\,\text{cm}+17\,\text{cm}=40\,\text{cm}\). 3. Mit der Breite \(5\,\text{cm}\) gilt \(M=40\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=200\,\text{cm}^2\). 4. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot60\,\text{cm}^2+200\,\text{cm}^2=320\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Türstoppers beträgt \(320\,\text{cm}^2\).

- Aus welchen einfachen Teilflächen besteht der abgebildete Querschnitt? - Welche horizontale Länge gehört nur zum dreieckigen Rampenteil? - Welche Abmessung verläuft senkrecht zum Querschnitt und beschreibt damit die Breite des Bauteils?

1. Der Querschnitt besteht aus dem Podestrechteck und dem Rampendreieck. Die Rampenlänge ist \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(G=4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}+\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=21\,\text{cm}^2\). 3. Das Bauteil ist \(8\,\text{cm}\) breit. Daher gilt \(V=21\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=168\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(168\,\text{cm}^3\).

- Liste zuerst nur die Flächen auf, die laut Text tatsächlich beschichtet werden; die obere Öffnung gehört nicht dazu. - Für jede Stirnfläche sind die beiden parallelen Seiten und ihr Abstand gegeben. - Die schrägen Seitenflächen sind Rechtecke aus der schrägen Trapezseite und der Prismenlänge. - Wandle erst nach dem Addieren von \(\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\) um.

1. Eine trapezförmige Stirnfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{50\,\text{cm}+80\,\text{cm}}{2}\cdot20\,\text{cm}=1300\,\text{cm}^2\). Beide Stirnflächen zusammen haben \(2600\,\text{cm}^2\). 2. Der Boden ist ein Rechteck mit \(50\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}=5000\,\text{cm}^2\). 3. Die beiden schrägen Seitenflächen haben zusammen \(2\cdot25\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}=5000\,\text{cm}^2\). 4. Die obere Öffnung wird nicht mitgerechnet. Insgesamt sind \(2600\,\text{cm}^2+5000\,\text{cm}^2+5000\,\text{cm}^2=12\,600\,\text{cm}^2\) zu beschichten. 5. Mit \(10\,000\,\text{cm}^2=1\,\text{m}^2\) folgt \(12\,600\,\text{cm}^2=1{,}26\,\text{m}^2\).

\(12\,600\,\text{cm}^2=1{,}26\,\text{m}^2\)

- Zerlege den I-förmigen Querschnitt in zwei waagerechte Flansche und den dazwischenliegenden Steg. - Welche Höhe bleibt für den Steg übrig, wenn du die beiden Flanschdicken von der Gesamthöhe abziehst? - Wie erhältst du aus Querschnittsinhalt und Profillänge das Volumen?

1. Die beiden Flansche haben zusammen den Flächeninhalt \(2\cdot6\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Zwischen den Flanschen bleibt für den Steg eine Höhe von \(6\,\text{cm}-2\cdot1\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). Seine Fläche ist daher \(2\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}^2\). 3. Damit beträgt der Querschnittsinhalt \(G=12\,\text{cm}^2+8\,\text{cm}^2=20\,\text{cm}^2\). 4. Das Volumen des \(80\,\text{cm}\) langen Profils ist \(V=20\,\text{cm}^2\cdot80\,\text{cm}=1600\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Stahlprofils beträgt \(1600\,\text{cm}^3\).

- Welche Gleichung verbindet das feste Volumen mit Radius und Höhe? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius halbiert wird? - Beim Einsetzen in \(M(r)\) ist der Radius die einzige veränderliche Größe.

1. Aus \(V=\pi r^2h\) folgt für das feste Volumen \(h(r)=\frac{330}{\pi r^2}\). 2. Für den halbierten Radius gilt \(h\left(\frac{r}{2}\right)=\frac{330}{\pi(\frac{r}{2})^2}=4\frac{330}{\pi r^2}=4h(r)\). Die Höhe vervierfacht sich. 3. Für \(r=3{,}2\,\text{cm}\) ergibt sich \(M(3{,}2)=\frac{660}{3{,}2}\,\text{cm}^2=206{,}25\,\text{cm}^2\).

a) \(h(r) = \frac{330}{\pi r^2}\) b) Die Höhe vervierfacht sich: \(h_{\text{neu}} = 4h\). c) \(M(3{,}2) = 206{,}25\,\text{cm}^2\)

- Welche Angaben reichen zunächst für den Flächeninhalt der dreieckigen Stirnfläche? - Für die Oberfläche brauchst du zusätzlich den Umfang des Dreiecks. - Welche Strecke teilt die Basis des gleichschenkligen Dreiecks in zwei gleich lange Abschnitte? - Wie hängen Stirnflächenumfang und Abstand der beiden Stirnflächen mit der Mantelfläche zusammen?

1. Die Stirnfläche ist \(G=\frac{1}{2}gh_g=\frac{1}{2}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen beträgt \(V=12\,\text{cm}^2\cdot15\,\text{cm}=180\,\text{cm}^3\). 3. Die Dreieckshöhe halbiert die Basis. Für einen Schenkel gilt daher \(s=\sqrt{(4\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}=5\,\text{cm}\). 4. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=8\,\text{cm}+2\cdot5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 5. Die Mantelfläche ist \(M=18\,\text{cm}\cdot15\,\text{cm}=270\,\text{cm}^2\). 6. Somit ist \(O=2G+M=2\cdot12\,\text{cm}^2+270\,\text{cm}^2=294\,\text{cm}^2\).

Das Volumen beträgt \(V = 180\,\text{cm}^3\) und der Oberflächeninhalt ist \(O = 294\,\text{cm}^2\).

