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- Vergleiche nur, in welchen Quadranten die Äste von \(f\) und \(g\) liegen. - Entscheide daraus, welches Vorzeichen die Funktionswerte von \(g\) für positive \(x\) haben.

1. Bei \(f\) liegen die Äste in den Quadranten I und III; bei \(g\) liegen sie in den Quadranten II und IV. 2. Damit haben die Funktionswerte bei gleichem \(x\) das entgegengesetzte Vorzeichen. Also ist \(a\) bei \(g\) negativ.

\(a\) ist bei \(g\) negativ.

- Vergleiche bei Zähler und Nenner die Terme mit der höchsten Potenz von \(x\). - Welche Information liefert die waagrechte Asymptote über das Verhältnis der führenden Koeffizienten? - Wann ist ein Bruch gleich null, sofern sein Nenner nicht null ist?

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Deshalb entspricht der Wert der waagrechten Asymptote dem Verhältnis der führenden Koeffizienten. Hier ist dieses Verhältnis \(a:1=a\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y=5\) folgt daher \(a=5\). 3. Damit lautet die Funktion \(h(x)=\frac{5x-15}{x+3}\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss der Zähler null sein: \(5x-15=0 \implies x=3\). 5. Für \(x=3\) ist der Nenner \(3+3=6\neq0\). Somit ist der Schnittpunkt \(N(3\mid0)\).

\(a=5\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3\mid0)\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner sehr groß oder sehr nah an 0 wird? - Welche Zahl darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Vergleiche die Faktoren im Zähler: Wie beeinflussen sie die „Weite“ der Hyperbeläste? - Setze den gegebenen \(x\)-Wert einfach in die Gleichungen ein.

1. Analyse der Gemeinsamkeiten: Beide Funktionen sind hyperbolisch. Da der Nenner nicht null sein darf, ist der maximale Definitionsbereich \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die Achsen des Koordinatensystems sind die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). 2. Vergleich der Parameter: Der Betrag des Zählers bestimmt den Abstand zum Ursprung. Da \(|0{,}6| < |3|\) gilt, verläuft der Graph von \(g\) näher am Ursprung als der Graph von \(f\). 3. Berechnung der Funktionswerte: - \(f(1{,}5) = \frac{3}{1{,}5} = 2\) - \(g(1{,}5) = \frac{0{,}6}{1{,}5} = 0{,}4\)

a) Beide Graphen haben die \(y\)-Achse (\(x=0\)) als senkrechte und die \(x\)-Achse (\(y=0\)) als waagerechte Asymptote. Der Definitionsbereich ist jeweils \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). b) Der Graph von \(g\) liegt näher am Ursprung, da der Betrag des Parameters im Zähler (\(0{,}6\)) kleiner ist als bei \(f\) (\(3\)). c) \(f(1{,}5) = 2\) und \(g(1{,}5) = 0{,}4\).

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn du den Zähler einer Bruchfunktion vergrößerst? - Überlege dir für Teil b), welche Vorzeichen die Ergebnisse haben, wenn du positive oder negative Zahlen einsetzt. - Erinnere dich daran, wie sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage im Koordinatensystem auswirkt.

1. Vergleich von \(g(x) = \frac{5}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da der Zähler von \(1\) auf \(5\) vergrößert wurde, ist der Graph von \(g\) im Vergleich zu \(f\) gestreckt. Die Hyperbeläste von \(g\) liegen bei gleichen \(x\)-Werten weiter vom Koordinatenursprung entfernt als die von \(f\). 2. Vergleich von \(h(x) = -\frac{1}{x}\) mit \(f(x) = \frac{1}{x}\): Da das Vorzeichen des Funktionsterms umgekehrt wurde, ist der Graph von \(h\) eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse (oder auch an der \(y\)-Achse). 3. Quadranten bestimmen: Die Äste von \(f(x)\) liegen im I. und III. Quadranten. Durch die Spiegelung liegen die Äste von \(h(x)\) im II. und IV. Quadranten.

a) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) gestreckt; seine Äste liegen weiter vom Ursprung entfernt. b) Der Graph von \(h\) ist eine Spiegelung von \(f\) an der \(x\)-Achse. \(f\) verläuft im I. und III. Quadranten, \(h\) verläuft im II. und IV. Quadranten.

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Koordinate des Punktes musst du für \(x\) und welche für \(f(x)\) einsetzen? - Isoliere den unbekannten Parameter Schritt für Schritt.

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(1 \mid 1)\) in die Funktionsgleichung: \(1 = \frac{a}{1+3} - 2\). 2. Vereinfachen des Nenners: \(1 = \frac{a}{4} - 2\). 3. Addition von \(2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3 = \frac{a}{4}\). 4. Multiplikation mit \(4\), um nach \(a\) aufzulösen: \(a = 12\).

Der Parameter ist \(a = 12\).

