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- Suche die Stelle, an der beide Geraden denselben Punkt besitzen. - Lies dort zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate ab.

1. Die beiden Geraden schneiden sich bei \(x=2\) und \(y=3\). 2. Daher ist der Schnittpunkt \(S(2|3)\).

\(S(2|3)\).

- Beobachte, ob sich der Abstand der beiden Geraden beim Blick von links nach rechts verändert. - Überlege, was eine dauerhaft gleiche Lage zweier verschiedener Geraden für einen möglichen Schnittpunkt bedeutet.

1. Beide Geraden verlaufen in dieselbe Richtung und haben überall denselben Abstand. 2. Sie sind parallel und verschieden. Deshalb haben sie keinen Schnittpunkt.

Nein. Die Geraden sind parallel und verschieden, daher gibt es keinen Schnittpunkt.

- Welche Punkte lassen sich aus Achsenabschnitt und Steigung von \(f\) leicht bestimmen? - Welche Eigenschaft haben alle Punkte auf der horizontalen Geraden \(y=1{,}5\)? - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die ursprüngliche Gleichung? - Welche Äquivalenzumformung beseitigt zuerst die \(-3\)?

1. Für \(f\) eignen sich zum Beispiel die Punkte \((0 \mid -3)\) und \((2 \mid 0)\); für \(y=1{,}5\) zum Beispiel \((0 \mid 1{,}5)\) und \((2 \mid 1{,}5)\). Die Geraden schneiden sich bei \(x=3\). 2. Rechnerisch ergibt die Addition von \(3\) die Gleichung \(1{,}5x=4{,}5\). Division durch \(1{,}5\) liefert \(x=3\). Beide Wege stimmen überein.

a) Zum Beispiel \(f\): \((0 \mid -3)\), \((2 \mid 0)\); \(y=1{,}5\): \((0 \mid 1{,}5)\), \((2 \mid 1{,}5)\). Abgelesene Lösung: \(x=3\). b) Rechnerisch ebenfalls \(x=3\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle des Schnittpunkts? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner der Brüche zu multiplizieren?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2}{5}x + 3 = -\frac{1}{2}x - 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf einer Seite: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{2}x = -6 - 3\), was zu \(\frac{9}{10}x = -9\) führt 3. Lösen nach \(x\): \(x = -9 \cdot \frac{10}{9} = -10\) 4. Berechnen des \(y\)-Werts durch Einsetzen von \(x = -10\) in \(f(x)\): \(y = \frac{2}{5} \cdot (-10) + 3 = -4 + 3 = -1\) 5. Der Schnittpunkt ist \(S(-10 | -1)\)

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S(-10 | -1)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Welchen besonderen Wert hat die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf der \(x\)-Achse? - Kannst du die Lage des Schnittpunkts direkt aus deinem Ergebnis in Teilaufgabe a) ablesen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(3x - 9 = -x + 3\). 2. Addition von \(x\) und \(9\) ergibt \(4x = 12\), also \(x = 3\). 3. Einsetzen in eine der Funktionen: \(k(3) = 3 \cdot 3 - 9 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). 4. Ein Punkt liegt genau dann auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist. Da der Schnittpunkt die \(y\)-Koordinate \(0\) hat, schneiden sich die Geraden auf der \(x\)-Achse.

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3|0)\). b) Der Schnittpunkt liegt auf der \(x\)-Achse, weil seine \(y\)-Koordinate \(0\) ist.

- Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn sich zwei Graphen schneiden? - Wie bestimmst du nach dem gemeinsamen \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(1{,}5x - 2 = -x + 3\). 2. Zusammenfassen und Auflösen nach \(x\): \(2{,}5x = 5\), also \(x = 2\). 3. Einsetzen in \(g\): \(g(2) = -2 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). 4. Da sowohl die \(x\)-Koordinate als auch die \(y\)-Koordinate positiv sind, liegt \(S\) im I. Quadranten.

Der Schnittpunkt ist \(S(2|1)\). Er liegt im I. Quadranten, da beide Koordinaten positiv sind.

- Welcher Teil der Kosten ist fest und welcher hängt von der Fotoanzahl ab? - Wie kannst du die beiden Angebote als lineare Kostenfunktionen schreiben? - Welche Gleichung gilt bei Kostengleichheit?

1. Die Kostenfunktionen lauten \(y_F=0{,}12x+3{,}50\) und \(y_P=0{,}17x+1{,}50\). 2. Für gleiche Kosten gilt \(0{,}12x+3{,}50=0{,}17x+1{,}50\). 3. Daraus folgt \(2{,}00=0{,}05x\) und somit \(x=40\).

\(y_F=0{,}12x+3{,}50\), \(y_P=0{,}17x+1{,}50\). Bei \(40\) Fotos sind die Kosten gleich.

- Wie viele Schnittpunkte musst du bestimmen, um alle Ecken eines Dreiecks zu finden? - Welche Paare von Geraden kannst du jeweils bilden? - Bei einer Geraden wie \(x = 2\) ist der \(x\)-Wert für alle Punkte auf der Geraden bereits bekannt. Wie hilft dir das beim Rechnen?

1. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\): Gleichsetzen der Funktionsterme führt zu \(2x - 4 = -0{,}5x + 6\). Durch Umformen ergibt sich \(2{,}5x = 10\) und somit \(x = 4\). Einsetzen in \(g_1\) liefert \(y = 2 \cdot 4 - 4 = 4\). Erster Eckpunkt: \((4|4)\). 2. Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_3\): Da die Gerade \(g_3\) senkrecht bei \(x = 2\) verläuft, wird dieser Wert in \(g_1\) eingesetzt: \(y = 2 \cdot 2 - 4 = 0\). Zweiter Eckpunkt: \((2|0)\). 3. Schnittpunkt von \(g_2\) und \(g_3\): Einsetzen von \(x = 2\) in die Gleichung von \(g_2\) ergibt \(y = -0{,}5 \cdot 2 + 6 = 5\). Dritter Eckpunkt: \((2|5)\).

Die Eckpunkte des Dreiecks sind \((4|4)\), \((2|0)\) und \((2|5)\).

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) ab? - Wie groß ist die Höhenabnahme pro Stunde bei jeder Gerade? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen im Sachkontext?

1. Kerze A startet bei \(12\,\text{cm}\) und verliert pro Stunde \(1{,}5\,\text{cm}\). Daher gilt \(y_A=-1{,}5x+12\). 2. Kerze B startet bei \(18\,\text{cm}\) und verliert pro Stunde \(3\,\text{cm}\). Daher gilt \(y_B=-3x+18\). 3. Gleichsetzen ergibt \(-1{,}5x+12=-3x+18\). Daraus folgt \(1{,}5x=6\) und \(x=4\). 4. Einsetzen ergibt \(y=6\). Nach \(4\,\text{h}\) sind beide Kerzen \(6\,\text{cm}\) hoch.

a) Kerze A: \(12\,\text{cm}\) Anfangshöhe, \(1{,}5\,\text{cm/h}\) Abbrand. Kerze B: \(18\,\text{cm}\) Anfangshöhe, \(3\,\text{cm/h}\) Abbrand. b) Nach \(4\,\text{h}\) sind beide \(6\,\text{cm}\) hoch.

- Lies die Guthaben bei \(x=0\) ab, um die Startbeträge zu vergleichen. - Vergleiche für die wöchentliche Sparrate die Guthabenänderung mit der Zahl der vergangenen Wochen. - Gleiche Guthaben erkennst du dort, wo sich die beiden Graphen treffen.

1. Zu Beginn, also bei \(x=0\), hat Sarah \(40\,\text{€}\) und Lukas \(10\,\text{€}\). Sarah startet daher mit mehr Geld. 2. Lukas' Guthaben wächst in \(10\,\text{Wochen}\) von \(10\,\text{€}\) auf \(60\,\text{€}\), also um \(50\,\text{€}\). Das sind \(5\,\text{€/Woche}\). Sarahs Guthaben wächst in \(10\,\text{Wochen}\) von \(40\,\text{€}\) auf \(60\,\text{€}\), also um \(20\,\text{€}\). Das sind \(2\,\text{€/Woche}\). Lukas spart wöchentlich mehr. 3. Die beiden Graphen treffen sich im Punkt \((10\mid60)\). Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide \(60\,\text{€}\).

a) Sarah hat zu Beginn mit \(40\,\text{€}\) mehr Geld. Lukas spart mit \(5\,\text{€/Woche}\) mehr pro Woche als Sarah mit \(2\,\text{€/Woche}\). b) Nach \(10\,\text{Wochen}\) haben beide \(60\,\text{€}\).

- Bestimme für beide Geraden die Parameter in der Form \(y=mx+t\). - Welche markierten Punkte eignen sich für die Steigungsberechnung? - Welche Gleichheit gilt für die beiden Funktionswerte am Schnittpunkt?

1. Die Gerade \(f\) verläuft durch \((0 \mid 1)\) und \((4 \mid 3)\). Daher ist \(m_f=\frac{3-1}{4}=0{,}5\) und \(t_f=1\), also \(f(x)=0{,}5x+1\). 2. Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1 \mid 3)\) und \((3 \mid 1)\). Daher ist \(m_g=\frac{1-3}{3-1}=-1\). Mit \((3 \mid 1)\) folgt \(t_g=4\), also \(g(x)=-x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=-x+4\). Daraus folgt \(x=2\) und anschließend \(y=2\). Der berechnete Schnittpunkt \(S(2 \mid 2)\) stimmt mit dem abgelesenen Wert überein.

a) \(S\approx(2 \mid 2)\) b) Rechnerisch \(S(2 \mid 2)\); das stimmt mit dem Ableseergebnis überein.

- Wenn sich zwei Geraden schneiden, müssen ihre \(y\)-Werte an dieser Stelle gleich sein. - Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich. - Löse nach \(x\) auf und berechne danach den zugehörigen \(y\)-Wert.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x - 2 = -2x + 4\). 2. Umstellen nach \(x\): Addiere \(2x\) auf beiden Seiten \(\rightarrow 3x - 2 = 4\). 3. Addiere \(2\) auf beiden Seiten \(\rightarrow 3x = 6\). 4. Dividiere durch \(3\) \(\rightarrow x = 2\). 5. Einsetzen von \(x = 2\) in eine der Gleichungen, zum Beispiel \(g_1\): \(y = 2 - 2 = 0\). 6. Der Schnittpunkt ist \(P(2 \mid 0)\).

\(P(2 \mid 0)\)

- Wie verändert sich Antons Position pro Stunde? - Welche Anfangsposition musst du bei Boris zusätzlich berücksichtigen? - Welche zwei Punkte reichen jeweils aus, um eine Gerade zu zeichnen? - Welche Bedingung gilt zu dem Zeitpunkt, an dem beide Läufer dieselbe Position haben?