- Welche beiden Größen sind bei beiden dargestellten Körpern ausdrücklich gleich? - Was bedeutet \(G\) beim Zylinder geometrisch? - Vergleiche die Form \(V=Gh\) mit der bekannten Zylinderformel, ohne daraus schon eine Herleitung abzuleiten.

1. Für das Prisma gilt \(V=Gh=30\,\text{cm}^2\cdot7\,\text{cm}=210\,\text{cm}^3\). 2. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis. Auch hier ergibt \(Gh=30\,\text{cm}^2\cdot7\,\text{cm}=210\,\text{cm}^3\). 3. Für einen Zylinder ist \(G=\pi r^2\). Setzt man dies in \(V=Gh\) ein, erhält man \(V=\pi r^2h\). 4. Emils Aussage ist daher falsch: Die bekannte Zylinderformel lässt sich als \(V=Gh\) schreiben. Diese Aufgabe wendet das gemeinsame Prinzip an; sie begründet noch nicht, warum es für den Zylinder gilt.

a) Beide Volumina betragen \(210\,\text{cm}^3\). b) \(V=Gh\) lässt sich auch beim Zylinder verwenden; dort ist \(G=\pi r^2\), sodass \(V=\pi r^2h\) entsteht.

- Suche zuerst die beiden Flächen, die beim Falten einander gegenüberliegen. - Vergleiche die drei kurzen Rechteckseiten mit den drei Seiten des Grunddreiecks. - Welche Rechteckseite ist bei allen drei Mantelflächen gleich? - Für die gesamte Oberfläche kommen zum Mantel beide Dreiecksflächen hinzu.

1. Die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke sind die beiden Stirnflächen. Die drei Rechtecke bilden den Mantel. 2. Alle drei Mantelrechtecke besitzen dieselbe Seitenlänge \(h\), nämlich den Abstand der beiden Dreiecksflächen. Ihre anderen Seitenlängen sind genau die drei Seitenlängen der dreieckigen Stirnfläche. Deshalb ist ihre Gesamtfläche \(M=h(a+b+c)=uh\). 3. Das Grunddreieck hat Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). Daher ist \(G=\frac{1}{2}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 4. Der Umfang der Stirnfläche ist \(u=3\,\text{cm}+4\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). Mit \(h=6\,\text{cm}\) folgt \(M=uh=72\,\text{cm}^2\). 5. Damit ist \(O=2G+M=2\cdot6\,\text{cm}^2+72\,\text{cm}^2=84\,\text{cm}^2\).

a) Zwei Dreiecke: die beiden Stirnflächen; drei Rechtecke: Mantelflächen. b) Die drei Rechteckbreiten ergeben zusammen den Stirnflächenumfang \(u\), während jedes Rechteck dieselbe Seitenlänge \(h\) zwischen den beiden Dreiecksflächen besitzt; daher \(M=uh\). c) \(G=6\,\text{cm}^2\), \(M=72\,\text{cm}^2\), \(O=84\,\text{cm}^2\)

- Prüfe zuerst, welche Art von Größe \(U\) beschreibt: Länge oder Fläche. - Welche Einheit entsteht beim Produkt zweier Längen? - In \(V=Gh\) muss \(G\) welche Dimension besitzen?

1. Elif verwechselt den Umfang der Grundfläche mit ihrem Flächeninhalt. \(U=2\pi r\) ist eine Länge, nicht die Grundfläche \(G\). 2. Multipliziert man \(U\) mit \(h\), erhält man Länge mal Länge und damit eine Flächeneinheit. Der Ausdruck \(2\pi rh\) beschreibt die Mantelfläche, nicht das Volumen. 3. Die Kreisgrundfläche ist \(G=\pi r^2\). 4. Mit dem Volumenprinzip \(V=Gh\) folgt daher \(V=\pi r^2h\).

a) \(U=2\pi r\) ist der Umfang und nicht der Flächeninhalt der Grundfläche. b) \(2\pi rh\) hat eine Flächeneinheit, nicht eine Volumeneinheit. c) \(G=\pi r^2\) und damit \(V=Gh=\pi r^2h\).

- Liste zuerst die tatsächlich sichtbaren bzw. mit Wasser gefüllten Teile des Tanks auf. - Für den Farbanstrich ist eine Oberfläche gesucht; für das Wasser ein Volumen. - Prüfe, ob bei beiden Rechnungen dieselbe Höhenangabe verwendet werden darf. - Runde erst nach dem vollständigen Einsetzen der jeweiligen Größen.

1. Für den Anstrich zählt nur die sichtbare Mantelfläche. Deshalb wird weder eine Kreisfläche noch die obere Öffnung berücksichtigt: \(A_{\text{Farbe}}=M=2\pi rh\) mit der gesamten Tankhöhe \(1{,}20\,\text{m}\). 2. Damit ist \(A_{\text{Farbe}}=2\pi\cdot0{,}45\,\text{m}\cdot1{,}20\,\text{m}=1{,}08\pi\,\text{m}^2\approx3{,}39\,\text{m}^2\). 3. Für das Wasservolumen ist nicht die gesamte Tankhöhe maßgeblich, sondern die Füllhöhe \(1{,}00\,\text{m}\). 4. Daher gilt \(V_{\text{Wasser}}=\pi(0{,}45\,\text{m})^2\cdot1{,}00\,\text{m}=0{,}2025\pi\,\text{m}^3\approx0{,}64\,\text{m}^3\).

a) Für den Anstrich wird nur die Mantelfläche mit \(h=1{,}20\,\text{m}\) verwendet; für das Wasser die Kreisgrundfläche mit der Füllhöhe \(1{,}00\,\text{m}\). b) Zu streichen: \(3{,}39\,\text{m}^2\); maximales Wasservolumen: \(0{,}64\,\text{m}^3\).