- Beobachte, welchem Wert sich die Funktion für große Beträge von \(x\) nähert. - Suche einen Punkt auf dem Graphen mit ganzzahligen Koordinaten. - Setze die Koordinaten dieses Punktes in die Funktionsgleichung ein, um \(a\) zu berechnen.

1. Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 2\). Somit ist die waagerechte Asymptote \(y = 2\), woraus \(c = 2\) folgt. 2. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(1 \mid 3)\). Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x^2} + 2\) ergibt \(3 = \frac{a}{1^2} + 2 \Rightarrow a = 1\). 3. Die Parameter sind \(a = 1\) und \(c = 2\).

\(a = 1\) und \(c = 2\)

- Welche Parameter sind laut Aufgabenstellung bei allen drei Funktionen fest, und welche Asymptoten bestimmen sie? - Wähle den vorgegebenen \(x\)-Wert so, dass der Nenner besonders einfach wird. - Vergleiche getrennt, was sich bei einer Änderung des Betrags und bei einem Wechsel des Vorzeichens von \(a\) verändert.

1. Da \(b=1\) und \(c=-1\) bei allen drei Funktionen gleich sind, haben alle Graphen die Asymptoten \(x=1\) und \(y=-1\). 2. Bei \(x=2\) ist der Nenner \(2-1=1\), also gilt \(f(2)=a-1\). Aus dem Graphen liest man \(p(2)=0\), \(q(2)=2\) und \(r(2)=-3\). Daher gehören \(a=1\) zu \(p\), \(a=3\) zu \(q\) und \(a=-2\) zu \(r\). 3. Von \(p\) zu \(q\) bleibt das Vorzeichen gleich, aber \(|a|\) wird größer. Bei gleichem Abstand von der senkrechten Asymptote liegt der Graph weiter von der waagrechten Asymptote entfernt. 4. Von \(p\) zu \(r\) wechselt das Vorzeichen von \(a\). Dadurch liegen die beiden Äste in den jeweils gegenüberliegenden Bereichen relativ zum Asymptotenschnittpunkt.

a) Gemeinsame Asymptoten: \(x=1\) und \(y=-1\). b) \(p: a=1\); \(q: a=3\); \(r: a=-2\). c) Ein größerer Betrag von \(a\) vergrößert bei gleichem \(x\)-Abstand den Abstand zur waagrechten Asymptote. Ein Vorzeichenwechsel von \(a\) vertauscht die Lage der beiden Äste relativ zum Asymptotenschnittpunkt.

- Bei welcher \(x\)-Koordinate wachsen die Funktionswerte in jedem Teilbild betragsmäßig stark? - Welche beiden Parameter sind ausdrücklich festgehalten, und welche Grapheneigenschaften steuern sie? - Vergleiche die \(x\)-Koordinaten der senkrechten Asymptoten, um die horizontale Verschiebung zu beschreiben.

1. In Teilbild \(p\) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-2\); deshalb ist \(b=-2\). In \(q\) liegt sie bei \(x=0\); daher ist \(b=0\). In \(r\) liegt sie bei \(x=3\); daher ist \(b=3\). 2. Die waagrechte Asymptote bleibt \(y=1\), weil \(c=1\) fest ist. Auch Astlage und Form relativ zum jeweiligen Asymptotenschnittpunkt bleiben gleich, weil \(a=2\) unverändert positiv ist. 3. Von \(q\) mit \(b=0\) zu \(r\) mit \(b=3\) wird der gesamte Graph um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. Für \(b=5\) läge die senkrechte Asymptote bei \(x=5\).

a) \(p: b=-2\); \(q: b=0\); \(r: b=3\). b) Die waagrechte Asymptote \(y=1\) und die Form/Astlage relativ zum jeweiligen Mittelpunkt bleiben gleich. c) Von \(q\) zu \(r\): Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts. Für \(b=5\): senkrechte Asymptote \(x=5\).

- Welcher Parameter bestimmt bei dieser Funktionsform die waagrechte Asymptote? - Vergleiche, welche Parameter laut Aufgabenstellung fest bleiben und welche Eigenschaften sie steuern. - Betrachte für Teil c nur die Änderung des Parameters \(c\): Die \(x\)-Koordinate eines Punktes bleibt bei einer reinen vertikalen Verschiebung gleich.

1. Die waagrechten Asymptoten liegen bei \(p\) auf \(y=-2\), bei \(q\) auf \(y=1\) und bei \(r\) auf \(y=4\). Daher gilt \(c=-2\) für \(p\), \(c=1\) für \(q\) und \(c=4\) für \(r\). 2. Der Parameter \(b=1\) bleibt unverändert, deshalb bleibt die senkrechte Asymptote \(x=1\). Auch \(a=-2\) bleibt unverändert, deshalb bleiben Form und Astlage relativ zum jeweiligen Asymptotenschnittpunkt gleich. 3. Von \(p\) zu \(r\) steigt \(c\) von \(-2\) auf \(4\). Der Graph wird also um \(6\) Einheiten nach oben verschoben. Aus \(A(2\mid-4)\) wird damit \(A'(2\mid2)\).

a) \(p: c=-2\); \(q: c=1\); \(r: c=4\). b) Die senkrechte Asymptote bleibt \(x=1\), weil \(b=1\) fest ist. Form und Astlage relativ zum Mittelpunkt bleiben gleich, weil \(a=-2\) fest ist. c) \(A'(2\mid2)\).