1. Die Positionen werden durch \(s_A(t)=8t\) und \(s_B(t)=2+6t\) beschrieben. 2. Die Wertetabelle lautet: <table><tr><th>\(t\) in \(\text{h}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><td>\(s_A(t)\) in \(\text{km}\)</td><td>\(0\)</td><td>\(8\)</td><td>\(16\)</td><td>\(24\)</td><td>\(32\)</td></tr><tr><td>\(s_B(t)\) in \(\text{km}\)</td><td>\(2\)</td><td>\(8\)</td><td>\(14\)</td><td>\(20\)</td><td>\(26\)</td></tr></table> 3. Zum Zeichnen genügen zum Beispiel für Anton die Punkte \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 8)\), für Boris \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 8)\). Der gemeinsame Punkt ist \(S(1 \mid 8)\). 4. Rechnerisch gilt beim Einholen \(8t=2+6t\). Daraus folgt \(2t=2\) und \(t=1\). Die gemeinsame Position ist \(8\,\text{km}\). 5. Nach \(1\,\text{h}\) sind somit beide \(8\,\text{km}\) von der Startmarkierung entfernt.

a) <table><tr><th>\(t\) in \(\text{h}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><td>\(s_A(t)\) in \(\text{km}\)</td><td>\(0\)</td><td>\(8\)</td><td>\(16\)</td><td>\(24\)</td><td>\(32\)</td></tr><tr><td>\(s_B(t)\) in \(\text{km}\)</td><td>\(2\)</td><td>\(8\)</td><td>\(14\)</td><td>\(20\)</td><td>\(26\)</td></tr></table> b) Zum Beispiel Anton: \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 8)\); Boris: \((0 \mid 2)\), \((1 \mid 8)\). Die Geraden schneiden sich in \(S(1 \mid 8)\). c) Nach \(1\,\text{h}\). d) Beide sind \(8\,\text{km}\) von der Startmarkierung entfernt.

- Wie viel Zentimeter verliert Kerze A in einer einzigen Stunde? - Kannst du für jede Kerze eine Formel aufstellen, die die Höhe nach einer bestimmten Zeit angibt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Dinge „gleich“ sind?

1. Bestimmung der Abbrandrate von Kerze A: In \(4\,\text{Stunden}\) verliert sie \(30\,\text{cm} - 18\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Die Rate beträgt also \(12\,\text{cm} : 4\,\text{h} = 3\,\text{cm/h}\). 2. Berechnung der Höhe nach \(7\,\text{Stunden}\) (a): \(30\,\text{cm} - 7\,\text{h} \cdot 3\,\text{cm/h} = 30\,\text{cm} - 21\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Zeit bis zum vollständigen Abbrand (b): \(30\,\text{cm} : 3\,\text{cm/h} = 10\,\text{Stunden}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts gleicher Höhe (c): Aufstellen der Gleichungen für die Höhen \(h_A(t) = 30 - 3t\) und \(h_B(t) = 20 - t\). Gleichsetzen liefert \(30 - 3t = 20 - t\). 5. Lösen der Gleichung: \(10 = 2t \Rightarrow t = 5\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) sind beide Kerzen gleich hoch. 6. Berechnung der gemeinsamen Höhe: \(h_B(5) = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

a) Nach \(7\) Stunden ist Kerze A noch \(9\,\text{cm}\) hoch. b) Kerze A ist nach \(10\) Stunden komplett abgebrannt. c) Nach \(5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch, nämlich genau \(15\,\text{cm}\).

- Wie lauten die beiden Kostenfunktionen in der Form \(y=mx+t\)? - Welche Bedeutung haben Minutenpreis und Grundgebühr in den Funktionstermen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem beide Tarife gleich viel kosten? - Auf welcher Seite dieses Gleichstands liegt der Graph von „Mobil“ niedriger?

1. Bei \(30\,\text{min}\) kostet „Flott“ \(30\cdot 0{,}30\,\text{€}=9{,}00\,\text{€}\), „Mobil“ kostet \(10{,}00\,\text{€}+30\cdot 0{,}10\,\text{€}=13{,}00\,\text{€}\). 2. Bei \(60\,\text{min}\) kostet „Flott“ \(18{,}00\,\text{€}\), „Mobil“ \(16{,}00\,\text{€}\). 3. Die Kostenmodelle sind \(K_F(x)=0{,}30x\) und \(K_M(x)=0{,}10x+10\). Gleichsetzen ergibt \(0{,}30x=0{,}10x+10\), also \(x=50\). Für \(x>50\) liegt \(K_M(x)\) unter \(K_F(x)\); dann ist „Mobil“ günstiger. 4. Zum Zeichnen eignen sich zum Beispiel für „Flott“ die Punkte \((0 \mid 0)\) und \((50 \mid 15)\), für „Mobil“ \((0 \mid 10)\) und \((50 \mid 15)\). Der Schnittpunkt \((50 \mid 15)\) bedeutet, dass beide Tarife bei \(50\,\text{min}\) genau \(15{,}00\,\text{€}\) kosten.

a) Bei \(30\,\text{min}\): Flott \(9{,}00\,\text{€}\), Mobil \(13{,}00\,\text{€}\). Bei \(60\,\text{min}\): Flott \(18{,}00\,\text{€}\), Mobil \(16{,}00\,\text{€}\). b) „Mobil“ ist für \(x>50\,\text{min}\) günstiger; bei \(x=50\,\text{min}\) sind die Kosten gleich. c) Zum Beispiel Flott: \((0 \mid 0)\), \((50 \mid 15)\); Mobil: \((0 \mid 10)\), \((50 \mid 15)\). Der Schnittpunkt \((50 \mid 15)\) ist der Gleichstand beider Tarife.

- Vergleiche die Funktionswerte beider Funktionen an derselben Stelle. - Was muss für die Funktionswerte am Schnittpunkt gelten? - Berücksichtige bei der Lösungsmenge den angegebenen Definitionsbereich.

1. Vergleich bei \(x = -2\): \(f(-2) = -(-2) + 2 = 4\) und \(g(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\). Da \(4 > -2\), liegt der Graph von \(f\) an dieser Stelle höher. 2. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen der Funktionsterme \(-x + 2 = 0{,}5x - 1\). Umformen ergibt \(3 = 1{,}5x\), woraus \(x = 2\) folgt. Einsetzen in eine der Funktionen ergibt \(y = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). 3. Bereich bestimmen: Da die Geraden sich bei \(x = 2\) schneiden und \(g\) eine positive Steigung hat, während \(f\) eine negative Steigung hat, liegt \(g\) für alle rationalen Zahlen \(x > 2\) oberhalb von \(f\). Die Ungleichung \(0{,}5x - 1 > -x + 2\) führt zu \(x > 2\); wegen des vorgegebenen Definitionsbereichs gilt zusätzlich \(x \in \mathbb{Q}\).

a) Bei \(x = -2\) liegt der Graph von \(f\) höher (\(4 > -2\)). b) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). c) Der Graph von \(g\) liegt für \(x \in \mathbb{Q}\) mit \(x > 2\) oberhalb des Graphen von \(f\).

- Welcher Teil der Gleichung ändert sich mit den Kilometern und welcher bleibt immer gleich? - Wie gehst du vor, wenn du wissen willst, wann zwei Angebote genau gleich viel kosten? - Schau dir die Steigungen an: Welcher Tarif wird pro Kilometer teurer?

1. Interpretation der Konstanten: Die Werte \(45\) und \(25\) stellen die Fixkosten (Grundgebühr) pro Anmietung dar, die unabhängig von den gefahrenen Kilometern anfallen. 2. Kosten für \(x = 80\): Tarif A: \(y = 0{,}30 \cdot 80 + 45 = 24 + 45 = 69\,\text{€}\). Tarif B: \(y = 0{,}50 \cdot 80 + 25 = 40 + 25 = 65\,\text{€}\). Bei \(80\,\text{km}\) ist Tarif B günstiger. 3. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Schnittpunkts: \(0{,}30x + 45 = 0{,}50x + 25\). 4. Lösen der Gleichung: \(20 = 0{,}20x \Rightarrow x = 100\). 5. Schlussfolgerung: Da Tarif A eine geringere Steigung (Kilometerpreis) hat, ist er für Strecken über \(100\,\text{km}\) günstiger.

a) Es handelt sich um die Grundgebühren in \(\text{€}\). b) Tarif A kostet \(69\,\text{€}\), Tarif B kostet \(65\,\text{€}\). Tarif B ist günstiger. c) Ab einer Strecke von mehr als \(100\,\text{km}\) ist Tarif A günstiger.

- Überlege, welche Beziehung zwischen den beiden Funktionswerten an einem Schnittpunkt gelten muss. - Nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate brauchst du noch den zugehörigen gemeinsamen Funktionswert. - Vergleiche für c) jeweils die beiden Funktionswerte beim selben Argument.

1. Am Schnittpunkt haben beide Funktionen beim selben Argument denselben Funktionswert. Daher gilt \(1{,}5x-3=-0{,}5x+5\). Daraus folgt \(2x=8\) und damit \(x=4\). Mit \(f(4)=3\) erhält man \(S(4\mid3)\). 2. Es gilt \(f(4)=1{,}5\cdot4-3=3\) und \(g(4)=-0{,}5\cdot4+5=3\). Der Punkt \(S(4\mid3)\) liegt somit auf beiden Graphen. 3. Bei \(x=2\) gilt \(f(2)=0\) und \(g(2)=4\); dort liegt \(G_g\) höher. Bei \(x=6\) gilt \(f(6)=6\) und \(g(6)=2\); dort liegt \(G_f\) höher. Die Reihenfolge wechselt am Schnittpunkt bei \(x=4\).

a) \(S(4\mid3)\) b) \(f(4)=g(4)=3\) c) Bei \(x=2\) liegt \(G_g\) höher; bei \(x=6\) liegt \(G_f\) höher. Der Wechsel passt zum Schnittpunkt bei \(x=4\).

- Wie kannst du das „Abbrennen“ mathematisch als Vorzeichen in deiner Gleichung ausdrücken? - Was bedeutet es für die Funktionswerte, wenn zwei Objekte „gleich hoch“ sind? - Erstelle für beide Kerzen getrennte Ausdrücke, bevor du sie vergleichst.

1. Funktionsgleichungen: Für Kerze A gilt \(h_A(t) = 24 - 2t\). Für Kerze B gilt \(h_B(t) = 18 - 1{,}2t\). 2. Vergleich nach \(5\) Stunden: \(h_A(5) = 24 - 2 \cdot 5 = 14\,\text{cm}\). \(h_B(5) = 18 - 1{,}2 \cdot 5 = 18 - 6 = 12\,\text{cm}\). Kerze A ist mit \(14\,\text{cm}\) höher als Kerze B mit \(12\,\text{cm}\). 3. Zeitpunkt gleicher Höhe: Gleichsetzen der Funktionen: \(24 - 2t = 18 - 1{,}2t\). Umstellen ergibt \(6 = 0{,}8t\). Division durch \(0{,}8\) ergibt \(t = 7{,}5\). Nach \(7{,}5\) Stunden (oder \(7\) Stunden und \(30\) Minuten) sind beide Kerzen gleich hoch.

a) \(h_A(t) = 24 - 2t\) und \(h_B(t) = 18 - 1{,}2t\) b) Kerze A ist nach \(5\) Stunden höher (\(14\,\text{cm} > 12\,\text{cm}\)). c) Nach \(7{,}5\) Stunden sind beide Kerzen gleich hoch.

- Welche Gleichung gilt für die Funktionswerte am Schnittpunkt zweier Geraden? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0 \mid 1)\) für den Achsenabschnitt von \(g_3\)? - Wie kannst du anschließend die Steigung von \(g_3\) bestimmen?

