- Suche die Stelle, an der beide Geraden denselben Punkt besitzen. - Lies dort zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate ab.

1. Die beiden Geraden schneiden sich bei \(x=2\) und \(y=3\). 2. Daher ist der Schnittpunkt \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\).

- Beobachte, ob sich der Abstand der beiden Geraden beim Blick von links nach rechts verändert. - Überlege, was eine dauerhaft gleiche Lage zweier verschiedener Geraden für einen möglichen Schnittpunkt bedeutet.

1. Beide Geraden verlaufen in dieselbe Richtung und haben überall denselben Abstand. 2. Sie sind parallel und verschieden. Deshalb haben sie keinen Schnittpunkt.

Nein. Die Geraden sind parallel und verschieden, daher gibt es keinen Schnittpunkt.

- Am Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben Funktionswert. - Bringe beim Umformen zuerst die Terme mit \(x\) auf eine Seite. - Berechne nach dem x-Wert noch den zugehörigen y-Wert.

1. Am Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Daher: \(x+1=-x+5\). 2. Daraus folgt \(2x=4\) und damit \(x=2\). 3. Einsetzen ergibt \(y=2+1=3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\)

- Multipliziere bei \(g(x)=2(x+2)\) die Klammer aus. - Vergleiche danach die beiden Funktionsterme. - Was bedeutet es für zwei Geraden, wenn jeder Punkt der einen auch auf der anderen liegt?

1. Ausmultiplizieren ergibt \(g(x)=2x+4\). 2. Damit haben \(f\) und \(g\) genau denselben Funktionsterm. Die Geraden sind identisch. 3. Identische Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

a) \(g(x)=2x+4\) b) Die Geraden sind identisch. c) Sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

- Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die ursprüngliche Gleichung? - Welche Koordinate des Schnittpunkts ist die gesuchte Lösung? - Welche Äquivalenzumformung beseitigt rechnerisch zuerst die \(-3\)?

1. Im Diagramm schneiden sich die beiden Geraden in \(S(3\mid1{,}5)\). Daher ist die grafisch bestimmte Lösung \(x=3\). 2. Rechnerisch ergibt die Addition von \(3\) die Gleichung \(1{,}5x=4{,}5\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x=3\). 3. Grafischer und rechnerischer Lösungsweg führen zum selben Ergebnis.

a) \(x=3\) b) \(x=3\); beide Wege stimmen überein.

- An welcher Stelle kreuzen sich die beiden Geraden im Diagramm? - Welche Bedingung gilt am Schnittpunkt für die beiden Funktionswerte? - Wie bestimmst du nach dem \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate?

1. Im Diagramm schneiden sich die beiden Geraden in \(S(2\mid2)\). 2. Rechnerisch gilt \(-x+4=2x-2\). Daraus folgt \(6=3x\) und damit \(x=2\). 3. Einsetzen ergibt \(g(2)=2\). Damit bestätigt die Rechnung den Schnittpunkt \(S(2\mid2)\).

a) \(S(2\mid2)\) b) Rechnerisch ebenfalls \(S(2\mid2)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle des Schnittpunkts? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche zu multiplizieren?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{5}x + 3 = -\frac{1}{2}x - 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf einer Seite: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{2}x = -6 - 3\), was zu \(\frac{9}{10}x = -9\) führt 3. Lösen nach \(x\): \(x = -9 \cdot \frac{10}{9} = -10\) 4. Berechnen des \(y\)-Werts durch Einsetzen von \(x = -10\) in \(f(x)\): \(y = \frac{2}{5} \cdot (-10) + 3 = -4 + 3 = -1\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-10 | -1)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(-10 | -1)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Welchen besonderen Wert hat die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf der \(x\)-Achse? - Kannst du die Lage des Schnittpunkts direkt aus deinem Ergebnis in Teilaufgabe a) ablesen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(3x - 9 = -x + 3\). 2. Addition von \(x\) und \(9\) ergibt \(4x = 12\), also \(x = 3\). 3. Einsetzen in eine der Funktionen: \(k(3) = 3 \cdot 3 - 9 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). 4. Ein Punkt liegt genau dann auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Da der Schnittpunkt die \(y\)-Koordinate \(0\) hat, schneiden sich die Geraden auf der \(x\)-Achse.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). b) Der Schnittpunkt liegt auf der \(x\)-Achse, weil seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist.

- Wo kreuzen sich die beiden Geraden im Diagramm? - Welche Koordinate des Schnittpunkts wird in der Gleichung gesucht? - Was gilt für die beiden Funktionswerte genau im Schnittpunkt?

1. Im Diagramm schneiden sich die Geraden in \(S(3\mid3)\). 2. Daher ist die grafisch bestimmte Lösung der Gleichung \(x=3\). 3. Im Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben \(x\)-Wert denselben Funktionswert. Deshalb erfüllt die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts die Gleichung \(f(x)=g(x)\).

a) \(S(3\mid3)\) b) \(x=3\) c) Im Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\); deshalb ist seine \(x\)-Koordinate die Lösung der Gleichung.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie bestimmst du nach dem gemeinsamen \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x - 2 = -x + 3\). 2. Zusammenfassen und Auflösen nach \(x\): \(2{,}5x = 5\), also \(x = 2\). 3. Einsetzen in \(g\): \(g(2) = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). 4. Da sowohl die \(x\)-Koordinate als auch die \(y\)-Koordinate positiv sind, liegt \(S\) im I. Quadranten.

Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). Er liegt im I. Quadranten, da beide Koordinaten positiv sind.

- Welche Werte für \(m\) und \(t\) kannst du direkt aus jedem Funktionsterm ablesen? - Was bedeutet gleiche Steigung für die Lage zweier Geraden? - Können zwei verschiedene parallele Geraden einen gemeinsamen Punkt haben?

1. Für \(g\) gilt \(m_g=2\) und \(t_g=4\). 2. Für \(h\) gilt \(m_h=2\) und \(t_h=-3\). 3. Die Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind daher echt parallel und besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

\(m_g=m_h=2\), aber \(t_g=4\ne-3=t_h\). Die Geraden sind echt parallel und haben keinen Schnittpunkt.

- Wie bestimmst du die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten? - Wo kannst du die Steigung von \(h\) direkt ablesen? - Welche Bedingung müssen zwei Steigungen für Parallelität erfüllen?

1. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{5-0}{2-0}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 2. Aus \(h(x)=3x-4\) liest man \(m_h=3\) ab. 3. Parallele Geraden müssen dieselbe Steigung besitzen. Da \(2{,}5\neq3\), sind \(g\) und \(h\) nicht parallel.

Die Geraden sind nicht parallel, denn \(m_g=2{,}5\) und \(m_h=3\).

- Was muss für die beiden \(y\)-Werte am Schnittpunkt gelten? - Setze die beiden Funktionsterme gleich und bestimme zuerst \(x\). - Prüfe den erhaltenen Punkt anschließend in beiden Ausgangsgleichungen.

1. Am Schnittpunkt gilt \(1{,}5x-2=-0{,}5x+2\). 2. Daraus folgt \(2x=4\) und damit \(x=2\). 3. Einsetzen liefert \(y=1\), also \(S(2|1)\). 4. Für \(x=2\) ergeben beide Geradengleichungen \(y=1\); die Punktprobe ist erfüllt.

\(S(2|1)\). Die Punktprobe erfüllt beide Geradengleichungen.

- Welche Zeit ist bei jedem Verfahren unabhängig von der Stückzahl? - Welche Zeit kommt pro zusätzlichem Bauteil hinzu? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Gesamtzeiten?

1. \(T_A(x)=0{,}12x+3{,}5\), \(T_B(x)=0{,}17x+1{,}5\). 2. Gleichsetzen: \(0{,}12x+3{,}5=0{,}17x+1{,}5\). Daraus folgt \(2=0{,}05x\), also \(x=40\).

\(T_A(x)=0{,}12x+3{,}5\), \(T_B(x)=0{,}17x+1{,}5\). Bei \(40\) Bauteilen dauern beide Verfahren gleich lang.

- Löse jede Gleichung zuerst nach \(y\) auf. - Am Schnittpunkt stimmen die beiden Funktionswerte überein. - Setze die beiden Terme für \(y\) gleich.

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=5-x\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=2x-1\). 3. Gleichsetzen ergibt \(5-x=2x-1\), also \(3x=6\) und \(x=2\). 4. Einsetzen liefert \(y=3\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\)

- Welche drei Paare von Geraden musst du für die drei Eckpunkte betrachten? - Welche Gleichung entsteht jeweils, wenn zwei Funktionswerte am Schnittpunkt gleich sind? - Bei \(g_3(x)=2\) ist der gemeinsame \(y\)-Wert bereits bekannt. Wie hilft dir das?

1. Für den Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\) gilt \(2x-4=-0{,}5x+6\). Daraus folgt \(2{,}5x=10\) und \(x=4\). Einsetzen liefert \(y=4\), also \(S_{12}(4\mid4)\). 2. Für den Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_3\) gilt \(2x-4=2\). Daraus folgt \(2x=6\) und \(x=3\). Damit ist \(S_{13}(3\mid2)\). 3. Für den Schnittpunkt von \(g_2\) und \(g_3\) gilt \(-0{,}5x+6=2\). Daraus folgt \(-0{,}5x=-4\) und \(x=8\). Damit ist \(S_{23}(8\mid2)\).

Die Eckpunkte sind \((4\mid4)\), \((3\mid2)\) und \((8\mid2)\).

- Löse die zweite Gleichung zuerst nach \(y\) auf. - Welche Gleichung erhältst du, wenn beide Geraden am selben Punkt denselben \(y\)-Wert haben? - Prüfe danach beide ursprünglichen Gleichungen, nicht nur die umgeformte.

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=4-x\). 2. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=4-x\), also \(1{,}5x=3\) und \(x=2\). 3. Damit ist \(y=2\), also \(S(2|2)\). 4. Einsetzen von \((2|2)\) erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

\(S(2|2)\); die Punktprobe erfüllt beide Ausgangsgleichungen.

- Vergleiche zuerst die Koeffizienten vor \(x\). - Was bedeutet gleiche Steigung bei verschiedenen Achsenabschnitten? - Die Lösungsmenge besteht aus den gemeinsamen Punkten beider Geraden.

1. Beide Geraden besitzen die Steigung \(2\). 2. Ihre \(y\)-Achsenabschnitte \(-1\) und \(2\) sind verschieden. 3. Die Geraden sind daher parallel und verschieden; ein Schnittpunkt existiert nicht. 4. Somit ist \(L=\emptyset\).

a) Gleiche Steigung \(2\), verschiedene Achsenabschnitte \(-1\) und \(2\). b) Kein Schnittpunkt; \(L=\emptyset\).