- Welchen x-Wert musst du einsetzen, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen? - Wie kannst du eine Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auflösen? - Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Was müsste im Nenner passieren, damit man die Stelle \(x=0\) nicht berechnen kann?

1. Berechnung für Teilaufgabe a: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(x = 0\). Es gilt die Bedingung \(f(0) = 3\). 2. Gleichung aufstellen: \(\frac{12}{0 + k} = 3 \Rightarrow \frac{12}{k} = 3\). 3. Nach \(k\) auflösen: \(12 = 3k \Rightarrow k = 4\). 4. Überlegung für Teilaufgabe b: Ein Graph schneidet die \(y\)-Achse nicht, wenn \(x = 0\) nicht im Definitionsbereich liegt. 5. Definitionslücke bestimmen: Der Nenner wird Null, wenn \(x + k = 0\). Damit dies exakt an der Stelle \(x = 0\) passiert, muss \(0 + k = 0\) gelten, also \(k = 0\).

a) Der Wert ist \(k = 4\). b) Für \(k = 0\) schneidet der Graph die \(y\)-Achse nicht, da der Nenner an der Stelle \(x = 0\) Null wird und die Funktion dort nicht definiert ist.

- Welcher Teil der Funktionsgleichung gibt an, wie weit die Hyperbel nach oben oder unten verschoben wurde? - Wie hängen die waagerechte Asymptote und die Verschiebung in \(y\)-Richtung zusammen? - Was muss man für \(y\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptoten: Bei gebrochen-rationalen Funktionen der Form \(y = \frac{a}{x} + e\) ist die waagerechte Asymptote \(y = e\). Für \(h(x)\) ist dies \(y = 4\), für \(k(x)\) ist dies \(y = -1\). 2. Analyse der Verschiebung: Die Differenz der \(y\)-Verschiebungen beträgt \(-1 - 4 = -5\). Somit geht der Graph von \(k\) aus \(h\) hervor, indem man ihn um \(5\) Einheiten nach unten verschiebt. 3. Berechnung der Nullstelle von \(h\): Setze \(h(x) = 0\). \(0 = \frac{2}{x} + 4 \implies -4 = \frac{2}{x} \implies x = \frac{2}{-4} = -0{,}5\). Die Nullstelle liegt bei \(x = -0{,}5\).

a) Die waagerechte Asymptote von \(h\) ist \(y = 4\), die von \(k\) ist \(y = -1\). b) Der Graph von \(k\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h\) um \(5\) Einheiten nach unten. c) Die Nullstelle von \(h\) liegt bei \(x = -0{,}5\).

- Probiere für beide Funktionen jeweils einen positiven und einen negativen Wert für \(x\) aus, um die Lage der Zweige zu bestimmen. - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem Bruch auf das Aussehen des Graphen? - Vergleiche bei demselben von \(0\) verschiedenen \(x\)-Wert die Beträge \(|f(x)|\) und \(|g(x)|\).

1. Analyse der Quadranten: Bei \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist der Zähler positiv. Für positive \(x\) ist \(y\) positiv (I. Quadrant), für negative \(x\) ist \(y\) negativ (III. Quadrant). Bei \(g(x) = \frac{-3}{x}\) bewirkt das negative Vorzeichen eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Die Zweige liegen daher im II. und IV. Quadranten. 2. Vergleich bei gleichem \(x \neq 0\): Es gilt \(|f(x)| = \frac{1}{|x|}\) und \(|g(x)| = \frac{3}{|x|}\). Die Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate, aber der Punkt auf dem Graphen von \(f\) hat den kleineren Betrag der \(y\)-Koordinate. Daher liegt er näher am Koordinatenursprung.

a) Der Graph von \(f\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g\) liegt im II. und IV. Quadranten. b) Bei gleichen von \(0\) verschiedenen \(x\)-Werten liegt der Punkt auf dem Graphen von \(f\) näher am Ursprung, da \(|f(x)| = \frac{1}{|x|} < \frac{3}{|x|} = |g(x)|\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung ist für die Definitionslücke verantwortlich? - Welche Zahl im Funktionsterm bestimmt, wohin sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte annähert? - Setze die bekannten Werte in die allgemeine Form ein und nutze den gegebenen Punkt, um die letzte Unbekannte zu berechnen. - Überlege, was ein Vorzeichenwechsel beim Parameter \(a\) für die Orientierung der Hyperbeläste bedeutet.