- Bestimme zuerst das Volumen des Prismas aus Grundflächeninhalt und Abstand der Grundflächen. - Wie kannst du aus Masse und Volumen des ersten Werkstücks die Dichte des Materials bestimmen? - Nutze dieselbe Dichte für den Zylinder und überlege, welche Größe dort noch fehlt.

1. Die Grundfläche des Prismas ist \(G=\frac{1}{2}\cdot4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Prismenvolumen beträgt \(V_P=Gh=6\,\text{cm}^2\cdot10\,\text{cm}=60\,\text{cm}^3\). 3. Daraus folgt für Aluminium die Dichte \(\rho=\frac{162\,\text{g}}{60\,\text{cm}^3}=2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\). 4. Das Zylindervolumen muss daher \(V_Z=\frac{270\,\text{g}}{2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}=100\,\text{cm}^3\) betragen. 5. Mit \(V_Z=\pi r^2h\) gilt \(100\,\text{cm}^3=4\pi\,\text{cm}^2\cdot h\), also \(h=\frac{25}{\pi}\,\text{cm}\approx7{,}96\,\text{cm}\). 6. Gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt die Zylinderhöhe \(8{,}0\,\text{cm}\).

Die Höhe des Zylinders beträgt etwa \(8{,}0\,\text{cm}\).

- Schreibe für beide Kerzen die Volumenformel auf und setze die Volumina gleich. - Ersetze die zweite Höhe durch den angegebenen Bruchteil der ersten Höhe und kürze gemeinsame Faktoren. - Überlege anschließend, welcher positive Radiusfaktor das erhaltene Verhältnis der Radiusquadrate erzeugt.

1. Für die beiden Kerzen gilt \(V_1=\pi r_1^2h_1\) und \(V_2=\pi r_2^2h_2\). 2. Mit \(V_1=V_2\) und \(h_2=\frac{1}{4}h_1\) ergibt sich \(\pi r_1^2h_1=\pi r_2^2\cdot\frac{1}{4}h_1\). 3. Nach dem Kürzen von \(\pi\) und \(h_1\) folgt \(r_2^2=4r_1^2\). 4. Da Radien positiv sind und \((2r_1)^2=4r_1^2\), gilt \(r_2=2r_1\).

Der Radius der zweiten Kerze ist doppelt so groß wie der Radius der ersten: \(r_2=2r_1\).

- Stelle dir das Rohr als einen großen Zylinder vor, aus dem ein kleinerer Zylinder in der Mitte entfernt wurde. - Achte genau darauf, wie sich der Innenradius aus dem Außenradius und der Wandstärke ergibt. - Welche Einheit bietet sich für die Längenmaße an, wenn die Dichte in \(\text{kg/dm}^3\) gegeben ist?

1. Bestimmung der Radien in Dezimetern für eine einfachere Berechnung: Äußerer Radius \(R = \frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm} = 3\,\text{dm}\). 2. Innerer Radius berechnen: \(r = R - \text{Wandstärke} = 30\,\text{cm} - 8\,\text{cm} = 22\,\text{cm} = 2{,}2\,\text{dm}\). 3. Länge in Dezimetern: \(h = 2{,}5\,\text{m} = 25\,\text{dm}\). 4. Berechnung des Volumens des Hohlzylinders: \(V = \pi \cdot (R^2 - r^2) \cdot h = \pi \cdot (3^2 - 2{,}2^2) \cdot 25 = \pi \cdot (9 - 4{,}84) \cdot 25 = \pi \cdot 4{,}16 \cdot 25 = 104\pi \approx 326{,}73\,\text{dm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho \approx 326{,}73\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 \approx 784{,}15\,\text{kg}\).

Die Masse des Betonrohres beträgt ca. \(784{,}15\,\text{kg}\).

- Stelle dir vor, du schaust von oben exakt senkrecht auf den Turm. Welche Fläche siehst du insgesamt? - Vergiss nicht, dass beim Stapeln einige Flächen verdeckt werden. Welche Teile der Mantelflächen bleiben sichtbar? - Kannst du eine Liste aller Radien machen, um bei der Summenbildung den Überblick zu behalten?

1. Berechnung der Einzeloberflächen: Für jede Scheibe gilt \(O_i = 2\pi r_i^2 + 2\pi r_ih\). 2. Summe der Einzeloberflächen: \(\sum O_i = 2\pi(5^2+5) + 2\pi(6^2+6) + 2\pi(7^2+7) + 2\pi(8^2+8) + 2\pi(9^2+9) = 2\pi(30+42+56+72+90) = 580\pi \approx 1822{,}12\,\text{cm}^2\). 3. Sichtbarer Oberflächeninhalt des Stapels: - Unterseite: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Die sichtbaren horizontalen Flächen auf der Oberseite (die obere Kreisfläche der kleinsten Scheibe und die vier Ringflächen) ergeben zusammen genau die Fläche der größten Scheibe: \(\pi \cdot 9^2 = 81\pi\). - Mantelflächen aller 5 Scheiben: \(2\pi \cdot 1 \cdot (5+6+7+8+9) = 70\pi\). 4. Gesamtsumme Stapel: \(81\pi + 81\pi + 70\pi = 232\pi \approx 728{,}85\,\text{cm}^2\).

a) Die Summe der Einzeloberflächen beträgt ca. \(1822{,}12\,\text{cm}^2\). b) Die sichtbare Oberfläche des Turms beträgt ca. \(728{,}85\,\text{cm}^2\).