- Berechne die Steigung einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden jeweils mit dem Differenzenquotienten. - Welche Größe entscheidet darüber, ob zwei verschiedene lineare Graphen parallel verlaufen? - Nutze für die parallele Gerade anschließend die Form \(y=mx+t\).

1. Für \(g\) ist \(m_g=\frac{5-2}{3-1}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 2. Für \(h\) ist \(m_h=\frac{4-6}{2-(-1)}=-\frac{2}{3}\). 3. Die Steigung von \(f\) ist \(m_f=1{,}5\). Daher ist \(g\) parallel zu \(f\), während \(h\) nicht parallel zu \(f\) ist. 4. Für \(g(x)=1{,}5x+t\) liefert \(P(1|2)\) die Gleichung \(2=1{,}5+t\). Damit ist \(t=0{,}5\) und \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\).

a) \(m_g=1{,}5\), \(m_h=-\frac{2}{3}\) b) \(g\) ist parallel zu \(f\), weil \(m_g=m_f=1{,}5\). c) \(g(x)=1{,}5x+0{,}5\)

- Wo schneiden die Graphen die senkrechte Achse? - Wie zeigt sich das Abwickeln der Rollen im Vorzeichen der Steigung? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Restlängen?

1. Rolle A startet bei \(12\,\text{m}\) und wird mit \(1{,}5\,\text{m/h}\) abgewickelt. Rolle B startet bei \(18\,\text{m}\) und wird mit \(3\,\text{m/h}\) abgewickelt. Die zugehörigen Steigungen sind \(-1{,}5\) bzw. \(-3\). 2. \(-1{,}5x+12=-3x+18\) ergibt \(x=4\). Dann sind auf beiden Rollen \(6\,\text{m}\).

a) A: \(12\,\text{m}\), Abwickelgeschwindigkeit \(1{,}5\,\text{m/h}\); B: \(18\,\text{m}\), Abwickelgeschwindigkeit \(3\,\text{m/h}\) b) Nach \(4\,\text{h}\): je \(6\,\text{m}\)

- Welche Startwerte liest du an der senkrechten Achse ab? - Welche Steigung gehört zu jeder Gruppe? - Was bedeutet der Schnittpunkt für die gesammelten Massen?

1. Gruppe B startet bei \(40\,\text{kg}\), Gruppe A bei \(10\,\text{kg}\). A sammelt \(5\,\text{kg/Woche}\), B \(2\,\text{kg/Woche}\). 2. \(5x+10=2x+40\) ergibt \(x=10\). Dann sind es \(60\,\text{kg}\).

a) Gruppe B startet höher; Gruppe A sammelt mit \(5\,\text{kg/Woche}\) schneller als B mit \(2\,\text{kg/Woche}\). b) Nach \(10\) Wochen: je \(60\,\text{kg}\).

- Nutze die Zeichnung in a) nur für eine Näherung; der Schnittpunkt liegt nicht auf einer Rasterkreuzung. - Bestimme für beide Geraden die Parameter in der Form \(y=mx+t\) aus den markierten Punkten. - Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die exakten Koordinaten zu erhalten.

1. Die Gerade \(f\) verläuft durch \((0\mid1)\) und \((4\mid3)\). Daher ist \(m_f=\frac{3-1}{4}=0{,}5\) und \(t_f=1\), also \(f(x)=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1\mid3)\) und \((3\mid1)\). Daher ist \(m_g=\frac{1-3}{3-1}=-1\). Mit \((3\mid1)\) folgt \(t_g=4\), also \(g(x)=-x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=-x+4\). Daraus folgt \(x=2\) und anschließend \(y=2\). Der berechnete Schnittpunkt ist \(S(2\mid2)\).

a) Ungefähr \(S(2\mid2)\) b) Rechnerisch \(S(2\mid2)\); das passt zur Schätzung.

- Wenn sich zwei Geraden schneiden, müssen ihre \(y\)-Werte an dieser Stelle gleich sein. - Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Berechne zuerst \(x\) und setze den Wert anschließend in eine der beiden Geradengleichungen ein.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x - 2 = -2x + 5\). 2. Addiere \(2x\) auf beiden Seiten: \(3x - 2 = 5\). 3. Addiere \(2\) auf beiden Seiten: \(3x = 7\). Daher ist \(x=\frac{7}{3}\). 4. Einsetzen in \(g_1\): \(y=\frac{7}{3}-2=\frac{1}{3}\). 5. Der Schnittpunkt ist \(P\left(\frac{7}{3}\middle|\frac{1}{3}\right)\). In der Grafik liegt er näherungsweise bei \(P(2{,}3\mid0{,}3)\).

\(P\left(\frac{7}{3}\middle|\frac{1}{3}\right)\), näherungsweise \(P(2{,}3\mid0{,}3)\).

- Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden im Sachzusammenhang? - Welche gut ablesbaren Punkte kannst du für jede Gerade verwenden? - Wie erhältst du aus zwei Punkten jeweils Steigung und Anfangswert? - Setze für den exakten Schnittpunkt die beiden Funktionsterme gleich.

1. Im Diagramm liegt der Schnittpunkt ungefähr bei \(t\approx0{,}7\,\text{h}\) und \(s\approx5{,}3\,\text{km}\). 2. Für Anton eignen sich zum Beispiel \((0|0)\) und \((2|16)\). Daraus folgt \(m_A=8\) und \(s_A(t)=8t\). Für Boris eignen sich \((0|2)\) und \((2|12)\). Daraus folgt \(m_B=5\) und \(s_B(t)=2+5t\). 3. Gleichsetzen: \(8t=2+5t\). Daraus folgt \(3t=2\) und damit \(t=\frac{2}{3}\,\text{h}\). Einsetzen liefert \(s=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}\,\text{km}\). Also ist der exakte Schnittpunkt \(S\left(\frac{2}{3}\middle|\frac{16}{3}\right)\).

a) Ungefähr nach \(0{,}7\,\text{h}\) bei etwa \(5{,}3\,\text{km}\). b) \(s_A(t)=8t\), \(s_B(t)=2+5t\). c) \(S\left(\frac{2}{3}\middle|\frac{16}{3}\right)\).

- Welche Verbrauchsrate ergibt sich für Rolle A aus Anfangswert und Vierstundenwert? - Was bedeutet ein Schnittpunkt zweier Restmengen-Graphen? - Welche Nullstellen begrenzen die sinnvollen Zeitbereiche der beiden Rollen?

1. Für Rolle A gilt \(m_A=\frac{18-30}{4}=-3\,\text{m/h}\), also \(L_A(t)=30-3t\). Für Rolle B gilt \(L_B(t)=20-t\). 2. Gleichsetzen: \(30-3t=20-t\). Daraus folgt \(t=5\). Einsetzen ergibt \(L=15\). Also \(S(5\mid15)\). 3. Nach \(5\) Stunden enthalten beide Rollen \(15\,\text{m}\). Rolle A reicht bis \(t=10\), Rolle B bis \(t=20\); der Schnittpunkt liegt daher im sinnvollen Bereich beider Modelle.

a) \(L_A(t)=30-3t\), \(L_B(t)=20-t\) b) \(S(5\mid15)\) c) Nach \(5\,\text{h}\) enthalten beide Rollen \(15\,\text{m}\); der Schnittpunkt liegt innerhalb beider Nutzungszeiträume.

- Vergleiche die Funktionswerte beider Funktionen an derselben Stelle. - Was muss für die Funktionswerte am Schnittpunkt gelten? - Berücksichtige bei der Lösungsmenge den angegebenen Definitionsbereich.

1. Vergleich bei \(x = -2\): \(f(-2) = -(-2) + 2 = 4\) und \(g(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\). Da \(4 > -2\), liegt der Graph von \(f\) an dieser Stelle höher. 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(-x + 2 = 0{,}5x - 1\). Umformen ergibt \(3 = 1{,}5x\), woraus \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine der Funktionen ergibt \(y = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). 3. Bereich bestimmen: Da die Geraden sich bei \(x = 2\) schneiden und \(g\) eine positive Steigung hat, während \(f\) eine negative Steigung hat, liegt \(g\) für alle rationalen Zahlen \(x > 2\) oberhalb von \(f\). Die Ungleichung \(0{,}5x - 1 > -x + 2\) führt zu \(x > 2\); wegen des vorgegebenen Definitionsbereichs gilt zusätzlich \(x \in \mathbb{Q}\).

a) Bei \(x = -2\) liegt der Graph von \(f\) höher (\(4 > -2\)). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). c) Der Graph von \(g\) liegt für \(x \in \mathbb{Q}\) mit \(x > 2\) oberhalb des Graphen von \(f\).

- Welche Bedeutung hat der \(y\)-Achsenabschnitt bei einer kumulierten Produktionsmenge? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Produktionsmengen? - Welche Anlage wächst nach dem Schnittpunkt schneller?

1. \(45\) und \(25\) sind die bereits zu Messbeginn produzierten Massen. 2. \(A(80)=0{,}30\cdot80+45=69\,\text{kg}\), \(B(80)=0{,}50\cdot80+25=65\,\text{kg}\). 3. \(0{,}30x+45=0{,}50x+25\) ergibt \(x=100\); dann sind es \(75\,\text{kg}\). Also \(S(100\mid75)\). 4. A startet höher, B wächst schneller. Daher ist A für \(0\le x<100\) größer; danach B.

a) Anfangsmengen \(45\,\text{kg}\) und \(25\,\text{kg}\) b) A: \(69\,\text{kg}\); B: \(65\,\text{kg}\) c) \(S(100\mid75)\) d) Für \(0\le x<100\) Minuten.

- Überlege, welche Beziehung zwischen den beiden Funktionswerten an einem Schnittpunkt gelten muss. - Nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate brauchst du noch den zugehörigen gemeinsamen Funktionswert. - Vergleiche für c) jeweils die beiden Funktionswerte beim selben Argument.