1. Bestimmung der Asymptotenparameter: Die senkrechte Asymptote \(x = -2\) entspricht der Definitionslücke, also \(x_0 = -2\). Die waagerechte Asymptote \(y = 1\) gibt die Verschiebung in \(y\)-Richtung an, also \(y_0 = 1\). 2. Einsetzen der Asymptoten in die Form: \(f(x) = \frac{a}{x - (-2)} + 1 = \frac{a}{x+2} + 1\). 3. Berechnung von \(a\) mit Punkt \(P(0 | 2)\): Einsetzen von \(x=0\) und \(f(x)=2\) ergibt \(2 = \frac{a}{0+2} + 1\). 4. Umstellen nach \(a\): \(1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). 5. Funktionsgleichung aufstellen: \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). 6. Auswirkung von \(a = -2\): Der Graph würde an der waagerechten Asymptote \(y=1\) gespiegelt werden. Die Äste würden dann im „oberen linken“ und „unteren rechten“ Bereich (bezogen auf die Asymptoten) liegen.

a) \(x_0 = -2\), \(y_0 = 1\), \(a = 2\). b) \(f(x) = \frac{2}{x+2} + 1\). c) Der Graph würde an der Geraden \(y = 1\) gespiegelt, sodass sich die Orientierung der Hyperbeläste ändert.

- Was bedeutet es für den Nenner, wenn bei einem bestimmten \(x\)-Wert eine Definitionslücke liegt? - Welchem Wert nähert sich die Funktion für sehr große \(x\)-Werte an? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liefert dir ein konkretes Zahlenpaar \((x \mid y)\), bei dem die \(x\)-Koordinate null ist.

1. Die Definitionslücke bei \(x = -1\) bedeutet, dass der Nenner an dieser Stelle null wird: \(-1 - b = 0 \Rightarrow b = -1\). 2. Die waagerechte Asymptote \(y = 4\) entspricht dem Grenzwert für große \(x\), also ist \(c = 4\). 3. Die Funktion hat die Form \(g(x) = \frac{a}{x+1} + 4\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 1\) entspricht dem Punkt \((0 \mid 1)\). 5. Einsetzen des Punktes: \(1 = \frac{a}{0+1} + 4 \Rightarrow 1 = a + 4\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = -3\). 7. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{-3}{x+1} + 4\).

\(a = -3\). Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x) = \frac{-3}{x+1} + 4\).

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs an der Stelle einer vertikalen Asymptote? - Welche Bedingung muss für den Funktionswert gelten, damit eine Stelle eine Nullstelle ist? - Achte beim Umformen der Gleichung darauf, den gesamten Nenner als Paket zu betrachten.

1. Die vertikale Asymptote liegt an der Stelle, an der der Nenner null wird: \(x - b = 0\). Da die Asymptote bei \(x = 2\) liegt, folgt \(2 - b = 0\), also \(b = 2\). 2. Zum Berechnen der Nullstelle wird die Funktionsgleichung gleich null gesetzt: \(0 = \frac{4}{x-2} + 5\). 3. Subtraktion von \(5\): \(-5 = \frac{4}{x-2}\). 4. Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\): \(-5(x-2) = 4\). 5. Auflösen der Klammer: \(-5x + 10 = 4\). 6. Subtraktion von \(10\): \(-5x = -6\). 7. Division durch \(-5\): \(x = 1{,}2\).

a) \(b = 2\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 1{,}2\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Wie verändert ein Multiplikator vor dem Bruch den Funktionswert im Vergleich zur Grundfunktion? - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Division hat, wenn die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Berechnung von \(a\): Einsetzen des Punktes \(P(0{,}5 \mid 8)\) in \(g(x) = \frac{a}{x}\) ergibt \(8 = \frac{a}{0{,}5}\). Durch Multiplikation mit \(0{,}5\) folgt \(a = 4\). 2. Beschreibung der Transformation: Da \(a = 4\) ist, wird der Graph von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt. 3. Quadranten bei \(a < 0\): Wenn \(a\) negativ ist, haben \(x\) und \(g(x)\) immer unterschiedliche Vorzeichen. Ist \(x > 0\), so ist \(y < 0\) (IV. Quadrant). Ist \(x < 0\), so ist \(y > 0\) (II. Quadrant). Der Graph liegt also im II. und IV. Quadranten.

a) \(a = 4\) b) Der Graph von \(g\) ist im Vergleich zu \(f\) um den Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt. c) Im II. und IV. Quadranten, da \(x\) und \(y\) bei negativem \(a\) stets unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

- In welchen Feldern (Quadranten) liegen die Kurventeile im Vergleich zu ihren Asymptoten? - Schau dir an, wo der Graph den Wert \(0\) annimmt oder wo er besonders steil wird. - Vergleiche die Lage der Äste von \(g\) mit denen der ursprünglichen Hyperbel \(f\).