1. Am Schnittpunkt gilt \(2x-1=-x+5\). Daraus folgt \(3x=6\) und \(x=2\). 2. Einsetzen ergibt \(y=2\cdot 2-1=3\). Damit ist \(S(2 \mid 3)\). 3. Für \(g_3\) liefert \(P(0 \mid 1)\) den \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Mit \(S(2 \mid 3)\) gilt \(3=2m+1\), also \(m=1\). 4. Somit lautet die Gleichung \(g_3: y=x+1\).

a) \(S(2 \mid 3)\) b) \(g_3: y=x+1\)

- Welche zwei Punkte kannst du aus der Tabelle ablesen? - Wie bestimmst du aus ihnen zuerst die Steigung und anschließend den Achsenabschnitt \(t_f\)? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte am Schnittpunkt?

1. Aus den Punkten \((1 \mid 2)\) und \((3 \mid 8)\) folgt \(m_f=\frac{8-2}{3-1}=3\). 2. Mit \((1 \mid 2)\) gilt \(2=3+t_f\), also \(t_f=-1\). Daher ist \(f(x)=3x-1\). 3. Die Steigungen sind \(m_f=3\) und \(m_g=4\). Somit hat \(g\) die größere Steigung. 4. Für den Schnittpunkt gilt \(3x-1=4x-1\). Daraus folgt \(x=0\). Einsetzen ergibt \(y=-1\), also \(S(0 \mid -1)\).

a) \(f(x)=3x-1\) b) \(g\) hat die größere Steigung. c) \(S(0 \mid -1)\)

- Überlege dir für jeden Tank einzeln, ob das Volumen zu- oder abnimmt. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Bestände „gleich groß“ sind? - Wie kannst du den berechneten Zeitpunkt nutzen, um die tatsächliche Wassermenge zu finden?

1. Aufstellen der Gleichungen: Für Tank A gilt \(V_A(t) = -12t + 500\). Für Tank B gilt \(V_B(t) = 8t + 200\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Ermittlung des Zeitpunkts des gleichen Volumens: \(-12t + 500 = 8t + 200\). 3. Lösen nach \(t\): \(300 = 20t \Rightarrow t = 15\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) sind die Volumina gleich groß. 4. Berechnung des Volumens durch Einsetzen von \(t = 15\) in eine der Gleichungen: \(V_A(15) = -12 \cdot 15 + 500 = -180 + 500 = 320\). Das Volumen beträgt \(320\,\text{l}\).

Die Gleichungen lauten \(V_A(t) = -12t + 500\) und \(V_B(t) = 8t + 200\). Nach \(15\,\text{Minuten}\) enthalten beide Tanks jeweils \(320\,\text{l}\) Wasser.

- Welche einfachen Punkte erhältst du aus den jeweiligen Achsenabschnitten und Steigungen? - Welche Bedingung gilt am Schnittpunkt für die beiden Funktionswerte? - Wie bestimmst du nach dem \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate?

1. Für \(g\) eignen sich zum Beispiel \((0 \mid 4)\) und \((2 \mid 2)\), für \(h\) \((0 \mid -2)\) und \((2 \mid 2)\). Daraus liest man \(S(2 \mid 2)\) ab. 2. Rechnerisch gilt \(-x+4=2x-2\). Daraus folgt \(6=3x\) und \(x=2\). 3. Einsetzen ergibt \(g(2)=2\). Damit ist der Schnittpunkt \(S(2 \mid 2)\), wie grafisch bestimmt.

a) Zum Beispiel \(g\): \((0 \mid 4)\), \((2 \mid 2)\); \(h\): \((0 \mid -2)\), \((2 \mid 2)\). Grafisch ergibt sich \(S(2 \mid 2)\). b) Rechnerisch ebenfalls \(S(2 \mid 2)\).

- Betrachte die Steigungen auf beiden Seiten der Gleichung. - Was passiert, wenn du die Klammern auflöst? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel, und wann liegen sie genau aufeinander?

1. Vergleich der Terme \(2x + 5\) und \(2x - 3\): Beide Geraden haben die Steigung \(m = 2\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(5\) und \(-3\)). Die Geraden sind parallel und verschieden, daher gibt es keine Lösung. 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(\frac{1}{2} \cdot (6x - 2) = 3x - 1\). Die Gleichung lautet \(3x - 1 = 3x - 1\). Beide Seiten beschreiben dieselbe Gerade. Jede reelle Zahl \(x\) ist eine Lösung, also gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Vergleich der Steigungen: Die linke Seite hat die Steigung \(m_1 = 4\), die rechte Seite \(m_2 = -1\). Da die Steigungen unterschiedlich sind, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt. Es gibt genau eine Lösung.

1. Keine Lösung, da die Geraden parallel verlaufen (gleiche Steigung, verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte). 2. Unendlich viele Lösungen, da beide Seiten dieselbe Gerade beschreiben (identische Terme). 3. Genau eine Lösung, da die Geraden unterschiedliche Steigungen haben und sich somit in einem Punkt schneiden.

- Wie bestimmst du die Steigung aus den beiden Punkten von \(g\)? - Welcher gegebene Punkt liefert den \(y\)-Achsenabschnitt direkt? - Welche Bedingung erfüllen die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Die Steigung von \(g\) ist \(m=\frac{5-1}{2-0}=2\). 2. Aus \(P(0 \mid 1)\) folgt der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=1\). Damit ist \(g: y=2x+1\). 3. Für den Schnittpunkt gilt \(2x+1=-x+7\). Daraus folgt \(3x=6\) und \(x=2\). 4. Einsetzen in \(h\) ergibt \(y=5\). Somit ist \(S(2 \mid 5)\).

a) \(g: y=2x+1\) b) \(S(2 \mid 5)\)

- Wenn du den \(x\)-Wert des Schnittpunkts kennst, wie kannst du den zugehörigen \(y\)-Wert bestimmen? - Welche Information liefert dir der Punkt \(S\) für die zweite Funktionsgleichung? - Kannst du den Punkt in die Gleichung einsetzen, in der noch eine Unbekannte steht?

1. Berechnung des \(y\)-Werts des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(x = -2\) in \(f(x)\): \(y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 1 = 0\) 2. Der Schnittpunkt ist \(S(-2 | 0)\). 3. Einsetzen der Koordinaten von \(S\) in die Funktionsgleichung von \(g\): \(0 = m(-2) + 4\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(m\): \(2m = 4\) 5. Ergebnis: \(m = 2\)

Die Steigung ist \(m = 2\).

- Beginne damit, die Stelle zu finden, an der sich die ersten beiden Geraden treffen. - Was musst du tun, um zu beweisen, dass ein Punkt auf einer Geraden liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen sollst, ob drei Geraden durch denselben Punkt verlaufen?

1. Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) berechnen: \(3x - 4 = -x + 8\) 2. Gleichung lösen: \(4x = 12 \Rightarrow x = 3\) 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5\). Somit ist \(S(3 | 5)\). 4. Punktprobe für \(h(x)\) mit \(S(3 | 5)\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(h(x)\). 5. \(h(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\) 6. Vergleich: Da \(h(3) = 5\) dem \(y\)-Wert von \(S\) entspricht, verläuft der Graph von \(h\) durch den Punkt \(S\).

Der Schnittpunkt von \(f\) und \(g\) ist \(S(3 | 5)\). Der Graph von \(h\) verläuft ebenfalls durch diesen Punkt, da \(h(3) = 5\) ist.

- Welchen \(y\)-Wert hat die vollständig bekannte Gerade bei \(x=4\)? - Welche Gleichheit muss am Schnittpunkt für beide Funktionswerte gelten? - Wie kannst du daraus den fehlenden Achsenabschnitt bestimmen?

1. Für \(x=4\) gilt \(g(4)=-1{,}2\cdot 4+10=5{,}2\). 2. Am Schnittpunkt muss auch \(f(4)=5{,}2\) gelten. Daher ist \(0{,}8\cdot 4+t=5{,}2\). 3. Aus \(3{,}2+t=5{,}2\) folgt \(t=2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid 5{,}2)\).

\(t=2\); \(S(4 \mid 5{,}2)\)

- Welche Gleichung erfüllen die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt? - Wie bestimmst du nach dem gemeinsamen \(x\)-Wert die \(y\)-Koordinate? - Welche Form \(y=mx+t\) kannst du für die dritte Gerade mit bekannter Steigung verwenden?

1. Am Schnittpunkt gilt \(1{,}5x+2=-0{,}5x+6\). Daraus folgt \(2x=4\), also \(x=2\). Einsetzen ergibt \(y=5\), somit \(S(2 \mid 5)\). 2. Für \(k\) gilt \(y=-2x+t\). Mit \(S(2 \mid 5)\) erhält man \(5=-4+t\), also \(t=9\). Damit lautet die Gleichung \(k: y=-2x+9\).

1. \(S(2 \mid 5)\) 2. \(k: y=-2x+9\)

- Überlege dir, welche Gerade bei \(x=0\) weiter oben liegt. - Wie verändern sich die \(y\)-Werte, wenn du dich von der \(y\)-Achse nach rechts oder links bewegst? - In welchem Quadranten sind die \(x\)-Werte positiv und die \(y\)-Werte negativ?

1. Analyse der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) liegt die erste Gerade bei \(y = -2\) und die zweite Gerade bei \(y = -7\). Die erste Gerade liegt also oberhalb der zweiten. 2. Analyse der Steigungen: Die erste Gerade fällt (\(m = -3\)), während die zweite Gerade steigt (\(m = 2\)). 3. Bestimmung der \(x\)-Richtung: Da die obere Gerade fällt und die untere steigt, nähern sie sich für positive \(x\)-Werte an und schneiden sich dort. Somit ist \(x > 0\). 4. Bestimmung des Vorzeichens von \(y\): Für den Schnittpunkt gilt die erste Gleichung \(y = -3x - 2\). Wegen \(x > 0\) ist dort \(y < -2 < 0\). Damit liegt der Schnittpunkt im IV. Quadranten.

Der Schnittpunkt liegt im IV. Quadranten.

- Vergleiche die Steigungen der Geraden in jedem System. - Wenn eine Gerade unterhalb einer anderen startet, welche Steigung muss sie haben, um die andere bei positiven \(x\)-Werten einzuholen? - Was passiert mit dem Abstand der Geraden, wenn die untere Gerade flacher ist als die obere?

1. Vergleich der Ausgangslage: In beiden Systemen startet die erste Gerade bei \(y = 4\) und die zweite bei \(y = -1\). Die erste Gerade liegt also bei \(x = 0\) über der zweiten. 2. System A: Die zweite Gerade (\(m = 3\)) ist steiler als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet, aber schneller steigt, muss sie die erste Gerade bei einem positiven \(x\)-Wert einholen. 3. System B: Die zweite Gerade (\(m = 0{,}2\)) ist flacher als die erste (\(m = 0{,}5\)). Da sie weiter unten startet und langsamer steigt, kann sie die erste Gerade für \(x > 0\) niemals einholen. Die Geraden schneiden sich daher im Bereich \(x < 0\). 4. Ergebnis: In System B ist die \(x\)-Koordinate negativ.

In System B hat der Schnittpunkt eine negative \(x\)-Koordinate.

- Was stellt die Grundgebühr in der Funktionsgleichung dar? - Wie verändert sich der Gesamtpreis, wenn man eine Minute mehr telefoniert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich viel“ kosten? - Überlege dir, welcher Wert sich ändert (Variable) und welcher Wert fest bleibt (Konstante).