1. Am Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben Argument denselben Funktionswert. Daher gilt \(1{,}5x-3=-0{,}5x+5\). Daraus folgt \(2x=8\) und damit \(x=4\). Mit \(f(4)=3\) erhält man \(S(4\mid3)\). 2. Es gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-3=3\) und \(g(4)=-0{,}5\cdot4+5=3\). Der Punkt \(S(4\mid3)\) liegt somit auf beiden Graphen. 3. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=0\) und \(g(2)=4\); dort liegt \(G_g\) höher. Bei \(x=6\) gilt \(f(6)=6\) und \(g(6)=2\); dort liegt \(G_f\) höher. Die Reihenfolge wechselt am Schnittpunkt bei \(x=4\).

a) \(S(4\mid3)\) b) \(f(4)=g(4)=3\) c) Bei \(x=2\) liegt \(G_g\) höher; bei \(x=6\) liegt \(G_f\) höher. Der Wechsel passt zum Schnittpunkt bei \(x=4\).

- Welche Anfangslänge und Verbrauchsrate gehören zu jeder Rolle? - Wie vergleichst du zwei Restmengen zu einem festen Zeitpunkt? - Welche Gleichung steht für gleiche Restlängen?

1. \(L_A(t)=24-2t\), \(L_B(t)=18-1{,}2t\). 2. \(L_A(5)=14\,\text{m}\), \(L_B(5)=12\,\text{m}\); Rolle A enthält mehr. 3. \(24-2t=18-1{,}2t\) ergibt \(t=7{,}5\).

a) \(L_A(t)=24-2t\), \(L_B(t)=18-1{,}2t\) b) Rolle A: \(14\,\text{m}>12\,\text{m}\) c) Nach \(7{,}5\,\text{h}\)

- Welche Gleichung gilt für die Funktionswerte am Schnittpunkt zweier Geraden? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0 \mid 1)\) für den Achsenabschnitt von \(g_3\)? - Wie kannst du anschließend die Steigung von \(g_3\) bestimmen?

1. Am Schnittpunkt gilt \(2x-1=-x+5\). Daraus folgt \(3x=6\) und \(x=2\). 2. Einsetzen ergibt \(y=2\cdot 2-1=3\). Damit ist \(S(2 \mid 3)\). 3. Für \(g_3\) liefert \(P(0 \mid 1)\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Mit \(S(2 \mid 3)\) gilt \(3=2m+1\), also \(m=1\). 4. Somit lautet die Gleichung \(g_3: y=x+1\).

a) \(S(2 \mid 3)\) b) \(g_3: y=x+1\)

- Welche zwei Punkte kannst du aus der Tabelle ablesen? - Wie bestimmst du aus ihnen zuerst die Steigung und anschließend den Achsenabschnitt \(t_f\)? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt?

1. Aus den Punkten \((1 \mid 2)\) und \((3 \mid 8)\) folgt \(m_f=\frac{8-2}{3-1}=3\). 2. Mit \((1 \mid 2)\) gilt \(2=3+t_f\), also \(t_f=-1\). Daher ist \(f(x)=3x-1\). 3. Die Steigungen sind \(m_f=3\) und \(m_g=4\). Somit hat \(g\) die größere Steigung. 4. Für den Schnittpunkt gilt \(3x-1=4x-1\). Daraus folgt \(x=0\). Einsetzen ergibt \(y=-1\), also \(S(0 \mid -1)\).

a) \(f(x)=3x-1\) b) \(g\) hat die größere Steigung. c) \(S(0 \mid -1)\)

- Welche Steigung hat ein Bestand, der verbraucht wird, und welche ein Bestand, der ergänzt wird? - Was bedeutet es algebraisch, dass beide Bestände gleich groß sind? - Welche Koordinate des Schnittpunkts ist hier die Zeit?

1. \(A(t)=-12t+500\), \(B(t)=8t+200\). 2. Gleichsetzen: \(-12t+500=8t+200\). Daraus folgt \(t=15\). 3. Einsetzen ergibt \(A(15)=B(15)=320\,\text{kg}\).

\(A(t)=-12t+500\), \(B(t)=8t+200\). Nach \(15\,\text{min}\) sind beide Bestände \(320\,\text{kg}\) groß.

- Vergleiche bei jeder Gleichung die Steigungen der beiden zugehörigen Geraden. - Was erhältst du in Aufgabe 2, wenn du die rechte Seite vereinfachst? - Wann haben zwei Geraden keinen, genau einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte?

1. Die Geraden zu \(2x+5\) und \(2x-3\) haben beide die Steigung \(m=2\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und verschieden, daher gibt es keine Lösung. 2. Die rechte Seite vereinfacht sich zu \(\frac{1}{2}(6x-2)=3x-1\). Beide Seiten beschreiben dieselbe Gerade. Daher ist jede rationale Zahl \(x\) eine Lösung; es gibt unendlich viele Lösungen. 3. Die linke Gerade hat die Steigung \(m_1=4\), die rechte die Steigung \(m_2=-1\). Wegen der unterschiedlichen Steigungen schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

1. Keine Lösung: verschiedene parallele Geraden. 2. Unendlich viele Lösungen: alle \(x\in\mathbb Q\). 3. Genau eine Lösung: Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen.

- Wie bestimmst du die Steigung aus den beiden Punkten von \(g\)? - Welcher gegebene Punkt liefert den \(y\)-Achsenabschnitt direkt? - Welche Bedingung erfüllen die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Die Steigung von \(g\) ist \(m=\frac{5-1}{2-0}=2\). 2. Aus \(P(0 \mid 1)\) folgt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Damit ist \(g: y=2x+1\). 3. Für den Schnittpunkt gilt \(2x+1=-x+7\). Daraus folgt \(3x=6\) und \(x=2\). 4. Einsetzen in \(h\) ergibt \(y=5\). Somit ist \(S(2 \mid 5)\).

a) \(g: y=2x+1\) b) \(S(2 \mid 5)\)

- Wenn du den \(x\)-Wert des Schnittpunkts kennst, wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert bestimmen? - Welche Information liefert dir der Punkt \(S\) für die zweite Funktionsgleichung? - Kannst du den Punkt in die Gleichung einsetzen, in der noch eine Unbekannte steht?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(x = -2\) in \(f(x)\): \(y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 1 = 0\) 2. Der Schnittpunkt ist \(S(-2 | 0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(S\) in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = m(-2) + 4\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(m\): \(2m = 4\) 5. Ergebnis: \(m = 2\)

Die Steigung ist \(m = 2\).

- Beginne damit, die Stelle zu finden, an der sich die ersten beiden Geraden treffen. - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen sollst, ob drei Geraden durch denselben Punkt verlaufen?

1. Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) berechnen: \(3x - 4 = -x + 8\) 2. Gleichung lösen: \(4x = 12 \Rightarrow x = 3\) 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Somit ist \(S(3 | 5)\). 4. Punktprobe für \(h(x)\) mit \(S(3 | 5)\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(h(x)\). 5. \(h(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) 6. Vergleich: Da \(h(3) = 5\) dem \(y\)-Wert von \(S\) entspricht, verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(S\).

Der Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) ist \(S(3 | 5)\). Der Graph von \(h\) verläuft ebenfalls durch diesen Punkt, da \(h(3) = 5\) ist.

- Welchen \(y\)-Wert hat die vollständig bekannte Gerade bei \(x=4\)? - Welche Gleichheit muss am Schnittpunkt für beide Funktionswerte gelten? - Wie kannst du daraus den fehlenden Achsenabschnitt bestimmen?

1. Für \(x=4\) gilt \(g(4)=-1{,}2\cdot 4+10=5{,}2\). 2. Am Schnittpunkt muss auch \(f(4)=5{,}2\) gelten. Daher ist \(0{,}8\cdot 4+t=5{,}2\). 3. Aus \(3{,}2+t=5{,}2\) folgt \(t=2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid 5{,}2)\).

\(t=2\); \(S(4 \mid 5{,}2)\)

- Wie bestimmst du zuerst die Gleichung von \(h_1\) aus zwei Punkten? - Wie bestimmst du den Achsenabschnitt von \(h_2\) aus Steigung und Punkt? - Welche Gleichung gilt für die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Für \(h_1\) ist \(m_1=\frac{9-5}{4-2}=2\). Mit \(A(2 \mid 5)\) gilt \(5=4+t_1\), also \(t_1=1\). Damit ist \(h_1(x)=2x+1\). 2. Für \(h_2\) gilt mit \(C(6 \mid 1)\): \(1=-0{,}5\cdot 6+t_2\). Daraus folgt \(t_2=4\), also \(h_2(x)=-0{,}5x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(2x+1=-0{,}5x+4\). Somit ist \(2{,}5x=3\) und \(x=1{,}2\). 4. Einsetzen liefert \(y=2\cdot 1{,}2+1=3{,}4\). Daher ist \(S(1{,}2 \mid 3{,}4)\).

\(S(1{,}2 \mid 3{,}4)\)

- Welche Gleichung erfüllen die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt? - Wie bestimmst du nach dem gemeinsamen \(x\)-Wert die \(y\)-Koordinate? - Welche Form \(y=mx+t\) kannst du für die dritte Gerade mit bekannter Steigung verwenden?

1. Am Schnittpunkt gilt \(1{,}5x+2=-0{,}5x+6\). Daraus folgt \(2x=4\), also \(x=2\). Einsetzen ergibt \(y=5\), somit \(S(2 \mid 5)\). 2. Für \(k\) gilt \(y=-2x+t\). Mit \(S(2 \mid 5)\) erhält man \(5=-4+t\), also \(t=9\). Damit lautet die Gleichung \(k: y=-2x+9\).

1. \(S(2 \mid 5)\) 2. \(k: y=-2x+9\)

- Überlege dir, welche Gerade bei \(x=0\) weiter oben liegt. - Wie verändern sich die \(y\)-Werte, wenn du dich von der \(y\)-Achse nach rechts oder links bewegst? - In welchem Quadranten sind die \(x\)-Werte positiv und die \(y\)-Werte negativ?

1. Analyse der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) liegt die erste Gerade bei \(y = -2\) und die zweite Gerade bei \(y = -7\). Die erste Gerade liegt also oberhalb der zweiten. 2. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade fällt (\(m = -3\)), während die zweite Gerade steigt (\(m = 2\)). 3. Bestimmung der \(x\)-Richtung: Da die obere Gerade fällt und die untere steigt, nähern sie sich für positive \(x\)-Werte an und schneiden sich dort. Somit ist \(x > 0\). 4. Bestimmung des Vorzeichens von \(y\): Für den Schnittpunkt gilt die erste Gleichung \(y = -3x - 2\). Wegen \(x > 0\) ist dort \(y < -2 < 0\). Damit liegt der Schnittpunkt im IV. Quadranten.

Der Schnittpunkt liegt im IV. Quadranten.

- Vergleiche zunächst die \(y\)-Achsenabschnitte der beiden Geraden in jedem Paar. - Welche der beiden Geraden steigt jeweils schneller? - Kann eine tiefer startende und zugleich flachere Gerade die andere für positive \(x\)-Werte einholen?