1. Asymptoten identifizieren: Senkrechte Asymptote bei \(x = 3\), waagerechte Asymptote bei \(y = -1\). 2. Verschiebung: \(3\) Einheiten nach rechts, \(1\) Einheit nach unten. 3. Spiegelung prüfen: Im Vergleich zu \(f\) liegen die Äste von \(g\) im „zweiten und vierten Quadranten“ bezogen auf das Asymptotenkreuz. Dies zeigt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse oder an der \(y\)-Achse. 4. Term aufstellen: \(g(x) = -\frac{1}{x-3} - 1\).

Der Graph von \(g\) entstand durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (gleichwertig wäre hier eine Spiegelung an der \(y\)-Achse), eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach unten. Der Funktionsterm ist \(g(x) = -\frac{1}{x-3} - 1\).

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt die Lage der waagerechten Asymptote? - Wie kannst du Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Formel zu finden? - Kann ein Bruch mit einer Zahl im Zähler (ungleich Null) jemals den Gesamtwert Null ergeben?

1. Bestimmung von \(c\): Die waagerechte Asymptote entspricht dem Wert, dem sich die Funktion für große \(x\) nähert. Da \(\frac{a}{x}\) gegen Null geht, ist \(c = -5\). 2. Bestimmung von \(a\): Setze den Punkt \(P(2 | -4)\) in \(h(x) = \frac{a}{x} - 5\) ein: \(-4 = \frac{a}{2} - 5\) \(1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). Die Gleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x} - 5\). 3. Berechnung des \(x\)-Werts für \(h(x) = -4{,}9\): \(-4{,}9 = \frac{2}{x} - 5\) \(0{,}1 = \frac{2}{x}\) \(x = \frac{2}{0{,}1} = 20\). 4. Untersuchung auf den Wert \(-5\): Setze \(h(x) = -5\): \(-5 = \frac{2}{x} - 5 \implies 0 = \frac{2}{x}\). Diese Gleichung hat keine Lösung, da ein Bruch nur Null werden kann, wenn der Zähler Null ist (hier ist der Zähler \(2\)). Der Wert \(-5\) wird also nie erreicht.

a) \(c = -5\) und \(a = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{2}{x} - 5\). b) Der Funktionswert \(-4{,}9\) wird an der Stelle \(x = 20\) angenommen. c) Nein, der Wert \(-5\) wird nie erreicht, da die Gleichung \(0 = \frac{2}{x}\) keine Lösung besitzt.

- Welchen Parameter kannst du sofort aus der Asymptote ablesen? - Wie kannst du einen Punkt nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden? - Was ändert sich an der Form oder Lage der Kurve, wenn sich das Vorzeichen des Zählers umkehrt? - Erinnere dich an die Bedeutung der Quadranten bei der Grundfunktion \(y = \frac{1}{x}\).

1. Bestimmung von \(e\): Die waagerechte Asymptote \(y = -2\) entspricht direkt dem Parameter \(e\). Also ist \(e = -2\). 2. Bestimmung von \(a\): Setze den Punkt \(A(4 \mid -1)\) in \(p(x) = \frac{a}{x} - 2\) ein. \(-1 = \frac{a}{4} - 2 \implies 1 = \frac{a}{4} \implies a = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = \frac{4}{x} - 2\). 3. Vergleich der Lage: Bei \(p(x)\) ist \(a = 4 > 0\). Die Äste liegen im I. und III. Quadranten (rechts oben und links unten) bezüglich des Schnittpunkts der Asymptoten. Bei \(q(x) = \frac{-4}{x} - 2\) ist der Zähler negativ. Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten (links oben und rechts unten) bezüglich der Asymptoten. Der Graph von \(q\) ist eine Spiegelung von \(p\) an der waagerechten Asymptote. 4. Berechnung der Stelle für \(p(x) = -1{,}5\): \(-1{,}5 = \frac{4}{x} - 2 \implies 0{,}5 = \frac{4}{x} \implies x = \frac{4}{0{,}5} = 8\).

a) \(e = -2\) und \(a = 4\). Die Gleichung ist \(p(x) = \frac{4}{x} - 2\). b) Die Äste von \(p\) liegen im I. und III. Quadranten bezüglich der Asymptoten. Die Äste von \(q\) liegen im II. und IV. Quadranten bezüglich der Asymptoten (Spiegelung an der waagerechten Asymptote). c) Die gesuchte Stelle ist \(x = 8\).

- Schau dir die Struktur der beiden Funktionsterme genau an: Was ist gleich, was unterscheidet sich? - Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der vertikalen Achse? - Wenn du prüfen willst, ob sich zwei Graphen schneiden, was musst du mit den Funktionstermen tun? - Was bedeutet es für die Existenz eines Schnittpunktes, wenn beim Lösen der Gleichung eine falsche Aussage wie \(1 = 0\) entsteht?