- Welcher Bruchteil des Kreises bleibt übrig, wenn man ein Stück herausschneidet? - Stell dir den Käse nach dem Schnitt vor: Welche neuen Flächen sind dazugekommen, die vorher im Inneren des Käses waren? - Aus welchen geometrischen Formen bestehen die Schnittflächen?

1. Bestimmung des Radius: \(r = \frac{d}{2} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Anteils des verbleibenden Körpers: Da ein \(60^\circ\)-Sektor entfernt wurde, bleiben \(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\) des Kreises übrig. Der Anteil beträgt \(\frac{300}{360} = \frac{5}{6}\). 3. Volumen des verbleibenden Käses: \(V = \frac{5}{6}\pi r^2h = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 10 = 1200\pi \approx 3769{,}91\,\text{cm}^3\). 4. Oberflächeninhalt der zwei Grundflächen (oben und unten): \(2A_{\text{Sektor}} = 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot 12^2 = 240\pi \approx 753{,}98\,\text{cm}^2\). 5. Inhalt der gekrümmten Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac{5}{6} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 200\pi \approx 628{,}32\,\text{cm}^2\). 6. Inhalt der zwei rechteckigen Schnittflächen: \(2 \cdot (r \cdot h) = 2 \cdot (12 \cdot 10) = 240\,\text{cm}^2\). 7. Gesamter Oberflächeninhalt: \(O = 753{,}98 + 628{,}32 + 240 = 1622{,}30\,\text{cm}^2\).

a) Das Volumen beträgt ca. \(3769{,}91\,\text{cm}^3\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt ca. \(1622{,}30\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, alle Maße in dieselbe Einheit (cm) umzurechnen, bevor du rechnest. - Ein Viertelzylinder hat eine Grundfläche, die ein Viertel eines Kreises ist. - Wie viele Begrenzungsflächen hat dieser Körper insgesamt? - Die Masse berechnet man, indem man das Volumen mit der Dichte multipliziert.

1. Umrechnung der Höhe: \(h = 200\,\text{cm}\). 2. Grundfläche (Viertelkreis): \(A_G = \frac14\pi\cdot 25^2 = 156{,}25\pi \approx 490{,}87\,\text{cm}^2\). 3. Gekrümmte Mantelfläche: \(M_{\text{Bogen}} = \frac14\cdot 2\pi\cdot 25\cdot 200 = 2500\pi \approx 7853{,}98\,\text{cm}^2\). 4. Die beiden rechteckigen Seitenflächen haben zusammen \(2\cdot 25\cdot 200 = 10\,000\,\text{cm}^2\). 5. Ohne Zwischenrundung ist \(O = 2A_G + M_{\text{Bogen}} + 10\,000 = 2812{,}5\pi + 10\,000 \approx 18\,835{,}73\,\text{cm}^2\). 6. Volumen: \(V=A_G\cdot h=31\,250\pi \approx 98\,174{,}77\,\text{cm}^3\). 7. Masse: \(m=V\cdot 2{,}7\,\text{g/cm}^3 \approx 265\,071{,}88\,\text{g} \approx 265{,}07\,\text{kg}\).

a) \(O \approx 18\,835{,}73\,\text{cm}^2\) b) \(m \approx 265{,}07\,\text{kg}\)

- Unterscheide bei Volumen und Oberfläche sorgfältig die Größen, die von der Höhe abhängen, von den unveränderten Größen. - Formuliere die alten und neuen Größen zunächst symbolisch. - Vergleiche die neue Oberfläche mit einem echten Dreifachen der ursprünglichen Oberfläche, ohne konkrete Maße einzusetzen.

1. Das ursprüngliche Volumen ist \(V=Gh\). Bei der neuen Höhe \(3h\) gilt \(V_{neu}=G(3h)=3V\). Das Volumen verdreifacht sich. 2. Für ein gerades Prisma gilt \(M=uh\), wobei \(u\) der Umfang der Grundfläche ist. Da \(u\) unverändert bleibt, gilt \(M_{neu}=u(3h)=3M\). Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls. 3. Die Oberfläche ist \(O=2G+M\). Nach der Höhenänderung gilt \(O_{neu}=2G+3M\). 4. Das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche wäre \(3O=6G+3M\). Weil \(G>0\), gilt \(2G+3M<6G+3M\). 5. Die neue Oberfläche ist daher kleiner als das Dreifache der ursprünglichen Oberfläche. Nur der Mantel wird verdreifacht; die beiden Grundflächen bleiben unverändert.

a) Das Volumen verdreifacht sich: \(V_{neu}=3V\). b) Die Mantelfläche verdreifacht sich ebenfalls: \(M_{neu}=3M\). c) Die Behauptung ist falsch. Die beiden Grundflächen bleiben unverändert, daher gilt \(O_{neu}=2G+3M<3(2G+M)\).

- Wandle das gemeinsame Volumen zuerst in \(\text{cm}^3\) um. - Bestimme für jeden Behälter zunächst das Quadrat des Radius aus \(V=\pi r^2h\) und nutze passende positive Quadratzahlen. - Berechne danach beide Mantelflächen mit denselben Einheiten und vergleiche sie.