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Tarif „Basic“ ergibt sich \(y_B = 0{,}15x + 8\). Für Tarif „Smart“ ergibt sich \(y_S = 0{,}05x + 14\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(0{,}15x + 8 = 0{,}05x + 14\). 3. Auflösen nach \(x\): Subtraktion von \(0{,}05x\) führt zu \(0{,}10x + 8 = 14\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(0{,}10x = 6\). Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 60\). Die Kosten sind bei \(60\) Minuten gleich hoch. 4. Interpretation: Bei weniger als \(60\) Minuten ist „Basic“ günstiger, bei mehr als \(60\) Minuten ist „Smart“ günstiger.

a) „Basic“: \(y = 0{,}15x + 8\); „Smart“: \(y = 0{,}05x + 14\) b) Bei \(60\) Minuten sind die Kosten gleich (\(17{,}00\,\text{€}\)). c) „Basic“ lohnt sich für Wenigtelefonierer (unter \(60\) Min.), „Smart“ für Vieltelefonierer (über \(60\) Min.).

- Wie weit ist Gruppe B zum Zeitpunkt \(t=0\) schon vom Parkplatz entfernt? - Was bedeutet „einholen“ im Zusammenhang mit den Funktionsgraphen? - Vergleiche den berechneten Treffpunkt mit der Gesamtlänge der Strecke.

1. Aufstellen der Funktionen: Gruppe A startet bei \(0\) mit Steigung \(4{,}5\), also \(s_A(t) = 4{,}5t\). Gruppe B startet bei \(3\) mit Steigung \(3\), also \(s_B(t) = 3 + 3t\). 2. Berechnung des Einholpunkts durch Gleichsetzen: \(4{,}5t = 3 + 3t\). 3. Auflösen nach \(t\): Subtraktion von \(3t\) ergibt \(1{,}5t = 3\). Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t = 2\). Gruppe A holt Gruppe B nach \(2\) Stunden ein. 4. Berechnung der Entfernung: \(s_A(2) = 4{,}5 \cdot 2 = 9\). Der Treffpunkt liegt bei \(9\,\text{km}\) Entfernung vom Parkplatz. 5. Prüfung der Bedingung: Da der Treffpunkt bei \(9\,\text{km}\) liegt und der Gipfel erst bei \(10\,\text{km}\) erreicht wird (\(9 < 10\)), findet das Überholen vor dem Ziel statt.

a) \(s_A(t) = 4{,}5t\); \(s_B(t) = 3 + 3t\) b) Nach \(2\) Stunden holt Gruppe A die Gruppe B in einer Entfernung von \(9\,\text{km}\) ein. c) Ja, da \(9\,\text{km} < 10\,\text{km}\) ist, findet das Überholen \(1\,\text{km}\) vor dem Gipfel statt.

- Wie bestimmst du für jede Diagonale zuerst ihre Steigung? - Welcher Punkt liefert bei \(BD\) den \(y\)-Achsenabschnitt direkt? - Welche Bedingung erfüllen die beiden Geradengleichungen im Schnittpunkt?

1. Für \(AC\) ist die Steigung \(m_{AC}=\frac{3-0}{4-(-2)}=0{,}5\). Mit \(A(-2 \mid 0)\) folgt \(0=-1+t_{AC}\), also \(t_{AC}=1\). Damit gilt \(AC: y=0{,}5x+1\). 2. Für \(BD\) ist die Steigung \(m_{BD}=\frac{0-4}{4-0}=-1\). Aus \(B(0 \mid 4)\) folgt \(t_{BD}=4\), also \(BD: y=-x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+1=-x+4\). Daraus folgt \(1{,}5x=3\) und \(x=2\). 4. Einsetzen liefert \(y=2\). Somit ist \(S(2 \mid 2)\).

\(S(2 \mid 2)\)

- Bestimme zuerst die Geradengleichung der Bahn, von der zwei Punkte gegeben sind. - Welche Gleichheit gilt am Kreuzungspunkt für beide Bahnterme? - Wie erhältst du nach dem \(x\)-Wert die zugehörige \(y\)-Koordinate?

1. Für die erste Bahn ist \(m=\frac{1-4}{5-(-1)}=-0{,}5\). Mit \(Q(5 \mid 1)\) gilt \(1=-0{,}5\cdot 5+t\), also \(t=3{,}5\). Damit lautet ihre Gleichung \(y=-0{,}5x+3{,}5\). 2. Am Kreuzungspunkt gilt \(2x-4=-0{,}5x+3{,}5\). Daraus folgt \(2{,}5x=7{,}5\) und \(x=3\). 3. Einsetzen in die zweite Bahn ergibt \(y=2\). Somit ist \(S(3 \mid 2)\).

\(S(3 \mid 2)\)

- Welche Gleichung gilt am gemeinsamen Punkt zweier Funktionsgraphen? - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über Steigen oder Fallen einer Geraden aus? - Welche Steigung muss eine zu \(g\) parallele Gerade besitzen, und wie nutzt du anschließend den Punkt \(P\)?

1. Für den Schnittpunkt setzt man die Funktionsterme gleich: \(-2x+6=0{,}5x-4\). Daraus folgt \(10=2{,}5x\) und \(x=4\). 2. Einsetzen ergibt \(y=-2\cdot 4+6=-2\). Der Schnittpunkt ist \(S(4 \mid -2)\). 3. \(g\) fällt, weil \(m_g=-2<0\). \(h\) steigt, weil \(m_h=0{,}5>0\). 4. Für die zu \(g\) parallele Gerade gilt \(m_k=-2\). Setze \(P(1 \mid 1)\) in \(y=-2x+t\) ein: \(1=-2\cdot 1+t\). Daraus folgt \(t=3\). 5. Somit lautet die Gerade \(k: y=-2x+3\).

a) \(S(4 \mid -2)\) b) \(g\) fällt, \(h\) steigt. c) \(k: y=-2x+3\)

- Welche Punkte lassen sich aus Achsenabschnitt und Steigung der beiden Funktionen leicht bestimmen? - Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Funktionstermen grafisch? - Welche Koordinate des Schnittpunkts liefert die Lösung für \(x\)?

1. Für \(f\) eignen sich zum Beispiel \((0 \mid -3)\) und \((2 \mid 1)\); für \(g\) zum Beispiel \((0 \mid 6)\) und \((6 \mid 0)\). 2. Aus der Hilfsskizze liest man den Schnittpunkt \(S(3 \mid 3)\) ab. Die Lösung der Gleichung ist daher \(x=3\). 3. Im Schnittpunkt haben beide Funktionen bei demselben \(x\)-Wert denselben Funktionswert. Daher entspricht seine \(x\)-Koordinate der Lösung der Gleichung.

a) Zum Beispiel \(f\): \((0 \mid -3)\), \((2 \mid 1)\); \(g\): \((0 \mid 6)\), \((6 \mid 0)\) b) \(x=3\); \(S(3 \mid 3)\) c) Im Schnittpunkt sind die beiden Funktionsterme gleich; deshalb ist \(x=3\) die Lösung der Gleichung.

- Achte auf das Vorzeichen der Steigung: Wird etwas hinzugefügt oder entfernt? - Teilaufgabe b) fragt nach dem Schnittpunkt der beiden Funktionen. - Überlege für Teilaufgabe c) zuerst, wie lange es dauert, bis Tank 2 sein Maximum erreicht hat, und nutze diesen Zeitwert dann für Tank 1.

1. Funktionsgleichungen: \(V_1(t) = 2500 - 150t\) (Abfluss bedeutet negative Steigung) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). 2. Zeitpunkt gleicher Wassermenge: \(2500 - 150t = 500 + 250t\). 3. Auflösen nach \(t\): \(2000 = 400t \Rightarrow t = 5\,\text{h}\). 4. Wassermenge berechnen: \(V_2(5) = 500 + 250 \cdot 5 = 500 + 1250 = 1750\,\text{l}\). 5. Zeitpunkt für vollen Tank 2: \(3000 = 500 + 250t \Rightarrow 2500 = 250t \Rightarrow t = 10\,\text{h}\). 6. Restmenge in Tank 1 nach \(10\,\text{h}\): \(V_1(10) = 2500 - 150 \cdot 10 = 1000\,\text{l}\).

Die Gleichungen sind \(V_1(t) = 2500 - 150t\) und \(V_2(t) = 500 + 250t\). Nach \(5\,\text{Stunden}\) enthalten beide Tanks \(1750\,\text{l}\). Wenn Tank 2 nach \(10\,\text{Stunden}\) voll ist (\(3000\,\text{l}\)), befinden sich in Tank 1 noch \(1000\,\text{l}\).

- Identifiziere, welche Geraden parallel zueinander verlaufen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei horizontalen Geraden? - Überlege dir, wie man die Länge einer waagerechten Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt. - Erinnere dich an die Flächenformel für ein Parallelogramm.

1. Bestimmung der Eckpunkte durch Schnittpunktberechnung: - Schnittpunkt \(f\) mit \(h\): \(2 = x + 1 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_1(1 | 2)\). - Schnittpunkt \(f\) mit \(k\): \(2 = x - 4 \Rightarrow x = 6\). Punkt \(P_2(6 | 2)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(k\): \(-3 = x - 4 \Rightarrow x = 1\). Punkt \(P_3(1 | -3)\). - Schnittpunkt \(g\) mit \(h\): \(-3 = x + 1 \Rightarrow x = -4\). Punkt \(P_4(-4 | -3)\). 2. Da \(f\) und \(g\) horizontale Geraden sind, kann die Strecke zwischen \(P_1\) und \(P_2\) (oder \(P_3\) und \(P_4\)) als Grundseite gewählt werden. 3. Länge der Grundseite: \(6 - 1 = 5\) (bzw. \(1 - (-4) = 5\)). 4. Die Höhe des Parallelogramms ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Geraden \(f\) und \(g\): \(2 - (-3) = 5\). 5. Flächeninhalt: \(A = 5 \cdot 5 = 25\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(25\,\text{FE}\).

- Überlege, welcher Teil der Funktionsgleichung den Startwert darstellt. - Die Steigung gibt an, wie stark sich der Wert pro Zeiteinheit ändert. - Setze den gegebenen Zeitwert in die Funktionen ein, um die Höhe zu berechnen. - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, kannst du die Funktionsterme gleichsetzen.

1. Bestimmung der Anfangshöhen (y-Achsenabschnitte bei \(t=0\)): Tank A: \(20\,\text{cm}\), Tank B: \(10\,\text{cm}\). 2. Ermittlung der Steiggeschwindigkeiten (Steigungen \(m\)): Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\), Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). 3. Berechnung der Füllhöhen nach \(15\,\text{Minuten}\): \(h_A(15) = 1{,}5 \cdot 15 + 20 = 22{,}5 + 20 = 42{,}5\,\text{cm}\). \(h_B(15) = 2 \cdot 15 + 10 = 30 + 10 = 40\,\text{cm}\). Ergebnis: Der Wasserstand in Tank A ist nach \(15\,\text{Minuten}\) höher. 4. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1{,}5t + 20 = 2t + 10\) \(10 = 0{,}5t\) \(t = 20\). Nach \(20\,\text{Minuten}\) sind die Füllhöhen gleich.

a) Tank A: \(20\,\text{cm}\); Tank B: \(10\,\text{cm}\). b) Tank A: \(1{,}5\,\text{cm/min}\); Tank B: \(2\,\text{cm/min}\). c) Der Wasserstand in Tank A (\(42{,}5\,\text{cm}\)) ist höher als in Tank B (\(40\,\text{cm}\)). d) Nach \(20\,\text{Minuten}\) ist der Wasserstand in beiden Tanks gleich.