1. Asymptoten bestimmen: Beide Funktionen haben denselben Nenner \(x-1\) und dieselbe additive Konstante \(+2\). Damit sind die Asymptoten für beide identisch: Senkrechte Asymptote bei \(x = 1\), waagerechte Asymptote bei \(y = 2\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für \(f\): Berechne \(f(0) = \frac{4}{0-1} + 2 = -4 + 2 = -2\). Punkt: \(S_f(0 | -2)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse für \(g\): Berechne \(g(0) = \frac{-4}{0-1} + 2 = 4 + 2 = 6\). Punkt: \(S_g(0 | 6)\). 4. Gemeinsame Punkte finden: Setze \(f(x) = g(x)\). \(\frac{4}{x-1} + 2 = \frac{-4}{x-1} + 2\). 5. Gleichung lösen: Subtrahiere \(2\) auf beiden Seiten: \(\frac{4}{x-1} = \frac{-4}{x-1}\). Multipliziere mit \((x-1)\): \(4 = -4\). 6. Ergebnis interpretieren: Da \(4 = -4\) ein Widerspruch ist, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. Die Graphen sind Spiegelbilder zueinander bezüglich der Asymptote \(y=2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) (für beide). b) \(S_f(0 | -2)\) und \(S_g(0 | 6)\). c) Es gibt keinen gemeinsamen Punkt, da die Gleichung \(f(x) = g(x)\) auf den Widerspruch \(4 = -4\) führt.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man das Vorzeichen des Zählers umdreht? - Welche geometrische Transformation entspricht einer Vorzeichenänderung beim Parameter \(a\)? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Analyse der Lage: Beide Graphen haben dieselben Asymptoten (\(x = 2\) und \(y = 3\)). Da sich nur das Vorzeichen von \(a\) unterscheidet, sind die Graphen an der waagerechten Asymptote \(y = 3\) gespiegelt. 2. Bestimmung von \(a\) für \(g(x)\): Einsetzen von \(Q(1 \mid 1)\) ergibt \(1 = \frac{a}{1-2} + 3 \implies 1 = \frac{a}{-1} + 3 \implies 1 = -a + 3 \implies a = 2\). 3. Überprüfung für \(h(x)\) mit \(a = 2\): \(h(x) = \frac{-2}{x-2} + 3\). Einsetzen von \(x = 1\) ergibt \(h(1) = \frac{-2}{1-2} + 3 = \frac{-2}{-1} + 3 = 2 + 3 = 5\). 4. Vergleich: Da \(h(1) = 5\) und nicht \(1\), liegt der Punkt \(Q\) nicht auf dem Graphen von \(h\).

a) Die Graphen sind an der waagerechten Asymptote \(y = 3\) gespiegelt. b) \(a = 2\) c) Nein, \(Q\) liegt nicht auf dem Graphen von \(h\), da \(h(1) = 5 \neq 1\).

- Du hast zwei unbekannte Parameter. Wie viele Informationen (Punkte) benötigst du, um beide zu finden? - Kannst du ein System aus zwei Gleichungen aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, zum Beispiel durch Subtraktion der Gleichungen.

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: I: \(4 = \frac{a}{2} + c\) II: \(3 = \frac{a}{4} + c\) 2. Subtraktion der Gleichungen (I - II), um \(c\) zu eliminieren: \(4 - 3 = (\frac{a}{2} + c) - (\frac{a}{4} + c)\). 3. Vereinfachen: \(1 = \frac{a}{2} - \frac{a}{4}\). 4. Gleichnamig machen der Brüche: \(1 = \frac{2a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = 4\). 6. Einsetzen von \(a = 4\) in Gleichung I: \(4 = \frac{4}{2} + c \Rightarrow 4 = 2 + c\). 7. Auflösen nach \(c\): \(c = 2\). 8. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{4}{x} + 2\).

Die Parameter sind \(a = 4\) und \(c = 2\). Die Funktionsgleichung ist \(h(x) = \frac{4}{x} + 2\).

- Setze in Teil a) \(x=3\) in beide Funktionsgleichungen ein. - Stelle in Teil b) beide Gleichungen nach \(x\) um und bilde das Verhältnis. - Vergleiche in Teil c) einmal die \(y\)-Werte bei gleichem \(x\) und einmal die \(x\)-Werte bei gleichem \(y\).