1. Bei beiden Paaren liegt die erste Gerade bei \(x=0\) mit \(y=4\) über der zweiten Geraden mit \(y=-1\). 2. Bei Paar A ist die zweite Gerade mit \(m=3\) steiler als die erste mit \(m=0{,}5\). Sie startet tiefer, steigt aber schneller und holt die erste Gerade daher für einen positiven \(x\)-Wert ein. 3. Bei Paar B ist die zweite Gerade mit \(m=0{,}2\) flacher als die erste mit \(m=0{,}5\). Für \(x>0\) wächst ihr Abstand zur ersten Geraden. Der Schnittpunkt muss deshalb bei \(x<0\) liegen. 4. Somit hat bei Paar B der Schnittpunkt eine negative \(x\)-Koordinate.

Bei Paar B hat der Schnittpunkt eine negative \(x\)-Koordinate.

- Welche Starttemperaturen und Erwärmungsraten sind gegeben? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Temperaturen? - Wie hilft dir der Vergleich der Steigungen für die Zeit nach dem Schnittpunkt?

1. \(T_A(x)=0{,}15x+8\), \(T_B(x)=0{,}05x+14\). 2. \(0{,}15x+8=0{,}05x+14\) ergibt \(x=60\). Dann beträgt die Temperatur \(17\,^\circ\text{C}\). 3. Vor \(60\) Minuten ist A kühler; danach ist B wegen der kleineren Steigung kühler.

a) \(T_A(x)=0{,}15x+8\), \(T_B(x)=0{,}05x+14\) b) Nach \(60\,\text{min}\) bei \(17\,^\circ\text{C}\) c) Vorher A kühler, danach B.

- Welcher Roboter hat einen Vorsprung beim Zeitpunkt \(t=0\)? - Wie drückt Gleichsetzen das Einholen aus? - Welche Schnittpunktkoordinate vergleichst du mit der Ganglänge?

1. \(s_A(t)=4{,}5t\), \(s_B(t)=3+3t\). 2. \(4{,}5t=3+3t\) ergibt \(t=2\). Dann ist \(s=9\,\text{m}\). 3. Da \(9<10\), holt A den anderen Roboter noch vor dem Gangende ein.

a) \(s_A(t)=4{,}5t\), \(s_B(t)=3+3t\) b) Nach \(2\,\text{min}\) bei \(9\,\text{m}\) c) Ja, \(1\,\text{m}\) vor dem Ende.

- Wie bestimmst du für jede Diagonale zuerst ihre Steigung? - Welcher Punkt liefert bei \(BD\) den \(y\)-Achsenabschnitt direkt? - Welche Bedingung erfüllen die beiden Geradengleichungen im Schnittpunkt?

1. Für \(AC\) ist die Steigung \(m_{AC}=\frac{3-0}{4-(-2)}=0{,}5\). Mit \(A(-2 \mid 0)\) folgt \(0=-1+t_{AC}\), also \(t_{AC}=1\). Damit gilt \(AC: y=0{,}5x+1\). 2. Für \(BD\) ist die Steigung \(m_{BD}=\frac{0-4}{4-0}=-1\). Aus \(B(0 \mid 4)\) folgt \(t_{BD}=4\), also \(BD: y=-x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=-x+4\). Daraus folgt \(1{,}5x=3\) und \(x=2\). 4. Einsetzen liefert \(y=2\). Somit ist \(S(2 \mid 2)\).

\(S(2 \mid 2)\)

- Bestimme zuerst die Geradengleichung der Bahn, von der zwei Punkte gegeben sind. - Welche Gleichheit gilt am Kreuzungspunkt für beide Bahnterme? - Wie erhältst du nach dem \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate?

1. Für die erste Bahn ist \(m=\frac{1-4}{5-(-1)}=-0{,}5\). Mit \(Q(5 \mid 1)\) gilt \(1=-0{,}5\cdot 5+t\), also \(t=3{,}5\). Damit lautet ihre Gleichung \(y=-0{,}5x+3{,}5\). 2. Am Kreuzungspunkt gilt \(2x-4=-0{,}5x+3{,}5\). Daraus folgt \(2{,}5x=7{,}5\) und \(x=3\). 3. Einsetzen in die zweite Bahn ergibt \(y=2\). Somit ist \(S(3 \mid 2)\).

\(S(3 \mid 2)\)

- Am Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben Funktionswert. - Setze die jeweiligen Funktionsterme gleich und bestimme danach auch die \(y\)-Koordinate. - Vergleiche für Teil c die Steigungen und die \(y\)-Achsenabschnitte.

1. Für \(g\) und \(h\) gilt am Schnittpunkt \(-2x+6=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(10=2{,}5x\), also \(x=4\). Einsetzen ergibt \(y=-2\). Damit ist \(S_{gh}(4\mid-2)\). 2. Für \(k\) und \(h\) gilt \(-2x+3=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(7=2{,}5x\), also \(x=2{,}8\). Einsetzen ergibt \(y=-2{,}6\). Damit ist \(S_{kh}(2{,}8\mid-2{,}6)\). 3. \(g\) und \(k\) haben beide die Steigung \(-2\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind daher verschiedene parallele Geraden und haben keinen Schnittpunkt. \(h\) hat die andere Steigung \(0{,}5\) und ist deshalb zu keiner von beiden parallel; sie schneidet jede genau einmal.

a) \(S_{gh}(4\mid-2)\) b) \(S_{kh}(2{,}8\mid-2{,}6)\) c) \(g\) und \(k\) sind verschiedene parallele Geraden; \(h\) hat eine andere Steigung und schneidet beide jeweils einmal.

- Jeder Eckpunkt entsteht als Schnittpunkt einer waagerechten und einer schrägen Begrenzungsgeraden. - Setze für jeden benötigten Schnittpunkt die beiden Funktionsterme gleich. - Nutze danach eine waagerechte Seite als Grundseite und den Abstand zwischen \(y=2\) und \(y=-3\) als Höhe.

1. Schnittpunkt von \(f\) und \(h\): \(2=x+1\), also \(x=1\). Damit ist \(P_1(1\mid2)\). 2. Schnittpunkt von \(f\) und \(k\): \(2=x-4\), also \(x=6\). Damit ist \(P_2(6\mid2)\). 3. Schnittpunkt von \(g\) und \(k\): \(-3=x-4\), also \(x=1\). Damit ist \(P_3(1\mid-3)\). 4. Schnittpunkt von \(g\) und \(h\): \(-3=x+1\), also \(x=-4\). Damit ist \(P_4(-4\mid-3)\). 5. Die waagerechte Grundseite hat die Länge \(6-1=5\). Der Abstand der waagerechten Geraden \(y=2\) und \(y=-3\) beträgt ebenfalls \(5\). Daher ist \(A=5\cdot5=25\,\text{FE}\).

a) \(P_1(1\mid2)\), \(P_2(6\mid2)\), \(P_3(1\mid-3)\), \(P_4(-4\mid-3)\) b) \(A=25\,\text{FE}\)

- Welche Geschwindigkeiten erhältst du nach der Umrechnung in Kilometer pro Minute? - Welche Anfangsposition haben RE und IC im gewählten Bezugssystem? - Welche Bedingung gilt in dem Moment, in dem der IC den RE einholt?

1. Die Geschwindigkeiten betragen \(120:60=2\,\text{km/min}\) und \(160:60=\frac{8}{3}\,\text{km/min}\). 2. Mit dem gemeinsamen Bezugspunkt gilt \(s_{RE}(t)=2t+4\) und \(s_{IC}(t)=\frac{8}{3}t\). 3. Beim Einholen sind die Positionen gleich: \(2t+4=\frac{8}{3}t\). Daraus folgt \(4=\frac{2}{3}t\) und \(t=6\,\text{min}\). 4. Der IC legt in dieser Zeit \(s_{IC}(6)=\frac{8}{3}\cdot 6=16\,\text{km}\) zurück.

a) \(s_{RE}(t)=2t+4\), \(s_{IC}(t)=\frac{8}{3}t\) b) Nach \(6\,\text{min}\). c) \(16\,\text{km}\)

- Löse die zweite Gleichung zunächst nach \(y\) auf. - Am Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben \(y\)-Wert. - Welche Aussage über zwei Geraden folgt aus verschiedenen Steigungen?

1. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2y=2-2x\) und damit \(y=-x+1\). 2. Am Schnittpunkt gilt \(x-3=-x+1\). Also \(2x=4\) und \(x=2\). 3. Einsetzen ergibt \(y=-1\), also \(S(2|-1)\). 4. Die Steigungen \(1\) und \(-1\) sind verschieden. Deshalb sind die Geraden nicht parallel und besitzen genau einen Schnittpunkt.

a) \(y=-x+1\) b) \(S(2|-1)\) c) Die Steigungen \(1\) und \(-1\) sind verschieden; daher gibt es genau einen Schnittpunkt.

- Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. - Wann sind zwei Geraden mit gleicher Steigung trotzdem verschieden? - Für b) kannst du die beiden Funktionsterme direkt gleichsetzen.

1. Für eine parallele, verschiedene Gerade muss die Steigung ebenfalls \(\frac{1}{2}\), der Achsenabschnitt aber verschieden von \(1\) sein. Zum Beispiel ist \(h:y=\frac{1}{2}x-2\) möglich. 2. Gleiche Steigungen und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten: kein Schnittpunkt. 3. Für b) gilt am Schnittpunkt \(\frac{1}{2}x+1=-x+4\). 4. Daraus folgt \(\frac{3}{2}x=3\), also \(x=2\) und \(y=2\). Somit ist \(S(2|2)\).

a) Zum Beispiel \(h:y=\frac{1}{2}x-2\); kein Schnittpunkt wegen gleicher Steigung und verschiedener Achsenabschnitte. b) \(S(2|2)\)

- Welche Angaben bestimmen jeweils die Gleichungen von \(g_1\) und \(g_2\)? - Was gilt für die beiden Funktionswerte genau am Schnittpunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate die \(y\)-Koordinate finden?

1. Für \(g_1\) ist durch \(A(0|2)\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_1=2\) gegeben. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m_1=\frac{4-2}{4-0}=0{,}5\). Damit ist \(g_1:y=0{,}5x+2\). 2. Für \(g_2\) gilt mit \(C(6|2)\): \(2=-1 \cdot 6+t_2\), also \(t_2=8\). Damit ist \(g_2:y=-x+8\). 3. Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich: \(0{,}5x+2=-x+8\). 4. Daraus folgt \(1{,}5x=6\) und damit \(x=4\). 5. Einsetzen ergibt \(y=4\). Der Schnittpunkt ist \(S(4|4)\).