- Welche Geschwindigkeiten erhältst du nach der Umrechnung in Kilometer pro Minute? - Welche Anfangsposition haben RE und IC im gewählten Bezugssystem? - Welche Bedingung gilt in dem Moment, in dem der IC den RE einholt?

1. Die Geschwindigkeiten betragen \(120:60=2\,\text{km/min}\) und \(160:60=\frac{8}{3}\,\text{km/min}\). 2. Mit dem gemeinsamen Bezugspunkt gilt \(s_{RE}(t)=2t+4\) und \(s_{IC}(t)=\frac{8}{3}t\). 3. Beim Einholen sind die Positionen gleich: \(2t+4=\frac{8}{3}t\). Daraus folgt \(4=\frac{2}{3}t\) und \(t=6\,\text{min}\). 4. Der IC legt in dieser Zeit \(s_{IC}(6)=\frac{8}{3}\cdot 6=16\,\text{km}\) zurück.

a) \(s_{RE}(t)=2t+4\), \(s_{IC}(t)=\frac{8}{3}t\) b) Nach \(6\,\text{min}\). c) \(16\,\text{km}\)

- Wie kannst du beide Gleichungen in die Form \(y=mx+t\) bringen? - Welche Steigungen erhältst du danach? - Welche Rolle spielen unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte bei gleicher Steigung?

1. Gleichung (I) wird zu \(y=2x+4\) umgeformt. Daher gilt \(m_1=2\) und \(t_1=4\). 2. Gleichung (II) wird zu \(-2y=-4x+6\) und damit \(y=2x-3\) umgeformt. Daher gilt \(m_2=2\) und \(t_2=-3\). 3. Die Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Sie sind daher echt parallel und besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

\(m_1=m_2=2\), aber \(t_1=4\ne -3=t_2\). Die Geraden sind echt parallel und haben keinen Schnittpunkt.

- Welche Angaben bestimmen jeweils die Gleichungen von \(g_1\) und \(g_2\)? - Was gilt für die beiden Funktionswerte genau am Schnittpunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der gemeinsamen \(x\)-Koordinate die \(y\)-Koordinate finden?

1. Für \(g_1\) ist durch \(A(0|2)\) der \(y\)-Achsenabschnitt \(t_1=2\) gegeben. Aus \(A\) und \(B\) folgt \(m_1=\frac{4-2}{4-0}=0{,}5\). Damit ist \(g_1:y=0{,}5x+2\). 2. Für \(g_2\) gilt mit \(C(6|2)\): \(2=-1 \cdot 6+t_2\), also \(t_2=8\). Damit ist \(g_2:y=-x+8\). 3. Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich: \(0{,}5x+2=-x+8\). 4. Daraus folgt \(1{,}5x=6\) und damit \(x=4\). 5. Einsetzen ergibt \(y=4\). Der Schnittpunkt ist \(S(4|4)\).

\(g_1:y=0{,}5x+2\), \(g_2:y=-x+8\); \(S(4|4)\)

- Beschreibe die monatlichen Kosten jedes Angebots in Abhängigkeit von der Besuchszahl. - Überlege, was ein gemeinsamer Kostenwert der beiden Tarife mathematisch bedeutet. - Nutze für b) und c) den Zusammenhang zwischen Grundgebühr, Preis pro Besuch und wachsender Besuchszahl.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Besuche. Die Kostenfunktionen lauten \(K_G(x) = 10 + 5x\) und \(K_K(x) = 7{,}5x\). 2. Für gleiche Kosten gilt \(10 + 5x = 7{,}5x\). 3. Daraus folgt \(2{,}5x = 10\) und damit \(x = 4\). Bei \(4\) Besuchen kosten beide Angebote \(30\,\text{€}\). 4. Für \(5\) Besuche gilt \(K_G(5) = 10 + 5 \cdot 5 = 35\,\text{€}\) und \(K_K(5) = 7{,}5 \cdot 5 = 37{,}50\,\text{€}\). „Gipfelstürmer“ ist günstiger; die Ersparnis beträgt \(37{,}50\,\text{€} - 35\,\text{€} = 2{,}50\,\text{€}\). 5. Weil „Gipfelstürmer“ nach dem Gleichstand bei \(4\) Besuchen den kleineren Preiszuwachs pro weiterem Besuch hat, ist dieser Tarif ab \(5\) Besuchen preiswerter.

a) Bei \(4\) Besuchen pro Monat kosten beide Hallen gleich viel (\(30\,\text{€}\)). b) Halle „Gipfelstürmer“ ist mit \(35\,\text{€}\) günstiger als Halle „Klettermax“ mit \(37{,}50\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(2{,}50\,\text{€}\). c) Ab \(5\) Besuchen pro Monat ist die Halle „Gipfelstürmer“ preiswerter.

- Erstelle für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle. - Vergleiche die Werte für die Steigung \(m\) in beiden Gleichungen. - Was bedeutet eine identische Steigung für den Verlauf von zwei Geraden?

1. Punkte für \(g\): Bei \(x = 0\) ist \(y = -4\), also \(P_1(0 | -4)\). Bei \(x = 2\) ist \(y = 3 \cdot 2 - 4 = 2\), also \(P_2(2 | 2)\). 2. Punkte für \(h\): Bei \(x = 0\) ist \(y = 2\), also \(Q_1(0 | 2)\). Bei \(x = 1\) ist \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\), also \(Q_2(1 | 5)\). 3. Geometrische Lage: Beide Geraden haben dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(-4\) und \(2\)). Daher verlaufen sie parallel zueinander. 4. Gemeinsame Lösung: Da parallele Geraden keinen Schnittpunkt besitzen, gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Rechnerisch führt der Ansatz \(3x - 4 = 3x + 2\) zum Widerspruch \(-4 = 2\).

a) Zum Beispiel für \(g\): \((0 | -4)\) und \((2 | 2)\); für \(h\): \((0 | 2)\) und \((1 | 5)\). b) Die Geraden verlaufen parallel zueinander. c) Nein, es gibt keine gemeinsame Lösung, da die Geraden dieselbe Steigung \(m = 3\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte besitzen und daher echt parallel sind.

- Schau dir die Steigungen der Funktionen genau an. Was fällt dir auf? - Wie verhalten sich Geraden zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben? - Beim Lösen der Gleichung mit Brüchen kann es helfen, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren.

1. Begründung für \(f\) und \(g\): Beide Funktionen haben die identische Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte (\(2\) und \(-5\)). Die Geraden verlaufen somit echt parallel und können sich nicht schneiden. 2. Schnittpunkt von \(g\) und \(h\): Gleichsetzen der Terme: \(\frac{2}{3}x - 5 = -x + 7\). 3. Addition von \(x\) und \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{5}{3}x = 12\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5} = 7{,}2\). 5. Einsetzen in \(h(x)\): \(y = -7{,}2 + 7 = -0{,}2\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

a) Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel, da sie die gleiche Steigung \(m = \frac{2}{3}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte haben. b) Der Schnittpunkt ist \(S(7{,}2 \mid -0{,}2)\).

- Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Funktion? - Hängt die Steilheit vom Vorzeichen der Zahl vor dem \(x\) ab oder nur von ihrem Wert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt schneiden?

1. Funktionsgleichung von \(g\): Mit \(m = 0{,}5\) und \(t = -1\) folgt \(g(x) = 0{,}5x - 1\). 2. Vergleich der Steilheit: Die Steilheit wird durch den Betrag der Steigung bestimmt. \(|m_f| = |-2| = 2\) und \(|m_g| = |0{,}5| = 0{,}5\). Da \(2 > 0{,}5\), verläuft der Graph von \(f\) steiler. 3. Berechnung des Schnittpunkts: Gleichsetzen \(f(x) = g(x) \Rightarrow -2x + 4 = 0{,}5x - 1\). 4. Nach \(x\) auflösen: \(5 = 2{,}5x \Rightarrow x = 2\). 5. y-Wert berechnen: \(f(2) = -2 \cdot 2 + 4 = 0\). 6. Ergebnis: Der Schnittpunkt liegt bei \(S(2 | 0)\).

a) \(g(x) = 0{,}5x - 1\) b) Der Graph von \(f\) ist steiler, da der Betrag der Steigung (\(2\)) größer ist als bei \(g\) (\(0{,}5\)). c) \(S(2 | 0)\)

- Welche Anfangsmenge und welche Änderung pro Minute gehören zu jedem Becken? - Was bedeutet das negative Vorzeichen der Steigung von Becken B? - Welche Bedingung gilt zu dem Zeitpunkt, an dem beide Volumina gleich sind?

1. Für Becken A gilt \(f(x)=15x+100\), für Becken B \(g(x)=-10x+400\). 2. Bei Becken B ist der \(y\)-Achsenabschnitt \(t=400\) die Anfangsmenge. Die Steigung \(m=-10\) bedeutet, dass das Volumen pro Minute um \(10\,\text{l}\) sinkt. 3. Für gleiche Volumina gilt \(15x+100=-10x+400\). Daraus folgt \(25x=300\) und \(x=12\). 4. Einsetzen ergibt \(f(12)=15\cdot 12+100=280\). Nach \(12\,\text{min}\) enthalten beide Becken \(280\,\text{l}\).

a) \(f(x)=15x+100\), \(g(x)=-10x+400\) b) \(t=400\) beschreibt die Anfangsmenge; \(m=-10\) die Abnahme um \(10\,\text{l/min}\). c) Nach \(12\,\text{min}\) enthalten beide Becken \(280\,\text{l}\).

- Welche Größe haben parallele Geraden gemeinsam? - Wie kannst du mit der bekannten Steigung und dem Punkt \(P\) die Gleichung von \(h\) vervollständigen? - Welche Bedingung erfüllen die Funktionswerte von \(h\) und \(k\) am Schnittpunkt?

1. Wegen der Parallelität gilt \(m_h=-\frac{2}{3}\). Mit \(P(6|2)\) folgt \(2=-\frac{2}{3} \cdot 6+t\), also \(t=6\). Damit ist \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\). 2. Am Schnittpunkt gilt \(-\frac{2}{3}x+6=x-3\). 3. Daraus folgt \(9=\frac{5}{3}x\), also \(x=\frac{27}{5}=5{,}4\). 4. Einsetzen in \(k\) ergibt \(y=5{,}4-3=2{,}4\). Der Schnittpunkt ist \(S(5{,}4|2{,}4)\).

a) \(h(x)=-\frac{2}{3}x+6\) b) \(S(5{,}4|2{,}4)\)

- Wie kannst du aus jeweils zwei Punkten zuerst die Steigung einer Geraden bestimmen? - Bei welcher der beiden Geraden kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus einem Punkt ablesen? - Welche Gleichung beschreibt die gemeinsame \(x\)-Koordinate am Schnittpunkt?

1. Für \(f\) gilt \(m_f=\frac{9-1}{3-(-1)}=2\). Mit \(B(3|9)\) folgt \(9=2 \cdot 3+t_f\), also \(t_f=3\). Damit ist \(f(x)=2x+3\). 2. Für \(g\) gilt \(m_g=\frac{0-10}{5-0}=-2\). Durch \(C(0|10)\) ist \(t_g=10\), also \(g(x)=-2x+10\). 3. Am Schnittpunkt gilt \(2x+3=-2x+10\). Daraus folgt \(4x=7\), also \(x=1{,}75\). 4. Einsetzen in \(f\) ergibt \(y=6{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}75|6{,}5)\).

a) \(f(x)=2x+3\), \(g(x)=-2x+10\) b) \(S(1{,}75|6{,}5)\)

- Was stellt der Startwert mathematisch in einer linearen Funktion dar? - Wenn zwei Werte gleich sein sollen, welches mathematische Verfahren bietet sich an? - Was bedeutet eine Änderung von \(x\) (Zeit) für das Ergebnis \(y\) (Geld)?