1. Berechnung der Werte für \(x=3\): \(f(3) = \frac{18}{3} = 6\) und \(g(3) = \frac{36}{3} = 12\). 2. Bestimmung der Stellen für \(y_0>0\): \(x_f = \frac{18}{y_0}\) und \(x_g = \frac{36}{y_0}\). Damit ist \(\frac{x_g}{x_f} = \frac{36/y_0}{18/y_0} = 2\). 3. Für dasselbe \(x>0\) gilt \(g(x)=2f(x)\). Der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt daher doppelt so hoch über der \(x\)-Achse. Für denselben Funktionswert \(y_0>0\) gilt \(x_g=2x_f\); der Punkt auf dem Graphen von \(g\) liegt doppelt so weit rechts von der \(y\)-Achse. Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem von \(f\) gestreckt, nicht verschoben.

a) \(f(3) = 6\); \(g(3) = 12\) b) \(\frac{x_g}{x_f} = 2\). c) Bei gleichem positiven \(x\) liegt der Graph von \(g\) weiter von der \(x\)-Achse entfernt; bei gleichem positiven Funktionswert liegt er weiter von der \(y\)-Achse entfernt. Es handelt sich um eine Streckung, nicht um eine Verschiebung.

- Wie nutzt man einen gegebenen Punkt, um eine Unbekannte in einer Funktionsgleichung zu finden? - Welche Bestandteile der Funktionsgleichung bestimmen die Lage der „Linien“, denen sich der Graph annähert? - Ändert sich die Definitionslücke, wenn man nur die Zahl im Zähler verändert? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) sehr groß wird? Welcher Teil der Gleichung bleibt dann übrig?

1. Berechnung von \(k\): Einsetzen der Koordinaten von \(P(0|5)\) in \(h_2(x)\) ergibt \(5 = \frac{k}{0 - 1} + 1\). 2. Auflösen der Gleichung: \(5 = -k + 1 \Rightarrow 4 = -k \Rightarrow k = -4\). 3. Begründung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote wird durch die Definitionslücke bestimmt, also den \(x\)-Wert, für den der Nenner Null wird. Da beide Nenner \(x - 1\) lauten, ist die senkrechte Asymptote für beide \(x = 1\). Die waagerechte Asymptote wird durch den konstanten Summanden am Ende der Gleichung bestimmt, der angibt, welchem Wert sich der Funktionswert für sehr große oder sehr kleine \(x\) nähert. Da beide Funktionen den Summanden \(+1\) haben, ist die waagerechte Asymptote für beide \(y = 1\). Der Faktor \(k\) im Zähler beeinflusst lediglich die Streckung/Stauchung und Spiegelung, aber nicht die Lage der Asymptoten.

a) Der Wert ist \(k = -4\). b) Die Asymptoten hängen nur von der Verschiebung in \(x\)-Richtung (Nenner \(x-1 \Rightarrow x=1\)) und in \(y\)-Richtung (Summand \(+1 \Rightarrow y=1\)) ab. Da diese Teile bei \(h_1\) und \(h_2\) identisch sind, sind auch die Asymptoten gleich.

- Nutze in a) die Bedingung, dass die Koordinaten von \(A\) die Funktionsgleichung erfüllen müssen. - Untersuche bei b) getrennt, wann der Funktionswert null werden kann. - Vergleiche für c) die Struktur der Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form einer linearen Funktion und beachte, welcher Term von \(k\) unabhängig ist.

1. Einsetzen von \(A(4 \mid 1)\) ergibt \(1=k-\frac84=k-2\). Daher ist \(k=3\). 2. Für Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gilt \(0=k-\frac8x\). 3. Für \(k\neq0\) folgt \(\frac8x=k\) und damit \(x=\frac8k\). Es gibt genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 4. Für \(k=0\) lautet die Gleichung \(0=-\frac8x\). Ein Bruch mit von null verschiedenem Zähler kann nicht null sein, also gibt es keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. 5. Eine lineare Funktion hat die Form \(y=mx+n\). Der Term \(-\frac8x\) bleibt für jedes \(k\) erhalten, weil sein Zähler fest \(-8\) ist. Daher ist \(f_k\) für keinen Wert von \(k\) linear; der Graph bleibt eine verschobene Hyperbel.

a) \(k=3\) b) Für \(k\neq0\) gibt es genau einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse; für \(k=0\) gibt es keinen. c) Die Aussage ist falsch. Der Term \(-\frac8x\) verschwindet für keinen Wert von \(k\), daher bleibt die Funktion gebrochen-rational.

- Was passiert mit dem Ergebnis eines Bruchs, wenn der Zähler größer wird, der Nenner aber gleich bleibt? - Überlege dir, welche Vorzeichen \(x\) und \(y\) haben müssen, damit ihr Produkt positiv ist. - Kann ein Bruch den Wert Null ergeben, wenn im Zähler eine feste Zahl ungleich Null steht? - Was passiert mathematisch, wenn du versuchst, für \(x\) den Wert \(0\) einzusetzen?