\(g_1:y=0{,}5x+2\), \(g_2:y=-x+8\); \(S(4|4)\)

- Welche Energie fällt einmalig an und welche pro Charge? - Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Energiegraphen? - Welche Steigung ist nach dem Schnittpunkt günstiger?

1. \(E_A(x)=10+5x\), \(E_B(x)=7{,}5x\). 2. \(10+5x=7{,}5x\) ergibt \(x=4\). Dann ist \(E=30\,\text{kWh}\). Also \(S(4\mid30)\). 3. Nach dem Schnittpunkt wächst A langsamer. Daher verbraucht A ab \(5\) ganzen Chargen weniger Energie.

a) \(E_A(x)=10+5x\), \(E_B(x)=7{,}5x\) b) \(S(4\mid30)\): bei \(4\) Chargen je \(30\,\text{kWh}\) c) Ab \(5\) Chargen.

- Erstelle für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle. - Vergleiche die Werte für die Steigung \(m\) in beiden Gleichungen. - Was bedeutet eine identische Steigung für den Verlauf von zwei Geraden?

1. Punkte für \(g\): Bei \(x = 0\) ist \(y = -4\), also \(P_1(0 | -4)\). Bei \(x = 2\) ist \(y = 3 \cdot 2 - 4 = 2\), also \(P_2(2 | 2)\). 2. Punkte für \(h\): Bei \(x = 0\) ist \(y = 2\), also \(Q_1(0 | 2)\). Bei \(x = 1\) ist \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\), also \(Q_2(1 | 5)\). 3. Geometrische Lage: Beide Geraden haben dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-4\) und \(2\)). Daher verlaufen sie parallel zueinander. 4. Gemeinsame Lösung: Da parallele Geraden keinen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Rechnerisch führt der Ansatz \(3x - 4 = 3x + 2\) zum Widerspruch \(-4 = 2\).

a) Zum Beispiel für \(g\): \((0 | -4)\) und \((2 | 2)\); für \(h\): \((0 | 2)\) und \((1 | 5)\). b) Die Geraden verlaufen parallel zueinander. c) Nein, es gibt keine gemeinsame Lösung, da die Geraden dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte besitzen und daher echt parallel sind.

- Schau dir die Steigungen der Funktionen genau an. Was fällt dir auf? - Wie verhalten sich Geraden zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Beim Lösen der Gleichung mit Brüchen kann es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

1. Begründung für \(f\) und \(g\): Beide Funktionen haben die identische Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(2\) und \(-5\)). Die Geraden verlaufen somit echt parallel und können sich nicht schneiden. 2. Schnittpunkt von \(g\) und \(h\): Gleichsetzen der Terme: \(\frac{2}{3}x - 5 = -x + 7\). 3. Addition von \(x\) und \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{5}{3}x = 12\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\). 5. Einsetzen in \(h(x)\): \(y = -7{,}2 + 7 = -0{,}2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

a) Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie die gleiche Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte haben. b) Der Schnittpunkt ist \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

- Für genau einen Schnittpunkt kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen. - Was bedeutet gleiche Steigung bei verschiedenen \(y\)-Achsenabschnitten? - Was bedeutet es, wenn sowohl Steigung als auch \(y\)-Achsenabschnitt übereinstimmen?

1. Für den Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) gilt \(-2x+4=0{,}5x-1\). Daraus folgt \(5=2{,}5x\), also \(x=2\). Einsetzen ergibt \(y=0\). Damit ist \(S(2\mid0)\). 2. \(f\) und \(h\) haben beide die Steigung \(-2\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte \(4\) und \(-1\). Die Graphen sind verschiedene parallele Geraden und haben keinen gemeinsamen Punkt. 3. \(f\) und \(k\) haben dieselbe Steigung und denselben \(y\)-Achsenabschnitt. Die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade; deshalb gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte.

a) \(S(2\mid0)\) b) Kein gemeinsamer Punkt; \(f\) und \(h\) sind verschiedene parallele Geraden. c) Unendlich viele gemeinsame Punkte; \(f\) und \(k\) sind identisch.

- Welche Größe haben parallele Geraden gemeinsam? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Punkt \(P\) die Gleichung von \(h\) vervollständigen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte von \(h\) und \(k\) am Schnittpunkt?

1. Wegen der Parallelität gilt \(m_h=-\frac{2}{3}\). Mit \(P(6|2)\) folgt \(2=-\frac{2}{3} \cdot 6+t\), also \(t=6\). Damit ist \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\). 2. Am Schnittpunkt gilt \(-\frac{2}{3}x+6=x-3\). 3. Daraus folgt \(9=\frac{5}{3}x\), also \(x=\frac{27}{5}=5{,}4\). 4. Einsetzen in \(k\) ergibt \(y=5{,}4-3=2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

a) \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\) b) \(S(5{,}4|2{,}4)\)

- Wie kannst du aus jeweils zwei Punkten zuerst die Steigung einer Geraden bestimmen? - Bei welcher der beiden Geraden kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem Punkt ablesen? - Welche Gleichung beschreibt die gemeinsame \(x\)-Koordinate am Schnittpunkt?

1. Für \(f\) gilt \(m_f=\frac{9-1}{3-(-1)}=2\). Mit \(B(3|9)\) folgt \(9=2 \cdot 3+t_f\), also \(t_f=3\). Damit ist \(f(x)=2x+3\). 2. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{0-10}{5-0}=-2\). Durch \(C(0|10)\) ist \(t_g=10\), also \(g(x)=-2x+10\). 3. Am Schnittpunkt gilt \(2x+3=-2x+10\). Daraus folgt \(4x=7\), also \(x=1{,}75\). 4. Einsetzen in \(f\) ergibt \(y=6{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}75|6{,}5)\).

a) \(f(x)=2x+3\), \(g(x)=-2x+10\) b) \(S(1{,}75|6{,}5)\)

- Welche Anfangsmassen und wöchentlichen Änderungen sind gegeben? - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Sammelgraphen? - Welche Einheit hat die Steigung hier?

1. \(A(x)=5x+20\), \(B(x)=2x+50\). 2. \(5x+20=2x+50\) ergibt \(x=10\). 3. Dann gilt \(A(10)=B(10)=70\,\text{kg}\). 4. Die Steigungen sind die wöchentlichen Sammelraten.

a) \(A(x)=5x+20\), \(B(x)=2x+50\) b) Nach \(10\) Wochen c) \(70\,\text{kg}\) d) \(5\,\text{kg/Woche}\) bzw. \(2\,\text{kg/Woche}\)

- Welcher Zeitpunkt entspricht \(x=0\), und wie viele Stunden später startet Max? - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Weg-Zeit-Geraden? - Welche Gleichung beschreibt rechnerisch, dass beide zur selben Zeit gleich weit vom Start entfernt sind?

1. Sei \(x\) die Zeit in Stunden seit \(09{:}00\,\text{Uhr}\). Für Lena gilt \(y_L=4x\) für \(x\ge0\). Max startet \(1{,}5\,\text{h}\) später, daher gilt \(y_M=16(x-1{,}5)\) für \(x\ge1{,}5\). 2. Im Diagramm schneiden sich die Graphen in \(S(2\mid8)\). Zwei Stunden nach \(09{:}00\,\text{Uhr}\), also um \(11{:}00\,\text{Uhr}\), holt Max Lena \(8\,\text{km}\) vom Startpunkt entfernt ein. 3. Rechnerisch gilt \(4x=16(x-1{,}5)\). Daraus folgt \(4x=16x-24\), also \(24=12x\) und \(x=2\). Einsetzen ergibt \(y=8\). 4. Die Steigungen \(4\) und \(16\) geben die jeweiligen Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) an.

a) Lena: \(y_L=4x\) für \(x\ge0\); Max: \(y_M=16(x-1{,}5)\) für \(x\ge1{,}5\) b) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(8\,\text{km}\) Entfernung vom Startpunkt; \(S(2\mid8)\) c) \(4x=16(x-1{,}5)\Rightarrow x=2\) und \(y=8\) d) Die Steigungen sind die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\).

- Welche Anfangsentfernung von \(A\) hat jeder Zug? - Warum hat die Ortsfunktion des entgegenkommenden Zuges eine negative Steigung? - Welche Bedingung gilt am Treffpunkt für die beiden Entfernungen von \(A\)?

1. Mit \(x\) in Stunden gilt für den Güterzug \(f(x)=80x\). Der Personenzug startet bei \(250\,\text{km}\) Entfernung von \(A\) und nähert sich \(A\), daher gilt \(g(x)=250-120x\). 2. Im Diagramm liegt der Schnittpunkt bei \(S(1{,}25\mid100)\). Die Züge treffen sich also nach \(1{,}25\,\text{h}\) in \(100\,\text{km}\) Entfernung von \(A\). 3. Rechnerisch gilt \(80x=250-120x\). Daraus folgt \(200x=250\) und \(x=1{,}25\,\text{h}=1\,\text{h}\,15\,\text{min}\). Die Entfernung von \(A\) ist \(80\cdot1{,}25=100\,\text{km}\).

a) \(f(x)=80x\), \(g(x)=250-120x\) b) \(S(1{,}25\mid100)\): nach \(1{,}25\,\text{h}\), \(100\,\text{km}\) von \(A\) entfernt c) Exakt \(1{,}25\,\text{h}=1\,\text{h}\,15\,\text{min}\) und \(100\,\text{km}\)

- Stelle beide Gleichungen zuerst nach \(y\) um. - Am Schnittpunkt müssen die beiden Terme für \(y\) gleich sein. - Prüfe den gefundenen Punkt in einer der Geradengleichungen.

1. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=-2x+4\). 2. Aus der zweiten Gleichung folgt \(-2y=-3-x\), also \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). 3. Gleichsetzen ergibt \(-2x+4=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). 4. Daraus folgt \(x=1\) und anschließend \(y=2\). Der Schnittpunkt ist \(S(1|2)\).

\(S(1|2)\)

- Welche Zählerstände gehören zu \(x=0\)? - Welche Produktionsraten sind die Steigungen? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Zählerstände?