1. Aufstellen der Gleichungen: Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(5x + 20 = 2x + 50\). 3. Lösen nach \(x\): \(3x = 30 \Rightarrow x = 10\). Nach \(10\) Wochen ist das Guthaben gleich. 4. Berechnung des Betrags: \(f(10) = 5 \cdot 10 + 20 = 70\). Der Betrag beträgt \(70\,\text{€}\). 5. Interpretation der Steigung: Die Steigung gibt die wöchentliche Sparrate in Euro pro Woche an.

a) Lukas: \(f(x) = 5x + 20\); Sarah: \(g(x) = 2x + 50\) b) Nach \(10\) Wochen. c) Sie haben dann jeweils \(70\,\text{€}\). d) Die Steigung entspricht dem Betrag, der pro Woche dazukommt (Sparrate).

- Welcher Zeitpunkt wird als \(x=0\) gewählt? - Wie berücksichtigst du Max' späteren Start in seinem Funktionsterm? - Welche Bedingung gilt am Einholpunkt für beide Entfernungen? - Welche Einheit hat die Änderung der Entfernung pro Stunde?

1. Sei \(x\) die Zeit in Stunden seit \(09{:}00\,\text{Uhr}\). Für Lena gilt \(y_L=4x\) für \(x\ge0\). Max startet \(1{,}5\,\text{h}\) später, daher gilt \(y_M=16(x-1{,}5)\) für \(x\ge1{,}5\). 2. Für Lena eignen sich zum Beispiel \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\), für Max \((1{,}5 \mid 0)\) und \((2 \mid 8)\). Der gemeinsame Punkt ist \(P(2 \mid 8)\). 3. Rechnerisch ergibt \(4x=16(x-1{,}5)\) die Lösung \(x=2\). Das entspricht \(11{:}00\,\text{Uhr}\); die Entfernung beträgt \(8\,\text{km}\). 4. Die Steigung ist die jeweilige Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\).

a) Lena: \(y_L=4x\) für \(x\ge0\); Max: \(y_M=16(x-1{,}5)\) für \(x\ge1{,}5\) b) Zum Beispiel Lena: \((0 \mid 0)\), \((2 \mid 8)\); Max: \((1{,}5 \mid 0)\), \((2 \mid 8)\) c) Um \(11{:}00\,\text{Uhr}\) bei \(8\,\text{km}\) Entfernung vom Startpunkt. d) Die Steigungen geben die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) an.

- Welche Anfangsentfernung von \(A\) hat jeder Zug? - Warum hat die Ortsfunktion des entgegenkommenden Zuges eine negative Steigung? - Welche Bedingung gilt am Treffpunkt? - Wie wandelst du den Dezimalanteil einer Stunde in Minuten um?

1. Mit \(x\) in Stunden gilt für den Güterzug \(f(x)=80x\). Der Personenzug startet bei \(250\,\text{km}\) und nähert sich Ort \(A\), daher gilt \(g(x)=250-120x\). 2. Zum Zeichnen eignen sich für \(f\) zum Beispiel \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 80)\), für \(g\) \((0 \mid 250)\) und \((2 \mid 10)\). Grafisch liegt der Schnittpunkt bei etwa \(S(1{,}25 \mid 100)\). 3. Rechnerisch gilt \(80x=250-120x\). Daraus folgt \(200x=250\) und \(x=1{,}25\,\text{h}=1\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 4. Die Entfernung von \(A\) beträgt \(80\cdot 1{,}25=100\,\text{km}\).

a) \(f(x)=80x\), \(g(x)=250-120x\); zum Beispiel \(f\): \((0 \mid 0)\), \((1 \mid 80)\); \(g\): \((0 \mid 250)\), \((2 \mid 10)\) b) Grafisch etwa \(S(1{,}25 \mid 100)\). c) Exakt nach \(1{,}25\,\text{h}=1\,\text{h}\,15\,\text{min}\), \(100\,\text{km}\) von \(A\) entfernt.

- Welche Startwerte und Änderungsraten erkennst du in der Form \(y=mx+t\)? - Welche Gleichheit muss gelten, wenn beide Tanks gleich viel Wasser enthalten? - Wie kannst du deinen berechneten Zeitpunkt durch Einsetzen in beide Modelle prüfen?

1. Für Tank A gilt \(y_A=20x+150\), für Tank B \(y_B=32{,}5x+50\). 2. Für den gleichen Inhalt gilt \(20x+150=32{,}5x+50\). Daraus folgt \(100=12{,}5x\) und \(x=8\). 3. Einsetzen ergibt \(y_A=20\cdot 8+150=310\). Beide Tanks enthalten dann \(310\,\text{l}\).

a) \(y_A=20x+150\), \(y_B=32{,}5x+50\) b) Nach \(8\,\text{min}\). c) \(310\,\text{l}\)

- Stelle dir die Strecke als Zahlenstrahl vor. Wo befindet sich der Pkw zum Zeitpunkt seines Starts? - Wie verändert sich die Entfernung zu Stadt A, wenn ein Fahrzeug aus der Gegenrichtung kommt? - Rechne alle Zeitangaben in Stunden um, bevor du sie in die Gleichungen einsetzt. - Was muss für die Positionen beider Fahrzeuge im Moment der Begegnung gelten?

1. \(t\) bezeichnet die Zeit in Stunden nach \(12{:}00\,\text{Uhr}\), \(s\) die Entfernung von Stadt A in Kilometern. 2. Für den Lkw gilt \(s = 60t\). Für den Pkw gilt ab seinem Start \(s = 180 - 90(t - 0{,}75)\), da er \(45\,\text{Minuten} = 0{,}75\,\text{Stunden}\) später startet und sich Stadt A nähert. 3. Gleichsetzen der Positionen: \(60t = 180 - 90t + 67{,}5\). 4. Zusammenfassen ergibt \(150t = 247{,}5\), also \(t = 1{,}65\). 5. \(1{,}65\,\text{Stunden}\) entsprechen \(1\,\text{Stunde}\) und \(39\,\text{Minuten}\). Die Fahrzeuge begegnen sich daher um \(13{:}39\,\text{Uhr}\). 6. Die Entfernung von Stadt A beträgt \(s = 60 \cdot 1{,}65 = 99\,\text{km}\).

Die Fahrzeuge begegnen sich um \(13{:}39\,\text{Uhr}\) in einer Entfernung von \(99\,\text{km}\) von Stadt A.

- Welche Startzeiten kannst du an der \(x\)-Achse ablesen? - Wie bestimmst du die Geschwindigkeit aus der Änderung von Weg und Zeit? - Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Graphen? - Wie kannst du die Startzeit in einem linearen Funktionsterm berücksichtigen?

1. Lena legt in einer Stunde \(12\,\text{km}\) zurück, Jonas \(18\,\text{km}\). Daher fährt Lena \(12\,\text{km/h}\) und Jonas \(18\,\text{km/h}\). 2. Der Schnittpunkt liegt bei \((11{,}5 \mid 18)\). Jonas holt Lena daher um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) nach \(18\,\text{km}\) ein. 3. Für Lena gilt \(f(x)=12(x-10)=12x-120\), für Jonas \(g(x)=18(x-10{,}5)=18x-189\). Gleichsetzen liefert \(x=11{,}5\) und \(y=18\); das bestätigt das Ableseergebnis.

a) Lena: \(12\,\text{km/h}\); Jonas: \(18\,\text{km/h}\). Jonas ist schneller. b) Um \(11{:}30\,\text{Uhr}\) bei \(18\,\text{km}\). c) Lena: \(f(x)=12x-120\) für \(x\ge10\); Jonas: \(g(x)=18x-189\) für \(x\ge10{,}5\); Schnittpunkt \((11{,}5 \mid 18)\).

- Welche \(y\)-Achsenabschnitte kannst du direkt ablesen? - Welche gut ablesbaren Gitterpunkte eignen sich für die beiden Steigungsdreiecke? - Nutze für jede Gerade die Form \(y=mx+t\). - Welche Gleichung erfüllen die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_f=2\). Aus den Punkten \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 3)\) ergibt sich \(m_f=\frac{1}{2}\). Daher ist \(f(x)=0{,}5x+2\). 2. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_g=-1\). Aus den Punkten \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -2)\) ergibt sich \(m_g=-1\). Daher ist \(g(x)=-x-1\). 3. Gleichsetzen ergibt \(0{,}5x+2=-x-1\). Daraus folgt \(1{,}5x=-3\) und \(x=-2\). 4. Einsetzen ergibt \(y=1\). Somit ist \(S(-2 \mid 1)\).

a) \(f(x)=0{,}5x+2\), \(g(x)=-x-1\) b) \(S(-2 \mid 1)\)

- Beachte zuerst die Achsenskalierung, um die Schnittpunkte zu schätzen. - Nutze die markierten Punkte, um Steigung und \(y\)-Achsenabschnitt jeder Geraden zu bestimmen. - Setze für den exakten Schnittpunkt die Funktionsterme gleich und berechne anschließend den zugehörigen \(y\)-Wert.

1. Aus der Grafik liest man für a) näherungsweise \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\) und für b) näherungsweise \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\) ab. 2. In a) verläuft \(f\) durch \((0 \mid 3)\) und \((3 \mid 0)\), also gilt \(f(x) = -x + 3\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((1 \mid 1)\) und \((3 \mid 4)\), also gilt \(g(x) = 1{,}5x - 0{,}5\). In b) verläuft \(f\) durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid -1)\), also gilt \(f(x) = -2x + 1\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \((0 \mid 3)\) und \((2 \mid 4)\), also gilt \(g(x) = 0{,}5x + 3\). 3. In a) ergibt das Gleichsetzen \(-x + 3 = 1{,}5x - 0{,}5\), also \(x = 1{,}4\) und \(y = 1{,}6\). Damit ist \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\). In b) ergibt das Gleichsetzen \(-2x + 1 = 0{,}5x + 3\), also \(x = -0{,}8\) und \(y = 2{,}6\). Damit ist \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\).

1. a) \(S \approx (1{,}4 \mid 1{,}6)\); b) \(S \approx (-0{,}8 \mid 2{,}6)\) 2. a) \(f(x) = -x + 3\), \(g(x) = 1{,}5x - 0{,}5\); b) \(f(x) = -2x + 1\), \(g(x) = 0{,}5x + 3\) 3. a) \(S(1{,}4 \mid 1{,}6)\); b) \(S(-0{,}8 \mid 2{,}6)\)

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) an den beiden Kostengeraden ab? - Welche Kostengerade liegt nach dem Schnittpunkt tiefer? - An welcher Stelle trifft der Umsatzgraph jeweils eine Kostengerade? - Beachte bei Teil b), dass nur ganze Stückzahlen sinnvoll sind.