1. Das gemeinsame Volumen beträgt \(28{,}26\,\text{l}=28260\,\text{cm}^3\). 2. Für Behälter A folgt aus \(V=\pi r^2h\): \(r_A^2=28260:(3{,}14\cdot40)\,\text{cm}^2=225\,\text{cm}^2\). Da \((15\,\text{cm})^2=225\,\text{cm}^2\), ist \(r_A=15\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(M_A=2\pi r_Ah_A\approx2\cdot3{,}14\cdot15\,\text{cm}\cdot40\,\text{cm}=3768\,\text{cm}^2\). 4. Für Behälter B gilt \(r_B^2=28260:(3{,}14\cdot90)\,\text{cm}^2=100\,\text{cm}^2\). Da \((10\,\text{cm})^2=100\,\text{cm}^2\), ist \(r_B=10\,\text{cm}\). 5. Damit ist \(M_B\approx2\cdot3{,}14\cdot10\,\text{cm}\cdot90\,\text{cm}=5652\,\text{cm}^2\). 6. Weil \(3768\,\text{cm}^2<5652\,\text{cm}^2\), besitzt Behälter A die kleinere Mantelfläche.

Behälter A hat die kleinere Mantelfläche: \(M_A=3768\,\text{cm}^2\), \(M_B=5652\,\text{cm}^2\).

- Setze das gegebene Volumen in die Formel ein, um die unbekannte Höhe zu isolieren. - Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck (dem Mantel). - Berücksichtige beim Materialbedarf zuerst die Anzahl der Dosen und schlage dann den Prozentsatz für den Verschnitt auf. - Denk an die Umrechnungszahl für Flächeneinheiten (\(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\)).

1. Für \(V = 425\,\text{cm}^3\) gilt \(h_A = \frac{425}{\pi\cdot 3{,}5^2} \approx 11{,}04\,\text{cm}\) und \(h_B = \frac{425}{\pi\cdot 4{,}2^2} \approx 7{,}67\,\text{cm}\). 2. Mit \(O=2\pi r^2+2\pi rh\) und \(2\pi rh=\frac{2V}{r}\) erhält man ohne Zwischenrundung: Dose A: \(O_A = 2\pi\cdot 3{,}5^2 + \frac{2\cdot 425}{3{,}5} \approx 319{,}83\,\text{cm}^2\). Dose B: \(O_B = 2\pi\cdot 4{,}2^2 + \frac{2\cdot 425}{4{,}2} \approx 313{,}22\,\text{cm}^2\). 3. Dose B ist materialsparender. Für 1000 Stück einschließlich \(15\,\%\) Verschnitt werden \(1000\cdot O_B\cdot 1{,}15 \approx 360\,198{,}79\,\text{cm}^2\) benötigt. 4. Das sind \(36{,}02\,\text{m}^2\).

a) Höhe Dose A: ca. \(11{,}04\,\text{cm}\); Höhe Dose B: ca. \(7{,}67\,\text{cm}\). b) Oberfläche Dose A: ca. \(319{,}83\,\text{cm}^2\); Oberfläche Dose B: ca. \(313{,}22\,\text{cm}^2\). c) Für 1000 Stück der Dose B werden einschließlich Verschnitt ca. \(36{,}02\,\text{m}^2\) Blech benötigt.

- Berechne zuerst für beide Körper die fehlende Höhe, indem du die Volumenformel nach der Höhe auflöst. - Verwende für die Oberfläche die Summe aus der Mantelfläche und den beiden Grundflächen. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Oberflächenwerte.

1. Umrechnung des Volumens: \(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Höhe \(h_A\) für Modell A: \(V = \pi r^2h_A \implies 1000 = \pi \cdot 5^2 \cdot h_A \implies h_A = \frac{40}{\pi} \approx 12{,}73\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Oberfläche \(O_A\): \(O_A = 2\pi r^2 + 2\pi r h_A = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{40}{\pi} = 50\pi + 400 \approx 557{,}08\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Höhe \(h_B\) für Modell B: \(V = a^2h_B \implies 1000 = 10^2 \cdot h_B \implies h_B = 10\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Oberfläche \(O_B\): \(O_B = 2a^2 + 4ah_B = 2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 \cdot 10 = 200 + 400 = 600\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Da \(557{,}08\,\text{cm}^2 < 600\,\text{cm}^2\), hat Modell A die geringere Oberfläche.

Modell A (der Zylinder) ist mit \(O_A \approx 557\,\text{cm}^2\) sparsamer als Modell B (das Prisma) mit \(O_B = 600\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst das Volumen des Quaders und nutze es in Teil a) zusammen mit der Dichte. - Beim Walzen bleibt das Volumen erhalten; gleiche daher Dicke und Volumeneinheit sorgfältig an. - Wenn die Fläche des quadratischen Blatts feststeht, vergleiche sie mit bekannten Quadratflächen positiver Seitenlängen.

1. Das Volumen des Barrens beträgt \(V=5\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}\cdot1\,\text{cm}=10\,\text{cm}^3\). 2. a) Die Masse ist \(m=V\rho=10\,\text{cm}^3\cdot19{,}3\,\text{g/cm}^3=193\,\text{g}\). 3. b) Die Dicke beträgt \(0{,}0001\,\text{mm}=0{,}00001\,\text{cm}\). 4. Wegen der Volumenerhaltung ist die Fläche des Goldblatts \(A=V:h=10\,\text{cm}^3:0{,}00001\,\text{cm}=1000000\,\text{cm}^2=100\,\text{m}^2\). 5. Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(10\,\text{m}\) hat den Flächeninhalt \((10\,\text{m})^2=100\,\text{m}^2\). Daher beträgt die gesuchte Seitenlänge \(10\,\text{m}\).

a) \(m=193\,\text{g}\) b) Die Seitenlänge des quadratischen Goldblatts beträgt \(10\,\text{m}\).