1. \(A(x)=20x+150\), \(B(x)=32{,}5x+50\). 2. \(20x+150=32{,}5x+50\) ergibt \(x=8\). 3. Einsetzen ergibt \(310\) Bauteile.

a) \(A(x)=20x+150\), \(B(x)=32{,}5x+50\) b) Nach \(8\,\text{min}\) c) \(310\) Bauteile

- Welcher \(t\)-Wert gehört zu 12:45 Uhr? - Wie bestimmst du den Funktionsterm von B aus einem Punkt und einer Steigung? - Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Bestandsfunktionen?

1. Für A gilt \(M_A(t)=60t\). B hat bei \(t=0{,}75\) den Wert \(180\) und die Steigung \(-90\). Daraus folgt \(M_B(t)=247{,}5-90t\) für \(0{,}75\le t\le2{,}75\). 2. \(60t=247{,}5-90t\) ergibt \(t=1{,}65\); dann \(M=99\,\text{kg}\). Also \(S(1{,}65\mid99)\). 3. \(1{,}65\,\text{h}=1\,\text{h}\,39\,\text{min}\). Um 13:39 Uhr enthalten beide Behälter \(99\,\text{kg}\).

a) \(M_A(t)=60t\); \(M_B(t)=247{,}5-90t\) für \(0{,}75\le t\le2{,}75\) b) \(S(1{,}65\mid99)\) c) Um 13:39 Uhr enthalten beide \(99\,\text{kg}\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Gesamtkosten aus Grundpreis und verbrauchsabhängigem Preis zusammensetzt. - Achte darauf, dass alle Geldbeträge in derselben Einheit (entweder Euro oder Cent) stehen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich teuer“ sind? - Wie verändert sich eine Gerade im Koordinatensystem, wenn man ihren y-Achsenabschnitt oder ihre Steigung modifiziert?

1. Aufstellen der Kostenfunktionen: \(K_F(x) = 0{,}06x + 120\) und \(K_A(x) = 0{,}045x + 180\). Gleichsetzen: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 180\). Subtraktion von \(0{,}045x\) und \(120\) ergibt \(0{,}015x = 60\). Division durch \(0{,}015\) liefert \(x = 4000\). Die Kosten sind bei \(4000\,\text{kWh}\) identisch. 2. Neue Grundgebühr für „Aktiv“: \(180\,\text{€} \cdot 1{,}2 = 216\,\text{€}\). Neue Gleichung: \(0{,}06x + 120 = 0{,}045x + 216\). Dies führt zu \(0{,}015x = 96\). Lösung: \(x = 6400\). Bei \(6400\,\text{kWh}\) sind beide Tarife gleich teuer; der Wechsel zu „Aktiv“ lohnt sich für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Eine Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verringert die Steigung der zugehörigen Geraden. Bei unveränderten übrigen Parametern verschiebt sich der Schnittpunkt zu einem geringeren Verbrauchswert, da die Kostenvorteile des günstigeren Arbeitspreises früher die höhere Grundgebühr ausgleichen.

1. Bei einem Verbrauch von \(4000\,\text{kWh}\) sind die Kosten identisch. 2. Die kritische Verbrauchsmenge steigt auf \(6400\,\text{kWh}\). Bei diesem Verbrauch sind beide Tarife gleich teuer; günstiger ist „Aktiv“ erst für \(x > 6400\,\text{kWh}\). 3. Bei einer Senkung des Arbeitspreises im Tarif „Aktiv“ verschiebt sich der Schnittpunkt nach links (zu einem niedrigeren Verbrauchswert).

- Vergleiche zuerst nur die Koeffizienten vor \(x\). - Gleiche Steigung allein bedeutet noch nicht, dass zwei Geraden identisch sind. - Was folgt geometrisch aus gleicher Steigung und unterschiedlichen y-Achsenabschnitten?

1. Parallelität erfordert gleiche Steigungen. Daher gilt \(2k-1=-\frac{1}{3}\). 2. Daraus folgt \(2k=\frac{2}{3}\) und somit \(k=\frac{1}{3}\). 3. Für \(k=\frac{1}{3}\) ist \(f_k(x)=-\frac{1}{3}x+3\). Der y-Achsenabschnitt ist also \(3\), während der y-Achsenabschnitt von \(g\) gleich \(-2\) ist. Die Geraden sind daher verschieden. 4. Verschiedene parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.

a) \(k=\frac{1}{3}\). b) Die y-Achsenabschnitte sind verschieden: \(3\) und \(-2\). c) Nein, die Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.

- Bestimme für \(q\) zuerst die Steigung aus den beiden gegebenen Punkten. - Am Schnittpunkt haben zwei Funktionen denselben Funktionswert. - Vergleiche für \(p\) und \(k\) Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt.

1. Für \(q\) ist \(m_q=\frac{-6-0}{3-0}=-2\). Da \(q\) durch den Ursprung verläuft, gilt \(q(x)=-2x\). 2. Für den Schnittpunkt von \(k\) und \(q\) gilt \(0{,}5x+3=-2x\). Daraus folgt \(2{,}5x=-3\), also \(x=-1{,}2\). Einsetzen ergibt \(y=2{,}4\). Damit ist \(S_{kq}(-1{,}2|2{,}4)\). 3. \(p\) und \(k\) haben dieselbe Steigung \(0{,}5\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind daher verschiedene parallele Geraden und haben keinen Schnittpunkt. 4. Für \(p\) und \(q\) gilt \(0{,}5x-2=-2x\). Daraus folgt \(2{,}5x=2\), also \(x=0{,}8\). Einsetzen ergibt \(y=-1{,}6\). Damit ist \(S_{pq}(0{,}8|-1{,}6)\).

a) \(q(x)=-2x\) b) \(S_{kq}(-1{,}2|2{,}4)\) c) \(p\parallel k\), also kein Schnittpunkt; \(S_{pq}(0{,}8|-1{,}6)\)

- Welche Startzeiten kannst du an der \(x\)-Achse ablesen? - Wie bestimmst du die Geschwindigkeit aus der Änderung von Weg und Zeit? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen? - Wie kannst du die Startzeit in einem linearen Funktionsterm berücksichtigen?

1. Lena legt in einer Stunde \(12\,\text{km}\) zurück, Jonas \(18\,\text{km}\). Daher fährt Lena \(12\,\text{km/h}\) und Jonas \(18\,\text{km/h}\). 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((11{,}5\mid18)\). Jonas holt Lena daher um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) nach \(18\,\text{km}\) ein. 3. Für Lena gilt \(f(x)=12(x-10)=12x-120\), für Jonas \(g(x)=18(x-10{,}5)=18x-189\). Gleichsetzen liefert \(x=11{,}5\) und \(y=18\); das bestätigt das Ableseergebnis.

a) Lena: \(12\,\text{km/h}\); Jonas: \(18\,\text{km/h}\). Jonas ist schneller. b) Um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) bei \(18\,\text{km}\). c) Lena: \(f(x)=12x-120\) für \(x\ge10\); Jonas: \(g(x)=18x-189\) für \(x\ge10{,}5\); Schnittpunkt \((11{,}5\mid18)\).

- Welche \(y\)-Achsenabschnitte kannst du direkt ablesen? - Welche gut ablesbaren Gitterpunkte eignen sich für die beiden Steigungsdreiecke? - Setze für den Schnittpunkt die beiden Funktionsterme gleich. Beachte: Der Schnittpunkt liegt außerhalb des dargestellten Ausschnitts.

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_f=2\). Aus den Punkten \((0\mid2)\) und \((2\mid3)\) ergibt sich \(m_f=\frac12\). Daher ist \(f(x)=0{,}5x+2\). 2. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_g=-1\). Aus den Punkten \((0\mid-1)\) und \((1\mid-2)\) ergibt sich \(m_g=-1\). Daher ist \(g(x)=-x-1\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+2=-x-1\). Daraus folgt \(1{,}5x=-3\) und damit \(x=-2\). 4. Einsetzen ergibt \(y=1\). Somit ist \(S(-2\mid1)\).

a) \(f(x)=0{,}5x+2\), \(g(x)=-x-1\) b) \(S(-2\mid1)\)

- Nutze die Grafik zuerst nur für eine Näherung. - Bestimme die Funktionsterme aus den markierten Punkten. - Für die exakten Koordinaten setzt du die Funktionsterme gleich; die gröbere Rasterung liefert diese Werte nicht exakt.

1. Aus der Grafik erhält man für a) ungefähr \(S(1{,}4\mid1{,}6)\) und für b) ungefähr \(S(-0{,}8\mid2{,}6)\). 2. In a) verläuft \(f\) durch \((0\mid3)\) und \((3\mid0)\), also gilt \(f(x)=-x+3\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1\mid1)\) und \((3\mid4)\), also gilt \(g(x)=1{,}5x-0{,}5\). In b) verläuft \(f\) durch \((0\mid1)\) und \((1\mid-1)\), also gilt \(f(x)=-2x+1\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((0\mid3)\) und \((2\mid4)\), also gilt \(g(x)=0{,}5x+3\). 3. In a) ergibt das Gleichsetzen \(-x+3=1{,}5x-0{,}5\), also \(x=1{,}4\) und \(y=1{,}6\). Damit ist \(S(1{,}4\mid1{,}6)\). In b) ergibt das Gleichsetzen \(-2x+1=0{,}5x+3\), also \(x=-0{,}8\) und \(y=2{,}6\). Damit ist \(S(-0{,}8\mid2{,}6)\).

1. a) ungefähr \(S(1{,}4\mid1{,}6)\); b) ungefähr \(S(-0{,}8\mid2{,}6)\) 2. a) \(f(x)=-x+3\), \(g(x)=1{,}5x-0{,}5\); b) \(f(x)=-2x+1\), \(g(x)=0{,}5x+3\) 3. a) \(S(1{,}4\mid1{,}6)\); b) \(S(-0{,}8\mid2{,}6)\)

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) an den beiden Kostengeraden ab? - Welche Kostengerade liegt nach dem Schnittpunkt tiefer? - An welcher Stelle trifft der Umsatzgraph jeweils eine Kostengerade? - Beachte bei Teil b), dass nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind.

1. Bei \(x=0\) liest man für Verfahren A \(200\,\text{€}\) und für Verfahren B \(50\,\text{€}\) ab. Verfahren A hat daher die höheren Fixkosten. 2. Die beiden Kostengeraden schneiden sich bei \((150 \mid 275)\). Für \(x>150\) liegt die Kostengerade von Verfahren A unter der von Verfahren B. Bei ganzen Stückzahlen ist Verfahren A daher ab \(151\) Stück günstiger. 3. Der Umsatzgraph schneidet die Kostengerade von Verfahren B bei \(x=50\) und die von Verfahren A bei \(x=100\). Dies sind die jeweiligen Gewinnschwellen.

a) Verfahren A: \(200\,\text{€}\); Verfahren B: \(50\,\text{€}\). Verfahren A hat die höheren Fixkosten. b) Ab \(151\) Stück. c) Verfahren B: \(50\) Stück; Verfahren A: \(100\) Stück.