1. Bei \(x=0\) liest man für Verfahren A \(200\,\text{€}\) und für Verfahren B \(50\,\text{€}\) ab. Verfahren A hat daher die höheren Fixkosten. 2. Die beiden Kostengeraden schneiden sich bei \((150 \mid 275)\). Für \(x>150\) liegt die Kostengerade von Verfahren A unter der von Verfahren B. Bei ganzen Stückzahlen ist Verfahren A daher ab \(151\) Stück günstiger. 3. Der Umsatzgraph schneidet die Kostengerade von Verfahren B bei \(x=50\) und die von Verfahren A bei \(x=100\). Dies sind die jeweiligen Gewinnschwellen.

a) Verfahren A: \(200\,\text{€}\); Verfahren B: \(50\,\text{€}\). Verfahren A hat die höheren Fixkosten. b) Ab \(151\) Stück. c) Verfahren B: \(50\) Stück; Verfahren A: \(100\) Stück.

- Welche Grundgebühr liest du jeweils am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ab? - Wie bestimmst du aus einem zweiten Punkt die Kostensteigerung pro Minute? - Welche Bedeutung hat ein gemeinsamer Punkt zweier Kostenfunktionen?

1. Tarif A schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_A=5\). Mit dem Punkt \((100 \mid 15)\) ergibt sich \(m_A=\frac{15-5}{100}=0{,}1\). Daher ist \(y_A=0{,}1x+5\). 2. Tarif B schneidet die \(y\)-Achse bei \(t_B=10\). Mit demselben Punkt ergibt sich \(m_B=\frac{15-10}{100}=0{,}05\). Daher ist \(y_B=0{,}05x+10\). 3. Der Schnittpunkt \((100 \mid 15)\) bedeutet, dass beide Tarife bei \(100\,\text{min}\) Gesprächsdauer genau \(15\,\text{€}\) kosten.

Tarif A: \(y_A=0{,}1x+5\); Tarif B: \(y_B=0{,}05x+10\). Bei \(100\,\text{min}\) kosten beide Tarife \(15\,\text{€}\).

- Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt der beiden Geraden? - Wie berücksichtigst du Maries um \(1{,}5\,\text{h}\) späteren Start? - Wie wandelst du \(0{,}25\,\text{h}\) in Minuten um?

1. Für Lukas gilt \(s_L(t)=4t\). Marie startet \(1{,}5\,\text{h}\) später, daher gilt für \(t\ge1{,}5\) die Gleichung \(s_M(t)=12(t-1{,}5)\). 2. Aus dem Schnittpunkt liest man ungefähr \(t\approx2{,}25\,\text{h}\) und \(s\approx9\,\text{km}\) ab. 3. Rechnerisch ergibt \(4t=12(t-1{,}5)\) die Lösung \(t=2{,}25\,\text{h}\). 4. Die Entfernung beträgt \(4\cdot2{,}25=9\,\text{km}\). \(2{,}25\,\text{h}\) nach 09:00 Uhr ist 11:15 Uhr.

a) Nach etwa \(2{,}25\,\text{h}\) bei etwa \(9\,\text{km}\). b) Exakt nach \(2{,}25\,\text{h}\) bei \(9\,\text{km}\), also um 11:15 Uhr.

- Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert Zeit und Entfernung der Begegnung. - Berücksichtige, dass das von Hafen B kommende Schiff bei \(100\,\text{km}\) startet. - Setze die beiden Entfernungsterme gleich.

1. Für die „Albatros“ gilt \(s_a(t) = 20t\). Für die „Bussard“ gilt \(s_b(t) = 100 - 30t\). 2. Aus dem Schnittpunkt im Diagramm liest man ungefähr \(t \approx 2\,\text{h}\) und \(s \approx 40\,\text{km}\) ab. 3. Rechnerisch ergibt das Gleichsetzen \(20t = 100 - 30t\), also \(50t = 100\) und \(t = 2\,\text{h}\). 4. Die Entfernung vom Hafen A beträgt \(s = 20 \cdot 2 = 40\,\text{km}\).

a) Aus der Grafik liest man etwa \(2\,\text{h}\) und etwa \(40\,\text{km}\) vom Hafen A ab. b) Rechnerisch ergibt sich die Begegnung nach \(2\,\text{h}\) in \(40\,\text{km}\) Entfernung vom Hafen A.

- Lies für beide Geraden geeignete Gitterpunkte ab und bestimme daraus Steigung und Achsenabschnitt. - Setze die beiden Funktionsterme gleich. - Überprüfe, ob der berechnete Punkt zu deiner Schätzung passt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Gerade \(f\): Punkt \((0 \mid 3)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit einem weiteren Punkt wie \((3 \mid 0)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{0 - 3}{3 - 0} = -1\). Also \(f(x) = -x + 3\). Gerade \(g\): Punkt \((0 \mid 1)\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt. Mit dem Punkt \((4 \mid 2)\) ergibt sich die Steigung \(m = \frac{2 - 1}{4 - 0} = 0{,}25\). Also \(g(x) = 0{,}25x + 1\). 2. Gleichsetzen: \(-x + 3 = 0{,}25x + 1\). 3. Auflösen: \(2 = 1{,}25x \Rightarrow x = \frac{2}{1{,}25} = 1{,}6\). 4. \(y\)-Wert: \(y = -1{,}6 + 3 = 1{,}4\). 5. Der Schnittpunkt ist auf zwei Dezimalstellen \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\).

Schätzung: etwa \(S(1{,}5 \mid 1{,}5)\) Rechnung auf zwei Dezimalstellen: \(S(1{,}60 \mid 1{,}40)\)

- Welcher Graph hat bei \(x=0\) bereits Kosten und welcher startet im Ursprung? - Welche Gleichung beschreibt gleiche Gesamtkosten? - Auf welcher Seite des Schnittpunkts liegt der Graph von Anbieter A niedriger? - Vergleiche für \(20\) Shirts die beiden Kostenwerte.

1. Graph \(p\) hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(60\) und gehört daher zu Anbieter A. Graph \(q\) verläuft durch den Ursprung und gehört zu Anbieter B. 2. Die Kostenfunktionen sind \(K_A(x)=4x+60\) und \(K_B(x)=10x\). Gleichsetzen ergibt \(4x+60=10x\), also \(x=10\) und \(y=100\). Der Schnittpunkt \((10 \mid 100)\) bedeutet gleiche Kosten von \(100\,\text{€}\) bei \(10\) Shirts. 3. Für \(x>10\) ist Anbieter A günstiger; bei ganzen Stückzahlen also ab \(11\) Shirts. 4. Bei \(20\) Shirts kostet A \(140\,\text{€}\), B \(200\,\text{€}\). Die Ersparnis beträgt \(60\,\text{€}\).

a) \(p\to\) Anbieter A, \(q\to\) Anbieter B b) \((10 \mid 100)\); bei \(10\) Shirts kosten beide \(100\,\text{€}\). c) Ab \(11\) Shirts. d) \(60\,\text{€}\)

- Welchen Startwert liest du für jeden Behälter bei \(x=0\) ab? - Welche Volumenänderung pro Minute beschreibt die Steigung? - Welche Gleichung gilt, wenn beide Behälter denselben Inhalt haben?

1. Für Behälter 1 liest man \(t_1=100\) ab. Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_1=\frac{200-100}{5}=20\). Damit gilt \(y_1=20x+100\). 2. Behälter 2 startet bei \(t_2=0\). Nach \(5\,\text{min}\) sind \(200\,\text{l}\) enthalten, also ist \(m_2=40\). Damit gilt \(y_2=40x\). 3. Gleichsetzen ergibt \(40x=20x+100\). Daraus folgt \(x=5\). Der gemeinsame Inhalt ist \(40\cdot 5=200\,\text{l}\).

a) Behälter 1: \(y_1=20x+100\); Behälter 2: \(y_2=40x\) b) Nach \(5\,\text{min}\) mit jeweils \(200\,\text{l}\).

- Welche Werte liest du bei \(x=0\) ab? - Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Ladekurven? - Wie bestimmst du die Änderung des Ladestands pro Minute? - Nutze für die Funktionsgleichungen die Form \(y=mx+t\).

1. Smartphone A startet bei \(10\,\%\), Smartphone B bei \(40\,\%\). Daher hat B den höheren Anfangswert. 2. Die Geraden schneiden sich bei \((30 \mid 55)\). Nach \(30\,\text{min}\) haben beide \(55\,\%\). 3. Smartphone A gewinnt pro Minute \(1{,}5\) Prozentpunkte. Nach \(50\,\text{min}\) gilt daher \(10+1{,}5\cdot 50=85\). Der Ladestand beträgt \(85\,\%\). 4. Für A gilt \(y_A=1{,}5x+10\). Für B liest man die Steigung \(0{,}5\) Prozentpunkte pro Minute und den Anfangswert \(40\) ab, also \(y_B=0{,}5x+40\).

1) Smartphone B; A startet bei \(10\,\%\), B bei \(40\,\%\). 2) Nach \(30\,\text{min}\) bei \(55\,\%\). 3) \(85\,\%\) 4) A: \(y_A=1{,}5x+10\); B: \(y_B=0{,}5x+40\)

- Welche Größen müssen an einem Schnittpunkt tatsächlich gleich sein: nur Teile der Terme oder die vollständigen Funktionswerte? - Prüfe Samiras Punkt durch Einsetzen in beide ursprünglichen Funktionen. - Wenn die gemeinsame x-Koordinate gefunden ist, genügt eine der beiden Funktionen für die y-Koordinate; die andere dient zur Kontrolle.

1. Am Schnittpunkt müssen die vollständigen Funktionswerte gleich sein. Samira hat beim Gleichsetzen den Summanden \(+2\) von \(f\) weggelassen. 2. Richtig ist \(1{,}5x+2=-0{,}5x+8\). 3. Daraus folgt \(2x=6\) und somit \(x=3\). 4. Einsetzen ergibt \(f(3)=1{,}5\cdot3+2=6{,}5\) und \(g(3)=-0{,}5\cdot3+8=6{,}5\). 5. Der Schnittpunkt lautet \(S(3|6{,}5)\).

Samira hat beim Gleichsetzen den Summanden \(+2\) vergessen. Richtig ist \(1{,}5x+2=-0{,}5x+8\), also \(x=3\) und \(S(3|6{,}5)\). Beide Funktionen liefern für \(x=3\) den Wert \(6{,}5\).

- Wie findet man den Punkt, den zwei Funktionen gemeinsam haben? - Die \(x\)-Achse bildet eine Seite des Dreiecks. Welche Punkte der Graphen sind für diese Seite wichtig? - Welcher Wert des Schnittpunkts gibt dir die Höhe des Dreiecks über der \(x\)-Achse an?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen ermitteln: \(2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Einsetzen in \(f(x)\): \(f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). 2. Nullstelle von \(f\): \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Nullstelle von \(g\): \(-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). 3. Die Grundseite \(g_D\) des Dreiecks liegt auf der \(x\)-Achse zwischen den Nullstellen: \(g_D = 5 - 2 = 3\). 4. Die Höhe \(h\) des Dreiecks entspricht dem \(y\)-Wert des Schnittpunkts \(S\): \(h = 2\). 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g_D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(3\,\text{FE}\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(3 \mid 2)\). b) Die Nullstelle von \(f\) ist \(x = 2\), die Nullstelle von \(g\) ist \(x = 5\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\,\text{FE}\).