- Welche neuen Flächen entstehen durch das Bohren und welche Teile der ursprünglichen Oberfläche fallen weg? - Berechne am besten zuerst die Oberfläche des vollen Zylinders. - Wie berechnet man den Oberflächeninhalt der Innenseite des Lochs? - Denk an die Formel für die prozentuale Veränderung: \(\frac{\text{neuer Wert}-\text{alter Wert}}{\text{alter Wert}}\).

1. Oberfläche des massiven Zylinders: \(O_{\text{alt}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi \cdot 6^2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 15 = 72\pi + 180\pi = 252\pi \approx 791{,}68\,\text{cm}^2\). 2. Oberfläche des Hohlzylinders: Die Grundflächen verringern sich um \(2 \cdot \pi \cdot 2^2 = 8\pi\), die äußere Mantelfläche bleibt gleich (\(180\pi\)), und eine innere Mantelfläche kommt hinzu (\(M_i = 2\pi \cdot 2 \cdot 15 = 60\pi\)). 3. Neue Oberfläche: \(O_{\text{neu}} = 2\pi(6^2 - 2^2) + 180\pi + 60\pi = 64\pi + 180\pi + 60\pi = 304\pi \approx 955{,}04\,\text{cm}^2\). 4. Prozentuale Zunahme: \(\frac{304\pi - 252\pi}{252\pi} = \frac{52}{252} \approx 0{,}2063\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(20{,}6\,\%\).

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um ca. \(20{,}6\,\%\).

- Stelle dir vor, wie die Grundfläche aussieht, nachdem das Loch gebohrt wurde. - Vergiss beim Oberflächeninhalt nicht, dass durch die Bohrung eine neue Fläche im Inneren entstanden ist. - Welche Flächen gehören zur „Außenseite“ und welche zur „Innenseite“? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises für die Mantelfläche des Lochs?

1. Grundfläche des Prismas: \(G_{\text{Prisma}}=s^2=100\,\text{cm}^2\). 2. Querschnittsfläche des Lochs mit \(r=3\,\text{cm}\): \(G_{\text{Loch}}=9\pi\,\text{cm}^2\). 3. Verbleibende Querschnittsfläche: \(G_{\text{neu}}=100-9\pi\,\text{cm}^2\). 4. Volumen: \(V=(100-9\pi)\cdot 20 = 2000-180\pi \approx 1434{,}51\,\text{cm}^3\). 5. Die Oberfläche besteht aus den beiden durchbohrten quadratischen Flächen, dem äußeren Prismenmantel und der Innenwand der Bohrung: \(O=2(100-9\pi)+4\cdot 10\cdot 20+2\pi\cdot 3\cdot 20 = 1000+102\pi \approx 1320{,}44\,\text{cm}^2\).

a) \(V \approx 1434{,}51\,\text{cm}^3\) b) \(O \approx 1320{,}44\,\text{cm}^2\)

- Wie drückst du eine Zunahme um \(25\,\%\) als Dezimalfaktor aus? - Wenn das Volumen gleich bleibt, wie hängen Radius und Höhe voneinander ab? - Denke daran, dass der Radius in der Formel quadriert wird. Welchen Faktor ergibt das für die Grundfläche? - Wie viel fehlt von der neuen Höhe bis zu \(100\,\%\) der alten Höhe?

1. Definition der neuen Maße: \(r_2 = 1{,}25r_1\). 2. Aufstellen der Volumengleichung für konstantes Volumen: \(V = \pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2\). 3. Einsetzen von \(r_2\): \(\pi r_1^2h_1 = \pi (1{,}25r_1)^2h_2 = \pi \cdot 1{,}5625 \cdot r_1^2 \cdot h_2\). 4. Kürzen von \(\pi r_1^2\) ergibt \(h_1 = 1{,}5625h_2\). 5. Auflösen nach der neuen Höhe: \(h_2 = \frac{1}{1{,}5625}h_1 = 0{,}64h_1\). 6. Berechnung der prozentualen Verringerung: \(1 - 0{,}64 = 0{,}36\), was einer Abnahme um \(36\,\%\) entspricht.

Die Höhe muss um \(36\,\%\) verringert werden.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Kreisrings? - Denke an die dritte binomische Formel, um die Differenz der Quadrate umzuformen. - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit, zum Beispiel Zentimeter, vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse zusammen? - Überlege, an welcher Stelle der Formel die Länge \(l\) steht.

1. Aufstellen der Volumenformel: Das Volumen eines Hohlzylinders berechnet sich aus der Differenz der Volumina des Außen- und Innenzylinders: \(V = \frac{\pi D^2}{4}l - \frac{\pi d^2}{4}l = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\). 2. Faktorisierung: Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\). 3. Umrechnung der Einheiten: \(l = 2{,}5\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{3{,}14 \cdot 250}{4} \cdot (12^2 - 10^2) = 196{,}25 \cdot (144 - 100) = 196{,}25 \cdot 44 = 8635\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 8635\,\text{cm}^3 \cdot 7{,}85\,\text{g/cm}^3 = 67\,784{,}75\,\text{g} = 67{,}78475\,\text{kg}\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\). 6. Proportionalität: Da das Volumen und damit die Masse direkt proportional zur Länge \(l\) sind, verdoppelt sich bei doppelter Länge auch die Masse.

a) \(V = \frac{\pi l}{4}(D^2 - d^2)\) b) \(V = \frac{\pi l}{4}(D - d)(D + d)\) c) \(m \approx 67{,}78\,\text{kg}\) d) Die Masse verdoppelt sich, da sie direkt proportional zur Länge ist.