- Welche Starttemperatur liest du jeweils an der senkrechten Achse ab? - Wie kannst du die Temperaturänderung pro Minute aus zwei Gitterpunkten bestimmen? - Was bedeutet derselbe Punkt auf beiden Temperaturgraphen?

1. Graph \(a\) schneidet die Temperaturachse bei \(5\) und steigt um \(0{,}1\,^\circ\text{C}\) pro Minute. Daher \(T_A(x)=0{,}1x+5\). 2. Graph \(b\) startet bei \(10\) und steigt um \(0{,}05\,^\circ\text{C}\) pro Minute. Daher \(T_B(x)=0{,}05x+10\). 3. Gleichsetzen liefert \(x=100\), \(T=15\). Nach \(100\) Minuten haben beide Proben \(15\,^\circ\text{C}\).

Probe A: \(T_A(x)=0{,}1x+5\); Probe B: \(T_B(x)=0{,}05x+10\). Bei \(100\,\text{min}\) haben beide \(15\,^\circ\text{C}\).

- Nutze den Schnittpunkt im Graphen für Teil a nur als Näherung. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du für jede Wegfunktion verwenden? - Beachte bei Marie, dass ihr Graph erst um 10:30 Uhr beginnt. - Setze für den exakten Treffpunkt die beiden Wegfunktionen gleich.

1. Aus dem gröber gerasterten Diagramm liest man ungefähr \(t\approx2{,}3\,\text{h}\) und \(s\approx9\,\text{km}\) ab. 2. Für Lukas verläuft der Graph zum Beispiel durch \((0|0)\) und \((0{,}5|2)\). Daher ist \(s_L(t)=4t\). Maries Graph startet bei \((1{,}5|0)\) und verläuft zum Beispiel durch \((2|6)\). Daher ist die Steigung \(12\) und \(s_M(t)=12(t-1{,}5)\). 3. Gleichsetzen: \(4t=12(t-1{,}5)\). Daraus folgt \(t=2{,}25\,\text{h}\). Die Entfernung beträgt \(4\cdot2{,}25=9\,\text{km}\). 4. \(2{,}25\,\text{h}\) nach 09:00 Uhr ist 11:15 Uhr.

a) Ungefähr \(2{,}3\,\text{h}\) nach 09:00 Uhr und ungefähr \(9\,\text{km}\) vom Parkplatz b) \(s_L(t)=4t\), \(s_M(t)=12(t-1{,}5)\) c) Exakt nach \(2{,}25\,\text{h}\) bei \(9\,\text{km}\), also um 11:15 Uhr

- Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert Zeit und Entfernung der Begegnung. - Berücksichtige, dass das von Hafen B kommende Schiff bei \(100\,\text{km}\) startet. - Setze die beiden Entfernungsterme gleich.

1. Für die „Albatros“ gilt \(s_a(t) = 20t\). Für die „Bussard“ gilt \(s_b(t) = 100 - 30t\). 2. Aus dem Schnittpunkt im Diagramm liest man ungefähr \(t \approx 2\,\text{h}\) und \(s \approx 40\,\text{km}\) ab. 3. Rechnerisch ergibt das Gleichsetzen \(20t = 100 - 30t\), also \(50t = 100\) und \(t = 2\,\text{h}\). 4. Die Entfernung vom Hafen A beträgt \(s = 20 \cdot 2 = 40\,\text{km}\).

a) Aus der Grafik liest man etwa \(2\,\text{h}\) und etwa \(40\,\text{km}\) vom Hafen A ab. b) Rechnerisch ergibt sich die Begegnung nach \(2\,\text{h}\) in \(40\,\text{km}\) Entfernung vom Hafen A.

- Wie verändert sich die Wassermenge jedes Tanks pro Stunde? - Stelle für beide Tanks einen Term für die Wassermenge nach \(t\) Stunden auf. - Welche Bedingung gilt zu dem Zeitpunkt, an dem beide Tanks gleich viel Wasser enthalten?

1. Für die Füllmengen nach \(t\) Stunden gelten \(V_A(t)=-50t+500\) und \(V_B(t)=150t+100\). 2. Bei gleichem Füllstand gilt \(-50t+500=150t+100\). 3. Daraus folgt \(400=200t\), also \(t=2\). 4. Einsetzen ergibt \(V_A(2)=V_B(2)=400\,\text{l}\).

Nach \(2\,\text{Stunden}\) enthalten beide Tanks jeweils \(400\,\text{l}\) Wasser.

- Lies für beide Geraden geeignete Gitterpunkte ab und bestimme daraus Steigung und Achsenabschnitt. - Setze die beiden Funktionsterme gleich. - Überprüfe, ob der berechnete Punkt zu deiner Schätzung passt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Gerade \(f\): Punkt \((0 \mid 3)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit einem weiteren Punkt wie \((3 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1\). Also \(f(x) = -x + 3\). Gerade \(g\): Punkt \((0 \mid 1)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit dem Punkt \((4 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{4 - 0} = 0{,}25\). Also \(g(x) = 0{,}25x + 1\). 2. Gleichsetzen: \(-x + 3 = 0{,}25x + 1\). 3. Auflösen: \(2 = 1{,}25x \Rightarrow x = \frac{2}{1{,}25} = 1{,}6\). 4. \(y\)-Wert: \(y = -1{,}6 + 3 = 1{,}4\). 5. Der Schnittpunkt ist auf zwei Dezimalstellen \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\).

Schätzung: etwa \(S(1{,}5 \mid 1{,}5)\) Rechnung auf zwei Dezimalstellen: \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\)

- Welcher Graph besitzt einen positiven Anfangswert, und welcher geht durch den Ursprung? - Lies für jeden Graphen Startwert und Zunahme pro Teil ab. - Was bedeutet es, wenn beide Graphen denselben Punkt haben?

1. Graph \(p\) startet bei \(60\,\text{Wh}\) und steigt um \(4\,\text{Wh}\) pro Teil. Er gehört zu A. Daher gilt \(E_A(x)=4x+60\). 2. Graph \(q\) geht durch den Ursprung und steigt um \(10\,\text{Wh}\) pro Teil. Er gehört zu B. Daher gilt \(E_B(x)=10x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(4x+60=10x\), also \(x=10\) und \(y=100\). Bei \(10\) Teilen brauchen beide Möglichkeiten \(100\,\text{Wh}\). 4. Ab \(11\) Teilen liegt der Graph von A unter dem von B. A braucht dann weniger Energie. 5. Bei \(20\) Teilen braucht A \(140\,\text{Wh}\), B \(200\,\text{Wh}\). Die Ersparnis beträgt \(60\,\text{Wh}\).

a) \(p\to A\), \(E_A(x)=4x+60\); \(q\to B\), \(E_B(x)=10x\) b) \(S(10|100)\): Bei \(10\) Teilen brauchen beide \(100\,\text{Wh}\). c) Ab \(11\) Teilen d) \(60\,\text{Wh}\)

- Welchen Startwert liest du für jeden Behälter bei \(x=0\) ab? - Welche Volumenänderung pro Minute beschreibt die Steigung? - Welche Gleichung gilt, wenn beide Behälter denselben Inhalt haben?

1. Für Behälter 1 liest man \(t_1=100\) ab. Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_1=\frac{200-100}{5}=20\). Damit gilt \(y_1=20x+100\). 2. Behälter 2 startet bei \(t_2=0\). Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_2=40\). Damit gilt \(y_2=40x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(40x=20x+100\). Daraus folgt \(x=5\). Der gemeinsame Inhalt ist \(40\cdot5=200\,\text{l}\).

a) Behälter 1: \(y_1=20x+100\); Behälter 2: \(y_2=40x\) b) Nach \(5\,\text{min}\) mit jeweils \(200\,\text{l}\).

- Welche Anfangswerte liest du bei \(x=0\) ab? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der Fortschrittsgraphen? - Welche zwei Informationen brauchst du für jede Funktionsgleichung?

1. A startet bei \(10\,\%\), B bei \(40\,\%\); B ist höher. 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((30\mid55)\). Nach \(30\) Minuten zeigen beide \(55\,\%\). 3. Bei \(x=50\) hat A \(85\,\%\). 4. Aus den Steigungen und Anfangswerten folgen \(P_A(x)=1{,}5x+10\) und \(P_B(x)=0{,}5x+40\).

1) Rechner B; A \(10\,\%\), B \(40\,\%\) 2) Nach \(30\,\text{min}\) bei \(55\,\%\) 3) \(85\,\%\) 4) \(P_A(x)=1{,}5x+10\), \(P_B(x)=0{,}5x+40\)

- Am Schnittpunkt sind die beiden Funktionsterme gleich. - Löse die entstehende Gleichung exakt, bevor du rundest. - Vergleiche anschließend die exakten Brüche mit den Dezimalwerten.

1. Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{3}x+1=-\frac{1}{2}x+4\). 2. Daraus folgt \(\frac{7}{6}x=3\), also \(x=\frac{18}{7}\). 3. Einsetzen liefert \(y=\frac{19}{7}\). Der exakte Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{18}{7}\middle|\frac{19}{7}\right)\). 4. Gerundet ist das \(S(2{,}6|2{,}7)\). Durch das Runden werden die exakten Bruchwerte verändert.

a) \(S\left(\frac{18}{7}\middle|\frac{19}{7}\right)\) b) \(S(2{,}6|2{,}7)\) c) Die Dezimalwerte sind gerundet und daher nur Näherungen der exakten Bruchkoordinaten.

- Welche Größen müssen an einem Schnittpunkt tatsächlich gleich sein: nur Teile der Terme oder die vollständigen Funktionswerte? - Prüfe Samiras Punkt durch Einsetzen in beide ursprünglichen Funktionen. - Wenn die gemeinsame x-Koordinate gefunden ist, genügt eine der beiden Funktionen für die y-Koordinate; die andere dient zur Kontrolle.

1. Am Schnittpunkt müssen die vollständigen Funktionswerte gleich sein. Samira hat beim Gleichsetzen den Summanden \(+2\) von \(f\) weggelassen. 2. Richtig ist \(1{,}5x+2=-0{,}5x+8\). 3. Daraus folgt \(2x=6\) und somit \(x=3\). 4. Einsetzen ergibt \(f(3)=1{,}5\cdot3+2=6{,}5\) und \(g(3)=-0{,}5\cdot3+8=6{,}5\). 5. Der Schnittpunkt lautet \(S(3|6{,}5)\).