- Wie findet man die gemeinsamen Punkte von Geraden? - Wenn eine Seite des Dreiecks waagerecht liegt, wie kannst du dann ihre Länge und die dazugehörige Höhe besonders einfach bestimmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

1. Berechnung des Eckpunkts \(A\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_2\): \(\frac{1}{2}x + 2 = -x + 5 \Rightarrow 1{,}5x = 3 \Rightarrow x = 2\). Einsetzen ergibt \(y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 3\). Also \(A(2|3)\). 2. Berechnung des Eckpunkts \(B\) durch Schnitt von \(g_1\) und \(g_3\): \(-1 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow -3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = -6\). Also \(B(-6|-1)\). 3. Berechnung des Eckpunkts \(C\) durch Schnitt von \(g_2\) und \(g_3\): \(-1 = -x + 5 \Rightarrow x = 6\). Also \(C(6|-1)\). 4. Die Seite \(BC\) liegt auf der horizontalen Geraden \(y = -1\). Ihre Länge (Basis \(g\)) ist die Differenz der \(x\)-Werte: \(|6 - (-6)| = 12\). 5. Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand des Punktes \(A(2|3)\) zur Geraden \(y = -1\): \(|3 - (-1)| = 4\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24\).

a) Eckpunkte: \(A(2|3)\), \(B(-6|-1)\) und \(C(6|-1)\) b) Flächeninhalt: \(24\) Flächeneinheiten

- Versuche die Eckpunkte in Abhängigkeit von \(c\) auszudrücken. - Welche Punkte liegen auf der Geraden \(y = c\)? - Was passiert mit dem Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Schnittpunkte bestimmen: - \(f \cap g\): \(x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0\). Erster Eckpunkt ist der Ursprung \(O(0|0)\). - \(f \cap h\): \(x = c, y = c\). Zweiter Eckpunkt ist \(P_1(c|c)\). - \(g \cap h\): \(-x = c \Rightarrow x = -c, y = c\). Dritter Eckpunkt ist \(P_2(-c|c)\). 2. Die Basis des Dreiecks liegt auf der Geraden \(y = c\). Die Länge der Basis ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten von \(P_1\) und \(P_2\): \(g = c - (-c) = 2c\). 3. Die Höhe des Dreiecks ist der Abstand vom Ursprung zur Geraden \(y = c\), also \(h = c\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\). Damit ist die Formel gezeigt. 5. Analyse der Änderung: Wenn \(c\) verdoppelt wird (\(c_{\text{neu}} = 2c\)), dann gilt für den neuen Flächeninhalt \(A_{\text{neu}} = (2c)^2 = 4c^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also.

a) Die Eckpunkte sind \((0|0)\), \((c|c)\) und \((-c|c)\). Die Basis ist \(2c\), die Höhe \(c\), woraus \(A = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot c = c^2\) folgt. b) Der Flächeninhalt vervierfacht sich, da \(c\) in der Flächenformel quadratisch eingeht: \((2c)^2 = 4c^2\).

- Wie bestimmst du zuerst die Gleichung von \(h_1\) aus zwei Punkten? - Wie bestimmst du den Achsenabschnitt von \(h_2\) aus Steigung und Punkt? - Welche Gleichung gilt für die beiden Funktionsterme am Schnittpunkt?

1. Für \(h_1\) ist \(m_1=\frac{9-5}{4-2}=2\). Mit \(A(2 \mid 5)\) gilt \(5=4+t_1\), also \(t_1=1\). Damit ist \(h_1(x)=2x+1\). 2. Für \(h_2\) gilt mit \(C(6 \mid 1)\): \(1=-0{,}5\cdot 6+t_2\). Daraus folgt \(t_2=4\), also \(h_2(x)=-0{,}5x+4\). 3. Gleichsetzen ergibt \(2x+1=-0{,}5x+4\). Somit ist \(2{,}5x=3\) und \(x=1{,}2\). 4. Einsetzen liefert \(y=2\cdot 1{,}2+1=3{,}4\). Daher ist \(S(1{,}2 \mid 3{,}4)\).

\(S(1{,}2 \mid 3{,}4)\)

- Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.

1. Teilaufgabe a: Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat den \(y\)-Wert \(0\). Aus \(0 = -x + 6\) folgt \(x = 6\). Einsetzen in \(h\): \(0 = m \cdot 6 + 2 \Rightarrow 6m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt, wenn sie parallel sind, aber unterschiedliche \(y\)-Achsenabschnitte haben. Da \(g\) die Steigung \(-1\) hat, muss \(m = -1\) gelten. 3. Teilaufgabe c: Bei \(m = 1\) lautet das System \(y = -x + 6\) und \(y = x + 2\). Gleichsetzen: \(-x + 6 = x + 2 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2\). Einsetzen: \(y = 2 + 2 = 4\). Da \(x = 2 > 0\) und \(y = 4 > 0\), liegt der Punkt \(S(2|4)\) im I. Quadranten.

a) \(m = -\frac{1}{3}\) b) \(m = -1\) c) I. Quadrant, da der Schnittpunkt \(S(2|4)\) positive Koordinaten besitzt.

- Wo schneiden die Geraden die \(y\)-Achse? - Wenn eine Seite eines Dreiecks auf einer Koordinatenachse liegt, wie lässt sich die zugehörige Höhe einfach finden? - Was passiert mit dem Flächeninhalt einer Figur, wenn man sie spiegelt? - Aus welchen Teilflächen setzt sich die neue Figur nach der Spiegelung zusammen?

1. Schnittpunkt \(S\) durch Gleichsetzen: \(x + 1 = -0{,}5x + 4\). 2. \(1{,}5x = 3 \implies x = 2\). 3. \(y = 2 + 1 = 3\). Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). 4. \(y\)-Achsenabschnitte bestimmen: Für \(a\) ist es \(P_a(0 \mid 1)\), für \(b\) ist es \(P_b(0 \mid 4)\). 5. Das Dreieck hat die Eckpunkte \(P_a(0 \mid 1)\), \(P_b(0 \mid 4)\) und \(S(2 \mid 3)\). 6. Die Grundseite auf der \(y\)-Achse hat die Länge \(g = 4 - 1 = 3\). Die Höhe entspricht dem \(x\)-Abstand von \(S\) zur \(y\)-Achse: \(h = 2\). 7. Flächeninhalt Dreieck: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). 8. Bei Spiegelung an der \(y\)-Achse entsteht ein Drachenviereck, das aus dem ursprünglichen Dreieck und seinem flächengleichen Spiegelbild besteht. 9. Flächeninhalt Drachenviereck: \(A_{\text{Drachen}} = 2A_{\text{Dreieck}} = 2 \cdot 3 = 6\). Alternativ über Diagonalen: \(d_1 = 3\) (auf der \(y\)-Achse), \(d_2 = 4\) (Abstand zwischen \(S(2 \mid 3)\) und \(S'(-2 \mid 3)\)). \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 3)\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(3\) Flächeneinheiten. c) Das Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

- Skizziere die Situation für beide Teilaufgaben in ein Koordinatensystem. - Wie verändert sich die Steigung der Diagonale \(AC\), wenn der Punkt \(C\) weiter nach rechts rückt? - Überlege, welche Eigenschaft alle Punkte auf der Diagonalen \(BD\) gemeinsam haben.

1. Für \(C(6|6)\) ist die Diagonale \(AC\) die Ursprungsgerade \(y = x\). Die Diagonale \(BD\) verläuft durch \((6|0)\) und \((0|6)\), also gilt \(y = -x + 6\). Gleichsetzen ergibt \(x = -x + 6\), somit \(x = 3\) und \(y = 3\). Daher ist \(S_1(3|3)\). 2. Für \(C'(12|6)\) hat die Diagonale \(AC'\) die Steigung \(\frac{6}{12} = 0{,}5\), also gilt \(y = 0{,}5x\). Gleichsetzen mit \(BD\) ergibt \(0{,}5x = -x + 6\), somit \(1{,}5x = 6\), \(x = 4\) und \(y = 2\). Daher ist \(S_2(4|2)\). 3. Die Diagonale \(BD\) ist die Strecke zwischen \((0|6)\) und \((6|0)\). Die Diagonale von \(A\) zu einem rechts von \(A\) liegenden Punkt auf \(y = 6\) trifft \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse, also bei \(y > 0\). Auf \(BD\) gilt \(x = 6 - y\). Daher folgt aus \(y > 0\), dass stets \(x < 6\) gilt.

a) \(S_1(3|3)\) b) \(S_2(4|2)\) c) Der Schnittpunkt liegt auf \(BD\) stets oberhalb der \(x\)-Achse. Wegen \(x = 6 - y\) und \(y > 0\) bleibt seine \(x\)-Koordinate immer kleiner als \(6\).

- Welche Steigungen haben \(f\) und \(g\), und was bedeutet das für ihre Lage? - Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt von \(f\) mit der \(y\)-Achse? - Welche beiden Nullstellen begrenzen die Grundseite des Dreiecks auf der \(x\)-Achse? - Welche senkrechte Entfernung hat der gemeinsame Punkt von \(f\) und \(h\) zur \(x\)-Achse?

1. \(f\) und \(g\) haben beide die Steigung \(\frac{1}{2}\), aber verschiedene \(y\)-Achsenabschnitte. Daher sind ihre Graphen parallel und haben keinen Schnittpunkt. 2. Der Graph von \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 1)\). Damit \(h\) durch diesen Punkt verläuft, muss \(h(0)=1\) gelten. Also ist \(t=1\) und \(h(x)=-x+1\). 3. Die Nullstelle von \(f\) ist \(x=-2\), die Nullstelle von \(h\) ist \(x=1\). Die Grundseite auf der \(x\)-Achse hat daher die Länge \(1-(-2)=3\). 4. Die Höhe des Dreiecks beträgt \(1\), weil der gemeinsame Punkt von \(f\) und \(h\) bei \((0 \mid 1)\) liegt. Somit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=1{,}5\).

Die Graphen von \(f\) und \(g\) sind parallel. Es gilt \(t=1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(1{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie groß ist der konstante Höhenverlust von Kerze B pro Stunde? - Welche linearen Terme beschreiben die beiden Höhen während des Brennens? - Welche Zeit ergibt sich durch Gleichsetzen? - Liegt diese Zeit noch innerhalb der tatsächlichen Brenndauer beider Kerzen?

1. Kerze A verliert \(1\,\text{cm/h}\). Kerze B verliert \(10\,\%\) von \(12\,\text{cm}\), also konstant \(1{,}2\,\text{cm/h}\). 2. Die linearen Höhenmodelle lauten \(h_A(t)=5-t\) und \(h_B(t)=12-1{,}2t\). 3. Gleichsetzen ergibt \(5-t=12-1{,}2t\). Daraus folgt \(0{,}2t=7\) und \(t=35\,\text{h}\). 4. Im linearen Modell wäre die gemeinsame Höhe dann \(h_A(35)=5-35=-30\,\text{cm}\). 5. Kerze A erreicht die Höhe \(0\) bereits nach \(5\,\text{h}\), Kerze B nach \(10\,\text{h}\). Der theoretische Schnittpunkt liegt daher außerhalb beider sinnvollen Modelldomänen; während des Brennens sind die Kerzen nie gleich hoch.

Mathematisch schneiden sich die linearen Fortsetzungen nach \(35\,\text{h}\) bei der theoretischen Höhe \(-30\,\text{cm}\). Tatsächlich tritt dieser Zustand nicht ein, weil Kerze A nach \(5\,\text{h}\) und Kerze B nach \(10\,\text{h}\) abgebrannt ist.