- Wie hängen \(\text{cm}^3\) und \(\text{dm}^3\) zusammen? - Stell dir den Ring von oben vor: Was misst man, wenn man vom Außenrand zum Innenrand misst? - Wie verändert sich der Rauminhalt eines Körpers, wenn man ihn in alle drei Richtungen gleichmäßig streckt?

1. Berechnung der Grundfläche: \(A = \pi (R^2 - r^2) = 3{,}14 \cdot (50^2 - 40^2) = 3{,}14 \cdot (2500 - 1600) = 3{,}14 \cdot 900 = 2826\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = Ah = 2826\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} = 226\,080\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in \(\text{dm}^3\) (Liter): \(226\,080 : 1000 = 226{,}08\,\text{dm}^3\) bzw. \(226{,}08\,\text{l}\). 4. Berechnung der Masse: \(m = V\rho = 226{,}08\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg/dm}^3 = 542{,}592\,\text{kg}\). 5. Geometrische Interpretation: Der Ausdruck \((R - r)\) entspricht der Differenz zwischen Außen- und Innenradius, was der Wandstärke des Rings entspricht. 6. Skalierungsfaktor: Bei Verdoppelung aller Längenmaße wächst das Volumen eines Körpers mit dem Faktor \(2^3 = 8\).

a) \(V = 226{,}08\,\text{l}\) b) \(m = 542{,}592\,\text{kg}\) c) \((R - r)\) ist die Wandstärke des Rings. d) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(8\).

- Schreibe Mantelfläche und Grundfläche zunächst mit \(r\) und \(h\) auf. - Übersetze „dreimal so groß“ in eine Gleichung zwischen \(M\) und \(G\). - Welche gemeinsamen Faktoren kannst du in dieser Gleichung kürzen, ohne den Radius als null anzunehmen?

1. Mit \(M=2\pi rh\), \(G=\pi r^2\) und \(M=3G\) gilt \(2\pi rh=3\pi r^2\). 2. Weil \(r>0\), kann durch \(\pi r\) geteilt werden. Damit folgt \(2h=3r\). 3. Für \(h=15\,\text{cm}\) ist \(30\,\text{cm}=3r\), also \(r=10\,\text{cm}\). 4. Das Volumen beträgt \(V=\pi r^2h=1500\pi\,\text{cm}^3\approx4712{,}4\,\text{cm}^3\). 5. Die Oberfläche beträgt \(O=2G+M=500\pi\,\text{cm}^2\approx1570{,}8\,\text{cm}^2\).

a) \(r=10\,\text{cm}\) b) \(V\approx4712{,}4\,\text{cm}^3\) c) \(O\approx1570{,}8\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die fünfeckige Stirnfläche in Flächen, deren Inhalte du direkt berechnen kannst. - Für das Volumen brauchst du die Stirnfläche und die Länge der Box. - Für die Mantelfläche ist der gesamte Umfang der Stirnfläche entscheidend. - Achte bei beiden Teilaufgaben auf die jeweils geforderte Einheit.

1. Die Stirnfläche lässt sich in ein Rechteck \(80\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\), ein Rechteck \(40\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\) und ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(40\,\text{cm}\) und \(30\,\text{cm}\) zerlegen. 2. Daher ist \(G = 4000\,\text{cm}^2 + 800\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 = 5400\,\text{cm}^2\). 3. Mit der Tiefe von \(100\,\text{cm}\) folgt \(V = G\cdot100\,\text{cm} = 5400\,\text{cm}^2 \cdot 100\,\text{cm} = 540\,000\,\text{cm}^3 = 540\,\text{l}\). 4. Der Umfang der Stirnfläche beträgt \(u = 120\,\text{cm} + 20\,\text{cm} + 50\,\text{cm} + 80\,\text{cm} + 50\,\text{cm} = 320\,\text{cm}\). 5. Somit ist die Mantelfläche \(M = u\cdot100\,\text{cm} = 320\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 32\,000\,\text{cm}^2\). 6. Die gesamte Oberfläche ist \(O = 2G + M = 10\,800\,\text{cm}^2 + 32\,000\,\text{cm}^2 = 42\,800\,\text{cm}^2 = 4{,}28\,\text{m}^2\).

a) \(540\,\text{l}\) b) \(4{,}28\,\text{m}^2\)

- Ersetze in der Volumenformel die Höhe durch die gegebene Beziehung zwischen Höhe und Radius. - Da der Radius eine natürliche Zahl ist, kannst du kleine ganzzahlige Werte der Reihe nach prüfen. - Prüfe beim gefundenen Radius, ob das vorgegebene Volumen tatsächlich entsteht. - Welche Teilflächen bilden anschließend die vollständige Oberfläche des geschlossenen Zylinders?

1. Wegen \(h=2r\) wird aus \(V=\pi r^2h\) die Bedingung \(2\pi r^3=250\pi\,\text{cm}^3\), also \(2r^3=250\). 2. Systematisches Probieren natürlicher Radien: Für \(r=3\) ist \(2r^3=54\), für \(r=4\) ist \(2r^3=128\), für \(r=5\) ist \(2r^3=250\). Daher gilt \(r=5\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\). 3. Für die Oberfläche gilt \(O=2\pi r^2+2\pi rh\). 4. Einsetzen liefert \(O=2\pi \cdot (5\,\text{cm})^2+2\pi \cdot 5\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=150\pi\,\text{cm}^2\). 5. Numerisch ist \(O\approx471{,}24\,\text{cm}^2\).