Samira hat beim Gleichsetzen den Summanden \(+2\) vergessen. Richtig ist \(1{,}5x+2=-0{,}5x+8\), also \(x=3\) und \(S(3|6{,}5)\). Beide Funktionen liefern für \(x=3\) den Wert \(6{,}5\).

- Wie findet man den Punkt, den zwei Funktionen gemeinsam haben? - Die \(x\)-Achse bildet eine Seite des Dreiecks. Welche Punkte der Graphen sind für diese Seite wichtig? - Welcher Wert des Schnittpunkts gibt dir die Höhe des Dreiecks über der \(x\)-Achse an?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen ermitteln: \(2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Einsetzen in \(f(x)\): \(f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). 2. Nullstelle von \(f\): \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Nullstelle von \(g\): \(-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). 3. Die Grundseite \(g_D\) des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse zwischen den Nullstellen: \(g_D = 5 - 2 = 3\). 4. Die Höhe \(h\) des Dreiecks entspricht dem \(y\)-Wert des Schnittpunkts \(S\): \(h = 2\). 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g_D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(3\,\text{FE}\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). b) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 5\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\).

- Wie findet man die gemeinsamen Punkte von Geraden? - Wenn eine Seite des Dreiecks waagerecht liegt, wie kannst du dann ihre Länge und die dazugehörige Höhe besonders einfach bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

1. Berechnung des Eckpunkts \(A\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_2\): \(\frac{1}{2}x + 2 = -x + 5 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 3\). Also \(A(2|3)\). 2. Berechnung des Eckpunkts \(B\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_3\): \(-1 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow -3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = -6\). Also \(B(-6|-1)\). 3. Berechnung des Eckpunkts \(C\) durch Schnitt von \(g_2\) und \(g_3\): \(-1 = -x + 5 \Rightarrow x = 6\). Also \(C(6|-1)\). 4. Die Seite \(BC\) liegt auf der horizontalen Geraden \(y = -1\). Ihre Länge (Basis \(g\)) ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(|6 - (-6)| = 12\). 5. Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand des Punktes \(A(2|3)\) zur Geraden \(y = -1\): \(|3 - (-1)| = 4\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24\).

a) Eckpunkte: \(A(2|3)\), \(B(-6|-1)\) und \(C(6|-1)\) b) Flächeninhalt: \(24\) Flächeneinheiten

- Versuche die Eckpunkte in Abhängigkeit von \(c\) auszudrücken. - Welche Punkte liegen auf der Geraden \(y = c\)? - Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Schnittpunkte bestimmen: - \(f \cap g\): \(x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0\). Erster Eckpunkt ist der Ursprung \(O(0|0)\). - \(f \cap h\): \(x = c, y = c\). Zweiter Eckpunkt ist \(P_1(c|c)\). - \(g \cap h\): \(-x = c \Rightarrow x = -c, y = c\). Dritter Eckpunkt ist \(P_2(-c|c)\). 2. Die Basis des Dreiecks liegt auf der Geraden \(y = c\). Die Länge der Basis ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(P_1\) und \(P_2\): \(g = c - (-c) = 2c\). 3. Die Höhe des Dreiecks ist der Abstand vom Ursprung zur Geraden \(y = c\), also \(h = c\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\). Damit ist die Formel gezeigt. 5. Analyse der Änderung: Wenn \(c\) verdoppelt wird (\(c_{\text{neu}} = 2c\)), dann gilt für den neuen Flächeninhalt \(A_{\text{neu}} = (2c)^2 = 4c^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also.

a) Die Eckpunkte sind \((0|0)\), \((c|c)\) und \((-c|c)\). Die Basis ist \(2c\), die Höhe \(c\), woraus \(A = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\) folgt. b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da \(c\) in der Flächenformel quadratisch eingeht: \((2c)^2 = 4c^2\).

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Teilaufgabe a: Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat den \(y\)-Wert \(0\). Aus \(0 = -x + 6\) folgt \(x = 6\). Einsetzen in \(h\): \(0 = m \cdot 6 + 2 \Rightarrow 6m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt, wenn sie parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. Da \(g\) die Steigung \(-1\) hat, muss \(m = -1\) gelten. 3. Teilaufgabe c: Bei \(m = 1\) lautet das System \(y = -x + 6\) und \(y = x + 2\). Gleichsetzen: \(-x + 6 = x + 2 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2\). Einsetzen: \(y = 2 + 2 = 4\). Da \(x = 2 > 0\) und \(y = 4 > 0\), liegt der Punkt \(S(2|4)\) im I. Quadranten.

a) \(m = -\frac{1}{3}\) b) \(m = -1\) c) I. Quadrant, da der Schnittpunkt \(S(2|4)\) positive Koordinaten besitzt.

- Wo schneiden die Geraden die \(y\)-Achse? - Wenn eine Seite eines Dreiecks auf einer Koordinatenachse liegt, wie lässt sich die zugehörige Höhe einfach finden? - Was passiert mit dem Flächeninhalt einer Figur, wenn man sie spiegelt? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die neue Figur nach der Spiegelung zusammen?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen: \(x + 1 = -0{,}5x + 4\). 2. \(1{,}5x = 3 \implies x = 2\). 3. \(y = 2 + 1 = 3\). Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). 4. \(y\)-Achsenabschnitte bestimmen: Für \(a\) ist es \(P_a(0 \mid 1)\), für \(b\) ist es \(P_b(0 \mid 4)\). 5. Das Dreieck hat die Eckpunkte \(P_a(0 \mid 1)\), \(P_b(0 \mid 4)\) und \(S(2 \mid 3)\). 6. Die Grundseite auf der \(y\)-Achse hat die Länge \(g = 4 - 1 = 3\). Die Höhe entspricht dem \(x\)-Abstand von \(S\) zur \(y\)-Achse: \(h = 2\). 7. Flächeninhalt Dreieck: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). 8. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse entsteht ein Drachenviereck, das aus dem ursprünglichen Dreieck und seinem flächengleichen Spiegelbild besteht. 9. Flächeninhalt Drachenviereck: \(A_{\text{Drachen}} = 2A_{\text{Dreieck}} = 2 \cdot 3 = 6\). Alternativ über Diagonalen: \(d_1 = 3\) (auf der \(y\)-Achse), \(d_2 = 4\) (Abstand zwischen \(S(2 \mid 3)\) und \(S'(-2 \mid 3)\)). \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\) Flächeneinheiten. c) Das Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

- Skizziere die Situation für beide Teilaufgaben in ein Koordinatensystem. - Wie verändert sich die Steigung der Diagonale \(AC\), wenn der Punkt \(C\) weiter nach rechts rückt? - Überlege, welche Eigenschaft alle Punkte auf der Diagonalen \(BD\) gemeinsam haben.

1. Für \(C(6|6)\) ist die Diagonale \(AC\) die Ursprungsgerade \(y = x\). Die Diagonale \(BD\) verläuft durch \((6|0)\) und \((0|6)\), also gilt \(y = -x + 6\). Gleichsetzen ergibt \(x = -x + 6\), somit \(x = 3\) und \(y = 3\). Daher ist \(S_1(3|3)\). 2. Für \(C'(12|6)\) hat die Diagonale \(AC'\) die Steigung \(\frac{6}{12} = 0{,}5\), also gilt \(y = 0{,}5x\). Gleichsetzen mit \(BD\) ergibt \(0{,}5x = -x + 6\), somit \(1{,}5x = 6\), \(x = 4\) und \(y = 2\). Daher ist \(S_2(4|2)\). 3. Die Diagonale \(BD\) ist die Strecke zwischen \((0|6)\) und \((6|0)\). Die Diagonale von \(A\) zu einem rechts von \(A\) liegenden Punkt auf \(y = 6\) trifft \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse, also bei \(y > 0\). Auf \(BD\) gilt \(x = 6 - y\). Daher folgt aus \(y > 0\), dass stets \(x < 6\) gilt.

a) \(S_1(3|3)\) b) \(S_2(4|2)\) c) Der Schnittpunkt liegt auf \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse. Wegen \(x = 6 - y\) und \(y > 0\) bleibt seine \(x\)-Koordinate immer kleiner als \(6\).

- Welche Steigungen haben \(f\) und \(g\), und was bedeutet das für ihre Lage? - Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt von \(f\) mit der \(y\)-Achse? - Welche beiden Nullstellen begrenzen die Grundseite des Dreiecks auf der \(x\)-Achse? - Welche senkrechte Entfernung hat der gemeinsame Punkt von \(f\) und \(h\) zur \(x\)-Achse?

1. \(f\) und \(g\) haben beide die Steigung \(\frac{1}{2}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Daher sind ihre Graphen parallel und haben keinen Schnittpunkt. 2. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 1)\). Damit \(h\) durch diesen Punkt verläuft, muss \(h(0)=1\) gelten. Also ist \(t=1\) und \(h(x)=-x+1\). 3. Die Nullstelle von \(f\) ist \(x=-2\), die Nullstelle von \(h\) ist \(x=1\). Die Grundseite auf der \(x\)-Achse hat daher die Länge \(1-(-2)=3\). 4. Die Höhe des Dreiecks beträgt \(1\), weil der gemeinsame Punkt von \(f\) und \(h\) bei \((0 \mid 1)\) liegt. Somit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=1{,}5\).

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel. Es gilt \(t=1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1{,}5\) Flächeneinheiten.

- Achte auf die Umrechnung von Millimetern in Zentimeter. - Wie viel sind \(10\,\%\) der ursprünglichen Länge von Stift B? - Welche Nullstellen begrenzen die physisch sinnvollen Modelle?

1. \(10\,\text{mm}=1\,\text{cm}\), daher \(L_A(t)=5-t\). Bei B sind \(10\,\%\) von \(12\,\text{cm}\) gleich \(1{,}2\,\text{cm}\), also \(L_B(t)=12-1{,}2t\). 2. \(5-t=12-1{,}2t\) ergibt \(t=35\), dann \(L=-30\). Also \(S(35\mid-30)\). 3. A ist für \(0\le t\le5\), B für \(0\le t\le10\) sinnvoll. Der theoretische Schnittpunkt liegt außerhalb beider Bereiche.

a) \(L_A(t)=5-t\), \(L_B(t)=12-1{,}2t\) b) \(S(35\mid-30)\) c) A: \(0\le t\le5\); B: \(0\le t\le10\); der Schnittpunkt wird real nicht erreicht.