a) Für \(f(x) = \frac{12}{x}\) gilt: \(f(1)=12\), \(f(2)=6\), \(f(3)=4\), \(f(4)=3\), \(f(6)=2\), \(f(12)=1\). Für \(g(x) = \frac{24}{x}\) gilt: \(g(1)=24\), \(g(2)=12\), \(g(3)=8\), \(g(4)=6\), \(g(6)=4\), \(g(12)=2\). b) Für jedes \(x>0\) gilt \(g(x)=2\cdot f(x)>f(x)\). Die zugehörigen Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate, aber der Punkt auf dem Graphen von \(g\) hat die größere positive \(y\)-Koordinate und damit den größeren Abstand vom Koordinatenursprung. c) Da die Parameter positiv sind, liegen die Äste im I. Quadranten (\(x>0, y>0\)) und im III. Quadranten (\(x<0, y<0\)). Die \(y\)-Achse wird nicht berührt, weil \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. Die \(x\)-Achse wird nicht berührt, weil \(\frac{k}{x}\) bei \(k\neq0\) für kein endliches \(x\) den Wert \(0\) annimmt.

a) Wertetabelle: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td><td>12</td></tr> <tr><td>\(f(x)\)</td><td>12</td><td>6</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td></tr> <tr><td>\(g(x)\)</td><td>24</td><td>12</td><td>8</td><td>6</td><td>4</td><td>2</td></tr> </table> b) Bei gleichem positiven \(x\)-Wert hat der Punkt auf dem Graphen von \(g\) den größeren Abstand vom Koordinatenursprung, da \(g(x)=2\cdot f(x)\). c) Die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Die Achsen werden nicht berührt, da \(x=0\) ausgeschlossen ist und der Funktionsterm für kein \(x\) den Wert \(0\) ergibt.

- Bestimme zuerst die senkrechte und die waagrechte Asymptote. In der Form \(\frac{a}{x-b}+c\) liefern sie dir \(b\) und \(c\). - Wähle anschließend auf jedem Graphen einen Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten. - Setze diesen Punkt in den jeweiligen Funktionsterm ein, um \(a\) zu bestimmen.

1. Graph (A): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 2\), also ist \(b = 2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -1\), also ist \(c = -1\). Der Punkt \((3 \mid 0)\) liegt auf dem Graphen: \(0 = \frac{a}{3-2} - 1 \Rightarrow a = 1\). Die Funktion ist \(f(x) = \frac{1}{x-2} - 1\). 2. Graph (B): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -3\), also ist \(b = -3\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), also ist \(c = 2\). Der Punkt \((-2 \mid 4)\) liegt auf dem Graphen: \(4 = \frac{a}{-2-(-3)} + 2 \Rightarrow a = 2\). Die Funktion ist \(f(x) = \frac{2}{x+3} + 2\). 3. Graph (C): Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), also ist \(b = 1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = -2\), also ist \(c = -2\). Der Punkt \((2 \mid -3)\) liegt auf dem Graphen: \(-3 = \frac{a}{2-1} - 2 \Rightarrow a = -1\). Die Funktion ist \(f(x) = \frac{-1}{x-1} - 2\).

(A): \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -1\); (B): \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 2\); (C): \(a = -1\), \(b = 1\), \(c = -2\).

- Vergleiche zuerst die beiden Asymptoten von \(f\) mit denen des gezeigten Graphen. Welche Parameter werden dadurch festgelegt? - Der markierte Punkt kann prüfen, ob der Zählerparameter noch derselbe ist, ohne dass du alle Parameter neu bestimmen musst. - Für Teil c bleiben zwei Parameter unverändert. Überlege getrennt, was diese beiden Parameter für die Asymptoten bedeuten und was das Vorzeichen von \(a\) für die Astlage bewirkt.

1. Bei \(f\) liegen die Asymptoten bei \(x=-1\) und \(y=-2\). Im Bild hat \(g\) weiterhin die senkrechte Asymptote \(x=-1\), aber die waagrechte Asymptote \(y=1\). Daher bleibt \(b=-1\) unverändert und \(c\) ändert sich von \(-2\) auf \(1\). 2. Der Punkt \(P(0\mid3)\) erfüllt \(3=\frac{a}{0+1}+1\). Damit ist \(a=2\) unverändert und \(g(x)=\frac{2}{x+1}+1\). 3. Bei \(h(x)=\frac{-2}{x+1}+1\) bleiben \(b=-1\) und \(c=1\) gleich. Deshalb bleiben die Asymptoten \(x=-1\) und \(y=1\). Außerdem ist \(h(0)=-2+1=-1\). 4. Durch den Vorzeichenwechsel von \(a\) wechseln die beiden Äste in die jeweils gegenüberliegenden Bereiche relativ zum Asymptotenschnittpunkt \((-1\mid1)\).

a) Verändert wurde \(c\): von \(-2\) auf \(1\). \(a=2\) und \(b=-1\) bleiben gleich. b) \(g(x)=\frac{2}{x+1}+1\). c) Asymptoten: \(x=-1\) und \(y=1\); \(h(0)=-1\). Durch den Vorzeichenwechsel von \(a\) liegen die Äste in den gegenüberliegenden Bereichen relativ zum Asymptotenschnittpunkt.