1. \(r=5\,\text{cm}\) 2. \(O=150\pi\,\text{cm}^2\approx471{,}24\,\text{cm}^2\)

- Beginne mit dem Volumen des Quaders, der über einem einzigen Gitterquadrat steht. - Wie kannst du mit vollständig innen liegenden Quadraten eine untere und mit allen berührten Quadraten eine obere Abschätzung erhalten? - Überlege, was mit dem Unterschied zwischen innerer und äußerer Überdeckung geschieht, wenn die Quadrate immer kleiner werden. - Prüfe am Ende, welche Eigenschaft der Grundfläche in deiner Begründung tatsächlich verwendet wird.

1. Über jedem Gitterquadrat mit Flächeninhalt \(a\) steht ein Quader der Höhe \(h\) und damit mit Volumen \(ah\). 2. Die vollständig innen liegenden Quadrate haben zusammen einen Flächeninhalt \(G_{\text{innen}}\). Ihre Quader besitzen zusammen das Volumen \(G_{\text{innen}}h\) und liegen vollständig im Prisma. 3. Nimmt man zusätzlich alle Randquadrate, erhält man eine äußere Überdeckung mit Flächeninhalt \(G_{\text{außen}}\). Die zugehörigen Quader haben zusammen das Volumen \(G_{\text{außen}}h\) und enthalten das Prisma. Daher gilt \(G_{\text{innen}}h\le V\le G_{\text{außen}}h\). 4. Wird das Gitter immer feiner, nähern sich \(G_{\text{innen}}\) und \(G_{\text{außen}}\) beide dem Grundflächeninhalt \(G\). Damit nähern sich beide Volumenschranken \(Gh\), also folgt \(V=Gh\). 5. Entscheidend ist nur der Flächeninhalt \(G\); eine besondere Form des Randes wurde nicht vorausgesetzt.

Ein feines Quadratgitter liefert eine innere und eine äußere Überdeckung der Grundfläche. Die zugehörigen Quader ergeben die Schranken \(G_{\text{innen}}h\le V\le G_{\text{außen}}h\). Bei immer feinerem Gitter nähern sich beide Grundflächen \(G\), daher nähern sich beide Schranken \(Gh\). Somit gilt für das gerade Prisma \(V=Gh\), unabhängig von der Form seiner Grundfläche.

- Vergleiche, wie viel Kreisfläche zwischen Vieleck und Kreisrand bei sechs und bei zwölf Ecken übrig bleibt. - Die Höhe ändert sich beim Übergang von Prisma zu Zylinder nicht. - Welche Größe in \(V_n=G_nh\) nähert sich einer Kreisgröße? - Beachte, ob das Vieleck innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.

1. Mit wachsender Eckenzahl folgt der Rand des regelmäßigen Vielecks dem Kreis immer genauer. Sein Flächeninhalt \(G_n\) nähert sich daher dem Kreisflächeninhalt \(\pi r^2\). 2. Alle Prismen und der Zylinder besitzen dieselbe Höhe \(h\). Für die Prismen gilt \(V_n=G_nh\). 3. Wenn \(G_n\) gegen \(\pi r^2\) geht, gehen die Prismenvolumina gegen \(\pi r^2h\). Das macht die Zylinderformel \(V=\pi r^2h\) plausibel. 4. Die Vielecke liegen vollständig innerhalb des Kreises. Deshalb ist \(G_n<\pi r^2\) und damit zunächst auch \(V_n<\pi r^2h=V_{\text{Zylinder}}\).

a) \(G_n\) nähert sich von unten dem Kreisflächeninhalt \(\pi r^2\). b) Aus \(V_n=G_nh\) folgt im Grenzgedanken \(V=\pi r^2h\). c) Die einbeschriebenen Vielecke und damit ihre Prismen liegen vollständig innerhalb des Kreisgrundrisses bzw. Zylinders.

- Zerlege den verbleibenden Querschnitt in einen Kreissektor und ein Dreieck, bevor du mit der Körperlänge multiplizierst. - Für die flache Sitzfläche sind Breite und Länge bereits gegeben; überlege, welche ebene Form dadurch entsteht. - Bestimme für die Tragfähigkeitsfrage aus Volumen und Dichte zuerst die Masse und vergleiche sie mit der gemeinsamen Grenze der drei Personen.

1. Der Radius beträgt \(r=30\,\text{cm}\), die Länge \(l=200\,\text{cm}\). 2. a) Die Querschnittsfläche des verbleibenden Stamms setzt sich aus einem \(270^\circ\)-Sektor und einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(30\,\text{cm}\) zusammen. Es gilt \(A_G=\frac{270^\circ}{360^\circ}\pi(30\,\text{cm})^2+\frac{1}{2}\cdot30\,\text{cm}\cdot30\,\text{cm}=675\pi\,\text{cm}^2+450\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(V=A_Gl=(675\pi+450)\,\text{cm}^2\cdot200\,\text{cm}\approx514115\,\text{cm}^3\). 4. b) Die flache Sitzfläche ist ein Rechteck. Ihr Flächeninhalt beträgt \(42{,}43\,\text{cm}\cdot200\,\text{cm}=8486\,\text{cm}^2\). 5. c) Die Masse beträgt \(m=V\rho\approx514115{,}01\,\text{cm}^3\cdot0{,}6\,\text{g/cm}^3\approx308469\,\text{g}\approx308{,}47\,\text{kg}\). 6. Drei Personen können zusammen höchstens \(3\cdot50\,\text{kg}=150\,\text{kg}\) tragen. Daher können sie die Bank nicht tragen.

a) \(V\approx514115\,\text{cm}^3\) b) \(A_{\text{Sitz}}=8486\,\text{cm}^2\) c) Nein. Die Bank hat eine Masse von ca. \(308{,}47\,\text{kg}\), die gemeinsame Tragfähigkeit beträgt nur \(150\,\text{kg}\).